Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger menggunakan AIM untuk Potensial Scarf II Terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik Fery Widiyanto, Suparmi, dan Cari Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Jl. Ir Sutami 36 A Surakarta
[email protected]
ABSTRACT Solution of the Schrӧdinger Equation for combined Pӧschl-Teller Potential, q deformed Scarf II Potential and Scarf Trigonometric Potential using Asymptotic Iteration Method (AIM). The combination of the three potential is substituted into the Schrӧdinger Equation is independent of time, then the separation of variables into radial part, and anguler part and azimuth part. Radial, anguler and azimuth part equation solved by reducing them to the hipergeometry intermediaries equation, to further resolved to follow the AIM. With the AIM, the energy equation and the number equations inovolved 𝜆1 at anguler part and 𝜆2 at azimuth part can be obtained, where both are interrelated between quantum numbers. Energy equation also numerically solved using Matlab software, where the increase in the radial quantum number 𝑛𝑟 causes increase and decrease in the energy. Radial part of the wave function and the angular are defined as hipergeometry functions and visualized with Matlab software. The results show that the disturbance of Poschl-Teller potential and Trigonometric Scarf Potential change probability in the wave function of the radial part and the wave function of the angular and azimuth part. Keywords: Schrӧdinger equation, Pöschl-Teller potential, deformed-q Scarf II potential, Trigonometric Scarf Trigonometric, Asymptotic Iteration Method.
ABSTRAK Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger kombinasi potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q dan potensial Scarf Trigonometri menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM). Kombinasi dari ketiga potensial disubstitusikan ke dalam persamaan Schrӧdinger tak bergantung waktu, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth. Persamaan bagian radial, sudut anguler dan azimut ini diselesaikan dengan mereduksi menjadi persamaan perantara hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan mengikuti AIM. Dengan AIM, persamaan energi dan persamaan bilangan yang melibatkan 𝜆1 untuk bagian sudut anguler dan 𝜆2 untuk bagian azimuth dapat diperoleh, dimana keduanya saling berkaitan antar bilangan kuantum. Persamaan energi diselesaikan pula secara numerik menggunakan sofware Matlab, dimana kenaikan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 menyebabkan kenaikan dan penurunan nilai energi. Fungsi gelombang bagian radial dan bagian sudut ditentukan dalam bentuk fungsi hipergeometri dan divisualisasikan dengan software Matlab. Hasilnya menunjukkan bahwa gangguan yang dilakukan potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri mengakibatkan perubahan probabilitas pada fungsi gelombang bagian radial dan fungsi gelombang bagian sudut anguler dan azimuth. Kata kunci: persamaan Schrӧdinger, potensial Pöschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q, potensial Scarf Trigonometrik, metode iterasi asimtot.
1
PENDAHULUAN
Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Solusi untuk persamaan Schrodinger memperoleh fungsi gelombang yang nantinya digunakan untuk mengetahui bagaimana perilaku elektron. Persamaan ini dapat diselesaikan dalam bentuk persamaan energi dan fungsi gelombang suatu sistem partikel. Beberapa jenis potensial, terutama jenis penyelesaian eksak dari persamaan Schrodinger ini hanya mungkin untuk momentum sudut = 0. Tetapi pada saat momentum sudutnya ≠ 0 maka persamaan Schrodinger hanya dapat diselesaikan melalui sebuah pendekatan metode yang sesuai seperti 1 metode Iterasi Asimptotik, metode ekspansi 𝑁 , metode Nikiforov-Uvarov,dan metode Supersimetri di mekanika kuantum [1]. Dalam mekanika kuantum, digunakan pendekatan yang berbeda-beda dalam menentukan besaran yang terkait dengan gerak partikel. Penyelesaian fungsi gelombang dari partikel yang bergerak dapat diperoleh menggunakan persamaan Schrodinger.