Státní zkouška – aritmetika
Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky – ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule, příklady tautologií. Ilustrace příklady. 2. Prvky predikátové logiky - výroková forma a její obory, skládání výrokových forem a jejich obory pravdivosti. Ilustrace příklady. 3. Kvantifikované výrokové formy – obecný a existenční výrok. Ilustrace příklady. 4. Prvky teorie množin – množina, množinové vztahy, operace s množinami a jejich vlastnosti. Ilustrace příklady. 5. Kartézský součin dvou množin, uspořádaná dvojice, distributivnost kartézského součinu ke sjednocení a průniku, grafické znázornění kartézského součinu. Ilustrace příklady. 6. Binární relace z množiny do množiny, binární relace v množině, obory relací, relace doplňková a inverzní, grafické znázornění binárních relací. Ilustrace příklady. 7. Vlastnosti binární relace v množině, relace ekvivalence a rozklad množiny, dichotomické třídění. Ilustrace příklady. 8. Relace lineárního uspořádání, lineárně uspořádaná množina, první a poslední prvek lineárně uspořádané množiny, dobře uspořádaná množina. Ilustrace příklady. 9. Relace zobrazení z množiny do množiny, typy zobrazení, prosté zobrazení množiny na množinu a jeho vlastnosti, zobrazení v množině, grafické znázornění. Ilustrace příklady. 10. Podobné zobrazení lineárně uspořádaných množin, grafické znázornění, vlastnosti podobnosti lineárně uspořádaných množin. Ilustrace příklady. 11. Konečné a nekonečné množiny, jejich modely a vlastnosti. Ilustrace příklady. 12. Binární operace v množině a její vlastnosti, inverzní operace v množině. Ilustrace příklady. 13. Algebraické struktury s jednou operací (grupoid, pologrupa, monoid, grupa). Ilustrace příklady. 14. Algebraické struktury se dvěma operacemi (polookruh, okruh, obor integrity, těleso), zbytkové třídy podle modulu m. Ilustrace příklady. 15. Izomorfismus algebraických struktur a jeho význam pro zavedení přirozených čísel. Ilustrace příklady nulového a jednotkového prvku. 16. Kardinální čísla, vztahy mezi kardinálními čísly, sčítání a násobení kardinálních čísel, komutativní polookruh kardinálních čísel s nulovým a jednotkovým prvkem. 17. Ordinální čísla, vztahy mezi ordinálními čísly, operace sčítání a násobení ordinálních čísel. 18. Peanova množina, přirozené uspořádání Peanovy množiny, grafický model a příklady vhodných číselných množin. 19. Úsek Peanovy množiny příslušný prvku a, grafický model, souvislosti mezi Peanovou množinou a úsekem Peanovy množiny. 20. Přirozená čísla jako čísla kardinální, ordinální a prvky Peanovy množiny, izomorfní ztotožnění příslušných komutativních polookruhů. 21. Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě o základu z, porovnávání čísel v z-adické číselné soustavě. Ilustrace příklady. 22. Vyjádření přirozeného čísla v dekadické soustavě, porovnávání čísel, ilustrace příklady. 23. Dělitelnost celých čísel, samozřejmí a nesamozřejmí dělitelé, sdružení dělitelé, znaky dělitelnosti. Ilustrace příklady. 24. D(a,b) a n(a,b) přirozených čísel, věty pro jejich výpočet, prvočísla a prvočíselný rozklad přirozeného čísla. Ilustrace příklady. 25. Motivace rozšiřování komutativního polookruhu přirozených čísel na obor integrity celých čísel a komutativní těleso racionálních čísel.
