Stochastická dominance a eficience akciového portfolia

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

Lenka Slámová Stochastick´ a dominance a eficience akciov´ eho portfolia Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı bakaláˇrské práce: RNDr. Ing. Miloˇs Kopa, Ph.D. Studijn´ı program: Matematika, obecná matematika 2007

Na tomto m´ıstˇe bych ráda podˇekovala pˇredevˇs´ım vedouc´ımu mé bakaláˇrské práce RNDr. Ing. Miloˇsovi Kopovi, PhD., za vˇsechen ˇcas a ochotu, se kterou se mi vˇenoval, za poskytnuté materiály, rady a moˇznost pˇr´ıstupu k programu GAMS. Také bych chtˇela podˇekovat panu Vladim´ıru Vaˇ nkovi z Burzy cenných pap´ır˚ u Praha, a.s., za poskytnutá data o akciových kurzech.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci napsala samostatnˇe a výhradnˇe s pouˇzit´ım citovaných pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcován´ım práce a jej´ım zveˇrejˇ nován´ım. V Praze dne 20.5.2007

Lenka Slámová

2

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Metody optimalizace portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Metoda stochastické dominance . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6

2 Stochastick´ a dominance druh´ eho ˇ r´ adu a eficience portfolia 2.1 Stochastická dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 CVaR - podm´ınˇený Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eficience portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9 10 12

3 Testov´ an´ı eficience portfolia vzhledem ke koneˇ cn´ e mnoˇ zinˇ e aktiv 14 3.1 Test eficience portfolia Praˇzské burzy I . . . . . . . . . . . . 18 4 Testov´ an´ı eficience portfolia vzhledem k nekoneˇ cn´ e mnoˇ zinˇ e portfoli´ı 4.1 Kritéria eficience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 R˚ uzné testy eficience a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . 4.3 Test eficience portfolia Praˇzské burzy II . . . . . . . . . . . .

21 22 24 27

Z´ avˇ er

30

Literatura

31

Pˇ r´ılohy

33

3

N´ azev pr´ ace: Stochastická dominance a eficience akciového portfolia Autor: Lenka Slámová Katedra: Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky Vedouc´ı bakal´ aˇ rsk´ e pr´ ace: RNDr. Ing. Miloˇs Kopa, Ph.D. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: V pˇredloˇzené práci studujeme stochastickou dominanci druhého ˇrádu (SSD) a jej´ı aplikaci na testován´ı eficience akciového portfolia. Definujeme pojmy a popisujeme základn´ı vlastnosti SSD, podm´ınˇeného Value at Risk (CVaR) a jejich spojitost. Nejdˇr´ıve odvod´ıme kritérium SSD eficience vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe aktiv, které je zaloˇzeno na vztahu SSD a tzv. distribuˇcn´ı funkce druhého ˇrádu, a poté pop´ıˇseme i kritéria SSD eficience vzhledem k nekoneˇcné mnoˇzinˇe portfoli´ı sloˇzených z koneˇcné mnoˇziny aktiv. Tento test je zaloˇzený na vztahu SSD a CVaR. Na konkrétn´ım pˇr´ıkladˇe dat z Praˇzské burzy cenných pap´ır˚ u otestujeme SSD eficienci portfolia, odpov´ıdaj´ıc´ıho indexu PX. Kl´ıˇ cov´ a slova: stochastická dominance druhého ˇrádu, eficience portfolia, podm´ınˇený Value at Risk Title: Stochastic dominance and stock portfolio efficiency Author: Lenka Slámová Department: Department of probability and mathematical statistics Supervisor: RNDr. Ing. Miloˇs Kopa, Ph.D. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: In the present work we study the second order stochastic dominance (SSD) and its application on tests of stock portfolio efficiency. We define terms of SSD, conditional Value at Risk (CVaR) and describe their main properties and a relationship between them. Firstly, we derive a criterion of SSD portfolio efficiency when only a finite set of assets is taken into account. This criterion is based on the relationship between SSD and so called second cumulative distribution function. Secondly, we describe criteria of SSD portfolio efficiency, considering all diversified portfolios. These criteria are based on the relationship between SSD and CVaR. These results are illustrated on an empirical example, using data from the Prague Stock Exchange. We test the SSD efficiency of the stock market portfolio corresponding to the exchange index PX. Keywords: second order stochastic dominance, portfolio efficiency, conditional Value at Risk 4

Kapitola 1 ´ Uvod 1.1

Metody optimalizace portfolia

ˇ sen´ım problému optimalizace portfolia by mˇela být mnoˇzina investiReˇ ˇcn´ıch strategi´ı, která je v jistém smyslu ”optimáln´ı” . Existuje celá ˇrada pˇr´ıstup˚ u, jak by takové optimáln´ı portfolio mˇelo vypadat. Jedn´ım z prvn´ıch nápad˚ u byla maximalizace oˇcekávaného zisku. Tento pˇr´ıstup byl obohacen v 50. letech 20. stolet´ı Markowitzem, který zohlednil také moˇzné riziko. Od této doby se vyvinulo mnoˇzstv´ı kritéri´ı, z nich se vˇetˇsina zamˇeˇruje na maximalizaci m´ıry zisku a minimalizaci m´ıry rizika. Zisk je ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u mˇeˇren pomoc´ı oˇcekávané hodnoty. Mˇeˇren´ı rizika je sloˇzitˇejˇs´ı, jednak proto, ˇze kaˇzdý investor má jiný vztah k riziku, a dále proto, ˇze neexistuje ˇzádná vˇseobecnˇe uznávaná m´ıra rizika. V roce 1944 byl Domarem a Musgravem [2] zaveden index rizika jako stˇredn´ı hodnota ztráty. Dalˇs´ım kandidátem na index rizika, který zavedl Roy v [17], byla pravdˇepodobnost ”katastrofy”, tj. pravdˇepodobnost, ˇze investor ztrat´ı v´ıc, neˇz je ochoten obˇetovat. Dále se vyuˇz´ıval napˇr´ıklad rozptyl výnos˚ u (v Markowitzovˇe modelu), ale uˇz Markowitz [10] sám zavedl m´ısto rozptylu v´ ynos˚ u tzv. semivarianci, která na rozd´ıl od p˚ uvodn´ıho rozptylu nepenalizuje odchylku doprava, kdy je výnos vyˇsˇs´ı neˇz stˇredn´ı hodnota výnosu. V posledn´ı dobˇe se v praxi velmi ˇcasto vyuˇz´ıvá k mˇeˇren´ı rizika tzv. Value at Risk (VaR) s danou konfidenc´ı α, který udává maximáln´ı moˇznou ztrátu pˇri zanedbán´ı ztráty, ke které m˚ uˇze doj´ıt s pravdˇepodobnost´ı menˇs´ı neˇz 1 − α (α vol´ıme bl´ızko 1). Jistou modifikac´ı VaR je podm´ınˇený Value at Risk (CVaR), který zavedli Rockafellar a Uryasev v [15]. Jiný pˇr´ıstup zohledˇ nuj´ıc´ı faktor rizika vyuˇz´ıvá teorii uˇzitku - kritérium optimality je maximalizace oˇcekávaného 5

uˇzitku. Uˇzitkové funkce zohledˇ nuj´ı postoj investora k riziku a d´ıky tomu je moˇzné naj´ıt investorovi jeho osobn´ı ”optimáln´ı” portfolio. Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u ale konkrétn´ı uˇzitkovou funkci neznáme, je ale moˇzné vycházet z jistých racionáln´ıch pˇredpoklad˚ u o podobˇe uˇzitkové funkce. V celé práci se budeme zabývat nalezen´ım mnoˇziny eficientn´ıch portfoli´ı, tedy v jistém smyslu nejlepˇs´ıch portfoli´ı, pro investory averzn´ı k riziku.