[2] Persamaan Schrodinger untuk potensial Scarf II terdeformasi q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometrik dapat diselesaikan menggunakan metode Iterasi Asimptotik karena metode ini dapat menyelesaikan semua jenis potensial bagian radial, sudut, dan azimut. Metode penyelesaian persamaan Schrodinger untuk suatu partikel yang bermuatan pada potensial sentral dan non sentral telah dikembangkan Metode Iterasi Asimptotik. Penyelesaian potensial non sentral untuk potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik disubstitusikan ke persamaan Schrodinger dalam bentuk koordinat bola. Dalam penelitian ini fungsi gelombang dan energi menggunakan persamaan Schrodinger dalam bentuk ruang 3 dimensi. Jenis potensial yang digunakan untuk penyelesaian persamaan Schrodinger untuk ruang 3 dimensi ini antara lain Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trignometrik. Persamaan energi dan fungsi gelombang persamaan Schrӧdinger dapat divisualisasikan melalui listing program menggunakan Software Matlab 7.1. METODOLOGI PENELITIAN
Alat dab Bahan Penelitian Penelitian ini menggunakan seperangkat laptop LENOVO dan sofware Matlab 7.1. Bahan yang diteliti adalah persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik, dimana penyelesaiannya menggunakan Metode Iterasi Asimptotik. Studi literatur Dalam penelitian ini, dilakukan studi literatur terkait persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometri. Selain itu, juga dilakukan studi literatur terkait metode Iterasi Asimtot yang akan digunakan untuk menyelesaikan potensial-potensial tersebut sehingga diperoleh persamaan energi dan fungsi gelombang bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth. Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik. Pada tahapan ini dilakukan penulisan persamaan kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik yang diperoleh dari studi literatur. Kombinasi ketiga potensial tersebut adalah sebagai berikut:
2
ћ2
𝑉(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝐵2 +𝐴(𝐴−1)
1 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃
(
𝑐𝑜𝑠2 𝜑
2𝑚
[𝛼 2
(
𝑏2 +𝑎(𝑎+1) 2 𝛼𝑟 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
1 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
2𝐵(𝐴− ) 𝑠𝑖𝑛 𝜑
+
−
1 2
2𝑏(𝑎+ )𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 2 𝛼𝑟 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
𝑘(𝑘−1)
𝜆(𝜆−1)
) + (𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃) +
)]
(1)
Untuk k, λ merupakan konstanta kedalaman pada potensial Poschl-Teller, sedangkan a, b ,α merupakan konstanta kedalaman pada potensial Scarf II dan A, B merupakan konstanta pada kedalaman potensial Scarf Trignometrik. Penulisan Persamaan Schrӧdinger Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri dengan Koordinat Bola untuk gabungan bagian radial, sudut anguler, dan sudut azimuth. Penentuan Persamaan Schrӧdinger dalam koordinat bola dari kombinasi potensial Scarf II (𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 ) terdeformasi-q plus potensial Pӧschl-Teller (𝑉𝑃𝑇 ) dan potensial Scarf Trigonometrik (𝑉𝑆𝐹 ) sebagai berikut: ћ2
𝑉𝑃𝑇(𝜃)=
𝛼2 ( 2𝑚
𝑉𝐺𝐼𝑉 (𝜑) = 𝜕
𝑅(𝑟) 𝜕𝑟
( 𝑠𝑖𝑛2𝜃 +
ћ2
𝑉𝑆𝐹(𝑟)=
1
𝑘(𝑘−1)
2𝑚
(𝑟 2
2𝑚
ћ2 2𝑚 𝜕
𝜆(𝜆−1) 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑏2 +𝑎(𝑎+1)
(
2 𝛼𝑟 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞
𝐵2 +𝐴(𝐴−1) 𝑐𝑜𝑠 2𝜑
𝑅(𝑟)) +
𝜕𝑟 2𝑚
1
)
− +
(2) 1 2
2𝑏(𝑎+ )𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑞2 𝛼𝑟 1 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑
2𝐵(𝐴− ) 𝑠𝑖𝑛 𝜑
1
𝜕
(sin 𝜃
sin 𝜃 𝛩(𝜃) 𝜕𝜃 2𝑚 𝑉𝑆𝐹𝑇 (𝜑)
)
(3)
)
(4)
𝜕
𝛩(𝜃 )) +
𝜕𝜃 2𝑚𝑟 2
1 𝑠𝑖𝑛2𝜃
1
𝜕2
𝜙(𝜑) 𝜕𝜑2
𝜙 (𝜑 ) −
𝑟 2 𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − ћ2 𝑉𝑃𝑇 (𝜃 ) − ћ2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = − ћ2 𝐸 (5) untuk persamaan (4) dipisahkan menjadi persamaan Schrӧdinger bagian radial, bagian sudut anguler dan sudut azimuth. Untuk bagian radial, hasilnya sebagai berikut: 1 𝜕 𝜕 2𝑚 (𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅(𝑟)) − ћ2 𝑟 2 (𝑉𝑆𝐹𝐼𝐼 (𝑟) − 𝐸) − 𝜆1 = 0 (6) 𝑅(𝑟) 𝜕𝑟 ћ2
sedangkan untuk bagian angular ditunjukkan pada Persamaan (4), 1
𝜕
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝛩(𝜃) 𝜕𝜃 (𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝜕 𝜕𝜃
𝛩(𝜃 )) −
