Teorie časových řad – Test 2 – Varianta A HODNOCENÍ (max. 45 bodů z 50 možných) 1. SPECIFIKACE (12 bodů): (1) Graf průběhu proměnných (1) Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah (6) Formulace LRM: Model (správná původní představa A): Ct = β1 + β2 Yt-1 + ut (6) Model (původní představa B): Ct = β1 + β2 Yt + ut (5) Model (původní představa C): Yt = β1 + β2 Ct + ut (3) (2) Specifikace proměnných (2) Očekávaná znaménka a rozsahy hodnot 2. KVANTIFIKACE (5 bodů): (1) Odhad LRM pomocí MNČ (1) Konstanta β1 je významná až na cca. 25 % hladině, proto jí vypustíme z modelu (2) MNČ: nový model (1) Vyčíslení odhadnutého modelu 3. VERIFIKACE (7 bodů):
(1) ekonomická (1) statistická (5) ekonometrická o (1) Nulovost střední hodnoty reziduí o (1) Normalita náhodných složek o (0) Test specifikace modelu o (1) Multikolinearita o (1) Homoskedasticita o (1) Autokorelace
Následně lze volit buď 4. Ochranovu-Orcuttovu transformaci nebo 5. Modelování pomocí ARMA modelů
4. COCHRANOVA-ORCUTTOVA TRANSFORMACE (15 bodů):
(1) MNČ (1) Konstanta je opět statisticky nevýznamná a je třeba ji odstranit. (1) Nový model MNČ (1) Konečný model má tedy tvar: Ct = 0,905834 Yt + ut (7) Verifikace:
(1) ekonomická (1) statistická (5) ekonometrická • (1) Nulovost střední hodnoty reziduí • (1) Normalita náhodných složek • (0) Test specifikace modelu • (1) Multikolinearita • (1) Homoskedasticita • (1) Autokorelace (1) Uvedený model je ekonomicky, statisticky i ekonometricky správný, z toho vyplývá, že odhad MNČ je nejlepším lineárním nestranným odhadem uvedeného modelu. Na základě tohoto modelu lze tedy předpovídat. (3) Prémie za použití tohoto modelu, nutno konstatovat, že je správný. 5. ARMA MODEL (15 bodů):
(1) Test jednotkových kořenů pro Yt: (1) Test jednotkových kořenů pro Ct: (1) Kořeny leží vně jednotkového kruhu, řady jsou tedy slabě stacionární, lze modelovat ARMA modely (1) Yt … AR(1) proces, corelogram (1) Ct … AR(1) proces, corelogram (1) Model: Ct = β1 + β2 Ct–1 + β3 Yt + β4 Yt–1 + ut (1) Odhad MNČ (1) Konstanta je statisticky nevýznamná a je třeba ji z modelu odstranit. (1) Nový odhad MNČ (1) Konečný model: Ct = 0,760782 Ct–1 + 0,716479 Yt – 0,493507 Yt–1 + ut (5) VERIFIKACE modelu: (1) ekonomická (1) statistická (3) ekonometrická • (1) Nulovost střední hodnoty reziduí • (1) Normalita náhodných složek • (1) Normalita reziduí
6. APLIKACE – PŘEDPOVĚĎ (9 bodů):
(1) Odhadnutý model má tvar: a) (C-O) Ct = 0,905834 Yt + ut b) (ARMA) Ct = 0,760782 Ct–1 + 0,716479 Yt – 0,493507 Yt–1 + ut
(1) V obou případech je třeba provést odhad vývoje příjmu Yt (nicméně pro ARMA to GRETL zvládne sám) – v obou modelech jsou výsledné předpovědi Ct identické: a) (7) C-O transformace (1) model Yt – AR(1):
rok 1986 1987 1988 1989 1990
(1) Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit – nový model. (1) Platí tedy: Yt = 1,03039 Yt-1 + ut (1) Předpověď Yt (1) Graf Yt (1) Předpověď Ct (1) Graf Ct Yt
Ct
2585,25 2663,82 2744,77 2828,18 2914,13
2365,60 2427,17 2494,77 2566,91 2642,72
b) (7) AR model (1) model Yt – AR(1): (1) Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit – nový model. (1) Platí tedy: Yt = 1,03039 Yt-1 + ut (1) Předpověď Yt (1) Graf Yt (1) Předpověď Ct (1) Graf Ct rok 1986 1987 1988 1989 1990
Yt
Ct
2585,24 2663,81 2744,75 2828,16 2914,11
2365,60 2427,17 2494,77 2566,91 2642,72
7. TEXT PRÁCE, ÚPRAVA A DALŠÍ PRÉMIOVÉ BODY (max. 2 body):
