Tartalomjegyz ek
El}oszo
iii
1. Elemi valoszn}usegelmelet 1.1.. M}uveletek esemenyekkel . . . . . . . . 1.2.. Relativ gyakorisag es valoszn}useg . . . 1.3.. Fuggetlenseg es felteteles valoszn}useg . 1.4.. Klasszikus valoszn}usegelmelet . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
1 1 2 4 7 9
. . . . . . .
13 13 15 17 21 21 23 24
. . . . . .
27 27 29 30 33 33 34
2. Valoszn}usegi valtozok 2.1.. Diszkret valtozo eloszlasa . . . . . . . 2.2.. Eloszlasfuggveny es s}ur}usegfuggveny 2.3.. A varhato ertek es a szoras . . . . . . 2.4.. A Csebisev-egyenl}otlenseg . . . . . . 2.5.. Fuggetlenseg . . . . . . . . . . . . . . 2.6.. A nagy szamok torvenye . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3. Nevezetes valoszn}usegi valtozok 3.1.. A Poisson-eloszlas . . . . . . . . . . . . . 3.2.. Az exponencialis es a gamma eloszlasok. 3.3.. A normalis eloszlas. . . . . . . . . . . . . 3.4.. A logaritmikus normalis eloszlas. . . . . 3.5.. A khi-negyzet es a khi-eloszlas. . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Tobbdimenzios eloszlasok
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
37 i
4.1.. A tobbdimenzios eloszlas- es s}ur}usegfuggveny 4.2.. Fuggetlenseg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.. Tobb valoszn}usegi valtozo fuggvenyei . . . . . 4.4.. Kovariancia es korrelacios egyutthato . . . . . 4.5.. A tobbdimenzios normalis eloszlas . . . . . . . 4.6.. A felteteles s}ur}usegfuggveny es a regresszio . . 4.7.. A sztochasztikus folyamat . . . . . . . . . . . Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Statisztikai kovetkeztetesek 5.1.. A statisztikai minta . . . . . . . . . . . . 5.2.. Parameterbecsles . . . . . . . . . . . . . 5.3.. Normalis eloszlasu sokasagok . . . . . . . 5.4.. Hipotezis vizsgalat es statisztikai probak Gyakorlatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuggelek 1.. A Stirling-formula . . . . . . . . . . . . 2.. A gamma-fuggveny . . . . . . . . . . . 3.. A maximum-entropia elve . . . . . . . 4.. Nehany pelda a MAPLE hasznalatara .
ii
. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
37 40 41 42 44 46 48 50
. . . . .
53 53 54 59 60 62
. . . .
65 65 66 67 68
El} osz o A valoszn}usegelmelet es a matematikai statisztika viszonylag atal teruletei a matematikanak. Napjainkra a valoszn}useg fogalma a hetkoznapi eletbe is bevonult, sztochasztikus modellek hasznalata nemcsak a gazok statisztikus lerasaban es a kvantumelmeletben gyakori, hanem a kozgazdasagtantol a piackutatasig szamos teruleten. Statisztikai adatokkal lepten nyomon talalkozunk, es a kiserletek eredmenyenek kiertekelese, esetenkent pedig a kiserletek megtervezese is, statisztikai gondolkodast kvan. A szamtastechnika fejl}odese lehet}ove tette igen nagyszamu adat gyors es olcso kezeleset. Igy ter nylt hatalmas adatsorok osszefuggeseinek elemzesere. Termeszetes, hogy az l960-as evekt}ol kezdve a sztochasztika beepult a m}uszaki egyetemek tananyagaba. A matematikai ertelemben vett statisztika a valoszn}usegelmeleten alapszik, ez a tantargy ebbe a temaba ad bevezetest. Celkit}uzese sokkal inkabb az alapvet}o fogalmak tisztazasa, mint szamolasi jartassag kialaktasa. (Ma az adatokkal valo legfontosabb m}uveleteket programcsomagok vegzik el, nemely mer}om}uszer az ismetelt meresek szorasat is megadja.) Nem szabad gyelmen kvul hagyni, hogy fogalmak megertese munka- es id}oigenyes folyamat, gyakran keservesebb, mint szamolasi algoritmusok elsajattasa. A jegyzet viszonylagos rovidsege ellenere nagy anyagot olel fel. Az el}oadas kovetesenek megkonnytesere rodott, es onallo tanulasra kevesbe alkalmas. Koszonet illeti azokat a hallgatokat, akik megjegyzesei el}osegtettek a korabbi valtozat esetenkenti hianyossagainak kikuszoboleset. Az ot fejezet szorosan egymasra epul}o temakoroket targyal. A veletlen esemeny, a valoszn}useg, a felteteles valoszn}useg es a fuggetlenseg a sztochasztika sarkalatos fogalmai, az els}o fejezet targyalja azokat. Megvilagtasuk szemleletes az ermedobas es a kockadobas mindenki altal ismert hetkoznapi tapasztalatainak segtsegevel. A masodik temakor a valoszn}usegi valtozok, amelyek veletlen, azaz sztochasztikus ingadozast mutato mennyisegek matematikai modellezesere szolgalnak. Veluk kapcsolatban mindig lenyeges kerdes, hogy mi korul es milyen mertekben ingadoznak. A varhato ertek es a szoras fejezi ki ezeket a jellemz}oket. A harmadik fejezet a nevezetes valoszn}usegeloszlasok kozul csak keveset tartalmaz, az erdekl}od}o es a felhasznalo sokkal tobb konkret eloszlast talal az irodalomban. A negyedik fejezet foglalkozik tobb veletlen mennyiseg bels}o kapcsolataval, es zelt}ot ad az id}oben valtozo valoszn}usegi valtozokrol, ami a sztochasztikus folyamat nevet viseli. Fel kell hvni a gyelmet arra, hogy ebben a reszben joval tobb matematikai el}oismeret hasznalata szukseges, gy peldaul kett}os integralok kezelese esetenkent. Az otodik fejezet egy kis bepillantas a szoros ertelemben vett matematikai statisztikaba. A parameterbecsles es a statisztikai probak vannak roviden felvazolva. Az utolso ket fejezetben jelenik meg igazan a sztochasztikus szemleletmod. A jegyzet minden egyes fejezete tartalmaz megoldott es megoldasra javasolt feladatokat. El}obbiek a fejezetben pelda nev alatt talalhatok, utobbiak pedig a fejezet vegi gyakorlatok. iii
} O ELOSZ
iv
Ezek nemelyikenek a megoldasat a 6. fejezetben rtuk le. A megoldott gyakorlatokat M bt}u jeloli. A feladatmegoldas szorosan hozzatartozik az anyaghoz. A csillaggal jelolt feladatok joval nehezebbek, inkabb erdekessegkent szerepeltetjuk o}ket. Vannak a jegyzetben olyan reszek, amelyek nem tartoznak a targy torzsanyagahoz. Ezek aprobb bet}ukkel jelennek meg. Budapest, 2000. december 1. A szerz}ok
Els}o fejezet Elemi val osz n} us egelm elet A valoszn}usegelmelet alapvet}o fogalma a veletlen esemeny. A veletlen kiserlet vegrehajtasakor egy veletlen esemeny vagy bekovetkezik, vagy nem kovetkezik be. Egy szer}u pelda veletlen kiserletre az ermedobas, amelynek ket kimenetele a FEJ es az IRAS. Valoszn}usegszamtasi szempontbol veletlen kiserletnek tekinthet}o egy meres vegrehajtasa is. Ekkor esemeny lehet az, hogy az eredmeny, amit most valos szamnak feltetelezunk, egy adott intervallumba esik. Az ermedobassal ellentetben ennek a veletlen kiserletnek elvileg vegtelen sok kimenetele lehet. A veletlen kiserlet kimeneteleit elemi esemenyeknek nevezzuk. Az osszes elemi esemenyek halmaza az esemenyter, amit a valoszn}usegelmeletben rendszerint
-val jelolnek. Az ermedobas eseteben az esemenyter ket elem}u.
A.N. Kolmogorov orosz matematikus 1933-ban publikalta Berlinben a Grundbegri e der Wahrscheinlichkeitsrechnung" cm}u konyvet, es ezt az id}opontot tekintik " sokan a modern valoszn}usegelmelet kezdetenek. Valoszn}usegszamtas egyszer}u formaban ennnel sokkal regebben is volt, tobbnyire szerencsejatekokhoz kapcsolodoan. Maxwell es Boltzmann a kinetikus gazelmeletben es a termodinamikaban mar a mult szazad masodik feleben sztochasztikus meggondolasokat hasznaltak. A Kolmogorov-fele valoszn}usegelmeletben az esemenyeket az esemenyter reszhalmazaival azonostjuk. Az A esemeny azokbol az elemi esemenyekb}ol all, amelyekre az teljesul, hogy a kiserlet ilyen kimenetele mellett az A esemeny bekovetkezik. Peldaul, ha arrol van szo, hogy egy dobokockaval ketszer egymas utan dobunk, akkor az az esemeny, hogy a ket dobas osszege legalabb 10, a kovetkez}o reszhalmaza az esemenyternek:
f(6; 6); (6; 5); (5; 6); (5; 5)g Maga a teljes esemenyter egy 36 elem}u halmaz. Az esemenyek kozott van ket kituntetett: a lehetetlen es a biztos esemeny. A lehetetlen esemeny sohasem kovetkezik be, gy nincs olyan elemi esemeny, ami megvalostja, ures reszhalmazanak felel meg. A masik veglet a biztos esemeny, amit minden elemi esemeny megvalost, tehat maganak -nak felel meg. 1.1..
M} uveletek esem enyekkel
Legyen A es B ket esemeny. Az A B esemeny, amelyet A es B szorzatanak nevezunk, akkor kovetkezik be, ha mind A, mind B bekovetkezik. Halmazelmeleti nyelven az A B reszhalmaza 1
ES VALOSZ INUS } EG 1.2. RELATIV GYAKORISAG
2
-nak az A es B halmazok kozos resze. A-t es B -t egymast kizaroknak, vagy diszjunktnak mondjuk, ha szorzatuk a lehetelen esemeny. Az A + B esemeny akkor kovetkezik be, ha A es B kozul legalabb az egyik bekovetkezik. Igy A + B a halmazok egyestesevel rokon. Az A esemeny komplementere, masszoval kiegeszt}oje, az az esemeny, amely akkor valosul meg, ha A nem kovetkezik be. Jelolese: A, vagy Ac . A komplementer esemeny az
n A halmazelmeleti kulonbseg. A es A mindig egymast kizaro esemenyek. 1.1. pelda: Ha veletlen kiserlet a ketszeri kockadobas, akkor az elemi esemenyek olyan (i; j ) szamparokkal adhatok meg, amelyekre 1 i; j 6. Az esemenyter az osszes lehetseges szamparok 36 elem}u halmaza. Ha A jelenti azt az esemenyt, hogy a ket dobas osszege legalabb 10, akkor A = f(6; 6); (6; 5); (5; 6); (5; 5)g. Ha B jelenti azt az esemenyt, hogy az els}o dobas paros, akkor A B = f(6; 6); (6; 5)g, A B = f(5; 6); (5; 5)g es
A+B =
f(2; 1)(2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4; 6); (5; 5); (5; 6); (6; 2); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)g:
1.2..
Relativ gyakoris ag es val osz n} us eg
Legyen a veletlen kiserletunk a kockadobas, es jelentse A azt az esemenyt, hogy a dobas eredmenye paros. A kockadobas 20-szori megismetlesevel a kovetkez}o sorozatot kaphatjuk: 6; 3; 2; 5; 6; 6; 1; 3; 3; 6; 6; 2; 6; 4; 5; 2; 6; 5; 3; 1 A 20 dobasbol az A esemeny 11-szer valosult meg. Azt mondjuk, hogy 11 az A esemeny gyakorisaga es 11=20 = 0:55 a relativ gyakorisaga. Ha a kiserletek szamat (azaz most a dobasok szamat) noveljuk, akkor egy esemenynek a relativ gyakorisaga stabilitast mutat, es egy bizonyos ertek korul ingadozik. Ez az ertek az esemeny valoszn}usege. Az A esemeny valoszn}useget P (A)-val jeloljuk. Legyen A tetsz}oleges esemeny es A a kiegeszt}oje. Ismeteljuk meg gondolatban a veletlen kiserletet n-szer. Mondjuk A nA -szor kovetkezett be. Igy A-nak n nA -szor kellett bekovetkeznie. A valoszn}useg fenti meghatarozasa alapjan A relativ gyakorisaga = nA =n tart P (A)-hoz, es A relativ gyakorisaga = (n nA )=n tart P (A)-hez. Mivel nA n nA + = 1; n n eljutottunk a P (A) + P (A) = 1 osszefuggeshez. Ugyanez a gondolatmenet eredmenyezi a
P (A + B ) = P (A) + P (B )
( A B = ;)
(1:2:1)
osszefuggest, ha A es B egymast kizaro esemenyek. Ez alapvet}o tulajdonsaga a valoszn}usegnek, es additivitasnak nevezzuk. Tovabbi tulajdonsagok:
P (;) = 0; 0 P (A) 1 ; P ( ) = 1
(1:2:2)
3 Szavakkal: A lehetetlen esemeny valoszn}usege 0, a biztos esemeny valoszn}usege 1, es a valoszn}useg mindig 0 es 1 kozotti szam (, ami egyebkent szazalekban is kifejezhet}o). A valoszn}usegelmelet Kolmogorov-fele felepteseben (1.2.1) es (1.2.2) axiomakent szerepelnek. Matematikai, pontosabban integralelmeleti okokbol, az additivitast vegtelen sok esemeny esetere is meg kell kovetelni: 1 X 1 X Ai = P P (Ai ) (Ai Aj = ; ha i 6= j ) (1:2:3) i=1
i=1
Ha A es B nem szuksegkeppen egymast kizaroak, akkor (1.2.1) helyett az
P (A + B ) = P (A) + P (B ) P (A B )
(1:2:4)
osszefugges ervenyes. Ez a tetel az axiomakbol levezethet}o.
1.2. pelda: Egyszerre dobunk tz kockaval. Azt az esemenyt, hogy a szamok osszege legalabb 58 harom, egymast paronkent kizaro esemenyre bonthatjuk: A = (a szamok osszege 58), B = (a szamok osszege 59), C = (a szamok osszege 60). Igy P (a szamok osszege legalabb 58) = P (A) + P (B ) + P (C ): A C esemeny csak ugy valosulhat meg, ha mind a 10 kocka 6-ost mutat, gy a kedvez}o lehet}osegek szama 1. Az osszes lehet}osegek szama 6 elem 10-ed osztalyu ismetleses kombinacioinak a szama, tehat 6 + 10 1 10 (Megjegyezzuk, hogy kombinaciokat kell szamolni, mert a kockak egymastol nem megkulonboztethet}ok, tehat sorrendnek nincs is ertelme. Kombinaciokra vonatkozoan lasd az 1.4 reszt.) 1 P (A) = 15 10 A B esemeny ugy valosulhat meg, ha 9 db. 6-os es 1db. 5-os adodik. Mivel sorrendnek nincs ertelme, most is csak 1 kedvez}o lehet}oseg van: 1 P (B ) = 15 10 A C esemeny mar ketfelekeppen johet letre: 1. 8 db. 6-os es 2 db. 5-os 2. 9 db. 6-os es 1db 4-es. Tehat 2 P (C ) = : 15 10
ES FELTETELES INUS } EG 1.3. FUGGETLENS EG VALOSZ
4 1.3..
F uggetlens eg es felt eteles val osz n} us eg
Az A es B esemenyek fuggetlenek, ha az A bekovetkezese nem befolyasolja B bekovetkezesenek a valoszn}useget. Peldaul, ismetelt kockadobas eseteben az az esemeny, hogy els}ore 3-at dobunk, fuggetlen attol, hogy masodikra paratlant dobunk. Ugyanakkor, ha egy piros es fekete golyokat tartalmazo urnabol visszateves nelkul huzunk, akkor az, hogy els}ore pirosat huzunk nem fuggetlen attol, hogy a masodikra pirosat huzunk. (Tudniillik, az els}ore valo piros huzas csokkenti a masodikra valo piros huzas eselyet.) A matematikai de nicioja az A es B esemenyek fuggetlesegenek: P (A B ) = P (A)P (B ) (1:3:1)
1.3. pelda: Legyen A es B ket fuggetlen esemeny, es P (A) = 1=3, P (B ) = 1=4. Szamtsuk ki a P (A + B ) valoszn}useget! P (A + B ) = P (A) + P (B ) P (A B ) = P (A) + P (B ) P (A)P (B ) = 0:5.
Az A1 ; A2 ; : : : ; An esemenyeket (teljesen) fuggetlennek nevezzuk, ha
P (Ai Ai : : : Aik ) = P (Ai )P (Ai ) : : : P (Aik ) 1
2
1
2
(1:3:2)
valahanyszor 1 i1 < i2 < : : : < ik n. (Konkret peldaval megmutathato, hogy kett}onel tobb esemeny eseten a paronkenti fuggetlenseg nem vonja maga utan a teljes fuggetlenseget.)
1.4. pelda: Magyarorszagon a uk szuletesi aranya 51%. Mi a valoszn}usege, hogy egy 3 gyermekes magyar csaladban tobb a u, mint a lany? Tetelezzuk fel, hogy a gyermekszuletesek egymastol teljesen fuggetlenek, jeloljuk A-val azt az esemenyt, amelynek valoszn}useget keressuk, es legyen Fi , illetve Li az az esemeny, hogy az i-edik gyermek u, illetve lany. Ekkor A = F1 F2 F3 + L 1 F2 F3 + F1 L 2 F3 + F1 F2 L 3 es mivel ezek egymast kizaro esemenyek,
P (A) = P (F1 F2 F3 ) + P (L1 F2 F3 ) + P (F1 L2 F3 ) + P (F1 F2 L3 ) = 0:513 + 3 0:512 0:49 = 0:514
Termeszetesen vannak olyan helyzetek, hogy egy esemeny bekovetkezese igencsak befolyasolja egy masik esemeny bekovetkezeset. Legyen egy urnaban 5 piros es 3 fekete golyo. Kihuzunk egy golyot, majd annak visszatevese nelkul meg egyet. Legyen B az az esemeny, hogy els}ore pirosat huzunk, A pedig az, hogy a masodikra pirosat huzunk. A felteteles valoszn}useg P (AjB ), annak a valoszn}usege, hogy A bekovetkezik, feltetelezve, hogy B bekovetkezett. A konkret peldankban ezt 47 -nek gondoljuk. A felteteles valoszn}useg matematikai de nicioja
P (AjB ) =
P (A B ) vagy P (B jA) = P (B ) P (B )
(1:3:3)
5 ugyanezt az eredemenyt szolgaltatja. A P (AjB ) felteteles valoszn}useg csak akkor ertelmes, ha B pozitv valoszn}useg}u esemeny. A felteteles valoszn}useg segsegevel az A es B esemenyek fuggetlensege
P (AjB ) = P (A) formaban is kifejezhet}o. Szavakkal: A fuggetlenseg azt jelenti, hogy az egyik esemeny bekovetkezese semmilyen informaciot nem ad arrol, hogy a masik esemeny bekovetkezik-e.
1.5. pelda: Tegyuk fel, hogy egy urnaban 12 piros es 10 fekete golyo van. Az urnabol egymas utan ket golyot huzunk. Mi a valoszn}usege, hogy az els}o piros es a masodik fekete? Jeloljuk A-val azt az esemenyt, hogy az els}o huzas piros es B -vel azt, hogy a masodik 12 . Amit meg kell hat fekete. Nyilvan P (A) = 22 aroznunk az P (A B ). Felteteles valoszn}useget hasznalva: P (A B ) = P (A)P (B jA). Mivel P (B jA) = 10 odik. 21 , P (A B ) ad
1.1. tetel: (Teljes valoszn}useg tetele) Legyenek A1 ; A2 ; : : : ; An olyan esemenyek, hogy
= A1 + A2 + : : : + An
es
Ai Aj = ; ha i 6= j :
Ha P (Ai ) > 0, akkor barmely B esemenyre
P (B ) = P (B jA1 )P (A1 ) + P (B jA2 )P (A2 ) + : : : + P (B jAn )P (An ) : Bizonytas: A felteves alapjan
B A1 ; B A2 ; : : : ; B An egymast kizaro esemenyek es osszeguk B . Igy a valoszn}useg additivitasa, az (1.2.1) keplet, alapjan P (B ) = P (B A1 ) + P (B A2 ) + : : : + P (B An ) : Ha itt P (B Ai ) helyebe P (AjBi )P (Ai )-t runk, akkor eppen a bizonytando tetelt kapjuk.
Az olyan A1 ; A2 ; : : : ; An esemenyek, amelyekre a teljes valoszn}useg tetele feltetelei teljesulnek teljes esemenyrendszert alkotnak.
