Stochastická dominance a optimalita portfolií

Stochastická dominance Eficience portfolia Souvislost množiny optimálních portfolií Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím ˇ Záver

Stochastická dominance a optimalita portfolií Martin Dungl ˇ Dopravní fakulta CVUT

2010

Martin Dungl

Stochastická dominance a optimalita portfolií


Obsah 1

Stochastická dominance

2

Eficience portfolia Zavedení pojmu˚ Dosavadní výsledky

3

Souvislost množiny optimálních portfolií

4

Portfolia optimální vzhledem k exponenciálním užitkovým funkcím Pˇredpoklady Souvislost množiny optimálních portfolií Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktneˇ pˇrijatelných portfolií

5

ˇ Záver Martin Dungl



Obsah 1


2


3


4


5




Obsah 1


2


3


4


5




Obsah 1


2


3


4


5




Obsah 1


2


3


4


5




Množiny užitkových funkcí Koncept stochastické dominance pracuje s užitkovými funkcemi jednotlivých investoru. ˚ Množina všech pˇrípustných užitkových funkcí: U = {u : R → R,

u(x) je neklesající na R}.

ˇ Budeme se zabývat temito podmnožinami U: UN

= {u ∈ U ∩ C N : (−1)k u (k ) (x) ≤ 0, x ∈ R, k = 1, . . . , N}

U∞

N∈N ∞ \ = UN N=1

UE∗

= {u ∈ U : u(x) = aekx + b, a < 0, k < 0, b ∈ R} Martin Dungl






= {u ∈ U ∩ C N : (−1)k u (k ) (x) ≤ 0, x ∈ R, k = 1, . . . , N}

U∞

N∈N ∞ \ = UN N=1

UE∗







= {u ∈ U ∩ C N : (−1)k u (k ) (x) ≤ 0, x ∈ R, k = 1, . . . , N}

U∞

N∈N ∞ \ = UN N=1

UE∗




Pˇredpoklady S cˇ ím dále pracujeme

Možné finanˇcní výstupy investiˇcních pˇríležitostí (aktiv) jsou reprezentovány náhodnými veliˇcinami. Aktiva tak lze s náhodnými veliˇcinami ztotožnit. Množinu všech pˇrípustných aktiv znaˇcíme X. Investoˇri maximalizují svuj ˚ užitek.

Martin Dungl



Pˇredpoklady S cˇ ím dále pracujeme

Možné finanˇcní výstupy investiˇcních pˇríležitostí (aktiv) jsou reprezentovány náhodnými veliˇcinami. Aktiva tak lze s náhodnými veliˇcinami ztotožnit. Množinu všech pˇrípustných aktiv znaˇcíme X. Investoˇri maximalizují svuj ˚ užitek.

Martin Dungl



Stochastická dominance ˇ Definice: Bud’ U ⊂ U. Rekneme, že náhodná veliˇcina X (stochasticky) dominuje náhodnou veliˇcinu Y vzhledem k množineˇ U, jestliže Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀u ∈ U, je-li nerovnost definována.

Zapisujeme X U Y . Množinu U nazýváme generátorem stochastické dominance U . ˇ Platí-li navíc pro nejakou funkci u0 ∈ U ostrá nerovnost, ˇrekneme, že náhodná veliˇcina X striktneˇ (stochasticky) dominuje náhodnou veliˇcinu Y vzhledem k množineˇ U. Znaˇcíme X U Y . Martin Dungl



Stochastická dominance ˇ Definice: Bud’ U ⊂ U. Rekneme, že náhodná veliˇcina X (stochasticky) dominuje náhodnou veliˇcinu Y vzhledem k množineˇ U, jestliže Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀u ∈ U, je-li nerovnost definována.

