Talk less... do more.............!!!!!
CALCULUS VEKTOR
Diferensiasi fungsi VEKTOR Integrasi fungsi Vektor
Diferensiasi fungsi VEKTOR
Diferensiasi Biasa dari fungsi vektor Jika Dan
r r = xi + yj + zk x = x(u ) ; y = y (u ) ; dan z = z (u )
Dimana u adalah suatu skalar, maka diferensiasi r terhadap u :
r dr dx di dy dj dz dk = i+x + j+ y + k+z du du du du du du du
Sistem koordinat Kartesian (x,y)
y j
j
i i
j j
x i
i
Vektor satuan arah sumbu x dan arah sumbu y selalu tetap kapan pun dimana pun, tidak bergantung posisi dan waktu
Tapi karena i, j, dan k dalam sistem koordinat kartesian adalah konstan tidak bergantung posisi dan waktu, maka diferensiasi dari r terhadap u (biasanya variabel ruang) menjadi : 0
0
r dr dx di dy dj dz dk = i+x + j+ y + k+z du du du du du du du r dr dx dy dz = i+ j+ k du du du du
0
Sistem koordinat Polar (r,θ)
y uθ
ur uθ
ur
θ ur uθ ur
uθ
Vektor satuan arah r dan arah θ tidak tetap bergantung posisi
x
Rumus-rumus diferensiasi fungsi vektor yang lain : Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar u yang diferensiabel dan φ sebuah fungsi skalar dari u yang diferensiabel, maka : r r r r r r r d dB dA d r r dA dB 2 . A • B = A • + •B ( 1. A + B) = + du du du du du du
(
r r r dB dA r d r r 3. A× B = A× + ×B du du du
(
)
)
(
)
d r r r 6. A× B × C du
r r d dA dφ r 4. + A φA = φ du du du
( )
r v r dA dφ r = A• B× + A du du r r r r r v r dC dB dA r r = A × (B × ) + A× ( × C) + × B×C du du du
(
d r r r 5. A• B×C du
)
(
)
Diferensial Parsial dari fungsi vektor Jika A adalah sebuah vektor yang bergantung pada lebih dari satu variabel skalar, misalkan x, y, z, maka kita tuliskan A = A(x,y,z). Maka A dapat diturunkan secara parsial terhadap x, terhadap y, atau terhadap z, dengan menganggap veriabel bebas lainnya konstan.
∂A ∂A = ∂x ∂x y , z = kons tan
∂A ∂A = ∂y ∂y x , z = kons tan
∂A ∂A = ∂z ∂z x , y = kons tan
Diferensiasi-diferensiasi yang lebih tinggi dapat didefinisikan seperti dalam kalkulus, sbb : r r ∂ A ∂ ∂A = 2 ∂x ∂x ∂x r r 2 ∂ A ∂ ∂A = ∂x∂y ∂x ∂y 2
r r ∂ A ∂ ∂A = 2 ∂y ∂y ∂y r r 2 ∂ A ∂ ∂A = ∂y∂x ∂y ∂x 2
r r r 2 ∂ A ∂ ∂ A ∂ ∂ ∂A = = 2 2 ∂x∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z 3
Apakah
r r ∂2 A ∂2 A ??? = ∂x∂y ∂y∂x
r r ∂ A ∂ ∂A = 2 ∂z ∂z ∂z 2
Jika A memiliki sekurang-kurangnya diferensiasidiferensiasi parsial orde kedua yang kontinyu (fungsi vektor berkelakuan baik), maka
r r ∂2 A ∂2 A = ∂x∂y ∂y∂x
Aturan-aturan untuk diferensiasi parsial dari fungsifungsi vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam kalkulus dasar dari fungsi-fungsi skalar. Jadi jika A dan B adalah fungsi-fungsi dari x, y, z, maka : r r r ∂B ∂A r ∂ r r 1. A• B = A• + •B ∂x ∂x ∂x
(
)
