Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler

Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler Hans Oosterhuis

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Augustus 2009

Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler Samenvatting In deze bachelorscriptie gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stroming van water rond cilindervormige brugpijlers. Allereerst gaan we een betrekkelijk eenvoudig model opstellen voor golven in water van constante eindige diepte. Met behulp van dat model gaan we bekijken wat er gebeurt wanneer we een eenvoudige golf tegen één of meerdere cilinders aan laten stromen. We gaan bepalen hoe het wateroppervlak rond de cilinder(s) eruit ziet en uitrekenen hoe hoog het water tegen de cilinder(s) omhoog stroomt. Ook gaan we voor de situatie van één cilinder uitrekenen hoe groot de kracht is die op de cilinder werkt, doordat er golven tegenaan stromen, en zullen we nagaan hoe die kracht be¨ınvloed wordt door de golflengte en de grootte van de cilinder. Ten slotte gaan we de stroming rond een cilinder numeriek (op de computer) uitrekenen met behulp van het simulatieprogramma Comflow. De resultaten daarvan vergelijken we met de resultaten die we met ’pen en papier’ gevonden hebben.

Bachelorscriptie Technische Wiskunde Auteur: Hans Oosterhuis Begeleiders: dr. ir. R. Luppes en prof. dr. A. E. P. Veldman Datum: Augustus 2009 Instituut voor Wiskunde en Informatica Postbus 407 9700 AK Groningen

Inhoudsopgave 1 Inleiding

1

2 Het 2.1 2.2 2.3

3 3 4 5

model Basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gelineariseerde golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eindige diepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Diffractie ten gevolge van ´ e´ en cilinder 3.1 Diffractiepatroon . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Grafische weergave . . . . . . . 3.2 Run-up . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Enkelvoudige ingaande golf . . 3.2.2 Andere ingaande golf . . . . . . 3.3 Krachten . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

9 9 12 13 13 16 18

4 Diffractie ten gevolge van twee cilinders 4.1 Diffractiepatroon . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Speciale gevallen . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grafische weergave . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Hoek van de ingaande golf β = 0 . 4.3.2 Hoek van de ingaande golf β = − π4 4.3.3 Hoek van de ingaande golf β = − π2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

23 23 29 30 30 34 37

5 Comflow 5.1 Eén cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Twee cilinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 44

6 Conclusies

47

iii

. . . . . .

iv

INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Inleiding Als je boven op een brug met cilindervormige pijlers staat, dan kun je soms in het water mooie diffractiepatronen zien. Die worden veroorzaakt doordat golven, bijvoorbeeld veroorzaakt door een boot, tegen de brugpijlers aanstromen en daardoor in alle richtingen verstrooid worden en dan met elkaar gaan interfereren. Ze zullen elkaar op bepaalde plekken versterken en op andere plekken juist uitdoven, zodat er een diffractiepatroon ontstaat. In de komende hoofdstukken gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stroming van water rond zo’n cilindervormige brugpijler, met behulp van potentiaaltheorie. Daartoe gaan we eerst een model opstellen voor golven in water van constante eindige diepte, waarbij we een aantal aannames maken om het model te kunnen lineariseren, omdat het anders veel te ingewikkeld wordt. Met dat model kunnen we een algemene formule bepalen voor golven in water van constante eindige diepte. Vervolgens laten we een eenvoudige sinusgolf tegen een cilinder aanstromen (de ingaande golf), waardoor een diffractiegolf onstaat. Met behulp van ons model kunnen we bepalen hoe die diffractiegolf eruit ziet, hierbij moeten we de Laplacevergelijking oplossen in poolcoördinaten. De volledige stroming rond de cilinder wordt dan gegeven door de superpositie van de ingaande golf en de diffractiegolf. We gaan allereerst kijken naar de situatie met één cilinder. Voor dit geval gaan we ook een formule afleiden voor de kracht die op de cilinder werkt als gevolg van de golven die er tegegaan stromen. We zullen kijken hoe die kracht afhangt van de golflengte en de cilinderstraal. Vervolgens zullen we het probleem uitbreiden naar twee cilinders, met willekeurige straal en positie ten opzichte van elkaar. Voor beide situaties zullen we analytisch een formule opstellen die de vorm van het wateroppervlak rond de desbetreffende cilinder beschrijft. Ook gaan we in beide gevallen kijken hoe ver het water bij de pijlers omhoog stroomt, de zogenaamde run-up. Dit is interessant om naar te kijken, omdat we hiermee bijvoorbeeld kunnen nagaan hoe hoog een boorplatform boven het zeeniveau moet liggen om te voorkomen dat hij van onderen nat wordt wanneer er op zee hoge golven zijn, die tegen de steunpilaren van het platform omhoog stromen. Hierbij moeten we ons wel realiseren dat we lineaire theorie gebruiken, die slechts een benadering van de werkelijkheid is. Een benadering die slechter wordt, naarmate we met grotere en hogere golven te maken hebben. Ten slotte gaan we kijken naar het numerieke aspect. We willen de waterstroming op de computer simuleren met behulp van het programma Comflow. Met dit programma kan men waterstromingen en golven behoorlijk natuurgetrouw simuleren, zonder allerlei beperkende aannames en vereenvoudigingen. Het programma gebruikt geen lineaire theorie maar de Navier-Stokes vergelijkingen. Dit zijn niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen die de 1

2

HOOFDSTUK 1. INLEIDING

stroming van vloeistoffen beschrijven. De resultaten hiervan gaan we vergelijken met de analytische oplossingen die volgen uit de potentiaaltheorie. Op deze manier kunnen we nagaan in hoeverre de gelineariseerde theorie een goede beschrijving van de werkelijkheid geeft.

Hoofdstuk 2

Het model 2.1

Basisvergelijkingen

We gaan eerst een model maken waarmee het vrije oppervlak van een watermassa berekend kan worden, zie [11]. In rusttoestand ligt het vrije oppervlak op z = 0. Aan de onderkant wordt het water begrensd door de bodem, die gegeven wordt door z = −h(x, y). De vorm van het vrije oppervlak, wanneer het water gaat golven, wordt gegeven door de vergelijking z = η(x, y, t). We doen nu een aantal aannames om het model eenvoudig te houden. We nemen aan dat het water niet-viskeus en onsamendrukbaar is. Verder nemen we aan dat de stroming rotatievrij is, dat betekent dat de snelheid wordt gegeven door de gradiënt van een andere functie, oftewel v = ∇Φ. Hierin is Φ de snelheidspotentiaal. Omdat we het water onsamendrukbaar veronderstellen, geldt er dat ∇·v =0 Combinatie van deze twee vergelijkingen levert de potentiaalvergelijking op ∆Φ = Φxx + Φyy + Φzz = 0.

(2.1)

In het water geldt de wet van Bernoulli voor een incompressibele, instationaire, rotatievrije stroming p 1 Φt + |∇Φ|2 + + gz = constant, overal in de vloeistof. (2.2) 2 ρ Om de potentiaalvergelijking op te kunnen lossen, hebben we een aantal randvoorwaarden nodig. 1. Op het wateroppervlak (z = η) is de druk p gelijk aan de atmosferische druk, patm . Hieruit kunnen we de dynamische vrije-oppervlakteconditie afleiden 1 Φt + (Φ2x + Φ2y + Φ2z ) + gη = 0 2

op z = η(x, y).

Dit is gewoon de wet van Bernoulli op het wateroppervlak waarbij de constante gelijk is aan patm ρ . 2. Op het vrije oppervlak moet de normaalcomponent van de vloeistofsnelheid gelijk zijn aan de normaalsnelheid van de waterdeeltjes op het vrije oppervlak, dat wil zeggen, een 3

4

HOOFDSTUK 2. HET MODEL deeltje dat op het wateroppervlak ligt moet op het oppervlak blijven. Hieruit kunnen we de kinematische vrije-oppervlakteconditie afleiden ηt + Φx ηx + Φy ηy = Φz

op z = η(x, y).

3. Verder moet de normaalsnelheid op de bodem gelijk aan nul zijn, omdat er niets door de bodem heen kan stromen. Hieruit kunnen we ten slotte de bodemconditie afleiden Φx hx + Φy hy + Φz = 0

2.2

op z = −h(x, y).

