Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik

Dya Qurotul A’yun / Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik

1

Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik Dya Qurotul A’yun*, Suparmi, Cari

Universitas Sebelas Maret, Jalan Ir. Sutami 36A Kentingan, Surakarta 57126 * e-mai: [email protected]

Abstrak – Persamaan Dirac untuk potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial diselesaikan dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM). Penyelesaian persamaan Dirac dengan menggunakan metode AIM dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan diferensial tipe Hipergeometri dengan melakukan subtitusi variabel. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011. Penelitian ini dibatasi untuk kasus spin simetri bagian radial. Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial Pöschl-Teller Trigonometrik, metode Iterasi Asimtotik, spin simetri. Abstract – The Dirac equation for Pöschl-Teller Trigonometric potential on a spin symmetric case of radial is exactly solved using asymptotic iteration method (AIM). The Dirac equation solution using an AIM is done by reducing the second order differential equation into a differential equation with substitution variables of type Hipergeometri. The relativistic energy is calculated using Matlab 2011. This study is limited to the case of spin symmetry radial section. Keywords: Dirac equation, Pöschl-Teller Trigonometric potential, Asymptotic Iteration Method (AIM), spin symmetry. I. PENDAHULUAN Perkembangan IPTEK yang semakin maju mendorong peneliti fisika melakukan inovasi penelitian yang terkait dengan mekanika kuantum [1]. Fungsi gelombang dan tingkat energi suatu partikel mampu mendeskripsikan besarnya energi, momentum partikel, dan perilaku partikel sebagai gelombang. Persamaan Dirac menjadi sangat penting untuk menjelaskan mengenai model atom yang memiliki banyak elektron [2]. Pada tahun 1928, Dirac meneliti persamaan gelombang kovarian relativistik dari persamaan schrodinger dan energi relativistiknya. Dari hubungan energi relativistik akan didapatkan persamaan Dirac [3]. Pada kasus tertentu persamaan Dirac mendeskripsikan gerak sebuah partikel spin ½ yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan nuklir dan fisika energi tinggi [4]. Penyelesaian persamaan Dirac dengan menentukan energi dan fungsi gelombang suatu partikel yang dipengaruhi oleh potensial [5]. Spin dan pseudospin simetri pada Hamiltonian Dirac telah ditemukan beberapa tahun lalu. Dalam kerangka persamaan Dirac, spinsimetri dihubungkan dengan pembahasan meson [6]. Konsep spin dan pseudospin simetri diperkenalkan pada teori nuklir dan digunakan untuk menjelaskan ciri deformasi dan super deformasi inti, dan untuk membuktikan sebuah skema kulit model kopling yang efektif [7]. Dalam beberapa tahun terakhir, persamaan Dirac telah banyak diteliti. Analisis persamaan Dirac dengan menggunakan metode SUSY, Nikorov-Uvarov, dan Polinomial Romanovki telah selesai diteliti. Paper ini menggunakan metode yang berbeda dengan penelitian yang telah dilaksanakan. Paper ini membahas penyelesaian persamaan Dirac untuk potensial PöschlTeller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial

menggunakan metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM). II. METODE ITERASI ASIMTOTIK (AIM) Metode iterasi asimtotik digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen linear orde kedua yaitu





y ( z) d ( k 1) ln yn ( z )  n ( k 1) dz yn ( z) 



( k 2 )

k ( z )  y ' n ( z ) 

 sk ( z ) f ( z ) k ( x ) 

   s ( z) k 1 ( z )  y 'n ( z )  k 1 f ( z )  ( x ) k 1  

(1)

dengan 0 ( x)  0 dan turunan pertama menunjukkan hubungan dengan x, parameter lain yaitu n diartikan sebagai sebuah bilangan kuantum radial [8]. Variabel s 0 ( x ) dan  0 ( x ) cukup mudah diturunkan. Untuk memperoleh sebuah solusi umum pada persamaan ini, persamaan (1) yang bergantung terhadap x didiferensialkan, diperoleh dengan

y n ' ' '  1 ( x) y n ' ( x)  s1 ( x ) y n ( x)

1 ( x)  0 ( x)  s0 ( x)  0 2 ( x) s1 ( x)  s0 ' ( x)  s 0 ( x)0 ( x)

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXIX HFI Jateng & DIY, Yogyakarta 25 April 2015 ISSN : 0853-0823

(2)

(3)

(4)