2𝑚 ћ2
𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑉𝑃𝑇 (𝜃 ) + 𝜆1 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝜆2 = 0
(7)
dan bagian sudut azimut dinyatakan pada Persamaan (5): 1
𝜕2
𝜙(𝜑) 𝜕𝜑2
𝜙 (𝜑 ) −
2𝑚 ћ2
𝑉𝑆𝐹𝑇 (𝜑) + 𝜆2 = 0
(8)
Penentuan Fungsi Energi dan Fungsi Gelombang untuk bagian Radial, Anguler dan Azimuth Persamaan Schrӧdinger dengan Koordinat Bola untuk Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik Persamaan bagian radial yang ditunjukkan pada Persamaan (6), sedangkan bagian angular pada Persamaan (7) dan bagian azimuth pada Persamaan (8) akan direduksi menjadi persamaan perantara hipergeometri dengan pemisalan variabel yang sesuai ditunjukkan pada persamaan (9)[2] : 𝐹 (𝑧) = 𝑧 𝛼 (1 − 𝑧)𝛽 𝑓(𝑧) (9) dari Persamaan (9) ditransformasikan ke persamaan diferensial orde dua tipe AIM sebagai berikut [3]: 𝑓 ′′(𝑥 ) − 𝜆0 (𝑥 )𝑓 ′(𝑥 ) − 𝑠𝑜 (𝑥 )𝑓(𝑥 ) = 0 (10) dari langkah tersebut, maka bisa diperoleh nilai 𝜆0 dan 𝑠𝑜 , untuk kemudian dilakukan iterasi dengan mengacu persamaan (10) berikut ini[4]:
3
𝜆𝑖 (𝑥 ) = 𝜆𝑖−1 ′ + 𝜆𝑖−1 𝜆0 + 𝑠𝑖−1 𝑠𝑖 (𝑥 ) = 𝑠𝑖−1 ′ + 𝑠𝑜 𝜆𝑖−1 𝑖 = 1,2,3, …
(11)
selanjutnya harga nilai eigen dapat dicari dengan Persamaan (12) berikut: 𝜆𝑖 (𝑥)𝑠𝑖−1 (𝑥) − 𝜆𝑖−1 (𝑥)𝑠𝑖 (𝑥) = 0 = ∆𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 …. (12) sementara untuk menetukan fungsi eigen untuk penentuan fungsi gelombang, digunakan Persamaan (12)[5]: 𝑓(𝑥 ) = 𝐶′𝑒 − ∫ 𝛼𝑛(𝑥)𝑑𝑥 (13) untuk 𝐶′ merupakan konstanta normalisasi dari Persamaan (13) dengan menggunakan aspek asimtotik dari metode iterasi untuk nilai 𝑖, nilai ∆ didefinisikan sebagai: 𝑠𝑖 𝑠 = 𝜆𝑖−1 ≡ ∆ (14) 𝜆 𝑖
𝑖−1
Persamaan (13) dapat digeneralisasikan menjadi Persamaan (15), diperoleh: 𝑓(𝑥 ) = (−1)𝑛 𝐶 ′(𝑁 + 2)𝑛 (𝜎)𝑛 2𝐹1 (−𝑛, 𝑝 + 𝑛, 𝜎, 𝑏𝑥 𝑁+2 ) dimana, (2𝑐+1)𝑏+2𝑡 Γ(𝜎+𝑛) 2𝑐+𝑁+3 (𝜎 )𝑛 = ,𝜎= 𝑝 = (𝑁+2)𝑏 Γ(𝜎)
𝑁+2
(15) (16)
Parameter-parameter pada Persamaan (16), diperoleh dengan membandingkan antara persamaan tipe AIM yang terbentuk untuk bagian radial ataupun sudut bagian anguler dan azimuth dengan Persamaan (16), yaitu[6]: 𝑡𝑥 𝑁+1
𝑐+1
𝑊𝑥 𝑁
𝑓 ′′(𝑥 ) = 2 (1−𝑏𝑥𝑁+2 − 𝑥 ) 𝑓 ′(𝑥 ) − 1−𝑏𝑥𝑁+2 (17) sehingga dapat diperoleh eigen energi dan fungsi gelombang dari Persamaan Schrodinger untuk kombinasi potensial potensial Scarf II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometrik. Visualisasi Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang dengan Software Matlab 7.1 Hasil perhitungan yang diperoleh untuk fungsi gelombang dan energi yang nilainya bergantung pada bilangan kuantum dan konstanta potensial diselesaikan secara numerik dan divisualisasikan dengan software Matlab 7.1. yaitu dengan memasukkan angka ke dalam masing-masing bilangan kuantum dan konstanta potensial yang mempengaruhi fungsi gelombang dan fungsi energi. Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Analisis yang dilakukan adalah analisis secara teori dari kombinasi potensial potensial Scarf II terdeformasi-q plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri menggunakan metode iterasi asimtot. Berdasarkan persamaan energi dan fungsi gelombang yang diperoleh dilakukan analisis bagaimana pengaruh keberadaan potensial potensial Scarf II terdeformasiq plus Poschl-Teller dan potensial Scarf trigonometri terhadap fungsi gelombang dan energi persamaan Schrӧdinger. Kesimpulan Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan penyelesaian fungsi gelombang dan energi, serta visualisasi yang diperoleh. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian Bagian Radial dari Kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik Persamaan bagian radial ditunjukkan pada Persamaan (6) diselesaikan dengan pendekatan berikut: 1
𝛼2
1
≈ 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝛼𝑟 = 4𝑞𝑧(𝑧−1) 𝑟² 𝑞
(18)
dengan mensubstitusikan Persamaan (18) ke Persamaan (6) dan dengan menyederhanakan persamaan serta dilakukan subtitusi variabel 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 = (1 − 2𝑧)√𝑞, dapat diperoleh: 4
𝜕2
1
𝜕
𝑧(1 − 𝑧) 𝜕𝑧 2 𝑈(𝑧) + 2 (1 − 2𝑧) 𝜕𝑧 𝑈(𝑧) + [ (−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 ) 𝑞
4(1−𝑧)
−
2𝑚𝐸 ћ2 𝛼 2
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 ) 𝑞
4𝑧
+
] 𝑈 (𝑧 ) = 0
(19)
