S´ıktopol´ogi´ak a Sorgenfrey-egyenes ¨otlet´evel Soukup D´aniel, Matematikus Bsc III. ´ev Email c´ım:
[email protected] T´emavezet˝o: Szentmikl´ossy Zolt´an, egyetemi adjunktus
1.
Bevezet´ es
A Sorgenfrey-egyenes u ´ gy finom´ıtja R-en az euklid´eszi topol´ogi´at, hogy egy {xn }n∈ω ⊆ R sorozat pontosan akkor tart x ∈ R-hez, ha jobbr´ol konverg´al hozz´a. Ezt ´altal´anos´ıtjuk az R2 s´ıkra, olyan finom´ıt´asokat fogunk vizsg´alni ahol {xn }n∈ω ⊆ R2 pontosan akkor tart x ∈ R2 -hez, ha az xn -en sorozat el˝ore megadott S ⊆ S 1 ir´anyokb´ol tart x-hez. Ilyen konstrukci´o p´eld´aul a ”cross-topology”-k´ent vagy kereszt-topol´ogia n´even ismert topol´ogia: a s´ıkon ny´ılt egy halmaz, ha minden pontj´ara tartalmaz egy r´a illeszked˝o f¨ ugg˝oleges ´es v´ızszintes szakaszt is. Ez a topol´ogia szoros kapcsolatban ´all az ir´anymenti folytonoss´aggal: ha f : (R2 , kereszt-top.) → (R, euklid´eszi-top.) folytonos, akkor minden f¨ ugg˝oleges ´es v´ızszintes egyenes ment´en folytonos euklid´eszi→euklid´eszi ´ertelemben. M´asik p´elda, ha tekintj¨ uk a Sorgenfreyegyenes ¨onmag´aval vett szorzat´at, ez a s´ıkon egy olyan topol´ogi´at ad, ahol {xn }n∈ω ⊆ R2 tart x ∈ R2 -hez, pontosan akkor, ha a sorozat az x-be eltolt orig´oj´ u s´ık pozit´ıv-pozit´ıv negyede fel˝ol konverg´al. Alapvet˝oen egy fajta ´altal´anos konstrukci´oval fogunk foglalkozni. Minden z´art S ⊆ S 1 -re defini´alunk egy R2S topol´ogi´at. C´elunk meghat´arozni, hogy a kapott topol´ogi´ak tulajdons´agai milyen kapcsolatban ´allnak a defini´al´o S halmazzal. Megmutatjuk: • R2S t´er M1 , • w(R2S ) = 2ω ha S 6= S 1 , • R2S t´er T3 . 1
Azt mondjuk, hogy az S ⊆ S 1 -b˝ ol nem hi´ anyzik teljes ir´ any, ha x ∈ / S ⇒ 1 −x ∈ S ´es S tartalmaz teljes ir´ anyt ha l´etezik x ∈ S amire −x ∈ S 1 . Bel´atjuk: • R2S t´er ¨or¨okl˝od˝oen Lindel¨of, pontosan akkor ha az S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´any, • R2S t´er ¨or¨okl˝od˝oen szepar´abilis, pontosan akkor ha az S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´any. K¨ovetkezm´enyk´ent R2S t´er ¨or¨okl˝od˝oen norm´alis ´es ¨or¨okl˝od˝oen parakompakt, ha az S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´any. Az egyeneseken mint altereken euklid´eszi, diszkr´et-topol´ogia vagy Sorgenfrey-egyenes jelenik meg alt´erk´ent, ezt haszn´alva bel´atjuk, hogy R2S t´er nem metriz´alhat´o ha S 6= ∅, S 1 . Kit´er¨ unk a kompakt alterek viselked´es´ere: • Pontosan akkor l´etezik R2S -ben megsz´aml´alhat´on´al nagyobb kompakt alt´er, ha S tartalmaz teljes ir´anyt. • R2S egy K altere pontosan akkor kompakt, ha euklid´eszi ´ertelemben kompakt ´es minden x ∈ K-ra ´es n ∈ ω-ra l´etezik r > 0, hogy K ∩ BS 1 (x, r) ⊆ BS (x, n1 , r). Az ¨osszef¨ ugg˝os´eg vizsg´alat´ahoz bevezetj¨ uk a sz´et´all´o S fogalm´at: S ⊆ S 1 sz´et´all´o, ha semelyik ny´ılt f´elk¨or´ıv nem tartalmazza S-et. • R2S pontosan akkor ¨osszef¨ ugg˝o, ha S sz´et´all´o. V´eg¨ ul felsorolunk p´ar r´eszeredm´enyt ´es probl´em´at, melyek tov´abbi vizsg´alatra ´erdemesek.
2.
Jel¨ ol´ esek, elnevez´ esek
Legyen S 1 az orig´o k¨oz´eppont´ u egys´egsugar´ u k¨orvonal, R2 -en az euklid´eszi topol´ogia ny´ılt, z´art halmazait ´es k¨ornyezeteit euklid´eszi-ny´ıltnak, euklid´esziz´artnak, euklid´eszi-k¨ornyezetnek nevezz¨ uk. H ⊆ R2 -re int(H) mindig az euklid´eszi topol´ogia szerinti belsej´et jel¨oli H-nak, cl(H) az euklid´eszi lez´artj´at. B(x, r) az x pont r-sugar´ u euklid´eszi-k¨ornyezete, amennyiben nem okoz f´elre´ert´est, ugyanezzel a jel¨ol´essel ´el¨ unk S ha R2 altereiben akarunk defini´alunk k¨ornyezeteket 2 illetve S ⊆ R -re B(S, r) = x∈S B(x, r). 2
3.
Az R2S topol´ ogia defini´ al´ asa
3.1. Defin´ıci´ o. Legyen S ⊆ S 1 , x ∈ R2 ´es r > 0-ra, B(S, ε) az S ε-sugar´ u k¨ornyezete S 1 -ben: [ BS (x, ε, r) = {[x, x + rs) : s ∈ B(S, ε)} az x pont r-sugar´ u ε-sz´eless´eg˝ u S-k¨ ornyezete. ε BS (x, ε, r) r
3.2. Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges S ⊆ S 1 euklid´eszi-z´ art halmazra az R2S = (R2 , τS ) topol´ogia legyen a k¨ovetkez˝o: G ⊆ R2 ny´ılt pontosan akkor ha minden x ∈ Gre l´etezik r, ε > 0 amire BS (x, ε, r) ⊆ G. Az R2S topol´ogia ny´ılt halmazait S-ny´ılt, z´art halmazait S-z´artaknak nevezz¨ uk.
4.