1.2

Metoda stochastick´ e dominance

Stochastická dominance (SD) se v souˇcasné dobˇe vyuˇz´ıvá v nejr˚ uznˇejˇs´ıch oblastech ekonomie, finanˇcn´ı matematiky a statistiky. Je zaloˇzena na porovnáván´ı náhodných veliˇcin v rámci náhodného uspoˇrádán´ı, které vyjadˇruje spoleˇcné preference racionálnˇe uvaˇzuj´ıc´ıch jedinc˚ u. Stochastická dominance je uspoˇrádán´ı, které se definuje pomoc´ı oˇcekávaného uˇzitku, jak uvid´ıme v 2. kapitole práce. Racionalita se projevuje nenasytnost´ı jedince, tj. jedinec preferuje vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı bohatstv´ı pˇred menˇs´ım. Tato vlastnost vede v teorii uˇzitku k rostouc´ı uˇzitkové funkci. Pˇri ˇreˇsen´ı problému optimalizace portfolia budeme pˇredpokládat, ˇze se investor snaˇz´ı maximalizovat sv˚ uj výnos a ˇze nevyhledává riziko (mluv´ıme o rizikovˇe averzn´ım investorovi). V tom pˇr´ıpadˇe se nám mnoˇzina uˇzitkových funkc´ı, se kterými je tˇreba pracovat, z´ uˇz´ı na mnoˇzinu neklesaj´ıc´ıch konkávn´ıch uˇzitkových funkc´ı. Averze k riziku je definována následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Máme-li náhodnou veliˇcinu ε s pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım P , pak ˇrekneme, ˇze investor je averzn´ı k riziku, jestliˇze pro jeho uˇzitkovou funkci u : I → R, (u neklesaj´ıc´ı na I ⊆ R) plat´ı, ˇze Eu(W + ε) < u(W + Eε) ∀W , kde W je u ´ roveˇ n majetku investora. Averze k riziku se dá interpretovat r˚ uznˇe. Rizikovˇe averzn´ı investor je ochotný zaplatit tzv. rizikovou prémii, které eliminuje riziko jeho ztráty. Máme-li X náhodnou veliˇcinu popisuj´ıc´ı výnos z nˇejaké investice a W u ´ roveˇ n majetku investora, pak riziková prémie je hodnota π, která ˇreˇs´ı rovnici Eu(W + X) = U(W + EX − π). Rizikovˇe averzn´ı investor je také takový investor, který nen´ı ochotný riskovat ve spravedlivé hˇre, tj. ve hˇre, jej´ıˇz stˇredn´ı výnos je nulový. Investor je averzn´ı k riziku, tehdy a jen tehdy, kdyˇz je jeho uˇzitková funkce u ryze konkávn´ı a riziková prémie kladná, jak dokázal Pratt v [14]. Nadále oznaˇcme U2 mnoˇzinu vˇsech neklesaj´ıc´ıch konkávn´ıch funkc´ı. 6

Struktura práce je následuj´ıc´ı. V kapitole 2 uvedeme základn´ı definice a tvrzen´ı spojené se stochastickou dominanc´ı druhého ˇrádu (SSD) a SSD eficienc´ı. Ve tˇret´ı kapitole uvedeme kritérium SSD eficience portfolia vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe aktiv a na konkrétn´ım pˇr´ıkladˇe dat z Praˇzské burzy zjist´ıme, zda výnosy trˇzn´ıho portfolia, odpov´ıdaj´ıc´ıho indexu PX, nejsou striktnˇe dominované výnosy nˇekteré z akci´ı vzhledem k SSD. V kapitole 4 pop´ıˇseme algoritmus pro testován´ı SSD eficience portfolia vzhledem k nekoneˇcné mnoˇzinˇe vˇsech moˇzných portfoli´ı sestavených z koneˇcné mnoˇziny aktiv a zjist´ıme, jestli trˇzn´ı portfolio, odpov´ıdaj´ıc´ı indexu praˇzské burzy PX, je nebo nen´ı SSD eficientn´ı.

7

Kapitola 2 Stochastick´ a dominance druh´ eho ˇ r´ adu a eficience portfolia V této kapitole uvedeme definice a základn´ı vlastnosti stochastické dominance druhého ˇrádu a eficientn´ıho portfolia. Hledán´ı optimáln´ıho portfolia m˚ uˇze prob´ıhat následovnˇe: nejdˇr´ıve se najde mnoˇzina eficientn´ıch portfoli´ı a poté se na prvky této mnoˇziny aplikuj´ı preference investora. Pro rizikovˇe averzn´ı investory nám uspoˇrádán´ı dané stochastickou dominanc´ı druhého ˇrádu (SSD) pom˚ uˇze oddˇelit portfolia eficientn´ı od neeficientn´ıch a urˇcit tak mnoˇzinu eficientn´ıch portfoli´ı, resp. nám stochastická dominance umoˇzn´ı otestovat, zda dané portfolio je eficientn´ı nebo nen´ı. Tato redukce mnoˇziny pˇr´ıpustných portfoli´ı m˚ uˇze znaˇcnˇe urychlit výpoˇcet optimáln´ıho portfolia, zvláˇstˇe pokud je mnoˇzina eficientn´ıch portfoli´ı malá. Hledán´ı mnoˇziny SSD eficientn´ıch portfoli´ı, resp. testován´ı SSD eficience daného portfolia, odpov´ıdá ˇreˇsen´ı u ´ loh lineárn´ıho programovan´ı, jak uvid´ıme ve 4. kapitole. Tyto testy budou vyuˇz´ıvat vztah SSD a podm´ınˇeného Value at Risk (CVaR), proto v této kapitole také uvedeme definice a základn´ı vlastnosti CVaR.

8

2.1

Stochastick´ a dominance

V celé práci uvaˇzujme pravdˇepodobnostn´ı prostor (Ω, A, P ), náhodné veliˇciny X : (Ω, A) → (R1 , B1 ) a zprava spojité distribuˇcn´ı funkce F : R → [0, 1]. Hanoch & Levy zavedli v [4] definici stochastické dominance následovnˇe: Definice 2.1. : Necht’ X1 a X2 jsou dvˇe reálné náhodné veliˇciny s distribuˇcn´ımi funkcemi ˇ F1 (x) a F2 (x). Rekneme, ˇze X1 dominuje X2 vzhledem k stochastické dominanci druhého ˇrádu (SSD), p´ıˇseme X1 SSD X2 , jestliˇze Eu(X1 ) − Eu(X2 ) ≥ 0

(2.1)

pro kaˇzdou uˇzitkovou funkci u ∈ U2 , pro kterou Eu(X1 ) a Eu(X2 ) existuj´ı. Tato definice vycház´ı z pˇredpokladu, ˇze se rizikovˇe averzn´ı investor snaˇz´ı maximalizovat svou uˇzitkovou funkci. Jestliˇze portfolio s výnosem X1 dominuje portfolio s výnosem X2 vzhledem ke stochastické dominanci druhého ˇrádu, pak kaˇzdý investor preferuje X1 pˇred X2 , nebo je mezi nimi indiferentn´ı, protoˇze oˇcekávaný uˇzitek z portfolia s výnosem X1 budˇe vˇetˇs´ı nebo rovný oˇcekávanému uˇzitku z portfolia s výnosem X2 . Uspoˇrádán´ı dané SSD je pouze ˇcásteˇcné uspoˇrádán´ı, protoˇze pokud X1 SSD X2 , pak jeˇstˇe nemus´ı platit X2 SSD X1 . Odpov´ıdaj´ıc´ı relace striktn´ı dominance je definována standardnˇe: Definice 2.2. : X1 ≻SSD X2 , jestliˇze X1 SSD X2 a souˇcasnˇe X2 SSD X1 . Definice striktn´ı dominance tvrd´ı, ˇze X1 ≻SSD X2 ⇐⇒ ∀u ∈ U2 : Eu(X1 ) − Eu(X2 ) ≥ 0 a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost. Oznaˇcme (2) Fi (t)

=

Z

t

Fi (x)dx.

