Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I

© M.H. 2003

MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST

Studijní obor (kód a název):

23-41-M/001 Strojírenství

-1-


© M.H. 2003

Úvodem Cílem tohoto učebního textu je sloužit jako pomůcka (nahrazuje učebnici a částečně pracovní sešit) při výuce předmětu MECHANIKA v 1. ročníku oboru STROJÍRENSTVÍ. Jednotlivé kapitoly jsou rozvrženy do vyučovacích hodin, celková hodinová dotace za školní rok činí 68 hodin.

Obsah Úvodem

2

Obsah

2

1. Úvod do mechaniky

3

1.1. Obsah a význam, rozdělení mechaniky, pohybové zákony 1.2. Opakování fyzikálních veličin, základní jednotky SI

3 3

2. Statika

3

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

3 4 4 7 17 18 26 36 49

Úvod, úkoly statiky, základní pojmy Soustava sil na společné nositelce Rovinná soustava sil se společným působištěm Rovinná soustava sil neprocházející jedním bodem Prostorová soustava sil Prutové soustavy Těžiště a stabilita Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory Opakování statiky

3. Pružnost a pevnost (PaP) 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

49

Definice PaP, základní druhy namáhání Tah, tlak Prostý smyk Průřezové moduly pro namáhání krutem a ohybem Opakování

-2-

49 52 60 62 67


© M.H. 2003

vyučovací hodina:

1. 1.1.

1.

ÚVOD DO MECHANIKY OBSAH A VÝZNAM, ROZDĚLENÍ MECHANIKY, POHYBOVÉ ZÁKONY

Studiem přírodních jevů na zemi i ve vesmíru se zabývá několik vědních oborů, které společně označujeme přírodní vědy. Patří sem zejména fyzika, chemie, biologie a astronomie. Součástí fyziky je i mechanika, jež se zabývá studiem mechanického pohybu – to je mechanického přemísťování hmoty v prostoru a čase. Rozdělení mechaniky: - mechanika tuhých a poddajných těles (pružnost, pevnost) - mechanika tekutin (kapalin, par a plynů) - termomechanika (působení tepla na látky) Další dělení: - statika (pojednává o rovnováze tuhých těles, kapalin a plynů) - kinematika (vyšetřuje pohyby bez zřetele na příčiny) - dynamika (pojednává o pohybu a jeho příčinách) vyučovací hodina:

1.2.

2.

OPAKOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI

Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotnost, délka a čas jsou základními veličinami mechaniky. Namísto hmotnosti lze zavést sílu jako příčinu pohybu. Rozdělení fyzikálních veličin: - skaláry – jsou určeny pouze velikostí (hmotnost, čas, energie) - vektory – jsou určeny velikostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychlení) K číselnému vyjádření hodnot veličin používáme jednotky. Jednotky rozdělujeme na základní a druhotné (odvozené). Uzákoněné základní jednotky jsou jednotky Mezinárodní měrové soustavy SI (Systém Internationál d´Unités). 1. metr [m] 2. kilogram [kg] 3. ampér [A] 4. sekunda [s] 5. stupeň [deg; K; °C] 6. kandela [cd]

základní jednotka délky základní jednotka hmotnosti základní jednotka elektrického proudu základní jednotka času základní jednotka teplotního rozdílu základní jednotka svítivosti

Násobky jednotek vyjadřujeme pomocí předpon a značek. Předpona: Značka: Význam:

tera T 12 10

giga G 9 10

6

mega M 6 10

kilo k 3 10

mili m -3 10

mikro µ -6 10

nano n -9 10

piko p -12 10

3

Příklad: Mpa = 10 Pa; km = 10 m

vyučovací hodina:

2.

3. a 4.

STATIKA

2.1. ÚVOD, ÚKOLY STATIKY, ZÁKLADNÍ POJMY Část mechaniky STATIKA pojednává o skládání, rozkládání a rovnováze sil za klidu nebo při rovnoměrném přímočarém pohybu. Složit síly znamená nahradit tyto síly silou jedinou tak, aby měla na těleso tentýž účinek. Skládané síly se nazývají složky, síla která je nahrazuje je výslednice. -3-


© M.H. 2003

Rozložit sílu do složek znamená nahradit tuto sílu dvěma nebo více silami tak, aby měly s rozkládanou silou stejný účinek. Síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Těleso je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V technické praxi se jen vyjímečně vyskytují osamělá tělesa. Převážně jsou spolu spojena v soustavu těles. Jednotlivé členy soustavy na sebe vzájemně působí. Toto vzájemné působení nazýváme síla. Síla je vektor – je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Základní jednotkou síly je newton [N]. -2

Definice: síla 1N udělí tělesu o hmotnosti 1kg zrychlení 1m.s . Zápis síly:

F [ x; y; α°; velikost v N ] F1 [ 20; -10; 150°; 100 N ]

měřítko síly:

mF: 1mm = ? N

vyučovací hodina:

x,y ... souřadnice působiště α° …. směrový úhel

5. a 6.

2.2. SOUSTAVA SIL NA SPOLEČNÉ NOSITELCE Působiště síly (sílu) můžeme po nositelce libovolně posouvat aniž se změní její účinek.

Výslednice sil FV působí v téže vektorové přímce a rovná se algebraickému součtu všech sil.

Fv = F1 + F2 + F3 =

n

∑F 1

i

Síly jsou v rovnováze, je-li algebraický součet všech sil roven nule! Příklad: Stanovte graficky i početně výslednici sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit).

vyučovací hodina:

7. a 8.

2.3. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM 2.3.1. Grafické zjištění výslednice a uvedení silové soustavy do rovnováhy Platí, že výslednice musí mít společné působiště s danou soustavou sil. Dvě síly o společném působišti skládáme pomocí rovnoběžníku sil (silového obrazce).

-4-


© M.H. 2003

x,y ... α° …. Fi = … [N]

Dáno:

souřadnice působiště směrové úhly sil s osou x velikosti sil

rovnoběžník sil

silový obrazec

Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy dvou sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Výslednici několika sil v rovině o společném působišti řešíme metodou postupného skládání dvou sil. F1, F2 nahradíme částečnou výslednicí F1,2, tu složíme se silou F3 na konečnou výslednici FV.

zadání

rovnoběžník sil

silový obrazec

rovnoběžník sil silový obrazec silový mnohoúhelník Příklad: Stanovte graficky výslednici soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit). Uvedení silové soustavy do rovnováhy Jak jsme již uvedli, síly jsou v rovnováze, ruší-li se vzájemně ve svých účincích, takže není výslednice. Silovou soustavu F1, F2, F3 uvedeme do rovnováhy přidáním síly FR, která je stejně velká jako FV ale opačného smyslu. Silová soustava je v rovnováze, jestliže je silový mnohoúhelník uzavřen šipkami v jednom sledu.

-5-

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I vyučovací hodina:

© M.H. 2003

9.

2.3.2. Řešení výslednice dvou navzájem kolmých sil početně

rovnoběžník sil

silový obrazec

Dle Pythagorovy věty platí:

FV2 = F12 + F22 ⇒ FV =

(F

2 1

+ F22

)

Příklad: Stanovte početně výslednici soustavy dvou kolných sil podle zadání. 2.3.3. Početní řešení výslednice soustavy obecných sil o společném působišti Řešení provádíme tak, že každou sílu rozložíme do dvou kolmých složek (do osy x a y). Příslušné složky algebraicky sečteme do složek výslednice. Celkovou výslednici vypočteme z pravoúhlého trojúhelníka. Směr a smysl rovněž stanovíme z výsledného trojúhelníka.

tgα =

Fy Fx

Příklad: Stanovte početně velikost, směr a smysl výslednice soustavy sil podle zadání (viz učebnice, pracovní sešit).

vyučovací hodina:

10. a 11.

2.3.4. Dvě složky síly, rozklad sil, rovnováha sil Rozklad síly do dvou různoběžných složek je opakem skládání. Proto i zde při grafickém řešení používáme rovnoběžník sil nebo silový obrazec (trojúhelník). Početní řešení je opět obdobné. Příklad: Rozložte sílu do dvou složek podle zadání. Proveďte graficky i početně (viz učebnice, pracovní sešit).

-6-


© M.H. 2003

12.

2.4. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEPROCHÁZEJÍCÍ JEDNÍM BODEM 2.4.1. Moment síly k bodu a k ose Moment M síly F k bodu A vyjadřuje velikost a smysl točivého účinku síly F vzhledem k bodu A.

M = F ⋅r

[N.m]

r …

rameno síly (kolmá vzdálenost)

Moment považujeme za kladný, jestliže dojde účinkem síly k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček. Jednotkou momentu síly je newtonmetr N.m. Momentová věta: Moment výslednice k libovolnému bodu se rovná algebraickému součtu momentů jednotlivých složek k témuž bodu. n

M = ∑ Mi i =1

Příklad:

Určete výslednici F sil F1 =10 N a F2 =5 N, které jsou od sebe vzdáleny r1 = 2 m.

F * r = F1 * r1 + F2 * r2 ; r2 = 0

vyučovací hodina:

F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0 … … dopočítejte si

13.

2.4.2. Moment silové dvojice Silovou dvojici tvoří dvě stejně velké síly stejného směru, opačného smyslu, které jsou od sebe vzdáleny o r (rameno dvojice). Účinkem takové silové dvojice je rotace. Silová dvojice bude rotovat v rovině proložené oběma silami. Smysl rotace je určen vzájemnou polohou obou sil. Moment považujeme za záporný, jestliže dojde k otáčení proti smyslu pohybu hodinových ručiček.

-7-


© M.H. 2003

Účinek silové dvojice se nazývá moment silové dvojice

M =F ⋅r

[N.m] r … rameno síly (kolmá vzdálenost)

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace přeložit a její účinek se nezmění.

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace natočit a její účinek se nezmění.

Silovou dvojici můžeme v rovině rotace nahradit jinou silovou dvojicí v tom případě, má-li stejný účinek (M = M).

