Thesisonderwerpen binnen de onderzoeksgroep klassieke analyse (Walter Van Assche) De onderwerpen sluiten aan bij het onderzoek in de afdeling Analyse (onderzoeksgroep klassieke analyse) en zijn zo gekozen dat ze toegankelijk zijn voor een masterstudent met belangstelling voor analyse. De vakken “Complexe Analyse” en “Approximatietheorie” zijn de vakken die aansluiten bij de meeste onderwerpen. Soms is het nuttig om ook “Kans en maat” te volgen. Afhankelijk van het onderwerp kunnen ook aspecten van numerieke wiskunde, kansrekening, maattheorie, lineaire algebra, differentiaalvergelijkingen optreden. Algemene informatie is te vinden op mijn webpagina http://www.wis.kuleuven.be/analyse/walter
1. Meervoudige orthogonale veeltermen Orthogonale veeltermen zijn veeltermen die voldoen aan de eigenschap Z b pn (x)pm (x) dµ(x) = δm,n , m, n ≥ 0, a
waarbij µ een positieve maat is op [a, b]. Zij voldoen steeds aan een drie-terms recursievergelijking xpn (x) = an+1 pn+1 (x) + bn pn (x) + cn pn−1 (x), en de recursieco¨effici¨enten geven belangrijke informatie over de orthogonaliteitsmaat µ. Meervoudige orthogonale veeltermen voldoen orthogonaliteitseisen met betrekking tot meerdere positieve maten: Z P~n (x)xk dµj (x) = 0, k = 0, . . . , nj − 1, j = 1, . . . , r, waarbij ~n = (n1, n2 , . . . , nr ) en P~n een veelterm is van graad n1 +n2 +. . .+nr . Er zijn opnieuw recursievergelijkingen waarmee je de veeltermen recursief kan berekenen. In veel gevallen zullen de recursieco¨effici¨enten convergeren en dan kan men de asymptotische verdeling van de nulpunten netjes beschrijven. Die 1
asymptotische nulpuntsverdeling kan men ook vinden als men weet hoe de maten µ1 , . . . , µr er uit zien. In die gevallen geldt dat Z 1 lim #{x ∈ [c, d] : P~n (x) = 0} = ρ(x) dx, n→∞ n met n = |~n| = n1 + n2 + . . . + nr en ρ een positieve gewichtsfunctie die men de asymptotische nulpuntsdichtheid noemt. Deze asymptotische nulpuntsdichtheid kan men dan berekenen via een algebraische vergelijking of via een extremaalprobleem voor maten. Voor dit onderwerp zijn meerdere mogelijkheden: • Het bestuderen van meervoudig orthogonale veeltermen als speciale functies. Hierbij worden de maten µ1 , . . . , µr gegeven en zal je op zoek moeten gaan naar expliciete formules voor de bijbehorende meervoudige orthogonale veeltermen, de recursievergelijkingen en eventueel andere eigenschappen. • Numerieke aspecten, zoals algoritmen voor het berekenen van de recursieco¨effici¨enten en het berekenen van de nulpunten. • Asymptotiek, zoals het bepalen van het asymptotisch nulpuntsgedrag of het asymptotisch gedrag van P~n (x) als |~n| → ∞. (a) Multiple orthogonal polynomials, Hoofdstuk 23 in het boek Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable van M.E.H. Ismail; Encyclopedia of Mathematics and its Applications 98, Cambridge University Press, 2005. (b) A.I. Aptekarev, A. Branquinho, W. Van Assche: Multiple orthogonal polynomials for classical weights, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3887–3914. [ (c)] W. Van Assche, E. Coussement: Some classical multiple orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math. 127 (2001), 317–347.
2
2. Orthogonale veeltermen op de eenheidscirkel Orthogonale veeltermen op de eenheidscirkel voldoen aan de orthogonaliteitseisen Z 2π z = eiθ , ϕn (z)ϕm (z) dµ(θ) = δm,n , 0
waarbij µ een positieve maat is op de eenheidscirkel T = {|z| = 1}. Recent is er een set van twee boeken [(a)] verschenen met heel wat klassieke en nieuwe resultaten over zulke veeltermen. In het bijzonder zijn we ge¨ınteresseerd in de orthogonale veeltermen met gewichtsfunctie w(θ) = exp(t cos θ), met t ∈ R een parameter. Deze zijn van belang bij de studie van unitaire random matrices en de recursieco¨effici¨enten zijn interessant want ze voldoen aan een stel differentiaalvergelijkingen (in de veranderlijke t) en aan een niet-lineaire recursie van Painlev´e type (in de veranderlijke n). Het is de bedoeling dat deze differentiaalvergelijkingen en recursievergelijkingen worden bestudeerd en hun verband met unitaire random matrices wordt uitgewerkt. Ook het asymptotisch gedrag van de recursieco¨effici¨enten (als t → ±∞ en als n → ∞ kan worden bestudeerd. (a) B. Simon, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Part 1 and Part 2, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 54, 2004. (b) M.E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Cambridge University Press, 2005. (c) V. Periwal, D. Shevitz, Unitary-matrix models as exactly solvable string theories, Phys. Rev. Lett. 64 (1990), 1326–1329.
