SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE NIKIFOROV-UVAROV

TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh JEFFRY HANDHIKA S911008005

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 commit to user

i


digilib.uns.ac.id


TESIS Oleh: JEFFRY HANDHIKA S911008005 Komisi

Nama

Tanda Tangan

Tanggal

............................

.....................

...............................

.......................

Pembimbing Pembimbing I

Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003

Pembimbing II

Drs. Cari, MA. Ph. D NIP. 19610306 198503 1 002

Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal..............................................2012 Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pasca Sarjana UNS

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002 commit to user

ii


digilib.uns.ac.id


TESIS Oleh: JEFFRY HANDHIKA S911008005 Tim Penguji Jabatan

: Nama

Tanda tangan

Tanggal

Ketua

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002

......................

.................

Anggota Penguji I

Dra. Suparmi, MA. Ph.D NIP. 19520915 197603 2 003

......................

.................

II

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002

......................

.................

Sekertaris

Telah dipertahankan didepan penguji Dinyatakan telah memenuhi syarat Pada tanggal.................................2012

Direktur Program Pascasarjana

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S. NIP. 19610717 198601 1 001

Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D commit to user

iii

NIP. 19610306 198503 1 002


digilib.uns.ac.id

PERNYATAAN ORISINILITAS DAN PUBLIKASI TESIS

Saya menyatakan dengan benar-benar bahwa 1. Tesis yang berjudul “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ ini adalah karya penelitian saya sendiri dan tidak terdapat karya ilmiyah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan serta daftar pustaka. Apabila ternyata di dalam naskah Tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-unsur jiplakan, maka saya bersedia Tesis beserta gelar MAGISTER saya dibatalkan serta diperoses sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang berlaku (UU No. 20 Tahun 2003, pasal 25 ayat 2 dan pasal 70). 2. Publikasi sebagian atau keseluruhan isi Tesis pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyatakan tim pembimbing sebagai author dan PPs UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (6 bulan sejak pengesahan Tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan

Tesis

ini,

maka

Prodi

Ilmu

Fisika

PPs

UNS

berhak

mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran ketentuan dari publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, ........................................2012

Jeffry Handhika S911008005

. commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTTO YAKIN USAHA SAMPAI

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan kepada: Almarhum Bapak dan Ibuk Tercinta.

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. “Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial PöschlTeller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov“ Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D Tujuan Penelitian ini adalah (1) menentukan tingkat energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi Coloumb plus PochlTeller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I (2) Visualisasi fungsi gelombang dan tingkat energi potensial non sentral hasil kombinasi hasil kombinasi Coloumb plus Pochl-Teller I dan potensial Eckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentral merupakan model potensial yang digunakan untuk menerangkan fenomena gaya inter moleculer dan vibrasi molekul. Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulai bulan September 2011-Juni 2012. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger adalah metode Nikivorof-Uvarof (NU). Prinsip dasar metode NU adalah mengubah bentuk persamaan Schroodinger ke dalam bentuk persamaan hipergeometri khusus. Bentuk persamaan hipergeometri khusus tersebut kemudian diselesaikan dengan metode NU. Hasil penelitian ini adalah (1) Spektrum Energi, fungsi gelombang diperoleh secara eksak. Fungsi gelombang bagian radial dan polar dinyatakan dalam bentuk polinomial Jacobi. Persamaan gelombang dan tingkat energi yang diperoleh dengan metode NU memberikan hasil yang sama dengan metode Hipergeometri. (2) Fungsi gelombang divisualisasikan menggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coulomb plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitodo gelombang polar membesar dan energi ikat elektron mengecil. Potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Potensial Pöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsi gelombang polar membesar dan energi ikat partikel mengecil. Kata kunci : Metode Nikiforov-Uvarov, Potensial Coloumb, Potensial Eckart, Potensial Pöschl-Teller I non sentral.

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For NonCentral Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University Sebelas Maret Surakarta. Advisor (1). Dra. Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination Coloumb Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations. This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type function hypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method. The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica 8.0. Potential Non-central fromed by combination of Colombic and Pöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potential fromed by combination of Eckart and Pöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart, Pöschl-Teller I potential non-central

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirobbil’alamiin, syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan laporan penelitian dengan judul ”Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Potensial Non Sentral Kombinasi Potensial Coulomb, Eckart Plus Potensial Pöschl-Teller I Menggunakan Metode Nikiforov-Uvarov”. Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan penulisan laporan penelitian ini penulis mengalami berbagai kendala yang tidak mudah dipecahkan karena keterbatasan dan kemampuan penulis. Dan penulis menyadari bahwa dalam penelitian dan penyusunan karya ini tidak bisa lepas dari bantuan berbagai pihak. Dengan rasa tulus ikhlas penulis mengucapkan terima kasih serta penghargaan yang setinggi-tingginya kepada: 1.

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sebelas Maret yang telah berkenan memberikan bantuan berupa segala sarana dan fasilitas dalam menempuh pendidikan pascasarjana

2.

Drs. Cari, M.A, M.Sc, Ph.D selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjan Universitas Sebelas Maret.

3.

Ibu Dra. Suparmi, M.A, Ph.D selaku pembimbing I yang telah memberikan motivasi, bimbingan, arahan, ide dalam penyusunan laporan penelitian ini

4.

Teman-teman S2 Ilmu Fisika, Bidang Teori dan Komputasi. Dalam penyusunan Thesis ini, penulis menyadari bahwa masih terdapat

banyak kekurangan baik dalam isi maupun cara penyajian materi. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan di masa datang. Semoga laporan penelitian ini dapat memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya. Surakarta, Agustus 2012

Penulis commit to user

viii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. “SolusiPersamaan Schrodinger UntukPotensial Non SentralHasilKombinasiPotensial Coulomb, Eckart Plus PotensialPöschlTeller I MenggunakanMetodeNikiforov-Uvarov“ Tesis: Program PascasarjanaIlmuFisikaUniversitasSebelasMaret Surakarta. Pembimbing (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Cari, MA. M.Sc. Ph.D TujuanPenelitianiniadalah (1) menentukantingkatenergidanfungsigelombangdarisistempotensial Non sentralhasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus PochlTeller I (2) Visualisasifungsigelombangdantingkatenergipotensial non sentralhasilkombinasihasilkombinasiColoumb plus Pochl-Teller I danpotensialEckart Plus Pochl-Teller I. Potensial non sentralmerupakan model potensial yang digunakanuntukmenerangkanfenomenagayainter moleculerdanvibrasimolekul. Penelitianinimerupakanstudiliteratur yang dilakukan di pascasarjana UNS mulaibulan September2011-Juni 2012.Metode yang digunakandalammenyelesaikanpersamaanSchroodingeradalahmetodeNikivorofUvarof (NU).Prinsipdasarmetode NU adalahmengubahbentukpersamaanSchroodingerkedalambentukpersamaanhipergeo metrikhusus.Bentukpersamaanhipergeometrikhusustersebutkemudiandiselesaikan denganmetode NU. Hasilpenelitianiniadalah (1) SpektrumEnergi, fungsigelombangdiperolehsecaraeksak.Fungsigelombangbagian radial dan polar dinyatakandalambentukpolinomial Jacobi.Persamaangelombangdantingkatenergi yang diperolehdenganmetode NU memberikanhasil yang samadenganmetodeHipergeometri. (2) Fungsigelombangdivisualisasikanmenggunakan Software Matematica 8.0. Potensial non sentralhasilkombinasipotensial Coulomb plus PotensialPöschlTeller I menyebabkanamplitodogelombang polar membesardanenergiikatelektronmengecil.Potensial non sentralhasilkombinasiEckart plus PotensialPöschl-Teller I menyebabkan amplitude fungsigelombang polar membesardanenergiikatpartikelmengecil. Kata kunci :MetodeNikiforov-Uvarov, PotensialColoumb, PotensialEckart, PotensialPöschl-Teller I non sentral.

commit to user


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Jeffry Handhika. S911008005. "Solution of Schrodinger Equation For NonCentral Potential combination of Coulomb, Eckart Plus Pöschl-Teller I Using the Nikiforov-Uvarov Method" Thesis: Physical Science Graduate Program of University SebelasMaret Surakarta. Advisor (1).Dra.Suparmi, MA. Ph.D, (2) Drs. Find, MA. M.Sc. Ph.D The purpose of this research were to determine (1) the energy levels and wave functions for the system of non-central potential plus the combination ColoumbPochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I (2) Visualization of the wave functions and energy levels of non-central potential combination of the results of the combination Coloumb plus Pochl-Teller I and Eckart potential Pochl Plus-Teller I. Non-central potential is a potential model used to explain the phenomenon of inter moleculer and molecular vibrations. This research was literature study at pascasarjana UNS conducted from September 2011-June 2012. The method used to solving Schroodinger equations was the Nikivorof -Uvarof (NU) Method. The basic principle NU method was basebd on change of the Schroodinger equation form of type functionhypergeometric. Special form of the hipergeometric equation solved by the NU method. The results of this reaserch were (1) Energy spectra and wave functions obtained were exact. Wave function of the radial and polar expressed in terms of Jacobi polynomials. Wave equation and the energy levels obtained by the NU method gave the same results with the hypergeometric method. (2) wave function was visualized using Matematica8.0. Potential Non-central fromed by combination of ColombicandPöschl-Teller I causes polar wave amplitode enlarged and electron binding energy decreases. Non-central potentialfromed bycombination of EckartandPöschl-Teller I potential causes polar amplitude wave functions enlarged and binding energy of the particles decreases. Key words: Shroodinger Equation, Nikiforov-Uvarov method, Coloumb Potential, Potential Eckart,Pöschl-Teller I potential non-central

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Masalah “Newtonian mechanics and Maxwell's theory of the electromagnetic (EM)

field were the pillars of physics until the end of the nineteenth centur” (Galindo and Pascual:1990). Fisika yang berkembang sampai akhir abad ke 19 dikenal sebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama yaitu mekanika klasik Newtonian dan teori medan elektromagnetik. Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel sebagai sesuatu yang terkurung di dalam ruang. Istilah terkurung secara sederhana dapat dikatakan adanya batas yang jelas antara materi dengan lingkungan di luar dirinya. Hasil eksperimen menunjukkan bahwa “konsep-konsep fisika yang berdasarkan hukum-hukum Newton tidak bisa digunakan untuk menjelaskan hasil eksperimen sehingga diperlukan konsep baru yang tidak sama dengan fisika klasik” (Beiser, 1992). Pada tahun 1925-1926, E. Schrödinger menyatakan bahwa “perilaku elektron, termasuk tingkat spektrum energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang” (Greiner, 1989). Mekanika kuantum sangat berguna untuk menjelaskan perilaku atom dan partikel subatomik seperti proton, neutron dan elektron yang tidak mematuhi hukumhukum fisika klasik. Atom biasanya digambarkan sebagai sebuah sistem di mana elektron (yang bermuatan listrik negatif) beredar seputar nukleus atom (yang bermuatan listrik positif). Menurut mekanika kuantum, ketika sebuah elektron commit to user

1

2 digilib.uns.ac.id


berpindah dari tingkat energi yang lebih tinggi (misalnya dari n=2 atau kulit atom ke-2 ) ke tingkat energi yang lebih rendah (misalnya n=1 atau kulit atom tingkat ke-1), energi berupa sebuah partikel cahaya yang disebut foton, dilepaskan. Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger (PS). PS sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara konsepsional dan matematis. Spektrum energi dan fungsi gelombang suatu partikel dapat ditentukan dengan menyelesaikan PS. “Spektrum energi dan fungsi gelombang digunakan untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel” (Griffith, 1994). PS untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial dimana spektrum energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi PS menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi

Hermite,

Legendre,

Laguerre,

hypergeometric

atau

confluent

hypergeometric dengan substitusi variabel yang sesuai. Namun diantara fungsifungsi tersebut, “hanya persamaan diferensial fungsi Hypergeometric atau Confluent Hypergeometric (H-CH) yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial fungsi yang lain dapat direduksi menjadi persamaan diferensial H-CH”. (Suparmi, 1994). Penyelesaian PS secara eksak untuk sistem potensial tertentu mempunyai peranan yang penting dalam Mekanika Kuantum, karena dapat memberikan informasi tentang spektrum energi dan fungsi gelombang sistem yang terkait. Tidak semua bentuk dari PS memenuhi kriteria sebagai acuan pemecahan masalah, hanya beberapa potensial yang mungkin bisa dipecahkan secara eksak. Potensial-potensial yang dapat dipecahkan adalah suatu commit to user