M = F ⋅ 2r = 2 ⋅ F ⋅ r

M = 2F ⋅ r = 2 ⋅ F ⋅ r

Máme-li několik silových dvojic v jedné rovině, potom se jejich účinky sčítají. -8-


© M.H. 2003

M = M1 + M 2

M1 = −F1 ⋅ y

M 2 = −F2 ⋅ x

M = −F1 ⋅ y − F2 ⋅ x Silová dvojice může být v rovnováze jen s jinou silovou dvojicí, která má stejně velký moment a je opačně orientovaná.

F1 ⋅ r1 = F2 ⋅ r2 Příklad:

Řešte silové rovnice dle zadání

vyučovací hodina:

14.

2.4.3. Moment silové soustavy Působí-li soutava několika sil, je jejich výsledný účinek roven účinku výslednice. Z toho vyplývá, že součet momentů jednotlivých sil soustavy se rovná momentu výslednice. n

M = ∑ M i ……

momentová věta

i =1

Úloha: Aplikace momentové věty - Nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem síly jedné (výslednice).

n

M = ∑Mi

k počátku O

i =1

F ⋅ r = F1 ⋅ r1 + F2 ⋅ r2 ; r2 = 0 F = F1 + F2 F F1 r = 1 ⋅ r1 = ⋅ r1 F F1 + F2

Příklad:

Proveďte nahrazení účinku dvou rovnoběžných sil účinkem výslednice. Dáno F1[0;0;0°;20N], F2[0;-30;0°;40N] vyučovací hodina: 15. -9-


© M.H. 2003

2.4.4. Nahrazení síly silou na rovnoběžné nositelce Danou sílu F na nositelce p přeneseme na rovnoběžnou nositelku q.

Přenesením F na novou nositelku q musíme přidat moment M=F.r. Opačný postup – sečteme-li přenesenou sílu F1 a moment M, dostaneme původní sílu na nositelce p. Příklad:

Nahraďte sílu F[40;0;90°;50N] a moment (silovou dvojici) M=1,5N.m jedinou silou. Proveďte početní kontrolu obou soustav, účinky porovnejte.

r=

M 1,5 = = 0,03m = 30mm F 50

Kontrola: 1. Původní soustava

∑F

x

=0;

∑F

y

= 50 N ; ∑ M i = M − F ⋅ 0 ,04 = 1,5 − 2 = −0 ,5 Nm

2. Nová soustava se silou F1

∑F

x

=0;

∑F

y

= F1 = 50 N ;

∑M

i

= −F1 ⋅ 0 ,01 = −0 ,5 Nm

Závěr: Účinky soustav jsou stejné.

vyučovací hodina:

2.4.5.

16.

Výslednice soustavy rovnoběžných sil - GRAFICKY

Postup: ´ Zvolíme dvě pomocné síly S0, S0 , které se vzájemně ruší a zadanou soustavu neovlivní. Jejich nositelku vedeme tak, aby protímala nositelku síly F1 v bodě A0. Síly F1 a S0 sečteme pomocí silového trojúhelníka mimo hlavní obrázek. Výslednice S1 bude procházet A0. Musí vždy platit, že tři úsečky

- 10 -


© M.H. 2003

které tvoří v pólovém obrazci trojúhelník (S0, F1, S1) se musí v základním obrazci protínat v jednom bodě (A0)! Začínám tedy: - složím S0 a F1 a dostanu výslednici S1. Musí se protínat v bodě A0 pokračuji dále: - složím S1 a F2 a dostanu výslednici S2. Musí se protínat v bodě A1 - složím S2 a F3 a dostanu výslednici S3. Musí se protínat v bodě A2 a nakonec ´ - složím S3 a S0 a dostanu výslednici FV. Musí se protínat v bodě A3 Tím dostanu velikost i polohu výslednice. Příklad:

Zjistěte graficky velikost a polohu výslednice tří rovnoběžných sil. F1[10;0;90°;20N]; F2[25;20;270°;50N]; F3[50;0;270°;20N]

Při praktickém řešení nevyznačujeme částečné výslednice (S1,S2,S3), ale pouze přímky a úsečky jim odpovídající. Čára A0A1A2A3A0 je výslednicová čára, čára F1 F2 F3 FV (v pólovém obrazci) je složková čára, úsečky 0,1,2,3 jsou pólové paprsky (vlákna) a bod P je pól. Říkáme, že jsme provedli řešení pomocí pólového (vláknového) obrazce. Postup: 1. zvolíme měřítko sil 2. nakreslíme obrazec umístění 3. nakreslíme vláknový obrazec => zjistíme velikost výslednice 4. vedeme rovnoběžky s vlákny v obrazci umístění 5. zjistíme polohu výslednice

průsečík [0,1,F1] průsečík [1,2,F2] průsečík [2,3,F3] průsečík [3,0,FV]

=> => => =>

A0 A1 A2 A3 - 11 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Rovnováha:

© M.H. 2003

Podmínkou rovnováhy je nulová výslednice i nulová výsledná dvojice.

∑F

i

∑F ⋅r

=0;

i

i

=0

Graficky – uzavřená složková čára se šipkami v jednom směru a také uzavřená výslednicová čára.

vyučovací hodina: 2.4.6.

17.

Výslednice soustavy rovnoběžných sil - POČETNĚ

Souřadný systém zvolíme tak, aby např. osa y byla rovnoběžná s nositelkami sil. Pak tedy i výslednice bude rovnoběžná s osou y. K určení velikosti FV použijeme složkové rovnice do směru osy y. n

FV = ∑ Fi i =1

K určení polohy lze využít momentovou větu. n

FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i i =1

Může se stát, že FV=0. Soustava nemá výslednici, ale její účinky lze nahradit výslednou dvojicí MV o momentu n

MV = ∑ Fi ⋅ x i i =1

Pokud i MV=0, jde o rovnováhu. Příklad:

Vypočítejte velikost a polohu výslednice soustavy sil FV a xV. F1[10;0;90°;20N]; F2[25;20;270°;50N]; F3[50;0;270°;20N].

n

FV = ∑ Fi = F1 + ( −F2 ) + ( −F3 ) = 20 − 50 − 20 = −50 N

směr dolů

i =1

n

MV = FV ⋅ xV = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ x1 − F2 ⋅ x 2 − F3 ⋅ x 3 i =1

M 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50 xV = V = = 41mm FV − 50 - 12 -

porovnejte s grafickým řešením


© M.H. 2003

Kontrola: 1. Původní soustava

∑F

y

= 20 − 50 − 20 = −50 N ;

∑M

i

= 20 ⋅ 10 − 50 ⋅ 25 − 20 ⋅ 50 = −2050 Nmm

2. Nová soustava

∑F

y

∑M

= FV = −50 N ;

V

= −50 ⋅ 41 = −2050 Nm

Závěr: Účinky soustav jsou stejné.

vyučovací hodina:

18. a 19.

2.4.7. Řešení vazbových sil na páce graficky i početně Vazbové síly = síly druhotné, reakce. Tělesa působí na podpory silami prvotními = akčními. Podpory kladou odpor silami druhotnými = reakčními. Podle třetího pohybového zákona platí, že akce = reakce. Proto reakce (vazbové síly) určujeme z podmínek statické rovnováhy. Kloubové spojení Může přenášet sílu všemi směry. Síla prochází středem kloubu.

Obecná podpora Může přenášet sílu působící jen kolmo na podporu!

PÁKA – jeden pevný podporový bod – kloubové spojení.

Úloha:

Je dána síla F2 a směr síly F1. Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i početní řešení.

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Při grafickém řešení musí být splněny dvě základní podmínky rovnováhy: - Abychom mohli určit směr reakce v kloubové podpoře, musíme nalézt společné působiště. - Síly musí tvořit uzavřený silový trojúhelník

- 13 -


© M.H. 2003

POČETNÍ ŘEŠENÍ Početní řešení provedeme pomocí podmínek statické rovnováhy. 1.

∑M

2. 3.

F2 ⋅ b a

i

=0

F1 ⋅ a − F2 ⋅ b = 0 ⇒ F1 =

∑F

ix

=0

F2 − FRx = 0 ⇒ FRx = F2

vylučuje pohyb v ose x

∑F

=0

FRy − F1 = 0 ⇒ FRy = F1

vylučuje pohyb v ose y

iy

vylučuje otáčení

FR = F12 + F22 [N] Příklad:

Stanovte velikost síly F1 a směr a smysl reakce FR na úhlové páce. Proveďte grafické i početní řešení. Dáno: F2= 50N; a=50mm; b=30mm.

Jednoramenná páka Úloha:

Je dána síla F1 a směr síly F2. Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní řešení.

Aby byla rovnováha, výslednicová čára musí být uzavřena. Dostanu tak směr vlákna 2 a přenesu ho do pólového obrazce. Zde získám velikost F2 a směr a smysl reakce FR. průsečík [0,1,F1] průsečík [1,2,F2] průsečík [2,0,FR]

=> => =>

A1 A2 A3

- 14 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Početně:

∑M ∑F

=0

F1 ⋅ a b F2 − F1 − FR = 0 ⇒ FR = F2 − F1

=0

v ose x síly nepůsobí

=0

i0

iy

∑F

ix

© M.H. 2003

Příklad:

F2 ⋅ b − F1 ⋅ a = 0 ⇒ F2 =

!

podmínka vyloučí otáčení podmínka vyloučí posuv podmínka vyloučí posuv

Stanovte velikost síly F2 a směr a smysl reakce FR v kloubu. Proveďte grafické i početní řešení. Dáno: F1= 50N; a=50mm; b=30mm.

vyučovací hodina:

20. a 21.

2.4.8. Řešení vazbových sil nosníku na dvou podporách Úloha:

Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce v podporách FA a FB.

