SZAKDOLGOZAT KOLOMPÁR GYULA 2004

SZAKDOLGOZAT

KOLOMPÁR GYULA 2004

MÁSODRENDŰ HIPERFELÜLETEK

Konzulens : Dr. Nagy Péter tanszékvezető egyetemi docens

Készítette : Kolompár Gyula matematika szakvizsga II.évfolyam

TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés 1.§.Másodrendű hiperfelületek általános egyenlete ............................................................ 1 2.§.Az egyenlet bal oldalának módosulása eltolás hatására ............................................... 3 3.§.Az egyenlet bal oldalának változása az ortonormált báziz változás hatására ............... 6 4.§.Másodrendű hiperfelületek centruma ........................................................................... 9 5.§.Másodrendű hiperfelületek kanonikus alakjai euklideszi térben .................................. 11 6.§.Másodrendű felületek osztályozása euklideszi térben .................................................. 15 7.§.Affin transzformációk ................................................................................................... 22 8.§.Másodrendű hiperfelületek affin osztályozása ............................................................. 26 9.§.Másodrendű hiperfelületek metszése egyenessel. Aszimptótikus irányok ................... 29 10.§.Konjugált irányok ....................................................................................................... 33 11.§.Kúpszeletek és Dandelin-gömbjeik ............................................................................ 36 Ellipszis ................................................................................................................... 38 Hiperbola ................................................................................................................. 40 Parabola ................................................................................................................... 42 12.§.Kúpszelet-történelem .................................................................................................. 43 Ajánlott irodalom ................................................................................................................ 51

Bevezetés Ez a dolgozat arra törekszik, hogy a másodrendű felületek elméletét egyértelmű és világos formába öntse. A tárgyalás túlmutat az egyetemi anyagon, ezért a teljesség igénye nélkül próbáltam összeszedni azokat az elemeket, amelyek által a nem oly jártas olvasó is jó tudjon tájékozódni. Az igényesebbek is érdekesebb képet kaphatnak atekintetben, hogy a vizsgálódás általánosabb formában, az n-dimenziós térben történik. Az 1.§.-ban megismerkedhetünk a másodrendű hiperfelületek általános alakjával. A 2.-3.§. a felületek mozgásaival foglalkozik. A 4.§. azt vizsgálja, hogy a felület mikor centrális és mikor nem. Az 5.§. a felületek egyenletének kanonikus alakra transzformálásával előkészíti a másodrendű felületek euklideszi térben történő osztályozását (6.§.). A 7.§.-ban tárgyalt affin transzformációk pedig, a másodrendű felületek affin osztályozását készítik elő (8.§.). A 9.-10.§.-ban tárgyalt konjugált és aszimptotikus irányok vizsgálata azért is érdekes, mert ezek által nagyon jó jellemezhetők a tárgyalt felületek. Ő általuk is elvégezhető egy más osztályozás, de a bevezetés elején utaltam arra, hogy célom inkább az általános bemutatás, mintsem a nagyon részletekbe való elmélyedés. Például, ezért nem tértem ki az elfajuló esetek teljes tárgyalására, vagy a két, ill. háromdimenziós tér egyetemi anyagban szereplő megfelelőire. Bár az általános formából ezekre lehet következtetni. Az érdeklődő olvasók az ajánlott irodalomból több érdekes dolgot megtudhatnak ebből az elméletből. Középiskolában tananyagként a másodrendű felületek szerepelnek. Őket inkább ponthalmazként vezetik be, a kúpszeletekkel való modernebb definiálása inkább kiegészítő anyagként szerepelhet (11.§.). A kör és az ellipszis analitikus tárgyalása viszont kötelező tananyag ( bár az utóbbi időben az ellipszis is kiegészítő anyagnak minősül).

Fontosnak tartottam azt is, hogy - középiskolai megfontolásból is - , a kúpszeletek történelméről is szóljak, mert nagyon sok matematikus is foglalkozott ezzel. A legfontosabbakat a Kúpszelet-történelem fejezetben (12.§) igyekeztem összegyűjteni. Végül kedves kötelességemnek érzem, hogy köszönetet mondjak Dr. Nagy Péter

tanszékvezető

egyetemi

docensnek,

aki

hasznos

tanácsaival,

észrevételeivel hozzásegített abban, hogy ez a dolgozat ilyen formában elkészülhessen. Köszönetem és tiszteletemet fejezem ki azért is, mert ezzel a témaválasztással

nagyban

hozzásegített

a

matematikai

látóköröm

szélesítéséhez, segített abban is, hogy közelebb kerüljek a projektív geometria és a lineáris algebra orosz szakirodalomhoz kapcsolódó világához.

Salgótarján, 2004.április 15.

Kolompár Gyula matematika szakvizsga II. évfolyam

1.§.

Másodrendű hiperfelületek általános egyenlete 1. Legyen adva egy valós n-dimenziós affin tér és az affin koordináta-rendszerben egy O pont e1 ,..., en bázissal. A másodrendű hiperfelület M pontját geometriai helynek nevezzük, ahol x  OM helyvektor kielégíti az (1) egyenletet : a( x, x)  2b( x)  c  0 ,

(1)

ahol a( x, x) - kvadratikus forma, b(x) - lineáris forma, c - állandó. Az a( x, x) és b(x) formákról feltehetők, hogy megfelelő bázisválasztással invariánsak. 2. Ha feltesszük, hogy x  OM  x1en  ...  xn en , akkor az (1) egyenlet koordinátás felírását kapjuk :

a

ik

xi xk  2  bi xi  c  0

(2)

x1 ,..., xn - az M pont koordinátái, a( x, x) =  aik xi xk - az (1) vagy (2) egyenlet főtagja,

2b( x)  2 bi xi - elsőfokú tagok, c- az egyenlet szabad tagja. 3. Előfordulhat, hogy a valós térben a (2) alakú egyenletet egyetlen pont sem elégíti ki, mégis az ilyen egyenleteket nevezzük másodrendű hiperfelületnek. A képzetes felületeket is ide fogjuk sorolni. Például az x 2  y 2  z 2  1  0 képzetes gömb, ahol x,y,.z az euklideszi tér Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer tengelyei. Érthető, hogy ebben az értelemben geometriai tartalmat nem adhatunk, de az ilyen eseteket figyelembe vesszük, mert az egyenletek elméletét algebrai eszközökkel kényelmes kezelni, és az egységes terminológiák miatt sem zárhatjuk ki. Sőt, mechanikai és fizikai területeken is széles körben alkalmazhatók vizsgálatokra. 4. Be lehet bizonyítani, hogy a komplex affin térben minden (2) egyenlet meghatároz egy nem üres ponthalmazt. Azonban mi a valós térben gondolkodunk és komplex számokról csupán néhány előfordulásában fogunk beszélni (ha az egyenes és a hiperfelület metszéspontja komplex szám).

5. A hiperfelület általános egyenletét

1 (n  1)(n  2) taggal lehet megadni. Ez a szám 2

valamennyi n-nél igen nagy. Ezért nehézkesnek bizonyulna közvetlenül vizsgálni a tetszőleges koordináta rendszerben felírt hiperfelületeket egyenletük alapján. Ezért inkább később a (2) egyenlet egy speciális alakjára, a kanonikus egyenletére hivatkozunk.

2.§.

Az egyenlet bal oldalának módosulása eltolás hatására 1. A másodrendű hiperfelület bal oldalát jelöljük 2F szimbólummal, és vizsgáljuk, hogy futó koordináták hogyan függnek a vizsgált F-től.

2F ( x1 ,..., xn   aik xi xk  2  bi xi  c  0 Alkalmazzuk az xi  ~ xi  xi0 helyettesítést, ahol :

xi - eredeti koordináták, ~ xi - új koordináták, xi0 - új kezdőpontú koordináták az eredeti koordináta-rendszerben.

Megfelelően csoportosítva az első és másodfokú tagokat és felhasználva a kvadratikus forma mátrixának szimmetrikus voltát ( aik  aki ), akkor az alabbi egyenletet kapjuk : 2 F ( x1 ,..., xn   aik ( ~ xi  xi0 )( ~ xk  xk0 )  2  bi ( ~ xi  xi0 )  c   a ~ x~ x  2 ( a x 0  b )  ( a x 0 x 0  2 b x 0  c)



ik i k



ik

k

i



ik i

k



i i

Ha az F függvényt a megszokott alakban írjuk fel az új koordinátákkal, akkor :

~ 2F   a~ik ~ xi ~ xk  2 bi ~ xi  c a~ik  aik

(I)

~ bi  ( aik xk0  bi )

(II)

c~   aik xi0 xk0  2 bi xi0  c)

(III)

2. Látható, hogy c~ az egyenlet bal oldalának kifejezéseként áll elő az új koordináta kezdőpontokkal. : c~  F ( x10 ,..., xn0 )

Figyelmet érdemel a (II) formula : ~  bi  F ( x10 ,..., xn0 ) xi

Itt az új koordináta kezdőpontú F fügvény x i szerinti differenciálhányadosa szerepel.

3. Az (I)-(III) formákat írjuk át mátrixos formában.

a11 ... a1n A .

.

B

.

an1 ... ann

a11 ... a1n . . .

b1 .

an1 ... ann bn b1 ... bn c

Az (I) mátrixos formája : ~ AA

(Ia)

Az F függvényt ilyen módon kényelmesebb felírni kvadratikus formában. A cél érdekében vezessünk be egy x n 1 kiegészítő koordinátát és xn1  1 . Továbbá bi  ai ,n1  an1,i és c  ani ,n1 . Akkor az xk  ~ xk  xk0 formulát a következő alakban lehet felírni :

x1  x2  ... xn  xn 1 

~ x1  ~ x2  ... ~ xn 

xn 1   x10 ~  0 ~  x2 xn 1   . . ... ...  xn 1   xn0 ~  ~ xn 1 

(1)

Az utolsó egyenletből : ~ xn1  1 . Hogy homogén koordinátákra álltunk át, így a koordináta transzformáció is homogén (a szabad tagok nélkül). Így 1.§ (2) egyenlet bal oldala is homogén és a B mátrix kvadratikus formáját kaptuk. 2F 

n

n

i , k 1

11

 aik xi xk  2  ain1 xi xn1  an1n1xn1 xn1 

n 1

a

i , k 1

xx

ik i k

Az (1) transzformáció az eredeti koordináták változását fejezi ki, és ezt a P * mátrix írja le. 1

0

x10

1

x 20 . x n0

1 P* 

. .

