STEREOMETRIE Vzdálenost bodu od přímky
Mgr. Jakub Němec
VY_32_INOVACE_M3r0113
VZDÁLENOST BODU OD PŘÍMKY V PROSTORU
Při hledání vzdálenosti bodu od geometrického útvaru v prostoru je nutné si vždy úlohu převést na určování vzdálenosti dvou bodů. Vzdálenost bodu od přímky jsme řešili v planimetrii a víme, že tuto vzdálenost určuje daný bod a bod přímky, který nazýváme patou kolmice. Tato kolmice je kolmá k přímce a zároveň prochází zadaným bodem. V prostoru je před řešením úlohy nutné určit si rovinu, ve které budeme vzdálenost hledat. Rovina bude určena bodem a přímkou, což je dostačující pro její přesné určení. Nalezením této roviny získáme řez prostorového úvaru, jehož pomocí je příklad zadán. Jak víme, řez je dvourozměrný geometrický útvar, takže při dalších krocích postupujeme obdobně jako v planimetrii.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm určete vzdálenost bodu A od přímky GH.
Bod A a přímka GH jednoznačně určují řez krychle.
Zde je znázorněn řez krychle rovinou AGH.
Z vlastností krychle vyplývá, že daný řez je obdélník.
Strana AB měří samozřejmě stejně jako hrana krychle 4 cm. Strana AH je naše hledaná vzdálenost, poněvadž spojnice bodů AH je kolmá k přímce GH.
Bod H je tak patou kolmice přímky, která je určená bodem A.
Z vlastností krychle vyplývá, že úsečka |AH| je úhlopříčka stěny, tedy úhlopříčka čtverce. Výpočet je tedy zřejmý – využijeme Pythagorovu větu.
𝐴𝐻 2 = 𝐴𝐷 2 + 𝐷𝐻 𝑣 2 = 42 + 42 2 𝑣 = 32
2
𝑣 = 32 = 4 2 ≐ 𝟓, 𝟔𝟔 𝐜𝐦
----------------------------------------------------Obecně:
𝑣 2 = 𝑎2 + 𝑎2 𝑣 2 = 2𝑎2 𝑣=
2𝑎2 = 𝒂 𝟐
Zde je uveden postup výpočtu. Vzdálenost bodu A od přímky GH je tedy přibližně v = 5,66 cm. Pro urychlení následujících výpočtů si pamatujte vztah pro výpočet úhlopříčky čtverce.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm určete vzdálenost bodu A od přímky FH.
Bod A a přímka FH jednoznačně určují řez krychle.
Zde je znázorněn řez krychle rovinou AFH.
Z vlastností krychle vyplývá, že strany řezu jsou úhlopříčky stěn krychle, tedy úhlopříčky čtverců. Náš řez AFH je tedy rovnostranný trojúhelník.
Strany AF, AH a FH měří stejně, tedy cm.
Z vlastností rovnostranného trojúhelníku vyplývá, že kolmice z bodu A k protější straně (je to tedy výška trojúhelníku) protíná stranu FH přesně v jejím středu S. Bod S je tak patou kolmice k přímce FH, která je určená bodem A. Úsečka |AS| je naše hledaná vzdálenost. K výpočtu opět využijeme Pythagorovy věty.
𝐴𝐹 𝑎 2
2 2
= 𝑆𝐹
2
𝑎 2 = 2
+ 𝐴𝑆
2
2
+ 𝑣2
2 2𝑎 𝑣 2 = 2𝑎2 − 4 2 6𝑎 𝑣2 = 4 𝑎 6 𝑣= 2 7 6 𝑣= ≐ 𝟖, 𝟓𝟕 𝒄𝒎 2
Uvedené řešení je založeno na úpravě obecných rozměrů krychle. Získáme tak obecný vztah pro výpočet naší situace. Poté stačí pouze dosadit rozměr do získaného vztahu a příklad je vyřešen.
𝐴𝐹 7 2
2 2
= 𝑆𝐹
2
7 2 = 2
+ 𝐴𝑆
2
2
+ 𝑣2
𝑣 2 = 98 − 24,5 𝑣 2 = 73,5 𝑣=
73,5 ≐ 𝟖, 𝟓𝟕 𝒄𝒎
Při dosazení rozměrů do rovince je nutné nezaokrouhlovat, popř. zaokrouhlit alespoň na tisíciny. V opačném případě vyjde vzdálenost nepřesně.