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ

průsečík [1,2,F1] průsečík [2,3,F2] průsečík [3,4,F3] průsečík [1,4,F ] průsečík [1,5,FA] průsečík [4,5,FB] POČETNÍ ŘEŠENÍ

∑M ∑F ∑F

iA

=0

podmínka vyloučí otáčení

iy

=0

podmínka vyloučí posuv

ix

=0


- 15 -

=> => => => => =>

1 2 3 4 5 6


∑M

=0

iA

© M.H. 2003

F1 ⋅ a − F2 ⋅ ( a + b ) + F3 ⋅ ( a + b + c ) − FB ⋅ l = 0 ⇒ FB 1 ⋅ [F1 ⋅ a − F2 ⋅ (a + b ) + F3 ⋅ (a + b + c )] l F1 + F3 − F2 − FA − FB = 0 ⇒ FA

FB =

∑F

=0

∑F

=0

iy

FA = F1 + F3 − F2 − FB

ix

v ose x síly nepůsobí

Velikost výslednice

F = ∑ Fiy = FA + FB [ N ]

Vzdálenost xF výslednice od bodu A

∑M

iA

=0

F ⋅ x F = FB ⋅ l ⇒ x F xF =

Příklad:

FB ⋅ l [ mm ] F

Nosník na dvou podporách je zatížen silami F1, F2 a F3. Stanovte výslednici F a reakce v podporách FA a FB. Proveďte grafické i početní řešení, výsledky porovnejte. Uspořádání dle obrázku.

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ

Určíme měřítka:

průsečík [1,2,F1] průsečík [2,3,F2] průsečík [1,3,F] průsečík [1,4,FA] průsečík [3,4,FB]

=> => => => =>

mF: 1mm = 10 N ; ml: 1mm = 10 mm

1 2 3 4 5

- 16 -


© M.H. 2003

POČETNÍ ŘEŠENÍ

∑M ∑F ∑F

iA

=0

podmínka vyloučí otáčení

iy

=0


ix

=0


∑M

iA

=0

(v ose žádné síly nepůsobí!)

F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 − FB ⋅ 800 = 0 ⇒ FB 1 1 ⋅ (F1 ⋅ 300 + F2 ⋅ 600 ) = ⋅ (100 ⋅ 300 + 200 ⋅ 600 ) 800 800 FB = 187 ,5 N FB =

∑F

iy

=0

FA + FB − F1 − F2 = 0 ⇒ FA FA = F1 + F2 − FB = 100 + 200 − 187 ,5 FA = 112 ,5 N

Velikost výslednice

F = ∑ Fiy = FA + FB = 100 + 200 = 300 N

Vzdálenost xF výslednice od bodu A

∑M

iA

=0

F ⋅ x F = FB ⋅ 800 ⇒ x F xF =

vyučovací hodina:

FB ⋅ 800 187 ,5 ⋅ 800 = = 500 mm F 300 22.

Praktické aplikace

vyučovací hodina:

23. a 24.

2.5. PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL Prostorovou soustavu sil tvoří síly mimoběžné, nebo síly různoběžné, jejichž vektorové přímky (nositelky) neleží v téže rovině. Výslednice soustavy sil o společném působišti v prostoru Každou sílu prostorové soustavy sil nejdříve rozložíme do os x, y, z. K výpočtu složek použijeme pravoúhlý trojúhelník

Fx = F ⋅ cos α

Fy = F ⋅ cos β

Fz = F ⋅ cos γ

Rozložíme-li takto celou soustavu, dostaneme tři soustavy navzájem na sebe kolmých sil. Velikost těchto částečných výslednic vypočteme stejně jako u sil v rovině n

Fx = ∑ Fix i =1

n

Fy = ∑ Fiy i =1

- 17 -

n

Fz = ∑ Fiz i =1


© M.H. 2003

Tyto částečné výslednice složíme v celkovou výslednici

V rovině xy leží částečné výslednice Fx a Fy a ty složíme v další částečnou výslednici Fxy.

Fxy = Fx2 + Fy2 Celková výslednice bude

F = Fxy2 + Fz2 = Fx2 + Fy2 + Fz2

cos α =

Fx F

cos β =

Fy F

cos γ =

Fz F

Rovnováha:

F = 0 ⇒ Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0 vyučovací hodina:

25.

2.6. PRUTOVÉ SOUSTAVY Nosnou konstrukci mostů, jeřábů, sloupů, letadel, atd. tvoří často soustava prutů, tzv. příhradový nosník.

- 18 -


© M.H. 2003

Tato prutová soustava se skládá z jednotlivých prutů, které jsou spolu spojeny styčníkovými plechy, na kterých jsou pruty přinýtovány, přivařeny, přišroubovány, apod.. Toto spojení prutů na styčnících zjednodušujeme a nahrazujeme spojením kloubovým. Při řešení prutové soustavy (PS) musí být splněny všechny podmínky rovnováhy a dodržována následující pravidla: 1. PS musí být dokonale tuhá, pruty musí tvořit staticky určité obrazce, kterými jsou trojúhelníky. Podmínka statické určitosti:

z = 3 + 2 ⋅ (i − 3 ) = 2 ⋅ i − 3 z ….. počet prutů i …… počet styčníků

2. Na uvolněných prutech musí být rovnováha sil 3. Musí být rovnováha sil působících v jednotlivých styčnících Je-li soustava dokonale tuhá (viz obr.), můžeme snadno určit síly vzájemného působení v podporách A(kloub) a B(obecná podpora).

4. PS nikdy nezatěžujeme mezi klouby! Potom všechny pruty přenášejí sílu pouze ve své ose (osovou).

táhne ze styčníku

+

tlačí do styčníku

–

2.6.1. Řešení prutové soustavy – Cremonova metoda - grafická Princip a použití bude vysvětleno v následující kapitole. 2.6.2. Řešení prutové soustavy – Styčníková metoda – grafická, početní Styčníková metoda vychází z požadavku rovnováhy sil působících v jednotlivých styčnících, což je rovnováha sil o společném působišti. Obvykle nemí nutné kreslit silový obrazec pro každý styčník zvlášť. Provádíme tedy řešení v jednom obrazci – Cremonův diagram. - 19 -


© M.H. 2003

Zásady postupu řešení: 1. 2. 3. 4.

Nejdříve stanovit reakce. Stanovit smysl obcházení jednotlivých styčníků. Začít styčníkem, kde působí jen dvě osové síly. Pokračovat tím styčníkem, kde jsou neznámé opět jen dvě osové síly.

vyučovací hodina: Úloha:

26.

Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku.

Pro názornost a pochopení provedeme určité kombinace řešení: o

Styčníkovou metodu - pouze grafickou část včetně grafického stanovení reakcí. Pro každý styčník provedeme silový obrazec zvlášť.

o

Cremonův diagram – reakce stanovíme početně.

o

Styčníkovou metodu – jen početně, reakce převezmeme z předchozího řešení.

STYČNÍKOVÁ METODA - GRAFICKÉ ŘEŠENÍ Určíme si měřítka:

mF: 1mm = 1 kN ; ml: 1mm = 0,05 mm

- 20 -


© M.H. 2003

Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček. 1, 2, 3, 4, 5 ….. označení prutů I, II, III, IV ….. označení styčníků Změřením a vynásobením měřítkem byly stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN Poznámka:

Pro názornost používáme označení vnitřních sil v prutech S.

CREMONŮV DIAGRAM 1. Nejdříve stanovíme reakce - 21 -


∑M ∑F

iA

=0 =0

iy

© M.H. 2003

F 50 = = 25 kN 2 2 FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25 = 25 kN

F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB =

2. Smysl obcházení styčníků stanovíme ve smyslu pohybu hod. ručiček.

I … II … III … IV …

Pořadí:

FA, 1, 2 1, 4, 3 2, 3, 5, F 5, 4, FB

Změřením a vynásobením měřítkem byly obdobně stanoveny reakce a síly v prutech: FA= FB = 25 kN S1= -35,5 kN S2= 25 kN S3= 50 kN S4= -35,5 kN S5= 25 kN vyučovací hodina:

27.

STYČNÍKOVÁ METODA – POČETNÍ ŘEŠENÍ 1. Stanovení reakcí (převezmeme z předchozího řešení).

∑M

iA

=0

F ⋅ 2 − FB ⋅ 4 = 0 ⇒ FB =

F 50 = 2 2

FB = 25000 N

∑F

iy

=0

FA + FB − F = 0 ⇒ FA = F − FB = 50 − 25 FA = 25000 N

2. Styčník I

∑F ∑F

ix

=0

S1 musíme rozložit do složek v osách x, y

iy

=0

S2 složku v ose y nemá - 22 -


∑F

iy

=0

© M.H. 2003

S1 y − FA = 0 ; S1 y = S1 ⋅ sin 45° ⇒ S1 = S1 = 35355 N

∑F

ix

=0

FA 25000 = sin 45° sin 45°

S 2 − S1 x = 0 ; S1 x = S1 ⋅ cos 45° ⇒ S 2 = S1 ⋅ cos 45° S2 = 35355 ⋅ cos 45° S 2 = 25000 N

3. Styčník II

∑F

ix

=0

S1 x − S4 x = 0 ⇒ S4 x = S1 x = S1 ⋅ cos 45° S4 x S1 x S ⋅ cos 45° = = 1 = S1 cos 45° cos 45° cos 45° S 4 = 35355 N

S4 =

∑F

iy

=0

S1 y − S3 + S4 y = 0 ⇒ S3 = S1 y + S4 y = S1 ⋅ sin 45° + S4 ⋅ sin 45° S 3 = 50000 N

4. Styčník III

∑F

=0

∑F

=0

ix

iy

S 2 − S5 = 0 ⇒ S5 = S 2 S5 = 25000 N S 3 − F = 0 ⇒ S3 = F

…. Platí

5. Styčník IV Jelikož již všechny síly v prutech známe, je možné řešit styčník IV pro kontrolu.

- 23 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Příklad:

© M.H. 2003

Stanovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Proveďte řešení: a) styčníkovou metodou – graficky(včetně reakcí) b) Cremonovým diagramem – reakce početně c) styčníkovou metodou – početně Získané výsledky porovnejte a proveďte rozbor.

vyučovací hodina:

28.

2.6.3. Řešení prutové soustavy – Průsečná metoda – početní Tato metoda spočívává v tom, že prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve třech prutech, z nichž pouze dva pruty s neznámými silami mohou vycházet z téhož styčníku. Použijeme tři podmínky statické rovnováhy a z nich vypočteme tři neznámé osové síly v přerušených prutech. Úloha:

Stanovte síly v prutech 6,7,8, prutové soustavy podle obrázku.