1.6. pelda: Tegyuk fel, hogy egy urnaban 8 piros es 10 fekete golyo van. Az urnabol egymas utan ket golyot huzunk. Mi a valoszn}usege, hogy a masodikra huzott golyo fekete? Legyen A az az esemeny, hogy az els}ore huzott golyo piros, B az az esemeny, hogy a masodikra huzott golyo fekete. A es A teljes esemenyrendszert alkotnak, es alkalmazhatjuk a teljes valoszn}useg tetelet P (B ) kiszamtasara: 10 8 9 10 P (B ) = P (B jA)P (A) + P (B jA)P (A) = + 17 18 17 18
55% :
ES FELTETELES INUS } EG 1.3. FUGGETLENS EG VALOSZ
6
Az I. urnaban k golyo van, a II. urnaban n golyo. Egymas utan huzunk golyokat, p valoszn}useggel az I. urnabol, q = 1 p valoszn}useggel a II. urnabol. Mi a valoszn}usege, hogy az I. urna urul ki el}obb? Jelolje Ak;n azt az esemenyt, hogy a k golyot tartalmazo I. urnaval es az n golyot tartalmazo II. urnaval indulva az I. urna urul ki el}obb. (Tehat eppen Ak;n valoszn}usege a kerdeses.) Legyen A az az esemeny, hogy el}oszor az I. urnabol huzunk. A teljes valoszn}seg tetele szerint P (Ak;n ) = P (Ak;n jA) P (A) + P (Ak;n jA) P (A): Itt P (A) = p es P (A) = q adott ertekek. Ugyanakkor P (Ak;n jA) annak a valoszn}usege, hogy az I. urnaban k golyoval, a II. urnaban n golyoval indulva, es el}oszor az I. urnabol huzva az I. urna urul ki el}obb. Ez a valoszn}useg ugyanaz, mint annak az esemenynek a valoszn}usege, hogy az I. urnaban k 1 golyoval, a II. urnaban n golyoval indulva az I. urna urul ki el}obb. A most megfogalmazott esemeny eppen Ak 1;n . Hasonloan latszik, hogy P (Ak;n jA) = P (Ak;n 1 ). Tehat P (Ak;n j = P (Ak 1;n ) p + P (Ak;n 1 ) q (1:3:4) E rtelemszer}uen P (Ak;0 ) = 0; P (A0;n ) = 1 es megallapodhatunk abban, hogy P (A0;0 ) = 0 (bar az A0;0 esemeny eleg ertelmetlen). Igy P (A1;n )-et (1.3.4)-bol kiszamthatjuk. P (A1;n ) = P (A0;n ) p + P (A1;n 1 ) q es P (A1;1 ) = 1 p + 0 q = p, P (A1;2 ) = 1 p + p q = (1 + q)p es gy tovabb. Tetsz}oleges k-ra es n-re a pk;n = P (Ak;n ) valoszn}useg az ugynevezett generator fuggveny modszerrel szamolhato ki. Adjuk ossze az xn pk;n = xn ppk 1;n + xn qpk;n 1 egyenleteket az n = 1; 2 : : : ertekekre. Igy azt kapjuk, hogy 1.7. pelda:
1 X
n=1
pk;n
xn
=p
1 X
n=1
pk
1;n
xn + qx
1 X
n=1
pk;n 1 xn 1 :
Ha a baloldalt egy gk (x) fuggveny Taylor-soranak gondoljuk, akkor az egyenlet a gk (x) = pgk 1 (x) + qxgk (x) alakot olti. Bel}ole p
gk (x) =
1 qx
gk 1 (x) =
k = (1 p qx)k 1 x x ;
hiszen
g0 (x) =
1 X
p2 pk g ( x ) = k 2 (1 qx)2 (1 qx)k g0 (x)
P0;n xn =
1 X xn =
x
: 1 x n=1 n=1 Tehat a gk (x) fuggvenyt sikerult meghataroznunk, es a pk;n valoszn}useg gk (x) Taylor-soraban xn egyutthatoja, amit a binomialis sorfejtes segtsegevel kiszamolva a pk;n
eredmeny adodik.
= pk
1
k q+ 1
k q2 : : : + k ( q )n 1 2 n 1
7 1.4..
Klasszikus val osz n} us egelm elet
Klasszikus valoszn}usegelmeletr}ol, vagy valoszn}usegszamtasrol akkor beszelunk, ha az
esemenyter egy veges sok elemb}ol allo halmaz, es az -t alkoto elemi esemenyek mind egyenl}o valoszn}uek. Tipikus pelda a szabalyos kocka dobasa, amikor mind a hat oldalt egyenl}o valoszn}unek gondoljuk, es termeszetesen feltetelezzuk, hogy a feldobott kocka nem gurul ugy el, hogy nem lehet leolvasni, tovabba nem esik elere, stb. Ha elemszama n, akkor minden egyes elemi esemeny 1=n valoszn}useg}u kell, hogy legyen. Ha egy A esemenyt k elemi esemeny valost meg, akkor P (A) = k=n, amit gyakran ugy fogalmazunk, hogy P (A) =
kedvez}o esetek szama jAj = osszes esetek szama j j :
(1:4:1)
(Itt jAj jeloli A szamossagat, vagyis elemei szamat.) Dobokockat okori egyiptomi srokban is talaltak, es talan a kocka o}sregi hasznalata is szerepet jatszott abban, hogy a dobokocka a veletlen szimbolumava valt. A kvantummechanika szerint bizonyos mikrovilagra vonatkozo torvenyszer}usegek statisztikus jelleg}uek. Amikor Albert Einstein ebben ketelkedett, ellentetes velemenyet gy fogalmazta meg: "God does not play dice". Fel evszazaddal kes}obb Stephen Hawking - a modern zika masik nagy zsenije - ismet a dobokockaba csomagolta velemenyet: "God not only plays dice, He also sometimes throws the dice where they cannot be seen".
1.8. pelda: Legyen A es B az a ket esemeny, amely az 1.1. peldaban van lerva. Ekkor P (A) = 4=36, mert A-t negy elemi esemeny valostja meg, es minden elemi esemeny valoszn}usege 1=36. Hasonloan, P (AB ) = 2=36, P (A + B ) = 20=36. Az A es B esemenyek nem fuggetlenek, mert P (B ) = 18=36, P (A B ) = 2=36, P (A) = 4=36 es P (AB ) = P (A)P (B ) nem teljesul.
A klasszikus valoszn}usegszamtas korebe tartozo feladatok megoldasa tobbnyire a kedvez}o es osszes esetek szamanak kombinatorikus osszeszamlalasan alapul. Ezert hasznos emlekeztetni a kovetkez}o kepletekre. Egy n elem}u halmazbol kepezhet}o k elem}u sorozatok szama
n (n 1) : : : (n k + 2) (n k + 1) =
n!
(n k)!
(1:4:2)
ha a sorozatok nem tartalmazhatnak ismetl}odest, illetve
nk
(1:4:3)
ha a sorozatok tartalmazhatnak ismetl}odest. (Az els}o esetben ismetles nelkuli, a masodikban ismetleses variaciorol beszelnek a kombinatorikaban.) (1.4.2)-nek fontos reszesete az n = k. Ekkor azt kapjuk, hogy n elem osszes lehetseges sorrendjeinek szama n!. (A nevez}oben felbukkano 0!-t 1-nek ertelmezzuk.) Az n elem}u halmaz k elemszamu reszhalmazainak szama n (n 1) : : : (n k + 2) (n k + 1) n! = = nk : (1:4:4) 1 2 : : : (k 1) k k! (n k)!
8
INUS } EGELM 1.4. KLASSZIKUS VALOSZ ELET
(Ez az ismetles nelkuli kombinaciokra vonatkozo keplet.) Az ismetleses kombinacio alapfeladata az, hogy n kulonboz}o fajta targyunk van, mindegyikb}ol tetsz}olegesen sok es k darabbol allo csoportokat kepezunk. A lehet}osegek szama n+k 1 : (1:4:5) k Ugyanazt a feladatot ugy is megfogalmazhatjuk, hogy n egymastol megkulonboztethetetlen reszecsket kell k energiaszintre elhelyezni. Ha l kulonboz}o szamunk van, az els}o fajtabol n1 , a masodikbol n2 , es gy tovabb, az l-edik fajtabol nl , akkor az n1 + n2 + : : : + nl = n darab szamot
n! n1 ! n2 ! : : : nl !
(1:4:6)
felekeppen lehet sorrendbe alltani, ismetleses permutacio. 1.9. pelda: 8 kartyara felrjuk a F, F, L, O, R, R, U, U bet}uket, majd urnaba teve o}ket egymas utan huzunk. Mi a valoszn}usege, hogy olyan sorrendben huzzuk }oket ki, hogy eppen a FURFUROL szo olvashato? A bet}uk osszes lehetseges sorrendjeinek szama 8!=2!2!2! az (1.4.6) keplet szerint. A keresett valoszn}useg ennek a reciproka.
1.10. pelda: Hanyszor kell ahhoz dobni egy kockaval, hogy 99% valoszn}useggel legyen a dobasok kozott 6-os? Ha n-szer dobunk, akkor az osszes lehet}osegek szama 6n , ennyi n tagu sorozat kepezhet}o az f1; 2; 3; 4; 5; 6g halmazbol, ismetl}odes megengedett. Ebb}ol 5n olyan sorozat van, amely nem tartalmaz 6-ost. Igy a keresett n az 5n < 0:01 6n egyenl}otlenseget elegti ki. Innen n > log 0:01= log 0:833 25:19.
1.11. pelda: A Bose-Einstein statisztikaban n egymastol megkulonboztethetetlen reszecsket kell N energia szinten elhelyezni. A lehet}osegek szama n+N 1 : N Annak a valoszn}useget akarjuk kiszamolni, hogy egy adott energiaszinten pontosan k reszecske van. A kedvez}o esetek szama annyi, ahanyfelekeppen n k reszecsket N 1 energiaszintre pakolhatunk, tehat n k N 2 N 1 es a keresett valoszn}useg . n k N 2 n + N 1 pk = : N 1 N
9
1.12. pelda: A Fermi-Dirac statisztika alapfeladata n megkulonboztethetetlen reszecskenek (peldaul elektronok) elhelyezese N energiaszinten, azzal a megkotessel, hogy egy szinten legfeljebb 1 reszecske foglal helyet (Pauli-fele kizarasi elv). A lehet}osegek szama annyi, ahanyfelekeppen az N szint kozul kivalaszthatjuk azt az n-et, amit betoltunk reszecskevel, tehat N n Annak a valoszn}usege, hogy egy adott szint be van toltve N 1 . N = n; n 1 n N ugyanis egy helyet annyifelekeppen lehet betolteni, ahanyfelekeppen a maradek N 1 energiaszintre elhelyezhetjuk a maradek n 1 reszecsket.
Gyakorlatok
1.1. gyakorlat: M Legyenek A es B egymast kizaro esemenyek, es P (A) = 0:20, P (B ) = 0:55. Szamoljuk ki a kovetkez}o valoszn}usegeket: (a) P (A), (b) P (A B ), (c) P (A + B ), (d) P (A B ) ! 1.2. gyakorlat: Annak a valoszn}usege, hogy egy eptkezes id}oben befejez}odik 17/20, annak a valoszn}usege, hogy a munkasok nem sztrajkolnak 3/4, es annak a valoszn}usege, hogy id}oben elkeszul az epulet, felteve, hogy nincsen sztrajk, 14/15. Mi a valoszn}usege annak, hogy (a) id}oben elkeszul az epulet, es nincsen sztrajk, (b) nincsen sztrajk, felteve, hogy id}oben befejez}odik a munka? 1.3. gyakorlat: M Egy dobozban 7 hibatlan es 3 selejtes termek van. Mi a valoszn}usege, hogy a termekeket veletlenszer}uen egymas utan kiveve a 3 selejtes marad utoljara? 1.4. gyakorlat: 100 alma kozul 10 ferges. valoszn}usege, hogy van koztuk ferges?
Valogatas nelkul kivalasztunk 5-ot.
Mi a
1.5. gyakorlat: M Egy kockat ismetelten feldobva mi a valoszn}usege, hogy el}obb kapunk 1-est, mint parost? 1.6. gyakorlat: M 10 kockaval dobva mi a valoszn}usege, hogy a szamok osszege legalabb 58?
1.7. gyakorlat: M Feldobunk egy kockat. Ha az eredmeny 1 vagy 2, akkor a 6 feher es 3 piros golyot tartalmazo I. urnabol huzunk, egyebkent a 4 feher es 4 piros golyot tartalmazo II. urnabol. Mi a valoszn}usege, hogy az els}ore huzott golyo feher? 1.8. gyakorlat: Haromszor dobunk fel egy szabalyos ermet. Jelentse A azt az esemenyt, hogy a dobasok kozott fej es ras is el}ofordul, B pedig azt az esemenyt, hogy legfeljebb 1 ras fordul el}o. Dontsuk el, hogy fuggetlen-e A es B !
INUS } EGELM 1.4. KLASSZIKUS VALOSZ ELET
10
1.9. gyakorlat: M Szabalyos ermevel 2n-szer dobunk. Legyen p2n annak a valoszn}usege, hogy ugyanannyi fej van mint ras. Bizonytsuk be, hogy p2n fogyo fuggvenye n-nek! 1.10. gyakorlat: Igazolja, hogy P (A) P (AB ) P (AjB ) = 1 P (B ) ha A es B esemenyek es P (B ) 6= 1!
1.11. gyakorlat: M Ket ember haromszor feldob egy-egy penzdarabot. Mi a valoszn}usege annak, hogy ugyanannyiszor kapnak fejet?
1.12. gyakorlat: M Egy csomag 32 lapos magyar kartyabol kihuzunk egy lapot, de nem nezzuk meg. Ezutan kihuzunk meg ket lapot, es azt talaljuk, hogy mindkett}o piros. Mi a valoszn}usege, hogy az els}ore huzott lap is piros?
1.13. gyakorlat: Az "egyszer}u statisztikus" soha nem ul repul}ogepre, mert olvasta, hogy a gepeken id}onkent bomba van. Egyszer baratja megis osszetalalkozik vele egy legijaraton. "Mar nem tartasz a bombatol?" - kerdezi t}ole. A statisztikus kozelebb hajol, es ugy valaszol. "Annak a valoszn}usege, hogy egy gepen ket bomba van rendkvul kicsi, ezert hoztam magammal egy bombat." Elemezze, hogy hol a hiba a statisztikus elgondolasaban! 1.14. gyakorlat: Egy urnaban 10 piros es 20 fekete golyo van. Az urnabol kihuzunk egy golyot, ha az piros, akkor visszatesszuk, ha fekete akkor nem. Ezutan meg egyszer huzunk. (a) Igaz-e, hogy az az esemeny, hogy az els}o huzas fekete fuggetlen attol az esemenyt}ol, hogy a masodik huzas fekete? (b) Mi a valoszn}usege, hogy mindket huzott golyo fekete? (c) Mi a valoszn}usege, hogy mindket huzott golyo piros? 1.15. gyakorlat: ? A legregibb valoszn}usegi problema egy 1494-ben Velenceben megjelent konyvben olvashato, es osztozkodasi problema neven valt kozismertte. Ket csapat labdajatekot jatszik, es az a csapat nyeri a tetet, amelyik el}obb eri el az n pontot. Felteves szerint annak a valoszn}usege, hogy az egyik csapat pontot nyer ugyanakkora, mint a masik csapat pontnyeresenek az eselye. Amikor az egyik csapatnak t(< n) pontja, a masiknak u(< n) pontja van, a jatek valamilyen okbol felbeszakad. Az a kerdes, hogyan kell elosztani igazsagosan, vagyis a nyeresi eselyek aranyaban, a tetet. Az osztozkodasi problema helyes megoldasat Pascal es Fermat talalta meg 1654-ben egymastol fuggetlenul. Oldja meg az osztozkodasi problemat az n = 4, t = 2 es u = 1 parametervalasztas mellett! 1.16. gyakorlat: Egy urnaban 10 piros es 30 fekete golyo van. Az urnabol egymas utan kihuzunk egy-egy golyot. Mi a valoszn}usege, hogy mindket huzott golyo fekete, ha (a) az el}oszor huzott golyot visszatesszuk a masodik huzas el}ott, (b) nem tesszuk vissza? 1.17. gyakorlat: M Egy kockaval haromszor dobunk. kulonboz}o eredmenyt kapunk?
Mi a valoszn}usege, hogy harom
1.18. gyakorlat: A, B es C egymast paronkent kizaro esemenyek. Lehetseges-e, hogy P (A) = 0:4, P (B ) = 0:4 es P (A + C ) = 0:2?
11
1.19. gyakorlat: A es B egymast kizaro esemenyek, es P (A) = 0:2, P (B ) = 0:55. Szamolja ki a P (A B ) es P (A + B jB ) valoszn}usegeket!
1.20. gyakorlat: M A es B egy adott targy hallgatoi. A 80 % valoszn}useggel, B 60 % valoszn}useggel vesz reszt egy oran. Hianyzasaik egymastol fuggetlenek. Mi a valoszn}usege, hogy egy oran legalabb egyikuk jelen van? 1.21. gyakorlat: M Egy kockaval haromszor egymas utan dobunk. Mi a valoszn}usege, hogy a kapott szamok szigoruan noveked}o sorozatot alkotnak? 1.22. gyakorlat: Egy urnaban 10 piros es 20 fekete golyo van egy masikban 15 piros es 15 fekete. El}oszor veletlenszer}uen kivalasztjuk az egyik urnat, majd abbol veletlenszer}uen kihuzunk egy golyot. Mi a valoszn}usege, hogy feketet huzunk? 1.23. gyakorlat: ? A es B olyan jatekot jatszanak, amelynek minden fordulojat 50-50 % esellyel nyerik meg. Minden forduloban a nyertes 1 Ft-ot kap a vesztest}ol, es a jatek addig tart, amg valamelyiknek elfogy a penze. A kezd}o t}okeje 10 Ft. Mi a valoszn}usege, hogy a jatekot B nyeri, ha kezd}o t}okeje (a) 1 Ft, (b) 10 Ft, (c) 100 Ft?
12
Masodik fejezet Val osz n} us egi v altoz ok A valoszn}usegelmelet Kolmogorov-fele modelljeben a valoszn}usegi valtozo az elemi esemenyek
halmazan ertelmezett fuggveny. Kiindulasi peldakent gondoljunk, arra, hogy veletlen kiserletunk a ketszeri kockadobas. Ekkor a ket dobas osszege egy veletlen, masszoval valoszn}usegi valtozo. E valoszn}usegi valtozo lehetseges ertekei a 2 es 12 koze es}o egesz szamok, az 2-t es a 12-t is beleertve. Masik pelda egy ceghez bizonyos id}otartam alatt befuto telefonhvasok szama. Ennek a valoszn}usegi valtozonak is egesz szamok az ertekei. Az ilyen diszkret valoszn}usegi valtozok mellett, folytonos valoszn}usegi valtozok is vannak, amelyek erteke, elvileg, a valos szamok egy intervallumanak barmely eleme lehet. Gondoljunk peldaul egy izzo elettartamara, amely egy pozitv ertekeket felvev}o valoszn}usegi valtozonak tekinthet}o. 2.1..
Diszkr et v altoz o eloszl asa
Egy valoszn}usegi valtozoval kapcsolatban mindig az a lenyeges kerdes, hogy egy adott erteket milyen valoszn}useggel vesz fel. (Ha ket valoszn}usegi valtozo ugyanazokat az ertekeket ugyanolyan valoszn}useggel veszi fel, akkor valoszn}usegelmeleti szempontbol lenyegtelen, hogy az egyik testmagassagokat, a masik pedig h}omersekleteket fejez ki.) Az a (kszi) valoszn}usegi valtozo, amelynek erteke ket kockadobas eseten a dobasok osszege a 3 erteket 2/36 valoszn}useggel veszi fel, mivel a 3-as dobasosszeg (1; 2) es (2; 1) formaban valosulhat meg, es mindket elemi esemeny valoszn}usege 1/36. Valoszn}usegelmeleti szempontbol a -re vonatkozo adatok (egy resze) a kovetkez}o tablazatban foglalhatok ossze:
n: 2 3 4 5 6 7 8 P ( = n) : 0:027 0:055 0:083 0:111 0:139 0:111 0:083 A tablazat tartalmazza a
P ( = n) = f! 2 : (!) = ng ertekeket, amelyek eloszlasat alkotjak. eloszlasa a 8 ha 2 n 6 ; < (n 1)=36 P ( = n) = (13 n)=36 ha 7 n 12 ; :0 egyebkent . keplettel is megadhato es hisztogrammal is szemleltethet}o. 13
14
VALTOZ ELOSZLASA 2.1. DISZKRET O
2.1. pelda: Legyen az (eta) valoszn}usegi valtozo erteke a fejek szama egy szabalyos erme haromszori feldobasa soran. Mi eloszlasa? Az egyes elemi esemenyek egyforman valoszn}uek, ezert hasznalhatjuk a klasszikus (1.4.1) kepletet. Az osszes lehetseges esetek szama 8. A kedvez}o esetek osszeszamlalasaval P ( = 0) = P ( = 3) = 1=8; P ( = 2) = P ( = 1) = 1=8 :
2.2. pelda: Egyszer}u alternatvanak nevezzuk azt a veletlen kiserletet, amelynek ket kimenetele van. Jeloljuk ezeket s-sel (s=siker) es k-val (k=kudarc), legyen s bekovetkezesenek valoszn}usege p. Ismeteljuk meg a kiserletet n-szer. Mi az s-ek szamanak eloszlasa? Meg kell hatarozni, hogy mi a valoszn}usege, hogy pontosan m-szer kovetkezik be a siker a kiserlet n-szeri ismetlese soran. Egy olyan veletlen sorozat, amely m darab s-et tartalmaz meghatarozott helyen, peldaul az els}o m helyen, pm (1 p)n m valoszn}useggel valosul meg. Ugyanakkor az m darab s-nek es n m darab k-nak n!=m!(n m)! sorrendje van (lasd (1.4.4)et). Ennyifelekeppen valaszthatjuk ki azt az m darab poziciot, ahova s kerul a tobbi k-val szemben. Igy a keresett eloszlas: n pm (1 p)n m P ( = m) = m (2:1:1:) (0 m n) Ezt az eloszlast (n-ed rend}u) binomialis eloszlasnak hvjak, es p neve sikervaloszn}useg.
p = 1=2 eseten a binomialis eloszlas szimmetrikus a P ( = m) es P ( = n m) valoszn}usegek megegyeznek. Ha a sikervaloszn}useg 1/2-t}ol kulonbozik, akkor nincsen szimmetria, az eloszlas csucsa eltolodik. 2.3. pelda: Egy ermevel egymas utan dobunk mindaddig, amig fejet nem kapunk. A szukseges dobasok szama a valoszn}usegi valtozo erteke. Mi eloszlasa? Tanulsagos pontosan megfogalmazni, hogy ebben a feladatban mi az esemenyter. az osszes olyan vegtelen sorozatok halmaza, amelyek tagjai F (=fej) vagy I (=ras). Ha ! = (!1 ; !2 ; : : :) ; akkor erteke ezen az ! elemi esemenyen k, ha !k = F , de az (!1 ; !2 ; : : : ; !k 1 ) veges sorozat nem tartalmaz F -et. (A valoszn}usegi valtozot az F -re valo varakozas idejenek is szokas nevezni.) Nekunk a P ( = k) valoszn}useget kell meghatarozni. Ez 1 P ( = k) = k (k 1): 2 Megjegyezzuk, hogy ha az ermedobas helyett az egyszer}u alternatvat ismeteljuk p sikervaloszn}useggel, akkor a sikerre valo varakozas eloszlasa k = 0, P ( = k) = 0qk 1 p ha (2:1:2) ha k > 0 :
A (2.1.2) keplettel adott eloszlast geometriai eloszlasnak nevezzuk.