Gelineariseerde golven

Om het model verder te vereenvoudigen, nemen we aan dat Φ en η en hun afgeleiden klein zijn, zodat we bovenstaande randvoorwaarden kunnen lineariseren. Verder nemen we aan dat de bodem vlak is, oftewel h = constant. We krijgen dan als dynamische randvoorwaarde Φt + gη = 0

op z = 0,

(2.3)

als kinematische randvoorwaarde ηt = Φz

op z = 0

(2.4)

op z = −h.

(2.5)

en als bodemconditie Φz = 0

Uit vergelijking (2.3) en (2.4) kunnen we η elimineren, zodat er een randvoorwaarde voor Φ alleen ontstaat Φtt + gΦz = 0

op z = 0.

(2.6)

Uit deze vergelijking kunnen we straks de dispersierelatie afleiden, die een verband geeft tussen de golflengte en de voortplantingssnelheid van een golf. Nu kunnen we met behulp van bovenstaande randvoorwaarden de potentiaalvergelijking oplossen en vervolgens met behulp van (2.3) de vorm van het vrije oppervlak, η, bepalen. We gaan nu de Laplacevergelijking oplossen met behulp van separatie van variabelen. Daartoe schrijven we de oplossing als Φ(x, y, z, t) = Re{W (x, y)Z(z)T (t)}. Substitutie hiervan in de potentiaalvergelijking (2.1) levert 00

Wxx (x, y)Z(z)T (t) + Wyy (x, y)Z(z)T (t) + W (x, y)Z (z)T (t) = 0. Vervolgens delen we door W (x, y)Z(z)T (t) en krijgen we 00

Wxx (x, y) + Wyy (x, y) Z (z) + = 0. W (x, y) Z(z)

2.3. EINDIGE DIEPTE

5

We hebben nu een term die van x en y afhangt en een term die van z afhangt. Deze termen moeten aan elkaar gelijk zijn en dat kan alleen als ze beide gelijk zijn aan een constante, dus 00

Wxx (x, y) + Wyy (x, y) −Z (z) = =C W (x, y) Z(z) 00

⇒ Z (z) + CZ(z) = 0. We moeten nu kiezen of we C positief of negatief nemen. Bij een positieve C wordt de oplossing een complexe e-macht en dus periodiek. We zijn hier niet ge¨ınteresseerd in een oplossing die periodiek is in de z-richting, dus nemen we C negatief, dus C = −k 2 (met k > 0). We krijgen nu als oplossing 00

Z (z) − k 2 Z(z) = 0 ⇒ Z(z) = C1 ekz + C2 e−kz . De constanten C1 en C2 zullen we later specificeren. De functie T (t) kunnen we vinden met behulp van randvoorwaarde (2.6) 00

0

W (x, y)Z(z)T (t) + gW (x, y)Z (z)T (t) = 0 op z = 0 00

⇒ (C1 ekz + C2 e−kz )T (t) + gk(C1 ekz − C2 e−kz )T (t) = 0 op z = 0 00

⇒ (C1 + C2 )T (t) + gk(C1 − C2 )T (t) = 0 00

⇒ T (t) + gk

C1 − C2 T (t) = 0. C1 + C2

Deze vergelijking heeft als oplossing een periodieke functie met een complexe e-macht. We nemen hiervoor eiωt . De functie T (t) wordt dan T (t) = D1 eiωt + D2 e−iωt en de frequentie ω volgt uit ω 2 = gk

C1 − C2 C1 + C2

(2.7)

Dit wordt ook wel de dispersierelatie genoemd. Hierin is k het golfgetal, k = 2π/λ, waarbij λ de golflengte is. We kiezen nu D1 = 0 en D2 = 1, zodat T (t) = e−iωt .

2.3

Eindige diepte

Omdat we te maken hebben met golven op constante eindige diepte, moet voldaan worden aan bodemvoorwaarde (2.5) 0

Z (−h) = C1 ke−kh + C2 kekh = 0 ⇒ C2 = C1 e−2kh ⇒ Z(z) = C1 ekz + C1 e−kz−2kh We kiezen nu C1 = − ig ω

ekh 2 cosh kh ,

Z(z) = −

hiermee krijgen we

ig ek(z+h) + e−k(z+h) ig cosh k(z + h) =− ω 2 cosh kh ω cosh kh

6

HOOFDSTUK 2. HET MODEL

ekh − e−kh C1 − C2 = gk kh = gk tanh kh C1 + C2 e + e−kh Dus de golfsnelheid wordt gegeven door r ω g c≡ = tanh kh. k k ω 2 = gk

(2.8)

De potentiaal wordt nu ig cosh k(z + h) −iωt Φ(x, y, z, t) = Re − W (x, y) e ω cosh kh

(2.9)

Substitutie hiervan in de dynamische randvoorwaarde (2.3) levert η(x, y, t) = Re W (x, y) e−iωt De functie W (x, y) gaan we later bepalen, in het vervolg zullen we die schrijven als η(x, y). Nemen we voor η(x, y, t) een eenvoudige golf, bijvoorbeeld η I (x, y, t) = A cos (kx − ωt), dan krijgen we η I (x, y) = Aeikx en de potentiaal hiervan is igA cosh k(z + h) i(kx−ωt) I Φ (x, y, z, t) = Re − e . (2.10) ω cosh kh Hierin is A de amplitude van de golf, dat wil zeggen, de maximale uitwijking ten opzichte van hoogte nul. Deze η I (x, y, t) is de golf die we straks tegen een cilinder aan laten stromen en noemen we ook wel de ingaande golf. Om de notatie in het vervolg wat korter te houden, definiëren we een nieuwe potentiaal φ(x, y, z) die niet meer van de tijd afhangt, via Φ ≡ Re φ e−iωt , dus ig cosh k(z + h) φ = − η(x, y) . ω cosh kh De potentiaal van de ingaande golf wordt, in deze notatie φI = −

igA cosh k(z + h) ikx e . ω cosh kh

We gaan straks bij het bepalen van de functie η(x, y) poolcoördinaten gebruiken, omdat we een randvoorwaarde op de cilinderwand krijgen. De ingaande golf wordt in poolcoördinaten ηI

= Aeikx = Aeikr cos θ ∞ X = A m (i)m Jm (kr) cos mθ m=0

met m =

1, m=0 2, m = 1, 2, ...

[2, vgl. 8.511(4)]. De potentialen worden in poolco¨ ordinaten φ(r, θ, z) = −

cosh k(z + h) ig η(r, θ) , ω cosh kh

(2.11)

2.3. EINDIGE DIEPTE

7

igA cosh k(z + h) ikr cos θ e . ω cosh kh De Laplaceoperator is in poolco¨ ordinaten φI (r, θ, z) = −

∆=

∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 + + + . ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z 2

(2.12)

8

HOOFDSTUK 2. HET MODEL

Hoofdstuk 3

Diffractie ten gevolge van ´ e´ en cilinder Nu we de potentiaal van een golf op constante eindige diepte gevonden hebben, kunnen we gaan kijken naar wat er gebeurt wanneer we zo’n golf tegen een cilindervormig object laten stromen. De potentiaal van het golfpatroon dat we dan krijgen kunnen we opsplitsen in de potentiaal van de ingaande golf φI (2.12) en de diffractiepotentiaal, φD . Deze diffractiepotentiaal is de potentiaal van de golven die veroorzaakt worden door de cilinder. De totale potentiaal φ (2.11) is gelijk aan de som van φI en φD .

