Városok Viadala JUNIOR, 1992-93. sz második forduló 1. Egy n×n-es táblán nevezzünk "bástya körnek" egy önmagát nem metsz zárt töröttvonalat, melynek minden szakasza valamely oldallal párhuzamosan halad a mez k mentén. Kezdetben az egyik átló mentén minden szám 1, az összes többi pedig 0. Egy bástyakör mentén lev összes mez höz hozzáadhatunk egyet. Ilyen változtatásokkal elérhetjük-e, hogy minden mez ben ugyanaz a szám álljon? (AA Jegorov, 4 pont) 2. Adott a síkon egy négyzet, benne 1993 szabályos háromszög. Ezek mindegyik csúcsa a négyzet kerületén fekszik. Igazoljuk, hogy van a síknak olyan pontja, mely legalább 499 háromszög kerületére illeszkedik. (N. Sendrakjan, 5 pont) 3. Van-e olyan egészegyütthatós P(x) és Q(x) polinom, melyekre (P-Q)(x), P(x) és (P+Q)(x) mindegyike egy-egy polinom négyzete? (Tudjuk, hogy Q(x) P(x)-nek nem konstansszorosa.) (V. Prasolov, 5 pont) 4. A síkon adott az ABSD töröttvonal, AB=BC=CD=1 és AD≠1. B és C rögzítettek, de A és D felváltva elmozdulhatnak. A-t tükrözzük BD egyenesére, majd D-t tükrözzük AC egyenesére (az aktuális, már tükrözött A-ról van szó). Majd A-t tovább tükrözzük a kapott D és B egyenesére, stb. Igazoljuk, hogy néhány lépés után A és D az eredeti helyükön lesznek. (M. Koncsevics, 7 pont) 5. A sík O csúcsú szögén belül van az A pont. Legyenek a két szögszáron az M és N pontok úgy, hogy OAM∠ = OAN∠ . Bizonyítsuk be, hogy MN áthalad egy rögzített ponton, vagy mindig párhuzamos egy rögzített iránnyal. (S. Tokarev, 8 pont) 6. Az a(n) sorozatra a(1)=1, a (n + 1) = a (n ) + a (n ) . (n=1,2,3,…) Bizonyítsuk be, hogy a sorozatban végtelen sok négyzetszám szerepel. (A. Andjans, 8 pont)
[
]
JUNIOR, 1992-93. tavasz els forduló 1. Az ABC háromszög AB oldalán adott az M pont. Ismert AB=c és CMA∠ = ϕ . Határozzuk meg az AMC és BMC háromszögek magasságpontjainak távolságát. (I.F. Sarygin, 3 pont) 2. Az A és B házban is két lakás van. Macskák és kutyák élnek itt. Ismert, hogy az A ház els lakásában a macskák aránya az itt él összes állathoz képest nagyobb, mint a B ház els lakásában. Ugyanez igaz az A és B ház másik lakásaira is. Igaz-e, hogy a macskák aránya az A házban nagyobb, mint a B-ben? (AK. Kovaldji, 3 pont) ab 3. Az a, b és c számok pozitív egészek, legnagyobb közös osztójuk 1, továbbá = c. a−b Bizonyítsuk be, hogy a-b négyzetszám. (SL. Berlov, 3 pont) 4. Egy hangya halad egy kocka élei mentén. Csak csúcsoknál vált irányt. Az egyik csúcsnál már 25-ször járt. Lehetséges-e, hogy a többi 7 csúcs mindegyikén eddig pontosan 20-szor járt?
