Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 2015 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše k nasměrování, kde odpověď hledat v učebních materiálech.
Diferenciální počet
8. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce tří proměnných a vypočtěte gradient (totální p 2 2 diferenciál) funkce x + y − z 2 .
1. Definujte parciální derivaci funkce f (x, y) podle x a podle y a napište její praktický (geometrický) význam.
9. Definujte divergenci (rotaci) vektorové funkce a vypočtěte divergenci (rotaci) funkce x ~ −y ~ i+ 2 F~ = 2 k. 2 x +y x + y2
f (x + ∆x, y) − f (, y) [fx0 = lim , jedná se o směrnici tečny, ∆x→0 ∆x která leží v rovině kolmé na osu patřící k proměnné, podle níž se nederivuje nebo o poměr rychlosti růstu veličiny podle které se derivuje a funkčních hodnot, za předpokladu konstantnosti veličiny, podle které se nederivuje. ]
2xy [div F~ = , (x2 + y 2 )2 1 −2xy~i + (x2 − y 2 )~j + (x2 − y 2 )~k , ] (x2 + y 2 )2
~ = rot F
2. Vysvětlete geometrický význam parciální derivace. Co můžeme říct o funkci, která splňuje f (2, 1) = 3 a fx0 (2, 1) = 6? Vysvětlete pomocí vhodné charakteristiky vhodné přímky.
10. Vypočtěte (divergenci) rotaci vektorového pole F~ = (2xy 2 z + xy)~i + (2x2 yz + ax2 − ay 2 )~j + x2 y 2~k a zjistěte, zda může být pro nějakou hodnotu reálného parametru a nulová. (Pozn: myšleno jako identicky nulová funkce, tj. rovna nula v celém prostoru.)
[Přímka, která je rovnoběžná s rovinou xz a je v bodě [2, 1] tečná ke grafu funkce z = f (x, y) má směrnici 6. ] 3. Vysvětlete význam parciální derivace jako míry rychlosti s jakou se mění funkční hodnoty. Co můžeme říct o funkci, která splňuje f (2, 1) = 3 a fx0 (2, 1) = 6?
[ div F~ = 2y2 z + 2x2 z + y − 2ay, divergence není nulová pro žádnou hodnotu reálného parametru a, ~ = 0~i + 0~j + (2a − 1)x~k, rotace je nulová pro a = 1 ] rot F 2
[Je-li x = 2 a y = 1, y zůstává konstantní a x se mění v čase, potom se veličina z mění šestkrát rychleji než veličina x. Pro malé h platí f (2 + h, 1) ≈ 3 + 6h. ]
11. Napište vzorec pro tečnou rovinu ke grafu funkce dvou proměnných f (x, y) v bodě (x0 , y0 ) a použijte tento vzorec pro nalezení tečné roviny ke grafu funkce z = x2 + xyey v bodě [2, 0].
4. Pro funkci dvou proměnných z = xyey vypočtěte všechny parciální derivace.
[z = f (x0 , y0 ) + ∇f (x0 , y0 )(x − x0 , y − y0 )]
[viz MAW nebo WolframAlpha]
12. Napište vzorec pro lineární aproximaci funkce tří proměnných f (x, y, z) v okolí bodu (x0 , y0 , z0 ) a použijte p tento vzorec pro lineární aproximaci funkce u = x2 + y 2 − z 2 v okolí bodu [1, 1, 1].
p 5. Pro funkci tří proměnných u = x2 + y 2 − z 2 vypočtěte všechny parciální derivace. 6. Pro funkci z(x, y) = xy 2 ln(ax + y 2 ) s reálným parametrem a vypočtěte všechny parciální derivace.
[f (x, y, z) ≈ f (x0 , y0 , z0 )+∇f (x0 , y0 , z0 )(x−x0 , y−y0 , z−z0 ), f (x, y, z) ≈ x + y − z ]
∂z axy 2 [ = y2 ln(ax + y2 ) + , ∂x ax + y 2 ∂z 2xy 3 = 2xy ln(ax + y 2 ) + ] ∂y ax + y 2
13. Zformulujte Schwarzovu větu a ukažte její platnost na funkci z = x5 + x2 y 3 + x3 y 2 + 1.
7. Definujte gradient (totální diferenciál) funkce dvou proměnných a vypočtěte gradient (totální diferenciál) funkce z = xy a ey , kde a ∈ R \ {0} je reálný parametr.