Az R2S topol´ ogia tulajdons´ agai
R¨ogt¨on l´atszik a defin´ıci´ob´ol, hogy minden S ⊆ S 1 -re az euklid´eszi topol´ogia ´ finom´ıt´as´at kapjuk. Altal´ anosan: ´ ıt´ 4.1. All´ as. S ⊆ T ⊆ S 1 euklid´eszi-z´ artakra, az R2S topol´ ogia finom´ıtja az 2 RT -t. Ha S 6= T , akkor a finom´ıt´ as val´ odi. Bizony´ıt´ as: S ⊆ T miatt BS (x, ε, r) ⊆ BT (x, ε, r), teh´at minden T -ny´ılt egyben S-ny´ılt. Ha S val´odi r´eszhalmaza T -nek, akkor van S-ny´ılt halmaz ami nem T -ny´ılt. Legyen t ∈ T \ S ´es ε olyan kicsi, hogy t ∈ / B(S, ε). Ekkor 2 tetsz˝oleges r-re ´es x ∈ R -re BS (x, ε, r) S-ny´ılt de nem T -ny´ılt, hisz x-nek nincs T -k¨ornyezete BS (x, ε, r)-ben.
3
K´et nevezetes speci´alis esetet emelhet¨ unk ki. Az els˝o esetben S = S 1 , ekkor visszakapjuk az euklid´eszi topol´ogi´at. Ha S = ∅, akkor R2∅ a diszkr´et topol´ogia. L´athat´o, hogy m´ıg az els˝o esetben c sok ny´ılt halmaz van, a m´asodikban m´ar 2c . Ennek pontos le´ır´as´ahoz megfogalmazunk egy a k´es˝obbiekben is fontos szerepet j´atsz´o defin´ıci´ot ´es lemm´at: 4.2. Defin´ıci´ o. Az S ⊆ S 1 -re azt mondjuk, hogy nem hi´ anyzik teljes ir´ any bel˝ole, ha minden x ∈ S 1 \ S-re −x ∈ S. Az S tartalmaz teljes ir´ anyt, ha l´etezik x ∈ S amire −x ∈ S. 4.3. Lemma. Ha az R2S topol´ ogi´ at defini´ al´ o S ⊆ S 1 -b˝ ol nem hi´ anyzik teljes ir´any, akkor minden G S-ny´ılt halmaz csak megsz´ aml´ alhat´ oan sok pontban t´erhet el egy euklid´eszi-ny´ılt halmazt´ ol. Bizony´ıt´ as: Bel´atjuk, hogy tetsz˝oleges G S-ny´ılt halmazra a G∗ = G \ int(G) megsz´aml´alhat´o, azaz csak megsz´aml´alhat´oan sok pontnak nincs Gben euklid´eszi-k¨ornyezete. Minden G∗ -belinek l´etezik S-k¨ornyezete G-ben, ezekr˝ol feltehetj¨ uk, hogy racion´alis sugar´ uak. Ezek az S-k¨ornyezetek csak a k¨oz´eppontjukban metszik G∗ -ot, mert minden att´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja az Sk¨ornyezetnek m´ar euklid´eszi-bels˝o pontja G-nek. Ha t¨obb mint megsz´aml´alhat´oan sok ilyen pont lenne, akkor l´etezne azonos r ∈ Q fix sug´arral is t¨obb mint megsz´aml´alhat´oan sok, amiknek lenne egy euklid´eszi kondenz´aci´os pontja. Ebb˝ol annyit haszn´alunk fel, hogy l´etezne x, y ∈ G∗ r/10 t´avol´asgban r sug´arral. Ekkor mivel nem hi´anyzik teljes ir´any, az xy vagy yx ir´anyok valamelyike eleme S-nek, ekkor azonban az egyik r-sugar´ u S-k¨ornyezet tartalmazn´a a m´asik pontot, ami ellentmond a fentieknek. Innen k¨onnyen ad´odik: ´ ıt´ 4.4. All´ as. Az R2S topol´ogi´ aban |τS | = c pontosan akkor, ha a defini´ al´o 1 S ⊆ S -re nem hi´anyzik S-b˝ ol teljes ir´ any. Amennyiben hi´ anyzik, |τS | = 2c . Bizony´ıt´ as: Ha S-b˝ol hi´anyzik teljes ir´any, akkor az olyan ir´any´ u egyenec sen egy diszkr´et topol´ogia jelenik meg, teh´at |τS | = 2 . Ha S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´any, akkor a fenti 4.3 Lemma k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye az ´all´ıt´as.
4
Itt tessz¨ uk meg a k¨ovetkez˝o egyszer˝ u ´eszrev´etelt: az x ∈ S 1 ir´any´ u egye2 nesen alt´erk´ent h´arom topol´ogia jelenhet meg az RS topol´ogi´aban: • az euklid´eszi, ha x, −x ∈ S, • a Sorgenfrey-egyenes, ha x ´es −x k¨oz¨ ul pontosan egy van S-ben, • a diszkr´et topol´ogia, ha sem x, sem −x nem eleme S-nek. 4.5. K¨ ovetkezm´ eny. Mivel a Sorgenfrey-egyenes nem metriz´ alhat´ o, ´es az S = ∅ vagy S 1 esetekt˝ol eltekintve megjelenik alt´erk´ent, ez´ert az R2S t´er sem metriz´alhat´o, ha S 6= ∅, S 1 . ´ ıt´ 4.6. All´ as. Ha az euklid´eszi-z´ art S ⊆ S 1 -b˝ ol nem hi´ anyzik teljes ir´ any, akkor tartalmaz teljes ir´anyt. Bizony´ıt´ as: A komplementerre ´att´erve, ekkor az S 1 \ S euklid´eszi-ny´ılt halmazban nincs teljes ir´any. Be akarjuk l´atni, hogy G = S 1 \ S-b˝ol hi´anyzik teljes ir´any. G euklid´eszi-ny´ılt k¨or´ıvek u ´ ni´oja, egy ilyen k¨or´ıv v´egpontja:x nem eleme G-nek. Ha a vele ´atellenes −x pont sem eleme G-nek akkor k´esz vagyunk. Ha −x ∈ G, akkor egy kis k¨ornyezete is, ´am ekkor l´atszik, hogy lenne teljes ir´any G-ben ami ellentmond a felt´etel¨ unknek. 4.7. K¨ ovetkezm´ eny. Ha nem jelenik meg diszkr´et alt´er egyenesen, akkor l´etezik olyan egyenes ahol az euklid´eszi topol´ ogia jelenik meg.
4.1.