2

dengan λ0(x) ≠ 0 dan s0(x) merupakan fungsi dari C∞ (koefisien persamaan diferensial). Metode iterasi asimtotik dapat diaplikasikan secara langsung pada beberapa permasalahan jika sebuah fungsi gelombang diketahui terlebih dahulu dan memenuhi kondisi batas nol (0) dan tak hingga (∞) [9]. Persamaan (1) dapat dengan mudah diiterasikan sampai (k+1) dan (k+2), k = 1,2,3, . . sehingga diperoleh

yn dengan

( k 1)

yn

( x)  k 1 ( x) yn ' ( x)  sk 1 ( x) yn ( x)

(k  2)

(5)

( x )  k ( x ) y n ' ( x )  s k ( x ) y n ( x )

(6)

k ( x)   ' k 1 ( x)  s k 1 ( x)  0 ( x)k 1 ( x )

(7)

s k ( x)  s 'k 1 ( x)  s 0 ( x)k 1 ( x)

(8)

 x s (z )  y n ( z )  C 2 exp   n 1 dz1    n ( z1 ) 

III. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam persamaan Dirac untuk kasus spin simetri berlaku bahwa selisih antara potensial vektor V(r) dan potensial skalar S(r) adalah konstan, dan jumlahnya sama dengan potensial yang mempengaruhi sistem. Persamaan Dirac untuk sebuah partikel tunggal dengan massa M pada sebuah potensial skalar S(r) dan potensial vektor V(r) dapat dinyatakan dalam ђ = c =1.

c . p   Mc

2



 S (r )  (r )  E  V (r ) (r )



  s ( z) k ( z )  yn ' ( z )  k f ( z ) k ( z )      s (z) k 1 ( z )  yn ' ( z )  k 1 f ( z ) k 1 ( z )  

 0      0

 

(9)

 I 0   0 I 

 

0 

    0  I 

(19)

0  i  1 0   0 1 ,  , 3      2   i 0    1 0  0 1

1   (10)

yang merupakan aspek metode asimptotik, kemudian disubtitusikan



 ( z) d ( k 1) ln y n ( z)  k dz k 1 ( z )

  ( z)  ( z )  C1 exp  k dz   ( k 1) ( z )     C1( k 1) ( z ) exp  ( z )  0 ( z )dz 

(12)

y n ' ( z )   ( z ) f ( z )  C1 exp  ( z )  0 ( z )dz 

 Fnk (r ) l  Y jm ( ,  )    (r )   r      (r )   ~   (r )   i Gnk (r ) Y jm l ( ,  )  r  

2

 k ( z )  k ( z ) s k 1 ( z )  k 1 ( z ) s k ( z )  0

  dz  

 1  

(14)

(17)

dengan Fnk (r ) komponen spin Dirac upper dan Gnk (r )

komponen pseudospin Dirac lower. Y jm ( ,  ) adalah l

F nk (r )

G nk (r )

spin harmonik bola dan Y jm ( ,  ) adalah pseudospin ~ l

Y

jm

l

( ,  )

harmonik bola, l bilangan kuantum orbital biasa dan bilangan kuantum pseudo-orbital, m proyeksi momentum sudut pada sumbu z. Dengan subtitusi persamaan (21) ke persamaan (17), diperoleh Y

(13)

(20)

dan spin Dirac dapat dituliskan sebagai

(11)

( k 1)

 z  y n ( z )  exp     ( z 1 ) dz 1  .     z   z1  C 2  C 2  exp    0 ( z 2 )   2  ( z 2 ) dz   

(18)

dengan σ matriks Pauli, I matriks identitas 2×2

sk ( z ) sk 1 ( z )    ( z) k ( z ) k 1 ( z )

yn

0   0 

    I

Untuk k cukup besar, jika



(17)

dengan M massa relativistik partikel, E energi total, dan operator momentum linear. Nilai α dan β dinyatakan dalam persamaan

yang disebut recurrence relation. Dari rasio (k+1) dan (k+2), didapatkan persamaan ( k  2) d y ( z) ( k 1) ln yn ( z )  n ( k 1) dz yn ( z)



(16)

(15)

k = 1,2,3,……

jm

~ l

( ,  )

 d k    Fnk ( r )  M  E nk   ( r ) Fnk ( r )  dr r 

(22)

 d k   Gnk ( r )  M  E nk  ( r ) G nk ( r )  dr r 

(23)



Fnk (r) dan Gnk (r) dari persamaan

Setelah eliminasi

As   (  1)  ( M  Enk  C ) A

(22) dan (23), diperoleh dua persamaan diferensial yang mirip dengan persamaan Schrödinger untuk komponen