3.1

Diffractiepatroon

De diffractiepotentiaal volgt nu uit φD = φ − φI i ig cosh k(z + h) h η(r, θ) − Aeikr cos θ ω cosh kh igA cosh k(z + h) = − ψ(r, θ), ω cosh kh

φD (r, θ, z) = −

waarbij η(r, θ) − eikr cos θ . (3.1) A Het doel is nu om de functie η(r, θ) te vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijking voor ψ(r, θ) op te stellen en daaruit ψ(r, θ) op te lossen. Vervolgens kunnen we onmiddelijk η(r, θ) vinden met behulp van (3.1) en daaruit de vorm van het vrije oppervlak bepalen. φD is een potentiaal en moet dus voldoen aan de potentiaalvergelijking 2 ig ∂ 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 cosh k(z + h) D + + 2 2 + 2 ψ(r, θ) =0 ∆φ = − 2 ω ∂r r ∂r r ∂θ ∂z cosh kh 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 2 ⇒ + + + k ψ(r, θ) = 0. (3.2) ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ψ(r, θ) ≡

Omdat er geen water door de cilinderwand kan stromen, moet gelden dat 9

10

´ EN ´ CILINDER HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN E

∂φ = 0 op r = a ∂n ⇒

∂φD ∂φI =− op r = a. ∂r ∂r

Hierin is a de straal van de cilinder. Combinatie van (2.11) en (2.12) levert nu op ! ∞ ∂ψ ∂ ikr cos θ ∂ X =− =− e m (i)m Jm (kr) cos mθ op r = a. ∂r ∂r ∂r

(3.3)

m=0

We proberen nu een oplossing van de vorm ψ=

∞ X

m Am Fm (kr) cos mθ.

(3.4)

m=0

Hierin zijn Am constantes. Substitutie in vergelijking (3.2) levert

1 ∂ m2 ∂2 2 + − + k Fm (kr) = 0. ∂r2 r ∂r r2

Dit is de m-de orde Besselvergelijking. Oplossingen hiervan worden gegeven door lineaire combinaties van de Besselfuncties van de eerste soort en de tweede soort, resp. Jm (kr) en Ym (kr). Om de juiste lineaire combinatie te bepalen, kijken we naar de voorwaarde waar ψ aan moet voldoen: ψ(r, θ) ∼ eikr als r → ∞. (3.5) Het asymptotische gedrag van de Besselfuncties voor r → ∞ wordt gegeven door

1/2

1/2

1 π Jm (kr) ∼ cos kr − mπ − , 2 4 2 1/2 1 π Ym (kr) ∼ sin kr − mπ − . πkr 2 4 2 πkr

Dus de Hankelfunctie Hm (kr) ≡ Jm (kr) + iYm (kr) ∼

2 πkr

1

π

ei(kr− 2 mπ− 4 ) als r → ∞

en hiermee is dus aan voorwaarde (3.5) voldaan. ψ(r, θ) wordt nu gegeven door ψ(r, θ) =

∞ X m=0

Uit vergelijking (3.3) volgt dat

m Am Hm (kr) cos mθ.

(3.6)

3.1. DIFFRACTIEPATROON

11

∞ X ∂ψ 0 = −k m (i)m Jm (ka) cos mθ. ∂r r=a

(3.7)

m=0

Differentiatie van vergelijking(3.6) naar r levert ∞ X ∂ψ 0 =k m Am Hm (ka) cos mθ. ∂r r=a

(3.8)

m=0

Door vergelijking (3.7) en (3.8) met elkaar te vergelijken volgt nu dat 0

0

Am Hm (ka) = −(i)m Jm (ka), dus 0

m

Am = −(i)

Jm (ka) 0 Hm (ka)

0

waarbij Hm (s) ≡ dHm /ds. Uit vergelijking (3.1) volgt dat η(r, θ) = A eikr cos θ + ψ(r, θ) = A

∞ X m=0

0

m (i)m

J (ka) Jm (kr) − Hm (kr) m0 Hm (ka)

! cos mθ.

De vorm van het vrije oppervlak rond de cilinder wordt nu gegeven door ( ! ) 0 ∞ X Jm (ka) −iωt m η(r, θ, t) = Re Ae m (i) Jm (kr) − Hm (kr) 0 cos mθ . H (ka) m m=0

(3.9)

(3.10)

Deze gelineariseerde theorie is door verschillende mensen vergeleken met experimentele resultaten. Uit experimenteel onderzoek van Chakrabarti en Tam [1] is gebleken dat de theorie een redelijk goede overeenkomst vertoont met de werkelijkheid voor 0.2 < ka < 0.65, waarbij de golfamplitude klein is, 0.1 < kA < 0.38. Ook uit andere experimenten zijn dergelijke conclusies getrokken, zie bijvoorbeeld [4] en [9]. Het is gebleken dat de lineaire theorie over het algemeen niet nauwkeurig is voor het schatten van de run-up (zie paragraaf 3.2.1). Maar, wanneer kA naar nul gaat (oneindig kleine amplitude ten opzichte van de golflengte), benadert de lineaire oplossing de werkelijkheid, ongeacht de waarde van ka. Anders gezegd, in de limiet kA → 0 vormt de lineaire theorie een belangrijke basisoplossing.


12

3.1.1

Grafische weergave

Nu we de formule voor het vrije oppervlak gevonden hebben, kunnen we het vrije oppervlak grafisch weergeven, bijvoorbeeld met behulp van Mathematica. Hier volgt een aantal plaatjes van het vrije oppervlak van een golf die tegen een cilinder aanstroomt, op verschillende tijdstippen. Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en het eerste plaatje volgt op het laatste, er is dus een hele periode weergegeven. De golf komt van rechts en de zwarte lijn op de cilinder geeft de hoogte van het water in rusttoestand weer (z = 0).

Figuur 3.1: Golfpatroon rond een cilinder over één periode, λ = 1.5 m, a = 0.3 m.

3.2. RUN-UP

3.2 3.2.1

13

Run-up Enkelvoudige ingaande golf

Een interessant verschijnsel is de run-up, dit is de maximale hoogte die het water op de cilinder bereikt. Om de run-up te vinden moeten we dus op elk punt van de cilinder de uitdrukking Re{η(a, θ) eiωt } maximaliseren over t. Hierin is η(a, θ) een complexe functie, stel u(s) + iv(s). We willen nu een uitdrukking vinden voor max Re [u(s) + iv(s)]eiωt . t

We gaan kijken naar een willekeurig punt s, zodat u(s) = a en v(s) = b (a is hier niet de cilinderdoorsnede) max Re (a + bi)eiα = max (a cos α − b sin α) α

α

Om het maximum te vinden differentiëren we naar α d (a cos α − b sin α) = −(a sin α + b cos α). dα Dit moet gelijk aan nul zijn, dus a sin α = −b cos α b ⇒ tan α = − a Het extremum van Re (a + bi)eiα wordt dus aangenomen in b ∗ α = arctan − . a Aangezien het minimum en het maximum van η(r, θ, t) in absolute waarde gelijk zijn, hoeven we ons niet druk te maken over de vraag of deze α∗ het maximum of het minimum geeft. Het maximum van Re [u(s) + iv(s)]eiωt over t wordt nu gegeven door 1 −b/a |a cos α∗ − b sin α∗ | = a q − bq b2 b2 1 + a2 1 + a2 b2 a2 √ +√ a2 + b2 a2 + b2 p = a2 + b2 = abs(a + bi). =

Hierin hebben we gebruik gemaakt van het feit dat sin (arctan x) = √

1 x en cos (arctan x) = √ . 2 1+x 1 + x2

Aangezien (3.11) waar is voor willekeurige s, geldt er dat max η(r, θ, t) = abs η(r, θ) . t

(3.11)

14


Hieronder volgen enkele plaatjes van de run-up, voor verschillende waarden van ka. De plot is gemaakt in poolco¨ ordinaten, hierin geeft θ de positie op de cilinder aan en is r de maximale waterhoogte. De ingaande golf komt van links en heeft amplitude 0.1.

Figuur 3.2: Run-up voor ka = 0.5, 1, 3, 5. Om mogelijke verwarring te voorkomen, deze plaatjes corresponderen niet met een momentopname in de tijd. Voor elk punt op de cilinder is de maximale waterhoogte op dat punt weergegeven. Figuur 3.2 kan ook gevonden worden in [8].

3.2. RUN-UP

15

We kunnen hier ook 3D-plaatjes van maken, door de absolute waarde van η(r, θ), vergelijking (3.10), te plotten in cilinderco¨ ordinaten. Hieronder volgen enkele plaatjes daarvan, geplot voor −π ≤ θ ≤ 0, met A = 0.15. Ook hier hebben we geen momentopnames in de tijd.