3 digilib.uns.ac.id

permasalahan yang menarik dalam mekanika kuantum itu sendiri. Adapun potensial-potensial yang memiliki fungsi gelombang yang ternormalisasi dan memiliki spektrum tingkat energi adalah osilator harmonik, Coloumb, osilator isotropik, Morse, Pöschl–Teller, Rosen Morse, simetrical top. Bentuk-bentuk potensial tersebut secara umum digambarkan dalam bentuk fungsi-fungsi aljabar yang telah dikenal seperti polynomial, ekponensial, atau besaran trigonometri. Potensial – potensial tersebut dianalisis dalam bentuk spektrum energi dan fungsi gelombangnya (Dehesa and Sokorin, 2005). Pengkajian analitik tentang potensial sentral telah banyak dilakukan, Pengkajian yang lebih komplek dan spesifik dari mekanika kuantum adalah potensial non central. Potensial non-central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi). Secara umum potensial non sentral diperoleh dengan mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial dan dan sudut yang dapat dipisahkan. Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi (J. Sadeghi, B. Pourhassan:2008), Operator (Ikhdair, S. M :2011), supersimetri mekanika kuantum

(Suparmi:1994), dan path integral (Grosche, C:2005) yang masih terus dikembangkan sampai saat ini. Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode Nikivorof Uvarof (NU), PS untuk potensial Pöschl– Teller II (Hiperbolik) dan Modifikasi Kratzer non-sentral. Berdasarkan hasil penelitian analitik (S. Bakkeshizadeh, V. Vahidi:2012), disimpulkan bahwa Metode commit to user

4 digilib.uns.ac.id


NU sangat cocok untuk digunakan menentukan solusi dalam menyelesaikan PS untuk potensial non sentral. Metode NU mereduksi PS bergantung waktu menjadi persamaan umum hipergeometri. Energi Nilai Eigen dan fungsi eigen dihitung secara eksak. Pada penelitian ini kami menggunakan potensial Coloumb dan Eckart dengan faktor sentrifugal yang diganggu dengan potensial kuadrat Pöschl– Teller I. Kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan potensial Pöschl–Teller I menghasilkan potensial non-sentral. . Hasil fungsi gelombang dan probabilitas potensial Non Central yang dijabarkan dengan metode NU dan digambarkan dalam bentuk simulasi komputasi. Aplikasi fisika kuantum dalam potensial non-sentral dapat digunakan sebagai dasar penelitian fisika material dalam mengkombinasikan jenis komposisi bahan. Setiap bahan pasti mengandung potensial tertentu, ketika dua bahan dikombinasikan, maka akan memberikan karakeristik bahan baru dan juga potensial baru. Dengan mengetahui karakteristik potensial masing-masing bahan dan karakteristik potensial setelah dikombinasikan secara teoritik, tingkat energi dari bahan tersebut dapat dihitung, sehingga proses pengkombinasian bahan tidak terkesan “try and error”. Berdasarkan uraian diatas, kami mengambil judul penelitian Solusi Persamaan Schrödinger untuk Potensial non sentral hasil kombinasi Potensial Coloumb, Eckart plus Potensial Pöschl–Teller I non-sentral dengan Menggunakan Metode Nikivorof-Uvarov. . commit to user

5 digilib.uns.ac.id


B. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan tiga perumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I dengan menggunakan metode NU? 2. Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi potensial Eckart dengan faktor sentrifugal plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU? 3. Bagaimana bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi ?

C. Tujuan Penelitian Terdapat tiga tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu untuk mengetahui: 1. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I non-sentral dengan menggunakan metode NU. 2. Bentuk penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial Eckart dengan

faktor

sentrifugal plus

Pöschl–Teller I

non-sentral dengan

menggunakan metode NU. 3. Bentuk visualisasi fungsi gelombang sudut 2 dimensi dan 3dimensi. commit to user

6 digilib.uns.ac.id


D. Batasan Masalah Agar pembahasan masalah dalam penelitian ini lebih terarah maka peneliti mengajukan tiga pembatasan masalah sebagai berikut : 1. Potensial yang dianalisis adalah Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl– Teller I non-sentral. 2. Software yang digunakan adalah Matematica 8.0 3. Analisis simetri gelombang tidak dikaji, pengkajian ditekankan pada penagruh parameter terhadap fungsi gelombang dan energi. 4. Analisis gangguan dikaji hanya pada pengaruh parameter.

E. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Manfaat secara teori a. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb, Eckart dengan faktor sentrifugal plus Potensial Pöschl–Teller I dapat diselesaikan menggunakan metode NU. b. Memberikan informasi dampak parameter terhadap fungsi gelombang dan energi. c. Memberikan Informasi bentuk dan visualisasi persamaan gelombang dan energi dalam koordinat tuga dimensi (Bola) maupun dua dimensi (Polar). d. Menjelaskan

bentuk-bentuk

potensial

secara

parameternya dengan menggunakan manipulasi. commit to user

visual

beserta

dampak

7 digilib.uns.ac.id


2. Manfaat bagi Penulis a. Memberikan pengetahuan baru tentang potensial non sentral b. Menambah khasanah keilmuan di bidang Fisika Teori, c. Memperkuat pemahaman mekanika kuantum secara teoritis maupun praktis.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Persamaan Schrödinger (PS) Secara Umum Pendekatan mekanika kuantum memiliki permasalahan yang berbeda dengan fisika klasik. Salah satu permasalahan dalam mekanika kuantum adalah “menyelesaikan bentuk persamaan gelombang partikel dengan menyelesaikan PS” (Griffith: 1995). PS dalam Mekanika Kuantum adalah persamaan energi total seperti yang dinyatakan dalam Mekanika Klasik tetapi variabel-variabel dalam Mekanika Klasik diubah menjadi operator dalam Mekanika Kuantum. Fisikawan Erwin Schrödinger pada tahun 1925, menjelaskan hubungan ruang dan waktu pada sistem mekanika kuantum. Persamaan ini merupakan hal penting dalam teori mekanika kuantum. Hubungan antara variabel dalam Mekanika Klasik dengan operator dalam Mekanika Kuantum memberikan prinsip korespondensi antara  Klasik dengan Kuantum. Korespondensi antara energi E, momentum p dan

oprator deferensial: E  i

 t

(2.1a)

 p  i

(2.1b)

Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari to bentuk commit user energi klasik. Selanjutnya, tinjau

8

9 digilib.uns.ac.id


 partikel yang mengalami gaya F yang dapat dituliskan sebagai gradien dari

 energi potensial V r , t   F  V r , t 

(2.2)

Karena itu, energi total partikel E dapat diungkapkan sebagai:

E

 p2  V r , t  2m

(2.3)

Berdasarkan korespondensi (2.1) persamaan gerak kuantum partikel

 didalam potensial V r , t  diberikan oleh i

   2 2     r , t   V r , t  r , t  t 2m

(2.4a)

Persamaan. (2.12) dikenal sebagai persamaan gelombang Scrodinger untuk

 partikel didalam potensial V r , t  . Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Scrodinger satu dimensi berbentuk

i

  2  2 x, t    V x, t  x, t  t 2m x 2

(2.4b)

Persamaan gelombang merupakan kuantitas teoritis dasar dalam mekanika kuantum dan mendiskripsikan kemungkinan suatu kejadian. Solusi persamaan gelombang dapat diperoleh dengan menggunakan PS. (Griffiths, D. J: 1995). Mengungkapkan bahwa “Diperlukan intepretasi statistik born fungsi gelombang berupa persamaan rapat probabilitas untuk menyatakan besar kemungkinan partikel yang didiskripsikan oleh  x, t  yang berada diantara x dan x+dt”. Dimensi rapat probalilitas dapat dinyatakan sebagai: (

)

| x, t  |

commit to user

(2.5a)

10 digilib.uns.ac.id


Dalam koordinat tiga dimensi rapat probabilitas dapat dinyatakan sebagai: ( | |

)

| x, t  | dimana

(2.5b) merupakan conjugate .

A. Potensial Coulomb, Eckart dan Pöschl-Teller I Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan potensial Coloumb dan Eckart sebagai potensial sentral, sedangkan Pöschl-Teller I merupakan potensial pengganggu yang menyebabkan potensial sentral termodifikasi menjadi nonsentral. 1. Potensial Coloumb Potensial Coulomb menggambarkan interaksi berpasangan antara atom bermuatan. Interaksi dapat terjadi antara molekul air akibat momen dipol permanen. Dua partikel bermuatan berlawanan akan saling menarik, sedangkan jika dua partikel bermuatan sama akan saling tolak-menolak. (Hendrik F. Hameka:2004) menyebutkan bahwa “The Coulomb attraction between the proton and the electron is represented by a potential function”. Interaksi proton dan electron dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi potensial. Potensial Coloumb dipengaruhi oleh jarak antar muatan. Bentuk potensial Coloumb dapat dilihat pada persamaan 2.6. (2.6) Dengan memanipulasi jarak antar muatan (r,

), maka potensial

Coloumb dapat divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi. Bentuk visualisasi potensial Coloumb dapat dilihat pada gambar 2. 1. commit to user



z

z

0.5

1.0

1.5

2.0

r

2.5

4

2

2

r4

Gambar 2.1. a. Potensial Coloumb 2 D

Gambar 2.1. b. Potensial Coloumb 3 D

(Ballentine, E. L.:2000:265) mengungkapkan bahwa “the Coulomb potential decays toward zero very slowly at large distances, and we shall see that this is responsible for some qualitatively different features”. Potensial Coloumb secara perlahan-lahan bergerak menuju nol seiring dengan semakin besarnya jarak antara muatannya. Berdasarkan hasil simulasi, semakin bersar nilai kedua muatan, maka semakin dalam potensialnya, dengan asumsi nilai r konstan. .( Jean-Louis Basdevant and Jean Dalibard:2002) ”The Coulomb potential has an infinite range, as it does in classical mechanics” pada gambar 2.1, terlihat bahwa potensial Coloumb memiliki jangkauan yang tidak terbatas, seiring dengan bertambahnya jarak antar muatan. Bentuk modifikasi dari potensial Coloumb adalah potensial Yukawa. Potensial Yukawa juga disebut Screened Coloumb Potential. Bentuk persamaan potensial Yukawa dapat dilihat pada persamaan (2.7) (2.7) Bentuk

potensial persamaan (2.7) dapat

memanipulasi nilai r dan m, dengan nilai pada gambar 2.2. commit to user

divisualisasikan dengan

. Hasil visualisasi dapat dilihat



(Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yukawa_m_compare.svg) Gambar 2.2 Potensial Yukawa

Jika m=0, maka potensial Yukawa akan kembali ke bentuk potensial Coloumb seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.2 2. Potensial Pöschl-Teller (PT) I Bentuk persamaan potensial PT I dapat dinyatakan dalam: (

)

(

(

)

(

)

)

(2.8)

Persamaan (2.1) dapat divisualisasikan dengan memanipulasi nilai r, parameter dan ,

dan

, >1. Visualisasi potensial PT I dapat dilihat pada gambar

2.3.

z

y

Gambar 2.3. Bentuk Potensial PT I 3 Dimensi

commit to user



Berdasarkan fungsinya, potensial PT I merupakan gabungan fungsi Cosecant dan Secant. “The trigonometric Pöschl-Teller (PT) potential describes the diatomic molecular vibration” (Wikipedia:2012). PT I sering muncul pada saat molekul diatomik mengalami vibrasi. . 3. Potensial Eckart Potential Eckart merupakan potensial yang sering diaplikasikan dalam vibrasi molekul. Bentuk persamaan potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.9) ( )

(

(2.9)

)

Bentuk persamaan (2.9) dapat divisualisasikan Dalam koordinat dua dimensi maupun tiga dimensi. Visualisasi potensial Eckart dapat dilihat pada gambar 2.4.