Zapisujeme X U Y . Množinu U nazýváme generátorem stochastické dominance U . ˇ Platí-li navíc pro nejakou funkci u0 ∈ U ostrá nerovnost, ˇrekneme, že náhodná veliˇcina X striktneˇ (stochasticky) dominuje náhodnou veliˇcinu Y vzhledem k množineˇ U. Znaˇcíme X U Y . Martin Dungl



Zavedení pojmu˚ Dosavadní výsledky

Obsah 1


2


3


4


5





ˇ Nekolik pojmu˚ ..aneb proˇc se v práci slovo eficientní pˇríliš nevyskytuje

Neexistuje jednotná definice eficientního aktiva. Budeme pracovat se tˇremi specifikacemi aktiv, která ˇ rí oznaˇcují jako eficienci: nekteˇ Pˇrijatelnost Striktní pˇrijatelnost Optimalita

Martin Dungl






Martin Dungl






Martin Dungl




Definice Pˇrijatelnost, striktní pˇrijatelnost a optimalita

ˇ Definice: Mejme množinu pˇrípustných aktiv X a generátor ˇ stochastické dominance U ⊂ U. Rekneme, že aktivum X ∈ X je vzhledem k U nepˇrijatelné, jestliže ∃Y ∈ X Y U X . pˇrijatelné, jestliže není nepˇrijatelné. striktneˇ nepˇrijatelné, jestliže ∃Y ∈ X

∀u ∈ U, u rostoucí na R

Eu(Y ) > Eu(X ).

striktneˇ pˇrijatelné, jestliže není striktneˇ nepˇrijatelné. optimální, jestliže ∃u ∈ U, u rostoucí na R Martin Dungl

Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀Y ∈ X.







Eu(Y ) > Eu(X ).


Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀Y ∈ X.







Eu(Y ) > Eu(X ).


Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀Y ∈ X.







Eu(Y ) > Eu(X ).


Eu(X ) ≥ Eu(Y )

∀Y ∈ X.




Jednoduché dusledky ˚ ..zjevné pˇrímo z definic

Optimální aktivum je striktneˇ pˇrijatelné. Bud’ U generátor stochastické dominance složený jen z rostoucích funkcí. Aktivum, které je vzhledem k U pˇrijatelné, je vzhledem k U také striktneˇ pˇrijatelné. Opaˇcné implikace obecneˇ neplatí.

Martin Dungl






Martin Dungl






Martin Dungl




Scénáˇrový pˇrístup Dále jej budeme pˇredpokládat

Definice: Množiny pˇrípustných portfolií pro matici výnosu˚ Xn×m s lineárneˇ nezávislými sloupci. Povolené krátké prodeje: Θ = {θ ∈ Rm : 10 θ = 1}. Krátké prodeje omezené koeficientem a ∈ (−∞, 0]: Θa = {θ = (θ1 , . . . , θm )0 ∈ Rm : 10 θ = 1, θi ≥ a, i = 1, . . . , m}. n o ˜ množina pˇríp. portfolií, V = Xθ : θ ∈ Θ ˜ . Za Definice: Θ množinu X pˇrípustných aktiv generovanou maticí X ˇ považujeme množinu náhodných veliˇcin X splnujících Pn Iv =v ∃v ∈ V P(X = vi ) = k =1 k i . n X je scénáˇrové aktivum reprezentované vektorem v . Martin Dungl




Scénáˇrový pˇrístup Dále jej budeme pˇredpokládat

Definice: Množiny pˇrípustných portfolií pro matici výnosu˚ Xn×m s lineárneˇ nezávislými sloupci. Povolené krátké prodeje: Θ = {θ ∈ Rm : 10 θ = 1}. Krátké prodeje omezené koeficientem a ∈ (−∞, 0]: Θa = {θ = (θ1 , . . . , θm )0 ∈ Rm : 10 θ = 1, θi ≥ a, i = 1, . . . , m}. n o ˜ množina pˇríp. portfolií, V = Xθ : θ ∈ Θ ˜ . Za Definice: Θ množinu X pˇrípustných aktiv generovanou maticí X ˇ považujeme množinu náhodných veliˇcin X splnujících Pn Iv =v ∃v ∈ V P(X = vi ) = k =1 k i . n X je scénáˇrové aktivum reprezentované vektorem v . Martin Dungl




Interpretace a poznámky Volneˇ ˇreˇceno: Sloupce matice X odpovídají výnosum ˚ m lineárneˇ nezávislých aktiv, ˇrádky reprezentují n stejneˇ ˇ pravdepodobných scénáˇru. ˚ Dále pˇripouštíme aktiva vzniklá kombinacemi sloupcu˚ podle koeficientu˚ z množiny pˇrípustných portfolií. Pojmy jako (striktní) stoch. dominance a všechny uvedené druhy eficience definujeme pro pˇrípustné portfolio θ pomocí aktiva reprezentovaného vektorem Xθ. Pro aktivum X reprezentované vektorem Xθ je n