r r r ∂B ∂A r ∂ r r A× B = A× 2. + ×B ∂x ∂x ∂x
(
)
r r r r ∂ ∂ ∂ r r ∂ r ∂B ∂A r 3. A• B = A• B = + • B A• ∂x∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x 2
(
)
(
)
Diferensial dari vektor-vektor Mengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari kalkulus dasar, seperti : r r 1. Jika A = A1i + A2 j + A3 k , maka dA = dA1i + dA2 j + dA3 k r r r r r r 2. d A • B = A • dB + dA • B r r r r r r 3. d A × B = A × dB + dA × B r r 4. Jika A = A( x, y, z ),
( (
) )
r r r r ∂A ∂A ∂A maka dA = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
Contoh soal Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva :
x = 2t 2 , y =t 2 − 4t, z =3t −5
dimana t adalah variabel waktu. Tentukan komponen kecepatan dan percepatan pada saat t=1 dalam arah vektor A = i – 3j + 2k Jawab Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu, ditulis :
r r dr v = dt
(
)
r 2 2 Dari soal diketahui : r = 2t i + t − 4t j + (3t − 5)k Maka :
r r dr d v= = {2t 2i + t 2 − 4t j + (3t − 5)k} dt dt
(
)
Contoh soal r v = 4t i + (2t − 4 ) j + 3k Pada t = 1,
r v = 4 i − 2 j + 3k Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadap u dimana u adalah vektor satuan arah A
r Komponen = v • uˆ r A i − 3 j + 2k i − 3 j + 2k ˆu = r = = 1+ 9 + 4 14 A
Contoh soal Komponen kecepatan dalam arah vekor A adalah
r 16 i − 3 j + 2k v • aˆ = (4i − 2 j + 3k ) • = 14 14 Percepatan didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan terhadap waktu, ditulis :
r r dv a= dt Sebelumnya didapat
maka
r v = 4t i + (2t − 4 ) j + 3k
r r dv d a= = {4t i + (2t − 4 ) j + 3k} dt dt
Contoh soal r a = 4i + 2 j Pada t = 1,
r a = 4i + 2 j Komponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari a terhadap u dimana u adalah vektor satuan arah A
r Komponen = a • uˆ
Komponen percepatan dalam arah vekor A adalah
r i − 3 j + 2k − 2 a • uˆ = (4i + 2 j ) • = 14 14
Soal Latihan Jika
(
) (
) (
)
r A = 2 x 2 y − x 4 i + e xy − y sin x j + x 2 cos y k ,
Tentukan :
r r r r 2 2 ∂A ∂A ∂ A ∂ A , , , ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x
Apakah A berkelakuan baik ?
Tugas PR Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh:
r r = cos ωt i + sin ωt j dimana ω konstan. Buktikan bahwa : a. Kecepatan v dari partikel tegak lurus r b. Percepatan a arahnya menuju titik asal dan besarnya sebanding dengan jarak ke titik asal c. r x v = vektor konstan
Operator Diferensial Vektor Lambang : ∇ Baca : “del” atau Nabla Definisi : ∂ ∂ ∂ ∇≡i + j +k ∂x ∂y ∂z Operator vektor ini memiliki sifat-sifat yang analog dengan vektor-vektor biasa, bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yang sering muncul dalam pemakaian praktis termasuk dalam Fisika yang dikenal sebagai Gradien, Divergensi, dan Curl.