∂2z ∂2z = ∂x∂y ∂y∂x
14. Najděte vektor, který je v bodě (2, 1) kolmý k vrstevnici funkce z = x2 y − xy 3 . y=1
y=1
" # ∇(x2 y − xy 3 ) x=2 = (2xy − y 3 , x2 − 3xy 2 ) x=2 = (3, −2)
∂f ∂f ∂f ∂f ∇f (x, y) = , , df = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
1
1
15. Najděte tečnu ke grafu funkce dané v okolí bodu (2, 1) implicitně rovnicí x2 y − xy 3 − 2 = 0. (použijte aparát parciálních derivací)
5. Kdy integrál druhého druhu nezávisí na integrační cestě? Vysvětlete, co pojem ”nezávislost na integrační cestě” znamená a napište, kteréZ znáte podmínky ekvivalentní tomu, že integrál F~ d~r
] y=1
C
[∇(x2 y − xy3 − 2) x=2 · (x − 2, y − 1) = 0 =⇒ 3x − 2y − 4 = 0
nezávisí na integrační cestě pro libovolnou křivku C ležící v oblasti Ω.
[Integrál nezávisí na integrační cestě pokud je jeho hodnota stejná podél všech křivek, které mají stejný počáteční i koncový bod. To nastane právě tehdy když integrál po každé uzavřené křivce je roven nule, právě tehdy když ~ existuje kmenová funkce, právě tehdy k vektorovému poli F ~ nulová. ] když je rotace pole F
1 16. Ověřte, zda je výraz x2 ydx+ y + x3 dy totálním 3 diferenciálem. Pokud ano, nalezněte jeho kmenovou funkci. ∂ y + 31 x3 ∂(x2 y) [Ano, protože = x2 = . Kmenová funkce ∂y ∂x 1 3 1 x y + y2 . ] 3 2
je
6. Rozhodněte, zda křivkový integrál Z (2x + y)dx + (x + 2y)dy C
17. Zformulujte nutnou a postačující podmínku, která udává, kdy je možno funkci dvou proměnných ϕ(x, y) zapsat ve tvaru ϕ(x, y) = f (x)g(y), kde f a g jsou vhodné funkce jedné proměnné. Naznačte hlavní myšlenku odvození této podmínky a její použití na funkci ϕ(x, y) = x2 − y 2
závisí či nezávisí na integrační cestě v R2 . [Nezávisí, protože pro P = 2x + y a Q = x + 2y máme ∂Q ∂P = , resp. rotace vektoru (2x + y)~i + (x + 2y)~j je ∂y ∂x nulová. ] 7. Rozhodněte, zda křivkový integrál Z y 2 z 3 dx + 2xyz 2 dy + 3xy 2 z 2 dz
[Je-li ϕ(x, y) nenulová na konvexní množině, platí, že funkci ϕ(x, y) je možno zapsat ve tvaru ϕ(x, y) = f (x)g(y) právě ∂ ϕ ϕ ∂x tehdy když = 0. Pokud ϕ = f (x)g(y), ∂2 ∂ ∂y ϕ ∂x∂y ϕ potom ln ϕ = ln f (x) + ln g(y) a ∂ϕ ∂ ∂ ϕ ∂x ϕ − ∂ϕ ∂ ∂ ∂y ∂x ∂x ln(ϕ) = ] ∂x ∂y ϕ2 0=
závisí či nezávisí na integrační cestě v R3 . 8. Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem prvního a druhého druhu a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů. [U křivkového integrálu prvního druhu nezáleží na orientaci křivky a pracujeme se skalární funkcí, u křivkového integrálu druhého druhu záleží na orientaci křivky a pracujeme s vektorovou funkcí. ]
2
C
Integrální počet 1. Z Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu p x x2 + y 2 ds po křivce C = {(x, y) : x =
9. Vysvětlete rozdíl mezi křivkovým integrálem a dvojným integrálem a napište alespoň jednu fyzikální aplikaci každého z těchto integrálů.
C
cos(t), y = sin(t), t ∈ [0, π]}.