Eu(X ) =

1X u((Xθ)i ). n i=1

Martin Dungl




Obsah 1


2


3


4


5





Tvar množin pˇrijatelných, striktneˇ pˇrijatelných a optimálních portfolií Souvislost

Množiny portfolií striktneˇ pˇrijatelných a optimálních vzhledem ke stochastické dominanci prvního ˇrádu, pˇri zakázaných krátkých prodejích, obecneˇ nejsou souvislé. (Kopa, Post, 2009) V diplomové práci analyzuji souvislost množin portfolií optimálních vzhledem k obloukoveˇ souvislým generátorum ˚ tvoˇreným striktneˇ konkávními funkcemi, pˇri omezených krátkých prodejích.

Martin Dungl




Tvar množin pˇrijatelných, striktneˇ pˇrijatelných a optimálních portfolií Souvislost

Množiny portfolií striktneˇ pˇrijatelných a optimálních vzhledem ke stochastické dominanci prvního ˇrádu, pˇri zakázaných krátkých prodejích, obecneˇ nejsou souvislé. (Kopa, Post, 2009) V diplomové práci analyzuji souvislost množin portfolií optimálních vzhledem k obloukoveˇ souvislým generátorum ˚ tvoˇreným striktneˇ konkávními funkcemi, pˇri omezených krátkých prodejích.

Martin Dungl




Tvar množin pˇrijatelných, striktneˇ pˇrijatelných a optimálních portfolií Konvexita

V pˇrípadeˇ stochastické dominance prvního ˇrádu není ani jedna z množin obexneˇ konvexní. Množina portfolií optimálních vzhledem k U2 není obecneˇ konvexní, jak pˇri omezených, tak pˇri povolených krátkých prodejích (Dybvig, Ross, 1983). Množina portfolií pˇrijatelných vzhledem k UN a U∞ není pˇri zakázaných krátkých prodejích obecneˇ konvexní (Kopa, 2008). Ve své diplomové práci hledám nutnou a postaˇcující ˇ matice výnosu˚ X, zaruˇcující podmínku pro rozmery konvexitu množiny portfolií optimálních vzhledem k UE∗ , pˇri povolených krátkých prodejích. Martin Dungl


















Souvislost množiny optimálních portfolií 1


2


3


4


5




Definice Souvislost a oblouková souvislost

Podmnožina A ⊂ M metrického prostoru (M, ρ) je souvislá, jestliže neexistují neprázdné otevˇrené množiny A1 , A2 ˇ splnující A = A1 ∪ A2

a

A1 ∩ A2 = ∅.

Podmnožina A ⊂ M metrického prostoru (M, ρ) je obloukoveˇ souvislá, jestliže mezi každou dvojicí jejich bodu˚ lze sestrojit spojitý oblouk, tedy ∀x, y ∈ A ∃f : [0, 1] → (A, ρ) spojitá, ˇ splnující f (0) = x, f (1) = y . Obloukoveˇ souvislá množina je souvislá. Martin Dungl



Definice Souvislost a oblouková souvislost

Podmnožina A ⊂ M metrického prostoru (M, ρ) je souvislá, jestliže neexistují neprázdné otevˇrené množiny A1 , A2 ˇ splnující A = A1 ∪ A2

a

A1 ∩ A2 = ∅.

Podmnožina A ⊂ M metrického prostoru (M, ρ) je obloukoveˇ souvislá, jestliže mezi každou dvojicí jejich bodu˚ lze sestrojit spojitý oblouk, tedy ∀x, y ∈ A ∃f : [0, 1] → (A, ρ) spojitá, ˇ splnující f (0) = x, f (1) = y . Obloukoveˇ souvislá množina je souvislá. Martin Dungl



Pˇredpoklady ˇ uvažujeme scénáˇrový pˇrístup. Opet ˆ a supremovou metrikou ρ: Pracujeme s množinou U ˆ = {u : R → R, u ∈ C 2 , u 0 (x) > 0, u (2) (x) < 0, x ∈ R} U ˆ ρ(u1 , u2 ) = sup |u1 (x) − u2 (x)|, u1 , u2 ∈ U. x∈R

Omezujeme krátké prodeje, tedy Θa = {θ = (θ1 , . . . , θm )0 ∈ Rm : 10 θ = 1, θi ≥ a, i = 1, . . . , m}, pro pevné a ∈ (−∞, 0].