(S. Tokarev, 4 pont)
49/66
Városok Viadala JUNIOR, 1992-93. tavasz, második forduló 1. Három pozitív szám összegét megmondtuk Istvánnak, szorzatukat pedig Péternek. "Ha tudnám" mondta István, "hogy a te számod nagyobb, mint az enyém, akkor kitalálnám a három számot." "De a számom kisebb a tiednél", felelte Péter, "és a három szám x, y és z". Mi volt x, y és z? (L. Boriszov, 4 pont) 2. Az ABC háromszög AC oldalához hozzáírt kör közepe legyen O. Legyen D az ABO háromszög köréírt körének középpontja. Igazoljuk, hogy ABCD húrnégyszög. (YF. Akurlics, 4 pont) 3. Definiáljuk a * m veletet. A változók minden értékére x*x=0 és x*(y*z)=(x*y)+z. Mennyi lesz 1993*1932? (G. Galperin, 4 pont) 4. Péternek 25 osztálytársa van ( t nem számolva). Péter észrevette, hogy mindegyiknek különböz számú barátja van az osztályon belül. Hány barátja lehet Péternek? (S Tokarev, 6 pont) 5. Egy papírháromszög szögeinek aránya 1:1:7. Valamely szögfelez je mentén kettévágtuk. A kapott háromszögek egyikét valamely szögfelez je mentén kettévágtuk, és így tovább. Mutassuk meg, hogy soha nem kaphatunk a kiindulási háromszöghöz hasonlót. (AI. Galocskin, 6 pont) 6. Egy hosszú kanyargós folyó partjának bármely pontjától legfeljebb 1 km-t úszva eljuthatunk a túlpartra. Végigcsónakázhatunk-e a folyón úgy, hogy egyik parttól se legyünk soha a) 0.7 kmnél; b) 0.8 km-nél távolabb? Feltételezhetjük, hogy a part szakaszokból és körívekb l áll. (G. Kondakov, 4+4 pont) 7. Egy egyenesen van balra egy piros, jobbra egy kék pont. Bejelölhetünk két új, szomszédos pontot azonos színnel, vagy törölhetünk két meglév szomszédos azonos szín pontot. Mutassuk meg, hogy nem maradhat a végén csak két pont úgy, hogy balra egy kék, jobbra pedig egy piros. (Szomszédos két pont, ha nincs köztük más jelölt pont.) (A. Belov, 6 pont)
SENIOR, 1992-93. sz, els forduló 1. Adott egy kocka, melynek élei n cm hosszúak. Rendelkezésünkre áll egy nagyon hosszú, 1 cm széles ragasztószalag. Ezzel szeretnénk beragasztani a kockát. A szalag mindig valamely éllel párhuzamosan kell, hogy fusson, de éleket keresztezhetünk vele szomszédos lapok találkozásánál. A szalag nem lóghat az éleken túl és csúcsot nem takarhat. A szalag hány darabjával fedhet be teljesen a kocka? (n poz. egész) (A Spivak, 4 pont) 2. Egy végtelen nagy táblára négyzeteket rajzolunk spirális sorrendben: Az els 1 cm oldalú jobb oldali függ leges éléhez illeszkedik a második, szintén 1 cm oldalú.; a harmadik (2 cm oldalú) az els és második fels oldalához csatlakozik; a negyedik (3 cm oldalú) az els és második bal oldalához csatlakozik; az ötödik (5 cm oldalú) a 4. 1. és 2. alsó oldalához csatlakozik; a hatodik (8 cm oldalú) az eddigiek jobb oldalához és így tovább. Minden további négyzetnek a korábbi állapot téglalapjával van egy közös oldala. Mutassuk meg, hogy a négyzetek középpontjai az els kivételével mind két egyenes mentén helyezkednek el. (A Andjans, 4 pont) y=c2- x-d . Legyenek c és d paraméterek, 3. Adott véges sok függvény a következ alakban: c pozitív. Most definiálunk egy f(x) függvényt az [a, b] intervallumon. Az intervallum tetsz leges x elemére f(x) értéke legyen az adott függvények x helyen felvett értékeinek maximuma. Tudjuk, hogy f(a)=f(b). Mutassuk meg, hogy azon intervallumok összhossza, ahol f n egyenl azzal, ahol csökken, azaz mindkett (b-a)/2. (NB Vasziljev, 4 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 1+3 pont.
