ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh CECILIA YANUARIEF S911108003

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user 2012


digilib.uns.ac.id


TESIS Oleh Cecilia Yanuarief S911108003

Komisi

Nama

Tanda Tangan

Tanggal

Pembimbing Pembimbing I. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D ......................... 16 Oktober 2012 NIP. 19520915 197603 2 001 Pembimbing II. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ......................... 16 Oktober 2012 NIP : 19610306 198503 1 002

Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 16 Oktober 2012 Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana UNS

Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id


TESIS

Oleh Cecilia Yanuarief S911108003

Tim Penguji Jabatan Ketua

Sekretaris Anggota Penguji

Tanda Tangan

Tanggal

Drs. Harjana, M.Si., Ph.D NIP.19590725 198601 1 002

......................

… November 2012

Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si NIP.19690826 199903 1 001

.....................

… November 2012

Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP. 19520915 197603 2 001

.....................

… November 2012

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP . 19610306 198503 1 002

.....................

… November 2012

Nama

Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal … November 2012

Direktur Program Pascasarjana UNS

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S NIP. 19610717198601 1 001 commit to user

iii

Ketua Program Studi Ilmu Fisika

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002


digilib.uns.ac.id

PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS

Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa: 1.

Tesis yang berjudul “ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI” ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010)

2.

Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, 30 Oktober 2012 Mahasiswa

Cecilia Yanuarief S911108003 commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Semua orang percaya kalau hidup tidak akan selalu seperti ini.. Karena mereka paham apapun yang dilakukan harus bisa membawa manfaat.. Jangan mengeluhkan dunia.. Karena sesungguhnya suatu saat semua pasti akan berubah.. Tapi, semua bergantung pada arah kita melangkah dan doa yang kita munajatkan.. Jangan TAKUT!!

Torehan tinta emasku ini aku persembahkan untuk : 1. Allah SWT yang telah memberiku kesempatan dan rizki, 2. Kedua orang tuaku yang telah memberiku kasih sayang dan dukungan, 3. ”Vegy“ yang selalu setia mengantarku kemanapun aku pergi.

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

Cecilia Yanuarief. S911108003. 2012. “Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb. Potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Fungsi gelombang polar dan radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, dan Rosen Morse, diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski sedangkan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb diselesaikan dengan metode yang lebih umum, yaitu NU. Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde 2 menjadi persamaan differensial tipe hypergeometry perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter Romanovski. Dari persamaan hypergeometry perantara yang diperoleh, penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski kedalam persamaan hypergeometry perantara dan menjabarkannya sehingga diperoleh persamaan differensial Romanovski. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab. Visualisasi fungsi gelombang radial yang terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan Visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem. Kata kunci: potensial non sentral Rosen Morse, polinomial Romanovski

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

Cecilia Yanuarief. S911108003. 2012. “Energy and Wave Functions Analysis of Non Central Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb Potential With Romanovski Polynomial”. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Advisor: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D

ABSTRACT This research is aimed to determine energy levels and wave functions for non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb. Non central Rosen Morse potential plus Hulthen, Rosen Morse, and Coulomb are the potensial which separated variable. Polar and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Hulthen, and Rosen Morse solved by Romanovski polynomial method and radial wave functions of non central Rosen Morse potential plus Coulomb potential solved by NU. To solve the Schrödinger equation with Romanovski polinomial has reduced the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry differential equation with substituting of variable which appropriate to Romanovski’s parameter. From intermediatery hypergeometry differential equation which given, the energy levels and wave function are determine with subtituting Romanovski’s wave function like into the intermediatery hypergeometry differential equation and derivating until be obtained the Romanovski’s differensial equation. From its Romanovski’s hypergeometry equation would determine the energy levels and wave function. Energy levels which obtained make up closed function and the wave functions, consist of radial and polar part, have showed by Romanovski polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have visualized with Matlab. Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the probability value to found a particle, whereas, Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the spin-angular momentum of electron which under system potential effect. Key word: non central Rosen Morse potential, Romanovski polinomial

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul, “Analisis Energi dan Fungsi Gelombang Potensial Non Sentral Rosen Morse Plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb Menggunakan Polinomial Romanovski” ini. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1.

Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

2.

Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini.

3.

Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan semangat kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tesis ini.

4.

Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan banyak ilmu tentang fisika. commit to user

viii


5.

digilib.uns.ac.id

Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana

(HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2012 dengan nomer kontrak 2345/UN27.16/PN/2012.

Surakarta, 2012 Penulis

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL......................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN .........................................................................ii HALAMAN PENGESAHAN .........................................................................iii SURAT PERNYATAAN................................................................................ iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................................... v ABSTRAK ...................................................................................................... vi KATA PENGANTAR ..................................................................................viii DAFTAR ISI .................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xi DAFTAR TABEL .........................................................................................xiii DAFTAR SIMBOL.......................................................................................xvi

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah...........................................................................

1

B. Identifikasi Masalah................................................................................... 4 C. Batasan Masalah.......................................................................................... 4 D. Rumusan Masalah....................................................................................... 5 E. Tujuan Penelitian........................................................................................ 5 F. Manfaat Penelitian...................................................................................... 6 commit to user

x


digilib.uns.ac.id

BAB II KAJIAN TEORI A. Definisi Persamaan Schrödinger................................................................. 7 B. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat 3 Dimensi................................. 11 C. Persamaan Schrödinger untuk Koordinat Bola.......................................... 14 D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry.......................................................................................... 19 E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski............................................................................................... 29 F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU.......... 31 G. Potensial Hulthen....................................................................................... 35 H. Potensial Rosen Morse............................................................................... 36 I. Potensial Coulomb...................................................................................... 38 J. Potensial Non Sentral Rosen Morse........................................................... 38

BAB III METODE PENELITIAN A. Lokasi dan Waktu Penelitian...................................................................... 40 B. Objek Penelitian.......................................................................................... 40 C. Instrumentasi Penelitian.............................................................................. 40 D. Prosedur Penelitian..................................................................................... 41 1. Langkah Kerja........................................................................................41 2. Bagan Alir Penelitian............................................................................. 45

commit to user

xi


digilib.uns.ac.id

BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan................................................................................................ 46 B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen....................................................................................................... 47 C. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen....................................................................................................... 71 D. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse.......................................................................................................... 94 E. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb...................................................................................................... 118

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan................................................................................................. 133 B. Saran........................................................................................................... 134 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 135 LAMPIRAN.................................................................................................... 137

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR Gambar (2.1). Potensial Kotak......................................................................... 12 Gambar (2.2). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya................................ 37 Gambar (4.1). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜇.................................................................... 66 Gambar (4.2). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜈.................................................................... 67 Gambar (4.3). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜈 dan 𝜇.......................................................... 69 Gambar (4.4). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen............................................................................. 86 Gambar (4.5). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen...................................................... 91 Gambar (4.6). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen………….................................................................... 92 Gambar (4.7). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse............................................................................ 111 Gambar (4.8). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse…………………………….. 116 Gambar (4.9).Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen.................................................................................... 100 Gambar (4.10). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb................................................................................... 128 commit to user

xiii


digilib.uns.ac.id

Gambar (4.11). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb..................................................... 130 Gambar (4.12). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb………………………............................................... 131

commit to user

xiv


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL Tabel 4.1. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen...................................................................................... 64 Tabel 4.2. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen...................................................................................... 89 Tabel 4.3. Polinomial Romanovski dan Hubungannya Dengan Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse....................................................................................... 115 Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb.................................................................................... 129

commit to user

xv


digilib.uns.ac.id

DAFTAR SIMBOL

𝑚𝑒

= massa elektron, 9,1 × 10−31 kg,

ℎ

= konstanta Planck, 6,626 × 10−34 Js,

ℏ

= 2𝜋 = 1,05 × 10−34 Js,

𝜔

= kecepatan sudut,

Ψ

= fungsi gelombang,

𝑘

= bilangan gelombang,

𝑝

= momentum,

𝜆

=

𝜐

=

𝐾

= energi kinetik,

𝑉

= energi potensial,

𝑛

= bilangan kuantum utama,

𝑙

= bilangan kuantum orbital,

𝑚

= bilangan kuantum magnetik,

𝑛𝑟

= bilangan kuantum radial,

𝑛𝑙

= bilangan kuantum polar.

ℎ

2𝜋 𝑘 2𝜋 𝜔

= panjang gelombang, = frekuensi,

commit to user

xvi


digilib.uns.ac.id 1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Mekanika kuantum sudah lama dikenal sebagai “ilmu dasar” bagi penelaahan gejala dan sifat berbagai sistem mikroskopik. Pemanfaatannya tidak hanya berhasil memperluas dan memperdalam pemahaman peristiwa alami di dalam laboratorium, tetapi juga menghasilkan kemajuan teknologi secara luas, dan mempengaruhi kualitas serta corak hidup manusia secara tidak langsung. Perkembangan mekanika kuantum berakar dari konsep dasar teori kuantum yang meliputi dugaan-dugaan baik secara diskrit maupun ketidakteraturan. Teori kuantum terbukti mampu menjelaskan fenomena kuantum

dari

sistem

makroskopik

seperti

superkonduktivitas

dan

superfluiditas yang memiliki potensi aplikasi penting. Dalam proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum selalu melibatkan persamaan-persamaan yang rumit dan penyelesaiannya membutuhkan analisa dan pemikiran yang tinggi. Contoh masalah yang cukup rumit adalah penyelesaian fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrödinger untuk kasus khusus partikel bebas ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami commit to user gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu


digilib.uns.ac.id 2

kemungkinan yang bisa ditempuh. Tetapi tidak ada satu cara eksak yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa dilakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrödinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan lain harus dijajaki. Dengan kata lain, persamaan Schrödinger tidak bisa diturunkan dari prinsip pertama, tetapi persamaan Schrödinger itu sendirilah yang merupakan prinsip pertama. Persamaan Schrödinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh dan harus diakui bahwa persamaan Schrödinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Perlu diketahui bahwa persamaan Schrödinger bukanlah penambahan banyak postulat yang diperlukan untuk memberikan cara kerja alam fisis, karena hukum kedua Newton mengenai gerak yang dalam mekanika klasik dipandang sebagai postulat dapat diturunkan dari persamaan Schrödinger. Penelitian tentang penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan Schrödinger merupakan penelitian yang sangat penting dalam ilmu fisika modern. Berbagai metode penyelesaian persamaan Schrödinger untuk gerak partikel bermuatan pada potensial-potensial sentral dan non sentral dengan suatu potensial vektor atau suatu potensial skalar terpisahkan telah dikembangkan (Ikot, 2011). Berbagai metode yang telah dikembangkan tersebut diantaranya adalah metode Supersymmetry, metode shape invariant commit to user


digilib.uns.ac.id 3

(Cooper, 1989), metode Nikiforov-Uvarov (NU) (Ikot, 2010), dan polinomial Romanovski (Cari, 2012). Penelitian ini menitikberatkan pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger dari suatu elektron yang bergerak di dalam potensial kombinasi antara dua potensial non-sentral menggunakan polinomial Romanovski. Pada tahun 1884 Sir E. J. Routh merumuskan metode ini dan pada tahun 1929 dikembangkan kembali oleh V. I. Romanovski yang kemudian dikenal dalam beberapa literatur matematika sebagai polinomial “Romanovski”. Polinomial Romanovski merupakan bagian dari penyelesaian eksak untuk beberapa kasus biasa dan supersymetry mekaniaka kuantum (Cari, 2012). Secara umum, tepatnya persamaan Schrödinger memegang peranan spesial karena banyak member peran dalam menjelaskan fenomena mikroskopik serta menjadi tokoh kunci dalam ilmu fisika. Polinomial Romanovski dan polinomial Jacobi memiliki hubungan yang cukup erat, yaitu, polinomial Romanovski merupakan bentuk kompleks dari polinomial Jacobi tetapi pada kenyataannya substitusi faktor kompleks pada polinomial Jacobi tidak selalu menghasilkan polinomial Romanovski. Polinomial Romanovski dapat diturunkan sebagai solusi polinomial dari ODE. Pembahasan polinomial Romanovski tidak begitu meluas dalam berbagai aplikasi, tetapi dalam beberapa tahun terakhir ini metode ini cukup popular dalam pemecahan kasus-kasus mekanika kuantum, seperti pada contoh diskripsi spektrum atom hidrogen pada potensial Coulomb (Yanuarief, 2012), atau gerak partikel pada potensial Hulthen atau Rosen Morse. commit to user


digilib.uns.ac.id 4

B. Identifikasi Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang di atas, maka dapat dituliskan perumusan masalah sebagai berikut : 1. Bagaimana cara agar proses pembelajaran fisika kuantum khususnya mekanika kuantum dapat diselesaikan dengan persamaan-persamaan yang relatif lebih sederhana? 2. Sejauh mana konsep mekanika kuantum dapat menjelaskan berbagai fenomena mikroskopik di alam semesta? 3. Seberapa luas cakupan konsep persamaan Schrödinger dalam aplikasi mendiskripsikan gerak partikel pada beberapa potensial? 4. Bagaimana penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral dilakukan? 5. Bagaimana

cara

mengaplikasikan

polinomial

Romanovski

untuk

menyelesaikan persamaan Schrödinger? 6. Sebesar apa peran polinomial Romanovski sebagai metode popular dalam penyelesaian persamaan Schrödinger?

C. Batasan Masalah Penelitian ini dibatasi dalam lingkup : 1. Penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral,

commit to user


digilib.uns.ac.id 5

2. Potensial yang digunakan antara lain adalah non sentral Rosen Morse plus Hulthen, non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan non sentral Rosen Morse plus Coulomb, 3. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen dan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse adalah menggunakan metode polinomial Romanovski. 4. Metode analitik untuk menjabarkan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb adalah menggunakan kombinasi metode NU dan polinomial Romanovski.

D. Rumusan Masalah 1. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen? 2. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse? 3. Bagaimana analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb?

E. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah : 1. Mendeskripskan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. commit to user


digilib.uns.ac.id 6

2. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse. 3. Mendiskripsikan hasil analisis energi dan fungsi gelombang potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb.

F. Manfaat Penelitian 1. Bagi Peneliti : a. Mengembangkan

kemampuan

peneliti

dalam

penguasaan

tekhnik

penyelesaian fungsi gelombang dan energi persamaan Schrödinger untuk berbagai potensial, b. Mengembangkan kemampuan peneliti dalam penguasaan bahasa Matlab, c. Mengembangkan kemampuan logika berfikir dalam penyusunan alur program komputasi. 2. Bagi Pembaca : a. Visualisasi grafik yang dihasilkan dapat mempemudah pemahaman tentang mekanika kuantum. b. Sebagai sumber informasi tambahan dalam komputasi sehingga dapat memberikan kontribusi bagi ilmu pengetahuan.

commit to user


digilib.uns.ac.id

7

BAB II KAJIAN TEORI

A. Definisi Persamaan Schrödinger Baik

hukum

Newton,

persamaan

Maxwell,

maupun

persamaan

Schrödinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat asas dasar, namun pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan. Persamaan Schrödinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak “fisis”, dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat diperiksa kebenarannya dengan percobaan. Namun demikian, kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrödinger. Untuk merumuskan persamaan Schrödinger yang sampai saat ini dipergunakan

untuk

memecahkan

persoalan

fisika

kuantum,

berbagai

pertimbangan haruslah diperhatikan karena diketahui bahwa tidak adanya hasil percobaan yang dapat dijadikan sebagai bahan perbandingan. Beberapa pertimbangan itu diantaranya: 1. Tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Meskipun mengorbankan sebagian besar kerangka fisik klasik, hukum kekekalan energi adalah salah satu asas yang tetap berlaku. commit to user


digilib.uns.ac.id

8

𝐾+𝑉 =𝐸

(2.1)

dengan 𝐾 = energi kinetik, 𝑉 = energi potensial, 𝐸 = energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial) Karena kajian fisika kuantum dibatasi oleh keadaan relativistik, maka, 1

𝑝2

2

2𝑚 𝑒

𝐾 = 𝑚𝑒 𝑣 2 =

(2.2)

dengan 𝑚𝑒 = massa partikel elementer 2. Bentuk persamaan differensial apapun yang ditulis, haruslah taat asas terhadap hipotesis deBroglie. Jika pemecahan persamaan matematika bagi suatu partikel dengan momentum 𝑝, maka pemecahan yang didapat harus berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan panjang gelombang 𝜆 yang ℎ

nilainya sama dengan 𝑝 , dan dengan mendefinisikan 𝑝 = ℏ𝑘 maka nilai energi kinetik pada persamaan (2.2) menjadi, 𝑝2

𝐾 = 2𝑚 = 𝑒

ℏ𝑘 2 2𝑚 𝑒

ℏ2

= 2𝑚 𝑘 2

(2.3)

𝑒

ℎ

dengan ℏ = 2𝜋 , ℎ = konstanta plank, 𝑘 = bilangan gelombang 3. Persamaan yang dihasilkan diharapkan dapat memberikan informasi tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, misalnya, probabilitas tersebut berubah secara tidak kontinu, karena ini partikelnya berarti bahwa partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya. Sehingga disyaratkan bahwa fungsinya harus bernilai tunggal, tidak boleh ada dua atau lebih probabilitas untuk menemukan partikel di satu titik commit to user


digilib.uns.ac.id

9

yang sama. Kemudian juga harus bersifat linier, agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang diharapkan sebagai milik gelombang yang berperilaku baik. Dengan memeilih bernalar dalam urutan terbalik, akan ditinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang dicari. Dengan rujukan awal beberapa fungsi gelombang, 1. Gelombang berjalan: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 sin 𝑘𝑥 − ω𝑡

(2.4)

2. Gelombang elektromagnet (GEM): 𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸0 sin 𝑘𝑥 − ωt

(2.5a)

𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵0 sin 𝑘𝑥 − ωt

(2.5b)

dengan 𝑦 𝑥, 𝑡 , 𝐸 𝑥, 𝑡 dan 𝐵 𝑥, 𝑡 = simpangan; 𝐴, 𝐸0 dan 𝐵0 = amplitudo, 𝑘 = bilangan gelombang, 𝑥 = posisi, ω = kecepatan sudut, 𝑡 = waktu. Oleh karena itu, dipostulatkan bahwa gelombang deBroglie partikel bebas Ψ 𝑥, 𝑡 memiliki bentuk matematis yang juga serupa dengan persamaan (2.4) dan (2.5), yaitu bentuk dasar sebuah gelombang dengan amplitudo yang merambat dalam arah 𝑥 positif, memiliki panjang gelombang 𝜆 =

2𝜋 𝑘

dan frekuensi 𝜈 =

2𝜋 𝜔

.

Dengan mengabaikan ketergantungan pada waktu Ψ 𝑥, 𝑡 = 0 , maka dapat dituliskan persamaan gelombang deBroglie partikel bebas sebagai, Ψ 𝑥 = Ψ0 sin 𝑘𝑥

(2.6)

commit to user


digilib.uns.ac.id

10

Persamaan differensial, yang pemecahannya adalah Ψ 𝑥, 𝑡 dapat mengandung turunan terhadap 𝑥 atau 𝑡, tetapi haruslah hanya bergantung pada orde satu dari Ψ dan turunan-turunannya, sehingga suku seperti Ψ2 atau

∂Ψ 2 ∂𝑡

tidak boleh

muncul. Persamaan haruslah mengandung potensial 𝑉, jika 𝑉 berorde satu, maka agar taat asas dengan kekekalan energi persamaan (2.1), 𝐾 harus juga berorde satu. Dengan merujuk pada persamaan (2.3), maka satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung 𝑘 2 adalah dengan mendifferensialkan dua kali persamaan (2.6), yaitu, d2 dx 2

Ψ 𝑥 = −𝑘 2 Ψ0 sin 𝑘𝑥 = −𝑘 2 Ψ 𝑥

(2.7)

dengan mensubstitusi persamaan (2.3) ke persamaan (2.7) maka didapatkan, d2 dx 2

Ψ 𝑥 =−

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝐾Ψ 𝑥

(2.8)

dan dengan mensubstitusi persamaan (2.1) ke persamaan (2.8) maka didapatkan, d2 dx 2 d2 dx 2

Ψ 𝑥 =− Ψ 𝑥 =

2𝑚 𝑒 ℏ2

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝐸−𝑉 Ψ 𝑥

𝑉Ψ 𝑥 −

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝐸Ψ 𝑥

(2.9) ℏ2

kemudian kedua ruas dari persamaan (2.9) dikalikan dengan − 2𝑚 , menjadi, 𝑒

ℏ2

− 2𝑚

𝑒

d2 dx 2

Ψ 𝑥 + 𝑉Ψ 𝑥 = 𝐸Ψ 𝑥

(2.10)

Perlu ditekankan bahwa yang dilakukan bukanlah suatu penurunan, tetapi adalah membentuk suatu persamaan differensial yang memiliki sifat-sifat: 1. taat asas kekekalan energi, commit to user


digilib.uns.ac.id

11

2. linier dan bernilai tunggal, 3. memberikan pemecahan partikel bebas yang sesuai dengan sebuah gelombang deBroglie tunggal. Persamaan lain dapat dibentuk dengan sifat-sifat yang sama, namun hanya persamaan (2.10) yang lolos pengujian ketat tersebut sebagai yang sesuai dengan hasil-hasil percobaan dalam berbagai situasi fisis. Persamaan (2.10) merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu (stasioner) satu dimensi. Meskipun gelombang nyata selain bergantung pada koordinat ruang dan juga pada waktu, dan bahwa alam bukanlah berdimensi satu, melainkan tiga, maka berbagai pemecahan persamaan (2.10) untuk berbagai koordinat dalam kasus-kasus fisika kuantum dapat dilakukan dengan model-model matematika yang sudah ada. (Krane, 171-173).