Gradien Misalkan φ (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam ruang, maka : Gradien φ atau Grad φ atau ditulis ∇φ didefinisikan sebagai :
∂ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = i + j + k φ = i +j +k ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x Perhatikan bahwa ∇φ merupakan suatu fungsi vektor
Komponen dari ∇φ dalam arah sebuah vektor satuan a, diberikan oleh :
∇φ • aˆ
“ Directional derivative” atau “Turunan Berarah” dari φ dalam arah a. Secara fisis Disebut
memiliki pengertian laju perubahan kuantitas fisika φ pada (x,y,z) dalam arah a, dan ditulis :
dφ = ∇φ • aˆ ds
Turunan Berarah Contoh kuantitas fisis yang tergolong medan skalar (φ) potensial listrik (V) (V),, temperatur (T) dan adalah potensial gravitasi (Ep)
dT = ∇T • aˆ ds
Medan Listrik dan Potensial listrik E V b E
V
a
+ d V E
q
c
V E
kq E = 2 rˆ r kq V = r
Karena r yang sama, maka Va = Vb = Vc = Vd tapi Ea ≠ Eb ≠ Ec ≠ Ed
E a = Eb = Ec = E d
Medan Listrik dan Potensial listrik V2
V1 b V2
V1 a q
+ d V1
V2
c V1
V2
Medan Listrik dan Potensial listrik d
Ketika bergerak dari c ke d atau ke e, atau ke f, atau ke g, atau ke h, menempuh selisih potensial listriknya yang sama, yaitu V1-V2 = ∆V
e Bidang-bidang equipotensial
f c
g
V1
h V2
Yang berbeda adalah panjang lintasan yang ditempuh. Hal ini menunjukkan laju perubahan potensial berbesa, semakin panjang lintasan berarti laju perubahannya kecil dan sebaliknya
Hal ini menunjukkan laju perubahan potensial bergantung arah = turunan berarah
Medan Listrik dan Potensial listrik dV = ∇V • aˆ ds
d e Bidang-bidang equipotensial
dV = ∇V aˆ cos θ ds
f c
g
V1
h V2
Pada perpindahan dari c ke g, vektor a(arah perpindahan) searah dengan ∇φ, ∇φ sehingga θ adalah 0 (nol)
∇V θ Adalah sudut antara ∇V dan a ∇V adalah vektor tegak lurus V di suatu titik.
dV = ∇V cos 0 = ∇V = maksimum ds
φ
∇φ
∇φ ∇φ ∇φ
∇φ
∇φ ∇φ
φ
∇φ
Bukti
P(xo,yo,zo)
a φ=C C
B
dφ = ∇φ aˆ cos θ ds dφ =0 ds
Titik P, C, B, A terletak pada satu bidang φ, sehingga ketika bergerak dari P ke C atau ke B atau ke A tidak terjadi perubahan nilai φ, sehingga ∆φ = 0. dengan demikian :
∆φ =0 ∆s
A
Berarti antara ∇φ dan a di titik p membentuk sudut 90o. Dengan demikian ∇φ tegak lurus a.
Dari kalkulus
lim
∆s →0
∆φ dφ = =0 ∆s ds
∇φ
Bukti
90o P(xo,yo,zo)
a
φ=C C
B A
Contoh Soal Diberikan fungsi potensial listrik dalam ruang :
V = xy 2 + yz + z sin x Tentukan : a. ∇V di titik (0,1,2)
r b. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah A = 2i + 2 j − k Jawab : a. ∇V = i ∂V + j ∂V + k ∂V
(
∂x
∂y
)
∂z
∇V = i y 2 + z cos x + j (2 xy + z ) + k ( y + sin x ) Di titik (0,1,2)
∇V = 3i + 2 j + k
Contoh Soal b.
