Szabályozástechnika II

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 „A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK KÉPZÉSEINEK

DUÁLIS

ÉS

KIALAKÍTÁSA

MODULÁRIS A

TUDOMÁNYEGYETEMEN „

Jancskárné Anweiler Ildikó

Szabályozástechnika II.

Pécs 2015

A tananyag a TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonosító számú, „A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen” című projekt keretében valósul meg.

PÉCSI

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 „A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK KÉPZÉSEINEK

DUÁLIS

TUDOMÁNYEGYETEMEN „

Szerző: Jancskárné dr. Anweiler Ildikó Szakmai lektor: dr. Gerzson Miklós Nyelvi lektor: Veres Mária

Kiadó neve Kiadó címe

Felelős kiadó:

ISBN szám

Pécsi Tudományegyetem Műszaki és Informatikai Kar Pécs, 2015 © Jancskárné dr. Anweiler Ildikó

ÉS

KIALAKÍTÁSA

MODULÁRIS A

PÉCSI

TARTALOMJEGYZÉK

1.

Bevezetés ........................................................................................................... 5

2.

Jelölésjegyzék ..................................................................................................... 7

3.

PID-szabályozás ................................................................................................ 11 3.1.

Az automata üzemmód és a végrehajtó jel munkapontja ......................... 11

3.2.

A PID-szabályozó szerkezete ..................................................................... 13

3.3.

Az arányos szabályozó: P-szabályozó ........................................................ 15

3.3.1.

P-szabályozó és önbeálló szakasz alkotta szabályozási körök ............... 15

3.3.2.

Maradó szabályozási hiba (Steady-state error) .................................... 16

3.3.3.

P-szabályozó és egytárolós szakasz alkotta szabályozási kör ................ 17

3.3.4.

A P-szabályozó hatása az átviteli karakterisztikára ............................... 18

3.4.

A végrehajtó szerv telítése ........................................................................ 21

3.5.

Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval szabályozva ....... 23

3.6. Feladat: Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval szabályozva ............................................................................................................. 26 3.6.1. 3.7.

Szimuláció az időtartományban ............................................................ 27 Integráló szakasz P-szabályozóval ............................................................. 29

3.7.1.

Szimuláció az időtartományban ............................................................ 30

3.7.2.

Vizsgálat frekvenciatartományban ....................................................... 31

3.8.

A szabályozások típusszáma ...................................................................... 33

3.8.1.

0-típusú szabályozás ............................................................................. 34

3.8.2.

1-típusú szabályozás ............................................................................. 35

3.8.3.

2-típusú szabályozás ............................................................................. 35

3.9.

Integráló szabályozó .................................................................................. 37

3.9.1.

Az I-szabályozó hatása a hurokátviteli karakterisztikára ...................... 37

3.9.2.

A szabályozási kör átviteli karakterisztikája .......................................... 38

3.9.3.

Egytárolós szakasz I-szabályozóval........................................................ 39

3.9.4.

Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval .................................. 41 1

3.9.5.

Harmadrendű időkésleltetéses szakasz I-szabályozóval ....................... 43

3.10.

A P- és I-szabályozás összehasonlítása időtartományban ......................... 44

3.11.

Integráló szakasz I-szabályozóval .............................................................. 45

3.12.

PI-szabályozó ............................................................................................. 45

3.12.1.

A PI-szabályozó hatása a hurok átviteli karakterisztikájára .............. 48

3.12.2.

A beavatkozó szerv telítésének hatása az I-szabályozásra ............... 49

3.12.3.

Kéttárolós rendszer PI-szabályozóval ............................................... 51

3.13.

A P-, I- és PI-szabályozás összehasonlítása ................................................ 52

3.14.

Póluskompenzálás PI-szabályozóval .......................................................... 52

3.15.

Háromtárolós rendszer szabályozása PI-szabályozóval, példa .................. 53

3.16.

PD-szabályozó (ideális) .............................................................................. 54

3.16.1.

A PD-szabályozó frekvenciafüggvénye.............................................. 55

3.16.2.

A PD-szabályozó hatása a frekvenciaátvitelre .................................. 55

3.17.

PID-szabályozó ........................................................................................... 58

3.17.1.

A PID-szabályozó átmeneti függvénye .............................................. 58

3.17.2.

A PID-szabályozó frekvenciaátviteli karakterisztikája ....................... 58

3.18.

Szűrés a D-tagon ........................................................................................ 59

3.18.1.

PD-szabályozó szűrt D-taggal: közelítő PD-szabályozó ..................... 60

3.18.2.

A közelítő PD-szabályozó frekvenciafüggvénye ................................ 61

3.18.3.

Fázissiettető/késleltető kompenzációs tag ....................................... 61

3.18.4.

A közelítő PID-szabályozó ................................................................. 62

4.

Holtidős rendszerek szabályozása ................................................................... 63 4.1.

Arányos, holtidős hurok............................................................................. 63

4.2.

Integráló, holtidős hurok ........................................................................... 65

4.3.

Feladat: holtidős szabályozások összehasonlítása .................................... 69

5.

A PID-szabályozó paraméterbeállítási módszerei ........................................... 70 5.1.

A PID-szabályozó paramétereinek hatása a szabályozás dinamikájára .... 71

5.2.

Tapasztalati szabályozóhangolási módszerek............................................ 72

5.2.1.

Zárt körön végzett kísérletezések ......................................................... 72

5.2.2. Felnyitott körben végzett vizsgálatok: A szakasz átmeneti függvényének kimérésén alapuló módszerek ..................................................... 75 2

5.3. 5.3.1.

PID-szabályozót eredményező, modellalapú szabályozótervezés ............ 79 Lambda tuning módszer........................................................................ 79

5.4. Célfüggvény minimalizálásán alapuló szabályozóhangolási módszerek, integrálkritériumok ................................................................................................. 82 5.5.

A PID-szabályozó paramétereinek beállítása a frekvenciatartományban . 83

5.5.1.

Tervezés elsőrendű zárt köri átviteli karakterisztikára ......................... 86

5.5.2.

Tervezés másodrendű zárt köri átviteli karakterisztikára ..................... 87

5.5.3.

A hurokátviteli függvény tervezése ....................................................... 90

5.5.4.

Feladatok............................................................................................... 94

5.5.5.

Feladat .................................................................................................. 95

5.5.6.

Feladat .................................................................................................. 96

6. Szabályozás kisegítő jellemzőkkel: Az egyhurkos szabályozás teljesítményének javítása ......................................................................................................................... 97 6.1.

Kaszkádszabályozás ................................................................................... 98

6.1.1.

A kaszkádszabályozás koncepciója...................................................... 100

6.1.2.

A kaszkád struktúra kialakíthatóságának feltételei ............................. 100

6.2.

A kaszkádszabályozás hangolása ............................................................. 102

6.3.

Példa kaszkádszabályozásra .................................................................... 103

6.4. Feladat: kaszkádszabályozás hangolása és a teljesítményjellemzők összehasonlítása ................................................................................................... 107 6.5.

Példa ........................................................................................................ 107

6.5.1.

Feladat ................................................................................................ 109

6.5.2.

Feladat ................................................................................................ 113

6.5.3.

Feladat ................................................................................................ 114

6.5.4.

Feladat ................................................................................................ 116

6.5.5.

Feladat ................................................................................................ 116

6.6.

Zavarkompenzációs szabályozás ............................................................. 117

6.7.

A zavarkompenzálások összehasonlítása ................................................ 120

6.7.1.

Feladat ................................................................................................ 121

6.7.2.

Kérdések.............................................................................................. 122

Irodalomjegyzék ......................................................................................................... 123

3

1. BEVEZETÉS A szabályozástechnika jegyzet műszaki informatikus hallgatóknak készült. A jegyzet célja kettős: egyrészt biztosítani kívánjuk a hallgatóknak az előadásokon bemutatott prezentációk képanyagát, levezetéseit és szimulációs programjait, másrészt támogatni szeretnénk az önálló felkészülést kérdéssorokkal, gyakorló feladatokkal. Hangsúlyozni szeretnénk, hogy a jegyzet nem tartalmazza a klasszikus szabályozástechnika átfogó, teljes körű ismeretanyagát. A jegyzet kimérete megfelel az egyszemeszternyi „Szabályozástechnika” című tantárgy ismeretanyagának. Feltételezzük, hogy a hallgatók már teljesítették a „Jelek és rendszerek” és a „Méréstechnika” című tárgyakat. Ismertnek tételezzük fel az alapvető jelátviteli tagokat és azok idő- és frekvenciatartománybeli leírási módszereit; a tipikus vizsgáló jeleket és az azokra adott válaszidő függvényeket; a frekvenciafüggvények ábrázolási módjait; a stabilitásvizsgálati módszereket. A jegyzet fejezeteinek sorrendje, felépítése szorosan követi a szabályozástechnika előadások tematikáját. Didaktikai szempontból egyes általánosító, illetve speciális problémákat bemutató témakörök tárgyalása néhány bevezető jellegű fejezet áttekintése után kerül sorra, mivel így a hallgatóknak már van némi rálátásuk a probléma jellegére. A szabályozástechnika tananyaghoz készült szimulációs programokkal az angol nyelvű oktatást is támogatni szeretnénk, ezért ezek frontpanel felülete angol nyelvű. Az idegen nyelvű szakirodalom tanulmányozásához elengedhetetlen, hogy a magyar anyanyelvű hallgatók is ismerjék az angol szakmai kifejezéseket. A jelölésjegyzékben megadtuk a jelölések angol nyelvű megfelelőjét is. A jegyzet alapozó jellegű és szűk kiméretű. Az érdeklődő hallgatók az egyes témakörök részletesebb kifejtését megtalálhatják a kötelező, illetve ajánlott irodalomban. Különösen az alábbi könyveket ajánlunk a hallgatók figyelmébe: [1] Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász: Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, 2006. [2] Nise: Control system engineering, Wiley, 2011. [3] Dorf, Bishop: Modern Control Systems, Prentice Hall, 2010. A jegyzet jelöléseit igyekeztünk ehhez a három, számos esettanulmányt is bemutató könyvhöz igazítani. Reméljük, hogy az egységesített jelölésrendszer segíti az érdeklődő hallgatókat az ajánlott szakirodalom tanulmányozásával az ismeretek elmélyítésében, az esettanulmányok keresésében és feldolgozásában. 5

2. JELÖLÉSJEGYZÉK Jel

Rövidítve

𝛿(𝑡)

Dirac-impulzus (Dirac-pulse signal)

∆ 𝜀(t)

Dinamikus pontosság/hibasáv (error band to settling time) (𝑟𝑒𝑛𝑑𝑠𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑡 ± 5% 𝑣𝑎𝑔𝑦 ± 2%) 1(t)

Egységugrás jel (Unit step signal) Csillapítási tényező (Damping ratio)





Megnevezés (angolul)

%OS

 ()

Túllendülés, %-os túllövés (Overshoot, Percent overshoot) Holtidő (Time delay, dead time, transport lag, time lag) Fáziskésés (Phase frequency response)



Frekvencia, körfrekvencia [rad/s]

𝜔0

Sajátfrekvencia (Natural frequency) [rad/s]

𝜔𝑐

Vágási körfrekvencia (Cut-off frequency) [rad/s]

𝜔𝑑

Csillapított sajátfrekvencia (Damped frequency of oscillation) [rad/s] Vágási, indexben (crossover or cut-off)

c

Kritikus, indexben (critical)

crit d(t)

d

D(s)

Zavarójel (Disturbance signal) Zavarójel Laplace-transzformáltja

e(t)

e

Hibajel (Error signal)

E(s)

E

Hibajel Laplace-transzformáltja Egytárolós, azaz elsőrendű időkésleltetéses, holtidős rendszer rövidítése (First-Order Plus Time Delay) Súlyfüggvény (Pulse response)

FOPTD g(t) G(s)

G

Átviteli függvény (Transfer function)

G0(s)

G0

Hurokátviteli függvény (open-loop transfer function)

GC(s)

Gc, C

GD(s)

GD, D

GN(s)

GN

Szabályozó átviteli függvénye (Transfer function of the controller) Zavarátviteli függvény (Transfer function for disturbance) Zajátviteli függvény (Transfer function for noise)

GP(s)

G P, P

A szabályozott szakasz átviteli függvénye (Transfer function of the plant) 7

Jel

Rövidítve

Megnevezés (angolul)

GR(s)

GR

GTr(s)

GTr

k0

Alapjel-átviteli függvény (Transfer function for reference) Jelátalakító/Távadó átviteli függvénye (Transfer function of a signal transducer) Erősítési tényező, erősítés (dimenzió mentes esetben) (Gain of plant) Hurokerősítés

K

A szabályozó erősítési tényezője (Controller gain)

Ki

A szabályozó integrálási átviteli tényezője (Integral gain) (A megkülönböztethetőség miatt kisbetű az indexben.) A szabályozó differenciálási átviteli tényezője (Derivative gain) A szabályozó arányossági átviteli tényezője (Proportional gain) Amplitúdóviszony (Magnitude frequency response)

k

KD KP 𝑀(𝜔) N(s) r(t)

Zaj Laplace-transzformáltja r

R(s)

Alapjel (Reference signal, set point: SP) Alapjel Laplace-transzformáltja

s

ss

Laplace-transzformáció komplex változója, komplex frekvencia Érzékenységi függvény (Sensitivity of F to a fractional change in P) Indexben: időben állandósult, steady-state

t

Idő (time)

tr

Indexben: időben változó, transient

T Ti

Időállandó (Time constant); digitális jelek: mintavételezési ciklusidő Integrálási időállandó (Integral time constant)

TD

Differenciálási időállandó (Derivative time constant)

Tp

Maximum-idő (Peak time)

Tr

Felfutási idő (Raising time)

Ts

Szabályozási idő (Settling time)

SF,P(s)

S(s)

T(s) u(t)

u

um(t)

um

v(t)

Kiegészítő érzékenységi függvény (Complementary sensitivity function) Szabályozó kimenő jele, végrehajtó jel (Controller output) Módosított jellemző (Manipulated variable) Átmeneti függvény (Step response)

8

Jel

Rövidítve

y(t)

y

Y(s)

Megnevezés (angolul) Kimenő jel (Output signal, controlled variable: CV) Kimenő jel Laplace-transzformáltja

yn(t)

yn

Zaj, mérési (Noise signal)

yss(t)

yss

ytr(t)

ytr

Kimenő jel állandósult komponense (Steady-state component of the output signal) Kimenő jel tranziens komponense (Transient component of the output signal)

9

3. PID-SZABÁLYOZÁS Az iparban leggyakrabban alkalmazott szabályozó típus az ún. PID-szabályozó, illetve annak módosított változatai. A vizsgálatainkat a 1. ábra szerinti egyszerűsített hatásvázlat figyelembevételével végezzük el, a mérési zajoktól egyelőre eltekintünk. Zavaró jel D(s)

Szabályozási rendszer Alapjel R(s)

Hibajel E(s) + _

Szabályozó C(s)

Végrehajtó jel U(s)

+

Szakasz P(s)

+

Szabályozott jellemző Y(s)

1. ábra A vizsgálatokban feltételezett hatásvázlat

3.1.

AZ AUTOMATA ÜZEMMÓD ÉS A VÉGREHAJTÓ JEL MUNKAPONTJA

Mielőtt elmélyednénk a PID-szabályozó részletes vizsgálatában, tekintsük át egy klasszikus szabályozó berendezés automata üzemmódba kapcsolásának lépéseit. A szabályozónak kétféle üzemmódja van: automata üzemmódban a szabályozó kimenő jele a szabályozóban áramkörökkel kialakított (vagy digitális szabályozó berendezés esetén a kódolt) és megfelelően paraméterezett szabályozó átviteli függvénynek megfelelően alakul. Kézi üzemmódban a szabályozó kimenő jelét a kezelő személy módosíthatja, állíthatja a két végérték között tetszőleges értékre. A szabályozás automata üzemmódba kapcsolása előtt, akár önálló szabályozó berendezésről van szó, akár egy számítógépes irányítórendszer része, elvisszük a rendszert kézi üzemmódban (vagy vezérlőalgoritmussal) a munkapont közelébe a lökésmentes átkapcsolás érdekében. Az automata üzemmódba kapcsolás lépései röviden összefoglalva a következők: 1.

A szabályozót kézi üzemmódba állítjuk. A szabályozó kimenő jelét addig módosítjuk, míg a szabályozott jellemző a kívánt alapérték közelébe nem kerül. Megvárjuk az egyensúlyi helyzetet, állandósult állapotot: a szabályozott jellemző már nem változik, értéke megfelel a beállított végrehajtó jelnek. 11

2.

3.

4.

Ekkor az alapjelet beállítjuk az ellenőrző jel értékére, vagyis gondoskodunk róla, hogy nullaértékű hibajelünk legyen. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó bemenő jele nulla. Most már átkapcsolhatunk automata üzemmódba, ezt hívjuk lökésmentes átkapcsolásnak. Ha a szabályozó bemenő jele nulla, nincs hiba, nem kell beavatkoznia a rendszerbe, tehát a kimenő jelét nem módosítja. Jegyezzük meg a szabályozó viselkedését: a nullaértékű hiba bemenő jelre a szabályozó nem nullázza le a kimenetét, hanem nem változtatja meg a kimenetet, az ún. munkaponti értéket! Ezután – most már automata üzemmódban – állítsuk be a pontos kívánt alapjelet, ami most már csak kissé tér el a manuálisan beállított értéktől. (Ugrásszerű gerjesztésnek felel meg.) A szabályozó bemenetén megjelenik a megfelelő hibajel. Erre a szabályozó reagál: elkezdi módosítani a végrehajtó jelet, a beállított karakterisztikának és paraméterezésnek megfelelő módon és mértékben. A szabályozó addig változtatja a kimenő jelét, amíg a tranziensei lecsengnek (stabil rendszert feltételezve), ekkor a szabályozó kimenete és így a szabályozott jellemző is újabb stacioner állapotba kerül. A szabályozás típusától függően zérus vagy konstans maradó hiba mellett.

Jegyezzük meg: a következőkben tárgyalt szabályozó karakterisztikák a szabályozó kimenő jelének megváltozását írják le! Hogyan reagáljon a szabályozó a nullától eltérő hibajelre? A szabályozó stratégiáját az állásos szabályozáshoz képest finomítjuk: a szabályozó módosíthatja a kimenő jelét a hibával arányos módon (nevezzük P-hatásnak), a hiba megváltozásával arányosan (nevezzük D-hatásnak) és a hibával arányos lehet a kimenő jel változása (legyen ez az I-hatás). Ezen hatások összesítésével jutunk el az ún. PIDszabályozóhoz, amelyet a továbbiakban részletesen áttekintünk.

12

3.2.

A PID-SZABÁLYOZÓ SZERKEZETE

A PID- (Proportinal-Integral-Derivative) szabályozó összetett szerkezetű: párhuzamosan kapcsolt P-, I- és D-jelátviteli komponensekből tevődik össze. A PIDszabályozó belső szerkezetének egyik lehetséges kialakítása a 2. ábra szerinti. Ebben az elrendezésben a szabályozó komponenseit az arányos, integráló és differenciáló átviteli tényezőkkel jellemezhetjük.

C(s)

E(s)

U(s)

2. ábra PID-szabályozó szerkezete, átviteli tényezős verzió

A PID-szabályozó kimenő jelének általános képlete: 𝑡

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 𝑒(𝑡) + 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏 + 𝐾𝐷 0

𝑑𝑒(𝑡) . 𝑑𝑡

(1.)

A PID-szabályozó átviteli függvénye a 2. ábra szerint: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 +

𝐾𝑖 + 𝐾𝐷 𝑠 . 𝑠

(2.)

A PID-szabályozó szerkezetének van egy másik, szintén elterjedt felírási módja is, amely a 3. ábra ábrán látható elrendezés szerint definiálja a komponenseket. Ebben az esetben a szabályozót az erősítéssel, az integrálási és a differenciálási időállandókkal jellemezzük.

13

C(s) E(s)

U(s)

3. ábra PID-szabályozó szerkezete, időállandós verzió

A szabályozó kimenő jelének általános képlete: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 (𝑒(𝑡) +

1 𝑡 𝑑𝑒(𝑡) ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏 + 𝑇𝐷 ) . 𝑇𝑖 0 𝑑𝑡

(3.)

Ekkor az átviteli függvény az alábbi összefüggéssel írható le: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

1 + 𝑇𝐷 𝑠) . 𝑇𝑖 𝑠

(4.)

A kétfajta kifejezés egymásba konvertálható, ekvivalens egymással. 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 𝑒(𝑡) + ahol: 𝐾𝑖 =

𝐾𝑃 𝑇𝑖

𝐾𝑃 𝑡 𝑑𝑒(𝑡) ∫ 𝑒(𝜏)𝑑𝜏 + 𝐾𝑃 𝑇𝐷 , 𝑇𝑖 0 𝑑𝑡

(5.)

é𝑠 𝐾𝐷 =𝐾𝑃 𝑇𝐷 .

Vizsgálatainkban az időállandós verziót részesítjük előnyben. A PID-szabályozóból megfelelő paraméterezéssel származtathatók, lásd az alábbi táblázatot:

egyszerűbb

szabályozók

Szabályozó típusa

Átviteli függvény

PID-paraméterezés

P-

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃

𝑇𝑖 = ∞, 𝑇𝐷 = 0

𝐾𝑖 𝑠

𝐾𝑃 = 0, 𝐾𝐷 = 0

I(csak az első verzió szerinti elrendezésben lehetséges)

𝐶(𝑠) =

PI-

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

1 ) 𝑇𝑖 𝑠

𝑇𝐷 = 0

PD-

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 + 𝑇𝐷 𝑠)

𝑇𝑖 = ∞

14

3.3.

AZ ARÁNYOS SZABÁLYOZÓ : P-SZABÁLYOZÓ

Az arányos szabályozó megfelel a tiszta arányos jelátviteli tagnak. A szabályozó kimenő jele minden időpillanatban arányos a hibajellel.

3.3.1.

P-SZABÁLYOZÓ ÉS ÖNBEÁLLÓ SZAKASZ ALKOTTA SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK

Legyen a szabályozó átviteli függvénye: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 ,

(6.)

és a szabályozott szakasz átviteli függvénye: 𝑃(𝑠) =

𝑘 , 1 + 𝐿(𝑠)

(7.)

ahol 𝐿(𝑠) az s polinomja, minimum első rendű komponensekkel. Például 𝐿(𝑠) = 𝑇1 𝑠 vagy 𝐿(𝑠) = 𝑇2 2 𝑠 2 + 2𝜉𝑇2 𝑠 stb. A hurokátviteli függvény: 𝐺0 (𝑠) =

𝑘𝑘𝑝 𝑘0 = . 1 + 𝐿(𝑠) 1 + 𝐿(𝑠)

(8.)

Az alapjelátviteli függvény:

𝐺0 (𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠) = = 1 + 𝐺0 (𝑠)

𝐺𝑅 (𝑠) =

𝑘0 1 + 𝐿(𝑠) 𝑘0 1+ 1 + 𝐿(𝑠)

𝑘0 𝐿(𝑠) + 1 + 𝑘0

𝑘0 𝑘∗ 1 + 𝑘0 𝐺𝑅 (𝑠) = = . 𝐿(𝑠) 𝐿(𝑠) +1 +1 1 + 𝑘0 1 + 𝑘0

(9.)

(10.)

(11.)

A zárt köri alapjelátviteli függvénynek a nevező polinomja ugyanolyan fokszámú, mint a szakasz átviteli függvényének a nevező polinomja, de a zárt köri erősítési tényező és az időállandók a szakasz paramétereinek 1/(1 + 𝑘0 ) -ad részére csökkennek.

15

Figyeljük meg: mivel 𝑘 ∗ < 1, ezért csak végtelen nagy hurokerősítés esetén lenne az alapjelkövetés erősítési tényezője egyenlő 1-gyel: lim𝑘0 →∞

𝑘0 1+𝑘0

= 1 . Ez azt jelenti,

hogy maradó szabályozási hiba lép fel. Az időállandók csökkenése a válasz tranzienseinek gyorsabb lecsengését jelentheti, azaz gyorsabb szabályozást eredményez, feltéve, hogy a nagyobb erősítés miatt nem növekszik meg túlzottan a lengésre való hajlam.