(2.2)

−∞

Pro (SSD) plat´ı následuj´ıc´ı nutné a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky, d˚ ukaz je uveden v Hanoch & Levy [4]. Lemma 2.3. : Necht’ X1 a X2 jsou dvˇe náhodné veliˇciny s distribuˇcn´ımi funkcemi po ˇradˇe F1 a F2 . Pak plat´ı: 9

(2)

(2)

(2)

(2)

i) X1 SSD X2 právˇe tehdy, kdyˇz F1 (t) ≤ F2 (t) pro kaˇzdé t ∈ R ii) X1 ≻SSD X2 právˇe tehdy, kdyˇz F1 (t) ≤ F2 (t) pro kaˇzdé t ∈ R a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost. (−1)

Kvantilová funkce FX , odpov´ıdaj´ıc´ı reálné náhodné veliˇcinˇe X, je standardnˇe definována na [0, 1] jako zprava spojitá inverzn´ı funkce k distribuˇcn´ı funkci FX : (−1) FX (v) = min{u : FX (u) ≥ v}. (−2)

Definujme kvantilovou funkci druhého ˇrádu FX :  Rv (−1)  −∞ FX (t)dt pro 0 < v ≤ 1 (−2) FX (v) = 0 pro v = 0  +∞ jinak.

Nádleduj´ıc´ı tvrzen´ı, dokázané v práci Ogryczaka a Ruszczy´ nskeho [11], uvád´ı základn´ı vlastnosti kvantilové funkce druhého ˇrádu a jej´ı vztah s (SSD). Lemma 2.4. : Pro kaˇzdou náhodnou veliˇcinu X, E|X| < ∞ plat´ı: (−2)

i) FX

(p) = supν∈R {νp − E max(ν − X, 0)} ∀p ∈ R

ii) X1 SSD X2 ⇔

2.2

(−2)

F1

p

(p)

≥

(−2)

F2

(p)

p

∀p ∈ [0, 1].

CVaR - podm´ınˇ en´ y Value at Risk

Necht’ X je náhodná veliˇcina pˇredstavuj´ıc´ı výnos z investice a necht’ Y = −X je náhodná veliˇcina s distribuˇcn´ı funkc´ı G. Value at Risk na kon(−1) fidenˇcn´ı hladinˇe α ∈ [0, 1] je definován jako VaRα (Y ) = GY (α). Uryasev a Rockafellar v [15] definovali podm´ınˇený Value at Risk (CVaR) na dané konfidenˇcn´ı hladinˇe α, odpov´ıdaj´ıc´ı náhodné veliˇcinˇe Y s distribuˇcn´ı funkc´ı G, následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Definice 2.5. : Podm´ınˇený Value at Risk CVaRα na dané konfidenˇcn´ı hladinˇe α, odpov´ıdaj´ıc´ı náhodné ztrátˇe Y , je CVaRα (Y ) = stˇredn´ı hodnota rozdˇelen´ı α-chvostu Y , 10

kde rozdˇelen´ı α-chvostu Y definujeme jako G(y)−α pro y ≥ VaRα (Y) 1−α Gα (y, VaRα (Y)) = 0 pro y < VaRα (Y ). Jednou ze základn´ıch vlastnost´ı CVaR je následuj´ıc´ı rovnost: CVaRα (Y ) = E(Y |Y ≥ VaRα (Y )) Pˇredpokládejme, ˇze E|Y | < ∞. Alternativn´ı definice podm´ınˇeného Value at Risk CVaR, kterou m˚ uˇzeme naj´ıt v práci Pflug [12], je následuj´ıc´ı: Definice 2.6. : Podm´ınˇený Value at Risk CVaRα na dané konfidenˇcn´ı hladinˇe α definujeme jako ˇreˇsen´ı optimalizaˇcn´ı u ´lohy 1 + CVaRα (Y ) = min a + . (2.3) E[Y − a] a∈R 1−α Výraz [Y − a]+ v (2.3) odpov´ıdá kladné ˇcásti z výrazu (Y − a), plat´ı tedy [Y − a]+ = max(Y − a, 0). D˚ usledkem Lemmatu 2.4 je následuj´ıc´ı vztah mezi CVaR a SSD. D˚ ukaz je uveden napˇr. v práci Kopa [7]. Lemma 2.7. : Necht’ Yi = −Xi a E|Yi | < ∞ pro i = 1, 2. Pak plat´ı X1 SSD X2

⇔

CVaRα (Y1 ) ≤ CVaRα (Y2 ) ∀α ∈ [0, 1].

(2.4)

Následuj´ıc´ı lemma bude uˇziteˇcné pro praktický výpoˇcet v kapitole 4. Necht’ Y je náhodná veliˇcina nabývaj´ıc´ı hodnot y1 , . . . , yT se stejnými pravdˇepodobnostmi. Oznaˇcme y [k] k-tý nejmenˇs´ı prvek mezi y1 , . . . , yT , tj. plat´ı y [1] ≤ · · · ≤ y [T ]. Lemma 2.8. : a pro α 6= 1 plat´ı Pro α ∈ Tk , k+1 T CVaRα (Y ) = y

[k+1]

T X 1 + y [i] − y [k+1] (1 − α)T i=k+1

pro k = 0, 1, . . . , T − 1 a CVaR1 (Y ) = y [T ] .

D˚ ukaz: Viz. Kopa [7] nebo Rockafellar & Uryasev [16].

11

2.3

Eficience portfolia

Pˇredpokládejme koneˇcnou (a tedy diskrétn´ı) mnoˇzinu N rizikových aktiv (nezahrnujeme tedy bezrizikové aktivum). Oznaˇcme r = (r1 , r2 , . . . , rN )′ náhodný vektor výnos˚ u z tˇechto N aktiv. Portfolio m˚ uˇzeme chápat jako ′ vektor λ = (λ1 , λ2 , . . . , λN ) , kde λi pˇredstavuje pod´ıl jmˇen´ı investora investovaný do i-tého aktiva, i = 1, . . . , N. Mnoˇzinu vˇsech portfoli´ı oznaˇcme Λ = {λ ∈ RN : 1′ λ = 1, λn ≥ 0, n = 1, 2, . . . , N}

(2.5)

Poˇzadavek 1′ λ = 1 m˚ uˇzeme chápat tak, ˇze investor chce investovat veˇskeré své jmˇen´ı. Poˇzadavkem na λn ≥ 0, n = 1, 2, . . . , N zakazujeme tzv. krátké pozice, kdy investor m˚ uˇze prodat aktivum, které momentálnˇe nevlastn´ı. Pomoc´ı tˇechto oznaˇcen´ı m˚ uˇzeme vyjádˇrit výnos portfolia λ ∈ Λ jako r′ λ =

N X

ri λ i .