B. Persamaan Schrödinger untuk koordinat 3 Dimensi Pada sistem koordinat 3 dimensi, misal pada contoh kasus suatu partikel yang terkurung didalam potensial kotak berukuran 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 (gambar 2.1)

commit to user


digilib.uns.ac.id

12

𝑧

c

𝑦 b a

𝑥

Gambar (2.1). Potensial Kotak

maka di setiap dinding kotak memiliki energi potensial yang sangat besar, 𝑉 → ∞, sedangkan energi potensial didalam kotak bernilai 0. Oleh karena partikel bergerak bebas memiliki probabilitas dalam arah 3 dimensi, maka berlaku operator nabla sebagai divergensi dari gradient Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧

atau laplacian

untuk operasi differensial (Arfken, 49-54) pada suku pertama

persamaan (2.10), yaitu, ∂2

∂2

∂2

∇2 = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2

(2.11)

maka persamaan (2.10) untuk kasus potensial kotak dapat ditulis menjadi, ℏ2

− 2𝑚 ∇2 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧

(2.12)

dengan mensubstitusi persamaan (2.11) ke persamaan (2.12), maka dapat dituliskan, ℏ2

− 2𝑚

∂2 Ψ 𝑥,𝑦,𝑧 2

∂x

+

∂2 Ψ 𝑥,𝑦,𝑧 ∂y

2

+

∂2 Ψ 𝑥,𝑦,𝑧 ∂z2

= 𝐸Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧

commit to user

(2.13)


digilib.uns.ac.id

13

Persamaan (2.13) tersebut diselesaikan dengan metode sparasi variabel dengan menguraikan, Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧

(2.14)

dengan, 𝑋 𝑥 : bagian fungsi gelombang fungsi 𝑥, 𝑌 𝑦 : bagian fungsi gelombang fungsi 𝑦, 𝑍 𝑧 : bagian fungsi gelombang fungsi 𝑧, kemudian persamaan (2.14) disubstitusi ke persamaan (2.13), maka menjadi, −

ℏ2 2𝑚

∂2 𝑋 ∂x 2

𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 +

∂2 𝑋 ∂y 2

𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 +

∂2 𝑋 ∂z 2

𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧

=

𝐸𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 ℏ2

− 2𝑚 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧

d2 𝑋 dx 2

𝑥 +𝑋 𝑥 𝑍 𝑧

d2 𝑌 dy 2

𝑦 +𝑋 𝑥 𝑌 𝑦

d2 𝑍 dz 2

𝑧

=

𝐸𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧

(2.15)

Jika kedua ruas dari persamaan (2.15) dibagi dengan 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 , maka persamaan (2.15) menjadi, ℏ2

− 2𝑚

1 d2 𝑋 𝑋 𝑥 dx 2

𝑥 +𝑌

1 d2 𝑌 𝑦 dy 2

𝑦 +𝑍

1 d2 𝑍 𝑧 dz 2

𝑧

=𝐸

(2.16)

dengan 𝐸 merupakan energi total untuk sistem 3 dimensi, dimana, 𝐸 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐸𝑧

(2.17)

sehingga jika persamaan (2.17) disubstitusi ke persamaan (2.16), menjadi,

commit to user


digilib.uns.ac.id

14

ℏ2

− 2𝑚

𝑒

1 𝑋 𝑥

d2

ℏ2

𝑋 𝑥 − 2𝑚 dx 2

1 𝑒

𝑌 𝑦

d2

ℏ2

𝑌 𝑦 − 2𝑚 dy 2

1 𝑒

d2

𝑍 𝑧 dz 2

𝑍 𝑧 = 𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐸𝑧 (2.18)

Dari bentuk persamaan (2.18), terlihat bahwa masing-masing suku telah mewakili satu fungsi gelombang, sehingga persamaan tersebut dapat direduksi menjadi, −

ℏ2 d 2 𝑋 2𝑚 𝑒 dx 2

𝑥 = 𝐸𝑥 𝑋 𝑥

(2.19a)

ℏ2

d2 2𝑌 𝑒 dy

𝑦 = 𝐸𝑦 𝑌 𝑦

(2.19b)

ℏ2

d2 2𝑍 𝑒 dz

𝑧 = 𝐸𝑧 𝑍 𝑧

(2.19c)

− 2𝑚 − 2𝑚

Persamaan (2.19) tersebut tidak lain merupakan persamaan Schrödinger untuk partikel dalam potensial satu dimensi.

C. Persamaan Schrödinger Untuk Koordinat Bola Beberapa potensial yang digunakan bersama pada persamaan Schrödinger merupakan potensial sentral dan merupakan fungsi dari jarak antara suatu partikel terhadap beberapa titik yang dijadikan acuan/pusat. Pada sistem koordinat bola, suatu titik pada ruang didefinisikan sebagai jarak r dari sebuah titik tersebut terhadap pusat sistem koordinat dengan arah dua sudut, yaitu zenithal 𝜃 dan azimuthal 𝜙. Oleh karena itu, dapat ditentukan secara spesifik posisi dari suatu titik tunggal dalam sistem tiga dimensi menggunakan triplets 𝑟, 𝜃, 𝜙 tersebut. Untuk menentukan letak atau posisi dalam koordinat bola untuk setiap titik, jangkauan dari setiap titik tersebut harus dibatasi. Secara umum ditentukan yaitu commit to user


digilib.uns.ac.id

15

𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, dan 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋. Pada bagian tersebut, seseorang dapat mengajukan sebuah pertanyaan tentang “mengapa” diperlukan sistem koordinat bola dalam proses penyelesaian persamaan Schrödinger untuk suatu partikel dalam fungsi potensial. Untuk potensial-potensial fisika, sekaligus menjadi sebuah jawaban, persamaan Schrödinger dalam sistem koordinat bola dapat di selesaikan dengan menggunakan pemisahan (sparasi) fungsi gelombang 3 dimensi menjadi fungsi gelombang yang berdiri sendiri (independen), yaitu : Ψ 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 Υ 𝜃, 𝜙 . Pergerakan suatu molekul berputar atau pada suatu elektron yang bergerak mengelilingi suatu inti atom dapat lebih baik didiskripsikan dalam koordinat bola dengan hanya mereduksi dalam koordinat tunggal atau 1 dimensi. Sebagai contoh, pada potensial Coulomb yang merepresentasikan suatu interaksi elektromagnetik antara sebuah elektron dan sebuah proton yang dapat dituliskan : V 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − 𝑒 , 4𝜋𝜀0

𝑒′ 2 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2

dalam koordinat kartesian, dimana 𝑒′ =

𝑒 merupakan muatan elementer dan 𝜀0 merupakan permitivitas ruang

hampa. Persamaan tersebut tidak begitu saja dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaaan Schrödinger dengan potensial V 𝑥, 𝑦, 𝑧

karena

potensial yang digunakan pada persamaan Schrödinger tidak dipisahkan dalam koordinat kartesian. Transformasi ke dalam koordinat bola dari koordinat kartesian akan mempermudah penyelesaian persamaan Schrödinger karena pada

commit to user


digilib.uns.ac.id

16

kasus ini, potensial V 𝑥, 𝑦, 𝑧 dapat di ubah menjadi V 𝑟 = −

𝑒′ 2 𝑟

yang hanya

mengandung fungsi 𝑟. Untuk transformasi tersebut, digunakan konversi 𝑟 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 . Selanjutnya, variabel-variabel 𝑥, 𝑦, 𝑧 pada koordinat kartesian dapat dihubungkan ke dalam variabel-variabel 𝑟, 𝜃, 𝜙 pada koordinat bola, dengan hubungan : 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

(2.20)

Dengan devinisi ∇2 untuk koordinat bola, 1 𝜕

𝜕

1

𝜕

𝜕

𝜕2

1

∇2 = 𝑟 2 𝜕𝑥 𝑟 2 𝜕𝑟 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕𝜙 2

(2.21)

Sehingga persamaan Schrödinger dapat dituliskan sebagai berikut, ℏ2

− 2𝑚

1 𝜕 𝑟2 𝜕𝑥

𝜕

1

𝜕

𝜕

𝑟2 𝜕𝑟 + 𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 +

𝜕2

1 2

𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝜙2

+ 𝑉 𝑟 Ψ 𝑟, 𝜃, 𝜙 =

𝐸Ψ 𝑟, 𝜃, 𝜙

(2.22)

Potensial yang digunakan adalah potensial sentral karena hanya dipengaruhi oleh jarak 𝑟 dari pusat koordinat dengan solusi pemisahan variabel pada persamaan Schrödinger, Ψ 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 Υ 𝜃, 𝜙

(2.23)

Menggunakan persamaan (2.23) tersebut, maka persamaan (2.22) dapat dituliskan: 1 𝑑 𝑅 𝑟 𝑑𝑟

𝑟2

𝑑𝑅 𝑟 𝑑𝑟

+

2𝑚 𝑒 𝑟2 ℏ

2

𝐸−𝑉 𝑟

1

= − Υ 𝜃,𝜙

1 𝜕 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕Υ 𝜃,𝜙 𝜕𝜃

+

1 2

sin 𝜃

𝜕2 Υ 𝜃,𝜙 𝜕𝜙2

(2.24)

commit to user


digilib.uns.ac.id

17

Kedua ruas dari persamaan (2.24) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun

keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai

konstanta sebesar 𝜆. Oleh karena itu, persamaan (2.24) dapat dibagi menjadi persamaan-persamaan: 1 𝑑

𝑟2

𝑟 2 𝑑𝑟 1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

𝑑𝑅 𝑟 𝑑𝑟

sin 𝜃

+

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝜕Υ 𝜃,𝜙 𝜕𝜃

𝐸−𝑉 𝑟

+

−

1

𝜕 2 Υ 𝜃,𝜙

sin 2 𝜃

𝜕𝜙 2

𝜆

𝑅 𝑟 =0

(2.25)

+ 𝜆Υ 𝜃, 𝜙 = 0

(2.26)

𝑟2

Dari persamaan (2.25) dan (2.26), tiap persamaan telah mewakili masing-masing variabel yang terpisahkan, yaitu variabel radial pada persamaan (2.25) dan variabel sudut pada persamaan (2.26). Penyelesaian bagian sudut dari persamaan (2.26) dapat langsung diselesaikan karena bagian ini tidak terdapat sebuah potensial ataupun energi sehingga dapat dilanjutkan kembali untuk memisahkan variabel dengan mengasumsikan fungsi sudut Υ 𝜃, 𝜙 = Θ 𝜃 Φ 𝜙 . Sehingga persamaan (2.26) memiliki bentuk penyelesaian, 1 𝑑 sin 𝜃 𝑑𝜃

sin 𝜃

1 𝑑2 Φ 𝜙 Φ 𝜙 𝑑𝜙2

𝑑Θ 𝜃 𝑑𝜃

+ 𝜆−

𝑚2 sin2 𝜃

Θ 𝜃 =0

= −𝑚2

(2.27) (2.28)

Dengan 𝑚 harus bernilai positif atau bulat negatif, 𝑚 = 0, ±1, ±2, … Konstanta 𝑚 merupakan bilangan kuantum magnetik. Jika kembali pada persamaan yang lebih rumit yang dipengaruhi oleh variabel 𝜃, persamaan (2.27) dapat ditulis kembali dengan mengubah variabel cos 𝜃 = 𝜔. 𝑑 𝑑𝜔

1 − 𝜔2

𝑑𝑃 𝜔 𝑑𝜔

𝑚2

+ 𝜆 − 1−𝜔2 𝑃 𝜔 = 0 commit to user

(2.29)


digilib.uns.ac.id

18

Dengan 𝑃 𝜔 merupakan polinomial Legendre. Umumnya, persamaan (2.29) memiliki dua penyelesaian independen yang bernilai tak terhingga untuk 𝜔 = ±1. Meskipun demikian, fungsi gelombang yang memenuhi untuk kondisi khusus persamaan (2.29) bernilai terhingga. Akan tetapi, jika konstanta 𝜆 didefinisikan sebagai, 𝜆=𝑙 𝑙+1

(2.30)

Dengan 𝑙 dinyatakan sebagai bilangan kuantum orbital yang memiliki nilai, 𝑙 = 0, 1, 2, 3, …

(2.31)

Untuk nilai-nilai 𝑙 tersebut, maka solusi 𝑃 𝜔 dapat bernilai terhingga untuk semua nilai-nilai 𝜔. Pada definisi fungsi Legendre asosiasi, magnitude dari bilangan kuantum magnetik 𝑚 haruslah terbatas pada nilai-nilai yang lebih kecil atau sama dengan 𝑙 karena polinomial-polinomial Legendre merupakan polinomial-polinomial fungsi 𝑙, 𝑚 = 0, 1, 2, 3, … ≤ 𝑙

(2.32)

Di sisi lain, terdapat nilai 2𝑙 + 1 yang dipenuhi nilai-nilai untuk 𝑚, −𝑙 ≤ 𝑚 ≤ 𝑙. Mensubstitusi persamaan (2.30) ke persamaan (2.25) menunjukkan bahwa fungsi gelombang radial 𝑅 𝑟 dan eigenvalue 𝐸 dari persamaan Schrödinger bergantung pada bilangan kuantum orbital 𝑙 dan dipenuhi oleh persamaan, 𝑑 2𝑅 𝑟 𝑑𝑟 2

+

2 𝑑𝑅 𝑟 𝑟

𝑑𝑟

+

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝐸−𝑉 𝑟 −

ℏ2 𝑙 𝑙+1 2𝑚 𝑒 𝑟 2

𝑅 𝑟 =0

(2.33)

Persamaan (2.33) dapat digambarkan sebagai suatu persamaan differensial biasa dengan koefisien variabel dan dapat diselesaikan dengan metode-metode standar. commit to user


digilib.uns.ac.id

19

D. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Fungsi Hypergeometry Persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang mana energi potensialnya merupakan fungsi posisi biasanya diselesaikan dengan cara mereduksi persamaan Schrödinger menjadi persamaan differensial orde dua fungsi khusus seperti fungsi hypergeometry dengan substitusi variabel yang sesuai. Jika persamaan hypergeometry telah diperoleh, maka tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombang akan diperoleh dengan mudah. Variabel baru yang disubstitusikan biasanya diperoleh dengan cara coba-coba, namun sekali dapat menemukan variabel baru untuk suatu sistem, variabel baru untuk sistem yang lain dapat ditentukan dengan menebak yang lebih logis dan terarah. Persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry yang diusulkan oleh Gauβ dinyatakan sebagai, 𝑧 1−𝑧

𝑑2𝜙 𝑑𝑧 2

+ 𝑐− 𝑎+𝑏+1 𝑧

𝑑𝜙 𝑑𝑟

− 𝑎𝑏𝜙 = 0

(2.34)

persamaan (2.34) mempunyai dua buah titik reguler singular yaitu di titik 𝑧 = 0 dan 𝑧 = 1, karena penyelesaian di titik 𝑧 = 0 lebih sederhana dari pada penyelesaian di titik 𝑧 = 1, maka mula-mula dipilih penyelesaian fungsi gelombang 𝜙 di sekitar titik 𝑧 = 0 dengan bentuk deret di sekitar titik 𝑧 = 0, yaitu, 𝜙 = 𝑧𝑠

𝑦𝑛 𝑧 𝑛

(2.35)

dengan mensubstitusi persamaan (2.35) ke persamaan (2.34), commit to user


digilib.uns.ac.id

20

~

𝑦𝑛 𝑧 𝑛+𝑠 = −𝑎𝑏 𝑦0 𝑧 𝑠 + 𝑦1 𝑧 𝑠+1 + 𝑦2 𝑧 𝑠+2 + 𝑦3 𝑧 𝑠+3 + ⋯

−𝑎𝑏 𝑛=0

𝑑 𝑐− 𝑎+𝑏+1 𝑧 𝑑𝑧

~

𝑦𝑛 𝑧 𝑛+𝑠 𝑛=0

= 𝑐 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑧 𝑠𝑦0 𝑧 𝑠−1 + 𝑠 + 1 𝑦1 𝑧 𝑠 + 𝑠 + 2 𝑦2 𝑧 𝑠+1 + 𝑠 + 3 𝑦3 𝑧 𝑠+2 + ⋯ 𝑑2 𝑧 1−𝑧 𝑑𝑧 2

~

𝑦𝑛 𝑧 𝑛+𝑠 𝑛=0

𝑠 − 1 𝑠𝑦0 𝑧 𝑠−2 + 𝑠 𝑠 + 1 𝑦1 𝑧 𝑠−1 + 𝑠 + 1 𝑠 + 2 𝑦2 𝑧 𝑠 + ⋯

=𝑧 1−𝑧

+

0 = 𝑧 𝑠−1 𝑐𝑠𝑦0 + 𝑠 𝑠 − 1 𝑦0 + 𝑧 𝑠 −𝑎𝑏𝑦0 + 𝑐 𝑠 + 1 𝑦1 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠𝑦0 +

𝑠+1𝑠𝑦1−𝑠𝑠−1𝑦0 +𝑧 𝑠+1 −𝑎𝑏𝑦1 + 𝑐 𝑠 + 2 𝑦2 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 + 1 𝑦1 + 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑦2 −

𝑠+1𝑠𝑦1

+…

(2.36)

Persamaan (2.36) merupakan persamaan identitas sehingga koefisien dari masingmasing suku z pangkat tertentu harus di-nol-kan , yaitu, Untuk 𝑧 𝑠−1 , 𝑐𝑠𝑦0 + 𝑠 𝑠 − 1 𝑦0 = 0,

𝑠𝑦0 𝑐 + 𝑠 − 1

= 0,

𝑦0 ≠ 0

(2.37)

persamaan (2.37) merupakan “index equation” yang memberikan harga, 𝑠 = 0 atau 𝑠 = 1 − 𝑐

(2.38a)

Untuk 𝑧 𝑠 , −𝑎𝑏𝑦0 + 𝑐 𝑠 + 1 𝑦1 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠𝑦0 + 𝑠 + 1 𝑠𝑦1 − 𝑠 𝑠 − 1 𝑦0 = 0 commit to user


digilib.uns.ac.id

21

−𝑎𝑏 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 − 𝑠 𝑠 − 1 𝑦0 + 𝑐 𝑠 + 1 + 𝑠 + 1 𝑠 𝑦1 = 0 sehingga diperoleh hubungan, 𝑦1 =

𝑠 2 + 𝑎+𝑏 𝑠+𝑎𝑏 𝑠+1 𝑠+𝑐

𝑦0

𝑦1 =

atau

𝑠+𝑎 𝑠+𝑏 𝑠+1 𝑠+𝑐

𝑦0

(2.38b)

Untuk 𝑧 𝑠+1 , −𝑎𝑏𝑐1 + 𝑐 𝑠 + 2 𝑦2 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 + 1 𝑦1 + 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑦2 −

𝑠+1𝑠𝑦1=0 −𝑎𝑏 − 𝑠 + 1 𝑠 − 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 + 1 𝑦1 + 𝑐 𝑠 + 2 + 𝑠 + 2 𝑠 + 1 𝑦2 = 0 sehingga diperoleh hubungan, 𝑦2 =

𝑠 + 1 𝑠 + 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 + 1 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑠+2 + 𝑠+2 𝑠+1

𝑦1

𝑠 2 + 𝑠 + 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑠 + 1 + 𝑎𝑏 𝑦2 = 𝑦1 𝑠+2 𝑠+𝑐+1 𝑦2 =

𝑠+1+𝑎 𝑠+1+𝑏 𝑠+2 𝑠+𝑐+1

𝑦1

(2.39a)

dengan menghubungkan persamaan (2.38b) ke persamaan (2.39a), maka diperoleh, 𝑦2 =

𝑠+𝑎 𝑠+𝑏

𝑠+1+𝑎 𝑠+1+𝑏

𝑠+1 𝑠+𝑐

𝑠+2 𝑠+𝑐+1

𝑦0

(2.39b)

Setelah itu, persamaan (2.39b) dapat dinyatakan dalam bentuk umum, yaitu, 𝑦𝑛 =

𝑠+𝑎 𝑠+𝑏 𝑠+1+𝑎 𝑠+1+𝑏 … 𝑠+ 𝑛−1 +𝑎 𝑠+ 𝑛−1 +𝑏 𝑠+1 𝑠+𝑐 𝑠+2 𝑠+𝑐+1

… 𝑠+𝑛 𝑠+𝑐+ 𝑛−1

𝑦0

Berdasarkan persamaan (2.38a), maka diperoleh persamaan untuk: commit to user

(2.40)


digilib.uns.ac.id

22

𝑠 = 0, 𝑦𝑛 =

𝑎 𝑏 1+𝑎 1+𝑏 … 𝑛−1+𝑎 𝑛−1+𝑏 𝑦0 1 𝑐 2 𝑐+1 … 𝑛 𝑐+𝑛−1 𝑎 𝑎+1 𝑏 𝑏+1 … 𝑎+𝑛−1 𝑏+𝑛−1

𝑦𝑛 =

𝑐 𝑐+1

… 𝑛 𝑐+𝑛−1 ∙𝑛!

