INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd University Karlovy
Teorie a řízení portfolia
Studijní text č. 1 k předmětu Řízení finančních rizik Přednášející: doc. Ing. Oldřich Dědek, CSc.
2
A. ZÁKLADY TEORIE PORTFOLIA 1. Funkce očekávaného užitku a) rizikové a bezrizikové aktivum bezrizikové aktivum (riskless asset) je aktivum, jehož budoucí hodnota je známá čili je nezávislá na konkrétní realizaci budoucího stavu světa I … aktuální hodnota bezrizikového aktiva W …budoucí hodnota bezrizikového aktiva
µF =
W −I … bezriziková výnosová míra I
rizikové aktivum (risky asset) je náhodná veličina, jejíž budoucí hodnota závisí na konkrétní realizaci budoucího stavu světa I … aktuální hodnota rizikového aktiva ~ W .. budoucí hodnota rizikového aktiva jako náhodná veličina, která s pravděpodobností p s realizace s-tého stavu světa nabývá hodnotu Ws ~ ~ W −I … výnosová míra (náhodná veličina) R= I ~ E (W ) = ∑ p sWs … očekávaná hodnota rizikového aktiva s
~ E (W ) − I µ= … očekávaná výnosová míra rizikového aktiva I b) averze vůči riziku Obrázek: Užitková funkce investora s averzí vůči riziku U
U (WF ) = E[U (WF )] ~ E[U (W )] = p1U (W1 ) + p 2U (W2 ) ~ E (W ) = p1W1 + p 2W2 = WF = E (WF ) πA W1
WF = E(W)
W2
3 investor s averzí vůči riziku je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje bezrizikové aktivum před rizikovým averze vůči riziku je výsledkem klesající funkce mezního užitku ( U ' (W ) < 0 ) ~ očekávaný užitek rizikového aktiva = E[U (W )] = p1U (W1 ) + p 2U (W2 ) <
< U ( p1W1 + p 2W2 ) = U (W f ) = (očekávaný) užitek bezrizikového aktiva ~ rozlišuj: - hodnota očekávaného užitku E[U (W )] ~ - užitek očekávané hodnoty U ( E (W ))
absolutní averze k riziku ( π A ): o jakou částku je investor ochoten snížit očekávanou hodnotu rizikového aktiva (jak velké je ochoten zaplatit pojistné) výměnou za to, že nebude vystaven riziku
~ ~ E[U (W )] = U ( E (W ) − π A )
πA = −
σ Z2 U ' ' ( µW ) ~ ~ ~ , µW = E (W ), Z = W − µW 2 U ' ( µW )
výraz ( − U ' ' / U ' ) se nazývá koeficient absolutní averze k riziku a jeho reciproká hodnota se nazývá koeficient tolerance rizika návod k odvození: ~ ~ ~ ~ E[U (W )] = E[U ( µW + Z )] =& E[U ( µW ) + U ' ( µW ) Z + 12 U ' ' ( µW ) Z 2 ]
U ( µW − π A ) =& U ( µW ) − U ' ( µW )π A
relativní averze k riziku ( π R ): o jakou procentuální část je investor ochoten snížit očekávanou hodnotu rizikového aktiva výměnou za to, že nebude vystaven riziku ~ ~ E[U (W )] = U [ E (W )(1 − π R )]
σ Z2 µW U ' ' ( µW ) πR = − 2 U ' ( µW ) výraz ( − µW U ' ' / U ' ) se nazývá koeficient relativní averze k riziku
investor milující riziko je takový investor, který mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, z nichž obě generují stejnou očekávanou hodnotu, preferuje rizikové aktivum (důsledek rostoucí funkce mezního užitku)
4 investor neutrální vůči riziku je takový investor, který je indiferentní mezi rizikovým a bezrizikovým aktivem, pokud obě aktiva generují stejnou očekávanou hodnotu (důsledek konstantní funkce mezního užitku) c) rozhodování v prostoru očekávaného výnosu a rizika - vyjádření užitku jako funkce očekávaného výnosu aktiva ~ ~ ~ E[U (W )] = E[U ( I (1 + R ))] = E[u ( R )] ~ - Taylorův rozvoj druhého řádu v bodě očekávaného výnosu µ = E (R ) u ( R ) = u ( µ ) + u ' ( µ )( R − µ ) + 12 u ' ' ( µ )( R − µ ) 2
- dosazení Taylorova rozvoje do funkce očekávaného užitku ~ ~ ~ E[u ( R )] = u ( µ ) + u ' ( µ ) E ( R − µ ) + 12 u ' ' ( µ ) E ( R − µ ) 2 = u ( µ ) + 12 u ' ' ( µ )σ 2 = Φ ( µ , σ ) ~
σ 2 = E ( R − µ ) 2 … velikost rizika měřená rozptylem očekávaných výnosů
σ = σ 2 … velikost rizika měřená směrodatnou odchylkou očekávaných výnosů - vlastnosti indiferenční křivky Φ ( µ , σ ) = konst . (za předpokladu nulové třetí derivace) i) indiferenční křivka je rostoucí dµ ∂Φ / ∂σ u' ' (µ ) σ , proto =− =− dσ ∂Φ / ∂µ u' (µ ) u ' > 0, u´´< 0 ⇒
dµ >0 dσ
Obrázek: Indiferenční mapa v prostoru výnosu a rizika µ
Φ2
Φ1
Φ0
σ
5 ii) indiferenční křivka je konvexní indiferenční křivku lze chápat jako jistý funkční vztah µ = µ (σ ) , přičemž dµ / dσ = µ ' > 0, dle předpokladu u ' ' ' = 0
d dσ
2 ⎛ dµ ⎞ d ⎛ u ' ' ( µ ) ⎞ (u ' ' ' µ 'σ + u ' ' )u '−(u ' ' ) σµ ' ⎜⎜ − >0 σ ⎟⎟ = ⎜ ⎟= (u ' ) 2 ⎝ dσ ⎠ dσ ⎝ u ' ( µ ) ⎠
2. Množina investičních příležitostí parametry rizikového aktiva: ~ Ri … výnos rizikového aktiva (náhodná veličina, jejíž hodnota závisí na realizaci budoucího stavu světa) ~ µ i = E ( Ri ) … očekávaný výnos rizikového aktiva
~
σ i2 = E ( Ri − µ i ) 2 …riziko aktiva měřené rozptylem náhodného výnosu okolo očekávané hodnoty parametry portfolia rizikových aktiv: N ~ ~ R P = ∑ θ i Ri … výnos portfolia (náhodná veličina závislá na velikosti výnosů i =1
složkových aktiv) N
~
µ P = E ( R P ) = ∑ θ i µ i … očekávaný výnos portfolia i =1
N … počet aktiv v portfoliu θi … váha i-tého aktiva v portfoliu (podíl hodnoty aktiva na celkové hodnotě portfolia)
σ P2 … riziko portfolia (měřené rozptylem výnosů)
[
]
2
⎡N ⎤ ~ ~ σ = E ( R P − µ P ) 2 = E ⎢ ∑ θ i ( Ri − µ i ) ⎥ ⎣ i =1 ⎦ N N ⎡ ⎤ N ~ ~ = E ⎢∑∑ θ iθ j ( Ri − µ i )( R j − µ j )⎥ = ∑ θ i2σ i2 + 2∑ θ iθ j σ ij i< j ⎣ i =1 j =1 ⎦ i =1 2 P
N
= ∑ θ i2σ i2 + 2∑ θ iθ j σ iσ j ρ ij i =1
i< j
6
[~
]
~
⎡ ~
N
⎣
i =1
~
⎤
σ P2 = E ( RP − µ P )( R P − µ P ) = E ⎢( RP − µ P )∑ θ i ( Ri − µ i )⎥
[
N
]
⎦
N
~ ~ = ∑ θ i E ( R P − µ P )( Ri − µ i ) = ∑ θ iσ iP i =1
i =1
σ ij …. kovariance výnosů i–tého a j–tého rizikového aktiva ~
~
σ ij = E[( Ri − µ i )( R j − µ j )] = σ iσ j ρ ij σ iP …. kovariance výnosů i–tého aktiva a rizikového portfolia ⎡ ~
N
⎣
j =1
~
⎤
N
⎦
j =1
[~
~
σ iP = E ⎢( Ri − µ i )∑ θ j ( R j − µ j )⎥ = ∑ θ j E ( Ri − µ i )( R j − µ j )
]
N
= ∑ θ j σ jP j =1
ρ ij … korelační koeficient výnosů i–tého a j–tého rizikového aktiva (nabývá hodnoty z intervalu 〈− 1,1〉
ρ ij =
σ ij σ iσ j ♦
Portfolio je složeno ze dvou rizikových aktiv, která vykazují následující parametry:
µ1 = 20 %, σ 1 = 75 %, θ 1 = 40 %, µ 2 = 16 %, σ 2 = 50 %, θ 2 = 60 %, ρ12 = −60 %. Dostáváme
µ P = 0,4 × 0,2 + 0,6 × 0,16 = 17,6 % σ P2 = 0,4 2 × 0,75 2 + 0,6 2 × 0,5 2 − 2 × 0,4 × 0,6 × 0,75 × 0,5 × 0,6 = 0,072 σ P = 0,072 = 27 % Portfolio dosahuje podstatně nižšího rizika při srovnání s rizikem obou individuálních aktiv (projev efektu diverzifikace). ♦ maticový tvar výpočtu rizika matice volatilit V:
0⎤ ⎡σ 1 0 ⎢ V = ⎢ 0 σ 2 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 σ 3 ⎥⎦
7
matice korelačních koeficientů C:
⎡ 1 C = ⎢⎢ ρ12 ⎢⎣ ρ13
ρ12 1
ρ 23
ρ13 ⎤ ρ 23 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
varianční-kovarianční matice VCV: ⎡σ 12 σ 12 σ 13 ⎤ ⎢ ⎥ VCV = ⎢σ 12 σ 22 σ 23 ⎥ = V × C × V ⎢σ 13 σ 23 σ 32 ⎥ ⎣ ⎦
váhová matice W: W = [θ1 θ 2 θ 3 ]
riziko portfolia σ P2 :
σ P2 = W × (VCV ) × W ' množina investičních příležitostí (opportunity set) je množina všech kombinací očekávaného výnosu a rizika dosažitelná různým váhovým zastoupením složkových aktiv daného portfolia a) dokonalá kladná korelace výnosů aktiv ( ρ12 = 1 )
µ P = θ 1 µ1 + θ 2 µ 2 σ P = θ12σ 12 + θ 22σ 22 + 2θ 1θ 2σ 1σ 2 × 1 = (θ1σ 1 + θ 2σ 2 ) 2 = θ1σ 1 + θ 2σ 2 Obrázek: Množina investičních příležitostí dokonale kladně korelovaných aktiv
µP
µ2
µ1
A2
S
σ2
σP
A1
σ1
8 množina investičních příležitostí má tvar přímky
θ1 = 0 ⇒ portfolio je tvořeno pouze aktivem A2
θ 2 = 0 ⇒ portfolio je tvořeno pouze aktivem A1 pokračování přímky za body A1 , A2 je dosažitelné krátkým prodejem příslušného aktiva (portfolio S je např. tvořeno vahami θ1 = −30 %, θ 2 = 130 % ) ♦ Pokud aktiva z předchozího přikladu vykazují dokonalou kladnou korelaci očekávaných výnosů, bude mít portfolio s uvedeným váhovým zastoupením složkových aktiv následující parametry:
µ P = 0,4 × 0,2 + 0,6 × 0,16 = 17,6 % σ P = 0,4 × 0,75 + 0,6 × 0,5 = 60 % Efekt diverzifikace se neprojevuje, vyšší očekávaný výnos je doprovázen vyšším rizikem. ♦ objasnění záporných vah krátkého prodeje: - při sestavení portfolia bez krátkého prodeje je počáteční investice I 0 alokována mezi složková aktiva v objemech I 10 a I 20 , neboli I 0 = I 10 + I 20 - na konci období obě aktiva dosahují jisté hodnoty I i1 , načež pro výnos portfolia lze psát
RP =
(
) (
)
I 11 + I 21 − I 10 + I 20 I 10 I 11 − I 10 I 20 I 21 − I 20 I1 − I 0 = = × + 0× = θ 1 R1 + θ 2 R2 I0 I0 I0 I 10 I I 20
0 ≤ θ1 ≤ 1 a 0 ≤ θ 2 ≤ 1 - při krátkém prodeji prvního aktiva je počáteční disponibilní částka I 0 posílena o příjem z prodeje vypůjčeného prvního aktiva a takto posílená částka je celá alokována do druhého aktiva, neboli I 0 + I 10 = I 20 . - na konci období musí být část druhého aktiva prodána z důvodu zakoupení a vrácení vypůjčeného prvního aktiva, neboli I 1 = I 21 − I 11
(
) (
)
I 21 − I 11 − I 20 − I 10 I 10 I 11 − I 10 I 20 I 21 − I 20 I1 − I 0 RP = = =− 0× + 0× = θ1 R1 + θ 2 R2 I0 I0 I I 10 I I 20
θ1 ≤ 0 a θ 2 ≥ 1
9 b) dokonalá záporná korelace výnosů aktiv ( ρ12 = −1 )
µ P = θ 1 µ1 + θ 2 µ 2 σ P = θ12σ 12 + θ12σ 12 − 2θ 1θ 2σ 1σ 2 = (θ1σ 1 − θ 2σ 2 ) 2 = θ1σ 1 − θ 2σ 2 Obrázek: Množina investičních příležitostí dokonale záporně korelovaných aktiv
µP A2
µ2 H A1
µ1
σ1
σ2
σP
množina investičních příležitostí má tvar zalomené přímky existuje kombinace rizikových aktiv H s výsledným nulovým rizikem, které odpovídá váhové zastoupení složkových aktiv v poměru
θ1 =
σ2 σ1 , θ2 = σ1 + σ 2 σ1 + σ 2
⇒σH = 0
efektivní množina investičních příležitostí (effective opportunity set) je množina všech nedominovaných portfolií, tj. takových portfolií, k nimž neexistuje portfolio s vyšším výnosem při stejném riziku resp. portfolio s nižším rizikem při stejném výnosu ♦ Pokud aktiva z předchozího příkladu vykazují dokonale zápornou korelaci očekávaných výnosů, bude mít portfolio s uvedeným váhovým zastoupením obou dvou složkových aktiv následující parametry:
µ P = 0,4 × 0,2 + 0,6 × 0,16 = 17,6 % σ P = 0,4 × 0,75 − 0,6 × 0,5 = 0 % ♦
10 c) nekorelované výnosy aktiv ( ρ12 = 0 )
µ P = θ 1 µ1 + θ 2 µ 2 σ P = θ 12σ 12 + θ 12σ 12 Obrázek: Množina investičních příležitostí nekorelovaných aktiv
µP A2
µ2 H A1
µ1
σ1
σ2
σP
množina investičních příležitostí má tvar paraboly existuje kombinace rizikových aktiv H s minimálním rizikem, které odpovídá váhové zastoupení složkových aktiv v poměru (lze získat řešením rovnice
∂σ P ∂θ1 = 0 )
θ1 =
σ 12 σ 22 = , θ 2 σ 12 + σ 22 σ 12 + σ 22
existuje efektivní část množiny investičních příležitostí (horní větev paraboly) a neefektivní část této množiny (dolní větev paraboly) ♦ Pokud aktiva z předchozího příkladu vykazují neexistující korelaci očekávaných výnosů, bude mít portfolio s uvedeným váhovým zastoupením obou dvou složkových aktiv následující parametry:
µ P = 17,6 % σ P = 0,4 2 × 0,75 2 + 0,6 2 × 0,5 2 = 42 % Pro vytvoření portfolia s minimálním rizikem je nutné kombinovat aktiva v poměru
0,5 2 θ1 = = 31 %, θ 2 = 1 − 0,31 = 69 % 0,75 2 + 0,5 2 ♦
11 d) velký počet rizikových aktiv množinu investičních příležitostí tvoří portfolia (jako dvojice výnosu a rizika
( µ P , σ P ) ), sestavitelná všemi možnými váhovými zastoupeními existujících složkových aktiv N
µ P = ∑θ i µ i i =1
σP =
N
N
∑∑θ θ σ σ i =1 j =1
i
j
i
j
ρ ij
Obrázek: Hranice investičních příležitostí při velkém počtu rizikových aktiv
A
µP •
H
•
•
•
• •
•
σP hranici efektivních příležitostí tvoří konkávní spojnice bodu H (portfolio s minimálním rizikem) a bodu A (aktivum s nejvyšším očekávaným výnosem) - existuje efektivní část hranice, všechny ostatní vnitřní a hraniční body reprezentují neefektivní čili dominovaná portfolia - důležitý předpoklad homogenních očekávání (názorová shoda všech investorů na velikost očekávaného výnosu a rizika všech aktiv) e) efektivní množina při existenci bezrizikového aktiva i) jedno bezrizikové a jedno rizikové aktivum
µP = θF µF + θM µM σ P = θ M2 σ M2 = θ M σ M
12 Obrázek: Množina investičních příležitostí s rizikovým a bezrizikovým aktivem
µP M
µM µF
F
σM
σP
v bodě F je portfolio tvořeno výlučně bezrizikovým aktivem, v bodě M výlučně rizikovým aktivem body ležící na úsečce FM představují investici do bezrizikového aktiva čili zapůjčení peněz za bezrizikovou sazbu body ležící za bodem M představují krátký prodej bezrizikového aktiva čili vypůjčení peněz za bezrizikovou sazbu za účelem zakoupení rizikového aktiva ii) jedno bezrizikové a mnoho rizikových aktiv Obrázek: Přímka kapitálového trhu CML
µP µM µF
M
• A
F
σM
σP
efektivní množina má tvar přímky, která prochází bodem bezrizikového aktiva F a bodem dotyku M této přímky s množinou investičních příležitostí (jakékoli jiné rizikové portfolio A je dominováno nějakým bodem této přímky) přímka kapitálového trhu (capital market line, CML) je název této lineární efektivní
13 množiny tržní portfolio je název bodu dotyku přímky kapitálového trhu a množiny rizikových investičních příležitostí rovnice přímky CML:
µP = µF +
µM − µF ×σ P , σ P = θMσ M σM
výnos efektivního portfolia = bezrizikový výnos + tržní cena rizika × množství rizika
µP − µF =
µM − µF ×σ P σM
riziková prémie (požadované převýšení bezrizikového výnosu) = = jednotková riziková prémie × množství rizika současná cena portfolia =
1 1 = 1 + µ P 1 + požadovaná diskontní sazba
♦ Tržní portfolio vykazuje průměrný výnos 18 % a riziko 30 %. Bezrizikový výnos činí 9 %. Jaký výnos lze požadovat od efektivního portfolia, které je z 20 % alokováno do bezrizikového aktiva a z 80 % do rizikového aktiva? Pro riziko portfolia platí vztah
σ P = 0,8 × σ M (poučka o kombinaci rizikového a bezrizikového aktiva). Dosazení do CML dává
µ P = 0,09 +
0,18 − 0,09 × 0,8 × 0,3 = 16,2 % 0,3
Ke stejnému výsledku dospějeme přímo vyjádřením váženého výnosu
µ P = 0,2 × 0,09 + 0,8 × 0,18 = 16,2 % ♦ f) tržní portfolio jako stav všeobecné rovnováhy - věta o separaci dvou fondů (two funds separation theorem): každý investor s averzí vůči riziku (tj. se soustavou konvexních indiferenčních křivek) bude chtít investovat do nějaké kombinace bezrizikového aktiva a tržního portfolia (důsledek maximalizace užitku na množině investičních příležitostí)
14 Obrázek: Tržní rovnováha na trhu aktiv Φ1 Φ 0
Φ2
µP
M
µF
σP - jestliže se všechna individuální portfolia nalézají na přímce CML, musí se na této přímce nalézat i agregátní portfolio všech investorů, navíc toto agregátní portfolio musí odpovídat bodu tržního portfolia M, neboť každý jiný bod přímky CML představuje nerovnost celkové nabídky a poptávky u bezrizikového aktiva - v bodě M tržního portfolia dochází k rovnosti nabídky a poptávky i u všech ostatních rizikových aktiv (existence převisů poptávky či nabídky není slučitelná s představou celkové rovnováhy) - v tržním portfoliu M je i-té rizikové aktivum zastoupeno vahou
θi =
tržní hodnota i - tého aktiva tržní hodnota všech aktiv
analytický výpočet tržního portfolia hledá se taková kombinace vah θ1 , θ 2 ,...,θ N rizikových aktiv zastoupených v tržním portfoliu, která maximalizuje sklon spojnice bezrizikového aktiva a rizikového tržního portfolia N
µ − µF Θ= P = σP
∑θ (µ i =1
i
N
∑θ i =1
i
− µF )
N
∑θ θ σ
i , j =1
za podmínky
i
i
j
→ max
ij
=1
hledanou strukturu vah lze nalézt řešením soustavy N lineárních rovnic, která popisuje soustavu N nutných podmínek optima ∂Θ ∂θ i = 0 (důkaz Elton-
15 Gruber)
µ1 − µ F = Z 1σ 12 + Z 2σ 12 + ...... + Z N σ 1N µ 2 − µ F = Z 1σ 12 + Z 2σ 22 + ...... + Z N σ 2 N ...............................................................
