Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL ROSEN MORSE HIPERBOLIK DENGAN COULOMB LIKE TENSOR UNTUK SPIN SIMETRI MENGGUNAKAN METODE HIPERGEOMETRI Tri Jayanti1, Suparmi, Cari Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret Surakarta Jalan Ir. Sutami 36A Kentingan, Surakarta 57126 1
Email:
[email protected]
ABSTRAK P. A. M Dirac mengajukan persamaan yang dikenal sebagai persamaan Dirac. Tidak seperti persamaan Klein–Gordon, persamaan Dirac memiliki rapat probabilitas yang selalu berharga positif. Tetapi solusinya tetap memberikan informasi akan adanya partikel bebas berenergi negatif. Dirac percaya bahwa terdapat penjelasan fisis terhadap energi negatif ini, yang mengarahkannya pada Teori Lubang Dirac. Sedangkan potensial Rosen Morse adalah model potensial yang digunakan untuk menerangkan tingkah laku getaran molekul antar atom. Perilaku partikel atomik dapat dipahami dengan jelas bila energi dan fungsi gelombang dari partikel tersebut diketahui. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang pada persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri yang merupakan fungsi posisi. Energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse Hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi persamaan Dirac menjadi persamaan diferensial orde dua, fungsi Hermit, Laguerre, hipergeometri. Di antara fungsi-fungsi tersebut, hanya fungsi hipergeometri yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum. Persamaan tersebut dirasa umum karena persamaan-persamaan diferensialnya dapat direduksi menjadi persamaan hipergeometri. Persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Potensial Rosen Morse hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri ini mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan gaya-gaya antar atom atau molekul. Energi diperoleh secara eksak dan fungsi gelombang dinyatakan dalam bentuk polinomial hipergeometri. Kata-kata kunci: Persamaan Dirac, Rosen Morse hiperbolik, Coulomb Like Tensor, Spin simetri, Metode hipergeometri
fungsi gelombang suatu partikel dipengaruhi oleh potensial yang energi potensialnya merupakan fungsi posisi. Persamaan Dirac biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi persamaan Dirac menjadi persamaan diferensial orde dua, fungsi Hermit, Laguerre, hipergeometri. Di antara fungsi-fungsi tersebut, hanya persamaan fungsi hipergeometri yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum. Persamaan tersebut dirasa umum karena persamaan-persamaan diferensialnya dapat direduksi menjadi persamaan hipergeometri [1].
PENDAHULUAN P. A. M Dirac mengajukan persamaan yang dikenal sebagai persamaan Dirac. Tidak seperti persamaan Klein–Gordon, persamaan Dirac memiliki rapat probabilitas yang selalu berharga positif. Tetapi solusinya tetap memberikan informasi akan adanya partikel bebas berenergi negatif. Dirac percaya bahwa terdapat penjelasan fisis terhadap energi negatif ini, yang mengarahkannya pada Teori Lubang Dirac. Penyelesaian persamaan Dirac secara langsung dari sistem partikel dengan menentukan energi dan 207
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
Dalam beberapa tahun terakhir, penelitian tentang penyelesaian persamaan Dirac menjadi minat yang besar bagi para penulis. Pada penelitian sebelumnya, penyelesaian persamaan Dirac diselesaikan secara analitis untuk beberapa potensial seperti potensial Kratzer [2], potensial Eckart [3], potensial Poschl Teller [1], dan sebagainya. Sedangkan beberapa metode juga telah digunakan dalam penyelesaian persamaan Dirac seperti metode Nikoforov–Uvarov, supersimetri, dan polinomial Romanovski [4].
(2) dimana E adalah energi relativistik dan momentum operator tiga dimensi ,
adalah
(3) Maka spinors dapat dituliskan sebagai berikut:
F (r ) l nK Y ( , ) jm r r (r ) r G ( r ) i nK Y l ( , ) jm r
Dengan metode berbeda, paper ini menyajikan penyelesaian persamaan Dirac untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse Hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri simetri. Energi dan fungsi gelombang dari potensial Rosen Morse hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri diselesaikan menggunakan persamaan diferensial fungsi hipergeometri. Potensial Rosen Morse hiperbolik dengan Coulomb Like Tensor untuk spin simetri ini mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan gaya-gaya antar atom atau molekul [4].
(4)
Dari persamaan (4), diperoleh 2 spinor tensor, yaitu untuk tensor pseudospin simetri:
BAHAN DAN METODE
(5)
Bahan
dan untuk tensor spin simetri:
Bahan-bahan yang digunakan dalam penelitian ini adalah laptop dengan merk Lenovo G470 dan program Matlab 2011. Metode Hipergeometri Metode hipergeometri merupakan persamaan diferensial yang mempunyai bentuk penyelesaian paling umum yang diperoleh dari penguraian persamaan radial atom hidrogen yang mengacu pada persamaan diferensial Probenius mengenai titik angular singular. Persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri yang diusulkan oleh Gau [5] dinyatakan sebagai:
(6) Karena dari persamaan (6) dapat diperoleh energi dan fungsi gelombang suatu sistem yang dipengaruhi oleh potensial tertentu, maka persamaan Dirac spinor tensor spin simetri untuk potensial tertentu harus diubah menjadi persamaan (1) dengan melalui substitusi variabel dan parameter.
