TEOREMA PEMBATASAN DIMENSI DUA
Hendra Gunawan Jurusan Matematika ITB Jl. Ganesha 10 Bandung
Abstrak Dalam makalah ini kami buktikan teorema pembatasan dimensi dua dengan menggunakan ketaksamaan Babenko-Hausdorff-Young dan Hardy-Littlewood-Sobolev. Abstract In this paper we prove the two-dimensional restriction theorem using the Babenko-HausdorffYoung and the Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities. Pendahuluan Untuk sebarang λ > 0, didefinisikan operator integral berosilasi Tλ, yang memetakan fungsi pada Rn-1 ke fungsi Rn, sebagai berikut Tλ f (ξ ) = ∫ n −1 e iλΦ ( x ,ξ )ψ ( x, ξ ) f ( x)dx, ξ∈R n . R
Di sini Φ merupakan fungsi fasa yang mulus (smooth), bernilai real, dan memenuhi suatu persyaratan non-degeneracy; sementara ψ adalah fungsi yang mulus dan mempunyai tumpuan (support) kompak dalam x dan ξ. Maka5) (lihat hal 375), kita mempunyai estimasi
Tλ f
Lq ( R n )
≤Cλ
−
n q
f
Lp ( R n −1 )
,
untuk 1 ≤ p ≤ 2 dan q = ⎛⎜ n+1 ⎞⎟ p ′ (p' menyatakan eksponen dual p, yakni 1p + 1 = 1). Dengan p′ ⎝ n−1 ⎠ hasil ini, kita dapat membuktikan teorema pembatasan berikut Teorema5) Misalkan S ⊂ Rn suatu manifold berdimensi n-1 dengan kurvatur Gauss tak nol dimana-mana, dan misalkan S0 himpunan bagian kompak dari S. Maka, 1 q
⎛ ⎞ ⎜ ∫S fˆ (ξ ) dσ (ξ ) ⎟ ≤C S0 f ⎝ 0 ⎠ q
Lp ( R n )
,
untuk 1 ≤ p ≤ 2nn++32 dan q = ⎛⎜ n−1 ⎞⎟ p ′ . ⎝ n+1 ⎠
Untuk n = 2, hasil di atas tidak optimal: daerah nilai p masih dapat diperluas lagi. Di bawah ini kami sajikan hasilnya.
15
16
JMS Vol. 1. No 2, Oktober 1996
Teorema Pembatasan Dimensi Dua. Misalkan Γ suatu kurva mulus di R2 (φ" kontinue) dengan parametrisasi Γ = {(t , φ (t )) : t ∈ [0,1]} dengan φ(0) = φ'(0) = 0 dan φ" (t) ≠ 0 untuk setiap t ∈ [0,1]. Definisikan operator R sebagai berikut Rf (ξ ) = ∫ 2 e −2πiξ ⋅ξ f ( x)dx, ξ∈Γ , R
untuk sebarang fungsi mulus f pada R2. Rf merupakan pembatasan transformasi Fourier f pada Γ. Kita mempunyai teorema berikut. Teorema 3,6) Ketaksamaan Rf
Lq ( Γ )
≤ C p ,q f
Lp ( R 2 )
berlaku untuk 1 ≤ p 〈 dan 3q = p ′ . 4 3
Perhatikan bahwa daerah nilai p pada teorema di atas lebih luas daripada daerah nilai p pada teorema sebelumnya. Dalam buku5), teorema di atas dibuktikan dengan memanfaatkan estimasi untuk Tλ. Kami sekarang akan membuktikannya langsung dengan menggunakan ketaksamaan BabenkoHausdorff-Young dan Hardy-Littlewood-Sobolev, seperti yang disarankan oleh4). Simak bahwa bukti yang kami berikan menawarkan konstanta Cp,q yang lebih baik. Bukti Teorema. Mengingat bahwa sebuah operator terbatas jika dan hanya jika adjoint-nya terbatas, dan bahwa norma mereka sama, cukup kita buktikan ketaksamaan yang ekivalen dengan ketaksamaan di atas, yaitu Sf Lq ( R 2 ) ≤ C p,q f Lp ( Γ ) , dengan S = R* menyatakan adjoint R, yakni Sf ( x) = ∫ e 2πx⋅ξ f (ξ )dξ , x ∈R 2 . Γ
Catat bahwa kita telah menamai kembali p dan q yang muncul di atas. Menggunakan parametrisasi untuk Γ, kita dapat menuliskan 1
Sf ( x1 , x 2 ) =∫ e 2πi ( x1t + x2φ (t )) F (t )dt 0
dengan F ( t ) = f ( t , φ ( t ))(1 + φ ′ ( t ) 2 )1/ 2 Lalu tinjau
JMS Vol. 1. No.2, Oktober 1996
17
1 1
( Sf ) 2 ( x1 , x 2 ) = ∫ ∫ e 2πi ( x1 (t1 +t2 )+ x2 (φ (t1 )+φ (t2 )) F (t1 ) F (t 2 )dt1 dt 2 . 0 0
Selanjutnya lakukan perubahan variabel u1 = t1 + t2 dan u2 = φ( t1 ) + φ( t2 ) Di sini
J=
1 1 ∂( u1 , u2 ) = = φ ′ ( t 2 ) − φ ′ ( t1 ). ∂( t1 , t2 ) φ′ ( t1 ) φ ′ ( t2 )
Untuk t1 ≠ t2, kita mempunyai φ ′ ( t 2 ) − φ ′ ( t1 ) = φ ′′ ( τ ) ≥ CΓ 〉 0, t 2 − t1 dan karenanya φ′ ( t2 ) − φ′ ( t1 ) ≥ CΓ t2 − t1 . Mengingat pemetaan (t1,t2) → (u1,u2) merupakan pemetaan dua-ke-satu, maka kita peroleh ( Sf ) 2 ( x) = ∫ e 2πix⋅u G(u )du, D
untuk suatu daerah D ⊂ R2, dengan 2 F ( t1 ) F ( t 2 ) G ( u1 , u2 ) = , t1 = t1 ( u1 , u2 ), t 2 = t 2 ( u1 , u2 ). φ ′ ( t1 ) − φ ′ ( t2 ) Jadi, kita peroleh ( Sf ) 2 = ( G$0 ) ~ , dengan G0 ( u) = G ( u) jika u ∈ D = 0 jika u ∉ D, dan ~ menyatakan refleksi. Menggunakan ketaksamaan Babenko-Hausdorff-Young, kita peroleh Gˆ 0 r ′ 2 ≤ Br2 G0 Lr ( R 2 ), L (R )
(
untuk 1 ≤ r ≤ 2, dengan Br = r 1 / r / r ′1 / r ′
Sf
2 L2 r ′ ( R 2 )
≤ Br2
(∫
r
G (u ) du
D
)
1/ 2
)
1/ r
. Ketaksamaan ini ekivalen dengan
,
untuk 1 ≤ r ≤ 2. Tetapi
∫
D
1 1
G (u ) du = ∫ r
∫
r
r
F (t1 ) F (t 2 ) J
0 0
1 1
≤ CΓ ∫
∫
0 0
r
1− r
F (t1 ) t1 − t 2
dt1 dt 2
1− r
r
dt1 F (t 2 ) dt 2 .