µ N − µ F = Z 1σ 1N + Z 2σ 2 N + ...... + Z N σ N2 přičemž
θi =
Zi N
∑Z j =1
j
3. Model oceňování kapitálových aktiv (CAPM) model CAPM (Capital Asset Pricing Model) popisuje ekonomiku v bodě rovnováhy a jeho základním výstupem je stanovení rovnovážného ocenění všech kapitálových aktiv (nikoli jen efektivních portfolií ležících na přímce CML) a) odvození přímky SML formulace problému: Dáno je fiktivní portfolio P, které je sestaveno z a % i-tým rizikovým aktivem a z (1 – a) % tržním portfoliem M. Jaká omezení plynou z předpokladu, že toto portfolio je drženo v bodě tržní rovnováhy? a) Výnos a riziko fiktivního portfolia P:
µ P = aµ i + (1 − a ) µ M σ P = a 2σ i2 + (1 − a ) 2 σ M2 + 2a (1 − a )σ iM b) V bodě tržní rovnováhy všichni investoři drží pouze taková portfolia, jejichž implikovaná cena rizika je utvářena sklonem přímky CML. Stejné ocenění rizika proto musí implikovat i fiktivní portfolio P, má-li být jeho ocenění konzistentní s bodem tržní rovnováhy.
µi − µ M 2aσ − 2(1 − a)σ M2 + 2σ iM (1 − 2a)
dµ P dµ P da = = dσ P dσ P da
2 i
− 2 2a 2σ i2 − 2(1 − a) 2 σ M2 + 2σ iM (1 − 2a) = sklon CML =
µM − µF σM
c) V bodě tržní rovnováhy panuje u všech aktiv (včetně i-tého aktiva) rovnost mezi nabídkou a poptávkou. Zastoupení i-tého aktiva v tržním portfoliu M vahou θ i je
16 důsledkem této rovnováhy. Ve fiktivním portfoliu P je i-té aktivum zastoupeno vahou θ i + a (1 − θ i ) . Pokud by váha a byla nenulová, trh i-tého aktiva by byl ve stavu přebytečné nabídky nebo poptávky. Konzistence s tržní rovnováhou tak vede na podmínku a = 0 . Proto
µi − µ P µ − µF = M 2 σM − 2σ M + 2σ iM − 2 σ M2 Po úpravách
µ i = µ F + (µ M − µ F )
σ iM σ M2
= µ F + (µ M − µ F ) × β i , β i =
σ iM σ M2
požadovaný výnos = bezrizikový výnos + cena rizika × množství rizika = bezrizikový výnos + riziková prémie přímka trhu cenných papírů (security market line, SML) je název odvozené lineární závislosti mezi požadovaným výnosem rizikového aktiva a velikostí rizika měřeném koeficientem beta (relevantním faktorem rovnovážného ocenění rizikového aktiva je kovariance jeho výnosů s výnosem tržního portfolia) Obrázek: Přímka trhu cenných papírů
µi
SML
µM
µF
M
F
βF = 0
βM = 1
βi
♦ Jak velký výnos je možné očekávat od zakoupení akcie, jejíž koeficient beta vykazuje hodnotu 0,75? Bezriziková sazba je 9 % a očekávaný výnos trhu 15 %,
µ = 0,09 + (0,15 − 0,09) × 0,75 = 13,5 % ♦
17
beta vybraných aktiv: bezrizikové aktivum: β F = tržní portfolio: β M =
σ FM =0 σ M2
σ MM σ M2 = 2 =1 σ M2 σM
σ EM θ M σ M2 = θM efektivní portfolio: β E = 2 = σM σ M2 pro efektivní portfolia se zápis přímky SML mění na zápis přímky CML ( θ M značí váhové zastoupení tržního portfolia v efektivním portfoliu E)
µ E = µ F + ( µ M − µ F )θ M = µ F + ( µ M − µ F )
σE σM
obecné portfolio: beta portfolia se rovná váženému průměru bet složkových aktiv
σ PM 1 1 ri − µ i )(~ rM − µ M )] = 2 Σθ i E[(~ ri − µ i )(~ rM − µ M )] = 2 E[ Σ θ i ( ~ 2 σM σM σM θσ = ∑ i 2iM = ∑ θ i β i σM i i
βP =
♦ Objasnění paradoxu „neadekvátně“ oceněného rizika
Akciové portfolio Akcie
Roční Směrodatná Beta výnos odchylka 11 % 4% 1,1 6%
8%
0,6
Akcie má dvojnásobně vyšší riziko oproti akciovému portfoliu, přesto její roční výnos je téměř poloviční ve srovnání s výnosem akciového portfolia. Vysvětlení paradoxu spočívá v použití adekvátní míry rizika. Je-li uvažován koeficient beta, paradox je vysvětlen. ♦ alternativní odvození přímky SML: - úprava nutných podmínek optima pro nalezení tržního portfolia N
N
j =1
j =1
µ i − µ F = ∑ Z jσ ji = (ΣZ j )∑ θ jσ ji = λσ iM využit byl fakt, že θ j zastupují váhy tržního portfolia
18 - výpočet koeficientu λ N
N
i =1
i =1
∑θ i (µ i − µ F ) = µ M − µ F = λ ∑θ iσ iM = λσ MM = λσ M2
⇒ λ=
µM − µF σ M2
- dosazení do výchozí rovnice
µi = µ F +
µM − µF σ iM = µ F + ( µ M − µ F ) β i σ M2
b) efekt diverzifikace portfolia poznatek o významu kovariance výnosů portfolia s výnosem tržního portfolia se opírá o efekt diverzifikace portfolia, neboli o možnost snižovat riziko portfolia pouhým zvyšováním počtu aktiv v portfoliu v tržní rovnováze je oceňováno pouze nediverzifikovatlené (tj. diverzifikací neodstranitelné) riziko a nebere se ohled na diverzifikovatelné riziko, které lze odstranit prakticky bez vynaložení nákladů objasnění efektu diverzifikace (s následujícími předpoklady): - stejné váhové zastoupení aktiv v portfoliu: θ i = 1 / N - rizika všech aktiv jsou omezena nějakou společnou hodnotou: σ i2 < L - existuje průměrná kovariance: σ = N
σ P2 = ∑ θ i2σ i2 + 2∑ θ iθ j σ ij = i =1
<
i< j
2∑ σ ij i< j
N ( N − 1)
1 N 2 2 σ + 2 2∑ i N i =1 N
∑σ
1 2 N ( N − 1) × ( N × L) + 2 × ×σ → σ 2 2 N N
i< j
ij
<
pro velké N
σP
nesystematické riziko systematické riziko Počet akcií v portfoliu
diverzifikací neodstranitelné riziko je spojené s pohybem trhu jako celku čili s neovlivnitelným průběhem hospodářského cyklu
19 celkové riziko = nediverzifikovatelné (systematické, tržní) riziko + diverzifikovatelné (nesystematické, specifické, idiosynkratické, reziduální) riziko c) zeslabování výchozích předpokladů i) neexistence bezrizikového aktiva Obrázek: CAPM s nulovým beta
µP
M
µZ
Z
σP - tržní portfolio M odpovídá bodu, v němž je maximalizována směrnice přímky, která vychází na svislé ose z bodu µ Z a která má společný bod s množinou investičních příležitostí (není nutné, aby bod µ Z reprezentoval výnos fyzicky existujícího bezrizikového aktiva) - řešením soustavy nutných podmínek optima lze dospět k rovnici požadovaného výnosu i-tého aktiva (viz alternativní odvození SML)
µ i = µ Z + (µ M − µ Z )β i , β i =
σ iM σ M2
- odvozena tak byla rovnice modifikované přímky SML v tom smyslu, že µ Z je prozatím pouhé číslo a nikoliv výnos reálně existujícího bezrizikového aktiva - všechny body množiny investičních příležitostí, které leží na přímce µ Z Z , odpovídají reálně existujícím rizikovým aktivům s výnosem µ Z , mezi všemi těmito body má nejnižší riziko hraniční aktivum Z - modifikovaná přímka SML se vztahuje na všechna aktiva či portfolia aktiv, tedy i na aktivum Z, neboli
µ Z = µ Z + (µ M − µ Z )β Z
⇒ βZ = 0
20 aktivum Z (stejně jako všechny ostatní body přímky µ Z Z ) má nulové beta (není korelováno s tržním portfoliem) - při absenci bezrizikového aktiva platí vtah SML v modifikované podobě, kdy výnos bezrizikového aktiva je nahrazen výnosem hraničního aktiva s nulovým beta - Rollova kritika při odvození přímky SML nehrálo tržná portfolio žádnou specifickou roli, stejnou proceduru lze použít pro každý efektivní bod E hranice investičních příležitostí a výsledkem bude odvození modifikované přímky SML
µ iE = µ ZE + ( µ E − µ ZE ) β iE , β i =
σ iE σ E2
důsledek: empirické aplikace nepracují s tržním portfoliem, které je nepozorovatelné, nýbrž používají nějakou jeho aproximaci ⇒ testování platnosti modelu CAPM je tedy pouze testováním toho, zda jako náhražka tržního portfolia bylo použito efektivní portfolio ⇒ je obtížné vyslovovat soudy o podhodnocených či nadhodnocených aktivech, jestliže nepracujeme s pravou SML nýbrž pouze s jednou z jejích empirických náhražek obrana: Rollova kritika nepopírá platnost samotného modelu, pouze je skeptická vůči schopnosti ekonometrických technik tuto platnost verifikovat ii) rozdílná výpůjční a zápůjční bezriziková sazba lineární průběh CML se opírá o předpoklad existence bezrizikové sazby, za níž lze v neomezené míře zapůjčovat a vypůjčovat peněžní prostředky pro praxi je ale typická odlišná hladina výpůjční a zápůjční sazby (vypůjčované fondy bývají dražší než zapůjčované) a obvykle si nelze vypůjčovat v neomezeném množství (předpoklad neomezeného zapůjčování již není tak restriktivní) tři úseky efektivní hranice: 1. investoři, kteří kupující bezrizikové aktivum (zapůjčují peníze za sazbu
