MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2014. október 14. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az ponton, és egyik normálvektora a 8;1 vektor!
1; 3
(2 pont)
Megoldás: 8x y 5
(2 pont)
2) Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű kifejezéseket! A számítás menetét részletezze! 2 (2 pont) x - 3 x - 4 x 4 2x 2 7x Megoldás:
x 3 x 2 6x 9 x 4 x 4 x 2 16 2
Az összevont alak: x 7
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
3) Adott a valós számok halmazán értelmezett x x 5 4 függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont) 2
Megoldás: A helyes válasz: C
(2 pont)
4) Adja meg az alábbi egyenlet megoldásait a valós számok halmazán! (3 pont) x2 8 8 Megoldás:
x1 0 x2 4 x 3 4
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
5)
a) Mely valós számokra értelmezhető a log 2 3 x kifejezés? b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! log 2 3 x 0
(1 pont) (2 pont)
Megoldás: a) b)
x3 x2
(1 pont) (2 pont) Összesen: 3 pont 6) Az első 100 pozitív egész szám közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Adja meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott szám osztható 5-tel! (2 pont) Megoldás: A kérdéses valószínűség:
20 0, 2 . 100
(2 pont)
7) Adja meg a következő egyenlet 0;2π intervallumba eső megoldásának pontos értékét! sin x 1 (2 pont) Megoldás: x
3 2
(2 pont)
8) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett függvény értékkészletét!
x 1 cos x (2 pont)
Megoldás: A függvény értékkészlete: 0; 2
(2 pont)
9) Egy kör érinti az y tengelyt. A kör középpontja a K 2;3 pont. Adja meg a kör sugarát, és írja fel az egyenletét! (3 pont) Megoldás: A kör sugara: r 2 , 2 2 egyenlete: x 2 y 3 4
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
10) Az ábrán látható függvény értelmezési tartománya a 2; 3 intervallum, két zérushelye a 1 és 2. Az értelmezési tartományának mely részhalmazán vesz fel a függvény pozitív értéket? (2 pont) Megoldás: A kérdéses intervallum: 1; 2
(2 pont)
11) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán! 5x y 3 xy 7 Válaszát indokolja!
(4 pont)
Megoldás: A második egyenletből: y 7 x Az első egyenletbe helyettesítve: 5x 7 x 3 . x 1 y 8
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont
12) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! A: Minden valós szám abszolút értéke pozitív. 1
B: 16 4 2 C: Ha egy szám osztható 6-tal és 9-cel, akkor biztosan osztható 54-gyel is. (2 pont) Megoldás: A: Hamis B: Igaz C: Hamis
(2 pont)
II/A. 13) Egy közvélemény-kutató intézet azt a feladatot kapta, hogy két alkalommal – fél év különbséggel – mérje fel a TV-ben látható három filmsorozat nézettségi adatait. Az ábrán látható kérdőíven a válaszoló vagy azt jelölhette be, hogy az A, B, és C sorozatok közül melyiket nézi (akár többet is meg lehetett jelölni) , vagy azt, hogy egyiket sem nézi. Az első felméréskor kapott 600 kérdőív jelöléseit összesítve megállapították, hogy az A sorozat összesen 90 jelölést kapott, a B sorozat összesen 290-et, a C sorozat pedig összesen 230-at. Érdekes módon olyan válaszadó nem volt, aki pontosan két sorozatot nézett volna, viszont 55-en mindhárom sorozatot bejelölték. a) A válaszolók hány százaléka nézte az A sorozatot? (2 pont) b) Hány válaszoló nem nézte egyik sorozatot sem? (5 pont) A második felmérés során kiválogatták azokat a kérdőíveket, amelyeken valamelyik sorozat meg volt jelölve. Ezeken a három sorozat nézettségére összesen 576 jelölés érkezett. Az adatok feldolgozói minden jelölést megszámoltak, és a végeredményről az itt látható kördiagramot készítették. c) Számítsa ki, hogy az egyes sorozatok nézettségére hány jelölés érkezett! (5 pont) Megoldás: a)
Az A sorozatot a válaszolók
90 100 600
(1 pont)