dV = ∇V • uˆ ds
Di titik (0,1,2)
u adalah satuan vektor dalam arah A, sehingga :
r A 2i + 2 j − k 2i + 2 j − k uˆ = r = = 3 4 + 4 +1 A sehingga
dV 2i + 2 j − k = (3i + 2 j + k ) • ds 3 dV =3 ds
Soal latihan Diberikan fungsi temperatur dalam ruang dan titik P(3,4,1) :
T = x 2 − yz Tentukan : a. ∇T di titik P b. Suatu vektor satuan normal permukaan T=5 di P c. Suatu vektor dalam arah peningkatan dari T paling cepat di P d. Besar vektor pada soal c e. Turunan dari T di P dalam arah sejajar garis :
r r = i − j + 2k + (6i − j − 4k )t
Divergensi Misalkan
r V ( x, y, z ) = V1i + V2 j + V3 k
Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang maka : Divergensi V atau Div V atau ditulis ∇.V, didefinisikan sebagai :
∂ ∂ ∂ ∇ • V = i + j + k • (V1i + V2 j + V3 k ) ∂y ∂z ∂x
∂V1 ∂V2 ∂V3 ∇ •V = + + ∂z ∂x ∂y
Curl r A( x, y, z ) = A1i + A2 j + A3 k
Misalkan Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang maka : Curl A atau Rot A atau ditulis ∇xA, didefinisikan sebagai :
r ∂ ∂ ∂ ∇ × A = i + j + k × ( A1i + A2 j + A3 k ) ∂y ∂z ∂x
r ∇× A= ∂
i
∂x A1
j ∂
∂y A2
k ∂
∂z A3
Contoh soal Hitung divergensi dan Curl dari medan vektor berikut :
r A = zi + yj + xk
Jawab :
Divergensi V atau Div V atau ditulis ∇.V, didefinisikan sebagai :
r ∂A1 ∂A2 ∂A3 ∇ • A= + + ∂x ∂y ∂z r ∂z ∂y ∂x ∇ • A= + + ∂x ∂y ∂z r ∇ • A = 0 +1 + 0 = 1
Curl A atau ditulis ∇xA, didefinisikan sebagai :
r ∇× A= ∂
i
∂x A1
r ∇× A= ∂
r ∇× A= 0
j ∂
∂y A2
i ∂x z
k ∂
∂z A3
j ∂
∂y y
k ∂
∂z x
Variasi Formula Mengandung ∇
Laplac Lapla cian Misalkan U (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam ruang, maka : Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
∂ ∂U ∂ ∂ ∂U ∂U +j +k ∇ • ∇U = i + j + k • i ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x 2 2 2 ∂ U ∂ U ∂ U 2 ∇U = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z
Contoh soal Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
U = x 3 − 3xy 2 + y 3 Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ∇U = + 2 + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
∇ 2U = 6 x + (− 6 x + 6 y ) + 0 ∇ 2U = 6 y
Soal latihan 1. Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
(
U = ln x 2 + y 2 2. Hitunglah :
jika
∇ •
r r r r
)
r r = xi + y j + z k
INTEGRASI FUNGSI VEKTOR
Integral Biasa r R(u ) = R1 (u )iˆ + R2 (u ) ˆj + R3 (u )kˆ merupakan sebuah vektor yang bergantung pada variabel skalar tunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u) kontinu dalam suatu selang yang ditentukan ditentukan.. Maka:: Maka
r ˆ R1 (u ) du + ˆj R2 (u ) du + kˆ R3 (u ) du R ( u ) du = i ∫ ∫ ∫ ∫ Disebut integral tak tentu dari R(u)
Jika terdapat suatu vektor
r S (u )
sehingga
{ }
r d r R(u ) = S (u ) du
Maka:
{ }
r d r ∫ R(u ) du = ∫ du S (u ) du r r r ∫ R(u ) du = ∫ d S (u ) = S (u ) + C C adalah vektor konstanta
Integral tentu antara limit limit--limit u = a dan u = b, ditulis sbb :
{ }
u =b
u =b r d r ∫u =aR(u)du = u∫=a du S (u ) du u =b
u =b r r ∫ R(u)du = ∫ dS (u )du
u =a
u =a
u =b
r u =b r r r ∫ R(u)du = S (u ) = S (b) − S (a)
u =a
u =a
Contoh Soal Percepatan suatu partikel pada setiap saat t > 0 diberikan oleh oleh::
r a = (12 cos 2t )iˆ − (8 sin 2t ) ˆj + (16t )kˆ Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol, nol, Tentukan kecepatan dan posisi partikel setiap saat!