3.3.2.

MARADÓ SZABÁLYOZÁSI HIBA (STEADY-STATE ERROR )

Tételezzük fel, hogy az alapjel egységugrás szerint változik: 𝑟(𝑡) = 𝜀(𝑡), melynek 1

Laplace-transzformáltja: 𝑅(𝑠) = . A szabályozott jellemző állandósult értéke a 𝑠

Laplace-transzformáció kezdeti és végérték tétele szerint: 𝑦𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 𝑦(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑌(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐺𝑅 (𝑠)𝑅(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝐺𝑅 (𝑠) 𝑡→∞

𝑠→0

𝑠→0

𝑦𝑠𝑠 =

𝑠→0

𝑘0 , 1 + 𝑘0

1 = 𝑙𝑖𝑚 𝐺 (𝑠) 𝑠 𝑠→0 𝑅 (12.)

azaz a maradó hibajel értéke: 𝑒𝑠𝑠 = 𝑒(∞) = 𝑟−𝑦𝑠𝑠 = 1 −

𝑘0 1 = ≠0. 1 + 𝑘0 1 + 𝑘0

(13.)

Minél nagyobb az erősítés, annál kisebb lesz a maradó hiba. Mivel 𝑘0 = 𝑘𝐾𝑃 , és 𝑘 folyamatparaméter (tehát adott), elméletileg 𝐾𝑃 növelésével tudjuk csökkenteni a maradó hiba mértékét. 𝐾𝑃 növelése azonban növeli a szabályozott jellemző lengésre való hajlamát is, és labilis viselkedést eredményezhet. Amennyiben előírjuk a maradó hiba megengedhető mértékét, a szakasz erősítési tényezőjének ismeretében a szabályozó erősítése meghatározható: 𝑒(∞) = 𝑒∞ =

1 1 = , 1 + 𝑘0 1 + 𝑘𝐾𝑃

(14.)

amelyből a szabályozó erősítése: 𝐾𝑃 =

1 − 𝑒∞ . 𝑘𝑒∞

(15.)

Látható, hogy ha a maradó hibára méretezzük a szabályozót, a szabályozó erősítési átviteli tényezője csak a szakasz erősítésétől függ, azaz független az időállandók számától és azok értékétől. Az elméletileg helyes számítást viszont korrigálnunk kell, ha a beavatkozó szerv telítése bekövetkezhet (lásd később). 16

3.3.3.

P-SZABÁLYOZÓ ÉS EGYTÁROLÓS SZAKASZ ALKOTTA SZABÁLYOZÁSI KÖR

A szabályozási kör hatásvázlata:

R(s)

E(s) U(s)

+

P

D(s) + +

Y(s)

_ G0 4. ábra Egytárolós tag szabályozása arányos szabályozóval

Ekkor a (7.) egyenletben: 𝐿(𝑠) = 𝑇1 𝑠 ,

(16.)

és így az alapjelátviteli függvény alakja: 𝐺𝑅 (𝑠) = ahol 𝑘 ∗ =

𝑘0 1+𝑘0

és 𝑇1∗ =

𝑇1 1+𝑘0

,

𝑘∗ , 𝑇1∗ 𝑠 + 1

(17.)

/emlékezzünk: 𝑘0 = 𝑘𝐾𝑃 !

Az erősítési tényező növelésével nemcsak a maradó hiba csökkenthető, hanem a szabályozási idő is. Minél nagyobb a szabályozó 𝐾𝑃 erősítése, annál kisebb lesz 𝑇1∗ , azaz annál gyorsabb lesz a szabályozás. Az alapjelkövetésnek és a zavarkompenzálásnak a szabályozó paraméterétől függő válaszfüggvényeit mutatja a 5. ábra és a 6. ábra. Ha a cél a minél gyorsabb szabályozás, és nem a maradó hibát akarjuk korlátozni (lásd (14.) és (15.) egyenletek), a szakasz ismert T1 időállandójából és a célul kitűzött 𝑇1∗ időállandóból is kiszámítható a szabályozó 𝐾𝑃 erősítése. 𝑇1∗ =

𝑇1 𝑇1 −𝑇1∗ → 𝐾𝑃 = . 1 + 𝑘𝐾𝑃 𝑘𝑇1∗

A képlet alkalmazására egy későbbi fejezetben láthatunk számpéldát.

17

(18.)

Kp növekszik, Ts csökken

Kp növekszik, csökken

1.0

KP

0.8 Kp

Ar = 1 0.6 Ar = 2 0.4 Ar = 5 0.2 Ar = 10 0.0

Ts, KP =2

0

10

Ts, KP =1

20

30

40

50

60

70

80

92 t[s]

5. ábra P-szabályozó és PT1 szakasz, zárt kör válasza egységugrás alapjelváltozásra

Szabályozás nélkül (k=1)

Szabályozással

Maradó hiba

6. ábra P-szabályozó és egytárolós szakasz válasza egységugrás zavarásváltozásra

3.3.4.

A P-SZABÁLYOZÓ HATÁSA AZ ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA

Az előző fejezetben bemutattuk, hogy egytárolós szakasz P-szabályozóval szabályozva egytárolós eredő alapjelátviteli karakterisztikát eredményez, egynél kisebb értékű erősítéssel és a szakasz időállandójánál kisebb időállandóval. A zárt köri alapjelátviteli karakterisztika szemléltetésére tekintsünk egy 𝑃(𝑠) = 2⁄(1 + 4𝑠) átviteli karakterisztikájú egytárolós szakaszt egy 𝐶(𝑠) = 4 átviteli függvényű Pszabályozóval szabályozva. Ekkor az alapjelátviteli függvény a (40.) egyenletnek megfelelően 𝐺𝑅 (𝑠) = 0,89⁄(1 + 0,45𝑠) értékű. A szakasz és a zárt kör alapjelátviteli

18

karakterisztikáját láthatjuk a 7. ábrán. A rövidebb szabályozási idő egyben megnövekedett sávszélességet is jelent.

7. ábra Egytárolós szakasz szabályozása P-szabályozóval: a szakasz és a zárt köri alapjelátviteli karakterisztika

Stabilitás szempontjából a hurokátviteli karakterisztikát vizsgáljuk. A hurokátviteli függvény a szabályozó és a szakasz átviteli függvényének szorzata. A szorzás logaritmikus léptékben összeadást jelent: ez kedvező tulajdonsága a Bodediagramnak. Ha ismert külön a szakasz és a szabályozó frekvenciafüggvénye, akkor a hurokátviteli függvény Bode-diagramját megkaphatjuk úgy, hogy mind az amplitúdóviszony-, mind a fázisgörbéket összeadjuk. A P-szabályozó amplitúdóviszony-görbéje konstans minden frekvencián, így a Bodediagramban a szakasz amplitúdóviszony-görbéjét a függőleges tengellyel párhuzamosan eltolja a Kp erősítésnek megfelelően. Ennek hatására a vágási körfrekvencia magasabb frekvenciák felé tolódik, az erősítési tényező növelése tehát növeli a sávszélességet. A P-szabályozónak nincs fáziskésleltetése, így nem módosítja a szakasz fázisgörbéjét. A 8. ábrán példaként egy 𝑃(𝑠) = 2⁄(1 + 4𝑠) átviteli karakterisztikájú egytárolós szakasz és 𝐶(𝑠) = 4 átviteli függvényű P-szabályozóból álló szabályozási kör hurokátviteli függvényét láthatjuk Bode-diagramban ábrázolva. A hurokerősítés: 𝑘0 = 8, a hurokátviteli függvény időállandója megegyezik a szakasz időállandójával: 𝐺0 (𝑠) = 8⁄(1 + 4𝑠) . Látható az ábrán, hogy az amplitúdóviszony-görbe 19

meredeksége nem változott, de a vágási körfrekvencia jobbra tolódott. A hurokátvitel fázisgörbéje megegyezik a szakasz fázisgörbéjével.

8. ábra Egytárolós szakasz szabályozása P-szabályozóval: a hurokátviteli függvény származtatása

20

3.4.

A VÉGREHAJTÓ SZERV TELÍTÉSE

Láthattuk az előző fejezetekben, hogy a körerősítés növelése csökkenti a maradó szabályozási hibát, csökkenti a szabályozási időt és növeli a sávszélességet. A Nyquist-féle stabilitás kritériumból láthatjuk, hogy a P-szabályozó PT1 szakasszal strukturálisan stabil rendszer, elméletileg nincs korlátja annak, hogy a szabályozó erősítését igen nagy értékre állítsuk be. Viszont a szabályozótervezés modellegyszerűsítéseket is tartalmaz, amelyek szélesebb működési sávban már nem biztos, hogy érvényesek. A szigorúan lineáris feltételezés a valóságban nem igaz. Nemlineáris tulajdonságok: hiszterézis, szaturáció, holtidők stb. gyakran megjósolhatatlanul felléphetnek. Ebben a fejezetben egy rövid betekintést adunk a beavatkozó szerv véges működési tartománya okozta hatásokba. A szabályozási példánk legyen a 9. ábrán látható folyadéktároló berendezés. A tartály szabadkifolyású, a belépő vezetékbe épített szabályozó szeleppel módosíthatjuk a belépő folyadék mennyiségét. A szabályozás célja a tartályban előírt folyadékszintet tartani. A szabályozott jellemző tehát a folyadékszint, a módosított jellemző a belépő térfogatáram. A végrehajtó–beavatkozó szerv a szabályozó szelep, amely segítségével a beáramlás keresztmetszetét (és ezzel arányosan a belépő térfogatáramot) 0–100% között változtathatjuk. A szelep negatív irányban nem működhet (azaz nem szívja vissza a folyadékot...) és 100%-nál jobban nem nyitható ki, tehát van egy maximális belépő folyadékmennyiség, amelynél többet nem tudunk időegység alatt bejuttatni a tartályba. Ezt a jelenséget nevezzük a beavatkozó szerv telítésének (saturation).

9. ábra Szintszabályozás P-szabályozóval, elméleti megközlítés: a szelepnyitás tetszőleges mértékben növelhető

21

A hibajel és a beavatkozó jel közötti összefüggés a telítést figyelembe véve, az alábbi ábrán látható.

10. ábra A beavatkozó telítése

Minél nagyobb a szabályozó erősítése, annál keskenyebb lesz az arányossági hibatartomány, ahogy ezt a 11. ábrán látható statikus karakterisztika mutatja.

<

11. ábra Beavatkozó telítése. Az arányossági hibatartomány függ a szabályozó erősítésétől

A következő szimulációs programban figyelembe vettük a belépő vezetékben lévő szelep korlátozott működési terjedelmét. Ugyanazokkal a szabályozó paraméterekkel dolgoztunk. Látható, hogy a telítés miatt a dinamikus válasz eltér a telítés nélküli esettől: a szabályozási idő megnövekedett.

22

12. ábra 0–60% alapjelváltozás, a szabályozó kimenete 300%-ról indul, de a szelep és így a módosított jellemző is 100%-on telítésbe ment

3.5.

MÁSODRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ P-SZABÁLYOZÓVAL SZABÁLYOZVA D(s) Control system E(s)

R(s) +

P

U(s)

+ +

Y(s)

_

13. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, hatásvázlat

Ekkor a (7.) egyenletben 𝐿(𝑠) = 𝑇22 𝑠 2 + 2𝜉𝑇2 𝑠 és így az alapjelátviteli függvény: 𝐺𝑅 (𝑠) =

𝑘∗ 𝑘∗ = 2 2 𝐿(𝑠) 𝑇2 𝑠 + 2𝜉𝑇2 𝑠 +1 +1 1 + 𝑘0 1 + 𝑘0

23

(19.)

𝑘∗

𝐺𝑅 (𝑠) =

2

(

𝑇2 𝜉 𝑇2 ) 𝑠2 + 2 +1 + 𝑘 + 𝑘 √1 √1 0 0 √1 + 𝑘0 𝐺𝑅 (𝑠) =

𝑘∗ 𝑇2∗ 2 𝑠 2 + 2𝜉 ∗ 𝑇2∗ 𝑠 + 1

(20.)

,

(21.)

ahol: 𝑇2∗ =

𝑇2 √1+𝑘0

és 𝜉 ∗ =

𝜉 √1+𝑘0

.

Az eredő zárt köri alapjelátvitel másodrendű karakterisztikájú, de a szakaszhoz képest kisebb az időállandó és a csillapítási tényező. Az alapjelkövetés, illetve a zavarkompenzálás is csillapodó lengéseket mutathat, túl nagy erősítéséknél a lengésre való hajlam és ezért a szabályozási idő is nő, ahogyan ezt a 14. ábrán és a 15. ábrán láthatjuk. A maradó hiba természetesen ebben az esetben is csökken a szabályozó erősítésének növelésével. Növekvő KP esetén nő a lengésre való hajlam

A maradó hiba csökken növekvő KP esetén

1.5 Alapjel

KP 1.0 Ar = 1

Kp növelése

Ar = 2 Ar = 5 0.5 Ar = 10 0.0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 t[s]

14. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, alapjelkövetés

24

1.0

KP

A maradó hiba csökken növekvő KP esetén

0.8

Kp növelése

Ar = 1 0.6 Ar = 2 0.4 Ar = 5 0.2 Ar = 10 0.0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 t[s]

15. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, zavarkompenzálás

Felrajzoltuk a hurokátviteli függvények Bode-diagramját is (16. ábra). Szerkezetileg stabil rendszert mutat, a szabályozó erősítésének növelésével az amplitúdóviszonygörbe láthatóan eltolódott, míg a fázisgörbe változatlan, azonos a szakasz fázisgörbéjével. B ode diagram amplitúdó dB 40.0 20.0 0.0 -20.0

10 -szeres erősítés növelés= 20dB eltolódás minden frekvencián

-40.0

-40dB/decade

-60.0 -80.0

0.0

0.1

1.0

10.0

100.0

0.1

1.0

10.0

100.0

Bode-diagram f ázis 0.0 -50.0 -100.0 -150.0 -200.0

0.0

16. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, Bode-diagram

25

3.6.

FELADAT: HARMADRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ PSZABÁLYOZÓVAL SZABÁLYOZVA

Legyen a szabályozott szakasz harmadrendű időkésleltetéses rendszer, melynek 𝑘

átviteli függvénye: 𝑃(𝑠) = (1+𝑇

1 𝑠)

3

.

A szakasz Nyquist- és Bode-diagramját a 17. ábrán láthatjuk. Korábbi tanulmányai alapján határozza meg a frekvenciafüggvényekből a szakasz átviteli függvényének paramétereit! k = ………………………..

T1 = …………………………….

Határozza meg a szakasz erősítési és fázistartalékát!

M= …………………………….

GM = ………………………..

Szabályozzuk a rendszert P-szabályozóval! Határozzuk meg azt a szabályozóerősítést (KP_crit), amellyel a zárt kör a stabilitás határára kerül! KP_crit = ………………………..

Határozzuk meg azt a szabályozóerősítést, amely 6dB erősítési tartalékot biztosít! KP(6dB) = ………………………..

Rajzolja be a Bode-diagramba azt a hurokátviteli függvényt, amelyben a szabályozó erősítése: KP = KP(6dB) . Határozza meg a berajzolt görbe segítségével a szabályozás fázistartalékát!

M = ………………………..

(GM=6dB !)

26

Nyquist Diagram 0.2

0

-0.2

Imaginary Axis

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-1.6

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Axis

Bode Diagram 20 0

Magnitude (dB)

-20 -40 -60 -80 -100 -120 0 -45

Phase (deg)

-90 -135 -180 -225 -270 -315 -360 -2 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/s)

17. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz Bode-diagram

3.6.1.

SZIMULÁCIÓ AZ IDŐTARTOMÁNYBAN

Határozza meg a maradó hibát, 𝑒∞ ha KP = KP(6dB) ! ((15.) egyenlet!) Állítsa be a szimulációs programban a paramétereket a feladatnak megfelelően! Ügyeljen arra, hogy a szabályozóban csak a P-hatás érvényesüljön a KP(6dB) erősítési értékkel! Változtassa az alapjelet 50%-ról 60%-ra és határozza meg a szabályozás jellemző paramétereit! (Legyen: ∇= 5%)

27

Megnevezés

Jel

Túllendülés

, %

Felfutási idő

Tr

Maximum idő

Tp

Szabályozási idő

Ts

Érték

18. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, időtartományban

A szimulációs program segítségével lehetőségünk van kipróbálni, mi történik, ha KP -t a stabilitás határán túl növeljük. Az alábbi ábrán láthatjuk, hogy KP = 6 esetében az alapjel kismértékű módosítása növekvő amplitúdójú lengéseket okozott, a szabályozási kör viselkedése labilissá vált.

19. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval: példa labilis viselkedésre

28

3.7.

INTEGRÁLÓ SZAKASZ P-SZABÁLYOZÓVAL D(s) Control system

E(s) U(s)

R(s) +

+ +

P

Y(s)

_

20. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, hatásvázlat

A hurokátviteli függvény: 𝐺0 (𝑠) = 𝐶(𝑠)𝐶(𝑠) =

𝐾𝑃 . 𝑇𝑖 𝑠

(22.)

Az alapjelátviteli függvény: 𝐾𝑃 𝐺0 (𝑠) 𝑇𝑖 𝑠 𝐺𝑅 (𝑠) = = 1 + 𝐺0 (𝑠) 1 + 𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝑠 𝐺𝑅 (𝑠) =

ahol: 𝑇1∗ =

𝑇𝑖 𝐾𝑃

𝐾𝑃 1 1 = = ∗ , 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑠 + 𝐾𝑃 𝑇 𝑠 1 +1 +1 𝐾𝑃

(23.)

(24.)

.

Látható, hogy az alapjelátviteli függvény egy egységnyi erősítésű, egytárolós tag átviteli függvényének felel meg. A 𝑇1∗ időállandó az erősítési tényező növekedésével csökken, azaz a szabályozás gyorsul. Vizsgáljuk a szabályozást egységugrás alapjelváltozásra: 𝑟(𝑡) = 𝜀(𝑡) . Ekkor a szabályozott jellemző állandósult komponense: (𝐺𝑅 (0)) ,

(25.)

𝑒∞ = 𝑟∞ −𝑦𝑠𝑠 = 1 − 1 = 0 .

(26.)

𝑦𝑠𝑠 = 𝑘0 = 1 és így a maradó hiba:

29

Tehát az egységugrás alapjelváltozást maradó hiba nélkül képes követni a szabályozás.

3.7.1.

SZIMULÁCIÓ AZ IDŐTARTOMÁNYBAN

Integráló rendszer lesz a tartályunkból, ha a tartályból például nincs elvétel. Amíg nyitva van a belépő vezetékbe épített szelep, a tartály folyadékszintje folyamatosan emelkedik. A szintemelkedés megáll, ha a szelepet zárjuk (21. ábra). (A kezdeti tartályszint: 20%.)

21. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval

A 22. ábrán a frontpanelből kivágott ugrásszerű alapjelváltozást, a szabályozott jellemző alakulását és a szelepnyitás mértékét láthatjuk két különböző szabályozóerősítés mellett. Szaggatott vonal választja el a két vizsgálatot.

Kp=2

Kp=1 szint

szint

szelep

szelep

22. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, alapjelkövetés kisebb (balra) és nagyobb (jobbra) szabályozóerősítéssel

A szabályozott jellemző alakulása a PT1 tag átmeneti függvényének felel meg, nincs túllendülés, nagyobb szabályozóerősítés esetén (jobb oldali diagram) a szabályozás

30

gyorsabb, a szabályozási idő csökkent. Maradó szabályozási eltérés, azaz maradó hiba nincs, a szabályozott jellemző az alapjelhez tart.

3.7.2.

VIZSGÁLAT FREKVENCIATARTOMÁNYBAN

A hurokátviteli frekvenciafüggvény az integráló tagnak felel meg: 𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝑗𝜔

(27.)

𝐾𝑃 𝑗𝜔 𝐾𝑃 = −𝑗 . 2 𝑇𝑖 (𝑗𝜔) 𝑇𝑖 𝜔

(28.)

𝐺0 (𝑗𝜔) =

𝐺0 (𝑗𝜔) =

Az amplitúdóviszony és a fázisgörbe egyenletei: 𝐾𝑃 𝑀(𝜔)[𝑑𝐵] = 20𝑙𝑔 ( ) = 20(𝑙𝑔𝐾𝑃 − 𝑙𝑔𝑇𝑖 𝜔) 𝑇𝑖 𝜔

(29.)

𝑀(𝜔)[𝑑𝐵] = −20𝑙𝑔𝑇𝑖 𝜔 + 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡.

(30.)

𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

−

𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝜔 = −90° . 0

(31.)

A hurokátviteli frekvenciafüggvény Bode-diagramja különböző szabályozóerősítésekkel látható az 26. ábrán. A görbék meredeksége –20dB/dekád, a vágási körfrekvencia magasabb frekvenciák felé tolódik a szabályozó erősítésének növelésével. A fázisgörbe az integráló jellegű szakasznak megfelelően konstans –90° .

31

Bode diagram amplitúdó dB 60.0 40.0 20.0

KP

0.0 -20.0 -40.0

0.0

0.1

1.0

10.0

100.0

1.0

10.0

89.1

Bode-diagram f ázis -80.0 -85.0 -90.0 -95.0 -100.0

0.0

0.1

23. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram

Az 24. ábrán bemutatjuk a zárt köri alapjelátviteli frekvenciakarakterisztikát is. Legyen 𝑃(𝑠) = 1⁄2𝑠 átviteli függvényű integráló szakasz 𝐶(𝑠) = 4 átviteli függvényű P-szabályozóval szabályozva. Az alapjelátviteli függvény 𝐺𝑅 (𝑠) = 1⁄(1 + 0,5𝑠) egytárolós karakterisztika a (24.) egyenletnek megfelelően. Látható, hogy a 9. ábra egytárolós P-szabályozásához képest az amplitúdóviszony-görbén az alapjelátvitel kisfrekvencia-tartományban (𝜔 < 1⁄𝑇1∗ ) torzításmentes az egységnyi körerősítés miatt.

24. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, zárt kör alapjelátviteli függvény Bode-diagram

32

3.8.

A SZABÁLYOZÁSOK TÍPUSSZÁMA

A szabályozásokat gyakran az ún. típusszámukkal jellemzik. A típusszámból a szabályozás állandósult hibájára következtethetünk tipikus gerjesztések esetére. A típusszám meghatározásához írjuk fel a hurokátviteli függvény számlálóját és nevezőjét általános polinomiális alakban: 𝐺0 (𝑠) =

𝑘0 ∏𝑐𝑗=1(1 + 𝑠𝑇1𝑗 ) ∏𝑑𝑗=1(1 + 2𝜉𝑇2𝑗 𝑠 + 𝑠 2 𝑇2𝑗 2 ) −𝜏𝑠 𝑒 𝑠 𝑁 ∏𝑒𝑗=1(1 + 𝑠𝑇1𝑗 ) ∏𝑓 (1 + 2𝜉𝑇2𝑗 𝑠 + 𝑠 2 𝑇2𝑗 2 ) 𝑗=1

(32.)

A tranziens komponenseket összevonva:

𝐺0 (𝑠) = ahol: 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒𝑛𝑡 (𝑠) =

𝑘0 𝑠𝑁

𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒𝑛𝑡 (𝑠) ,

2 2 ∏𝑐𝑗=1(1+𝑠𝑇1𝑗) ∏𝑑 𝑗=1(1+2𝜉𝑇2𝑗 𝑠+𝑠 𝑇2𝑗 ) 𝑓

∏𝑒𝑗=1(1+𝑠𝑇1𝑗) ∏𝑗=1(1+2𝜉𝑇2𝑗 𝑠+𝑠 2 𝑇2𝑗 2 )

(33.) 𝑒 −𝜏𝑠 és 𝑁 egyenlő a hurokban

található integrátorok számával. N-t hívjuk a szabályozás típusszámának.