Figuur 3.3: Run-up in 3D voor ka = 0.5, 1, 3, 5.


16

3.2.2

Andere ingaande golf

We kunnen ook kijken naar andere ingaande golven, bijvoorbeeld de som van twee cosinussen met verschillende periodes. We krijgen dan bijvoorbeeld η I (r, θ) = A eikr cos θ + B eilr cos θ Voor deze twee cosinussen kunnen we apart de waterhoogte η1 (r, θ) en η2 (r, θ) uitrekenen met vergelijking (3.9), het enige verschil tussen beide is het golfgetal en de amplitude. De vorm van het vrije oppervlak wordt dan gegeven door de som van η1 , η2 en η I , dus ! 0 ∞ X J (ka) cos mθ + η(r, θ) = A m (i)m Hm (kr) m0 Hm (ka) m=0 ! 0 ∞ X J (la) B m (i)m Hm (lr) m0 cos mθ + A eikr cos θ + B eilr cos θ H (la) m m=0 Op de volgende pagina staat een voorbeeld daarvan in figuur 3.5, met k = A = 0.2 en B = 0.1.

2π 2.2 ,

l=

2π 1.3 ,

a = 0.3,

De run-up bij twee ingaande golven kunnen we eenvoudig vinden. Stel de waterhoogte wordt gegeven door ηA + ηB = u(s) + iv(s) + u ˜(s) + i˜ v (s), dan is de run-up gelijk aan max Re (ηA + ηB )eiα = max Re [(u + u ˜) + i(v + v˜)][cos α + i sin α] α

α

p = max (u + u ˜) cos α + (v + v˜) sin α] = (u + u ˜)2 + (v + v˜)2 = |ηA + ηB |. α

(zie paragraaf 3.2.1). In de situatie van figuur 3.5 ziet de run-up er als volgt uit

Figuur 3.4: Run-up bij 2 golven met k =

2π 2.2 ,

l=

2π 1.3 ,

a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1.

3.2. RUN-UP

Figuur 3.5: Som van twee cosinussen als ingaande golf over één periode, k = a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1..

17

2π 2.2 ,

l =

2π 1.3 ,

Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en het eerste plaatje volgt op het laatste.


18

3.3

Krachten

Met behulp van de potentiaal die we gevonden hebben, kunnen we ook uitrekenen wat de kracht is die op de cilinder werkt, ten gevolge van een golf die er tegenaan stroomt. Daartoe rekenen we eerst de druk op de cilinder uit. De dynamische druk kunnen we vinden met behulp van de wet van Bernoulli (2.2). Linearisatie van deze vergelijking, waarbij de constante gelijk is aan patm ρ , levert patm p Φt + + gz = ρ ρ ⇒ p = patm − ρΦt − ρgz.

(3.12)

Hierin is p de totale druk, d.w.z. de hydrostatische druk (phydr ) plus de dynamische druk (pdyn ). De hydrostatische druk wordt hier gegeven door phydr = patm − ρgz. Substitutie hiervan in vergelijking (3.12) levert p = patm − ρΦt − (patm − phydr ) ⇒ pdyn = −ρΦt = Re iωρφ e−iωt . We gaan nu net als bij de potentiaal een nieuwe druk definiëren die niet van de tijd afhangt via pdyn (r, θ, z, t) ≡ Re pdyn e−iωt ⇒ pdyn (r, θ, z) = iωρφ = ρgη

(3.13)

cosh k(z + h) cosh kh

De dynamische druk op de cilinder (r = a) is dus ∞ cosh k(z + h) X pdyn (a, θ, z) = ρgA m (i)m cosh kh m=0

0

J (ka) Jm (ka) − Hm (ka) m0 Hm (ka)

! cos mθ

Met behulp van de Wronski identiteit 0

0

Jn (ζ)Hn (ζ) − Jn (ζ)Hn (ζ) =

2i πζ

kunnen we dit vereenvoudigen tot ∞ cosh k(z + h) X 2 (i)(m+1) m cos mθ . pdyn (a, θ, z) = ρgA 0 cosh kh πkaHm (ka) m=0

We kunnen nu uitrekenen wat de horizontale kracht in de richting van de golf op een horizontaal plakje van eenheid dikte is: dFx dz

Z = −a

2π

pdyn (a, θ, z) cos θ dθ 0

∞ 2 cosh k(z + h) X = −aρgA πka cosh kh

m=0

(i)(m+1) m 0 Hm (ka)

Z

!

2π

cos mθ cos θ dθ 0

3.3. KRACHTEN

19

Aangezien we hier over een geheel aantal periodes integreren, blijft alleen de term m = 1, die correspondeert met cos2 θ, van de som over:

dFx dz

cosh k(z + h) 2 2 = aρgA 0 πka H1 (ka) cosh kh

Z

2 cosh k(z + h) 1 0 πka H1 (ka) cosh kh

Z

= aρgA

=

2π

cos2 θ dθ

0

2π

(1 + cos 2θ) dθ 0

4A ρga cosh k(z + h) . ka H10 (ka) cosh kh

(3.14)

De totale horizontale kracht op de cilinder kunnen we nu vinden door (3.14) te integreren over het deel van de cilinder dat onder water staat:

Z

0

Fx = −h

=

dFx dz dz

4A ρga 1 0 ka H1 (ka) cosh kh

Z

0

cosh k(z + h) dz −h

=

4A ρga 1 1 sinh kh 0 ka H1 (ka) cosh kh k

=

4ρgAah tanh kh . 0 kh kaH1 (ka)

Het totale moment op de cilinder, om een as die evenwijdig is aan de y-as en door de bodem van de cilinder gaat, wordt gegeven door


20

Z

0

My = −

(z + h) −h

Z

dFx dz dz

0

= −hFx −

z −h

dFx dz dz

1 4A ρga = −hFx − 0 ka H1 (ka) cosh kh

Z

0

z cosh k(z + h) dz −h

" # 0 Z 0 1 z 4A ρga 1 sinh k(z + h) dz = −hFx − sinh k(z + h) − ka H10 (ka) cosh kh k k −h −h

= −h

4ρgAah tanh kh 4A ρga 1 1 (cosh kh − 1) + 0 0 kh ka H1 (ka) cosh kh k 2 kaH1 (ka)

4ρgAa h sinh kh cosh kh − 1 = − − 2 0 k cosh kh kaH1 (ka) k cosh kh 4ρgAah2 kh sinh kh − cosh kh + 1 = − . 0 (kh)2 cosh kh kaH1 (ka) De formules voor de kracht en het moment zijn voor het eerst gepubliceerd door McCamy en Fuchs [7]. Uit (3.13) volgt dat we Fx en My weer tijdsafhankelijk kunnen maken via Fx = Re{Fx e−iωt } en Fx = Re{My e−iωt }. Het maximum van deze functies over de tijd wordt gegeven door resp. |Fx | en |My |, zoals we hebben gezien in paragraaf 3.2.1.

3.3. KRACHTEN

21

We gaan nu kijken hoe de totale horizontale kracht op de cilinder afhangt van de golflengte en de cilinderdoorsnede. Hiervoor maken we een grafiek, die hieronder is weergegeven. Hierin hebben we de absolute waarde van Fx geplot tegen a en λ.

Figuur 3.6: Totale kracht op de cilinder. In de grafiek is te zien dat voor vaste λ, de maximale kracht toeneemt als cilinderdoorsnede a groter wordt, zoals te verwachten. Wanneer a vast is, neemt de kracht eerst ook toe als de golflengte groter wordt. Dit komt doordat langere golven een grotere snelheid hebben, zoals we kunnen zien in vergelijking (2.8). Maar vanaf een bepaalde golflengte neemt de kracht weer af, hiervoor hebben we geen verklaring kunnen vinden. De grafiek van het moment |My | tegen a en λ heeft nagenoeg dezelfde vorm. Het verband tussen a en λmax (de golflengte waarvoor de kracht maximaal is) is niet lineair, zoals we kunnen zien in figuur 3.7. Het is wel een monotoon stijgend verband.

Figuur 3.7: λmax als functie van a.