𝑦0

(2.41)

maka akan didapatkan bentuk penyelesaian persamaan differensial hypergeometry persamaan (2.34), yaitu, 2 𝐹1

𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 1 𝑛 𝑐 𝑛

𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧 = 𝜙 =

𝑧𝑛 =

𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑛! 𝑐 𝑛

𝑧𝑛

(2.42)

𝑎𝑛 = 𝑎 𝑎 + 1 𝑎 + 2 𝑎 + 3 … 𝑎 + 𝑛 − 1

dimana

agar penyelesaian (2.42) mempunyai nilai, maka penyebut tidak boleh bernilai nol, maka 𝑐 ≠ −𝑛, dimana 𝑛 = 0,1,2,3 … 𝑎 = −𝑛

Jika,

atau

𝑏 = −𝑛

(2.43)

maka bentuk penyelesaian yang berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polinomial pangkat 𝑛. Dari kondisi yang dinyatakan pada persamaan (2.43) dapat diperoleh tingkat energi sistem. Persamaan (2.34) dapat digunakan untuk menganalisis fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem yang dipengaruhi oleh potensial tertentu. Salah satu contoh potensial yang mempengaruhi sistem yang dapat diselesaikan yaitu potensial Gendehshtein II yang memiliki potensial efektif, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = −

ℏ2 2𝑚 𝑒

1 2

2𝑢(𝑡+ ) cosh 𝑥 sinh 2 𝑥

−

𝑢 2 +𝑡(𝑡+1) sinh 2 𝑥

persamaan Schrödinger untuk persamaan (2.44) adalah, commit to user

(2.44)


digilib.uns.ac.id

23

ℏ2 d 2 χ − 2𝑚 dx 2 𝑒

+

ℏ2 𝑢 2 +𝑡 𝑡+1 2𝑚 𝑒 sinh 2 𝑥

1

−

ℏ2 2𝑢 𝑡+2 cosh 𝑥 2𝑚 𝑒 sinh 2 𝑥

χ = 𝐸χ

(2.45)

persamaan (2.45) dapat diubah menjadi persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry dengan cara melakukan substitusi variabel, yaitu, cosh 𝑥 = 1 − 2𝑧 maka

sinh 𝑥 = 2 𝑧 𝑧 − 1

(2.46)

dari persamaan (2.46), diperoleh, 𝑧=

1 − cosh 𝑥 2

𝑑𝑧 1 = − sinh 𝑥 = − 𝑧 𝑧 − 1 𝑑𝑥 2 𝑑 𝑑 =− 𝑧 𝑧−1 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑 𝑑 𝑑2 𝑑 𝑑 = 2 =− 𝑧 𝑧−1 − 𝑧 𝑧−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑2 = 𝑑𝑥 2

𝑧 𝑧−1

1 1 2 𝑧 𝑧−1

2𝑧 − 1

𝑑 𝑑2 + 𝑧 𝑧−1 𝑑𝑧 𝑑𝑧 2

𝑑2 1 𝑑 𝑑2 = 2𝑧 − 1 +𝑧 𝑧−1 𝑑𝑥 2 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑2 𝑑𝑥 2

=𝑧 𝑧−1

d2 dz 2

1

+ 𝑧−2

d

(2.47)

dz

dengan mensubstitusi persamaan (2.46) dan (2.47) ke persamaan (2.45), maka dapat dituliskan, 𝑧 1−𝑧

𝑑2χ 𝑑𝑧 2

1 𝑑χ

+ 𝑧−2

𝑑𝑟

−

𝑢2 +𝑡 𝑡+1

4𝑧 𝑧−1

− 2𝑢 𝑡 +

1

1−2𝑧

2 4𝑧 𝑧−1

χ=−

2𝑚𝑒 ℏ2

𝐸χ

(2.48) jika dimisalkan

2𝑚 𝑒 ℏ2

𝐸 = −𝑘 2

commit to user


digilib.uns.ac.id

24

maka persamaan (2.48) dapat ditulis kembali menjadi, 𝑑2χ

𝑧 1−𝑧

𝑑𝑧 2

1

+

2

−𝑧

𝑑χ 𝑑𝑟

2

1 2

𝑡+ −𝑢

2

+ 𝑘 −

1 4

−

4𝑧

1 2

𝑡+ +𝑢

−

4 𝑧−1

2

1 4

−

χ=0

(2.49)

Persamaan differensial orde dua pada persamaan (2.49) yang dibentuk dari hasil substitusi variabel merupakan persamaan hypergeometry perantara. Persamaan ini mempunyai 2 buah titik regular singular di titik 𝑧 = 0 dan 𝑧 = 1, Untuk titik 𝑧 = 0, persamaan (2.49) memiliki penyelesaian, 𝑑2χ

𝑧 1−𝑧

𝑑𝑧 2

1

+

2

−𝑧

𝑑χ 𝑑𝑟

−

𝑘2

karena suku-suku 𝑧 1−𝑧 dan

2

1 2

𝑡+ −𝑢

1 4

−

4𝑧 1 2

2

𝑡+ +𝑢

1 4

−

4𝑧 𝑧−1 2

χ=0

(2.50)

diabaikan terhadap suku

1 2

2

𝑡+ −𝑢

1 4

−

4𝑧2 1−𝑧

untuk

𝑧 mendekati nol, serta bentuk persamaan (2.50) merupakan bentuk persamaan hypergeometry seperti pada persamaan (2.34) maka persamaan (2.50) diselesaikan dengan fungsi gelombang χ yang sesuai seperti bentuk persamaan (2.35) yaitu, χ = zs

∞ n=0 cn

𝑧𝑛

(2.51)

kemudian persamaan (2.51) disubstitusi ke persamaan (2.50), dan diperoleh, 𝑧 1−𝑧

𝑑2 𝑑𝑧 2 2

1 2

𝑡+ −𝑢 4𝑧

~ 𝑛+𝑠 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑧 1 4

−

+

~ 𝑛+𝑠 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑧

1 2

−𝑧

𝑑 𝑑𝑧


=0

−

(2.52)

kemudian masing-masing suku dari persamaan (2.52) diuraikan secara terpisah, yaitu: commit to user


digilib.uns.ac.id

25

2

1

𝑡+2 −𝑢

−

1

2

1

−4


4𝑧

𝑡+2 −𝑢

=−

1

−4

𝑐0 𝑧 𝑠 + 𝑐1 𝑧 𝑠+1 + 𝑐2 𝑧 𝑠+2 + 𝑐3 𝑧 𝑠+3 + ⋯

4𝑧

(2.53a) 1 2

−𝑧

𝑑

~ 𝑛 +𝑠 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑧

𝑑𝑧

1

=

2

−𝑧

𝑠𝑐0 𝑧 𝑠−1 + 𝑠 + 1 𝑐1 𝑧 𝑠 + 𝑠 + 2 𝑐2 𝑧 𝑠+1 + 𝑠 + 3 𝑐3 𝑧 𝑠+2 +

…

(2.53b)

𝑧 1−𝑧

𝑑2


𝑑𝑧2

= 𝑧 1−𝑧

𝑠 − 1 𝑠𝑐0 𝑧 𝑠−2 + 𝑠 𝑠 + 1 𝑐1 𝑧 𝑠−1 + 𝑠 + 1 𝑠 +

2𝑐2𝑧𝑠+…

(2.53c)

kemudian dari uraian pada persamaan (2.53a), (2.53b), dan (2.53c) dijumlahkan sesuai hubungan pada persamaan (2.52) dan dikelompokan berdasarkan variabel 𝑧 pangkat tertentu, yaitu, 0=𝑧

𝑠−1

−

2

1 2

𝑡+ −𝑢

1 4

−

4

1

𝑐0 + 𝑠𝑐0 + 𝑠 − 1 𝑠𝑐0 + 𝑧 2

𝑠

−

2

1 2

𝑡+ −𝑢 4

1 4

−

𝑐1 +

1 2

𝑠 + 1 𝑐1 − 𝑠𝑐0 + ⋯

+⋯

(2.54) dari persamaan (2.54), suku dengan variabel 𝑧 pangkat terendah harus di-nol-kan, yaitu, 𝑡+ −

2

−

1 4

4

𝑡+ −

1 −𝑢 2

1 −𝑢 2

1 𝑠2 − 𝑠 − 2

2

−

1 4

4

1 + 𝑠 + 𝑠 − 1 𝑠 𝑐0 = 0, 2

1 + 𝑠+ 𝑠−1 𝑠=0 2

1 𝑡+ −𝑢 2 4

2

−

1 4

=0

commit to user

𝑐0 ≠ 0


digilib.uns.ac.id

26

1 𝑡+ −𝑢 2

2

4𝑠 − 2𝑠 − 2

1

𝑡+2 −𝑢

2

−

1 =0 4

1

− 4 = 2𝑠 2𝑠 − 1

(2.55)

dari persamaan (2.55), jika dimisalkan nilai 𝑠 untuk 𝑧 menuju 0 adalah 𝛼, maka, 𝛼=

−𝑡+𝑢

(2.56)

2

sehingga diperoleh penyelesaian pendekatan disekitar titik 𝑧 = 0 yang dinyatakan sebagai, χ ~ zα

(2.57) Untuk titik 𝑧 = 1, persamaan (2.49) memiliki penyelesaian,

𝑧 1−𝑧

𝑑2χ 𝑑𝑧 2

+

1 2

−𝑧

𝑑χ 𝑑𝑟

𝑘2

karena suku-suku

𝑧 1−𝑧

−

2

1 2

𝑡+ +𝑢

1 4

−

4 𝑧−1 1 2

2

𝑡+ −𝑢

dan

χ=0 1 4

−

4𝑧2 1−𝑧

diabaikan terhadap suku

(2.58) 1 2

2

𝑡+ +𝑢

1 4

−

4𝑧 𝑧−1 2

untuk 𝑧 = 1 dan analog dengan persamaan (2.50),

penyelesaian pendekatannya dapat

dituliskan sebagai, χ~ 1−z

𝛽

(2.59)

dengan parameter yang disubstitusi dinyatakan sebagai, 1

𝑡+2 +𝑢

2

1

− 4 = 2𝛽 2𝛽 − 1 ,

𝛽=

−𝑡−𝑢 2

commit to user

(2.60)


digilib.uns.ac.id

27

Penyelesaian umum dari persamaan (2.49) merupakan kombinasi dari penyelesaian yang diperoleh disekitar titik 𝑧 = 0 dan di 𝑧 = 1 dan dikalikan dengan suatu fungsi baru yang dapat ditulis sebagai, χ = 𝑧𝛼 1 − 𝑧 𝛽 𝑓 𝑧

(2.61)

Kemudian untuk menyelesaikan persamaan (2.49), dihitung terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari persamaan (2.61), yaitu, 𝑑χ 𝑑𝑧

= 𝛼𝑧 𝛼−1 1 − 𝑧 𝛽 𝑓 𝑧 − 𝑧 𝛼 𝛽 1 − 𝑧

𝑑2χ 𝑑𝑧 2

𝛽−1

𝑓 𝑧 + 𝑧 𝛼 1 − 𝑧 𝛽 𝑓′ 𝑧

= 𝛼 − 1 𝛼𝑧 𝛼 −2 1 − 𝑧 𝛽 𝑓 𝑧 − 𝛼𝑧 𝛼−1 𝛽 1 − 𝑧

𝛽−1

(2.62a)

𝑓 𝑧 + 𝛼𝑧 𝛼−1 1 −

𝑧𝛽𝑓′𝑧−𝛼𝑧𝛼−1𝛽1−𝑧𝛽−1𝑓𝑧+𝑧𝛼𝛽−1𝛽1−𝑧𝛽−2𝑓𝑧−𝑧𝛼𝛽1−𝑧𝛽−1𝑓′𝑧+𝛼𝑧𝛼−11− 𝑧𝛽𝑓′𝑧−𝑧𝛼𝛽1−𝑧𝛽−1𝑓′𝑧+𝑧𝛼1−𝑧𝛽𝑓′′𝑧 (2.62b) bila persamaan (2.56), (2.60), (2.61), (2.62a), dan (2.62b) dimasukkan ke dalam persamaan (2.49), maka diperoleh persamaan, 𝑧 1−𝑧

𝑑2𝑓 𝑧 𝑑𝑧 2

+

1

2𝛼 + 2 − 2𝛼 + 2𝛽 + 1 𝑧

𝑑𝑓 𝑧 𝑑𝑟

+

𝛼+𝛽

2

0

− 𝑘2 𝑓 𝑧 = (2.63)

bentuk persamaan (2.63) merupakan bentuk persamaan differensial orde dua fungsi hypergeometry. Dengan mengaplikasikan kondisi pada persamaan (2.43) pada persamaan (2.63), maka diperoleh, 𝛼 + 𝛽 + 𝑘 = −𝑛

atau

𝛼 + 𝛽 − 𝑘 = −𝑛

Dari persamaan (2.56), (2.60), jika disubstitusi ke persamaan (2.64), commit to user

(2.64)


digilib.uns.ac.id

28

−𝑡 + 𝑢 −𝑡 − 𝑢 2𝑚𝑒 + + − 2 𝐸 = −𝑛 2 2 ℏ

−

2𝑚𝑒 𝐸 = −𝑛 − −𝑡 ℏ2

−

2𝑚𝑒 𝐸 =𝑡−𝑛 ℏ2

maka diperoleh spektrum energi, yaitu, 𝐸𝑛 = −

ℏ2 2𝑚 𝑒

𝑡−𝑛

2

(2.65)

Kemudian dengan membandingkan persamaan (2.34) dengan persamaan (2.63), serta hubungan persamaan (2.43) dan (2.64), maka dapat dinyatakan hubungan, 𝑎 = 𝛼 + 𝛽 + 𝑘,

𝑏 = 𝛼 + 𝛽 − 𝑘,

dan

1

𝑐 = 2𝛼 + 2

(2.66)

dengan menjumlahkan persamaan (2.56) dan (2.60), yaitu 𝛼+𝛽 =

−𝑡 + 𝑢 −𝑡 − 𝑢 + 2 2

𝛼 + 𝛽 = −𝑡

(2.67)

maka persamaan (2.66) dapat ditulis kembali menjadi, 𝑎 = −𝑡 + 𝑘,

1

𝑏 = −𝑡 − 𝑘, dan

𝑐 = −𝑡 + 𝑢 + 2

(2.68)

Sehingga, dari persamaan (2.42), (2.46) dan (2.68), diperoleh penyelesaian yang merupakan fungsi hypergeometry, yaitu, 2 𝐹1

1 1−cosh 𝑥

−𝑡 + 𝑘, −𝑡 − 𝑘, −𝑡 + 𝑢 + 2 ;

2

=

−𝑡+𝑘 𝑛 −𝑡−𝑘 𝑛 1 𝑛 ! −𝑡+𝑢+ 2 𝑛

1−cosh 𝑥 𝑛 2

(2.69) commit to user


digilib.uns.ac.id

29

Dengan mensubstitusi persamaan (2.46), (2.57), (2.60), dan (2.69) ke persamaan (2.61), maka didapatkan, 𝜒𝑛 =

1−cosh 𝑥 −𝑡+𝑘

1+cosh 𝑥

2

−𝑡−𝑘

−𝑡+𝑘 𝑛 −𝑡−𝑘 𝑛 1 𝑛 ! −𝑡+𝑢+

2

2 𝑛

1−cosh 𝑥 𝑛 2

(2.70)

Persamaan (2.70) menunjukan penyelesaian umum fungsi gelombang potensial Gendensthein II, dengan fungsi gelombang tingkat dasar 𝑛 = 0 : 𝜒0 =

1−cosh 𝑥 −𝑡+𝑘

1+cosh 𝑥

2

−𝑡−𝑘

(2.71)

2

(Suparmi, 162-165)

E. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Polinomial Romanovski Dari bentuk umum persamaan hypergeometry, 𝜍 𝑥

𝑑 2 𝑦𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2

+𝜏 𝑥

𝑑𝑦 𝑛 𝑥 𝑑𝑥

+ 𝜆𝑛 𝑦𝑛 𝑥 = 0

(2.72)

Dengan, 𝜍 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐;

𝜏 = 𝑑𝑥 + 𝑒 dan 𝜆𝑛 = − 𝑛 𝑛 − 1 + 2𝑛 1 − 𝑝 (2.73)

Jika persamaan (2.73) disubstitusikan ke persamaan (2.72), maka dapat dituliskan, 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑑 2 𝑦𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2

+ 𝑑𝑥 + 𝑒

𝑑𝑦 𝑛 𝑥 𝑑𝑥

− 𝑛 𝑛 − 1 + 2𝑛 1 − 𝑝 𝑦𝑛 𝑥 = 0 (2.74)

Dengan parameter Romanovski : commit to user


digilib.uns.ac.id

30

𝑝,𝑞

𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1, 𝑑 = 2 1 − 𝑝 , dan

𝑒 = 𝑞, 𝑝 > 0, 𝑦𝑛 𝑥 = 𝐷𝑛

𝑝 = −𝛽 > 𝑛

𝑥 ,

(2.75)

sehingga persamaan (2.74) dapat ditulis kembali menjadi, 1 + 𝑥2

𝑝 ,𝑞

𝑑 2 𝐷𝑛

𝑥

𝑑𝑥 2

𝑝 ,𝑞

+ 2𝑥 1 − 𝑝 + 𝑞

𝑑𝐷𝑛

𝑑𝑥

𝑥

𝑝,𝑞

− 𝑛 𝑛 − 1 + 2𝑛 1 − 𝑝 𝐷𝑛

0

𝑥 =

(2.76)

Persamaan (2.76) merupakan persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski dengan 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 adalah polinomial Romanovski. Persamaan (2.76) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan (2.34). Persamaan Schrödinger untuk potensial shape invariant dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai. Metode yang digunakan untuk menjabarkan persamaan (2.76) sama seperti metode yang digunakan pada penjabaran persamaan hypergeometry, persamaan (2.34), tetapi dengan penyelesaian fungsi gelombang persamaan Schrödinger, seperti penyelesaian fungsi gelombang pada persamaan (2.62), untuk polinomial Romanovski, yaitu, 𝑋𝑛 = 1 + 𝑥 2

𝑝 2

−

𝑞

𝑒 2 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥

(2.77)

dengan, 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 𝑤 𝑤 𝑥

1

𝑑𝑛

𝑥 𝑑𝑥 𝑛

1 + 𝑥 2 𝑛 𝑤(𝑥)

(2.78)

merupakan faktor bobot yang dapat ditentukan dengan menggunakan

persamaan differensial Pearson, yaitu, commit to user


digilib.uns.ac.id

31

𝑑 𝑑𝑥

𝜍 𝑥 𝑤 𝑥

= 𝜏 𝑥 𝑤(𝑥)

(2.79)

dengan mensubstitusi persamaan (2.67) ke persamaan (2.71), maka diperoleh, 𝑤 𝑥 = exp⁡

𝑑 − 2𝑎 𝑥 + (𝑒 − 𝑏) 𝑑𝑥 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑤 𝑥 = exp

2 1−𝑝 −2 𝑥+𝑞 𝑑𝑥 = exp 1 + 𝑥2

−2𝑝𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 1 + 𝑥2

𝑤 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑝 𝑙𝑛 1 + 𝑥 2 + 𝑞 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 𝑤 𝑥 = 1 + 𝑥2

−𝑝

𝑒 𝑞 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥

= 1 + 𝑥2

𝛽

𝑒 −𝛼 𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥

(2.80)

F. Penyelesaian Fungsi Gelombang dan Energi Dengan Metode NU Metode NU didasari pada persamaan diferensial hypergeometry orde 2. Untuk suatu potensial yang ditentukan, persamaan Schrödinger dalam koordinat bola direduksi kedalam suatu persamaan umum hypergeometrik dengan suatu transformasi koordinat 𝑟 → 𝑠 dan kemudian diselesaikan secara sistematis dengan penyelesaian khusus. Persamaan utama ditunjukan dalam bentuk dibawah ini : 𝜓′′ 𝑠 +