r r v = ∫ a dt r r r = ∫ v dt
r t = 0 → v (t = 0) = v0 = 0 r r (t = 0) = r0 = 0
Solusi r ˆ v = i ∫ 12 cos 2t.dt − ˆj ∫ 8 sin 2t.dt + kˆ ∫ 16t.dt r ˆ 1 v = i 12 ⋅ ⋅ sin 2t − 2
( )
ˆj (−8) ⋅ 1 ⋅ cos 2t + kˆ 8t 2 + C1 2
r v = 6 sin 2t iˆ + 4 cos 2t ˆj + 8t 2 kˆ + C1 dengan mengambil v = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
0 = 6 sin 0 iˆ + 4 cos 0 ˆj + 8(0) 2 kˆ + C1 ;
C1 = − 4 j
Sehingga :
r v = 6 sin 2t iˆ + 4 cos 2t ˆj + 8t 2 kˆ − 4 j atau r v = 6 sin 2t iˆ + (4 cos 2t − 4) ˆj + 8t 2 kˆ
Solusi r r r = ∫ v dt =
∫ (6 sin 2t i + 4 cos 2t j − 4 j + 8t k )dt 2
r 8 r = − 3 cos 2t i + (2 sin 2t − 4t ) j + t 3 k + C2 3 dengan mengambil r = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
0 = − 3 cos 0 i + (2 sin 0 − 0 ) j +
8 3 (0) k + C2 ; 3
C2 = 3 i
sehingga
r 8 3 r = − 3 cos 2t i + (2 sin 2t − 4t ) j + t k + 3 i 3 r 8 3 r = (3 − 3 cos 2t ) i + (2 sin 2t − 4t ) j + t k 3
atau
Soal latihan Percepatan suatu partikel pada setiap saat t > 0 diberikan oleh oleh::
r −t ˆ a = e i − 6(t + 1) ˆj + 3 sin t kˆ Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol, nol, Tentukan kecepatan dan posisi partikel setiap saat!
Integral Garis r A = A1i + A2 j + A3k
Misalkan
dan r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan kurva C yang menghubungkan titik-titik P dan Q, dimana u = u1 dan u = u2 untuk masing-masingnya C dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu. Misalkan :
r r(u) = x(u)i +y(u) j +z(u) k Sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P ke Q ditulis sebagai : Q
r r r r ∫ A • dr = ∫ A • dr = ∫ A1dx + A2 dy + A3dz P
C
C
Integral Garis
A
z
θ
C dr
P
Q
r2
r1
r3
0 x
y
Q
r r r r ∫ A • dr = ∫ A • dr = ∫ A1dx + A2 dy + A3dz P
C
C
Adalah contoh integral garis. Jika A adalah sebuah gaya F yang bekerja pada suatu partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis in i menyatakan usaha (W) yang dilakukan gaya F.
Integral Garis Jika C adalah kurva tertutup sederhana (kurva yang tidak memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering dituliskan :
∫
C
r r A • dr =
∫
C
A1dx + A2 dy + A3dz
Teorema Jika A = -∇φ pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yang didefinisikan oleh a1 ≤ x ≤ a2, b1≤ y ≤ b2, c1 ≤ z ≤ c2, dimana φ(x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R, maka
1. ∫
Q
P
2. ∫
C
r r A • dr
r r A • dr = 0
Tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan P dan Q Mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R
Kurva tertutup sederhana z Q Tertutup sederhana P
C Berlawanan dengan arah Putar jarum jam y
x
Integral Garis Dalam hal demikian, A disebut sebuah medan vektor konservatif dan φ adalah potensial skalarnya. Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika :
r ∇× A = 0 Atau ekivalen juga dengan A = -∇φ. Dalam hal demikian :
r r A • dr = A1dx + A2 dy + A3 dz = − ∇φ
Contoh Soal Jika
r F = y iˆ + x ˆj
Hitunglah usaha untuk memindahkan partikel dari titik (0,0) ke (3,4) melalaui lintasan seperti gambar di bawah ini : y
(0,0)
(3,4)
(3,0)
x
Apakah F merupakan medan vektor konservatif ?