15% -a nézte. (1 pont) b) A kizárólag az egyik sorozatot nézők számát megkapjuk, ha az adott sorozatot nézők számából kivonjuk a mindhárom sorozatot nézők számát (1 pont) (55) , ezért csak az a A sorozatot 35 , csak a B sorozatot 235 , csak a C sorozatot 175 válaszadó nézte. (2 pont) Így a valamelyik sorozatot nézők száma 35 235 175 55 500 , (1 pont) ezért egyik sorozatot sem nézte 600 500 100 fő. (1 pont) c) Az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek: ( az A -val jelölt 55 ) , a (2 pont) B -vel jelölt 135 , a C -vel jelölt 170 . 576 A kördiagramon 1 -nak (1 pont) 1,6 válaszadó felel meg. 360 Az A sorozatra 55 1,6 88 A B sorozatra 135 1,6 216 (2 pont) A C sorozatra 170 1,6 272 jelölés érkezett. Összesen: 12 pont
14) Egy család személyautóval Budapestről Keszthelyre utazott. Útközben lakott területen belül, országúton és autópályán is haladtak. Az utazással és az autóval kapcsolatos adatokat a következő táblázat tartalmazza: átlagsebesség átlagos benzinfogyasztás megtett út km hossza ( km ) 100 km-en (liter) óra lakott 45 40 8,3 területen belül országúton 35 70 5,1 autópályán 105 120 5,9 a) Mennyi ideig tartott az utazás? (4 pont) b) Hány liter ezen az utazáson az autó 100 km-re eső átlagfogyasztása? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) Útközben elfogyott az autóból a benzin. A legközelebbi benzinkútnál kétféle benzines kannát lehet kapni. A nagyobbra rá van írva, hogy 20 literes, a kisebbre nincs ráírva semmi. A két kanna (matematikai értelemben) hasonló, a nagyobb kanna magassága éppen kétszerese a kisebb kanna magasságának. c) Hány literes a kisebb kanna? (4 pont) Megoldás: a)
Egy adott útszakasz megtételéhez szükséges időt megkapjuk, ha az útszakasz hosszát elosztjuk az útszakon mért átlagsebességgel. (1 pont) Az egyes útszakaszok megtételéhez szükséges idő lakott területen belül: 1,125 ( óra ) országúton: 0,5 ( óra ) (2 pont) autópályán 0,875 ( óra ) . Így összesen 1,125 0,5 0,875 2, 5 óráig tartott az utazás. (1 pont) b) Az egyes útszakaszokon az autó fogyasztása 45 lakott területen belül: 8,3 3,735 ( liter ) , 100 35 országúton: (2 pont) 5,1 1,785 ( liter ) , 100 105 autópályán: 5,9 6,195 ( liter ) . 100 Az összes fogyasztás 185 km-en 11,715 liter. (1 pont) 11,715 100 km -en az átlagfogyasztás: (1 pont) 100 ( liter ) . 185 Az autó átlagfogyasztása 100 km -en kb. 6, 3 liter. (1 pont)
c)
A két test hasonló, a hasonlósági arány 1: 2 , így a térfogatok aránya 1: 8 . 20 A kisebb kanna térfogata 2, 5 liter. 8
(1 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 13 pont
15) Egy téglatest alakú akvárium egy csúcsból kiinduló élei 30 cm, 40 cm, illetve 50 cm hosszúak. a) Hány literes ez az akvárium? (A számolás során tekintsen el az oldallapok vastagságától!) (3 pont) Tekintsük azt a háromszöget, amelynek oldalait az ábrán látható téglatest három különböző hosszúságú lapátlója alkotja. b) Mekkora ennek a háromszögnek a legkisebb szöge? Válaszát fokban, egészre kerekítve adja meg! (8 pont) Megoldás:
a)
V 30 40 50 60000 cm3
b)
V 60 dm3 . Az akvárium térfogata 60 liter. Az egyes lapátlók hossza:
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
502 402 4100 64,03 cm ,
502 302 3400 58,31 cm ,
(2 pont)
302 402 50 cm . A legkisebb szög a legrövidebb oldallal van szemben. (1 pont) A legrövidebb oldallal szemközti szöget α -val jelölve, koszinusztétellel: 2500=4100+3400-2× 4100× 3400 cosα . (2 pont) Ebből cosα cosa 0,6696 . (2 pont) A háromszög legkisebb szöge: α 48 . (1 pont) Összesen: 11 pont
II/B. 16) Egy számtani sorozat első tagja 56, differenciája 4 . a) Adja meg a sorozat első 25 tagjának összegét! (2 pont) b) Számítsa ki az n értékét és a sorozat n -edik tagját, ha az első n tag összege 408. (8 pont) 25 Egy mértani sorozat első tagja10 , hányadosa 0, 01 . c) Hányadik tagja ennek a sorozatnak a 100 000? (7 pont) Megoldás: A számtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képlet alapján: 2 56 24 4 (1 pont) S25 25 2 200 (1 pont) b) A számtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képlet alapján: 2 56 n 1 4 (1 pont) 408 n . 2 A műveleteket elvégezve: 816 112n 4n 2 4n . (2 pont) 2 A másodfokú egyenlet: 4n 116n 816 0 , (1 pont) ennek gyökei, vagyis n lehetséges értékei: 12 és 17 . (2 pont) Ha n 12 , akkor a12 56 11 4 12 . (1 pont) a)
Ha n 17 , akkor a17 56 16 4 8 . c)
(1 pont)
A mértani sorozat n -edik tagjának kiszámítására vonatkozó képlet alapján: (1 pont) 100000 1025 0,01n 1 . Ebből 105 1025 102
n 1
.