Persamaan (19) harus direduksi ke persamaan perantara hipergeometri, dengan substitusi variabel berikut: 𝑈(𝑧) = 𝑧 𝜌 (1 − 𝑧)𝛽 𝑓(𝑧) (20) sehingga Persamaan (19) menjadi: 𝑧 (1 − 𝑧 )𝑓 2𝜌𝛽 +
′′ (
1
𝑧) + [(2 𝜌 + 2) − (2𝜌 + 2𝛽 + 1)𝑧] 𝑓′(𝑧) + [
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 ) 𝑞
4𝑧
+
(−𝑏−2𝑎𝑏)√𝑞−(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 ) 𝑞
4(1−𝑧)
−
1 2
𝜌2 − 𝜌 𝑧 2𝑚𝐸 ћ2 𝛼 2
+
1 2
𝛽2 − 𝛽 1−𝑧
− 𝜌 2 − 𝛽2 −
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(21)
dimana, 1
−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2+𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
1
𝜌 = 4−2 √ 1
1
𝛽 = 4−
2
𝑞 (𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+ (𝑏 2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 )
√
𝑞
1
+4
+
(22)
1
(23)
4
untuk diselesaikan menggunakan AIM, maka Persamaan (21) harus ditransformasi dalam bentuk persamaan diferensial tipe AIM seperti ditunjukkan pada Persamaan (10), maka 1 Persamaan (20) harus dikalikan dengan 𝑧(1−𝑧), sehingga diperoleh: 𝑓
′′ (
1 2
(2 𝜌+ )−(2𝜌+2𝛽+1)𝑧
𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
2𝑚𝐸
] 𝑓′(𝑧) +
− 2 2 −(𝜌+𝛽)2 [ ћ𝛼 𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(24)
Persamaan (24) sudah sesuai dengan persamaan tipe AIM seperti Persamaan (10), sehingga dapat diperoleh, 𝜆0 (𝑧) = 𝑠𝑜 (𝑧) =
1 2
(2𝜌+2𝛽+1)𝑧−(2𝜌+ ) 𝑧(1−𝑧) 2𝑚𝐸 (𝜌+𝛽)2 + 2 2 ћ 𝛼
𝑧(1−𝑧)
(25) (26)
Selanjutnya dilakukan iterasi nilai 𝜆𝑖 dan 𝑠𝑖 , dimana i menyatakan iterasi, untuk mendapatkan nilai eigen dari persamaan. Dengan menggunakan Persamaan (11), eigen nilai energi dapat diperoleh. Penyelesaian iterasi yang mengacu Persamaan (11) diselesaikan menggunakan software Matlab, yang hasilnya adalah sebagai berikut: ∆0 𝜀0 = (𝜌 + 𝛽)2 ∆1 𝜀1 = (2𝜌 + 2𝛽 + 1) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 1)2 ∆2 𝜀2 = (4𝜌 + 4𝛽 + 4) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 2)2 ∆3 𝜀3 = (6𝜌 + 6𝛽 + 9) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 3)2 ∆4 𝜀4 = (8𝜌 + 8𝛽 + 16) + (𝜌 + 𝛽)2 = (𝜌 + 𝛽 + 4)2 (26) dan seterusnya hingga ∆𝑖 . Persamaan (26), dapat digeneralisasikan menjadi: ∆𝑛 𝜀𝑛 = (𝜌 + 𝛽 + 𝑛𝑟 )2 (27) sehingga persamaan energi dengan mensubstitusikan Persamaan (22) dan Persamaan (23), diperoleh:
5
1
1
𝐸 = −𝛼 2 (2 − 2 √ 1 2
√
−(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1)
(𝑏+2𝑎𝑏)√𝑞+(𝑏2 +𝑎(𝑎+1)+𝜆1 ) 𝑞
𝑞
1
+4−
2
+
1 4
+ 𝑛𝑟 )
(28)
dimana nr adalah bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 = 0,1,2 …) dan 𝜆1 merupakan bilangan kuantum orbital yang diperoleh dari penyelesaian eigen nilai bagian sudut anguler pada persamaan (28), yaitu: 1
1
1
1
1
2
𝜆1 = − 4 +4 (2 − 2 √𝜆2 + 𝑘 (𝑘 − 1) + (2 𝜆 − 4) + 𝑛𝜃 ) (29) dan 𝜆2 merupakan bilangan kuantum orbital yang diperoleh eigen nilai bagian sudut azimut pada persamaan (29), yaitu: 𝜆2 = 𝐴 + 𝑛𝜑 (30) Persamaan energi yang diperoleh pada Persamaan (28) merupakan persamaan energi secara analitis, dan untuk lebih memahami maknanya, maka dilakukan penyelesaian secara numerik menggunakan bantuan Matlab yang hasilnya ditunjukkan pada Gambar 1. Tingkat energi (1/fm) dari partikel yang dipengaruhi oleh Potensial Scarf II trigonometrik untuk variasi α. Gambar 1
Gambar 1 Dari Gambar 1 di atas ditunjukkan bahwa kulit atom yang terkait bilangan kuantum 𝑛𝑟 menyebabkan nilai energi pada saat 𝑛𝑟 = 0,1,2 semakin meningkat dan akan mencapai maksimum energi 𝐸 bernilai negatif yang akan mengikat suatu elektron pada sub kulit 𝑛𝑟 untuk variasi 𝛼 pada saat nilai 𝑛𝑟 =2. Energi ini dapat menggambarkan kekuatan inti atom yang mengikat elektron akan semakin kuat ketika jangkauan kulit atomnya berkisar antara nilai 0 ≤ 𝑛𝑟 ≤ 2, kemudian pada saat nilai sub kulit 𝑛𝑟 = 3 sampai 𝑛𝑟 = ∞ nilai energi 𝐸 pun semakin menurun. Hal ini akan menggambarkan kekuatan inti atom yang mengikat elektron semakin lemah pada saat sub kulit atom dari bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 = 3 menuju ke 𝑛𝑟 = ∞. Nilai energi untuk variasi α pada Potensial Scarf II terdeformasi-q bahwa nilai energi menurun sangat tajam ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 5 dibandingkan dengan nilai energi yang menurun sangat kecil ketika berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Hasil tersebut menggambarkan enegi ikatan elektron yang bergerak selama menggambarkan subkulit- 𝑛𝑟 tertentu menyebabkan nilai energi tersebut bergerak secara parabola dan 6