Řešení Řešení: Y = příjem C = spotřeba 1. SPECIFIKACE (12): Graf průběhu proměnných:
Obě řady se chovají stejně, lze předpokládat jejich lineární vztah. Formulace LRM: Model (správná původní představa A): Ct = β1 + β2 Yt-1 + ut Model (původní představa B): Ct = β1 + β2 Yt + ut Specifikace proměnných: A) Ct – výše úspor, endogenní, [36x1] Yt-1 – výše příjmu, predeterminovaná, [36x1] B)
Ct – výše úspor, endogenní, [36x1] Yt – výše příjmu, exogenní, [36x1]
Očekávaná znaménka a rozsahy hodnot: β1 ≤ 0 0 < β2 < 1
2. KVANTIFIKACE (5): Odhad LRM pomocí MNČ: Ct = β1 + β2 Yt + ut
Konstanta β1 je významná až na cca. 25 % hladině, proto jí vypustíme z modelu.
Odhad LRM bez konstanty pomocí MNČ: Ct = 0,904860 Yt
3. VERIFIKACE (7): a) ekonomická – člověk spotřebuje v daném období přibližně 90% z příjmu tohoto období, což je v souladu s ekonomickými předpoklady b) statistická • odhadnutý regresní koeficient b2 je statisticky významný i na 1% hladině • koeficient vícenásobné determinace a korigovaného koeficientu vícenásobné determinace jsou statisticky významné (F-test) • usuzujeme, že je model velmi kvalitní s vysokou vypovídací schopností. c) ekonometrická • Nulovost střední hodnoty reziduí: E(ei) = 1,20697 … není sice ≈ 0, ale vzhledem k hodnotám Y, C je odchylka nevýznamná • Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů): 0.03 uhat2 N(1,207 18,888)
Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 3,999 pvalue = 0,13540
0.025
Density
0.02
0.015
0.01
0.005
0 -60
-40
-20
0
20
40
60
uhat2
Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 3,999 with p-value 0,13540
Bohužel ani na 10% hladině ji nelze předpokládat, ale těžko si s ní poradíme.
•
Test specifikace modelu
Test statistic: F = 16,112940, with p-value = P(F(2,33) > 16,1129) = 1,31e-005
Model je statisticky významný i na 1% hladině významnosti a lze předpokládat správnou specifikaci. • Multikolinearita není přítomna, protože máme jen jednu vysvětlující proměnnou, která nemá s čím být lineárně závislá. • Homoskedasticita: Spearmanův test nebo Whiteův test, oba testy prokazují homoskedasticitu • Autokorelace: Durbin-Watson test autokorelace: ρ = 0,594608 > 0 … usuzujeme na pozitivní autokorelaci 1. řádu d = 0,815466 dL = 1,4019 dH = 1,5191 d < dL … autokorelace potvrzena -> ARMA model nebo C-O či PW transformace (stačí jeden z nich, netřeba oba)
4. COCHRANOVA-ORCUTTOVA TRANSFORMACE (15):
Odhad MNČ Konstanta je opět statisticky nevýznamná a je třeba ji odstranit. Konečný model má tedy tvar: Ct = 0,905834 Yt + ut
Verifikace: a) ekonomická – člověk spotřebuje v daném období přibližně 90,5% z příjmu tohoto období, což je v souladu s ekonomickými předpoklady b) statistická • odhadnutý regresní koeficient b2 je statisticky významný i na 1% hladině • koeficient vícenásobné determinace a korigovaného koeficientu vícenásobné determinace jsou statisticky významné (F-test) • usuzujeme, že je model velmi kvalitní s vysokou vypovídací schopností.
c) ekonometrická • Nulovost střední hodnoty reziduí: E(ei) = 3,21571e-013 … lze považovat za 0. • Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů): 0.03 uhat6 N(3,2157e-013 15,991)
Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 8,331 pvalue = 0,01553
0.025
Density
0.02
0.015
0.01
0.005
0 -60
-40
-20
0
20
40
uhat6
Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 8,331 with p-value 0,01553
Na 2% hladině lze předpokládat normalitu reziduí.