V(x)

Gambar 2.4. Potensial Eckart

Potensial ini diselidiki oleh C. Eckart pada tahun 1930. Pada gambar 2.4, potensial tersebut simetri pada sumbu, dan nilai maksimum Vo pada x = 0. Fungsi Vo juga mendekati nol pada x mendekati takhingga. Modifikasi bentuk potensial Ekckart yang akan dibahas adalah bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal. “Potensial Eckart dapat diaplikasiakan untuk menjelaskan vibrasi commit user molekul dan gaya antarmolekul (Cari and to Suparmi:2012)”



Pengembangan Bentuk persamaan dan gambar Potensial Eckart dapat dilihat pada persamaan (2.10). (

(

)

)

(2.10)

Bentuk potensial Eckart dengan centrifugal term dapat dilihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5. Bentuk Modifikasi Potensial Eckart

B. Non Central potensial Gaya sentral merupakan gaya yang bekerja pada suatu sistem inersia. Potensial sentral muncul pada jarak anatara kedua partikel.

Potensial sentral

hanya memberikan pengaruh terhadap gerak arah radial dan bersifat konservatif, gaya bekerja terletak pada garis hubung antar kedua partikel. Jika gaya sentral yang bekerja di seluruh lintasan diganggu oleh gaya luar yang bekerja pada koordinat polar dan zimuth, maka potensial yang timbul adalah potensial nonsentral. Potensial non sentral memberikan efek terhadap arah polar dan radial, bersifat non konserfatif, sehingga penjelasan terhadap vibrasi molekul lebih kompleks.

Secara

umum

potensial

non

sentral

diperoleh

dengan

mengkombinasikan antara potensial yang merupakan fungsi radial. dengan potensial yang merupakan fungsi radial dan sudut yang dapat dipisahkan” commit to user



(Suparmi, Cari, Jeffry H:2012). Berbeda dengan potensial central, pada potensial non sentral kecepatan paralel tidak tegak lurus pada garis hubung kedua benda, namun masih bekerja gaya aksi rekasi yang bekerja pada garis hubung kedua benda. Pada potensial non sentral terjadi perubahan lintasan. (Arda and Sever :2012) mengungkapkan bahwa “Potensial non sentral dapat menjelaskan tingkat energi molekul berbentuk ring shaped (seperti benzene) dan interaksi antara inti berpasangan yang terganggu telah memberikan banyak aplikasi di bidang fisika”. Potensial non -central secara teoritik sangat berguna dalam menjelaskan tingkat energi dan bentuk gelombang dari interaksi antara molekul ring-shaped dan interkasi antara inti berpasangan yang terganggu (terdistorsi). (Goldstein, et al:2000) “in the problem of a particle moving in an ex-ternal central force field (V = V(r)), there is no constraint involved, but it is clearly more convenient to use spherical polar coordinates than Cartesian coordi-nates. Do not, however, think of generalized coordinates in terms of conventional orthogonal position coordinates.” Partikel yang bergerak dalam potensial nonsentral lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan koordinat bola. Bentuk potensial non-central dapat dilihat pada persamaan (2.11) (

)

( )

( )

(2.11)

Potensial pada persamaan (2.12) dapat dimodifikasi menjadi (

)

(

)

(2.12) commit to user



bentuk potensial (2.11) dapat divisualisasikan dengan memvariasi nilai r, dengan

. Visualisasi persamaan (2.11) dapat dilihat pada gambar 2.6b. .

z

y Gambar 2.6a Potensial Sentral

z

y Gambar 2.6b Potensial Non Sentral

Perbedaan signifikan berdasarkan visualisasi gambar 2.6 antara potensial sentral dan non sentral adalah bentuk potensial central terpusat pada satu sumur, sedangkan non central memiliki lebih dari satu sumur dan simetris. Berdasarkan gambar potensial terlihat bahwa potensial pengganggu (penyebab potensial menjadi non sentral) lebih dominan dibandingakan potensial sentral.

C. Metode-metode penyelesaian PS Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial yang sudah banyak diteliti ditentukan dengan berbagai cara, seperti metode faktorisasi, Operator, supersimetri mekanika kuantum NU dan path integral yang terus dikembangkan. Terdapat beberapa potensial yang sudah diselesaikan dengan Metode NU, persamaan Schrodinger untuk potensial Posch Teller II (Hyperbolik) dan Modifikasi Kratzer Non Central.

Metode NU sangat cocok digunakan

menentukan solusi dalam menyelesaikan persamaan Schroodinger untuk potensial non sentral. Berikut kami paparkan dua to metode commit user yang mewakili penyelesaian PS



secara eksak maupun pendekatan dalam menentukan tingkat energi dan persamaan gelombang berserta aplikasinya. 1. Metode Hipergeometri PS

dapat

diselesaikan

dengan

mereduksi

kedalam

persamaan

hipergeometri. Persamaan hipergeometri mempunyai bentuk penyelesaian paling umum karena persamaan diferensial suatu fungsi dapat direduksi kedalam fungsi hipergeometri (Bromley, 1989). Persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dapat dinyatakan sebagai berikut. (

( )

)

(

) )

(

( )

( )

(2.13)

Persamaan (2.13) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu di titik dan

(Suparmi, 2011) karena penyelesaian di titik

sederhana dari penyelesaian di titik sekitar titik

lebih

. Mula-mula dipilih penyelesaian di

. Persamaan (2.13) dapat diselesaikan dengan bentuk deret

disekitar titik ∑

( )

(2.14)

Persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.13) akan membentuk ( (

( (

) ))

(

(

)

) ( )

)

(

)( (

(

) )(

(

(2.15a) )

) )

(2.15b) (

)

)

(

)( (2.25c)

commit to user



Persamaan (2.15a), (2.15b) dan (2.15c) dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan (2.15d) ( (

(

) )

(

)

(

)

)(

)

)

(

)

( (

( (

)

) )

(

)

(

)(

)

(2.15d)

Persamaan (2.15d) merupakan persamaan identitas, koefisien dari masingmasing suku x pangkat tertentu harus dinolkan. Koefisien pada suku dinolkan maka akan menjadi (

(

)

)

(

(

atau

))

. Koefisien pada suku

adalah index equation yang memberikan harga pada suku (

)

(

)

Setelah koefisien pada suku (

)(

)

(

)(

)

(

(

) )

)

(2.16a)

dinolkan akan didapatkan konstanta

( )(

)(

)

dinolkan maka akan didapatkan konstanta

)

)( (

(

(2.16b)

Koefisien pada suku

(

. Koefisien

dinolkan akan menjadi (

(

atau

)(

)(

)(

)

(

)(

)

)(

)

(

) )

(2.9c) (2.16d)

)

Persamaan (2.16b) dan (2.16d) dapat digunakan untuk menentukan koefisien dari suku ke

berikut ini

( )(

) ( ( )(

)( )( ) (

) (

)

)

(2.16e)

Bentuk penyelesaian persamaan diferensial hipergeometri secara umum adalah ( )

2F1(

) =∑

commit to user

(2.17)



Dimana ( )

(

)(

)(

)

(

) dan ( )

(2.18)

Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka Apabila

dimana atau

(2.19)

maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial pangkat

. Dari kondisi yang

dinyatakan pada persamaan (2.14) dapat diperoleh tingkat spektrum energi sistem.

a. Aplikasi PD Hypergeometry untuk PD fungsi Legendre dan

Legendre

Terasosiasi 1) Persamaan Diferensial Fungsi Legendre Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian Persamaan diferensial fungsi Legendre (1  x 2 )

d 2 P( x) dP  2x  n(n  1) P  0 2 dx dx

(2.20)

Bila x pada pers (2.13) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x), dx menjadi d(1-2x)=-2dx dan persamaan (2.13) dapat ditulis menjadi 4 x(1  x)

x(1  x)

d 2P dP  2(1  2 x)  n(n  1) P  0 2 4dx  2dx

atau

d 2 P( x) dP  (1  2 x)  n(n  1) P  0 2 dx dx

(2.21)

Dengan membandingkan antara bentuk pers (2.13) dengan pers (2.21) maka diperoleh c=1; a+b =1; a = -n dan b=n+1 commit to user

(2.22)



Bila persaman (2.19) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17) maka diperoleh penyelesaian PD fungsi Legendre dalam bentuk penyelesaian PD hypergeometri yaitu

Pn (1  2 x)2 F1 (n, n  1;1; x)

(2.23)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial fungsi Legendre dapat diubah menjadi diferensial fungsi hypergeometri dengan pengubahan variabel. 2) Persaman Diferensial Fungsi Legendre Terasosiasi Persamaan Schrodinger atom hidrogen bagian sudut yang merupakan fungsi sudut  disebut persamaan polar ini membentuk persamaan diferensial orde dua fungsi Legendre terasosiasi. Persamaan polar dinyatakan pada persamaan (2.24). (

)

(

)

(2.24)

Penyelesaian persamaan (2.24) dapat diselesaikan dengan berbagai cara yaitu penyelesaian secara langsung menggunakan deret atau polynomial Legendre terasosiasi yang dijabarkan dari polynomial Legendre, operator supersimetri, persamaan diferensial

fungsi

hypergeometry

dikembangkan

yang

hypergeometri, oleh

persamaan diferensial tipe Nikiforov-Uvarov,

dan

oleh

Romanovski. Pada bagian ini kita akan menyelesaiakannya menggunakan persamaan

diferensial

fungsi

hypergeometri.

Untuk

menyederhanakan

penyelesaian pers (2.24), pertama kita ubah persamaan (2.24) menjadi persamaan PPH dengan substitusi variabel sebagai berikut commit to user dan √ (

)

(2.25)



sehingga diperoleh √ (

)

(2.26)

Dengan memasukkan persamaan-persamaan (2.25) dan (2.26) ke dalam persamaan (2.24) diperoleh √ (

)

√ (

)

( √ (

)(√ (

))

)

(

(

)

)

atau ( Karena (

)

(

(

)

( (

atau

)

) (

(

)

)

(2.27)

maka persamaan (2.27) dapat dituliskan kembali sebagai

)

)

(

(

)

(

(

(

)

(

)

)

)

(

)

(2.28) )

(2.29)

Persamaan perantara persamaan hypergeometri (PPPH) pada persamaan (2.29) mempunyai dua buah titik regular singular yaitu z=1 dan z=0. Untuk daerah di sekitar titik z=0 , suku

(

)

dan

(

)

diabaikan terhadap

(

)

maka

persamaan (2.29) menjadi (

)

(

)

(2.30)

Penyelesaian pendekatan di titik z=0 yang merupakan titik regular singular adalah ∑

( )

(2.31)

Bila persamaan (2.31) dimasukkan ke dalam persamaan (2.30) maka { (

)

(

){ (

)

(

){ (

}

(

)

)

(

(

)

commit to user ) (

(

)(

}

)

)

}

+



{ (

0=

)

}

{

(

)

(

)

) }

(

(2.32)

Persamaan (2.32) merupakan polynomial dalam z maka koefisien dari setiap z pangkat tertentu harus nol. Bila koefisien dari z pangkat terendah di nolkan maka diperoleh persamaan indeks (

)

sehingga diperoleh

atau

. Karena s merupakan pangkat dari z maka

harga s yang dipilih adalah

karena untuk

penyelesaian dengan harga

s negatif menyebabkan fungsi gelombang menjadi tak terhingga sehingga tidak ( )

memenuhi syarat. Jadi

(2.33)

Analog dengan penyelesaian disekitar titik z=0, maka diperoleh penyelesaian pendekatan di sekitar titik z =1-z, yaitu ( )

(

)

(2.34)

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial fungsi Legendre terasosiasi pada persamaan (2.21) adalah ( )

( ) (

)

Bila kita set

)

(

)

(

)

(

( ) (

)

)

(

( ) +

(

) )

(

( )+ (

(

( ) + )

)

( )-

( ) -

) (

(2.35)

maka turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.35) adalah (

(

( )

)

( ) + (

)

( )

(2.36a)

( )+ )

(

)

( ) -

( ) ( )

(2.36b)