- 24 -


© M.H. 2003

Postup: 1. Stanovení reakcí

∑F

iy

=0;

FA + FB − F1 − F2 = 0

vidíme, že

FA = FB

FA + FB = 100 kN FA = FB = 50 kN

2. Stanovení sil v prutech. Ke zbylé levé části soustavy musíme připojit síly, kterými odebraná pravá část na zbylou působila aby nebyla porušena rovnováha. U sil předpokládáme tah a díváme se na ně jako na síly vnější. Síly v prutech řešíme pomocí tří podmínek statické rovnováhy.

Pro styčník IV

∑M

i

=0;

FA ⋅ 3 − S6 ⋅ 2 = 0 ⇒ S6 =

3 3 ⋅ FA = ⋅ 50 2 2

S6 = 75 kN

∑F

=0;

iy

∑F

ix

FA − F1 − S7 ⋅ sin α = 0 ⇒ FA − F1 = S7 ⋅ sin α ⇒ S7 S7 = 0

=0;

protože

FA − F1 = 0 a S7 ⋅ sin α = 0 a sin α ≠ 0

(S7

S6 + S7 ⋅ cos α + S8 = 0

= 0)

S6 + S8 = 0 ⇒ S8 = −S6 S8 = −75 kN

Záporné znaménko znamená, že volený smysl S8 nebyl správný, síla působí v opačném smyslu. Předností průsečné metody je, že můžeme nosník přerušit v kterémkoliv poli myšleným řezem a vypočítat tři neznámé síly. Při praktickém početním řešení používáme obvykle kombinace metody styčníkové a průsečné. Příklad:

Stanovte síly v prutech 2,3,4, prutové soustavy podle obrázku.

- 25 -


© M.H. 2003

1. Stanovení reakcí

∑F

iy

=0;

……….

2. Stanovení sil v prutech Pro styčník II

∑M ∑F ∑F

i

=0;

………..

ix

=0;

………..

iy

=0;

………..

vyučovací hodina:

29.

2.7. TĚŽIŠTĚ A STABILITA 2.7.1. Těžiště složených čar Každé těleso se skládá z nekonečného počtu částic, tzv. hmotných bodů. Každá tato částice má určitou hmotnost, která se projevuje tíhovou silou. Těžištěm tělesa T nazýváme bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech hmotných bodů, ať těleso natočíme jakkoliv.

Těžiště úsečky V důsledku souměrnosti je těžiště uprostřed její délky.

Souměrná lomená čára Těžiště leží na ose souměrnosti a na spojnici těžišť obou úseků (ramen), z nichž se čára skládá.

- 26 -


© M.H. 2003

Nesouměrná lomená čára Do těžišť obou ramen zavedeme síly F1, F2 úměrné délkám čar (F1=30, F2=20). Řešení provedeme pomocí momentové věty pro osy x a y.

Početně:

FV = a + b = 50 Pro stanovení x

∑M = 0 ;

a a2 + F2 ⋅ 0 = FV ⋅ x ⇒ x = 2 2 ⋅ (a + b ) x = 9 mm

F1 ⋅

Pro stanovení y

∑M = 0 ;

F1 ⋅ 0 + F2 ⋅ y = 4 mm

vyučovací hodina:

b b2 = FV ⋅ y ⇒ y = 2 2 ⋅ (a + b )

30.

Těžiště křivky Vycházíme z představy, že každou křivku lze přibližně nahradit lomenou čarou, složenou z úseček. Čím budou úsečky kratší, tím bude výsledek přesnější. Těžiště úseček už řešit umíme. V technické praxi se vyskytují nejčastěji čáry složené z úseček a kruhových oblouků.

- 27 -


© M.H. 2003

Kruhový oblouk Těžiště T kruhového oblouku je na ose souměrnosti oblouku ve vzdálenosti y od středu oblouku. • Půlkružnice

y=

•

2 ⋅r 2 ≅ ⋅ r [ mm ] π 3

Kruhový oblouk

y =r⋅ arcα ° =

sin α ° [ mm ] arcα °

π ⋅α ° 180

Délka oblouku jednotkové kružnice (r=1), který přísluší středovému úhlu α° se nazývá arcus úhlu α°.

Při řešení těžiště složených čar nejdříve složenou čáru rozdělíme na dílčí čáry, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do nich síly úměrné délkám čar. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích čar (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně: n

FV = ∑ Fi

…..

velikost výslednice (délka složené čáry)

i =1

Pro stanovení xv n

Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i i =1

Pro stanovení yv - 28 -


© M.H. 2003 n

Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i [ N ⋅ mm ] i =1

vyučovací hodina:

Příklad:

31.

Stanovte početně souřadnice těžiště složené čáry podle obrázku.

l1 = F1 = 282 ,74 l 2 = F2 = 200

FV = ∑ Fi = 782 ,74

l 3 = F3 = 300 stanovení xv

Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 ⇒ xV 1 (F1 ⋅ 90 + F2 ⋅180 + F3 ⋅ 330 ) FV 1 xV = ⋅ (282 ,74 ⋅ 90 + 200 ⋅180 + 300 ⋅ 330 ) 782 ,74 xV = 204 ,98 ≈ 205 [ mm ] xV =

stanovení yv

Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 + F3 ⋅ 0 ⇒ y V

- 29 -


© M.H. 2003

1 (F1 ⋅ 260 + F2 ⋅100 ) FV 1 yV = ⋅ (282 ,74 ⋅ 260 + 200 ⋅100 ) 782 ,74 y V = 119 ,5 [ mm ] yV =

vyučovací hodina:

32.

2.7.2. Těžiště složených ploch Při určování těžiště ploch vycházíme z poznatku, že těžiště obdélníka je v průsečíku jeho úhlopříček. Pak jakoukoliv plochu rozdělíme na proužky o stejné tloušťce, které budeme považovat za obdélníky. V nich najdeme těžiště, do kterých zavedeme síly, úměrné plochám těchto obdélníků. Výslednice takto vzniklých soustav rovnoběžných sil (v osách x a y) prochází těžištěm plochy T.

Početně:

Fx = Fy =

n

∑F

i

i =1

Pro stanovení xT n

Fy ⋅ xT = ∑ Fi ⋅ x i ⇒ xT i =1

Pro stanovení yT n

Fx ⋅ y T = ∑ Fi ⋅ y i ⇒ y T i =1

- 30 -


© M.H. 2003

Těžiště plochy čtverce, kosočtverce, obdélníka, kosodélníka, kruhu, elipsy Je v průsečíku jejich os souměrnosti (úhlopříček). Těžiště plochy trojúhelníka Je v průsečíku spojnic bodů, půlících strany trojúhelníka a protilehlých vrcholů.

Těžiště plochy lichoběžníka

vyučovací hodina:

33.

Těžiště plochy půlkruhu

- 31 -


© M.H. 2003

y ´=

2 2 2⋅r 4⋅r 4 ⋅y = ⋅ = ≅ ⋅ r [ mm ] 3 3 π 3 ⋅π 9

Těžiště plochy výseče kruhu

y´ =

2 2 sin α ° ⋅y = ⋅r ⋅ [ mm ] 3 3 arcα °

Při řešení těžiště složených ploch nejdříve složenou plochu rozdělíme na dílčí plochy, u kterých polohu těžiště umíme určit. Nyní těžiště těchto dílčích ploch určíme a zavedeme do nich síly úměrné plochám. Vlastní řešení provedeme pomocí momentové věty. Součet momentů dílčích ploch (v osách x i y) k libovolnému bodu se rovná momentu výslednice k příslušné ose. Zjištěné souřadnice x a y jsou potom hlavními těžištními osami a jejich průsečík určuje polohu těžiště T . Početně: n

FV = ∑ Fi

…..

velikost výslednice (obsah složené plochy)

i =1

Pro stanovení xv n

Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i i =1

Pro stanovení yv n

Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i i =1

- 32 -


Příklad:

© M.H. 2003

34.

Stanovte početně souřadnice těžiště složené plochy podle obrázku.

Rozdělení na plochy v tomto případě provedeme tak, že od obdélníka (600x500) odečteme obdélník (200x200), kruh (φ150) a trojúhelník.

F1 = 600 ⋅ 500 = 300000 F2 = 200 ⋅ 200 = 40000 π ⋅150 2 = 17671,5 4 150 ⋅150 F4 = = 11250 2 F3 =

velký obdélník malý obdélník - vybrání kruhový otvor trojúhelník – zkosení hrany

Výsledná plocha(síla) n

FV = ∑ Fi = F1 − F2 − F3 − F4 = 300000 − 40000 − 17671,5 − 11250 i =1

FV = 231078 ,5 [ N ] Stanovení xv

Fv ⋅ x v = ∑ Fi ⋅ x i = F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 ⇒ xV 1 (F1 ⋅ 300 − F2 ⋅ 200 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 550 ) FV 1 xV = ⋅ (300000 ⋅ 300 − 40000 ⋅ 200 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 550 ) 231078 ,5 xV =

xV = 320 ,4 [ mm ]

- 33 -


© M.H. 2003

Stanovení yv

Fv ⋅ y v = ∑ Fi ⋅ y i = F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 ⇒ y V 1 (F1 ⋅ 250 − F2 ⋅ 400 − F3 ⋅100 − F4 ⋅ 50 ) FV 1 yV = ⋅ (300000 ⋅ 250 − 40000 ⋅ 400 − 17671,5 ⋅100 − 11250 ⋅ 50 ) 231078 ,5 yV =

y V = 245 ,2 [ mm ] Těžiště těles – pro informaci •

Koule a krychle – těžiště je v jejich geometrickém středu

•

Válec a hranol (i kosý) – těžiště je v polovině spojnice těžišť obou podstav

•

Kužel a jehlan – těžiště je v jedné čtvrtině spojnice těžiště podstavy s vrcholem

U složitějších těles určíme těžiště rozložením tělesa na tělesa jednoduchá a v jejich těžištích necháme působit síly úměrné objemům těles. Další postup je stejný jako u čar a ploch. Guldinovy věty Slouží k vypočítání povrchu a objemu rotačních těles. Povrch rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li délku tvořící čáry l drahou těžiště čáry otáčení kolem osy.