• Test specifikace modelu Model již byl testován na specifikaci v předchozím kroku a je správný • Multikolinearita Není přítomna, protože máme jen jednu vysvětlující proměnnou, která nemá s čím být lineárně závislá. • Homoskedasticita: oba testy prokazují homoskedasticitu • Autokorelace: Durbin-Watson test autokorelace: ρ = -0,0781668 ≈ 0 … usuzujeme na pozitivní autokorelaci 1. řádu d = 1,96273 dL = 1,4019 dH = 1,5191 d ≈ 2, dH < d < 4 – dH … sériová nezávislost
Uvedený model je ekonomicky, statisticky i ekonometricky správný, z toho vyplývá, že odhad MNČ je nejlepším lineárním nestranným odhadem uvedeného modelu. Na základě tohoto modelu lze tedy předpovídat.
5. ARMA MODEL (15): Test jednotkových kořenů pro Yt: Augmented Dickey-Fuller tests, order 1, for Y sample size 39 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,007 estimated value of (a - 1): 0,0278694 test statistic: tau_nc(1) = 4,87748 asymptotic p-value 1 test with constant model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,002 estimated value of (a - 1): 0,0189882 test statistic: tau_c(1) = 2,16059 asymptotic p-value 0,9999 P-values based on MacKinnon (JAE, 1996)
Test jednotkových kořenů pro Ct: Augmented Dickey-Fuller tests, order 1, for C sample size 34 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant model: (1 - L)y = (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,107 estimated value of (a - 1): 0,0217694 test statistic: tau_nc(1) = 3,56745 asymptotic p-value 0,9999 test with constant model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0,105 estimated value of (a - 1): 0,0139959 test statistic: tau_c(1) = 1,34133 asymptotic p-value 0,9989 P-values based on MacKinnon (JAE, 1996)
Kořeny leží vně jednotkového kruhu, řady jsou tedy slabě stacionární, lze modelovat ARMA modely
Yt … AR(1) proces: Autocorrelation function for Y ACF for Y 1
LAG
ACF
1 2 3 4 5 6 7 8
0,9264 0,8536 0,7817 0,7111 0,6413 0,5735 0,5047 0,4417
PACF
Q-stat. [p-value]
+- 1,96/T^0,5
0.5 0
*** *** *** *** *** *** *** ***
0,9264 *** -0,0331 -0,0323 -0,0314 -0,0350 -0,0284 -0,0504 -0,0043
37,8275 70,7626 99,1117 123,2037 143,3455 159,9152 173,1238 183,5459
[0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000]
-0.5 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lag
PACF for Y 1
+- 1,96/T^0,5
0.5 0 -0.5 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lag
Ct … AR(1) proces: Autocorrelation function for C ACF for C
LAG
ACF
PACF
Q-stat. [p-value]
1
+- 1,96/T^0,5
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8
0,9182 0,8359 0,7581 0,6863 0,6118 0,5365 0,4546 0,3709
*** *** *** *** *** *** *** **
0,9182 *** -0,0451 -0,0165 -0,0063 -0,0593 -0,0498 -0,0903 -0,0694
32,9494 61,0647 84,8912 105,0271 121,5461 134,6708 144,4214 151,1434
[0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000] [0,000]
0 -0.5 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lag
PACF for C 1
+- 1,96/T^0,5
0.5 0 -0.5 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
lag
Nový model: Ct = β1 + β2 Ct–1 + β3 Yt + β4 Yt–1 + ut
Odhad MNČ Konstanta je statisticky nevýznamná a je třeba ji z modelu odstranit. Nový odhad bez konstanty Konečný model: Ct = 0,760782 Ct–1 + 0,716479 Yt – 0,493507 Yt–1 + ut
VERIFIKACE modelu: a)