15 2.2..
Eloszl asf uggv eny es s} ur} us egf uggv eny
Legyen : ! IR egy valos ertekeket felvev}o valoszn}usegi valtozo. Az valoszn}usegi valtozo F eloszlas fuggvenye a
F (x) = P (f! 2 : (!) < xg)
(2:2:1)
keplettel van ertelmezve. Ha x < z , akkor a f! : (!) xg teljesulese maga utan vonja a f! : (!) zg teljesuleset, gy F (x) F (z), es megallapthatjuk, hogy az eloszlasfuggveny monoton noveked}o. Barmilyen valoszn}usegi valtozo F eloszlasfuggvenye rendelkezik a kovetkez}o tulajdonsagokkal:
F monoton noveked}o, limx! 1 F (x) = 0, limx!1 F (x) = 1, F balrol folytonos. Ugyanakkor ha egy fuggveny a fenti tulajdonsagokkal rendelkezik, akkor alkalmas valoszn}usegi valtozo eloszlasfuggvenye lehet. Mivel egy valoszn}usegi valtozora
f! : (!) < c + dg = f! : (!) < cg + f! : c (!) < c + dg ; a valoszn}useg additivitasa alapjan, megallapthatjuk, hogy
P (c < c + d) = F (c + d) F (c)
(2:2:2)
Az olyan valoszn}usegi valtozot, amely egy [a; b] intervallum reszintervallumaiban az illet}o reszintervallum hosszaval aranyos esellyel veszi fel ertekeit, az [a; b]-ben egyenletes eloszlasunak nevezzuk. Az [a; b]-ben egyenletes eloszlas eloszlasfuggvenye 80 <x
a F (x) = :b a 1
ha x a ; ha a < x b ; ha b < x :
(2:2:3)
2.4. pelda: Legyen a valoszn}usegi valtozo egyenletes eloszlasu a [ 1; 1] intervallumban. Irjuk fel 2 eloszlasfuggvenyet! 2 [0; 1]-ben veszi fel ertekeit, gy az F (x) eloszlasfuggveny 0 negatv x-ekre, es F (x) = 1, ha x 1-nel nagyobb. Ha 0 < x < 1, akkor (2.2.3) alapjan
p
p
F (x) = P ( 2 < x) = P ( x < < x) p p x) = P ( < x) P ( < p x + 1 px + 1 p = = x: 2 2
16
UGGV SUR } US } EGF UGGV 2.2. ELOSZLASF ENY ES ENY
2.5. pelda: Az a es b allandok milyen ertekere lesz F (x) = a arctg(x) + b egy valoszn}usegi valtozo eloszlasfuggvenye? Mivel a a lim F ( x ) = + b ; lim F ( x ) = + b; x! 1 x!1 2 2 a es b erteke az a a + b = 0; +b=1 2 2 egyenletrendszerb}ol adodik. Tehat a = 1= es b = 1=2.
Amennyiben egy valoszn}usegi valtozo F (x) eloszlasfuggvenyenek F 0 (x) = f (x) derivaltja letezik, ugy azt s}ur}usegfuggvenyenek nevezzuk. Az eloszlas- es s}ur}usegfuggvenyek kozott gy az Zx 0 F (x) = f (x) ; F (x) = f (t) dt (2:2:4) 1
osszefuggesek allnak fenn. Egy s}ur}usegfuggvenyt az Z1 f (t) dt = 1 f (x) 0 ; 1
(2:2:5)
tulajdonsagok jellemeznek.
2.6. pelda: Egy valoszn}usegi valtozo s}ur}usegfuggvenye n f (x) = 0 x ha x 0, e ha x > 0. Mi az eloszlasfuggvenye? A (2.2.4) keplet alapjan integralassal n ha x 0, F (x) = 0 1 e x ha x > 0.
(2:2:6)
(2:2:7)
A (2.2.6) s}ur}usegfuggveny}u es (2.2.7) eloszlasfuggveny}u valoszn}usegeloszlast exponencialis eloszlasnak nevezzuk.
17 2.3..
A v arhat o ert ek es a sz or as
A veletlen kiserletet sorozatosan vegrehajtva egy veletlen mennyiseg ertekeinek szamtani atlaga konvergal egy szamhoz, amit a veletlen mennyiseg (azaz valoszn}usegi valtozo) varhato ertekenek nevezunk. A varhato ertek tehat atlagertek, es el}ofordulhat, hogy a valoszn}usegi valtozo sohasem veszi fel magat ezt az erteket. A : ! IR valoszn}usegi valtozo varhato erteke X M ( ) = (!)P (f!g) (2:3:1) ! 2
abban az esetben, ha az esemenyter veges sok elemb}ol all. Mivel M ( ) a valoszn}usegekkel sulyozott atlagertek, mindig legnagyobb es legkisebb erteke koze esik. Egy diszkret valoszn}usegi valtozo varhato erteket a X M ( ) = P ( = xk )xk (2:3:2) k
keplet adja meg, ha az xi ertekeket veszi fel. Ha az esemenyter egy veges halmaz, akkor a varhato ertek a kovetkez}o alakban is rhato: X M ( ) = (!)P (f!g) : (2:3:3) !
Itt kulonosen jol latszik, hogy a varhato ertek a valoszn}usegi valtozo ertekeinek a valoszn}useggekkel sulyozott atlaga. Az M ( ) jeloles helyett neha E ( )-t is runk. A varhato ertek a sztochasztikus mennyiseg lehetseges ertekeinek egyfajta kozepe. Hasonlo jelentese van a mediannak. A median az a szam, amelynel nagyobb es kisebb erteket 50-50% valoszn}useggel vesz fel a valtozo. Ha a s}ur}usegfuggveny nem szimmetrikus, akkor a median elterhet a varhato ertekt}ol. Amennyiben a folytonos valoszn}usegi valtozonak van f s}ur}usegfuggvenye, akkor Z1 M ( ) = x f (x) dx : (2:3:4) 1
(Ha (2.3.2)-ben az osszeg, vagy (2.3.4)-ban az integral nem konvergal, varhatoertekr}ol nem beszelhetunk. Ha a (2.3.2) sor vegtelen, akkor a varhato ertek ertelmezesehez abszolut konvergensnek kell lennie, hiszen az osszeg erteke nem fugghet az osszeadas sorrendjet}ol.) 2.7. pelda: Egy dobokocka ket oldalat pirosra, a tobbit kekre festjuk. Legyen az els}o piros el}ofordulasaig a dobasok szama, ismetelt kockadobas eseten. Mi varhatoerteke? Lenyegeben egyszer}u alternatvarol van szo, a piros kimenet 1=3 sikervaloszn}usegevel. A 2.3. pelda szerint geometriai eloszlasu, eloszlasat a (2.1.2) keplet adja. A feladat tehat a geometriai eloszlas varhato ertekenek kiszamtasa. 1 1 1 X X d k d X q p= qk p kqk 1 p = dq dq k=1 k=1 k=1 d pq p 1 = = = 2 dq 1 q (1 q) p Az eredmenyt erdemes megjegyezni: p sikervaloszn}useg mellett a geometriai eloszlas varhato erteke 1=p.
ERT EK ES A SZOR AS 2.3. A VARHAT O
18
2.8. pelda: Egy nagy mennyisegben gyartott elektroncs}o oraban kifejezett elettartama olyan valoszn}usegi valtozonak tekinthet}o, amelynek s}ur}usegfuggvenye 2 xe x (x 2 IR+ ): (2:3:5) Mennyi az elekroncs}ovek atlagos elettartama? Mi a valoszn}usege, hogy egy veletlenszer}uen valasztott cs}o elettartama m? Az atlagos elettartam, azaz a (2.3.5)=ben adott valoszn}usegs}ur}useg varhato erteke a (2.3.4) kepletb}ol adodik, ketszeres parcialis integralassal: Z1 E= 2 x2 e x dx = 2= : 0
A masik kerdesre az integral a valasz.
Z1 m
2 xe
x dx
= (1 + m )e
m
A varhato ertek alapvet}o tulajdonsaga a linearitas:
M (1 + 2 ) = M (1 ) + M (2 ) es M (a ) = aM ( )
(2:3:6)
ha , 1 es 2 valoszn}usegi valtozok es a valos szam. A varhato erteknek ezt a tulajdonsagat nem bizonytjuk, de az az egyszer}u eset, amikor az esemenyter veges kiolvashato a (2.3.3) kepletb}ol. 2.9. pelda: Fuggetlenul ismetelt kockadobasban legyen az ahhoz szukseges dobasszam, hogy mind a hat kimenetel legalabb egyszer el}oforduljon. Mi varhatoerteke? A valoszn}usegi valtozo egyfajta varakozasi id}o. Egy csepp furfanggal hat valoszn}usegi valtozo osszegekent foghato fel. 1 az els}o szamra valo varakozas ideje. (1 trivialis, azonosan egy.) 2 a masodik szamra valo varakozas ideje, attol szamtva, hogy megvan az els}o szam, es gy tovabb, egeszen 6 -ig, ami az utolso hianyzo kimenetre valo varakozasi id}o, az 5. fajta szam megjelenese utan. A jobb erthet}oseg erdekeben nezzuk meg, hogy az egyes -k milyen ertekeket vesznek fel az ! = (3; 3; 1; 3; 2; 4; 2; 1; 5; 2; 2; 3; 6; 1; 4; 2; 5; 3; : : :) elemi esemenyen: 2 (!) = 2, 3 (!) = 3, 4 (!) = 1, 5 (!) = 3 es 6 (!) = 4. = 1 + 2 + 3 + : : : + 6 M ( ) = M (1 ) + M (2 ) + M (3 ) + : : : + M (6 ) A 2.3. es 2.7. peldakbol tudjuk, hogy i -k geometriai eloszlasuak, kulonfele sikervaloszn}useggekkel. A i -hez tartozo sikervaloszn}useg (7 i)=6. Valoban, amikor peldaul a 4. kimenetre varunk, akkor a mar megdobott harom kimenet kedvez}otlen, es 3=6 a valoszn}usege annak, hogy olyat dobunk, ami meg nem volt. A 2.9. peldaban lattuk, hogy 6 M (i ) = ; 7 i es a keresett varhato ertek ezek osszege, 1 i 6.
19
Egy valoszn}usegi valtozo eloszlasanak ismereteben valamely g fuggvenyenek varhato erteket gy szamolhatjuk: Z1 M (g( )) = g(x)f (x) dx ; (2:3:7) 1
ahol f a s}ur}usegfuggveny. A g(x) = xk valasztas a valoszn}usegi valtozo k-adik momentumat adja. Nevezetesen, az els}o momentum maganak -nek a varhato erteke, es a masodik momentum 2 varhatoerteke. Minel tobb momentumat ismerjuk egy valoszn}usegeloszlasnak, annal pontosabb a kepunk rola. Az osszes momentuma egyertelm}uen meghatarozza az eloszlast. 2.10. pelda: Legyen exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozo. A t pozitiv valos parameterre szamoljuk ki exp(t ) varhato erteket es els}o harom momentumat! A (2.3.7) kepletre van szuksegunk: Z1 M (exp(t )) = exp(tx) exp( x) dx 0
Az integral csak t < eseten veges. Ekkor
: t A t 7! M (exp(t )) fuggvenyt momentum generalo fuggvenyenek is nevezik, mert bel}ole momentumai ismetelt t = 0 helyen vett di erencialassal kaphatok meg. Valoban, Z Z1 dk 1 exp(tx)f (x) dx = xk f (x) dx (2:3:8) k dt 1 1 t = 0-ban. Peldaul: d d2 = ( t) 2 ; = 2( t) 3 : dt t dt2 t Tehat: m1 = 1 , m2 = 2 2 es altalaban mk = k! k . M (exp(t )) =
A momentum generalo fuggveny meghatarozza az eloszlast, vagyis ha ket valoszn}usegi valtozonak ugyanaz a momentum generalo fuggvenye, akkor azonos eloszlasuak. A szoras egy valoszn}usegi valtozo ingadozasanak leggyakrabban hasznalt merteke. A szoras negyzete (vagy a valoszn}usegi valtozo varianciaja) a valoszn}usegi valtozo varhato ertekt}ol valo elterese negyzetenek varhato erteke: 2 2 = M ( M ( )) (2:3:9) A kis szoras azt jelenti, hogy a valoszn}usegi valtozo nagy valoszn}useggel a varhato erteke kozeleben veszi fel az ertekeit. A szorasnegyzetet altalaban el}onyosebb a fenti de ncio helyett a kovetkez}o keplettel szamolni: 2 = M ( 2 ) M ( )2 (2:3:10) Tehat a szoras az els}o ket momentummal fejezhet}o ki.
ERT EK ES A SZOR AS 2.3. A VARHAT O
20
2.11. pelda: Legyen egyenletes eloszlasu valoszn}usegi valtozo a [0; 1]-ben. Szamtsuk ki szorasat! els}o es masodik momentumat szamoljuk ki: Z1 Z1 1 1 x2 1 dx = : x 1 dx = ; 2 3 0 0 (2.3.10) szerint a szoras negyzete 1=3 1=4 = 1=12, es = 0:289.
2.12. pelda: Szamtsuk ki a parameter}u exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozo szorasat! A 2.10. pelda tartalmazza a momentumokat, gy = 1 .
2.13. pelda: A kinetikus gazelmelet szerint a gazreszecskek sebessege olyan nemnegatv erteket felvev}o valoszn}usegi valtozo, amelynek s}ur}usegfuggvenye 4
3
p v 2 e
v2 = 2
(v > 0) :
(2:3:11)
p (2.3.11) az ugynevezett Maxwell-fele sebessegeloszlas, ahol = 2kT=m, m a reszecske tomege, T a h}omerseklet es k egy allando. Szamtsuk ki a reszecskek atlagos sebesseget! A varhato ertek de ncioja szerint a Z1 4 3 v = p ve dv 3 0 2
2
integralt kell kiszamolni, amit parcialis integralassal teszunk. A v3 faktort szetvalaszszuk v v2 alakban, hogy a v2 = 2 kitev}o derivaltja megjelenjen: Z1 Z 4 3 v = 2 1 2 2v v = v 2 e dv = p dv 3p v e Z0 0 1 2 2ve v = dv = p 0 h 2 i 1 2 v = p = =p e 0 2
2
2
2
2
2
2
2
erdemes megjegyezni, hogy ebben a peldaban a masodik momentumnak nem csak valoszn}usegelmeleti jelentese van. m-mel szorozva a masodik momentumot a reszecske kinetikus energiajanak atlagerteket kapjuk.
21 2.4..
A Csebisev-egyenl} otlens eg
Egy uzemben acelgolyokat gyartanak d atlagos atmer}ovel. Azok a golyok, amelyek atmer}oje d-t}ol 0.01 mm-rel jobban elter nem megfelel}ok. Ha ismerjuk az atmer}ok pontos eloszlasat, akkor valaszt tudunk adni arra a kerdesre, hogy legfeljebb mekkora a valoszn}usege annak, hogy egy golyo nem megfelel}o (azaz gyartasi selejt). A Csebisev-egyenl}otlenseg ilyen jelleg}u kerdesek megvalaszolasara hasznalhato. A kerdeses valoszn}usegre egy fels}o korlatot szab a szoras ismereteben. 2.1. tetel: (Csebisev-egyenl}otlenseg) Legyen egy valoszn}usegi valtozo m varhatoertekkel es szorassal. Ekkor 2 P (j mj t) 2 t minden pozitv t szamra. Bizonytas: A bizonytast csak arra az esetre nezzuk, amikor m = 0 es diszkret, vagyis
P ( = xk ) = pk . Ekkor
P (j
mj t) =
X k2It
pk
ahol az osszegzes azokra a k-kra tortenik, amelyekre jxk j t. (Ezek halmaza It .) Nyilvan X X jxk j2 X jxk j2 p pk 2 k 2 pk t t k2It k2It k mivel az els}o esetben az egyes tagokat noveltuk, a masodikban pedig ujabb (pozitv) tagokat vettunk az osszeghez. Az egyenl}otlenseglanc utolso kifejezese eppen 2 =t2 , mert m = 0. 2.5..
F uggetlens eg
A es valoszn}usegi valtozok fuggetlensege azt jelenti, hogy barmely segsegevel megadott esemeny fuggetlen barmely -val megadott esemenyt}ol. Ha A; B IR tetsz}oleges halmazok, akkor az f! : (!) 2 Ag esemeny fuggetlen az f! : (!) 2 B g esemenyt}ol, kepletben
P ( 2 A; 2 B ) = P ( 2 A)P ( 2 B ) :
(2:5:1)
Ebb}ol a meghatarozasbol nyomban adodik, hogy ha es fuggetlenek, akkor g( ) es h() is fuggetlenek akarmilyen g es h fuggvenyekre.
2.2. tetel: Ha a es valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, akkor M () = M ( )M (): Bizonytas: A bizonytast csak abban az esetben targyaljuk, amikor es diszkretek. Jeloljuk
xi -vel , yj -vel es zk -val lehetseges ertekeit. Ekkor X M ( ) = xi P ( = xi ) i
2.5. FUGGETLENS EG
22
M () = M () =
X i X i
yj P ( = yj ) zk P ( = zk )
a zk erteket ugy veheti fel, ha zk = xi yj , ami esetleg tobbfelekeppen is megvalosulhat, de mindig igaz, hogy X P ( = zk ) = P ( = xi ; = yj ) xi yj =zk
=
X
xi yj =zk
P ( = xi )P ( = yj ) :
Ezt gyelembe veve adodik, hogy M ( )-t es M ()-t osszeszorozva M ()-t kapjuk.
2.3. tetel: Ha a es valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, akkor 2 ( + ) = 2 ( ) + 2 (): Bizonytas: A (2.3.10) kepletb}ol indulunk ki, amely azt adja, hogy
2 ( + ) = M (( 2 + 2 + 2 ) (M ( )2 + 2M ( )M () + M (2 ) = (M ( 2 ) M ( )2 ) + (M (2 ) M ()2 ) +2(M () M ( )M ()) ; ahol az utolso tag zerus a fuggetlenseg miatt.
2.14. pelda: Egy dohanyos minden nap p valoszn}useggel szv el 10 es 1 p valoszn}useggel 11 cigarettat. Mennyi az 1 honap (= 30) nap alatt elszvott cigarettak szamanak varhato erteke es szorasa? Jelolje a n valoszn}usegi valtozo az n-edik napon szvott cigarettak szamat. Fel kell teteleznunk, hogy ezek a valoszn}usegi valtozok teljesen fuggetlenek. Kiszamtando 30 30 30 30 X X X X 2 E n = E (n ) es n = 2 (n ) : n=1
n=1
n=1
n=1
Mivel barmilyen n-re E (n ) = 10p +11(1 p) = 11 p es 2 (n ) =p 102 p +112 (1 p) (11 p)2 = p(1 p) a keresett varhato ertek 30(11 p) es a keresett szoras 30p(1 p).
2.4. tetel:
es
Ha a
m , akkor + Bizony t as
es
val osz n} us egi v altoz ok f uggetlenek es momentum gener al o f uggv eny uk
momentum gener al o f uggv enye
m m .
: A momentum generalo fuggveny de ncioja szerint az m+ (t) = M ( exp t( + )) = M ( exp(t ) exp(t))
m
23
varhato erteket kell kiszamolni. Mivel exp(t ) es exp(t) fuggetlen valoszn}usegi valtozok, a 2.2. Tetel alkalmazhato, es M ( exp(t ) exp(t)) = M ( exp(t ))M ( exp(t)) : Ez a tetel bizonytasat teljesse teszi.
2.6..
A nagy sz amok t orv enye
A nagy szamok torvenyere a hetkoznapi eletben is gyakran tortenik hivatkozas. A torveny (azaz a tetel) azt fejezi ki, hogy fuggetlenul ismetelt kiserletsorozat eseten a meresi eredmenyek atlag erteke a varhato erteket kozelti, elvileg tetsz}oleges pontossaggal. Peldaul a kockadobasra vonatkoztatva a nagy szamok torvenye azt mondja, hogy atlagosan a dobasok egy hatoda 5-os. (Arrol nem szol a torveny, hogy legalabb hanyat kell dobni ahhoz, hogy 5-ost kapjunk.)
2.5. tetel: Legyen 1 ; 2 ; : : : azonos eloszlasu, m varhatoertek}u es teljesen fuggetlen valoszn}usegi valtozok sorozata, es legyen n = (1 + 2 + : : : + n )=n az els}o n valtozo atlaga. Ekkor
barmilyen r > 0 szamra.
lim P (jn
n!1
mj < r) = 1
Bizonytas: Azt fogjuk belatni, hogy limn!1 P (jn mj r) = 0, ami ekvivalens magaval a tetellel. n varhatoerteke is m, legyen szorasa n . A Csebisev-egyenl}otlenseget hasznaljuk:
P (jn
mj r)
n2 : r2
Ha n szorasa (feltetelezzuk, hogy letezik!), akkor a 2.3. tetel szerint n2 = 2 =n, ami r2 -tel osztva is 0-hoz tart, ha n tart a vegtelenhez.
A fenti tetelt a nagy szamok gyenge torvenyenek is szokas nevezni, de itt mas valtozatokkal nem foglalkozunk. Megjegyezzuk azonban, hogy a P (jn mj r) valoszn}usegek 0-hoz tartasa sokkal gyorsabb, mint a bizonytasbol latszik. Ott 1=n gyorsasagu konvergencia szerepelt, de valojaban exponencialisan tartanak a P (jn mj r) valoszn}usegek a 0-hoz. Ez azt jelenti, hogy vannak olyan Cr > 0 es 0 < Dr < 1 allandok, hogy
P (jn
mj r) Cr Drn :
Minnel nagyob az r, annal gyorsabb az exponencialis konvergencia, tehat nagyobb r-re Dr kisebb. (Ez a tartalma az un. nagy elteres teteleknek.)