(2.6)

i=1

Protoˇze r je náhodný vektor, tak i r′ λ je náhodná veliˇcina. Testované portfolio oznaˇcme τ = (τ1 , τ2 , . . . , τN )′ . Definice 2.9. : ˇ Rekneme, ˇze portfolio τ ∈ Λ je SSD neeficientn´ı, pokud existuje portfolio λ ∈ Λ takové, ˇze Eu(r′ λ) ≥ Eu(r′ τ ) pro kaˇzdou uˇzitkovou funkci u ∈ U2 a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je portfolio τ ∈ Λ SSD eficientn´ı. Mnoˇzinu eficientn´ıch portfoli´ı tvoˇr´ı vˇsechna portfolia, která nejsou striktnˇe SSD dominována ˇzádným jiným portfoliem. Pokud je nˇejaké portfolio striktnˇe SSD dominované jiným portfoliem, pak je SSD neeficientn´ı. Jinou definici SSD eficientn´ıho portfolia zavedl Post v [13]. Z této definice vycház´ı ve svých testech eficience, jak uvid´ıme v kapitole 4, proto zde jeho definici uvedu. Definice 2.10. : ˇ Rekneme, ˇze portfolio τ ∈ Λ je ryze SSD neeficientn´ı, pokud existuje portfolio λ ∈ Λ takové, ˇze Eu(r′ λ) > Eu(r′ τ ) pro kaˇzdou uˇzitkovou funkci u ∈ U2s , kde U2s je mnoˇzina ryze konkávn´ıch uˇzitkových funkc´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je portfolio τ ∈ Λ striktnˇe SSD eficientn´ı. 12

Post pouˇz´ıvá v definici SSD eficience portfolia ryze konkávn´ı uˇzitkové funkce, plat´ı U2S ⊂ U2 . Pokud je portfolio ryze SSD neeficientn´ı, pak je i SSD neeficientn´ı. Definice 2.9 je obecnˇejˇs´ı, proto budeme dále pracovat s eficienc´ı portfolia ve smyslu Definice 2.9. Dále definujme eficienci portfolia vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe aktiv. Definice 2.11. : ˇ Rekneme, ˇze portfolio τ ∈ Λ je SSD eficientn´ı vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe N aktiv, jestliˇze ˇzádné z tˇechto N aktiv striktnˇe nedominuje portfolio τ vzhledem k (SSD). Tuto definici lze pˇrepsat následovnˇe: τ je neeficientn´ı, pokud ∃ i ∈ {1, . . . , N} : ri ≻SSD r′ τ , kde ri , i = 1, . . . , N je náhodná veliˇcina popisuj´ıc´ı výnos i-tého aktiva.

13

(2.7)

Kapitola 3 Testov´ an´ı eficience portfolia vzhledem ke koneˇ cn´ e mnoˇ zinˇ e aktiv V této kapitole se budeme zabývat zjednoduˇseným problémem hledán´ı optimáln´ı investice. Mˇejme mnoˇzinu N aktiv. Oznaˇcme X1 , X2 , . . . , XN náhodné veliˇciny vyjadˇruj´ıc´ı výnosy z tˇechto N aktiv. U kaˇzdé z tˇechto N náhodných veliˇcin mˇejme T pozorován´ı, oznaˇcme xi,j j-té pozorován´ı náhodné veliˇciny Xi , i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , T . Data uspoˇrádáme tak, aby platilo xi,1 ≤ xi,2 ≤ · · · ≤ xi,T , i = 1, . . . , N. Oznaˇcme Y náhodnou veliˇcinu vyjadˇruj´ıc´ı výnos portfolia, jehoˇz eficienci vzhledem k mnoˇzinˇe aktiv {Xi , i = 1, . . . , N} chceme testovat. Mˇejme opˇet T pozorován´ı náhodné veliˇciny Y , která uspoˇrádáme tak, ˇze y1 ≤ · · · ≤ yT . ˇ epána [18] definována takto: Empirická distribuˇcn´ı funkce je podle Stˇ Definice 3.1. : Bud’te X1 , . . . , XT nezávislé náhodné veliˇciny se spoleˇcným pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ım P (tj. náhodný výbˇer). Poloˇz´ıme F (x, ω) = card{n : 1 ≤ n ≤ T, Xn (ω) ≤ x}/T,

ω ∈ Ω, x ∈ R.

Zobrazen´ı F : Ω × R → R se nazývá empirická distribuˇcn´ı funkce pˇr´ısluˇsn´ a náhodnému výbˇeru X1 , . . . , XT . Pozorován´ı xi,1 , . . . , xi,T , i = 1, . . . , N a y1 , . . . , yT jsou náhodné výbˇery z pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı, která odpov´ıdaj´ı rozdˇelen´ı náhodných veliˇcin X1 , . . . , XN a Y . Oznaˇcme FXi , i = 1, . . . , N a FY empirické distribuˇcn´ı funkce pˇr´ısluˇsej´ıc´ı tˇemto náhodným výbˇer˚ um. 14

Pro testován´ı SSD eficience pouˇzijeme Definici 2.11 a Lemma 2.3, neboli pro kaˇzdé i = 1, . . . , N ovˇeˇr´ıme, zda (2)

(2)

FXi (t) ≤ FY (t) ∀t ∈ R, a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost

(3.1)

Pokud takové i najdeme, tak jsme ukázali, ˇze Xi ≻SSD Y . Pokud ˇzádné takové i neexistuje, tak jsme dokázali SSD eficienci Y vzhledem k mnoˇzinˇe aktiv {X1 , . . . , XN }. K ovˇeˇren´ı (3.1) pouˇzijeme následuj´ıc´ı tvrzen´ı, které i dokáˇzeme. Tvrzen´ı 3.2. : Necht’ X a Y jsou diskrétn´ı náhodné veliˇciny. Necht’ náhodná veliˇcina X nabývá hodnot x1 ≤ . . . ≤ xT a náhodná veliˇcina Y necht’ nabývá hodnot y1 ≤ . . . ≤ yT , vˇzdy s pravdˇepodobnost´ı 1/T . Necht’ FX a FY jsou distribuˇcn´ı funkce X a Y . Pak plat´ı následuj´ıc´ı ekvivalence: (2)

(2)

FY (x) ≤ FX (x) ∀x ∈ R a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost ⇔ (3.2) j j X X xi ∀j = 1, . . . , T a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost. yi ≥ i=1

i=1

D˚ ukaz: Plat´ı, ˇze (2)

FY (x) =

Z

x

FY (y)dy =

−∞

Z

x

−∞

( T X

I{yi ≤ x}/T

i=1

(2)

)

dx =

X

(x − yi )/T

i:yi ≤x

(2)

Pˇredpokládejme, ˇze ∀x ∈ R je FY (x) ≤ FX (x) a ˇze pro xˆ ∈ R plat´ı (2) (2) FY (ˆ x) < FX (ˆ x). Dokáˇzeme, ˇze pro kaˇzdé i = 1, . . . , T plat´ı i X

yk ≥

i X

xk

(3.3)

k=1

k=1

Zvolme i ∈ {1, . . . , T } libovolnˇe a poloˇzme x = xi . Pokud x < y1 , pak urˇcitˇe x1 < y1 , x2 < y1 ≤ y2 , . . . , xi < y1 ≤ yi . Tud´ıˇz plat´ı (3.3) . (2) (2) Pokud x ≥ y1 , tak najdeme j = max{k : yk ≤ x}. FY (x) ≤ FX (x) implikuje, ˇze j i X X (x − xk ). (3.4) (x − yk ) ≤ k=1

k=1

15

Mohou nastat tˇri pˇr´ıpady: P P i) i = j: Pak ik=1 yi ≥ ik=1 xi P P P ii) i < j: Pak máme ik=1 (x − yk ) + jk=i+1 (x − yk ) ≤ ik=1 (x − xk ), P souˇcasnˇe yi+1 ≤ · · · ≤ yj ≤ x, tud´ıˇz jk=i+1 (x − yk ) ≥ 0 a tedy plat´ı Pi Pi k=1 yi ≥ k=1 xi . Pj iii) i > j: Protoˇze x < yj+1 ≤ · · · ≤ yi , tak máme k=1 (x − yk ) + Pi Pj Pi (x − yk ) ≤ k=1 (x − xk ) ≤ k=1 (x − xk ) a tud´ıˇz opˇet plat´ı Pi Pk=j+1 i k=1 xi . k=1 yi ≥ (2)

(2)

Pro xˆ plat´ı FY (ˆ x) < FX (ˆ x). Pokud pak 0 = FY (ˆ x) < FX (ˆ x), Pj xˆ < y1 ,P j z ˇcehoˇz ovˇsem plyne, ˇze x1 < xˆ, tedy k=1 yk > k=1 xk plat´ı pro j = 1. Je-li xˆ ≥ y1 , pak v (3.4) pro x = xˆ plat´ı ostrá nerovnost a ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech i), ii) a iii) se zmˇen´ı na ostrou. Pro Pi Pineostrá nerovnost i = max{k : xk ≤ xˆ} pak plat´ı k=1 yk > k=1 xk . Nyn´ı dokáˇzeme opaˇcnou implikaci. Pˇredpokládejme, ˇze j X

∀j

yi ≥

Pl

k=1 yi (2)

>

xi ,

(3.5)

k=1

k=1

a ˇze pro l ∈ {1, . . . , T } je kaˇzdé x ∈ R je

j X

Pl

k=1 xi .

