Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky
Použité zdroje: Blahovec, A.: Elektrotechnika II, Informatorium spol.s r.o., Praha 2005 Wojnar, J.: Základy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o., Brno 2009 Vošický, Z.: Matematika v kostce pro střední školy, Fragment, Havlíčkův Brod 1996 http://www.matweb.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz http://matematika-online-a.kvalitne.cz http://www.ucebnice.krynicky.cz Zpracoval: Ing. Bc. Miloslav Otýpka
Řešení obvodů se střídavým proudem 1. Jakými způsoby řešíme elektrické obvody se střídavým proudem?
1. Metoda algebraická - pomocí Kirchhoffových zákonů pro okamžité hodnoty1 proudů a napětí → pracné a složité. 2. Metoda fázorových diagramů - pomocí Pythagorovy věty → málo přehledné a nepřesné. 3. Metoda symbolicko - komplexní - pomocí komplexních čísel pro střídavé veličiny sinusového průběhu a lineární prvky → podstatně jednodušší.
2. Jaký matematický aparát používá symbolicko - komplexní metoda? Symbolicko - komplexní metoda převádí počítání s harmonickými veličinami (goniometrickými funkcemi) na počítání s komplexními čísly. Používáme ji při řešení složitějších obvodů. Elektrické veličiny vyjadřujeme komplexními čísly. Fázory napětí a proudu považujeme za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině. Rovněž vztahy mezi jednotlivými fázory v obvodu vyjadřujeme pomocí komplexních veličin. Řešení elektrických obvodů pomocí fázorů spočívá v tom, že fázory nahradíme komplexními čísly: absolutní hodnota komplexního čísla = velikost fázoru argument komplexního čísla = úhel fázoru od kladné osy reálných čísel
3. Jak zobrazujeme komplexní čísla? Množinu reálných čísel (R) můžeme zobrazit na přímce. Reálná čísla tedy zobrazujeme jako body na číselné ose od - ∞ do + ∞. Pro zobrazení množiny komplexních čísel potřebujeme rovinu (C). Komplexní čísla (z latinského complexus = složený) vznikají rozšířením oboru reálných čísel. Komplexní čísla jsou tedy nadstavbou čísel reálných. V oboru reálných čísel je definováno sčítání, odčítání, násobení a dělení libovolných čísel (kromě dělení nulou). Pro reálná čísla je definována n - tá mocnina (n ∈ N ) . Avšak n - tá odmocnina (n ∈ N ) , je definována pouze z nezáporného čísla. Proto v oboru reálných čísel jsou řešitelné kvadratické rovnice jen s nezáporným diskriminantem.
Kvadratická rovnice x2 + 1 = 0 nemá v R řešení (nemá řešení v oboru reálných čísel). Proto byl obor reálných čísel rozšířen na obor čísel komplexních. Diskriminant :
D = b2 - 4ac = - 4 1
Pokud bychom chtěli počítat s hodnotami efektivními nebo maximálními (jsou fázově posunuté) museli bychom je sčítat geometricky.
D < 0 (odmocninu se záporného čísla nenalezneme)
4. Jak by to bylo v oboru komplexních čísel? Tam platí i2 (j2) = - 1 a proto: − 4 = 2i x1 , x 2 =
− b ± D 0 ± 2i = = ±i 2a 2
Výsledek tedy je ryze imaginární číslo (reálná část = 0).
5. Co to je komplexní číslo? Jaká je definice komplexního čísla? Komplexní číslo A je uspořádaná dvojice reálných čísel a a b. Zapisujeme A = [a; b]. Číslu a (a ∈ R ) říkáme reálná část komplexního čísla A. Číslu b (b ∈ R ) říkáme imaginární část komplexního čísla A. Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo. Ryze imaginární číslo [0,1] se nazývá imaginární jednotka a v elektrotechnice se označuje symbolem j.2 V matematice se imaginární jednotka značí symbolem i. Komplexní čísla jsou obor abstraktní, ve kterém je definována odmocnina z každého čísla (můžeme odmocnit i záporné číslo). Komplexní čísla nelze: uspořádat podle velikosti rozlišit na kladná a záporná
6. Kde patří číslo 0? Číslo nula řadíme mezi reálná i ryze imaginární čísla.
7. Kdy je komplexní číslo rovno nule? Komplexní číslo je rovno nule, když obě jeho části (a,b) jsou rovny nule.
8. Kdy jsou si dvě komplexní čísla rovna? Dvě komplexní čísla ve tvaru uspořádaných dvojic jsou si rovna, právě když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části.