50/66
Városok Viadala SENIOR, 1992-93. sz, második forduló 1. Mutassuk meg, hogy létezik 100 különböz egész olyan sorozata, hogy bármely kett szomszédosnak négyzetösszege négyzetszám legyen. (S Tokarev, 4 pont) 2. Van n3 darab egységkockánk, mindegyik fekete, vagy fehér. Szeretnénk ezekb l egy olyan kockát készíteni, melynek élei n egységnyiek úgy, hogy minden kis kocka pontosan három lapjához, t le különböz szín kocka csatlakozzon. Mely n értékekre lehetséges ez? (S Tokarev, 4 pont) 3. Az a(n) sorozatra a(1)=1, a (n + 1) = a (n ) + a (n ) . (n=1,2,3,…) Hány egymilliónál kisebb négyzetszámot találhatunk a sorozat els elemei között? (A Andjans, 6 pont) 4. Van egy n×m-es táblázatunk. Az n⋅m darab elemének a következ permutációi megengedettek: tetsz leges permutáció, mely minden elemet a saját sorában hagy „vízszintes kavarodás”, illetve olyan, mely minden elemet a saját oszlopában hagy „függ leges kavarodás”. Keressük meg azt a k számot, melyre az m⋅n darab elem tetsz leges permutációja elérhet k megengedett kavarodással, de k-nál kevesebbel nem mindegyik. (A Andjans, 8 pont) 5. Az ABC háromszög köréírt körét az A-ból induló bels szögfelez D-ben metszi. Legyen P a beírt kör középpontjának a BC oldal felez pontjára való tükörképe. A köréírt kört a PD egyenese másodszor M-ben metszi. Mutassuk meg, hogy az AM, BM, CM szakaszok közül az egyik a másik kett összege. (VO Gordon, 8 pont) 6. Vegyünk egy 100 él poliédert. a) Ha a poliéder konvex, legfeljebb hány éle metszhet el egy olyan síkkal, mely a poliéder egyetlen csúcsára sem illeszkedik? b) Mutassuk meg, hogy ez a szám nem konvex poliéder esetén akár 96 is lehet, de nem lehet 100. (A Andjans, 4+3+2 pont)
[
]
SENIOR, 1992-1993. tavasz, els forduló 1. Keressük meg az összes olyan kett hatványt, melynek els kett hatványt kapunk. (mindez persze tízes számrendszerben)
jegyét törölve ismét egy
(A Perlin, 3 pont) 2. Az ABCD húrnégyszög AB és CD oldalegyeneseinek metszéspontja legyen M, A BC és AD oldalegyeneseké pedig N. Tudjuk, hogy BM=DN. Bizonyítsuk be, hogy CM=CN. (F Nazarov, 3 pont) 3. Leírjuk egy sorba a következ számokat: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ….., 1/1993. 1/2, 1/6, ……, 1/(1992⋅1993). Így A következ sorba a szomszédosak különbségeit: folytatva minden sorban egyel kevesebb szám lesz. Mely szám áll az utolsó sorban egyedül? (GW Leibnitz, 3 pont) 4. Van három kupac kavicsunk. Valamely kupachoz hozzátehetünk, vagy elvehetünk bel le annyi kavicsot, amennyi a másik kett ben van összesen. Például a [12,3,5]-b l lehet [12,20,5], ha a második kupachoz adunk12+5-öt, vagy lehet [4,3,5] is, ha az els b l elveszünk 3+5-öt. Az [1993,199,19] kupacokból indulva elérhet -e, hogy az egyik kupac éppen elfogyjon? (MN Gusarov, 4 pont)
51/66
Városok Viadala SENIOR, 1992-93. tavasz, második forduló 1. Egy egységnégyzet belsejében egymást nem fed kisebb négyzetek vannak. A kis négyzetek különböz méret ek lehetnek. Meghúzzuk az egységnégyzet egyik átlóját és tekintjük azon kis négyzeteket, melyeket ez az átló elmetsz. Lehet-e ezek kerületének összege nagyobb, mint 1993? (AN Volmogorov, 4 pont) 2. Az ABC háromszög AB oldalára kifele rajzolunk egy O középpontú négyzetet. Legyenek M és N rendre a BC és AC oldalak felez pontjai. BC=a és AC=b rögzített, a C-nél lev szög változhat. Legfeljebb mekkora lehet OM+ON? (IF Sarygin, 5 pont) 3. Szeretnénk k ember közt szétosztani egy örökséget. Egy örököst szegénynek nevezünk, ha 99$-nál kevesebbet, és gazdagnak, ha 10 000$-nál többet kap. Lehetnek olyan örökösök is, akik sem szegénynek, sem