T při

P = 2 ⋅ π ⋅ xT ⋅ l [ mm 2 ]

Objem rotačního tělesa vypočítáme, vynásobíme-li obsah tvořící plochy S drahou těžiště plochy otáčení kolem osy.

- 34 -

T při


© M.H. 2003

V = S ⋅ 2 ⋅ π ⋅ xT vyučovací hodina:

35.

2.7.3. Stabilita součástí Působí-li na těleso kromě tíhy ještě síla F, která jej vychýlí z rovnováhy, poté přestane působit: a) a těleso se vrací do své původní polohy – má rovnováhu stálou neboli stabilní b) a těleso se pohybuje dál – je jeho rovnováha vratká neboli labilní c) a těleso zůstane v nové poloze – má rovnováhu volnou neboli indiferentní

Při pohybu je důležitá poloha těžiště: a) stoupá b) klesá c) zůstává ve stejné výši

- 35 -


vyučovací hodina:

© M.H. 2003

36.

Klopný moment

M KL = F ⋅ b [N.m] Moment stability

M S = G ⋅ a [N.m] Pro rovnováhu platí:

F ⋅b −G ⋅a = 0

V praxi se požaduje, aby

M S byl vždy větší:

MS >1 M KL n …. míra bezpečnosti proti překlopení (n = 1,2 až1,5 ) M S = M KL ⋅ n ⇒ n =

Z uvedeného plyne, že stabilní jsou dostatečně těžká tělesa s velkou podstavou.

vyučovací hodina:

37.

2.8. STATIKA JEDNODUCHÝCH MECHANISMŮ S PASIVNÍMI ODPORY 2.8.1. Význam tření a jeho druhy K uvedení tělesa z klidu do pohybu a k udržení tělesa v pohybu po podložce je třeba určité vnější síly. Pohybující se těleso se zastaví, přestane-li tato vnější síla působit. Příčinou je odpor proti pohybu ve stykových plochách těles. Tento odpor se nazývá tření. Příčinou je to, že těleso ani podložka nejsou dokonale hladké.

- 36 -


© M.H. 2003

Tření užitečné - brzdy, třecí spojka, řemenové a lanové převody, vozovka-pneumatika, klíny, šrouby, třecí převody, … Nežádoucí tření - čepy v ložiskách, tření ve vedeních, … Navíc při tření vzniká teplo, které je nutno bez užitku odvádět do okolí! Je proto nutné dobré mazání. Druhy tření Smykové

- vzniká při pohybu tělesa smykem (kluzem, vlečením). Působí vždy ve stykové ploše a vždy proti směru pohybu.

Valivé

- vzniká při pohybu valivém mezi válcem a podložkou, protože nejsou dokonale tuhé.

Čepové

- vzniká v čepu uloženém v ložiskách a působí proti smyslu rotačního pohybu.

Vláknové

- vzniká při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše.

vyučovací hodina:

38.

2.8.2. Tření smykové – vodorovná podložka, nakloněná rovina Jednoduchým pokusem se zjišťovala velikost síly, která je zapotřebí k tomu, aby se břemeno pohybovalo rovnoměrným pohybem. Pro břemeno G1 to byla síla F1 , pro G2 síla F2 a pro G3 síla F3 . Zjistilo se, že platí:

F F1 F F = 2 = 3 = ... = = konst . = f …. součinitel smykového tření G1 G2 G3 G f závisí na drsnosti stykových ploch, na materiálech stykových ploch a na tom, jsou-li plochy suché, nebo potřeny tenkou vrstvou maziva. Odpor smykového tření

Ft je přímo úměrný kolmému (normálovému) tlaku Fn . Ft = Fn ⋅ t

Hodnoty

f lze najít v tabulkách.

Kov na kov

- neopracované - hladce opracované, suché - hladce opracované, mírně mazané - hladce opracované, vydatně mazané

Kov na dřevo

- suché - mazané

Kov na ledě

- 0,02

0,38 – 0,56 0,10 – 0,15

Ferodo, fibr na kov - 0,40 – 0,7

- 37 -

0,22 – 0,31 0,15 – 0,20 0,12 – 0,15 0,03 – 0,08


© M.H. 2003

Pohyb na vodorovné podložce Určete sílu

F , která utáhne rovnoměrným pohybem břemeno tíhy G . F − Ft = 0 F = Ft = G ⋅ f

Bude-li síla odkloněna o úhel

α pak

Fn = G

Fx = F ⋅ cos α Fy = F ⋅ sin α Ft = (G − Fy ) ⋅ f = (G − F ⋅ sin α ) ⋅ f Fx = Ft … podmínka rovnoměrného pohybu

F ⋅ cos α = f ⋅ G − f ⋅ F ⋅ sin α F ⋅ (cos α + f ⋅ sin α ) = f ⋅ G

F =G⋅

vyučovací hodina:

f [N] cos α + f ⋅ sin α

39.

Pohyb po nakloněné rovině

Fn = G ; Ft = Fn ⋅ f ; tgϕ =

Ft Fn ⋅ f = =f Fn Fn

Má-li zůstat těleso v klidu, pak

F ≤ Ft

Ft je funkcí třecího úhlu ϕ Velikost F je funkcí úhlu α

Velikost

Má-li zůstat těleso v klidu, pak

- 38 -

α ≤ϕ


© M.H. 2003

Při pohybu musí platit naopak

F ≥ Ft tedy α ≥ ϕ .

Podle obrázku lze také dokázat, že platí

f =

sin ϕ = tgϕ . cos ϕ

Nyní stanovme sílu F , která utáhne břemeno G po nakloněné rovině směrem nahoru, působí-li síla rovnoběžně s nakloněnou rovinou.

Fn = G ⋅ cos α Tření Ft = f ⋅ G ⋅ cos α Podmínka pohybu F ≥ Ft + G ⋅ sin α

Reakce podložky

F = Ft + G ⋅ sin α F = f ⋅ G ⋅ cos α + G ⋅ sin α F = G ⋅ (sin α + f ⋅ cos α ) [N]

Nakloněná rovina je samosvorná, udrží-li se na ní těleso bez zvláštní zdržující síly Kdyby neexistovalo tření, byla by ideální síla pro tažení břemena

Účinnost nakloněné roviny

Fi = G ⋅ sin α

Fi G ⋅ sin α = F G ⋅ sin α + f ⋅ G ⋅ cos α sin α η= < 1 [--] sin α + f ⋅ cos α η=

u samosvorné nakloněné roviny je

vyučovací hodina:

α ≤ϕ .

η < 0 ,5 .

40.

2.8.3. Vzepření tyče ve vedení Tyč vedenou ve dvou vedeních nelze posunout, jsou-li tato vedení příliš blízko u sebe a nepůsobí-li síla přesně v ose. Tyč se ve vedení vzpříčí, je samosvorná.

- 39 -


© M.H. 2003

41. a 42.

2.8.4. Tření na oblé ploše Jednošpalíková brzda Začínáme vždy u rotujícího členu. PÁKA působí na BUBEN normálovou silou Fn , která vyvolá tření Ft , působící proti smyslu pohybu. BUBEN působí na PÁKU stejnými silami, ale opačného smyslu. Tyto síly zachytíme RÁMEM. Podmínka rovnováhy pro BUBEN

M − Ft ⋅ r = 0 Podmínka rovnováhy pro PÁKU

F ⋅ a − Ft ⋅ c − Fn ⋅ b = 0

Třecí podmínka

Ft = Fn ⋅ f Řešíme tři rovnice o třech neznámých

M f ⋅r F ⋅ a − Fn ⋅ f ⋅ c − Fn ⋅ b = 0 M M M ⋅r M ⋅b F ⋅a = ⋅f ⋅c + ⋅b = + f ⋅r f ⋅r r f ⋅r M ⋅c M ⋅b F= + r ⋅a f ⋅r ⋅a M b  F=  + c  [N] r ⋅a  f  M − Fn ⋅ f ⋅ r = 0 ⇒ Fn =

Úloha:

Odvoďte vztah pro stanovení brzdné síly pro jednošpalíkovou brzdu dle obrázku.

- 40 -


© M.H. 2003

43.

2.8.5. Tření čepové Otočné spojení členů mechanismu provádíme čepem uloženým v ložisku. Ve stykové ploše mezi čepem a ložiskem vzniká tření, které působí proti pohybu. Čep radiální - síla působí kolmo k ose otáčení

Čep axiální - síla působí v ose otáčení

Čepy radiální Pro zjednodušení budeme uvažovat uložení čepu ve volné pánvi. Zde dochází ke styku v přímce. Při otáčení se čep posune ze středu otáčení a tím se posune i vzájemné působení.

FA tvoří se zatížením G silovou dvojici. Tuto silovou dvojici, které říkáme moment čepového tření M Č , musíme při otáčení čepu překonávat. ρ sin ϕ = ⇒ ρ = r ⋅ sin ϕ MČ = G ⋅ ρ r M Č = G ⋅ r ⋅ sin ϕ sin ϕ = fČ … součinitel čepového tření M Č = G ⋅ r ⋅ fČ [N.m]

Při rotaci výslednice vzájemného působení

- 41 -


© M.H. 2003

Čepy axiální U nezaběhaného čepu předpokládáme, že se kolmý tlak rozloží rovnoměrně po styčné ploše.