Martin Dungl



Hlavní výsledek kapitoly

ˇ Veta: ˆ množina užitkových funkcí obloukoveˇ souvislá Bud’ U ⊂ U vzhledem k supremové metrice ρ a necht’ a ∈ (−∞, 0]. Pak množina portfolií z Θa optimálních vzhledem k U je obloukoveˇ souvislá.

Martin Dungl



Hlavní myšlenky dukazu ˚ Definujeme zobrazení n

1X g(u) = arg max u((Xθ)i ). θ∈Θa n

ˆ ρ) → (Θa , σ) g : (U,

i=1

ˇ címe se, že zobrazení g je dobˇre definováno a že Pˇresvedˇ je spojité (σ - libovolná metrika). ˆ je g(U). Množinou portfolií optimálních vzhledem k U ⊂ U ˆ Je-li U ⊂ U obloukoveˇ souvislá množina, existuje pro libovolná portfolia τ, λ spojitý oblouk f mezi funkcemi uτ , uλ

τ = g(uτ ), λ = g(uλ ).

Pak ovšem g ◦ f je spojitý oblouk mezi τ a λ. Martin Dungl





ˆ ρ) → (Θa , σ) g : (U,

i=1


τ = g(uτ ), λ = g(uλ ).






ˆ ρ) → (Θa , σ) g : (U,

i=1


τ = g(uτ ), λ = g(uλ ).






ˆ ρ) → (Θa , σ) g : (U,

i=1


τ = g(uτ ), λ = g(uλ ).




Pˇredpoklady Souvislost množiny optimálních portfolií Konvexita množiny optimálních portfolií Množiny optimálních a striktneˇ pˇrijatelných portfolií

Obsah 1


2


3


4


5





Pˇredpoklady

ˇ Pˇripomenme ∗ UE = {u : u(x) = aekx + b, a < 0, k < 0, b ∈ R} a ˇ definujme UE = {u : u(x) = −ekx , k < 0}. Práce s obema generátory je pro stochastickou dominanci ekvivalentní. Volíme množinu UE . Pro vyšetˇrování souvislosti pracujeme s množinou pˇrípustných portfolií Θa , a ∈ (−∞, 0], omezení a muže ˚ být libovolneˇ volné. Pro vyšetˇrování konvexity pracujeme s množinou Θ.

Martin Dungl




Pˇredpoklady

ˇ Pˇripomenme ∗ UE = {u : u(x) = aekx + b, a < 0, k < 0, b ∈ R} a ˇ definujme UE = {u : u(x) = −ekx , k < 0}. Práce s obema generátory je pro stochastickou dominanci ekvivalentní. Volíme množinu UE . Pro vyšetˇrování souvislosti pracujeme s množinou pˇrípustných portfolií Θa , a ∈ (−∞, 0], omezení a muže ˚ být libovolneˇ volné. Pro vyšetˇrování konvexity pracujeme s množinou Θ.

Martin Dungl




Obsah 1


2


3


4


5






Množina Θa , a ∈ (−∞, 0] a generátor UE . Množina optimálních portfolií je souvislá pro každou matici ˇ Xn×m s linárneˇ nezávislými sloupci - aplikace vety dokázané v pˇredchozí cˇ ásti.

Martin Dungl





Množina Θa , a ∈ (−∞, 0] a generátor UE . Množina optimálních portfolií je souvislá pro každou matici ˇ Xn×m s linárneˇ nezávislými sloupci - aplikace vety dokázané v pˇredchozí cˇ ásti.

Martin Dungl




Obsah 1


2


3


4


5





Specifikace úlohy

ˇ Pracujeme s generátorem UE . Mejme matici výnosu˚ Xn×m s lineárneˇ nezávislými sloupci (X1 , . . . , Xm ) a oznaˇcme množinu optimálních portfolií E, kde je E ⊂ Θ. Dále oznaˇcme E ∗ = XE. ˇ pˇri kterých rozmerech ˇ Úloha: Rozhodnete, X je E obecneˇ konvexní. Místo konvexity E lze ekvivalentneˇ vyšetˇrovat konvexitu E ∗ .