0

1

~ Eredményként azt kapjuk, hogy a hiperfelület B mátrixának B képét a

~ B  PBP *

(2)

írja le, amely átfogja az (I)-(III) formulákat. A (2) formula alapján egy fontos tételt lehet kimondani. Tétel : Eltolásnál a B mátrix determinánsa és rangja nem változik.

~ DetB  DetB

~ RangB  RangB

Bizonyítás : Közvetlenül látható, hogy DetP*  DetP  1 , ezért a tétel a (2) formulából következik. Megjegyzés : Ami az A mátrixot illeti, akkor a kezdőpontok áthelyezésénél ő maga is invariáns, és akkor megőrzi az összes elemét.

3.§.

Az egyenlet bal oldalának változása az ortonormált báziz változás hatására 1. A könnyebb kezelhetőség végett euklideszi tér ortonormált bázisában végezzük el a vizsgálatainkat. Átállunk egyik ortonormált bázisról a másikra :

e1'  l11e1  ...  l n1e1   ... ... ... ...  en'  l1n e1  ...  l nn en  Az ortogonális mátrixot I  I ij alakba írható. A transzformáció után a pontok koordinátáit az alábbi formula határozza meg :

x1  l11 x1'  ...  l1n x n'   ... ... ... ...  x n  l n1 x1'  ...  l nn x n' 

(1)

Ekkor az ortogonális mátrix :

l11

...

l1n

I  ...

...

...

*

ln1

lnn

Az (1) formula homogén (nem tartalmaz szabad tagokat), így a kezdőpont koordinátái megőrzik helyüket. 2. Az 1.§. (2) egyenlet bal oldalát az (1) formula új koordinátáival így írhatjuk :

2F ( x1 ,..., xn )   ai' xi' xk'  2  bi' xi' )  c ' Mivel a homogenitás következtében az (1) formulában az egyenletek függetlenek : c,  c

a

és

x x x )   aik xi xk .

' ' ' ik ik i k

Innen a mátrixos alakot is fel tudjuk írni : A'  IAI *

Mivel I ortogonális, ezért transzponáltja megegyezik inverzével : I *  I 1 , ezért A'  IAI 1

Tétel : Ha egy ortonormált bázisról átállunk egy másikra, akkor az egyenlet bal oldalának A mátrixának determinánsa, rangja és az A mátrix p(λ) karakterisztikus polinomja invariáns. Megjegyzés : Ha a p(λ) polinomot az alábbi alakban felírjuk :

a11   p ( )  ...

... ...

a1n ... ann  

an1

= (1) n n  p1n1  p2 n2  ...  (1) n pn 

akkor látható, hogy p1 , p2 ,..., pn invariánsak és akkor van az új ortonormált bázisra való áttérésnél megőrzik az A mátrix elsörendű minorjainak főösszegét. másodrendű minorjainak főösszegét,stb …. Ebből következik:

RangA '  RangA p1'  p1 ...... pn' 1  pn1 ,

DetA '  DetA

3. A B mátrix transzformációs törvénye alapján vezessük be a bi  ai ,n1 , c  an1,n1 jelölést, akkor :

2F 

n 1

a

i , k 1

ik

xi x k ,

ahol xn1  1 .Ezzel a feltételel az (1) formulát kiegészítve :    '  x n 1  

1 x n 1

(2)

A (2) transzformáció mátrixát így írhatjuk fel :

I* 

l11 ... l1n . . .

0 .

l n1 ... l nn 0 ... 0

0 1

Nem nehéz belátni, hogy : I *  I 1

Valójában, a (2) összefüggésből ez triviálisan következik A 2F kvadratikus forma B mátrixának transzformálása után a keresett formula : B '  IBI * vagy B '  IBI 1

(3)

A (3) formulából következik egy fontos tétel . Tétel : Ha egyik ortonormált bázisról a másikra térünk át, akkor a B mátrix determinánsa és ranja nem változik. DetB '  DetB

RangB '  RangB

4. A 2.§. (1a) formulából, 2.§. 1. és 3.§. 1-2. bekezdéseiből következik. Általánosan megállapíthatjuk, hogy koordináta-transzfomációk hatására : eltolásnál és hogy egyik ortonormált bázisról átállunk egy új ortonormált bázisra (mozgásoknál), akkor DetB , DetA , RangB , RangA és A mátrix p( ) karakterisztikus polinomja invariánsak.

4.§.

Másodrendű hiperfelületek centruma 1. A másodrendű hiperfelület centrumának az affin tér olyan pontját értjük, amelyhez viszonyítva a hiperfelület összes pontja páronként szimmetrikusan helyezkedik el. Így, amikor centrumról beszélünk, akkor szimmetria középpontot értjük.

D

C'

B'

A

E'

E B C

A'

D'

1.ábra Sajnos, a valós térben ez a meghatározás erejét veszti azokban az esetekben, amikor a hiperfelület egyenletét egyetlen pont sem elégíti ki. Azonban ezekben az esetekben algebrai meggondolás végett célszerű centrumról beszélni Például, az x 2  y 2  z 2  1  0 egyenletnek a képzetes térben van megoldása. Ezért előnyös a másodrendű hiperfelületek centrumának meghatározását ilyen eljárással meghatározni. 2. Nézzük az alábbi egyenletet

a

ik

xi x k  c  0

(1)

Ha ( x1 ,..., xn ) pontok az (1) hiperfelületen fekszenek, akkor a ( x1 ,..., xn ) pontok is az (1) hiperfelületen fekszenek. Következésképpen, ha ezek a pontok kielégítik az (1) egyenletet, akkor az (1) hiperfelület szimmetriaközépontja a kezdőpont (origó). A másodrendű hiperfelület centruma olyan pont, hogy ő a koordináta kezdeti pontot jelöli és egyenlete (1) alakú. Tehát, az ilyen felületek középpontosan szimmetrikusak a koordináta kezdőpontra (centrumra) és ( x1 ,..., xn ) képe ( x1 ,..., xn ) . A továbbiakban algebrai eszközökkel fogjuk meghatározni a centrumot.

3. Legyen adott az általános másodfokú egyenlet

a

ik

xi xk  2  bi xi  c  0

Most azt tisztázzuk, hogy ez az egyenlet milyen feltételek mellett lesz centrális. ~ Helyezzük át a koordinátákat O( x10 ,..., xn0 ) kezdőpontba, akkor a következő egyenletet kapjuk

 a~

ik

~ ~ xi ~ xk  2 bi ~ xi  c  0

~ O( x10 ,..., xn0 ) koordináta akkor és csak akkor lesz centrum, ha

~ bi  0

i=1,…,n

(2)

A (2) egyenletet a 2.§.II. lapján így írható (ez a centrum meghatározás kritériuma) :

a

ik

xk0  bi  0

Részletesebben felírva az egyenletrendszert :

a11 x10  ...  a1n x n0 ... 0 a n1 x1  ...  a nn x n0

  bn ...   bn

    

(3)

A (3) egyenletrendszer mátrixát jelöljük A-val. Ha DetA  0 , akkor a (3) egyenletrendszernek egyetlen megoldása van. Ekkor a hiperfelület egyetlen centrummal rendelkezik. Ezek a centrális hiperfelületek. Ha DetA  0 , akkor a (3) egyenletrendszernek vagy nincs megoldása és akkor nincs centruma (parabola), vagy azonosság és akkor végtelen sok centruma van (körhenger, párhuzamos síkpár). 4. Amikor centrumot vizsgálunk, érdemes már az első lépésben az egyenletet úgy egyszerűsíteni, hogy a kezdőkoordináta maga a centrum legyen. 5. Vezessünk be két szimbólumot

=DetA

Δ=DetB

A centrális felületek kritériuma az, hogy   0 .

5.§.

Másodrendű hiperfelületek kanonikus alakjai euklideszi térben 1. A másodrendű hiperfelületek osztályozását az egyenletük kanonikus alakjaival könnyebben végezhetjük el. 2.. Praktikusabb a számolás, ha a felület centrális. Tehát, már az első lépésben érdemes a koordináta kezdőpontot eltolni a centrumba. 3. A hiperfelületet csak az ortonormált bázisával vizsgáljuk az euklideszi térben. Legyen adott az általános 2F ( x1 ,..., xn )  0 egyenlet. Együttesen vizsgáljuk a kvadratikus

forma

A mátrixához tartoző önadjungált

transzformációt. Akkor az A mátrix karakterisztikus polinomjának 1 ...n gyökei valósak és a adott ortonormált bázisban e'1 ...e' n ( e 'k , i=1…n) sajátvektorok és 1 ...n (λk, i=1…n) a sajátértékek. Térjünk rá erre a bázisra, amely egyenlőre a kezdeti koordinátákat őrzi. Akkor az eredeti tagjaival megadott kvadratikus alakot kanonikus formában így lehet megadni :

a

ik

xi xk 1 ( x1' ) 2  ...  n ( xn' ) 2 ,

akkor a hiperfelületek egyenletének bal oldala így egyszerűsödik :

2F  1 ( x1' ) 2  ...  n ( xn' ) 2  2b1' x1'  ...  2bn' xn'  c Az elsőfokú tagok együtthatói megváltoztak, ezért ők is a vesszős alakkal jellemezhetők. A szabad tagok változatlanul maradnak. 4. Továbbiakban a lehetséges esetetek vizsgáljuk. 1) A karakterisztikus polinim gyökei nullától különbözőek :