mencapai titik tertinggi berada pada subkulit 𝑛𝑟 = 2. Untuk subkulit 𝑛𝑟 adalah 3 menuju ke tak hingga hasil spektrum energi tersebut sesuai dengan teori atom Bohr yang menyatakan bahwa besar nilai energi tersebut akan berbanding terbalik dengan subkulit atomnya. Hasil dari penyelesaian numerik menggunakan software Matlab untuk Persamaan (28) yaitu persamaan energi menunjukkan bahwa kenaikan konstanta 𝑎, 𝑏, deformasi 𝑞, konstanta 𝛼 pada potensial Scarf II, kenaikan konstanta 𝜅, 𝜂 pada potensial Poschl-Teller, dan kenaikan konstanta A dan B pada potensial Scarf Trignometrik menyebabkan energi naik mencapai titik tertinggi pada saat bilangan kuantum radialnya (𝑛𝑟 = 2). Selanjutnya untuk menentukan fungsi gelombang radial, yaitu dengan membandingkan Persamaan (24) dan Persamaan (17), diperoleh: 3 1 𝑐 = 𝜌 − 4 , 𝑁 = −1 , 𝑡 = 𝛽 + 4 , 𝑏 = 1 (31) mengacu dari Persamaan (16) maka diperoleh, ( 2𝑐+1 )𝑏+2𝑡 2𝑐+𝑁+3 1 𝜎 = 𝑁+2 = 2𝜌 + 2 dan 𝑝 = (𝑁+2)𝑏 = 2𝜌 + 2𝛽 (32) Sehingga dapat diperoleh fungsi gelombang radial, 1 1 𝑓(𝑧) = (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 + )𝑛𝑟 2 𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 + , 𝑧) (33) 2 2 Persamaan (33) disubtitsikan ke Persamaan (20), sehingga diperoleh fungsi gelombang radial, yaitu: 1 𝐹 (𝑧) = 𝑧 𝜌 (1 − 𝑧)𝛽 (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 + )𝑛𝑟 2 𝐹1 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 + 1 2
2
, 𝑧)
(34) 1
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
2
2
dimana 𝑧 = −
√𝑞 𝜌+𝛽 1
𝐹 (𝑅 ) = (2) 1
1
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
2
2
dan 1 − 𝑧 = +
(1 −
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 𝜌 √𝑞
) (1 +
) 𝐹 (−𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2𝛽 + 𝑛𝑟 , 2𝜌 + 2 𝑛𝑟 2 1
1 2
1
√𝑞
) (−1)𝑛𝑟 𝐶 ′(1)𝑛𝑟 (2𝜌 +
1 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟
,2 − 2
𝐶′adalah konstanta normalisasi radial. Sementara 1
, maka fungsi gelombang diperoleh:
√𝑞 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑞 𝛼𝑟 𝛽
√𝑞 2 𝐹1
)
(35)
merupakan fungsi hypergeometric
dan (2𝜌 + 2 )𝑛𝑟 adalah simbol Pochamer. Persamaan (35) merupakan penyelesaian analitis fungsi gelombang radial tak ternormalisasi, dimana dengan software Matlab diperoleh hasil grafik yang ditampilkan pada Gambar 2.
7
(a)
(b)
(c)
(d) Gambar 2
Gambar 2. Fungsi gelombang bagian radial tak ternormalisasi persamaan Schrodinger untuk potensial Poschl-Teller, potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometri (a).variasi nr (b) variasi a (c) variasi 𝑘 (d) variasi 𝐵
Gambar 2.a.. menggambarkan fungsi gelombang bagian radial untuk variasi nilai 𝑛𝑟 semakin naik untuk kondisi keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0, sesuai penelitian yang dilakukan oleh (Aisyah, 2014)[7] hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini mengakibatkan pada keadaan dasar 𝑛𝑟 = 0 dan 𝑛𝑟 = 1 menggambarkan probabilitas distribusi normal yang terbentuk mendapatkan tinggi amplitudo tertentu ketika dibandingkan dengan nilai bilangan kuantum 𝑛𝑟 = 2 nilai fungsi gelombang tersebut menunjukkan amplitudo gelombang yang terbentuk akan menuju ke tak terhingga. Dari pengamatan pada Gambar 2.a. menunjukkan tinggi amplitudo yang paling besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa semakin tinggi kulit atom dari keadaan dasar pada bilangan kuantum 𝑛𝑟 = 0 menuju ke bilangan kuantum 𝑛𝑟 = 2, maka jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel menggambarkan probabilitas yang sangat tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut semakin jauh terhadap inti pusat. Gambar 2.b. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan dari potensial Scarf II pada variasi kedalaman a yang menyebabkan fungsi gelombang terganggu, hal ini dipengaruhi oleh 8