Sz´ etv´ alaszthat´ os´ ag- magyar´ azat a defin´ıci´ ora
´ ıt´ 4.8. All´ as. Az R2S topol´ogia mindig T3 . Bizony´ıt´ as: A T2 tulajdons´ag r¨ogt¨on l´atszik. A regularit´as igazol´as´ara legyen F S-z´art ´es x ∈ R2 \ F . Ekkor l´etezik r, ε > 0 amire BS (x, ε, r) ⊆ R2 \ F . Ekkor x ∈ BS (x, 2ε , r2 ) ⊆ cl(BS (x, 2ε , 2r )) ami S-z´art is ´es r´esze BS (x, ε, r)-nek, teh´at F ⊆ R2 \ cl(BS (x, 2ε , r2 )). A k¨ovetkez˝okben egy kicsit megszak´ıtjuk az R2S topol´ogi´ak vizsg´alat´at, ´es kit´er¨ unk arra, hogy mi vezetett arra, hogy a fenti m´oS don defini´aljuk ˝oket. Legyen S ⊆ S 1 -re, r > 0, x ∈ R2 -re BS (x, r) = {[x, x + sr) : s ∈ S}. Ha konkr´etan a bevezet˝oben is le´ırt ”ir´anyokb´ol val´o konvergenci´at” 5
akarjuk ´altal´anos´ıtani, akkor mondhatjuk azt, hogy tetsz˝oleges S ⊆ S 1 re vegy¨ uk azt az fS : P (R2 ) → P (R2 ) hozz´arendel´est, amire H ⊆ R2 -re, fS (H) = {x ∈ R2 : x ∈ H vagy x torl´od´asi pontja az BS (x, r) ∩ H halmaznak (r > 0 tetsz˝oleges), azaz H torl´odik x-hez az S-beli ir´anyokb´ol}. Ha megn´ezz¨ uk, hogy mikor lesz lez´ar´as oper´ator fS , azt l´athatjuk, hogy ehhez ki kell k¨otn¨ unk, hogy S euklid´eszi-ny´ılt legyen. Ekkor egy olyan R2S topol´ogi´at kapunk, amiben G ⊆ R2 ny´ılt, ha minden x ∈ G-re l´etezik r > 0, hogy BS (x, r) ⊆ G. Ez a topol´ogia sok szempontb´ol hasonl´oan viselkedik R2S hez-p´eld´aul a k´es˝obb bel´atott megsz´aml´alhat´os´agi tulajdons´agok bizony´ıt´asai szinte sz´or´ol-sz´ora ism´etelhet˝oek r´ajuk- azonban a T2 tulajdons´agon fel¨ ul m´ar nem lesznek ´altal´aban regul´aris terek- ahogy a kereszt topol´ogia sem az. Ezen u ´ gy jav´ıthatunk, hogy nem egy S halmazt vesz¨ unk, hanem Si ⊆ S 1 : i ∈ ω ny´ılt halmazokat, amire cl(Si+1 ) ⊆ Si ´es G ⊆ R2 (Si )-ny´ılt ha minden x ∈ G-re l´etezik r > 0 ´es i ∈ ω, hogy BSi (x, r) ⊆ G. Ez a defin´ıci´o pontosan azt teszi lehet˝ov´e, hogy minim´alis v´altoztat´asokkal ism´etelj¨ uk az 4.8 ´ All´ıt´as ´ervel´es´et ´es ´ıgy a kapott T t´er T3 . Egy T ilyen defini´al´o (Si ) sorozatnak tekinthetj¨ uk a metszet´et: S = i∈ω Si = i∈ω cl(Si ) z´art halmazt. K¨onnyen bizony´ıthat´o, hogy ha megadunk egy m´asik sorozatot, melynek ugyanez az S halmaz a metszete akkor ugyanazt a topol´ogi´at kapjuk. S˝ot val´oj´aban ez a defin´ıci´o m´ar az R2S topol´ogi´at adja, ahol S ez a metszet.
4.2.
Megsz´ aml´ alhat´ os´ ag
´ ıt´ 4.9. All´ as. Minden S ⊆ S 1 -re, az R2S topol´ ogia M1 . Bizony´ıt´ as: Tetsz˝oleges x ∈ X-re {BS (x; n1 ; m1 ) : n, m ∈ ω} megsz´aml´alhat´o k¨ornyezetb´azis. ´ ıt´ 4.10. All´ as. Minden S ⊂ S 1 -re, ahol S 6= S 1 , az R2S topol´ ogia nem M2 , 2 w(RS ) = c. Bizony´ıt´ as: S 6= S 1 , teh´at l´etezik hi´anyz´o ir´any: x ∈ S 1 \ S. Az ilyen ir´any´ u egyenesen diszkr´et topol´ogia vagy Sorgenfrey-egyenes jelenik meg, ezek s´ ulya kontinuum, teh´at w(R2S ) ≥ c. A {BS (x; n1 ; m1 ) : x ∈ R2 ; n, m ∈ ω} halmazrendszer m´ar c sz´amoss´ag´ u b´azisa a topol´ogi´anak. 4.11. Defin´ıci´ o. A {BS (x; n1 ; m1 ) : x ∈ R2 ; n, m ∈ ω} halmazrendszer elemeit R2S S-b´azisk¨ornyezeteinek nevezz¨ uk. 6
4.12. T´ etel. Az R2S t´er ¨or¨okl˝ od˝ oen Lindel¨ of-tulajdons´ ag´ u, pontosan akkor, ha S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´ any. Bizony´ıt´ as: Ha hi´anyzik teljes ir´any, akkor az olyan ir´any´ u egyenesen az alt´er topol´ogia diszkr´et. A m´asik ir´anyhoz S el´eg S-ny´ılt halmazokra bel´atni az ¨or¨okl˝od´est. Legyen G S-ny´ılt ´es G = {Gi : i ∈ I} S-ny´ılt fed´es. Mivel az S-b´azisk¨ornyezetek b´azisa a topol´ uk, hogy a Gi -k is S-b´azisk¨ornyezetek. AlkalS ogi´anak, feltehetj¨ mazva az i∈I Gi halmazra a 4.3 Lemm´at kapjuk, hogy azon pontok halmaza G-ben, melyek csak S-b´azisk¨ornyezetek k¨oz´eSppontj´aval vannak fedve: G∗ , megsz´aml´alhat´o. Ekkor azonban G \ G∗ ⊆ {int(Gi ) : i ∈ I}, euklid´esziny´ılt fed´es, amire alkalmazhatjuk a Lindel¨of-t´etelt ´es a megsz´aml´alhat´o fed˝o halmazrendszerhez a G∗ -beli pontok Gj S-b´azisk¨ornyezeteit hozz´av´eve egy megsz´aml´alhat´o fed´es´et kapjuk G-nek. 4.13. K¨ ovetkezm´ eny. Az R2S t´er ¨ or¨ okl˝ od˝ oen norm´ alis ha S-b˝ ol nem hi´ anyzik teljes ir´any, hiszen ekkor ¨or¨okl˝ od˝ oen Lindel¨ of-tulajdons´ ag´ u ´es T3 . Trivi´alis tov´abbi k¨ovetkezm´eny, azonban tov´abb er˝os´ıti a kapcsolatot a t´er ´es az egyenesek mint alterek k¨oz¨ott: 4.14. K¨ ovetkezm´ eny. Ha az egyeneseken nem jelenik meg diszkr´et alt´erazaz S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´ any- akkor megsz´ aml´ alhat´ on´ al nagyobb disz2 kr´et alt´er RS -ben sincs az ¨or¨ okl˝ od˝ o Lindel¨ ofs´eg miatt. 4.15. T´ etel. Az R2S t´er ¨or¨okl˝ od˝ oen szepar´ abilis, pontosan akkor, ha az S-b˝ol nem hi´anyzik teljes ir´any. Bizony´ıt´ as: Ha hi´anyzik teljes ir´any, akkor az olyan ir´any´ u egyenesen az alt´er topol´ogia diszkr´et. A m´asik ir´anyhoz a t´er szeparabilit´asa trivi´alis, legyen X ⊆ R2 alt´er. Vegy¨ unk ki egy x1 ∈ X pontot, ez ¨onmag´aban feltehet˝oen nem s˝ ur˝ u. Ezut´an transzfinit rekurzi´oval, ha van m´ar egy H halmazunk ami m´eg nem s˝ ur˝ u X-ben, akkor vegy¨ unk ki egy pontot egy olyan S-ny´ılt halmazb´ol amit nem metszenek H elemei ´es vegy¨ uk ezt hozz´a H-hoz. Minden xα ∈ H pontnak ekkor l´etezik egy Gα S-b´azisk¨ornyezete amire minden β < α-ra xβ ∈ / Gα . Ha ´ıgy kiv´alaszhattunk volna ω1 pontot, akkor l´etezik ezek k¨oz¨ott azonos ε sz´eless´eg˝ u ´es r sugar´ u S-b´azisk¨ornyezettel is megsz´aml´alhat´on´al t¨obb- hiszen 7
az S-b´azisk¨ornyezetek sugara ´es sz´eless´ege az { n1 : n ∈ ω} megsz´aml´alhat´o b halmaz´anak l´etezik k´et kondenz´aci´os pontja: halmazb´ol ker¨ ul ki. Ezek H b xα , xβ ∈ H, k¨ozelebb egym´ashoz mint r/10, ahol feltehetj¨ uk, hogy α > β.