1  0,..., n  0 Végezzük el az alábbi teljes négyzetre emelést : 2

 b'  b' k ( x )  2bk x   k  xk'  k   k k  k  ' k

2

' k

Ezután a kezdő koordinátákat helyezzük az alábbi formula szerint :

x k'  ~ xk 

bk'

k

Ennek következtében az elsőfokú tagok eltűnnek és a felület az új kezdő koordinátákkal már centrális. (1) 1 ~ x12  ...  n ~ xn2  H , H  c  

ahol

1

k

(bk' ) 2

Az (1) egyenlet már kanonikus. 2) 1  0,..., r  0, r 1  ...  n  0 ; r - a kvadratikus forma eredeti tagjainag rangja, r  n  1 ; Ekkor a helyzet kissé bonyolult, és hogy elkerüljük ezt, az eredeti tagok formájának általános

transzformációjának

meghatározásához

további

számításokra

van

szükség.Mindenek előtt keressük megaz összes 1 ,..., r sajátvektorokat. Mint ismeretes, őket úgy lehet kiválasztani., hogy ők egy e1' ,..., er' ortonormált rendszert képezzenek. A többi bázisvektort később határozzuk meg. Most nézzük a kiinduló koordinátáival az eredeti egyenletet :

a

ik

xi xk  2  bi xi  c  0

A lineáris tagok egyértelműen meghatátározzák a b  b1 , b2 ,..., bn  vektort. A b vektor két alkotóra felosztjuk, az egyik az e1' ,..., er' lineáris lezártban fekszik, a másik ortogonális az alábbi lineáris lezárthoz : b  1e1'  ...   r er'  p .

Feltételezzük, hogy :

1  (b, e1' ),...,  r  (b, er' ),

Az így konstruált p vektor ortogonális az L(e1' ,...,e'r ) altérben. Ha p  0 , akkor e n' -t p vektor szerint irányítjuk. Akkor p  en'

r

p  b    i ei' i 1

e n' egységként felfogva, úgy lehet irányítani, hogy   p vagy    p lesz. er' 1 ,..., en' 1 vektorokat úgy fogjuk fel, hogy ők együtt a korábban létrehozott vektorokkal

ortonormált rendszert képezzenek : e1' , e2' ...er' , er' 1 ,..., en' 1 , en' A maradékban az er' 1 ,..., en' 1 vektorok kiválasztása önkényes. Ha p=0, akkor az er' 1 ,..., en' vektorokat tetszés szerint vesszük fel, csak az e1' ,...en' rendszer legyen ortonormált. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben is megmarad az egyenlet p  en'

de csak   p  0 esetén. Így b  1e1'  ...   r er'  en'

(1)

A másodifokú, elsőfokú és a nulladfokú tagok az új bázisra való áttérésnél automatikusan transzformálódnak. Az eredeti tagok az új bázisban következő képet mutatják :

a

ik

xi xk 1 ( x1' ) 2  ...  r ( xr' ) 2 .

Az elsőfokú tagok csoportját skaláris szorzat alakban lehet felírni

b x k

k

(b, x) .

Az (1) egyenlet következtében (b, x)  (1e1'  ...   r er'  en' , x)  1 x1'  ...   r xr'  xn' ,

úgy hogy ortonormált bázisban bármely vektornak a bázisvektorokkal való skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátával : (ei , x)  x i . Ily módon az új bázisra való áttérésnél kapjuk :

2F  1 ( x1' ) 2  ...  r ( xr' ) 2  21 x1'  ...  2 r xr'  2xn'  c  0 Továbbá felosztjuk a teljes négyzeteket (k=1,…,r) :   k ( x )  2  k x  k  xk'  k k  ' 2 k

' k

2

 1    k2  k

Ezután áthelyezzük a kezdőpontokat (csak az 1,…,r számokkal jelölt koordináta tengelyek irányába)

 x1'  ~ x1  1 , 1

xr' 1  ~ xr 1

... xr'  ~ xr 

r , r

xn'  ~ xn

Ezután az egyenlet a következő alakot veszi fel :

1 ~ x12  ...  r ~ xr2  2~ xn  H Ha μ=0, akkor

1 ~ x12  ...  r ~ xr2  H ,

(*)

amely kanonikus alakú. Ha μ  0, akkor :

 H  . 2~ xn  H  2  ~ xn  2  

H Végezzük el a koordináták kezdőpontjának áthelyezését az ~ x n tengely iránya szerint 2 mértékben. Hogy ne nehezítsük meg a felírást, a koordináták jelölését nem változtatjuk meg. Ez az egyenlet így fog kinézni :

1 ~ x12  ...  r ~ xr2  2~ xn  0 .

(**)

Ez az egyenlet is kakonikus. Semmilyen más eset a fentett áttekintteken kívül más nem lehetséges. Ezek alpján könnyen elvégezhető a másodrendű hiperfelületek osztályozása.

6.§.

Másodrendű felületek osztályozása euklideszi térben 1. Az egyenletek egyszerűsítése alapján a hiperfelületek osztályait kényelmesebb vizsgálni. I)

δ=Det  A.

Ez azt jelenti, hogy egyetlen i sem egyenlő nullával. Akkor a kanonikus egyenlet :

1 x12  ...  n xn2  H

(I)

Itt is a továbbiakban felírjuk a jelenlegi koordinátákat, minden kiegészítő megjegyzés nélkül. II)

δ=DetA=0,   0 , r=RangA=n-1.

Ekkor a megfelelő kanonikus egyenlet :

1 x12  ...  n xn21  2xn  0

(II)

(ő az 5.§.(**) egyenletből következik r  n  1 esetén) I’)

δ=0,   0 .(Hogy δ=0, akkor r
Ebbe az osztályba kerül 5.§.(*) alakú kanonikus egyenletek :

1 x12  ...  r xr2  H ,

(I’)

ahol, 1  r  n  1 II’)

δ=0,   0 , r< n-1

Itt találhatók az 5.§.(**) alakú kanonikus egyenletek r< n-1 esetnél.

1 x12  ...  r xr  2xn2  0 ,

(II’)

ahol, 1  r  n  2 . Az említett osztályok az összes lehetséges esetet kimerítik.Az (I) és (II) alakú egyenletek az alapeseteket, az (I’) és (II’) alakú egyenletek az alap eseteket ismétlik, de csak az alacsonyabb dimenziójú altérban.

2. Az alapeseteknél. az A és B mátrixok így írhatjuk fel : I.eset :

1 ... A . 0

1 ...

0

.

B

.

... n

.

.

.

0 .

n 0

H

...

II.eset :

1 ...

1

0

...

 n 1

B .

 n 1 0

0

..

..

A

...

0

0

...

0 

 0

Definíció : A másodrendű hiperfelület nem elfajuló, ha a B mátrix nem elfajuló, vagyis :   DetB  0

Szemmel látható, hogy H  0 esetben lesz az (I) és (II) egyenlet el nem fajuló. 3. Egyetértésben a 3.§.4.pontjával, a δ=DetA,   DetB , r=RangA, RangB és az A mátrix p( ) karakterisztikus polinomja az ortonormált koordináta rendszer osztályában invariánsak. Az összes ilyen kifejezés a hiperfelület egyenletének bal oldalán található a megadott bármely ortonormált koordinátákra. Azonkívül ismerjük bármely koordinátában az egyenlet centrumát. Ezért, amikor áttérünk kanonikus egyenletre, akkor lehet meghatározni azt, hogy a hiperfelület centrális vagy sem, elfajuló vagy sem, meg lehet keresni az összes centrumot és ki lehet számítani az A mátrix karakterisztikus polinomjának összes  j gyökét. A 2.pontból meg lehet meghatározni az (I) típusú hiperfelületnél H-t :

 H1  n   Ennél 1  n    0 és innen : H 





.

az (II) típusú hiperfelületnél μ-t:   2 1  n1  

Az 1 ...n1 pontosan a 3.§.2.pont megjegyzésében felírt p( ) karakterisztikus polinom p n 1 alakja n  0 esetében. Ezért



 p n 1

(1)

Az egyenletben a gyökjel alatti kifejezés pozitív, amennyiben létezik és a μ ténylegesen a korábbi számítások által megállapított. 4. A nem elfajuló hiperfelületek (I) esetében RangA=n,

RangB=n+1

(2)

A (2) elsö egyenletéből és a Kroneker-Kapelli tételéből következtetünk arra, hogy ezek középpontosak. Nézzük részletesebben. 5. Ha 1 ...n1 és H azonos előjelűek, akkor az (I) hiperfelületet (n-1) dimenziós ellipszoidnak nevezzük. Az egyenlete :

xn2 x12  ...  1 a12 an2

(3)

ai az ellipszoid féltengelyének pontjai (ai>0).Nem nehéz belátni, hogy az ellipszoid elhelyezhető egy paralelepipedonba, úgy hogy xi  ai , i=1,…,n. Példa : 

n=3 esetén : 2.ábra x3 a3 a2

0

x2 a1 x1 2.ábra



n=2 esetén : 3.ábra a2

x2

a1 x1

 3.ábra





A k-dimenziós ellipszoid k=1 esetén ellipszis (3.ábra),



k=0 esetén x1  a1 pontpár (4.ábra). 