24
ENYE 2.6. A NAGY SZAMOK TORV
Gyakorlatok
2.1. gyakorlat: N ember vervizsgalata a kovetkez}o ket modon szervezhet}o: (a) Minden egyes embert}ol szarmazo vermintat kulon-kulon megvizsgalnak, es gy N probara van szukseg. (b) k darab mintat osszeontenek, es azokat egyszerre vizsgaljak meg. Ha a proba negatv, akkor ez az egyetlen proba elegend}o a k szemely vervizsgalatahoz. Amennyiben a proba pozitv, mind a k szemely vermintajat ujabb probanak vetik ala. Ebben az esetben tehat k + 1 proba szukseges. Tetelezzuk fel, hogy az egyes szemelyek vizsgalati eredmenyei statisztikailag egymastol fuggetlenek, es annak a valoszn}usege, hogy barmely ember vermintaja pozitv eredmenyt ad ugyanaz a p szam. Legyen az a valoszn}usegi valtozo, amely megadja a N ember vizsgalatahoz szukseges probak szamat a (b) szerinti szervezesben. Mi varhatoerteke? 2.2. gyakorlat: M Legyen egy valoszn}usegi valtozo es a; b valos szamok. Fejezzuk ki a + b varianciajat varianciaja segsegevel! 2.3. gyakorlat: Mi a valoszn}usege, annak, hogy az x2 + x + = 0 egyenlet gyokei valosak, ha es fuggetlenek es [-1, 1]-ben egyenletes eloszlasuak? 2.4. gyakorlat: Egy ermevel dobunk. Ha az eredmeny fej, akkor meg ketszer dobunk, ha ras, akkor meg egyszer. Mennyi az osszes fej-dobasok szamanak varhato erteke? evel addig dobunk, amg el}oszor fordul el}o ket egymas utani azonos 2.5. gyakorlat: M Erm dobas. Mennyi a szukseges dobasok szamanak varhato erteke?
2.6. gyakorlat: M Legyen egy parameter}u exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozo. Hatarozzuk meg 2 + 3 s}ur}usegfuggvenyet! 2.7. gyakorlat: M Legyen es ket olyan valoszn}usegi valtozo, hogy (; ) az (1; 0), (0; 1), ( 1; 0); (0; 1) ertekeket egyenl}o valoszn}useggekkel veszi fel. Dontsuk el, hogy fuggetlen-e es ! 2.8. gyakorlat: Egy vegyipari gyartmany pH-ja olyan valoszn}usegi valtozonak tekinthet}o, amelynek s}ur}usegfuggvenye ( 25(x 3:8) ha 3:8 x 4, f (x) = 25(x 4:2) ha 4 < x 4:2, 0 kulonben. Mi a valoszn}usege, hogy a pH 3.90 es 4.05 koze esik? 2.9. gyakorlat: M A valoszn}usegi valtozo egyenletes eloszlasu a [ 2; 2] intervallumban. Szamtsa ki a 4 + 1; 2 ; e ; sin valoszn}usegi valtozok varhato erteket! 2.10. gyakorlat: M Egy ekszj (evekben kifejezett) elettartama olyan valoszn}usegi valtozo, amelynek s}ur}usegfuggvenye 3x ha x 0, f (x) = 3e 0 ha x < 0. Mi a valoszn}usege, hogy egy ekszj legalabb 4 evig hasznalhato?
25
2.11. gyakorlat: M Szabalyos ermevel 16-szor dobunk. A Csebisev-egyenl}otlenseg segtsegevel becsulje meg annak a valoszn}useget, hogy a fejek szama 2 es 14 koze esik, a hatarokat is megengedve! Szamolja ki a valoszn}useg pontos erteket is! 2.12. gyakorlat: Egy szakaszt veletlenszer}uen ket reszre osztunk. Szamolja ki a kisebbik resz hosszanak eloszlasfuggvenyet es varhatoerteket! 2.13. gyakorlat: A (0,0) es (2,0) pontokat osszekot}o szakaszon veletlenszer}uen valasztunk egy pontot. Mi a valasztott pont (1,1) ponttol valo tavolsaganak s}ur}usegfuggvenye? 2.14. gyakorlat: Legyen eloszlasa n-ed rend}u binomialis eloszlas. Szamtsa ki varhatoerteket (a) a varhato ertek de ncioja alapjan, (b) annak felhasznalasaval, hogy n darab fuggetlen egyszer}u alternatva osszegere bonthato! 2.15. gyakorlat: Szamtsa ki az n-ed rend}u binomialis eloszlas szorasat!
2.16. gyakorlat: M Egy negyszaz oldalas konyvben 100 sajtohiba van. Mi a valoszn}usege, hogy egy oldalon tobb mint ket hiba van?
2.17. gyakorlat: M A Weibull-eloszlas s}ur}usegfuggvenye 1 (x= ) ha x > 0, f (x) = x e 0 ha x 0, ahol es pozitv konstansok. Igazolja, hogy a Weibull-eloszlas masodik momentuma 2 2 1+ : Milyen eloszlasnak felel meg az = 1 eset?
2.18. gyakorlat: M Egy valoszn}usegi valtozo s}ur}usegfuggvenye: 2 x = ha x > 0, f (x) = 2 xe 0 ha x 0. Mi eloszlasfuggvenye? 2
2
2.19. gyakorlat: M es fuggetlen valoszn}usegi valtozok, mindkett}o varianciaja 3. Szamtsa ki 2 3 + 1 szorasat! 2.20. gyakorlat: Egy szorakozott titkarn}o legepel n levelet es megcmezi hozzajuk az n bortekot. Ezutan veletlenszer}uen helyezi a leveleket bortekba (minden bortekba csak egyet). Mi a varhato erteke a korrektul bortekolt levelek szamanak? 2.21. gyakorlat: M Addig ismeteljuk az ermedobast, amg pontosan k-szor jelenik meg a fej. Mi a dobasok szamanak varhato erteke?
2.22. gyakorlat: M Szamtogepunk veletlen szamgeneratora a [0; 1] intervallumban egyenletes eloszlassal hozza letre a veletlen szamot. Nekunk egy olyan veletlen szamra van szuksegunk, amelynek s}ur}usegfuggvenye 3 2 f (y) = 8 y ha 0 < y < 2, 0 egyebkent. Milyen r fuggvenyt kell hasznalnunk ahhoz, hogy -t r( ) alakban kaphassuk meg?
26
ENYE 2.6. A NAGY SZAMOK TORV
2.23. gyakorlat: M Az exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozo 1=2 valoszn}useggel vesz fel 3-nal nagyobb erteket. (a) Mi varhato erteke? (b) Mi a valoszn}usege, hogy 1-nel kisebb erteket vesz fel? 2.24. gyakorlat: M A valoszn}usegi valtozo egyenletes eloszlasu a [ 1; 1] intervallumban. Mi a valoszn}usege, hogy els}o tizedesjegye 4-es? 2.25. gyakorlat: Szabalyos dobokockaval addig dobunk, amg masodszor kapunk paratlan szamot. Mennyi a szukseges dobasok szamanak varhato erteke?
Harmadik fejezet Nevezetes val osz n} us egi v altoz ok Egy valoszn}usegi valtozohoz kapcsolodo kerdesekre akkor tudunk pontos valaszt adni, ha a valtozo eloszlasa ismert, vagy megkozelt}oleg ismert. Ebben a fejezetben a leggyakrabban el}ofordulo valoszn}usegeloszlasokat tekintjuk at. Megjegyezzuk, hogy a matematikai statisztika irodalma joval tobb valoszn}usegeloszlast tart nyilvan. Termeszetesen minden eloszlas nem adhato meg, de elegend}oen sok eloszlas ismereteben jo kozeltesek kaphatok szinte minden eloszlasra. 3.1..
A Poisson-eloszl as
A Poisson-eloszlas egyike a mernoki gyakorlatban es az informatikaban leggyakrabban megjelen}o valoszn}useg-eloszlasoknak. Ennek ellenere az el}oz}o fejezetben targyalt eloszlasokhoz kepest csak joval osszetettebb matematikai modellekben mutathato be. Legegyszer}ubben a binomialis eloszlasbol kiindulva juthatunk el a Poisson-eloszlashoz. Bizonyos mennyiseg}u nyersanyagbol m szamu termeket kesztenek. Az osszes nyersanyagban n szamu szennyez}odesszemcse van. Mi a valoszn}usege, hogy egy termekbe pontosan k szemcse kerul? (Ez a kerdes peldaul akkor valhat lenyegesse, amikor bizonyos szamu szennyez}odesszemcset tartalmazo termek selejtnek tekintend}o.) Leegyszer}ustve gy fogalmazhatunk: n szamu szemcset kell elhelyezni m dobozban. Mi a valoszn}usege, hogy egy dobozba k szamu szemcse jut? Annak a valoszn}usege, hogy egy adott szemcse egy adott dobozba kerul p = 1=m. Igy a binomialis eloszlas kepletet hasznalva n pk (1 p)n k k annak a valoszn}usege, hogy k szemcse jut egy dobozba. Ez a valoszn}useg egy hosszabb gyartasi periodusban erdekes, amikor m nagyon nagy, de az egy termekre juto szennyez}odesszemcsek n=m szama nem valtozik. Legyen = n=m. A k n k n lim 1 n!1 k n n hatarertek kiszamtasahoz kiirjuk a binomialis egyutthatot: n(n 1)(n 2) : : : (n k + 1) k n 1 1 nk k! n 27
n
k
3.1. A POISSON-ELOSZLAS
28
Itt az els}o tort es az utolso tenyez}o egyhez tart, es a kozeps}o (n-t}ol fugg}o) tenyez}o pedig e -hoz egy nevezetes hataertektetel szerint. Tehat: n pk (1 p)n k ! k e : (3:1:1) k k!
parameter}u Poisson-eloszlasnak nevezzuk a P ( = k) =
k e k!
(3:1:2)
valoszn}usegeloszlast. Kiszamolhato, hogy az eloszlas varhato erteke. Amit gy kaptunk, az a Poisson hatarertektetel:
3.1. tetel: (Poisson-fele hatarertektetel) A p sikervaloszn}useg}u binomialis eloszlas Poisson-eloszlashoz tart, ha az alternatva ismetlesenek n szama tart a vegtelenhez es az np varhato ertek ekozben allando marad.
Masreszr}ol, ha n nagy p-hez kepest, akkor a binomialis eloszlas Poisson-eloszlassal kozelthet}o.
A Poisson-eloszlasra vonatkozo tobb kerdesre a generator fuggveny modszere hatekonyan hasznalhato. Ha egy diszkret valoszn}usegi valtozo csak pozitv egesz ertekeket vesz fel, akkor generator fuggvenye 1 X G(z ) = P ( = n)z n (3:1:3) n=0
hatvanysorral van adva, feltetelezve, hogy a G hatarfuggveny letezik. A Poisson-eloszlas generatorfuggvenye G(z ) = e(z 1) (3:1:4) minden z 2 IR eseten ertelmezve van. 3.1. pelda:
Hasznaljuk a generatorfuggvenyt a Poisson-eloszlas varhato ertekenek es szorasanak
kiszamtasara! (3.1.3)-bol di erencialassal, es z = 1 helyettestessel kapjuk, hogy 1 X 0 G (1) = P ( = n)n = M ( ) ;
(3:1:5)
n=1
es ismetelt di erencialassal G00 (1) =
Ebb}ol
1 X n=1
P ( = n)n(n 1) = M ( 2 ) M ( ):
( )2 = G00 (1) + G0 (1) (G0 (1))2 :
(3:1:6)
Most alkalmazzuk a (3.1.5) es (3.1.6) altalanos kepleteket a Poisson-eloszlasra: G0 (z ) = e(z
1) ;
G00 (z ) = 2 e(z
1) :
29
A a Poisson-eloszlas varhato erteke es egyben szorasnegyzete. A kovetkez}o tetel bizonytasa ismet a generator fuggveny modszeren alapul. Azt fogjuk felhasznalni, hogy fuggetlen, egesz ertekeket felvev}o valoszn}usegi valtozok osszegenek generator fuggvenye az osszeadandok generator fuggvenyeinek a szorzata.
3.2. tetel: Ha 1 es 2 1 ill. 2 parameter}u Poisson-eloszlasu fuggetlen valoszn}usegi valtozok, akkor 1 + 2 ugyancsak Poisson-eloszlasu, es parametere 1 + 2 . Bizony t as
: i generatorfuggvenye Gi (z ) = ei (z
1)
(i = 1; 2)
(3.1.4) szerint. 1 + 2 generatorfuggvenye G = G1 G2 , azaz G(z ) = e1 (z
1) e2 (z 1)
= e( + )(z 1
2
1) :
Ez pedig eppen egy 1 + 2 parameter}u Poisson-eloszlas generatorfuggvenye. 3.2..
Az exponenci alis es a gamma eloszl asok.
Az exponencialis eloszlas mar az el}oz}o fejezetben is felbukkant, s}ur}usegfuggvenye exp( t), ahol pozitv parameter. Az exponencialis eloszlas varhatoerteke 1 . A tipikus exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozo egy olyan veletlen id}otartam, amely ha egy x id}opontig nem ert veget, akkor ugy tekinthet}o, mintha az egesz folyamat csak az x id}opontban kezd}odott volna:
P ( x + yj x) = P ( y)
(3:2:1)
Ez mindig teljesul egy exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozora. Szavakkal ugy fejezzuk ki, hogy az exponencialis eloszlasnak nincsen emlekezete. (3.2.1) bizonytasahoz a valoszn}usegeket ki kell fejezni az eloszlasfuggveny segtsegevel:
P (x x + y) F (x + y) F (x) = P (x ) 1 F (x) e x e (x+y) = = 1 e y = F (y) = P ( y): e x Bizonythato, hogy csak az exponencialis eloszlasnak nincs emlekezete a s}ur}usegfuggvennyel rendelkez}o folytonos eloszlasok kozott. Az exponencialis eloszlas befoglalhato a gamma eloszlasok csaladjaba. Legyenek es pozitv parameterek. A megfelel}o gamma eloszlas a gamma fuggveny segtsegevel van ertelmezve, es a gamma fuggvenyr}ol kapta a nevet (a gamma fuggvenyre vonatkozoan lasd a fuggeleket.) A gammaeloszlas s}ur}usegfuggvenye ( 1 1 x= e ha x > 0, ( ) x f (x) = (3:2:2) 0 kulonben. P ( x + yj x) =
3.3. A NORMALIS ELOSZLAS.
30
Kiszamolhato, hogy a gamma eloszlas varhatoerteke es varianciaja 2 . Az = 1 valasztas vezet az exponencialis eloszlashoz. A gamma eloszlas momentum generalo fuggvenye t > eseten van ertelmezve es m(t) = (1 t) (t > ): (3:2:3)
3.3. tetel: Ha a 1 ; 2 ; : : : ; n valoszn}usegi valtozok fuggetlenek es i gamma-eloszlasu i es parameterekkel (1 i n), akkor 1 + 2 + : : : + n ugyancsak gamma-eloszlasu, 1 + 2 + : : : + n es parameterekkel. Bizony t as: A momentum gener alo fuggveny modszeret hasznaljuk. (3.2.3.) szerint i momentum generalo fuggvenye mi (t) = (1 t) i es a 2.4. tetel szerint 1 + : : : + n momentum generalo fuggvenye
m(t) =
n Y i=1
mi (t) = (1 t)
( 1 + 2 +:::+ n )
amib}ol latszik, hogy egy gamma-eloszlashoz tartozik, es a parameterek kiolvashatok. 3.3..
A norm alis eloszl as.
A valoszn}usegi valtozot normalis, avagy N (m; ) eloszlasunak nevezzuk, ha s}ur}usegfuggvenye x m 1 f (x) = p e (3:3:1) 2 (
2 2
)2
alaku, ahol 1 < m < 1 es > 0. Mivel f (m x) = f (m + x), az N (m; ) s}ur}usegfuggveny szimmetrikus m-re, es m a varhato erteke. Parcialis integralassal szamolhato ki, hogy N (m; ) szorasa eppen . Ha m = 0 es = 1, akkor standard normalis eloszlasrol beszelunk. Ennek eloszlasfuggvenye Zx 1 (x) = p e t =2 dt (3:3:2) 2 1 2
A (x) ertekeket tablazatbol vehetjuk, mivel az integral nem adhato meg konnyen kezelhet}o keplettel. A tablazat csak pozitv x-ekre tartalmazza (x)-et, ezert ( x) = 1 (x) gyakran szukseges. A tablazatbol lathato, de fejben tartani is erdemes, hogy a standard normalis eloszlas 99% valoszn}useggel -3 es 3 kozott veszi fel ertekeit.
3.4. tetel: Ha a valoszn}usegi valtozo N (m; ) eloszlasu, akkor = standard normalis eloszlasu. Nevezetesen
P (a < < b) = P
a
m
m
b m a m b m << =
31
3.2. pelda: Legyen a valoszn}usegi valtozo N (3; 2) eloszlasu. Mekkora legyen az A szam ahhoz, hogy a (2; A) intervallumba 1/2 valoszn}useggel essenek ertekei? Ha F a valoszn}usegi valtozo eloszlasfuggvenye, akkor P (2 A) = F (A) F (2) A 3 2 3 A 3 1 = = 1+ ; 2 2 2 2 es a A 3 1 3 = 2 2 2 egyenlethez jutunk, amit tablazata segtsegevel oldunk meg: (A 3)=2 = 1 (0:8085) = 0:87, amib}ol A = 4:74.
3.3. pelda: Egy gyarto 1000 Ft-os egysegaron arulja termekeit. Ha egy termek 80 g-nal kisebb, akkor eladhatatlan, es teljes veszteseget jelent. A termekek sulya normalis eloszlast mutat w0 varhato ertekkel es 10 g szorassal. Egy termek el}oalltasi koltsege c = 5w + 30, ahol w a termek sulya. Milyen atlagos w0 suly maximalizalja a pro tot? Annak a valoszn}usege, hogy egy termek eladhatatlan w 80 p= ; 10 es (1 p)1000 (5w + 30) a bevetel, amelynek varhatoerteke a maximalizalando. A 970 1000p 5w0 varhato ertek maximumat di erencialassal hatarozzuk meg: d w 80 d w 80 = 100 0 0 = 5 1000 0 dw0 10 dw0 10 (osszetett fuggvenyt kellett di erencialni). Az egyenlet ket gyoke kozul w0 = 109; 6 ad csak maximumot, a feladat termeszeteb}ol adodoan.
3.5. tetel: (Moivre { Laplace tetel) Legyen n 0; 1; 2; : : : ; n ertekeket felvev}o valoszn}usegi valtozo, amelynek eloszlasa binomialis p siker-valoszn}useggel. Ekkor a n =
n
pnpqnp
valoszn}usegi valtozok eloszlasa a standard normalis eloszlashoz tart, amikor n ! 1.
A tetelt a gyakorlatban a binomialis eloszlas kozeltesere hasznaljuk a kovetkez}o alakban:
P (a n b)
b
np pnpq
a
np pnpq
Ez a kozeltes akkor alkalmazhato, ha np es nq 5-nel nagyobb.
(3:3:3)
3.3. A NORMALIS ELOSZLAS.
32
3.4. pelda: Egy hallgatonak 20 tesztkerdesre kell igennel vagy nemmel valaszolni, es p = 50%os valoszn}useggel ad helyes valaszt. Mi a valoszn}usege, hogy legalabb 15 kerdesre ad helyes valaszt? p np = nq = 10 > 5 , gy alkalmazhatjuk a (3.3.3) kozeltest. P (15 ) = 1 (5= 5) = 1:3% a meglep}oen alacsony esely.
3.6. tetel:
Az
N (m; ) normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozo momentumgeneralo fuggvenye m(t) = exp(mt + 2 t2 =2) :
(3:3:4)
: A momentumgeneralo fuggveny de ncioja szerint az Z1 x m 1 m(t) = p etx e dx 2 Z 1 1 exp [( 2 =2)(x2 2mx + m2 22 tx)] dx: = p1 2 1 A kitev}oben teljes negyzette valo kiegesztes utan azt kapjuk, hogy 1 Z 1 exp (x (m + t2 ))2 dx : m(t) = emt+t =2 p 2 2 2 1 p Az integral erteke 2, es gy a bizonytando keplethez jutottunk. Bizony t as
(
2 2
)2
2 2
3.7. tetel: Legyen i egy N (mi ; i ) normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozo (i = 1; 2). Ha 1 esp2 fuggetlenek, akkor 1 + 2 is normalis eloszlasu, m = m1 + m2 varhatoertekkel es = 12 + 22 szorassal.
: Valoban, az mi (t) = exp(mi t + i2 t2 =2) momentumgeneralo fuggvenyek szorzata 2 2 2 exp m1 t + m2 t + (1 +22 )t a 2.4. tetel alapjan 1 + 2 momentum generalo fuggvenye. Bel}ole a normalis eloszlas parameterei kiolvashatok. Bizony t as
A szoras a valoszn}usegi valtozok ingadozasanak leggyakrabban hasznalt merteke. Egy valoszn}usegi valtozo bizonytalansaganak { f}okent az informacioelmeletben hasznalt { masik merteke az entropia. entropiajat az Z1
1
f (x) ln f (x) dx = H ( )
(3:3:5:)
integral ertelmezi. Konny}u kiszamolni az N (m; ) eloszlas entropiajat, ami az p (3:3:6) ln 2e + ln erteknek adodik. (A kepletb}ol latszik, hogy normalis eloszlasra az entropia barmilyen valos erteket felvehet.) A nagy szoras nagy entropiat, azaz nagy bizonytalansagot jelent. Az N (m; ) normalis eloszlas nevezetes tulajdonsaga, hogy a szorasu es m varhato ertek}u eloszlasok kozott a legnagyobb az entropiaja, azaz minden mas szorasu m varhato ertek}u eloszlas entropiaja (3.3.6)-nal kisebb.