G = Fn = ∑ ∆Fn

Na velmi malé výseči působí elementární reakce pak vzdálenost těžiště od středu je

∆Fn v jejím těžišti. Tuto výseč pokládáme za ∆ a

2 ⋅ r . Elementární reakce ∆Fn při otáčení čepu způsobuje 3

∆Ft = ∆Fn ⋅ f . Pak elementární moment čepového tření je 2 2 ∆M č = ∆Ft ⋅ ⋅ r = ∆Fn ⋅ f ⋅ ⋅ r . 3 3

elementární tření

Výsledný moment čepového tření je

M č = ∑ ∆M č = ∑ ∆Fn ⋅ f ⋅

2 2 ⋅ r = ⋅ r ⋅ f ⋅ ∑ ∆Fn 3 3 2 M č = ⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m] 3

U zaběhaného čepu je čep více opotřebován na obvodu (delší dráha) a proto je kolmý tlak rozložen nerovnoměrně. Uvažujeme, že těžiště elementární reakce

∆Fn působí ve vzdálenosti

1 ⋅r . 2

Moment čepového tření potom je

Mč =

1 ⋅ r ⋅ f ⋅ G [N.m] 2

Při velkém zatížení může vlivem velkého tlaku poblíž osy otáčení dojít k poruše materiálu. Tomu se předchází vybráním středu čepu. Působiště elementárního tlaku potom uvažujeme na středové kružnici vzniklého mezikruží.

- 42 -


© M.H. 2003

M č = rS ⋅ f ⋅ G [N.m] ;

vyučovací hodina:

rS =

r1 + r2 [mm] 2

44.

2.8.6. Odpor při valení Kdyby byly válec i vodorovná podložka dokonale tuhé, nedeformovala by se ani podložka ani válec. Styk by byl pouze čárový, v povrchové úsečce válce. Tíha válce G je v rovnováze s reakcí podložky

Fn . Stačila by sebemenší vodorovná síla, aby uvedla válec do valivého pohybu. U skutečných těles dochází k deformaci podložky a tím vznikají silové poměry dle pravého obrázku. Tím se posune těžiště vzájemného působení a vzniklou silovou dvojici musíme překonávat jinou silovou dvojicí.

Podmínka rovnováhy

F ⋅ a − G ⋅ς = 0 ;

ζ [mm] ... rameno valivého odporu (dzéta)

Rameno valivého odporu ζ závisí na materiálu podložky a válce. Lze jej nalézt v tabulkách. Součin G ⋅ ς nazýváme momentem valivého odporu. - 43 -


© M.H. 2003

Síla potřebná k překonání valivého odporu Síla bude nejmenší, jestliže

ς [N] a ς =G⋅ [N] d

F =G⋅

amax = d ; Fmin

Naopak čím menší bude a , tím bude síla F větší. Má to však určitou hranici. Stalo by se, že místo valení se válec bude smýkat. Tento případ nastane, když síla pro smýkání bude menší než síla pro valení. Pro valení

Fmax = G ⋅

Pro smýkání

F = G ⋅f

ς amin

Fmax ≤ F . ς ς G⋅ ≤ G ⋅ f ⇒ amin = [-] amin f

Aby nedošlo ke smýkání musí platit

Trakční odpory V praxi je většinou spojeno valení s uložením v čepech. Sílu, působící v ose válce lze pak stanovit ze vzorce

F ⋅ r − G ⋅ ς − Mč = 0 F=

vyučovací hodina:

G ⋅ ς − Mč [N] r

45.

2.8.7. Tření vláknové, pásové brzdy Při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše vzniká vláknové tření. Síla na jedné straně je vždy větší. Velikost zvětšení této síly je závislé na úhlu opásání, na použitém nosném prvku a na drsnosti válcové plochy.

Pro zvedání platí

F1 > G

F1 = G ⋅ e fα [N]

F1 , F2 … síly vláknového tření G

- 44 -

… tíha břemena

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I Pro spouštění platí

© M.H. 2003

F2 < G

F2 = G ⋅

1 [N] e fα

e … základ přirozených logaritmů f … součinitel smykového tření α … úhel opásání v obloukové míře

Výraz

e fα pro různé f a α lze také najít v tabulkách.

vyučovací hodina:

46.

Pásová brzda Úkolem je určit brzdící sílu

F pro ubrždění momentu M .

uvolnění členů

zachycení účinků sil do rámu brzdy

Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα

Fs1 > Fs 2

Podmínka rovnováhy členu 2 (začínáme rotujícím členem)

M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 Podmínka rovnováhy členu 3

F ⋅ a − Fs 2 ⋅ b = 0

⇒

Fs 2 = F ⋅

a b

Podmínka vláknového tření

Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Získali jsme soustavu tří rovnic o třech neznámých. - 45 -


© M.H. 2003

M + Fs 2 ⋅ r − Fs 2 ⋅ e fα ⋅ r = 0

(

)

M − Fs 2 ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0 a M − F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1 = 0 b a M = F ⋅ ⋅ r ⋅ e fα − 1 b

(

(

)

)

⇒

F=

M b 1 ⋅ ⋅ fα [N] r a e −1

Při změně smyslu otáčení bubnu dojde ke změně brzdícího účinku a tím i síly

Rovnováha členu 3

Změnou smyslu otáčení se změnila síla

F.

F ⋅ a − Fs1 ⋅ b = 0

Fs 2 na Fs1 .

Pásová brzda součtová Aby byla rovnováha na páce pro oba smysly otáčení stejná, provedeme následující úpravu konstrukce. Rovnice rovnováhy pro oba smysly

M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 F ⋅ a − Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ b = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs1 ⋅ b + Fs 2 ⋅ b Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Síla F je větší. Je vidět, že musí překonávat obě síly. Proto se jí říká součtová. (Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na páce se sčítají). Je to cena za to, že se brzda hodí pro oba smysly otáčení.

- 46 -


© M.H. 2003

47.

Pásová brzda rozdílová Potřebujeme-li aby byla ovládací síla

F malá.

M + Fs 2 ⋅ r − Fs1 ⋅ r = 0 F ⋅ a + Fs1 ⋅ b − Fs 2 ⋅ c = 0 ⇒ F ⋅ a = Fs 2 ⋅ c − Fs1 ⋅ b Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα Z rovnováhy na páce vidíme, že síla

Fs1 pomáhá brzdící síle F . Účinky tahů v páse Fs1 a Fs 2 na

páce se odčítají. Řemenový převod Vlivem smyslu otáčení

Fs1 > Fs 2 Fs1 = Fs 2 ⋅ e fα ⇒

Fs 2 =

M1 + Fs 2 ⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0

Fs1 e fα

Naším úkolem je určit maximální sílu v řemenu, tedy

Fs1 .

Fs1 ⋅ r1 − Fs1 ⋅ r1 = 0 e fα  e fα − 1  Fs1 1   M1 = Fs1 ⋅ r1 − fα ⋅ r1 = Fs1 ⋅ r1 ⋅ 1 − fα  = Fs1 ⋅ r1 ⋅  fα  e  e   e  M1 +

Fs1 =

M1 e fα ⋅ [N] r1 e fα − 1

Fs 2 =

Fs1 [N] e fα - 47 -


© M.H. 2003

vyučovací hodina:

48.

Praktické aplikace

vyučovací hodina:

49. a 50.

2.9. OPAKOVÁNÍ STATIKY vyučovací hodina:

51.

3. PRUŽNOST A PEVNOST (PaP) 3.1. DEFINICE PAP, ZÁKLADNÍ DRUHY NAMÁHÁNÍ 3.1.1. Definice PaP, základní pojmy Při řešení úloh PaP se předpokládá, že těleso je v klidu nebo v rovnoměrném pohybu. Úkolem nauky o PaP je určit k předepsanému vnějšímu zatížení rozměry a deformaci tělesa tak, aby se nepřekročila nejen mez pevnosti, ale ani mez pružnosti, za kterou se tělesa trvale deformují. Mez pevnosti

- při jejím překročení součást praskne

Mez pružnosti - při jejím překročení se začíná součást trvale deformovat Druhy namáhání:

1) tahem 2) tlakem 3) smykem (střihem) 4) krutem 5) ohybem 6) vzpěrem

Charakteristické zatížení Zatěžující síly dělíme: a) podle místa působení § VNĚJŠÍ (akční) § VNITŘNÍ (reakční) b) podle výsledného účinku § OSAMĚLÉ SÍLY § MOMENTY SIL

F M

⇒ posun ⇒ otáčení

c) podle polohy roviny zatížení a roviny průřezu § KOLMÉ NA PRŮŘEZ § ROVNOBĚŽNÉ S PRŮŘEZEM Charakteristický průřez § §

plocha průřezu modul průřezu

S W

(tah, tlak, smyk) (krut, ohyb)

- 48 -


© M.H. 2003

Napětí Podíl, určující průměrnou (střední) hodnotu vnitřních sil, které působí na danou plochu.

Druhy napětí: a) σ - normálová napětí (kolmá na průřez) b) τ - tečná napětí (rovnoběžná s průřezem) Charakteristická deformace a) b) c) d) e)

tah tlak smyk krut ohyb

- prodloužení - zkrácení - posunutí - zkroucení - prúhyb

Výpočet charakteristické deformace

Součin charakteristického průřezu a modulu pružnosti bývá často nazýván TUHOST.

3.1.1. Zásady dimenzování součástí Při návrhu součásti musí být splněna podmínka, že součást musí vyhovovat jak po stránce pevnosti, tak i deformace. §

Pevnostní rovnice

Tato rovnice slouží k výpočtu: a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené §

Deformační rovnice

Tato rovnice opět slouží k výpočtu: a) Návrhovému – návrh optimálních rozměrů průřezu b) Únosnosti – pro navržené rozměry počítáme maximální možné zatížení c) Kontrolnímu – zjišťujeme, zda skutečné napětí nepřekročí dovolené d) Maximální deformace

- 49 -


© M.H. 2003

vyučovací hodina:

52.

3.1.2. Základní druhy namáhání o

Namáhání tahem

Definice:

Součást je namáhaná tahem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce.

Deformace:

prodloužení a zúžení průřezu

Pevnostní rovnice:

o

Namáhání tlakem

Definice:

Součást je namáhaná tlakem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a směřují do průřezu. Jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce.

Deformace:

zkrácení a rozšíření průřezu

Pevnostní rovnice:

- 50 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I o

© M.H. 2003

Namáhání smykem

Definice:

Součást je namáhaná smykem, působí-li na ni dvě síly stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem.