-a1

0

a1

4.ábra Az ellipszoidot n>3 esetén szemléletesen is nehéz ábrázolni. A 2.,3.,4.ábrákból jól kiolvasható, hogy a k méretének növelésével a k-dimenziós ellipszoid alkja is bonyolódik. Ha a1  ...an  R , akkor a (3) ellipszoidot R sugarú (n-1) dimenziójú gömbnek nevezzük. 6. Ha 1 ...n1 azonos előjelűek és H ellenkező előjelű, akkor az (I) hiperfelület képzetes ellipszoidnak nevezzük. A valós térben neki nincsenek pontjai. 7. Ha 1 ...n1 különböző előjelűek és H  0 , akkor az (I) hiperfelület hiperboloidnak nevezzük.

xk2 xk21 xn2 x12  ...    ...  1 a12 a k2 bn2 bn2k Az

(4)

ai ...a k a (4) hiperboloid valós féltengelyeinek, bi ...bnk a képzetes féltengelyeinek

pontjai ( ai  0, bi  0 ). A hiperboloid egyenletének bal oldala a szignatúrától függően különböző geometriai alakzatokat képeznek. Az analitikus geometria középiskolai tárgyalásában a felület formáit a felület különböző síkokkal való metszetével (kúpszeletek) definiálják (6., 7.ábra, .§). Azonban, mi is olyan eljárást alkalmazunk, amikor be tudjuk mutatni,hogy jelennek meg hiperboloidok különböző alakjai A gyakori eseteket vizsgáljuk, és ezt az alacsonyabb kiterjesztésű térben ismert objektumokkal kezdjük.

x2

A

(4)

egyenlet n=2 esetén, hiperbolát határoz meg (5.ábra) :

x12 x 22  1 a12 b12

x1

2) n=3 esetén, két lehetséges eset van : a)

kétköpenyű hiperboloid :

x12 x 22 x 42   1 a12 b12 b22 b)

(5)

egyköpenyű hiperboloid :

x12 x 22 x32   1 a12 a 22 b12 3) n=4 esetén, három esetet kell megvizsgálni : a)

Kétköpenyű hiperboloid

x12 x22 x32 x42    1 a12 b12 b22 b32

(6)

asonlóan , mint a hiperbolánál és az (5) hiprboloibnál, két különálló tagból állnak, és az

x1  a1 és x1  a1 alterekben helyezkednek el. Őt

x1 =const ( x1  a1 ) hipersík

ellipszoidban metszi, a féltengelyek x1 -vel megnyúlnak. A maradék xi =const (i=2,3,4) hipersíkok a (6) hiperboloidot (5) alakú kétköpenyű hiperboloidba metszi. x3

x2

x1

6.ábra

b) Most az egyenlet legyen

x12 x22 x32 x42    1 a12 a 22 b12 b22 Ő a hiperboloid új alakját adja meg, hogy minden x i =const hipersíkból vagy hiperboloidot (egyköpenyűt vagy kétköpenyűt), vagy kúpot metsz ki. Itt tudni illik, hogy a tipikus metszetek, azok hiperboloidok. A kúpok csak az x1  a1 , x2  a2 esekben jelennek meg és őket mint nem elfajuló hiperboloidokat lehet vizsgálni. A három dimenziós térben nincs analóg felület, a magasabb kiterjesztésű térben inkább tipikus eset. c) Egyköpenyű hiperboloiddal analóg :

x12 x22 x32 x42     1. a12 a 22 a32 b12 Az x 4 =const hipersík kétdimenziós ellipszoidban metszi, a féltengelyek

x 4 -gyel

megnyúlnak. A megmaradó x i =const hípersíkok hiperboloidban (egyköpenyű vagy kétköpenyű) metszenek, ahol a kúpok xi  ai esetben elfajulnak. A négy dimenziós térben a hiperboloidokat szemléletesen nehéz ábrázolni, Alacsonyabb kiterjesztéső terekben a felület hipersíkokkal való metszését viszont jó lehet érzékeltetni (2.,6.,7.ábra).

x1 x2

x3

7.ábra

Általában ilyen lehetőségek vannak : a’) n  2 , k=1 – kétköpönyegű hiperboloid, két különálló tagból áll, az x1  a1 ,

x1  a1 , altérben fekszik. Az x i =const x1  a1 hipersík őt (n-2) dimenziós ellipszoidban metszi, a többi x i =const (i=2,…,n) hipersík pedig kétköpenyű hiperboloidban. b’) n  4 , az (5) egyenlet bal oldalának tagjaiban kettőnél kevesebb pozitív, ill. negatív szám nem lehet. Az ilyen hiperboloid az x i =const hipersíkból alacsonyabb dimenziójú hiperboloidot metsz ki (esetleg nem elfajuló kúpot). c’) n  3 , n=k-1 – hiperboloid. Az összes x n =const hipersík őt (n-2) dimenziós ellipszoidban metszi, a többi x n =const (i=1,..,n-1) hipersík pedig hiperboloidban vagy kúpban. Figyelmet érdemel az a tény, hogy minden k-dimenziós xk i  ck 1 ,..., xn  cn ( c i =const) alakú sík a (4) hiperboloidot (k-1)-dimenziós ellipszoidban metszi,és az (n-k)- dimenziós x1  c1 ,..., xk  ck

( c i =const) alakú sík a (4) hiperboloidot (n-k-1) - dimenziós

ellipszoidban metszi. Be lehet látni, hogy a (4) hiperboloidon, csak olyan r-dimenziós ellipszoidok képződnek, amelyre r  max( k  1, n  k  1) és magasabb dimenziójú ellipszoid nincs. Ez az n=2,3 esetnél az 1-6.ábrák összevetéséből látható. Az általános esetet most nem vizsgáljuk. Ha, a térben az adott euklideszi metrikán kívül más kvadratikus metrikát vezetünk be váltakozó előjelű kvadratikus formával, akkor a gömb szerepét a hiperboloid tölti be. Ezzel kapcsolatban érdekes megjegyezés, hogy a kétköpenyű hiperboloidok a 4-dimenziós térben fontos szerepet játszanak a relativitás elméletben. 8. A (II) alakú kanonikus egyenletekkel megadott felületek nem elfajultak és őket paraboloidnak nevezzük. A paraboloidok nem rendelkeznek centrummal, ugyanis az A alapmátrix rangja n-1, a B kibővített mátrix rangja n. Ez pedig a Kroneker-Kapelli tételének ellentmond ( A és B mátrixókról részletesen a 2.pontban).

9. Most az elfajuló felületeket vizsgáljuk, tehát amikor   DetB  0 . Kényelmesebb őket felosztani három csoportra. Először vegyük az (I) esetet és H=0. Akkor RangA=RangB=0, a

1)

hiperfelület centrális és ekkor az egyenlet :

1 x12  ...  n xn2  0 .

(7)

Azt tudjuk, hogy kúpok egyenletei az ilyen másodfokú homogén egyenletek.Ha az összes

i azonos előjelű, akkor képzetes kúpról beszélünk (egyetlen valós pontja van, a csúcsa /centruma/- valós csúcsú képzetes kúp).Ha az i különböző előjelűek, akkor valós kúpról beszélünk abban az értelemben, hogy a centrumán kívül is van valós pontja. A (7) egyenlet bal oldalának változtatásával, -akár a koordináták átszámozásával, vagy az előjelek megváltoztatásával-, el lehet érni, hogy 1  0 , n  0 , és a negatív tagok ne lépjék túl a pozitív tagokat. Akkor a (7) egyenlet az alábbi egyenlethez vezet :

xk2 xk21 xn2 x12  ...  2  2  ...  2  0 , (8) a12 ak b1 bnk ahol, k 

n . Az xn  const  0 hipersík a (8) kúpot, ha k=n-1,akkor (n-2)-dimenziós 2

ellipszoidban, ha k
2)

kifeszített altér. Ebben az altérben az (I’) egyenlet

meghatároz

hiperfelületet,

egy

amelyet

(I)

típusú

jelöljük

S-sel.

Bármilyen dimenzió esetében az egyenlet

meghatároz

egy

x3

E**

(I’) olyan

a

hiperfelületet, amelyet hengernek nevezünk.

E*

Nézzük ezt részletesebben. Jelölje az E* altér ortogonális kiegészítését

a1

x1

E ( E  L(er 1 ,..., en )) .Vegyünk az E -ből *

**

**

egy tetszőleges a vektort és toljuk az (I’) 8.ábra

x2

hiperfelületet az a vektorra. Akkor azoknak a pontoknak változik meg a koordinátája , amelyek nem mennek be az (I’) egyenletbe, azaz xr 1 ,..., xn . Ezért, azok a pontok, amelyeket bármely ilyen elmozdításkor jönnek létre, szintén kielégítik az (I’) egyenletet. Így az E* altérben megkapjuk (I’) hiperfelületet alakját úgy, hogy az S hiperfelületet párhuzamosan eltoljuk az összes lehetséges irányban. Ez a konstrukció a magasabb dimenziós általánosítása annak, hogy E3-ban az x 2  y 2  1 hengert a z tengely mentén, a kör párhuzamos eltolása eredményeként kapjuk (8.ábra) Az (I’) hengerek alkotói betöltik az (n-r)-dimenziós sík szerepét, E**-gal párhuzamosak. Minden (I’) hengernek végtelen sok centruma van. Nem nehéz belátni, hogy az összes ilyen centrum megegyezik az E** altérrel. 3.)

A (II’) egyenletek által meghatározott hiperfelületet parabolikus hengernek

nevezzük. Itt E* jelentse az e1 ,..., er , en vektorok által kifeszített (r+1)-dimenziós alteret, E** pedig az ortogonális kiterjesztését. Az E* altérben a (II’) egyenlet paraboloidot határoz meg és hasonlóan az előzőhöz, jelöljük ezt S-sel. A (II’) hiperfelületet kapjuk, ha az S paraboloidot párhuzamosan eltoljuk az E** altér összes lehetséges vektorára. A parabolikus hengernek nincs centruma.

7.§.