33 3.4..
A logaritmikus norm alis eloszl as.
Egy pozitv ertekeket felvev}o valoszn}usegi valtozot logaritmikus normalis eloszlasunak (vagy lognormalis eloszlasunak) mondunk, ha a = ln valoszn}usegi valtozo normalis eloszlasu. Tetelezzuk fel, hogy eloszlasa N (m; ). Ekkor az eloszlasfuggveny de ncioja szerint Z ln x t m 1 F (x) = P ( < x) = P ( < ln x) = p e dt: 2 1 Ebb}ol di erencialassal adodik, hogy (
p1
)2 2 2
(ln x m)2 2 2
(3:4:1) (x > 0): 2x Az irodalomban m helyett es helyett parameter is szokott szerepelni. Az m es bet}uk hasznalata azonban azert celszer}u, mert utalnak a megfelel}o normalis eloszlasra. Integralassal kiszamolhato varhato erteke es szorasa: (3:4:2) M ( ) = em+ =2 ; ( )2 = e2m+ (e 1) f (x) =
exp
2
2
2
A lognormalis eloszlas nevezetes tulajdonsaga, hogy ha lognormalis eloszlasu, akkor a a b valoszn}usegi valtozo is lognormalis eloszlasu tetsz}oleges pozitv a es b szamokra. 3.5..
A khi-n egyzet es a khi-eloszl as.
n szamu fuggetlen standard normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozo negyzetosszegenek eloszlasat n-szabadsagfoku 2 -eloszlasnak nevezik. A 2 -eloszlas s}ur}usegfuggvenye n x x 1e fn (x) = n (x > 0) (3:5:1) 2 (n=2) (A nevez}oben el}ofordulo gamma fuggveny ertelmezese es tulajdonsagai a fuggelekben talalhatok meg.) 3.8. tetel: Az n-szabadsagfoku 2 -eloszlas momentum generalo fuggvenye, varhato erteke es 2
2
2
szorasa a kovetkez}o kepletekkel adott:
m(t) = (1=2t)
n=2 ;
M = n;
p
= 2n :
(3:5:2)
Az valoszn}usegi valtozo eloszlasat -eloszlasnak navezzuk, ha az 2 valoszn}usegi valtozo 2 -eloszlasu. Ez az eloszlas a matematikai statisztikaban jatszik fontos szerepet. Az nszabadsagfoku -eloszlas s}ur}usegfuggvenye 2xn 1 e x =2 fn (x) = n=2 2 (n=2) 2
es varhato erteke
p
(x > 0)
(3:5:3)
((n + 1)=2) : (3:5:4) (n=2) Megjegyezzuk, hogy a 4.6. pelda tartalmazza a ket szabadsagfoku -eloszlas s}ur}usegfuggvenyenek levezeteset. A kovetkez}o peldaban ramutatunk a Maxwell-eloszlas (lasd 2.13. peldat) es a harom szabadsagfoku -eloszlas kapcsolatara.
M= 2
A KHI-ELOSZLAS. 3.5. A KHI-NEGYZET ES
34
3.5. pelda: A kinetikus gazelmelet szerint egy nyugalomban lev}o gaz egy molekulajanak egymasra mer}oleges x; y es z iranyu sebessegkomponensei fuggetlenek, es N (0; ) eloszlasu valoszn}usegi valtozonak tekinthet}ok. Legyen x ; y es z a harom sebessegkomponens. A sebessegvektor q v = x2 + y2 + z2 hosszanak s}ur}usegfuggvenyet a Maxwell-fele sebessegeloszlasi torveny adja meg, amit most levezetunk. A x =, y = es z = valoszn}usegi valtozok standard normalis eloszlasuak, gy v= harom szabadsagfoku -eloszlasu valoszn}usegi valtozo: A -eloszlas s}ur}usegfuggvenyeb}ol fv= (x) = es
2x2 e x =2 2x2 e x =2 = p 23=2 (3=2) 2 2
fv (x) = f (x) =
2
2 3 x2 e x p 2
2 2
=2
p
(2.3.11) parametere es az utobbi keplet -ja kozott az = 2= osszefugges all fenn. Ezert 2 = m=(k).
Gyakorlatok
3.1. gyakorlat: Szamolja ki az N (0; ) eloszlas osszes momentumat!
3.2. gyakorlat: M Egy mosogep elettartama normalis eloszlast kovet 6.4 ev varhato ertekkel es 2.3 ev szorassal. Tudva azt, hogy egy gep 5 evig nem hibasodott meg, mi a valoszn}usege annak, hogy meg tovabbi 3 evig hasznalhato?
3.3. gyakorlat: M Legyen egy parameter}u Poisson eloszlasu valoszn}usegi valtozo. Szamolja ki 1=( + 1) varhato erteket. 3.4. gyakorlat: Igazolja, hogy (3.2.2) valoban egy s}ur}usegfuggvenyt ertelmez! 3.5. gyakorlat: A 2.13. peldaban kozolt Maxwell-fele sebessegeloszlasbol szamolja ki egy olyan gaz molekulainak atlagos kinetikus energiajat, amelynek abszolut h}omerseklete T , es amely m tomeg}u molekulakbol all! 3.6. gyakorlat: M Hasonltsa ossze az 1 szorasu egyenletes es normalis eloszlasok entropiajat!
3.7. gyakorlat: Legyen gamma-eloszlasu valoszn}usegi valtozo. Mi c s}ur}usegfuggvenye, ha c > 0? 3.8. gyakorlat: M A valoszn}usegi valtozo s}ur}usegfuggvenye a kovetkez}o: 8a a 1 (x=b)a ha x > 0, > > < ba x e f (x) = > > : 0 ha 0 < 0.
35 (Itt a es b pozitv parameterek es -t ilyenkor Weibull-fele eloszlasunak mondjuk.) Milyen eloszlasu a b valoszn}usegi valtozo?
3.9. gyakorlat: M Egy valoszn}usegi valtozo olyan lognormalis eloszlasu, amelynek parameterei m = 2 es = 2. Mi a valoszn}usege, hogy a valoszn}usegi valtozo az erteket 4:7 es 9:8 kozott veszi fel? 3.10. gyakorlat: A Poisson-eloszlas diszkret eloszlas, tehat nincs s}ur}usegfuggvenye. Lehetne-e valahogy megis folytonos gorbevel szemlelteni? 3.11. gyakorlat: M Igazolja, az exponencialis eloszlas peldajat kovetve, hogy a geometriai eloszlasnak "nincsen emlekezete" !
36
Negyedik fejezet T obbdimenzi os eloszl asok Tobb valoszn}usegi valtozo egyuttes vizsgalatahoz nem elegend}o az egyes valtozok eloszlasanak ismerete. Ez a teny jol erzekelhet}o a kovetkez}o hetkoznapi eletb}ol vett pedabol. Tegyuk fel, hogy ismerjuk a magyar szemelygepkocsik kor szerinti eloszlasat, es szn szerinti eloszlasat. E ket adat alapjan nem tudjuk megmondani, hogy mi a valoszn}usege, hogy egy 5 eves auto X szn}u. Lehetseges, hogy 5 evvel ezel}ott X a legnagyobb divatszn volt, gy ez a valoszn}useg meglehet}osen nagy, de az is lehet, hogy az X szn 5 evvel ezel}ott el}o sem fordult. Tehat ket veletlen mennyisegre vonatkozo kerdesek nem valaszolhatok meg az egyes valtozok eloszlasa ismereteben, a sztochasztikus kapcsolatot maga a ket eloszlas nem tartalmazza. Egy elvontabb, de ugyanilyen kovetkeztetesre vezet}o pelda: Ha es jeloli a ket valoszn}usegi valtozot, akkor es eloszlasfuggvenye semmit nem mond peldaul a
P (a b; c d) valoszn}usegr}ol, ami az un. egyuttes eloszlas segtsegevel adhato meg. Az egyuttes eloszlas az a fogalom, amely kulonboz}o valoszn}usegi valtozok egymassal valo sztochasztikus kapcsolatat kifejezi. 4.1..
A t obbdimenzi os eloszl as- es s} ur} us egf uggv eny
A es valoszn}usegi valtozok egyuttes eloszlasa az a ketvaltozos F : IR2 ! IR+ fuggveny, amelyre F (x; y) = P ( < x; < y) (x; y 2 IR) (4:1:1) Az F (x; y) eloszlasfuggveny mindket valtozojaban noveked}o es balrol folytonos. Amennyiben es fuggetlenek, akkor P ( < x; < y) = P ( < x)P ( < y), es F (x; y) = F (x)F (y), tehat ket fuggetlen valoszn}usegi valtozo egyuttes eloszlasa egyszer}uen a ket eloszlasfuggveny szorzata. Ha letezik olyan f : IR2 ! IR+ fuggveny, amelyre ZxZy F (x; y) = f (u; v) dv du (4:1:2) 1
1
akkor f -t a es az egyuttes s}ur}usegfuggvenyenek nevezzuk. (Szokas azt is mondani, hogy f a (; ) valoszn}usegi vektorvaltozo s}ur}usegfuggvenye.) (4.1.2) megfordtasa a @2 F (x; y) = f (x; y) (4:1:3) @x@y 37
38
ELOSZLAS ES SUR } US } EGF UGGV 4.1. A TOBBDIMENZI OS ENY
formula. Ha a es valoszn}usegi valtozoknak van egyuttes s}ur}usegfuggvenye, akkor -nek es -nak kulon-kulon is van s}ur}usegfuggvenye. Z1 Z1 f (x) = f (x; y) dy; f (y) = f (x; y) dx: (4:1:4) 1
1
Az f es f s}ur}usegfuggvenyeket a (; ) valoszn}usegi vektorvaltozo perems}ur}usegeinek nevezzuk. Az f -re vonatkozo kepletet a kovetkez}okeppen lathatjuk be. Ha (4.1.2)-ben vegrehajtjuk az y ! 1 hataratmenetet, akkor a Zx Z1 F (x) = f (u; v) dv du 1
1
formulat kapjuk. Ezt x szerint di erencialva a bal oldalon s}ur}usegfuggvenye, a jobb oldalon pedig az egyuttes s}ur}usegfuggveny y szerinti integralja adodik, (4.1.4)-nek megfelel}oen. A (4.1.1) es (4.1.2) kepletek kombinacioja a ZxZy P ( < x; < y) = f (u; v) dv du 1
1
formula, ami nagy mertekben altalanosthato. A bal oldalon annak a valoszn}usege all, hogy a (; ) veletlen pontja a sknak az A = f(u; v) 2 IR2 : u < x; v < yg reszhalmazaba esik, a jobb oldal pedig az egyuttes s}ur}usegfuggvenynek ezen halmazon vett kett}os integralja. Ez az osszefugges nem csak erre a specialis negyed skra, hanem barmilyen A reszhalmazara a sknak teljesul: ZZ P ((; ) 2 A) = f (u; v) du dv (4:1:5) A
Az eddigiekben az egyszer}useg kedveert csak ket valoszn}usegi valtozo egyuttes eloszlases s}ur}usegfuggvenyevel foglalkoztunk. A de nciok es formulak termeszetes modon akarhany valoszn}usegi valtozora is kiterjeszthet}ok. Ha 1 ; 2 ; : : : ; n n darab valoszn}usegi valtozo, akkor az egyuttes s}ur}usegfuggvenyuk egy n valtozos fuggveny, x1 ; x2 ; : : : ; xn valtozokkal, es peldaul (4.1.3)-ban n-szeres derivalas, (4.1.4)-ben egy (n 1)-szeres, (4.1.5)-ben egy n-szeres integralas lesz. Kett}onel tobb valoszn}usegi valtozo f}oleg a normalis eloszlassal kapcsolatban fog a tovabbiakban szerepelni.
4.1. pelda: Tetelezzuk fel, hogy ket veletlen tortenes kovetkezik be egy id}otartam, peldaul egy ora alatt. A valoszn}usegi valtozo jelenti egy bizonyos szalltmany beerkezesenek az idejet, pedig annak a szallto vallalathoz intezett telefonhvasnak az idejet, amelyben a szalltmanyrol erdekl}odnek. Tetelezzuk fel, hogy mind mind egyenletes eloszlasuak. Ennek alapjan az egyuttes eloszlasuk nem meghatarozott, tehat tovabbi feltevesre van szukseg. Legyen es egymastol fuggetlen valoszn}usegi valtozok. Ekkor az egyuttes s}ur}usegfuggvenyuk: 0 x; y 1, f (x; y) = 10 ha egyebkent. A s}ur}usegfuggveny tartoja tehat az egysegnegyzet. Az egyuttes s}ur}useg ismereteben szamos -re es -ra vontatkozo kerdesre valaszolhatunk. Peldaul: Mi a valoszn}usege, hogy < ?
39 Annak a valoszn}useget szamoljuk tehat ki, hogy az elott telefonalnak, hogy a szalltmany beerkezett. Z 1Z x Z 1Z x 1 P ( < ) = f (x; y) dy dx = 1 dy dx = : 2 1 1 0 0
aban azt mondAz el}oz}o peldaban az egyuttes s}ur}usegfuggveny allando a tartojan. Altal juk, hogy a es valoszn}usegi valtozok egyuttesen egyenletes eloszlasuak az A IR2 halmazon, ha egyuttes s}ur}usegfuggvenyuk n f (x; y) = c ha (x; y) 2 A, 0 kulonben. Mivel egy s}ur}usegfuggveny integralja 1, a c allando az A halmaz teruletenek reciproka. Figyelmeztetes: Ket egyuttesen egyenletes eloszlasu valoszn}usegi valtozo nem mindig fuggetlen!
4.2. pelda: Egy berendezes A es B reszegysegenek meghibasodasi idejet a es valoszn}usegi valtozok fejezik ki. Egyuttes eloszlasuk (x+2y) ha x; y 0, f (x; y) = 2e 0 kulonben. Mi annak a valoszn}usege, hogy
(i) A es B legalabb egy evig nem mondja fel a szolgalatot, (ii) B el}obb megy tonkre mint A?
Az (i) esetben a P ( szamolassal:
1;
P (x 1; y 1) =
1), (ii)-ben P ( < ) valoszn}useg a kerdes. Egyszer}u
Z 1Z 1
2e (x+2y) dx dy Z1 1 1 Z1 x = e dx 2e 2y dy = e 1 e 3 = 0:05; 1 Z1 1 Z x Z1 Zx ( x +2 y ) x P ( ) = 2e dy dx = e dx 2e 0 0 0 0 Z1 2 = e x (1 e 2x )dx = : 3 0
2y dy
4.3. pelda: A es valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye a kovetkez}o: 0 x 1 es 0 y x, h(x; y) = 20 ha egyebkent. Hatarozzuk meg es s}ur}usegfuggvenyet!
4.2. FUGGETLENS EG
40
Az egyuttes s}ur}useg tartoja az a haromszog, amelynek csucsai a (0, 0), (1, 0) es (1, 1) pontok. Igy es egyarant a [0, 1] intervallumban veszi fel ertekeit. Zx Z1 f (x) = 2dy = 2x; f (y) = 2dx = 2(1 y) : y
0
Tehat
0x1 f (x) = 20x ha egyebkent,
f (y) = 2(1 y) ha 0 y 1 0 egyebkent.
Erdemes hangsulyozni, hogy annak ellenere, hogy (; ) egyuttesen egyenletes eloszlasu, a peremeloszlasok nem egyenletesek.
4.2..
F uggetlens eg
Tetelezzuk fel, hogy a folytonos es valoszn}usegi valtozoknak letezik egyuttes s}ur}usegfuggvenye. Ha es fuggetlenek, akkor egyuttes eloszlasfuggvenyukre
F (x; y) = F (x)F (y); amib}ol di erencialassal adodik
f (x; y) = f (x)f (y): (4:2:1) Azt is szoktuk mondani, hogy fuggetlenseg eseten az egyuttes s}ur}usegfuggveny faktorizal. 4.1. tetel: Tetelezzuk fel, hogy a es az valoszn}usegi valtozoknak letezik egyuttes s}ur}usegfuggvenye. Ekkor es pontosan akkor fuggetlenek, ha (4.2.1) fennall.
4.4. pelda: A 4.2. peldaban szerepl}o es valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, mert egyuttes s}ur}usegfuggvenyuk szorzatta bomlik. Most ket fuggetlen valoszn}usegi valtozo osszegenek eloszlas- ill. s}ur}usegfuggvenyet fogjuk kiszamolni. Tehat legyenek es fuggetlenek, = + . A < z esemeny azt jelenti, hogy a (; ) pont az y = z x egyenes altal hatarolt (also) felskba esik. Jeloljuk A-val ezt a felskot. ZZ F (z ) = P ( < z ) = f (x)f (y) dx dy A
A kett}os integralban helyettestest hajtunk vegre: u = x + y, v = y. Ez a transzformacio az A felskot az u v sk u = z fugg}oleges egyenese altal hatarolt baloldali felskba viszi. A transzformacio fuggvenydeterminansa 1, ezert ZZ Zz Z1 f (u v)f (v) dv du : F (z ) = f (u v)f (v) du dv = B
Di erencialassal kapjuk s}ur}usegfuggvenyet Z1 f (z ) = f (z 1
1
1
v)f (v) dv;
es ezt az f es f s}ur}usegek konvoluciojanak nevezzuk.
(4:2:2)
41
4.5. pelda: Legyenek es fuggetlen azonos eloszlasu valoszn}usegi valtozok. Kozos s}ur}usegfuggvenyuk x ha x 0, f (x) = e 0 egyebkent. Szamtsuk ki + s}ur}usegfuggvenyet! A konvolucio (4.2.2) kepletet kell hasznalni. Mivel es pozitv ertekeket vesz fel, + valoszn}usegi valtozo g s}ur}usegfuggvenye 0 negatv z ertekekre. Ha z > 0, akkor Z1 Zz g(z ) = f (z x)f (x) dx = e (z x) e x dx = ze z : 1
0
Megemltjuk, hogy ez a g fuggveny egy masodrend}u gamma eloszlas s}ur}usegfuggvenye, lasd (3.2.2)-t.
4.3..
T obb val osz n} us egi v altoz o f uggv enyei
Ha a 1 ; 2 ; : : : ; n valoszn}usegi valtozok egyuttes eloszlasa ismeretes, akkor egy n valtozos h fuggvenyre h(1 ; 2 ; : : : ; n ) valoszn}usegi valtozo eloszlasa meghatarozott. Leggyakrabban, peldaul a statisztikaban, a1 1 + a2 2 + : : : + an n alaku linearis kifejezesek fordulnak el}o, es 1 ; 2 ; : : : ; n teljesen fuggetlen valtozok. 4.6. pelda: 1 ; 2 fuggetlen N (0; ) eloszlasu valoszn}usegi valtozok. Hatarozzuk meg az q = 12 + 22 valoszn}usegi valtozo s}ur}usegfuggvenyet! A fuggetlenseg miatt 1 ; 2 egyuttes s}ur}usegfuggvenye 1 f (x; y) = exp ( x2 =22 ) exp ( y2 =22 ) 22 1 = exp ( (x2 + y2 )=22 ): 22 El}oszor eloszlasfuggvenyet szamoljuk ki. q F (z ) = P 12 + 22 < z = P (12 + 22 < z 2 ) ZZ 1 2 2 2 = 2 exp ( (x + y )=2 ) dx dy: 2 x +y
2
2
KORRELACI OS EGYUTTHAT 4.4. KOVARIANCIA ES O
42
A s}ur}usegfuggvenyt di erencialassal kapjuk:
d F (z ) = 2 z exp ( z 2 =22 ) : dz (A = 1 esetben ez egy 2-szabadsagfoku -eloszlas.) f (z ) =
(4:3:1)
A kovetkez}o tetelt valoszn}usegi valtozok fuggvenyenek varhato erteker}ol bizonytas nelkul kozoljuk.
4.2. tetel: Ha a 1 es 2 valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye f (x; y) es h egy
ketvaltozos fuggveny, akkor
M (h(1 ; 2 )) =
Z 1Z 1 1
1
h(x; y)f (x; y) dx dy:
4.7. pelda: A es valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye a kovetkez}o: 0 x 1 es 0 y x, h(x; y) = 20 ha egyebkent. Hatarozzuk meg varhato erteket! Az el}oz}o tetel szerint az xyh(x; y) fuggvenyt kell integralni a (0,0), (1,0) es (1,1) pontokkal meghatarozott haromszogon, azaz ZZ Z 1Z x Z1 xy dx dy = 2 xy dy dx = x3 dx = 1=4 : M () = 2 H
0
0
0
4.4..
Kovariancia es korrel aci os egy utthat o
Legyen es ket tetsz}oleges valoszn}usegi valtozo. Egymastol valo fugg}oseguket az M ( M ( ))( M ()
(4:4:1)
varhato ertekkel merjuk, amit kovariancianak nevezunk. (A kovariancia jelolesere a ; ; Cov(; ) jelolesek hasznalatosak.) Ha es fuggetlenek, akkor kovarianciajuk 0. A 2.2. tetelb}ol adodik, hogy a kovariancia a
M () M ( )M ()
(4:4:2)
formaban is rhato. A kovariancia segtsegevel van ertelmezve a korrelacios egyutthato:
r=
M (
M ( ))( M ()) ( )()
(4:4:3)
43 A korrelacios egyutthato 1 es 1 koze esik, es abszolut ertekben az 1 erteket csak akkor veszi fel, ha es egymasnak linearis fuggvenye, azaz vannak olyan a es b szamok, hogy = a + b. A (2.7. es 4.3. feladatok ket nem fuggetlen, de 0 korrelacios egyutthatoju (azaz korrelalatlan) valoszn}usegi valtozora adnak peldat. A korrelalatlansag tehat meg nem jelent fuggetlenseget. A korrelacios egyutthato egy szog koszinuszakent ertelmezhet}o, ha a es valoszn}usegi valtozokat olyan vektorkent kepzeljuk el, amelyek hossza a szorasuk. A
2 ( + ) = 2 ( ) + 2 () + 2r( )()
(4:4:4)
osszefuggesben a haromszog geometria koszinusz tetelere ismerhetunk.