𝜏 𝑠 𝜍 𝑠

𝜓′ 𝑠 +

𝜍 𝑠 𝜍2 𝑠

𝜓 𝑠 =0

(2.81)

dimana 𝜍 𝑠 dan 𝜍 𝑠 merupakan polinomial orde 2, 𝜏 𝑠 adalah polinomial orde 1, dan 𝜓 𝑠 merupakan suatu fungsi dari hypergeometry. Dengan mendefinisikan 𝜓 𝑠 = 𝜙 𝑠 𝑦 𝑠 dan memilih suatu fungsi 𝜙 𝑠 yang tepat, persamaan (2.81) direduksi menjadi suatu bentuk: 𝜙′ 𝑠

𝑦 ′′ 𝑠 + 2 𝜙

𝑠

𝜏 𝑠

+𝜍

𝑠

𝑦′ 𝑠 +

𝜙′′ 𝑠 𝜙 𝑠

+

𝜙′ 𝑠 𝜏 𝑠 𝜙 𝑠 𝜍 𝑠

commit to user

𝜍 𝑠

+ 𝜍2

𝑠

𝑦 𝑠 = 0 (2.82)


digilib.uns.ac.id

32

dari koefisien 𝑦′ 𝑠 diperoleh bentuk, 𝜙′ 𝑠

2𝜙

𝑠

𝜏 𝑠

+𝜍

𝑠

𝜏 𝑠

=𝜍

(2.83)

𝑠

dan dari persamaan (2.83), diperoleh bentuk, 𝜙′ 𝑠 𝜙 𝑠

𝜋𝑠

=𝜍𝑠

(2.84)

dengan, 1

𝜋 𝑠 =2 𝜏 𝑠 −𝜏 𝑠

(2.85)

𝜏 𝑠 = 𝜏 𝑠 + 2𝜋 𝑠

(2.86)

parameter baru ð 𝑠 adalah polinomial orde 1. Kemudian, faktor

𝜙′′ 𝑠 𝜙 𝑠

yang

muncul pada koefisien 𝑦 𝑠 dari persamaan (2.82) dijabarkan dalam bentuk, 𝜙′′ 𝑠 𝜙 𝑠

𝜙′ 𝑠

=

′

𝜙 𝑠

+

2

𝜙′ 𝑠 𝜙 𝑠

𝜋 𝑠

=

𝜍 𝑠

′

+

𝜋 𝑠

2

𝜍 𝑠

(2.87)

kemudian, koefisien 𝑦 𝑠 diubah kedalam bentuk yang lebih cocok dengan mengambil kesebandingan yang ditunjukan dari persamaan (2.84), 𝜙′′ 𝑠 𝜙 𝑠

+

𝜙′ 𝑠 𝜏 𝑠 𝜙 𝑠 𝜍 𝑠

𝜍 𝑠

+ 𝜍2

𝑠

𝜍 𝑠

= 𝜍2

(2.88)

𝑠

dimana, 𝜍 𝑠 = 𝜍 𝑠 + 𝜋2 𝑠 + 𝜋 𝑠 𝜍 𝑠 − 𝜍′ 𝑠 + 𝜋′ 𝑠 𝜍 𝑠

(2.89)

Dengan mensubstitusi ruas kanan dari persamaan (2.83) dan (2.88) ke persamaan (2.82), maka diperoleh persamaan hypergeometry, 𝜏 𝑠

𝑦 ′′ 𝑠 + 𝜍

𝑠

𝜍 𝑠

𝑦′ 𝑠 + 𝜍2

𝑠

𝑦 𝑠 =0

commit to user

(2.90)


digilib.uns.ac.id

33

Sebagai konsekuensi dari transformasi yang dibahas diatas, bentuk fungsi persamaan (2.81) terlindung oleh langkah-langkah sistematis. Jika polinomial 𝜍 𝑠 pada persamaan (2.90) dapat diubah dalam fungsi 𝜍 𝑠 , dengan hubungan, 𝜍 𝑠 = 𝜆𝜍 𝑠

(2.91)

dengan 𝜆 adalah konstanta, maka persamaan (2.92) dapat direduksi menjadi, 𝜍 𝑠 𝑦 ′′ 𝑠 + 𝜏 𝑠 𝑦 ′ 𝑠 + 𝜆𝑦 𝑠 = 0

(2.92)

Untuk menentukan polinomial 𝜋 𝑠 , persamaan (2.89) dibandingkan dengan persamaan (2.91) dan kemudian suatu persamaan kuadrat untuk 𝜋 𝑠 dituliskan sebagai berikut, 𝜋2 𝑠 + 𝜏 𝑠 − 𝜍′ 𝑠 𝜋 𝑠 + 𝜍 𝑠 − 𝑘𝜍 𝑠 = 0

(2.93)

𝑘 = 𝜆 − 𝜋′ 𝑠

(2.94)

Penyelesaian persamaan (2.93) adalah, 𝜋 𝑠 =

𝜍′ 𝑠 −𝜏 𝑠 2

±

𝜍′ 𝑠 −𝜏 𝑠 2

2

− 𝜍 𝑠 + 𝑘𝜍 𝑠

(2.95)

Agar dapat menyatakan penyelesaian yang sesuai dengan tanda positif dan negatif pada persamaan (2.95), maka parameter 𝑘 didalam tanda akar haruslah eksplisit. Untuk memenuhinya, suku-suku yang berada didalam tanda akar harus memiliki bentuk polinomial kuadrat. Dari penyelesaian umum persamaan (2.92) dengan representasi 𝜐1 𝑠 = 𝑦 ′ 𝑠 , 𝜍 𝑠 𝜐1 ′′ 𝑠 + 𝜏1 𝑠 𝜐1 ′ 𝑠 + 𝜇1 𝜐1 𝑠 = 0

(2.96)

dimana 𝜏1 𝑠 = 𝜏 𝑠 + 𝜍′ 𝑠 dan 𝜇1 = 𝜆 + 𝜏′ 𝑠 . 𝜏1 𝑠 merupakan polinomial dengan orde lebih dari 1, dan 𝜇1 merupakan suatu parameter yang tidak commit to user


digilib.uns.ac.id

34

bergantung pada variabel s. Ini menunjukan bahwa persamaan (2.96) adalah persamaan tipe Hypergeometrik. Dengan mensubstitusi 𝜐2 𝑠 = 𝑦′′ 𝑠 sebagai representasi baru, maka suku ke-2 pada persamaan (2.92) menjadi, 𝜍 𝑠 𝜐2 ′′ 𝑠 + 𝜏2 𝑠 𝜐2 ′ 𝑠 + 𝜇2 𝜐2 𝑠 = 0

(2.97)

dengan, 𝜏2 𝑠 = 𝜏1 𝑠 + 𝜍′ 𝑠 = 𝜏 𝑠 + 2𝜍′ 𝑠

(2.98)

𝜇2 = 𝜇1 + 𝜏1 ′ 𝑠 = 𝜆 + 2𝜏′ 𝑠 + 𝜍′′ 𝑠

(2.99)

Dengan cara yang sama, suatu persamaan tipe hypergeometry dapat dibentuk dengan susunan penyelesaian-penyelesaian khusus dari persamaan (2.92) dengan mendefinisikan 𝜐𝑛 𝑠 = 𝑦

𝑛

𝑠 ;

𝜍 𝑠 𝜐𝑛 ′′ 𝑠 + 𝜏𝑛 𝑠 𝜐𝑛 ′ 𝑠 + 𝜇𝑛 𝜐𝑛 𝑠 = 0

(2.100)

dan hubungan rekursi umum untuk 𝜏𝑛 𝑠 dan 𝜇𝑛 yaitu, 𝜏𝑛 𝑠 = 𝜏 𝑠 + 𝑛𝜍′ 𝑠 𝜇𝑛 = 𝜆 + 𝑛𝜏′ 𝑠 +

(2.101)

𝑛 𝑛−1 2

𝜍′′ 𝑠

(2.102)

Saat 𝜇𝑛 = 0, maka persamaan (2.102) menjadi, 𝜆𝑛 = −𝑛𝜏′ 𝑠 −

𝑛 𝑛−1 2

𝜍′′ 𝑠 ,

𝑛 = 0,1,2, …

(2.103)

dan kemudian persamaan (2.100) memiliki penyelesaian khusus dengan bentuk 𝑦 𝑠 = 𝑦𝑛 𝑠 yang merupakan suatu polinomial orde n. Untuk menentukan solusi eigen nilai metode NU, maka hubungan antara 𝜆 dan 𝜆𝑛 harus dibentuk sesuai persamaan (2.94) dan (2.103). 𝑦𝑛 𝑠 adalah suatu fungsi tipe hypergeometry dengan penyelesaian polinomial diberikan dalam bentuk formula Rodrigues, commit to user


digilib.uns.ac.id

35

𝐵𝑛 𝑑 𝑛

𝑦𝑛 𝑠 = 𝜌

𝑠 𝑑𝑠 𝑛

𝜍𝑛 𝑠 𝜌 𝑠

(2.104)

dengan 𝐵𝑛 adalah konstanta normalisasi dengan faktor bobot 𝜌 𝑠

harus

memenuhi kondisi, 𝑑 𝑑𝑠

𝜍 𝑠 𝜌 𝑠

=𝜏 𝑠 𝜌 𝑠

(2.105)

Kemudian dengan mengkombinasi nilai 𝜙 𝑠

dan formula rodrigues pada

persamaan (2.104) akan diperoleh eigen fungsi (fungsi gelombang) 𝑋 𝑟 , dengan hubungan, 𝑋 𝑟 = 𝜙 𝑠 𝑦𝑛 𝑠

(2.106)

(Nikiforov, A.V. & Uvarov, V.B, 1-8)

G. Potensial Hulthen Potensial Hulthen memiliki persamaan: −𝑟

ℏ2

𝑉0 𝑒 𝑎

𝑉 𝑟 = − 2𝑚

(2.107a)

−𝑟

1−𝑒 𝑎

atau, ℏ2

𝑉 𝑟 = − 2𝑚

𝑉0 𝑟 𝑒 𝑎 −1

(2.107b)

Dengan ℏ adalah konstanta planck dan 𝑚 merupakan adalah massa partikel elementer.

Sehingga,

berdasarkan

variabelnya,

potensial

Hulthen

dapat

dinyatakan sebagai, 𝑉 𝑟 ≈−

𝑉0 𝑟 𝑒 𝑎 −1



digilib.uns.ac.id

36

dengan 𝑉0 dan 𝑎 merupakan kekuatan dan parameter jarak. Potensial Hulthen memiliki gaya atraktif Coulomb untuk 𝑟 yang relatif sangat kecil terhadap 𝑎, 𝑟 ≪ 𝑎. Jika variabel radial 𝑟 relatif sangat kecil terhadap 𝑎, suku eksponensial akan diekspansikan ke deret Taylor, yaitu: 𝑟

𝑟

1

𝑒 𝑎 = 1 + 𝑎 + 2!

𝑟 2 𝑎

1

+ 3!

𝑟 3 𝑎

+⋯

(2.109)

Suku-suku pada orde yang lebih tinggi dari persamaan (2.109) dapat diabaikan dan hanya mengambil dua suku pertama. Sehingga, persamaan (2.109) dapat ditulis kembali menjadi, 𝑟

𝑟

𝑒𝑎 ≈ 1 + 𝑎

(2.110)

Jika persamaan (2.110) tersebut disubstitusi ke persamaan (2.109), maka persamaan (2.109) dapat dituliskan menjadi, 𝑉 𝑟 ≈−

𝑉 𝑟 ≈−

𝑉0 𝑟 1+𝑎−1 𝑉0 𝑎 𝑟

(2.111)

Dari persamaan (2.111), maka dapat disimpulkan untuk nilai 𝑟 ≪ 𝑎, potensial Hulthen memiliki bentuk interaksi potensial Coulomb.

H. Potensial Rosen Morse Potensial Rosen Morse memungkinkan terjadinya interaksi quark dalam pembahasan dinamika quark-gluon QCD. Potensial ini mereproduksi daerah perantara potensial pengungkungan linier (berhubungan dengan interaksi multi commit to user


digilib.uns.ac.id

37

gluon) sebagai ketentuan kalkulasi-kalkulasi pola geometris molekul-molekul QCD pada sifat hadron (Compean, 2006).

Gambar (2.2). Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya

Secara independent, persamaan potensial Rosen Morse adalah, ℏ2

𝑉 𝑟 = 2𝑚

𝑎 𝑎+1 sin2 𝑟

− 2𝑏 cot 𝑟

(2.112)

Dengan ℏ adalah konstanta planck,

𝑚 merupakan adalah massa partikel

elementer, 𝑎 dan 𝑏 adalah konstanta. Jika 𝑟 → 𝑖𝑟, 𝑏 → 𝑖𝑏 maka persamaan (2.112) dapat ditulis kembali menjadi, 𝑉 𝑟 =

ℏ2 𝑎 𝑎 + 1 ℏ2 − 2𝑖𝑏 cot 𝑖𝑟 = 2𝑚 sin 𝑖𝑟 2 2𝑚 ℏ2

𝑉 𝑟 = 2𝑚 −

𝑎 𝑎+1 sinh2 r

𝑎 𝑎+1 𝑖 sinh 𝑟

− 2𝑏 coth 𝑟

2

− 2𝑖𝑏 −𝑖 coth 𝑟

(2.113)

Persamaan (2.113) diatas merupakan persamaan potensial Eckart. Hal ini berarti bahwa potensial Rosen Morse merupakan bentuk compleks dari potensial Eckart. commit to user


digilib.uns.ac.id

38

I. Potensial Coulomb Potensial Coulomb yang menghubungkan suatu elektron dengan muatan – 𝑒 berputar dalam medan elektrostatik Coulomb inti atom. Jika inti atom merupakan proton yang bermuatan 𝑒, permasalahan yang muncul adalah pada atom hidrogen dalam sistem fisika yang sebenarnya dimana terletak dalam sistem tiga dimensi. Sehingga, atom hidrogen tersusun atas sebuah elektron yang berputar dalam sistem koordinat bola terhubung dalam atraksi lemah Coulomb dengan proton. Kedua sistem partikel ini dapat dikonversi kedalam satu sistem partikel dengan mempertimbangkan gerak elektron yang relatif terhadap proton yang berada di pusat massa dari dua partikel tersebut sesuai dengan prinsip mekanika klasik. Pada kerangka tersebut, massa elektron dapat substitusi oleh sebuah partikel dengan massa tereduksi dan bergerak relatif terhadap proton. Persamaan potensial Coulomb adalah: 𝑉 𝑟 =

−𝑒 2

(2.114)

𝑟

dengan 𝑒 adalah muatan elektron.

J. Potensial Non Sentral Rosen Morse Potensial non sentral Rosen Morse merupakan potensial Rosen Morse yang variabelnya bergantung pada fungsi radial dan polar. Sehingga pada penyelesaian fungsi gelombang dan energi pada persamaan Schrödinger, potensial

commit to user


digilib.uns.ac.id

39

non sentral Rosen Morse memiliki variabel yang terpisahkan. Potensial non sentral Rosen Morse memiliki bentuk persamaan, ℏ2

𝑉 𝑟, 𝜃 = 2𝑚 𝑟 2

𝜈 𝜈 +1 sin 2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃

Dengan ℏ adalah konstanta planck,

(2.115) 𝑚 merupakan adalah massa partikel

elementer, 𝜈 dan 𝜇 adalah konstanta.

Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk persamaan Schrödinger dapat diselesaikan dengan persamaan hypergeometry dengan melakukan substitusi variabel yang cocok sehingga penyelesaian persamaan Schrödinger dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan fungsi gelombang pendekatannya. Dalam penelitin ini, akan dilakukan penyelesaian fungsi gelombang dan energi untuk potensial shape invariant dengan menggunakan polinomial Romanovski. Potensial yang dipilih adalah kombinasi antara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dan potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb.

commit to user


digilib.uns.ac.id 40

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

A. Lokasi dan Waktu Penelitian Waktu penelitian selama 8 bulan mulai dari bulan Januari sampai Oktober 2012 dan penelitian dilakukan di Ruang Prodi Ilmu Fisika, PPs, Universitas Sebelas Maret.

B. Objek Penelitian Objek dalam penelitian ini adalah kombinasi dari dua persamaan potensial efektif yang shape invariant, yaitu : a. Non sentral Rosen Morse plus Hulthen b. Non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse c. Non sentral Rosen Morse plus Coulomb

C. Instrumentasi Penelitian Instrumentasi penelitian yang digunakan : 1. Satu unit notebook AMD Athlon X2, 3 Gb memory 2. Perangkat lunak (Software) “Matlab 2010” :

commit to user



D. Prosedur Penelitian 1. Langkah kerja a. Menentukan salah satu potensial efektif yaitu diantara potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, atau potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, b. Mensubstitusi potensial efektif yang dipilih dari salah satu kombinasi potensial pada langkah a kedalam persamaan Schrödinger, c. Menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan sparasi variabel sesuai fungsi gelombangnya masing-masing, yaitu bagian polar dan bagian radial, d. Menyelesaikan masing-masing bagian fungsi gelombang hingga diperoleh persamaan differensial orde 2, e. Melakukan substitusi variabel terhadap persamaan differensial yang terbentuk dengan variabel yang cocok dengan mempertimbangkan hasil penjabaran persamaan differensial yang diperoleh dari langkah d memiliki koefisien pada suku pertama yaitu

1 + 𝑥 2 . Substitusi

variabel dilakukan dengan merubah variabel trigonometri dengan orde yang lebih tinggi menjadi variabel yang linier. f. Menjabarkan persamaan differensial orde 2 yang variabelnya telah di substitusi menjadi persamaan hypergeometry perantara yang memiliki bentuk seperti persamaan (2.74), commit to user



g. Mensubstitusi fungsi gelombang dari persamaan hypergeometry perantara dengan persamaan (2.77) dan menjabarkannya hingga diperoleh persamaan hypergeometry polinomial Romanovski seperti pada persamaan (2.76), h. Menentukan nilai 𝛽 dan nilai 𝛼 dari suku terakhir persamaan hypergeometry polinomial Romanovski serta dari memperbandingkan persamaan hypergeometry polinomial Romanovski yang diperoleh dari hasil penjabaran dengan hypergeometry polinomial Romanovski dari persamaan (2.76). Nilai 𝛽 dan nilai 𝛼 yang memiliki 2 penyelesaian dipilih salah satunya dengan pertimbangan parameter Romanovski dimana nilai – 𝛽 > 𝑛, i. Untuk

fungsi

menentukan

gelombang

nilai

bulangan

mengkombinasikan hubungan

polar,

langkah

kuantum 1 2

𝛽−2

selanjutnya

orbital

𝑙

dengan

adalah cara

pada 2 persamaan yang

berbeda seperti yang ditunjukan pada bab 4. Nilai 𝑙 tersebut akan dipergunakan bersama untuk menentukan kedua fungsi gelombang, yaitu fungsi gelombang polar dan fungsi gelombang radial, j. Menentukan fungsi gelombang polar keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai 𝜈 dan 𝜇 dimana kedua nilai tersebut secara fisis akan mempengaruhi besar gangguan potensial non sentral Rosen Morse terhadap potensial sistem, karena kedua nilai tersebut mempengaruhi nilai 𝑙 yang juga digunakan dalam penentuan commit to user penyelesaian khusus fungsi gelombang radial. Dari hasil variasi nilai 𝜈



dan 𝜇 akan diperoleh nilai 𝛽 dan nilai 𝛼 yang kemudian kedua nilai tersebut digunakan untuk menentukan fungsi gelombang polar dengan menggunakan persamaan polinomial Romanovski seperti yang ditunjukan pada persamaan (2.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (2.80), k. Menentukan persamaan tingkat energi pada penyelesaian fungsi gelombang radial dengan mengkombinasikan hasil 𝛽 2 pada 2 persamaan yang berbeda dari hasil penjabaran fungsi gelombang radial masing-masing, sehingga setiap kombinasi potensial efektif memiliki persamaan tingkat energi yang berbeda-beda, l. Menentukan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan memberikan variasi nilai 𝑙 yang diperoleh dari penyelesaian fungsi gelombang bagian polar dimana nilai 𝑙 tersebut merupakan penghubung dari potensial gangguan menuju potensial sistem yang diganggu. Fungsi gelombang radial keadaan khusus dapat dibentuk dengan menggunakan persamaan (2.77b) dengan faktor bobot pada persamaan (2.80), m. Khusus untuk kombinasi potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial tidak memiliki faktor trigonometri, sehingga dilakukan penyelesaian tingkat energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan metode yang lebih umum daripada metode polinomial Romanovski, yaitu metode Nikiforov-Uvarov (NU), commit to user



n. Menyelesaikan persamaan Schrödinger bagian radial menjadi bentuk persamaan differensial orde 2 NU seperti pada persamaan (2.81), o. Membandingkan koefisien persamaan differensial orde 2 NU hasil penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial dengan koefisien persamaan (2.81), sehingga didapatkan nilai 𝜍, 𝜍′, 𝜏, dan 𝜍, p. Menentukan nilai 𝜋 𝑟 dari nilai 𝜍, 𝜍′, 𝜏, dan 𝜍 yang diperoleh dari langkah o, dengan menggunakan persamaan (2.95), q. Menentukan nilai 𝜏 𝑟 dari nilai 𝜏 𝑟 yang diperoleh dari langkah o dan nilai 𝜋 𝑟 yang diperoleh dari langkah p, r. Menentukan nilai 𝜆 dari nilai 𝑘 yang diperoleh dari langkah p dan nilai turunan pertama 𝜋 𝑟 yang diperoleh dari langkah p, s. Menentukan nilai 𝜆𝑛 𝑟 dari nilai turunan pertama 𝜏 𝑟 yang diperoleh dari langkah q dan nilai turunan kedua 𝜍 yang diperoleh dari langkah o dengan mengunakan persamaan (2.103), t. Menentukan persamaan tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb dengan membandingkan nilai-nilai 𝜆 yang diperoleh dari langkah r dengan nilai 𝜆𝑛 𝑟 yang diperoleh dari langkah s dengan menggunakan hubungan 𝜆 = 𝜆𝑛 𝑟 , u. Menentukan nilai 𝜙 𝑟 dengan persamaan (2.84) dan nilai 𝜌 𝑟 dari hubungan persamaan (2.105), v. Menyelesaikan polinomial dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan oleh persamaan (2.104) dengan nilai 𝜌 𝑟 yang diperoleh dari langkah u,

commit to user



w. Menyelesaikan fungsi gelombang radial keadaan khusus dengan nilai 𝜙 𝑟 dari langkah u dan formula Rodrigues dengan menggunakan hubungan persamaan (2.106).