N 0 1 2

Típusnév 0. típusú szabályozás 1. típusú szabályozás 2. típusú szabályozás

Az integrátorok száma 0 1 2

A stabil zárt kör állandósult állapotbeli hibája rendszerint lényegesen kisebb, mint a felnyitott köré. A hibajel és az alapjel közötti átviteli függvényt az alábbi módon határozhatjuk meg: 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠) .

(34.)

Tehát a hibajel és az alapjel Laplace-transzformáltja közötti összefüggés: 𝐸(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝐺0 (𝑠) = 1− = 1 − 𝐺𝑅 (𝑠) = 1 − 𝑅(𝑠) 𝑅(𝑆) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(35.)

𝐸(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠) − 𝐺0 (𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(36.)

𝐸(𝑠) 1 = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(37.)

33

𝐸(𝑠) =

1 𝑅(𝑠) . 1 + 𝐺0 (𝑠)

(38.)

Behelyettesítve a hurokátviteli függvény általános alakját: 𝐸(𝑠) =

𝑠𝑁 𝑅(𝑠) . 𝑠 𝑁 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠)

(39.)

Az állandósult állapotbeli hiba a kezdeti- és végértéktétellel kifejezve: 𝑒∞ = 𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚𝑠→0 𝑠𝐸(𝑠) .

(40.)

𝑡→∞

A következőkben megvizsgáljuk, hogy a különböző típusú szabályozások esetében hogyan alakul a maradó szabályozási hiba egységugrás, egység-sebességugrás, és egységnyi gyorsulásugrás alapjelváltozás esetében. Az alapjelek Laplace-transzformáltja az 𝑅(𝑠) =

1 𝑠𝑗

összefüggéssel írható le, ahol j

értéke az alábbi táblázat szerint alakul:

3.8.1.

Alapjel

j

Egységugrás

1

Sebességugrás

2

Gyorsulásugrás

3

𝑹(𝒔) 1 𝑠 1 𝑠2 1 𝑠3

0-TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS 𝒆∞

Alapjel Egységugrás

lim 𝑒(𝑡) = lim 𝑠

𝑡→∞

𝑠→0

1 1 1 = 𝑠 1 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒𝑛𝑡 (𝑠) 1 + 𝑘0

lim 𝑒(𝑡) = lim 𝑠

1 1 =∞ 𝑠 2 1 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠)

lim 𝑒(𝑡) = lim 𝑠

1 1 =∞ 𝑠 3 1 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠)

Sebességugrás

𝑡→∞

Gyorsulásugrás

𝑡→∞

𝑠→0

𝑠→0

34

• • •

3.8.2.

Egységugrásra a maradó hiba konstans. Minél nagyobb KP, annál kisebb a hiba, de túl nagy erősítés stabilitási problémákat okozhat. A sebesség- és gyorsulásugrás követésére a 0-típusú szabályozás nem képes. 0-típusú szabályozás adódik pl. önbeálló szakasz P- vagy PDszabályozóval történő szabályozásakor.

1-TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS 𝑒∞

Alapjel

Sebességugrás

1 𝑠 =0 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠 𝑠 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠) 1 𝑠 1 𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 2 = 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠 𝑠 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠) 𝑘0

Gyorsulásugrás

𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠

Egységugrás

• • • •

3.8.3.

𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠

𝑡→∞

𝑠→0

1 𝑠 =∞ 3 𝑠 𝑠 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠)

Egységugrásra nincs maradó hiba. A sebességugrást konstans hibával követi. A gyorsulásugrást az 1. típusú hurok nem képes követni. 1-típusú szabályozást eredményez pl.: önbeálló szakasz I-, PI- vagy PIDszabályozóval, integráló szakasz P- vagy PD-szabályozóval szabályozva.

2-TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS 𝑒∞

Alapjel Egységugrás Sebességugrás Gyorsulásugrás

• • •

1 𝑠2 =0 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠 𝑠 2 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠) 1 𝑠2 𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠 2 2 =0 𝑡→∞ 𝑠→0 𝑠 𝑠 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠) 𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠

𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑠

𝑡→∞

𝑠→0

1 𝑠2 1 = 𝑠 3 𝑠 2 + 𝑘0 𝐿𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑒𝑛𝑠 (𝑠) 𝑘0

Az ugrást és sebességugrást maradó hiba nélkül képes követni. A gyorsulásugrást maradó hibával követi. 2-típusú szabályozás pl.: integráló szakasz PI- vagy PID-szabályozóval szabályozva. 35

A típusszámtól függő maradó szabályozási hiba táblázatosan összefoglalva: Típusszám Input Egységugrás

0

1

2

1 1 + 𝑘0

0

0 0

Sebességugrás

∞

1 𝑘0

Gyorsulásugrás

∞

∞

1 𝑘0

Ha a szakasz nem tartalmaz megfelelő számú integrátort, a szabályozót kell úgy megválasztani, hogy a kívánt típusszámú szabályozást kapjuk.

36

3.9.

INTEGRÁLÓ SZABÁLYOZÓ

Az integráló szabályozó átviteli karakterisztikája az I-tagnak felel meg. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó kimenő jele a hibajel integráljával arányos, illetve jobban érzékelteti a szabályozó hatását, ha úgy fogalmazzuk meg, hogy a szabályozó kimenő jelének megváltozása arányos a hibajellel. Amíg a hibajel nem egyenlő nullával, addig az I-szabályozó korrigálja a beavatkozást, amennyiben a hibajel nulla, a szabályozó kimenő jele változatlan marad: 𝑑𝑢(𝑡) 1 = 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 𝑇𝑖

(41.)

Az I-szabályozó átviteli függvénye: 𝐶(𝑠) =

3.9.1.

1 𝐾𝑖 = . 𝑇𝑖 𝑠 𝑠

(42.)

AZ I-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A HUROKÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA

Az I-szabályozó Bode-diagramját az alábbi ábrán láthatjuk. Az amplitúdóviszonygörbéje −20𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑘á𝑑 meredekségű egyenes, amely 𝜔𝑔𝑐 = 1⁄𝑇𝑖 körfrekvencián metszi a 0 dB-es tengelyt. A fáziskésése minden frekvencián –90°. 10

;

=5Bode Diagram I-szabályozó

Magnitude (dB)

0

-20dB/decade

-10 -20 -30 0

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 -1 10

0

1

10

10 Frequency (rad/s)

25. ábra Integráló szabályozó, Bode-diagram

37

2

10

Tehát: 

Az I-szabályozó a szakasz amplitúdóviszony-görbéjének a meredekségét megváltoztatja –20 dB/dekáddal. A hurokerősítés alacsony frekvenciákon 1

(𝜔 < ) nagyobb lesz, mint a szakasz eredeti erősítése, magasabb 𝑇𝑖

1

frekvenciákon (𝜔 > ) pedig kisebb. 𝑇𝑖



3.9.2.

Az I-szabályozó a szakasz fázisgörbéjét minden frekvencián 90°-kal csökkenti.

A SZABÁLYOZÁSI KÖR ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJA

I-szabályozó és arányos, n-ed rendű időkésleltetéses szakasz alkotta szabályozási kör: 1 , 𝑇𝑖 𝑠

(43.)

𝑘 . 1 + 𝐿(𝑠)

(44.)

𝐶(𝑠) =

𝑃(𝑠) =

A hurokátviteli függvény 1. típusú szabályozást mutat: 𝐺0 (𝑠) =

1 𝑘 𝑘 𝑘 = = , 𝑇𝑖 𝑠 1 + 𝐿(𝑠) 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑖 𝑠𝐿(𝑠) 𝑠(𝑇𝑖 + 𝑇𝑖 𝐿(𝑠))

(45.)

tehát ugrásszerű alapjelváltozást maradó hiba nélkül képes követni. Az alapjelátviteli függvény: 𝑘 𝐺0 (𝑠) 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑖 𝑠𝐿(𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠) = = 𝑘 1 + 𝐺0 (𝑠) 1 + 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑖 𝑠𝐿(𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠) =

𝐺𝑅 (𝑠) =

𝑘 𝑇𝑖 𝑠 + 𝑇𝑖 𝑠𝐿(𝑠) + 𝑘 1

𝑇𝑖 𝑇 𝑠𝐿(𝑠) + 𝑖 𝑠 + 1 𝑘 𝑘

38

(46.)

(47.) .

(48.)

Az alapjelátvitel erősítési tényezője egységnyi, a nevező polinom eggyel magasabb 𝑇

fokszámú, mint a szakasz nevező polinomja. Az időállandók az eredeti időállandók 𝑖szorosra változnak. Amennyiben

3.9.3.

𝑇𝑖 𝑘

𝑘

> 1, a szabályozás a szakaszhoz képest lassul.

EGYTÁROLÓS SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL

A hurokátviteli függvény (a későbbiekben látni fogjuk, hogy ez egy nagyon fontos hurokátviteli függvénytípus): 𝐺0 (𝑠) =

1 𝑘 𝑘 = . 𝑇𝑖 𝑠 1 + 𝑇1 𝑠 𝑠(𝑇𝑖 + 𝑇𝑖 𝑇1 𝑠)

(49.)

Szerkezetileg stabil hurok, amint ezt a Nyquist- (26. ábra) és Bode-diagramok (27. ábra) is bizonyítják. A bemutatott példában az egytárolós rendszer paraméterei: k=1, T1=1s. Az I-szabályozó integrálási időállandóját öt különböző értékre állítottuk be: Ti= 0,5s, 1s, 1,5s, 2s, és 2,5s.

Nyquist Diagram 0

FO k=1; T1=1s FOPI

Imaginary Axis

-5

Ti=0.5s

Ti=2.5s

Ti=1s

-10

Ti=2s

Ti=1.5s -15 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Axis

26. ábra Egytárolós tag és I-szabályozó hurokátviteli függvény Nyquist-diagram (FO: First order; FOPI: First order plus Integral)

39

Bode Diagram 100

Magnitude (dB)

Ti=0.5s

FOPI

50

FO 0

Ti=2.5s -50

-100 0

Phase (deg)

-45

FO

FOPI

-90 -135 -180 -2

-1

10

0

10

1

10

2

10

10

Frequency (rad/s)

27. ábra Egytárolós tag és I-szabályozó hurokátviteli függvény Bode-diagram (FO: First order; FOPI: First order plus Integral)

A zárt kör alapjelátviteli függvénye egy egységnyi erősítési tényezőjű másodrendű időkésleltetéses, vagyis kéttárolós tagnak felel meg: 𝐺𝑅 (𝑠) =

1 𝑇𝑖 𝑇 𝑇 𝑠2 + 𝑖 𝑠 + 1 𝑘 1 𝑘

.

(50.)

Időtartományban ezért az ugrásszerű alapjelváltozásra adott válasz csillapodó lengéseket mutathat (az integrálási időállandótól függően), lásd 28. ábra.

Step Response 1.4

Ti=0.5s Ti=1s

1.2

Ti=1.5s

Amplitude

1

0.8

Ti=2s 0.6

0.4

Ti=2.5s 0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

Time (seconds)

28. ábra Egytárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, ugrásszerű alapjelváltozásra adott válaszok

40

3.9.4.

KÉTTÁROLÓS SZAKASZ SZABÁLYOZÁSA I-SZABÁLYOZÓVAL

Szerkezetileg már csak feltételesen stabil rendszer: a rendszerparaméterektől függ a stabilitás. Az 29. ábra egy kéttárolós szakasz (kék) és kéttárolós szakasz és Iszabályozóból álló szabályozás hurokátviteli függvényét mutatja, különböző integrálási időállandók esetén. Az integrálási időállandók: Ti = 2,3,4,5 értékűek. Kérdések  

Mennyi a PT2 szakasz erősítése? A Nyquist-diagramban melyik görbe melyik integrálási időhöz tartozik? Melyik integrálási időállandóval lesz a szabályozás a stabilitás határán? Nyquist Diagram PT2 + I 2

0

Imaginary Axis

-2

-4

-6

-8

-10 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

29. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Nyquist-diagram, Ti = 2,3,4,5

Segítségül: időtartományban vizsgálva a szabályozást, az ugrásszerű alapjelváltozásra adott válaszokat láthatjuk az 30. ábrán. Step Response PT2 + I 2.5

Szakasz Ti = 2

2

Amplitude

1.5

1

0.5

Ti = 5 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Time (seconds)

30. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, alapjelkövetés

41

Az 31. ábra mutatja a megfelelő Bode-diagramokat. Vizsgáljuk meg az I-szabályozó hatását a tartalékokra! Láthatjuk, hogy a szakasz fázisgörbéjéhez képest a hurok fázisgörbéje 90°-kal lefelé tolódott. Ez önmagában a fázistartalék drasztikus csökkenését eredményezi. Az amplitúdóviszony meredeksége az integrálási időállandó függvényében

hol magasabb,

hol alacsonyabb a hurokátviteli

karakterisztikában, mint az eredeti (stabil) szakaszé. Az integrálási időállandót úgy kell megválasztanunk, hogy kellő tartalék maradjon a szabályozásban, tehát nem vehet fel tetszőlegesen kis értéket. Túl nagyra sem érdemes választani, mert akkor meg szűkül a sávszélesség és lassul a szabályozás. -20dB/decade, *

0dB/decade,

Bode Diagram PT2 + I 50

Magnitude (dB)

0dB cut-off 0

-40dB/decade,

-50

-60dB/decade, *

-100 0

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 -225 -270 -2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/s)

31. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram

Feladat: Határozza meg az erősítési és a fázistartalékot Ti = 2 esetére!

M= …………………………….

GM = ………………………..

42

3.9.5.

HARMADRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL

A 32. ábrán láthatjuk az előzőekben már megismert háromtárolós szakaszunkat Iszabályozóval szabályozva, a hurokátviteli függvény Bode-diagramját. Itt is megfigyelhetjük az I-szabályozó módosító hatását mind az amplitúdóviszonyra, mind a fázisgörbére. Feladat: Értékelje ki a Bode-diagramban látottakat (különös tekintettel a módosítások tartalékokra gyakorolt hatását)!

Bode Diagram

Magnitude (dB)

50

0dB cut-off

0

-50

-100

-150 0

Phase (deg)

-90

-180° intersection

-180 -270 -360 -1 10

0

1

10

10

36

Frequency (rad/s)

32. ábra PT3 szakasz és I-szabályozó, hurokátviteli karakterisztika: Bode-diagram

A fázisgörbe –180°-os metszéspontja a szakasz fázisgörbéjéhez képest alacsonyabb körfrekvenciára tolódott. Ha az amplitúdóviszony nem változna, a fázistartalék jelentősen csökkenne. Ahhoz, hogy megtartsuk a tartalékokat, az amplitúdóviszonygörbét le kell törnünk, hogy a 0dB metszéspont is eltolódjon kisebb frekvenciákra. Ezt az integrálási időállandóval tudjuk befolyásolni. Túl kis értékű integrálási időállandó csökkenti az erősítési tartalékot, növeli a szabályozott jellemző lengésre való hajlamát, akár labilis viselkedés is felléphet. Ezt láthatjuk időtartományban ugrásszerű alapjelváltozásra a 33. ábrán.

43

Step Response: PT3 + I , Ti=5-12 1.5

Ti=5 Ti=10

Amplitude

1

Ti=12 0.5

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Time (seconds)

33. ábra PT3 szakasz I-szabályozóval, alapjelkövetés. Az integrálási időállandó hatása a tranziensre

3.10. A P- ÉS I-SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA IDŐTARTOMÁNYBAN A 34. ábra szemlélteti a P- és I-szabályozás főbb jellemzőit, a szabályozások eltérő tulajdonságait. A P-szabályozás gyors, viszont van maradó hiba (amennyiben a szakaszban nincs integráló komponens). Az I-szabályozó eltünteti a maradó hibát ugrásszerű alapjelváltozásra (hiszen legalább 1-es típusú szabályozást biztosít), de hosszabb időbe telik, míg a szabályozott jellemző bekerül az újabb állandósult érték dinamikus pontosság által meghatározott tartományába. Step Response: PT3; PT3 + P; PT3 + I 2

Szakasz

1.8

Szakasz + I-szabályozó: nincs maradó hiba, lassúbb

1.6 1.4

Amplitude

1.2 1 0.8 0.6

Szakasz + P-szabályozó: gyors, de van maradó hiba

0.4 0.2

Ts 0

0

10

Ts

20

30

40

50

Time (seconds)

34. ábra Alapjelkövetés: PT3 szakasz P-, illetve I-szabályozóval

44

60

3.11. INTEGRÁLÓ SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL Ha I-szakaszt szabályoznánk I-szabályozóval, a hurokátviteli függvény az alábbi lenne: 𝐶(𝑠) =

1 𝑇𝑖 𝑠

𝑃(𝑠) =

𝐺0 (𝑠) = 𝐶(𝑠)𝐶(𝑠) =

(51.)

1 𝑇𝐼 𝑠

(52.)

1 1 1 = , 𝑇𝑖 𝑠 𝑇𝐼 𝑠 𝑇𝑖∗ 𝑠 2

(53.)

ahol 𝑇𝑖∗ = 𝑇𝑖 𝑇𝐼 . A hurok kétszeresen integráló jelátvitelnek felelne meg. Az alapjelátviteli függvény: 1 𝐺0 (𝑠) 𝑇𝑖∗ 𝑠 2 𝐺𝑅 (𝑠) = = , 1 + 𝐺0 (𝑠) 1 + 1 𝑇𝑖∗ 𝑠 2 𝐺𝑅 (𝑠) =

1 𝑇𝑖∗ 𝑠 2

+1

(54.)

.

(55.)

Az alapjelátviteli függvény egy egységnyi erősítésű, 0 csillapítási tényezőjű másodrendű átviteli karakterisztika lenne. Ez azt jelentené, hogy lengő rendszert kapnánk. Tehát: I-szakasz I-szabályozóval nem szabályozható!

3.12. PI-SZABÁLYOZÓ A P- és I-szabályozók kedvező tulajdonságait egyesíthetjük egy ún. PI-szabályozóban: gyorsabb és maradó hiba nélküli szabályozást kapunk (ugrásszerű gerjesztésre), hiszen a szabályozás típusszáma minimum 1 lesz. A PI-szabályozó átviteli függvénye az alábbi két alakban írható fel, attól függően, hogy az időállandós vagy az átviteli tényezős alakot szeretnénk alkalmazni: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

1 ) 𝑇𝑖 𝑠

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 +

45

𝐾𝑖 𝑠

A képlet első tagja az arányos, a második pedig az integráló szabályozó komponenst jelenti. Az összegzés mutatja, hogy a két komponens, két hatás párhuzamos. 𝐾𝑖 = 𝐾𝑃 𝑇𝑖

.

A PI-szabályozó input-output kapcsolatot leíró differenciálegyenlete (a végrehajtó jel változása a hibajel függvényében): 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 𝑒(𝑡) +

𝐾𝑃 𝑡 ∫ 𝑒(𝜏) 𝑑𝜏 . 𝑇𝑖 0

(56.)

A PI-szabályozó átmeneti függvénye a P- és I-szabályozók átmeneti függvényének összegzésével állítható elő a szuperpozíció elvének megfelelően, lásd az alábbi összefüggést és a 35. ábrát is. 𝑣𝑃𝐼 (𝑡) = 𝐾𝑃 (1 +

1 𝑡) = 𝐾𝑃 + 𝐾𝑖 𝑡 . 𝑇𝑖

(57.)

35. ábra PI-szabályozó átmeneti függvénye

A PI- SZABÁLYOZÓ B ODE - DIAGRAM ASZIMPTOTÁI 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

𝐶(𝑗𝜔) = 𝐾𝑃 (1 +

𝐶(𝑗𝜔) = 𝐾𝑃 − 𝑗

46

1 ) 𝑇𝑖 𝑠

(58.)

1 ) 𝑇𝑖 𝑗𝜔

(59.)

𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝜔

(60.)

𝐾

Im = − 𝑇 𝑃𝜔 .

Re = 𝐾𝑃 ,

𝑖

(61.)

Az amplitúdóviszony frekvenciafüggvénye:

𝑀(𝜔) = √𝑅𝑒 2 + 𝐼𝑚2 = √𝐾𝑃 2 +

20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) = 20𝑙𝑔

𝐾𝑃 2 (𝑇𝑖 𝜔)2

𝐾𝑃 √(𝑇𝑖 𝜔)2 + 1 (𝑇𝑖 𝜔)

20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) = 20 (𝑙𝑔𝐾𝑃 − 𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔) + 𝑙𝑔√(𝑇𝑖 𝜔)2 + 1) .

(62.)

(63.)

(64.)

1

A SZIMPTOTA KISFREKVENCIA - TARTOMÁNYON : ω < T

i

(𝑇𝑖 𝜔)2 ≪ 1 → 𝑙𝑔√(𝑇𝑖 𝜔)2 + 1 ≈ 0

(65.)

20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) ≈ 20(𝑙𝑔𝐾𝑃 − 𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔))

(66.)

20 𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. −20𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔) .

(67.)

Logaritmikus skálán –20dB/dekád meredekségű egyenes egyenlete: ez azt jelenti, hogy az integráló komponens dominál. 1

N AGYFREKVENCIÁS ASZIMPTOTA : ω > T

i

(𝑇𝑖 𝜔)2 ≫ 1 → 𝑙𝑔√(𝑇𝑖 𝜔)2 + 1 ≈ 𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔)

(68.)

20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) ≈ 20(𝑙𝑔𝐾𝑃 − 𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔) + 𝑙𝑔(𝑇𝑖 𝜔)) ≈ 20𝑙𝑔𝐾𝑃 .

(69.)

Nagyobb frekvenciákon az amplitúdóviszony konstans: az arányos komponens dominál. A két aszimptota 𝜔 =

1 𝑇𝑖

-nél metszi egymást, ahogy ez az alábbi ábrán is

látható (36. ábra). A fázisgörbe hasonlóan levezethető: az I- és a P- fázisgörbékből tevődik össze, alacsony frekvenciákon az I-, nagyfrekvenciákon a P-fázisgörbéje dominál, inflexiós pont: 𝜔 =

1 𝑇𝑖

–nél.

47

Bode Diagram 35

low frequency asymptote

Magnitude (dB)

30 25

high frequency asymptote

-20dB/decade

20 15

PI-

10 5 0

Phase (deg)

= -45

-90 -2

10

-1

0

10

1

10

10

Frequency (rad/s)

36. ábra PI-szabályozó: Bode-diagram és aszimptoták

3.12.1.

A PI-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A HUROK ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJÁRA 1

Kisfrekvenciák tartománya (𝜔 < ): 𝑇𝑖

Lassan változó jelekre az integráló hatás érvényesül. 



A szakasz amplitúdóviszony-görbe meredekségét megemeli ebben a frekvenciatartományban, ez alacsony frekvencián megnövelt erősítést jelent. Ez biztosítja, hogy a lassan változó jelet a tranziens lecsengésének vége felé el tudja távolítani és nem lesz maradó hiba. A fázisgörbe max. 90°-kal csökken (tartalékcsökkentő hatás) (Phase lag). 1

Nagyfrekvenciák tartománya (𝜔 > ): 𝑇𝑖





Az arányos hatás a domináns: az amplitúdóviszony-görbe meredeksége nem változik, a függőleges tengellyel párhuzamosan eltolódik a szabályozó erősítésének (KP ) megfelelően. A fázisgörbe magas frekvenciákon nem változik.



A szabályozó fázisgörbe inflexiós pontja

1 𝑇𝑖

-nél (phase =–45°).

A PI-szabályozó 1-gyel növeli a szabályozás típusszámát, így a típusszám minimum 1.

48

3.12.2.

A BEAVATKOZÓ SZERV TELÍTÉSÉNEK HATÁSA AZ I-SZABÁLYOZÁSRA

Az I-szabályozó komponens addig folyamatosan növeli a végrehajtó jelet, amíg a hibajel nulla nem lesz. Amint a beavatkozó szerv elérte véghelyzetét, tovább már nem változik a módosított jellemző, bár a végrehajtó jel tovább emelkedik. Ha a szabályozott jellemző túllendül az alapjelen és a hibajel előjele megfordul, a szabályozó integrátora elkezdi csökkenteni a végrehajtó jelet, de mivel az igen magas értékről indul, a csökkentés mindaddig hatástalan, míg a végrehajtó jel értéke nem csökken a telítési érték alá. Ez nagy késlekedés és a szabályozott jellemző erőteljes túllendülését okozhatja. A hatás a másik irányban is megismétlődhet, lengéseket generálva. Erre láthatunk példát az alábbi szimulációs programokkal. A 37. ábrán látható frontpanel kép elméleti feltételezés: a szelepnek nincs végértéke. A trendgörbe egy túllendülés nélküli alapjelkövetést mutat, 1 időegység alatti szabályozási idővel.