Potˇrebujeme dokázat, ˇze pro

(2)

FY (x) ≤ FX (x)

(3.6)

a plat´ı alespoˇ n jedna ostrá nerovnost. (2)

(2)

• x ∈ (−∞, x1 ) ⇒ FY (x) = 0 = FX (x). (2)

(2)

• x ∈ [x1 , y1 ] ⇒ FX (x) = (x − x1 )/T ≥ 0 = FY (x). • j = 1, . . . , T − 1, x ∈ [yj , yj+1). Najdeme i ∈ {1, . . . , T } tak, ˇze P (2) (2) i = max{k : xk ≤ x}. Pak FY (x) = jk=1 (x − yk )/T a FX (x) = Pi k=1 (x − xk )/T . Mohou nastat tˇri pˇr´ıpady:

a) i = j: Pak z (3.5) plyne

Pi

k=1 (x

16

− yk ) ≤

Pi

k=1 (x

− xi ) ⇒ (3.6).

b) iP< j: Pak z (3.5)P a z x ≤ xi+1 ≤ · P · · ≤ xj plyne i j j k=1 (x − xk ) ⇒ (3.6). k=1 (x − xk ) ≤ k=1 (x − yk ) ≤

c) P i > j: Pak z (3.5)P a z xj+1 ≤ · · · ≤P xi ≤ x plyne i j j (x − x ) ≤ (x − y ) ≤ k k k=1 (x − xk ) ⇒ (3.6). k=1 k=1

• x ≥ yT . Najdeme i ∈ {1, P . . . , T }, ˇze iP = max{k : xk ≤Px}. T T T Pak z pˇredpokladu, ˇze k=1 (x − yk ) ≤ k=1 yi ≥P k=1 xi plyne PT Pi i ze x ≤ xi+1 ≤ k=1 (x − xk ), protoˇ k=i+1 (x − xk ) ≤ k=1 (x − xk )+ · · · ≤ xT . (2)

(2)

Nyn´ı jeˇstˇe potˇrebujeme naj´ıt xˆ, pro které by platilo FY (ˆ x) < FX (ˆ x). Zvol´ıme xˆ = xP a najdeme j = max{k : y ≤ x ˆ }. l k P Z nerovnosti lk=1 yk > lk=1 xk stejnˇe jako v pˇr´ıpadech a) - c) (s ostrými (2) (2) nerovnostmi a i = l) plyne, ˇze FY (ˆ x) < FX (ˆ x). T´ım je tvrzen´ı dokázáno. Jiný d˚ ukaz tohoto tvrzen´ı lze nalézt v Lévy [6] nebo v práci Kuosmanena [9]. Jejich d˚ ukaz je zaloˇzen na duáln´ım pˇr´ıstupu, v´ıce viz. práce Ogryczaka & Ruszczy´ nského [11].

17

3.1

Test eficience portfolia Praˇ zsk´ e burzy I

Testujme eficienci portfolia Praˇzské burzy vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe aktiv. Tj. chceme otestovat, jestli je portfolio odpov´ıdaj´ıc´ı indexu Praˇzské burzy cenných pap´ır˚ u PX, oznaˇcme si ho τ , SSD eficientn´ı ve smyslu Definice 2.11. Koneˇcná mnoˇzina, vzhledem ke které chceme SSD eficienci portfolia τ testovat, je tvoˇrena 9 akciemi, které toto portfolio tvoˇrily k datu 28.2.2007, s vahami uvedenými v tabulce 3.1. Speciálnˇe pouˇzijeme Tvrzen´ı 3.2 na scénáˇre výnos˚ u jednotlivých akci´ı. Výnosy byly spoˇcteny z uzav´ırac´ıch akciových kurz˚ u na konci kaˇzdého obchodovac´ıho týdne od 1.9.2005 do 28.2.2007, coˇz dáv´ a I = 87 týdn˚ u. Pro i = 1, . . . , I oznaˇcme K(i) kurz dané akcie na konci i-tého týdne. Data, se kterými pracujeme, splˇ nuj´ı pˇredpoklad, ˇze dividenda, pokud byla vyplacena, byla v daném obdob´ı vyplacena právˇe jednou, a ˇze spoleˇcnost, pokud dividendy vyplác´ı, je vyplác´ı od nˇejakého data pravidelnˇe jednou roˇcnˇe. Oznaˇc´ıme-li D vyplacenou dividendu, t ∈ {1, . . . , I} týden, kdy byla dividenda vyplacena, pak je odpov´ıdaj´ıc´ı pr˚ umˇerný dividendový výnos dané D akcie v i-tém týdnu roven D(i) = 52 I[t−52≤i
K(i + 1) − K(i) + D(i) , i = 1, . . . , 86. K(i)

Týdenn´ı data od 1.9.2005 do 28.2.2007 dávaj´ı 86 pozorován´ı pro kaˇzdou akcii. Data byla poskytnuta Burzou cenných pap´ır˚ u Praha, a.s. Portfolio τ je SSD eficientn´ı vzhledem k této mnoˇzinˇe 9 akci´ı, pokud výnosy ˇzádné z akci´ı nesplˇ nuj´ı podm´ınku na pravé stranˇe ekvivalence (3.2). Snadno lze ovˇeˇrit, ˇze tato podm´ınka nen´ı splnˇena pro ˇzádnou z dev´ıti akci´ı, testované portfolio je tedy eficientn´ı. Naopak lze jednoduˇse ovˇeˇrit, ˇze výnosy akc´ı Komerˇcn´ı banky, a.s., Phillip Moris, a.s., Telefonica, a.s. a Zentiva, a.s. jsou striktnˇe dominovány výnosy portfolia τ vzhledem k SSD, a tud´ıˇz jsou SSD neeficientn´ı. Dále otestujeme, jestli mezi portfolii τ a λ existuje relace striktn´ı SSD dominance, kde portfolio λ je sloˇzené z bazických akci´ı portfolia τ v rovnocenném pomˇeru, tj. λi = 91 , i = 1, . . . , 9. Aplikac´ı Tvrzen´ı 3.2 lze opˇet snadno ovˇeˇrit, ˇze portfolio τ nen´ı striktnˇe SSD dominované portfoliem λ, 18

Název akcie CETV ˇ CEZ ERSTE BANK ˇ Í BANKA KOMERCN ORCO ˇ PHILIP MORRIS CR ´ TELEFONICA O2 C.R. UNIPETROL ZENTIVA

Váha 6,36% 22,40% 24,33% 14,06% 2,93% 2,17% 18,37% 4,47% 4,92%

Tabulka 3.1: Sloˇzen´ı portfolia Praˇzské burzy PX (2)

(2)

viz. obrázek 3.1. Jinak by totiˇz muselo být Fτ (x) − Fλ (x) ≥ 0 pro kaˇzdé x, s alespoˇ n jednou ostrou nerovnost´ı. Pro porovnán´ı uvád´ım i tabulku 3.2 stˇredn´ıch výnos˚ u a smˇerodatných odchylek portfoli´ı τ a λ. EX σ

τ 0,53 % 2,54 %

λ 0,51 % 2,45%

Tabulka 3.2: Stˇredn´ı hodnoty a smˇerodatné odchylky týdenn´ıch výnos˚ u trˇzn´ıho portfolia τ a portfolia λ s vahami 1/N

19

0.05 0.045 0.04 0.035

(2)

F (x)

0.03 0.025 0.02 0.015 (2) τ

0.01

F

F(2)

0.005

λ

0 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

x

−4

5

x 10

(2) τ

F

(2) λ

−F

4

(2)