Martin Dungl




Specifikace úlohy


Martin Dungl




Specifikace úlohy


Martin Dungl




Pˇrepis úlohy

Pro s = (s1 , . . . , sn )0 ∈ Rn definujme es = (es1 , . . . , esn )0 . Portfolio τ ∈ Θ leží v E, práveˇ když ∃k < 0 : tedy ∃k < 0 :

(X1 − Xj )0 · ek ·(Xτ ) = 0,

∀j = 2, . . . , m

ek (Xτ ) ∈ h{X1 − Xi , i = 2, . . . , m}i⊥ = S.

Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity Závery ˇ matice Xn×m zaruˇcující konvexitu E Rozmery

m=1 m=2

⇒ ⇒

E je konvexní. E je konvexní.

Konvexita E vyplývá ze souvislosti této množiny.

m=n

⇒

E je konvexní.

Dukaz ˚ konvexity využívá skuteˇcnost, že prostor S je ˇ jednorozmerný.

V ostatních pˇrípadech E obecneˇ konvexní není.

Martin Dungl





m=1 m=2

⇒ ⇒



m=n

⇒

E je konvexní.



Martin Dungl





m=1 m=2

⇒ ⇒



m=n

⇒

E je konvexní.



Martin Dungl





m=1 m=2

⇒ ⇒



m=n

⇒

E je konvexní.



Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity 2 Závery ˇ Matice výnosu˚ X o rozmerech 4 × 3 nezaruˇcuje konvexitu E

Necht’ m = 3, n = 4. Pak existuje matice X4×3 s lineárneˇ nezávislými sloupci, pro kterou množina E není konvexní.

Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity 3 Závery Protipˇríklad pro úlohu m = 3, n = 4

Protipˇríklad. Zvolme 8

c = 3·

12

2− 13 − 2− 13 12

1 − 2− 13

0.796

u

8

d

= 3·

1 − 2− 13 1

2 − 2− 13

u

1.102

a položme 

4  4 X=  3 3

 6 3 4 4+c  . 3 3+d  2 2

Portfolia (1, 0, 0)0 , (−3, 4, 0)0 ∈ E, portfolio (−1, 2, 0)0 ∈ / E. Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity 3 Závery Protipˇríklad pro úlohu m = 3, n = 4

Protipˇríklad. Zvolme 8

c = 3·

12

2− 13 − 2− 13 12

1 − 2− 13

0.796

u

8

d

= 3·

1 − 2− 13 1

2 − 2− 13

u

1.102

a položme 

4  4 X=  3 3

 6 3 4 4+c  . 3 3+d  2 2

Portfolia (1, 0, 0)0 , (−3, 4, 0)0 ∈ E, portfolio (−1, 2, 0)0 ∈ / E. Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity 4 Závery Rozšíˇrení výsledku pro m = 3, n = 4 pro matice X vyšší dimenze

Za pomoci uvedené matice lze protipˇríklad rozšíˇrit pro m ≥ 3 a n ≥ m + 1. Jedná se pouze o technické úpravy.

Martin Dungl




ˇ vyšetˇrování konvexity 4 Závery Rozšíˇrení výsledku pro m = 3, n = 4 pro matice X vyšší dimenze

Za pomoci uvedené matice lze protipˇríklad rozšíˇrit pro m ≥ 3 a n ≥ m + 1. Jedná se pouze o technické úpravy.

Martin Dungl




Obsah 1


2


3


4


5





Pˇríklad Striktneˇ pˇrijatelné portfolio nemusí být optimální

ˇ Mejme matici X=

0 −1 0 10

a testujme pˇrijatelnost a optimalitu portfolia τ = (1, 0)0 Uvažujeme generátor UE a povolené krátké prodeje. Vypoˇcteme, že portfolio τ je pˇrijatelné a striktneˇ pˇrijatelné, ale není optimální. Tento pˇríklad ukazuje, že se množiny striktneˇ pˇrijatelných a optimálních portfolií obecneˇ liší.