37. ábra Szintszabályozás példa, nincs szeleptelítés

A 38. ábrán ugyanazzal a szakasz- és szabályozó beállításokkal végeztük a szimulációt, de a szelep most korlátozva van 0–100% közé. Láthatjuk, hogy a végrehajtó jel folyamatosan csökkenne, de a szelepre csak akkor van hatással, ha értéke 100% alá csökken. Így a szabályozott jellemző (a tartályban lévő folyadék szintje), túllendült az alapjelen és a szabályozási idő megháromszorozódott.

49

38. ábra Szintszabályozás példa, a szelep működése két véghelyzet közé korlátozott

A megoldás az „anti wind-up”: az I-hatást kikapcsolni addig, amíg a beavatkozó szerv telítésben van. Erre láthatunk példát a 64. ábrán. A szabályozó kimenő jelének korlátozásával a szabályozott jellemző és a szelep együtt mozog, nincs túllendülés. Mivel a belső jel mértéke korlátozott, azonos szabályozó beállítás mellett lassúbb a szabályozás, mint az elméleti, „végtelen tartományban lineáris” feltételezés esetén.

39. ábra Szintszabályozás példa, a szelep korlátozva, a szabályozó kimenete szintén (anti windup)

50

3.12.3.

KÉTTÁROLÓS RENDSZER PI-SZABÁLYOZÓVAL

Legyen 𝐾𝑃 = 1, 𝑇𝑖 = 1 vagy 𝑇𝑖 = 10 . Feladat: Az alábbi táblázat két különböző integrálási időállandó esetén mutatja időés frekvenciatartományban a szabályozás jellemző diagramjait. Értékeljük a szabályozásokat! 𝐾𝑃 = 1, 𝑇𝑖 = 10

𝐾𝑃 = 1, 𝑇𝑖 = 1

Step Response PT2 + PI kp=1; Ti=10

Step Response

1

1.8

0.9

1.6

0.8

1.4

0.7

1.2 Amplitude

Amplitude

0.6 0.5

1 0.8

0.4

0.6 0.3

0.4

0.2

0.2

0.1 0

0

5

10

15

20

25

0

30

0

20

40

60

100

120

140

Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Ti=1

Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Ti=10 2

2 0 -2

-4

-4

-6

-6

Imaginary Axis

0 -2

-8

-8

-10

-10

-12

-12

-14

-14

-16

-16

-18

-18 -20 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-20 -14

2

-12

-10

-8

Real -6 Axis

-4

-2

0

2

Real Axis

Bode Diagram PT2 + PI kp=1; Ti=1 100

50

50

Magnitude (dB)

100

0

-50

0

-50

-100 0

-100 0

-45

-45

Phase (deg)

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Phase (deg)

Imaginary Axis

80

Time (seconds)

Time (seconds)

-90 -135

-90 -135

-180 -3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

-180

2

-3

10

10

Frequency (rad/s)

-2

10

-1

10

51

0

10

Frequency (rad/s)

1

10

2

10

3.13. A P-, I- ÉS PI-SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA A 40. ábra másodrendű rendszer alapjelkövetését mutatja P-, I- és PI-szabályozóval szabályozva. Láthatjuk, hogy a PI-szabályozás gyorsabb, mint az I-szabályozás, de lassúbb, mint a P-szabályozás. Nincs maradó hiba I- és PI-szabályozás esetén. Step ResponsePT2: 2/1 0.8 1 ;+P kp=2.5; + I, Ti=5; PI 2.5

Másodrendű rendszer, k=2; T2=1; 2

PI-szabályozás Amplitude

1.5

I-szabályozás 1

P-szabályozás

0.5

0

0

5

10

15

20

25

Time (seconds)

40. ábra Arányos, másodrendű időkésleltetéses szakasz szabályozása: A P-, I- és PI-szabályozás összehasonlítása

3.14. PÓLUSKOMPENZÁLÁS PI-SZABÁLYOZÓVAL Tételezzük fel, hogy a vizsgált kéttárolós szakasz átviteli függvénye 𝑃(𝑠) = 𝑘 (1+𝑇1 𝑠)(1+𝑇2 𝑠)

és 𝑇2 > 𝑇1 > 0.

Legyen a PI-szabályozó integrálási ideje 𝑇𝑖 : = 𝑇2 , azaz a hurokátviteli függvényben egy zérus és egy pólus megegyezik, és így kiejtik egymás: 𝐺0 (𝑠) = 𝐺0 (𝑠) =

𝐾𝑃 (𝑇𝑖 𝑠+1)

𝑘

𝑇𝑖 𝑠

(1+𝑇1 𝑠)(1+𝑇2 𝑠)

𝐾𝑃

𝑘

𝑇𝑖 𝑠 (1+𝑇1 𝑠)

=

𝑘0 𝑇𝑖 𝑠(1+𝑇1 𝑠)

Az eredmény 1-es típusú hurok, amely megfelel annak a szabályozási körnek, amely egy egytárolós (PT1) szakaszból és I-szabályozóból állt. A képzetes tengelyhez közel eső pólus kiejtése javítja a rendszer dinamikáját.

52

Az eljárás ígéretesnek tűnhet labilis pólusok eltávolítására is, de a valóságban ez nem kivitelezhető (részletezve lásd szakirodalomban).

3.15. HÁROMTÁROLÓS RENDSZER SZABÁLYOZÁSA PISZABÁLYOZÓVAL , PÉLDA A szakasz az előző példákban már megismert háromtárolós tag. Legyen 𝐾𝑃 = 2, 𝑇𝑖 = 1, illetve 𝐾𝑃 = 2, alábbi táblázat ábrái segítségével.

𝑇𝑖 = 5. Értékeljük a szabályozásokat az

𝐾𝑃 = 2, 𝑇𝑖 = 1

𝐾𝑃 = 2, 𝑇𝑖 = 5 Step Response PT3 + PI kp=2; Ti=5

1.5

Step Response 2 1.8 1.6

1

Amplitude

1.4

Amplitude

1.2 1 0.8

0.5

0.6 0.4 0.2

0 0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0

5

10

15

200

20

25

30

35

40

Time (seconds) Nyquist Diagram PT3 + PI kp=2; Ti=5

Time (seconds) Nyquist Diagram 2

0 0

-2 -2

-4 -4

-6 Imaginary Axis

Imaginary Axis

-6

-8 -10 -12

-8 -10 -12

-14

-14

-16

-16

-18

-18

-20 -4

-3

-2

-1

0

1

2

-20 -1.5

3

-1

-0.5

0

40

50

20

Magnitude (dB)

100

0 -50

-40 -60 0

-90

-180

-270 -1

10

0

10

1.5

2

2.5

0

-150 0

-2

1

-20

-100

10

0.5

Real Axis Bode Diagram PT3 + PI kp=2; Ti=5

Phase (deg)

Phase (deg)

Magnitude (dB)

Real Axis Bode Diagram

1

10

-90

-180

-270

2

-2

10

10

Frequency (rad/s)

-1

0

10

10 Frequency (rad/s)

53

1

10

3.16. PD-SZABÁLYOZÓ (IDEÁLIS) A PD-szabályozó vizsgálatát az ideális PD-jelátviteli karakterisztikával kezdjük. Az ideális PD-szabályozó végrehajtó jele az időállandós formulával: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑃 (𝑒(𝑡) + 𝑇𝐷

𝑑𝑒(𝑡) ). 𝑑𝑡

(70.)

A PD-szabályozó átviteli függvénye átviteli tényezős alakban: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑝 + 𝐾𝐷 𝑠 ,

(71.)

illetve időállandós alakban: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 + 𝑇𝐷 𝑠) ,

(72.)

ahol: 𝐾𝐷 = 𝐾𝑝 𝑇𝐷 . Az ideális PD-szabályozó átmeneti függvénye egy P- és egy D- tag átmeneti függvényének az összege (41. ábra): 𝑣𝑃𝐷 (𝑡) = 𝐾𝐷 𝛿(𝑡) + 𝐾𝑃 .

(73.)

41. ábra A PD-szabályozó átmeneti függvénye

A D-rész csak a hibajel változásakor hat, egyébként a P-rész dolgozik, ahogy azt a 42. ábra szimulációs programján is láthatjuk.

54

PD

P

42. ábra Ideális PD-szabályozás. Az új egyensúlyi helyzet csak a P-résztől függ

3.16.1.

A PD-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAFÜGGVÉNYE Bode Diagram

Magnitude (dB)

40

30

20

10

Phase (deg)

0 90

45

0 -3

10

-2

-1

10

10

0

10

1

10

Frequency (rad/s)

43. ábra PD-szabályozó Bode-diagram, KP = 1, TD = 10

3.16.2.

A PD-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A FREKVENCIAÁTVITELRE 1

Kisfrekvenciák tartománya (𝜔 < 𝑇 ): 𝐷





Lassan változó jelekre a P-rész a domináns. Az amplitúdóviszony-görbe meredekségét nem változtatja, csak a képzetes tengellyel párhuzamosan eltolja a Kp-nek megfelelően. A fázisgörbét alacsony frekvenciákon nem módosítja.

55

Nagyfrekvenciák tartománya (𝜔 > 



1 𝑇𝐷

):

Az amplitúdóviszony-görbe meredeksége 20dB/dekáddal nő, az erősítés tehát nő a magasfrekvenciákon. Ez biztosítja, hogy a gyorsan változó hibára – amely rendszerint a tranziens kezdetén jelentkezik – erőteljes beavatkozással reagáljon a szabályozó. A fázisgörbét megemeli 90°-kal: növeli a tartalékokat. Fázissiettető hatás, elébe vágó hatás.

A PD-szabályozó fázisgörbéjének az inflexiós pontja:

1 𝑇𝐷

(phase = –45°).

A PD-szabályozó nem változtatja meg a hurok típusszámát, ezért, ha a szakaszban nincs integráló hatás, maradó hiba lép fel ugrásszerű alapjelváltoztatásra. A maradó hiba mértékét a szabályozó erősítése befolyásolja. A differenciálási idő növelésével a maradó hiba nem változik (46. ábra). A szabályozást gyorsítja: megfelelő paraméterezéssel csökkentheti a szabályozási időt, hamarabb megközelítheti a szabályozott jellemző az új egyensúlyi helyzetét. Az alábbi ábrák a következő paraméterezéssel készültek: 2

•

𝑃(𝑠) = (1+10𝑠)(1+𝑠) ,

•

𝐶(𝑠) = 𝑘𝑝 (1 + 𝑇𝐷 𝑠) ,

•

𝑇𝐷 = 1; 𝐾𝑃 = 1.

•

A beavatkozó telítés nélküli. Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Td=1 2

PDcontroller

1.5

1

Imaginary Axis

0.5

PT2 process

PT2* PDcontrol loop

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real Axis

44. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Nagyfrekvenciákon Jól látszik a D-rész fázissiettető hatása

56

PT2* PDcontrol loop

Magnitude (dB)

50

PDcontroller

0

PT2 process

-50

PDcontroller

-100 90

Phase (deg)

Bode Diagram PT2 + PD kp=1, Td=1

PT2* PDcontrol loop

0

PT2 process

-90

-180 -3

-2

10

-1

10

0

10

10

1

10

2

10

Frequency (rad/s)

45. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Bode-diagram Step Response 1 0.9 0.8

Amplitude

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

20

25

Time (seconds)

46. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Egységugrás alapjelkövetés, TD = 1 és TD = 10. A maradó hiba nem változik

57

3.17. PID-SZABÁLYOZÓ A PID-szabályozó egyesíti a PI- és PD-szabályozók jelformáló tulajdonságait. Legalább 1-es típusú szabályozást biztosít. Az iparban a leggyakoribb szabályozó, melyre számos hangolási módszert dolgoztak ki. A PID-szabályozó jelátviteli karakterisztikáját idő-, illetve frekvenciatartományban már felírtuk: (5.) (2.) (4.) egyenletek.

3.17.1.

A PID-SZABÁLYOZÓ ÁTMENETI FÜGGVÉNYE

A PID-szabályozó átmeneti függvényét a P-, I- és D-tag átmeneti függvényének összegzésével kapjuk: 𝑣𝑃𝐼𝐷 (𝑡) = 𝐾𝑃 (1 +

1 𝑡 + 𝑇𝑑 𝛿(𝑡)) = 𝐾𝑃 + 𝐾𝑖 𝑡+𝐾𝑑 𝛿(𝑡) . 𝑇𝑖

(74.)

47. ábra A PID-szabályozó átmeneti függvénye

3.17.2.

A PID-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJA

A megfelelő PID-jelformálás elérése éredekében az időállandókat megfelelően kell beállítani: 𝑇𝑖 > 𝑇𝐷 azaz

1 𝑇𝑖

<

1 𝑇𝐷

egyenlőtlenséget be kell tartani. Az arányos,

integráló és differenciáló rész más-más frekvenciatartományokban fejti ki hatását, a

58

körfrekvencia-tartományok határvonala

1 𝑇𝑖

–nél és

1 𝑇𝐷

–nél van. A PID-szabályozó

Bode-diagramját a 48. ábrán láthatjuk. Bode Diagram 70

Magnitude (dB)

60 50 40 30 20 90

Phase (deg)

45 0 -45 -90 -3

10

-2

-1

10

10

0

1

10

10

2

3

10

10

4

10

Frequency (rad/s)

48. ábra A PID-szabályozó Bode-diagramja

1

K ISFREKVENCIÁKON (𝜔 < 𝑇 ): 𝑖

Az I-hatás dominál, a PI-szabályozó alacsonyfrekvenciás tartományára leírtak érvényesek itt is. 1

N AGYFREKVENCIÁKON (𝜔 > 𝑇 ) : 𝐷

A D-hatás dominál, a PD-szabályozó magasfrekvenciás tartományra leírtak érvényesek.

1

1

K ÖZEPES FREKVENCIATARTOMÁNYBAN : 𝑇 < 𝜔 < 𝑇 , az arányos hatás érvényesül, 𝑖

𝐷

az előzőekben leírtak szerint.

3.18. SZŰRÉS A D-TAGON Eddig a D-tagot is tartalmazó szabályozókban ideális deriváló hatást tételeztünk fel. Az ideális deriválás azt jelenti, hogy tiszta differenciálást végzünk a szabályozás előremenő ágában. A gyakorlatban a tiszta deriválás akár már kevés zajjal terhelt szabályozott jellemző esetén is nem várt csúcsokat tartalmazó végrehajtó jelet eredményez: annak ellenére, hogy a mérésben jelenlévő zaj szintje alacsony, a

59

frekvenciája nagy. Ennek deriválása nagy amplitúdójú lökéseket produkál. Ennek kiküszöbölésére a tiszta differenciálás helyett a deriváló komponenst 𝑇 𝑠

𝐷 időkésleltetéssel egészítjük ki: (1+𝑇 . Ez megfelel a D-tag aluláteresztő szűrésének: 1 𝑠)

egy D- és egy PT1-tag soros kapcsolásaként is felfogható. Ha 𝑇1 ≪ 𝑇𝐷 a hozzáadott pólus hatása elhanyagolható, és a szabályozó hangolására az ideális szabályozóra kidolgozott módszerek, táblázatok felhasználhatók. A PIDszabályozó átviteli függvénye ekkor: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

1 𝑇𝐷 𝑠 + ). 𝑇𝑖 𝑠 (1 + 𝑇1 𝑠)

(75.)

A gyakorlatban sokszor a szűrő időállandóját a differenciálási időállandóval és egy  tényező szorzatával adják meg: 𝑇1 = 𝛼𝑇𝐷 .

3.18.1.

PD-SZABÁLYOZÓ SZŰRT D-TAGGAL: KÖZELÍTŐ PD-SZABÁLYOZÓ

A közelítő PD-szabályozóval történő szabályozást gyakran kompenzációnak (lead compensator) hívják. Az átviteli függvény:

fázissiettető

𝑇𝐷 𝑠 ) (1 + 𝑇1 𝑠)

(76.)

𝑇𝐷 𝑠 1 + 𝑇𝐷∗ 𝑠 ) = 𝐾𝑃 ( ). (1 + 𝑇1 𝑠) 1 + 𝑇1 𝑠

(77.)

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 + Az átviteli függvény átírható tört alakba: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑃 (1 +

𝑇𝐷∗ = 𝑇𝐷 + 𝑇1 . A közelítő PD-szabályozó átmeneti függvénye az alábbi ábra szerint alakul: (t)

t 49. ábra Közelítő PD-szabályozó átmeneti függvénye

60

3.18.2.

A KÖZELÍTŐ PD-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAFÜGGVÉNYE

A közelítő PD-szabályozó Bode-diagramját mutatja a 50. ábra, ahol KP = 1. (Ezzel a feltételezéssel nem szűkítjük a megállapítások érvényességét.) A fázissiettető kompenzátor elnevezés arra utal, hogy a kompenzátor tipikus fázisa pozitív, vagyis siettető hatású. A frekvenciatartományban ez a siettető hatás az 1/T1 körfrekvencia felett lecseng. A fázissiettető szabályozó megnöveli a hurokátvitel sávszélességét azzal, hogy megnöveli a vágási körfrekvencia értékét. Ezzel párhuzamosan, a fázisgörbe is megemelkedik magasabb frekvenciákon. Td változtatásával bevihető a fázisemelés arra a frekvenciatartományra, ahol már megfelelő tartalékok lesznek. Az eredmény: nagyobb fázistartalék és magasabb 𝜔𝑝𝑐 fázisvágási körfrekvencia. Az időtartományban: kisebb mértékű túllendülés (a nagyobb fázistartalék miatt) kisebb maximumidővel (a magasabb fázisvágási körfrekvencia miatt). Bode Diagram

Magnitude (dB)

20

15

10

5

Phase (deg)

0 60

30

Phase lead 0 -3

10

-2

10

-1

0

10

10

1

10

2

10

Frequency (rad/s)

50. ábra Közelítő PD-szabályozó Bode-diagramja

3.18.3.

FÁZISSIETTETŐ/KÉSLELTETŐ KOMPENZÁCIÓS TAG

A 𝐶(𝑠) =

1 + 𝑇𝐷 𝑠 . 1 + 𝑇1 𝑠

(78.)

átviteli függvényű szabályozót paraméterezéstől függően fázissiettető (FS) vagy fáziskésleltető (FK) tagnak hívják, mert a TD>T1 esetben közelítő PD-szabályozót, TD
3.18.4.

A KÖZELÍTŐ PID-SZABÁLYOZÓ

A közelítő PID-szabályozó (PIDT1) átmeneti függvénye: 𝑣𝑃𝐼𝐷𝑇1 (𝑡) = 𝐾𝑝 (1 +

1 𝑇𝐷 − 𝑡 𝑡 + 𝑒 𝑇1 ) ; 𝑇𝑖 𝑡

𝑡≥0

(79.)

(t)

t

51. ábra Közelítő PID-szabályozó átmeneti függvénye

Az átmeneti függvényből grafikus kiértékeléssel megkaphatjuk a szabályozó paramétereit. A közelítő PID-szabályozó egyesíti a PI- és a PDT1-szabályozók már megismert frekvenciaátviteli karakterisztikát formáló tulajdonságait. Bode Diagram 60

Magnitude (dB)

50 40 30 20 10 0 90

Phase (deg)

45 0 -45 -90 -2

10

0

2

10

10

Frequency (rad/s)

52. ábra PIDT1 szabályozó Bode-diagramja

62

4

10

4. HOLTIDŐS RENDSZEREK SZABÁLYOZÁSA A beavatkozás időpillanata és a beavatkozásra adott válasz kezdete közötti időeltérés a holtidő. Pl. képzeljünk el egy fűtési rendszert, ahol csővezetékeken keresztül áramlik a forró víz a kazántól az épület különböző helyiségeiben lévő radiátorokhoz. Mivel valamennyi idő eltelik a között, hogy a kazánból kilép a forró víz és eljut az adott radiátorig, a radiátor nem kezd el melegedni azonnal, csak késleltetve. Ez nem ugyanaz a késleltetés, mint a tárolós tagoknál: a holtidő alatt a kimenet egyáltalán nem reagál a bemenet változására! A holtidős rendszer átviteli függvénye, ha a holtidő 𝜏 : 𝐺 ∗ (𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑒 −𝜏𝑠 .

4.1.

(80.)

ARÁNYOS, HOLTIDŐS HUROK

Arányos rendszer holtidővel, exponenciális alakban: 𝐺0 (𝑠) = 𝑘0 𝑒 −𝜏𝑠 = 𝑘0 𝑒 −𝑗𝜏𝜔 ,

(81.)

vagy trigonometrikus alakban (Euler): 𝐺0 (𝑗𝜔) = 𝑘0 (𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔)) .

(82.)

A frekvenciafüggvény valós és képzetes része: 𝑅𝑒 = 𝑘0 𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) ,

𝐼𝑚 = −𝑘0 𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔) .

(83.)

Az amplitúdóviszony: 2

𝑀(𝜔) = 𝑘0 √(𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔))2 + (𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔)) 𝑦𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑘0 .

(84.)

Az amplitúdóviszony független a frekvenciától! Mindent áteresztő rendszer (all pass system). A fáziskésés a körfrekvenciával arányos: 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

−𝑘0 𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−𝑡𝑔(𝜏𝜔)) = −𝜏𝜔 . 𝑘0 𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔)

A rendszer csak akkor stabil, ha a 𝑘0 < 1 feltétel teljesül. 63

(85.)

53. ábra Arányos, holtidős rendszer Bode-diagram: fázisgörbe

A 54. ábrán úgy paramétereztük a szimulációs programot, hogy tiszta holtidős szakasz és P-szabályozó alkotta szabályozás alapjelkövetését szemléltesse. A szakasz praméterei: =0,25s k=1, (𝑃(𝑠) = 𝑒 −0,25𝑠 ), a szabályozó erősítése KP=0,8 (𝐶(𝑠) = 0,8). Így a hurokerősítés k0=0,8, tehát a szabályozás stabil. A 55. ábrán kinagyítva láthatjuk, hogy a holtidő miatt a szabályozott jellemző és így a végrehajtó jel is lépcsőzetesen alakul.

54. ábra Holtidős rendszer szabályozása P-szabályozóval szelep%

60

tart.szint %

55

alapjel,r %

50

e

e

e

45 40

e

e

35

e

30 25 20

u

15

u

u

10

u

5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 Time

3

3.5

4

4.5

4.95

55. ábra Holtidős rendszer szabályozása P-szabályozóval, 0–60% ugrásszerű alapjelkövetés, k = 1,  = 0,25s; KP = 0,8; k0 = 0,8

64

Nézzük meg, mi történik, ha KP = 1 (𝐶(𝑠) = 1) és így a hurokerősítés k0 = 1: szelep%

65

tart.szint %

60

alapjel,r %

55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 Time

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

56. ábra k0 = 1

Egységnyi körerősítés már nem csillapodó lengéseket okoz, ezért tiszta holtidős rendszert nem szabad P-szabályozóval szabályozni.

4.2.

INTEGRÁLÓ, HOLTIDŐS HUROK

Arányos, holtidős rendszer és I-szabályozó:

𝑃(𝑠) = 𝑘𝑒 −𝜏𝑠 , 𝐶(𝑠) =

1 𝑇𝑖 𝑠

,

(86.) (87.)

vagy P-szabályozó és integráló, holtidős szakasz: 1 −𝜏𝑠 𝑒 , 𝑇𝑖 𝑠

(88.)

C(𝑠) = 𝐾𝑃 .

(89.)

