Térbeli polárkoordináták alkalmazása egy pont helyének, sebességének és gyorsulásának leírására A címbeli feladat a kinematikával foglalkozó tankönyvek egyik alapfeladata: elmagyarázni, levezetni az idevágó összefüggéseket. Ezt gondoltuk mi is, de mint ki derült, egy kicsit tévedtünk. Ez azért is érdekes, mert a szóban forgó alapvetés igazá ból nem megkerülhető. Mégis, az általunk látott – és itt negatív értelemben nem kiemelt – tan - és szakkönyvek ezt nem, vagy csak részlegesen végzik el. Persze, biz tos ez a házi feladat vagy a gyakorlat tárgya fizikus - és mérnökhallgatóknak. Vagy ezt mindenki úgyis tudja? Ez bizonyosan nem igaz. Szóval, valamilyen értelemben hiánypótlást végzünk ezzel a házi dolgozatunkkal, hogy együtt lássuk a címbeli feladat megoldásának eredményeit. Úgy tűnik, hogy a szóban forgó feladatot az általunk lá tott szakirodalomban legügyesebben, illetve módszertanilag a legfigyelmesebben az [ 1 ] műben oldották meg, így mi is főleg erre támaszkodunk mondókánk kifejtésében. Elöljáróban még annyit, hogy az egész témakör úgy vetődött fel, hogy egy előző HD ben, a mozgó testek perspektivikus ábrázolása kapcsán felmerülő esetleges teendők illusztrálására választott [ 2 ] - beli feladathoz egy térbeli pont gyorsulása komponen seinek térbeli polárkoordinátákkal megadott kifejezésére volt szükség. Amikor köny veinkben ennek utánanéztünk, meglepő kép fogadott: ~ nem foglalkoztak vele; ~ részlegesen foglalkoztak vele, részletes levezetés nélkül; ~ feladatként adták fel, csak a végeredményt közölve ( azt is sajtóhibával ); ~ túl általánosan tárgyalták. Ez azért nagyon durva, mert – mint említettük – egy alapfeladatról van szó, melynél sokkal egyszerűbbeket is szájba rágva közölnek a tankönyvek. Úgy - e, hogy ez már érdekes? Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra
2
Itt azt ábrázoltuk, hogy a térbeli P pontot úgy „találjuk meg” a térben, hogy ~ az Oxyz koordináta - rendszerben kijelölt xOz alapsíkot a z polártengely körül elforgatjuk akkora φ szöggel, hogy a ρOz sík éppen átmenjen a P ponton, majd ~ megmérjük / megadjuk a ρOz síkbeli θ = ∢zOP szöget, majd ~ megmérjük / megadjuk a ρOz síkbeli r = OP távolságot.
Az ( r , φ, θ ) adat - hármas a P pont térbeli polárkoordinátái. Az ( x, y, z ) és az
( r, φ, θ) koordináták között a kapcsolat az 1. ábráról leolvashatóan: xP = rxy ⋅ cos φ = r ⋅ sin θ ⋅ cos φ , yP = rxy ⋅ sin φ = r ⋅ sin θ ⋅ sin φ , z P = rxy ⋅ ctgθ = r ⋅ cos θ .
(1)
A polárkoordináták értelmezési tartománya:
0≤r<∞ , 0≤θ≤π , 0 ≤ φ ≤ 2 ⋅ π .
(2)
A közvetlen feladat: az r helyvektor, a v sebességvektor és az a gyorsulásvektor felírása a poláris koordinátákkal. Ehhez az egységvektorokon végzett manipuláció is
(
szükségessé válik. A jobbrendszert képező e r , eθ , eφ alapvető összefüggései az alábbiak:
er × eθ = e φ , e θ × e φ = e r , e φ × e r = eθ ; er ⋅ e r = e θ ⋅ e θ = e φ ⋅ e φ = 1 ; er ⋅ e θ = eθ ⋅ e φ = e φ ⋅ e r = 0 .