9. Co to je modul a argument komplexního čísla? 2
V elektrotechnice by mohlo dojít k záměně imaginární jednotky i a okamžité hodnoty střídavého proudu i.
Kladné číslo A = A = a 2 + b 2 udává délku úsečky 0A. Je to absolutní hodnota vektoru A (fázoru A) a nazývá se modul. Úhel φ, který svírá úsečka 0A s reálnou osou Re se nazývá argument komplexního čísla A a představuje fázový posun. Úhel φ lze vypočítat z pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí: b sin ϕ = A a cos ϕ = A b tgϕ = a Velikost úhlu φ určíme pomocí kalkulačky stiskem tlačítka sin-1 (arcsin), cos-1 (arccos) nebo tg-1 (arctg).
10. Funkce arcsin (arkus sin) Cyklometrické funkce (arcsin, arccos, arctg a arccotg) jsou inverzní k funkcím goniometrickým. Protože goniometrické funkce jsou ryze monotónní jen v určitých intervalech, existují inverzní funkce pouze v těchto intervalech. Jako příklad je uvedena funkce arcsin. Omezením definičního oboru π π − ,+ funkce y = sin x 2 2 získáme funkci inverzní y = arcsin x, x ∈ − 1,1
π π , 2 2 Cyklometrická funkce arcsin x je na kalkulačkách značena sin-1 a je to inverzní funkce ke goniometrické funkci sin x. s oborem hodnot −
11. Jaké jsou tvary komplexního čísla? Komplexní číslo A lze zapsat ve třech různých tvarech: 1. algebraický (složkový) tvar A = a ± jb 2. goniometrický tvar A = A.( cos ϕ ± j sin ϕ )
3. exponenciální tvar
A = A.e ± jϕ
- používá se pro analýzu elektrických obvodů.
A = a ± jb = A.( cos ϕ ± j sin ϕ ) = A.e ± jϕ Pro zápis komplexního čísla A v goniometrickém a exponenciálním tvaru potřebujeme znát absolutní hodnotu (modul) a argument komplexního čísla.
Algebraický tvar je vhodný pro součet a rozdíl komplexních čísel.3 Exponenciální tvar je vhodný pro součin, podíl a mocniny komplexních čísel.4
12. Co to je Eulerův vzorec? Eulerův vzorec určuje vztah mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem komplexního čísla. Pro libovolný úhel φ platí:
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ e = 2,718 … = základ přirozených logaritmů
13. Co to je imaginární jednotka? Komplexní čísla se vyjadřují pomocí imaginární jednotky j (v matematice i). Pro j platí: j = − 1 → j2 = -1 3 4
j1 = j j2 = -1
Samostatně sečteme (odečteme) reálné a imaginární části komplexních čísel. Moduly komplexních čísel vynásobíme (vydělíme) a úhly sečteme (odečteme).
j3 = j4 = j5 = j6 = …
-j 1 j -1
Opakování je vždy po čtyřech mocninách. Pokud tedy počítáme např. j99 pak
99 = 24(3) 4
Zbytek 3 značí, že j99 = j3 = -j
14. Co to je číslo komplexně sdružené? V elektrotechnice používáme i čísla komplexně sdružená a značíme je hvězdičkou*. Komplexně sdružené číslo se také zapisuje jako A s pruhem ( A ). Z každého komplexního čísla můžeme udělat číslo komplexně sdružené. Komplexně sdružené číslo získáme, když změníme znaménko u hodnoty imaginární složky.
A = a + jb A = Aejφ
→ A* = a - jb → A* = Ae-jφ
Existuje též opačné komplexní číslo, což se od komplexně sdruženého čísla liší tím, že znaménko je změněno i u reálné části.
15. Co to je absolutní hodnota komplexního čísla? Absolutní hodnota (geometrický význam) komplexního čísla je vzdálenost obrazu komplexního čísla od počátku [0,0] souřadnicového systému v Gaussově rovině. Jinak řečeno je to délka přepony pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami a, b.