Kemudian bila persamaan (2.36a), (2.36b) dan (2.35) dimasukkan ke dalam persamaan (2.28) maka diperoleh ( (

)

)

(( )(

)

(

) ) commit to user

(2.36c)



Kemudian persamaan (2.36c) kita bandingkan dengan persamaan (2.20) diperoleh ;

;

(2.36d)

2. Metode NU Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov (Nikiforov, A. V Uvarov V. B:2008) berbentuk: ( )

̅( )

̅( )

( )

( )

Dengan memilih

( )

(2.37)

s adalah koefisien dari

( ) ̃ ( ) dan

̃ ( )dapat

memiliki harga riil atau complek. dimana ( ) dan ̅ ( ) biasanya merupakan polynomial dengan pangkat tertinggi dua., dan

̅( ) merupakan polynomial

pangkat tertinggi pertama. Persamaan potensial: (

)

(

( )

)

(2.38)

Persamaan (2.38) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel yaitu ( ) ( )

(2.39)

Dengan memasukkan persamaan (2.39) ke persamaan (2.38) kita mendapatkan persamaan tipe hipergeometrik: (2.40) dan

( ) adalah derivatif logarithmik dimana solusinya bergantung pada: (2.41)

Prosesnya: Persamaan (2.37) dapat direduksi dalam persamaan baru dengan memisalkan ( ) ( )

(

̃

( ) ( ) diperoleh: )

( )

(

̃ ̃to user commit ) ( )

(2.37b)



( )

Koefisien

memiliki bentuk persamaan

( ) ( )

dimana

( ) merupakan

polinimial dengan pangkat tertinggi 1. Sehingga diperoleh persamaan (2.41). Persamaan (2.40) diambil dari ( )

⃐( )

( )

⃐( )

( )

( )

(2.37c)

dimana ( )

̃( )

( )

⃐( )

̃( )

( )[ ̃ ( )

( )]

( ) ( )

Persamaan (2.37c) merupakan persamaan yang sama dengan persamaan (2.37). Dengan hanya memilih koefisien ( ) diperoleh ⃐( )

( )

Sehingga persamaan (2.37c) dapat direduksi menjadi ( )

( )

( )

⃐( )

( )

(2.37d)

Persamaan diatas merupakan persamaan yang ekuivalen dengan persamaan 2.40. fungsi (

( ) dan parameter ⃐

)

√(

⃐

)

⃐

dicari dengan (2.42) (2.43)

Prosesnya: Untuk menghitung ( ) dan

commit to user kita menulis persamaan ((2.37d) dalam bentuk:



( ̃

)

̃

( ) Ingat : Bentuk

(

{{

√

(

)

Dapat diselesaikan dengan: )} {

(

)}}

√

Dengan mengasumsikan harga k diketahui, penyelesaian persamaan kuadrat untuk ( ) seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.42). Harga k pada persamaan (2.42) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (2.40) adalah (

⃐

dimana

)

, n = 0, 1, 2

,

(2.44a) (2.45)

Untuk mendapatkan energi eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi

.

Bukti: ( )

( )

⃐( )

( )

( )

Persamaan (2.44b) dapat disederhanakan menjadi ( )

( )

Dengan memisalkan: ( )

( ) persamaan (2.44b) dapat diubah menjadi commit to user

(2.44b)



( )

( )

(2.44c)

Dimana ( )

( )

( )

( ) ( ) merupakan polinomial dengan pangkat tertinggi 1, dan

Selama

bergantung pada s, persamaan (2.44c) merupakan persamaan tipe hipergeometri. ( ) merupakan solusi dari persamaan (2.44c) jika

( ) merupakan turunan dari

solusi ( ) dari persamaan (2.44b), fungsi ini harus memenuhi: ( )

[ ( )

( )]

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi

( ) bergantung pada persamaan (2.44b) dan

( ). Diperoleh:

turunannya adalah [ ( )

( )

( )

]

(s). dengan mensubtitusikan

pada persamaan (2.44b) diperoleh

persamaan (1). Dengan cara yang sama, untuk ( )

(s)=

(s):

( )

dimana ( )

( )

( ), ( )

(

)

(2.44d)

pada persamaan (2.44d), merupakan solusi dari konstan. Selama

( )

( ) yang memiliki nilai

( ). Persamaan (2.44d) menjadi persamaan (2.44a).

Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan dengan relasi Rodrigues diberikan oleh

commit to user



( )

(

( )

( ) ( ))

(2.46a)

dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot

( ) harus

tergantung pada Perilaku elektron atom hidrogen dipengaruhi oleh potensial. Bukti: ( )

Untuk mendapatkan polinomial

secara eksplisit, kita menggunakan

persamaan (2.44b) dan (2.44c) dengan menggunakan pendekatan ( ) dan

( ).

Sehingga dapat ditulis: (

)

(

(2.46b) )

(2.46c)

Persamaan (2.46b) dan (2.46c) merupakan persamaan deferensial (

)

(

(2.46d) )

(2.46e)

Dengan menggunakan bentuk eksplisit hubungan antara

( ) dan

( ), kita dapat dengan mudah membuat

( ).

(s)

Kita mempunyai (

)

(

)

Sehingga:

Konsekwensinya: ( ) Selama dalam bentuk:

( ) ( ) , n= 1,2,3... dan

(s)=

(s), kita dapat menuliskan persamaan (2.46c) commit to user



(

)

Jika m
)(

=(

)

(

Dimana:

) =

(

)

(*)

) ∏

Persamaan (*) jika kita kalikan dengan Am= diperoleh:

, sedangkan n-m merupakan derajat polin omial.Jika

merupakan polinomial dengan pangkat n, ( )

maka akan

( )

( ),

( )

( )

( )

( ), maka

( )= konstan.

Sehingga: ( )

( )=

( )

[

( )]

Dimana ( )|

( )

,

( )

Dengan m=0 kita dapat memperoleh polinomial

( ) dari persamaan

hipergeometrik seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.46a)

3. Contoh Penyelesaian PS a. Penyelesaian Potensial Poschl Teller I dengan Hipergeometri Potensial efektif untuk potensial Poschl-teller I dituliskan sebagai {

(

)

(

)

}

commit to user Bentuk PS dari persamaan (2.47) adalah

(2.47)



(

{

)

(

)

}

(2.48)

Untuk menyelesaikan pers (2.48) kita misalkan (2.49a) dan diperoleh √ ( (

)

√ (

;

{ √ (

)

) }=

)

(

) (2.49b)

Bila kemudian persamaan (2.49a) dan ((2.49b)dimasukkan ke persamaan (2.48) maka pers (2.48) menjadi (

)

atau (

( )

)

{

(

)

(

)

(

{

)

(

)

(

)

}

(2.50a) (

)

}

dimana

(2.50b) (2.51)

Persamaan. (2.50a) atau (2.50b) merupakan persamaan diferensial yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik s=0 dan s=1. Bila pers (2.50b) dibagi dengan s(1-s) maka untuk harga s=0 ( atau daerah disekitar s=0) suku-suku (

)

dan

(

)

(

)

diabaikan terhadap suku

( (

) )

, sehingga pers (2.50b)

berubah menjadi ( atau (

(

)

)

(

)

) (

(

)

)

(

)

(2.52a)

Karena z=0 merupakan titik regular singular, maka penyelesaian persamaan (2.52a), disini kita tidak akan menguraikan penyelesaian secara commit to user



lengkap tetapi hanya mencari penyelesaian index equation saja dari persamaan. (2.52a). Misal penyelesaian persamaan (2.52a) yang berbentuk deret dinyatakan ∑

sebagai

(2.52b),

Bila persamaan (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.52a) akan diperoleh index equation, yaitu persamaan yang diperoleh dengan cara mengenolkan koefisien dari suku untuk z pangkat terendah dari polynomial yang diperoleh bila persamaan. (2.52b) dimasukkan ke dalam persamaan. (2.52a). sebagai ( (

(

) )

)

(

yang dapat disederhanakan menjadi

sehingga diperoleh

atau

)

, tetapi disini kita pilih (2.52c)

dan penyelesaian yang dipilih adalah

(2.52d)

Untuk harga s=1 ( atau daerah disekitar s=1) suku-suku diabaikan terhadap suku (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

dan

( (

) )

, maka pers (2.50b) berubah menjadi (

)

(

)

(2.52e)

Analog dengan penyelesaian persamaan (2.52a) kita akan memperoleh penyelesaian (2.52e) yang dapat dinyatakan sebagai

(

)

(2.52f) dimana telah diset

(2.52g)

commit to user



Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum persamaan (

(2.50b) dapat dinyatakan sebagai

)

( )

(2.53) Untuk menyelesaikan pers (2.50b), pertama-tama kita harus menentukan turunan pertama dan kedua persamaan (2.53) terhadap variable s, (

)

(

( )-

)

(

( )+

)

( )

(2.54a)

+

(

dan ( )

)

(

)

( )-

(

)

( )+ (

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

( ) -

)

-

(

( ) (

)

( )

( ) +

(

)

( ) (2.54b)

Bila persamaan (2.52c), (2.52g), (2.53), (2.54a), and (2.54b) ke dalam persamaan (2.50b) diperoleh Persamaan (

)

((

)

(

) )

+{

(

) } (2.55)

Persamaan (2.55) menunjukkan persamaan diferensial fungsi Hypergeometri yang penyelesaiannya dapat dinyatakan sebagai ( ) Dimana

(

) ,

(2.56) maka commit to user

dan



,

(2.57)

Persamaan (2.56) yang merupakan deret pngkat tinggi akan terputus sehingga diperoleh deret berhingga bila Jadi bila kita pilih harga

atau

(2.58)

maka

atau

dan diperoleh spectrum energi untuk potensial Poshcl-Teller yaitu (

)

(2.59)

Penyelesaian fungsi gelombang secara umum dapat diperoleh dengan memasukkan persamaan (2.49a),(2.52c), (2.52g), (2.56), dan (2.57)

ke dalam

pers (2.53) yaitu (

)

( )=(

)

(

)

(

)

(2.60)

Fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Poschl-Teller I adalah )

=(

(

)

(2.61)

b. Penyelesaian Potensial Eckart dengan Hipergeometri Bentuk potensial Eckart dengan faktor sentrifugal dapat dilihat pada peramaan (2.62)

{

(

)

}

{

(

)

}

(2.62)

V0
Dengan melakukan pendekatan )

<<<1 kemudian

(

sehingga commit to user

(2.63)



Persamaan (2.63) dapat diubah dalam bentuk hiperbolik {

}

(2.64)

Persamaan (2.64), dapat diubah dalam bentuk persamaan Schroodinger (

)

(2.65)

Persamaan (2.65) dapat disederhanakan menjadi: ( )

(

{

)

(

} ( )

)

(2.65)

dimana

Dengan memilih (

maka

)

(

(

,

)

)

(

(

)

)

(

)

(2.66) Dengan menggunakan transformasi koordinat pada persamaan (2.66), persamaan (2.65) menjadi:

(

)

(

)

{

(

(

)) (

(

)

)

(

)( (

) )

(

) (

)

}

(2.67) dimana

commit to user



(

)

(

)

(

{(

))

(

)(

)

(

(

)

) (

)

}

(2.68) Persamaan (2.68) dapat disederhanakan menjadi (

)

(

)

(

{(

))

(

)

( (

(

)

)

)

}

(2.69) Dengan memisalkan ( )

dan ( )

=

Persamaan (2.69) dapat disederhanakan menjadi (

)

(

(

)

)

(

(

))

(2.70) Persamaan (2.70) adalah persamaan diferensial orde dua, paling tidak mempunyai dua buah titik regular singular dititik s=0 dan s=1, Untuk s=0, pers (2.70) dapat ditulis menjadi (

karena

(

) (

)

)

0

dapat diabaikan relatif terhadap

Penyelesaian persamaan (2.71) dimisalkan sebagai

(2.71)

untuk s menuju nol. ∑

(2.72)

Bila persamaan (2.72) dimasukkan ke dalam pers (2.71) maka diperoleh commit to user suatu bentuk polynomial, dan bila koefisien dari variable (s) pangkat terendah,



yaitu (

, di nolkan maka diperoleh index equation yang dinyatakan sebagai )

sehingga diperoleh yang memberikan penyelesaian pendekatan untuk daerah sekitar s=0 , (2.73)