(2)

Fτ (x) − Fλ (x)

3

2

1

0

−1

−2 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

x

(2)

Obrázek 3.1: Grafy funkc´ı Fτ

20

(2)

a Fλ a jejich rozd´ıl

Kapitola 4 Testov´ an´ı eficience portfolia vzhledem k nekoneˇ cn´ e mnoˇ zinˇ e portfoli´ı Ve tˇret´ı kapitole jsme ukázali, jak se dá otestovat eficience portfolia vzhledem ke koneˇcné mnoˇzinˇe aktiv. Pˇredpoklad koneˇcné mnoˇziny aktiv ale nen´ı reálný, protoˇze investor se obecnˇe snaˇz´ı diverzifikovat portfolio v rámci urˇcité mnoˇziny aktiv a má tedy nekoneˇcnˇe mnoho moˇznost´ı, jak portfolio sestavit. Prvn´ı testy eficience daného portfolia vzhledem k nekoneˇcné mnoˇzinˇe vˇsech moˇzných portfoli´ı sloˇzených z mnoˇziny aktiv byly navrhnuty Postem v [13] a Kuosmanenem v [9]. My se soustˇred´ıme na podm´ınky, které odvodil Kopa v [7]. O ostatn´ıch testech pojednáme v druhé ˇcásti kapitoly. Zachovejme znaˇcen´ı z podkapitoly 2.3 a dále pˇredpokládejme, ˇze r má diskrétn´ı rozdˇelen´ı s koneˇcnou mnoˇzinou T hodnot - scénáˇr˚ u, z nichˇz kaˇzdý m˚ uˇze nastat se stejnou pravdˇepodobnost´ı. Výnosy z N investic pˇri tˇechto T moˇzných scénáˇr´ıch oznaˇcme   x1  x2    X =  ..   .  xT kde v i-tém ˇrádku matice X máme vektor výnos˚ u pˇri i-tém scénáˇri i i i i x = (x1 , x2 , . . . , xN ). Bez u ´ jmy na obecnosti pˇredpokládejme, ˇze sloupce matice X jsou lineárnˇe nezávislé.

21

4.1

Krit´ eria eficience

Kopa v práci [7] odvodil nutné a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky SSD eficience portfolia τ , které jsou zaloˇzené na vztahu CVaR a SSD. Tyto podm´ınky jsou zformulované v následuj´ıc´ıch dvou tvrzen´ıch, jejich d˚ ukaz je uveden v [7]. Tvrzen´ı 4.1. : Necht’ αk = k/T, k = 0, . . . , T − 1. Necht’ ∗

d = max λn

T −1 X N X

λn [CVaRαk (−r′ τ ) − CVaRαk (−rn )]

(4.1)

k=0 n=1

za podm´ınek PN ′ k = 0, 1, . . . , T − 1 n=1 λn [CVaRαk (−r τ ) − CVaRαk (−rn )] ≥ 0, λ ∈ Λ. Pokud d∗ > 0, pak je portfolio τ SSD neeficientn´ı. Optimáln´ı ˇreˇsen´ı λ∗ u ´lohy ′ ∗ ′ (4.2) je SSD eficientn´ı portfolio a plat´ı, ˇze r λ ≻SSD r τ . Toto tvrzen´ı nám dává nutnou, ale ne postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro SSD eficienci portfolia τ . M˚ uˇze se stát, ˇze portfolio τ je neeficientn´ı, i kdyˇz (4.1) nemá pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı nebo kdyˇz d∗ = 0. V pˇr´ıpadˇe, kdy d∗ = 0, jsou dvˇe moˇznosti: ´ • Uloha (4.1) má jediné optimáln´ı ˇreˇsen´ı λ∗ = τ . V tomto pˇr´ıpadˇe je τ SSD eficient´ı. ´ • Uloha (4.1) má optimáln´ı ˇreˇsen´ı λ∗ 6= τ . V tomto pˇr´ıpadˇe je τ SSD neeficientn´ı a λ∗ je dominuj´ıc´ı, SSD eficientn´ı portfolio. Pˇr´ıpad, kdy d∗ = 0, λ∗ 6= τ a τ je SSD eficientn´ı, nem˚ uˇze nastat, nebot’ bychom doˇsli ke sporu s lineárn´ı nezávislost´ı ˇrádk˚ u matice X. Pokud problém (4.1) nemá pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı, pak lze pouˇz´ıt nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku. Tvrzen´ı 4.2. : Necht’ αk = k/T, k = 1, . . . , T − 1. Necht’ ∗

D (τ ) = max

Dk ,λk ,bk

22

T −1 X k=0

Dk

(4.2)

za podm´ınek CVaRαk (−r′ τ ) − bk −

1 E[−r′ λ 1−αk

− bk ]+ ≥ Dk , k = 0, 1, . . . , T − 1 Dk ≥ 0, k = 0, 1, . . . , T − 1 λ ∈ Λ.

Jestliˇze D ∗ (τ ) > 0, pak je portfolio τ SSD neeficientn´ı. Optimáln´ı ˇreˇsen´ı λ u ´lohy (4.2) je SSD eficientn´ı portfolio a plat´ı, ˇze r′ λ∗ ≻SSD r′ τ . V opaˇcném pˇr´ıpadˇe (tj. jestliˇze je D ∗ (τ ) = 0) je τ SSD eficientn´ı. ´ Uloha (4.2) má vˇzdy pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı a lze j´ı pˇrepsat do následuj´ıc´ıho tvaru: T X Dk (4.3) D ∗ (τ ) = max t ∗

Dk ,λk ,bk ,wk

k=1

za podm´ınek

CVaR k−1 (−r′ τ ) − bk − T

1 (1− k−1 )T T

PT

wkt ≥ Dk ,

t=1

wkt wkt Dk λ

≥ ≥ ≥ ∈

k = 1, . . . , T

−xt λ − bk , t, k = 1, . . . , T 0 t, k = 1, . . . , T 0, k = 1, . . . , T Λ.

´ Uloha (4.3) pouˇzitá v Tvrzen´ı 4.2 nam´ısto u ´ lohy (4.2) dává kritérium SSD eficience ve tvaru lineárn´ıho programovan´ı. Algoritmus, který odvodil Kopa v [7] pro testován´ı SSD eficience daného portfolia τ je následuj´ıc´ı: ′ KROK PN 1: Pokud′ rn ≻SSD r τ pro nˇejaké n ∈ {1, . . . , N} nebo pokud 1 n=1 rn ≻SSD r τ , pak jdi na KROK 4. N

KROK 2: Vyˇreˇs u ´ lohu (4.1). Pokud d∗ > 0, pak jdi na KROK 4. Pokud d∗ = 0 a u ´ loha (4.1) má jediné optimáln´ı ˇreˇsen´ı, pak jdi na KROK 5. Pokud d∗ = 0 a u ´ loha (4.1) má v´ıce optimáln´ıch ˇreˇsen´ı, pak jdi na KROK 4.

KROK 3: Vyˇreˇs u ´ lohu (4.3). Pokud D ∗ (τ ) > 0, pak jdi na KROK 4, jinak jdi na KROK 5. KROK 4: Konec algoritmu, portfolio τ je SSD neeficientn´ı. KROK 5: Konec algoritmu, portfolio τ je SSD eficientn´ı.