𝑃(𝑠) =

Mindkét esetben azonos hurokátviteli függvény kapunk: 𝐺0 (𝑠) =

𝑘0 −𝜏𝑠 𝑒 , 𝑇𝑖 𝑠

ahol 𝑘0 = 𝐾𝑃 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑘 .

65

(90.)

Az amplitúdóviszony és a fázisgörbe származtatása: 𝑘0 (𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔)) 𝑇𝑖 𝑗𝜔

𝐺0 (𝑗𝜔) =

𝐺0 (𝑗𝜔) = − 𝐺0 (𝑗𝜔) = −

𝑗𝑘0 𝑇𝑖 𝜔

(𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔))

𝑗𝑘0 𝑘0 𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) − 𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔) . 𝑇𝑖 𝜔 𝑇𝑖 𝜔

(91.)

(92.)

(93.)

A frekvenciafüggvény valós és képzetes része: 𝑅𝑒 = −

𝑘0 𝑇𝑖 𝜔

𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔) ,

𝐼𝑚 = −

𝑘0 𝑇𝑖 𝜔

𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) .

(94.)

Az amplitúdóviszony: 𝑀(𝜔) =

𝑘0 2 √(𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔))2 + (𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔)) 𝑇𝑖 𝜔 𝑀(𝜔) =

𝑘0 . 𝑇𝑖 𝜔

(95.)

(96.)

A logaritmikus skálán egy egyenes egyenletét kapjuk: 20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) = 20(𝑙𝑔

𝑘0 − 𝑙𝑔 𝜔) 𝑇𝑖

20𝑙𝑔(𝑀(𝜔)) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. −20 𝑙𝑔 𝜔 . A vágási körfrekvencia: 𝜔 =

𝑘0 𝑇𝑖

(97.) (98.)

.

A fázisgörbe egyenlete: 𝑘0 𝑐𝑜𝑠(𝜏𝜔) 𝑇𝑖 𝜔 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑘 − 0 𝑠𝑖𝑛(𝜏𝜔) 𝑇𝑖 𝜔

(99.)

𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑡𝑔(𝜏𝜔))

(100.)

𝜋 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (−𝑡𝑔 (𝜏𝜔 + )) . 2

(101.)

−

66

A fázisgörbe lineáris skálán egy egyenes egyenlete: 𝜑(𝜔) = −𝜏𝜔 −

𝜋 . 2

(102.)

A stabilitás függ a rendszerparaméterek értékeitől: 𝑘0 , 𝑇𝑖 , 𝜏. A stabilitás határesete: 𝜑(𝜔(𝜑=−180°) ) = −𝜏𝜔(𝜑=−180°) −

𝜋 = −𝜋 . 2

(103.)

A fázisvágási frekvencia: 𝜔𝑝𝑐 = 𝜔(𝜑=−180°) =

𝜋 . 2𝜏

(104.)

A stabilitás határesetében a fázisvágási frekvencián az amplitúdóviszony = 1: 𝑀(𝜔𝑝𝑐 ) =

𝑘0 =1. 𝑇𝑖 𝜔(𝜑=−180°)

(105.)

A fázisvágási frekvencia: 𝜔𝑝𝑐 =

𝑘0 . 𝑇𝑖

(106.)

Ha a rendszer arányos, akkor 𝑘0 = 𝑘 adott és az integrálási időállandó változtatható. A kritikus integrálási időállandó, 𝑇𝑖𝑐 kifejezhető a szakaszparaméterekkel: 𝑇𝑖𝑐 =

𝑘 𝜔𝑝𝑐

,

𝑘 2𝑘𝜏 𝑇𝑖𝑐 = 𝜋 = . 𝜋 2𝜏

(107.)

(108.)

Ha a szakasz jelátvitele integráló holtidős, akkor 𝑇𝑖 adott és a szabályozó erősítését változtathatjuk. A kritikus szabályozóerősítés, 𝐾𝑃𝑐 : 𝐾𝑃𝑐 = 𝑇𝑖 𝜔𝑝𝑐 𝐾𝑃𝑐 =

𝜋𝑇𝑖 2𝜏

.

67

(109.) (110.)

Tételezzük fel, hogy 𝐺𝑀 = 6𝑑𝐵 erősítési tartalékot szeretnénk biztosítani. Ekkor a szabályozó erősítése: 𝐾𝑃6𝑑𝐵 =

𝜋𝑇𝑖 . 4𝜏

(111.)

Vagyis a kritikus erősítés fele. (Később találkozunk ezzel a felező értékkel a zárt köri Ziegler–Nichols-féle szabályozó paraméterbeállítási módszernél!) 𝜋

Például, legyen 𝑇𝑖 = 2𝑠, 𝜏 = 1𝑠 , ekkor: 𝐾𝑃6𝑑𝐵 = . 2

57. ábra Integráló, holtidős szakasz szabályozása P-szabályozóval

58. ábra Arányos, holtidős rendszer szabályozása I-szabályozóval

68

4.3.

FELADAT: HOLTIDŐS SZABÁLYOZÁSOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Hasonlítsuk össze az alábbi két ábrát! Miben hasonlít és miben tér el a két ugrásszerű alapjelváltozásra adott válasz? (A hurokátviteli függvények azonosak, a paraméterek azonosra állítva. A szabályozott jellemzők (kék) lefutása megegyező, de a végrehajtó jelek (zöld) másként alakulnak! Miért?)

59. ábra Fent integráló, holtidős szakasz szabályozása P-szabályozóval; lent: holtidős szakasz szabályozása I-szabályozóval

69

5. A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTERBEÁLLÍTÁSI MÓDSZEREI Megismertük a szabályozással szemben támasztott követelményeket, a szabályozások jellemzésére, összehasonlítására szolgáló teljesítménymutatókat. Ismerjük a különböző típusú PID-szabályozókat, melyek a klasszikus szabályozásokban a szabályozó szerepét töltik be. Ismerjük a PID-szabályozó paraméterei megváltozásának a szabályozásra gyakorolt hatását. Nem tudjuk azonban, hogy hogyan állítsuk be ezeket a paramétereket, azaz hogyan hangoljuk a szabályozót, hogy az adott szabályozási problémához a lehető legjobban illeszkedő szabályozót kapjunk. A klasszikus szabályozástechnika szabályozóhangolásának a kiindulópontja az alábbi tételekkel foglalható össze: Alapvetően ismert a szabályozó típusa: PID-szabályozó. A szakaszon végzett kísérletekkel vagy egyéb úton meghatározott szakaszjellemzők alapján meghatározzuk a szabályozó paramétereit. Tehát a szabályozó struktúrája nem kérdés, csak a paraméterezés. (Megjegyzés: A modern szabályozások alapvetően különböznek ettől a felfogástól: a szabályozási körnek az eredő viselkedését tervezik meg, a szabályozott szakasz modelljét meghatározva, keresik a szabályozóstruktúrát, amely általában tartalmazza a szakasz modelljét vagy annak inverzét. Ezen felül néhány hangolási paraméter marad, amit modellezéssel, iteratív úton szokás beállítani.) A klasszikus szabályozótervezés lépései  

 

A szabályozással szemben támasztott követelmények megfogalmazása. Megbecsüljük a szabályozott rendszer (a szakasz) jelátviteli karakterisztikáját – legtöbbször mérésekkel alátámasztva – valamilyen egyszerűsített modell formájában, vagy csak méréseket végzünk a zárt körön, és a mérési eredményekből, modell nélkül lépünk tovább. Meghatározzuk a PID-szabályozó típusát és paramétereit. Teszteljük a beállítást a valós rendszeren, és ha nem megfelelő a szabályozás, visszatérünk valamelyik előző lépésre.

70

5.1.

A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTEREINEK HATÁSA A SZABÁLYOZÁS DINAMIKÁJÁRA

Az alábbi összefoglaló táblázat bemutatja a PID-szabályozó paraméterei növelésének hatását a szabályozás jellemzőire:

PIDszabályozó paraméterei

Maradó hiba

Labilis Szabályozási Túllendülés viselkedésre idő való hajlam

KP

csökkenti

növeli

csökkenti

növeli

Ti

eltünteti

csökkenti

növeli

csökkenti

TD

nincs hatással

csökkenti

csökkenti

növeli

A PID-szabályozó finomhangolásának lépései:   

Az erősítési tényező, KP – növelésével a szabályozási idő csökkenthető. Integráló tag használatával eltüntethető a maradó hiba. Deriváló tag használatával csökkenthető a túllendülés és a szabályozási idő.

A klasszikus PID-szabályozó beállításnak módszerei:  

A felnyitott körön végzett kísérletekkel (Open-loop methods), tehát csak a szakaszon, a szabályozótól függetlenül. Zárt körön végzett kísérletekkel (Closed-loop methods), amelyek a kiépített zárt szabályozási kör kimérésén alapulnak.

71

5.2. 5.2.1.

TAPASZTALATI SZABÁLYOZÓHANGOLÁSI MÓDSZEREK ZÁRT KÖRÖN VÉGZETT KÍSÉRLETEZÉSEK

1.5.2.1.

P RÓBÁLGATÁSOS MÓDSZER (T RIAL AND E RROR METHOD )

Feltétel: a szabályozási kör ki van építve. A próbálgatásos módszer fő komponense az arányos tag. Az integráló és a differenciáló komponens pedig finomítja ezt. A hangolási módszer lépései: 1.

2. 3.

A szabályozó erősítését, KP, addig változtatjuk, (Ki,KD = 0), amíg a kívánt kimenetet kapjuk. Ha a szabályozás így elég gyors, de nem elég pontos, a következő lépés: Az integrálási időállandó állítgatásával eltávolítjuk a maradó hibát. Egy darabig így működtetjük a rendszert, némi tapasztalatot szerezve a szabályozási rendszer viselkedéséről, ha szükséges, némi deriválási idő beállítható.

1.5.2.2.

Z IEGLER –N ICHOLS FREKVENCIAVÁLASZ - MÓDSZER

Feltétel: a szabályozási kör ki van építve. A technológia megengedi, hogy a szabályozást a stabilitás határhelyzetébe hozzuk a hangoláshoz szükséges mérések elvégzésének idejére. A szabályozót úgy állítjuk be, hogy csak a P-hatás érvényesüljön (P-szabályozás). Zárt szabályozási körben addig növeljük a szabályozó erősítését, 𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 , hogy a szabályozott jellemző állandó amplitúdójú lengéseket végezzen (kismértékű alapjelmódosítás hatására) anélkül, hogy a végrehajtó jel elérné a telítési értéket. Meghatározzuk a lengések periódusidejét: Tcrit. A kritikus periódusidő és a szabályozó kritikus erősítésének felhasználásával táblázat segítségével a szabályozó paraméterei számíthatók. Az eljárás részletesen: 1.

A szabályozó beállítása (kézi üzemmódban): KP beállítás alacsony értékre; Ti végtelen; TD = 0 .

2. Kézi üzemmódban az alapjel közelébe visszük a rendszert. 3. Átkapcsolunk automata üzemmódba.

72

4. Folyamatosan, apránként növeljük a szabályozó erősítését, KP-t, amíg a szabályozott jellemző állandó amplitúdójú lengéseket nem végez. Minden módosítás után megvárjuk, hogy beálljon az új egyensúlyi helyzet. KP változtatása után, az alapjel kismértékű módosításával kibillentjük a rendszert az egyensúlyi helyzetéből, hogy a szabályozó akcióba lépjen. 5. Feljegyezzük azt a szabályozóerősítést, amellyel a stabilitás határára hoztuk a szabályozást: KPcrit . 6. Határozzuk meg a lengések periódusidejét: Tcrit, ahogyan azt az alábbi ábrán is láthatjuk. Tcrit

Szabályozott jellemző

60. ábra A szabályozott jellemző lengése

7. KPcrit és Tcrit segítségével az alábbi táblázatból a PID-szabályozó paraméterei számíthatók:

Szabályozó típusa

KP

P-

0.5𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

PI-

0.45𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

0.83𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

-

PID-

0.6𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

0.5𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

0.125𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

Ti

TD -

A fenti táblázat összeállításánál az volt a fő tervezési szempont, hogy a zavarások hatására gyorsan lecsengjenek a tranziensek: egynegyed amplitúdócsökkenési aránnyal (quarter amplitude decay ratio). Ez meglehetősen nagy kezdeti túllendülést (kb. 40%) jelent, ezért később megjelent a Z–N módszer módosított táblázata:

73

Szabályozó típusa

KP

Ti

TD

PID- eredeti

0.6𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

0.5𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

0.125𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

PIDtúllendüléssel

0.33𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

0.5𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

0.33𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

PIDtúllendülés nélkül

0.2𝐾𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

0.3𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

0.5𝑇𝑐𝑟𝑖𝑡

A Z–N frekvenciaválasz-módszer előnye    

Nem szükséges a folyamatról apriori információ, nincs folyamatmodell. Az összes stabil rendszernél alkalmazható. Csak egyetlen kísérleti vizsgálat szükséges. Könnyen kiszámíthatóak a szabályozó paraméterei.

A Z–N frekvenciaválasz-módszer hátránya     

Időigényes. A tesztelés során minőségromlás és termeléskiesés. Veszélyhelyzetet okozhat a stabilitás határára került szabályozás. Nem alkalmazható, ha a felnyitott kör labilis. Egy- és kéttárolós, holtidő nélküli szakaszokkal nem működik (szerkezetileg stabil szabályozások). Ez motiválta az ún. relés módszert (Relay Feedback Method).

A relé módszer: A szabályozót a vizsgálat idejére egy kétállású szabályozóval helyettesítik. Az állásos szabályozó hatására a szabályozott jellemző – mint ahogy a Hiba! A hivatkozási forrás nem található.. fejezetben ezt megismertük – állandó amplitúdójú lengéseket végez. A szakaszról nem szükséges semmilyen apriori információ. A lengés periódusidejéből rendszerint a Z–N hangolási szabályok alapján számítják a PIDszabályozó paramétereit.

74

5.2.2. FELNYITOTT KÖRBEN VÉGZETT VIZSGÁLATOK : A SZAKASZ ÁTMENETI FÜGGVÉNYÉNEK KIMÉRÉSÉN ALAPULÓ MÓDSZEREK 2.5.2.1.

Z IEGLER ÉS N ICHOLS MÓDSZERE

(1942 J. G. Ziegler és N. B. Nichols) Ziegler és Nichols módszere (Z–N módszer) S-alakú (azaz arányos, túllendülés nélküli) átmeneti függvényre alkalmazható. Feltételezzük, hogy a szakasz átviteli függvénye egytárolós, holtidős (first-order process plus dead-time – FOPDT) modellel közelíthető: 𝑃(𝑠) =

𝑘 𝑒 −𝜏𝑠 . 𝑇1 𝑠 + 1

(112.)

Az átmeneti függvény három paraméterrel jellemezhető, amennyiben az inflexiós ponthoz és az új állandósult állapothoz egy-egy érintőt húzunk: erősítés, k, holtidő (itt pontosabb a lappangási idő elnevezés), 𝜏 és az időállandó, T1, lásd Hiba! A hivatkozási forrás nem található.. ábra. Az egytárolós, holtidős szakaszmodell közelítés számos paraméterbecslési eljárás alapja. Fontos jellemzője a modellnek a normalizált holtidő: τ/T1. Ha τ/T1>1, a túlságosan nagy holtidő miatt az egyszerű PID-szabályozó nem megfelelő a szabályozásra. (Ilyenkor valamilyen holtidőkompenzálási struktúrát, pl. az ún. Smithprediktort szokás alkalmazni.) A Z–N módszer lépései: 1. 2.

Kimérjük az átmeneti függvényt. Az átmeneti függvény kiértékelésével meghatározzuk a közelítő modell paramétereit. Ha a gerjesztés nem egységugrás volt, az erősítési tényezőt a 𝑘=

3.

𝑦∞ −𝑦0 𝑢∞ −𝑢0

=

∆𝑦 ∆𝑢

összefüggéssel számíthatjuk.

Meghatározzuk a felhasználásával.

szabályozó

paramétereit

az

alábbi

táblázat

A beállítás tipikusan 20–25% túllendülést eredményez, elfogadható szabályozási idővel. Finomhangolással tudunk igazítani a beállításokon, ha az az elvárásoknak nem teljesen megfelelő. Előnyök:  

Gyors és könnyebben használható, mint a további módszerek. Megfelelően robusztus és népszerű eljárás.

75

76

Hátrányok:  

Lehet, hogy bizonyos rendszereknél nem megfelelő a szabályozó paramétereinek becslése a durva modellközelítés miatt. Nem ad ajánlást I-, D- és PD-szabályozókra.

A Ziegler–Nichols átmeneti függvény kimérésén alapuló szabályozó beállítások:

Szabályozó típusa PPIPID-

2.5.2.2.

KP

Ti

1 𝑇1 𝑘 𝜏 0,9 𝑇1 𝑘 𝜏 1,2 𝑇1 𝑘 𝜏

3,33𝜏

TD

2𝜏

0,5𝜏

C OHEN –C OON MÓDSZER

( 1953, G. H. Cohen és G. A. Coon.) A Cohen–Coon módszer korrigálja a Z–N módszer nagy holtidős rendszereknél lassú szabályozást eredményező beállításait. A módszert csak nagyobb holtidővel rendelkező rendszereknél célszerű alkalmazni, mivel egyébként túl nagy lenne a szabályozó erősítése. A Cohen-Coon hangolás célja ¼ lengéscsillapítási arány (QDR:Quarter Decay Ratio).

Szabályozó típusa P-

PI-

PID-

KP

Ti

1 𝑇1 𝜏 (1 + ) 𝑘 𝜏 3𝑇1 1 𝑇1 (0,9 𝑘 𝜏 𝜏 + ) 12𝑇1 1 𝑇1 4 𝜏 ( + ) 𝑘 𝜏 3 4𝑇1

77

𝜏

30 + 3 𝜏⁄𝑇1 9 + 20 𝜏⁄𝑇1

𝜏

32 + 6 𝜏⁄𝑇1 13 + 8 𝜏⁄𝑇1

TD

𝜏

4 11 + 2 𝜏⁄𝑇1

2.5.2.3.

C HEN –H RONES –R ESWICH (C–H–R) MÓDSZER

A Z–N átmeneti függvény módszer módosítása. Kétféle cél szerint állítottak össze táblázatokat: gyors, túllendülés nélküli válasz vagy gyors, max. 20%-os túllendüléses válasz. A módszer nagy előnye, hogy figyelembe vették, hogy a szabályozót másképp kell hangolni, ha a fő cél az alapjelkövetés, vagy ha a fő cél a zavarkompenzálás. C–H–R zavarkompenzálás

Túllendülés nélkül Szabályozó típusa PPIPID-

KP 0.3 𝑇1 𝑘 𝜏 0.6 𝑇1 𝑘 𝜏 0.95 𝑇1 𝑘 𝜏

Ti

TD

4𝜏 2.4𝜏

0.42𝜏

20% túllendülés KP

Ti

0.7 𝑇1 𝑘 𝜏 0.7 𝑇1 𝑘 𝜏 1.2 𝑇1 𝑘 𝜏

2.3𝜏 2𝜏

TD

0.42𝜏

C–H–R alapjelkövetés

Túllendülés nélkül Szabályozó típusa PPIPID-

KP 0.3 𝑇1 𝑘 𝜏 0.35 𝑇1 𝑘 𝜏 0.6 𝑇1 𝑘 𝜏

Ti

TD

1.2𝜏 𝜏

0.5𝜏

20% túllendülés KP

Ti

0.7 𝑇1 𝑘 𝜏 0.6 𝑇1 𝑘 𝜏 0.95 𝑇1 𝑘 𝜏

𝜏 1.4𝜏

TD

0.4𝜏

Az átmeneti függvény kimérésén alapuló szabályozóhangolási módszereknek az említetteken kívül még számos fajtája létezik. A következő fejezetben érdekességként egy olyan korszerű szabályozóhangolási módszert elvét vázoljuk fel röviden, amely bizonyos szakaszok esetén PID-szabályozót eredményez optimális szabályozóként.

78

5.3.

PID-SZABÁLYOZÓT EREDMÉNYEZŐ, MODELLALAPÚ SZABÁLYOZÓTERVEZÉS (Belső modell elv, belső modell kompenzáció: Internal Model Principle and Internal Model Control: IMC)

A modellalapú szabályozótervezés alapja a „belső modell elv”, amely kimondja, hogy a szabályozás csak akkor lehetséges, ha a szabályozóba explicit vagy implicit módon beágyazva megjelenik a szabályozott rendszer modellje. Az eddig bemutatott módszerek az implicit kategóriába sorolhatók. A modellalapú szabályozásokban viszont a szakaszmodell explicit jelen van. Nincs rögzítve eleve a szabályozó struktúrája, hanem a zárt szabályozási kör eredő jelátviteli tulajdonságait írják elő. Ebből és a szakaszmodellből származtatják különböző, gyakran optimalizálást is tartalmazó módszerekkel a szabályozó struktúráját és paramétereit is. Érdekes módon, bizonyos szakasztípusokra a modellalapú tervezési módszerek optimális szabályozóként a PID-szabályozót adják eredményül. Bár a Lambda tuning és az IMC szabályozótervezés különböző elveken alapul, egyszerűbb önbeálló rendszerekre azonos szabályozókarakterisztikát szolgáltatnak. Mindkét módszer igen népszerű, mivel elkerülhetők a lengések és a szabályozás teljesítményjellemzője a zárt kör időállandójával beállítható.

5.3.1.

LAMBDA TUNING MÓDSZER

(Egyszerűsített IMC) A Lambda tuning módszer alapvetően egy pólusáthelyezési módszer, amely egységnyi erősítésű FOPTD zárt köri alapjelátvitelt feltételez, lásd az alábbi ábrán az elvet. Adott a kívánt alapjelkövetési karakterisztika 𝐺𝑅 (𝑠) és a szakaszmodell 𝑃(𝑠); keressük azt a szabályozó karkterisztikát ( 𝐶(𝑠) ), amellyel az alapjelátviteli karakterisztika megvalósítható.

79

Zavaró jel d(t), D(s)

Alapjel r(t), R(s)

Hibajel e(t) +

Végrehajtó jel u(t), U(s)

+

P

known

+

Szabályozott jellemző y(t), Y(s)

_

Szabályozott jellemző y(t), Y(s)

Alapjel r(t), R(s)

61. ábra Az egyszerűsített modellalapú szabályozótervezés elve

A továbbiakban a szakaszról feltételezzük, hogy egytárolós, holtidős modellel közelíthető (FOPTD). A zárt kör alapjelátviteli függvénye legyen: 𝐺𝑅 (𝑠) =

1 𝑒 −𝜏𝑠 , 𝜆𝑠 + 1

(113.)

ahol λ a szabályozó hangolási paramétere. Azaz elvárjuk, hogy az ugrásszerű alapjelváltozást túllendülés és maradó hiba nélkül kövesse a szabályozott jellemző. Ilyen típusú szabályozás akkor kívánatos, ha a szabályozott jellemző sosem léphet túl bizonyos korlátokat és az alapjel ezen határértékek közelében van. Ha a szabályozó sosem engedi a szabályozott jellemzőt túllendülni az alapjelen, akkor az a határértéket sem fogja átlépni. Az ilyen típusú szabályozás sosem produkál labilis viselkedést sem. A szabályozott jellemző folyamatosan emelkedik vagy csökken a kiindulási értékétől addig, amíg az alapjelet el nem éri. Kisebb λ gyorsabb szabályozást jelent, de közelebb vihet az instabil tartományhoz. Bizonyos numerikus holtidő-közelítési modelleket alkalmazva, a FOPTD szakaszmodellből és a fenti 𝐺𝑅 (𝑠) alapjelátvitelből kiindulva bizonyítható, hogy a szabályozó jelátviteli karakterisztikája megfelel PI- vagy PID-szabályozónak (a holtidőt közelítő modell függvényében). A λ paraméter és a szakasz erősítése: k, időállandója: T1 és holtideje: 𝜏 ismeretében a szabályozó paraméterei beállíthatók az alábbi táblázat alapján:

80

Szabályozó típusa PIImproved PIPID-

KP 1 𝑇1 𝑘𝜆 1 2𝑇1 + 𝜏 𝑘 2𝜆 1 2𝑇1 + 𝜏 𝑘 2(𝜆 + 𝜏)

Ti

TD

Ajánlás: 𝝀⁄𝝉 (𝝀 > 𝟎. 𝟐𝝉 )

𝑇1

-

>0.25

-

>1.7

𝜆𝜏 2(𝜆 + 𝜏)

>1.7

𝜏 2 𝜏 𝑇1 + 2 𝑇1 +

A legnagyobb különbség a lambda tuning módszer és az egyéb átmeneti függvényen alapuló tapasztalati módszerek között, hogy a hangolási paraméterek száma a lambda paraméterre csökkent. Csak a szabályozó erősítési tényezőjét kell behangolnunk, az integrálási időállandó egyszerűen egyenlő lesz a szakasz időállandójával (lásd a fenti táblázat első sora). A szabályozó erősítése fordítottan arányos lambdával. Ha λ kicsi, a szabályozás gyors, az erősítésnek nagynak kell lennie. A megfelelő 𝜏⁄𝜆 arány beállítása teljesítmény- és robusztussági megfontolásokon alapul. Hátrányok 



Meglehetősen lassú szabályozás (a lassú folyamat még lassúbb lesz), így a szabályozott jellemző hosszú ideig távol van az alapjeltől. λ-t általában T1 és 3T1 közötti értékre szokták beállítani, illetve még nagyobbra, ha jelentős a holtidő, 𝜏. Ilyenkor a 𝜆 > 𝜏 alsó korlátot szokás előírni, hiszen a szabályozó csak a holtidő megengedte gyorsasággal reagálhat. A zavarás kompenzálására nincs méretezve.