Státní zkouška – aritmetika
Didaktika aritmetiky 1) Numerace a její úkoly, ilustrace vhodnými příklady. 2) Binární operace v učivu matematiky na 1.st.ZŠ a její vlastnosti. Ilustrace příklady. 3) Sčítání přirozených čísel, metodika výuky. Ilustrace vhodným motivačním příkladem pro 1.ročník ZŠ. 4) Odčítání přirozených čísel, metodika výuky. Ilustrace vhodným motivačním příkladem pro 1.ročník ZŠ. 5) Násobení přirozených čísel jako vnitřní operace, metodika výuky, ilustrace motivačním příkladem kombinatorického charakteru. 6) Násobení přirozených čísel jako vnější operace, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 7) Úskalí zavádění násobení jako vnitřní a vnější operace, ilustrace vhodnými příklady. 8) Dělení přirozených čísel na stejné části, jeho charakteristika, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 9) Dělení přirozených čísel po částech, jeho charakteristika, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 10) Zavádění přirozených čísel a nuly jako čísel kardinálních, teoretický základ, motivace vhodnými příklady. 11) Zavádění přirozených čísel a nuly jako čísel ordinálních, teoretický základ, motivace vhodnými příklady. 12) Zavádění přirozených čísel a nuly jako prvky Peanovy množiny, teoretický základ, motivace vhodnými příklady. 13) Numerace a porovnávání přirozených čísel v 1. a 2.ročníku ZŠ, metodika výuky, ilustrace příklady. 14) Numerace a porovnávání přirozených čísel v 3. až 5.ročníku ZŠ, metodika výuky, ilustrace příklady. 15) Prvky výrokové logiky v učivu matematiky na 1.st.ZŠ. Ilustrace příklady v jednotlivých ročnících. 16) Prvky predikátové logiky v učivu matematiky na 1.st.ZŠ. Ilustrace příklady v jednotlivých ročnících. 17) Využití kalkulátoru v matematice na 1.st.ZŠ (pomůcka výpočetní, motivační a experimentální). Ilustrace příklady. 18) Jednoduchá slovní úloha a její postavení v matematice, metody řešení. 19) Jednoduchá slovní úloha aditivního typu, klasifikace. Ilustrace příklady. 20) Jednoduchá slovní úloha multiplikativního typu, klasifikace. Ilustrace příklady. 21) Složená slovní úloha a její postavení v matematice, metody řešení. 22) Zlomek v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, metodika zavádění zlomků. Ilustrace příklady. 23) Racionální číslo v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, metodika výuky. Ilustrace příklady. 24) Poziční a nepoziční číselné soustavy v matematice na 1.st.ZŠ, jejich charakteristika, metodika výuky. Ilustrace vhodnými příklady. 25) Relace zobrazení a podobné zobrazení v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, přímá úměrnost, metodika výuky. Ilustrace příklady.
Státní zkouška – geometrie
Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky – GEOMETRIE 1.
Axiomatická výstavba geometrie • počátky geometrie jako vědy • princip axiomatické výstavby vědecké disciplíny výstavba eukleidovské • axiomatická geometrie (Eukleides, Hilbert) • neeukleidovské geometrie (Lobačevského, Riemannova) • axiomy v učivu 1. stupně ZŠ
• • • •
vzájemná poloha přímky a kružnice vzájemná poloha dvou kružnic kruh, kruhová výseč, kruhová úseč didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
7.
Grafické porovnávání, sčítání, odčítání, násobení úseček a úhlů • grafické přenášení úseček a úhlů • grafické porovnávání úseček a úhlů • grafické sčítání a odčítání úseček a úhlů • grafické násobení úsečky a úhlu přirozeným číslem • využití redukčního úhlu pro dělení úsečky v daném poměru • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
8.
Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru • poloprostor, hraniční rovina, opačné poloprostory • vrstva • vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, tří rovin • relace rovnoběžnost v E3 a její vlastnosti • relace kolmost v E3 a její vlastnosti • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
9.
2.
Přímka a její části, vzájemná poloha přímek v rovině • úsečka, polopřímka, lomená čára • vzájemná poloha dvou přímek v E2 • relace rovnoběžnost v E2 a její vlastnosti • relace kolmost v E2 a její vlastnosti • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
3.
Polorovina, konvexní množina bodů, úhel • polorovina, hraniční přímka, opačné poloroviny • rovinný pás • konvexní, nekonvexní množina bodů • úhel, velikost úhlu, klasifikace úhlů podle velikosti • úhly styčné, vedlejší, vrcholové, souhlasné, střídavé • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
4.
Trojúhelník • trojúhelník a jeho základní prvky • vnější úhly, těžnice, těžiště, výška, ortocentrum, střední příčka • kružnice trojúhelníku vepsaná a opsaná • klasifikace trojúhelníků • shodnost a podobnost trojúhelníků • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
Volné rovnoběžné promítání • rovnoběžné promítání, průmětna, směr promítání, rovnoběžný průmět geometrického útvaru • průčelné přímky a roviny, hloubkové přímky a roviny • zobrazení těles ve volném rovnoběžném promítání, průčelná poloha, nadhled a podhled • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
5.
Mnohoúhelník • mnohoúhelník, konvexní mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník • čtyřúhelníky a jejich klasifikace • lichoběžníky a jejich vlastnosti • rovnoběžníky a jejich vlastnosti • tečnový a tětivový čtyřúhelník • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
10. Mnohostěny a jejich sítě • mnohostěn a jeho základní prvky, síť mnohostěnu • konvexní mnohostěny, Eulerova věta • pravidelné mnohostěny (platónská tělesa) • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
6.