Affin transzformációk 1. Az affin térben bevezetünk egy affin koordináta-rendszert és egy tetszőleges

M ( x1 ,..., xn ) pontjának képe legyen M ' ( x1' ,..., xn' ) , ha teljesül : x1'  a11e1  ...  a n1e1  b1   ... ... ... ...  ' x n  a1n e1  ...  a nn en  bn  Tegyük fel, hogy az n×n-es mátrix A  aij

(1)

nem elfajuló, és DetA  0 . Az ilyen

transzformációkat affin transzformációknak nevezünk. Az affin transzformáció kölcsönösen egyértelmű, mert a mátrix nem elfajuló. Könnyen belátható, hogy ha két (1) alakú formula egy együtthatóban különbözik, akkor az adott affin koordináta rendszerben az affin transzformáció is különbözik. 2. Az affin transzformáció osztályainak meghatározása független a koordináta-rendszer megválasztásától. Ebben a tekintetben, ha átállunk más affin koordinátákra, akkor az M pont eredeti koordinátáinak M’ képe az elsőfokú formula új koordinátájában fejeződik ki és ez egyértelmű megfordítható. Ezért , amikor átállunk más affin koordinátákra, az (1) alakokat az egyértelmű megfordítható osztályokban maradnak. 3. Legyen adott egy  geometriai alakzat az affin pontérben és az egyenlete: F(x)=0,

(2)

ahol az x szimbólum a futópont koordinátái Legyen adott egy affin transzformáció, amelyet szimbolikusan így jelölünk : x '   ( x)

(3)

Keressük a  alakzat  ' képének egyenletét. A (3)-ból

x   1 ( x ' ) , és ezt

behelyettesítjük a (2)-be :

F ( 1 ( x ' ))  0 ,

(4)

amely a  ' alakzat minden pontját kielégíti. A térben a koordináta-rendszer nem változtatjuk így a kényelmes jelölés végett az x szimbólumot megtartjuk (és nem az x’-t, ahogy (4)-ben).

Végül megállapítható, hogy  ' egyenlete:

F ( 1 ( x))  0 4. Az affin transzformációk az algebrai egyenletek fokszámát megtartják, éspedig, ha az M pont koordinátái kielégítik a k-ad fokú egyenletet, akkor az M’ pont is kielégíti az ugyanilyen fokszámú egyenlet. Megjegyzés : Az hogy az (1) formula elsőfokú, az egyenlet egyetlen tagjának sem lehet sem növelni, sem csökkenteni a fokszámát. Következmény: Affin transzformáció hipersíkot hipersíkba visz át. 5. Tétel: Affin transzformációknál minden sík dimenziója megegyezik a képsíkjának dimenziójával. Bizonyítás: Legyen Пk egy n-k rangú lineáris rendszerrel megadott k-dimenziós sík, amely n-k egyenletet tartalmaz. Írjuk ezt a rendszert mátrixos formában : Sx=s, ahol, S - (n-k)xn típusú mátrix, s- a mátrix szabad tagjainak oszlopa. Az (1) affin transzformációt szintén írjuk fel mátrixos formában : x '  Ax  b

Felhasználva a 2.pontot, áttérünk  'k képének mátrixos egyenletére : SA1 x  ~ s,

(5)

ahol ~ s  SA1b a szabad tagok új oszlopa. Az x koordinátákat tekintve az (5) rendszer szintén n-k egyenletet tartalmaz. A mátrix nem elfajuló, így RangSA 1  RangS  n  k

Ez az amit be kellett bizonyítani.

6. Affin transzformációnál a hipersíkok megtartják párhuzamosságukat. Ugyanis, ha két hipersík nem metszi egymást, akkor az ő képüknek sem lehet metszéspontja, mivel a transzformáció kölcsönösen egyértelmű (bijektív). 7. Általánosságban is igaz az állítás. Az affin transzformációk a hipersíkok párhuzamosságát bármely dimenzióban megtartják. 8. Tétel: Az n-dimenziós térben az affin transzformáció egyértelműen meghatározható, ha az adott tetszőleges, általános elhelyezkedésű, rendezett M 0 , M1 ,..., M n pontrendszerben van ilyen általános helyzetű. tetszőleges N 0 , N1 ,..., N n analóg rendszer. Bizonyítás: Vegyük a térben az affin koordináta-rendszert. legyen M 0 a kezdőpont

M 0 M 1 ,..., M 0 M n

pedig bázisvektorok. (Ezek a vektorok függetlenek, amennyiben

M 0 , M1 ,..., M n általános elhelyezkedésű). A keresett affin transzformáció adja ezeknek koordinátáknak az (1) formuláját, ahol a szabad tagok oszlopa az N 0 pont koordinátáiból áll, az együtthatók oszlopában pedig

xi = N 0 N i koordinátáiból áll. Annak következtében teljesül a DetA  0 , hogy az Nj pontok általános helyzetűek. Így keresett transzformációk egyértelműen léteznek. 9. Nézzünk két transzformációt. 1. Lineáris transzformáció

~ x1  a11 x1  ...  a1n x n   ...............................  ~ x n  a n1 x1  ...  a nn x n 

(6)

x1'  ~ x1  b1   ................  x n'  ~ x n  bn 

(7)

2. Párhuzamos eltolás

A párhuzamos eltolásnál az összes pont egyidejűleg mozdul el b1 ,..., bn  -be. Minden (1) transzformáció, a (6) és a (7) transzformációk szuperpozíciója és fordítva. Ezért minden affin transzformáció a (6) lineáris transzformáció (itt feltételezzük, hogy nem elfajuló) és a (7)eltolás szuperpozíciója.

10. Az affin transzformációk csoportot alkotnak , ugyanis: a) affin transzformációk inverze is affin transzformáció; b) két affin transzformáció szorzata is affin transzformáció; ez nyilvánvaló az 1. pont alapján. 11. Φ és Φ’ alakzatokat az affin térben affin szempontból akvivalensek, ha az egyik a másikba vihető transzformációval Így, hogy az affin transzformáció csoportot alkot, akkor igazak az alábbiak : 1) Ha Φ ekvivalens Φ’-vel, akorr Φ’ ekvivalens Φ -vel (szimmetrikus) 2) Ha Φ ekvivalens Φ’-vel, Φ’ ekvivalens Φ’’-vel, akkor Φ ekvivalens Φ’’-vel (tranzitív) 3) Minden alakzat önmagával is ekvivalens (reflexív). Példa : A kétdimenziós euklideszi térben kör affin képe ellipszis, a háromdimenziós euklideszi térben a gömb affin képe ellipszoid. Megjegyzés : A tér bármelyik egyforma k dimenziójú sík affin szempontból ekvivalens.

8.§.

Másodrendű hiperfelületek affin osztályozása 1. Megállapíthatjuk, hogy affin térben az összes másodrendű hiperfelületet osztályba sorolhatjuk, úgy hogy minden egyes osztályban elhelyezkedő felületek affin szempontból ekvivalensek. Az osztályok ilyen módon való felosztását nevezzük a másodrendű hiperfelületek affin osztályozásának. 2. Vegyünk egy tetszőleges másodrendű hiperfelületet, amelyet kanonikus alakban fogunk megadni. Algebrailag ez azt jelenti, hogy az egyenlet bal oldalát átalakítjuk a 7.§.(1) egyenlet formára. Ha ezeket a formulát megvizsgáljuk nem mint koordinátatranszformációs formulát, hanem mint affin transzformáció, akkor a kapott kanonikus egyenlet adja azt a hiperfelületet, amely kiindulóval affin akvivalens. Ha őt kiegészítjük még egy affin transzformációval, akkor ők a koordináta tengelyek irányában összenyomódnak és akkor a kanonikus egyenlet nullától különböző együtthatóit +1 vagy -1 alakba lehet írni. Különbőzőnek kell tartani azokat az egyenleteket, amelyeket nem szabad átvezetni

egymásba -1-gyel való szorzással és koordináták számozásának megváltoztatásával. Ezért a 6.§. (I) és (I’) esetében, amikor H 0 :  x12  x22  ...  xr2  2 xn  0 1  r  n

(1)

 x12  x22  ...  xr2  0

1 r  n

(2)

1  r  n 1

(3)

H  0:

6.§. (II) és (II’) esetében  x12  x22  ...  xr2  1

A kvadratikus alakokra vonatkozó Sylvester-féle tehetetlenségi törvény értelmében az (1), (2), (3) különböző alakban megadott hiperfelületek egymásba nem vihetők Az ily módon kapjuk a másodrendű hiperfelületek affin szempontból ekvivalens osztályait, amelyekből minden egyesnek van saját alakjai az (1), (2), (3) egyenlet közül.

9.§.

Másodrendű hiperfelületek metszése egyenessel. Aszimptótikus irányok 1. Legyen adott a

a

ik

xi xk  2  bi xi  c  0

(1)

hiperfelület és egy tetszőleges ( x10 ,..., xn0 ) koordinátájú M0 pont. Az M0 ponton át l  {l1 ,..., l n } vektorok irányában felveszünk egy egyenest.