Integráló jellegű folyamatra is létezik ajánlás:

Szabályozó típusa

KP

P-

2𝜆 + 𝜏 𝑘(𝜆 + 𝜏)2

81

5.4.

CÉLFÜGGVÉNY MINIMALIZÁLÁSÁN ALAPULÓ SZABÁLYOZÓHANGOLÁSI MÓDSZEREK , INTEGRÁLKRITÉRIUMOK

A szabályozás jóságának mértékéül valamilyen optimalizálási kritériumot vezetünk be. Az integrálkritériumok tehát a szabályozás teljesítményindexei. Optimalizálásnak mondjuk, ha a szabályozó paramétereket addig változtatjuk, amíg valamely teljesítményindex eléri a szélső értékét, rendszerint a minimumát. Azt hívjuk ezután a legjobb szabályozó paraméterértéknek, amely az indexet minimalizálta. Az integrálkritériumok rendszerint a hibajel lefutását értékelik. A legegyszerűbb teljesítményindex a négyzetes integrálkritérium. 𝑇𝑠

𝐼𝑆𝐸 = ∫ 𝑒 2 (𝑡)𝑑𝑡 → 𝑚𝑖𝑛. 0

(114.)

Az integrálás felső határa rendszerint a szabályozási idő. A következő, könnyen megvalósítható integrálkritérium az abszolútérték-kritérium: 𝑇𝑠

𝐼𝐴𝐸 = ∫ |𝑒(𝑡)| 𝑑𝑡 → 𝑚𝑖𝑛. 0

(115.)

Ha szeretnénk elkerülni a kezdeti időpillanatban a nagymértékű kilengéseket, az idővel súlyozott abszolút hiba integrálkritériumot alkalmazzuk (Integral of Time multiplied by Absolute Error: ITAE): 𝑇

𝐼𝑇𝐴𝐸 = ∫0 𝑠 𝑡|𝑒(𝑡)| 𝑑𝑡 → 𝑚𝑖𝑛.

(116.)

A fentihez hasonló index az idővel súlyozott négyzetes hiba: 𝑇

𝐼𝑇𝑆𝐸 = ∫0 𝑠 𝑡𝑒 2 (𝑡) 𝑑𝑡 → 𝑚𝑖𝑛.

(117.)

A legjobb szelektivitású az ITAE index, mivel a szabályozó paramétereinek változtatására könnyen kimutatható a minimum.

82

5.5.

A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTEREINEK BEÁLLÍTÁSA A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN

A klasszikus szabályozóhangolások egyik elsődleges módszere a frekvenciatartományban történő paraméterbeállítás, amelyben a felnyitott rendszer frekvenciaátviteli jelleggörbéjének menetét formáljuk: a szabályozó struktúráját és paramétereit úgy választjuk meg, hogy a felnyitott kör bizonyos átviteli karakterisztikájú, vagyis bizonyos formájú legyen. Nyquist- illetve Bode-diagramban is történhet a tervezés, itt most a Bode-diagramban fogunk dolgozni. Azt a szabályozótervezési módszert, amely a hurokátviteli függvény alakításával állítja be a zárt kör átviteli karakterisztikáját, az angol terminológia „loop-shaping”-nek nevezi. Megfontolásainkat kezdjük a zárt kör alapjelátviteli függvényével: 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 𝐺0 (𝑠) = 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(118.)

1 1 = . 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(119.)

𝐺𝑅 (𝑠) = és zavarátviteli függvényével: 𝐺𝐷 (𝑠) =

Mikor lenne „ideális” a szabályozás? Ha minden frekvenciára teljesülne, hogy: 𝐺𝑅 (𝑠) = 1 és 𝐺𝐷 (𝑠) = 0. Definiáljuk az ún. érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvényeket. Az érzékenységi függvény megadja, hogy a szakasz átviteli függvényének a megváltozása hogyan befolyásolja az eredő alapjelátviteli tulajdonságot, logaritmikus skálán: 𝜕𝑙𝑔𝐺𝑅 (𝑠) 𝜕𝐺𝑅 (𝑠)/𝐺𝑅 (𝑠) 𝜕𝐺𝑅 (𝑠) 𝑃(𝑠) = = 𝜕𝑙𝑔𝑃(𝑠) 𝜕𝑃(𝑠)/𝑃(𝑠) 𝜕𝑃(𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠)

(120.)

𝜕𝑙𝑔𝐺𝑅 (𝑠) 𝜕𝐺𝑅 (𝑠)/𝐺𝑅 (𝑠) 𝜕𝐺𝑅 (𝑠) 𝑃(𝑠) 1 = = = 𝜕𝑙𝑔𝑃(𝑠) 𝜕𝑃(𝑠)/𝑃(𝑠) 𝜕𝑃(𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(121.)

𝑆(𝑠) =

𝑆(𝑠) =

𝜕𝐺𝑅 (𝑠) 𝐶(𝑠) = (1 + 𝐺0 (𝑠))2 𝜕𝑃(𝑠) 𝑆(𝑠) =

𝜕𝐺𝑅 (𝑠) 𝑃(𝑠) 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠) = 𝜕𝑃(𝑠) 𝐺𝑅 (𝑠) (1 + 𝐺0 (𝑠))2 𝐺0 (𝑠)

83

(122.)

(123.)

𝑆(𝑠) =

1 . 1 + 𝐺0 (𝑠)

(124.)

Minél kisebb |S(s)|, annál kevésbé érzékeny az alapjelátviteli karakterisztika a szakaszmodell változására. Láthatjuk, hogy az S(s) érzékenységi függvény megegyezik a 𝐺𝐷 (𝑠) zavarátviteli függvénnyel (119.). Az érzékenységi függvény így leírja azt is, hogy a zavarások hogyan csillapodnak a zárt körben. Ismételjük meg a fenti eljárást a zavarátviteli függvényre (GD(s)): 𝜕𝑙𝑔𝐺𝐷 (𝑠) 𝐶(𝑠) 𝑃(𝑠)(1 + 𝐺0 (𝑠)) 𝐺0 (𝑠) =− =− = −𝑇(𝑠), 2 𝜕𝑙𝑔𝑃(𝑠) 1 1 + 𝐺0 (𝑠) (1 + 𝐺 (𝑠)) 0

(125.)

ahol T(s) az ún. kiegészítő érzékenységi függvény, amely megadja, hogy a szakasz átviteli függvényének bizonytalansága hogyan befolyásolja a zárt kör zavarátviteli tulajdonságát, logaritmikus skálán. A T(s) kiegészítő érzékenységi függvény megegyezik az alapjelátviteli függvénnyel. Az pedig –1-gyel szorozva a zajátviteli függvény. Vegyük észre továbbá, hogy S(s) és T(s) összege egyenlő 1-gyel, lásd 62. ábra: 𝑆(𝑠) + 𝑇(𝑠) = 1 .

(126.)

62. ábra Példa az érzékenységi és a kiegészítő érzékenységi függvényekre (amplitúdóviszony-görbék)

Amennyiben szeretnénk, hogy a szabályozás érzéketlen legyen mind a folyamatot érő zavarásokra, mind a mérésből eredő zajokra, mind S(s), mind T(s) abszolút értékének kicsinek kellene lennie. Amennyiben megfelelő alapjelkövetést szeretnénk, T(s) abszolút értékének egynek kellene lennie. Láthatjuk, hogy ezek a 84

kívánalmak ellentmondáshoz vezetnek, nem tudjuk a teljes frekvenciatartományon teljesíteni őket. Kérdés, hogy milyen hurokátviteli függvény biztosítja a zárt kör frekvenciafüggvényének a kívánt lefutását? A (124.), (125.) és (126.) egyenletekből az alábbi egyenlőtlenségek következnek. 

Ha a hurokátviteli függvény abszolút értéke nagy: |𝑆(𝑗𝜔)| ≪ 1 { } |𝑇(𝑗𝜔)| ≈ 1



, ha |𝐺0 (𝑗𝜔)| ≫ 1 .

(127.)

Ha a hurokátviteli függvény abszolút értéke nullához tart: |𝑆(𝑗𝜔)| ≈ 1 { } |𝑇(𝑗𝜔)| ≪ 1

, ha |𝐺0 (𝑗𝜔)| ≪ 1 .

(128.)

Amennyiben az alapjelváltozás az alacsony, a zaj a magas frekvenciatartományokba esik, az alábbi előírásokat tehetjük a hurokátviteli függvényre: 



Legyen |𝐺0 (𝑗𝜔)| ≫ 1 az alacsony frekvenciákon, hogy jó alapjelkövetést biztosítsunk és egyúttal jó zavarelnyomást, miközben a rendszer alapjelkövetése érzéketlen a modellparaméter-ingadozásokra. Legyen |𝐺0 (𝑗𝜔)| ≪ 1 a nagyfrekvenciás régióban, hogy biztosítsuk a mérési zajok csillapítását, miközben a rendszer zavarátviteli tulajdonsága érzéketlen a modellparaméter-ingadozásokra.

A fenti feltételeknek leginkább egy integráló jellegű hurokátviteli karakterisztika feleltethető meg. A frekvenciatartományt három részre oszthatjuk: a kisfrekvencia-tartomány a zárt kör statikus tulajdonságát határozza meg. A középső tartomány a zárt kör dinamikus tulajdonságait mutatja, nagyfrekvenciákon a szabályozás hatástalan, lásd 63. ábra. Azért, hogy jobban érzékeljük a tartományok viszonyát, az ábrán a frekvenciatengely kivételesen lineáris skálázású. Látható, hogy az alapjelkövetés nem lehet jó magasabb frekvenciákon. Komoly problémát okoz, ha az alapjelváltozás, a zavarás és a zaj jellemző frekvenciatartományai nem választhatók szét.

85

S, dB I: Szabályozási tartomány, Maradó hiba: |S(0) |

, lineáris II: Tranziens viselkedést meghatározó tartomány

III: A visszacsatolás hatástalan

63. ábra A szabályozás főbb frekvenciatartományai

5.5.1.

TERVEZÉS ELSŐRENDŰ ZÁRT KÖRI ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA

Tételezzük fel ismét, hogy az alapjelkövetés feleljen meg egy egységnyi erősítésű elsőrendű tagnak (túllendülés és ugrásjelkövetés), azaz legyen az alapjelátviteli függvény: 𝐺𝑅 (𝑠) =

𝐺0 (𝑠) 1 = ∗ . 1 + 𝐺0 (𝑠) 𝑇1 𝑠 + 1

(129.)

Milyen előnyei vannak az ilyen, egytárolós tagnak megfelelő alapjelátviteli függvénynek, átviteli karakterisztikának? Időtartományban: 

Az ugrásszerű alapjelváltozást maradó hiba és túllendülés nélkül követi.



A szabályozási idő az időállandóból számítható: a 𝑣(𝑡) = (1 − 𝑒 𝑇1 ) függvény jellemzője, hogy az új egyensúlyi helyzetet 95%-os pontossággal 3𝑇1∗ idő alatt, 98%-os pontossággal 4𝑇1∗ idő alatt közelíti meg, a szabályozási idő tehát 𝑇1∗ időállandó értékével arányos.

𝑡

− ∗

Frekvenciatartományban: A sávszélesség 𝑇1∗ időállandó értékével fordítottan arányos. Az 𝜔 <

𝑡 𝑇1∗

körfrekvencia-

tartományba tartozó alapjelet torzítás nélkül átviszi, ennél nagyobb frekvenciájú alapjelváltozást már torzít. Az áteresztő tartományban az érzékenység és így a zavarátvitel |𝑆(𝑠) | ≪ 1 , tehát a lassú technológiai zavarásokat szűri. A mérési zajok

86

a nagyfrekvenciás tartományba esnek, a zajátviteli függvény abszolút értéke megegyezik T(s) abszolút értékével, így azokat a zárt rendszer csillapítja.

Sávszélesség

64. ábra Elsőrendű zárt köri alapjelátviteli karakterisztika és az érzékenységi függvény

Mint már láttuk, az egytárolós zárt köri karakterisztika egy integráló típusú hurokátviteli függvénnyel érhető el: 𝐺0 (𝑠) = 𝐶(𝑠)𝐶(𝑠) = levezetéseket. A zárt körre jellemző paraméterei közötti kapcsolat: 𝑇1∗ =

5.5.2.

𝑇1∗

𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝑠

, lásd (22.)-től (25.)-ig a

időállandó és a hurokátviteli függvény

𝐾𝑃 . 𝑇𝑖

(130.)

TERVEZÉS MÁSODRENDŰ ZÁRT KÖRI ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA

Ahhoz, hogy gyorsabb legyen a szabályozás, meg kell engednünk némi túllendülést. Ilyenkor a zárt kör alapjelátviteli karakterisztikáját másodrendű jelátvitellel közelíthetjük (az erősítés továbbra is egységnyi, hogy ne legyen maradó hiba ugrásszerű alapjelváltozásra): 𝐺𝑅 (𝑠) ≈

𝑇22 𝑠 2

1 . + 2𝜉𝑇2 𝑠 + 1

(131.)

A szabályozás időtartományban, ugrásszerű alapjelkövetésre a másodrendű rendszerek más tanulmányaikból már megismert csillapítási tényezőtől és időállandótól függő válaszfüggvényét adja.

87

Frekvenciatartományban: Tranziens tulajdonságok

Sávszélesség

65. ábra Másodrendű zárt köri alapjelátviteli karakterisztika és az érzékenységi függvény

66. ábra A 65. ábrának megfelelő időtartománybeli zárt köri ugrásválasz

A felfutási és a szabályozási idő fordítottan arányos a sávszélességgel. Az amplitúdóviszony maximális értéke (amely a tranziens tartományban látható) közvetlen kapcsolatban áll a csillapítási tényezővel és így a maximális túllendüléssel. A csúcs frekvenciája nem azonos a sajátfrekvenciával, azonban feltételezhetjük, hogy annak közelében található. (Megjegyzés: az amplitúdóviszony-görbében már nincs nulla fölé emelkedő csúcs, ha a csillapítási tényező: 𝜉 > 0,707, részletesen lásd a megfelelő irodalomban.) Másodrendű zárt köri alapjelátviteli függvényt eredményez az egytárolós integráló hurok, (45.)-hez hasonlóan. (Lásd az alapjelátviteli függvény levezetését (45.)-től, 𝐿(𝑠) = 𝑇1 𝑠 és k=1 helyettesítéssel. A hurokátviteli függvény:

88

𝐺0 (𝑠) =

1 , 𝑇𝑖 𝑠(1 + 𝑇1 𝑠)

(132.)

a következő paraméterezéssel: 2𝜉 , 𝜔0

(133.)

𝑇2 1 = . 2𝜉 2𝜉𝜔0

(134.)

𝑇𝑖 = 2𝜉𝑇2 =

𝑇1 =

Más szavakkal: ahhoz, hogy a kívánt csillapítási tényezőjű és időállandójú zárt köri karakterisztikát kapjuk, a hurokátviteli függvény frekvenciafüggvényének minél jobban hasonlítania kell egy integráló, elsőrendű időkésleltetéses (IT1) jelátviteli karakterisztikára. Emlékeztetőül egy IT1 jelátviteli karakterisztika Bode-diagramját láthatjuk a 94. ábrán. A vágási körfrekvencia: 𝜔𝑐 = 1⁄𝑇𝑖 , az amplitúdóviszony-görbe meredeksége 𝜔 = 1⁄𝑇1 körfrekvenciánál változik. Látható, hogy a vágási körfrekvencia környékén a görbe meredeksége –20dB/dekád, ehhez szükséges, hogy 1⁄𝑇𝑖 < 1⁄𝑇1 , vagyis 𝑇𝑖 > 𝑇1 feltétel teljesüljön. Bode Diagram 50

Magnitude (dB)

-20dB/decade 0

-40dB/decade -50

Phase (deg)

-100 -90

-135

-180 -2

10

-1

0

10

10

1/Ti

1

1/T1

10

Frequency (rad/s)

67. ábra IT1 frekvenciaátviteli karakterisztika

89

2

10

5.5.3.

A HUROKÁTVITELI FÜGGVÉNY TERVEZÉSE

Adott:  

A szakasz frekvenciafüggvénye P(j ). A szabályozással szemben támasztott követelmények.

L ÉPÉSEK 1. 2. 3.

4.

A zárt köri előírásokból meghatározzuk a hurokátviteli karakterisztika jellemzőit. Felrajzoljuk a szakasz frekvenciafüggvényét (Bode-diagram). A szakasz frekvenciafüggvényéhez hozzáadjuk a szükséges számú szabályozó, kompenzáló tag frekvenciafüggvényét. Cél: minél jobban megközelíteni a kívánt hurokátviteli függvényalakot. Szimulációval meghatározzuk a zárt kör időtartománybeli válaszát. Ha a minőségjellemzők nem megfelelőek, visszatérünk a 3. pontra, és más szabályozó-beállításokkal próbálkozunk.

3.5.5.1.

A STATIKUS TULAJDONSÁGOK JAVÍTÁSA

A statikus tulajdonságokat a kisfrekvenciás tartománybeli zárt köri frekvenciaátviteli karakterisztika határozza meg. Tudjuk, hogy minél nagyobb a körerősítés (azaz minél nagyobb a hurokátvitel amplitúdóviszonya), annál kisebb a maradó hiba. Az amplitúdóviszony-görbe kisfrekvenciákon megemelhető egy integrátorral: I- vagy PIszabályozóval a maradó hiba eltűntethető.

3.5.5.2.

A TRANZIENS TULAJDONSÁGOK JAVÍTÁSA

A tranziens tulajdonságokat a közepes frekvenciatartománybeli zárt köri frekvenciaátviteli karakterisztika határozza meg. A vágási körfrekvenciának, a csillapítási tényezőnek és az amplitúdóviszony-görbe meredekségének meg kell felelnie a szabályozással szemben támasztott követelményeknek. Ezen a frekvenciatartományon dől el az amplitúdó és fázistartalék. Cél: a vágási körfrekvencia környékén az amplitúdóviszony-görbe meredeksége legyen – 20dB/dekád.

90

3.5.5.3.

P ÉLDA

Legyen a szakasz harmadrendű rendszer: 𝑃(𝑠) = 1⁄(𝑠 + 1)3 . A szabályozással szemben támasztott követelmények: gyors szabályozás maximum 20% túllendüléssel. A hurokátviteli függvényt megpróbáljuk úgy alakítani, hogy egy IT1 jelátvitelt közelítsen az alacsony és közepes körfrekvencia régiókban. A szimulációs programban nemcsak a Bode-diagramot látjuk, hanem az ugrásszerű alapjelre adott zárt köri választ is, így a paraméterek beállításánál azt is figyelembe vehetjük, így az iterációk száma csökkenthető. A szabályozó paramétereit most a próbálgatásos módszernek megfelelő sorrendben változtatjuk. Később látunk majd példát arra is, hogy előbb csak egy integráló szabályozót illesztünk, és utána adjuk hozzá az arányos komponenst. Indítsuk el a megfelelő szimulációs programot és kövessük az alábbi lépéseket. Első lépés: a szabályozó erősítési tényezőjének a meghatározása (68. ábra)   

Állítsuk be a szakaszparamétereket (erősítés = 1, nevező = [1 3 3 1]). Állítsuk be a szabályozó paramétereket úgy, hogy a szabályozó Pszabályozóként viselkedjen: Ti=nagyon nagy érték; TD=0. Addig változtassuk a csúszkával a szabályozó erősítését, míg a fázistartalék kb. 60–70° és az erősítési tartalék nagyobb, mint 10dB. Láthatjuk, hogy az ugrásszerű alapjelváltozásra a szabályozott jellemző csillapodó lengésekkel és maradó hibával áll be az új egyensúlyi helyzetébe.

68. ábra Első lépés: a szabályozóerősítés beállítása (Színek: szakasz – piros; szabályozó – zöld; hurok – fekete)

91

Második lépés: az amplitúdóviszony-görbe megemelése kisfrekvenciákon, az integrálási időállandó beállításával (69. ábra):  

Maradjon TD = 0, és az erősítési tényezőt most már nem kell változtatnunk. Állítsuk be az integrálási időállandót úgy, hogy az erősítési tartalék még legyen kb. 6dB. Az időtartományban a szabályozott jellemző még a kívántnál nagyobb mértékű túllendülést mutat, de már nincs maradó hiba.

69. ábra Az integrálási időállandó változtatása

Harmadik lépés: a differenciálási időállandó beállítása (70. ábra): 

Változtassuk a differenciálási időállandót úgy, hogy a fázisgörbe nagyfrekvenciás tartományát megemeljük, és kb. 6dB amplitúdó és kb. 30° fázistartalék adódjon. Így az időtartományban a túllendülés mértéke már csak kb. 20%. (Ügyeljünk arra, amit a PID-szabályozó időállandóiról tanultunk: az integrálási időállandó mindig legyen nagyobb, mint a differenciálási időállandó!)

Láthatjuk, hogy ideális PID-szabályozóval a hurokátviteli függvény alakja megfelel egy integráló, időkésleltetéses jelátvitelnek.

92

70. ábra A differenciálási időállandó hatása



Végül állítsuk be a D-tag szűrőjének az időállandóját. Pl. legyen a differenciálási időállandó tizede, lásd 71. ábra. Láthatjuk, hogy a szűrő hatására a hurokátviteli függvény amplitúdóviszonygörbéje nagyfrekvenciákon „letörik”, a fáziskésést a D-hatás kiemeli, de a kiemelő hatás nagyfrekvenciákon már nem érvényesül.

71. ábra A differenciáló tag szűrő időállandója

Megjegyzés: a loop-shaping eljárás a rendszert lineárisnak tételezi fel, a beavatkozó telítését nem tudjuk figyelembe venni! Negyedik lépés: tesztelés szimulációval időtartományban, 72. ábra: 

Legyen a szabályozott szakasz 3 db sorba kapcsolt tárolótartályból álló rendszer, lásd 72. ábra. A szimulációban az első tartály belépő vezetékébe 93

épített szabályozó szelep a beavatkozó szerv, a telítését figyelembe vettük. A szabályozott jellemző az utolsó, harmadik tartályban lévő folyadék szintmagassága.

72. ábra Szimulációs program frontpanel képe

5.5.4.