Penyelesaian pendekatan untuk daerah disekitar titik s=1 yang merupakan titik regular singular dapat diperoleh dengan cara yang sama untuk penyelesaian di sekitar daerah s=0, yaitu (

)

(2.74)

di mana

(2.75)

Dari pembahasan penyelesaian pendekatan di titik z=0 dan z=1 dapat dsimpulkan penyelesaian secara umum persamaan (2.70) dapat dituliskan sebagai (

)

( )

(2.76)

Penyelesaian umum persamaan (2.70) dapat diperoleh dengan menghitung lebih dahulu komponen pada suku pertama, yaitu (

)

(

( )

)

( )+

(

)

(

)

( )

(2.77a)

dan { ( +

(

)} ) (

{ (

){

( )

(

)

( )

( )}} )

( )

commit to user ) ( )(

( )+

(

)

( )



( ( )

(

) )

(

)

( )+

)

(

( )

(

)

(

( ) (

)

)

)

( )

( ) (

+

( )

(2.77b)

Kemudian dengan memasukkan persamaan (2.73), (2.74), (2.76), (2.77a) dan (2.77b) ke dalam persamaan (2.70) diperoleh (

) {

) ]

(

(

)

)

( }

)

{

}

[( (

)

(

)

atau (

)

[(

)

(

) ]

(

)(

) (2.78)

Dapat dilihat bahwa persamaan (2.78) merupakan persaman diferensial orde dua fungsi hypergeometri di mana ,

and

(2.79a)

Spectrum energi dari persamaan (2.79a) yaitu atau (

)

(

)

(2.79b)

Dengan memasukan persamaan (2.73), (2.74) ke dalam persamaan (2.79b) diperoleh atau commit to user

(2.80a)



(

sehingga diperoleh

)

(

)

(2.80b)

Penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Eckart adalah (

)

(

)

√

atau

(

(

(

)

)

)

(

)

(2.81a)

√

(

)

( (2.81b)

dimana ( )

dan ( )

=

(

) (

) (

(

)

(

)(

)

) (

Jika =1 , =0, a=1 diperoleh: (

( (

)( )

)

(2.82c)

)

4. Kerangka Pemikiran 1. Persamaan Schrodinger untuk potensial non-central dapat diselesaikan dengan mereduksi persamaan Schrodinger menjadi persamaan hipergeometri atau setipenya. Metode Nikiforov-Uvarov (NU) pengembangannya berbasis pada pereduksian persamaan Schrodinger menjadi persamaan tipe hipergeometri. 2. Potensial Non Sentral seperti Manning-Rosen Potential Plus a Ring-Shaped, Eigen Spektra for Woods-Saxon Plus

Rosen Morse Potential, Coloumb plus cosecant

kuadtrat dapat diselesaikan dengan metode NU.

3. Software Matematica memiliki kemampuan komputasi, simulasi dan visualisasi grafik fungsi matematis. commit to user



5. Hipotesis 1. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan secara eksak menggunakan NU. 2. Persamaan gelombang dan tingkat energi Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pochl-Teller I dapat diselesaikan menggunakan NU. 3. Bentuk gelombang 3 D maupun 2 D, divisualisasikan dengan menggunakan Software Matematica.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian Waktu dan lokasi penelitian dilakukan mulai bulan April sampai bulan Juni 2012 dan penelitian ini dilakukan di pascasarjana Universitas Sebelas Maret. B. Alat dan Persamaan Penelitian 1. Alat Penelitian Notebook Intel Core i3, Sofware Matematica 8.0 2. Persamaan Potensial Non Central Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial Coloumb, Poschl Teller I dan Eckart. Ketiga potensial tersebut kami kombinasikan, potensial Coloumb plus potensial Poshl Teller I dan potensial Coloumb plus potensial Eckart. Bentuk potensial tersebut ditunjukkan oleh persamaan 3.1 dan 3.2. a. Potensial Coloumb dikombinasikan dengan Potensial trigonometrik PoschlTeller I (

)

{

(

(

)

(

)

)}

(3.1)

b. Potensial Ekckart dengan faktor sentrifugal dikombinasikan dengan Potensial Poschl-Teller I (

)

(

(

)

)

(

commit to user

39

(

)

(

)

)

(3.2)



C. Prosedur Penelitian Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensial Non Sentral diselesaikan dengan metode NU. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya dapat dilihat pada gambar 3.1.

Pers. potensial Non Central

Oprator Kuantum (Koordinat bola)

PS

Pemisahan Variabel

Tingkat Energi

Radial

Polar

Azimuth

Metode NU

Metode NU

PD orde II

Fungsi Gel. (Polinomial Jacobi)

Fungsi Gel.

Fungsi Gel.

(Polinomial) Jacobi)

(Fungsi Eksponensial)

Fungsi Gel.

commit to user Potensial Non Sentral Gambar 3.1 Langkah-langkah Penyelesaian



Berdasarkan gambar 3.1, Potensial non central dimodifikasi menjadi PS menggunakan koordinat bola. Setelah PS terbentuk, dengan menggunakan pemisahan variabel diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth. Persamaan radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode NU, sedangkan persamaan azimuth diselesaikan dengan persamaan deferensial orde dua. Dari fungsi radial yang diselesaikan dengan metode NU, diperoleh fungsi gelombang radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh fungsi gelombang polar. Fungsi gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut. Langkah-langkah penyelesaian metode NU kami paparkan sebagai berikut: Persamaan deferensial hipergeometrik, yang dapat diselesaikan dengan metode Nikiforov-Uvarov berbentuk: ( )

̅( )

( )

̅( )

( )

( )

(3.3)

( ) dan ̅( ) biasanya merupakan polynomial berderajat dua., dan

dimana

̅( ) merupakan polynomial orde pertama. Langkah berikutnya adalah pemisahan variabel ( ) ( )

(3.4)

Kemudian diperoleh persamaan persamaan tipe hypergeometrik: (3.5) ( ) adalah derivative logarithmik dimana solusinya bergantung pada:

dan

(3.6) fungsi (

( ) dan parameter ⃐

)

√(

⃐

)

⃐

dicari dengan commit to user

(3.7)



(3.8)) Harga k pada persamaan (3.8) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai eigen baru dari persamaan (3.5) adalah (

⃐

dimana

)

, n = 0, 1, 2

(3.9)

,

(3.10)

Untuk mendapatkan energy eigen nilai dan fungsi eigen yang terkait, diperlukan kondisi

. Solusi bagian kedua fungsi gelombanmg, yn(s), yang bersesuaiaan

dengan relasi Rodrigues diberikan oleh ( )

( )

(

( ) ( ))

(3.11)

dimana Cn merupakan konstanta normalisasi, dan fungsi bobot

( ) harus

tergantung pada kondisi: (

)

( ) ( )

(3.12)

Persamaan gelombang sistem diperoleh dari persamaan (3.5), (3.10) dan(3.11). D Diagram Penelitian Setelah fungsi gelombang diperoleh,

langkah selanjutnya adalah

visualisasi gelombang radial dan sudut. Bentuk visual gelombang polar diambil dari fungsi riilnya (harga mutlak | |) , sehingga perlu konversi. Konversi dapat dilakukan dengan mengalikan persamaan yang diperoleh dengan conjugate kompleksnya ( ((

)

), kemudian hasil yang diperoleh dipangkat setengah

). Setelah fungsi gelombang riil diperoleh, langkah-langkah visualisasi

gelombang sudut dapat dilihat pada gambar commit to 3.2. user



START

Masukkan nilai

Fungsi P (

)

Grafik fungsi gelombang P (

)

STOP

Gambar 3.2 Langkah-langkah Visualisasi Gelombang Sudut

Berdasarkan gambar 3.2, kita memasukkan parameter inpu (n,p,j). arapeter n, p, j merupakan parameter yang bergantung pada bilangan kuantum n,m dan l’ dan parameter

dan

. Setelah parameter dimasukkan akan diperoleh fungsi

gelombang sudut, dan dapat divisualisasikan dalam koordinat bola maupun polar. Fungsi gelombang yang divisualisasikan adalah fungsi gelombang riilnya.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Bentuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Coloumb Plus Pöschl– Teller dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral Potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl– Teller I dan potensial Eckart plus Pöschl–Teller I merupakan potensial yang akan dikaji dalam penelitian ini. Persamaan potensial non-sentral hasil kombinasi potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1a. (

)

{

(

(

)

(

)

)}

(4.1a)

Suku pertama persamaan (4.1a) merupakan potensial Coloumb, suku berikutnya merupakan Pöschl–Teller I non-sentral. Potensial non-sentral hasil kombinasi Eckart Plus Pöschl–Teller I dinyatakan pada persamaan 4.1b.

(

)

(

(

)

)

(

(

)

(

)

)

(4.1b)

Suku yang berada dalam suku pertama dan kedua merupakan potensial Eckart, sedangkan suku berikutnya merupakan potensial Pöschl–Teller I. Dari persamaan 4.1 a, bentuk visualisasi kedua potensial dapat dilihat pada gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c. Visualisasi gambar pada penelitian ini dilakukan dengan mengatur nilai

(

commit (to user)

45

(

)

)

dan



√

untuk mentransformasi koordinat bola ke koordinat kartesian

(x,y,z).

z

y Gambar 4.1.1a Pöschl–Teller I Non-Sentral

Gambar 4.1.1a merupakan gambar potensial Pöschl–Teller I non-sentral. Potensial tersebut akan mempengaruhi bentuk potensial secara keseluruhan jika nilai e kecil.

z

y

Gambar 4.1.1b Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral dengan e=1C

Dari ganbar 4.1.1 b, potensial Coloumb tidak terlalu tampak pengaruhnya, potensial pengganggu Pöschl–Teller I lebih mendominasi bentuk potensial. Potensial Columb hanya merubahcommit fungsi radial to useryang sebelumnya simetris menjadi



asimetris (x=1), karena nilai e terlalu kecil, sehingga perubahannya tidak terlalu signifikan. Untuk nilai e besar, (e=100C) dapat dilihat pada gamabr 4.1.1c.

z

y

Gambar 4.1.1c Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral e=100C

Pada gambar 4.1.1 c terlihat bahwa Pengaruh potensial Coloumb sudah mulai terlihat dengan munculnya bentuk potensial Coloumb. (gambar 4.1.1 c). Dari gambar 4.1.1a, 4.1.1b dan 4.1.1c dapat disimpulkan bahwa potensial Pöschl– Teller I mendominasi bentuk potensial. Semakin kecil muatannya, semakin besar potensial Pöschl–Teller I mendominasi. Potensial Coloumb menunjukkan pengaruhnya ketika nilai muatannya diperbesar. Berdasarkan simulasi yang telah peneliti buat, potensial Coloumb akan mendominasi bentuk potensial jika muatan diperbesar 1.1018 coloumb, ciri khas bentuk potensial Pöschl–Teller I tidak hilang. Seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.1d. commit to user



Navigasi pengatur nilai e

z Potensial Pöschl–Teller I yang tereleminasi y

Gambar 4.1.1d Simulasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral, e=1.1018C

Berdasarkan persamaan 4.1.1d, Gambar potensial Eckart plus Pöschl– Teller I dapat divisualisasikan dengan mengatur nilai( )

(

(

)

) , a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar

sumur dan

√

untuk mentransformasi koordinat bola ke

koordinat kartesian (x,y,z), V0 =1, dan V1=2, menjelaskan kedalaman potensial dan nilainya positif, V1>V0.

z

y

commit to user Gambar 4.1.2a. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =1



Pada gambar 4.1.2a terlihat bahwa hasilnya sama dengan potensial Coloumb plus Pöschl–Teller I pada e=1, potensial ecakrt dengan a= 1 belum mendominasi bentuk potensial. Bentuk potensial Eckart hanya mempengaruhi fungsi radial dari simetris menjadi asimetris (pada x=1). Potensial Pöschl–Teller I tetap mendominasi bentuk potensial. Pada a=10, bentuk potensial Eckart sudah tampak seperti terlihat pada gambar 4.1.2b.