23

4.2

R˚ uzn´ e testy eficience a jejich vlastnosti

• Post˚ uv test Post v [13] vycházel z definice eficience 2.10, tj. uvaˇzoval pouze ryze konkávn´ı uˇzitkové funkce. Jeho test je následuj´ıc´ı ξ(τ ) = min θ θ,βt

za podm´ınek PT

t=1

(4.4)

βt (x[t] τ − xtn )/T + θ ≥ 0 n = 1, . . . , N βt − βt+1 ≥ 0 t = 1, . . . , T − 1 βT = 1,

kde x[t] τ jsou výnosy portfolia τ pˇri T r˚ uzných scénáˇr´ıch seˇrazené [1] od nejmenˇs´ıho po nejvˇetˇs´ı, tj. x τ ≤ · · · ≤ x[T ] τ . Tvrzen´ı 4.3. : Portfolio τ je ryze SSD neeficientn´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz ξ(τ ) > 0. Alternativnˇe, portfolio τ je ryze SSD eficientn´ı, právˇe tehdy, kdyˇz ξ(τ ) = 0. Post pˇredchoz´ı tvrzen´ı uvád´ı jako nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro ryz´ı SSD eficienci, v naˇsem kontextu, uvaˇzujeme-li obecnˇe konkávn´ı funkce, je podm´ınka pro SSD eficienci ξ(τ ) = 0 pouze nutná, nikoliv postaˇcuj´ıc´ı. Tedy pokud ξ(τ ) > 0, pak je portfolio τ SSD neeficientn´ı ve smyslu Definice 2.9. Post˚ uv test nav´ıc nen´ı schopný urˇcit portfolio, které by dominovalo testované portfolio τ vzhledem ke stochastické dominanci druhého ˇrádu, t´ım sp´ıˇs naj´ıt eficientn´ı dominuj´ıc´ı portfolio. Problém (4.4) je výpoˇcetnˇe nenároˇcný, má pouze T + 1 promˇenných a N + T omezen´ı.

24

• Kuosmanen˚ uv test Kuosmanen odvodil v [9] následuj´ıc´ı testy: T X

θ2N (τ ) = max λ,W

(xt λ − xt τ ) /T

t=1

za podm´ınek xi λ Wij PT W PTi=1 ij j=1 Wij λ

≥ ≥ = = ∈

!

PT

j j=1 Wij x τ

0 1 1 Λ.

(4.5)

i = 1, . . . , T i, j = 1, . . . , T j = 1, . . . , T i = 1, . . . , T

Tvrzen´ı 4.4. : θ2N (τ ) = 0 je nutná podm´ınka pro SSD eficienci portfolia τ . ´ Uloha (4.5) má vˇzdy pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı: prvn´ı podm´ınka je splnˇena pro jednotkovou diagonáln´ı matici W a λ = τ . Pokud je optimáln´ı hodnota u ´ˇcelové funkce kladná, pak je portfolio τ ’ SSD neeficientn´ı, nebot podle Tvrzen´ı 3.2 plat´ı, ˇze Xλ ≻SSD Xτ . Nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku dává následuj´ıc´ı u ´loha LP: θ2S (τ )

=

min

W,λ,s+ ,s−

za podm´ınek xi λ + sij − s− ij − s+ , s ij ij Wij PT W PTi=1 ij j=1 Wij λ

= = ≥ ≥ = = ∈

PT

T X T X

(4.6)

j=1 i=1

j j=1 Wij x τ 1 Wij − 2

0 0 1 1 Λ.

− (s+ ij + sij )

i = 1, . . . , T i, j = 1, . . . , T i, j = 1, . . . , T i, j = 1, . . . , T j = 1, . . . , T i = 1, . . . , T

Minimáln´ı hranice statistiky θ2S (τ ) je T 2 /2 − T , kterou z´ıskáme volbou Wij = 1/T, ∀i, j = 1, . . . , T . Maximáln´ı hranice závis´ı na poˇctu 25

opakuj´ıc´ıch se hodnot ve vektoru výnos˚ u Xτ . Oznaˇcme dk poˇcet hodnot, které se ve vektoru výnos˚ u Xτ opakuj´ı právˇe k-krát (tj. d2 = 1, pokud xi τ = xj τP). Pak maximáln´ı hodnota, které m˚ uˇze θ2S (τ ) dosáhnout, je T 2 /2− Tk=1 kdk . Test eficience portfolia τ je následuj´ıc´ı: Tvrzen´ı 4.5. : Nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro SSD eficienci portfolia τ je T

θ2N (τ )

=0∧

θ2S (τ )

T2 X = − kdk . 2 k=1

Problém (4.5) má T 2 + N promˇenných a T 2 + 3T + N + 1 omezen´ı. Problém (4.6) má 3T 2 + N promˇenných a 4T 2 + 3T + N + 1 omezen´ı. S rostouc´ım poˇctem pozorován´ı tedy poˇcet promˇenných a omezen´ı kvadraticky roste. Kusomanen˚ uv pˇr´ıstup je z výpoˇcetn´ı hlediska nepˇrijatelný pro velký vzorek pozorován´ı. Výhodou Kuosmanenových test˚ u narozd´ıl od Postových je, ˇze ke kaˇzdému neeficientn´ımu portfoliu je nalezeno portfolio, které testované portfolio dominuje - argument optima λ u ´ lohy (4.5), pˇr´ıpadnˇe (4.6). Kop˚ uv test (4.3) jsme si vybrali, protoˇze na rozd´ıl od Postova testu je v pˇr´ıpadˇe, kdy se dokáˇze SSD neeficience testovaného portfolia, schopen naj´ıt dominuj´ıc´ı SSD eficientn´ı portfolio. V porovnán´ı s testem Kuosmanena je Kop˚ uv test výpoˇcetnˇe ménˇe nároˇcný, protoˇze má pouze T 2 + 2T + N promˇenných a 2T 2 + 2T + N + 1 omezen´ı.

26

4.3

Test eficience portfolia Praˇ zsk´ e burzy II

V této ˇcásti zjist´ıme, jestli je trˇzn´ı portfolio Praˇzské burzy τ , odpov´ıdaj´ıc´ı indexu PX, SSD eficientn´ı vzhledem ke vˇsem portfoli´ım, které lze z bazických emis´ı - akci´ı portfolia τ sestavit. Stejnˇe jako v podkapitole 3.1 bereme vu ´ vahu pouze akcie, které tvoˇrili portfolio τ k datu 28.2.2007. Pro kaˇzdou z N = 9 akci´ı máme T = 86 pozorován´ı - týdenn´ıch výnos˚ u akci´ı od 1.9.2005 do 28.2.2007, vypoˇctených podle vzorce v podkapitole 3.1. Váhy, s nimiˇz jsou jednotlivé akcie v portfoliu τ zastoupené, jsou uvedené v tabulce 4.1 v prvn´ıch dvou sloupc´ıch. Testován´ı eficience portfolia τ prob´ıhá podle algoritmu popsaném v podkapitole 4.1. SSD eficienci testovaného portfolia vzhledem k mnoˇzinˇe 9 bazických akci´ı jsme ovˇeˇrili v podkapitole 3.1. Stejnˇe tak jsme v podkapitole 3.1 zjistili, ˇze portfolio λ sloˇzené z 9 akci´ı s vahami λi = 91 , i = 1, . . . , 9, striktnˇe SSD nedominuje portfolio τ . V druhém kroku algoritmu, ˇreˇsen´ım u ´ lohy (4.1), jsme zjistili, ˇze daná u ´ loha nemá pˇr´ıpustné ˇreˇsen´ı. Neeficienci tedy nem˚ uˇzeme prokázat. Dalˇs´ım krokem bylo ˇreˇsen´ı u ´ lohy (4.3). Hodnota u ´ˇcelové funkce D ∗ (τ ) vyˇsla kladná, coˇz podle Tvrzen´ı 4.2 znamená, ˇze portfolio τ je SSD neeficientn´ı. Optimáln´ı ˇreˇsen´ı u ´ lohy (4.3) λ∗ nám dává SSD eficientn´ı portfolio a nav´ıc plat´ı, ˇze r′ λ∗ ≻SSD r′ τ . Tento výsledek lze snadno ovˇeˇrit aplikac´ı (2) (2) Tvrzen´ı 3.2, na obrázku 4.1 je vidˇet, ˇze Fτ (x) ≥ Fλ∗ (x) pro kaˇzdé x, s minimálnˇe jednou nerovnost´ı ostrou, tedy trˇzn´ı portfolio Praˇzské burzy je striktnˇe SSD dominováné portfoliem λ∗ . Váhy akci´ı dominujc´ıho portfolia λ∗ jsou v tabulce 4.1 srovnány s vahami akci´ı v portfoliu τ . Název akcie CETV ˇ CEZ ERSTE BANK ˇ Í BANKA KOMERCN ORCO ˇ PHILIP MORRIS CR ´ TELEFONICA O2 C.R. UNIPETROL ZENTIVA