Soal Latihan Diberikan
r F1 = 2 xz i + y j + x 2 k
dan
r F2 = y i − x j
a. Yang manakah dari kedua gaya tersebut yang konservatif ? b. Untuk gaya yang konservatif, cari fungsi skalar φ sehingga F = - ∇φ ! c. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untuk memindahkan partikel sepanjang garis lurus dari titik (0,1) ke (1,0)
Tugas PR a. Buktikan bahwa medan gaya berikut bersifat konservatif
(
)
(
)
r F = y 2 cos x + z 3 i + (2 y sin x − 4) j + 3xz 2 + 2 k b. Carilah potensial skalar (φ) untuk F c. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuah partikel dari (0,1,-1) ke (π/2, -1,2)
Teorema Green dalam Bidang Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C dan jika P dan Q adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka :
∫
C
∂Q ∂P dx dy P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ∫∫ − ∂x ∂y R
dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putar jarum jam) Bukti
y d A
C
c a
b
x
Teorema Green dalam Bidang Lakukan integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
∂Q( x, y ) ∫∫A ∂x dx dy =
∂Q(x, y ) ∫c ∫a ∂x dx dy = ∫c [Q(b, y ) − Q(a, y )]dy d b
d
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang berlawanan arah putar jarum jam b
c
a
c
a
b
b
d
A
∫ Q(x, y ) dy = ∫ Q(x, c )dy + ∫ Q(b, y )dy + ∫ Q(x, d )dy + ∫ Q(a, y )dy C
d
c
d
c
d
c
∫ Q(x, y ) dy = ∫ Q(b, y )dy + ∫ Q(a, y )dy = ∫ [Q(b, y ) − Q(a, y )]dy C
∂Q ∫∫A ∂x dx dy =
∫ Q(x, y )dy C
Teorema Green dalam Bidang Lakukan pula integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
∂P(x, y ) ∫∫A ∂y dx dy =
∂P( x, y ) ∫a ∫c ∂y dy dx = ∫a [P(x, d ) − P(x, c )]dx b d
b
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang berlawanan arah putar jarum jam b
d
a
c
a
c
b
d
A
∫ P(x, y ) dx = ∫ P(x, c )dx + ∫ P(b, y )dx + ∫ P(x, d )dx + ∫ P(a, y )dx C
b
a
b
a
b
a
∫ P(x, y ) dx = ∫ P(x, c )dx + ∫ P(x, d )dx = ∫ [P(x, c ) − P(x, d )]dx C
∂P − ∫∫ dy dx = ∂ x A
∫ P(x, y )dx C
Teorema Green dalam Bidang
∂Q ∂P ∫C P dx + Q dy = ∫∫A ∂x − ∂y dx dy
Contoh Soal Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫ 2 x dy − 3 y dx C
Dimana C adalah kurva segiempat seperti gambar di bawah : y (0,2)
(-2,0)
(2,0) (0,-2)
x
Soal Latihan Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫
C
xy dx + x 2 dy
Dimana C adalah kurva tertutup seperti gambar di bawah : y 4
2
1
4
x
Tugas PR a. Untuk kurva tertutup sederhana C dalam bidang, Tunjukkan dengan teorema Green bahwa luas area yang dilingkupinya adalah :
1 A = ∫ ( x dy − y dx ) 2 C b. Dengan menggunakan formula pada soal a), tunjukkan bahwa area yang dibatasi elips x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π memiliki luas :
A = πab
Teorema Divergensi (Teorema Gauss) Menyatakan bahwa jika V adalah volum yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari kedudukan dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :
r ∫∫∫ ∇ • A dV = V
r ∫∫ A • nˆ dS S
dimana n adalah normal positif dari permukaan S
Contoh Soal Gunakan teorema Divergensi untuk menghitung integral berikut :
r ∫∫ F • nˆ dS
dimana
S r F = 4 xz i − y 2 j + yz k
dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1
Soal Latihan Periksa kebenaran teorema Divergensi untuk :
r A = 4x i − 2 y2 j + z 2 k Yang diintegrasi melalui ruang yang dibatasi oleh x2 + y2 = 3, z = 0 dan z = 3
Hukum Gauss Dalam bidang kelistrikan, salah satu materi yang dibahas adalah menentukan medan listrik disekitar benda bermuatan listrik. Salah satu teknik yang digunakan adalah hukum Gauss. Hukum ini sebetulnya adalah teorema Divergensi yang diterapkan dalam materi bahasan kelistrikan.