xβ xα
Ekkor xβ ∈ / Gα , azonban xα ∈ Gβ , mivel k¨ozel vannak egym´ashoz ´es nincs hi´anyz´o ir´any. Mivel xβ is kondenz´aci´os pont ´ıgy l´etezik olyan k¨ozel hozz´a b γ > α, amire xα ∈ Gγ hiszen Gγ csak Gβ eltoltja. Ez azonban egy xγ ∈ H, ellentmond a fenti ´eszrev´etelnek.
4.3.
Kompakt alterek
Az R2S t´er kompakt altereit S-kompakt tereknek nevezz¨ uk. Az R2S t´er nem lesz m´eg csak megsz´aml´alhat´oan kompakt sem, viszont a T3 ´es az ¨or¨okl˝od˝o Lindel¨of-tulajdons´ag miatt ¨or¨okl˝od˝oen parakompakt. Az S-kompakts´agnak nem el´egs´eges felt´etele a korl´atoss´ag ´es S-z´arts´ag, erre m´ar mag´an a Sorgenfrey-egyenesen is p´elda az I = [0; 1] intervallum. A kompakts´ag pontos le´ır´as´at a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as adja: ´ ıt´ 4.16. All´ as. A K ⊆ R2 alt´er S-kompakt pontosan akkor, ha euklid´eszi ´ertelemben kompakt ´es minden x ∈ K-ra ´es ε > 0-ra l´etezik r ∈ R amire K ∩ B(x, r) ⊆ BS (x, ε, r). Bizony´ıt´ as: Legyen K S-kompakt. Ekkor K euklid´eszi kompakt is, hiszen minden euklid´eszi ny´ılt fed´es S-ny´ılt fed´es is egyben. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik x ∈ K ´es ε > 0 amire minden n ∈ ω-ra l´etezik xn ∈ K, hogy 8
xn ∈ B(x, n1 ) \ BS (x, ε, n1 ). Ekkor {x, xn : n ∈ ω} S-z´art ´es r´esze K Skompaktnak, teh´at maga is S-kompakt kellene legyen, ´am el´eg kis diszjunkt euklid´eszi k¨ornyezetekkel fedve az xn -eket ´es BS (x, ε, 1)-el x-et, nem lehet kiv´alasztani v´eges r´eszfed´est, ami ellentmond´as. S Most tegy¨ uk fel, hogy K kiel´eg´ıti az ´all´ıt´as felt´eteleit ´es legyen K = i∈Γ Gi egy S-ny´ılt fed´es. R¨ogt¨on feltehet˝o, hogy a fed´esben S-b´azisk¨ornyezetek vannak. Legyen G∗ azon pontok halmaza melyek csak k¨oz´eppontk´ent vannak fedve. Ha |G∗ | v´egtelen lenne, akkor K korl´atoss´aga miatt lenne pont amihez konverg´al euklid´eszi ´ertelemben, ez k ∈ K, hisz K euklid´eszi-z´art. Azonban kellene lennie a felt´etel szerint r ∈ R-nek amire, valamilyen r-sugar´ u Sb´azisk¨ornyezet´eben vannak m´ar K-nak a k-hoz k¨ozeli elemei, azonban ebben nem lehetnek G∗ -beliek. Teh´at G∗ v´eges. Ezeket lefedj¨ uk egyenk´ent, teh´at ∗ el´eg K \ GSeuklid´eszi-kompakt halmazra kiv´alasztani v´eges r´eszfed´est. Erre K \ G∗ = i∈Γ int(Gi ), amire l´etezik v´eges r´eszfed´es, teh´at elhagyva az inteket az eredeti fed´es egy v´eges r´eszfed´es´es´et kapjuk. ´ Erdekes m´odon Sorgenfrey-egyenesen, mint az euklid´eszi topol´ogia finom´ıt´as´an, m´ar nem l´etezik megsz´aml´alhat´on´al nagyobb kompakt alt´er. A mi ´altal´anos eset¨ unkben ezt a k´erd´est tiszt´azza a k¨ovetkez˝o t´etel: 4.17. T´ etel. Pontosan akkor l´etezik K ⊆ R2 S-kompakt, megsz´ aml´ alhat´ on´al nagyobb alt´er, ha az S tartalmaz teljes ir´ anyt. Bizony´ıt´ as: Ha l´etezik teljes ir´any S-ben, akkor az olyan ir´any´ u egyenesen egy euklid´eszi topol´ogia jelenik meg, teh´at l´etezik nagy kompakt alt´er. ´ ıt´as Most tegy¨ uk fel, hogy K egy S-kompakt alt´er, |K| > ℵ0 . Az 4.16 All´ (x) (x) (x) miatt minden x ∈ K-ra l´etezik r1 ∈ Q amire K ∩ B(x, r1 ) ⊂ BS (x, 1, r1 ). L´etezik megsz´aml´alhat´on´al t¨obb K-beli elem ugyanazzal az r1 -el, ezek: H1 ⊂ (x) (x) K. Minden x ∈ H1 -re (s˝ot K-belire is) l´etezik r2 ∈ Q amire K ∩B(x, r2 ) ⊂ (x) BS (x, 21 , r2 ), amik k¨oz¨ ul fix r2 -vel kiv´alaszthat´o megsz´aml´alhat´on´al t¨obb: H2 ⊂ H1 . ´Igy kapjuk a Hi egym´asba skatuly´azott, |Hi | > ℵ0 halmazokat. Ti 1 jel¨ T olje a teljes ir´anyokat B(S, i )-ben, ezek egym´asba ´agyazott halmazok ´es ar S teljes ir´anyainak halmaza. Minden Ti nem u ¨ res, mert v´eve a i∈ω Ti m´ Hi -nek egy kondenz´aci´os pontj´at: y, ekkor ennek a BS (y, 1i , ri ) k¨ornyezet´eben kell lennie pontj´anak Hi -nek: x ´es ekkor az xy ´es yx ir´any r´esze B(S, 1i )-nek. 1 τi legyen a cl(B(S, i+1 )) ⊂ B(S, 1i ) teljes ir´anyainak halmaza.