22


Hoofdstuk 4

Diffractie ten gevolge van twee cilinders 4.1

Diffractiepatroon

Om het probleem met twee cilinders aan te pakken, gebruiken we drie poolcoördinatenstelsels in het (x, y)-vlak: 1. (r, θ) met als middelpunt de oorsprong van het (x, y)-vlak. 2. (r1 , θ1 ) met als middelpunt het middelpunt van de eerste cilinder (x1 , y1 ). 3. (r2 , θ2 ) met als middelpunt het middelpunt van cilinder twee (x2 , y2 ). In onderstaande figuur is een en ander ter verduidelijking weergegeven.

Figuur 4.1: Bovenaanzicht van de twee cilinders. 23

24

HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

Een punt (rj , θj ) kunnen we in (x, y)-coördinaten schrijven via x = xj + rj cos θj en y = yj + rj sin θj (j = 1, 2). Om de notatie in het vervolg wat korter te houden, gaan we de potentiaal φ ontbinden als φ(r, θ, z) = ϕ(r, θ) χ(z),

χ(z) = −

met

1 igA cosh k(z + h) en ϕ(r, θ) = η(r, θ). ω cosh kh A

De amplitude van de golf is namelijk evenredig met χ(z), zoals we hebben gezien in paragraaf 3.1. De ingaande golf komt aan onder een hoek θ = β en heeft als potentiaal ϕI = eik(x cos β+y sin β) = eikr cos (θ−β) . Voor beide cilinders definiëren we als volgt een fasefactor Ij (j = 1, 2) Ij

≡ eik(xj cos β+yj sin β) = eik[(x−rj cos θj ) cos β+(y−rj sin θj ) sin β] = eik(x cos β+y sin β) e−ikrj (cosθj cos β+sin θj sin β) = ϕI e−ikrj cos (θj −β)

De fasefactor is een constante, aangezien de posities van de middelpunten van de cilinders (xj , yj ) constant zijn. In termen van deze fasefactor kunnen we de potentiaal van de ingaande golf herschrijven als ϕI = Ij eikrj cos (θj −β) = Ij

∞ X

(i)n ein(θj −β) Jn (krj ) = Ij

∞ X

π

ein(θj −β+ 2 ) Jn (krj ).

n=−∞

n=−∞

[2, vgl. 8.511(4)]. Hierin bepaalt j de keuze van het coördinatenstelsel. Wanneer deze ingaande golf tegen cilinder 1 aanstroomt, zal die cilinder een (diffractie)golf produceren die op zijn beurt tegen cilinder 2 aanstroomt waardoor deze cilinder ook een diffractiegolf zal produceren, enzovoort. We kunnen al deze effecten samen beschrijven door voor beide cilinders een algemene diffractiepotentiaal op te stellen, die de golven die bij die cilinder wegstromen beschrijft. Een algemene vorm van zo’n diffractiepotentiaal voor cilinder j is (vergelijk (3.4)) ϕD j (rj , θj )

=

∞ X

Anj Znj Hn (krj ) einθj

n=−∞ 0

0

waarbij Anj complexe coëfficiënten zijn die we nog moeten oplossen en Znj ≡ Jn (kaj )/Hn (kaj ). Er geldt immers ! ∂2 1 ∂2 1 ∂ ∂2 + + 2 2 + 2 ϕD (rj , θj )χ(z) ∂z ∂rj2 rj ∂rj rj ∂θj

4.1. DIFFRACTIEPATROON ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + + + k2 ∂rj2 rj ∂rj rj2 ∂θj2

=

∞ X

= χ(z)

25

inθj

Anj Znj e

n=−∞

! ϕD (rj , θj )χ(z)

1 ∂ n2 ∂2 + − 2 + k2 2 rj ∂rj ∂rj rj

! Hn (krj ) = 0.

De totale potentiaal wordt hiermee

ϕ = ϕI (rj , θj ) +

2 X

ϕD p (rp , θp )

p=1

= Ij

∞ X

π

ein(θj −β+ 2 ) Jn (krj ) +

2 ∞ X X

Anp Znp Hn (krp ) einθp ,

p=1 n=−∞

n=−∞

j mag hier zowel 1 als 2 worden genomen. Door de wand van de cilinders kan geen water stromen, de potentiaal moet dus voldoen aan de randvoorwaarde

∂ϕ ∂ϕ = 0 op r1 = a1 en = 0 op r2 = a2 . ∂r1 ∂r2

(4.1)

De totale potentiaal ϕ hangt af van (r1 , θ1 ) en (r2 , θ2 ). Om deze randvoorwaarde te kunnen toepassen, moeten we ϕ uitdrukken in termen van één van deze coördinatenstelsels, bijvoorbeeld (r1 , θ1 ). Hiervoor gebruiken we een stelling voor het optellen van Besselfuncties [2, vgl. 8.530].

Hn (kr2 ) ein(θ2 −α21 ) =

∞ X

Hn+m (kR21 ) Jm (kr1 ) eim(π−θ1 +α21 ) , r1 < R21 .

m=−∞

De betekenis van R21 en α21 kan worden gevonden in figuur 4.1 (ontleend aan [6]). Met behulp van deze stelling krijgen we

26


ϕ(r1 , θ1 ) = I1 +

∞ X n=−∞ ∞ X

∞ X

An2 Zn2

m=−∞

∞ X

An1 Zn1 Hn (kr1 ) einθ1

n=−∞ ∞ X

An2 Zn2

! im(π−θ1 )

Hn+m (kR21 ) Jm (kr1 ) e

i(n+m)α21

e

m=−∞

n=−∞

=

Hn+m (kR21 ) Jm (kr1 ) eim(π−θ1 +α21 ) einα21

π

+

∞ X

!

I1 Jn (kr1 ) ein(θ1 −β+ 2 ) +

n=−∞ ∞ X

An1 Zn1 Hn (kr1 ) einθ1

n=−∞ ∞ X

n=−∞

=

∞ X

π

ein(θ1 −β+ 2 ) Jn (kr1 ) +

I1 Jn (kr1 ) e

n=−∞ ∞ X

in(θ1 −β+ π2 )

∞ X

+

Am1 Zm1 Hm (kr1 ) eimθ1

m=−∞ ∞ X

+

m=−∞

! i(n−m)α21

An2 Zn2 Hn−m (kR21 ) e

Jm (kr1 ) eimθ1 .

(4.2)

n=−∞

In de laatste stap hebben we m vervangen door −m en gebruik gemaakt van het feit dat J−m = (−1)m Jm = eimπ Jm . Vergelijking (4.2) is alleen geldig voor r1 < R21 , dwz. in de open schijf met middelpunt (r1 , θ1 ) en straal R21 . Vervolgens kunnen we hier de randvoorwaarde (4.1) op toepassen door (4.2) te differentiëren naar r1 en vervolgens op nul te stellen ∂ϕ 0= ∂r1 r1 =a1

= I1 +

= I1 +

∞ X

im(θ1 −β+ π2 )

0

kJm (ka1 ) e

m=−∞

m=−∞ ∞ X

∞ X

m=−∞

n=−∞

∞ X

0

Am1

Jm (ka1 ) 0 kHm (ka1 ) eimθ1 0 Hm (ka1 ) !

An2 Zn2 Hn−m (kR21 ) ei(n−m)α21

0

kJm (ka1 ) eimθ1

π

0

Jm (ka1 ) eim(θ1 −β+ 2 )

m=−∞ ∞ X

∞ X 0 Am1 + An2 Zn2 Hn−m (kR21 ) ei(n−m)α21 Jm (ka1 ) eimθ1

m=−∞

=

+

∞ X

n=−∞

∞ ∞ X X im( π2 −β) i(n−m)α21 I1 e + Am1 + An2 Zn2 Hn−m (kR21 ) e m=−∞ 0

× Jm (ka1 ) e

n=−∞ imθ1

.