µ FL ), volí body na přímce µ FL L (nalevo od bodu L), přičemž
21
µ P = µ FL + ( µ L − µ FL )
σ PL σ L2
2. investoři, kteří provádějí krátký prodej bezrizikového aktiva (vypůjčující si peníze za sazbu µ FB , volí body na přímce µ FB B (napravo od bodu B), přičemž
µ P = µ FB + ( µ B − µ FB )
σ PB σ B2
3. investoři, kteří investují pouze do rizikových aktiv, volí hraniční portfolia v úseku LB, přičemž
µ P = µ Z + (µ M − µ Z )
σ PM σ M2
Obrázek: Efektivní hranice při rozdílné výpůjční a zápůjční sazbě
µP µ FB
µ FL
L
M
B
Z
σP důsledky: - existuje mnoho kandidátů na tržní portfolio (v principu to může být jakýkoli bod hraničního úseku LB ) - tržní portfolio si podržuje vlastnost efektivního portfolia, jelikož je tvořeno složkami (L,M,B), jež reprezentují rovněž efektivní portfolia iii) heterogenní očekávání standardní CAPM pracuje s předpokladem homogenních očekávání, podle něhož všichni investoři mají stejný názor na rizikovost a výnosnost aktiv (konfrontováni jsou stejnou množinou investičních příležitostní) předpoklad heterogenních očekávání (tj. různě vnímaných množin investičních příležitostí) výrazně komplikuje modelové výsledky iv) další směry zobecňování CAPM
22 - existence neobchodovaných aktiv - zahrnutí daní - CAPM orientovaný na spotřebu (vliv korelace očekávaných výnosů aktiv s růstem spotřeby na hlavu) - rozšíření na větší počet období - existence investorů schopných ovlivňovat ceny aktiv
4. Jednoindexní model CAPM je z rodiny modelů všeobecné rovnováhy, které popisují ekonomiku ve stavu rovnosti nabídky a poptávky na všech trzích jako výsledek úsilí jednotlivců o maximalizaci svého užitku. Základní vlastností rovnovážného stavu dle CAPM je oceňování rizikových aktiv podle velikosti korelace výnosů aktiv s pohybem tržního indexu. Jednoindexní model (single-index model) je z rodiny ekonometrických přístupů k oceňování rizikových aktiv, jenž vychází z předpokladu, že existuje jediný společný faktor vysvětlující fundamentální cenový pohyb aktiv, přičemž všechny ostatní cenové vlivy lze podřadit pod působení nahodilých výkyvů a) odvození základních vztahů výnos rizikového aktiva je fundamentálně svázán s výnosem tržního indexu a současně podléhá působení náhodných vlivů (charakteristická přímka i-tého aktiva) ~ ~ Ri = ci + β i RM + ε~i
~ Ri … očekávaný výnos i-tého rizikového aktiva ~ RM … očekávaný výnos tržního indexu jako společný fundamentální
faktor oceňování aktiv
β i … citlivost ceny i-tého aktiva na pohyb tržního indexu ci … fixní složka reziduálního výnosu i-tého aktiva
ε~i …náhodná složka reziduálního výnosu vlastnosti náhodného členu ~ E (ε~i ) = 0, E (ε i ) 2 = η i2 , cov(ε~i , RM ) = 0, cov(ε~i , ε~ j ) = 0 výnos a riziko individuálního aktiva:
23
~
~
µ i = E (ci + β i RM + ε~i ) = E (ci ) + E ( β i RM ) + E (ε~ ) = ci + β i µ M ~
~
σ i2 = E[(ci + β i RM + ε~i ) − (ci + β i µ M )]2 = E[ β i ( RM − µ M ) + ε~i ]2 ~ ~ = β i2 E ( RM − µ M ) 2 + 2β i E[( RM − µ M )ε~i ] + E (ε i ) 2 = β i2σ M2 + η i2 ~
~
~
~
σ ij = E[( Ri − µ i )( R j − µ j )] = E[( β i ( RM − µ M ) + ε~i )( β j ( RM − µ M ) + ε~ j )] = β i β j σ M2 výnos a riziko portfolia aktiva: N N N ~ ~ ~ N ~ R P = ∑ θ i Ri = ∑ θ i ci + RM ∑ θ i β i + ∑ θ i ε~i = c P + β P RM + ε~P i =1
i =1
i =1
N
M
i =1
i =1
i =1
µ P = ∑ θ i ci + µ M ∑ θ i β i = c P + β P µ M N
σ P2 = ∑ θ i2σ i2 + 2∑ θ iθ j σ ij i =1
i< j
N
N
= σ M2 ∑ θ i2 β i2 + 2σ M2 ∑ θ iθ j β i β j + ∑ θ i2η ε2i = i =1
=β σ 2 P
2 M
i< j
+η
i =1
2 P
(rozklad celkového rizika na systematickou a nesystematickou část) srovnání nároků na počet odhadovaných parametrů: variančně-kovarianční přístup: N variancí σ i2 +
1
2
N ( N − 1) kovariancí σ ij
50 akcií ⇒ 1275 odhadů, 200 akcií ⇒ 20100 odhadů jednoindexní model: N koeficientů β + N reziduálních rizik η i + riziko trhu σ M 50 akcií ⇒ 101 odhadů, 200 akcií ⇒ 401 odhadů b) odhady koeficientů beta i) odhady historického beta lineární regresí standardní regresní analýza metodou nejmenších čtverců
Ri ,t = ci + β i RM ,t + ε t ,
∑ (R
i ,t
− µ i ) 2 → min
výpočetní tvar parametrů regresní přímky má shodné rysy s CAPM
βi =
σ iM , ci = µ i − β i µ M σ M2 ♦
24 Proveďte rozklad celkového rizika i-tého aktiva na diverzifikovatelnou a nediverzifikovatelnou složku, činí-li celkové riziko aktiva 35 %, riziko tržního portfolia je 25 % a kovariance aktiva s trhem je 0,053. 2 σ iM 0,053 2 systematická složka rizika = β σ = 4 × σ M2 = = 0,045 σM 0,25 2 2 i
2 i
nesystematická složka rizika = 0,35 2 − 0,045 = 0,077 Z celkového rizika tvoří 37 % nediverzifikovatelnou část ( = 0,045 / 0,35 2 ), zbylých 67 % připadá na diverzifikovatlnou část. (Rozklad lze provádět pro druhé mocniny rizika). ♦ ii) odhady fundamentálního beta regresní analýzy objasňující velikost koeficientů beta vybranými fundamentálními charakteristikami firmy (dividendový výnos, objem a dynamika růstu aktiv, zadluženost, …) a využívání prognóz firemních charakteristik k prognózování beta problémový předpoklad o neměnné citlivosti beta vůči fundamentálním charakteristikám
5. Teorie arbitrážového oceňování model APT (Arbitrage Pricing Theory) rozpracovává přístup k tvorbě cen aktiv na bázi arbitrážového principu: portfolio, které ke svému sestavení nevyžaduje vynaložení nákladů a nevykazuje žádné riziko, musí mít nulový očekávaný výnos model postuluje závislost očekávaného výnosu rizikového aktiva na větším počtu společných fundamentálních faktorů jako zdroje systematického rizika ~ ~ ~ Ri = µ i + bi1 F1 + K + biK FK + ε i
~ Fk ... k-tý faktor působící na výnosy rizikových aktiv (k = 1, …, K) ~ dle konstrukce modelu E ( Fk ) = 0 bik … citlivost i-tého aktiva na velikost k-tého faktoru (i = 1,…,N; k =
1,…,K)
µ i … konstantní složka reziduálního výnosu ε~i … náhodná složka reziduálního výnosu, náhodný šum i-tého aktiva ~ dle předpokladu E (ε~i ) = 0, cov(ε~i , Fk ) = 0, cov(ε~i , ε~ j )
25 i) odvození základní formule - provedeno je přeskupení portfolia, které nevyžaduje dodatečné nároky na zdroje ( δ i značí změnu váhy zastoupení i-tého aktiva v portfoliu) N
∑δ i =1
i
=0
N N N N N ~ ~ ~ ~ ∆R P = ∑ δ i Ri = ∑ δ i µ i + ∑ δ i bi1 F1 + K + ∑ δ i biK FK + ∑ δ i ε i i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
- od uvedeného přeskupení je navíc vyžadována podmínka, aby do portfolia nebylo vnášeno žádné dodatečné riziko nesystematické riziko lze odstranit diverzifikací čili velkým počtem aktiv v portfoliu (pro jednoduchost volíme přibližně stejnou proporcionální změnou v zastoupení aktiv
δi ≈ ±
1 N
⇒
N
∑ δ i ε~i ≈ i =1
1 N
N
∑ ± ε~ i =1
i
→ 0 pro velké N
systematické riziko lze odstranit splněním K omezujících podmínek (při mnohonásobně vyšším počtu aktiv než faktorů systém disponuje dostatečnou flexibilitou)
∑δ b
i i1
i
= 0, K , ∑ δ i biK = 0 i
- s přihlédnutím k uvedeným omezujícím podmínkám pro změnu portfolia vychází N ~ ∆R P = ∑ δ i µ i i =1
- provedeno bylo přeskupení portfolia, která naplňuje oba předpoklady arbitrážového principu (nulové náklady, nevnášení rizika), proto i očekávaný výnos této změny musí být nulový N
∆µ P = ∑ δ i µ i = 0 i =1
- věta lineární algebry: Je-li vektor δ = (δ 1 , Kδ N ) kolmý na jednotkový vektor (Σδ i .1 = 0) a na vektory bk (Σδ i bik = 0) , pak vektor očekávaných výnosů ( µ1 , K , µ N ) , který je rovně kolmý na vektor δ (Σδ i µ i = 0) , musí ležet v prostoru generovaném jednotkovým vektorem a vektory bk . Neboli existují konstanty λ0 , λ1 , K λ K takové, že platí vektorová rovnice