[Integračním oborem je jednou křivka a jednou množina v rovině. Jeden integrál je tedy vhodný na popis problémů týkajících se dějů podél křivek a jeden na popis dějů v nějaké podoblasti ve 2D. ]
2. Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu Z ~ F d~r funkce F~ = x2~i + y 2~j po křivce C
10. Napište alespoň dvě (tři) fyzikální aplikace křivkového integrálu prvního druhu (křivkového integrálu druhého druhu, dvojného integrálu). Vždy napište, jakou funkci je nutno integrovat a jakou veličinu obdržíme jako výsledek.
C = {(x, y) : x = cos(t), y = sin(t), t ∈ [0, π]}. 2 − 3
3. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu
y 2 ds
[Viz přednášky. První druh: obsah válcové plochy, hmotnost křivky, lineární moment křivky, moment setrvačnosti křivky. Druhý druh: práce, tok křivkou, obsah množiny ve 2D. Dvojný integrál: obsah množiny, hmotnost množiny, lineární a kvadratický moment množiny ve 2D. Přesné rozepsání příslušných integrálů a vysvětlení veličin které tu figurují je v učebním textu ]
Z C
po křivce C, která je obvodem obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, 1), (0, 1). 4. Z Vypočtěte křivkový integrál druhého druhu xdx + ydy po křivce C, která je obvodem
11. Dvojný integrál . . . zapište jako dvojnásobný v polárních souřadnicích.
C
obdélníku s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, 1), (0, 1). 1
Příklady na výpočet dvojného integrálu je možno brát z písemek http://user.mendelu.cz/marik/inzmat/pisemky-IM.zip
2
12. Dvojný integrál . . . zapište jako dvojnásobný pro obě možná pořadí integrace.
3. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Napište příklad diferenciální rovnice druhého řádu, která je a příklad rovnice, která není lineární.
13. Vypočtěte dvojný integrál1 . . . 14. Vypočtěte střední hodnotu funkce f (x, y) = x2 + y 2 na jednotkovém čtverci s vrcholy (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
y 00 + ln(x)y = 0 a není například y 00 y 3 = 8. ]
[y0 + p(x)y0 + q(x)y = f (x), lineární je například
2 3
4. Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu a dokažte, že zachovává lineární kombinaci funkcí.
15. Vypočtěte střední hodnotu funkce f (x, y) = y na jednotkovém půlkruhu zadaném nerovnicemi y ≥ 0 a x2 + y 2 ≤ 1.
L[C1 y1 + C2 y2 ] = · · · = C1 L[y1 ] + C2 L[y2 ] (viz přednášky) ]
[L[u] = u0 + a(x)u,
5. Napište obecný tvar lineárního diferenciálního operátoru prvního řádu L[y]. Dokažte, že metoda variace konstanty vede k cíli, tj. ukažte, jak se tento operátor chová vzhledem k součinu dvou funkcí uv, kde u je řešení homogenní rovnice L[u] = 0. Dále odvoďte vztah, který musí splňovat funkce v tak, aby součin uv byl řešením rovnice L[y] = b(x).
na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci.
u0 v = b, tj. u0 = b/v a u =
[Lin. dif. operátor prvního řádu má obecný tvar L[u] = u0 + a(x)u. Je-li L[u] = 0, potom L[uv] = (uv)0 + auv = u0 v + uv 0 + auv = v(u0 + au) + u0 v = vL[u] + u0 v = u0 v. Má-li platit L[uv] = b, musí tedy být Z b/vdx ]
[viz přednáška]
17. Zformulujte Greenovu větu pro převod toku vektorového pole P (x, y)~i + Q(x, y)~j uzavřenou křivkou, tj. napište, jak je možno převést integrál I −Q(x, y)dx + P (x, y)dy po vhodné uzavřené
6. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y 0 = f (x)g(y). Z Z 1 dy = f (x)dx. [dy/dx = f (x)g(y) a separací: g(y) K tomu ještě konstantní řešení rovnice g(y) = 0 ]
křivce na dvojný integrál. Napište i jak jsou svázány obory integrace v obou integrálech (křivka u křivkového integrálu a množina v R2 u dvojného integrálu) a připojte jednoduchý příklad pro ilustraci.