Martin Dungl





ˇ Mejme matici X=

0 −1 0 10


Martin Dungl





ˇ Mejme matici X=

0 −1 0 10


Martin Dungl





ˇ Mejme matici X=

0 −1 0 10


Martin Dungl




Spojení striktní pˇrijatelnosti a optimality Po zvolení vhodných pˇredpokladu˚

Uvažujme krátké prodeje omezené libovolným pevným a ∈ (−∞, 0]. Pro pevné p < −1 zaved’me generátor 1 UE0 (p) = , u : u(x) = −(tekx + (1 − t)elx ), k ∈ p, p 1 l ∈ p, , t ∈ [0, 1] . p Pro pevné τ ∈ Θa definujeme fτ : (Θa × U) → R pˇredpisem n

1X fτ (θ, u) = [u((Xθ)i ) − u((Xτ )i )] . n i=1

Martin Dungl







Martin Dungl







Martin Dungl




Spojení striktní pˇrijatelnosti a optimality ˇ Jako dusledek ˚ minimaxové vety

Lze dokázat, že pro libovolné τ ∈ Θa je max min fτ (θ, v ) = sup 0 θ∈Θa v ∈UE (p)

=

inf

inf0

θ∈Θa v ∈UE (p)

fτ (θ, v ) =

sup fτ (θ, v ) = min max fτ (θ, v ). 0

v ∈UE0 (p) θ∈Θa

v ∈UE (p) θ∈Θa

Má-li tento výraz nulovou hodnotu, je portfolio τ optimální, pˇrijatelné i striktneˇ pˇrijatelné. Platí i opaˇcná implikace.

Martin Dungl




Spojení striktní pˇrijatelnosti a optimality ˇ Jako dusledek ˚ minimaxové vety

Lze dokázat, že pro libovolné τ ∈ Θa je max min fτ (θ, v ) = sup 0 θ∈Θa v ∈UE (p)

=

inf

inf0

θ∈Θa v ∈UE (p)

fτ (θ, v ) =

sup fτ (θ, v ) = min max fτ (θ, v ). 0

v ∈UE0 (p) θ∈Θa

v ∈UE (p) θ∈Θa

Má-li tento výraz nulovou hodnotu, je portfolio τ optimální, pˇrijatelné i striktneˇ pˇrijatelné. Platí i opaˇcná implikace.

Martin Dungl



ˇ Záver 1


2


3


4


5




ˇ Záver Zavedli jsme používané pojmy, vˇcetneˇ tˇrí ruzných ˚ definic eficientního portfolia. Shrnuli jsme dosavadní výsledky. Dokázali jsme souvislost množiny portfolií optimálních vzhledem k obloukoveˇ souvislému generátoru, tvoˇrenému ze striktneˇ konkávních funkcí, pˇri omezených krátkých prodejích. Formulovali jsme nutnou a postaˇcující podmínku pro ˇ matice výnosu˚ zaruˇcující konvexitu množin rozmery portfolií optimálních vzhledem k exponenciálním funkcím, pˇri povolených krátkých prodejích. Formulovali jsme postaˇcující podmínku pro ekvivalenci tˇrí používaných definic eficience. Martin Dungl












ˇ Záver

Konec prezentace.

Martin Dungl



ˇ k oponentskému posudku Odpoved’ ˇ Cást 1

ˇ Nedávají zcela smysl nekteré komentáˇre, napˇr. poznámka na str. 34 nebo konvexnost množiny portfolií eficientních vzhledem k Markowitzovu modelu (str. 23). Poznámkou na str. 34 je de facto myšleno, že v dukazu ˚ ˇ 5.2 volíme jinou terminologii, než která je uvedena Vety napˇr. ve skriptech Doc. Lachouta Matematické programování. Pˇresto je v dukazu ˚ postupováno v souladu ˇ s temito skripty. Proto má oponent pravdu, poznámka není ˇ formulována pˇresne. ˇ na mysli úlohu s povolenými krátkými Na str. 23 jsem mel ˇ jistých pˇredpokladu, prodeji, ve které lze, za splnení ˚ hovoˇrit o konvexiteˇ množiny markowitzovsky eficientních portfolií. ˇ Poznámka není formulována pˇresne. Martin Dungl












ˇ Bernsteinovy vety ˇ zmínené ˇ na Vhodné by bylo uvést znení str. 43. ˇ jsem neuvedl, jelikož v práci pracujeme Bernsteinovu vetu ˇ ˇ uˇcinil pouze se záverem, který za použití této vety ˇ cil, že Whitmore (1989, 1994). Pˇresto jsem se nyní pˇresvedˇ ˇ o tomto názvu je více, proto její znení ˇ uvedu. vet ˇ Bernsteinova veta: Jestliže f je omezená a absolutneˇ monotónní funkce na intervalu (0, ∞), pak existuje jednoznaˇcneˇ urˇcená Borelova míra µ na intervalu [0, ∞], ˇ splnující µ([0, ∞]) = f (0+ ) a pro každé x > 0: Z ∞ f (x) = e−αx dµ(α). 0 Martin Dungl