gazdagnak sem tekinthet k. Az örökség összege és az örökösök száma olyan, hogy bárhogy osztják szét, a gazdag örökösök összes öröksége nem lesz kevesebb, mint a szegényeké. Mutassuk meg, hogy a gazdag örökösök összesen legalább 100-szor annyit kaptak, mint a szegények összesen. (F Nazarov, 5 pont) 4. Pozitív egészeket írunk a táblára egymás után. A soron következ tagnak mindig olyannak kell lennie, hogy ne fejezhessük ki a korábbiaknak nem negatív egész együtthatós lineáris kombinációjával. Azaz az an+1-et ne írhassuk fel k1⋅a1+k2⋅a2+….+kn⋅an alakban, ahol ki számok nem negatív egészek. Mutassuk meg, hogy a sorozat nem lehet végtelen hosszú. (A. Belov, 6 pont) 5. Létezik-e olyan "darabonként lineáris" függvény, mely a [-1,1]-en értelmezett s melyre f(f(x))=-x teljesül minden x-re? (Egy függvényt nevezzünk darabonként lineárisnak, ha grafikonja véges sok pont és szakasz uniója; nem kell folytonosnak lennie. ) (6 pont) 6. A juniorok 6. feladata. Itt 3+3 pont. 7. Egy növényhatározó minden növényt ugyanazon 100 tulajdonság segítségével ír le. Minden növény egy adott tulajdonság szerint nézve vagy rendelkezik azzal, vagy nem. Két növényt "jelent sen különböz nek" tartunk, ha legalább 51 tulajdonságban eltér ek. a) Mutassuk meg, hogy a növényhatározóban nem lelhetünk 50-nél több, páronként jelent sen különböz növényt. b) Található 50 ilyen? (Dima Teresin, 4+4 pont)
52/66
Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. sz, els forduló 1. Vegyünk egy hatszöget, egy-egy számmal az oldalain és a csúcsain. Bármely csúcsra írt szám egyenl a csúcsból induló oldalakra írt számok összegével. Tegyük fel, hogy az összes oldalra írt számot és egy csúcsra írt számot leradíroztunk az ábráról. Meg tudjuk határozni azt, hogy melyik számot radíroztuk le a csúcsról? (3 pont) 2. Egy háromszög A, B, C csúcsait összekötjük a velük szemközti oldalakon lev A’, B’, C’ pontokkal, melyek nem esnek egybe a háromszög csúcsaival. Lehetséges az, hogy az AA’, BB’, CC’ szakaszok felez pontjai egy egyenesbe esnek? (3 pont) 3. Adott egy A természetes szám. Hozzáadhatunk egy számot az osztói közül (1
Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. tavasz, els forduló 1. Szerkesszünk meg egy konvex négyszöget, ha adottak oldalainak hosszai, valamint az átlók felez pontjait összeköt szakasz hossza. (3 pont) 2. 60 gyerek ment el egy nyári táborba. Bármely 10 gyerek között van legalább 3, akik ugyanabban a háztömbben laknak. Bizonyítsuk be, hogy van legalább 15 gyerek ugyanabból a háztömbb l. (4 pont) 3. Legyen O az A1A2…An konvex sokszög belsejében úgy, hogy ΟΑ1Αn∠≤ΟΑ1Α2∠≤ΟΑ2Α1∠≤ΟΑ2Α3∠≤ ... ≤ΟΑn−1Αn−2∠≤ΟΑn−1Αn∠≤ΟΑnΑn−1∠≤ΟΑnΑ1∠, ahol az összes szög hegyesszög. Bizonyítsuk be, hogy O a sokszög beírt körének középpontja. (V Proizvolov, 4 pont) 4. Tíz pénzdarab van körben elhelyezve, mindegyik fejet ábrázol (az írás van alul). Két lépés engedélyezett: a) megfordítani négy egymás melletti érmét, b) megfordítani négy érmét, amelyek így helyezkednek el: XXOXX (X egy megfordítandó érme, O érintetlen marad). Lehetséges-e ilyen lépésekkel elérni azt, hogy mind a tíz pénzen írás legyen felül? (A Tolpygo, 5 pont)
54/66