Bs 

Fnk (r) dan komponen Gnk (r) sebagai

E' 

d (r )  d2 k (k  1)  dr   F ( r )  x nk  dr 2 M  Enk  (r ) r 2  

(24)

 d  k     dr  r  Fnk (r )   M  Enk   (r ) M  Enk  (r ) Fnk (r )    

 d  k     dr  r Gnk (r )   M  Enk   (r ) M  Enk  (r ) Gnk (r )   

dengan 



(

r

)



V

(

r

)



(

r

)



V

(

r

)



S

(

S

r

(

)

r

)

(r )  V (r )  S (r )

(27)

IV. ANALISIS PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL PÖSCHL-TELLER TRIGONIOMETRIK PADA KASUS SPIN SIMETRI BAGIAN RADIAL Persamaan Dirac untuk kasus spin simetri ditandai d (r ) dengan  0 dan (r) = konstan = C, sehingga dr persamaannya menjadi [10] d(r ) dr

0

 d 2 k(k 1)   2  2  M  Enk  Cx  r  dr Fnk (r)  0  M  E  (r)  nk  

Dimisalkan V(r) adalah potensial Trigonometrik yang didefinisikan sebagai

V (r ) 

A

sin r 2

dan juga dimisalkan 1/r2 bentuk persamaan







( M  E nk  C )M  E nk 

(29)

≅ α2/sin2αr maka diperoleh (30)

(34)

persamaan

(34)

digunakan

Fnk  s  (1  s)  f ( s)

(35)

Setelah manipulasi persamaan (34) dan (35), didapatkan

 1   2  2   1s   2  2    f ' ' ( s)   f ' (s)  s (1  s )

Es '   2      4    f (s) s (1  s )

(36)

Persamaan (36) merupakan persamaan diferensial orde dua, dengan Bs  4 2  2 dan . As  4 2  2 Dengan membandingkan persamaan (1), dapat ditulis λ0(s) dan s0(s), kemudian dapat dihitung λk(s) dan sk(s).

0 ( s ) 

Pöschl-Teller

 d2  1  2 (  1  M  E nk  C A)    2  2 dr sin  r   Fnk  0 B   ( M  E  C )  M  E  C M  E    nk nk nk   cos 2 r  

 2 Fnk  1  F    s  nk  s 2 2   s

 As B E '   s  s  Fnk  0 4 ( 1  s ) 4 s 4  

(28)

B cos 2 r

(33)

2

Untuk memecahkan persamaan (26)

(32)

2

dan subtitusi variabel cos2αr = s pada persamaan (30) dengan ∞ < s < ∞, didapatkan

(25 )

 (r )  V (r )  S ( r )

(31)

B( M  E nk  C )

s (1  s )

d(r )  d2 k (k  1)  dr   G ( r )  x nk  dr 2 M  Enk  (r ) r 2  

3

2  2  1s   2  1 

s0 ( s ) 

 s (1  s )

2

   2  Es ' s (1  s)

4

1  1   2    2   D  2 2  D   1 ( s)   2       2 s (1  s)  s (1  s)    1  1     2  2   2  2         s ( 1  s )    

2

Dengan


(37)


4

s1 ( s ) 

Es '   2       4  3   x s (1  s )    

D D D D      s2 (1  s ) 2  s (1  s ) 

  1  1    2    2    2 2     s (1  s )     

Kombinasi persamaan (37) dengan persamaan (15) memberikan

s0 1  s10  0

Es  2       4 1    s(1  s) 

  x  



 Es '  2 2   2  2  1  (   )  4  s  s     s 2 (1  s) 2   s12  s 2 1  0

Es '   2       4  2   x s (1  s )    

    (38)









 Es '  2 2   2  2  1  (   )  4  s  s    s 2 (1  s ) 2  

 Es '  2 2   4  4  4        4  s  s    s 3 (1  s )3  

s 2 3  s 3  2  0



x       













 Es '  2 2   2  2  1  (   )  4  s  s     s 2 (1  s ) 2    Es '  2 2   4  4  4        4  s  s    s 3 (1  s )3    Es '  2 2  ss   6  6  9        4    s 4 (1  s ) 4   sehingga eigenvalues adalah

x      x         

 D  E'   x  s(1  s)   2(n  1)  2(n  1)   n 2  D s1  s    x s n1 (1  s) n1    2n  2n  n 2  D s1  s     s n (1  s) n   n = 0,1,2,3,… Subtitusi persamaan (39) ke persamaan memberikan eigenvalues energi M  Enk  C M  Enk    D  x   2  s(1  s) 