Menurut ketaksamaan Hölder, ⎛ 1 ⎜⎜ ∫ G ( u ) du C ≤ Γ ∫D ⎝ 0 asalkan 1s + s1′ = 1, dengan s, s' ≥ r
1 / s′
1/ s s′ ⎛⎜ 1 F (t ) r t − t 1− r dt ⎞⎟ dt ⎞⎟ ⎛⎜ 1 F (t ) r sdt ⎞⎟ , 2 2 1 1 2 1 2 ⎟ ⎝ ∫0 ⎠ ⎝ ∫0 ⎠ ⎠ 2 1 1. Dalam hal ini kita pilih s = 3−r , sehingga s ′ = 1s + r − 2 .
Akibatnya, menurut ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev5) (lihat hal 354),
18
JMS Vol. 1. No 2, Oktober 1996
s′ ⎛ 1⎛ 1 ⎞ 1− r r ⎜⎜ ∫ ⎜ ∫ F (t1 ) t1 − t 2 dt1 ⎞⎟ dt 2 ⎟⎟ 0⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠
1 / s′
1 rs ≤C HLS ⎛⎜ ∫ F (t1 ) dt1 ⎞⎟ 0 ⎝ ⎠
1/ s
,
asalkan 1 ≤ r ≤ 2. Dengan demikian kita peroleh
∫
D
1 r rs G (u ) du ≤ C Γ C HLS ⎛⎜ ∫ F (t ) dt ⎞⎟ ⎝ 0 ⎠
dengan p = rs. Ini memberikan Sf L2r′ ( R 2 ) ≤ CΓ CHLS Br f
Lp ( Γ )
2/ s
≤ C Γ C HLS f
2r Lp ( Γ )
,
,
r dengan p = 32−r . Untuk 1 ≤ r 〈 2, kita mempunyai 1 ≤ p 〈 4. Jadi, mengingat 2r' = 3p', kita
peroleh Sf
Lq ( R 2 )
≤ CΓ CHLS B 3 p f 2+ p
Lp ( Γ )
,
untuk 1 ≤ p 〈 4 dan q = 3p'. Ketaksamaan ini ekivalen dengan Rf Lq ( Γ ) ≤ CΓ CHLS B 3q′ f Lp ( R 2 ) , 2+q′
4 3
untuk 1 ≤ p 〈 dan 3q = p', seperti yang dinyatakan dalam teorema.
Catatan : Perlu dicatat bahwa konstanta CΓ dan CHLS yang muncul di atas mungkin berubah dari baris ke baris, tetapi mereka selalu bergantung hanya pada kurva Γ dan pada potensial Riesz I2-r. Sementara itu, konstanta Br dikenal sebagai konstanta Babenko, yang kita tahu merupakan konstanta terkecil yang memenuhi ketaksamaan Hausdorff-Young1,2). Ucapan Terima Kasih Makalah ini mulai disusun ketika penulis berkunjung ke Department of Mathematics, Royal Institute of Technology, Stockholm, pada bulan Juni-Juli 1985. Perkenankan penulis untuk menyampaikan terima kasih kepada Dr. Amir A. Kamaly selaku counterpart selama kunjungan tersebut.
JMS Vol. 1. No.2, Oktober 1996
19
Daftar Pustaka 1. K.I. Babenko, "An Inequality in the Theory of Fourier Integrals", Amer.Math.Soc.Transl. (2) 44 (1965), 115-128. 2. W. Beckner, "Inequalities in Fourier Analysis", Annals of Math. 102 (1975), 159-182. 3. C. Fefferman, "Inequalities for Strongly Singular Convolution Operators", Acta Math. 124 (1970), 9-36. 4. P. Sjölin, "Lecture Notes on Fourier Analysis", Royal Inst. of Tech. Stockholm, 1994. 5. E.M. Stein, "Harmonic Analysis", Princeton Univ. Press, 1993. 6. A. Zygmund, "On Fourier Coefficients and Transforms of Functions of Two Variables", Studia Math. 50 (1974), 189-202.