26 ( µ1 , K , µ N ) = λ0 (1, K ,1) + λ1 (b11 , K , bN 1 ) + K + λ K (bN 1 , K , bNK ) Rozepsání této rovnice po jednotlivých složkách dává
µ i = λ0 + λ1bi1 + K + λ K biK , i = 1,..., N - závěrečné úpravy existuje-li bezrizikové aktivum (s nulovými citlivostmi vůči všem společným faktorům), bude
λ0 = µ F parametr λ k lze modifikovat do podoby „rizikové přirážky“ za závislost na systematickém riziku generovaném k-tým faktorem (parametr γ k značí očekávaný výnos portfolia s jednotkovou citlivostí vůči k-tému faktoru a nulovou citlivostí vůči všem ostatním faktorům)
λk = γ k − µ F - finální výstup modelu APT
µ i = µ F + (γ i1 − µ F )bi1 + K + (γ iK − µ F )biK ii) empirické odhady APT
~ 1. krok: identifikace společných faktorů Fk a odhad citlivostí bik postup: vytipování faktorů (inflace, dividendový výnos, velikost firmy, …) a odhad citlivostí standardními technikami regresní analýzy faktorová analýza spočívající ve vyhledání optimálního počtu faktorů s požadovanou vysvětlovací silou 2. krok: aplikace technik regresní analýzy pro odhad koeficientů λ k postup: jako vysvětlující proměnné mohou být použity buď již provedené odhady citlivostí výnosů vůči společným faktorům a nebo přímo naměřené hodnoty společných faktorů iii) víceindexní model (multi-index model) ekonometrický přístup pro determinaci očekávaných výnosů aktiv, který se neopírá o prvky rovnovážného uvažování odhadována je regresní závislost ~ ~ ~ Ri = µ i + β i1 I 1 + K + β iK I K + ε i dle konstrukce modelu: ~ ~ E (ε i ) = 0, cov( Fi , F j ) = 0 (provedení tzv. ortogonalizace indexů)
27 dle předpokladu modelu: cov(ε i , ε j ) = 0
příklady indexů: hospodářský růst, pozice v hospodářském cyklu, dlouhodobé a krátkodobé úrokové sazby, inflace, kurz
28
B. ŘÍZENÍ PORTFOLIA 1. Základní pojmy obsah řízení portfolia (pracovní náplň portfolio manažera): - sestavení portfolia (investování peněžních prostředků v souladu s preferencemi investujících klientů) - analýza portfolia (měření a vyhodnocování výkonnosti portfolia, identifikace investičních rizik, provádění srovnávacích analýz) - upravování portfolia (provádění obchodů se složkovými aktivy portfolia s ohledem na měnící se okolnosti) základní typologie klientů: - brutto investor (gross investor) investor umisťující vlastní prostředky do portfolia, které odpovídá jeho rizikovému profilu (preferencím mezi výnosem a rizikem) - netto investor (net investor) investor požadující sestavení takového portfolia, které by ze svých výnosů průběžně pokrývalo nabíhající závazky (penzijní fond, podnikový finanční manažer, aj.) základní typologie technik řízení: - pasivní řízení portfolia vyznačuje se méně významnými a méně častými úpravami portfolia opora v představě efektivně fungujících trhů, které vesměs korektně oceňují obchodovaná aktiva a proto poskytují malý prostor vydělávat na cenových distorzích a systematicky překonat výkon trhu - aktivní řízení portfolia vyznačuje se častými a podstatnými úpravami portfolia představa poměrně častých a významných cenových distorzí, jejichž identifikací na základě lepších znalostí a informací lze vydělávat abnormální výnosy (analýza očekávaného pohybu úrokových sazeb, měnových kurzů, ratingového hodnocení, výnosových spreadů, aj.) hypotéza efektivních trhů (efficient market hypothesis, EMH) - slabá forma EMH:
29 aktuální ceny cenných papírů okamžitě a plně odrážejí veškerou minulou informaci a neposkytují žádné vodítko k budoucímu chování cen obchody založené na analýze historických cen neumožňují vydělávat abnormální zisky - polosilná forma EMH: aktuální ceny cenných papírů okamžitě a plně odrážejí veškeré dostupné informace neexistují významnější zpoždění mezi zveřejněním informací a jejich zakomponováním do cen - silná forma EMH: aktuální ceny cenných papírů plně a okamžitě odrážejí veškerou známou informaci včetně neveřejných důvěrných informací) složky tržní efektivnosti jsou alokační efektivnost, operační efektivnost a informační efektivnost
2. Techniky pasivního řízení portfolia a) užitková funkce brutto investora maximalizace hodnoty portfolia při respektování rizikového profilu klienta i) strategie „kup a drž“ (buy-and-hold strategy) aktiva bez stanovené doby splatnosti (akcie) jsou trvale držena v portfoliu a aktiva se stanovenou splatností (obligace, instrumenty peněžního trhu) jsou při splatnosti nahrazována stejnými aktivy výnos portfolia je založen na důchodovém toku cenných papírů (kupónové platby, dividendy, trendové zhodnocování), ke krátkodobým kapitálovým ziskům a ztrátám se nepřihlíží ii) sledování indexu (index matching, index tracking) sestavené portfolio je zmenšenou kopií určitého referenčního indexu (benchmark) výkonnost portfolia je srovnávána s výkonností referenčního portfolia a vyhodnocována je sledovací chyba (tracking error) - kompletní indexování konstrukce řízeného portfolia věrně kopíruje složení sledovaného portfolia nevýhodou je nákladné upravování (rebalancování) portfolia
30 zdroje sledovací chyby: - transakční náklady související se sledováním struktury indexu (vyřazování a zařazování akcií, končící splatnost obligací, existence obchodního rozpětí se silným vlivem likvidity příslušného trhu, aj.) - obtížné sledování hotovostního toku indexu (hotovostní tok řízeného portfolia podléhá zdanění, reinvestování výnosů je spojeno s transakčními náklady, existuje prodleva mezi deklarací a výplatou dividend či kupónů, aj.) - vzorkování (sampling) rozdělení všech aktiv indexu do sektorů a buněk podle vytipovaných charakteristik a výběr představitelů každé buňky v souladu s váhou daného sektoru na sledovaném indexu ♦ Příklad vzorkování obligačního portfolia 1. Splatnost obligace a) méně než 5 let b) mezi 5 a 10 lety c) větší než 10 let 2. Tržní sektor a) vládní obligace b) korporace c) agentury 3. Rating a) AAA b) AA c) A d) BBB Celkem bylo vytvořeno 3 × 3 × 4 = 36 buněk. Jestliže např. ve sledovaném indexu je zastoupeno 23 % agenturních obligací se splatností větší než 10 let a s ratingem AA, stejné váhové zastoupení daného segmentu by mělo vykazovat i sestavené portfolio. ♦ aplikace optimalizačních technik a dodatkových omezení při vytváření vzorku (prvky aktivního řízení):
31 - maximalizace výnosu do splatnosti - minimalizace sledovací chyby - vědomé podvažování či nadvažování vybraných sektorů - limity na zastoupení vybraných sektorů iii) posílené indexování prvek aktivního řízení v rámci celkově pasivního přístupu k řízení portfolia vědomé podstupování mírného dodatečného rizika s cílem dosáhnout lepší výkonnosti oproti referenčnímu indexu (zařazování výnosnějších titulů, techniky syntetického vytváření aktiv, aj.)
b) užitková funkce netto investora formování a řízení portfolia s cílem uspokojovat danou strukturu závazků i) imunizace obligačního portfolia zajišťování hodnoty obligačního portfolia proti změnám úrokových sazeb pravidlo imunizace: 1. závazek splatný v budoucím okamžiku T jistit investicí do obligačního portfolia s durací T 2. velikost jistícího obligačního portfolia stanovit ve výši současné hodnoty budoucího závazku 3. periodické upravování obligačního portfolia obnovující imunizační pravidlo ♦ Manažer penzijního fondu emitoval obligace v nominální hodnotě 8 820 262 $, které po dobu 5,5 let garantují šestiměsíční výnos 6,25 % (tj. 12,5 % ročně). Garantovaný závazek vůči držitelům obligací splatný po uplynutí 5,5 let tak činí 8 820 262 × (1 + 0,0625)11 = 17 183 032 $ 1) Zakoupení pari obligace v nominální hodnotě 8 820 262 $, s ročním kupónem 12,5 % (vypláceným pololetně) a se splatností 5,5 let.