Keressük az egyenes és az (1) hiperfelület metszéspontját. Akkor az M pont koordinátáira felírható az alábbi egyenlet :

   

xk  xk0  l k

(2)

Az (1) és (2) egyenletek segítségével lehet megtalálni a lehetséges metszéspontokat. Ezért a (2) egyenletet helyettesítsük az (1) egyenletbe :

 2  aik li l k  2 ( aik xi0 l k   bk l k )  2F ( x10 ,..., xn0 )  0 (3) Most már csak a (3) egyenlet vizsgálata szükséges. 2. Ha,

a

l l  0 , akkor a (3) egyenlet másodfokú (kvadratikus). Ebben az esetben

ik i k

vagy két valós, vagy két komplex konjugált, vagy többszörös metszéspont létezik, az utóbbi esetben egyenes. Példa : Az euklideszi síkon az x 2  y 2  1 körnek és az x  2 egyenesnek nincs valós metszéspontja. Egyszerű számítás adja a (2,i 3 ) megoldásokat. y

x=-2

-2

-1

0

9.ábra

1

x

Hogy el tudjuk képzelni ezeket a pontokat, az x 2  y 2  1 kört a kétdimenziós komplex síkon vizsgáljuk. Vegyük a a négydimenziós valós tér kétdimenziós komplex sík modelljét, akkor :

y  v  i

x  u  i ,

(4)

Ezt behelyettesítve a kör egyenletébe és a valós és komplex kifejezéseket elkülönítjük, kapjuk :

u 2  v 2   2   2  1  u  v  0 

(5)

Az (5) rendszer mutatja, hogy a (4) kétdimenziós komplex síkon vizsgált x 2  y 2  1 kör x=-2

v η

u

10.ábra változóit (u, v,  , ) jelöli a négydimenziós térben, és látható, hogy hiperboloidban és kúpban metszi. Az x  2 egyenes térbeli (u, v,  , ) vel jelölt változóinak kétdimenziós alakja : u=2,

 0

(6)

Vizsgáljuk most a négydimenzós tér   0 háromdimenzós alterét. A (6) sík egészében fekszik benne, az (5) kör pedig ezzel az altérrel az alábbi alakban metszi :

u 2  v 2   2  1  v  0  ??? u 2  v 2  1,

 0

(őt a valós euklideszi síkon látjuk) és a hiperbola

u 2  2  1 ,

v0

(7)

(10.ábra) a példa szerinti u  2 , v  0 ,    3 )

A (6) sík és a (7) rendszer megoldásokat adják. 3. Ha,

a

l l  0,

ik i k

(8)

akkor a (3) vagy elsőfokú egyenlet, vagy ellentmondásos, vagy azonosság. A második esetben az mondjuk, hogy az egyenesnek a hiperfelülettel kétszeres metszéspontja van a végtalenben.. A harmadik esetben az egyenes teljes egészében fekszik a hiperfelületen.

x3

x2

x1 11.ábra Az adott hiperfelület ilyen egyeneseit nevezzük aszimptótáknak, és az aszimptota irányokat a (8) feltétellel adott l  l1 ,..., l n  vektorok adják. Az egy ponton áthaladó aszimptotikus egyenesek kúpot határoznak meg (11.ábra). A (8)-ból és (2)-ből kapjuk az M0 csúcsú aszimptotikus kúpok egyenletét.

a

ik

( xi  xi0 )( xk  xk0 )  0

A centrális egyenletből következik, hogy ha M0 a hiperfelület centruma, az l vektor pedig aszimptotikus irány, akkor a (3) egyenlet az alábbi alakú : 0   2  0    2F ( x10 ,..., xn0 )  0 .,

Ha, F ( x10 ,..., xn0 )  0 , akkor az egyenesek egyetlen véges pontban sem találkoznak. Ilyen egyeneseket nevezik aszimotótáknak, a kúpot pedig aszimptotikusnak

Példaként említhető a háromdimenziós térben a hiperboloidok aszimptotikus kúpjai (12.ábra) és n  2 esetben a hiperbola aszimptótái (5.ábra).

O

O

12.ábra

10.§.

Konjugált irányok 1. Tegyük fel, hogy l vektor nem aszimptotikus irány. Akkor bármely egyenes, az l vektor iránnyal megegyezően felvéve, a hiperfelületet két pontban az M1 és M2 pontokban metszi. Legyen az M0 az M1 és M2 pontok által meghatározott húr felezőpontja. Ha M 1 , M 2 valós pontok, akkor az M 0 középpontját a középiskolában már megismert

M 1 M 2 osztópont koordinátájaként lehet meghatározni. Ha M 1 , M 2 komplex konjugált pontok, akkor az M 1 M 2 pontok M 0 középpontját úgy kell értelmezni, mint a koordináta végpontok számtani közepe. Az M 0 ebben az esetben is valós. Nézzük az összes olyan egyenest, amely párhuzamos az l vektorral és középpontjaik az

M 1 M 2 húrra illeszkednek. Tétel :Ezek a középpontok geometriai helye hipersíkot alkotnak. Bizonyítás :

M 0 M 1   1l ,

M 0 M 2   2l ,

(1)

ahol  2   1 . Ha M1 és M2 valós pontok, akkor nyilvánvaló, hogy  2   1 . Ha M1 és M2 komplex konjugált pontok, akkor az (1) egyenletekből lehet felírni a koordináták egyenlőségét. Ezekből könnyen belátni, hogy ebben az esetben is  2   1 . Ebből :

1  2  0

(2)

Térjünk vissza a 9.§.(3) egyenletéhez. Így hogy az egyenes nem aszimptotikus irány, az ismeretlen négyzetes együtthatók nullától különbözőek. A Viéte-formulából és a (2)-ből következik, hogy :

a

ik

xi0 l k   bk l k  0

(3)

Ahhoz, hogy az egyenlet összes középpontját megkapjuk, - bármely M0 középponra-, ahhoz az ő ( x1 ,..., xn ) koordinátáit kell vizsgálni. Akkor a (3)-ból :

a

l xi   bk l k  0

ik k

(4)

Tegyük fel, hogy

N i   aik l k xi ,

D   bk l k

Akkor a (4) összefüggés így írható : N1 x1  ...  N n xn  D  0

(5)

Könnyű belátni, hogy az N i számok között van nullától különböző. Ebben az esetben elfogadható, hogy i  1,..., n esetén :

N i   aik l k  0

(6)

A (6) egyenletet l i -vel megszorozva és elvégezve a megfelelő összeadásokat :

a

l l  0,

ik i k

2. Az (5) hipersíkot, az adott hiperfelület l konjugált irány által meghatározott diagonális hipersíkjának nevezzük 3. N1 ,..., N n számok az N  {N1 ,..., N n } koordinátáit jelentik. Ha a koordináták a térben ortonormáltak, akkor az N vektor ortogonális az (5) diagonális hipersíkra, tehát ő az (5) normálvektora. Az

N i   aik l k

(i  1,..., n)

összefüggés alapján látható, hogy az N=Al lineáris transzformáció az l vektort N vektorba viszi át. l

N=Al

0

13.ábra

Tudjuk, hogy a hiperfelületek egyenleteinek kanonikus alakba való átalakításainál az A transzformáció sajátvektorait úgy kell irányítani, hogy a koordináta tengelyek irányába mutassanak. Így már könnyen érthető, hogy az irányok geometriai bevezetése előnyös az egyszerűsített hiperfelületek egyenleteinek tárgyalásakor. Az

egyszerűség

kedvéért

azokat

a

sajátirányokat

vizsgáljuk,

amelyek

nem

aszimptotikusak. Akkor a neki konjugált diagonális hipersík létezik és merőleges ennek irányára. Ezért ő az adott hipersík szimmetria síkja. Innen, legalább azokban az esetekben, amikor a centrális hiperfület nem elfajuló, világos, hogy megadva őt a kanonikus alakjában, elfogadjuk, hogy koordinátasíkok ortogonális rendszert alkotnak, és ők szimmetriasíkok.

11.§.

Kúpszeletek és Dandelin-gömbjeik Egy egyenes körkúpot a csúcsára nem illeszkedő síkkal elmetszve különböző görbéket kapunk síkmetszetként a szerint, hogy a sík a kúp tengelyével mekkora szöget zár be. Ha a bezárt szög megegyezik a kúp félnyílásszögével (azaz a sík egy alkotóval párhuzamos), akkor parabola, ha kisebb, mint a félnyílásszög (azaz két alkotóval párhuzamos a sík), akkor hiperbola, ha nagyobb, mint a félnyílásszög (azaz minden alkotót metsz), akkor ellipszis, ha a sík a tengelyre merőleges, akkor kör lesz a síkmetszet. A kúpszeletekkel nagyon sok matematikus foglalkozott; a legfontosabbakat a Kúpszelettörténelem című oldalon igyekeztünk összegyűjteni. A most megnevezett görbéket azonban inkább pontok mértani helyeként, ponthalmazként tartjuk számon. A parabola azon pontok mértani helye a síkban, amik egy adott egyenestől és egy adott (az egyenesre nem illeszkedő) ponttól egyenlő távolságra vannak.

Az ellipszis azon pontok mértani helye a síkban, amelyek két adott ponttól mért távolságának összege állandó, amely állandó nagyobb az adott pontok távolságánál. A hiperbola azon pontok mértani helye a síkban, amelyek két adott ponttól mért

távolságának különbsége állandó, amely állandó kisebb az adott pontok távolságánál.

A görbék kétféle definíciójának egyenértékűségét, másszóval az azonos elnevezés jogszerűségét bizonyítani kell. A legegyszerűbb eljárást erre a bizonyítás során felhasznált érintőgömbök "feltalálójáról", Dandelinről Dandelin-gömbös bizonyításnak is nevezik. Az dolgozatl célja, ennek minél plasztikusabb bemutatása.