9
Ekkor 6 τi ⊂ Ti mert 6 T T ∅ = T ∅ = Ti+1 ⊂ τi . Valamint τi z´art, ´es τi+1 ⊆ τi teh´at i∈ω τi 6= ∅ ´es ´ıgy i∈ω τi = i∈ω Ti 6= ∅, amit be akartunk l´atni.
5.
¨ Osszef¨ ugg˝ os´ eg - speci´ alis finom´ıt´ asok
Egy k¨onny˝ u esettel kezdj¨ uk: ´ ıt´ 5.1. All´ as. Ha az R2S t´erben az S tartalmaz teljes ir´ anyt, akkor minden 2 euklid´eszi-ny´ılt euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝ o halmaz RS -ben is ¨ osszef¨ ugg˝ o. Bizony´ıt´ as: Legyen v, −v ∈ S. Az euklid´eszi-topol´ogia egy b´azis´at adj´ak az (a, b) × (c, d) alak´ u intervallumok szorzata, ahol most R2 -et mint egy v-ir´any´ u (a, b) ⊆ ev ´es egy r´a mer˝oleges (c, d) ⊆ e⊥ at tev egyenes szorzat´ kintj¨ uk. El´eg az ilyen T szorzathalmazokra bel´atni az ´all´ıt´ast. Legyen indirekt T = G ∪ H, ahol G, H S-ny´ıltak ´es nem u ¨ resek. x ∈ G-re az x-en ´atmen˝o v-ir´any´ u egyenes metszete T -vel teljes eg´esz´eben r´esze G-nek, hisz az euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o ´es euklid´eszi topol´ogia jelenik meg rajta, teh´at G ´es H nem v´aghatja kett´e. Ez´ert v´eve G ´es H mer˝oleges -azaz v-ir´any´ u⊥ vet¨ ulet´et ev -re: π(G) ´es π(H), azoknak diszjunktnak kell lenni¨ uk. Mivel π(G) ∪ π(H) = π(T ) = (c, d) euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o ´es π(G), π(H) 6= ∅, az ellentmond´ashoz el´eg bel´atni, hogy π(G) ´es π(H) euklid´eszi-ny´ılt. Ez teljesen hasonl´o a k´et esetben, π(G)-re szor´ıtkozunk. Ha x ∈ G, akkor annak egy S-b´azisk¨ornyezete is r´esze G-nek: BS (x, ε, r) ⊆ G, erre az r-re feltehet˝o, hogy B(x, r) ⊆ T egyben. Ekkor π(BS (x, ε, r)) tartalmazza π(x) egy kis k¨ornyezet´et, hisz B{v,−v} (x, ε, r) ⊆ BS (x, ε, r), amire π(B{v,−v} (x, ε, r)) m´ar π(x) k¨oz´eppont´ u ny´ılt intervallum. 5.2. K¨ ovetkezm´ eny. Ha S-b˝ ol nem hi´ anyzik teljes ir´ any, akkor R2S ¨ osszef¨ ugg˝o, ´ ıt´as szerint teljes¨ hiszen 4.6 All´ ul a felt´etel. Megjegyz´ es: K¨onnyen l´athat´o, hogy ha S tartalmaz 2 k¨ ul¨onb¨oz˝o teljes 2 ir´anyt, akkor ´ıvszer˝ uen is ¨osszef¨ ugg˝o RS . Amennyiben feltessz¨ uk m´ar, hogy nem l´etezik teljes ir´any az S-ben, l´athat´oak nem ¨osszef¨ ugg˝o p´eld´ak. Legyen a defini´al´o S olyan, hogy teljes eg´esz´eben egy f´elk¨or´ıvben van, p´eld´aul π-n´el kisebb sz¨og˝ u z´art k¨or´ıv. Ha vesz¨ unk egy 10
olyan ir´any´ u egyenest ami a k¨oz´eppontb´ol ind´ıtva elv´agja ezt a f´elk¨or´ıvet az u ¨ res r´eszt˝ol, akkor v´eve az u ¨ res r´esz fel´e es˝o euklid´eszi ny´ılt f´els´ıkot ´es a marad´ek z´artat, akkor k´et S-ny´ılt r´eszre particion´altuk a teret. Az ¨osszef¨ ugg˝os´eg viszg´alal´at speci´alis finom´ıt´asok bevezet´es´evel folytatjuk. Mint l´atni fogjuk, az ezekre bel´atott ´altal´anosabb ´all´ıt´asokb´ol k¨ovetkeznek m´ar az eddig nem t´argyalt esetek R2S -re. 5.3. Defin´ıci´ o. Vegy¨ unk h´arom, egy ponton egym´ ashoz ragaszott azonos hoszsz´ us´ag´ u szakaszt a s´ıkon, melyek k¨ oz¨ ott van egy kit¨ untetett. A kit¨ untetett szakasszal a m´asik k´et szakasz π-n´el kisebb bez´ art sz¨ oge legyen tompasz¨ og. Ezt ´altal´anos λ-s´em´anak fogjuk nevezni. Amennyiben a kijel¨ olt szakaszra az is igaz, hogy a koordin´at´azott s´ıkon az y tengellyel p´ arhuzamos-f¨ ugg˝ oleges, akkor λ-s´em´anak nevezz¨ uk. 5.4. Defin´ıci´ o. R¨ogz´ıts¨ unk egy Λ0 -al jel¨ olt λ-s´em´ at, ekkor jel¨ olje x ∈ R2 , r > 0-ra Λ0 (x, r) az x k¨oz´eppont´ u, r hossz´ u szakaszokb´ ol ragasztott Λ0 -nak megfelel˝o λ-s´em´at. 5.5. Defin´ıci´ o. Mercedes-topol´ ogia: R2 alaphalmazon, minden Λ0 r¨ ogz´ıtett 2 λ-s´em´ara defini´alunk egy topol´ ogi´ at: G ⊆ R ny´ılt, ha minden x ∈ G-re l´etezik r > 0 amire Λ0 (x, r) ⊆ G. Jel¨ ol´es: (R2 , τΛ0 ) 5.6. Defin´ıci´ o. Kereszt-topol´ ogia (cross-topology): R2 alaphalmazon, G ⊆ R2 ny´ılt, ha minden pontj´aval egy¨ utt tartalmaz egy r´ a illeszked˝ o f¨ ugg˝ oleges ´es v´ızszintes ny´ılt szakaszt. Jel¨ol´es: (R2 , τC ) 5.7. Defin´ıci´ o. Sug´ar-topol´ogia (core-vagy radiolar-topology): R2 alaphalmazon, G ⊆ R2 ny´ılt, ha minden pontj´ aval egy¨ utt minden ir´ anyban tartalmaz olyan ir´any´ u r´a illeszked˝o szakaszt. Jel¨ ol´es: (R2 , τR ). Az ut´obbi k´et topol´ogia vizsg´alt. G. H. Greco [1], Roman Fric [2] a crosstopology ´es radiolar-topology sorazat-rendj´er˝ol (sequential order) ´allap´ıtja meg, hogy ω1 . Greco cikke v´eg´en eml´ıti, hogy a kereszt-topol´ogia els˝o el˝ofordul´as J. Nov´akn´al tal´alhat´o [3]. Fric t¨obb ´altal´anos´ıt´ ast k¨oz¨ol [2] v´eg´en: nem mer˝oleges sz´ar´ u keresztekkel, vagy olyan keresztekkel melyek ”sz´arai” esetleg g¨orb´ek. Strashimir G. Popvassilev ”On the cross topology of the plane” c´ımmel tartott el˝oad´ast egy konferenci´an.