Ciri Potensial Eckart z

y

Gambar 4.1.2b. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =10

Pada gambar 4.1.2b, walaupun pengaruh potensial Eckart sudah tampak, tetapi tetap belum mendominasi bentuk potensial. Pada a=10 15, potensial Eckart mengeleminasi bagain Cosecant kuaadrat. Karena keterbatasan spesifikasi komputer yang kami miliki, visualisasi gambar a=1018 tidak dapat kami tampilkan. Visualisasi potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a=1015 dapat dilihat pada gambar 4.1.2c. commit to user



Navigasi pengatur a

z Fungsi Cosecant kuadrat tereleminasi y

Gambar 4.1.2c. Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I pada a =1015

Tereleminasinya fungsi Cosecant kuadrat pada gamabr 4.1.3b disebabkan karena pada persamaan 4.1.2c fungsi cosecant kuadrat memiliki penyebut yang sama dengan potensial Eckart pada koordinat polar (lihat persamaan 4.52). B. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU. Dalam koordinat bola PS persamaan (4.1) dapat ditulis: { {

PS

(

) (

)

( (

)

) (

)

} (

)

(

)

) (4.2)

tiga dimensi dari persamaan (4.2) diselesaikan menggunakan pemisahan

variabel dengan menggunakan (

)

( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh:

commit to user



( (

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(4.3)

Pada persamaan 4.3, terlihat bahwa terdapat tiga persamaan yang memiliki mewakili koordinat radial, polar dan azimuth. Suku pertama, kedua dan ketiga merupakan koordinat radial, suku keempat dan keenam merupakan koordinat polar, dan suku kelima merupakan koordinat azimuth. Penyelesaian masingmasing persamaan dipaparkan dalam tiga solusi penyelesaian berikut: 1. Solusi Persamaan Azimuth. Dari persamaan (4.3) Solusi persamaan untuk bagian azimuth adalah

(4.4a)

Persamaan 4.4a merupakan persamaan deferensial orde dua dan menghasilkan solusi: (4.4b) 2. Solusi persamaan Radial (

)

(

)

(4.5a)

Dikalikan dengan R dan menyederhanakan persamaan deferensial diperoleh: (

Dengan memisalkan

)

(

)

commit to user

(4.5b)



(4.5c)

Persamaan (4.5b) dapat disederhanakan menjadi (

(

)

(4.5d)

)

(4.5e)

Solusi persamaan radial dapat diselesaikan dengan metode NU. Dengan membandingkan persamaan (4.5e) dengan persamaan (2.37) diperoleh: ,⃗ Nilai

(

)

(4.6)

dapat dicari dengan: ⃐

√(

)

{

dan (

(

⃗

⃐

)

⃐

(

)

}

( )(

)

(

√

(4.7)

)

) dan

(

memberikan

(

)

)

Dengan memasukkan nilai k ke persamaan (4.7) kita dapatkan (

; atau

(

)

atau

commit to user

)

(

)



{

⃐ (

) atau

} {

⃐

(

)

}

(

)

) (

(

(

) ; atau

)

(

)

(

)

Dengan menggunakan:

;

Diperoleh:

(

(

(

)

)

(

)

(4.8)

)

Dari persamaan (4.8) kita peroleh

(

)

,

is bilangan kuantum radial,

adalah bilangan kuantum utama, adalah bilangan kuantum orbital dimana,

Persamaan gelombang radial diperoleh dari: ( ) commit to user



(

)

( ) ( )

(

(

))

( )(

( )

( )

(

( ) ( )

(

( )

(

(( )(

)

(( )(

)

)

)

)

( )(

)

)

)

(4.9a)

Persamaan (4.9) dapat ditulis sebagai: (

( )

)

(( )(

)

)

(4.9b)

Dimana persamaan (4.9) mempresentasikan relasi Rodrigues untuk polinomial Laguerre terasosiasi.

Jika

maka

(

and

)

(4.10a)

Dengan mensubtitusikan persamaan (4.10) pada persamaan (4.9b) diperoleh ( )

dimana ( )

(

)

(( )(

)

)

(4.10b)

( ) is polinomial Laguerre terasosiasi yang dapat ditulis sebagai: (

)

( )

(

)

Dengan mengatur

( )

(4.11)

dan

Jika = maka persamaan tersebut akan kembali ke persamaan gelombang atom hydrogen biasa

( )

(

)

( ) ( ) ( ) commit to user

(Terbukti)



Persamaan gelombang radial lengkap dapat ditulis ( )

( )

( )

(4.12a)

atau ( )

(

( )

dimana

)

( )

(4.12b)

merupakan konstanta ternormalisasi.

Berdasarkan persamaan (4.12b) dapat diperoleh persamaan gelombang radial seperti ditunjukkan pada tabel 4.1a Tabel 4.1a Persamaan Gelombang Radial Potensial Coloumb plus Poschl-Teller I (Rnl) R5 3

Persamaan Gelombang Awal ⁄ (

√

)

⁄ (

R7 5

Gangguan

(Rn’l’)

κ=2, η=4

R5.41 3.41

κ=4, η=2

)

Persamaan Gangguan

⁄

√

(

κ=4, η=2

)

(

)

R 7.46 5.46

(

)

√

R10 7

Gelombang

(

R10.60 7.60 )

Dari tabel 4.1 dapat dibuat visualisasi grafik fungsi radial yang dapat dilihat pada gambar (4.2a) dan (4.2b). z

R5 3 0.010

R5.41 3.41

0.005

10

20

30

40

50

60

r

0.005

Gambar 4.3a. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I R5 3 dan R5.41 3.41

commit to user



z R7 5 0.004

R 7.46 5.46 0.003 0.002

R10 7

0.001

R10.60 50

r

70.60

100

150

200

0.001 0.002

Gambar 4.3b. Fungsi Gelombang Radial Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I R7 5, R 7.46 5.46, R10 7, R10.60 70.60

Pada gambar 4.3 a dan 4.3 b terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial menurun. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar 4.1.1 a,b dan c. dimana potensial Coloumb pada fungsi radial tidak mendominasi fungsi potensialnnya pada nilai e kecil. 3. Solusi Persamaan Polar PS bagian polar untuk potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I adalah (

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(4.13)

dimana l(l+1) konstanta pemisah. Dengan menggunakan transformasi variabel pada persamaan 4.13 kita peroleh ( [[

) ( (

( )

(

)( )

) )

(

)( (

) )

(

)( (

) )

]]

commit to user

(4.13)



Dengan mengkomparasikan persamaan (4.13) dan persamaan (2.40) (

) ,⃗ { ( (

⃗

)

( )

) (

)

(4.14a)

(

)}

[ ( (

)

)

(

)]

(

)

(4.14b) Menggunakan persamaan (5) and (2.42) kita dapatkan (

)

( (

√{

)

)

(

)

(

)

}

[

( (

)

)

(

)

]

(

(

)

)

(4.15) Harga k pada persamaan (4.15) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, sehingga dapat ditulis (

√(

)

(

( (

)

)(

)

(

(

) )

(

)

)

)

(4.16)

Dan diskriminan dibawah akar harus nol.

[ (

( (

)

)

)

(

)

]

{

(

)

}{

}

( (

)

)

(

)

(4.17)

Nilai dari k diperoleh dari persamaan (4.17) adalah commit to user



(

)

(√

√ )

(

)

(√

√ )

(4.18a)

(4.18b)

( (

Dengan memisalkan

)

)

dan

(

)

(

)

(4.19)

dan memasukkan persamaan (4.18) and (4,19) pada persamaan (4.17) pada kondisi

maka persamaan (4.17) menjadi (√

(√

√ √

√ √

dan

√

)

√

)

√

untuk

√

√

(4.18a)

untuk

√

(4.18b)

dapat dicafi dengan menggunakan persamaan (2.45), (4.13) dan

nilai ⃐ pada persamaan (4.14a), sehingga (√

√

(√

dan

nilai

dan

√

√

√

)

√

√

√

)

√

untuk

√

√

(4.19a)

untuk

(4.19b)

diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.15a),

(4.18a), (4.18b), (4.19a), dan 4.19). (

)

(√

√ )

(

)

(√

(√

√ √

√ )

)

(4.20a)

√

(√ to user ) commit √

(4.20b)



(√

(√

√

)

(

)

(4.21a)

√

)

(

)

(4.21b)

√

√

Agar memiliki arti fisis lebih, pilihan terbaik untuk nilai

diperoleh dari

persamaan (4.20b) dengan (4.21b), dimana √ (

)

(4.22)

Bagian pertama fungsi gelombang diperoleh dari persamaan (2.41), (4.14a) dan (4.18b). √

( (

√

)√ ( )

√ (

)

)√ (

(

)

√ (

)

(

)

)

(4.23)

Fungsi bobot dari fungsi gelombang bagian kedua diperoleh dari persamaan (2.47), (4.14a) and (4.19b) adalah √

(

√

)√ (

)√

(

)√

(

)

(

)

(4.24)

Dengan memasukkan persamaan (4.24) dan (4.14a) pada persamaan (2.46) persamaan gelombang polar bagian kedua ( ) (

)√ (

)

(

)

((

)

√ (

Sehingga, persamaan lengkap bagian polar adalah commit to user

)

(

)

) (4.25)



( )

(

)

)

√ (

)

(

)

((

)

√ (

)

(

)

(4.25) √ (

Dengan

)

dan

(4.26)

diperoleh ( )

(

)

(

)

((

)

(

)

)

(4.27)

C. Penyelesaian PS untuk Potensial Non-Sentral Hasil Kombinasi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I dengan Metode NU. Potensial Non-Sentral yang dibentuk oleh potensial Eckart dan PoschlTeller diberikan oleh: (

)

(

(

)

)

(

(

)

(

)

)

(4.28)

dengan V0 dan V1 mendiskrisikan kedalaman sumur potensial dan bernilai positif, V1>V0, a merupakan parameter positif yang mengontrol lebar potensial, ,

.

PS tiga dimensi bergantung waktu untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I adalah { {

( (

(

(

)

)

)

( )

) (

) (

(

)

commit to user

(

)

)} (

) ) (4.29)



PS tiga dimensi yang ditunjukkan pada persamaan (4.29) dpat diselesaikan dnegan (

pemisahan variabel,

(

)

( (

(

( )

(

dimana

)

( ) ( ) ( ) sehingga kita peroleh

)

) (

)

(

)

)

(4.30)

). Dari persamaan (4.30) kita dapatkan persamaan bagian

radial, polar dan azimuth dari PS yaitu: Persamaan radial:

(

)

(

(

)

)

(

)

(4.31a)

Persamaan polar: (

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(4.31b)

Persamaan Azimuth

(4.31c)

1. Solusi Persamaan Azimuth Dari persamaan (4,31c) kita dapatkan persamaan gelombang bagian azimuth: (4.32)

commit to user



2. Solusi Persamaan Radial Untuk menselesaikan PS bagian radial kita mensubtitusikan ( )

dan

{

( )

(

pada persamaan (4.31a) kita dapatkan

)

( )}

{

(

} ( )

)

( )

(4.33) Persamaan (4.33) dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan faktor sentrifugal (Y. Xu, S. He and C. S. Jia:2010) jika

(

<<<1 maka

) (

dengan

(4.34)

)

. dengan memasukkan persamaan (4.34) ke persamaan (4.33) kita

dapatkan

( )

{

(

(

))

(

(

)

)

} ( ) (4.35)

dengan

menggunakan

transformasi

( )

koordinat,

( )

pada

persamaan (4.35) kita dapatkan

(

)

{

(

( (

)) )

(

)( (

)

( (

)

commit to user

)

)( (

)

)

} (4.36)



Prosesnya: ( { {

(

{

)

)

(

(

))

( (

(

)(

)

)

(

( (

)

(

(

)(

)(

(

)

))

(

)

( (

)

)(

)

(

)

(

)( (

(

)

)(

)( (

)

( (

}

}

)

)

)

)

dikalikan

)

)

)( (

)

)

}

Dengan mengkomparasikan persamaan (4.36) dengan persamaan (2.37) kita peroleh (

̅, ̅

(

(( )

),

(4.37)

)

)

((

(

)

(

)

(

)

))