Váha v τ 6,36% 22,40% 24,33% 14,06% 2,93% 2,17% 18,37% 4,47% 4,92%

Váha v λ∗ 9% 0% 24% 1,9% 22,8% 0% 38,4% 3,9% 0%

Tabulka 4.1: Srovnán´ı sloˇzen´ı portfolia τ s dominuj´ıc´ım portfoliem λ∗

27

Pro porovnán´ı uvád´ıme v tabulce 4.2 také stˇredn´ı výnosy a smˇerodatné odchylky výnos˚ u portfoli´ı τ a λ∗ . Z této tabulky lze vidˇet, ˇze portfolio τ je také dominované portfoliem λ∗ vzhledem k Markowitzovu modelu, nebot’ stˇredn´ı hodnota výnos˚ u portfolia λ∗ je vyˇsˇs´ı neˇz stˇredn´ı hodnota výnos˚ u ∗ portfolia τ a souˇcasnˇe rozptyl výnos˚ u portfolia λ je menˇs´ı neˇz rozptyl výnos˚ u portfolia τ . EX σ

τ 0,53 % 2,54 %

λ∗ 0,60 % 2,28%

Tabulka 4.2: Stˇredn´ı hodnoty a smˇerodatné odchylky týdenn´ıch výnos˚ u ∗ trˇzn´ıho portfolia τ a dominuj´ıc´ıho SSD eficietn´ıho portfolia λ

28

0.05 0.045 0.04 0.035

(2)

F (x)

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01

(2) τ

F 0.005

(2)

Fλ*

0 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

x

−4

14

x 10

12

8

6

(2) τ

(2) λ*

F (x) − F (x)

10

4

2 (2) τ

F

0 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

(2) λ*

−F

0.06

x

(2)

(2)

Obrázek 4.1: Grafy funkc´ı Fτ a Fλ∗ a jejich rozd´ıl

29

Z´ avˇ er V práci byl popsán test, který je schopen spolehlivˇe rozhodnout, jestli je dané portfolio SSD eficientn´ı nebo nen´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se dokáˇze SSD neeficience tohoto portfolia, tak nav´ıc jako dalˇs´ı informaci z tohoto testu z´ıskáme i portfolio, které SSD eficientn´ı je a testované portfolio dominuje vzhledem k SSD. Nutno podotknout, ˇze toto dominuj´ıc´ı portfolio nemus´ı být nutnˇe optimáln´ı pro kaˇzdého rizikovˇe averzn´ıho investora a zpravidla ani nen´ı. Je to ale portfolio, které nen´ı horˇs´ı neˇz testované portfolio pro vˇsechny rizikovˇe averzn´ı investory, a pro nˇekterého z nich je SSD dominuj´ıc´ı portfolio optimáln´ım ˇreˇsen´ım u ´ lohy maximalizace oˇcekávaného uˇzitku. Popsaný test jsme pouˇzili na otestován´ı eficience trˇzn´ıho portfolia Praˇzské burzy cenných pap´ır˚ u, vyjádˇreného indexem PX. Zjistili jsme, ˇze toto portfolio nen´ı SSD eficientn´ı, a ˇzádný rizikovˇe averzn´ı investor ho nebude preferovat pˇred ˇzádným jiným. Nav´ıc jsme naˇsli portfolio, které nen´ı horˇs´ı pro ˇzádného rizikovˇe averzn´ıho investora. V práci jsem se zamˇeˇrila na stochastickou dominanci druhého ˇrádu, existuj´ı ale i stochastické dominance jiných ˇrád˚ u. Pomoc´ı stochastické dominance prvn´ıho ˇrádu (FSD) lze uspoˇrádat náhodné veliˇciny i bez pˇredpokladu konkavity uˇzitkové funkce. Jsou odvozeny podobné testy FSD eficience portfolia, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı teorii celoˇc´ıselného programován´ı, která je nad rámec této práce. Pro dalˇs´ı prostudovan´ı viz. práce Kopa [7] a Kuosmanen [9]. Pomoc´ı stochastické dominance tˇret´ıho ˇrádu (TSD) lze ˇreˇsit podobný problém testován´ı eficience portfolia, jako pomoc´ı SSD, nav´ıc se zde pˇredpokládá, ˇze averze k riziku s rostouc´ım bohatstv´ım klesá. Stochastické dominance ˇrád˚ u vyˇsˇs´ıch uˇz nejsou prakticky tak významné, proto jim pˇr´ıliˇs pozornosti nen´ı vˇenováno. Problematika hledán´ı eficientn´ıho portfolia pomoc´ı stochastické dominance se dále rozv´ıj´ı, jedn´ım z dalˇs´ıch smˇer˚ u zkoumán´ı je testován´ı statistických hypotéz o SSD eficienci.

30

Literatura [1] Dentcheva D., Ruszczy´ nski A.: Portfolio optimization with stochastic dominance constraints, Journal of Banking and Finance 30, 2 (2006), 433–451. [2] Domar E., Musgrave R.A.: Proportional income taxation and risk taking, Quarterly Journal of Economics, LVII, 1944. ˇ epán J.: Stochastic Modeling in Economics and [3] Dupaˇcová J., Hurt J., Stˇ Finance, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002. [4] Hanoch G., Levy H.: The efficiency analysis of choices involving risk, Review of Economic Studies 36 (1969), 335–346. [5] Levy H.: Stochastic dominance and expected utility: survey and analysis, Management Science 38, 4 (1992), 555–587. [6] Levy H.: Stochastic dominance:Investment decision making under uncertainty, Kluwer Academic Publishers, 2006. [7] Kopa M.: Utility functions in portfolio optimization, disertaˇcn´ı práce KPMS MFF UK, 2006. [8] Kopa M.: Postaven´ı uˇzitkové funkce v u ´lohách stochastického programován´ı, rigorózn´ı práce KPMS MFF UK, 2004. [9] Kuosmanen T.: Efficient diversification according to stochastic dominance criteria, Management Science 50, 10 (2004), 1390–1406. [10] Markowitz H. M.: Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments, Wiley, Yale University Press, 1970. [11] Ogryczak W., Ruszczy´ nski A.: Dual stochastic dominance and related mean-risk models, SIAM Journal on Optimization 13 (2002), 60–78. 31

[12] Pflug G.Ch.: Some remarks on the value-at-risk and the conditional value-at-risk, Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications (S. Uryasev ed.), Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA (2000), 278–287. [13] Post T.: Empirical tests for stochastic dominance efficiency, Journal of Finance 58 (2003), 1905–1932. [14] Pratt J.W.: Risk aversion in the small and in the large, Econometrica 32 (1964), 122–136. [15] Rockafellar R.T., Uryasev S.: Optimization of conditional value-at-risk, Journal of Risk 2 (2000), 21–41. [16] Rockafellar R.T., Uryasev S.: Conditional value-at-risk, Journal of Banking & Finance 26 (2002), 1443–1471. [17] Roy A.D.:Safety First and the Holding of Assets, Econometrica 20 (1952), 431–449 ˇ epán J.: Teorie pravdˇepodobnosti, matematické základy, Academia, [18] Stˇ Praha, 1987.

32

Pˇ r´ılohy Zdrojový kód u ´ lohy (4.3) v programu GAMS.

33

Scénáˇre výnos˚ u bazických akci´ı portfolia τ odpov´ıdaj´ıc´ıho indexu PX.

34

Stochastická dominance a eficience akciového portfolia

Recommend Documents