11
Megjegyz´ es: Az el˝obb defini´alt topol´ogi´ak konstrukci´ojukn´al fogva finom´ıtj´ak az euklid´eszi topol´ogi´at. Egyszer˝ u ´eszrev´etel, ha az R2S topol´ogi´aban S tartalmazza az (R2 , τΛ0 )-et defini´al´o λ-s´em´at, akkor R2S -nek finom´ıt´asa (R2 , τΛ0 ). A kereszt-topol´ogi´aban, minden f¨ ugg˝oleges ´es v´ızszintes egyenesen az alt´ertopol´ogia az euklid´eszi, m´ıg m´as egyeneseken a diszkr´et topol´ogia. M´ıg bel´athat´o, hogy a kereszt-topol´ogia nem regul´aris, ha S az a n´egy pont a k¨orvonalon, amit az orig´o k¨oz´eppont´ u k¨orb˝ol v´agnak ki a koordin´atatengelyek, akkor a fent le´ırt tulajdons´aggal rendelkez˝o ´es regul´aris teret kapunk R2S -k´ent. ´ ıt´ 5.8. All´ as. A kereszt-topol´ ogia, egy Mercedes-topol´ ogia ´es a sug´ ar-topol´ ogia p´aronk´ent nem homeomorfak. Bizony´ıt´ as: A kereszt-topol´ogi´aban ´es a Mercedes-topol´ogi´akban tetsz˝oleges x ∈ R2 -re l´etezik olyan megsz´aml´alhat´o {Bi (x) : x ∈ Bi (x), i ∈ ω} halmazrendszer, hogy egy G ⊆ R2 ny´ılt pontosan akkor ha minden x ∈ G-re l´etezik i ∈ ω amire Bi (x) ⊆ G. Ennek a tulajdons´agnak meg kell ˝orz˝odnie homeomorfizmusn´al, azonban ilyen megsz´aml´alhat´o halmazrendszer nincs semelyik pontra sem a sug´ar-topol´ogi´aban. Ahhoz, hogy l´assuk, hogy (R2 , τC ) ´es (R2 , τΛ0 ) nem homeomorfak, vegy¨ uk azt az R2S topol´ogi´at, ahol BS (x, r) = Λ0 (x, r). Ekkor (X, τΛ0 ) finom´ıtja R2S -et, ´ ıt´as szerint nem tartalmaz c sz´amoss´ag´ teh´at mivel R2S 4.17 All´ u kompakt alteret, (X, τΛ0 ) sem tartalmazhat. Ezzel szemben a kereszt-topol´ogi´aban van ekkora kompakt alt´er, teh´at nem lehetnek homeomorfak. T´erj¨ unk vissza az ¨osszef¨ ugg˝os´eghez. 5.9. Defin´ıci´ o. Egy S-(b´azis)k¨ ornyezetet vagy S ⊆ S 1 halmazt ”sz´et´ all´ o”nak nevez¨ unk, ha nem tartalmazza ˝ ot egyetlen ny´ılt f´elk¨ orlap/f´elk¨ or´ıv sem. P´eld´aul minden λ-s´ema sz´et´all´o vagy az olyan S ⊆ S 1 -ek melyek tartalmaznak teljes ir´anyt. A fejezet elej´en tett ´eszrev´etel¨ unk az u ´ j fogalommal: ´ ıt´ 5.10. All´ as. Ha S nem sz´et´ all´ o, akkor R2S nem ¨ osszef¨ ugg˝ o.
12
C´elunk azt bel´atni, hogy ha S sz´et´all´o, akkor R2S ¨osszef¨ ugg˝o. 5.11. Lemma. Ha S ⊆ S 1 nem tartalmaz teljes ir´ anyt ´es sz´et´ all´ o, akkor tartalmaz ´altal´anos λ-s´em´at. Bizony´ıt´ as: Vegy¨ unk egy v ∈ S-t, ´es a v norm´alvektor´ u egyenessel hat´arolt ny´ılt f´elk¨orlapot. Ennek tartalmaznia kell egy u ∈ S ir´anyt, feltehetj¨ uk a szimmetria miatt, hogy a u cv ´ıv r¨ovidebb vc u-n´al. Tekints¨ uk az S-beli ir´anyok szupr´emum´at u-t´ol −v fel´e-negat´ıv ir´anyban, ez w ∈ S, hisz S z´art. w 6= −v mert feltett¨ uk, hogy S nem tartalmaz teljes ir´anyt. u
w −v
v
s −w
−u
Mivel S metszi a w ´altal hat´arolt, w-t˝ol negat´ıv ir´anyba es˝o ny´ılt f´elk¨or´ıvet, [ l´etezik itt s ∈ S. Ez nincs a − vw ´ıven, teh´at egy ´altal´anos λ-s´em´at kaptunk w, v, s-el ahol a kijel¨olt cs´ ucs s elhelyezked´es´et˝ol f¨ ugg. 5.12. K¨ ovetkezm´ eny. Mivel a forgat´ as homeomorfizmus, feltehetj¨ uk, hogy 2 ha RS -ben S sz´et´all´o ´es nem tartalmaz teljes ir´ anyt, akkor az S tartalmaz λ-s´em´at. A Mercedes-topol´ogia ny´ılt halmazait M-ny´ıltnak r¨ovid´ıtj¨ uk, A halmazra A az euklid´eszi ´ertelemben vett torl´od´asi pontok halmaza. ′
5.13. T´ etel. Tetsz˝oleges defini´ al´ o Λ0 λ-s´em´ ara, az (R2 , τΛ0 ) Mercedes-topol´ogi´aban ¨osszef¨ ugg˝o minden euklid´eszi-ny´ılt euklid´eszi-¨ osszef¨ ugg˝ o halmaz.