2. Bagan Alir Penelitian

Potensial

Persamaan Schrodinger 3D

Sparasi Variabel

Substitusi Variabel

Persamaan Hypergeometry Perantara

Fungsi Gelombang Romanovski

Persamaan Differensial Romanovski

Energi

commit to user

Fungsi Gelombang


digilib.uns.ac.id

46

BAB IV HASIL DAN ANALISA

A. Pendahuluan Pada bab ini, akan ditampilkan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa potensial shape invariant dengan menggunakan metode polinomial Romanovski, khususnya untuk penyelesaian bagian radial dan polar pada potensial Hulthen plus Rosen Morse, dan Rosen Morse radial plus Rosen Morse. Proses penyelesaian terlebih dahulu dilakukan dengan menyelesaikan persamaan

Schrödinger

menjadi

persamaan

differensial

orde

2

tipe

hypergeometry seperti yang ditunjukan pada persamaan (2.71) melalui substitusi variabel yang cocok untuk memperoleh persamaan hypergeometry perantara seperti yang ditunjukan pada persamaan (2.74). Sedangkan penyelesaian fungsi gelombangnya diberikan permisalan fungsi gelombang seoerti pada persamaan (2.75a). Kemudian untuk penyelesaian potensial Coulombic plus Rosen Morse, bagian radial tidak berbentuk potensial trigonometri, sehingga penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan metode NU. Proses penyelesaiannya dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan Schrödinger ke arah persamaan differensial orde 2 NU pada persamaan (2.79) dan diselesaikan dengan persamaan

commit to user


digilib.uns.ac.id

47

(2.93). Setelah itu, fungsi gelombangnya dapat dinyatakan dengan formula Rodrigues seperti yang ditunjukan pada persamaan (2.102) dan (2.104). Hasil penyelesaian yang berupa persamaan tingkat energi (eigenvalue) dan

fungsi

gelombang

(eigenfunction)

dari

masing-masing

potensial

divisualisasikan dengan Matlab 2010.

B. Penyelesaian Bagian Polar Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Dari kombinasi persamaan (2.107a) dan (2.115), persamaan potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen adalah, ℏ2

𝑉 𝑟, 𝜃 = − 2𝑚

−𝑟

𝑉0 𝑒 𝑎

−𝑟 1−𝑒 𝑎

ℏ2

+ 2𝑚𝑟2

𝜈 𝜈+1 sin2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃

(4.1)

dari hubungan, sinh 𝑥 =

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

dan

2

cosh 𝑥 =

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2

maka persamaan (4.1) dapat ditulis kembali menjadi, ℏ2

𝑉 𝑟, 𝜃 = − 2𝑚

𝑉0 2

coth

𝑟 2𝑎

−1

ℏ2

+ 2𝑚 𝑟 2

𝜈 𝜈 +1 sin 2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃

(4.2)

dengan 𝑉0 > 0 Kemudian persamaan (4.2) dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger untuk koordinat bola, karena potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen merupakan bentuk potensial fungsi radial 𝑟 dan fungsi polar 𝜃 dimana masingcommit to user


digilib.uns.ac.id

48

masing dimensi diwakili oleh satu fungsi gelombang, maka persamaan Schrödinger untuk persamaan (4.2) adalah, ℏ2

− 2𝑚

1 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟

ℏ2 𝑉0 2

− 2𝑚

𝜕

1

𝜕

𝜕

1

𝜕2

𝑟 2 𝜕𝑟 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 + coth

𝑟 2𝑎

ℏ2

− 1 + 2𝑚 𝑟 2 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 =

𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑

(4.3)

Persamaan (4.3) merupakan persamaan Schrödinger dengan fungsi gelombang umum. Untuk penyelesaiannya, fungsi gelombang persamaan Schrödinger 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 diuraikan dalam batasan fungsi gelombang tiap dimensi melalui proses sparasi variabel, dengan memisalkan, 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑

(4.4)

permisalan yang muncul pada persamaan (4.4) mengandung fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap dimensi yaitu 𝑅 𝑟 merupakan fungsi gelombang radial, 𝑃 𝜃

merupakan fungsi gelombang polar, dan 𝜙 𝜑

merupakan fungsi

gelombang azimuthal. Untuk menguraikan bentuk persamaan (4.3), persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.3), yaitu, 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝑟2

𝑉0 2

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

coth

𝑅 𝑟 + 𝑟 2𝑎

1 1 𝜕 𝑃 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

𝑃 𝜃 +

1 1 𝜕2 𝜙 2 𝜙 𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

− 1 − 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 +

commit to user

2𝑚𝑟2 ℏ2

𝜑 +

𝐸=0

(4.5)


digilib.uns.ac.id

49

Persamaan (4.5) telah memiliki bentuk yang tiap sukunya mewakili satu fungsi gelombang. Sebelum menyelesaikannya, suku-suku yang mengandung fungsi gelombang yang sama dikelompokkan dalam satu ruas, yaitu,

−

ℏ2 1 𝜕 2𝑚 𝑟 2 𝜕𝑟

𝑟2

ℏ2 𝑉0 2

coth

− 2𝑚

𝜕 𝜕𝑟

1 𝜕 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃

+ 𝑟 2𝑎

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

1 𝜕2 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 +

ℏ2

− 1 + 2𝑚 𝑟 2 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 =

𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 𝑥−

𝑟2 𝑟2 −

1 𝜕

𝑟2

𝑟2 𝜕𝑟

𝑉0 2

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

𝜕 𝜕𝑟

coth

+

1

𝜕

𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝑟

−1

2𝑎

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

1

𝜕2

𝑟2 sin2 𝜃 𝜕𝜑2

2𝑚𝑟 2 ℏ2

𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 +

− 𝜈 𝜈 + 1 csc2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 =

𝐸𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑

𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃

𝜕 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑅 𝑟 𝜙 𝜑

1 𝜕2 𝜙 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

𝜑 + 𝑟2

2𝜇 cot 𝜃 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 = −

𝑉0 2 2𝑚𝑟2 ℏ2

1 𝜕 sin 𝜃 𝜕𝜃

coth

𝑟 2𝑎

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑃 𝜃 +

− 1 − 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 −


:𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑

commit to user


digilib.uns.ac.id

50

1

𝜕

𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝑟2

𝑉0

1

𝜕

2

𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝑟2

𝑉0

1

𝜕

2

𝑅 𝑟 𝜕𝑟

−𝑃

1

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃 coth

𝑟 2𝑎

−1

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃 coth

𝑟 2𝑎

−1

1

𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑃 𝜃 + 𝜙

1

1

1

𝜕

𝜕



𝜑 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

1

2

𝑟

coth

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑃 𝜃 − 𝜙

2𝑎

1

−1 1

𝜕2


+

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

1

𝜕2


− 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 +

𝑉0

𝜕2

1

− 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 = −

𝜕

𝜕

𝜕


𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑟 2 1

1

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

𝜙 𝜑 + 𝐸

𝜙 𝜑 +

𝐸=0

𝐸=

𝜙 𝜑 + 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 −

2𝜇 cot 𝜃 1

𝜕

𝑅 𝑟 𝜕𝑟

−𝑃

1

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑟 2 1

𝜕


𝜕

𝑉0 2

𝑟

coth


2𝑎

1 𝜑

−1 1

𝜕2

sin 2 𝜃

𝜕𝜑 2

+

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

𝐸=

𝜙 𝜑 + 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 −

2𝜇 cot 𝜃

(4.6) Dari persamaan (4.6), ruas kiri merupakan persamaan Schrödinger

bagian radial, dan ruas kanan merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (polar dan azimuthal). Sesuai dengan persamaan (2.24), kedua ruas dari persamaan (4.6) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar 𝜆, sehingga penyelesaian persamaan (4.6) yang dilakukan bertahap dengan menyelesaikan

commit to user


digilib.uns.ac.id

51

tiap bagian fungsi gelombang, masing-masing ruas disebandingkan dengan nilai konstanta 𝜆. Dari persamaan (4.6), bagian fungsi gelombang yang pertama diselesaikan adalah bagian polar, yaitu:

−𝑃

1

1

𝜕


𝜕


1 𝜑

1

𝜕2

sin 2 𝜃

𝜕𝜑 2

𝜙 𝜑 +

𝜈 𝜈+1 sin 2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃 = 𝜆 (4.7)

dengan mensubstitusi persamaan (2.28) dan (2.30) ke persamaan (4.7), 1 1 𝜕2 𝜕 𝑚2 𝜈 𝜈+1 sin 𝜃 2 + cos 𝜃 𝑃 𝜃 − + − 2𝜇 cot 𝜃 = −𝜆 2 𝑃 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃 1 𝑃 𝜃

𝜕2 𝜕 𝑚2 𝜈 𝜈+1 + cot 𝜃 𝑃 𝜃 − + − 2𝜇 cot 𝜃 = −𝑙(𝑙 + 1) x 𝑃 𝜃 2 2 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 sin2 𝜃

maka persamaan (4.7) dapat ditulis kembali menjadi, 𝜕2𝑃 𝜃 𝜕𝜃 2

+ cot 𝜃

𝜕𝑃 𝜃 𝜕𝜃

−

𝑚2 sin 2 𝜃

+

𝜈 𝜈+1 sin 2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃 𝑃 𝜃 + 𝑙(𝑙 + 1)𝑃 𝜃 = 0 (4.8)

Persamaan (4.8) dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan dalam persamaan (2.76) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai, yaitu, cot 𝜃 = 𝑥

(4.9a)

commit to user


digilib.uns.ac.id

52

𝑑𝑥 𝑑 cot 𝜃 = = − csc 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = − csc 2 𝜃 𝑑𝜃 csc 2 𝜃 = 1 + 𝑥2

(4.9b)

𝑑𝑥 = − 1 + 𝑥2 𝑑𝜃 𝑑 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 = = − 1 + 𝑥2 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑 𝑑 = − 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑥2 = − 1 + 𝑥2 2 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑2 = 1 + 𝑥2 𝑑𝜃 2

2

−2𝑥

𝑑 𝑑2 − 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑑 + 2𝑥 1 + 𝑥2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

jika permisalan pada persamaan (4.9a) dan (4.9a) disubstitusi ke persamaan (4.8), 1 + 𝑥2

2 𝑑2𝑃 𝜃 𝑑𝑥 2

+ 2𝑥 1 + 𝑥2

𝑑𝑃 𝜃 𝑑𝑥

− 𝑥 1 + 𝑥2


− 𝑚2 1 + 𝑥2 +

𝜈 𝜈 + 1 1 + 𝑥2 − 2𝜇𝑥 − 𝑙(𝑙 + 1) 𝑃 𝜃 = 0

1 + 𝑥2

2 𝑑2𝑃 𝜃 𝑑𝑥 2

+ 𝑥 1 + 𝑥2


− 𝑚2 1 + 𝑥2 + 𝜈 𝜈 + 1 1 + 𝑥2 − 2𝜇𝑥 −

𝑙(𝑙 + 1) 𝑃 𝜃 = 0

: 1 + 𝑥2 1 + 𝑥2

𝑑2𝑃 𝑥 𝑑𝑥 2

+𝑥

𝑑𝑃 𝑥 𝑑𝑥

− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

2𝜇𝑥

1+𝑥2

commit to user

−

𝑙(𝑙+1)

1+𝑥2

𝑃 𝑥 =0

(4.10)


digilib.uns.ac.id

53

bentuk persamaan (4.10) merupakan persamaan hypergeometry perantara, dengan 𝑃 𝑥 merupakan fungsi gelombang polar sehingga 𝑃 𝑥 memiliki sifat yang sama

𝜒𝑛 𝑥

dengan

pada

persamaan

(2.77).

Maka

penyelesaiannya

adalah

mensubstitusi persamaan (2.77) ke persamaan (4.10), dengan terlebih dahulu menghitung, 𝜕𝑃 𝑥 𝜕𝑥

= 𝛽 −1 2

𝛽𝑥 1 + 𝑥 2 𝛽

1 + 𝑥2 2 𝑒

𝜕𝑃 𝑥 𝜕𝑥

𝛽

𝜕𝑥

𝜕2𝑃 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑥2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

1 + 𝑥2

𝑒

𝛽

𝛼 1+𝑥 2

−𝛼

−1 𝑥

𝛽

−𝛼 tan −1 𝑥 2

(1 + 𝑥 2 ) 2 𝑒 2 tan

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 +

𝑥

𝜕𝑥

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝛼

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − (1 + 𝑥 2 ) 2 −1 𝑒 2

𝛽 −1 2

𝑥

𝑒

𝛽 −1 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝜕𝑥

𝑥

𝛽

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 1 + 𝑥 2 2 𝑒 𝛼

𝛽

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝛽𝑥 − 2 𝛼

𝛽 −1 2


𝜕𝑥

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝛽𝑥 − 2

1 + 𝑥2 𝛽 −1 2

𝑝 ,𝑞

1 + 𝑥2

= 𝛽 1 + 𝑥2

𝛽 −2 2

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2

𝜕𝐷𝑛

𝛽 −1 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛼

𝛼

2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

= 𝛽𝑥 − 2

𝛽𝑥 − 2 𝛼

−𝛼 tan −1 𝑥 2

= 𝛽𝑥 1 + 𝑥 2

1 + 𝑥2 2 𝑒

𝜕𝑃 𝑥

𝑒

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝜕𝑥

−𝛼 2 𝑥

1 + 𝑥2

𝛽 −2 2

𝛽

+ 2 1 + 𝑥2 𝛽

+ 1 + 𝑥2 2 𝑒

𝑒

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝑥

𝜕𝑥

− 1 2𝑥 1 +

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽 −1 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

dan disubstitusi ke persamaan (4.10), maka menjadi, commit to user

2

−𝛼 ta n −1 𝑥 2

2𝑥𝑒 𝑝 ,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛

𝜕𝑥 2


−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑥

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝜕𝑥

𝑥

−


digilib.uns.ac.id

54

1 + 𝑥2 𝛽𝑥 − 2

𝛼

𝛽 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

−𝛼 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

𝛼 2

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝑒

−

1 + 𝑥2

𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝑒

𝛽 −1 2

−1

𝑒

−𝛼

𝑒 2 tan

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + −𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥

𝑝,𝑞

−1 𝑥

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝑝,𝑞

𝜕 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥

+

𝛽 2

𝑒

𝛽

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝑥 −

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

−

𝛼 2


𝛽 2

𝑝,𝑞


+𝑥

−

𝛽𝑥 −

− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

𝛽𝑥 1+𝑥 2

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

−1

1 1+𝑥 2

𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−

𝑝,𝑞


−

=0

𝑥 +

𝛽 2

−1

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛 𝛼

=0

commit to user

𝑥 − 𝑝,𝑞

𝑥 +

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 1+𝑥 2 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 +


𝑥 +

𝑝,𝑞

+


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝛽𝑥

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

+𝑥

𝑝,𝑞


𝑝,𝑞

𝑝,𝑞

𝛽𝑥 −

𝛽 1+𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

−1 𝑥

1 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼

−

2𝑥𝑒

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0

𝑥 + 𝛽𝑥 − 2 +𝑥

𝛽 −1 2

−1 𝑥

−𝛼

𝛼

𝑝,𝑞

+

−𝛼


1 + 𝑥2

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

1 + 𝑥2

𝛽

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2 2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝛽 2

+ 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

𝑝,𝑞

+


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

𝛽 1+𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛽 −2 2


1 + 𝑥2

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

𝛽 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 2 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼 𝛽 2 2

𝑒

−𝛼 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛽𝑥 − 2

1 + 𝑥2

𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝛼

𝛽 −2 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑒

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑒

− 1 2𝑥 1 + 𝑥 2

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2

𝛼 2

𝛽 −1 2

𝛽 1 + 𝑥2

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥 𝑝,𝑞


−

−


digilib.uns.ac.id

55

1 + 𝑥2

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥

𝛽𝑥 1+𝑥 2

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝑒

𝑥 +

𝑝,𝑞

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+𝑥

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

𝛽𝑥 1+𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝛽 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

+

𝛽 1+𝑥 2

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +4

𝑥 −

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

+ 𝑝,𝑞


2𝜇𝑥 1+𝑥 2

− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

−

=0

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝑥

+

𝛼

𝛽 2

𝛽 2

𝑝,𝑞

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥



1 + 𝑥2

𝛽

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2

𝑥 −2

𝑝,𝑞

−


1 + 𝑥2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

𝑝,𝑞

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛽 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

−

𝛽


𝑥 +

𝛽 2

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛 𝛼

𝛽


𝑥 +

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼



−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 −

𝑝,𝑞


− 𝑝,𝑞


−

=0

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

𝑥 −

𝑝,𝑞

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛽𝑥 1+𝑥 2

−1

𝛽 2

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥 𝑝,𝑞



commit to user


𝑥 +

𝑝,𝑞

−

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

𝑝,𝑞

+

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

−

+


digilib.uns.ac.id

56

𝛽𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 +

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 −

𝛼2 4 1+𝑥 2

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝛽𝑥

𝛼𝑥 2 1+𝑥 2

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝑥

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 𝑝,𝑞


𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

1 + 𝑥2


2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

−𝛼

2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2


𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2



𝑝,𝑞

𝛼2 4 1+𝑥 2

𝛽𝑥2 1+𝑥 2

𝛽 2𝑥2

Dengan, 𝛽 1+𝑥 2

−

𝛼𝑥 2 1+𝑥 2

1+𝑥 2


+ 𝛽+

𝑝,𝑞

+ 𝛽𝐷𝑛

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞


+ 𝛽+

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

− 𝑚2 − 𝜈 𝜈 + 1 +

𝛽 2 +𝛽 2 𝑥 2 −𝛽 2 1+𝑥 2

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

− 𝑚2 − 𝜈 𝜈 + 1 +

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 𝑥

=


𝑥 +

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝜇𝑥 1+𝑥 2

= 𝛽2 −

+

𝛽2 1+𝑥 2

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

−

+

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝛽𝑥2 1+𝑥 2

−

−

𝛽𝛼𝑥 1+𝑥 2


−


+


, dan −

𝛽𝑥2 1+𝑥 2

=

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+2

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝛽 + 1 𝑥 − 𝛼

+4

𝛼2 1+𝑥 2


− 𝑚2 − 𝜈 𝜈 + 1 +

+ 𝛽 + 𝛽2 − 2𝜇𝑥 1+𝑥 2

commit to user

+

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝛽2 1+𝑥 2

𝛽−𝛽 −𝛽𝑥 2 1+𝑥 2

+

−

+

=

−𝛽

1 + 𝑥2 𝛽𝛼𝑥 1+𝑥 2

+

𝑝,𝑞

𝛼2 1+𝑥 2


𝑝,𝑞

𝛼𝑥 1+𝑥 2

+4



𝛼𝑥

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 𝑥

𝛼𝑥 2 1+𝑥 2

+𝑥

𝛽𝑥2 1+𝑥 2

+

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

−


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 1+𝑥 2 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2