Városok Viadala JUNIOR, 1993-94. tavasz, második forduló 1. Egy kislány elfelejtette kiírni a szorzójelet két három-jegy szám közé, és egybe írta ket. Ez a hatjegy szám háromszor nagyobbnak bizonyult, mint a szorzás eredménye. Találjuk meg ezeket a számokat. (A Kovaldzhi, 3 pont) 2. Két kör metszi egymást az A és B pontokban. Érint ket húzunk a két körhöz A-ban, melyek metszik a köröket az M és N pontokban. A BM és BN egyenesek további egy-egy pontban metszik a köröket, P-ben és Q-ban. Bizonyítsuk be, hogy az MP és NQ szakaszok egyenl k. (I Nagel, 3 pont) 3. 450 parlamenti képvisel mindegyike ad egy pofont egy másik képvisel nek. Bizonyítsuk be, hogy ezek után tudnak választani egy 150 tagú bizottságot úgy, hogy k nem kaptak pofont a bizottság egyik tagjától sem. (3 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz elem között van két egyenl , ha minden sorból és oszlopból csak egy elemet választhatunk. 0 1 2 3 ... 9 9 0 1 2 ... 8 8 9 0 1 ... 7 ... 1 2 3 4 ... 0 (A Savin, 4 pont) 5. Létezik olyan konvex ötszög, melyb l egy vágással levágható egy hozzá hasonló ötszög? (S Tokarev, 5 pont) 6. A számegyenesen minden egésznél van egy lámpa egy kapcsolóval. Ha a kapcsolót megnyomjuk, az ég lámpa lekapcsolódik, míg egy nem ég felkapcsolódik. Kezdetben semelyik lámpa sem ég. Egy sablon, véges darab, egymástól egész távolságra lev lyukkal rajta, van a számegyenesen. A sablont merev testként mozgathatjuk a számegyenes mentén, és bármely meghatározott helyzetében megnyomhatjuk az összes kapcsolót, melyek elérhet k a lyukakon keresztül. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen sablonnal el tudjuk érni azt, hogy pontosan két lámpa égjen. (B Ginsburg, 5 pont) 7. Egy 10×10-es négyzethálón (amit úgy hívunk, “az öböl”), el kell helyeznünk 10 “hajót”: egy darab 1×4-es hajót, két darab 1×3-as hajót, három darab 1×2-es hajót és négy darab 1×1-es hajót. A hajóknak nem lehetnek közös pontjaik (még a sarkuk sem), de érinthetik az öböl “partját”. Bizonyítsuk be, hogy: a) a fenti sorrend szerint egymás után rakva le a hajókat, mindig lehetséges a hajók elhelyezése. b) ha fordított sorrendben helyezzük el a hajókat (a kisebbekkel kezdve), elérhet olyan helyzet, hogy a következ hajó nem fér el (mutassunk erre példát). (KN Ignatjev, 5+2 pont)
55/66
Városok Viadala SENIOR, 1993-94. sz, els forduló 1. Véges, vagy végtelen sok megoldása van a következ körében: x2+y3=z2.
egyenletnek a pozitív egészek
(3 pont) 2. Az ABC derékszög háromszög AB átfogóján van az N és M pont úgy, hogy BC=BM és AC=AN. Mutassuk meg, hogy az MCN szög 45 fokos. (3 pont) 3. Az 1,2,3, …,25 számokat beírtuk egy 5×5-ös táblázatba. Minden sorban balról jobbra növekv sorrendben vannak. Keressük meg a középs oszlopban álló számok összegének legkisebb és legnagyobb lehetséges értékét. (5 pont) 4. Péter egy furcsa dobókockát készít. Minden lapjára különböz pozitív egész kerül. A szomszédos lapok számainak eltérése legalább kett . Legalább mennyi lesz a hat szám összege? (5 pont)
SENIOR, 1993-94. sz, második forduló 1. Egy körhöz a küls C pontból érint ket húzunk, az érintési pontok A és B. Tekintsük az ABC "íves háromszöget", melyet a rövidebb AB ív és az AC és BC szakaszok határolnak. Mutassuk meg, hogy ebbe nem rajzolható CA=CB-nél hosszabb szakasz. (3 pont) 2. Felírjuk egymás mellé a számokat 1-t l n-ig: 123…91011…99100…(n). létezik olyan n, melyre mind a tíz jegy ugyanannyiszor szerepel a sorozatban? (A Andjans, 3 pont) 3. Két nem feltétlenül azonos méret szabályos háromszög metszi egymást. A csúcsaik egy hatszöget alkotnak. Az egyik háromszöget eltoljuk (de el nem forgatjuk) úgy, hogy továbbra sincs takarásban a csúcsok egyike se és még mindig metszik egymást. Igazoljuk, hogy közben a hatszög területe nem változott. (V. Proizvolov, 3 pont) 4. Egy konvex 1993 szöget hétszögekre vágtunk. A hétszögek csúcsai lehetnek az eredeti sokszög csúcsai, vagy az eredeti sokszög bels pontjai. Két hétszögnek vagy nincs közös pontja, vagy