ekonomická vyšší spotřeba v předchozím období znamená vyšší spotřebu v současnosti vyšší současné příjmy způsobí vyšší současnou spotřebu vyšší předchozí příjmy (znamenají nákup zásob v předchozích období a tedy nižší současnou potřebu a tak) způsobí nižší současnou spotřebu všechny koeficienty jsou v absolutní hodnotě mezi nulou a jedničkou, což je v souladu s obecnými předpoklady
b) statistická • všechny odhadnuté regresní koeficienty jsou statisticky významné i na 1% hladině c) ekonometrická
8
9
Nulovost střední hodnoty reziduí: E(ei) = 0,170695 … nelze zodpovědně považovat za 0, nicméně vzhledem k hodnotám proměnných ji lze považovat za zanedbatelnou. Normalita náhodných složek (nutná, neboť jinak nelze brát v úvahu výsledky testů):
0.03 uhat11 N(0,1707 15,487)
Test statistic for normality: Chi-squared(2) = 1,307 pvalue = 0,52011
0.025
Density
0.02
0.015
0.01
0.005
0 -40
-20
0
20
40
uhat11
Test for null hypothesis of normal distribution: Chi-square(2) = 1,307 with p-value 0,52011
Bohužel ani na 10% hladině ji nelze předpokládat, je třeba brát výsledky testů s rezervou.
6. APLIKACE – PŘEDPOVĚĎ (9):
Odhadnutý model má tvar: a) (C-O) Ct = 0,905834 Yt + ut b) (ARMA) Ct = 0,760782 Ct–1 + 0,716479 Yt – 0,493507 Yt–1 + ut
V obou případech je třeba provést odhad vývoje příjmu Yt (nicméně pro ARMA to GRETL zvládne sám) – v obou modelech jsou výsledné předpovědi Ct identické:
a) C-O transformace Již bylo ukázáno, že Yt lze modelovat pomocí AR(1): Odhad MNČ Konstanta je statisticky nevýznamná, je třeba ji odstranit. Model 2: ARMA estimates using the 35 observations 1951-1985 Estimated using BHHH method (conditional ML) Dependent variable: Y VARIABLE
COEFFICIENT
phi_1
STDERROR
1,03039
0,00276997
T STAT 371,986
P-VALUE <0,00001 ***
Mean of dependent variable = 1578,56 Standard deviation of dep. var. = 535,642 Mean of innovations = 2,58415 Variance of innovations = 995,347 Log-likelihood = -170,46695 Akaike information criterion (AIC) = 344,934 Schwarz Bayesian criterion (BIC) = 348,045 Hannan-Quinn criterion (HQC) = 346,008
Real Imaginary Modulus Frequency ----------------------------------------------------------AR Root 1 0,9705 0,0000 0,9705 0,0000 -----------------------------------------------------------
Platí tedy: Yt = 1,03039 Yt-1 + ut rok 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Yt 2509,00 2585,25 2663,82 2744,77 2828,18 2914,13
Yt-1 2239,90 2509,00 2585,25 2663,82 2744,77 2828,18
3500 Y fitted 95 percent confidence interval
3000
2500
2000
1500
1000
500 1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Uvedených 5 předpovědí doplníme nakonec řady Yt (a uděláme znovu C-O transformaci pro MNČ, abychom z GRETLu dostali předpověď). Nyní již lze podle vztahu Ct = 0,905834 Yt + ut předpovědět chování Ct:
rok 1986 1987 1988 1989 1990
Yt
Ct
2585,25 2663,82 2744,77 2828,18 2914,13
2365,60 2427,17 2494,77 2566,91 2642,72
2800 C fitted 95 percent confidence interval
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600 1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
b) AR model 2800
rok 1986 1987 1988 1989 1990
Yt 2585,24 2663,81 2744,75 2828,16 2914,11
Ct 2365,60 2427,17 2494,77 2566,91 2642,72
C fitted 95 percent confidence interval
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600 1950
1955
1960
1965
7. TEXT PRÁCE, ÚPRAVA A DALŠÍ PRÉMIOVÉ BODY (2):
1970
1975
1980
1985
1990