panjang sumur a yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah dengan perbedaan yang sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan menuju ke tak terhingga ketika pengaruh kedalaman pada panjang sumur a diperpanjang. Partikel pada keadaan Potensial Scarf II menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas dari partikel semakin terganggu karena Potensial Scarf II berubah menjadi bebas, sehingga energi ikatnya semakin kecil. Serta jarak partikel terhadap inti pada kulit atom juga berubah. Gambar 2.c. partikel Schrӧdinger mengalami gangguan pada Potensial Pӧschl-Teller akibat pengaruh dari panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan fungsi gelombang juga terganggu, hal ini pula dipengaruhi oleh panjang sumur 𝑘 yang menyebabkan nilai probabilitasnya berubah dengan perbedaan posisi yang relatif sangat kecil dan fungsi gelombang yang dibentuk akan menuju ke tak terhingga ketika pengaruh kedalaman pada panjang sumur k diperpanjang. Partikel pada keadaan Potensial Poschl-Teller menyebabkan berubahnya keadaan probabilitas dari partikel semakin terganggu karena Potensial Poschl-Teller mengalami gangguan yang menjadi bebas, sehingga energi ikatanya semakin kecil. Serta jarak partikel terhadap inti pada kulit atom juga berubah Gambar 2.d. bahwa fungsi gelombang bagian radial untuk variasi konstanta 𝐵 pada Potensial Scarf Trigonometrik nilai probabilitasnya menurun dalam perbedaan probabilitasnya relatif sangat kecil, hal ini disebabkan fungsi gelombang radial dalam penelitian ini menggambarkan probabilitas distribusi normal turun yang sangat tajam ketika konstanta 𝐵 nya diperpanjang, fungsi gelombang tersebut menunjukkan bahwa amplitudo gelombang yang terbentuk akan menuju ke tak terhingga ke arah nilai negatif sehingga Amplitudo tersebut akan makin berkurang. Pada hasil pengamatan menunjukkan bahwa semakin tinggi pengaruh Potensial Scarf Trigonometrik pada parameter konstanta 𝐵, maka nilai probabilitasnya juga akan turn dan jarak partikel tersebut akan makin jauh terhadap pusat dimana keadaan partikel menggambarkan probabilitas akan turun tajam, sehingga jarak antar partikel tersebut semakin jauh terhadap intinya. Penyelesaian Bagian Sudut Anguler untuk Kombinasi Potensial Poschl-Teller Terdeformasi-q plus Potensial Scarf II dan Potensial Scarf Trigonometri H Bagian anguler dari Persamaan (7). Dengan melakukan subtitusi variabel Θ = serta dilanjutkan penyederhanaan dimana 𝛩(𝜃 ) = 1
𝑇 ′′(𝜃 ) + (4
𝑇(𝜃) 1
√sin θ
, maka diperoleh:
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 −𝜆2 −𝑘(𝑘−1) 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
−
𝜆(𝜆−1) 𝑐𝑜𝑠 2𝜃
1
+ 𝜆1 + 4 ) 𝑇(𝜃 ) = 0
(36)
Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (36) menjadi persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu: 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 𝑧 (37) Dengan mensubtitusikan Persamaan (37) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai dengan Persamaan (36), maka Persamaan (36) menjadi: 𝑧 (1 − 𝑧 )
𝜕 2 𝑇(𝑧) 𝜕𝑧 2
1
+ 2 (1 − 2𝑧)
𝜕𝑇(𝑧) 𝜕𝑧
1
+ (4
−𝜆2 −𝑘(𝑘−1) 4𝑧
𝜆(𝜆−1)
− 4(1−𝑧) +
1 4
𝜆1 + 4
) 𝑇 (𝑧 ) = 0
(38) Persamaan (38) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut: 𝑇 ( 𝑧 ) = 𝑧 𝛾 ( 1 − 𝑧 ) 𝜔 𝑓 (𝑧 ) (39) Dengan mensubtitusikan Persamaan (39) ke dalam Persamaan (38), serta dilakukan operasi penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian anguler berikut,
9
1
𝑧(1 − 𝑧)𝑓 ′′ (𝑧) + [(2𝛾 + 2) − (2𝛾 + 2 𝜔 + 1)𝑧] 𝑓 ′ (𝑧) + [𝛾(𝛾 − 1) 𝑧
1
1
𝜔(𝜔 − 1) 1−𝑧 − 2𝛾𝜔 + 2 𝛾 𝑧 − 1 4
𝜆1 +
1
1
𝑧
1
𝜔 − 𝛾 + 𝜔 1−𝑧 + 4 2 1−𝑧
−𝜆2 −𝑘(𝑘−1) 4𝑧
(1−𝑧) 𝑧
+
𝜆(𝜆−1)
− 4(1−𝑧) +
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(40)
dimana, 1 1 𝛾 = 4 ± 2 √𝜆2 + 𝑘 (𝑘 − 1)
(41)
4
1
1
1
𝜔 = 4 ± (2 𝜆 − 4)
(42)
Persamaan (40) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan
1 𝑧(1−𝑧)
,
diperoleh: 1 2
(2𝛾+ )−(2𝛾+2 𝜔+1)𝑧
𝑓 ′′(𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓’(𝑧) + [
1 𝜆1 + 4 −(𝛾+𝜔)2 4
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(43)
Selanjutnya Persamaan (40) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen nilai persamaan (40) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital sebagai berikut: 𝜆1 +
1
4 (𝛾 + 𝜔 + 𝑛𝜃 )2 = (44) 4 dimana 𝑛𝜃 adalah bilangan kuantum anguler. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan fungsi gelombang anguler, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter, diperoleh fungsi gelombang angular total tak ternormalisasi sebagai berikut: 1 𝑇(𝜃 ) = (𝑠𝑖𝑛2 𝜃 )𝛾 (𝑐𝑜𝑠 2𝜃 )𝜔 (−1)𝑛𝜃 𝐶 ′′(1)𝑛𝜃 (2𝛾 + 2 )𝑛𝜃 2 𝐹1 (−𝑛𝜃 , 2𝛾 + 2𝜔 +
