STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny
Mgr. Jakub Němec
VY_32_INOVACE_M3r0117
ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této kapitole zhodnotíme předchozí znalosti, především kolmé průmět bodu do roviny. Odchylka přímky a roviny je nejmenší z možných odchylek dané přímky a libovolné přímky z dané roviny. Pro velikost odchylky přímky a roviny platí, že 𝛼 ≤ 90°. V případě, že výsledek vyjde větší než 90°, dopočteme vedlejší úhel, tedy doplněk do 180°, což bude námi hledaná odchylka.
ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Vynecháme–li speciální případy (kolmá přímka, rovnoběžná přímka), platí, odchylka přímky a roviny se rovná odchylce přímky a jejího pravoúhlého průmětu do roviny. Rovnoběžné přímky s danou přímkou svírají s danou rovinou stejný úhel. V následujících příkladech si ukážeme, jak se odchylka přímky a roviny určuje.
V krychli ABCDEFGH o hraně 5 cm určete odchylku přímky BH a roviny ABC.
Prvním krokem je určení kolmého průmětu přímky BH do roviny ABC. Kolmý průmět přímky si můžeme představit jako stín přímky na rovinu, když bychom svítili baterkou kolmo na rovinu. Vzhledem k tomu, že přímka, tedy i její kolmý průmět, je určena dvěma body, stačí nám určit dva body, jejichž spojením získáme kolmý průmět. Bod přímky B leží v rovině ABC, proto nám stačí určit už jen kolmý průmět jednoho bodu přímky. Díky vlastnostem krychle to může být například bod H, který se zobrazí na bod D v dolní podstavě.
Spojením dvou bodů, které náleží kolmému průmětu přímky, získáme celý kolmý průmět přímky. V tomto případě spojíme body B a D.
Přímka a její kolmý průmět určují rovinu (žlutá), v níž můžeme určit odchylku přímky BH a roviny ABC, která je „zastoupena“ kolmým průmět přímky BH do této roviny.
Díky určení pomocné roviny by neměl být problém dopočítat odchylku 𝛼. Stačí nám k tomu jediný mezivýpočet, a to určení úhlopříčky dolní podstavy DB.
Poté stačí využít vlastností pravoúhlého trojúhelníku DBH a spočítat odchylku 𝛼 díky goniometrické funkce tangens.
𝐷𝐻 = 𝑎 = 5 𝑐𝑚
Zde uveden výpočet odchylky 𝛼.
𝐵𝐷 = 𝑢 = 𝑎 × 2 = 5 × 2
Řešitel však může dopočítat i velikost úsečky 𝐵𝐻 a využít i jiných goniometrických funkcí.
𝐷𝐻 𝑎 tan 𝛼 = = 𝐷𝐵 𝑢 5
2 tan 𝛼 = = 2 5× 2 𝛼 ≐ 𝟑𝟓°
V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete odchylku přímky ST a roviny ABC, kde body S a T jsou po řadě středy hran DH a BC.
Nejdříve potřebujeme nalézt kolmý průmět přímky ST do roviny ABC. Bod T již v rovině leží, bod S se zobrazí na bod D. Přímka DT je kolmým průmětem přímky ST do roviny ABC.
Přímka ST a její kolmý průmět do roviny ABC DT určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky ST a roviny ABC.
K určení odchylky 𝛼 potřebujeme znát alespoň dvě strany pravoúhlého trojúhelníku DTS. Strana SD je polovina hrany krychle, dopočítat musíme stranu DT. Poté jej již možné využít funkci tangens určit odchylku 𝛼.
Úsečka 𝐷𝑇 leží v dolní podstavě krychle a můžeme ji určit pomocí Pythagorovy věty.
Zde je uveden výpočet strany DT (postup je uveden obecně, počítáme v krychli).
= 𝐶𝑇 2 + 𝐶𝐷 2 𝑎 𝑥2 = + 𝑎2 2 2 5 × 𝑎 𝑥2 = 4 𝑎× 5 𝑥= 2 𝟗× 𝟓 𝑥= 𝟐
𝐷𝑇
2
2
𝑎 = 9 𝑐𝑚
𝑥=
9× 5 2
𝑐𝑚
𝑎 𝑎 𝐷𝑆 5 2 2 tan 𝛼 = = = = 𝐷𝑇 𝑥 𝑎× 5 5 2 9 5 2 tan 𝛼 = = 5 9× 5 2 𝛼 ≐ 𝟐𝟒°
Nyní známe dvě strany trojúhelníku DTS, a proto využijeme funkci tangens pro výpočet odchylky.