Deformace:

posunutí části I proti části II

Pevnostní rovnice:

o

Namáhání krutem

Definice:

Součást je namáhaná krutem, působí-li na ni dvojice sil rovnoběžná s průřezem.

Deformace:

zkroucení

Pevnostní rovnice:

- 51 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I o

© M.H. 2003

Namáhání ohybem

Definice:

Součást je namáhaná ohybem, působí-li na ni dvojice sil, jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu.

Deformace:

průhyb

Pevnostní rovnice:

vyučovací hodina:

53.

3.2. TAH, TLAK 3.2.1. Tahový diagram Ke zjištění mechanických vlastností v tahu se provádí tahová zkouška: Zkušební tyčinku normalizovaného tvaru upevníme do trhacího stroje, na nějž je napojeno kreslící zařízení. To zaznamená průběh zkoušky do tzv.pracovního diagramu. Pracovní diagram měkké uhlíkové oceli

- 52 -


© M.H. 2003

Protože hodnoty z pracovního diagramu nelze obecně využít (platí jen pro zkušební tyčinku), zavádíme tzv. smluvní diagram. Smluvní diagram měkké uhlíkové oceli

ε … poměrné prodloužení R e , R m ..……. meze zjišťované z diagramu σ K ,t , σ P ,t …… meze zjišťované výpočtem Definice mezí

U - mez úměrnosti – (platí Hookův zákon) … obtížně zjistitelná

E - mez pružnosti (elasticity) – zůstává trvalá deformace 0,005% původní délky K - mez kluzu – součást se prodlužuje i přes pokles napětí P - mez pevnosti – objevují se první trhliny S - bod přetržení Veličiny charakterizující mechanické vlastnosti materiálu 1. Tažnost

δ=

l − l0 ⋅ 100 [%] l0

- 53 -


© M.H. 2003

2. Kontrakce (poměrné zúžení)

ψ=

S0 − S ⋅ 100 [%] S0

Obě tyto veličiny charakterizují HOUŽEVNATOST MATERIÁLU. Podle tvaru tahového diagramu se posuzuje zejména pružnost (čím

> σ E , tím je materiál pružnější) a

pevnost (čím > σ P , tím je materiál pevnější) a dále houževnatost materiálu. Napětí na mezi kluzu je výchozí hodnotou pevnostních výpočtů houževnatých materiálů. U vysokouhlíkových ocelí však není tato mez v diagramu výrazná, proto se za mez kluzu pokládá napětí, při kterém po odlehčení tyčinky zůstává poměrné prodloužení o hodnotě ε = 0,002 , tedy

0,2% původní délky.Tato hodnota se označuje σ K ,t 0,2 = R P 0,2 = smluvní mez kluzu.

vyučovací hodina:

54.

3.2.2. Hookův zákon v tahu, deformační rovnice Až do meze úměrnosti má křivka tahového diagramu tvar přímky => do této meze platí přímá úměra mezi σ a ε . Definice §

Slovně : Až do meze úměrnosti je napětí přímo úměrné poměrnému prodloužení.

§

Matematicky: (rovnice přímky)

y = k ⋅ x dosazením σ a ε

E … modul pružnosti v tahu (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])

- 54 -


© M.H. 2003

Z Hookova zákona lze odvodit vztah pro výpočet skutečné deformace (prodloužení) deformační rovnici.

∆l , tj.

F ∆l ; ε= S l0 F ⋅ l0 ∆l F σ = E ⋅ ε ⇒ = E ⋅ ⇒ ∆l = S l0 S ⋅E σ=

Obecná deformační rovnice

Odvozená deformační rovnice pro

vyučovací hodina:

∆l

55.

3.2.3. Pevnostní rovnice v tahu a tlaku, dovolené napětí Obecně platná pevnostní rovnice

Na základě této rovnice můžeme napsat pevnostní rovnice pro namáhání: a) Tahem

b) Tlakem

Dovolené napětí Je maximální přípustné napětí, při kterém dochází pouze k pružným deformacím => v tahovém diagramu se bude tedy nacházet pod mezí pružnosti (elasticity).

- 55 -


© M.H. 2003

Protože zjištění této meze je velmi zdlouhavé, dovolené napětí se počítá, nebo zjišťuje z tabulek. §

Houževnaté materiály

σ D,t = Pozn.: míra bezpečnosti §

σ K ,t k

⋅c =

0,6 ⋅ σ P ,t k

⋅c

k závisí na druhu materiálu, pro oceli obvykle bereme k = 1,5 ≅ 2 .

Křehké materiály

σ D,t = Pozn.: míra bezpečnosti

σ P ,t k

⋅c

k závisí opět na druhu materiálu. Bereme obvykle k = 4 ≅ 6 .

Mez kluzu se volí: §

Uhlíkové oceli

σ P ,t ≤ 700MPa ….

σ K ,t ≈ 0,6 ⋅ σ P ,t

§

Slitinové oceli ………………………..

σ K ,t ≈ 0,8 ⋅ σ P ,t

vyučovací hodina:

56.

3.2.4. Druhy zatížení, nebezpečný průřez Druhy zatížení I. Statické

II. Míjivé

- 56 -


© M.H. 2003

III. Střídavé

Úloha: Ve ST najděte tabulku součinitelů zatížení.

vyučovací hodina:

57.

Nebezpečný průřez Je to nejvíce namáhaný příčný průřez součásti, tj. ten, ve kterém je největší napětí => zpravidla nejmenší průřez součásti. Příklad:

Nebezpečný průřez táhla, zeslabeného příčným otvorem.

S = h ⋅ (b − d ) Příklady: 1. Ocelové táhlo s průřezem b ⋅ h = 10 ⋅ 60mm má být zatíženo klidnou silou F = 69kN . Zjistěte, zda rozměry a zatížení vyhovují je-li materiál 11343 , k = 7 . 2. Plochá ocelová tyč je zatížena tahem osovou silou F = 40 kN . Jaké jsou optimální

h , střídavé zatížení, materiál 11500 a k = 2 . 4 3. Jak velkou míjivou silou můžeme zatížit táhlo z oceli 11500 , nemá-li napětí překročit σ D,t . Táhlo je průřezu 40 ⋅ 8mm a je v něm příčná díra 15mm . k = 2 . průřezové rozměry

b; h je-li b =

- 57 -


© M.H. 2003

58.

3.2.5. Měrný tlak V praxi se často setkáváme s tím, že dvě součásti funkčně spolu spojené (hřídel-ložisko, pero-náboj) na sebe vzájemně působí – tlačí. V těchto případech je nutné zjistit, zda tlak ve styčných plochách, tzv. měrný tlak, nepřesahuje dovolenou hodnotu. Obecný výpočet

Dovolený tlak § pD =

(0,7 ≅ 0,9 ) ⋅ σ D,d

……

pro součásti ve vzájemném klidu. Bere se hodnota té součásti, která je menší!

§

pD = (1 ≅ 20 ) MPa ………. pro součásti ve vzájemném pohybu. Značně kolísá, závisí na druhu materiálu, tvrdosti, drsnosti povrchů, obvodové rychlosti, mazání, rázech atd.

Příklady: a) rovinná styčná plocha § ROVNÁ

p=

F F = ≤ pD [MPa ] S b⋅l

- 58 -


© M.H. 2003

§ KLÍNOVÁ DRÁŽKA

Fn1 = Fn 2 = p=

F [N ] 2 ⋅ sin α

F F = ≤ pD [MPa] S 2 ⋅ b ⋅ sin α ⋅ l

b) zakřivená styčná plocha § TLAK MEZI HŘÍDELEM A LOŽISKEM

p=

Poznámka:

F F = ≤ pD [MPa ] S d ⋅l

Další příklady aplikací měrného tlaku budou probírány ve 2. ročníku v předmětu Stavba a provoz strojů.

- 59 -


© M.H. 2003

59.

3.3. PROSTÝ SMYK 3.3.1. Definice, pevnostní rovnice Namáhání prostým smykem vzniká tehdy, když dvě stejně velké síly opačného smyslu působí na společné nositelce, procházející těžištěm průřezu. Materiál se brání snaze vnějších sil posunout po sobě obě části vnitřní silou, která se projeví tečným napětím.

Tento ideální případ se vyskytuje jen u velmi přesného stříhání materiálu. V obecném případě síly neleží na společné nositelce a kromě posuvu profilu dojde vždy ještě k ohybu.

V praxi tento přídavný ohyb většinou zanedbáváme, takže pevnostní rovnice má stejný tvar jako rovnice v tahu a tlaku. Pevnostní rovnice

n …….. počet střižných ploch Z diagramu pro zkoušku smykem vyplývá: τ k ,s =& 0,6 ⋅ σ k ,t => τ D,s

τ D,s

=& 0,6 ⋅ σ D,t …… pro oceli =& (0,8 ≅ 1) ⋅ σ D,t .. pro litinu - 60 -


© M.H. 2003

vyučovací hodina:

60.

3.3.2. Deformační rovnice Mysleme si, že nosník se skládá z jednotlivých vrstviček, které by se účinkem síly posunuly.

Původně vodorovné roviny nosníku se skloní o malý úhel γ .

tg γ = zkos pro velmi malé úhly platí

tg γ =

∆l =& γ l

Až po mez úměrnosti mezi zkosem a napětím platí

τ = k ⋅γ

k…

konstanta

Dosadíme-li k = G , dostaneme Hookův zákon pro smyk

G … modul pružnosti ve smyku (závisí na druhu materiálu, viz ST [MPa])

G=

E 2 ⋅ (1 + μ )

μ …. Poissonova konstanta

Z Hookova zákona lze dosazením získat deformační rovnici.

∆l F ;τ = l S ∆l F = l S ⋅G

γ=

S ⋅ G ……

tuhost ve smyku

- 61 -

G =&

3 ⋅ E …. pro oceli 8

F po sobě


© M.H. 2003

3.3.3. Stříhání materiálu Při stříhání materiálu musíme materiál porušit a proto platí upravená pevnostní rovnice

O [mm ] … t [mm ] ….

obvod střihu tloušťka stříhaného materiálu

vyučovací hodina:

61.