) egységvektor - hármas
(3)
Az egységvektorok differenciálja:
∂er ∂e ∂e ⋅ dr + r ⋅ d θ + r ⋅ d φ , ∂r ∂θ ∂φ ∂e ∂e ∂e deθ = θ ⋅ dr + θ ⋅ d θ + θ ⋅ d φ , ∂r ∂θ ∂φ ∂e ∂e ∂e deφ = φ ⋅ dr + φ ⋅ d θ + φ ⋅ d φ . ∂r ∂θ ∂φ der =
(4)
3
Most egyenként megvizsgáljuk a ( 4 ) - ben szereplő parciális deriváltak alakulását. Ezt úgy tesszük, hogy megnézzük: hogyan változnak az egységvektorok, ha csak az egyik koordináta változik, a másik kettő pedig állandó. Ez három alapeset vizsgálatát igényli, a három koordinátának megfelelően.
1. ) Az r szerinti parciális deriváltak meghatározása Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Innen leolvasható, hogy ha csak az r koordináta változik, ugyanakkor θ = θ0 = konst , φ = φ0 = konst , akkor az egységvektorok iránya ( is ) változatlan marad, azaz
∂er ∂eθ ∂eφ = = =0 . ∂r ∂r ∂r
(5)
2. ábra Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel:
∂er ∂e ⋅ dθ + r ⋅ dφ , ∂θ ∂φ ∂e ∂e de θ = θ ⋅ d θ + θ ⋅ d φ , ∂θ ∂φ ∂e ∂e de φ = φ ⋅ d θ + φ ⋅ d φ . ∂θ ∂φ de r =
(6)
4
2.) A θ szerinti parciális deriváltak meghatározása Ehhez tekintsük ismét az 1. ábrát! Erről leolvasható, hogy ha csak θ változik, azaz r = r0 = konst , φ = φ0 = konst , akkor az r vektor végpontja θ változásával egy köríven mozoghat, így e körív síkjára merőleges e φ egységvektor nem változik: ∂eφ =0 . (7) ∂θ Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
∂er ∂e ⋅ dθ + r ⋅ dφ , ∂θ ∂φ ∂e ∂e deθ = θ ⋅ d θ + θ ⋅ d φ , ∂θ ∂φ ∂eφ deφ = ⋅ dφ . ∂φ der =
(8)
Az 1. ábráról is jól látható, hogy a másik két egységvektor azonban változik, síkbeli polárkoordináták egységvektoraiként dolgozva, eρ és k állandó egységvektorok mellett. Most ezt vizsgáljuk meg részletesebben. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra A 3. ábra bal oldali része alapján az er egységvektor kifejezése: er = 1 ⋅ sin θ ⋅ eρ + 1 ⋅ cos θ ⋅ k , vagy egyszerűbben:
5
er = sin θ ⋅ eρ + cos θ ⋅ k .
(9)
Ebből: ∂er = cos θ ⋅ eρ − sin θ ⋅ k . ∂θ
( 10 )
Most felírjuk az eθ egységvektor kifejezését, azzal a meggondolással – ld. a 3. / bal ábrát is! – , hogy eθ ( θ ) = er θ + 90 . ( 11 )
(
)
Majd ( 9 ) és ( 11 ) szerint eljárva: eθ = sin θ + 90 ⋅ eρ + cos θ + 90 ⋅ k = cos θ ⋅ eρ − sin θ ⋅ k ,
(
)
(
)
tehát:
eθ = cos θ ⋅ eρ − sin θ ⋅ k . Ebből: ∂eθ = − sin θ ⋅ eρ − cos θ ⋅ k . ∂θ
( 12 )
( 13 )
Most ( 10 ) és ( 12 ) - vel:
∂er = eθ , ∂θ
( 14 )
majd ( 9 ) és ( 13 ) - mal:
∂eθ = −er . ∂θ
( 15 )
Ezután a ( 8 ), ( 14 ), ( 15 ) képletekkel:
∂er ⋅ dφ , ∂φ ∂e deθ = −er ⋅ d θ + θ ⋅ d φ , ∂φ ∂eφ deφ = ⋅ d φ . ∂φ der = eθ ⋅ d θ +
Látjuk, hogy már csak a φ szerinti parciális deriváltakat kell meghatározni.