4.8. pelda: A es valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye a kovetkez}o: 0 x 1 es 0 y x, h(x; y) = 20 ha egyebkent. Szamoljuk ki es korrelacios egyutthatojat! A 4.3. pelda tartalmazza a perems}ur}usegeket, felhasznalasukkal kiszamoljuk es varhato erteket: Z1 Z1 1 2 2 ( ) = (x 2=3)2 2x dx = ; M ( ) = x 2x dx = ; 3 18 Z0 1 Z0 1 1 1 M () = y 2(1 y) dy = ; 2 () = (y 1=3)2 2(1 y)dy = : 3 18 0 0 Vegul a 4.7. peldabol tudjuk, hogy M () = 1=4 es
r=
M () M ( )M () 1 = ( )() 2
Tobb valoszn}usegi valtozo eseten a paronkenti kovarianciakat es korrelacios egyutthatokat egy-egy matrixba foglalhatjuk ossze. Legyen (1 ; 2 ; : : : ; n ) n valoszn}usegi valtozo. Azt a C matrixot, amelynek i-edik soranak j -edik eleme a Cov(i ; j ) kovariancia, a valoszn}usegi valtozok kovariancia-matrixanak nevezzuk. Hasonloan van de nialva az R korrelaciomatrix a paronkenti korrelacios egyutthatokbol. Mivel barmely valosznusegi valtozonak onmagaval vett korrelacios egyutthatoja 1, az R matrix diagonalisa csupa egyesb}ol all.
4.3. tetel: C es R pozitv szemide nit matrixok, es kozottuk a C=SRS
kapcsolat all fent, ahol a kozonseges matrixszorzast jeloli, es
S = Diag((1 ); (2 ); : : : ; (n )) egy olyan diagonalis matrix, amely a szorasokbol all.
Megjegyezzuk, hogy egy matrix pozitiv szemide nit volta azt jelenti, hogy a matrix X t X alaku valamilyen X matrixra, amelynek transzponaltja X t . Pozitiv szemide nit matrix sajatertekei nemnegatvak.
NORMALIS 4.5. A TOBBDIMENZI OS ELOSZLAS
44 4.5..
A t obbdimenzi os norm alis eloszl as
A 1 ; 2 ; : : : ; n valoszn}usegi valtozok egyuttes eloszlasat normalisnak nevezzuk, ha egyuttes s}ur}usegfuggvenyuk s
f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) =
jBj
(2)n
exp
n X n 1X b (x 2 i=1 j =1 ij i
mi )(xj
mj )
(4:5:1)
alaku, ahol m1 ; m2 ; : : : ; mn valos szamok es B = (bij ) egy n n-es szimmetrikus pozitv de nit matrix. Mind az mi parameterek, mind pedig a B matrix valoszn}usegelmeleti jelentessel br. Az mi nem mas mint i varhatoerteke, a B matrix pedig a C kovariancia matrix inverze. A vektor-matrix rasmoddal (4.5.1) joval tomorebbe valik: s jBj exp ( 1 hB(x m); (x m)i) f (x) = 2 (2)n 1 = p exp ( 12 hC 1 (x m); (x m)i) jCj(2)n
4.9. pelda: Ellen}orizzuk, hogy az alabbi ketvaltozos fuggveny ketdimenzios normalis eloszlas s}ur}usegfuggvenye! 2 1 (x2 xy + y2 ) f (x; y) = p exp 3 3 Keressuk meg az eloszlas kovariancia matrixat! Azt kell megvizsgalni, hogy az adott fuggveny (4.5.1) alaku-e. El}oszor a kitev}ot nezzuk meg. (4.5.1)-ben az all, hogy 1 b11 (x m1 )2 + (b12 + b21 )(x m1 )(y m2 ) + b22 (y m2 )2 ); 2 ami akkor lesz 2 2 (x xy + y2 ); 3 ha 2 4 = 3 2 = 3 2 1 B= 2=3 4=3 = 3 1 2 ; es m1 = m2 = 0. B determinansa 4=3, es a kis szamolas s 4=3 1 p = (2)2 3 azt mutatja, hogy f (4.5.1) alaku. A kovariancia matrix B inverze, ami a linearis algebraban tanultak alapjan szamolhato ki, es 1 2 1 2 1 2 adodik.
45
Ha a (1 ; 2 ; : : : ; n ) valoszn}usegi valtozok egyuttes eloszlasa normalis (azaz (4.5.1) alaku), akkor 1 ; 2 ; : : : ; es n kulon-kulon is normalis eloszlasuak. Az egyszer}useg kedveert korlatozodjunk az n = 2 esetre, es legyen i N (mi ; i ) eloszlasu. Ha r a 1 es 2 valoszn}usegi valtozok korrelacios egyutthatoja, akkor egyuttes s}ur}useguk
f (x; y) =
1
p
exp 2
1
2(1 r2 ) 21 2 1 r h (x m1 )2 x m1 y m2 (y m2 )2 i 2 2r + 1 2 22 1
(4:5:2)
alaku. Meg gyelhetjuk, hogy r = 0 eseten az egyuttes s}ur}usegfuggveny faktorizal egy x-t}ol es egy y-t}ol fugg}o fuggveny szorzatara, tehat ilyenkor 1 es 2 fuggetlenek.
4.4. tetel: Ha ket valoszn}usegi valtozo egyuttes eloszlasa normalis, es a valtozok korrelalatlanok, akkor fuggetlenek is.
Mint azt mar tobb zben hangsulyoztuk, teljes altalanossagban a korrelalatlansag nem vonja maga utan a fuggetlenseget. A tetelben az egyuttes normalis eloszlas feltetelezese igen lenyeges felteves.
4.10. pelda: Mi a 4.9.. peldaban szerepl}o egyuttes eloszlassal adott valoszn}usegi valtozok korrelacios egyutthatoja? A korrelacios egyutthatot az egyuttes s}ur}usegfuggveny (4.5.2)-vel valo osszevetesevel kaphatjuk meg: 1 p p1 = ; 3 21 2 1 r2 amib}ol 3 = 412 22 (1 r2 ). A szorasnegyzetek a 4.9.. peldabol ismert kovariancia matrixbol kipotyognak, 12 = 22 = 1, es r = 1=2.
4.5. tetel: Ha a 1 es 2 valoszn}usegi valtozok egyuttes eloszlasa normalis, akkor barmilyen ; 2 R eseten 1 + 2 normalis eloszlasu. Nevezetesen 1 es 2 normalis eloszlasuak. Ez a tetel azt is jelenti, hogy ha az egyuttes eloszlas normalis, akkor a peremeloszlasok is normalsak.
4.11. pelda: Hatarozzuk meg a a 4.9. peldaban szerepl}o egyuttes eloszlassal adott valoszn}usegi valtozok peremeloszlasat! A peremeloszlasok normalisak, gy elegend}o tudnunk varhato ertekuket es szorasukat. Ezek kiderulnek a 4.9. peldabol. Tehat mindket peremeloszlas standard normalis.
} US } EGF UGGV A REGRESSZIO 4.6. A FELTETELES SUR ENY ES
46
4.12. pelda: Legyen 1 egy veletlenszer}uen kivalasztott hazasparbol a n}o, 2 pedig a fer testmagassaga. Tetelezzuk fel, hogy 1 es 2 egyuttesen normalis eloszlasu, 1 varhato erteke 169 cm, szorasa 5 cm, 2 varhato erteke 177 cm, szorasa 5 cm, tovabba 1 es 2 korrelacios egyutthatoja 0,68. Mi a valoszn}usege, hogy egy feleseg magasabb a ferjenel? A P (1 2 > 0) valoszn}useget kell kiszamolni. A 4.4.. tetel szerint 1 2 normalis eloszlasu. M (1 2 (1
2 ) = 169 177 = 8 2 ) = 2 (1 ) + 2 (2 ) 2Cov(1 ; 2 ) = 25 + 25 2 0:68 5 5 = 16
Igy 1 2 szorasa 4 es = (1 > 2 egyenl}otlenseggel. Ezert
P (1
2 + 8)=4 standard normalis eloszlasu. 1 2 > 0 ekvivalens 2 > 0) = P ( > 2) = 1 (2) = 2:3%:
Tehat 2.3 % a valoszn}usege, hogy egy feleseg magasabb a ferjenel.
4.6..
A felt eteles s} ur} us egf uggv eny es a regresszi o
Legyen es ket olyan folytonos valoszn}usegi valtozo, amelyek f (x; y) egyuttes s}ur}usegfuggvenye letezik. Tudjuk, hogy ekkor -nak van s}ur}usegfuggvenye, es tegyuk fel, hogy f (y) > 0. Rogztett y0 mellett f (x; y0 ) f (xjy0 ) = (4:6:1) f (y0 ) egy s}ur}usegfuggveny, hiszen Z1 Z1 1 1 f (xjy0 ) dx = f (x; y0 ) dx = f (y ) = 1: f (y0 ) 1 f (y0 ) 0 1
f (xjy0 )-t -nek az = y0 feltetelre vonatkozo felteteles s}ur}usegfuggvenyenek nevezzuk. Az x 7! f (xjy0 ) s}ur}usegfuggvenyhez tartozo valoszn}usegi valtozora a " felteve = y0 " elnevezest, es a j = y0 jelolest hasznaljuk. A j = y0 felteteles valoszn}usegi valtozo arrol ad felvilagostast, hogy milyen valoszn}useggel veszi fel ertekeit felteve, hogy -rol tudunk valamit, nevezetesen, hogy = y0 . Ha es fuggetlenek, akkor f (xjy0 ) =
f (x; y0 ) f (x)f (y0 ) = = f (x) : f (y0 ) f (y0 )
Tehat ilyenkor a es a j = y0 valoszn}usegi valtozok azonosak.
4.13. pelda: es egyuttes s}ur}usegfuggvenye 1+xy ha 0 < x < 2 es 0 < y < 1; 3 f (x; y) = 0 kulonben. Irjuk fel az f (xjy0 ) felteteles s}ur}usegfuggvenyt!
47 El}oszor perems}ur}useget szamoljuk ki. Z2 1 + xy 2 + 2y f (y) = dx = 3 3 0 ha 0 < y < 1, egyebkent f (y) = 0. A felteteles s}ur}usegfuggveny de ncioja alapjan ( 1 + xy f (xjy) = 2 + 2y ha 0 < x < 1; 0 < y < 1, 0 kulonben.
Azt a fuggvenyt, ami y0 -hoz az M ( j = y0 ) varhato erteket rendeli, a valoszn}usegi valtozo -ra vonatkozo regressziojanak, vagy elmeleti regressziojanak nevezzuk. Az y 7! M ( j = y) fuggveny grafja a regresszios gorbe. Ha es fuggetlenek, akkor { mint fent lattuk { a es a j = y valtozok azonosak, ezert nek az -ra vonatkozo regresszioja az M ( ) allando fuggveny. A regresszios gorbe meredeksege es sztochasztikus osszefuggeset mutatja. Legjobban latszik ez abban az esetben, amikor es egyuttes eloszlasa normalis. (Az egyszer}useg erdekeben tetelezzuk fel, hogy es 0 varhato ertek}uek.) Ekkor az u = M ( j = v) regresszios gorbe az u = r()v=( ) egyenes. (r jeloli a korrelacios egyutthatot).
4.14. pelda: Egy h}okezelesi folyamattal kapcsolatban a kezeles id}otartama es a kezeles altal kivaltott kemenyedes melysege. ( -t masodpercben, -t mm-ben merjuk.) Egy modell szerint es egyuttes eloszlasa normalis, M ( ) = 18, M () = 9 ( ) = 4:8, () = 2 es a korrelacios egyutthato r = 0; 87. (a) Adja meg az x 7! M (j = x) regressziot! (b) Szamolja ki a felteteles s}ur}usegfuggvenyt, a "kezeles hossza 15 masodperc"-re vonatkozoan!
(c) Mi a valoszn}usege, hogy a kemenyedes melysege 9 es 12 mm koze esik, felteve, hogy a h}okezeles id}otartama 15 sec.? Az m1 = 18; m = 9; 1 = 4:8; 2 = 2; r = 0; 87 adatok felhasznalasaval (4.5.2)-be helyettestve felrjuk az f (x; y) egyuttes s}ur}usegfuggvenyt, es azt elosztjuk -nek az f (x) s}ur}usegfuggvenyevel. Igy kapjuk, az 1 (y 0:36x 2:52)2 f (yjx) = C exp (4:6:2) 2 2 felteteles s}ur}usegfuggvenyt, amely normalis. Kiolvassuk, hogy 2 a szorasnegyzete es 0:36x +2:52 a varhatoerteke. A (b) kerdes valaszahoz ugy jutunk, hogy (4.6.2)-ben x = 15-ot helyettes tunk. Igy egy normalis valoszn}usegi valtozot kapunk, amelynek 7.7 a varhato erteke es p2 a szorasa. (c) megvalaszolasahoz a P (9 12) valoszn}useget kell megadni, ami standardizalassal (3:05) (0:92) = 0:1777.
48
4.7. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMAT
A mernoki-statisztikai problemakban gyakran ismerjuk ket sztochasztikusan osszefugg}o valoszn}usegi valtozo nehany ossszetartozo ertekparjat, es keressuk a valtozok kozotti kapcsolat legjobb linearis kozelteset. Adott es . Ha -t A + B alakban akarjuk kozelteni, x es y ugy meghatarozando szamok, hogy a (A + B ) valoszn}usegi valtozo szorasa a lehet}o legkisebb legyen. A
g(x; y) = M (( (A + B ))2 ) = M (2 ) + A2 M ( 2 ) + B 2
2AM () 2BM () + 2ABM ( )
fuggveny minimumat az ismert modon parcialis derivalassal hatarozzuk meg. Az adodik, hogy c M () + 2 ( M ( )) (4:6:3) ( )
legjobb megkozeltese a legkisebb negyzetek ertelmeben. (Az u = M () + c(v M ( ))=2 ( ) egyenest regresszios egyenesnek is hvjuk. Ez atmegy a v0 = M ( ), u0 = M () ponton.) Abban az esetben, ha az elmeleti regresszio egy linearis fuggveny, akkor grafja a regresszios egyenes. Amennyiben az elmeleti regresszio kozel linearis, helyettesthetjuk a linearis regresszioval. 4.7..
A sztochasztikus folyamat
Egy id}ot}ol fugg}o veletlen mennyiseget sztochasztikus folyamatnak nevezunk. Itt nem celunk a sztochasztikus folyamatok kimert}o ismertetese, els}osorban a Poisson-folyamat peldajara szortkozunk. A Poisson-folyamat jol szemleltethet}o a polimerizacio egyszer}u valoszn}usegelmeleti modelljen. A polimerizacio lancmolekulak novekedesi folyamata, amelynek soran a mar kialakult lanchoz ujabb es ujabb monomer csoport kapcsolodik. A lancok vegenek osszekapcsolodasat az egyszer}u modellben kizarjuk, es azt gondoljuk, hogy a lancmolekula es a monomer csoport veletlen talalkozasakor a csoport hozzakot}odik a lanchoz, es annak hosszat eggyel megnoveli. 1 legyen az a veletlen id}otartam, ami az els}o monomer csoport kapcsolodasaig eltelik, 2 id}otartam mulva kot}odik a masodik csoport az els}o kapcsolodasa utan, es gy tovabb. Tehat 1 ; 2 ; : : : valoszn}usegi valtozok egy sorozata. A valosagban ezek a veletlen id}otartamok nagyon rovidek, ez azonban elvi megfontolasainkat nem zavarja. Mivel i egy "emlekezet nelkuli varakozasi id}o", i exponencialis eloszlasu kell, hogy legyen, mondjuk i parameterrel, es feltetelezhet}o, hogy az i valoszn}usegi valtozok teljesen fuggetlenek. Amennyiben a polimerizacio soran bizonyos korulmenyek valtozatlanok (peldaul h}omerseklet, a szabad monomerek koncentracioja, stb.), akkor feltetelezhet}o, hogy 1 ; 2 : : : azonos eloszlasuak, azaz i = , i-t}ol fuggetlenul. Vizsgaljuk meg, hogy t id}o eltelte utan milyen hosszuak a lancmolekulak! Jelolje Nt azt a valoszn}usegi valtozot, amely a t id}opontban veletlenul valasztott lanc hosszat adja meg. Nt ertekei pozitv egesz szamok es P (Nt n) = P (1 + 2 + : : : + n t); (4:7:1) azaz a lancmolekula hossza pontosan akkor nagyobb vagy egyenl}o mint n a t id}opontban, ha az 1 ; 2 ; : : : ; n varakozasi id}ok osszege legfeljebb t. (4.7.1.)-b}ol kiindulva szamoljuk ki Nt eloszlasat. Nyilvan P (Nt = n) = P (Nt n) P (Nt n 1): (4:7:2) E rdemes bevezetni a n = 1 + 2 + : : : + n valoszn}usegi valtozot. Mivel fuggetlen valtozokat adunk ossze, n momentum generalo fuggvenye M (etn ) =
n
t
(4:7:3)
49
(a 2.10.. pelda es 2.4.. tetel alapjan), amib}ol a Laplace-transzformacio tablazatat hasznalva kapjuk, hogy n s}ur}usegfuggvenye n n 1 x (x > 0): (4:7:4) fn (x) = (n 1)! x e
(Kulonben (3.2.2)-vel osszevetve megallapthato, hogy ez gamma eloszlas.) Nemi parcialis integralassal latszik, hogy Zt Zt ( t)n e t : P (Nt = n) = fn (x) dx fn 1 (x) dx = (4:7:5) n! 0
0
Tehat Nt Poisson-eloszlasu, t parameterrel. Amit gy megkonstrualtunk, az a Poisson-folyamat. Tetelezzuk fel, hogy minden t 2 IR+ szamra adott egy Xt valoszn}usegi valtozo ugy, hogy
(a) X0 0, (b) ha t1 < s1 < t2 < : : : < sn , akkor az Xs Xt ; Xs Xt ; : : : ; Xsn Xtn valoszn}usegi valtozok fuggetlenek, (c) Xs Xt Poisson-eloszlasu (s t) parameterrel, ha s > t. Az ilyen (Xt ) valoszn}usegi valtozo csaladot intenzitasu Poisson-folyamatnak nevezzuk. A (b) es (c) feltetelek ugy fogalmazhatok meg, hogy a folyamat novekmenyei (diszjunkt id}ointervallumokban) fuggetlenek, es Poisson-eloszlasuak az id}ointervallumok hosszaval aranyos parameterrel. Ellen}orizhet}o, hogy a fent konstrualt Nt folyamat eleget tesz az (a){(c) felteteleknek, tehat egy konkret pelda az absztrakt Poisson-folyamatra. A peldaban a folyamat intenzitasa a reakciosebesseggel fugg ossze, az id}oegyseg alatt bekovetkezett atlagos lancnovekedes. 4.15. pelda: Egy polimerizacios folyamatot Poisson-fele sztochasztikus folyamat r le. Miutan a polimerizacio 10 percig folyt, a lancmolekulak atlagosan 280 monomercsoportbol alltak. Meg hany percig kell folytatni az eljarast ahhoz, hogy a molekulalancok 95 %-a tartalmazzon legalabb 1200 monomer csoportot? Legyen a folyamat intenzitasa, ekkor 10 perc utan a lancok eloszlasa 10 parameter}u Poissoneloszlas. A Poisson-eloszlas varhato erteke maga a parameterertek, gy 10 = 280 es = 28. Kiszamoljuk, hogy milyen parameter}u Poisson-eloszlasra igaz, hogy a 1200-nal nagyobb ertekeket 95 % valoszn}useggel vesz fel. Ehhez a 1 n X e = 0:95 n ! n=1200 1
1
2
2
egyenletet kell megoldani -ra. Ez numerikusan, szamtogep segtsegevel lehetseges, = 1144; 575 (lasd fuggelek). A (t + 10) = egyenletekb}ol kapjuk a megoldast, t = = 10 = 30:87.
4.16. pelda: Mi a magyarazata annak a tapasztalati tenynek, hogy a polimerek lanchosszanak eloszlasa akkor is Poisson-eloszlas, ha a reakciosebesseg a polimerizacio soran id}oben valtozik? Gondoljunk arra, hogy a polimerizacio 3 percig intenzitassal folyik, es 3 perc utan megvaltozik az intenzitasa -ra. Ekkor a lanchossz t > 3-ra
N3( ) + Nt( )3 :
Itt mindket valtozo Poisson-eloszlasu, es egymastol fuggetlenek. Ezert osszeguk is Poisson-eloszlasu a 3.2.. tetel kovetkezteben.
50
4.7. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMAT
Poisson-folyamattal rhato le egy uzletbe beter}o vasarlok szama, vagy egy telefonkozpontba beerkez}o hvasok szama is. Gyakorlatok.
4.1. gyakorlat: M Legyen 1 es 2 fuggetlen valoszn}usegi valtozo es tetelezzuk fel, hogy i exponencialis elszlasu i parameterrel (i = 1; 2). Bizonytsuk be, hogy P (1 > 2 ) =
2 1 + 2
barmilyen > 0 szamra!
4.2. gyakorlat: Legyenek 1 es 2 fuggetlen valoszn}usegi valtozok, i ni -ed rend}u, p sikervaloszn}useg}u binomialis eloszlasu (i = 1; 2). Mi a 1 + 2 eloszlasa?
4.3. gyakorlat: M Legyen egyenletes eloszlasu a (0; 2) intervallumban. Bizonytsuk be, hogy sin es cos korrelalatlan valoszn}usegi valtozok.
4.4. gyakorlat: es egyuttesen egyenletes eloszlasu az origo kozeppontu egysegnyi sugaru korlemezen. Szamtsa ki a P ( < ), P ( 2 + 2 < 1=4), P (max(; ) < 1=2) valoszn}usegeket!