13
Bizony´ıt´ as: Legyen T = G ∪ H euklid´eszi-ny´ılt euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o halmaz ahol G, H nem¨ ures M-ny´ılt halmazok, ellentmond´asra akarunk lyukadni. ∗ Legyen G = G \ int(G) ´es H ∗ = H \ int(H), azon pontok melyeknek nincs euklid´eszi k¨ornyezet¨ uk G-ben illetve H-ban. (1) Bel´atjuk els˝ok´ent, hogy G∗ ⊆ (H ∗ )′ ´es H ∗ ⊆ (G∗ )′ : a bizony´ıt´as a k´et esetben szimmetrikus, az els˝o esetre szor´ıtkozunk. G∗ ⊆ (H)′ defin´ıci´ob´ol k¨ovetkez˝oen, de tegy¨ uk fel, hogy csak int(H) torl´odik egy g ∈ G∗ -beli ponthoz, azaz l´etezik r > 0, hogy B(g, r) ∩ H ∗ = ∅. Feltehet˝o, hogy erre az r-re B(g, r) ⊆ T ´es Λ0 (g, r) ⊆ G. K¨onnyen l´athat´oan l´etezik olyan x ∈ int(H) ∩ B(g, r), ami olyan k¨ozel van g-hez, hogy x-en ´atmen˝o λs´emabeli ir´any´ u egyenes metszi Λ0 (g, r) ⊆ G-t egy y ∈ G pontban, ´es az egyenesen olyan Sorgenfrey-egyenes jelenik meg, amiben [y, x) ny´ılt- ahhoz, hogy a metsz´es l´etezzen kihaszn´aljuk a sz´et´all´ast. ⊆T y
z x ∈ int(H)
g∈G
∗
Tekints¨ uk ekkor a G-beli pontok szupr´emum´at x-fel´e az [y, x) f´elegyenesen, legyen ez a pont: z ∈ T . Ekkor z nem lehet H-ban, hisz akkor H euklid´eszi belsej´eben van, de ehhez torl´odnak G-beli pontok. Ha viszont z ∈ G, akkor mivel ennek egy λ-k¨ornyezete r´esze G-nek ´es az egy x-fel´e ny´ ul´o szakaszban ∗ metszi [y, x)-et, nem lehetne szupr´emum. Ezzel bel´attuk: G ⊆ (H ∗ )′ . (2) G∗ , H ∗ 6= ∅ ´es G∗ ∪ H ∗ euklid´eszi-z´art: nem lehetnek u ¨ resek mind a ketten, mert T euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o. Ha az egyik nem u ¨ res, a m´asik sem lehet u ¨ res (1) miatt. A z´arts´ag trivi´alis. (3) Az ellentmond´as: legyen x1 ∈ G∗ -l´etezik (2) miatt, Λ0 (x1 ; r1 ) ⊆ G ´es erre az r1 -re feltehet˝o, hogy B(x1 , r1 ) ⊆ T . L´etezik r1 > s1 > 0, amire minden x ∈ B(x1 ; s1 ) ∩ H ∗ -ra legfeljebb r1 /2 sugar´ u λ-k¨ornyezete lehet r´esze H-nak, k¨ ul¨onben a r´a illeszked˝o λ-s´ema metszen´e az x1 -re illeszked˝o G-beli λ-s´em´at- er˝osen haszn´aljuk a λ-s´ema sz´et´all´as´at. Legyen x2 ∈ B(x1 ; s1 )∩H ∗ , 14
ami l´etezik (1) miatt, legyen Λ0 (x2 ; r2 ) ⊆ H ∩ B(x1 ; s1 ) ´es a felt´etel szerint r2 < r1 /2. L´etezik r2 > s2 > 0, amire minden x ∈ B(x2 ; s2 )∩G∗ -ra legfeljebb r2 /2 sugar´ u λ-k¨ornyezete lehet r´esze G-nek, k¨ ul¨onben a r´a illeszked˝o λ-s´ema metszen´e az x2 -re illeszked˝o H-beli λ-s´em´at. Legyen x3 ∈ B(x2 ; s2 ) ∩ G∗ ´es Λ0 (x3 ; r3 ) ⊆ G ∩ B(x2 ; s2 ), r3 < r2 /2 < r1 /4. Indukci´oval defini´aljuk tov´abb az {xi }i∈ω sorozatot hasonl´oan felv´altva G∗ ´es H ∗ -b´ol. Ezek egy Cauchysorozatot alkotnak, hat´ar´ert´ek¨ uk: x ∈ G∗ ∪ H ∗ , hisz G∗ ∪ H ∗ euklid´eszi z´art. Azonban az x egyikben sem lehet benne, hisz semmilyen pozitiv sugar´ u λk¨ornyezete nem lehet G-ben, sem H-ban, hiszen x ∈ B(xi , si ) ami tiltja hogy r1 /2i -n´el nagyobb lehessen ez a k¨ornyezet. Ennek k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enyek´ent, ¨osszefoglalva: 5.14. T´ etel. Az R2S topol´ogia pontosan akkor ¨ osszef¨ ugg˝ o, ha S sz´et´ all´ o. Ha 2 S sz´et´all´o, akkor az RS topol´ ogi´ aban ¨ osszef¨ ugg˝ o minden euklid´eszi-ny´ılt euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o halmaz. Bizony´ıt´ as: Ha S nem sz´et´all´o, akkor nem ¨osszef¨ ugg˝o. Ha S sz´et´all´o ´es tar´ ıt´asban. Ha S sz´et´all´o talmaz teljes ir´anyt akkor l´attuk a bizony´ıt´ast 5.1 All´ ´es nem tartalmaz teljes ir´anyt akkor tartalmaz λ-s´em´at 5.11 Lemma szerint, teh´at finom´ıtja egy Mercedes-topol´ogia, amire 5.13 T´etel igazolja az ´all´ıt´ast, teh´at R2S -ben is ¨osszef¨ ugg˝o lesz minden euklid´eszi-ny´ılt euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o halmaz. Tov´abbi k¨ovetkezm´eny, hogy a sug´ar-topol´ogia is ¨osszef¨ ugg˝o, hisz annak tetsz˝oleges Mercedes-topol´ogia a finom´ıt´asa. Idef˝ uz¨ unk m´eg egy egyszer˝ u ´es ´ az 5.1 All´ıt´ashoz nagyon hasonl´o ´eszrev´etelt: ´ ıt´ 5.15. All´ as. A kereszt-topol´ ogi´ aban ¨ osszef¨ ugg˝ o minden euklid´eszi-ny´ılt, euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o halmaz. Bizony´ıt´ as: Legyen T = G ∪ H euklid´eszi-ny´ılt, euklid´eszi-¨osszef¨ ugg˝o halmaz felbont´asa k´et kereszt-ny´ılt halmazra. Ha x ∈ G, akkor l´etezik r > 0 amire feltehet˝o, hogy B(x, r) ⊆ T ´es a K: 2r-´atmer˝oj˝ u x k¨oz´eppont´ u kereszt is r´esze G-nek. G minden pontj´ara az azon ´atmen˝o v´ızszintes T beli szakasznak G-ben kell lennie, hisz azon euklid´eszi topol´ogia jelenik meg. Ezt alkalmazva K f¨ ugg˝oleges sz´ar´ara, kapjuk, hogy B(x, r) ⊆ G, teh´at G euklid´eszi ny´ılt. Hasonl´oan H-nak is euklid´eszi-ny´ıltnak kell lennie. 15
Teh´at a k´et halmaz egyike u ¨ res, amit be akartunk l´atni. Megjegyz´ es: V´eg¨ ul ´erdekes tulajdons´aga mind a Mercedes-topol´ogi´aknak, mind a teljes ir´anyt nem tartalmaz´o de sz´et´all´o S-el defini´alt R2S topol´ogi´aknak, hogy ¨osszef¨ ugg˝oek, ´am minden egyenes ment´en teljesen ¨osszef¨ ugg´estelenekhiszen ott diszkr´et topol´ogia, vagy Sorgenfrey-egyenes jelenik meg.