3.3.4. Praktické aplikace

vyučovací hodina:

62.

3.4. PRŮŘEZOVÉ MODULY PRO NAMÁHÁNÍ KRUTEM A OHYBEM Úvod Při namáhání v tahu, tlaku a smyku jsme poznali, že charakteristickými veličinami byla velikost síly a plochy průřezu. To tedy znamená, že u těchto druhů namáhání nezáleží na poloze, tvaru nebo rozložení průřezu podle průřezové osy. Jinak tomu bude u namáhání krutem a ohybem, o čemž se můžeme přesvědčit pokusem. Pokus:

Vezměme rovné plastové pravítko obdélníkového průřezu a ohýbejme jej. Zjistíme, že pravítko se daleko lehčeji ohne naležato než nastojato.

Vidíme tedy, že u ohybu (i krutu a vzpěru) není únosnost a deformace závislá jen na velikosti průřezu, ale závisí i na poloze, tvaru a rozložení podél průřezové osy. Charakteristickou veličinou je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU.

3.4.1. Kvadratický moment průřezu je charakteristickou průřezovou veličinou pro krut, ohyb a vzpěr. Označení: Výpočet:

Jx , Jy , Jz

x, y , z …

Jx = ∑ ∆S ⋅ y 2 Jy = ∑ ∆S ⋅ x 2

osy, ke kterým moment počítáme

[mm ] 4

Tyto vztahy potřebujeme při odvozování rovnice pro ohyb, kde jsou vztaženy na neutrální osu ( osu bez napětí a deformace). Součet součinů ∆S ⋅ x a ∆S ⋅ y se vztahuje na celou plochu průřezu. Jelikož kvadratický moment roste s druhou mocninou vzdálenosti od osy, proto se pravítko nastojato daleko méně deformuje než naležato. 2

- 62 -

2


© M.H. 2003

POZOR !!!

S ⋅ y T2 =/ ∑ ∆ S ⋅ y 2

3.4.2. Vztah mezi kvadratickým a polárním momentem průřezu Kromě kvadratického momentu průřezu rozeznáváme ještě tzv. POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU je vztažen k ose, která je k rovině kolmá. Bod 0 , ve kterém osa protíná rovinu obrazce nazýváme PÓLEM.

Jelikož platí, že

J P , který

ρ 2 = x 2 + y 2 , můžeme pak psát vztah

(

)

JP = ∑ ∆ S ⋅ ρ2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + y 2 = ∑ ∆ S ⋅ x 2 + ∑ ∆ S ⋅ y 2 = J y + J x JP = J x + J y

Polární moment průřezu je roven součtu kvadratických momentů průřezu ke dvěma vzájemně kolmým osám, které se protínají v pólu. vyučovací hodina:

63.

3.4.3. Kvadratické a polární momenty základních rovinných obrazců, průřezové moduly v krutu a v ohybu Kvadratické a polární momenty Hodnoty pro základní geometrické tvary (kruh, čtverec, obdélník, mezikruží, … ) lze najít ve Strojnických tabulkách. Úloha: Vyhledej si ve Strojnických tabulkách hodnoty kvadratického a polárního momentu pro základní geometrické obrazce. Nalezené výrazy zapiš do tabulky.

Průřezové moduly v krutu a v ohybu V úvodní kapitole byly uvedeny vztahy pro určení napětí v ohybu a v krutu

Veličiny

Wo a W k jsou odvozeny z hodnot J a J P a platí pro ně:

- 63 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I §

© M.H. 2003

Modul průřezu v ohybu

Wox = Woy =

Jx e Jy e

[mm ] 3

Tento vztah platí vždy! §

Modul průřezu v krutu

Wk =

[

JP mm 3 e

]

U krutu platí pouze pro kruhové průřezy! Úloha: Odvoď (vyhledej)

vyučovací hodina:

Wo a W k pro základní geometrické obrazce a zapiš je do tabulky.

64.

3.4.4. Steinerova věta Osa, která prochází těžištěm se nazývá centrální osa a příslušný kvadratický moment průřezu centrální kvadratický moment průřezu.

K ose

x platí

Jx = ∑ ∆ S ⋅ y 2

x1 platí

J x1 = ∑ ∆ S ⋅ y 12

y1 = y + a

pak platí

J x1 = ∑ ∆ S ⋅ (y + a ) = ∑ ∆ S ⋅ y 2 + ∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S + ∑ ∆ S ⋅ a 2 2

Druhý člen

∑ 2 ⋅ a ⋅ y ⋅ ∆ S = 2 ⋅ a ⋅ ∑ y ⋅ ∆ S = 0 … lineární moment průřezu k ose procházející těžištěm (je roven nule)

- 64 -


© M.H. 2003

Po úpravě lze psát Steinerovu větu

[

J x1 =J x +a 2 ⋅ S mm 4

]

Znění: Kvadratický moment průřezu k libovolné ose rovnoběžné s centrální osou se rovná kvadratickému momentu průřezu k centrální ose, zvetšenému o součin velikosti průřezu a druhé mocniny vzdálenosti obou os. Centrální osy: - osy k sobě kolmé, procházející těžištěm Poznánky: § § § §

Má-li průřez osu souměrnosti, je tato vždy hlavní centrální osou Druhá osa jdoucí těžištěm je k hlavní ose kolmá Má-li průřez osu souměrnosti, pak kvadratické momenty obou stran (částí) jsou stejné Posuneme-li plochu rovnoběžně s osou, ke které kvadratický moment hledáme, pak se tento kvadratický nezmění

vyučovací hodina:

65.

3.4.5. Kvadratické momenty a průřezové moduly složených průřezů Při výpočtu platí zásada: Kvadratické momenty průřezu lze slučovat tehdy a jen tehdy, jsou-li vztaženy ke společné ose! U složených obrazců rozlišujeme dva základní případy: a) Dílčí plochy mají společnou osu souměrnosti n

Pak platí vztah

J = ∑ Ji

n …… počet ploch

i =1

Řešení si ukážeme na konkrétní úloze. Úloha: Stanovte

J x složené plochy podle obrázku.

Pro úlohu platí

J x = J x čtverce − J x kruhu + J x obdél níka Jx =

a4 π ⋅ d 4 b ⋅ h3 − + 12 64 12

- 65 -


© M.H. 2003

b) Dílčí plochy nemají společnou osu souměrnosti Jestliže nemají plochy společnou osu souměrnosti, pak všechny kvadratické momenty průřezu dílčích ploch musíme převést z jejich těžišťových os na rovnoběžnou společnou neutrální osu a teprve pak je sloučit. Pak platí vztah n

(

)

n

n

i =1

i =1

J = ∑ J i + S i ⋅ ai2 = ∑ J i + ∑ S i ⋅ ai2 i =1

n …… počet ploch

Pro řešení úloh tohoto typu je možno definovat obecný postup: 1. Zjistíme početně nebo graficky polohu těžiště daného složeného průřezu (viz Statika). 2. Rozdělíme průřez na základní obrazce, u kterých umíme kvadratické momenty průřezu určit, nebo je známe. 3. Určíme kvadratický moment průřezu každé dílčí plochy k ose procházející jejím těžištěm, rovnoběžné s centrální osou. Zatím tyto kvadratické momenty nemůžeme slučovat, protože jsou stanoveny k různým osám. 4. Kvadratické momenty průřezu dílčích ploch převedeme pomocí Steinerovi věty na centrální osu. 5. Převedené kvadratické momenty dílčích ploch sloučíme a dostaneme celkový kvadratický moment průřezu. 6. Z kvadratického momentu vypočítáme průřezový modul v ohybu.

vyučovací hodina:

66.

3.4.6. Praktické aplikace Úloha: Určete

J x a Wox složeného profilu podle obrázku.

- 66 -


© M.H. 2003

Rozbor úlohy:

J = J STOJINY + J PÁSNIC + J ŮHELNÍKŮ − J OTVORŮ Vlastní řešení: 1. Stojina

J x1 =

b ⋅ h 3 10 ⋅ 300 3 = = 22,5 ⋅ 10 6 mm 4 12 12

2. Pásnice

   130 ⋅ 10 3  b ⋅ h3 J x 2 = 2 ⋅  + 10 ⋅ 130 ⋅ 155 2  = 62,49 ⋅ 10 6 mm 4 + S ⋅ a 2  = 2 ⋅     12  12 3. Úhelníky Z norem určíme velikost průřezu, vzdálenost těžiště a kvadratický moment průřezu k těžišťové ose rovnoběžné s osou x .

S = 656 mm 2 ; e = 15 mm ; J x´ = 14,6 ⋅ 10 4 mm 4 J x 3 = 4 ⋅ J x´ + S ⋅ a 2 = 4 ⋅ 14,6 ⋅ 10 4 + 656 ⋅ 135 2 = 48,4 ⋅ 10 6 mm 4

(

)

(

)

4. Otvory Vyřešíme bez použití Steinerovy věty rozdílem kvadratických momentů dvou obdélníků.

Jx4 = 2 ⋅

(

)

1 ⋅ 6 ⋅ 320 3 − 286 3 = 9,37 ⋅ 10 6 mm 4 12

Celkový kvadratický moment

J x = J x1 + J x 2 + J x 3 − J x 4 J x = 22,5 ⋅ 10 6 + 62,49 ⋅ 10 6 + 48,4 ⋅ 10 6 − 9,37 ⋅ 10 6 J x = 124 ⋅ 10 6 mm 4 Modul průřezu v ohybu

Wox =

J x 124 ⋅ 10 6 = = 7,75 ⋅ 10 5 mm 3 e 160

vyučovací hodina:

67. a 68.

3.5. OPAKOVÁNÍ Literatura: Mrňák L., Drla A. Salaba S, Matěna A. Hofírek M. Hofírek M.

MECHANIKA – Pružnost a pevnost MECHANIKA I - Statika MECHANIKA STATIKA MECHANIKA STATIKA pracovní sešit

- 67 -

SNTL SNTL Fragment Fragment

1977 1982 1998 1998

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Recommend Documents