Úroková sazba
Reinvestovan ý kupón
Cena obligace
Akumulovaná hodnota
Efektivní výnos
Diference
32 1
2
3
4
5
14,0
8700967
8820262
17521230
12,88
338198
12,5
8362770
8820262
17183032
12,50
0
11,0
8039392
8820262
16859654
12,13
-323378
⎛ {1} ⎞ {2} = ∑ 8 820 262 × 0,0625 × ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝ t =1 11
6
11− t
{4} = {2} + {3}
{5} = 2 ×
( {4} 8 820 262 − 1) 11
{6} = {4} − 17 183 032
2) Zakoupení pari obligace 8 820 262 $, s ročním kupónem 12,5 % (vypláceným pololetně) a se splatností 15 let. V okamžiku plnění závazku obligaci zbývá do splatnosti 9,5 roku.
1
Reinvestovan ý kupón 2
14,0
8700967
8136542
16837510
12,11
-345522
12,5
8362770
8820262
17183032
12,50
0
11,0
8039392
9322113
17627523
12,99
-444491
Úroková sazba
Cena obligace
Akumulovaná hodnota
Efektivní výnos
Diference
3
4
5
6
11 ⎛ {1} ⎞ {2} = ∑ 8 820 262 × 0,0625 × ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝ t =1
8 820 262 × 0,0625
19
{3} = ∑
⎛ {1} ⎞ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝
t =1
t
+
11− t
8 820 262 ⎛ {1} ⎞ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝
19
{4} = {2} + {3}
{5} = 2 ×
( {4} 8 820 262 − 1) 11
{6} = {4} − 17 183 032
3) Zakoupení pari obligace 8 820 262 $, s ročním kupónem 12,5 % (vypláceným pololetně), které zbývá půl roku do splatnosti, a reinvestování šestiměsíčního výnosu do 5lého termínového depozita. Úroková sazba
Příjem za 6 měsíců
Akumulovaná hodnota
Efektivní výnos
Diference
33 1
2
3
4
5
14,0
9371528
18435215
13,86
1252183
12,5
9371528
17183032
12,50
0
11,0
9371528
16007924
11,14
-1175108
⎛ 0,125 ⎞ {2} = 8 820 262 × ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ {1} ⎞ {3} = 9 371 528 × ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝
10
(
)
{4} = 2 × 11 {3} 8 820 262 − 1 {5} = {3} − 17 183 032
4) Zakoupení 8-leté obligace s ročním kupónem 10,125 % za cenu 88,202 (na 100 nominále). Obligace vykazuje výnos do splatnosti 12,5 % a duraci v délce horizontu závazku,
D=
100 ⎛ 16 0,10125 / 2 1 ⎜⎜ ∑ t × + 16 × t 88,202 ⎝ t =1 (1 + 0,125 / 2) (1 + 0,125 / 2)16
⎞ ⎟⎟ = 11 měsíců = 5,5 let ⎠
1
Reinvestovan ý kupón 2
14,0
7990447
9205587
17196034
12,51
13002
12,5
7679867
9503166
17183032
12,50
0
11,0
7382896
9813175
17196071
12,51
13039
Úroková sazba
Cena obligace
Akumulovaná hodnota
Efektivní výnos
Diference
3
4
5
6
Postup výpočtu údajů tabulky je shodný s případem č. 2. praktické problémy imunizace: - větší pohyby úrokových sazeb snižují kvalitu imunizace (durace je mírou cenového rizika pouze prvního řádu) - přirozené stárnutí obligací snižuje duraci obligačního portfolia pomaleji ve srovnání se zkracováním splatnosti závazku - nutnost ošetřování dalších rizik (kreditní riziko, riziko přivolání, aj.) zvyšuje transakční náklady na udržování imunizovaného portfolia, zaměření pouze na vládní obligace generuje minimální výnos - častá frekvence upravování portfolia zvyšuje transakční náklady, nízká
34 frekvence snižuje kvalitu imunizace - při neparalelním posunu výnosové křivky vzniká imunizační riziko (porušen je základní předpoklad pro vypovídací schopnost durace jako míry tržního rizika) zajišťování imunizačního rizika: soustředné portfolio (focused, bullet p.) je tvořeno obligacemi, jejichž durace se nacházejí poblíž durace závazku, přičemž vážená durace portfolia se rovná duraci závazku odstředné portfolio (barbell p.) je tvořeno obligacemi, jejichž durace se nachází dále od durace závazku, přičemž vážená durace portfolia se rovná duraci závazku ♦ K dispozici jsou obligace s duracemi 4, 9, 11 a 14 let. Soustředné portfolio o duraci 10 let lze sestavit s 50 %-ním zastoupením obligací o duranci 9 a 11 let, 0,5 × 9 + 0,5 × 11 = 10 let
Odstředné portfolio o duraci 10 let lze sestavit při 40 %-ním resp. 60 -%ním zastoupením obligací o duraci 4 resp. 14 let, 0,4 × 4 + 0,6 × 14 = 10 let
♦ při paralelním posunu výnosové křivky jsou soustředná i odstředná portfolia stejně výhodná při neparalelním posunu je imunizačním rizikem více zatíženo odstředné portfolio (např. při poklesu krátkého konce a nárůstu dlouhého konce výnosové křivky má odstředné portfolio větší ztrátu z reinvestovaného i kapitálového výnosu) vícečasová imunizace (multi-period immunisation) technika jištění časové struktury závazků (nikoli jen jednoho závazku v jediném budoucím okamžiku) proti změnám úrokových sazeb nutná taková dekompozice hotovostního toku obligačního portfolia, která by imunizovala každý jednotlivý závazek ii) párování hotovostních toků (cash flow matching)
35 metoda párování spočívá v sestavení portfolia obligací (tzv. dedikovaného portfolia), jejichž hotovostní tok (platby kupónu a jistiny) vykrývá zadanou časovou strukturu závazků vykrývání závazků postupuje od konce horizontu k jeho počátku párovací schéma: krok 0 : - zadána je výchozí T-letá struktura závazků L10 , L02 , K, L0T - k dispozici je T-letá obligace A s hotovostním tokem A1 , A2 , K, AT - zakoupeno je n A kusů obligace A za účelem vykrytí posledního závazku, n A AT = L0T
krok 1: - zůstává nekrytá struktura závazků L11 = L10 − n A A1 , K , L1T −1 = L0T −1 − n A AT −1 - použita je (T-1)-letá obligace s hotovostním tokem B1 , B2 ,K, BT −1 - zakoupeno je n B kusů obligace B pro vykrytí předposledního závazku n B BT −1 = L1T −1
krok 2: - zůstává nekrytá struktura závazků L12 = L11 − n B B1 , K , L2T − 2 = L1T − 2 − n B BT − 2 - použita je (T-2)-letá obligace s hotovostním tokem C1 , C 2 ,K, CT −2 - zakoupeno je nC kusů obligace C pro vykrytí předpředposledního závazku nC CT − 2 = L2T − 2
algoritmus pokračuje uvedeným způsobem až do úplného vypárování všech závazků hotovostním tokem portfolia obligací
♦ Penzijní fond bude během následujících tří let každý rok vyplácet svým klientům 1000 mil. USD. K dispozici jsou následující obligace Splatnost
Kupón
Nominále
A
3
11,1
100
B
2
12,5
100
C
1
14,3
100
Způsob vypárování zadané struktury závazků
36 Rok
Závazek
9 obligací A 8 obligací B
1
1000
100
100
2
1000
100
900
3
1000
1000
7 obligací C 800
L3 = 1000 = 9 × (11,1 + 100) L2 = 1000 = 9 × 11,1 + 8 × (12,5 + 100) L1 = 1000 = 9 × 11,1 + 8 × 12,5 + 7 × (14,3 + 100)
♦ výhody: - obligační portfolio není vystaveno tržnímu riziku, neboť všechny obligace jsou drženy do splatnosti - není nutné provádět úpravy portfolia (s výjimkou ošetřování kreditního rizika) nevýhody: často nákladná strategie z důvodu nemožnosti dokonale vykrýt závazky existujícími obligacemi, což ústí do určitého předimenzování dedikovaného portfolia iii) podmíněná imunizace vytvoření prostoru pro aktivní řízení obligačního portfolia za podmínky, že hodnota portfolia neklesne pod mez stanovenou tzv. bezpečnostním polštářem je-li bezpečnostní polštář vyčerpán, řízení portfolia přechází do režimu imunizace ♦ Aktuální 4-letý tržní výnos do splatnosti činí 12 %. Klient investující 50 mil USD na čtyři roky je ochoten akceptovat bezpečnostní polštář 200 b.p. pod aktuálním tržním výnosem. Jinými slovy souhlasí s aktivním řízením portfolia za podmínky, že dosažen bude minimální výnos 10 %, čemuž odpovídá cílová hodnota portfolia 50 000 000 × (1 + 0,05) 8 = 73 872 772 USD V nominálním vyjádření byl tak manažerovi vytvořen bezpečnostní polštář ve výši 50 000 000 −
73 872 772 = 50 000 000 − 46 348 691 = 3 651309 USD (1 + 0,06) 8
Manažer očekává pokles úrokových sazeb, a proto investuje svěřených 50 mil USD do nákupu 20leté pari obligaci s kupónem 12 %, namísto zakoupení obligace s durací 4 roky, která by zajistila výnos 12 % proti pohybu úrokových sazeb
37 a) po uplynutí 6 měsíců úrokové sazby klesly z 12 % na 9 % 39
nová cena obligace =
6
∑ (1 + 0,045) t =1
t
+
100 = 127,34 (1 + 0,045) 39
vyplacený kupón = 50 000 000 × 0,06 = 3 000 000 nová hodnota portfolia = 3 000 000 + 50 000 000 × investice potřebná k dosažení cílové částky =
127,34 = 66 670 000 100
73 872 772 = 54 283 815 (1 + 0,045) 7