Absolutní hodnota komplexního čísla A = a + jb je číslo reálné definované vztahem:
A = a2 + b2 =
A. A∗
kde A∗ = a − jb
Absolutní hodnota komplexního čísla je odmocnina součinu komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého. Absolutní hodnota = modul = délka úsečky 0, A = kladné číslo. Množina všech komplexních čísel o stejné absolutní hodnotě tvoří kružnici o poloměru A . Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel je vyjádření vzdálenosti těchto komplexních čísel v Gaussově rovině. Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 1, se nazývá komplexní jednotka.
16. Jak symbolicky vyjádříme fázový posun? Okamžitá hodnota napětí s fázovým posunem: u = U max sin ( ωt + ϕ ) Symbolické vyjádření fázoru: U = U [ cos( ωt + ϕ ) + j sin ( ωt + ϕ ) ] = Ue j ( ωt +ϕ ) = Ue jϕ .e jωt Výraz U.ejφ zahrnuje velikost a počáteční fázi napětí. Výraz ejωt vyjadřuje časovou složku.
17. Jak se provádí algebraické úkony s komplexními čísly? Provádět operace s komplexními čísly je výhodnější, jsou-li tato čísla zapsána v algebraickém nebo goniometrickém tvaru. Sčítání a odčítání komplexních čísel Sčítání dvou komplexních čísel (A,B) provádíme jako sčítání reálných dvojčlenů, s tím, že sčítáme zvlášť reálné a zvlášť imaginární části. Součet dvou komplexních čísel A, B je komplexní číslo C, jehož reálná část je rovna součtu reálných částí a imaginární část je rovna součtu imaginárních částí obou sčítanců.
Příklad: Sečtěte komplexní číla A + B. A = 3 + j2, B = 5 - j. C = A + B = 3 + j2 + 5 - j = (3 + 5) + j(2 -1) = 8 + j Pokud bychom číslo C chtěli vyjádřit ve tvaru goniometrickém či exponenciálním, museli
bychom vypočítat modul a argument. Modul: C = 8 2 + 12 = 65 = 8,06 Argument: 1 tgϕ = = 0,125 ⇒ ϕ = 7,1O 8 C = 8,06.(cos 7,1 + j sin 7,1) = 8,06 ej7,1
Násobení komplexních čísel a) tvar algebraický Máme dvě komplexní čísla: j2 = -1 A = a1 + jb1 B = a2 + jb2 Jejich součinem bude opět číslo komplexní: C = A . B = (a1 + jb1) . (a2 + jb2) = a1a2 + ja2b1 + ja1b2 + j2b1b2 = a1a2 + ja2b1 + ja1b2 - b1b2 = = (a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1) Modul:
C=
( a1a2 − b1b2 ) 2 + ( a1b2 + a2b1 ) 2
tgϕ =
a1b2 + a 2 b1 a1 a 2 − b1b2
Argument:
Poznámka: 1. Součin libovolného komplexního čísla a nuly je roven nule. 2. Pro každá dvě komplexní čísla A, B platí, že A . B = 0 ↔ (A = 0 V B = 0) b) tvar exponenciální Součin C dvou komplexních čísel A = ejα, B = ejβ je opět komplexní číslo. Modul: Modul C je roven součinu modulů A, B obou činitelů. C=A.B
Argument: Argument je roven součtu základních argumentů.