1
𝑛𝜃 , 2𝛾 + 2 , 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) (45) Selanjutnya, Persamaan (45) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang hasilnya ditampilkan pada Gambar 3:
Gambar 3 Gambar 3.. Fungsi Gelombang bagian anguler tak ternormalisasi kombinasi potensial Scarf II terdeformasi-q plus potensial Poschl-Teller dan potensial Scarf Trigonometri dengan variasi nl
Gambar 3 menggambarkan probabilitas keberadaan suatu partikel dalam suatu atom, yang berdasarkan koordinat bola yang tergantung oleh 𝑟 , sudut 𝜃 dan 𝜑. Gambar 3 merupakan 10
gambar 3D fungsi gelombang anguler tak ternormalisasi koordinat bola yang menggambarkan distribusi elektron pada suatu atom. Dari gambar di atas dapat diasumsikan bahwa semakin besarnya nilai 𝑛𝜃 , maka semakin banyak gelombang yang terbentuk sehingga semakin meningkatnya degenerasi partikel merupakan fungsi gelombang yang dihasilkan berbeda tetapi energi yang dimilikinya sama. Dalam koordinat bola semakin banyak gelombang akibat pengaruh dari 𝑛𝜃 , maka distribusi partikel akan terkukung pada dua luasan yang sama dan simetris yang mungkin dapat ditempati elektron kemudian pada saat fungsi gelombang sudut dipenagruhi nilai 𝑛𝜃 = 1 dan 𝑛𝜃 = 3 mewujudkan bentuk gelombang dari dua luasan yang sama besar menjadi bentuk dua luasan yang sama makin mengecil Penyelesaian Bagian Sudut Azimuth untuk Kombinasi Potensial Scarf II Terdeformasiq plus Potensial Poschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometri Bagian azimuth dari persamaan diperoleh pada Persamaan (8) serta dengan dilakukan penyederhanaan maka diperoleh: 1
𝜕2 𝜕𝜑
2 𝜙(𝜑) − (
2𝐵(𝐴−2) 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝐵2 +𝐴(𝐴−1) + − 𝜆2 ) 𝜙(𝜑) 𝑐𝑜𝑠2 𝜑 𝑐𝑜𝑠2 𝜑
=0
(46)
Selanjutnya, dilakukan subtitusi variabel untuk mereduksi Persamaan (46) menjadi persamaan tipe hipergeometri. Subtitusi variabel yang digunakan yaitu: 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 1 − 2𝑧 (47) Dengan mensubtitusikan Persamaan (47) yang disesuaikan dengan parameter yang sesuai dengan Persamaan (46), maka Persamaan (46) menjadi: 𝜕 2 𝜙(𝑧) 1 𝜕𝜙(𝑧) 𝑧(1 − 𝑧) + ( − 𝑧) 𝜕𝑧 2 2 𝜕𝑧
1
+ (𝜆2 −
2𝐵(𝐴−2)+𝐵2 +𝐴(𝐴−1) 4𝑧
−
1
− 2𝐵(𝐴−2)+𝐵2 +𝐴(𝐴−1) 4(1−𝑧)
) 𝜙(𝑧) = 0
(48)
Persamaan (48) harus dibawa ke persamaan tipe AIM yaitu dengan melakukan subtitusi pemisalan fungsi gelombang sebagai berikut: 𝜙(𝑧) = 𝑧 𝜀 (1 − 𝑧)𝜇 𝑓(𝑧) (49) Dengan mensubtitusikan Persamaan (49) ke dalam Persamaan (48), serta dilakukan operasi penyederhanaan, maka diperoleh persamaan perantara hipergeometri bagian azimuth berikut, 1
𝑧(1 − 𝑧)𝑓 ′′ (𝑧) + [(2 𝜀 + 2) − (2𝜀 + 2𝜇 + 1)𝑧] 𝑓’(𝑧) + [𝜀(𝜀 − 1) 𝜇(𝜇 − 1)
𝑧 1−𝑧
1
1
1
1
𝑧
− 2𝜀𝜇 + 2 𝜀 𝑧 − 2 𝜇 1−𝑧 − 𝜀 + 𝜇 1−𝑧 + (𝜆2 −
1 2
− 2𝐵(𝐴− )+𝐵2 +𝐴(𝐴−1) 4(1−𝑧)
(1−𝑧) 𝑧
+
1 2
2𝐵(𝐴− )+𝐵2 +𝐴(𝐴−1) 4𝑧
)] 𝑓 (𝑧) = 0
− (50)
dimana, 1
1
1
1
1
1
𝜀 = 4 ± 2 √(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) + 4
(51)
𝜇 = 4 ± 2 √(𝐴 − 𝐵)2 − (𝐴 − 𝐵) + 4
(52) 1
Persamaan (50) diubah ke persamaan diferensial tipe AIM dengan dikalikan 𝑧(1−𝑧) , sehingga diperoleh: 𝑓
′′ (
1 2
(2 𝜀+ )−(2𝜀+2𝜇+1)𝑧
𝑧) + [
𝑧(1−𝑧)
] 𝑓’(𝑧) + [
𝜆2 − (𝜀+𝜇)2 𝑧(1−𝑧)
] 𝑓 (𝑧 ) = 0
(53)
Selanjutnya Persamaan (53) diselesaikan mengikuti metode iterasi asimtot, dimana eigen nilai persamaan (53) menghasilkan persamaan bilangan kuantum orbital, yaitu: 11
1
1
1
𝜆2 = (2 ± 2 √(𝐴 + 𝐵)2 − (𝐴 + 𝐵) + 4 ± 2 1 2
√(𝐴 −
𝐵 )2
1
− (𝐴 − 𝐵) + 4 + 𝑛𝜑 )
(54) dimana 𝑛𝜑 adalah bilangan kuantum azimuth. Selanjutnya untuk memperoleh persamaan fungsi gelombang azimut, menggunakan Persamaan (15), yang melalui subtitusi parameter, diperoleh fungsi gelombang azimut total tak ternormalisasi sebagai berikut: 𝜙 (𝜑 ) = 1−𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜀
( 1
) (
2 1−𝑠𝑖𝑛 𝜑
1+𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜇 2
) (−1)𝑛𝜑 𝐶 ′′′(2𝜀 +
1
) 𝐹 (−𝑛𝜑 , 2𝜀 2 𝑛𝜑 2 1
+ 2𝜇 + 𝑛𝜑 , 2𝜀 +
, 2 ) (55) Selanjutnya, Persamaan (55) diselesaikan secara numerik melalui software matlab, yang hasilnya ditampilkan pada Gambar 4: 2