FELADATOK

Hasonlítsuk össze a szabályozó tervezésekor kapott ugrásválasz minőségi jellemzőit a szimulációval kapott ugrásválasz jellemzőivel! A frekvencia módszer szimulációja Túllendülés Felfutási idő Maximum idő Szabályozási idő

Jel

Érték

, % Tr Tp Ts

3 db sorba kapcsolt tartály, szeleptelítés: igen Túllendülés Felfutási idő Maximum idő Szabályozási idő

Jel

Érték

, % Tr Tp Ts

Az alábbi ábra olyan szimuláció eredményét mutatja, amikor megengedjük, hogy a szelep korlátlan áteresztőképességű legyen. Határozzuk meg most is a jellemző paramétereket! 94

73. ábra PT3 szakasz szabályozása, a szelep „végtelen” áteresztőképességű

3 db sorba kapcsolt tartály, szeleptelítés: nem Túllendülés Felfutási idő Maximum idő Szabályozási idő

Jel

Érték

, % Tr Tp Ts

Magyarázzuk meg 74. ábra diagramjain látható eltérések okát! o o o

A legfelső diagram ugrásválasz szelepkorlátozás nélkül. A középső diagramban a szelep korlátozott, de a szabályozó nem veszi figyelembe, nincs „anti-windup”. Az alsó diagramban a szelep korlátozott, és a szabályozó figyelembe veszi a telítést, van „anti-windup”.

Melyik szimuláció felel meg leginkább a loop-shaping módszernél mutatott ugrásválasznak? Miért? Megjegyzés: Ez a példa is jól szemlélteti, milyen fontos a tervezés utolsó lépése, a tesztelés és az esetleges finomhangolás.

5.5.5.

FELADAT

Próbáljuk meg finomhangolással alakítani a szabályozót! Cél: gyorsabb válasz, max. 20% túllendülés.

95

5.5.6. 



  

FELADAT Próbáljuk ki az ugrásválaszon alapuló PID-szabályozó hangolási módszereket is. A szimuláció segítségével vegyük fel a PT3 szakasz átmeneti függvényét. Közelítsük FOPTD modellel. A közelítő modell paramétereit felhasználva, válasszunk egy nyílt hurkú tapasztalati módszert és határozzuk meg a PID-szabályozó javasolt beállítását. Hasonlítsuk össze a frekvenciamódszerrel kapott PID-paraméterekkel! Teszteljük a beállítást, határozzuk meg a szabályozás minőségi jellemzőit! Határozzuk meg az erősítési és a fázistartalékokat!

74. ábra Ugrásszerű alapjelváltoztatásra adott zárt köri válaszok

96

6. SZABÁLYOZÁS KISEGÍTŐ JELLEMZŐKKEL: AZ EGYHURKOS SZABÁLYOZÁS TELJESÍTMÉNYÉNEK JAVÍTÁSA Az egyhurkos szabályozási architektúra néhány kiegészítési lehetőségét tekintjük át ebben a fejezetben. A kiegészítések célja a zavaró hatások nagyobb mértékű csökkentése. Az egyhurkos szabályozás zavarcsillapítási gyengeségei: 

 

A szabályozó csak akkor avatkozik be a folyamatba, ha van hibajel, azaz, ha a szabályozott jellemzőn már megjelent a zavarás hatása. Nem lesz tökéletes a szabályozás, ha a szabályozott jellemző nem tér el az alapjeltől terhelés vagy alapjelváltozás során. A PID-szabályozó nem optimális szabályozó minden fajta szakaszra, különösen nem holtidős és/vagy nagy időállandójú rendszerekre. Az egyhurkos szabályozás nem képes az ismert vagy mérhető, különböző frekvenciájú zavarások prediktív kompenzálására.

Az egyhurkos struktúra kiterjesztésének két típusával ismerkedünk meg részletesebben: a kaszkádszabályozással és a zavarkompenzációs szabályozással (feedforward – feedback control). Ezek az összetett struktúrák a klasszikus szabályozástechnika témakörébe tartoznak, a legegyszerűbb többhurkos rendszerek. Mindkettő megvalósítása többlet eszközöket és mérnöki munkát igényel a jobb zavarcsillapítás érdekében.

97

6.1.

KASZKÁDSZABÁLYOZÁS

A kaszkádszabályozás olyan szabályozási rendszer, amely több szabályozó berendezést tartalmaz sorba kötve, minden egyes szabályozó az őt követő szabályozó viselkedését (alapjelét) szabályozza. A kaszkádszabályozás a szabályozás olyan speciális esete, amely egy újabb szabályozott jellemzőt von be a rendszerbe, ezzel javítva az egyhurkos kör dinamikus viselkedését. A mért folyamatjellemzők számát tehát megnöveljük, de a beavatkozó szervek számát nem. A kaszkádelrendezésben legtöbbször két szabályozót alkalmazunk, az első szabályozó végrehajtó jele lesz a második szabályozó alapjele, a második szabályozó végrehajtó jele kerül a beavatkozó szervre, tehát ez befolyásolja a módosított jellemzőt. Az első szabályozó a vezető szabályozó, a második a követő szabályozó. A kaszkádszabályozás koncepciójának megértéséhez tekintsük meg annak hatásvázlatát. A 75. ábra a kaszkádszabályozás klasszikus ábrázolása. A fő szabályozott jellemző: y2. Ha egyhurkos szabályozásunk lenne, ezt az egy folyamatjellemzőt mérnénk. Amennyiben biztonsági, gazdaságossági vagy egyéb okokból ez a folyamatjellemző nagy fontosságú, megéri megóvni bizonyos zavaró hatásoktól a komplexebb kaszkádszabályozással. Az egyhurkos szabályozáshoz választott módosított jellemző a kaszkádszabályozásnál is megmarad. Az irányított folyamatot többféle zavaró hatás is érheti, ezek egy része (d1) a folyamat elején már megzavarhatja a rendszert. Amennyiben a szabályozott rendszer lassú dinamikájú, ennek a zavarásnak a hatása csak sokkal később jelentkezik a szabályozott jellemzőben, így a szabályozó is csak késve reagálhat rá. Előfordulhat, hogy mire a hibajelben megjelenik d1 hatása, a zavarás már rég lecsengett, vagy akár ellentétes irányba váltott, így a szabályozó akciója inkább ront a szabályozáson. Ha szerencsénk van, találunk a folyamatban egy másik, olyan megmérhető figyelmeztető jellemzőt, y1, amely sokkal gyorsabban reagál a d1 zavarásra és megváltozásával már azelőtt jelzi a d1 zavarás jelentkezését, hogy az a szabályozott jellemzőt kibillentette volna. Kialakítunk egy belső, másodlagos szabályozási kört, egy egyszerű zárt szabályozás formájában, amelyben a szabályozó a követő szabályozó, a szabályozott jellemző a másodlagosan mért korai figyelmeztető jellemző; a módosított jellemző az eredeti módosított jellemző; és a szabályozott szakasz az eredeti folyamatnak egy alrendszere: P1. Ez a szabályozási kör beágyazódik egy külső szabályozási körbe. A követő szabályzó az alapjelét a vezető szabályozótól kapja. A külső kör szempontjából a belső kört felfoghatjuk akár úgy is, mint egy összetett végrehajtó/beavatkozó szervet, amelyen 98

keresztül a vezető szabályozó a folyamatra (pontosabban a második alrendszerére, P2) hat. Az irányított folyamat második komponense, P2 az y1 és y2 közötti jelátvitellel jellemezhető alrendszer. A külső kör szabályozója a vezető szabályozó. A külső körben szintén megvan a negatív visszacsatolás, tehát a kaszkádszabályozási struktúra két egymásba ágyazott szabályozási kört jelent.

Vezető kör

Szakasz

d1(t)

d2(t)

d1 zavarátviteli fgv.

d2 zavarátviteli fgv.

Követő kör

r2(t)+

e2(t) -

Vezető szabályozó C2(s)

r1(t) +

e1(t)

-

követő szabályozó C1(s)

u1(t)

Végreh./ beavatk.

u1(t)

Másodlagos folyamat P1(s)

y1(t)

"koraifigyelmez tető" változó érzékelő tr.

másodlagos ellenőrző jel

y2(t)

Elsődleges folyamat P2(s)

elsődleges szabályozott jellemző érzékelő tr.

Elsődleges ellenőrző jel

75. ábra A kaszkádszabályozás hatásvázlata, klasszikus elrendezés

A szabályozók egymásközti hierarchiájának megértéséhez rendezzük át egy kicsit az ábrát. A könnyebb áttekinthetőség érdekében a mérőérzékelők és a végrehajtó/beavatkozó szerv jelátvitelét beleértjük a folyamatok jelátvitelébe. A terepi szinten találjuk a technológiai folyamat két alrendszerét. A szabályozókat kiemeljük a folyamat szintjéről, a követő szabályozót a legalacsonyabb irányítási szintre, a vezető szabályozót eggyel magasabb szintre, az ún. felügyelői irányítás szintjére, lásd 76. ábra. (Az alapjelállító irányítást hívjuk felügyelői irányításnak.) Felügyelői szint Vezető szabályozó e2(t)

r2(t)+ -

C2(s)

Alacsony irányítási szint

u2(t)

Követő kör Követő szabályozó

r1(t)+ -

e1(t)

C1(s)

u1(t)

Folyamat szint

d1(t)

d2(t)

Szakasz I.

P1(s)

Szakasz II.

y1(t)

P2(s)

y2(t)

76. ábra Kaszkádszabályozási kör, a hatásvázlat elrendezése a hierarchikus kapcsolatot hangsúlyozza

Az érzékelőkön keresztül mindkét szabályozó közvetlen információs kapcsolatban van az irányított folyamattal, de közvetlenül beavatkozni a folyamatba csak a követő szabályozó tud. A vezető szabályozó csak áttételesen, a követő szabályozási körön keresztül képes befolyásolni a folyamatot.

99

6.1.1.

A KASZKÁDSZABÁLYOZÁS KONCEPCIÓJA



A szabályozott rendszert két alrendszerre bontjuk: 𝑃1 (az első viszonylag gyorsabb dinamikájú folyamat) és 𝑃2 (az ezt követő, lomhább, nagyobb időállandójú folyamat). A P1 első alrendszer kimenő jele, 𝑦1 lesz a második alrendszer bemenő jele. Mindkét alrendszer kimenő jelét megmérjük. 𝐶1 és 𝑃1 egy egyszerű egyhurkos szabályozási kört képez, ezt követő szabályozási körnek hívjuk (slave control loop). A 𝐶1 követő szabályozó alapjele a 𝐶2 vezető szabályozó végrehajtó jele. A követő szabályozási kört beágyazzuk a vezető szabályozási körbe. A vezető szabályozóhoz tartozó szabályozott rendszer két, sorba kapcsolt komponensből áll: a követő zárt körből és 𝑃2 -ből. A 𝐶1 követő szabályozót a gyors 𝑃1 folyamat dinamikájának megfelelően hangoljuk, cél d1 zavarás gyors kompenzálása. A 𝐶2 vezető szabályozót a lassú 𝑃1 folyamat dinamikájának megfelelően hangoljuk, cél: d2 zavarás kompenzálása és/vagy r2 alapjel követése.

  

 

6.1.2.

A KASZKÁD STRUKTÚRA KIALAKÍTHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEI



𝑃1 domináns időállandója legalább egyharmaddal legyen kisebb, mint 𝑃2 domináns időállandója. Legyen y1 is mérhető, nemcsak y2. Fontos feltétel, hogy nemcsak a fő szabályozott jellemzőt, hanem a figyelmeztető jellemzőt is befolyásolni tudjuk a módosított jellemzővel!

 

Amennyiben a kaszkádszabályozás egymásba ágyazott struktúráját szeretnénk szemléltetni, illetve kihangsúlyozni, hogy két mért (azaz kimenő) jellemzőnk van, a hatásvázlatot a 77. ábra szerint is felvázolhatjuk. d1(t) Vezető kör

d2(t)

Követő kör Szakasz

r2(t)+

e2(t) -

C2(s)

r1(t) +

e1(t)

C1(s)

u1(t)

y1(t)

P1(s)

P2(s)

-

y2(t) y1(t)

77. ábra Kaszkádszabályozás: két, egymásba ágyazott szabályozási kör. Ez a fajta ábrázolásmód hangsúlyozza az elsődleges (𝒚𝟐 ) és másodlagos (𝒚𝟏 ) szabályozott jellemzőt

100

A belső, követő szabályozási kör jelátviteli modellje: 𝑌1 (𝑠) =

𝐶1 𝑃1 1 𝑅1 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝐶1 𝑃1 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(135.)

Az 𝜔𝑐1 vágási körfrekvenciánál kisebb frekvenciákra igaz az, hogy: 𝐺𝑅1 =

𝐶1 𝑃1 ≈1, 1 + 𝐶1 𝑃1

(136.)

𝐺𝐷1 =

1 ≈0. 1 + 𝐶1 𝑃1

(137.)

Lassan változó 𝑟1 alapjel és kisfrekvenciás 𝑑1 zavarás esetén 𝜔𝑟1 , 𝜔𝑑1 < 𝜔𝑐1 𝑌1 (𝑠) ≈ 𝑅1 (𝑠) azaz a zárt kör 𝑑1 -től függetlenül azonnal követi az alapjelét, így a belső kör nem befolyásolja a külső, vezető kör átviteli karakterisztikáját: 𝑌2 (𝑠) ≈

𝐶2 𝑃2 1 𝑅 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝐶2 𝑃2 2 1 + 𝐶2 𝑃2 2

(138.)

Tehát a belső kör vágási körfrekvenciája alatti frekvenciatartományban a külső kör úgy méretezhető, mintha a belső kör nem is létezne! Vezessük le a pontos átviteli függvényeket a vezető kör be- és kimenő jelei között:

𝑌1 (𝑠) =

𝑌2 (𝑠) = 𝑃2 𝑌1 (𝑠) + 𝐷2 (𝑠)

(139.)

𝐶1 𝑃1 1 𝑅1 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(140.)

𝑅1 (𝑠) = 𝐶2 (𝑅2 (𝑠) − 𝑌2 (𝑠)) 𝑌1 (𝑠) =

𝑌2 (𝑠) (1 +

(142.)

𝐶1 𝑃1 1 𝐶 (𝑅 (𝑠) − 𝑌2 (𝑠)) + 𝐷 (𝑠)) + 𝐷2 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 2 2 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(143.)

𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 𝑃2 (𝑅 (𝑠) − 𝑌2 (𝑠)) + 𝐷 (𝑠) + 𝐷2 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 2 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(144.)

𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 𝑃2 )= 𝑅 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) + 𝐷2 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 1 + 𝐶1 𝑃1 2 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(145.)

𝑌2 (𝑠) = 𝑃2 (

𝑌2 (𝑠) =

𝐶1 𝑃1 1 𝐶 (𝑅 (𝑠) − 𝑌2 (𝑠)) + 𝐷 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 2 2 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(141.)

101

𝑌2 (𝑠) =

𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 𝑃2 𝑅2 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) 1 + 𝐶1 𝑃1 + 𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 1 + 𝐶1 𝑃1 + 𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 1 1 + 𝐶1 𝑃1 + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝐶1 𝑃1 + 𝐶1 𝐶2 𝑃1 𝑃2 2

(146.)

A kaszkádszabályozás előnyei: 

  

Azok a zavarások, amelyek a másodlagos szabályozott jellemzőre hatnak, kiküszöbölhetők a követő szabályozóval, mielőtt még a hatása megjelenhetne az elsődleges szabályozott jellemzőben. A viszonylag lassú szabályozási kört izolálja a viszonylag gyorsan változó zavarásoktól. Csökkenti a fáziskésést a vezető szabályozó szempontjából, felgyorsítva ezzel a szabályozást. A szabályozás gyorsításával csökken az elsődleges szabályozott jellemző érzékenysége a folyamatot érő zavarásokra. Izolálja a lassúbb szabályozási kört a végrehajtó-bevatkozó esetleges nemlinearitásaitól. (Nemlineáris szelepkarakterisztika stb.)

A kaszkádszabályozás hátránya:    

6.2.

A kaszkádszabályozás további mérőeszközt igényel. A kaszkádszabályozás további szabályozót igényel, amelyet hangolni is kell. A szabályozási stratégia összetettebb. A kaszkádszabályozás csak akkor jelent előnyt, ha a belső kör dinamikája gyorsabb, mint a külső köré. (Általában legalább háromszor gyorsabb legyen, különben nem éri meg a plusz ráfordítást, illetve ekkor a két kör közötti kölcsönhatások instabillá tehetik a szabályozást.)

A KASZKÁDSZABÁLYOZÁS HANGOLÁSA

A kaszkádszabályozás hangolását a belső kör hangolásával kezdjük. Mivel itt gyors szabályozás a követelmény, nagy erősítési tényezőjű szabályozót, gyakran sima Pvagy PDT1-, DT1- szabályozót használunk. A belső körben lévő maradó hiba a legtöbb esetben nem okoz problémát, mivel az alapjel úgyis gyorsan változik. (Célunk a vezető körben eltüntetni a maradó hibát.) Miután a követő kört behangoltuk, zárjuk a kört és beillesztjük a vezető körbe. Ezután a vezető szabályozót hangoljuk. A vezető szabályozó rendszerint PI- vagy PIDszabályozó, amely biztosítja a maradó hiba nélküli szabályozást ugrásszerű alapjelváltozásra.

102

További ajánlott önálló olvasmányok: 



6.3.

Olvassa el a kaszkádszabályozás esettanulmányokat az alábbi könyvből: Instrument Engineers' Handbook, Fourth Edition, Volume Two: Process Control and Optimization (ed.: B.G. Liptak); 2.6 Control Systems — Cascade Loops (Google e-book) Tanulmányozza át az alábbi cikket, ha érdeklik a kaszkádszabályozás további előnyös tulajdonságai: Verhaegen, S., When to use cascade control, Intech, 38–40 (Oct. 1991).

PÉLDA KASZKÁDSZABÁLYOZÁSRA

A kaszkádszabályozást egy tipikus esettanulmányon keresztül szemléltetjük. Először megvizsgáljuk, hogy milyen szabályozási jellemzők adódnak egyhurkos szabályozás esetén, majd összehasonlítjuk azt a kaszkádszabályozással. A szabályozott berendezésünk legyen egy vízmelegítő berendezés – kazán, mely a rajta átáramoltatott folyadékot felmelegíti. A szabályozott jellemző a kazánból kilépő víz hőmérséklete, ezt kívánjuk az előírt értéken tartani. A módosított jellemző a kazánba belépő fűtőgáz térfogatárama, a beavatkozó szerv a gázvezetékbe épített szabályozó szelep. A kazánon átfolyó víz mennyisége változó, a melegvíz-fogyasztástól függ. Ez a fogyasztásingadozás az egyik zavaró hatás: azonos fűtésteljesítmény mellett a fogyasztás csökkenése a kilépő víz felmelegedését okozza, míg a fogyasztás hirtelen megemelkedése lehűlést eredményez. Zavarást jelent még a rendszerben a fűtőgáz térfogatáramának (pl. nyomásváltozás miatti) ingadozása: azonos vízfogyasztás és fűtőgáz szelepnyitása mellett a csökkenő gázmennyiség kisebb fűtésteljesítményt jelent, ami előbb-utóbb meglátszik a kilépő vízhőmérsékleten is. Az egyhurkos szabályozás műszerezési folyamatábráját mutatja a 78. ábra. A hőmérséklet-érzékelő/távadó (TT) adja az ellenőrző jelet. A hőmérséklet-szabályozó (TC) adja ki a végrehajtó jelet a gázszelep felé. A rendszert érő zavarásokra addig nem reagál a szabályozó, míg azok a kilépő hőmérsékletben változást nem okoznak.

103

78. ábra Kazánból kilépő folyadék hőmérséklet-szabályozása, műszerezési folyamatábra

A LabVIEW szimulációs program frontpanel képét mutatja a 79. ábra. A szakaszparaméterek a szimuláció indítása előtt beállítandók. Automata és kézi üzemmód között választhatunk: kézi üzemmódban a gázszelepet a megfelelő csúszka segítségével változtathatjuk, automata üzemmódban a szabályozó működteti a szelepet. PI-szabályozót alkalmazunk, a szabályozó paramétereit (erősítést és integrálási időállandót) be kell állítani. Alkalmazzuk valamely már tanult hangolási módot. Kétféle zavarást szimulálhatunk: a belépő gázmennyiséget ugrásszerűn megváltoztathatjuk egy kapcsolóval és a folyadékelvételt módosíthatjuk egy csuszka segítségével. A folyamatváltozók alakulását mutatják a trendgörbék. A trendek mellett állíthatjuk be a kívánt kilépő hőmérséklet értékét. Ez a szimuláció szolgál referenciául a kaszkádszabályozáshoz.

79. ábra Egyhurkos hőmérséklet-szabályozás szimuláció frontpanel képe

Vizsgáljuk meg a gáz nyomásingadozásából eredő zavarást. Ha például csökken a fűtőgáz nyomása, csökken a fűtésteljesítmény és ez a fűtés–kilépő hőmérséklet 104

közötti dinamika időállandójának megfelelően a kilépő hőmérsékletet is előbb-utóbb lecsökkenti. Problémát okozhat, ha ezalatt a gáz nyomása helyreállt. A szabályozó érzékeli a hibajelet és kinyitja a szabályozó szelepet, hogy megnövelje a fűtésteljesítményt. Viszont, mivel már a gáznyomás helyreállt, a szabályozó akciójára túlmelegedhet a folyadék, a szabályozásban nem kívánt lengések léphetnek fel. Általánosságban elmondható, hogy problémát jelent, ha a szabályozott jellemzőnek (gyakran valamilyen intenzív állapotjellemző), a módosított jellemzőre vonatkoztatott dinamikája nagyobb tehetetlenségű, nagyobb időállandójú, és a rendszert érő zavarások gyorsan változhatnak, gyors dinamikájúak (extenzív jellemzők). Egyetlen szabályozót ilyenkor nehéz behangolni, a két eltérő dinamika miatt nemkívánatos lengések léphetnek fel. A gáz nyomásingadozásának a kilépő hőmérsékletre gyakorolt zavaró hatását két kaszkád elrendezésű szabályozóval a jelentősen csillapíthatjuk, a műszerezési folyamatábrát lásd: 80. ábra. Lesz egy külön, saját szabályozó a gyors dinamikájú rendszernek: elhelyezünk egy érzékelőt a fűtőgáz vezetékében, amely a térfogatárammal arányos jelet szolgáltat a belső, követő szabályozónak (FC). Ennek a követő szabályozónak a végrehajtó jele állítja a gázszelepet. Az ellenőrző jel tehát a gáz térfogatárama, az alapjel a kívánt térfogatáram, melynek értékét egy mások szabályozó, a TC vezető szabályozó szolgáltatja. A belső szabályozási kör azonnal reagál a gáz nyomásingadozására és korrigálja a szelephelyzetet. Megfelelően gyors belső szabályozás esetén a kilépő folyadék hőmérsékletére már sokkal gyengébb hatása lesz a nyomásingadozás okozta zavarásnak.

80. ábra Kazánból kilépő víz hőmérsékletének kaszkádszabályozása

105

A kaszkádszabályozás frontpanel képe látható az alábbi ábrán. A szimulációban mind a vezető, mind a követő szabályozó PI-szabályozó.

81. ábra Kaszkádszabályozás frontpanel képe

A kaszkádszabályozás hatásvázlatát mutatja a 82. ábra. Az ábrán feltüntettük a szabályozási körök folyamatváltozóit, jellemzőit. Két db mért jellemzőnk van: a kilépő hőmérséklet és a fűtőgáz térfogatárama. A módosított jellemző a gáz térfogatárama és így a fűtési teljesítmény. Azok a zavarások, amelyek a fűtőgáz térfogatáram-ingadozását okozhatják, különösen a nyomásingadozásból eredő zavarás, a követő kör részei. Egyéb zavaró tényezők, amelyek befolyásolhatják a kilépő víz hőmérsékletét, nincsenek a belső körben: a vezető körben adódnak a szabályozott jellemzőhöz. Set Point Control Level Master controller e2(t)

r2(t)+ water reference temperature

C2(s)

Low Control Level

u2(t) gas flow-rate reference

Slave loop Slave controller

r1(t) +

e1(t)

C1(s)

valve position u1(t)

-

gas pressure fluctuation

Process Level

hot water consumption

d1(t)

d2(t)

Process Part I. fuel-gas flow rate

Process Part II.

y1(t)

P1(s)

P2(s)

fuel-gas flow rate

82. ábra Kazánból kilépő vízhőmérséklet-szabályozásának hatásvázlata a folyamatváltozók feltüntetésével

106

water temperature y2(t)

A követő kör segít abban, hogy lecsökkentsük a módosított jellemzőben fellépő zavarásokat. Ehhez természetesen a megvalósításnál biztosítani kell a megfelelően gyors működésű szabályozó szelepet is.