4.1. DIFFRACTIEPATROON

27

Uit de laatste gelijkheid moeten we de coëfficiënten Am1 oplossen. Deze som is niets anders dan een lineaire combinatie van de functies eimθ1 . Uit de Fouriertheorie weten we dat de functies eimθ1 een basis vormen en dus lineair onafhankelijk zijn. Om uit de lineaire combinatie nul te krijgen, moeten alle coëfficiënten (van de lineaire combinatie) dus gelijk aan nul zijn. Dit betekent dat de uitdrukking tussen haakjes gelijk aan nul moet zijn voor iedere m. Hiermee komen we tot een oneindig stelsel vergelijkingen voor Am1 Am1 +

∞ X

π

An2 Zn2 Hn−m (kR21 ) ei(n−m)α21 = −I1 eim( 2 −β) , −∞ < m < ∞.

(4.3)

n=−∞

Deze uitdrukking kunnen we vervolgens substitueren in vergelijking (4.2)

ϕ(r1 , θ1 ) =

∞ X

π

I1 Jn (kr1 ) ein(θ1 −β+ 2 ) + An1 Zn1 Hn (kr1 ) einθ1

n=−∞ ∞ X

+

π −Am1 − I1 eim( 2 −β) Jm (kr1 ) eimθ1

m=−∞

=

∞ X

π

I1 Jn (kr1 ) ein( 2 −β) + An1 Zn1 Hn (kr1 ) − An1 Jn (kr1 )

n=−∞

π − I1 Jn (kr1 ) ein( 2 −β) einθ1

=

∞ X

An1 Zn1 Hn (kr1 ) − Jn (kr1 ) einθ1 , r1 < R21 .

(4.4)

n=−∞

De waterhoogte in de buurt van cilinder 1 wordt nu gegeven door ( −iωt

η(r1 , θ1 , t) = Re Ae

∞ X

) inθ1 An1 Zn1 Hn (kr1 ) − Jn (kr1 ) e , r1 < R21 .

(4.5)

n=−∞

Immers, η(r1 , θ1 , t) = Re{η(r1 , θ1 ) e−iωt } en η(r1 , θ1 ) = A ϕ(r1 , θ1 ). Hiermee hebben we een eenvoudige formule gevonden voor de waterhoogte in de buurt van cilinder 1, waarbij de coëfficiënten An1 nog moeten worden opgelost uit een oneindig stelsel vergelijkingen. Om dat te doen hebben we nog een stelsel vergelijkingen nodig. Die kunnen we krijgen door de randvoorwaarde (4.1) toe te passen op ϕ(r2 , θ2 ). We krijgen dan precies dezelfde afleiding als hierboven, maar dan met alle enen en tweeën omgewisseld. Dat levert de volgende vergelijking voor de coëfficiënten Am2 en de potentiaal op

Am2 +

∞ X n=−∞

π

An1 Zn1 Hn−m (kR12 ) ei(n−m)α12 = −I2 eim( 2 −β) , −∞ < m < ∞.

(4.6)

28


ϕ(r2 , θ2 ) =

∞ X

An2 Zn2 Hn (kr2 ) − Jn (kr2 ) einθ2 , r2 < R12 .

n=−∞

De beide vergelijkingen voor de coëfficiënten (4.3) en (4.6) kunnen we nu combineren tot een lineair stelsel vergelijkingen voor Am1 alleen ! ∞ ∞ X X in( π2 −β) i(p−n)α12 Am1 + −I2 e − Ap1 Zp1 Hp−n (kR12 ) e n=−∞

p=−∞ π

× Zn2 Hn−m (kR21 ) ei(n−m)α21 = −I1 eim( 2 −β) , −∞ < m < ∞. Om dit oneindige systeem op te kunnen lossen, gaan we het afbreken bij m = −M en M , zodat we een lineair stelsel van 2M + 1 vergelijkingen krijgen met evenveel onbekenden   M M X X π −I2 ein( 2 −β) − Am1 + Ap1 Zp1 Hp−n (kR12 ) ei(p−n)α12  n=−M

p=−M π

× Zn2 Hn−m (kR21 ) ei(n−m)α21 = −I1 eim( 2 −β) , −M ≤ m ≤ M.

(4.7)

Als we dit stelsel hebben opgelost, weten we de coëfficiënten Am1 en kunnen we vervolgens met behulp van (4.6) onmiddelijk de coëfficiënten Am2 vinden. Met behulp van de coëfficiënten Am1 en Am2 kunnen we dan de vorm van het vrije oppervlak bepalen rond beide cilinders. Wanneer we M = 5 kiezen, krijgen we een hoge nauwkeurigheid vlakbij de cilinder, maar verder bij de cilinder vandaan wordt de nauwkeurigheid slechter. Dit komt doordat de termen An1 (Zn1 Hn (kr1 ) − Jn (kr1 )) einθ1 in vergelijking (4.4) langzamer naar nul convergeren voor grotere r1 (in de buurt van R12 ) dan voor kleinere r1 (in de buurt van a1 ). Dit kunnen we mooi zien in onderstaande figuur waarin we het reële en imaginaire deel van de termen geplot hebben voor n = 6, 8 en 10, en met a1 = 0.3, R12 = 2.5, λ = 2, β = − π2 en θ1 = 0.

Figuur 4.2: Het reële (links) en imaginaire (rechts) deel van de termen in vgl (4.4) voor n = 6, 8 en 10.

De afleiding in deze paragraaf is ontleend aan [5].

4.2. SPECIALE GEVALLEN

4.2

29

Speciale gevallen

Ter controle van de formules die we zojuist gevonden hebben, gaan we die nu toepassen op de situatie met slechts één cilinder om te kijken of we dan de formule uit paragraaf 3.1 krijgen. Dit kunnen we doen door in vergelijking (4.3) de straal a2 naar nul te laten gaan, waardoor 0 0 cilinder 2 als het ware oneindig klein wordt. Jn (ka2 )/Hn (ka2 ) gaat dan naar nul (voor alle n), dus Zn2 gaat naar nul. Verder zetten we cilinder 1 in de oorsprong, zodat x1 = y1 = 0. Het stelsel vergelijkingen voor An1 (4.3) vereenvoudigt hiermee tot π

π

An1 = −I1 ein( 2 −β) = −eik(x1 cos β+y1 sin β) ein( 2 −β) = −(i)n , −∞ < n < ∞.

(4.8)

Aangezien de hoek van de ingaande golf hier niet meer van invloed is, hebben we β = 0 gekozen. Substitutie in (4.4) levert ϕ(r, θ) =

∞ X

−(−i) Zn1 Hn (kr1 ) − Jn (kr1 ) einθ1 n

n=−∞

=

∞ X

n

n (i)

n=0

0

J (ka) Jn (kr) − Hn (kr) n0 Hn (ka)

cos nθ.

Dit is precies de uitdrukking die we in paragraaf 3.1 gevonden hadden (3.9). De laatste gelijkheid geldt, aangezien ∞ X

n

inθ

(i) Jn (z)e

= J0 (z) +

n=−∞

= J0 (z) + = J0 (z) +

∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X

(i)n Jn (z)einθ + (i)−n J−n (z)e−inθ

(i)n einθ + (i)−n (−1)n e−inθ Jn (z)

2(i)n Jn (z) cos nθ

n=1

=

∞ X

n (i)n Jn (z) cos nθ.

n=0

Hierin mogen we Jn vervangen door Hn . We zouden de oplossing voor één cilinder in principe ook moeten kunnen krijgen door de afstand tussen de twee cilinders, R12 , op nul te stellen, zodat de cilinders samenvallen. Echter, Im{Hn (kR12 )} → ±∞ als R12 → 0, dus het is niet echt mogelijk de coëfficiënten Am1 uit te rekenen voor R12 = 0.