7. Napište, jak hledáme řešení diferenciální rovnice y 00 + py 0 + qy = 0.
[viz přednáška]
[Řešíme charakteristickou rovnici λ2 + pλ + q = 0, rozlišujeme následující tři kvalitativně odlišné případy: (rozepište, viz přednáška) ]
18. Pomocí Greenovy věty vypočtěte I (−y 3 + ln(x + 2))dx + (x3 + y 2 )dy
8. Napište obecné řešení diferenciální rovnice y 0 = −a(x)y. i
9. Napište stručně, jak hledáme metodou variace konstanty obecné řešení diferenciální rovnice y 0 + a(x)y = b(x). [Nalezneme řešení rovnice L[u] = 0 a partikulární řešení rovnice L[y] = b hledáme ve tvaru y = uv, kde v je vhodná funkce. Funkci y dosadíme do rovnice a zjistíme, co musí funkce v splňovat, aby y bylo opravdu řešením. Tak nalezneme jedno řešení rovnice L[y] = b(x). Je-li y1 jedno řešení rovnice L[y] = b a y2 jedno nenulové řešení rovnice L[y] = 0, má obecné řešení rovnice L[y] = b(x) tvar y = y1 + Cy2 . ]
Diferenciální rovnice 1. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme rovnice se separovanými proměnnými. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není rovnicí se separovanými proměnnými. [Rovnice typu y0 = f (x)g(y). Například y0 = xy6 je a y 0 = sin(xy) není rovnicí se separovanými proměnnými. ]
10. Napište stručně, jak hledáme metodou integračního faktoru obecné řešení diferenciální rovnice y 0 + a(x)y = b(x).
2. Definujte, jaké diferenciální rovnici říkáme lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Napište příklad diferenciální rovnice, která je a příklad rovnice, která není lineární diferenciální rovnicí prvního řádu.
zintegrováním odstraníme derivaci a osamostatníme y. ]
[Rovnici vynásobíte výrazem e a(x)dx . Potom je možno R 0 R rovnici zapsat ve tvaru ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx , R
11. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y 0 + x2 y 2 = 0.
[Rovnice typu y0 + a(x)y = b(x), Rovnice y0 + y = 2 je a rovnice y 0 + x sin(y) = 0 není lineární. ]
3
a(x)dx
po kladně orientované křivce, která je hranicí množiny {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 16, x ≥ 0, y ≥ 0}.
R
C
y = Ce−
P (x, y)dx + Q(x, y)dy po vhodné uzavřené křivce
h
4 3π
16. Zformulujte Greenovu větu pro převod cirkulace vektorového pole P (x, y)~i + Q(x, y)~j po uzavřené křivce, tj. napište, jak je možno převést integrál I
3
5
12. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y 0 + xy = ex .
1. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y1 a y2 taková, že y1 a y2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jejich wronskián roven nule, potom je jedna z funkcí násobkem druhé.
13. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y 00 + 2y 0 + 12y = 0. 14. Nalezněte všecha řešení diferenciální rovnice y 00 + 2y 0 + y = x3 + 2.
[Stačí ukázat, že podíl funkcí je konstantní, k tomu stačí ukázat, že derivace podílu y /y2 je rovna nule. Platí 1 0 y 0 y2 − y1 y20 y1 = 1 y2 y22 a protože v čitateli je wronskián, který je podle předpokladů roven nule, je (y1 /y2 )0 = 0 a jedna funkce y1 , y2 se liší jenom konstantním násobkem. ]
15. Dokažte, že dvě funkce jsou lineárně závislé (tj. jedna je násobkem druhé) právě tehdy, když je jejich wronskián roven nule. Návod: derivujte vhodný podíl pomocí vzorečku pro derivaci podílu. [Jsou-li závislé je jejich podíl roven konstantě a derivace y 0 y1 − y1 y20 W [y1 , y2 ] y2 0 podílu je nula: = 2 = . Poslední y1 y22 y21 zlomek je nula právě tehdy, když je nulový čitatel, tj. wronskián. ]
2. Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu a její lineárně nezávislá řešení y1 a y2 taková, že y1 a y2 jsou nenulové. Ukažte, že pokud je jedna z funkcí násobkem druhé, např. y2 = ky1 pro k ∈ R, je wronskián funkcí y1,2 roven nule,
16. Horké těleso o teplotě y se v místnosti o konstantní teplotě T ochlazuje podle diferenciální rovnice y 0 = −k(y − T ) (Newtonův zákon ochlazování říká, že rychlost změny teploty je úměrná teplotnímu rozdílu). Najděte obecné řešení této rovnice. Návod: řešte jako lineární rovnici, jedno řešení uhodněte z fyzikální podstaty problému, každý krok řešení pečlivě zdůvodněte.