(1) Energi dan fungsi gelombang dari salah satu potensial yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode hipergeometri adalah
Persamaan dasar Dirac spinor
208
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
potensial Rosen Morse hiperbolik yang dinyatakan sebagai berikut:
variabel pada formula SUSY WKB [6] dan pengubahan persamaan Shcrodinger untuk potensial Poschl Teller I [1]. Dengan mensubstitusikan variabel ke persamaan (13) maka diperoleh bentuk umum sebagai berikut:
(7) Persamaan Dirac spinor tensor spin simetri untuk potensial Rosen Morse hiperbolik dinyatakan sebagai
i(1 2 z) 2 E' F (r ) 0 z(1 z) 2 (1 2 z) As Bs Fn (r ) z 4 z( z 1) 4 z(1 z) n z
(14)
Persamaan (14) merupakan persamaan diferensial orde dua yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik z = 0 atau z =1. Penyelesaian umum untuk potensial Rosen Morse hiperbolik dengan tensor spin simetri dapat dinyatakan sebagai
(8) Persamaan (8) menjadi
β F (z) z α ( 1 z) f(z) nκ
(15)
Untuk z = 0 maka dan untuk z = 1 adalah . Dilakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index equation sebagai berikut: (9)
(16a)
Dimisalkan
(16b) maka persamaan (14) berubah menjadi (10) (11) (12)
sehingga menjadi (17) Bentuk persamaan (17) merupakan persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri, maka diperoleh
(13) Persamaan (13) dapat diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai. Pemisalan variabel yaitu coth(x) = i(1–2z). Substitusi variabel ini terinspirasi dari pengubah
(18a)
(18b) 209
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
(18c) (25) Dari persamaan (18a), (18b), dan (18c) diperoleh energi potensial Rosen Morse hiperbolik dengan tensor spin simetri sebagai berikut:
HASIL DAN DISKUSI Penjabaran fungsi gelombang dan energi untuk potensial Rosen Morse hiperbolik menggunakan metode hipergeometri. Penjabaran dengan metode ini terdiri dari beberapa langkah. Langkah pertama yaitu menentukan persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse hiperbolik. Selanjutnya mencari substitusi variabel yang sesuai agar persamaan Dirac berubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri. Langkah ketiga melakukan substitusi parameter yang diperoleh dari index equation sehingga diperoleh persamaan umum fungsi gelombang potensial Rosen Morse hiperbolik dengan tensor spin simetri sebagai berikut:
(19) Berdasarkan uraian di atas diperoleh fungsi gelombang untuk potensial Rosen Morse hiperbolik dengan tensor spin simetri yang dituliskan sebagai berikut:
(26) (20) dengan (27) Fungsi
gelombang
mengalikan (21)
dasar
diperoleh
dengan dengan
suku pertama deret hipergeometri. Fungsi gelombang dasar n = 0 yang diperoleh adalah
(22)
(28) Energi potensial Rosen Morse dengan tensor spin simetri yang diselesaikan menggunakan metode hipergeometri diperoleh sebagai berikut:
(23)
(24)
210
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
eds. V. V. Dodonov and V. I. Man’ko, (Springer, Berlin, 1991), pp399.
(29) KESIMPULAN Fungsi gelombang dan energi potensial Rosen Morse dengan Coulomb Like Tensor untuk pseudospin simetri dapat diselesaikan menggunakan metode hipergeometri. Metode hipergeometri dapat diterapkan untuk menyelesaikan jenis potensial lainnya. UCAPAN TERIMA KASIH Penelitian ini didukung oleh hibah peneliti utama (TUT UNS) dan Dikti nomer kontrak 351/UN 27.11/PN 2014. DAFTAR PUSTAKA [1] S. Flugge, Practical Quantum Mechanics, Spinger, New York, 1977. [2] J. Sadeghi dan B. Pourhassan, “Exact Solution of The Non-Central Potential Modified Kratzer Potential”, Adv. Studies Theor. Phys., vol. 5, no. 11, pp. 477–484, 2011. [3] H. Goudarzi dan V. Vahidi, “Supersymmetric Approach for Eckart Potential Using the NU Method”, Adv. Studies Theor. Phys., vol. 5 no. 10, pp. 469–476, 2011. [4] A. N. Ikot dan L. E. Akpabio, “Approximate Solution of the Schrodinger Equation with Rosen Morse Potential Including the Centrifugal Term”, Applied Physics Research, 2010. [5] Greiner, Quantum Mechanics An Introduction, Springer-Verlag, Berlin Heidilberg, 1989. [6] A. Inomata, A. Suparmi dan S. Kurth, Proceeding of 18th International Colloqium on Group Theoretical Methods in Physics, 211