Ellipszis

Legyen P a síkmetszet egy tetszőleges pontja. Illesszünk a kúpba olyan gömböket, amik érintik a kúpot és a metszősíkot is. A G1 gömb a kúp palástját k1 körben, a síkot F1 pontban érinti. A G2 gömb a kúpot k2 körben, a metszősíkot F2 pontban érinti. P-ből húzzunk a gömbökhöz érintőszakaszokat! Teljesül rájuk, hogy PP1=PF1 és PP2=PF2. Ugyanakkor PP1 és PP2 egy, közös alkotón vannak, az általuk alkotott alkotódarabot k1 és k2 határolják. A síkmetszetnek bármely pontjáról legyen is szó, a gömbökhöz rajzolt érintőszakaszok együtt a paláston mindig a két kör között helyezkednek el, nagyságuk így állandó. Másrészről az érintési tulajdonság miatt a síkbeli érintőszakaszok hosszának összege, PF1+PF2 PP1+PP2 is állandó nagyságú. Ezzel kaptunk két adott pontot: F1-t és F2-t, amelyektől mért távolságösszege P-nek mindig ugyanakkora. Definíció szerint síkmetszetünk egy ellipszis. Az ellipszis egy másik, szintén "ponthalmazos" definíciójához is eljuthatunk. Messe ugyanis k1 kör síkja a metszősíkot d egyenesben. P-ből merőlegest állítva d-re, D talppontot kapjuk. P távolsága az első kör síkjától PP* szakasz hossza. Az így keletkezett PP*P1 háromszög derékszögű, P-nél levő szöge a kúp félnyílásszöge, tehát minden ellipszispontból szerkesztett háromszögre ugyan akkora. Ezek a derékszögű háromszögek hasonlóak. Másrészről d-re állított merőlegesek - bármely ellipszispontból

indítva - a metszősíkban vannak és párhuzamosak. Most a DPP* háromszögeket vizsgálva, ha P befutja az ellipszis pontjait, derékszögűek és a párhuzamosállású szögeik miatt hasonlóak egymáshoz. Tehát

és , ahol a konstansok a megfelelő bezárt szögek

cosinusai. Ekkor szögektől függő állandó. Vizsgálatunk eredménye, hogy az ellipszis pontjaira teljesül, hogy egy adott ponttól (fókusz) és egy adott egyenestől (direktrix) mért távolságuk hányadosa állandó, ami a konstrukció miatt 1-nél kisebb pozitív szám.

Hiperbola Legyen P a síkmetszet egy tetszőleges pontja. Illesszünk a kúpba olyan gömböket, amik érintik a kúpot és a metszősíkot is. A G1 gömb a kúp palástját k1 körben, a síkot F1 pontban

érinti. A G2 gömb a kúpot k2 körben, a metszősíkot F2 pontban érinti. P-ből húzzunk a gömbökhöz érintőszakaszokat! Teljesül rájuk, hogy PP1=PF1 és PP2=PF2. Ugyanakkor PP1 és PP2 egy, közös alkotón vannak. A PP2 PP1-n kívüli alkotódarabját k1 és k2 körök határolják. A síkmetszetnek bármely pontjáról legyen is szó, a gömbökhöz rajzolt érintőszakaszok különbsége a paláston mindig a két kör között helyezkedik el, nagysága így állandó. Másrészről az érintési tulajdonság miatt a síkbeli érintőszakaszok hosszának különbsége, |PF1-PF2|=|PP1+PP2| is állandó nagyságú. Ezzel kaptunk két adott pontot: F1-t és F2-t, amelyektől mért távolságkülönbsége P-nek mindig ugyanakkora. Definíció szerint síkmetszetünk egy hiperbola. A hiperbola egy másik, szintén "ponthalmazos" definíciójához is eljuthatunk a kúp metszésével. Messe ugyanis k1 kör síkja a metszősíkot d egyenesben. P-ből merőlegest állítva d-re, D talppontot kapjuk, az első kör síkjára állítva P* pontot nyerjük. Az így keletkezett PP*P1 háromszög derékszögű, P-nél levő szöge a kúp félnyílásszöge, tehát minden hiperbolapontból szerkesztett háromszögre ugyan akkora. Ezek a derékszögű háromszögek hasonlóak. Másrészről d-re állított merőlegesek - bármely hiperbolapontból indítva - a metszősíkban vannak és párhuzamosak. Most a DPP* háromszögeket vizsgálva, ha P befutja az ellipszis pontjait, derékszögűek és a párhuzamosállású szögeik miatt

hasonlóak egymáshoz. Tehát bezárt szögek cosinusai. Ekkor

és

, ahol a konstansok a megfelelő szögektől függő állandó. Vizsgálatunk

eredménye, hogy a hiperbola pontjaira teljesül, hogy egy adott ponttól (fókusz) és egy adott egyenestől (direktrix) mért távolságuk hányadosa állandó, ami a konstrukció miatt 1nél nagyobb.

Parabola

Legyen P a síkmetszet egy tetszőleges pontja. Illesszünk a kúpba egy olyan érintőgömböt G, ami egyúttal a síkot is érinti. A kúpot k körben, a síkot F pontban érinti G. P-ből a Dandelin-gömbhöz húzott érintőszakaszok PF és PP', amik egyenlő hosszúságúak. A metszősík és k síkja d egyenesben metszik egymást. P-ből merőlegest állítva d-re és k síkjára kapjuk D és P* talppontokat. PD a metszősíkban van és párhuzamos azzal az alkotóval, amivel a sík is párhuzamos. Így DPP* szög váltószög P*PP' szöggel, ami minden esetben a félnyílásszög. Ezért a kapott PP'P* derékszögű háromszög egybevágó a PP*D derékszögű háromszöggel (egy oldaluk közös és a rajta fekvő szögeik egyenlőek). Tehát az átfogók egyenlő hosszúak: DP=PP', másrészről PP'=PF. Összefoglalva elmondható, hogy a síkmetszet pontjai egy adott ponttól (fókusz) és egy adott egyenestől (direktrix/vezéregyenes) egyenlő távolságra vannak, a síkmetszet ezért egy parabola.

12.§.

Kúpszelet-történelem A kúpszeletek kb. 2350 éves történelmében sok ismert névvel találkozhatunk. Róluk (is) olvashatunk a következőkben. Menaikhmosz (i.e. 350 körül) A híres matematikus, Eudoxosz (i.e. 400?-347?) volt a mestere. Testvére, Deinosztratosz a kör négyszögesítésével örökítette meg nevét. Menaikhmosz egy másik híres problémával foglalkozott: a kockakettőzéssel. Másodállásban Nagy Sándor egyik nevelője volt. Proklosz szerint Menaikhmosz jelentősen továbbfejlesztette a geometriát, munkái azonban nem maradtak fenn, így ,,csak'' a kúpszeletek felfedezését tudhatjuk övének. A forgáskúpokat nyílásszögük alapján három csoportra osztotta: tompaszögű, derékszögű és hegyesszögű kúpokra. Mindegyiket olyan síkkal metszette, ami merőleges valamelyik alkotóra. Így nyerte sorban a hiperbola, parabola, ellipszis síkmetszeteket. Ezeknek a nevét is a kúpok után hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű kúp síkmetszetének nevezte. Ennek a három kúpszeletnek néhány tulajdonságát, sőt a szümptómáját, azaz ,,egyenletét'' is meghatározta.

Eukleidesz (i.e. 365?-300?) A nagy rendszerező matematikus természetesen foglalkozott kúpszeletekkel, könyvet is írt a témában, ami azonban elveszett. Alapvető művében, a Sztoikheia II. kötetében geometriai algebrával foglalkozik. Számunkra ez azért fontos, mert olyan feladatokkal foglalkozik, amelyek később fontos szerepet fognak játszani a kúpszeletek elnevezésében. Szürakuszai Arkhimédész (i.e. 287-212) Több művében is foglalkozik kúpszeletekkel, amiket ugyanúgy származtat, mint Menaikhmosz. Az Erathosztenészhez írt levele, a Módszer fontos matematikai eredményeit tartalmazza. Számunkra legfontosabb fejezete ennek A parabola kvadratúrájáról szóló, amiben egy parabolaszelet területét számolja ki Arkhimédész. A tanulmány több szempontból is figyelemre méltó. Egyrészt Eudoxosz ,,kimerítéses módszerét'' alkalmazza

a lehető legfinomabb és legprecízebb módon, másrészről a végeredmény megsejtéséhez (mondhatni személyre szabottan: heurisztikus megoldásához) egy fizikai szabályt alkalmaz, amit matematikusan precízen be is bizonyít. Arkhimédész szerint egy

parabolaszelet területe megegyezik beleírt háromszög területének 4/3-szorosával.

A konoidokról és szferoidokról (A forgásparaboloidokról és forgásellipszoidokról) című művében a Módszerben megismert módszerrel ezen testek térfogatát és felszínét, illetve a síkmetszetek területeit számolja ki. Arab fordításból ismerjük A szabályos hétszög szerkesztése könyvecskéjét. Némi számolás után kapta DE=ET=z, EC=TH=y, CG=x szakaszokat, hogy ATB területe megegyezik CFG területével. A hasonló háromszögeket és a terület-egyenlőséget figyelembe véve (y+z)z=x2-t az összefüggés. Az x,y,z oldalú háromszöget megszerkesztve a KDG köré írt körének (k) DK húrja adja a k-ba írható szabályos hétszög egyik oldalát.

Arkhimédész nem fűz több kommentárt a dologhoz, azonban feltételezhető, hogy például y+z=a jelöléssel, azaz ABCD egy a oldalú négyzet, z-t behelyettesítve kapjuk, hogy (x+y)y=(a-y)2 és a(a-y)=x2. Derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolva egy hiperbolát és egy parabolát kapunk, melyek metszéspontjai közül az I. síknegyedbe eső P metszéspont koordinátái adják x és y

értékeket. Másrészről az is bebizonyítható, hogy a szerkesztés során tényleg a k körbe írható szabályos hétszög oldalát nyertük.

Pergei Apolloniosz (i.e. 260-190) Alexandriában, majd Pergében dolgozva alkotta meg nyolckötetes kúpszeletekről szóló könyvét, a Kónikát. Tárgyalásának új módja, hogy a syümptómákat minden esetben speciálisan, konjugált átmérőpárra írta fel (az érintő az x, az átmérő az y tengely), mai szóhasználattal ferdeszögű koordináta-rendszerben, másrészről mind a parabolát, mind az ellipszist, mind a hiperbolát azonos eljárással vizsgálta. Az első négy kötet görögül, a következő három arabul maradt ránk. A VIII. kötetet 1710ben Papposz hivatkozásaira támaszkodva Edmund Halley angol matematika-történész rekonstruálta. Az I., II., III. és IV. könyv a kúpszeletek mint egyetlen ferde körkúp különböző síkmetszeteivel, a kúpszeletek szümptómáival, konjugált átmérővel, érintőkkel, aszimptotával, pólussal és polárissal illetve fokális tulajdonságokkal foglalkozik. Az V. kúpszeletek érintőiről és evolútáiról szól. A kúpszeletek egybevágóságával és hasonlóságával a VI. kötet foglalkozik, míg a VII.-t a konjugált átmérőkre szánta. A legutolsó rész lényegében szerkesztési feladatokat tartalmaz. Mivel Apolloniosz egyetlen ferde körkúpot használt, ezért a korábban Menaikhmosztól származó bevett elnevezések nem voltak helyénvalóak. Ezért kereset valami közös , de mégis

megkülönböztető

tulajdonságot.