4.5. gyakorlat: M A skon ugy valasztunk ki veletlenszer}uen egy pontot, hogy x es y koordinatait egymastol fuggetlenul N (0; 1) eloszlassal adjuk meg. Milyen origo kozeppontu R sugaru korre igaz, hogy a veletlen pont 99% valoszn}useggel beleesik? (A 4.6. pelda sok segtseget nyujt a megoldashoz.)
4.6. gyakorlat: A folyadekban (vagy gazban) lev}o reszecskek az utkozesek kovetkezteben szabalytalan, un. Brown-fele mozgast vegeznek, amely ugy modellezhet}o, hogy t id}o alatt a reszecske x; y es z koordinap tajanak megvaltozasa olyan x(t) ; y(t) ; z(t) valoszn}usegi valtozok, amelyek fuggetlenek es N (0; t) eloszlasuak. Mi a valoszn}usege, hogy a t = 0 id}opontban az origoban lev}o reszecske a t = 2 id}opontban az origo kozeppontu 4 sugaru gombben van?
4.7. gyakorlat: M Milyen eloszlasuak a 4.2. peldaban szerepl}o es valoszn}usegi valtozok?
4.8. gyakorlat: Legyen 1 es 2 ket olyan nem fuggetlen valoszn}usegi valtozo, amelynek egyuttes eloszlasa normalis. Bizonytsuk be, hogy mindig talalhatok olyan es valos szamok, hogy a 1 + 2 es a 1 + 2 valoszn}usegi valtozok fuggetlenek. 4.9. gyakorlat: Legyen A = (aij ) egy nem szingularis n n-es matrix es 1 ; 2 ; : : : ; n olyan valoszn}usegi valtozok, amelyeknek kovariancia matrixa C . Ha n X i = aik k ; k=1
akkor bizonytsuk be, hogy az 1 ; 2 ; : : : ; n valoszn}usegi valtozok kovariancia matrixa A C At , ahol At az A matrix transzponaltja.
51
4.10. gyakorlat: A es valoszn}usegi valtozok egyenletes eloszlasuak az origo kozeppontu egysegnyi sugaru koron. Szamtsa ki a korrelacios egyutthatojukat! 4.11. gyakorlat: es egyuttesen egyenletes eloszlasu valoszn}usegi valtozok a 0 < x < 1, 0 < y < x haromszogon. -t a 2 alakban akarjuk kozelteni. Milyen v = an2 fuggvenyt kell ahhoz valasztani, hogy ( a 2 )2 varhato erteke a legkisebb legyen? 4.12. gyakorlat: A valoszn}usegi valtozo egyenletes eloszlasu a ( 2; 2) intervallumban es = 6 . Szamolja ki a es valoszn}usegi valtozok korrelacios egyutthatojat! 4.13. gyakorlat: M A 1 ; 2 ; 3 valoszn}usegi valtozok kovariancia matrixa a kovetkez}o: 0 1 2:44 2:4 0:84 @ 2 :4 5 1 :4 A 0:84 1:4 1:49 Irja fel a 1 es 3 korrelacio matrixat!
4.14. gyakorlat: M A es valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye 1 f (x; y) = 3 (x + y) ha 0 x 1; 0 y 2 0 egyebkent.
Irja fel eloszlasfuggvenyet!
4.15. gyakorlat: M A es valoszn}usegi valtozok egyuttes s}ur}usegfuggvenye 1 f (x; y) = 3 (x + y) ha 0 x 1; 0 y 2 0 kulonben. Szamolja ki 2
3 + 8 szorasat!
4.16. gyakorlat: es fuggetlen valoszn}usegi valtozok, mindkett}o egyenletes eloszlasu [ 1; 1]-en mi a valoszn}usege, hogy 2 kisebb mint ? 4.17. gyakorlat: M Legyen egy veletlenszer}uen valasztott hazasparbol a fer , pedig a n}o testmagassaga. Tetelezzuk fel, hogy es egyuttesen normalis eloszlasu 0.68 korrelacios egyutthatoval varhato erteke 177 cm, szorasa 5 cm, varhato erteke 170 cm es szorasa 5 cm. Mi a valoszn}usege, hogy egy ferj legalabb 6 cm-rel magasabb a felesegenel? (Hasznalja a fuggvenyt!) 4.18. gyakorlat: M Egy kis uzletbe delutan 1 es 3 ora kozott barmely percben atlagosan ugyanannyi vev}o erkezik, es az egy perc alatt erkez}o vev}ok szamanak szorasa 2.3. Feltetelezve, hogy barmely id}otartam alatt erkez}o vev}ok szama Poisson eloszlast mutat, szamtsa ki annak a valoszn}useget, hogy 2 percig nem jon be vev}o! 4.19. gyakorlat: M es fuggetlen, azonos varhato ertek}u, normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozok. + eloszlasa N(2,4). (a) Milyen eloszlasu ? (b) Szamolja ki + es korrelacios egyutthatojat!
52
4.7. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMAT
4.20. gyakorlat: M es egyuttesen egyenletes eloszlasu az origo kozeppontu 2 sugaru koron. Irja fel s}ur}usegfuggvenyet! 4.21. gyakorlat: M A 1 , 2 es 3 valoszn}usegi valtozok kovariancia matrixa a kovetkez}o: 1 0 2:44 2:4 0:8 @ 2 :4 5 1 :4 A 0:8 1 :4 1 :5 Szamolja ki 1 + 2 es 1
2 kovarianciajat!
odik fejezet Ot Statisztikai k ovetkeztet esek anossagban fogalmazva a statisztikai kovetkeztetesek a tanulmanyozott jelenseg megAltal gyelesi adataibol mondanak valamit a jelenseget modellez}o veletlen valtozokra vonatkozo torvenyszer}usegekr}ol. A statisztikai vizsgalat targyat kepez}o objektumok a hozzajuk rendelt jellemz}okkel egyutt alkotjak a statisztikus sokasagot. A jellemz}ok lehetnek min}osegiek vagy numerikusak, de az egyszer}useg kedveert itt csak egyetlen numerikus jellemz}ovel foglalkozunk. Az a kiserlet, amely a sokasag egy elemenek veletlen kivalasztasabol all, az egyes egyedeken ertelmezett szamertek}u fuggvenyt valoszn}usegi valtozova teszi, es ennek eloszlasat a sokasag eloszlasanak nevezzuk. Legtobbet normalis eloszlasu sokasaggal fogunk foglalkozni. Az egyik tipikus statisztikai problema abban all, hogy korabbi tapasztalatokbol vagy elmeleti ill. heurisztikus meggondolasbol ismerjuk a statisztikus sokasag eloszlasanak jelleget, de nem ismerjuk pontosan az eloszlastpusban szerepl}o valamely parameter aktualis erteket. Ilyenkor meg gyelesi adatokbol becsuljuk a parameter erteket. 5.1..
A statisztikai minta
A statisztika lenyegehez tartozik, hogy a valodi statisztikus sokasagnak csak egy kis reszevel szamol. Gondoljunk arra, hogy egy termek elettartamanak vizsgalata a termeket altalaban tonkreteszi, ezert az ossztermeleshez kepest viszonylag kis mintan hajtjak vegre. A minta kivalasztasakor ugyelni kell arra, hogy az h}uen tukrozze vissza a statisztikus sokasagot, azaz a minta reprezentatv legyen. Valoszn}usegelmeleti ertelemben az n-elem}u minta egymastol teljesen fuggetlen valoszn}usegi valtozokat jelent, amelyek eloszlasa megegyezik a sokasag eloszlasaval. Ha (1 ; 2 ; : : : ; n ) az n-elem}u statisztikai minta, akkor 1 ; 2 ; : : : ; n valoszn}usegi valtozok valamely fuggvenyet statisztikanak nevezzuk. A + + : : : + n x = 1 2 (5:1:1) n statisztikat tapasztalati varhato erteknek hvjak, es az egyik leggyakrabban hasznalt statisztika. Ne feledkezzunk meg arrol, hogy a tapasztalati varhato ertek sztochasztikus mennyiseg, azaz egy valoszn}usegi valtozo! E rteke mas es mas lehet a veletlen kiserlett}ol fugg}oen. A (1 ; 2 ; : : : ; n ) n-elem}u minta elemeit novekv}oen elrendezve kapjuk a rendezett mintat. Jelolese: (1 ; 2 ; : : : ; n ). Masszoval 1 a 1 ; 2 ; : : : ; n szamok kozul a legkisebb, 2 a masodik legkisebb, es gy tovabb. A rendezett mintabol ertelmezett + Y= 1 n (5:1:2) 2 53
5.2. PARAMETERBECSL ES
54
valoszn}usegi valtozo tovabbi pelda statisztikara. 5.1. pelda: Egymastol fuggetlenul 20-szor vegrehajtott meres a kovetkez}o eredmenyeket adta. 0:094 0:108 0:114 0:123 0:128 0:117 0:099 0:093 0:105 0:119 0:126 0:122 0:125 0:115 0:097 0:113 0:109 0:111 0:130 0:120 Tekintsuk ezt 20 elem}u statisztikai mintanak es szamoljuk ki az (5.1.1)-gyel adott tapasztalati varhato erteket es az (5.1.2)-vel adott Y statisztikat! A 20 meresi eredmeny osszege 2.277, amit 20-szal osztva kapjuk, hogy x = 0:1138. A legkisebb mintaelem 0.093, a legnagyobb 0.132, gy Y = 0:1125.
Legyen 1 ; 2 ; : : : ; n egy n-elem}u statisztikai minta. Ekkor i valtozok azonos eloszlasuak, ezert varhato ertekuk ugyanaz. Ez a statisztikus sokasag varhato erteke, amit elmeleti varhato erteknek is nevezunk, ha hangsulyosan kvanjuk megkulonboztetni a tapasztalati varhato ertekt}ol. Nagy mintameret eseten a standardizalt tapasztalati varhato ertek kozelt}oleg normalis eloszlasu. Ez a tartalma a kovetkez}o tetelnek. 5.1. tetel: (Kozponti hatareloszlas tetel) Legyen (1 ; 2 ; : : : ; n ) az n-elem}u statisztikai minta az m varhato ertek}u es szorasu statisztikai sokasagbol. Ekkor p (xn m) n P a< < b ! (b) (a) ha n ! 1.
p
A tetelt nem bizonytjuk. (x m) n= valoban xn standardizalasa, mert M (xn ) = M (i ) = m es 2 (xn ) = n2 =n2 = 2 =n. Mas megfogalmazasban a kozponti hatareloszlas tetel azt mondja, hogy a tapasztalati vahato ertek nagy mintameretre kozelt}oleg normalis eloszlasu M (xn ) = m varhato ertekkel es 2 (xn ) = 2 =n szorasnegyzettel. 5.2..
Param eterbecsl es
A becsles fogalmat el}oszor egy peldaval vilagtjuk meg. Tetelezzuk fel, hogy egy bizonyos varakozasi (vagy kiszolgalasi) id}o exponencialis eloszlasu valoszn}usegi valtozoval modellezhet}o. A s}ur}usegfuggveny bx ha x 0, f (x; b) = be 0 ha x < 0. A b parameter ertekeit nem ismerjuk, es statisztikai uton kvanjuk megbecsulni. Az exponencialis eloszlas varhato erteke a b parameter reciproka, gy heurisztikusan b becslese a varhato ertek reciproka lehet. A (1 ; 2 ; : : : ; n ) veletlen mintabol a varhato erteket az (5.1.1) tapasztalati varhato ertekkel becsulhetjuk, es a b parameter becslese az n 1 + 2 + : : : + n
55 statisztikaval tortenhet. Ha peldaul a 6 elem}u veletlen minta a 11, 29, 14, 13, 16, 13 ertekeket adja (masodpercben merve), akkor a varhato ertek becslese 16, es b becslese 1/16. A becsles a matematikai statisztikanak azt az alapfeladatat jelenti, amikor a statisztikus sokasag eloszlasanak jellege ismert, de az abban szerepl}o valamely parameter erteket mintavetel utjan kvanjuk megbecsulni. A becsleshez egy statisztikat konstrualunk. Termeszetesen nem hasznalhatunk barmilyen statisztikat. Egy statisztikat torztatlan becslesnek nevezunk, ha varhato erteke a parameter valodi erteke. Ket becsles kozul a kisebb szorasut tekintjuk jobbnak, vagy hatasosabbnak.
5.2. pelda: Adott statisztikus sokasag (elmeleti) varhato erteke m. Az n-elem}u (1 ; 2 ; : : : ; n ) veletlen mintabol az n X X= i i i=1
statisztikat kepezzuk olyan nemnegatv i szamokkal, amelyek osszege 1. (X -et sulyozott tapasztalati varhato erteknek nevezhetjuk, a i = 1=n valasztas a szokasos tapasztalati varhato erteket adja.) A varhato ertek linearitasa alapjan n n X X M (X ) = i M (i ) = i m = m; i=1
i=1
ezert X az (elmeleti) varhatoertek torztatlan becslese. Kiszamtjuk X szorasat. X X X X i j M (i j ) + 2i M (i2 ) M (X 2 ) = M (( i i )( j j )) = i i j i6=j X X = i j m2 + 2i M ( 2 )
Mivel
P
i6=j i j
i6=j
=1
P
2 i i
a
i
P
i = 1 feltetelb}ol azt kapjuk, hogy X 2 2 (X ) = i (M ( 2 ) m2 ): i
X szorasa akkor a lehet}o legkisebb, ha i = 1=n. Valoban, X 2 X 1 i = (i 1=n)2 + : n i i Tehat a sulyozott tapasztalati varhato ertekek kozul a kozonseges tapasztalati varhat p o ertek a leghatekonyabb becslese az elmeleti varhato erteknek. Utobbi szorasa ( )= n, es az is lathato, hogy a nagyobb mintameret hatekonyabb becslest biztost.
Legyen (1 ; 2 ; : : : ; n ) egy statisztikus sokasagbol vett n-elem}u minta es
x(n) =
(1 + 2 + : : : + n ) n
(5:2:1)
5.2. PARAMETERBECSL ES
56 a tapasztalati varhato ertek. A tapasztalati szorasnegyzet
s2(n)
n 1X ( = n i=1 i
x(n) )2
(5:2:2)
egy olyan statisztika, amely a sokasag 2 (elmeleti) szorasnegyzetenek becslesere hasznalhato. Belatjuk, hogy n 1 2 (5:2:3) M (s2(n) ) = : n A tapasztalati szorasnegyzet de ncioja alapjan
M (ns2(n) )
=
n X i=1
(M (i2 ) 2M (i x(n) ) + M (x2(n) )):
(5:2:4)
Most minden tagot kulon szamolunk. M (i2 ) = M ( 2 ), mert a mintaelemek azonos eloszlasuak. n X 1X 1 1 M (i j ) M (i x(n) ) = M (i j ) = M (i2 ) + n n n j 6=i j =1 1 n 1 2 = M ( 2 ) + m ; n n
mert a mintaelemek fuggetlensege miatt M (i j ) = M (i )M (j ) = m2 . Vegul
M (x2(n) )
n 1 X 1 X n2 1 2 1 2 2 = 2 M (i ) + 2 M (k i ) = M ( ) + 2 m : n j =1 n k6=j n n
Visszahelyettestve (5.2.4)-be:
M (ns2(n) )
2 2(n 1) 2 1 n2 1 M ( 2 ) m + M ( 2 ) + 2 m2 n n n n i=1 = (n 1)(M ( 2 ) m2 ) = (n 1)2 ;
=
n X
M ( 2 )
amib}ol n-nel valo osztassal (5.2.3) adodik. (5.2.3)-bol lathato, hogy a tapasztalati szorasnegyzet torztott becslese az elmeleti szorasnegyzetnek, de a torztas merteke n novekedesevel csokken, es aszimptotikusan torztatlan becslest kapunk. A peldabol a kovetkez}o de ncio fogalmazhato meg. Legyen
Xn = Fn (1 ; 2 ; : : : ; n )
(5:2:5)
az n-elem}u mintan alapulo statisztika. Azt mondjuk, hogy az Xn becsles sorozat aszimptotikusan torztatlan becslese a parameternek, ha lim M (Xn ) = :
n!1
Tehat a tapasztalati szorasnegyzetek sorozata pelda aszimptotikusan torztatlan becsles sorozatra.
57
5.3. pelda: Legyen (1 ; 2 ; : : : ; n ) a [0; t] intervallumban egyenletes eloszlasu sokasagbol vett minta. Hasznalhatjuk-e az Xn = max(1 ; 2 ; : : : ; n ) statisztikat az ismeretlen t parameter becslesere? A matematika nyelvere atfogalmazva az a kerdes, hogy torztatlan becslese-e Xn a t-nek. Tehat ki kell szamolnunk Xn varhato erteket, es ehhez a s}ur}usegfuggvenyet. Az eloszlasfuggveny de ncioja szerint F (x) = P (Xn < x) = P (1 < x; 2 < x; : : : ; n < x): Ez a valoszn}useg faktorizal, mert a minta elemek fuggetlenek. Azonos eloszlasuak is, ezert (0 ha x 0, n n F (x) = P (1 < x) = (x=t) ha 0 < x t, 1 ha 1 < x. Di erencialva kapjuk Xn f s}ur}usegfuggvenyet: n 1 n ha 0 < x t f (x) = nx t 0 egyebkent. Most ki tudjuk szamolni Xn varhato erteket, Zt M (Xn ) = nxn t n dx = 0
n t: n+1
Tehat Xn varhato erteke nem t, gy Xn torztott becslese a t parameternek. Ha n n}o, akkor a torztas csokken. Mivel n=(n + 1) hatarerteke 1, a becsles aszimptotikusan torztatlan. Azt mondhatjuk, hogy nagy n-re az Xn statisztika hasznalhato t becslesere, de legjobb, ha a korrigalt n+1 Yn = max(1 ; 2 ; : : : ; n ) (5:2:6) n statisztikat hasznaljuk, ez ugyanis torztatlan becsles reven barmilyen n-re jol hasznalhato. A t parameternek a 2x(n) statisztika is torztatlan becslese. Melyiket erdemesebb hasznalni? Yn -t vagy a tapasztalati varhato ertek ketszereset? Az a hatekonyabb becsles, amelynek kisebb a szorasa. Szamoljuk ki tehat a szorasokat! A [0; t] intervallumban egyenletes eloszlas szorasnegyzete a 2.11. pelda alapjan t2 =12. Ezert 2x(n) szorasnegyzete t2 =3n. Ezt kell osszehasonltani Yn szorasnegyzetevel. Zt n 2 2 M (Xn ) = nxn+1 t n dx = t ; n+2 0 es
2 (Y
n + 1 2 n t2 n) = n n+2
t2
=
(n + 1)2
n(n + 1)
1 t2 =
t2 : n(n + 2)
Nagy mintameretre, azaz nagy n-re, t2 =n(n + 2) sokkal kisebb mint t2 =3n, tehat az Yn statisztika joval hatekonyabb becslest biztost.
5.2. PARAMETERBECSL ES
58
Legyen 1 es 2 ket olyan valoszn}usegi valtozo, hogy 1 < 2 . Ekkor (1 ; 2 ) egy veletlen elhelyezkedes}u intervallum, ami tartalmazhatja a becsulend}o statisztikai parametert. Azt mondjuk, hogy (1 ; 2 ) megbzhatosagi intervallum az ismeretlen parameter szamara, az x % szinten, ha annak a valoszn}usege, hogy a parameter 1 es 2 koze esik legalabb x=100%.
5.4. pelda: Normalis eloszlasu statisztikai sokasag szorasa es varhato erteke ismeretlen. Keressunk megbzhatosagi intervallumot a tapasztalati varhato ertekhez a 95%-os megbzhatosagi szinten! Olyan c > 0 szamot keresunk, amelyre P (jx mj < c) 0:95
p
teljesul. Az x m valoszn}usegi valtozo szorasa = n, varhato erteke 0 es normalis eloszlasu. Standardizalunk, hogy a standard normalis eloszlas eloszlasfuggvenyet hasznalhassuk. jx mjpn cpn cpn cpn < = 1 P (jx mj < c) = P p c n = 2 1 Ez akkor lesz 0.95, ha cpn = 0:975 = (1:96) p p azaz c n= = 1:96 es c = 1:96= n. Tekintsuk most az n = 20 mintameretet az 5.1. pelda szamszer}u adataival es tetelezzuk fel, hogy = 0:013. Ekkor c = 0:025=4:472 = 0:006. Az 5.1. peldaban x = 0:114. Analzisunk eredmenyet gy foglalhatjuk ossze: 95%-os megbzhatosaggal allthatjuk, hogy a mert parameter erteke 0:114 0:006 = 0:108 es 0:114 + 0:006 = 0:120 koze esik.
A gyakorlatban hasznalt megbzhatosagi szintek 90%, 95% es 99%. (Tulsagosan nagy megbzhatosagi szintet altalaban azert nem erdemes megkovetelni, mert akkor a megbzhatosagi (vagy kon dencia) intervallum hossza er}osen megn}ohet. (Az el}oz}o peldaban a 99.9% megbzhatosagi szinthez mar a c = 0:010 ertek tartozik, ami csak a nagyon kis szoras es a nagy mintameret miatt nem ad sokkal hoszabb megbzhatosagi intervallumot.)
5.5. pelda: Legyen es ket valoszn}usegi valtozo. Gondoljunk arra, hogy egy Budapesten eladott lakas alapterulete, pedig ugyannek a lakasnak az eladasi ara. ertekere becslest kaphatunk ismereteben a linearis regressziot hasznalva: Cov(; ) M () + 2 M ( ) ( ) Ennek a kepletnek a segtsegevel megbecsulhetjuk egy lakas eladasi arat az alapterulete ismereteben, felteve persze, hogy a kepletben szerepl}o M () varhato erteket es a Cov(; ) 2 ( )
59 regresszios egyutthatot ismerjuk. Ha adott egy statisztikai minta, (1 ; 2 ; : : : ; n ), akkor M () becslesere hasznalhatjuk az empirikus varhato erteket. Ahhoz, hogy a regresszios egyutthatot becsuljuk termeszetesen a -re vonatkozo mintat is ismernunk kell. Legyen ez (1 ; 2 ; : : : ; n ). (Tehat i annak a lakasnak az eladasi ara, amelynek alapterulete i .) A regresszios egyutthato szokasos becslese Pn ( )(i ) i=1 Pn i (5:2:7) 2 : i=1 (i ) Igy Pn (i )(i ) i =1 P + : (5:2:8) n 2 i=1 (i ) Itt a jobb oldalon csak a mintaelemek szerepelnek. Ez a keplet a legkisebb negyzetek elven alapulo egyenesillesztes kapcsan is ismert. Annak az egyenesnek az egyenlete a - skon, amely "leginkabb" a (1 ; 1 ), (2 ; 2 ), : : : ; (n ; n ) pontok kozeleben halad. Termeszetesn az (5.2.8) kepletnek csak abban az esetben van haszna, ha es kozott a kapcsolat megkozelt}oleg linearis.