30


4.3

Grafische weergave

In deze paragraaf staan een heleboel plaatjes van het vrije oppervlak (4.5) bij een golf die tegen twee cilinders aanstroomt, voor verschillende waardes van de hoek van de ingaande golf β, verschillende stralen van de cilinders, a1 en a2 , en verschillende posities van de cilinders. Cilinder 1 staat in de oorsprong van het (x, y)-stelsel en cilinder 2 staat ergens op de x-as. De amplitude van de ingaande golf Ap is in alle gevallen gelijk aan 0.15. We hebben steeds het diffractiepatroon rond cilinder 1 en 2 weergegeven. Voor elke groep van 8 plaatjes geldt steeds dat het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes even groot is en het eerste plaatje op het laatste plaatje volgt. Er is dus steeds één periode weergegeven. Om deze plaatjes te kunnen maken hebben we met Mathematica het lineaire stelsel voor de coëfficiënten (4.7) opgelost voor M = 5. Dat levert een hoge nauwkeurigheid op vlakbij de cilinders, verder bij de cilinders vandaan wordt de nauwkeurigheid wat slechter. We hebben dus meer termen (grotere M ) nodig om ook daar hoge nauwkeurigheid te krijgen. Echter, hoe meer termen we meenemen, hoe langer het duurt om met Mathematica de plaatjes te tekenen, daarom hebben we gekozen voor M = 5. Door M te verhogen van 5 naar 6 veranderden de waardes van η(r, θ, t) slechts met maximaal een honderdste. Om de nauwkeurigheid nog wat te verhogen, hebben we de ingaande golf geschreven als eikr cos (θ−β) in plaats van als oneindige som. Dus we hebben de volgende formule gebruik voor de plaatjes η(rj , θj , t) = Re A e−iωt ϕ(rj , θj ) , en ∞ X π ϕ(rj , θj ) = Anj Znj Hn (krj ) − Anj Jn (krj ) − Ij Jn (krj ) ein( 2 −β) einθj n=−∞ ikrj cos (θj −β)

+e

4.3.1

,

j = 1, 2.

Hoek van de ingaande golf β = 0

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = 0 weer. De cilinderstralen zijn beide 0.3 en de afstand tussen de middelpunten van de cilinders R12 is gelijk aan 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.3: Situatie voor β = 0.

4.3. GRAFISCHE WEERGAVE

31

De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.4: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts). De ingaande golf komt hier van links, zoals in figuur 4.3. Opvallend is hier, dat juist aan de achterkant van de tweede cilinder, het water heel hoog komt, en aan de voorkant niet. Blijkbaar versterken de diffractiegolven en de ingaande golf elkaar aan de achterkant en doven ze elkaar gedeeltelijk uit aan de voorkant. Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voor deze situatie.

32


Figuur 4.5: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = a2 = 0.3, R12 = 2.5.


Figuur 4.6: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = a2 = 0.3, R12 = 2.5.

33

34

4.3.2


Hoek van de ingaande golf β = − π4

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = − π4 weer. De afmetingen zijn weer: a1 = 0.3, a2 = 0.4 en R12 = 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.7: Situatie voor β = − π4 . De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.8: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts). Opvallend is hier dat rond het punt θ = −π/4 op cilinder 2 de run-up bijna nul is. Dus het water beweegt daar nauwelijks op en neer. Blijkbaar doven de ingaande golf en de diffractiegolven elkaar daar vrijwel uit. Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voor deze situatie.


Figuur 4.9: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5.

35

36


Figuur 4.10: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. We zien hier dat rond het punt θ = −π/4 op cilinder 2 (precies tegenover de plek waar de ingaande golf cilinder 2 als eerste raakt) het water nauwelijks op en neer gaat. Dit is in overeenstemming met wat we in het figuur van de run-up hebben gezien.


4.3.3

37

Hoek van de ingaande golf β = − π2

In onderstaande figuur is de situatie voor β = − π2 weergegeven. De straal van cilinder 1 is gelijk aan 0.3 en die van cilinder 2 is gelijk aan 0.4 en de afstand tussen de cilinders is weer 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn ook hier niet helemaal correct.

Figuur 4.11: Situatie voor β = − π2 . De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.12: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts). Als de twee cilinders dezelfde straal zouden hebben, dan zouden de plaatjes van de run-up elkaars gespiegelden (in de verticale as) zijn. Nu wijken ze iets van elkaar af. Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voor deze situatie. Deze plaatjes zijn iets gedraaid ten behoeve van de zichtbaarheid.

38


Figuur 4.13: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. De golf komt hier van ’rechtsboven’.


39

Figuur 4.14: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. De golf komt hier van ’linksboven’.

40


Hoofdstuk 5

Comflow In dit hoofdstuk gaan we de stroming rond een cilinder numeriek uitrekenen met behulp van het simulatieprogramma Comflow, zie [3] en [10]. Dit programma kan waterstromingen en golven behoorlijk natuurgetrouw simuleren. Het gebruikt geen gelineariseerde theorie, maar de volledige Navier-Stokes vergelijkingen. Het programma legt een driedimensionaal grid over de watermassa en de cilinder en rekent vervolgens voor elke cel in het grid uit in hoeverre deze gevuld is met water en in welke richting en met welke snelheid dit water beweegt, voor opeenvolgende tijdstippen. Tussen twee tijdstippen zit een tijdsverschil van ongeveer 10−4 seconden. Na afloop van de simulatie kun je voor al die tijdstippen de waterhoogte bekijken. Als je het grid fijner maakt, wordt de uitkomst van de simulatie nauwkeuriger, maar duurt de simulatie ook langer, omdat er meer cellen zijn.

5.1

E´ en cilinder

We zijn hier ge¨ınteresseerd in de run-up aan de voor- en achterkant van de cilinder. In paragraaf 3.2 hebben we gezien hoe we die analytisch kunnen uitrekenen. Nu gaan we de run-up bepalen met Comflow. We gaan kijken naar een cilinder met straal 0.3 m waar een golf tegenaan stroomt met golflengte 2 m en twee amplitudes: 0.075 m (kA = 0.236) en 0.15 m (kA = 0.471). We hebben meerdere simulaties uitgevoerd met steeds een wat fijner grid en verschillende domeinen. Bij het fijnste grid duurde de simulatie enkele dagen. In onderstaande tabel staan de resultaten hiervan.

Analytisch Comflow 1 Comflow 2 Comflow 3

A= θ=0 − 0.0676 − 0.045 − 0.05 − 0.05

0.075 θ=π + 0.1286 + 0.15 + 0.175 + 0.15

A= θ=0 − 0.135 − 0.075 − 0.08 − 0.09

0.15 θ=π + 0.257 + 0.3 + 0.25 + 0.33

Tabel 5.1: Run-up aan de voor- en achterkant van de cilinder, analytisch en met Comflow.

41

42

HOOFDSTUK 5. COMFLOW

De keuze voor het domein en het grid bij de verschillende simulaties met Comflow is te vinden in tabel 5.2. Comflow 1

Comflow 2

Comflow 3

as x y z as x y z as x y z

min -2 -2 -3 min -2 -2 -3 min - 0.9 - 0.85 - 2.4

max +4 +2 +1 max +4 +2 +1 max + 2.4 + 0.85 + 0.4

cellen 90 60 80 cellen 120 80 120 cellen 130 136 120

stretching 1 1 1.03 stretching 1 1 1.03 stretching 1.02 1 1.02

Tabel 5.2: Domein en grid bij de simulaties Comflow 1, 2 en 3. Stretching op bijvoorbeeld de z-as zorgt ervoor dat de cellen rond het vlak z = 0 klein zijn, zodat je daar een hogere nauwkeurigheid hebt, en verder bij dat vlak vandaan steeds groter worden. Op deze manier kunnen we een hoge nauwkeurigheid rond de cilinder hebben zonder al teveel cellen nodig te hebben. Bij de laatste simulatie (Comflow 3) hebben we al ruim 2 miljoen cellen. Dat is vrij veel, de simulatie duurde dan ook enkele dagen. In tabel 5.1 kunnen we zien dat de run-up aan de voorkant van de cilinder (θ = π) volgens Comflow groter is dan volgens de analytische oplossing. Dit is in overeenstemming met in het verleden uitgevoerde experimenten (zie [4]): de run-up aan de voorkant is volgens de lineaire theorie lager dan de werkelijke run-up. Uit dezelfde experimenten is gebleken dat de run-up aan de achterkant van de cilinder in werkelijkheid ook groter is dan wat de lineaire theorie voorspelt. In de tabel zien we echter dat de run-up bij een amplitude van 0.075 volgens Comflow aan de achterkant juist iets kleiner is dan volgens de theorie en bij een amplitude van 0.15 zelfs veel kleiner, tot wel 45 %. Het is niet vreemd dat de run-up zo sterk afwijkt bij een amplitude van 0.15, aangezien kA dan vrij groot is (0.471), en de lineaire theorie dus slechts beperkt geldig is. Het was niet goed mogelijk om een simulatie te doen met een nog kleinere kA-waarde, waarbij de lineaire theorie nog dichter bij de werkelijkheid zit, aangezien we dan een heel fijn grid nodig hebben. Om een goede nauwkerigheid te behalen moeten we dan namelijk zo’n 20 cellen in de verticale richting in de golf hebben, op een stukje van zeg 0.05 m. (A = 0.025 en kA = 0.078). Dan krijgen we dus ´ of heel veel cellen, óf we moeten veel stretchen, waardoor de simulatie instabieler wordt. Met nieuwe, krachtiger computers zou dit wel mogelijk zijn. Hierna volgen nog een paar 3D-plaatjes van een golf die tegen de voorkant van de cilinder omhoog stroomt. Hierin hebben de parameters de volgende waardes: λ = 2 m, A = 0.15 m en a = 0.3 m. De plaatjes zijn afkomstig uit een simulatie met Comflow. Tussen twee opvolgende plaatjes zit ongeveer 0.04 seconden.