Zajímavá (v práci neˇrešená) otázka je, které výsledky lze ˇ použít bez pˇredpokladu stejných pravdepodobností scénáˇru. ˚ ˇ ˇ Vetšina výsledku˚ zustane ˚ v platnosti, i když se nekteré ˇrádky matice výnosu˚ X nebudou navzájem lišit (lineární nezávislost sloupcu˚ však musí zustat ˚ zachována). Pomocí tohoto konceptu lze uvažovat, že pracujeme s koneˇcným ˇ množstvím scénáˇru, ˚ jejichž pravdepodobnosti nemusejí být stejné, ale jsou vyjádˇritelné racionálním cˇ íslem.

Martin Dungl




Zajímavá (v práci neˇrešená) otázka je, které výsledky lze ˇ použít bez pˇredpokladu stejných pravdepodobností scénáˇru. ˚ ˇ ˇ Vetšina výsledku˚ zustane ˚ v platnosti, i když se nekteré ˇrádky matice výnosu˚ X nebudou navzájem lišit (lineární nezávislost sloupcu˚ však musí zustat ˚ zachována). Pomocí tohoto konceptu lze uvažovat, že pracujeme s koneˇcným ˇ množstvím scénáˇru, ˚ jejichž pravdepodobnosti nemusejí být stejné, ale jsou vyjádˇritelné racionálním cˇ íslem.

Martin Dungl


Stochastická dominance a optimalita portfolií Část 1

Martin Dungl

Obsah

Pojmy • Portfolio = množina finančních aktiv (akcie, dluhopisy, …) • Výnos portfolia je náhodná veličina • Investor vybírá portfolio za účelem maximalizace očekávaného a minimalizace rizika • Očekávaný výnos odpovídá střední hodnotě výnosu

Předpoklady • Investor se rozhoduje na základě očekávaného výnosu a kovariance výnosů • Neomezená dělitelnost aktiv • Neexistují transakční náklady • Povoleny krátké pozice

Riziko – je třeba zohlednit? • St Peterburg paradox – 1713 Nicholas Bernoulli – Hážeme mincí, dokud nepadne orel – Padne-li orel v n-tém pokusu, dostaneme dukátů. 2 n −1 – Střední hodnota výnosů je nekonečná, přesto by za účast ve hře žádný investor nedal příliš velkou částku.

• Řešení – investor nemaximalizuje výnos, ale užitek. V tomto přístupu je již zohledněno riziko.

Jak vzít v potaz riziko? • Dva základní přístupy • 1. Maximalizujeme očekávaný výnos při zohlednění rizika – Zavádíme míry rizika

• 2. Maximalizujeme očekávaný užitek – Užitková funkce (Von Neumann a Morgenstern, 1944) – Sem patří i koncept stochastické dominance

Míry rizika • • • • •

Rozptyl výnosů (Markowitz, 1951) Semivariance (Markowitz, 1970) Střední absolutní odchylka (Sharpe, 1971) Value at risk (VaR) (1995) Conditional value at risk (CVaR) (Rockafellar a Uryasev, 2000)

Markowitzův model I

Markowitzův model II • Řešíme úlohu max r(x) – k .w(x) , k > 0 nebo min w(x) za podmínky r(x) > r0 • Řešení pro různá k tvoří eficientní hranici (mean-variance efficient frontier)

Markowitzův model III • Markowitz bullet

• Markowitzův model lze reprezentovat taktéž pomocí užitkových funkcí

VaR • Value-at-risk • p% - VaR je příslušný kvantil rozdělení ztrát • Tedy je to velikost ztrát, kterým se vyhneme s pravděpodobností p • Volíme p = 95%, p = 99%

CVaR • Conditional Value-at-risk nebo též „Expected shortfall“ • Střední hodnota ztrát, jestliže překročí stanovenou hladinu p • Míra zavedena po špatných zkušenostech s VaR (volba rozdělení s těžkými chvosty) • Lze reprezentovat pomocí konceptu stochastické dominance

Užitkové funkce • Zavedl Von Neumann a Morgernstern (1944)

Stochastická dominance a optimalita portfolií

Recommend Documents