6.4.

FELADAT: KASZKÁDSZABÁLYOZÁS HANGOLÁSA ÉS A TELJESÍTMÉNYJELLEMZŐK ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Mint nyerünk és vesztünk a kaszkádszabályozással?

Kaszkád egyforma Kaszkád jobb rosszabb Mint az egyhurkos szabályozás?

A fűtőközeg belépő nyomásingadozásának csillapítása A belépő víz hőmérsékletének ingadozásából eredő zavarás csillapítása A vízfogyasztás ingadozásából eredő zavarás csillapítása A TC szabályozó alapjelmódosítás követése

A kaszkádszabályozás segíthet stabilabbá is tenni a teljes rendszert. Az alábbiakban erre látunk egy számpéldát.

6.5.

PÉLDA

Tételezzük fel a 77. ábra szerinti kaszkádszabályozást, PI- vezető és P- követő szabályozóval. Az egyszerűség kedvéért a szakasz alrendszerei legyenek elsőrendű (egytárolós) jelátviteli tulajdonságúak: 𝑃1 =

𝑘1 1 = 𝑇𝑝1 𝑠 + 1 𝑠 + 1

(147.)

𝑃2 =

𝑘2 0.5 = 𝑇𝑝2 𝑠 + 1 2𝑠 + 1

(148.)

𝑃1 𝑃2 =

1 0.5 0.5 = 2 . 𝑠 + 1 2𝑠 + 1 2𝑠 + 3𝑠 + 1

Mennyi legyen a C1 követő P-szabályozó erősítési tényezője?

107

(149.)

A követő kör eredő viselkedése: 𝑌1 (𝑠) =

𝐶1 𝑃1 1 𝑅1 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝐶1 𝑃1 1 + 𝐶1 𝑃1 1

(150.)

Helyettesítsünk be 𝐶1 = 𝑘𝑐1 a fenti egyenletbe: 𝑌1 (𝑠) =

𝑘𝑐1 𝑃1 1 𝑅1 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝑘𝑐1 𝑃1 1 + 𝑘𝑐1 𝑃1 1

(151.)

Helyettesítsük be P1-et: 1 𝑇1∗ 𝑠 + 𝑘∗ 1 + 𝑘𝑐1 𝑘1 𝑌1 (𝑠) = ∗ 𝑅 (𝑠) + 𝐷1 (𝑠) , 𝑇1 𝑠 + 1 1 𝑇1∗ 𝑠 + 1

(152.)

ahol: 𝑇1∗ =

𝑇𝑝1 , 1 + 𝑘𝑐1 𝑘1

(153.)

𝑘∗ =

𝑘𝑐1 𝑘1 . 1 + 𝑘𝑐1 𝑘1

(154.)

Alapjelkövetésre tehát elsőrendű karakterisztika adódik, az effektív időállandó, 𝑇1∗ kisebb értékű, mint a szakasz eredeti időállandója, ami gyorsabb alapjelkövetést jelent. Határozzuk meg, 𝑘𝑐1 értékét, ha azt szeretnénk, hogy 𝑇1∗ a 10-ed része legyen az eredeti 𝑇𝑝1 időállandónak! Ismert: 𝑇𝑝1 = 1, 𝑘1 = 1 ; és legyen 𝑇1∗ = 0,1. Helyettesítsünk be a (153.) egyenletbe: 0,1 =

1 . 1 + 𝑘𝑐1

Amiből az következik, hogy: 𝑘𝑐1 = 9 . Az alapjelátvitel erősítési tényezője: 𝑘∗ =

𝑘𝑐1 𝑘1 9 = = 0,9 . 1 + 𝑘𝑐1 𝑘1 1 + 9

108

(155.)

Ez azt jelenti, hogy a követő körben 10% a maradó hiba a vezető szabályozó által kezdeményezett, ugrásszerű alapjelváltozásra. A követő kör, mint egyhurkos szabályozási kör, szimulációját látjuk az alábbi ábrán, ugrásszerű alapjelváltozásra, a fent meghatározott paraméterekkel. Vegyük észre a maradó hibát a jobb oldali válaszfüggvényen. A szabályozás gyors, a szabályozási idő <1s.

83. ábra Frontpanel-részlet: a követő kör

6.5.1.

FELADAT

Az alábbi ábrán a követő kör komponenseinek (szakasz, szabályozó) és a hurokátviteli függvénynek a Bode-diagramját láthatjuk. Melyik görbe melyik komponensnek felel meg? Értelmezzük a hurokátviteli függvényt!

109

84. ábra A követő kör Bode-diagramja

A számítási példa folytatása: A 10%-os maradó hiba sok esetben elfogadható a belső, követő körben. Amennyiben a külső körben van integráló komponens, a vezető szabályozó képes gondoskodni arról, hogy ne legyen maradó hiba a fő szabályozott jellemzőnkben. A következő lépésben a teljes követő kört beágyazzuk a külső, vezető szabályozási körbe. Az összevont hatásvázlatot mutatja a 85. ábra. GR1 jelképezi a követő kör eredő alapjelátviteli függvényét. d2(t)

r2(t)+

e2(t) -

C2(s)

r1(t)

GR1(s)

y1(t)

P2(s)

85. ábra Kaszkádszabályozás vezető kör hatásvázlat, a követő kör az alapjelátviteli függvényével beágyazva

110

y2(t)

Legyen: 𝐷1 (𝑠) = 0 , 𝐺𝑅1 (𝑠) =

𝑘∗ . 𝑇1∗ 𝑠 + 1

(156.) (157.)

Ekkor a vezető kör eredő jelátvitele: 𝑌2 (𝑠) =

𝐶2 𝐺𝑅1 𝑃2 1 𝑅 (𝑠) + 𝐷 (𝑠) . 1 + 𝐶2 𝐺𝑅1 𝑃2 2 1 + 𝐶2 𝐺𝑅1 𝑃2 2

(158.)

Az átviteli függvényeket behelyettesítve és számszerűsítve, a vezető kör szakaszátviteli függvénye a szabályozó szempontjából: 𝑘∗ 𝑘2 ∗ 𝑇1 𝑠 + 1 𝑇𝑝2 𝑠 + 1

(159.)

0,9 0,5 0,45 0,45 = = 2 0,1𝑠 + 1 2𝑠 + 1 0,2𝑠 + 2𝑠 + 0,1𝑠 + 1 1 + 2,1𝑠 + 0,2𝑠 2

(160.)

𝐺𝑅1 𝑃2 =

𝐺𝑅1 𝑃2 =

A következő feladat a C2 vezető PI-szabályozó paramétereinek a meghatározása. A PI-szabályozó most legyen az átviteli tényezős alaknak megfelelően paraméterezhető (2. ábra). Ez azt jelenti, hogy lehetőség van először csak egy Iszabályozó illesztésére, majd ezt követően állítjuk be a szabályozó arányos komponensét (legyen Kp = 0.) Feladat: A Bode-diagram segítségével válasszunk integrálási arányossági tényezőt! Az alábbi ábra a kaszkád kör alapjelkövetését mutatja, a vezető szabályozó Iszabályozóra állítva, Ki = 2 azaz Ti = 0,5s. Az ugrásválasz függvényt kinagyítottuk és kiértékeltük, lásd 87. ábra.

111

86. ábra Kaszkádszabályozás szimuláció frontpanel képe, vezető kör alapjelkövetése

CV_2 (y2) 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0

0

10

20 30 Time

40

50

87. ábra Szabályozási idő : Ts=12s; több, mint 20%-os túllendülés; nincs maradó hiba

Az integrálási időállandó megfelelő tartalékokat biztosít, lásd 88. ábra.

112

Bode Magnitude 75

Gv1*P2

50

C2

25

G02

0 -25 -50 -75 -100 -125 -150 -175 Bode Phase -200 0 -225 -250 -50 1m

Gv1*P2 C2

10m

100m

1

10

100

1k

10k

10

100

1k

10k

Frequency

-100

G02

-150 -200 -250 -300 -360 1m

10m

100m

1 Frequency

88. ábra Vezető kör I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram a tartalékok kiemelve

6.5.2. 1. 2. 3.

FELADAT Határozza meg azt az integrálási időállandót, amely 6dB erősítési tartalékot biztosít! Határozza meg a hozzá tartozó fázistartalékot! Határozza meg a szabályozási időt és a túllendülést ezzel az integrálási időállandóval, a szimulációs program segítségével!

A vezető körben tehát nincs maradó hiba. A következő lépésben megpróbáljuk gyorsítani a szabályozást a szabályozó arányossági átviteli tényezőjének a beállításával. A bemutatott példán KP = 1,4 erősítést alkalmaztunk, lásd 89. ábra. Az integrálási arányossági tényezőt is megváltoztattuk, hogy az integrálási időállandó ne változzon: Ki = 1,4/0,5 = 2,8. Látható, hogy az arányos komponens hozzáadásával a szabályozás felgyorsult, a túllendülés mértéke elfogadható (90. ábra).

113

89. ábra Kaszkádszabályozás példa, PI-vezető szabályozó

CV_2 (y2) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20 30 Time

40

50

90. ábra Szabályozási idő: Ts = 6s; kevesebb, mint 20%-os túllendülés; nincs maradó hiba

6.5.3.

FELADAT

Elemezze a vezető kör hurokátviteli karakterisztikáját a 91. ábra alapján!

114

Bode Magnitude 80

Gv1*P2

60

C2

40

G02

20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 1m

10m

100m

1

10

100

1k

10k

Frequency

Bode Phase 0

Gv1*P2 C2

-50

G02

-100 -150 -200 -250 -300 -360 1m

10m

100m

1

10

100

1k

10k

Frequency

91. ábra Kaszkádszabályozás vezető kör hurokátvitel Bode-diagram

Az alapjelkövetés után vizsgáljuk meg a kaszkádszabályozás zavarkompenzáló hatását. Legyen az alapjel változatlan, és egységugrás-változást generáljunk először csak a d1 zavarásnál, másodszor csak a d2 zavarásnál. Az ugrásválaszokat a 92. ábra mutatja. CV_2 (y2)

CV_2 (y2)

0.04

1

0.03

0.75 0.5

0.02

0.25

0.01

0

0 -0.01

-0.25 0

10

20 30 Time

40

-0.5

50

0

10

20 30 Time

40

50

92. ábra Kaszkádszabályozás szabályozott jellemző ugrásválasza 𝒅𝟏 (balra) és 𝒅𝟐 (jobbra) zavarásokra

Összehasonlításként megvizsgáljuk a zavarások hatását úgy is, hogy a belső kört felnyitjuk, tehát egy egyhurkos szabályozást feltételezve. A két, sorba kapcsolt szabályozó felfogható egy összetett szabályozóként (𝐶 = 𝐶1 𝐶2), a szakasz pedig a két 115

részszakasz szorzata (𝑃 = 𝑃1 𝑃2 ). A szabályozó beállításán módosítanunk kellett, hogy csillapodó lengéseket kapjunk.

93. ábra 𝒅𝟏 zavarkompenzálás, felnyitott belső kör CV_2 (y2) 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2

0

10

20 30 Time

40

50

94. ábra Felnyitott belső kör, 𝒅𝟏 zavarás hatása a szabályozott jellemzőre

6.5.4.

FELADAT

Hasonlítsuk össze 𝑑1 zavarás csillapítását a 92. ábra (fent) és 94. ábra alapján!

6.5.5.

FELADAT

A DC-motor szabályozása az egyik tipikus alkalmazási területe a kaszkádszabályozásnak. Keressen rá példát a szakirodalomban, rajzolja fel a műszerezési folyamatábrát és a hatásvázlatot. Határozza meg az időállandókat és tesztelje a szabályozást a szimulációs programmal.

116

6.6.

ZAVARKOMPENZÁCIÓS SZABÁLYOZÁS

A zavarkompenzációs szabályozás (feedforward-feedback control) a legjelentősebb zavaró jel mérésével és a szabályozási körbe való bevezetésével igyekszik csillapítani a szabályozott jellemzőre gyakorolt zavaró hatást. A zavarkompenzációban tehát ismét két mért változónk van, de a szabályozó beavatkozása csak a szabályozott jellemzőre van visszahatással, a zavarásra természetesen nem. A kazánszabályozási példánkra visszatérve: a vízfogyasztás ingadozása jelentős zavaró tényező. Az elvétel zavaró hatásának csillapítására nem lehet kaszkád kört kialakítani, hiszen az elvétel a folyamattól független zavarás (input), nem pedig a zavarás hatására megváltozott belső folyamatváltozó: nincs rá hatással a módosított jellemző változása. De mivel tudjuk, hogy az elvételváltozás hogyan hat a kilépő folyadék hőmérsékletére, kialakíthatunk egy olyan szabályozási struktúrát, amelyben megmérjük az elvételt, és ha az elvétel megváltozik, pl. nő, akkor a fűtésteljesítményt megnövelhetjük úgy, hogy azonnal nyitunk a fűtőgázszelepen. Csökkenő fogyasztásra pedig csökkentjük a fűtést, így nem kell megvárni, míg az elvételváltozás hatása megjelenik a kilépő hőmérsékletben és ez a szabályozót beavatkozásra készteti. Az ún. zavarkompenzáció azt jelenti, hogy a szabályozót kikerülve, egy vezérlési vonalon keresztül azonnal beavatkozunk a módosított jellemzőbe, lásd 97. ábra. A szabályozó feladata, hogy amennyiben a zavarkompenzáció nem tökéletes és fellép – ha nem is olyan jelentős mértékű – szabályozott jellemző változás, hibajel, azt korrigálja. d(t)

PLANT

Cd(s) r(t) +

-

e(t)

C(s)

Gdy(s)

- u(t) +

P(s)

y(t)

95. ábra Zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlata (feedforward-feedback control)

A zavarkompenzáció feltétele, hogy ismerjük a szabályozott szakasz modelljét és meg tudjuk határozni azt a jelformáló karakterisztikát, amellyel korrigálhatjuk a módosított jellemzőt, mielőtt a zavarás kifejthetné hatását a szabályozott jellemzőnkre. Ideális esetben az alábbi levezetéssel meghatározható a 𝐶𝑑

117

kompenzátor átviteli függvénye. A zavarkompenzációs kör eredő jelátviteli karakterisztikája: 𝑌(𝑠) = 𝑃𝑈(𝑠) + 𝐺𝑑𝑦 𝐷(𝑠)

(161.)

𝑈(𝑠) = 𝐶(𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠)) − 𝐶𝑑 𝐷(𝑠)

(162.)

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑃(𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠)) + (𝐺𝑑𝑦 − 𝑃𝐶𝑑 )𝐷(𝑠)

(163.)

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑃(𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠)) + (𝐺𝑑𝑦 − 𝑃𝐶𝑑 )𝐷(𝑠)

(164.)

𝑌(𝑠) =

(𝐺𝑑𝑦 − 𝑃𝐶𝑑 ) 𝐶𝑃 𝑅(𝑠) + 𝐷(𝑠) . 1 + 𝐶𝑃 1 + 𝐶𝑃

(165.)

Ahhoz, hogy tökéletes zavarkompenzálást tudjunk elérni, a vezérlési vonalban (előrecsatolt ág) levő jelformáló tag átviteli függvényének az alábbi jelátviteli függvényt kellene megvalósítania: 𝐶𝑑 =

𝐺𝑑𝑦 . 𝑃

(166.)

Ebben az esetben a zavarátviteli függvény számlálója nulla lenne. Láthatjuk, hogy ehhez az előrecsatolásban a folyamatmodell inverzét kellene megvalósítani, de ez csak speciális esetekben oldható meg. Holtidőt például nem tudunk invertálni. Nézzük meg továbbá a számlálók, nevezők fokszámát. Legyen: 𝑁𝑢𝑚𝑃 (𝑠) 𝐷𝑒𝑛𝑃 (𝑠)

(167.)

𝑁𝑢𝑚𝑑𝑦 (𝑠) 𝐷𝑒𝑛𝑑𝑦 (𝑠)

(168.)

𝐺𝑑𝑦 𝑁𝑢𝑚𝑑𝑦 (𝑠)𝐷𝑒𝑛𝑃 (𝑠) = . 𝑃 𝐷𝑒𝑛𝑑𝑦 (𝑠)𝑁𝑢𝑚𝑃 (𝑠)

(169.)

𝑃=

𝐺𝑑𝑦 = Ekkor a zavarkompenzáló tag: 𝐶𝑑 =

A megvalósíthatóság feltétele, hogy a nevező fokszáma nagyobb vagy egyenlő legyen a számláló fokszámánál: 𝐷𝑒𝑔(𝐷𝑒𝑛𝑑𝑦 (𝑠)) + 𝐷𝑒𝑔(𝑁𝑢𝑚𝑃 (𝑠)) ≥ 𝐷𝑒𝑔(𝑁𝑢𝑚𝑑𝑦 (𝑠)) + 𝐷𝑒𝑔(𝐷𝑒𝑛𝑃 (𝑠))

118

(170.)

𝐷𝑒𝑔(𝐷𝑒𝑛𝑑𝑦 (𝑠)) − 𝐷𝑒𝑔(𝑁𝑢𝑚𝑑𝑦 (𝑠)) ≥ 𝐷𝑒𝑔(𝐷𝑒𝑛𝑃 (𝑠)) − 𝐷𝑒𝑔(𝑁𝑢𝑚𝑃 (𝑠)).

(171.)

A zavarátvitel pólustöbblete nem lehet kevesebb, mint a folyamat pólustöbblete. Amennyiben ez a feltétel nem teljesíthető, az ún. statikus zavarkompenzálást alkalmazhatjuk, azaz az alábbi feltételt teljesítjük: 𝐶𝑑 (0) =

𝐺𝑑𝑦 (0) . 𝑃(0)

(172.)

Ekkor ugrásszerű zavarásváltozásra a statikus hiba nulla lesz akkor is, ha a szabályozó nem tartalmaz integráló tagot. Példa: a kazán kilépő vízhőmérséklet-szabályozása. A műszerezési folyamatábra a 96. ábra szerinti. Most az elvétel-ingadozások okozta zavarásra fókuszálunk. A fogyasztás mérhető folyamatváltozó (FT), és a fogyasztás változásával arányos jellel módosítjuk a szabályozó végrehajtó jelét. Tehát a zavarkompenzáció vezérlési vonala a szabályozót kikerülve avatkozik be a szabályozásba.

96. ábra Kazánból kilépő víz hőmérsékletének zavarkompenzációs szabályozása

hot water d(t) consumption Feed-forward controller

PLANT

Cd(s) water reference temperature r(t) +

-

Gdy(s)

Feedback controller

e(t)

C(s)

+

u(t) fuel-gas flow rate

P(s)

97. ábra Zavarkompenzáció hatásvázlata

119

y(t) water temperature

A zavarkompenzálás szimulációs program segítségével időtartományban tanulmányozhatjuk a zavaró jel becsatolásának hatását a szabályozásra. Az előrecsatoló tag jelátviteli karakterisztikája a példában DT1 jelátviteli tagnak megfelelő, azaz egy fázissiettető hatású kompenzátort állítottunk be. Amikor a zavarás ugrásszerűen változik, a DT1 tag egy hirtelen ugrás utáni lecsengő tranzienssel válaszol. A szabályozónak a tranziens alatt van ideje alkalmazkodni a megváltozott fogyasztáshoz. Ha nem változik az elvétel, a vezérlési vonal nem avatkozik be a szabályozásba. Ez azt jelenti, hogy pl. az alapjelváltozás vagy egyéb zavarások, pl. a fűtőgáz térfogatáram-ingadozása nem aktiválja a zavarkompenzációs vonalat.

Consumption

Set point

Temperature

98. ábra Kazánból kilépő víz hőmérsékletének zavarkompenzációs szabályozása, frontpanel

6.7.

A ZAVARKOMPENZÁLÁSOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Az alábbi ábrákon három szabályozás: egyhurkos, zavarkompenzációs és kaszkádszabályozás ugrásszerű elvételváltozásra adott kilépő hőmérsékletváltozását láthatjuk. Az elvételváltozás 20% (50%-ról 70%-ra).

120

6.7.1.

FELADAT

Értékeljük a szabályozásokat: nemcsak a hőmérséklet-tranziensek közötti különbségeket nézzük meg, hanem a végrehajtó jel/beavatkozó jel alakulását is! 100.0 90.0 80.0 70.0

consumption (%)

70.00

temperature (°C)

49.96

gas flow rate (%)

34.94

u(t) (%)

34.96

r(t) (°C)

50.00

60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 490

525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 Time

990

99. ábra Zavarkompenzálás nélküli PI-szabályozás, 20% fogyasztásnövelés hatása 100.0 90.0 80.0

consumption (%)

70.00

temperature (°C)

49.99

gas flow rate (%)

34.98

u(t) (%)

34.98

r(t) (°C)

50.00

70.0 60.0 50.0 40.0

DT1 action

30.0 20.0 10.0 0.0 700

750

800

850

900

950 Time

1000

1050

1100

1150

1200

100. ábra Zavarkompenzálással kiegészített PI-szabályozás, 20% fogyasztásnövelés hatása

121

100.0

consumption (%)

70.00

90.0

temperature (°C)

50.02

80.0

r(t) (%)

50.00

70.0

u(t) (%)

19.33

60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 Time

40.0

SP gas flow rate (%)

19.33

30.0

gas flow rate mesured(%)

34.95

20.0

u(t) (%)

34.96

10.0 0.0 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 Time

101. ábra Kaszkádszabályozás példa, 20% elvételnövelés hatása

6.7.2. 1. 2. 3.

KÉRDÉSEK Hogyan módosul az alapjelkövetés a zavarkompenzációs szabályozásban? Melyik szabályozás ad jobb (d1) zavarcsillapítást: a kaszkád vagy a zavarkompenzáció? Melyik szabályozás ad jobb (d2) zavarcsillapítást: a kaszkád vagy a zavarkompenzáció?

122

IRODALOMJEGYZÉK [1] Åström K. J., & Murray R.M., Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. [2] Åström, K.J., Hägglund, T., PID Controllers: Theory, Design and Tuning. Instrument Society of America, 2 edition, 1995. [3] Chau, P. C., Process Control, A First Course with MATLAB, Cambridge University Press, 2002 [4] Dorf R. C., Bishop, D. R. H., Modern Control Systems, Prentice Hall, 2010. [5] Haugen, F., Comparing PI Tuning Methods in a Real Benchmark Temperature Control System, Modeling, Identification and Control, Vol. 31, No. 3, 2010, pp. 79–91. [6] Jancskárné A. I. Számítógépvezérelt Irányítások, elektronikus jegyzet, 2004. [7] Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász, Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, 2006. [8] Liptak, B.G. (ed.). Instrument Engineers' Handbook, 4st ed., Vol.2: Process Control and Optimization, 2014. [9] Lunze, J. Regelungstechnik 1, Springer, 2010. [10] Nise, N. S., CONTROL SYSTEMS ENGINEERING, WILEY, 2011. [11] Petz E., Bevezető irányítástechnikai alapismeretek, Kézirat, 1996. [12] Process Control Fundamentals, http://www.pacontrol.com/process-controlfundamentals.html, 2006. [13] Rivera D. E., Internal Model Control: A Comprehensive View, 1999. [14] Rivera, D. E., Morari, M., Skogestad S., Internal Model Control 4. PID Controller Design, Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. 25, 252, 1986. [15] Szakonyi L., Jancskárné A.I., Szabályozások. PTE PMMFK MIT, Pécs, 2002. [16] Szilágyi B., Juhász F, Szabályozástechnika, Magyar elektronika cikksorozat, 2009. [17] Verhaegen, S., When to use cascade control, Intech, 38–40. (Oct. 1991).

123