Gambar 4 Gambar 4 menggambarkan fungsi gelombang azimuth dengan variasi nilai bilangan kuantum azimuth 𝑛𝜑 berasarkan dari penelitian (Farizky, 2016) [8] dimana kurva probabilitas yang dihasilkan berbentuk gelombang pipih, kemudian bilangan kuantum azimuthnya semakin bertambah, maka rapat probabilitasnya akan tampak sedikit searah jam jam. Sehingga bentuk gelombang tersebut akan terbentuk orbital baru yang ditunjukkan pada variasi 𝑛𝜑 = 2 𝑑𝑎𝑛 3 KESIMPULAN
Persamaan Schrӧdinger untuk kombinasi Potensial Scarf II terdeformasi-q plus Potensial Pӧschl-Teller, dan Potensial Scarf Trigonometrik telah diselesaikan dengan Metode Iterasi Asimptotik. Fungsi gelombang radial, anguler, dan azimuth dari persamaan Schrӧdinger akibat keberadaan Potensial Scarf II terdeformasi-q Plus Potensial Pӧschl-Teller dan Potensial Scarf Trigonometrik diperoleh dalam bentuk fungsi hipergeometri dan dihubungkan dengan harga eigen energi dan bilangan kuantum orbital. Fungsi gelombang radial menunjukkan partikel yang bergerak akan membentuk suatu parabola dimana nilai eigen energi mencapai titk 12
puncak pada saat nilai bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 = 2 sehingga nilai bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 = 3 menuju ke tak terhingga nilai energi ikatnya makin menurun.Sementara pada fungsi gelombang anguler menunjukkan perbedaan bentuk gelombang yang probabilitasnya bergantung pada variasi bilangan kuantum orbital dan variasi-variasi yang dipengaruhi oleh potensial-potensialnya, dan pada fungsi gelombang azimuth menunjukkan perbedaan bentuk gelombang dengan variasi bilangan kuantum magnetik dan variasi-variasi yang dipengaruhi oleh potensialnya sehingga bentuk gelombang tersebut membentuk pipih. Secara umum fungsi gelombang ketiga bagian tersebut dipengaruhi oleh gangguan pada potensial PӧschlTeller, Potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik. Fungsi gelombang dan tingkat energi untuk potensial Pӧschl-Teller, Plus Potensial Scarf II terdeformasi-q dan Potensial Scarf Trigonometrik dapat divisualisasikan menggunakan Software Matlab 7.1. SARAN
Perlu diadakan penelitian lebih lanjut untuk Penyelesaian Persamaan Schrӧdinger untuk Potensial Pӧschl-Teller, Potensial Scarf II terdeformasi-q, Potensial Scarf Trigonometrik menggunakan metode lain dengan berbagai variasi potensial dan potensial pengganggunya. Pemakaian listing program untuk menentukan visualiasi energi dan fungsi gelombang yang sesuai akan mempermudah hasil numerik pada Command Window pada Software Matlab 7.1. sehingga tidak perlu menghitung secara manual. . REFERENSI [1] Cari dan Suparmi. (2012). Approximate Solution of Schrodinger Equation for
[2] [3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
Trigonometric Scarf Potential with the Poschl-Teller non-central potential Using NU Method, Physics Department, Sebelas Maret University, Indonesia Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum I, Jurusan Fisika Fakultas Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret Surakarta. Rostami, A., & Motavali, H. (2008). Asymtot Iteration Method: a powerfull approach for analysis of inhomogeneous dielectric slab waveguides. Progress in Electromagnetic Research B, 4, 171-182 Nurhayati, Suparmi, Variani,V.I., Cari, & Wahyudi. (2012). Analisis fungsi gelombang dan spektrum energi potensial Gendenshtein II menggunakan metode hipergeometrik. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, 14 April 2012, Purworejo Soylu, A, Bayrak, O & Boztosun, I. (2008). 𝑘 state solutions of the Dirac equation for the Eckart potential with spin and pseudospin symmetry. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 41 Falaye, B.J, Hamzavi, M & Ikhdair, S.M. (2012). Approximate bound state solutions of the deformed Woods-Saxon potential using asymptotic iteration method. arXiv:1207.1218v1 Aisyah, D. (2014). Penyelesaian Persamaan Dirac untuk potensial non-sentral Poschl-Teller hiperbolik termodifikasi-q plus Manning-Rosen untuk simetri spin dengan metode Nikivarof-Uvarof. Skripsi. Jurusan Fisika Universitas Sebelas Maret. Farizky, M.N., Penyelesaian Persamaan Schrodinger Tiga Dimensi untuk potensial Non-Sentral Eckart dan Manning-Rosen Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik. Skripsi: Jurusan Fisika Universitas Sebelas Maret.
13
14
