STEREOMETRIE Odchylky přímek
Mgr. Jakub Němec
VY_32_INOVACE_M3r0114
ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU
Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny. V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla:
Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami.
Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.
Přímky AC a BC leží v jedné rovině a jsou různoběžné.
Protínají se v bodě C, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼 = ∢𝐴𝐶𝐵 . Z vlastností čtverce (stěna krychle) lze snadno odvodit, že úhel 𝛼 = 45°. Tento úhel lze také snadno spočítat díky goniometrickým funkcím.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.
Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.
Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.
Přímky BE a CE se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼 = ∢𝐵𝐸𝐶 . Trojúhelník BCE je pravoúhlý, proto při výpočtu můžeme užít Pythagorovy věty a goniometrické funkce.
𝐵𝐸 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐸 𝑢2 = 𝑎2 + 𝑎2
2
𝑢=𝑎 2
𝑢 = 𝟖 𝟐 𝒄𝒎 𝐵𝐶 tan 𝛼 = 𝐵𝐸 𝑎 tan 𝛼 = 𝑢 8 1 2 tan 𝛼 = = = 2 8 2 2
𝛼 ≐ 𝟑𝟓°
Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém. Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.
Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod – jsou mimoběžné. Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou. Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH. Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH – byla by to přímka AH.
Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.
Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.
Díky skutečnosti, že nalezený řez je rovnostranný trojúhelník, víme, že každý vnitřní úhel trojúhelníku je 60°, tedy i úhlu 𝛼 = ∢𝐸𝐵𝐺 , který je odchylkou přímek BE a G.
Příklad je vyřešen.
V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.
Přímky AT a SH jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.
Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.
Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.
Přímky SG a SH se protínají v bodě S, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼 = ∢𝐺𝑆𝐻 . Trojúhelník SGH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.
Před výpočtem odchylky 𝛼 je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku SGH. Strana SG = y leží v boční stěně, kde bod S leží uprostřed hrany BC, tedy i uprostřed strany čtverce. K výpočtu velikosti úsečky |SG| využijeme Pythagorovy věty.
= 𝑆𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 𝑎 𝑦2 = + 𝑎2 2 2 𝑎 𝑦2 = + 𝑎2 4 2 5𝑎 𝑦2 = 4 𝑎 5 𝑦= 2
𝑆𝐺
2
𝑦=
12 5 2
2
= 𝟔 𝟓 cm
Výpočet úsečky |SG| je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle.
Nyní známe velikost úsečky |SG| a můžeme vypočítat úhel 𝛼 pomocí goniometrických funkce tangens.
|𝐺𝐻| tan 𝛼 = |𝑆𝐺| 𝑎 tan 𝛼 = 𝑦 12
2 5 tan 𝛼 = = = 5 6 5 5 𝛼 ≐ 𝟒𝟐°
2
Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal i rozměr úsečky |SH| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.
V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm, |BC|= 3 cm a |AE|= 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.
Přímky AD a CE jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE. Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.
Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.
Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.
Přímky CE a EH se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼 = ∢𝐶𝐸𝐻 . Trojúhelník CEH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce. Z obrázku je patrné, že úhel ∢𝐸𝐶𝐵 musí mít stejnou velikost, což vyplývá z vlastností pro úhly dvou rovnoběžek a jedné různoběžky (střídavé úhly).
Před výpočtem odchylky 𝛼 je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku CEH. K výpočtu velikosti úsečky |CH| využijeme Pythagorovy věty.
Výpočet úsečky |CH| je uveden zde.
𝐶𝐻 2 = 𝐷𝐻 2 + 𝐶𝐷 𝑢2 = 𝑐 2 + 𝑎2 𝑢2 = 62 + 82 𝑢2 = 36 + 64 𝑢2 = 100 𝑢 = 100 𝑢 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎
2
|𝐶𝐻| tan 𝛼 = |𝐸𝐻| 𝑢 tan 𝛼 = 𝑏 10 tan 𝛼 = 3 𝛼 ≐ 𝟕𝟑°
Nyní známe velikost úsečky |CH| a můžeme vypočítat úhel 𝛼 pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal rozměr tělesové úhlopříčky t =|CE| a využili tak i jiných goniometrických funkcí.
ÚKOL ZÁVĚREM
1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.
2) V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.
ZDROJE
Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.