 



 

 

 

 2(n  1)  2(n  1)   n 2  D s(1  s)   x s n1 (1  s) n1    2n  2n  n 2  D s (1  s )    s n (1  s ) n   sedangkan untuk fungsi fn(z) adalah



 

(39)

(33)

(40)

 s S (s )  f n  C 2 exp   n 1 ds1  n ( s1 )  

(41)

 s S (s )  Fnk  s (1  s )  .C 2 exp   n 1 ds1  n ( s1 )  

(42)

sehingga dapat dituliskan total fungsi radial

Hasil energi yang diperoleh umtuk kasus spin simetri dapat dilihat pada Tabel 1.



Tabel 1. Spektrum energi potensial Pöschl-Teller Trigonometrik untuk kasus spin simetri dengan M = 1; Cs = 5; A = 1; κ = 8 dan α = 0,01.

l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Untuk B = l n 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

k -1 -2 -3 -4 -5 -1 -2 -3 -4 -5

Enk

4,999136 4,999322 4,999427 4,998497 4,998549 4,998736 4,999008 4,999161 4,998264 4,998339

Dari hasil energi pada Tabel 1, dapat digambarkan grafik energinya seperti pada Gambar 1.

5

[3]

Greiner, W. 2000. Relativistic Quantum Mechanics Third Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York. [4] M. Hamzavi., A. A. Rajabi. Spin and Pseudospin Symmetries with Trigonometric Pöschl-Teller Potential including Tensor Coupling. Advances in High Energy Physics., vol. 2013, no. 196986. [5] Oktay Aydoğdu, Ramazan Sever. Exact Pseudospin Symmetric Solution of The Dirac Equation for Pseudoharmonic Potential in the Presence of Tensor Potential. Few-Body Syst., Issue 47, 2010, pp. 193-200. [6] M. Hamzavi., S.M. Ikhdair., K.-E.Thylwe. Spin and Pseudospin Symmetries in Relativistic Trigonometric Pöschl-Teller Potential with Centrifugal Barrier. International Journal of Modern Physics E, vol. 21, no. 12, 2012. [7] Xu-Yang Liu, Gao-Feng Wei, Xin-Wei Cao. Spin Symmetry for Dirac Equation with the Trigonometric Pöschl-Teller Potential. Int J Theor Phys. no. 49, 2010, pp. 343-348. [8] Rostami, A. Asymptotic Iteration Method: A Powerful Approach for Analysis of Inhomogeneous Dielectric Slab Waveguides. Progress in Electromagnetics Research, vol. 4, 2008, pp. 171-182. [9] Ozer. O.. Solution of a Novel Quasi-Exactly Solvable Potential via Asymptotic Iteration Method. Progress of Theritical Physics, vol. 121, no. 3, 2008, pp. 437-443. [10] Soylu, A. Bayrak, O. Boztosun, I. 2007. An approximate solution of Dirac Hulthén problem with pseudospin and spin symmetry for any k state. Journal of Mathematical Physics 48.

Tanya-jawab:

Pramudita Anggraita Gambar 1. Hasil perhitungan spektrum energi untuk kasus spin simetri pada n tertentu.

IV. KESIMPULAN

Persamaan Dirac untuk potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada kasus spin simetri bagian radial dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik (AIM). Spektrum energi relativistik sistem dihitung menggunakan software Matlab 2011. UCAPAN TERIMA KASIH

Penelitian ini didukung oleh Hibah Penelitian Utama (PUT UNS) 2014 dan DIKTI No. kontrak 351/UN27.11/PN/2014 PUSTAKA [1] [2]

Persamaan Dirac untuk atom dengan banyak elektron? Dya Quratul A’yun Persamaan Dirac melibatkan spin, berbeda dengan persamaan Schrödinger yang digunakan pada sistem atom dengan banyak elektron, yang tidak melibatkan spin, sehingga tidak ada hubungan antara penggunaan persamaan Dirac dengan banyaknya elektron pada atom tertentu. Richard T.R.H. (UKRIM): Apa arti lambang

Dya Quratul A’yun

?

S adalah batas atas integrasi.

Suparmi, Mekanika Kuantum II, Jurusan Fisika Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2011. Suparmi, Mekanika Kuantum I, Jurusan Fisika Fakultas MIPA, Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2011.


Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik

Recommend Documents