Kružnice, kruh • kružnice, tětiva kružnice, oblouk kružnice • středový, obvodový, úsekový úhel, Thaletova věta
11. Mnohostěny hranolového typu a jejich sítě • n-boká hranolová plocha, směrová přímka, směrová rovina • n-boký hranolový prostor • n-boký hranol a jeho základní prvky
Státní zkouška – geometrie
• • •
pravidelný n-boký hranol, kolmý hranol, kosý hranol, rovnoběžnostěn, kvádr, krychle sítě těles hranolového typu didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
12. Mnohostěny jehlanového typu a jejich sítě • n-boká jehlanová plocha, vrcholová přímka, vrcholová rovina • n-boký jehlanový prostor • n-boký jehlan a jeho základní prvky • pravidelný n-boký jehlan, čtyřstěn, pravidelný čtyřstěn, komolý jehlan • sítě těles jehlanového typu • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 13. Rotační tělesa • rotační těleso, osa rotačního tělesa, směrová a vrcholová rovina • rotační válec a jeho základní prvky, rotační válcová plocha, rotační válcový prostor • rotační kužel a jeho základní prvky, rotační kuželová plocha, rotační kuželový prostor, komolý rotační kužel • koule a její základní prvky, kulová plocha • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 14. Shodná geometrická zobrazení v E2 • shodné geometrické zobrazení, shodné geometrické útvary, věty o shodnosti trojúhelníků • přehled shodných geometrických zobrazení • grupy shodných zobrazení vzhledem k operaci skládání zobrazení, grupy symetrií rovinných obrazců • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 15. Identita a osová souměrnost v E2 • definice, jednoznačná určenost, značení, samodružné útvary, konstrukce • skládání osových souměrností, význam pro klasifikaci shodností roviny (přímé a nepřímé shodnosti) • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 16. Rotace a středová souměrnost v E2 • definice, jednoznačná určenost, značení, samodružné útvary, konstrukce • konstrukce složením osových souměrností • význam středové souměrnosti pro zavedení pojmu rovnoběžník (kosočtverec, čtverec, kosodélník, obdélník) • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
17. Translace a posunutá souměrnost v E2 • definice, jednoznačná určenost, značení, samodružné útvary, konstrukce • konstrukce složením osových souměrností • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 18. Shodná geometrická zobrazení v E3 • shodné geometrické zobrazení, shodné geometrické útvary • rovinová souměrnost, rovina souměrnosti, rovinově souměrné geometrické útvary • skládání rovinových souměrností (rotace, osová souměrnost, translace, středová souměrnost) • středová souměrnost, střed souměrnosti, středově souměrné geometrické útvary • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 19. Podobná geometrická zobrazení v E2 • podobné geometrické zobrazení, podobné geometrické útvary, věty o podobnosti trojúhelníků • homotetie (definice, jednoznačná určenost, značení, samodružné útvary, konstrukce) • homotetie kružnic • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 20. Okolí bodu a odvozené pojmy • okolí bodu • omezený a neomezený geometrický útvar vnější a hraniční bod • vnitřní, geometrického útvaru • vnitřek, vnějšek a hranice geometrického útvaru • uzavřený a otevřený geometrický útvar • překrývající se a nepřekrývající se geometrické útvary • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 21. Míra geometrického útvaru • obecná definice míry geometrického útvaru • základní měřitelný geometrický útvar, měřitelný geometrický útvar • aplikace pojmu míra do E1, E2, E3 (délka úsečky, obsah obrazce, objem tělesa) • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 22. Míra geometrického útvaru v E1 • aplikace pojmu míra do E1 (délka úsečky) • Archimedův axiom
Státní zkouška – geometrie
• • •
algoritmus měření délky úsečky, souměřitelné a nesouměřitelné úsečky, jednotky délky vzdálenost dvou bodů, vzdálenost bodu od geometrického útvaru, vzdálenost dvou geometrických útvarů didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
23. Míra geometrického útvaru v E2 • aplikace pojmu míra do E2 (obsah rovinného obrazce) • jednotky obsahu a převody mezi nimi • věty o výpočtu obsahu čtverce, obdélníka, rovnoběžníka, trojúhelníka, lichoběžníka • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 24. Míra geometrického útvaru v E3 • aplikace pojmu míra do E3 (objem tělesa) • jednotky objemu a převody mezi nimi • věty o výpočtu objemu hranolu, jehlanu, rotačního válce, rotačního kužele, koule • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně 25. Jordanova teorie míry • Jordanova teorie míry v E2, výpočet obsahů obrazců • Jordanova teorie míry v E3, výpočet objemů těles • didaktika těchto témat v učivu geometrie 1. stupně