V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 7 cm, |BC|= 4 cm a |AE|= 3 cm urči vzdálenost bodu A od přímky BH.
Bod A a přímka BH jednoznačně určují řez kvádru.
Zde je znázorněn řez kvádru rovinou ABH.
Z vlastností kvádru vyplývá, že daný řez je obdélník.
Kolmice k přímce BH, která zároveň prochází bodem A, nám určí patu kolmice P. Nyní máme tři způsoby, jak vypočítat vzdálenost AP: --na
základě podobnosti trojúhelníků --
na základě goniometrických funkcí --
na základě obsahu trojúhelníku.
𝐵𝐺 2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐶𝐺 𝐵𝐺 2 = 42 + 32 𝐵𝐺 2 = 25 𝐵𝐺 = 𝟓 𝒄𝒎 𝐵𝐻 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐺 𝐵𝐻 2 = 72 + 52 𝐵𝐻 2 = 74 𝐵𝐻 = 𝟕𝟒 𝒄𝒎
2
Pokud chceme využít podobnosti trojúhelníků, musíme nejdříve podobné trojúhelníky najít. V našem případě jsou to trojúhelníky APB (pravý úhel u bodu P) a HAB (pravý úhel u bodu A).
2
K výpočtu potřebujeme znát znát úhlopříčku boční stěny BG a tělesovou úhlopříčku BH.
𝐴𝑃 : 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 : 𝐵𝐻 𝐴𝑃 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐵 𝐴𝑃 = × 𝐴𝐻 𝐵𝐻 7 𝑣= ×5 74 35 74 𝑣= ≐ 𝟒, 𝟎𝟕 𝒄𝒎 74
Pokud využijeme poměru odpovídajících stran, můžeme bez složitějších výpočtů určit vzdálenost AP. V našem kvádru zřejmě platí (|AH|=|BG|) .
Při výpočtu pomocí goniometrických funkcí využijeme funkce tangens a sinus.
𝐴𝐻 = 5 𝑐𝑚 𝐴𝐻 tan 𝛼 = 𝐴𝐵 5 tan 𝛼 = 7 𝛼 ≐ 35,538°
𝐴𝑃 sin 𝛼 = 𝐴𝐵 𝐴𝑃 sin 35,538° = 7 𝐴𝑃 = 7 × sin 35,538° 𝐴𝑃 ≐ 𝟒, 𝟎𝟓 𝒄𝒎
Musíme ovšem znát buď stranu AH nebo stranu BH. Využijeme výpočet z předchozího postupu.
Bez zaokrouhlení nám vyjde výsledek přesně jako v prvním případě, tedy asi 4,07 cm.
𝐴𝐻 = 5 𝑐𝑚
𝐵𝐻 = 74 𝑐𝑚
𝑆1 = 𝑆2 𝐵𝐻 × 𝐴𝑃 𝐴𝐵 = 2 𝐵𝐻 × 𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝑃 =
× 𝐴𝐻 2 × 𝐴𝐻 × 𝐴𝐻 𝐵𝐻
7×5
35 74 𝐴𝑃 = = 74 74 𝐴𝑃 ≐ 𝟒, 𝟎𝟕 cm
Poslední možností je využití obsahu trojúhelníku. Obsah trojúhelníku ABH lze vypočíst pomocí stran AB a AH nebo pomocí strany BH a její výšky AP. Pro výpočet využijeme opět rozměry, které jsme již zjistili v prvním způsobu řešení. Sami můžete porovnat výsledky. Pokud nedojde k zaokrouhlení, vedou všechny tři postupy k témuž výsledku. Záleží pouze na vás, který z nich budete preferovat.
ÚKOL ZÁVĚREM 1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 5 cm urči vzdálenost bodu F od přímky BS, kde bod S je střed horní podstavy krychle. 2) V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 5 cm, |BC|= 5 cm a |AE|= 9 cm urči vzdálenost bodu H od přímky AC.
ZDROJE
Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.