( 16 )
6
3.) A φ szerinti parciális deriváltak meghatározása Ebben az esetben r = r0 = konst , θ = θ0 = konst , vagyis az r vektorok végpontjai egy ρ0 = r0 ⋅ sin θ 0 sugarú körön helyezkednek el – 4. ábra. Miközben az r vektor csúcsa végigmegy e körön, aközben egy θ 0 félnyílásszögű, z tengelyű forgáskúpot súrol, és mindhárom egységvektor változtatja irányát, így parciális deriváltjaik nem zérusok. A ( 9 ) képlet szerint:
er = sin θ ⋅ eρ + cos θ⋅ k , innen: ∂e ∂er = sin θ ⋅ ρ + cos θ ⋅ 0 , ∂φ ∂φ
4. ábra tehát:
∂e ∂er = sin θ⋅ ρ . ∂φ ∂φ
( 17 )
Most a 3. / jobb ábra szerint:
eρ = 1 ⋅ cos φ ⋅ i + 1 ⋅ sin φ ⋅ j , vagy rövidebben:
eρ = cos φ ⋅ i + sin φ ⋅ j .
( 18 )
Innen:
∂eρ ∂φ
= − sin φ ⋅ i + cos φ ⋅ j .
A korábbiak szerint:
( 19 )
7
(
eφ ( φ ) = eρ φ + 90
);
( 20 )
most ( 18 ) és ( 20 ) - szal: eφ = cos ( φ + 90 ) ⋅ i + sin ( φ + 90 ) ⋅ j = − sin φ⋅ i + cos φ ⋅ j , tehát:
eφ = − sin φ ⋅ i + cos φ ⋅ j .
( 21 )
( 19 ) és ( 21 ) összehasonlításából:
∂eρ ∂φ
= eφ .
( 22 )
Most ( 17 ) és ( 22 ) szerint:
∂er = sin θ ⋅ eφ . ∂φ
( 23 )
Most ( 21 ) - et parciálisan deriválva:
∂eφ ∂φ
= − cos φ⋅ i − sin φ ⋅ j ;
( 24 )
majd ( 18 ) és ( 24 ) szerint:
∂eφ ∂φ
= −eρ .
( 25 )
Ámde az 5. ábra szerint:
5. ábra
8
eρ = 1 ⋅ sin θ ⋅ er + 1 ⋅ cos θ ⋅ eθ , vagy egyszerűbben:
eρ = sin θ ⋅ er + cos θ ⋅ eθ .
( 26 )
Most ( 25 ) és ( 26 ) - tal:
∂eφ ∂φ
= − ( sin θ ⋅ er + cos θ ⋅ eθ ) .
( 27 )
Majd ( 12 ) szerint:
eθ = cos θ ⋅ eρ − sin θ ⋅ k . Ebből: ∂eρ ∂eθ = cos θ⋅ − sin θ ⋅ 0 , ∂φ ∂φ tehát: ∂eρ ∂eθ . = cos θ ⋅ ∂φ ∂φ
( 28 )
Most ( 22 ) és ( 28 ) szerint:
∂eθ = cos θ⋅ eφ . ∂φ
( 29 )
Ezután ( 16 ), ( 23 ), ( 27 ) és ( 29 ) - cel:
deθ = −er ⋅ d θ + cos θ ⋅ eφ ⋅ d φ , deφ = − ( sin θ ⋅ er + cos θ ⋅ eθ ) ⋅ d φ . der = eθ ⋅ d θ + sin θ ⋅ eφ ⋅ d φ ,
( 30 )
A differenciálokról áttérve az idő szerinti differenciálhányadosokra, ( 30 ) - ból kapjuk, hogy
9
der dθ dφ = eθ ⋅ + sin θ ⋅ eφ ⋅ , dt dt dt deθ dθ dφ = −er ⋅ + cos θ ⋅ eφ ⋅ , dt dt dt deφ dφ = − ( sin θ ⋅ er + cos θ ⋅ eθ ) ⋅ dt dt
.