γ=α+β Platí:
C = AB.e j (α+β) = C .e jγ
Příklad: Určete součin D komplexních čísel A . B. A = 5 + j3, B = 4 - j2. D = (5 + j3). (4 - j2) = 20 + j12 - j10 + 6 = 26 + j2 Výsledné komplexní číslo D vyjádříme ve tvaru exponenciálním tím, že vypočteme jeho modul a argument. Modul: D = 26 2 + 2 2 = 676 + 4 = 680 ≅ 26,076 Argument: tgϕ =
2 1 = = 0,0679 26 13
D = 26,076e j 4,398
φ = 4,398O
O
Správnost výpočtu ověříme tím, že komplexní čísla A a B převedeme na exponenciální tvar, provedeme jejich součin a porovnáme oba výsledky. O
B = 4 − j 2 = 4,472e − j 26,565
A = 5 + j 3 = 5,831e j 30,963 O
O
D = A.B = 5,831e j 30,963 .4,472e − j 26,565 = 26,076.e j 4,398
O
O
Příklad: Vypočítejte součin čísla A = 10 +j5 s číslem B, které je k němu komplexně sdružené. A . A* = (10 + j5) . (10 - j5) = 100 + j50 - j50 + 25 = 125 + j0 = 125
Dělení komplexních čísel a) Dělení reálného čísla komplexním číslem Při dělení reálného čísla, číslem komplexním postupujeme tak, že u zlomku násobíme čitatele i jmenovatele komplexně sdruženým číslem a tím ze jmenovatele komplexní číslo odstraníme. Výsledek bude komplexní číslo. Příklad: Dělte reálné číslo 25 komplexním číslem 2 - j1.
D=
25 25.(2 + j1) 50 + j 25 50 + j 25 = = = = 10 + j 5 2 − j1 (2 − j1).(2 + j1) 4 − j 2 + j 2 + 1 5
b) Dělení dvou komplexních čísel v algebraickém tvaru (a + jb1 ).(a 2 − jb2 ) (a1 a 2 + b1b2 ) + j (a 2 b1 − a1b2 ) a1 a 2 + b1b2 a b − a1b2 A a1 + jb1 = = 1 = = + j 2 21 2 2 2 2 B a 2 + jb2 (a 2 + jb2 ).(a 2 − jb2 ) a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b22 Příklad: Vypočítejte podíl D komplexních čísel A/B. A = 120 + j2
B = 5 - j1
[D = 23 + j5]
c) Dělení dvou komplexních čísel v exponenciálním tvaru Stejně jako u násobení, tak také při dělení dvou komplexních čísel je vhodnější použít jejich exponenciální tvary. Příklad: Vypočítejte podíl D komplexních čísel A/B. A = 120 + j2
B = 5 - j1 O
120 + j 2 120,016665e j 0,954841 − j12 , 264773O D= = = 23 , 537207 e O 5 − j1 5,099019e − j11,309932 Mocnina a odmocnina komplexního čísla Obecný vzorec pro n-tou mocninu
C = ( Ae jϕ ) n = A n e jnϕ Obecný vzorec pro n-tou odmocninu
C = n Ae jϕ = n Ae
ϕ j n
Příklad: Vypočítejte třetí mocninu komplexního čísla 3 + j2. Algebraický tvar převedeme na tvar exponenciální: O 3 + j 2 = 3,605e j 33,69 Exponenciální tvar komplexního čísla umocníme: O O (3,605e j 33, 69 ) 3 = 46,85e101,07
Příklad: Vypočítejte třetí odmocninu komplexního čísla 125ej110,58 (-42,75 + j117.46). 3
O
O
125e j110,58 = 5e j 36,86 = 4 + j 3
Moivreova5 věta Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla propojuje komplexní čísla s goniometrií a je vyjádřena formulí: Zn = Z
n
[ cos( n.ϕ ) + j sin ( n.ϕ ) ]
Příklad: Vypočítejte pomocí Moivreovy věty pátou mocninu komplexního čísla a = ( -1 -j) a) Komplexní číslo převedeme na tvar goniometrický: a =
( − 1) 2 + ( − 1) 2
= 2
a2 1 5π =− → III.kvadrant → φ = a 2 4 5π 5π a = 2 cos + j sin 4 4 b) Pomocí Moivreovy věty určíme požadovanou mocninu: 5 5π 5π π π 2 2 = a 5 = 2 cos 5 + j sin 5 = 4 2 cos + j sin = 4 2 cos + j sin 4 4 4 4 2 2 2 2 = 4 2 + j = 4 + j4 2 2 sin ϕ =
( )
5
Abraham de Moivre (26.5.1667 - 27.11.1754), anglický matematik francouzského původu, člen Královské vědecké společnosti. Zabýval se matematickou analýzou, teorií pravděpodobnosti a rekurentními řadami. Na sklonku života údajně hrával šachy po kavárnách a zemřel v relativní bídě.