[ Přímým výpočtem podle definice wronskiánu W [y1 , y2 ] = y1 y20 − y10 y2 = y1 (ky1 )0 − y10 (ky1 ) = y1 ky10 − y10 ky1 = 0. ] 3. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase.
[Jedno řešení je konstantní y = T (těleso o stejné teplotě jako místnost ani nechaldne ani se neohřívá). Řešení asociované homogenní rovnice y 0 = −ky je y0 = Ce−kx , celkové obecné řešení je tedy y = Ce−kx + T . ]
[http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/prednasky/ aplikovana_matematika_2014_04_24.pdf ]
Rovnice matematické fyziky
4. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině poloměru. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru olejové skvrny v čase?
1. Napište bilanční rovnici pro rychlost změny množství stavové veličiny v množině M , víme-li, že hustota veličiny je u, tok přes hranici je popsán funkcí ~ a vnitřní zdroje v množině M nejsou. Φ 2. Napište rovnici kontinuity v integrálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam.
[http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/prednasky/ aplikovana_matematika_2014_04_24.pdf ]
3. Napište rovnici kontinuity v diferenciálním tvaru a pro každý člen zvlášť vysvětlete jeho fyzikální význam a za jakým podmínek je tento člen nulový. Napište, z čeho je rovince kontinuity odvozena.
5. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem tíhové síly a klesá přímo úměrně druhé mocnině rychlosti vlivem odporové síly vzduchu. Výsledná změna rychlosti je součtem obou faktorů (resp. rozdílem velikostí obou faktorů, které působí proti sobě) . Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového volného pádu.
4. Z čeho je odvozena difuzní rovnice? Napište toto odvození a vysvětlete všechny kroky. 5. Popište hlavní myšlenku řešení parciální diferenciální rovnice separací a ukažte tento postup na vlnové ∂2u ∂2u ∂u ∂2u rovnici = (na difuzní rovnici = ). ∂t2 ∂x2 ∂t ∂x2 Obyčejné diferenciální rovnice, ke kterým se dostanete, již řešit nemusíte.
[http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/prednasky/ aplikovana_matematika_2014_04_24.pdf ] 6. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto růst.
6. V čem se liší okrajová a počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu? Napište i příklad počáteční úlohy a okrajové úlohy. Uveďte příklad reálné situace, kdy formulujeme počáteční a kdy okrajové úlohy.
[http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/prednasky/ aplikovana_matematika_2014_04_24.pdf ]
4
Dodatek – květen 2014
4
5 [V okrajové úloze nezadáváme počáteční podmínky (funkční hodnotu a derivaci ve stejném bodě) ale dvě podmínky ve dvou různých bodech, například funkční hodnotu ve dvou bodech (Dirichletova úloha), nebo derivaci ve dvou různých bodech (Neumannova úloha). Diferenciální rovnice při řešení okrajové úlohy zpravidla obsahuje nějaký parametr. Hodnoty parametru, pro které existuje netriviální řešení počáteční úlohy se nazývají vlastní čísla. ] 8. Co rozumíme pod pojmem okrajová úloha a vlastní čísla okrajové úlohy? Jak se liší Dirichletova a Neumannova okrajová úloha
[Pro x = 0 a y = 0 dostáváme dosazením do obecného řešení 0 = C1 . Dosazením C1 = 0 do obecného řešení dostáváme y = C2 sin(λx). Dosazením x = 1 a y = 0 do předchozího vztahu dostáváme 0 = C2 sin(λ). Pokud nepovolíme C2 = 0 (zajímají nás nenulová řešení), musí platit sin(λ) = 0 a tedy λ = kπ pro k ∈ Z. ]
[http://user.mendelu.cz/marik/wiki/am/prednasky/ aplikovana_matematika_2014_04_24.pdf ] 7. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel.
9. Určete vlastní čísla okrajové úlohy y 00 + λ2 y = 0, y(0) = 0 = y(1). Návod: rovnice y 00 + λ2 y = 0 má obecné řešení y = C1 cos(λx) + C2 sin(λx).