´ CILINDER 5.1. EEN

43

Figuur 5.1: Een golf stroomt tegen de voorkant van een cilinder omhoog, simulatie met Comflow. λ = 2 m, A = 0.15 m en a = 0.3 m, de tijd tussen twee figuren is ongeveer 0.04 s.

44

5.2


Twee cilinders

We hebben ook een simulatie uitgevoerd voor twee cilinders, met λ = 1.6, β = − π2 , a1 = 0.3, a2 = 0.4 en R12 = 2.5. Dit is dezelfde situatie als in paragraaf 4.3.2. Het middelpunt van cilinder 1 staat in de oorsprong (0, 0, 0) en die van cilinder twee in het punt (-1.7678, -1.7678, 0). De golf komt van links en stroomt evenwijdig aan de x-as. De keuze voor het domein en het grid staat in tabel 5.3. as x y z

min - 2.5 - 2.5 - 2.4

max + 1.8 + 0.85 + 0.4

cellen 140 140 120

stretching 1.01 1 1.02

Tabel 5.3: Domein en grid bij simulatie van stroming rond twee cilinders. Dit komt neer op ruim 2.3 miljoen cellen, wat vrij veel is, de simulatie duurde ruim een week. In paragraaf 4.3.2 hebben we gezien dat voor deze situatie het water rond het punt θ = −π/4 van de tweede cilinder nauwelijks op en neer gaat. We zullen nu gaan kijken of we dit resultaat ook krijgen uit de simulatie met Comflow. Hieronder volgen enkele 3D-plaatjes van het water. In de linkerkolom is het water rond cilinder 2 weergegeven en in de rechterkolom een overzicht van beide cilinders. Plaatjes die naast elkaar staan corresponderen met hetzelfde tijdstip. Tuseen twee opvolgende plaatjes zit ongeveer 0.07 seconden. In de figuur 5.2 kunnen we zien dat het water aan de achterkant van de tweede cilinder (dus tegenover de plek waar de golf de cilinder als eerste raakt) inderdaad nauwelijks op en neer gaat, op de tijdstippen die zijn weergegeven. Het bleek dat iets verderop in de tijd het water toch enigszins ging bewegen. Er is hier dus zeker enige overeenkomst tussen de theorie en de simulatie. Echter, tussen de twee cilinders lijkt de ingaande golf nog vrijwel ongestoord. Misschien hebben we de simulatie nog niet lang genoeg laten doorgaan, zodat de diffractiegolf er nog niet duidelijk in zit en er nog geen evenwichtssituatie is ontstaan in de golven. Als we de simulatie echter nog langer zouden laten doorgaan, krijgen we ook meer en meer last van numerieke fouten en van golven die vanaf de zijwanden terugkaatsen naar de cilinder(s). Hierdoor wordt de simulatie veel minder nauwkeurig en zijn de resultaten minder betrouwbaar.

5.2. TWEE CILINDERS

45

Figuur 5.2: Golfpatroon rond 2 cilinders, close-up van cilinder 2 (links) en overzicht van beide cilinders (rechts). De golf komt hier van links. λ = 1.6, β = −π/4, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. De tijd tussen opeenvolgende figuren is ongeveer 0.07 s.

46


Hoofdstuk 6

Conclusies In de hoofdstukken 3 en 4 hebben we een analytische oplossing gevonden van de stroming van water rond één cilinder en rond twee cilinders van willekeurige straal en positie ten opzichte van elkaar. Hiervoor hebben we gelineariseerde (potentiaal)theorie gebruikt, om de analyse niet al te ingewikkeld te maken. Hierbij hebben we ook bepaald hoe men de run-up kan bepalen en de kracht op de cilinder kan uitrekenen. Uit experimenten die in het verleden gedaan zijn, zie [4] en [9], is gebleken dat de gelineariseerde theorie over het algemeen geen goede benadering van de werkelijkheid is, maar wanneer de amplitude van de ingaande golf heel klein is (kA → 0), vormt de gelineariseerde theorie wel een goede benadering van de werkelijkheid. In hoofdstuk 5 hebben we de stroming rond een en twee cilinders gesimuleerd met behulp van Comflow. Hieruit bleek dat de run-up aan de voorkant van de cilinder groter is dan wat de lineaire theorie voorspelt; dit is ook gebleken uit experimenten uit het verleden. Aan de achterkant van de cilinder was de run-up volgens Comflow juist iets kleiner dan volgens de analytische oplossing, terwijl die in werkelijkheid weer groter is, zo is gebleken uit experimenten (zie [4]). De afwijkingen zijn groter, wanneer de amplitude van de ingaande golf groter is. Dit is niet vreemd, want als die amplitude relatief groot is ten opzichte van de waterdiepte, mogen we eigenlijk niet lineariseren en is onze analytische oplossing slechts beperkt geldig. We hebben ook een situatie met twee cilinders gesimuleerd, de situatie van paragraaf 4.3.2. Hierin zagen we enige overeenkomst met de theorie, maar zeker ook verschillen. Om echt nauwkeurige resultaten uit de simulaties met Comflow te krijgen, hebben we een veel fijner grid nodig. Dat is met de huidige computers nog niet haalbaar, binnen een redelijke rekentijd.

47

48

HOOFDSTUK 6. CONCLUSIES

Bibliografie [1] S. K. Chakrabarti and W. A. Tam. Interaction of waves with large vertical cylinder. Journal of Ship Research, 19(1):23–33, 1975. [2] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Tables of Integrals, Series and Products. Academic Press, New York, fourth edition, 1980. [3] K. M. T. Kleefsman, G. Fekken, A. E. P. Veldman, B. Iwanowski, and B. Buchner. A volume-of-fluid based simulation method for wave impact problems. J. Comp. Phys., 206(1):363–393, 2005. [4] D. L. Kriebel. Nonlinear wave interaction with a vertical circular cylinder. Part II: wave run-up. Ocean Engineering, 19(1):75–99, 1992. [5] C. M. Linton and D. V. Evans. The interaction of waves with arrays of vertical circular cylinders. Journal of Fluid Mechanics, 215:549–569, 1992. [6] C. M. Linton and P. McIver. Handbook of Mathematical Techniques for Wave / Structure Interactions. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2001. [7] R. C. McCamy and R. A. Fuchs. Wave forces on piles: a diffraction theory. Tech. Memo 69, U.S. Army Corps of Engineers, 1954. [8] C. C. Mei. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Wiley-Interscience, New York, 1983. [9] M. T. Morris-Thomas and K. P. Thiagarajan. The run-up on a cylinder in progressive surface gravity waves: harmonic components. Applied Ocean Research, 26:98–113, 2004. [10] A. E. P. Veldman, J. Gerrits, R. Luppes, J. A. Helder, and J. P. B. Vreeburg. The numerical simulation of liquid sloshing on board spacecraft. J. Comp. Phys., 224:82–99, 2007. [11] A. E. P. Veldman and A. Velick´ a. Stromingleer. Dictaat, 2007.

49

Stroming van water rond een cilindervormige brugpijler

Recommend Documents