( 31 )
Bevezetve az idő szerinti derivált ponttal való szokásos jelölését, ( 31 ) így alakul:
eɺ r = eɺ θ =
ɺ e − θ⋅ r
ɺ e + φɺ ⋅ sin θ ⋅ e θ⋅ θ φ + φɺ ⋅ cos θ⋅ e
ɺ sin θ⋅ e − φ⋅ ɺ cos θ ⋅ e . eɺ φ = −φ⋅ r θ
, , φ
( 32 )
A ( 32 ) képletek írják le az egységvektorok idő szerinti deriváltjait; ezek birtokában már nekifoghatunk a P pont hely - , sebesség - és gyorsulásvektora felírásának.
A helyvektor felírása
r = r ⋅ er .
( 33 ) A sebességvektor felírása
v=
dr . dt
( 34 )
Most ( 33 ) és ( 34 ) - gyel, a szorzat deriválási szabálya alapján:
v = rɺ ⋅ er + r ⋅ eɺ r .
( 35 )
Majd ( 32 / 1 ) és ( 35 ) - tel: v = rɺ ⋅ er + r ⋅ θɺ ⋅ eθ + φɺ ⋅ sin θ ⋅ eφ = rɺ ⋅ er + r ⋅ θɺ ⋅ eθ + r ⋅ φɺ ⋅ sin θ ⋅ e φ ,
(
)
tehát:
v = rɺ ⋅ er + r ⋅ θɺ ⋅ eθ + r ⋅ φɺ ⋅ sin θ ⋅ eφ .
( 36 )
10
Ha bevezetjük a v vektor komponenseit az alábbiak szerint,
v = vr ⋅ er + vθ ⋅ eθ + vφ ⋅ e φ ,
( 37 )
akkor ( 36 ) és ( 37 ) összevetéséből a sebesség skaláris komponensei:
vr = rɺ ,
vθ = r ⋅ θɺ , vφ = r ⋅ φɺ ⋅ sin θ .
( 38 )
A gyorsulásvektor felírása
a=
dv . dt
( 39 )
Most ( 37 ) és ( 39 ) - cel:
d ( vr ⋅ er + vθ ⋅ eθ + vφ ⋅ eφ ) = dt = ( vɺr ⋅ er + vr ⋅ eɺ r ) + ( vɺθ ⋅ eθ + vθ ⋅ eɺ θ ) + ( vɺφ ⋅ eφ + vφ ⋅ eɺ φ ) ,
a=
tehát:
a = ( vɺr ⋅ er + vr ⋅ eɺ r ) + ( vɺθ ⋅ eθ + vθ ⋅ eɺ θ ) + ( vɺφ ⋅ eφ + vφ ⋅ eɺ φ ) .
Majd ( 32 ) és ( 40 ) - nel:
(
( 40 )
)
a = vɺr ⋅ er + vr ⋅ θɺ ⋅ eθ + φɺ ⋅ sin θ ⋅ eφ + + vɺθ ⋅ eθ + vθ ⋅ −θɺ ⋅ er + φɺ ⋅ cos θ ⋅ eφ + ɺ ɺ + vɺφ ⋅ eφ + vφ ⋅ −φ ⋅ sin θ ⋅ er − φ ⋅ cos θ ⋅ eθ .
( (
)
)
( 41 )
( 41 ) - et rendezve:
( ) ⋅ ( v ⋅ θɺ + vɺ − v ⋅ φɺ ⋅ cos θ ) + ɺ sin θ + v ⋅ φɺ ⋅ cos θ + vɺ ) . ⋅ ( v ⋅ φ⋅
ɺ sin θ + a = er ⋅ vɺr − vθ ⋅ θɺ − vφ ⋅ φ⋅ + eθ + eφ
r
r
θ
φ
θ
φ
( 42 )
11
Ha bevezetjük az a vektor komponenseit az alábbiak szerint,
a = a r ⋅ e r + aθ ⋅ e θ + aφ ⋅ e φ ,
( 43 )
akkor ( 42 ) és ( 43 ) összevetéséből a gyorsulás skaláris komponensei:
ar = vɺr − θɺ ⋅ vθ − φɺ ⋅ vφ ⋅ sin θ ,
ɺ ɺ aθ = vɺθ + θ ⋅ vr − φ ⋅ vφ ⋅ cos θ , aφ = vɺφ + φɺ ⋅ vr ⋅ sin θ + φɺ ⋅ vθ ⋅ cos θ .