V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 9 cm, |BC|= 4 cm a |AE|= 10 cm určete odchylku přímky AS a roviny ADE, kde bod S je střed horní podstavy.
Nejdříve potřebujeme nalézt kolmý průmět přímky AS do roviny ADE. Bod A již v rovině leží, bod S se zobrazí na bod T. Přímka AT je kolmým průmětem přímky AS do roviny ADE.
Přímka AS a její kolmý průmět do roviny ADE AT určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky AS a roviny ADE.
K určení odchylky 𝛼 potřebujeme znát alespoň dvě strany pravoúhlého trojúhelníku AST. Strana ST je polovina hrany 𝐴𝐵 , dopočítat musíme stranu AT. Poté jej již možné využít funkci tangens určit odchylku 𝛼.
Úsečka 𝐴𝑇 leží v boční stěně kvádru a můžeme ji určit pomocí Pythagorovy věty.
𝑐 = 10 𝑐𝑚
𝑏 = 4 𝑐𝑚
𝐴𝑇
2
= 𝐸𝑇
𝑏 𝑥 = 2
2
+ 𝐴𝐸
2
2
+ 𝑐2
𝑥 2 = 4 + 100 𝑥 = 𝟏𝟎𝟒
2
Zde je uveden výpočet strany AT.
𝑎 = 9 𝑐𝑚
𝑥 = 104 𝑐𝑚
𝑎 𝑆𝑇 tan 𝛼 = =2 𝐴𝑇 𝑥 4,5 tan 𝛼 = 104 𝛼 ≐ 24°
Nyní známe dvě strany trojúhelníku AST, a proto využijeme funkci tangens pro výpočet odchylky.
V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a s výškou 11 cm určete odchylku přímky CS a roviny ABC, kde bod S je střed hrany AV.
Kolmý průmět přímky CS je obdobný jako u předchozích příkladů. Bod C již leží v rovině ABC, bod S se zobrazí na bod S‘, který leží na úhlopříčce podstavy (vyplývá z vlastností pravidelného čtyřbokého jehlanu).
Přímka CS‘, tedy AC, je kolmým průmětem přímky CS do roviny ABC.
Přímka CS a její kolmý průmět do roviny ABC AC určují pomocnou rovinu, v níž můžeme určit odchylku přímky CS a roviny ABC.
Odchylku přímky AC a CS můžeme vypočítat díky pravoúhlému trojúhelníku S‘CS. Vzhledem k vlastnostem pravidelného čtyřbokého jehlanu je úsečka 3 𝐶𝑆′ = 4 𝑢 𝑣
a úsečka 𝑆𝑆′ = 2 . Nyní stačí využít funkce tangens a odchylka 𝛼 je určena.
3 3×𝑎× 2 3×6× 2 9× 2 𝐶𝑆′ = 𝑢 = = = 𝑐𝑚 4 4 4 2 𝑣 11 𝑆𝑆′ = = 𝑐𝑚 2 2
𝑆𝑆′ tan 𝛼 = 𝐶𝑆′ 11 11 11 × 2 2 tan 𝛼 = = = 18 9× 2 9× 2 2 𝜶 ≐4𝟏°
Zde je uveden výpočet odchylky 𝛼.
ÚKOL ZÁVĚREM
1) V krychli ABCDEFGH o hraně 9 cm určete:
2) V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 5 cm, |BC|= 12 cm a |AE|= 16 cm určete:
a) odchylku přímky HS a roviny ABC, kde bod S je střed dolní podstavy b) odchylku přímky HT a roviny ABC, kde bod T leží na hraně BC a platí 𝐵𝑇 : 𝐶𝑇 =1:2.
a) odchylku přímky HS a roviny ABC, kde bod S je střed dolní podstavy b) odchylku přímky HT a roviny ABC, kde bod T leží na hraně BC a platí 𝐵𝑇 : 𝐶𝑇 =1:2.
3) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 9 cm a s výškou 5 cm určete odchylku přímky AS a roviny ABC, kde
a) bod S je střed hrany CV. b) bod S je střed hrany BV.
ZDROJE
Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.