(2 pont)
A hatványozás azonosságainak felhasználásával: 1020 102n 2 . (2 pont) Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt: 20 2n 2 . (1 pont) n 11 . (1 pont) Összesen: 17 pont
17) A biliárdjáték megkezdésekor az asztalon 15 darab azonos méretű, színezésű biliárdgolyót helyezünk el háromszög alakban úgy, hogy az első sorban 5 golyó legyen, a másodikban 4, a következőkben pedig 3, 2, illetve 1 golyó. (A golyók elhelyezésére vonatkozó egyéb szabályoktól tekintsünk el.) a) Hányféleképpen lehet kiválasztani a 15-ből azt az 5 golyót, amelyet majd az első sorban helyezünk el? (Az 5 golyó sorrendjét nem vesszük figyelembe.) (3 pont) b) Hányféle különböző módon lehet az első két sort kirakni, ha a 9 golyó sorrendjét is figyelembe vesszük? (3 pont) Egy biliárdasztal játékterülete téglalap alakú, mérete 194 cm × 97 cm. A játékterület középpontja felett 85 cm-rel egy olyan (pontszerűnek tekinthető) lámpa van, amely fénykúpjának a nyílásszöge 100°. c) Számítással állapítsa meg, hogy a lámpa megvilágítja-e a játékterület minden pontját! (11 pont) Megoldás:
15 15 golyóból az első sorba kerülő 5-öt 5 3003 -féleképpen lehet kiválasztani. b) A lehetséges különböző kirakások száma: 15 14 ... 8 7 1816214400 . c) Az ábra, melyen a lámpa fénykúpjának nyílásszöge, azaz α 100 , a kúp magassága m 85 cm , az alapkör sugara r . (2 pont) Szögfüggvény alkalmazása a derékszögű háromszögben: tg 50 (1 pont) r (1 pont) . m Ebből az alapkör sugara: r 101,3 cm . a)
(2 pont) (1 pont) (2 pont) (1 pont)
(1 pont)
A kérdés megválaszolásához az asztallap két legtávolabbi pontjának a távolságát kell vizsgálni, vagyis meg kell határozni a téglalap átlóinak e a hosszát. e 2 1942 972 e 216,9 cm
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
Mivel e 2r , (1 pont) ezért a lámpa nem világítja be az asztallap minden pontját. (1 pont) Összesen: 17 pont
18) Egy focicsapat 11 játékosa megérkezik az edzésre, néhányan kezet fognak egymással. (Két játékos között legfeljebb egy kézfogás történik.) Az edző felírta, hogy ki hányszor fogott kezet, és a következő számokat kapta: 0; 1; 2; 2; 2; 5; 0; 0; 4; 4; 2. a) Ábrázolja a kézfogásoknak egy lehetséges gráfját, ahol a pontok a játékosokat jelölik, és két pont között akkor van él, ha az illetők kezet fogtak az edzés előtt! (3 pont) b) Hány kézfogás történt összesen? (2 pont) Egy másik alkalommal az edző által feljegyzett 11 nemnegatív egész számról a következőket állapítottuk meg: a számok egyetlen módusza 2, mediánja 3, átlaga 4, terjedelme pedig 5 volt. c) Adjon meg a fenti feltételeknek megfelelő 11 nemnegatív egész számot! (5 pont) Az edzésen a játékosok a tizenegyesrúgást gyakorolják. Az egyik játékos 0,9 valószínűséggel lövi be a tizenegyest. d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy három rúgásból legalább egyszer betalál? A valószínűség pontos értékét adja meg! (7 pont) Megoldás: a) Több lehetőség is van, például: (3 pont) b) Annyi kézfogás történt, ahány éle van a gráfnak, (1 pont) összesen 11. (1 pont) c) A vizsgázó által megadott számok egyetlen módusza 2, (1 pont) mediánja 3, (1 pont) átlaga 4, (1 pont) terjedelme 5. (1 pont) Egy lehetséges megoldás például 2; 2; 2; 2; 2; 3; 6; 6; 6; 6; 7. d) Annak a valószínűsége, hogy a játékos nem lő be egy tizenegyest 1 0,9 0,1. Összesen három lehetőséget kell figyelembe venni. Pontosan egyszer talál be, és kétszer nem. 3 2 0,9 0,1 0,027 . 1 Pontosan kétszer talál be, és egyszer nem. 3 2 0,9 0,1 0,243 . 2
Ennek
(1 pont) (1 pont)
(1 pont) valószínűsége: (1 pont)
Ennek
valószínűsége: (1 pont)
Annak a valószínűsége, hogy mindháromszor betalál: 0,93 0,729 . A keresett valószínűség ezek összege, azaz 0,999.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