(4.38)

Dengan memasukkan persamaan (4.37) dan (4.38) pada persamaan (2.42) kita peroleh (

( ( √(

) (

((

)

) )

( ( )

)

)

)

(4.39) Harga k pada persamaan (4.39) dapat diperoleh dari kondisi bahwa pernyataan kuadrat dibawah akar merupakan kuadrat sempurna dari polynomial derajat satu, persamaam (4.39) dapat ditulis sebagai

√(

(

)

) ( commit to user

(

( (

)

((

(

)

)

) )

)



(4.40) dan (

)

)[

(( ((

)

)

)

(

(

)

)]

(4.41)

sehingga diskriminan dibawah akar harus nol. Nilai k k berdasarkan persamaan (4.41) adalah {

}

√

(4.42a)

{

}

√

(4.42b)

dimana (

)

(

dan

)

(4.43)

Dengan memasukkan persamaan (4.42a) dan (4.42b) kedalam persamaan (4.40) dan dengan

kita peroleh

(√

)

√

√

untuk

{

}

√

(4.44a)

dan

(√

√

)

√

untuk

{

}

√ (4.44b)

commit to user



dengan memasukkan persamaan (4.37), (4.44a) dan (4.44b) pada persamaan (2.45) diperoleh (√

(

(√

(

and

√ ))

√

untuk

√ ))

√

(4.45a)

untuk

(4.45b)

Untuk mendapatkan nilai eigen baru dari persamaan deferesial tipe hipergeometrik pada persamaan (2.40) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.43), (2.44), (4.42a), (4.42b), (4.44a) dan (4.44b). {

}

√

(√

√

) untuk k1

(4.46a)

{

}

√

(√

√

) untuk k2

(4.46b)

(

(√

√ ))

dan (

(√

)

(

)

√ )

(4.47a) (

(√

)

(√

(

√ ))

(

√ )

) (4.47b)

Dengan menghitung persamaan (4.46a) dengan (4.47a) atau persamaan (4.46b) dengan (4.47b) kita mendapatkan hasil yang sama, yaitu

(

)

{

(√

)

}user

commit) to (√

(4.48)



Dan sepektrum energi dari potensial Eckart dikombinasikan dengan Poschl-Teller I non-sentral yang diperoleh dari persamaan (4.48) adalah

(√

(

{

)

)

( (√

(

)

)

}

(4.49)

)

Prosesnya: (

{

)

}

√

√

(√ )

)√ (√

(√

) (√

(√

(√

√

√

( √

√

(

(√

)

√ (√

)

)

(√

)

√ ) }

(√

) (√

)

(

)

(

Dengan menggunakan persamaan (2.41) dan nilai

)√

√ )

}

)

(√

(

(√

{

{

(√

(4.44b) dan

(√

)

{

)

)

(

)

(

√ ))

)

}

)

pada persamaan (4.44a) dan

pada persamaan (4.37) fungsi gelombang bagian pertama adalah ( )

√

commit to user (4.50a)



dan )√

(

( )√

(4.50b)

Fungsi bobot bagian radial diperoleh dari persamaan (2.47), (4.37), (4.45a) dan (4.45b) adalah (

)

√

(

dan

√

)

√

(4.51a) √

(4.51b)

Bagian kedua persamaan gelombangnya adalah ( )

(

) √

((

√

)

√

)

√

√

)

(4.52a)

√

)

(4.52b)

atau ( )

(

)

√

√

((

Persamaan gelombang radial diperoleh dengan memasukkan persamaan (4.50a), (4.51a) dan (4.52a) atau menggunakan persamaan (4.50b), (4.51b) dan (4.52b) adalah

( )

( )

(

)

√

√

(

)

((

√

)

(

√

)

)

(4.53a) atau ( )

( )

(

)

√

(

)

√

((

)

√

(

)

√

)

(4.53b)

(

dengan (√

)

)

dimana

(

dan (

)

) commit to user

(√

)



Agar memiliki arti fisisi kita memilih persamaan gelombangnya adalah ( )

( )

(

)

√

)√

(

((

√

)

(

√

)

) (4.53c)

Dan pemilihan harga k,

dan

adalah k1,

Persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.50a) adalah persamaan tipe hypergelometrik dengan persamaan fungsi bobot pada persamaan (4.51b). √

Pengecekan kondisi awal: Jika persamaan

( )

(

)

,

,√

hasilnya

sama

dan n=0, maka

dengan

menggunakan

hipergeometri. Dengan menggunakan persamaan 4.53c dapat diperoleh grafik visualisasi dengan nilai l yang berbeda. Persamaan gelombang radialnya dapat dilihat pada tabel 4.2b Tabel 4.1b Persamaan Gelombang Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller I No. 1.

Rnl R1 0

2.

R4 3

Persamaan Gelombang ( ) ( ) ( ( ( (

3.

) ( (

)

)

( (

R4 3.73 (

) (

)

)

)

)

( ( (

)

)

(

)

)

) (

(

(

)

(

)

)

( (

)

)

)

)

Berdasarkan tabel 4.2b dapat divisualisasikan untuk persamaan gelombang polar dengan menggunakan software matematica 8.0. Visualisasi bentuk gelombang radial dapat dilihat pada gambar 4.3 c. commit to user



z

R4 3.73

8 10 19

R4 3 6 10 19

4 10 19

2 10 19

R1 0 3.25

3.30

3.35

3.40

3.45

3.50

r

Gambar 4.3 c. Persamaan Radial Potensial Eckart Plus Poschl-Teller R1 0, R4 3, R4 3.73

Pada gambar 4.3 c terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial naik. Hasil ini sesuai dengan sesuai dengan kesimpulan gambar 4.1.2 b. dimana potensial Eckart pada fungsi radial sudah mempengaruhi fungsi potensialnnya pada Pada a=10. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I. perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb berkebalikan,

sehingga persamaan

gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan. 3. Solusi Persamaan Polar PS bagian polar untuk potensial Eckart dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral adalah (

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(4.52)

Bentuk persamaan ini sama dengan persamaan (4.13) sehingga menghasilkan commit to user hasil yang sama pula. Persamaan bagian polar untuk potensial Eckart



dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral sama dengan potensial Coloumb dikombinasikan dengan potensial Poschl-Teller I non-sentral. Solusinya: ( )

(

)

(

)

((

)

(

)

)

(4.27)

Fungsi gelombang pada persamaan (4.27) dapat divisulisasikan pada tabel 4.2. Visualiasasi fungsi gelombang polar 2D dan 3D menggunakan bantuan software Matematica 8.0. Penurunan fungsi gelombang juga dilakukan dengan menggunakan software matematica. Untuk mengecek hasil perhitungan komputer, penurunan secara manual juga dilakukan. Setelah proses penurunan selesai, grafik divisualisasikan dalam bentuk 2 dimensi (2D) koordinat polar maupun 3 Dimensi 3D pada kordinat bola. Cara memperoleh fungsi gelombang secara manual pada tabel 4.2 kami paparkan sebagai berikut: ( ) (

(

( )

(

( ) ( (

) ( )

((

) (

)

)

) { (

(

) }

)(

)

)

)

(

)

) {

( (

(

(

)

((

) ( )( )

)

) ( (

) (

) {

( )) commit to user

( ) (

)

)

(

) }

( )

(

)}

)



( ) (

(

((

)(

) )

)

{ (

)

)

(

)

)}

)( ( )

(

( )

) { (

) ( (

( )

)

)

)

)

(

(

)}

)

((

(

)

(

)

)

( ) ( ( ) )

)

(

)

(

(

( )

(

)

(

)

(

) (

(

)

( ) (

) (

)

( (

)

))

( ( ) ( )

(

(

)

)

(

( )

))

( (

(

))

Pembuktian kondisi awal: Dari persmaan tingkat enrgi potensial Eckart kita dapat enghitung energi pada kasus khusus untuk Eckart potensial kita memilih: , sehingga spectrum enegri untuk potensial Eckart adalah [√

{ [√

sehingga

( )

( )

]

(

)

} (g)

]

or

m adalaah bilangan kuntum magnetik, bilangan bulat positif , so

selalu bilangan positif.

commit to user



Kasus Khusus

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

(

)

) (

)

(

)

Sehingga

(

) (

( )

((

)

(

(

)

)

)

(

(

)

(

)

((

)

)

(

)

( ) ( )

(

) (

(

(

)

)

(

(

) (

)

)

(

) ) (

(

)

)

(

)

Untuk

(

)

((

)

( )

(( (

)

(

(

(

)

)

; sehingga kita perileh (

)

) (

))

commit to user

(

(

)

)

))

) (

)

)



( ( (

)

(

(

) )

)(

)

(

(

(

)

(

))

)

( (

)

(

))

)

Sehingga

(

untuk

(( (

)

( (

(

)

)

( (

))

) (

) )

(

)

)

) ( (

(

untuk

))

(

) ()

maka

(( (

) (

(

) (

) )

)

) (ok)

(

)

untuk Persamaan dan visualisasi fungsi gelombang dapat dilihat pada tabel 4.2 (z merupakan koordinat simetri yang berperan sebagai amlitudo gelombang, merupakan koordinat polar dan Azimuth. commit to user



Tabel 4.2 Visualisasi Gambar dan Fungsi Gelombang

Fungsi Gelombang ( )

3 Dimensi (3D)

2 dimensi (2D) 1.0

0.5

2

1

1

2

0.5

1.0

(

) (

( ))

1.5

1.0

0.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

(

)( ))

(

(

(

) ( (

1.5 1.0 0.5 4

2

2

4

0.5 1.0 1.5

))

)

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

(

(

(

) (

))

)

2

1

2

1

1

2

1

2

(

)

(

1.0

(

0.5

))

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

( (

) ( )

)

1.5

1.0

0.5

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

0.5

1.0

1.5

1.5

(

( (

)

( {

0.5

( ( (

1.0

) ( (

)) ) }

2

1

1 0.5

1.0

) )

1.5

commit to user

2



Fungsi Gelombang ( )

( (

3 Dimensi (3D)

2 dimensi (2D)

)

2

1

) (

)

3

2

1

1

2

3

1

2

( (

) ( ) (

) )

2

1

2

1

1

2

1

2

Berdasarkan pada Tabel 4.2 Terlihat bahwa potensial Pöschl–Teller I NonSentral dapat merubah fungsi gelombang. Perubahan fungsi gelombang ini disebabkan karena adalanya perubahan fungsi l. fungsi gelombang pada tabel 4.2 kita perbesar ukurannya untuk mempermudah pengkajian seperti ditunjukan pada

0.5

1.0

1.5

gambar 4.5, 4.6 dan 4.7.

z Gambar 4.5. Fungsi gelombang 2D dan 3D

commit to user

1.0

0.5 1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

z


1

2


1.5

1.0

0.5 1

0.5

1.0

1.5

z

2

z

1

2

Gambar 4.6. Fungsi gelombang 2D dan 3D

2

1 2

1

1

2

z

z Gambar 4.7 Fungsi gelombang 2D dan 3D

Pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 tampak bahwa gangguan parameter mempengaruhi fungsi gelombang. Parameter

memecah fungsi sudut

commit to user

dan

dengan



fungsi sudut sudut

kecil, parameter

memecah fungsi sudut

dengan fungsi

besar. Lebih jelasnya perhatikan gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7c (nilai )

z

Gambar 4.7a Fungsi gelombang 2D

z

Gambar 4.7b Fungsi gelombang 2D

commit to user



z

Gambar 4.7c Fungsi gelombang 2D

Dari gambar 4.7a, 4.7 b dan 4.7 c terlihat bahwa terjadi perubahan panjang gelombang. Panjang gelombang sebelum terganggu (4.7a) sebersar menjadi 2.5

berubah

(4.7b) dan (4.7c) dengan nilai z yang mengalami perubahan. Nilai z

yang tidak konstan menunjukkan bahwa vibrasi yang terjadi berubah-ubah, tetapi tetap periodik. Gangguan parameter

dan

dapat menaikkan fungsi gelombang.

z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan perbesaran parameter. Jika parameter

dan

tidak nol, parameter

menghasilkan nilai z lebih besar pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi (momentum) juga lebih besar, tetapi, kerapatan parameter

lebih besar daripada parameter .

Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg. Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa: dengan

commit to user naik, . Jika > , maka atau

equivalen atau

menurun, jika



< , maka maka

atau

pada perubahan orbit.

turun,

atau

naik. Parameter juga berdampak

yang berada pada orbital d, setelah diganggu menjadi

berpindah ke orbital f. D. Analisis Energi pada Potensial Non-Sentral Kombinasi Coloumb Plus Pöschl–Teller I dan Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I 1. Analisis Energi pada Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller I Dengan menggunakan persamaan (4.48) dan mengambil nilai parameter =4 dan

=2 diperoleh grafik tingkat energi seperti ditunjukkan pada gambar 4.8. 0

-5

-10

-15 Tanpa Parameter

Dengan Parameter

Gambar 4.8 Tingkat Energi Potensial Coloumb Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.

Grafik pada gambar 4.8 menunjukkan bahwa parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menambah nilai energi tiap tingkatan. Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter menghasilkan energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV. Penambahan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap tingkatannya. Dampak potensial pengganggu berdasarkan grafik 4.2 dapat menaikkan tingkat energi. Potensial Coloumb yang berbentuk sumur commit to user menyebabkan enrgi ikat electron mengecil, sehingga electron mudah tereksitasi.



2. Analisis Energi pada Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller I Non-Sentral Grafik tingkat energi diperoleh dari persamaan (4.49). Dengan memilih =1,

=4 dan

=2 diperoleh grafik seperti pada

gambar 4.9.

0

-500 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 Tanpa Parameter

Dengan Parameter

Gambar 4.9 Tingkat Energi Potensial Eckart Plus Pöschl–Teller Non-Sentral.

Berkebalikan dengan Grafik pada gambar 4.9, pada gambar 4.9,. Fungsi parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai energi tiap tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa parameter

menghasilkan

energi

-1219.568425

MeV,

dengan

parameter

menghasilkan energi -2723.240661MeV. Pengurangan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap tingkatannya. Potensial Eckart dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan potensial Coloumb, ketika potensial Eckart dengan faktor sentrifugal mengalami gangguan, dominasi medan potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan pengganggu tidak menurunkan energi gap, malah menaikkan energi gap. Dari bentuk potensialnya, potensial commit to user



Eckart berbentuk bukit, sedangkan potensial Coloumb berbentuk lembah. Bentuk kedua potensial ini menyebabkan hasil tingkat energinya berkebalikan. Walaupun hasilnya berkebalikan dengan potensial Coloumb plus Pochl-Teller I, karena bentuk dasar dari potensial Eckart plus Pochl-Teller I Non-Sentral adalah bukit, maka semakin negatif tingkat energinya, maka energi ikat partikel semakin mudah terlepas. Penurunan tingkat energi ini menyebabkan jarak antar partikel semakin jauh, sehingga amplitude gelombang radial membesar. Hasil ini sesuai dengan analisis fungsi gelombang radial. E. Dampak Spesifik Parameter Terhadap Tingkat Energi Dampak spesifik parameter terhadap kenaikan tingkat energi pada potensial Coloumb plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.3. Tabel 4.3 Dampak Spesifik Parameter terhadap Kenaikan tingkat Energi Pada Potensial Coloumb Plus Posch-Teller I m

κ

η

1

0

2

4

-0.46395

1

0

4

2

-0.24411

2

0

2

4

-0.19209

2

0

4

2

-0.1242

1

1

2

4

-0.41392

1

1

4

2

-0.23511

1

1

2

4

-0.41392

1

1

4

2

-0.23511

n

En

Tabel 4.3 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.8) dengan mengganti nilai l d dengan l’ yang merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan. Berdasarkan tabel 4.2 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan kenaikan tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter tersebut commit to user



sama-sama dapat menaikkan tingkat energi. Meskipun parameter κ memberikan kenaikan tingkat yang lebih baik daripada parameter η, kerapatan yang dihasilkan parameter κ menaglami penurunan (kecil). Pada nilai n=1 dan m=0, parameter κ=4 dan η=2 menghasilkan energi=-0.24411 MeV, sedangkan pada parameter κ=2 dan η=4 menghasilkan energi -0.46395 MeV. Dampak spesifik parameter terhadap penurunan tingkat energi pada potensial Eckart plus potensial Poschl-teller I dapat dilihat pada tabel 4.4. Tabel 4.4 Dampak Spesifik Parameter terhadap Penurunan tingkat Energi Pada Potensial Eckart Plus Posch-Teller I n 0

m 0

κ 4

η 2

0

0

2

4

-23.933

1

0

4

2

-190.75

1

0

2

4

-103.131

0

2

4

2

-87.1516

0

2

2

4

-43.8032

En -70.3453

Tabel 4.4 diperoleh dari memasukkan persamaan (4.49) dengan mengganti nilai l d dengan l’ , l’ merupakan bilangan kuantum obital baru akibat gangguan. Berdasarkan tabel 4.4 dapat dismpulkan bahwa parameter κ memberikan penurunan tingkat energi yang lebih baik daripada parameter η. Kedua parameter tersebut sama-sama dapat menurunkan tingkat energi. F. Konversi Potensial Non-Sentral ke potensial dasar Coloumb Konversi potensial Non-Sentral ke potensial Coloumb disajikan pada tabel 4.5.

commit to user



Tabel 4.5 Konversi Potensial non sentrakl ke potensial dasar Coloumb No. Potensial Batasan-batasan ( ) ( ) 1. Jika parameter dan =0 maka ( ) { ( )} potensial yang bekerja hanya potensial Coloumb. 2. Jika hanya =0, maka potensial yang bekerja adalah potensial ring shape. 3. Jika hanya =0, maka potensial yang bekerja adalah cosecant kuadrat teta. 4. Potensial Coloumb akan tampak ketika nilai e (muatan lebih dari 100C) (

) (

(

( )

(

( )

)

)

)

Jika V1=0, parameter dan =0 maka persamaan V0=1, maka persmaan menjadi V=

(

)

=

[] =

(

)

. Dengan

( ) <<<0. Maka nilai =, persamaan potensial tersebut akan kembali pada potensial Coloumb.

commit to user


digilib.uns.ac.id 84

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan Bedasarkan pembahasan yang telah dipaparkan pada bab IV dapat kami simpulkan bahwa: 1. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi Coloumb plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan metode NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk

dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk

untuk persamaan gelombang radial dan (

)

untuk porsamaan polar dan azimuth. Persamaan gelombang radial terganggu mengalami penurunan z (koordinat simetri yang berperan sebagai amplitude gelombang) jika dibandingkan dengan gelombang sebelum terganggu. Dilihat dari bentuk dan fungsi potensial, potensial Coloumb tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I jika nilai e kecil, dengan kata lain potensial Pöschl–Teller I lebih dominan dibandingkan dengan potensial Coloumb. Fungsi gelombang pada koordinat polar dan azimuth juga mengalami gangguan. Berbeda dengan koordinat polar, gangguan pada kordinat polar dan commit to user azimuth mengalami Gangguan parameter dan dapat menaikkan fungsi gelombang. z 84



dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami kenaikan seiring dengan perbesaran parameter. Jika parameter

dan


menghasilkan nilai z lebih besar

pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga kenaikkan tingkat energi (momentum) juga lebih besar, tetapi, kerapatan parameter

lebih besar daripada parameter

. Hasil ini sangat bersesuaian dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg, jika kerapatan tinggi (posisi lebih mudah ditentukan), energi partikel rendah, ketika energi partikel tinggi maka kerapatan yang dihasilkan rendah. Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan tidak konstan tetapi tetap periodik. Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada intrepetasi gelombang. parameter pada potensial Pöschl–Teller I dapat menambah nilai energi tiap tingkatan. Peningkatan energi terbesar pada kondisi Eo. Eo tanpa parameter menghasilkan energi -13.6 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -3,80 MeV. Pada potensial Eckart terlihat bahwa fungsi radial terganggu, amplitude gelombang fungsi radial naik. Hasil ini berkebalikan dengan kesimpulan pada potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I.

perlu diingat bahwa bentuk potensial eckart dan potensial Coloumb

berkebalikan, sehingga persamaan gelombang yang dihasilkan pun berkebalikan. Fungsi parameter pada potensial Pöschl–Teller I Non-Sentral dapat menurunkan nilai energi tiap tingkatan. Penurunan energi terbesar pada kondisi E12. E12 tanpa parameter menghasilkan energi -1219.568425 MeV, dengan parameter menghasilkan energi -2723.240661MeV. 77 Pengurangan ini disebabkan perubahan bilangan kuantum l sehingga merubah energi tiap tingkatannya.

Potensial Eckart dengan faktor sentrifugal lebih stabil dibandingkan

potensial Coloumb, ketika potensial Eckart

dengan faktor sentrifugal mengalami

gangguan, dominasi medan potensialnya masih kuat sehingga pengaruh medan to user pengganggu tidak menurunkan energicommit gap, malah menaikkan energi gap.



2. Penyelesaian persamaan energi dan fungsi gelombang potensial non sentral hasil kombinasi Eckart plus Pöschl–Teller I dapat diselesaikan dengan menggunkan metode NU. Persamaan energi dinyatakan dalam bentuk : {

(√

) (√

}

)

dan bentuk persamaan gelombang dinyatakan dalam bentuk √

√

√

(

(

)

√

)

untuk persamaan gelombang radial,

(

)

untuk porsamaan polar dan azimuth. Dilihat dari bentuk dan fungsi potensial, potensial Eckart tidak tampak ketika diganggu oleh potensial Pöschl–Teller I jika nilai a kecil, tapi sudah menunjukkan bentuk potensialnya ketika a dinaikkan 10. Ini menunjukkan bahwa potensaial Eckart lebih dominan dibandingkan dengan Coloumb ketiha mengalami gangguan potensial Pöschl–Teller I non sentral. Fungsi gelombang pada koordinat polar dan azimuth juga mengalami gangguan. Pada kordinat polar dan azimuth mengalami Gangguan. Parameter

dan

dapat menurunkan fungsi

gelombang. z dalam hal ini amplitude gelombang juga mengalami penurunan seiring dengan perbesaran parameter. Jika parameter

dan


menghasilkan nilai z yang lebih kecil pada periode tertentu dibandingkan dengan parameter , sehingga penurunan tingkat energi (momentum) juga lebih tajam. Hasil ini berkebalikan dengan potensial Coloumb plus potensial Posch-Teller I non sentral. Vibrasi molekul yang dihasilkan akibat gangguan tidak konstan tetapi tetap periodik. commit to user



Hal ini dapat dilihat dari perubahan nilai z pada intrepetasi gelombang. parameter pada potensial Pöschl–Teller I. 3. Bentuk visualisasi gelombang bagian sudut dalam 2 dimensi dan 3 dimensi dapat dibuat menggunakan program matematica 8.0. Simulasi potensial dan komputasi fungsi radial juga dapat dibuat melalui program matematica. Visualisasi 2 dimensi menggunakan koordinat kartesian dan polar, visualisasi 3 dimensi menggunakan koordinat kartesian dan bola. Fungsi tingkat energi juga dapat digambarkan dengan program matematica 8.0. pada thesis ini peneliti menggunakan program M.S exel karena dipandang lebih detail.

B. Saran Berdasarkan hasil seminar Fisika LIPI pada tanggal 20 juli 2012, ada empat saran dari para pakar: 1. Menngkaji bentuk potensial lain dan menyimpulkan potensial mana

yang

menghasilkan tingkat energi lebih tinggi. 2. Melakukan perhitungan secara numerik fungsi gelombang, kemudian membandingkan hasil fungsi tersebut dengan hasil analitik. 3. Pengkajian lebih mendalam hasil teori terhadap Fisika terapan, misalnya material. 4. Mewujudkan perhitungan teoritik menjadi sebuah simulasi produk (rancangan alat)

yang dapat menggambarkan dan atau mengukur potensial setiap bahan material.

commit to user

SOLUSI PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL KOMBINASI POTENSIAL COULOMB, ECKART PLUS POTENSIAL PÖSCHL-TELLER I MENGGUNAKAN METODE

Recommend Documents