bezpečnostní limit = 66 670 000 − 54 283 815 = 12 386 112 Bezpečnostní limit v peněžním vyjádření byl úspěšným řízením portfolia zvýšen, což umožňuje dále pokračovat v aktivním řízení. b) po uplynutí 6 měsíců úrokové sazby vzrostly ze 12 % na 14 % 39
nová cena obligace =
6
∑ (1 + 0,07) t =1
t
+
100 = 86,74 (1 + 0,07) 39
vyplacený kupón = 50 000 000 × 0,06 = 3 000 000 nová hodnota portfolia = 3 000 000 + 50 000 000 × investice potřebná k dosažení cílové částky =
86,74 = 43 370 000 100
73 872 772 = 46 004 250 (1 + 0,07) 7
bezpečnostní limit = 43 370 000 − 46 004 250 = −2 634 250 Bezpečnostní polštář byl přečerpán, takže manažer je povinen imunizovat portfolio čili zakoupit obligaci s durací 3,5 let a s minimálním výnosem 14 %, která umožní zajistit zaručenou cílovou částku proti změnám úrokových sazeb. ♦
3. Techniky aktivního řízení portfolia snaha těžit z očekávaných pohybů cen cenných papírů (odstraňování dočasných cenových anomálií, očekávaný příchod nových informací, formování vlastního názoru na výnosnost a rizikovost aktiv, aj. ) rozhodovací úrovně: - základní kategorie volba mezi základními třídami aktiv, která předurčuje rizikový profil portfolia a jeho výkonnost (základní členění na akcie, obligace a nástroje peněžního trhu)
38 - sektory jsou širší třídy aktiv v rámci základních kategorií (akcie: banky, elektronika, pivovary, textilky, aj.) - cenné papíry výběr zcela konkrétních titulů v souladu s použitými technikami aktivního řízení
a) aktivní řízení akciového portfolia i) vyhledávání pozitivního alfa (quest for alpha) koeficient alfa měří přebytečný výnos akcie definovaný jako rozdíl mezi fakticky pozorovaným výnosem akcie a fundamentálním (modelově-teoretickým) výnosem akcie (např. dle modelu CAPM) α > 0 ⇒ akcie je podhodnocená (akcie má pozitivní alfa) akcie vykazuje vyšší výnos (nižší cenu) než jaký by odůvodňovala fundamentální analýza signál k nákupu akcie, neboť lze očekávat růst ceny akcie a tím i snižování jejího výnosu směrem k teoretické hodnotě α < 0 ⇒ akcie je nadhodnocená (akcie má negativní alfa) akcie vykazuje nižší výnos (vyšší cenu) než jaký by odůvodňovala fundamentální analýza signál k prodeji akcie (popř. k „šortování“ akcie), neboť lze očekávat pokles ceny akcie a tím i zvyšování jejího výnosu směrem k teoretické hodnotě Obrázek: Akcie s pozitivním a negativním alfa
µi
• A1
SML
α1 µF
α2 A2 •
βi A1 je podhodnocená akcie (pozitivní α) A2 je nadhodnocená akcie (negativní α)
39 alfa portfolia se získá jako vážený součet koeficientů alfa individuálních akcií v portfoliu N
α P = ∑ θ iα i i =1
θ iP … váha i-té akcie v portfoliu P cílem strategie vyhledávání alfa je snaha o nadproporcionální zastoupení podhodnocených akcií (akcií s kladným alfa) a podporoporcionální zastoupení nadhodnocených akcií (akcií se záporným alfa) oproti tržnímu portfoliu N
α P = ∑ (θ iM + δ i )α i i =1
θ iM … váha i-té akcie v tržím portfoliu
δ i … „sázka“ na i-tou akcii (může být kladné i záporné číslo) ii) selekce akcií dle přebytečného výnosu k beta (Elton-Gruber) přebytečný výnos k beta =
µi − µ F βi
(převýšení bezrizikového výnosu vztažené na jednotku systematického rizika) algoritmus: 1. sestupné seřazení akcií dle přebytečného výnosu k beta (od nejvyššího k nejnižšímu) 2. výpočet dělícího bodu pro portfolio sestavené z n nejlepších akcií (dle přebytečného výnosu k beta) 3. pokud je přebytečný výnos (n+1)-ní akcie vyšší než hodnota dělícího bodu, o tuto akcii bude portfolio rozšířeno 4. výpočet dělícího bodu pro portfolio sestavené z (n+1) nejlepších akcií a dále v logice bodu 3
cj =
j
⎡
i =1
⎣
σ M2 ∑ ⎢(µ i − µ F ) βi 2 i =1 η i
βi ⎤ ⎥ η i2 ⎦
j
1 + σ M2 ∑
, θi =
Zi
, Zi =
N
∑Z j =1
j
βi η i2
⎛ µi − µ F ⎞ ⎜⎜ − cˆ ⎟⎟ ⎝ βi ⎠
c j … dělící bod vypočítaný z vlastností prvních j akcií
) c … výsledný dělící bod
40 N … počet akcií ve výsledném portfoliu ♦ Přebytečn ý výnos 10,0
Dělící bod
1,0
Specifick é riziko 50
17
1,5
40
8,0
3,69
3
12
1,0
20
7,0
4,42
4
17
2,0
10
6,0
5,43
5
11
1,0
40
6,0
5,45
6
11
1,5
30
4,0
5,30
7
11
2,0
40
3,0
5,02
8
7
1,8
16
2,5
4,91
9
7
1,0
20
2,0
4,75
Akcie
Očekávaný výnos
Beta akcie
1
15
2
1,67
♦ iii) časování trhu (market timing) techniky aktivního řízení vyvolané odlišným pohledem na očekávanou výkonnost tržního portfolia (společné působení hospodářského cyklu na všechny akcie) býčí očekávání … manažer se domnívá, že trh podhodnocuje očekávanou výkonnost tržního portfolia ⇒ aplikace technik zvyšujících beta řízeného portfolia medvědí očekávání … manažer se domnívá, že trh nadhodnocuje očekávanou výkonnost tržního portfolia ⇒ aplikace technik snižujících beta řízeného portfolia techniky uzpůsobování beta: - nákup resp. prodej akcií v souladu s jejich beta agresivní akcie má koeficient beta vyšší než 1 držením těchto akcií je podstupováno více nediverzifikovatelného rizika, očekávaný výnos by měl být proto relativně vyšší při býčím trhu tato akcie roste více než trh a při medvědím trhu klesá více než trh defenzivní akcie má koeficient beta nižší než jedna držením této akcie je podstupováno méně nediverzifikovatelného
41 rizika, očekávaný výnos by měl být proto relativně nižší při býčím trhu tato akcie roste méně než trh a při medvědím trhu klesá méně než trh - prodlužování či zkracování beta portfolia s využitím futuritních a opčních kontraktů iv) pojišťování portfolia (portfolio insurance) investiční strategie imitující ochrannou prodejní opci (zakoupení prodejní opce k dané akcii ponechává ziskový potenciál při růstu ceny akcie a limituje ztrátu při poklesu ceny akcie) dynamická alokace mezi akciemi a obligacemi (programové obchodování) při býčím trhu dochází k přeskupování portfolia ve prospěch rizikových akcií, při medvědím trhu je portfolio naopak přeskupováno ve prospěch bezpečných obligací ♦ Akciové portfolio má aktuální hodnotu 100 000 £, přičemž cena akcie koná náhodnou procházku s tím, že v průběhu roku buď může stoupnout o 10 % nebo klesnout o 12 %. Cílem investiční strategie je na jedné straně neomezovat růstový potenciál a na druhé straně zamezit poklesu hodnoty portfolia pod výchozí úroveň 100 000 £. K sipozici je obligace s bezrizikovým výnosem 5 %. (A) 100000 -12%
+10% S = 70250 B = 31827 102077
(B) 88000 -12% 77440 (100000)
S=0 B = 95238 95238
+10% 96800 (100000)
(C) 110000 -12% 96800 (100000)
+10% S = 95455 B = 15238 110693
121000 (121000)
žádoucí skladba portfolia v uzlu (B): cílem je dosáhnout hodnoty 100 000 £ bez ohledu na pozdější býčí či medvědí vývoj akciového trhu, portfolio musí být složeno výlučně z obligací v hodnotě
42 100000 = 95238 1 + 0,05 S =0 B=
žádoucí skladba portfolia v uzlu (C): proporce mezi akciemi a obligacemi je dána řešením soustavy 1,1S + 1,05 B = 121000 0,88S + 1,05 B = 100000
⇒
S = 95455 B = 15238
žádoucí skladba portfolia v uzlu (A): proporce mezi akciemi a obligacemi je dána řešením soustavy 1,1S + 1,05 B = 110693 0,88S + 1,05 B = 95238
S = 70250
⇒
B = 31827
počáteční hodnota pojištěného portfolia je vyšší než hodnota nezajištěného portfolia (analogie placení pojistného) ♦ poznámky: - velikost transakčních nákladů při přeskupování portfolia snižuje výnosnost cenných papírů resp. zvyšuje velkost počáteční investice - potenciálně nestabilizující vliv v období větších cenových výkyvů (nákup akcií a prodej obligací při růstu akciového trhu resp. prodej akcií a nákup obligací při poklesu akciového trhu) - strategie pojišťování je levnější pomocí futuritních kontraktů růst cen akcií vede k doporučení nakupovat indexové futurity, které vydělávají na růstu akciového trhu (vedle vlastního zhodnocování držených akcií) pokles cen akcií vede k doporučení prodávat indexové futurity, které vydělávají na poklesu akciového trhu, čímž kompenzují pokles hodnoty držených akcií