5.3..
Norm alis eloszl as u sokas agok
Tegyuk fel, hogy a statisztikus sokasag N (m; ) eloszlasu. Ekkor az (5.2.1)-gyel ertelmezett p x tapasztalati varhato ertek is normalis eloszlasu a ref3.3.7 tetel alapjan. x eloszlasa N (m; = n). A tapasztalati szorasnegyzet eloszlasarol szol a kovetkez}o tetel.
5.2. tetel: N (m; ) eloszlasu sokasag eseten ns2(n) =2 (n 1)-szabadsagfoku 2 -eloszlast kovet. Az egyszer}useg kedveert csak az n = 2 esetet tekintjuk. + 2 2 + 2 2s2(2) = 1 1 2 + 2 1 2 = 1p 2 ; 2 2 2 es ezert Azt kell latnunk, hogy (1 kovetkezik.
2s2(2) 1 2 2 = p : 2 2 p 2 )= 2 standard nomalis eloszlasu. Ez a teny a 3.7. tetelb}ol
5.3. tetel: Normalis eloszlasu sokasag eseten a tapasztalati varhatoertek es a tapasztalati szorasnegyzet egymastol fuggetlen statisztikak.
A tetelt nem bizonytjuk. x(n) es s2(n) fuggetlensege a normalis eloszlasu statisztikus sokasagok jellemz}oje. (Barmilyen mas eloszlas eseten a fuggetlenseg nem all fenn.) Az n = 2 mintameret eseten a tetelt a 1 + 2 p es 1p 2 2 2
60
STATISZTIKAI PROB AK 5.4. HIPOTEZIS VIZSGALAT ES
valoszn}usegi valtozok fuggetlenseget alltja. A kinetikus gazelmeletb}ol vett peldaval azt gondolhatjuk, hogy 1 egy molekula x iranyu sebessege, 2 pedig az y iranyu sebessege. A sebessegkomponensek fuggetlensege barmilyen mas derekszog}u koordinatarendszerben fenn kell, p hogy p alljon. Nezzuk,0 most azt az (x0; yp0; z) koordin p ata rendszert, amiben az x0 iranyt (1= 2;0 1= 2; z ) vektor az y iranyt pedig (1= 2; 1= 2; z ) vektor adja meg. p Jol lathato, 0hogy x es y0 mer}olegesek lesznek. Ezek ut a n vegy u k e szre, hogy ( + ) = 2 a reszecske x iranyu 1 2 p 0 sebessege, (1 2 )= 2 pedig az y iranyu sebessege. Mer}oleges iranyokrol leven szo a ket sebessegosszetev}o fuggetlen. Ez az okoskodas termeszetesen nem matematikai bizonytas, de pontosan ramutat arra, hogy a tetel miert igaz. Ha es olyan fuggetlen valoszn}usegipvaltozok, hogy standard normalis eloszlasu es n-szabadsagfoku eloszlast kovet, akkor n= eloszlasat n-szabadsagfoku t-eloszlasnak nevezzuk.
A t-eloszlast W.S. Gosset vizsgalta el}oszor 1908-ban. Egy r sorf}ozde alkalmazottjakent nem publikalhatta statisztikai vizsgalatai eredmenyet, es "Student" alneven rt. Ezert nevezik a t-eloszlast gyakran Student-eloszlasnak. t-eloszlasra a legfontosabb peldat a normalis eloszlasu sokasag szolgaltatja. Az N (m; ) normalis sokasag eseten a p x m t= n 1 n (5:3:1) sn p statisztika Student-eloszlasu, (n 1)-szabads agfokkal. Valoban az ?? tetel szerint ns= (n 1)p szabadsagfoku -eloszlast kovet, (x m) n= standard normalis eloszlasu, es az 5.4.2. Tetel szerint s es x fuggetlenek. A t-eloszlas s}ur}usegfuggvenye n+1 2 x2 (n+1)=2 g(x) = p 1 + (5:3:2) n n n2 es ennek gra konja harang alaku, emlekeztet a normalis eloszlasra. Ennel sokkal tobb is igaz. Ha a szabadsagfok tart a vegtelenhez, akkor az n-szabadsagfoku t-eloszlas a standard normalis eloszlashoz konvergal. Megemltjuk, hogy az n-szabadsagfoku t-eloszlas varianciaja n=(n 2). 5.4..
Hipot ezis vizsg alat es statisztikai pr ob ak
A statisztikai hipotezis vizsgalatban nem az ismeretlen parameter erteket akarjuk megtudni (mint a becslesek alkalmazasakor), hanem a parameter ertekere vonatkozo hipotezisunket akarjuk ellenorizni. Az ellen}orzend}o hipotezis lehet peldaul az, hogy egy darabologep altal levagott cs}odarabok atlagos hossza 115 mm es 123 mm koze esik. Az ellen}orzend}o hipotezist a statisztikusok rendszerint H0 -lal jelolik, es a neve nulla-hipotezis. H1 jeloli az alternatv hipotezist, ami a fenti peldaban az leht, hogy a cs}odarabok atlagos hossza 123 mm-nel nagyobb. A statisztikai hipotezis vizsgalat abban all, hogy a veletlen minta alapjan eldontjuk, hogy elfogadjuk a H0 hipotezist, vagy elvetjuk. A donteskor ketfele hibat kovethetunk el. A hipotezis valojaban igaz, de mi tevesen elvetjuk, ez az els}o tpusu hiba. A masik tevedesi lehet}oseg az, hogy elfogadjuk a hipotezist, de az valojaban hamis. Ez a masodik tpusu hiba. Termeszetesen mindket hiba
61 valoszn}useget kicsinek kvanjuk. A hipotezis vizsgalat a statisztikai proban keresztul valosul meg. Peldakent tekintsunk egy palackozo gepet, amely 200 ml vegyianyagot tolt egy-egy palackba. Statisztikai probaval kvanjuk eldonteni, hogy az egy palackba juto atlagos mennyiseg valoban 200 ml-e. Ezt valasztjuk nulla - hipotezisnek, szemben azzal az alternatvaval, hogy az atlag nem 200 ml. Feltetelezzuk, hogy az egy palackba toltott anyag mennyisege normalis eloszlast mutat. A probahoz az (5.3.1)-gyel adott t statisztikat hasznaljuk. Matematikailag t egy valoszn}usegi valtozo, amelynek eloszlasa ismert. Ha n a minta elemszama, akkor t (n 1) szabadsagfoku Student-eloszlast mutat. Kell valasztanunk egy 0 < p < 1 szamot ugy, hogy a p valoszn}useg}u esemeny gyakorlatilag elhanyagolhato legyen. p = 0; 005 elfogadhato, es az (1 p)100% = 99; 5%-ot a szigni kancia szintjenek nevezzuk. Ez adja meg, hogy milyen bizonyossaggal akarjuk a probat alkalmazni. A Student-eloszlas tablazatabol kikeressuk azt a tp erteket, amelyre P (jtj > tp ) = p (5:4:1) Peldakent gondoljunk arra, hogy 25 palackot vizsgaltak meg, es azt talaltak, hogy atlagosan x = 200; 3 ml anyagot tartalmaztak, es a tapasztalati szoras s = 0; 04 ml volt. Ekkor
p
t = 24
200; 3 200 = 3:67 0; 4
A 24 szabadsagfoku Student-eloszlas tablazatabol t0;005 = 2; 797, ami kevesebb, mint 3.67. A proba alkalmazasakor tehat olyan esemeny kovetkezett be, amelynek valoszn}usege p = 0; 005. Mivel ilyen kis valoszn}useg}u esemenyt gyakorlatilag lehetetlennek telunk, el kell vetni azt a hipotezist, hogy az egy palackba juto mennyiseg atlagosan 200 ml. A fent lert proba a t-proba. Akkor alkalmazhato, ha a sokasag normalis eloszlasu, szorasa ismeretlen, es a varhato ertekre vonatkozo hipotezist kell ellen}orizni.
5.6. pelda: Egy vegyesz a titan meghatarozasara olcso, gyors es pontos eljarast fejleszt ki. Modszere pontossagat bemutatando egy mintan 50 egymastol fuggetlen vizsgalatot vegez, amelyek atlaga 0.0095 ppm es varianciaja 81.0 10 8 . Az uj modszerrel vizsgalt anyagot a regi, draga de bevaltan nagyon pontos vizsgalatnak alavetve azt kapjak, hogy 0.0093 ppm titant tartalmaz. Dontsuk el, hogy a szigni kancia 95%-os szinjen van-e okunk ketelkedni az uj modszer pontossagaban! Ismert a tapasztalati szoras, a tapasztalati varhato ertek, es a varhato ertekre vonatkozo hipotezist kell ellen}orizni. Ha normalis eloszlast tetelezunk fel, akkor a t-proba alkalmazhato. (5.3.1)-be behelyettestve p 0:0095 0:0093 t = 49 = 1:62 : 9 10 4 Az (5.4.1) egyenl}oseghez tartozo tp erteket a 49 szabadsagfoku t-eloszlas tablazatabol vesszuk: p = 0:05 es tp = 2:01. t = 1:62 < tp = 2:01 ; ezert az elteres nem szigni kans a 95%-os szinten, nem kell elvetnunk a 0-hipotezist.
62
STATISZTIKAI PROB AK 5.4. HIPOTEZIS VIZSGALAT ES
Gyakorlatok
5.1. gyakorlat: Legyen (1 ; 2 ; : : : ; 6 ) egy N (0; 1) sokasagbol vett minta. A c allando milyen ertekere lesz az x = c(1 + 2 + 3 )2 + c(4 + 5 + 6 )2 statisztika 2 -eloszlasu? 5.2. gyakorlat: Legyen (1 ; 2 ; : : : ; n ) egy N (m; ) sokasagbol vett minta. Mi n(x(n)
m)2 =2
eloszlasa?
5.3. gyakorlat: Bizonytsa be, hogy a 1 + n 2 statisztika egyenletes eloszlasu sokasag eseten torztatlan becslese az elmeleti varhato erteknek! Y=
5.4. gyakorlat: Mi a valoszn}usege, hogy a normalis eloszlasu = 10 szorasu sokasagbol vett 5 elem}u minta varianciaja tobb, mint 120? Hasznalja fel, hogy a 4 szabadsagfoku 2 -eloszlas s}ur}usegfuggvenye 1 x=2 ha x > 0, f (x) = 4 xe 0 egyebkent. 5.5. gyakorlat: M 1 ; 2 ; : : : ; 5 fuggetlen standard normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozok. Milyen c allandora lesz c(1 + 2 ) 2 (3 + 42 + 52 )1=2 t-eloszlasu valoszn}usegi valtozo? 5.6. gyakorlat: Adjon reszletes bizonytast arra, hogy az n-szabadsagfoku t-eloszlas a standard normalis eloszlashoz tart, ha n ! 1!
5.7. gyakorlat: M es fuggetlen normalis eloszlasu valoszn}usegi valtozok 0 varhato ertekkel es 2 varianciaval. Hatarozza meg a + )2 P < 4 ( )2 erteket!
5.8. gyakorlat: 50 hallgato megmerte az aluminium fajh}ojet. A mereseikb}ol szamolt (tapasztalati) atlagertek 0.2210 (cal/g C) es a tapasztalati szoras 0.0240 (cal/g C). Mit mondhatunk a megbzhatosag 95%-os szintjen a hibarol, ha az atlagerteket tekintjuk az aluminium igazi fajh}ojenek?
63
5.9. gyakorlat: Egy statisztikai adat azt mondja, hogy az rogepek 30%-at egy A ceg gyartja. Ugyanakkor egy felmeres azt mutatja, hogy 500 megnezett rogepb}ol 118-at gyartott az A ceg. Ketelkedunk-e a 30%-os adatban a szigni kancia 99%-os szintjen? 5.10. gyakorlat: 0:013 szorasu normalsi eloszlasu statisztikai sokasag tapasztalati varhato ertekeihez keresunk megbzhatosagi intervallumot a 99%-os szinten. Mekkora legyen a mintameret, ha a 0:002 hosszusagu intervallumot akarunk biztostani? 5.11. gyakorlat: M 1 ; 2 ; : : : ; 5 standard normalis eloszlasu fuggetlen valoszn}usegi valtozok. Milyen elszlasa van az 2 p 2 25 2 2 1 + 2 + 3 + 4 valoszn}usegi valtozonak? 5.12. gyakorlat: Mikor nevezunk egy becsles sorozatot aszimptotikusan torztatlannak? Mondjon peldat! Mit ertunk azon, hogy egy becsles hatekonyabb a masiknal? Mondjon peldat! 5.13. gyakorlat: M 1 ; 2 ; : : : ; 6 0 varhato ertek}u es 2 szorasu statisztikai sokasagbol vett 6 elem}u veletlen minta. Milyen c szamra lesz a c(1 + 2 + 3 )2 + c(4 + 5 + 6 )2 statisztika 2 eloszlasu? 5.14. gyakorlat: Mit nevezunk torztatlan statisztikai becslesnek? Egy statisztikus sokasag eloszlasarol tudjuk, hogy egyenletes a [ t; t] intervallumon, de a t parametert nem ismerjuk. Javasoljon statisztikat a t parameter becslesere! Indokolja javaslatat! 5.15. gyakorlat: M Normalis eloszlasu statisztikus sokasag szorasat ismerjuk, 0.13. Mekkora legyen a mintameret, hogy az ismeretlen elmeleti varhato ertekhez a tapasztalati varhato ertekb}ol a 95%-os szinten 0.1 hosszusagu megbzhatosagi intervallumot kapjunk? 5.16. gyakorlat: (1 ; 2 ; 3 ; 4 ) egy [0; t] intervallumban egyenletes eloszlasu statisztikus sokasagbol vett veletlen minta. Az + + + + 22 + 3 + 24 1 = 1 2 3 4 ; 2 = 1 ; 3 = 1 + 2 4 3 statisztikak kozul melyiket hasznalna az ismeretlen t parameter becslesere? Reszletesen indokolja valaszat! 5.17. gyakorlat: M Exponencialis eloszlasu sokasagbol vett 3 elem}u minta (1 ; 2 ; 3 ). Hasznalhato-e az = MAX(1 ; 2 ; 3 ) statisztika a sokasag varhato ertekenek becslesere? (Az valoszn}usegi valtozo a mintaelemek legnagyobbikat jeloli.) 5.18. gyakorlat: M A [0; t] intervallumban egyenletes eloszlasu statisztikus sokasag t parametere ismeretlen. A (1 ; 2 ; 3 ; 4 ) veletlen mintan alapulo 1 = 1 + 2 + 3 4 ; 2 = 1 + 4 statisztikak kozul melyik el}onyosebb t becslesere? (Miert?) 5.19. gyakorlat: Magyarazza meg, hogy (5.2.7) miert becslese a regresszios egyutthatonak!
64
F uggel ek
1..
A Stirling-formula
A valoszn}usegszamtasban a faktorialisok kozelt}o kiszamtasara gyakran hasznaljak a Stirling-formulat, amely legegyszer}ubb alakjaban az n n p n! 2n (7:1:1) e formaban rhato. Pontosabban n n p n n p 2n n! 2ne n : e e egyenl}otlenseg ervenyes minden n egesz szamra, azaz n 2 p 2n; ahol 1 n exp(1=12n) : n! = n e 1. pelda: Alkalmazzuk a Stirling-formulat a p2n = 2nn 2 2n 1 12
(6:1:2) (7:1:3)
valoszn}usegek hatarertekenek kiszamtasara, ha n ! 1! (p2n az 1.9. gyakorlatban fordul el}o.) Mivel (2n)! 2n 2 p2n = n!n! a (7.1.3) alaku Stirling-formulat alkalmazva kapjuk, hogy
p
4n 2n ; 2n n2 ami 0-hoz tart, hiszen oda tart az els}o tort, a masodik pedig 1-hez.
p2n =
1. gyakorlat: Legyen (p1 ; p2 ; p3 ; : : : ; pk ) egy valoszn}usegeloszlas. Igazolja, hogy k X 1 n! lim ln = pi ln pi n!1 n (p1 n)!(p2 n)! : : : (pk n)! k=1
a Stirling-formula segtsegevel! 65
2. A GAMMA-FUGGV ENY
66
Ezt a "gyakorlatot" els}okent kozben.
Ludwig Boltzmann
oldotta meg a statisztikus zika megalapozasa
2. gyakorlat: Vezesse le az n ln n n + 1 < ln(n!) < (n + 1) ln(n + 1) (n + 1) + 1 becsleset n!-nak ugy, hogy az ln x fuggveny grafja alatti teruletet integralassal szamolja ki! 2..
A gamma-f uggv eny
A gamma-fuggvenyt a pozitv szamokon a Z1 (x) = tx 1 e t dt
(7:2:1)
0
integrallal ertelmezzuk. (x) tetsz}olegesen sokszor di erencialhato fuggveny, a di erencialas az integraljel mogott vegezhet}o el. A gamma-fuggveny legfontosabb tulajdonsaga (x + 1) = x (x) ;
(7:2:2)
es ez parcialis integralassal igazolhato. Mivel (1) = 1, teljes indukcioval adodik, hogy (n + 1) = n!
(7:2:3)
minden pozitv egesz n-re. A gamma-fuggveny a termeszetes szamokon ertelmezett faktorialis fuggvenyt terjeszti ki tetsz}olegesen sokszor di erencialhato fuggvennye. A gamma-fuggveny (7.2.3) tulajdonsagat a Laplace-transzformacio tablazata segtsegevel is belathatjuk. Ha f (x) = xn , akkor a Laplace-transzformacio tablazata szerint Z1 n! tn e tx dt = n+1 : x 0 Ez x = 1-et veve eppen (7.2.3)-at adja.
2. pelda: Bebizonytjuk a
p
(1=2) =
osszefuggest! A (1=2) de nciojaban a t = u2 helyettestest alkalmazzuk: p p Z1 Z1 u 1 = 2 x (1=2) = x e dx = 2 e =2 = : 2 0 0 2
3. gyakorlat: Mennyi (3=2)?
67 3..
A maximum-entr opia elve
Egy f (x) s}ur}usegfuggveny}u eloszlas entropiajat az Z1 f (x) ln f (x) dx 1
(7:3:1:)
integral ertelmezi, es egy diszkret (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) eloszlas entropiaja n X i=1
pi ln pi :
(7:3:2)
A maximum-entropia elve azt mondja, hogy ha egy eloszlasrol bizonyos tulajdonsagokat ismerunk, de ezek nem hatarozzak meg az eloszlast egyertelm}uen, akkor legcelszer}ubb azt az eloszlast felteteleznunk, amely az adott tulajdonsagu eloszlasok kozott a legnagyobb entropiaju. Itt van nehany pelda: (a) Ha a (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) valoszn}usegeloszlasrol semmit sem tudunk, de n erteket ismerjuk, akkor a pi = 1=n feltetelezes a legjobb, ennek a legnagyobb az entropiaja, ln n. P (b) Azon (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) valoszn}usegeloszlasok kozott, amelyekre a i pi Ei = E feltetel teljesul adott Ei es E ertekekkel, a
pi =
Ei Pexp( Ei ) E i exp( Ei )
(1 i n)
(7:3:3)
a legnagyobb entropiaju. HaPpi annak valoszn}usee, hogy egy reszecske az i-edik allapotban van, ahol energiaja Ei , akkor a i pi Ei = E eppen az energia atlagerteke. Tehat rogzitett energia atlag mellett a (7.3.3) eloszlas a legnagyobb entropiaju. A statisztikus zikaban (7.3.3)-at Boltzmann fele eloszlasnak nevezik. (c) Egy adott veges intervallumra koncentralodo eloszlasok kozul az egyenletes eloszlas entropiaja a legnagyobb. (d) Az adott varhato ertek}u IR+ -on lev}o eloszlasok kozul a megfelel}o exponencialis eloszlas entropiaja a legnagyobb. (e) Az adott varhato ertek}u es adott szorasu eloszlasok kozul a megfelel}o normalis eloszlas entropiaja a legnagyobb. A maximum-entropia elve erthet}ove teszi, hogy miert hasznaljuk olyan gyakran a normalis, exponencialis es egyenletes eloszlasokat.
1949-ben Claude Shannon villamosmernok a (7.3.2) mennyiseget a bizonytalansag mertekeul valsztotta. Ha egy kiserlet n kulonfele kimenetele p1 ; p2 ; : : : ; pn valoszn}usegekkel kovetkezik be, akkor az igazi kimenetelt annal nagyobb esellyel lehet megjosolni, minel kisebb az eloszlas entropiaja. A Shannon-fele entropia az informacioelmeletben jatszik fontos szerepet.
ANY 4. NEH PELDA A MAPLE HASZNALAT ARA
68 4..
N eh any p elda a MAPLE haszn alat ara
Ebben a reszben1 a MAPLE programcsomagot hasznaljuk fel a 4.15. pelda numerikus kiszamtasara es megbizhatosagi intervallum keresesere.
1 Ez
a resz Sudar Csaba k ozrem} uk odesevel kesz ult.
69
70
ANY 4. NEH PELDA A MAPLE HASZNALAT ARA
71
72
ANY 4. NEH PELDA A MAPLE HASZNALAT ARA
73
74
ANY 4. NEH PELDA A MAPLE HASZNALAT ARA