3
3. Het spectrum van Jacobi matrices Indien we de recursieco¨effici¨enten van orthogonale veeltermen in een matrix plaatsen dan geeft dit een Jacobi matrix b0 a 1 0 0 a 1 b1 a 2 0 0 a 2 b2 a 3 0 J= .. .. . . 0 0 a3 .. . 0 0 0 Als deze operator zelftoegevoegd is komt het spectrum overeen met de drager van de orthogonaliteitsmaat en de spectraalmaat is precies de orthogonaliteitsmaat. Vaak kennen we de recursieco¨effici¨enten en willen we uit eigenschappen van deze an en bn informatie krijgen over de orthogonaliteitsmaat. Voor onbegrensde recursieco¨effici¨enten heeft Chihara een aantal interessante resulaten gevonden. Bijvoorbeeld als limn→∞ |bn | = +∞ met inf bn = −∞ en sup bn = +∞, en als a2n 1 < , lim sup 4 n→∞ bn bn+1 dan zal het spectrum geen eindige ophopingspunten hebben [(a)]. Het geval waarbij a2n 1 = lim bn = +∞, lim n→∞ n→∞ bn bn+1 4 is interessant. Het supremum van het spectrum is +∞ maar het infimum kan −∞ zijn of eindig en het is mogelijk dat er geen eindige ophopingspunten zijn [(b)]. Het is de bedoeling deze resultaten te bestuderen en om beter inzicht te krijgen in het spectrum van deze onbegrensde Jacobi matrices. (a) T.S. Chihara, Orthogonal polynomials with discrete spectra on the real line, J. Approx. Theory 42 (1984), 97-105. http://dx.doi.org/10.1016/0021-9045(84)90059-5 (b) T.S. Chihara, The one-quarter class of orthogonal polynomials, Rocky Mountain J. math. 21 (1991), 121–137.
4
4. Een bijzondere singuliere kansmaat op [0, 1] Een singuliere kansmaat op [0, 1] is een kansmaat met alle massa op een verzameling A die Lebesguemaat nul heeft. De afgeleide van de verdelingsfunctie is bijna overal gelijk aan nul. Zulke maten komen vaak tevoorschijn bij iteratieve constructies (fractals). Een standaardvoorbeeld is de Cantorverdeling waarvoor A de Cantorverzameling is. Een boeiend voorbeeld is de vraagtekenfunctie van Minkowski. Deze functie wordt gegeven door ?(x) = 2
∞ X k=1
(−1)k+1 2a1 +a2 +a3 +···+ak
,
(een voorbeeld van onhandige notatie met dat vraagteken) waarbij x gegeven wordt door de standaardkettingbreuk 1
x=
,
1
a1 +
ak ∈ N.
1
a2 +
1
a3 +
a4 +
1 ..
.
Het is de bedoeling de eigenschappen van deze functie te bestuderen. Een open probleem is het gedrag van de Fourierco¨effici¨enten van deze functie Z 1 cn = cos(2πnx) d?(x). 0
Voor absoluut continue functies gaan deze naar nul als n → ∞ (RiemannLebesgue lemma), maar dat hoeft zo niet te zijn voor singuliere functies. (a) Minkowski’s question mark function, Wikipedia, the free encyclopedia http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski%27s-question_mark_function (b) R. Salem, On some singular monotonic functions which are strictly increasing, Trans. Amer. Math. Soc. 53 no. 3 (1943), 427–439. (c) M. Kesseb¨ohmer, B.O. Stratmann, Fractal analysis for sets of nondifferentiability of Minkowski’s question mark function, J. Number Theory 128 (2008), no. 9, 2663-2686. 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.6
0.4
0.8
x
Figure 1: Minkowski’s vraagtekenfunctie
6
1
5. Painlev´ e vergelijkingen Painlev´e vergelijkingen zijn belangrijke niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Picard stelde het probleem om alle differentiaalvereglijkingen van tweede orde te bepalen waarvan de oplossingen geen singulariteiten heeft (behalve ge¨ısoleerde singulariteiten zoals polen) die van de beginvoorwaarden afhangen. Painlev´e vond een lijst van een vijftigtal differentiaalvergelijkingen. De meeste van deze vergelijkingen waren reeds bekend of zijn linear. Zes vergelijkingen waren nog niet bekend en we kennen ze nu als de Painlev´e vergelijkingen y 00 = 6y 2 + x y 00 = 2y 3 + xy + α (y 0 )2 y 0 αy 2 + β δ y 00 = − + + y x x y 0 2 3 (y ) 3y β y 00 = + + 4xy 2 + 2(x2 − α)y + 2y 2 y 0 2 1 1 y (y − 1) β γy δy(y + 1) 00 0 2 + (y ) − + αy + + + y = 2 2y y − 1 x x y x y−1 1 1 1 1 1 1 1 y 00 = + + + + (y 0 )2 − y0 2 y y−1 y−x x x−1 y−x y(y − 1)(y − x) βx γ(x − 1) δx(x − 1) α+ 2 + + . + x2(x − 1)2 y (y − 1)2 (y − x)2 Het is de bedoeling dat wordt opgezocht hoe men aan deze vergelijkingen komt en welke eigenschappen deze vergelijkingen hebben. Enkele speciale oplossingen (rationale functies en speciale functies) kunnen worden bekeken en hun asymptotiek kan worden bestudeerd. (a) R. Conte (ed.): The Painlev´e property: one century later, CRM Series in Mathematical Physics, Springer, Berline, 1999. (b) P.A. Clarkson: Painlev´e equations — nonlinear special functions, J. Comput. Appl. Math. 153 (2003), 127–140.
7