b) aktivní řízení obligačního portfolia i) „znesoulaďování“ aktiv a pasív (mismatching) zaujímání spekulační pozice záměrným vytvářením rozdílné doby splatnosti pohledávek a závazků očekávaný růst úrokových sazeb ⇒ zkracování aktiv a prodlužování pasiv ve snaze oddalovat růst nákladů a urychlovat růst výnosů očekávaný pokles úrokových sazeb ⇒ prodlužování aktiv a zkracování pasiv ve
43 snaze oddalovat pokles výnosů a urychlovat pokles nákladů
♦ Finanční manažer má možnost financovat nákup 3M CD s výnosem 10,25 % pomocí 3M půjčky se sazbou 10,125 %. Současně se domnívá, že ode dneška za 1 měsíc úrokové sazby poklesnou o 1 p.b.. Na výběr má tři investiční alternativy: a) využit arbitrážovou příležitost 91 ) = 1 025 555 příjem z CD = 1 000 000 × (1 + 0,1025 × 365 91 ) = 1 025 543 splátka půjčky = 1 000 000 × (1 + 0,10125 × 365
zisk = 312 b) zakoupit 3M CD pomocí 1M půjčky a následně refinancovat dlužnickou pozici 2M půjčkou příjem z CD = 1 025 555 30 61 splátka půjčky = 1 000 000 × (1 + 0,10125 × 365 ) × (1 + 09125 × 365 ) = 1 023 699
zisk = 1856 c) zakoupit 3M CD pomocí 1M půjčky, CD po uplynutí měsíce prodat a výtěžek investovat do 2M depozita příjem z prodeje CD =
1 025 555 = 1 009 942 61 1 + 0,0925 × 365
30 ) = 1 008 322 splátka půjčky = 1 000 000 × (1 + 0,10125 × 365 61 ) = 1620 × 1,01525 = 1645 zisk = (1 009 942 − 1 008 322) × (1 + 0,09125 × 365
srovnání alternativ b) a c): b): vyšší zisk 1856 po uplynutí 3 měsíců c): nižší zisk po uplynutí 1 měsíce ♦ ii) switchování (swapování) obligací techniky zaměňování (prodejů a nákupů) jedněch obligací jinými obligacemi s cílem posílit výnos obligačního portfolia - sebrání výnosu (pure yield pickup switch) přechod k obligacím nabízejícím aktuálně vyšší kupón, vyšší výnos do splatnosti popř. obojí
44 neprovádí se analýza očekávání úrokových sazeb, kreditních či výnosových spreadů - úrokový anticipační switch (interest rate anticipation switch) přeskupování obligačního portfolia s cílem vydělat na očekávaném pohybu úrokových sazeb prostřednictví odlišné cenové citlivosti obligací s rozdílnou délkou durace ∆P = − P ×
∆r ×D 1+ r
očekávaný pokles sazeb ⇒ prodlužování durace portfolia (vyšší růst ceny zaznamenají obligace s delší durací) očekávaný růst sazeb ⇒ zkracování durace portfolia (nižší cenový pokles zaznamenají obligace s kratší durací) - substituční switch (substitution switch) motivace obchodu vychází z identifikace domnělých tržních anomálií v očekávání, že během tzv. nápravného období (workout period) bude tržní anomálie odstraněna strategickým záměrem je nákup podhodnocených a prodej nadhodnocených aktiv ♦ Portfolio manažer identifikoval cenovou distorzi mezi následujícími dvěma obligacemi téže rizikové třídy: obligace A: kupón 10 % (vyplácen pololetně), splatnost 18 let, YTM 10 % obligace B: kupón 10,25 % (vyplácen pololetně), splatnost 18,5 let, YTM 10,2 % Manažer očekává, že během šesti měsíců do doby výplaty příštího kupónu se výnosy obou obligací srovnají (dojde k odstranění cenové anomálie). Jak velký zisk lze očekávat od techniky substitučního switche? Zahájení switche Výnos (%)
Ukončení switche
Cena
Výnos (%)
Cena
Obligace A
10
100
10
100
Obligace B
10,2
100,41
10
102,07
ceny obligací odpovídají současné hodnotě budoucího hotovostního toku obligace zahájení switche: - krátký prodej jednoho kusu obligace A ⇒ příjem 100
45 - nákup 100:100,41 = 0,996 kusů obligace B ⇒ výdaj 100 ukončení switche: - nákup jednoho kusu obligace A ⇒ výdaj 100 + 5 - prodej obligací B ⇒ příjem
100 × (102,07 + 5,125) = 106,77 100,41
Substituční switch vydělává 1,77 peněžních jednotek na 100 peněžních jednotek nominále. ♦ používá-li substituční switch obligace s výrazně odlišnou dobou do splatnosti (tedy s odlišnou citlivostí ceny obligace na pohyb úrokové sazby), je nutné jej zajistit (imunizovat) proti posunům výnosové křivky imunizační pravidlo: investice do A × durace A = investice do B × durace B ♦ Jaký by byl výsledek neimunizovaného substitučního switche z předchozího příkladu za předpokladu, že obligaci B zbývá do splatnost 5,5 let a během nápravného období úrokové sazby poklesnou o 1 p.b.? Zahájení switche Výnos (%)
Ukončení switche
Cena
Výnos (%)
Cena
Obligace A
10
100
9
108,73
Obligace B
10,2
100,21
9
104,95
Neimunizovaný substituční switch je ztrátový, neboť růst ceny obligace B v důsledku odstranění cenové anomálie je více než převážen růstem ceny obligace A v důsledku její vyšší citlivost na pokles úrokových sazeb. ♦ - kreditní spreadový switch identifikace cenových anomálií (tj. fundamentálně podhodnocených a nadhodnocených obligací) na bázi analýzy kreditního rizika podhodnocené kreditní riziko ⇒ signál k prodeji obligace, jelikož lze očekávat pokles ceny obligace v důsledku zvýšení kreditního spreadu nadhodnocené kreditní riziko ⇒ signál k nákupu obligace, jelikož lze
46 očekávat růst ceny obligace v důsledku snížení kreditního spreadu
4. Měření výkonnosti portfolia sledované aspekty: - ukazatele vhodné pro měření zhodnocení investovaných aktiv - očištění výnosů o podstoupené riziko - celkové vyhodnocení dosažených výnosů a) měření výnosů portfolia t1 V0
t2
tT
t3 CFT-1
CF2 CF2
CF1
CFT
hodnotou vážená (hodnotová) výnosová míra (money-weighted rate of return): VT = V0 (1 + R ) t1 +...+ tT + CF1 (1 + R ) t 2 +...+ tT + ... + CFT −1 (1 + R ) tT
♦ Portfolio A Počáteční hodnota Hotovostní tok Investovaná částka Zhodnocení Koncová hodnota
Portfolio B
1
2
3
4
1
2
3
4
100
240
126
138,6
100
120
198
107,8
100
-100
0
0
100
-100
200
140
126
100
220
98
20
-10
10
20
-10
10
240
126
138,6
120
198
107,8
hodnotová výnosová míra portfolia A: 100(1 + R A ) 4 + 100(1 + R A ) 4 − 100(1 + R A ) 3 = 138,6 R A = 6,83 % hodnotová výnosová míra portfolia B: 100(1 + RB ) 4 + 100(1 + RB ) 3 − 100(1 + RB ) 2 = 107,8 RB = 1,52 % ♦
47 nevýhoda hodnotové míry: naměřená výkonnost portfolia je závislá na struktuře hotovostního toku, kterou manažer portfolia obvykle nemůže ovlivnit časem vážená (časová) výnosová míra (time-weighted rate of return) ⎛ V1 ⎜⎜ ⎝ V0
⎞ ⎟⎟ ⎠
t1 365
⎛ V2 ⎞ ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎝ V1 + CF1 ⎠
t 2 365
⎛ ⎞ VT ⎟⎟ × .... × ⎜⎜ ⎝ VT −1 + CFT −1 ⎠
tT −1 365
= (1 + R )
( t1 +...+ tT −1 ) 365
♦ Jaká je výkonnost portfolií A a B z předchozího příkladu měřená pomocí časové výnosové míry?
⎛ 240 126 138,6 ⎞ × × RA = ⎜ ⎟ ⎝ 200 140 126 ⎠ ⎛ 120 198 107,8 ⎞ RB = ⎜ × × ⎟ 98 ⎠ ⎝ 100 220
13
− 1 = 5,91 %
13
− 1 = 5,91 % ♦
nevýhoda časové výnosové míry: znalost tržního ocenění aktiv portfolia v každém okamžiku pohybu hotovostního toku b) očistění výnosu o podstoupené riziko klasifikace podle míry rizika: - míry na bázi směrodatné odchylky jsou vhodnější pro málo diverzifikovaná portfolia (dáno např. statutem fondu) - míry na bázi koeficientu beta vhodné pro vysoce diverzifikovaná portfolia klasifikace podle konstrukce ukazatele: - míra dodatkového rizika vhodná pro vyhodnocení rizikovosti investovaných prostředků - míra diferenciálního rizika vhodná pro komparaci s referenčním tržním portfoliem i) Sharpeho míra dodatkového výnosu k volatilitě (excess return to volatility)
eS =
µP − µF σP
48 Obrázek: Porovnání výkonnosti portfolií dle Sharpeho
µP
D● M ● C●
● B
● A
µF
σP pořadí portfolií : A ≈ B p M p C ≈ D ii) Treynorova míra dodatkového výnosu k beta (excess return to beta)
eT =
µP − µF βP
Obrázek: Porovnání výkonnosti portfolií dle Treynora
µP
D● M ● C●
µF
● A
● B
βP pořadí portfolií : A ≈ B p M p C ≈ D iii) Jensenův index diferenciální výkonnosti (Jensen differential performance index) e J = µ P − [µ F + ( µ M − µ F ) β P ] porovnáván je výnos portfolia s výnosem stejně rizikového portfolia ležícího na přímce SML (srovnání s „naivní“ investiční strategií držet stejně rizikovou kombinaci bezrizikového a tržního portfolia)
49 Obrázek: Porovnání výkonnosti portfolií dle Jensena
µP B ● A ●
µF
● ASML
● M
SML
● BSML
βP pořadí portfolií : M p A p B