r ∫∫∫ ∇ • A dV =
r ∫∫ A • nˆ dS
V
r ε o ∫∫ E • nˆ dS = S
S
∫∫∫ ρ (V ) dV V
dimana E adalah medan listrik, n adalah vektor normal bidang, S adalah permukaan Gauss, ρ adalah rapat muatan pada benda dan V adalah volume benda.
Hukum Gauss Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
E
n
+Q
n
E
S = permukaan Gauss = kulit bola Permukaan Gauss S harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah E dengan n sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik pada permukaan Gauss. Jadi pemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkan bentuk geometri benda bermuatan. Dalam kasus kita benda bermuatan +Q bergeometri bola, sehingga permukaan Gauss yang paling tepat adalah permukaan bola (kulit bola)
Hukum Gauss Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
E
n
n
+Q
E
r S = permukaan Gauss
ε 0 E ∫∫ dS = + Q
= kulit bola
S
ε 0 E (4πr 2 )= + Q
+Q +Q E= =k 2 2 4πε 0 r r
Teorema Stokes Menyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi dua yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C maka jika A memiliki turunan-turunan yang kontinu :
∫∫ (
)
r r r ∇ × A • nˆ dS = ∫ A • dr C
S
dimana C dilintasi dengan arah positif. Arah dari C disebut positif jika seorang pengamat berjalan pada daerah batas dari S dalam arah ini dengan kepalanya menunjuk pada arah normal positif terhadap S, maka ia mendapatkan permukaan ini di sebelah kirinya
Contoh Soal Periksa kebenaran teorema Stokes untuk :
r A = (2 x − y )i − yz 2 j − y 2 z k Dimana S adalah separuh dari permukaan bola bagian atas x2 + y2 + z2 = 1 dan C batasnya.
Soal Latihan Periksa kebenaran teorema Stokes untuk :
r A = ( y − z + 2 )i − ( yz + 4 ) j − xz k Dimana S adalah permukaan kubus x=0, y=0, z=0, x=2, y=2, z=2 di atas bidang xy.
Hukum Ampere Dalam bidang kemagnetan, salah satu materi yang dibahas adalah menentukan medan magnet disekitar penghantar berarus listrik (i). Salah satu teknik yang digunakan adalah hukum Ampere. Hukum ini sebetulnya adalah teorema Stokes yang diterapkan dalam materi bahasan kemagnetan.
∫∫ (
)
r r r ∇ × A • nˆ dS = ∫ A • dr
S
r r ∫ H • dr = C
C
∫∫ (
)
r ∇ × H • nˆ dS
S
dimana H adalah medan magnet, C adalah kurva tertutup yang melingkupi penghantar berarus listrik, n adalah vektor normal geometri benda berarus listrik.
Hukum Ampere Kasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik i
i
r C = kurva tertutup = lingkaran Kurva tertutup C harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah B dengan arah vektor yang menyinggung kurva sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik pada kurva C. Jadi pemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkan bentuk geometri penghantar. Dalam kasus kita penghantar berarus listrik i bergeometri silinder, sehingga kurva C yang paling tepat adalah kurva lingkaran.
Hukum Ampere Kasus penghantar lurus bergeometri silinder mengangkut arus listrik i
i
A
r r ∫ H • dr =
∫∫ (
C
A
1 r r ∫ B • dr =
µ0
∫∫ ( )
C
r J • nˆ dA
S
B ∫ dr = µ 0 ∫∫ C
)
r ∇ × H • nˆ dA
S
()
r J • nˆ dA = µ 0 i
B (2πr ) = µ 0 i
r C = kurva tertutup = lingkaran J adalah rapat arus, A adalah luas permukaan silinder
µ 0i B= 2πr