egyetlen közös csúcsuk van, vagy egy teljes oldaluk közös. Bizonyítsuk be, hogy az eredeti 1993 szögnek lesz három szomszédos oldala, melyek ugyanahhoz a hétszöghöz tartoznak. (A Kanel-Belov, 6 pont) 5. Egy négyzet sarkaiban ül egy-egy béka. Tetsz leges sorrendben ugrálnak, de egyszerre csak egy ugrik. Minden ugró a másik három béka közös súlypontjára tükrözi az induló helyét és oda ugrik. El fordulhat-e, hogy valamelyik béka ráugrik egy másikra? (A. Andjans, 6 pont) 4 3 2 6. Tudjuk, hogy a következ egyenletnek van valós gyöke: x +ax +2x +bx+1=0. Bizonyítsuk be, hogy a2+b2≥8. (A. Jegorov, 8 pont)
56/66
Városok Viadala SENIOR, 1993-94. tavasz, els forduló 1. Az ABC háromszög köréírt körének A-val átellenes pontja legyen A1. A BC oldal felez pontja legyen A0. Legyen A2 az A1 pontnak az A0-ra vonatkozó tükörképe. Hasonlóan definiáljuk a B2 és C2 pontokat. Mutassuk meg, hogy A2, B2, C2 egybeesnek. (4 pont) 2. Az a1, a2, … sorozat tagjai pozitív egészek. Tudjuk, hogy minden pozitív egész n-re az an+2x2+an+1x+an=0 egyenletnek van valós gyöke. (a) Lehet-e a sorozatnak 10 eleme? (b) Lehet-e a sorozatnak végtelen sok eleme? (A. Sapovalov, 3 pont) 3. Egy tábla csokoládén egyik irányban 8, a másikban 5 osztóvonal segíti a feldarabolást. Összesen 9×6=54 "kockára" törhet így a csoki. Két játékos felváltva törhet a csokiból egy egységnyi széles csíkot és azt megeheti. Ha valaki a végén egy két egységnyi széles csíkot széttör két darab egységnyi szélessé, akkor megeszi az egyik darabot, a másik játékos pedig a másikat. Mutassuk meg, hogy az els játékos meg tud enni legalább 6 "kockával" többet, bárhogy játszik is a másik. (R Fedorov, 4 pont) 4. A juniorok 4. feladata. Itt 4 pont. SENIOR, 1993-94. tavasz, második forduló 1. Van-e végtelen sok olyan egészekb l álló számhármas (nem feltétlenül pozitívok), melyekre 2 2 x +y +z2=x3+y3+z3? (NB. Vasziljev, 3 pont) 2. Tekintsük a 0 és 1 közötti számok azon sorozatát, melynek x utáni tagja 1-1-2x. a) Mutassuk meg, hogy amennyiben az els elem racionális, akkor a sorozat periodikus. b) Mutassuk meg, hogy amennyiben a sorozat periodikus, akkor az els elem racionális. (G. Sabat, 2+2 pont) 3. A P(x) polinomnak legalább egy együtthatója negatív. Lehetséges-e, hogy minden hatványában (P(x)n, ahol n>1 egész) csak pozitív együtthatók szerepeljenek? (O. Krizanovszkij, 4 pont) 4. Az ABC háromszög BC oldalán van a D pont. Az ABD és ACD háromszögek beírt köreinek közös küls érint je K-ban metszi AD-t. Mutassuk meg, hogy AK hossza nem függ D helyét l. (I. Sarygin, 5 pont) 5. Keressük meg a legnagyobb olyan M egészet, melynek utolsó jegye nem 0, továbbá valamely, de nem az els , jegyének letörlésével M-nek egy osztóját kapjuk. (A. Galocskin, 5 pont) 6. Az ABCD konvex négyszög szemközti oldalait meghosszabbítjuk, hogy messék egymást. BA és CD metszéspontja P, BC és AD metszéspontja pedig Q. A négyszög A-nál és C-nél lev küls szögfelez inek metszéspontja legyen K. . A négyszög B-nél és D-nél lev küls szögfelez inek metszéspontja legyen L. A P-nél és Q-nál lev szögek küls szögfelez inek metszéspontja M. Bizonyítsuk be, hogy K, L, M egy egyenesre esnek. (S. Markelov, 5 pont) 7. Legyen F egy tetsz leges síkidom (nem konvex). F húrjának nevezünk egy olyan szakaszt, melynek két végpontja F határára esik, többi pontja pedig F-nek bels pontja. a) Létezik-e mindig olyan húr, mely felezi F területét? b) Mutassuk meg, hogy mindig létezik olyan húr, hogy mindkét oldalára a síkidom területének legalább az 1/3-a kerül. c) A b)-beli 1/3 szám növelhet -e? (V. Proizvolov, 3+3+2 pont)
57/66