( 44 )
Most ( 44 ) - ben érvényesítve ( 38 ) - at:
ɺ v ⋅ sin θ = ɺɺ ar = vɺr − θɺ ⋅ vθ − φ⋅ r − r ⋅ θɺ 2 − r ⋅ φɺ 2 ⋅ sin 2 θ , φ tehát:
ar = ɺɺ r − r ⋅ θɺ 2 − r ⋅ φɺ 2 ⋅ sin 2 θ .
( 45 )
Hasonlóképpen:
aθ = vɺθ + θɺ ⋅ vr − φɺ ⋅ vφ ⋅ cos θ = rɺ ⋅ θɺ + r ⋅ ɺɺ θ + rɺ ⋅ θɺ − r ⋅ φɺ 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ , tehát:
aθ = r ⋅ ɺɺ θ + 2 ⋅ rɺ ⋅ θɺ − r ⋅ φɺ 2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ .
( 46 )
Megint így:
(
)
d aφ = vɺφ + φɺ ⋅ vr ⋅ sin θ + φɺ ⋅ vθ ⋅ cos θ = r ⋅ φɺ ⋅ sin θ + rɺ ⋅ φɺ ⋅ sin θ + r ⋅ θɺ ⋅ φɺ ⋅ cos θ ; dt d d d r ⋅ φɺ ⋅ sin θ = ( r ⋅ sin θ ) ⋅ φɺ = ( r ⋅ sin θ ) ⋅ φɺ + ( r ⋅ sin θ ) ⋅ ɺɺ φ= dt dt dt φ; = φɺ ⋅ rɺ ⋅ sin θ + r ⋅ cos θ ⋅ θɺ + r ⋅ sin θ ⋅ ɺɺ
(
)
(
(
)
)
aφ = φɺ ⋅ rɺ ⋅ sin θ + r ⋅ cos θ ⋅ θɺ + r ⋅ sin θ ⋅ ɺɺ φ + rɺ ⋅ φɺ ⋅ sin θ + r ⋅ θɺ ⋅ φɺ ⋅ cos θ =
(
)
= sin θ ⋅ r ⋅ ɺɺ φ + 2 ⋅ rɺ ⋅ φɺ + 2 ⋅ r ⋅ φɺ ⋅ θɺ ⋅ cos θ , tehát:
(
)
aφ = r ⋅ ɺɺ φ + 2 ⋅ rɺ ⋅ φɺ ⋅ sin θ + 2 ⋅ r ⋅ φɺ ⋅ θɺ ⋅ cos θ .
( 47 )
12
Végül ( 43 ) és ( 47 ) - tel:
a=
( ɺɺr − r ⋅ θɺ − r ⋅ φɺ ⋅ sin θ ) ⋅ e + + ( r ⋅ ɺɺ θ + 2 ⋅ rɺ ⋅ θɺ − r ⋅ φɺ ⋅ sin θ ⋅ cos θ ) ⋅ e + + ( r ⋅ ɺɺ φ + 2 ⋅ rɺ ⋅ φɺ ) ⋅ sin θ + 2 ⋅ r ⋅ φɺ ⋅ θɺ ⋅ cos θ ⋅ e 2
2
2
r
2
θ
φ
.
( 48 )
Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.
Megjegyzés: Szóhasználatunkban követjük [ 3 ] - at: egy
A = A x + A y + A z = Ax ⋅ i + Ay ⋅ j + Az ⋅ k vektor esetében az A x , A y , A z vektormennyiségek: a komponensvektorok, míg az
Ax , Ay , Az
skaláris mennyiségek: a vektor ( itt: derékszögű ) komponensei.
Irodalom: [ 1 ] – Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Dynamics Dover Publications, Inc., Mineola, New York, Reprint kiadás, 2001. [ 2 ] – L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz teoreticseszkoj mehaniki, Tom I.: Sztatika i kinematika 8. kiadás, Nauka, Moszkva, 1982. [ 3 ] – Budó Ágoston: Kísérleti fizika I. 6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. augusztus 27.