Korábban

említettem,

hogy

Apolloniosz

mindhárom kúpszeletet azonos módon vizsgált, így juthatott el a következő feltünően hasonló szümptómákhoz (mai jelölésekkel):

P: y2 = 2px ahol

. Apolloniosz az ellipszis egyenletét így fogalmazta meg: Illesszünk a 2p

távolsághoz területű téglalapot úgy, hogy hiányozzék a távolság mellől egy területű téglalap! Könnyen belátható, hogy (az egyszerűség kedvéért) kanonikus helyzetben levő ellipszis |c| abszcisszájú pontjainak ordinátái

alapján c2b2+a2y2=a2b2 azaz

Tehát az ellipszis fókuszán átmenő, kistengellyel párhuzamos húr hossza pont 2p. A megfogalmazott feladatot Apolloniosz meg is oldotta.

Alexandriai Papposz (IV.sz.) Szünagógé (Gyűjtemény) című munkájában összegyűjtötte a nagy elődök eredményeit, ugyanakkor őmaga ki is egészítette azokat, vagy új megoldást adott a problémákra. Mivel Apolloniosztól is összeszedet sok mindent, bizonyára foglalkozott kúpszeletekkel is, másrészről nagyon fontos szerepet játszott az ógörög matemetika megőrzésében az utókor számára.

Girard Desargues (1593-1662) Lyoni születésű építész- és hadmérnök volt. 1626 és 1650 között Párizsban matematikával és fizikával foglalkozott, s 1935-ben a párizsi Akadémia tagjává választották. 1939-ben jelent meg Bruillon projet d`une atteinte aux événemens des recontres d`un cone avec un plan (Javasolt kísérlettervezet arra vonatkozóan, hogy miként kell eljárni, amikor egy kúp egy síkkal találkozik) című könyve. Az egyenes végtelen távoli pontjának és a sík végtelen távoli egyenesének bevezetésével megállapította, hogy azonos aszimptotájú hiperbolák végtelen távoli pontjaikban találkoznak. Először körre igazolta, majd általánosan is kimondta tételét: Ha egy kúpszeletbe húrnégyszöget rajzolunk, annak oldalegyeneseit egy ötödikkel elmetszük, ami a kúpszeletből is kimetsz két pontot, akkor az így kapott hat pont involúciót képez.

Pontosabban az ábra jelölései szerint PS, QR, UV pontpárok involúciót adnak. (Egy egyenesre illeszkedő AA', BB', CC' pontpárok involúciót alkotnak, ha egy egyenesen levő O pontra OA*OA'=OB*OB'=OC*OC'.)

Pierre de Fermat (1601-1665) A híres ,,matematikus'' jogász volt, szabadidejében fogalkozott matematikával. Ismereteit az ókori görög művek olvasásával alapozta meg, Apolloniosz: Plane loci elveszett iratainak rekonstruálásával is foglalkozott Papposz utalásai alapján. Írásait nem publikálta, de Ad locus planos et solidos isagoges (Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe) (1636) ismert volt levelezőtársai körében. Az Oresme-féle paralel koordinátarendszer segítségével kimutatta, hogy az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet grafikonja egyenes, a másodfokúé pedig kúpszelet. Apolloniosz gondolatmenetét követve levezette a kör, az ellipszis, a hiperbola és a parabola egyenletét. (A szümptómát már egyenletnek nevezte.) Egy adott másodfokú kétismeretlenes egyenletről ügyes transzformációkkal megkereste, milyen típusú kúpszelet egyenlete. Például a 2x2+2xy+y2=a2 egyenletet az y'=x+y és

és helyettesítéssel

azaz

alakra hozta, ami már jól azonosítható a korábban megismert szümptómával.

John Wallis (1616-1703) A descartes-i analitikus geometria módszerével új módon tárgyalt kúpszeletek közös egyenletét felírta y2=2px+ x2 alakban, ahol

Blaise Pascal (1623-1662) Desargues lelkes tanítványa ez a francia matematikus, aki 16 évesen írta Essay pour les coniques (Tanulmány a kúpszeletekről), ami csupán hat oldalas, de nagyon sok nagyhatású dolog van belefoglalva, például a róla elnevezett Pascal-tétel is. A tétel kimondja, hogy egy közönséges kúpszeletbe írt hatszög átellenes oldalpárjai egymást egy egyenes három pontjában metszik.

Philippe de Lahire (1640-1718) A Collége de France matematika- és építészprofesszora volt. 1679-ben jelent meg Nouveaux des sections coniques (A kúpszeletek új elmélete) című művét, amit Colbertnek dedikált, és amiben Desargues kifejezéseit használta. Guillaume François Antoine Marquis de L' Hospital (1661-1704) Tankönyvet írt a Kúpszeletekről és differenciálásukról.

,,Cadet Clairaut'' (1716-1732) Alexis Claud Clairaut francia matematikus és csillagász öccse, aki himlőben, 16 évesen hunyt el. Halála előtt egy évvel jelent meg Traité de quadratures circulaires et hiperboliques (Körök és hiperbolák kvadratúrája) című könyve.

Charles Julien Brianchon (1783-1864) Sévres-ben született tüzértiszt, majd tanár. 21 éves korában mondta ki, tételét, ami Pascal tételének "duálisa". E szerint egy kúpszelet köré írható érintőhatszög átellenes végpontjait összekötő átlók egy pontban metszik egymást.

Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) Belgiumban élő francia mérnök volt. Tőle származik az a bizonyítás, mely szerint a forgáskúp síkmetszeteiként előálló kúpszeletek megfelelnek az ún. ponthalmazos meghatározásnak. A bizonyítás során a kúpba írt gömböket használ, amiket tiszteletére róla neveztek el.

Jacob Steiner (1796-1863) A svájci Steiner tanítója Pestalozzi (1746-1827) volt. Később együtt is dolgoztak a mester intézetében, majd az egyetemi tanulmányok befejezése után (Heidelberg) Berlinben.Fő munkája a A geometriai alakzatok összefüggésének rendszeres kifejtése. A projektív geometria egyik nagy úttörőjeként a körre vonatkozó Fermat-tétel általánosításaként megfogalmazta és igazolta róla elnevezett tételét. E szerint minden kúpszelet olyan, projektív viszonyban álló két sugársor megfelelő egyeneseinek metszéspontjaiként tekinthetők, amely sugársorok tartói maguk is a kúpszelet pontjai. Ennek bizonyítása során tette azt a megállapítást is, hogy minden kúpszelet keletkezhet a körnek egy megfelelő síkra való centrális vetítésével. Bolyai János (1802-1860) Az egyik legnagyobb és leghíresebb magyar matematikus sem hagyható ki a sorból. Bár Bolyai hírnevét a hiperbolikus geometria leírásával szerezte (Appendix, 1831), itt a hiperbola egy alkalmazása miatt szerepel. Bolyai az ókori szögharmadolás kérdésére adott egy választ. Köztudottan euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg egy tetszőleges szögből annak harmada. Egy hiperbola élű vonalzóval azonban már igen. A híres matematikus ehhez egy derékszögű hiperbolát használt.

Helyezzük a hiperbolát egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az aszimptoták essenek egybe a tengelyekkel. A harmadolni kívánt szög csúcsa az origó, egyik szögszára az xtengely pozitív ága legyen. Ekkor a másik szögszár a hiperbolát a P pontban metszi. A P középponttal és 2OP=2r sugárral kört szerkesztünk, ami (a síknegyedbe eső) hiperbolaágat D-ben és E-ben metszi. Legyen T a DE körvonal azon pontja, amire PT párhuzamos az abszcisszával. Ekkor DPT= a keresett harmadszög.

Ha P(a;b), akkor D(x1;y1) koordinátákra igaz, hogy x1y1-ab=0 a hiperbola egyenlete miatt. Ugyanakkor felírható x1=a+2rcos-ként és y1=b-2rcosβ -ként. Ezzel x1y1-ab=(a+2rcosβ)(b-2rcosβ)-ab=0 x1y1-ab=(a+2rcosβ)(b-2rcosβ)-ab=0 azaz 2r(bcosβ-asinβ)-4r2sinβcosβ=0. Egyszerűsítve a bcosβ-asinβ=rsinβ -t kapjuk. Felhasználva a b=rsinα és az a=rcosα összefüggéseket, az r-rel való egyszerűsítés után egyenletünk sin αcosβ-cos α sinβ=sin2β alakot ölt. Ez nem más, mint sin(α-β)=sin 2β. α-β és 2β hegyesszögek, tehát α-β=2β, azaz 3β=α Tompa és homorú szög harmadolása visszavezethető a kiegészítőszögek segítségével a fent leírt hegyesszög-harmadolásra.

Ajánlott irodalom Н.В.ЕФИМОВ-Э.Р.РОЗЕНДОРН : ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКА> ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА, 1970.

Hajós György : Bevezetés a geometriába TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST, 1984.

Bélteky Károly : Analitikus geometria és lineáris algebra TANKÖNYVKIADÓ BUDAPEST, 1986.

Puskás Csaba - Szabó Imre - Tallos Péter : Lineáris Algebra BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM JEGYZET BUDAPEST, 1998.

KöMal-Kós Rita : Kúpszeletek és Dandelin-gömbjeik http://www.sulinet.hu