6. 6.1.
K´ erd´ esek, probl´ em´ ak Lek´ epez´ esek
A t´erbe men˝o lek´epez´esek vizsg´alat´aval tiszt´azhat´o lenne az eddig nem igaz´an vizsg´alt ´ıvszer˝ uen ¨osszef¨ ugg˝os´eg is tal´an. Ak´ar csak ”sz´ep” esetekben, miket mondhatunk a terek ¨onmagukra men˝o folytonos lek´epez´eseir˝ol? Ezen az ir´anyon haladva jutunk a k¨ovetkez˝o, tal´an legterm´eszetesebben felmer¨ ul˝o k´erd´eshez:
6.2.
Homeomorfizmusok
Az R2S topol´ogi´akat sz´etv´alaszottuk p´ar oszt´alyra kompakt alterek sz´amoss´aga, ¨osszef¨ ugg˝os´eg vagy megsz´aml´alhat´os´agi tulajdons´agokkal. Ezen t´ ul nem siker¨ ult egyel˝ore t¨obbet bel´atni arr´ol, hogy mikor nem homeomorf k´et S-topol´ogia. ´Igy azt sem l´atjuk, hogy val´oj´aban h´any teret is defini´altunk pontosan a fentiekben. Bizonyos tov´abbi speci´alis eseteket m´ar siker¨ ult sz´etv´alasztani ´es ezzel legal´abb azt bel´atni hogy v´egtelen sok teret defini´altunk. ´ ıt´ 6.1. All´ as. Ha S, T ⊆ S 1 sz´et´ all´ o, ¨ osszef¨ ugg˝ os´egi komponenseik sz´ ama v´eges ´es elt´er˝o, akkor R2S ´es R2T nem homeomorfak. Bizony´ıt´ as: Legyen S-nek s darab, T -nek t darab ¨osszef¨ ugg˝os´egi komponense, s < t feltehet˝o. Az S-b´azisk¨ornyezetek egy olyan ny´ılt B b´azis´at adj´ak R2S -nek, melyben a k¨ornyezetek k¨oz´eppontj´at elhagyva azok s darab nem¨ ures euklid´eszi-ny´ılt, teh´at ¨osszef¨ ugg˝o halmazra esnek sz´et. M´as pontj´at elhagyva a k¨ornyezeteknek ¨osszef¨ ugg˝o marad a halmaz. Ezt a b´azist egy ϕ homeomorfizmusnak egy olyan ϕ(B) ny´ılt b´azis´aba kellene vinnie R2T -nek, 16
ahol hasonl´oan a k¨oz´eppontok k´epeit elhagyva s darab nem¨ ures ¨osszef¨ ugg˝o ´ halmazra esnek sz´et a k´epek- m´as pontot elhagyva nem esnek sz´et. All´ıtsunk el˝o egy tetsz˝oleges BT (x, ε, r) T -b´azisk¨ornyezetet mint ϕ(B)-beli halmazok uni´oj´at, ´es tekints¨ uk azt az U = ϕ(BS (y, δ, s)) ∈ ϕ(B) halmazt amire x ∈ U. Ekkor x-nek egy T -b´azisk¨ornyezete is r´esze U-nak mert T -ny´ılt. Emiatt azonban x-et elhagyva U-b´ol U legal´abb t darab nem¨ ures ¨osszef¨ ugg˝o r´eszre esik sz´et, ami ellentmond annak, hogy az ˝osk´epe a homeomorfizmusn´al tetsz˝oleges pont elhagy´as´aval csak s darabra, vagy nem eshetett sz´et. Emiatt az ´all´ıt´as miatt m´ar l´atjuk, hogy ha S v´eges, akkor k¨ ul¨onb¨oz˝o elemsz´amra k¨ ul¨onb¨oz˝o topol´ogi´akat kapunk. M´ar azt is ´erdekes lenne bel´atni, hogy a v´eges S-ekre, ha elt´er˝o sz´am´ u ir´anyon jelenik meg Sorgenfrey-egyenes ´es euklid´eszi-topol´ogia akkor nem lehetnek homeomorfak a terek.
6.3.
D-tulajdons´ ag
Egy (X, τ ) topol´ogikus t´er D-t´er, ha minden U : X → τ k¨ ornyezethozz´arendeS l´eshez l´etezik D ⊆ X diszkr´et, z´art halmaz amire X = x∈D U(x). Be lehet l´atni, hogy minden metrikus t´er D-tulajdons´ag´ u ´es a Sorgenfrey-egyenes is. Azonban ismeretlenek olyan alapvet˝o k´erd´esekre a v´alaszok, hogy minden Lindel¨of vagy parakompakt t´er D-tulajdons´ag´ u-e. K¨orben´ezve a t´em´aban ´ırt cikkek k¨oz¨ott, nem volt olyan el´egs´eges felt´etel ami implik´alta volna, hogy az R2S terek a trivi´alis esett˝ol eltekinte D-terek lettek volna, vagy sem. Ha nem is a f˝o k´erd´es megv´alaszol´as´at, de szeml´eletes nem D-tereket kaphatunk esetleg a kev´esb´e ”sz´ep” S-ekre.
6.4.
Nagy kompakt alterek elhelyezked´ ese
Tekints¨ unk olyan R2S -eket, amikor T ⊆ S teljes ir´anyok halmaza nem u ¨ res, 1 azaz l´etezik c-sz´amoss´ag´ u kompakt alt´er (S 6= S ). L´eteznek-e nem trivi´alis ¨osszef¨ ugg˝o kompakt alterek, azaz olyanok, melyek nem T -beli ir´any´ u egyenesek u ´ ni´oj´anak kompakt alterei? Ha p´eld´aul nem l´etezn´enek, akkor kor´abbi megjegyz´es¨ unk ´ertelm´eben R2S u ´ t¨osszef¨ ugg˝o pontosan akkor, ha S-ben legal´abb 2 teljes ir´any van.
17
6.5.
T¨ obbdimenzi´ os ´ altal´ anos´ıt´ as
A konvergencia ir´anyok menti megszor´ıt´as´anak ¨otlete, minden probl´ema n´elk¨ ul ´ ´altal´anos´ıthat´o magasabb dimenzi´os euklid´eszi terekre. Erdekes lenne megvizsg´alni, hogy az itt bev´alt egyszer˝ u karakteriz´aci´oja a tulajdons´agoknak az alterekkel m˝ uk¨odne-e, a megfelel˝o v´altoztat´asokkal.
7.
Referenci´ ak
[1] Greco, Gabriele H. The sequential defect of the cross topology is ω1 . Topology Appl. 19 (1985), no. 1, 91–94. [2] Fric, Roman On plane topologies with high sequential order. Comment. Math. Univ. Carolin. 31 (1990), no. 1, 33–36. [3] J.Nov´ak Induktion partiell stetiger Funktionen, Math. Ann, 118 (1942) 449-451.
18