2𝜇𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞


𝛼𝑥 1+𝑥 2


+ 1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

−𝛼


𝛽𝑥2 1+𝑥 2


− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 −

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2


𝑝,𝑞

+ 2𝛽𝑥

𝛼2 4 1+𝑥 2

+


𝛽 1+𝑥 2

−𝛽−



digilib.uns.ac.id

57

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

1 + 𝑥2 𝛼𝑥 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

2𝜇𝑥 1+𝑥 2

−

1 + 𝑥2

− 𝑚2 − 𝜈 𝜈 + 1 +

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

1 + 𝑥2 𝛼2 4 1+𝑥 2

𝛼2 4 1+𝑥 2

+

𝑝,𝑞

+ 2𝛽 + 1 𝑥 − 𝛼

𝑝,𝑞 𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽2

−

𝜕 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2𝜇𝑥 1+𝑥 2

+

𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝛽 + 1 𝑥 − 𝛼 𝑙(𝑙+1) 1+𝑥 2


𝛽2 1+𝑥 2

+ 𝛽2 −

−

+

𝛽 1+𝑥 2

−


+


𝛽2 1+𝑥 2

−

𝛽 1+𝑥 2

+


−2

𝛼𝑥 1+𝑥 2

−

+ 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0

+ 2𝛽 + 1 𝑥 − 𝛼

𝑝,𝑞 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥

−

𝛼𝑥 𝛼 2 − −2𝜇𝑥 −𝑙(𝑙+1) 2 4 1+𝑥 2

𝛽 2 −𝛽 +𝛽𝛼𝑥 −

+ 𝑚2 +


(4.11)

dari persamaan (4.11), berlaku hubungan, 𝛽𝛼𝑥 −

−

𝛼2 4

𝛼𝑥 2

𝛼

− 2𝜇𝑥 = 0

𝛽𝛼 − 2 − 2𝜇 = 0

(4.12a)

+ 𝛽2 − 𝛽 − 𝑙 𝑙 + 1 = 0

(4.12b)

Sehingga persamaan (4.11) dapat ditulis kembali menjadi,

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝛽 + 1 𝑥 − 𝛼


𝑝,𝑞

− 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 𝐷𝑛

𝑥 =0

(4.13) persamaan (4.13) merupakan bentuk persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski bagian polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, oleh karena itu, persamaan (4.13) dapat dibandingkan dengan persamaan (2.76), sehingga diperoleh hubungan, commit to user


digilib.uns.ac.id

58

𝑞 = −𝛼

(4.14a)

2 −𝑝 + 1 = 2 𝛽 + 1

(4.14b)

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 = 𝑛𝑙 𝑛𝑙 − 1 + 2𝑛𝑙 1 − 𝑝

(4.14c)

Kemudian dilakukan penentuan nilai-nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan menggunakan persamaan (4.12a), yaitu, 1

𝛽−2 =

2𝜇

(4.15a)

𝛼

dan, 1 2

𝛽−2

=

𝛼2 4

1

+𝑙 𝑙+1 +4

(4.15b)

dengan mengkombinasikan persamaan (4.15a) dan (4.15b), yaitu, 𝛼2 4

1

+𝑙 𝑙+1 +4 =

4𝜇 2

(4.16)

𝛼2

jika kedua ruas dari persamaan persamaan (4.16) dikalikan 𝑎2 , dan dikondisikan sesuai bentuk persamaan kuadrat, maka diperoleh, 1 4

1

𝛼 4 + 𝑙 𝑙 + 1 + 4 𝛼 2 − 4𝜇 2 = 0

(4.17)

persamaan (4.17) memiliki penyelesaian:

1

𝛼 2 = −2 𝑙 𝑙 + 1 + 4 + 2

𝑙 𝑙+1 +

1 2 4

+ 4𝜇2

commit to user

(4.18a)


digilib.uns.ac.id

59

dan,

1

𝛼 2 = −2 𝑙 𝑙 + 1 + 4 − 2

𝑙 𝑙+1 +

1 2 4

+ 4𝜇2

(4.18b) 1 2

dari persamaan (4.18a) dan (4.18b) dapat diperoleh nilai 𝛽 − 2

dengan terlebih

dahulu mengkuadratkan persamaan (4.15a), yaitu, 1 2

𝛽−2

=

4𝜇2

(4.19)

𝛼2

kemudian dengan mensubstitusi persamaan (4.18a) dan (4.18b) ke persamaan (4.19), diperoleh, 1 2

𝛽−2

=

2𝜇 2 1 2 +4𝜇 2 4

1 4

− 𝑙 𝑙+1 + +

(4.20a)

𝑙 𝑙+1 +

dan, 1 2

𝛽−2

=

2𝜇 2 1 4

− 𝑙 𝑙+1 + −

1 2 +4𝜇 2 4

(4.20b)

𝑙 𝑙+1 +

kemudian dari persamaan (4.14b) dan (4.14c) dapat diuraikan menjadi bentuk, 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 = 𝑛𝑙 𝑛𝑙 − 1 + 2𝑛𝑙 1 − 𝑝 , dengan 2 −𝑝 + 1 = 2𝛽 + 1 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 = 𝑛𝑙 𝑛𝑙 − 1 + 𝑛𝑙 2𝛽 + 1 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝛽 2 = 𝑛𝑙 2 − 𝑛𝑙 + 2𝛽𝑛𝑙 + 𝑛𝑙 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 = 𝑛𝑙 2 + 2𝛽𝑛𝑙 + 𝛽 2 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 = 𝛽 + 𝑛𝑙

2



digilib.uns.ac.id

60

dari persamaan (4.21) diperoleh penyelesaian 𝛽, yaitu, 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝑛𝑙

𝛽=

(4.22a)

dan, 𝛽 = − 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝑛𝑙

(4.22b)

persamaan (4.22a) dan (4.22b) merupakan solusi nilai 𝛽 untuk persamaan (2.77), tetapi hanya salah satu yang memenuhi dengan mempertimbangkan parameter Romanovski, dimana – 𝛽 > 𝑛, sehingga dipilih penyelesaian 𝛽 dari persamaan (4.22b). Kemudian persamaan (4.22b) tersebut disubstitusikan ke persamaan (4.15a) sehingga diperoleh, 𝛼=−

2𝜇 𝑚 2 +𝜈

(4.23)

1 2

𝜈+1 +𝑛 𝑙 +

Persamaan (4.22b) dan (4.23) jika disubstitusikan ke persamaan (2.77) dan (2.78) maka diperoleh solusi fungsi gelombang polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. Kemudian untuk memperoleh harga bilangan kuantum orbital 𝑙 dilakukan dengan terlebih dahulu merubah bentuk persamaan (4.22b) menjadi, 1

1

𝛽 − 2 = − 𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 − 𝑛𝑙 − 2 1 2

𝛽−2

=

1 2

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 + 𝑛𝑙 + 2

commit to user

(4.24)


digilib.uns.ac.id

61

kemudian persamaan (4.24) dikombinasikan dengan persamaan (4.20a) dan (4.20b), yaitu: 1 2

𝑚2 + 𝜈 𝜈 + 1 + 𝑛𝑙 + 2

2𝜇 2

=

1 4

− 𝑙 𝑙+1 + ±

(4.25)

1 2 +4𝜇 2 4

𝑙 𝑙+1 +

dengan menjabarkan persamaan (4.25), maka diperoleh penyelesaian persamaan bilangan kuantum orbital 𝑙,

1

𝑙+2 =±

1 2

𝜈 𝜈 + 1 +𝑚2 + 𝑛𝑙 + 2

−

𝜇2 1 2 2

𝜈 𝜈+1 +𝑚 2 +𝑛 𝑙 +

(4.26)

karena nilai 𝑙 ≥ 0, maka persamaan (4.26) diambil penyelesaian yang positif, yaitu,

1

𝑙+2 =

1 2

𝜈 𝜈 + 1 +𝑚2 + 𝑛𝑙 + 2

−

𝜇2

dengan, 𝜈 dan 𝜇

: konstanta,

𝑚

: bilangan kuantum magnetik,

𝑛𝑙

: bilangan kuantum polar,

1 2 2

𝜈 𝜈+1 +𝑚 2 +𝑛 𝑙 +

commit to user

(4.27)


digilib.uns.ac.id

62

Persamaan (4.27) merupakan penyelesaian untuk bilangan kuantum orbital dimana harga bilangan kuantum orbital digunakan bersama untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang radial dan polar. Jadi, meskipun penyelesaian fungsi gelombangnya terpisah, yaitu penyelesaian radial dan penyelesaian polar, tetapi kedua penyelesaian tersebut terhubung oleh nilai bilangan kuantum orbitalnya. Dari persamaan (4.22b), (4.23), (2.77), (2.78), dan (2.80), maka didapatkan persamaan gelombang polar, 𝑤 𝑥 = 1+𝑥

2 −

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = ℛ𝑛

−𝛽,−𝛼

𝑚 2 +𝜈 𝜈+1

−𝑛 𝑙

𝑒

2𝜇 1 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛 𝑙 + 2

𝑥

1+𝑥

(4.28) 𝑑𝑛

1

=

2𝜇

2 1+𝑥 2 − 𝑚 +𝜈 𝜈+1 −𝑛 𝑙

2 𝑛𝑙

𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥

2 − 𝑚 2 +𝜈 𝜈+1 −𝑛 𝑙

𝑒

𝑒

1 𝑡𝑎𝑛 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛 𝑙 + 2

2𝜇 1 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛 𝑙 + 2

−1 𝑥

𝑑𝑥 𝑛

1+


(4.29)

Maka diperoleh, 𝑃𝑙𝑚 = 1 + 𝑥2

𝑥

2

− 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 −𝑛𝑙

𝑒

2𝜇 −1 𝑥 1 𝑡𝑎𝑛 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛𝑙 + 2

𝑛𝑙 1 + 𝑥 2 − 𝑚 2 +𝜈 𝜈+1 −𝑛𝑙 𝑒

𝑑𝑛

1 2𝜇

−1 𝑥 𝑑𝑥 𝑛 1 𝑡𝑎𝑛 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛𝑙 +2 − 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 −𝑛𝑙 1+𝑥 2 𝑒

2𝜇 −1 𝑥 1 𝑡𝑎𝑛 𝑚 2 +𝜈 𝜈 +1 +𝑛𝑙 +2

commit to user

(4.30)

1+


digilib.uns.ac.id

63

Beberapa penyelesaian khusus dari persamaan (4.29) dan (4.30) adalah, −𝛽,−𝛼

1

ℛ0

=

𝑃𝑙𝑚 =

1 + 𝑥2

−𝛽,−𝛼

=

ℛ1

1 + 𝑥2 𝛽 𝛽

−1

𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛

𝑥

1

2 1+𝑥2

𝛽+1

𝑥

1 + 𝑥2

∙1=

𝑑 𝑑𝑥

𝛽 −1 1+𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

1 1+𝑥2

𝑒

−𝛼 𝑡𝑎𝑛−1

𝑑0 1 + 𝑥2 𝑑𝑥0

1 + 𝑥2

𝛽+1

−1 𝑥

𝛽+1 𝑥𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2

𝛽 −𝛼 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 𝑒

𝛽

𝛽

−1


−1


−1


−

1+𝑥2

𝑥

𝑥

=1

𝑥

=

𝛽+1

𝛼𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2

−1 𝑥

= 2𝑥 𝛽 + 1 −

𝛼 𝑃𝑙𝑚 =

1 + 𝑥2

−𝛽,−𝛼

=

ℛ2

𝛽

−1


𝑥

𝑑2

1 𝛽 −1 1+𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

4 1+𝑥2

1

𝑑𝑥

𝛽+2

𝛽+2

1+𝑥2

−

2

𝛽+2 2 −𝛼 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 𝛼 𝑒

1+𝑥2

1 + 𝑥2

𝛽+2

2 1+𝑥2

−1 𝛽+2 𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

1+𝑥2

2

−1 𝛽+2 2 𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥


4 1+𝑥2

∙ 2𝑥 𝛽 + 1 − 𝛼

2

4 1+𝑥2

𝛽+2

−1


+

2 1+𝑥2

−1 𝑥

𝛽+2 𝛼𝑥𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2

2

𝑥

𝛽+2

+

= 𝛽+2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2 2 1+𝑥2

𝛽+2

−1 𝑥

−

𝛼𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛

1+𝑥2

−1 𝑥

2

+

= 4 𝛽 + 2 2 𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 − 4 𝛽 + 2 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼2 𝑃𝑙𝑚 =

1 + 𝑥2

𝛽

−1


𝑥

∙ 4 𝛽 + 2 2 𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 − 4 𝛽 + 2 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼2 commit to user


digilib.uns.ac.id

64

Dari beberapa penyelesaian khusus fungsi gelombang polar diatas, dengan memberi variasi masukan nilai konstanta 𝜈, 𝜇 , 𝑚, serta 𝑛𝑙 , maka dihasilkan penyelesaian-penyelesaian fungsi gelombang polar seperti yang ditampilkan pada Tabel 4.1

Tabel 4.1. polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen.

No. 𝑛𝑙 1.

1

𝑚 𝜈 𝜇

𝑙

1

2

0 0

−𝛽,−𝛼

ℛ 𝑛𝑙

𝜃

−2 cot 𝜃

𝑃𝑙𝑚 −2 cos 𝜃 sin 𝜃 −2 cos 𝜃 sin 𝜃

2.

1

1

0 1 1,97

−2 cot 𝜃 + 0,8 + 0,8 sin2 𝜃 𝑒 0,4 tan

−1

cot 𝜃

−1

cot 𝜃

−2 cos 𝜃 sin 𝜃

3.

1

1

0 2 1,87

−2 cot 𝜃 + 1,6 + 1,6 sin2 𝜃 𝑒 0,8 tan

4.

1

1

1 0 2,73

−3,46 cot 𝜃

−3,46 cos 𝜃 sin1,73 𝜃

5.

1

1

2 0 3,65

−5,3 cot 𝜃

−5,3 cos 𝜃 sin2,45 𝜃

−3,46 cot 𝜃

6.

1

1

1 1 2,72 + 0,897 −5,28 cot 𝜃

7.

1

1

−3,46 cos 𝜃 sin1,73 𝜃 + 0,897 sin2,73 𝜃 𝑒

−5,28 cos 𝜃 sin2,64 𝜃 + 0,966 sin3,64 𝜃

2 2 3,62 + 0,966

0,897 tan −1 cot 𝜃 2

∙𝑒

0,966 tan −1 cot 𝜃 2

Fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen berupa fungsi trigonometri dan hanya dipengaruhi oleh fungsi 𝜃. Nilai 𝜇 memberikan commit to user


digilib.uns.ac.id

65

pengaruh faktor eksponensial pada fungsi gelombang sedangkan nilai 𝜈 memperbesar faktor sinusoidal fungsi gelombang. Dari tabel 1 diatas, visualisasi fungsi gelombang polar ditampilkan pada gambar-gambar dibawah ini: 𝑃𝑙𝑚

𝝁 0.8 0.6

0

Yml*(cos(theta))

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2 0 0.2 Yml*sin(theta)*sin(phi)

0.4

0.6

0.8

ℛ12 ;0 = −2 cot 𝜃

𝑃21 = −2 cos 𝜃 sin 𝜃

0.8 0.6 0.4

Yml*(cos(theta))

0.2 0 -0.2 -0.4

1

-0.6 -0.8 -1 -1.5

-1


1

1.5

2 ;0,8

ℛ1

= −2 cot 𝜃 + 0,8

𝟏 𝑃1,97 = −2 cos 𝜃 sin 𝜃 + 0,8 sin2 𝜃 𝑒 0,4 tan

commit to user

−1

cot 𝜃


digilib.uns.ac.id

66

0.8 0.6 0.4

Yml*(cos(theta))

0.2 0 -0.2 -0.4

2

-0.6 -0.8 -1 -2

-1.5

-1


1

1.5

2

2 ;1,6

ℛ1

= −2 cot 𝜃 + 1,6

𝟏 𝑃1,87 = −2 cos 𝜃 sin 𝜃 + 1,6 sin2 𝜃 𝑒 0,8 tan

−1

cot 𝜃

Gambar (4.1). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜇

𝑃𝑙𝑚

𝝂 0.8 0.6

0

Yml*(cos(theta))

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.8

-0.6

-0.4


2;0

ℛ1

0.4

0.6

0.8

= −2 cot 𝜃


commit to user


digilib.uns.ac.id

67

1 0.8 0.6

Yml*(cos(theta))

0.4

1

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.5

-1


2,73;0

ℛ1

1

1.5

1 𝑃2,73 = −3,46 cos 𝜃 sin1,73 𝜃

= −3,46 cot 𝜃

1.5

1

2

Yml*(cos(theta))

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -2

-1.5

-1


3,65;0

ℛ1

1

1.5

= −5,3 cot 𝜃

2

1 𝑃3,65 = −5,3 cos 𝜃 sin2,45 𝜃

Gambar (4.2). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜈

commit to user


digilib.uns.ac.id

68

𝑃𝑙𝑚

𝝂, 𝝁 0.8 0.6

Yml*(cos(theta))

0.4

0

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.8

-0.6

-0.4


2,0

ℛ1

0.4

0.6

0.8


= −2 cot 𝜃

1.5

Yml*(cos(theta))

1

1

0.5

0

-0.5

-1 -1.5

-1


1

1.5

ℛ12,73 ; 0,897 = −3,46 cot 𝜃 + 0,897 1 𝑃2,72 = −3,46 cos 𝜃 sin1,73 𝜃 + 0,897 sin2,73 𝜃 𝑒

1.5

2

Yml*(cos(theta))

1

0.5

0

-0.5

-1 -2

-1.5

-1


1

1.5

2

commit to user

0,897 tan −1 cot 𝜃 2


digilib.uns.ac.id

69

3,64 ; 0,966

ℛ1

= −5,28 cot 𝜃 + 0,966

1 𝑃3,62 = −5,28 cos 𝜃 sin2,64 𝜃 + 0,966 sin3,64 𝜃 ∙ 𝑒

0,966 tan −1 cot 𝜃 2

Gambar (4.3). Perbandingan Perubahan Fungsi Gelombang Polar Terhadap Perubahan Nilai 𝜈 dan 𝜇

Bentuk fungsi gelombang polar berkaitan dengan arah momentum sudut spin elektron serta melukiskan ketergantungan rapat probabilitas pada sudut. Secara umum definisi fungsi gelombang polar sama dengan fungsi gelombang radial yaitu menyatakan probabilitas ditemukan elektron, namun keduanya memiliki perbedaannya pada pergerakannya jika fungsi gelombang radial berkaitan dengan menjauh atau mendekatnya elektron dari inti, maka fungsi gelombang polar berkaitan dengan putaran elektron terhadap inti. Untuk 𝑚𝑙 = 0, elektron berpeluang ditemukan sepanjang sumbu 𝑧. Namun untuk 𝑚𝑙 = ±1, elektron mempunyai probabilitas terbesar ditemukan pada bidang 𝑥𝑦 dengan perputaran mengelilingi sumbu 𝑧 sangat cepat. Untuk 𝑚𝑙 = +1, perputarannya adalah searah jarum jam, sedangkan perputaran sebaliknya untuk 𝑚𝑙 = −1. Bentuk fungsi gelombang polar sangat dipengaruhi oleh nilai 𝜈 dan 𝜇 dimana keduanya memberikan pengaruh yang berbeda-beda terhadap bentuk fungsi gelombang polar, yaitu, semakin besar harga 𝜈 yang diberikan dengan harga 𝜇 konstan, maka bentuk gangguan yang diberikan oleh potensial Rosen Morse adalah memperbesar fungsi gelombang secara simetris, seperti pada Gambar (4.2), sedangkan semakin besar harga 𝜇 yang diberikan dengan harga 𝜈 konstan, commit to user


digilib.uns.ac.id

70

maka bentuk gangguan yang diberikan oleh potensial Rosen Morse adalah memperbesar fungsi gelombang secara asimetris yaitu memperbesar gelombang bagian bawah dan memperkecil gelombang bagian atas, seperti terlihat pada Gambar (4.1). Namun, jika kedua harga tersebut tidak nol, terjadi kombinasi gangguan yang terjadi yaitu harga 𝜇 akan memperbesar bagian bawah gelombang dan memperkecil bagian atas, bersamaan dengan harga 𝜈 yang memperbesar gelombang secara keseluruhan tetapi tetap dalam keadaan asimetris, seperti yang terlihat pada Gambar (4.3). Dari perbandingan perubahan fungsi gelombang polar terhadap perubahan nilai 𝜈 dan/atau 𝜇 mengindikasikan bahwa, gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse mengakibatkan perubahan terhadap rapat probabilitas dalam fungsi sudut, dan tidak mempengaruhi arah perputaran elektron terhadap bidang putar. Distribusi probabilitas penting kaitannya dengan penggabungan atom-atom dalam molekul atau ikatan molekul. Kerapatan probabilitas fungsi gelombang tiap atom tidaklah nol, meskipun suatu keadaan kuantum tidak terdapat elektron. Sebagai contoh, andaikan didekatkan dua atom hidrogen melalui reaksi kimia yang masing-masing berada pada keadaan 1s untuk membentuk molekul H2. Karena tiap keadaan 1s dapat menampung dua elektron, maka masing-masing atom memiliki satu orbit 1s “terisi” dan satu orbit 1s “kosong”. Molekul H dapat terbentuk karena distribusi probabilitas orbit 1s “terisi” pada atom H yang satu bergabung dengan distribusi probabilitas orbit “kosong” pada atom H yang lain. Sehingga, satu atom dimiliki bersama oleh commit to user


digilib.uns.ac.id

71

kedua atom H. Jika kedua orbit 1s “terisi” dan satu orbit 1s “kosong” ini dilukiskan, maka setiap orbit ini akan digambarkan dengan distribusi probabilitas yang sama, meskipun penggambaran tersebut bertentangan dengan pemahaman bahwa distribusi probabilitas menyatakan peluang menemukan sebuah elektron.

C. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen Penyelesaian fungsi gelombang bagian radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen yaitu dengan mengacu pada persamaan (4.6): 1

𝜕

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑟 2

𝑅 𝑟 𝜕𝑟

Dengan

mensubstitusi

𝑉0 2

coth

𝑟 2𝑎

persamaan

−1

+

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

(2.29)

menguraikannya dengan mengalikan dengan

ke

𝑅 𝑟 𝑟2

1 𝜕 2 𝜕 𝑉0 𝑟 𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑟2 coth −1 𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 2 2𝑎

+

1 𝜕 2 𝜕 𝑉0 𝑟 𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑟2 coth −1 𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 2 2𝑎

𝐸=𝜆

persamaan

(4.31)

(4.31)

, 2𝑚𝑟2 ℏ2

+

𝐸 = 𝑙(𝑙 + 1)

2𝑚𝑟2 𝐸 ℏ

2

− 𝑙(𝑙 + 1) = 0 x

maka persamaan (4.31) dapat ditulis menjadi, 1 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 +

𝑉0 2

coth

𝑟 2𝑎

−1 +

2𝑚𝐸 ℏ2

commit to user

dan

−

𝑙(𝑙+1) 𝑟2

𝑅 𝑟 =0

(4.32)

𝑅 𝑟 𝑟2


digilib.uns.ac.id

72

Jika dimisalkan

2𝑚 ℏ2

𝐸 = −𝜖 2 dan 𝑅 𝑟 =

Χ 𝑟 𝑟

, kemudian diselesaikan sesuai

operasi differensial, 𝜕Χ 𝑟 𝑟 −Χ 𝑟 𝜕𝑅 𝑟 1 𝜕Χ 𝑟 Χ𝑟 𝜕𝑟 = = − 2 2 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 1 𝜕 2 1 𝜕Χ 𝑟 Χ𝑟 𝑟 − 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 1 𝜕 𝜕Χ 𝑟 𝑟 −Χ 𝑟 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟

+

𝑉0 𝑟 𝑙(𝑙 + 1) 𝑉0 Χ𝑟 coth − − − 𝜖2 =0 2 2 2𝑎 𝑟 2 𝑟

+


1 𝜕Χ 𝑟 𝜕2 Χ 𝑟 𝜕Χ 𝑟 + 𝑟 − 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟


+

1 𝜕2 Χ 𝑟 1 𝑉0 𝑟 𝑙(𝑙 + 1) 𝑉0 + coth − − − 𝜖2 Χ 𝑟 = 0 𝑟 𝜕𝑟 2 𝑟 2 2𝑎 𝑟2 2

maka persamaan (4.32) menjadi, 𝜕2Χ 𝑟 𝜕𝑟 2

+

𝑉0 2

coth

𝑟 2𝑎

−

𝑙(𝑙+1) 𝑟2

−

𝑉0 2

− 𝜖2 Χ 𝑟 = 0

(4.33)

Untuk sudut kecil, berlaku hubungan, sinh

𝑟 2𝑎

𝑟

≅ 2𝑎

atau

1 𝑟2

≅

1 4𝑎 2 sinh 2

(4.34)

𝑟 2𝑎

Sehingga dengan mensubstitusi persamaan (4.34) ke persamaan (4.33), diperoleh, 𝜕2Χ 𝑟 𝜕𝑟 2

+

𝑉0 2

coth

𝑟 2𝑎

−

𝑙(𝑙+1) 4𝑎 2

csch2

𝑟 2𝑎

−

𝑉0 2

− 𝜖2 Χ 𝑟 = 0

commit to user

(4.35)


digilib.uns.ac.id

73

Penyelesaian persamaan (4.35) yaitu direduksi menjadi persamaan differensial orde 2 yang dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.74) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai, yaitu dengan memisalkan, coth

𝑟

coth2

= 𝑖𝑥,

2𝑎

𝑟 2𝑎

= −𝑥 2 ,

(4.36a)

Substitusi variabel yang dilakukan seperti pada persamaan (4.36a) dipilih secara matematis dengan mempertimbangkan bentuk potensial pada persamaan (4.35) khususnya pada faktor trigonometri dengan orde yang lebih tinggi haruslah memiliki penyelesaian

1 + 𝑥 2 , yaitu disesuaikan dengan koefisien suku

pertama persamaan (2.76) yang merupakan merupakan persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski. Dari persamaan (4.36a), diperoleh, 𝑑𝑥 𝑑𝑟

𝑖

= 2𝑎 csch2

𝑟 2𝑎

𝑑 𝑖 𝑟 𝑑 = csch2 𝑑𝑟 2𝑎 2𝑎 𝑑𝑥

cosh2

coth2

csch2

𝑟 𝑟 − sinh2 =1 2𝑎 2𝑎

∶ sinh2

𝑟 2𝑎

𝑟 𝑟 − 1 = csch2 2𝑎 2𝑎 𝑟 2𝑎

= −𝑥 2 − 1 = − 1 + 𝑥 2 commit to user

(4.36b)


digilib.uns.ac.id

74

𝑑𝑥 𝑖 =− 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 2𝑎 𝑑 𝑖 𝑑 =− 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 2𝑎 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑖 𝑑 𝑖 𝑑 =− 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2𝑎 𝑑𝑥 2𝑎 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑𝑟 2

𝑖

𝑖

= − 2𝑎 1 + 𝑥 2

𝑑2

𝑑

− 2𝑎 2𝑥 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥 2

=−

𝑑𝑥 2

1+𝑥 2 4𝑎 2

2

𝑑2 𝑑𝑥 2

−

𝑥 1+𝑥 2

𝑑

2𝑎 2

𝑑𝑥

Kemudian persamaan (4.36a) dan (4.36b) disubstitusi ke persamaan (4.35), menjadi,

−

−

1+𝑥 2

4𝑎2

𝑑2 𝑑𝑥 2

4𝑎2

1+𝑥 2

2

2

−

𝑑2Χ 𝑟 𝑑𝑥 2

𝑥 1+𝑥 2

𝑑

2𝑎2

𝑑𝑥

−

Χ 𝑟 +

𝑥 1+𝑥 2 𝑑Χ 𝑟 2𝑎2

𝑑𝑥

+

𝑖𝑥 −1 2

𝑖𝑥 −1 2

𝑉0 +

𝑉0 +

𝑙(𝑙+1) 4𝑎2

𝑙(𝑙+1) 4𝑎2

1 + 𝑥 2 − 𝜖2 Χ 𝑟 = 0

1 + 𝑥 2 − 𝜖2 Χ 𝑟 = 0

: −

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2 4𝑎2

𝑑2 X 𝑥 𝑑Χ 𝑥 1 − 𝑖𝑥 4𝑎2 𝜖 2 2 + 2𝑥 − 𝑙 𝑙 + 1 − 2𝑎 𝑉 + Χ 𝑥 =0 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 1 + 𝑥2 (4.37)

Persamaan (4.37) merupakan persamaan hypergeometry perantara dengan X 𝑥 merupakan fungsi gelombang radial sehingga X 𝑥 memiliki sifat yang sama commit to user


digilib.uns.ac.id

75

𝑋𝑛 𝑥

dengan

pada

persamaan

(2.77).

Maka

penyelesaiannya

adalah

mensubstitusi persamaan (2.77) ke persamaan (4.37), dengan terlebih dahulu menghitung, 𝜕X 𝑥 𝜕𝑥

𝛽

1 + 𝑥2 2 𝑒

𝜕X 𝑥 𝜕𝑥

𝛽 −1 2

= 𝛽𝑥 1 + 𝑥 2

𝛽

1 + 𝑥2 2 𝑒

−1 𝑥

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 (1 + 𝑥 2 ) 2 −1 𝑒 2 tan

𝛼

−1 𝑥


𝛽 −1 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼

𝑒 2 tan

𝛽

𝛼

−𝛼

−1 𝑥


𝑝,𝑞


1 + 𝑥2

𝛽 −𝛼 −1 tan −1 𝑥 2 𝑒 2 𝐷𝑛𝑝,𝑞

𝑥 + 1 + 𝑥2

𝛽 −𝛼 tan −1 𝑥 2𝑒 2

𝑝,𝑞

𝜕𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥

=

𝛽 1 + 𝑥2

𝛼 2

−𝛼

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 1+𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan


𝜕X 𝑥 𝛼 = 𝛽𝑥 − 𝜕𝑥 2 𝜕2X 𝑥 𝜕𝑥 2

𝛽

−1 𝑥

𝑝,𝑞

−𝛼 tan −1 𝑥 2

= 𝛽𝑥 1 + 𝑥 2

−𝛼

𝑒 2 tan

𝛽 −1 2

𝛽𝑥 − 2

𝛼

𝛽 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

−𝛼 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

1 + 𝑥2

−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥


− 1 2𝑥 1 + 𝑥 2 1 + 𝑥2

1 + 𝑥2 𝛽 −1 2

𝑒

𝛽 −2 2

𝛽 −1 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽 −2 2

−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞


−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥




+

𝛽 2 𝛽

1 + 𝑥2 −𝛼

+ 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

Maka persamaan (4.37) menjadi,

commit to user

𝛽 −1 2

−1 𝑥

2𝑥𝑒 𝑝,𝑞

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 𝐷𝑛 𝜕𝑥

−


digilib.uns.ac.id

76

1 + 𝑥2

𝛽 1 + 𝑥2

𝛽𝑥 − 2

𝛼

𝛽 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

−𝛼 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

𝛼 2 𝛼 2

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

𝑒

𝑒

𝛽 −1 2

𝛼 2

𝑒

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝛽 −2 2

−𝛼

𝑒 2 tan


𝑒 2 tan

−1 𝑥

−𝛼 tan −1 𝑥 2

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝛽 2

1 + 𝑥2

𝛽

−𝛼

+ 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan 𝛽

𝛽 1+𝑥 2

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

1 + 𝑥2 𝑥 −

𝑝,𝑞


−

𝑝,𝑞

+ 2𝑥

𝛽𝑥 −

𝑝,𝑞


𝛽 2

− 𝑙 𝑙+1 −

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

−1

𝑝,𝑞

𝛽𝑥 − 2


𝛽 1+𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

−1 𝑥

1 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥 𝛼

+ 2𝑥 4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝛼 2

2𝑥𝑒


𝛼

𝑥 + 𝛽𝑥 −

𝛽 −1 2

−1 𝑥

−𝛼


𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

+

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

1 + 𝑥2

−𝛼 tan −1 𝑥 2


𝑝,𝑞

𝑝,𝑞

+

−1 𝑥




−𝛼 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑙 𝑙+1 −

−1

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞

𝛼 𝛽 2 2

𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 2 1+𝑥 2 𝜕𝑥

1 + 𝑥2

𝛽 −2 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽𝑥 −

1 + 𝑥2

𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝑒

− 1 2𝑥 1 + 𝑥 2

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2

𝛽 −1 2

1 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+

𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥


−

𝑝,𝑞


−

=0


𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

𝑥 +

𝛽 2

−1

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛

commit to user

𝑥 − 𝑝,𝑞

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−


digilib.uns.ac.id

77

𝑝,𝑞

𝑝,𝑞

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

𝑙 𝑙+1 −

1 + 𝑥2

𝛽 2

𝑒

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

−

𝛽 2

𝑒

𝛽 2


−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +4

𝑥 −

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+ 𝑝,𝑞


− 𝑙 𝑙+1 −

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

=0

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑥 +

𝑝,𝑞

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−

𝑝,𝑞

+

𝛼


1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

𝛽

𝑥 −2

𝑝,𝑞


=0




1 + 𝑥2

𝛽 1+𝑥 2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼



𝑝,𝑞

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥 𝛽𝑥 1+𝑥 2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝑥 +

𝑝,𝑞

𝛽𝑥 1+𝑥 2

+ 2𝑥

2𝑎2 𝑉0 +

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

2𝑥

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+

1 + 𝑥2

𝛽 1+𝑥 2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛 𝑝,𝑞

+

2𝑎2 𝑉0 −

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2 4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

+ 2𝑥

𝛽


𝑥 +

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛽𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

− 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛

−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛽 2

𝑝,𝑞

𝛼

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 1+𝑥 2 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝑥

=0

commit to user

𝑥 − − 𝑝,𝑞


−


digilib.uns.ac.id

78

𝛽 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛 𝛽𝑥 1+𝑥 2

2𝑥

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝛼2 4 1+𝑥 2 4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝑥 +

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

−1 𝑥 +

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−

𝑝,𝑞


𝑥 +

𝑝,𝑞

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼


𝑥 −

𝑝,𝑞

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛


𝑥 +

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝛽𝑥 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝑥

1 + 𝑥2 𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

𝛽 2

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

− 𝑙 𝑙+1 −

𝑝,𝑞

+

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+

2𝑎2 𝑉0 +


𝛽𝐷𝑛

𝛼2 4 1+𝑥 2

𝛽


𝑝,𝑞



𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝑝,𝑞

−𝛼


𝑝,𝑞


𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝛽𝑥 2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2 2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2





𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 −



𝛼𝑥 1+𝑥 2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝑥

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

𝑝,𝑞

−𝛼


+ 1 + 𝑥2 1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

− 𝑙 𝑙+1 −


𝛼𝑥 1+𝑥 2


2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2

+



+ 𝛽𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 +


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝑙 𝑙 + 1 −

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +


𝑝,𝑞

𝑝,𝑞

1 + 𝑥2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 2𝑥

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝛼2 4 1+𝑥 2

2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2

−

−

+

𝛼𝑥 1+𝑥 2

−

𝜕 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

− −𝛽 −

2𝑎2 𝑉0 +

commit to user

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

+

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

+


−

+ 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0


digilib.uns.ac.id

79

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

1 + 𝑥2 1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

−

𝛽2 + 𝛽

𝛽 2 +𝛽 2 𝑥 2 −𝛽 2 1+𝑥 2

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼

1−𝑖𝑥 1+𝑥 2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

𝑝,𝑞 𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2


−

𝛼2 4 1+𝑥 2

−

𝑥 =0

= − 𝛽2 −


𝛽2 1+𝑥 2

𝛽2

=

𝛽2 1+𝑥 2

− −𝛽 +

𝑝,𝑞

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

+

1+𝑥 2

− 𝛽2 +

− 𝛽2


−

+ 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

− −𝛽 −

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝑎2 𝑉0 +

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

=−

1+𝑥 2


+ 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛

𝑝,𝑞

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2

4𝑎 2 𝜖 2 1+𝑥 2

𝛽 2𝑥2

Dengan, −

𝛼2 4 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 2𝑥


− 𝑝,𝑞

+ 𝑙 𝑙 + 1 − 𝛽 2 − 𝛽 𝐷𝑛

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼


𝛽2 1+𝑥 2

+


−

𝛼2 4 1+𝑥 2

−

𝑥 =0

𝛼2

−

𝛽 2 +𝛽𝛼𝑥 − 4 +2𝑖𝑎 2 𝑉0 𝑥−2𝑎 2 𝑉0 +4𝑎 2 𝜖 2


commit to user

1+𝑥 2

+𝑙 𝑙+1 −


digilib.uns.ac.id

80

1 + 𝑥2

𝛽+

1 2 2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛

𝑥

𝜕𝑥 2

−

1 4

𝑝,𝑞

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼


𝜕 𝐷𝑛

𝜕𝑥

𝑥

−

𝛼2 +2𝑖𝑎 2 𝑉0 𝑥−2𝑎 2 𝑉0 +4𝑎 2 𝜖 2 4 1+𝑥 2

𝛽 2 +𝛽𝛼𝑥 −

+𝑙 𝑙+1 −

(4.38)

=0

dari persamaan (4.38), berlaku, 𝛽𝛼𝑥 + 2𝑖𝑎2 𝑉0 𝑥 = 0 −

𝛼2 4

𝛽𝛼 + 2𝑖𝑎2 𝑉0 = 0

(4.39a)

+ 𝛽 2 − 2𝑎2 𝑉0 + 4𝑎2 𝜖2 = 0

(4.39b)

Sehingga persamaan (4.38) dapat ditulis kembali menjadi,

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞 𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼


− 𝑙 𝑙+1 −

𝛽+

1 2 2

−

1 4

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0 (4.40)

Persamaan (4.40) merupakan persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski bagian radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen. Oleh karena itu, persamaan (4.40) dapat dibandingkan dengan persamaan (2.76), sehingga diperoleh hubungan, 𝑞 = −𝛼

(4.41a)

𝑝 = −𝛽

(4.41b)

𝑙 𝑙+1 −

1 2

𝛽+2

1

− 4 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 1 − 𝑝

commit to user

(4.41c)


digilib.uns.ac.id

81

Kemudian dilakukan penentuan nilai-nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan menggunakan persamaan (4.39), yaitu,

𝛽=−

2𝑖𝑎 2 𝑉0

(4.42a)

𝛼

dan, 𝛽2 =

𝛼2 4

+ 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖2

(4.42b)

Dengan mengkombinasikan persamaan (4.42a) dan (4.42b), yaitu, 𝛼2 4

+ 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2 =

4𝑎 4 𝑉0 2

(4.43)

𝛼2

Jika kedua ruas dari persamaan persamaan (4.43) dikalikan 𝑎2 , dan dikondisikan sesuai bentuk persamaan kuadrat, maka diperoleh, 1 4

𝛼 4 + 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖2 𝛼 2 − 4𝑎4 𝑉0 2 = 0

(4.44)

persamaan (4.44) memiliki penyelesaian:

𝛼 2 = −2 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

+2

2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

2

+ 4𝑎4 𝑉0 2

(4.45a)

−2

2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

2

+ 4𝑎4 𝑉0 2

(4.45b)

dan,

𝛼 2 = −2 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

commit to user


digilib.uns.ac.id

82

Dari persamaan (4.45a) dan (4.45b) dapat diperoleh nilai 𝛽 2 dengan terlebih dahulu mengkuadratkan persamaan (4.42a), yaitu, 𝛽2 =

4𝑎 4 𝑉0 2

(4.46)

𝛼2

Kemudian dengan mensubstitusi persamaan (4.45a) dan (4.45b) ke persamaan (4.46), diperoleh, 2𝑎 4 𝑉0 2

𝛽2 = −

(4.47a)

2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 2 +4𝑎 4 𝑉0 2

2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 −

dan, 2𝑎 4 𝑉0 2

𝛽2 = −

(4.47b)

2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 2 +4𝑎 4 𝑉0 2

2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 +

Persamaan (4.44b) dan (4.44c) dapat diuraikan menjadi bentuk, 1 2

𝑙 𝑙+1 −

𝛽+2

2

𝑙 𝑙+1 −

1 𝛽+ 2

2

𝑙 𝑙+1 −

1 𝛽+ 2 2

1

− 4 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 1 − 𝑝 , dengan −𝑝 = 𝛽

𝑙 𝑙 + 1 = 𝑛𝑟 + 2𝑛𝑟

−

1 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 𝛽 + 1 4

−

1 = 𝑛𝑟 2 + 𝑛𝑟 + 2𝛽𝑛𝑟 4

1 𝛽+ + 2

1 𝛽+ 2

2

−

1 1 1 𝑙 𝑙 + 1 + = 𝑛𝑟 2 + 2𝑛𝑟 𝛽 + + 𝛽+ 4 2 2

1 4

2

commit to user


digilib.uns.ac.id

83

𝑙2 + 𝑙 +

𝑙+

1 2 2

1 1 1 = 𝑛𝑟 2 + 2𝑛𝑟 𝛽 + + 𝛽 + 4 2 2 1

= 𝑛𝑟 + 𝛽 + 2

2

2

(4.48)

Dari persamaan (4.51) diperoleh penyelesaian 𝛽, yaitu, 𝛽 = − 𝑛𝑟 − 𝑙

(4.49a)

dan, 𝛽 = − 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

(4.49b)

Persamaan (4.49a) dan (4.49b) merupakan solusi nilai 𝛽 untuk persamaan (2.77), tetapi hanya salah satu yang memenuhi yaitu dengan memperhatikan parameter Romanovski, −𝛽 > 𝑛𝑟 , sehingga dipilih penyelesaian 𝛽 dari persamaan (4.49b). Kemudian persamaan (4.49b) tersebut disubstitusikan ke persamaan (4.42a) sehingga diperoleh,

𝛼=

2𝑖𝑎 2 𝑉0

(4.50)

𝑛 𝑟 +𝑙+1

Kemudian untuk memperoleh persamaan energi, persamaan (4.49b) disubstitusi ke persamaan (4.47a) dan (4.47b), yaitu:

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

2𝑎 4 𝑉0 2

= − 2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 ±

2𝑎 2 𝑉0 −2𝜖 2 2 +4𝑎 4 𝑉0 2

commit to user

(4.51)


digilib.uns.ac.id

84

− 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

±

+ 4𝑎4 𝑉0 =

2

2𝑎2

±

𝑉0 −

2𝜖 2

2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

4𝑎4 𝑉0 2 =

2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

8𝑎 𝑉0 𝑉0 − 2𝜖

2

4

𝑛𝑟 +𝑙+1

2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 −𝜖 = 4𝑎 2

2

2𝑚𝐸 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 = 2 ℏ 4𝑎 2 ℏ2 𝐸= 2𝑚

−

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 4𝑎2

2 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

𝑎 2 𝑉0

−

𝑎 2 𝑉0

−

4𝑎8 𝑉0

2

2

− 𝑉0

𝑎 2 𝑉0

2

− 𝑉0

2

4 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

4

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

4 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

−

2

4 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

4

𝑎2 𝑉0 2

2

−

4

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

− 𝑉0

commit to user

2

+ 2𝑎2 𝑉0 − 2𝜖 2

2

4𝑎8 𝑉0 4

2

8𝑎6 𝑉0 𝑉0 − 2𝜖 2 = 4𝑎4 𝑉0 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

+ 2𝑎 𝑉0 − 2𝜖

4𝑎8 𝑉0 4

= 4𝑎 𝑉0 −

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑉0 − 2𝜖 = 2𝑎2

2

𝑛𝑟 +𝑙+1 2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

2

2 2

8𝑎 6 𝑉0 2 𝑉0 −2𝜖 2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

4

2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

8𝑎6 𝑉0 2 𝑉0 − 2𝜖2

= 4𝑎4 𝑉0 2 −

2

−

4

2

2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

4𝑎 8 𝑉0 4

2

−

2𝑎4 𝑉0

=

0

4𝑎8 𝑉0 4

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 2

+

4𝑎4 𝑉 2

+ 4𝑎4 𝑉0 =

8𝑎6 𝑉0 2 𝑉0 − 2𝜖 2

6

2

2𝑎4 𝑉0

2

2

2

2

2


digilib.uns.ac.id

85

Sehingga didapatkan penyelesaian: ℏ2

𝐸𝑛 𝑟 ;𝑙 = − 2𝑚 𝑉0 −

𝑛 𝑟 +𝑙+1 2

𝑒

4𝑎 2

+4

𝑎 2 𝑉0 2 𝑛 𝑟 +𝑙+1 2

𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 = 𝑛

(4.52)

(4.53)

Persamaan (4.52) merupakan solusi energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, dengan, ℏ

: konstanta planck,

𝑚𝑒

: massa partikel elementer,

𝑉0 dan 𝑎

: konstanta,

𝑛

: bilangan kuantum utama,

𝑛 = 1,2,3 …

𝑛𝑟

: bilangan kuantum radial,

𝑛𝑟 = 0,1,2 …

𝑙

: bilangan kuantum orbital (nilainya sesuai dari penyelesaian fungsi

gelombang polar 𝑙 = 0,1,2 … 𝑛 − 1

Dari persamaan (4.52), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, yaitu,

commit to user


digilib.uns.ac.id

86

-38

-4

x 10

l=2 l = 2,72 l = 3,62

-6

E(n) (eV)

-8

-10

-12

-14 2

3

4

5 n

6

7

8

Gambar (4.4). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen dengan 𝑉0 = 𝑎 = 5

Secara umum, tingkat energi suatu atom bersifat diskrit dengan harga energi yang dipengaruhi oleh bilangan kuantum utama yang menentukan kulitkulit atomnya. Energi yang didapatkan menunjukan tingkat energi elektron yang ada pada kulit-kulit atomnya. Harga bilangan kuantum utama ditentukan oleh harga bilangan kuantum radial dan bilangan kuantum orbital. Sedangkan harga bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝜈 dan 𝜇 yang menentukan kapasitas gangguan dari potensial Rosen Morse, dalam hal ini, semakin besar harga 𝜈 dan 𝜇, potensial Hulthen akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Rosen Morse. Dari hubungan tersebut, dapat diartikan bahwa commit to user


digilib.uns.ac.id

87

semakin besar gangguan yang diberikan oleh potensial Rosen Morse, maka tingkat energi akan semakin besar. Jika ditinjau dari Gambar (4.1), grafik hitam menunjukan tingkat energi dari harga 𝜈 dan 𝜇 yang bernilai nol yang mengindikasikan bahwa potensial Hulthen tidak mendapat gangguan dari potensial Rosen Morse. Kemudian untuk grafik merah dan biru berturut-turut menunjukan tingkat energi dari harga 𝜈 dan 𝜇 tidak nol. Tampak bahwa grafik biru terhadap merah semakin positif, begitu pula merah terhadap hitam. Hal ini mengindikasikan bahwa potensial Hulthen semakin mendapat gangguan dari potensial Rosen Morse. Sehingga dari perbandingan ketiga grafik tingkat energi tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa jika potensial Hulthen mendapat gangguan yang semakin besar dari potensial Rosen Morse, maka tingkat energi akan semakin bernilai positif dan suatu elektron membutuhkan energi yang lebih tinggi untuk berada pada kulit tersebut. Jika pada kulit atom yang terganggu tersebut terdapat suatu elektron, maka elektron tersebut akan semakin mudah terlepas dari ikatannya hanya dengan energi luar yang kecil. Kemudian dengan nilai α dan β yang diperoleh dari persamaan (4.49b) dan (4.50) maka diperoleh dapat dituliskan solusi fungsi gelombang radial keadaan khusus untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen dengan menggunakan persamaan (2.77), (2.78) dan (2.80), yaitu, 𝑤 𝑥 = 1 + 𝑥2

− 𝑛 𝑟 +𝑙+1

2𝑖𝑎 2 𝑉 0

𝑒 𝑛 𝑟 +𝑙+1


commit to user

(4.54)


digilib.uns.ac.id

88


−𝛽,−𝛼

2𝑖𝑎 2 𝑉

1+𝑥 2 − 𝑛 𝑟 +𝑙+1

𝑥

2 − 𝑛 𝑟 +𝑙+1

𝑒

2𝑖𝑎 2 𝑉 0 𝑛 𝑟 +𝑙+1

𝑑𝑛𝑟

1

=

𝑒

1 + 𝑥2

𝑑𝑥 𝑛 𝑟

0 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑛 𝑟 +𝑙+1


𝑛𝑟

1+

(4.55)

Maka diperoleh, 1 + 𝑥2

𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙 =

𝑥2

𝑛𝑟

1 + 𝑥2

− 𝑛 𝑟 +𝑙+1

− 𝑛 𝑟 +𝑙+1

𝑒

𝑒

2𝑖𝑎 2 𝑉 0 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑛 𝑟 +𝑙+1

𝑑𝑛𝑟

1

𝑛𝑟 2𝑖𝑎 2 𝑉 0 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑑𝑥 1+𝑥 2 − 𝑛 𝑟 +𝑙+1 𝑒 𝑛 𝑟 +𝑙+1

2𝑖𝑎 2 𝑉 0 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑛 𝑟 +𝑙+1

1+

(4.56)

Beberapa penyelesaian khusus dari persamaan (4.55) dan (4.56) adalah, −𝛽,−𝛼 ℛ0

=

1 1 + 𝑥2 𝛽

1 + 𝑥2


−𝛽,−𝛼

=

ℛ1


1 1+𝑥2


2 1+𝑥2

1 1+𝑥2

𝛽

−1 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝛽+1


−1

𝑥

𝑑 𝑑𝑥

𝑑0 1 + 𝑥2 𝑑𝑥0

𝛽

1 + 𝑥2

∙1=

1 + 𝑥2

𝛽+1

−1 𝑥


−1


𝛽

−

1+𝑥2

𝛼 𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙 =

1 + 𝑥2

𝛽


−1

𝑥


−1


∙ 2𝑥 𝛽 + 1 − 𝛼

commit to user

𝑥

𝑥

𝛽+1

=1

−1

𝑥

=


−1 𝑥

= 2𝑥 𝛽 + 1 −


digilib.uns.ac.id

89

−𝛽,−𝛼

=

ℛ2

𝑑2

1 𝛽 −1 1+𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

4 1+𝑥2

1

𝛽+2

𝛽+2


1+𝑥2 1+𝑥2

2


1+𝑥2

𝛽+2

−1 𝛽+2 2 𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 1+𝑥2


4 1+𝑥2

𝑑𝑥

1 + 𝑥2

2

2

−

4 1+𝑥2

𝛽+2

−1


+

2 1+𝑥2

−1 𝑥

𝛽+2 𝛼𝑥𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2

2

𝑥

=

𝛽+2

+

𝛽+2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2 2 1+𝑥2

𝛽+2

−1 𝑥

−


1+𝑥2

−1 𝑥

2

+

= 4 𝛽 + 2 2 𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 − 4 𝛽 + 2 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼2 1 + 𝑥2


𝛽


−1

𝑥

∙ 4 𝛽 + 2 2𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝑥 2 − 4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼 2

Dari beberapa penyelesaian khusus fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen diatas, dengan memberi variasi masukan nilai konstanta 𝜈, 𝜇 , 𝑚, 𝑛𝑟 serta 𝑛𝑙 , maka dihasilkan penyelesaian-penyelesaian fungsi gelombang radial seperti yang ditampilkan pada Tabel 4.2.

Tabel 4.2. polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen.

No. 𝑛𝑟 1.

2

𝑛𝑙 𝑚 𝜈 𝜇 1

1

0 0

𝑙

2

−𝛽,−𝛼

ℛ 𝑛𝑙

𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙

𝜃

𝑟 𝑟 sinh3 2𝑎 2𝑎

42𝑥 2 − 2506

42 cosh2

+ 700𝑖𝑥

− 700 cosh

commit to user

𝑟 𝑟 𝑟 sinh4 + 2506 sinh5 2𝑎 2𝑎 2𝑎


digilib.uns.ac.id

90

2.

2

1

1

1 1 2,72

62,79 cosh2

− 1917,68

− 737,76 cosh

+ 737,76𝑖𝑥

3.

2

1

1

2 2 3,62

𝑟 𝑟 sinh3,72 2𝑎 2𝑎

62,79𝑥 2

+ 1917,68 sinh5,72

𝑟 2𝑎


94,62𝑥 2

94,62 cosh2

− 1435,39

− 773,41 cosh

+ 773,41𝑖𝑥



+ 1435,39 sinh6,62

𝑟 2𝑎

Fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen berupa fungsi trigonometri dan hanya dipengaruhi oleh fungsi 𝑟 yang mendiskripsikan gerak menjauh atau mendekatnya elektron dari inti atom. Untuk keadaan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 , bilangan kuantum polar 𝑛𝑙 , dan bilangan kuantum magnetik 𝑚 konstan, dalam hal ini penelitian di fokuskan pada elektron yang sama, maka peningkatan gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse dari nilai 𝜈 dan 𝜇 yang semakin besar menunjukan fungsi gelombang menunjukan peningkatan faktor sinus hiperbolik, yang secara matematis, akan berdampak pada pergeseran fungsi gelombang. Pergeseran yang terjadi dapat dilihat pada gambar visualisasi fungsi gelombang radial pada Gambar (4.5).

commit to user


digilib.uns.ac.id

91

0.03 X(2;2) X(2;2,72) X(2;3,62)

0.02 0.01

X(nr;l)

0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05

0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Gambar (4.5). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen dengan 𝑉0 = 𝑎 = 5

Gambar (4.5) menunjukan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen tak ternormalisasi. Pada dasarnya, hanyalah fungsi gelombang yang ternormalisasi secara tepat lah yang dapat digunakan untuk melakukan semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Namun karena faktor normalisasi merupakan konstanta yang nilainya tidak merubah bentuk fungsi gelombang, maka fungsi gelombang tak ternormalisasi masih dapat memberikan informasi baik itu tentang pola gerak elektron maupun probabilitas dimana saja kah elektron dapat ditemukan. Dari Gambar (4.5) tersebut, gangguan potensial non sentral Rosen Morse menghasilkan pergeseran fungsi gelombang terhadap arah radial 𝑟 sekaligus meningkatkan amplitudo gelombang. commit to user


digilib.uns.ac.id

92

-18

x 10 1.8

|X(2;2)| |X(2;2,72)| |X(2;3,62)|

1.6 1.4

|X(nr;l)|

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Gambar (4.6). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Hulthen dengan 𝑉0 = 𝑎 = 5

Fungsi gelombang mutlak adalah visualisasi yang mendiskripsikan rapat probabilitas ditemukannya elektron, karena interpretasi statistika mengenai fungsi gelombang pada dasarnya menunjukkan bahwa hasil pengukuran dalam sistem kuantum tidak dapat diramalkan secara pasti, misalnya pada pengukuran posisi, walaupun alat yang dipakai untuk melakukan pengukuran akurat dan tepat karena pengukuran dalam mekanika kuantum selalu mengandung ketidakpastian. Oleh karena itu, rapat probabilitas memainkan peran sentral dalam mekanika kuantum, yaitu kemungkinan ditemukannya elektron dalam interval tertentu. Dari Gambar (4.6), grafik hitam merupakan fungsi gelombang radial tak ternormalisasi untuk commit to user


digilib.uns.ac.id

93

sistem yang tak terganggu potensial Rosen Morse yang menunjukan bahwa kemungkinan tidak dapat ditemukan elektron pada daerah 𝑟 = 0,8 𝑓𝑚 dan 𝑟 = 1,9 𝑓𝑚. Sedangkan probabilitas tertinggi ditemukannya partikel adalah pada interval 𝑟 > 1,9 𝑓𝑚. Jika sistem diberi gangguan oleh potensial non sentral Rosen Morse, maka akan terjadi pergeseran fungsi gelombang ke arah 𝑟 positif dengan amplitudo gelombang yang semakin tinggi. Hal tersebut berarti bahwa probabilitas ditemukan elektron semakin menjauh dalam fungsi jarak 𝑟 dari keadaan semula saat sistem belum terganggu. Visualisasi dari pernyataan tersebut dapat dilihat dari Gambar (4.6), yaitu dengan membandingkan grafik biru terhadap merah yang keduanya merupakan fungsi gelombang saat sistem mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse, serta grafik merah terhadap grafik hitam yang merupakan fungsi gelombang saat sistem tak terganggu oleh potensial non sentral Rosen Morse. Pergeseran fungsi gelombang ini berkaitan dengan tingkat energi suatu partikel yang berada dalam interval amplitudo gelombang, dimana jika gangguan potensial non sentral Rosen Morse diperbesar terhadap sistem, maka partikel akan berada pada tingkat energi yang lebih tinggi saat berada pada sistem yang terganggu oleh potensial non sentral Rosen Morse. Visualisasi tersebut juga mempertegas Gambar (4.4) dimana tingkat energi suatu sistem yang terganggu akan membesar, sehingga probabilitas ditemukan partikel bergeser semakin jauh. Pergeseran fungsi gelombang radial commit to user


digilib.uns.ac.id

94

sangat dipengaruhi oleh perubahan bilangan kuantum orbital 𝑙 yang dihasilkan dari intensitas gangguan potensial non sentral Rosen Morse (nilai 𝜈 dan 𝜇 ). Kemudian dari persamaan (4.53), kenaikan nilai bilangan kuantum orbital 𝑙 menambah harga bilangan kuantum utama 𝑛 dimana 𝑛 menunjukan kulit atau daerah tempat partikel, khususnya elektron berada.

D. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse Dari kombinasi persamaan (2.112) dan (2.115), potensial efektif dari potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse adalah, ℏ2

𝑉 𝑟, 𝜃 = 2𝑚

𝑎 𝑎+1 2

sin 𝑟

− 2𝑏 cot 𝑟 +

ℏ2

𝜈 𝜈+1

2𝑚𝑟2

sin2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃

(4.56a)

atau, ℏ2

ℏ2

𝑉 𝑟, 𝜃 = 2𝑚 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 + 2𝑚𝑟2 𝜈 𝜈 + 1 csc2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 (4.56b) dengan 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑣 > 0, 𝜇 > 0 Kemudian persamaan (4.56b) dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger untuk koordinat bola, karena potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse merupakan bentuk potensial fungsi radial 𝑟 dan fungsi polar 𝜃 dimana masing-

commit to user


digilib.uns.ac.id

95

masing dimensi diwakili oleh satu fungsi gelombang, maka persamaan Schrödinger untuk persamaan (4.56b) adalah,

−

ℏ2 1 𝜕 2𝑚 𝑟 2 𝜕𝑟

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

+

1 𝜕 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

1 𝜕2 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 +

ℏ2 2𝑚

𝑎 𝑎+

ℏ2

1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 + 2𝑚 𝑟 2 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑

(4.57) Persamaan (4.57) merupakan persamaan Schrödinger dengan fungsi gelombang umum. Untuk penyelesaiannya, fungsi gelombang persamaan Schrödinger 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 diuraikan dalam batasan fungsi gelombang tiap dimensi melalui proses sparasi variabel, dengan memisalkan 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 seperti pada persamaan (4.4), dimana permisalan yang muncul pada persamaan (4.4) mengandung fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap dimensi yaitu 𝑅 𝑟 merupakan fungsi gelombang radial, 𝑃 𝜃


merupakan fungsi

gelombang azimuthal. Untuk menguraikan persamaan (4.57), persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.57), yaitu,

−

ℏ2

1 𝜕

2𝑚 𝑟2 𝜕𝑟

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

+

1

𝜕

𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝜃

1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 +

ℏ2 2𝑚𝑟2

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

1

𝜕2


𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 +

ℏ2 2𝑚

𝑎 𝑎+

𝜈 𝜈 + 1 csc2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 𝑥−

commit to user

2𝑚𝑟 2 ℏ2


digilib.uns.ac.id

96

𝑟2

1 𝜕 𝑟2

𝜕𝑟

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

+

1

𝜕

𝑟2 sin 𝜃

𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

𝜕2

1


𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 + −𝑟 2 𝑎 𝑎 +

1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 − 𝜈 𝜈 + 1 csc2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 = −

2𝑚 𝑟 2 ℏ2


𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃

𝜕 𝜕𝑟 1

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

𝜕2

sin2 𝜃 𝜕𝜑2

𝑅 𝑟 +𝑅 𝑟 𝜙 𝜑

1

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

𝑃 𝜃 +

𝜙 𝜑 + −𝑟 2 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 − 𝜈 𝜈 + 1 csc2 𝜃 −

2𝜇 cot 𝜃 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑 = −

2𝑚 𝑟 2 ℏ2


:𝑅 𝑟 𝑃 𝜃 𝜙 𝜑

1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃

1 1 𝜕 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜕


1 1 𝜕2 𝜙 2 𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 − 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 = − 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃

1 1 𝜕 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜕


𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃

1 1 𝜕 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜕


ℏ2

ℏ2

𝐸=0

𝜑 −

2𝑚𝑟2 ℏ2

𝐸

𝜑 −

2𝑚𝑟2

1 1 𝜕2 𝜙 2 𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 − 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 +

commit to user

2𝑚𝑟2

1 1 𝜕2 𝜙 2 𝜑 sin 𝜃 𝜕𝜑 2

𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 − 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 + 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝜑 −

𝐸 = 0 (4.58)


digilib.uns.ac.id

97

Persamaan (4.58) telah memiliki bentuk yang tiap sukunya mewakili satu fungsi gelombang. Sebelum menyelesaikannya, suku-suku yang mengandung fungsi gelombang yang sama dikelompokkan dalam satu ruas, yaitu, 1

𝜕

𝑟2

𝑅 𝑟 𝜕𝑟 1

1

𝜕

𝑅 𝑟 − 𝑟 2 𝑎 𝑎 + 1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 +

𝜕𝑟 𝜕2

𝜙 𝜑 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

𝐸=−

1

1

𝜕

𝑃 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜙 𝜑 + 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

𝑃 𝜃 −

(4.59)

Dari persamaan (4.59), ruas kiri merupakan persamaan Schrödinger bagian radial, dan ruas kanan merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (polar dan azimuthal). Sesuai dengan persamaan (2.24), kedua ruas dari persamaan (4.59) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar 𝜆, sehingga penyelesaian persamaan (4.59) yang dilakukan bertahap dengan menyelesaikan tiap bagian fungsi gelombang, masing-masing ruas disebandingkan dengan nilai konstanta 𝜆. Bagian fungsi gelombang polar pada persamaan (4.59) memiliki penyelesaian yang sama dengan penyelesaian fungsi gelombang polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, yang berbeda hanya penyelesaian fungsi gelombang radialnya saja, yaitu: 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

Dengan

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 − 𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 +

mensubstitusi

persamaan

(2.30)


𝑅 𝑟 𝑟2

commit to user

ke ,

2𝑚𝑟2 ℏ2

𝐸=𝜆

persamaan

(4.60)

(4.60)

dan


digilib.uns.ac.id

98

1 𝜕 2 𝜕 2𝑚𝑟2 𝑟 𝑅 𝑟 − 𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 + 𝐸 =𝑙 𝑙+1 𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 ℏ2 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

0 x

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

𝑅 𝑟 + −𝑟2 𝑎 𝑎 + 1 csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 +

2𝑚𝑟2 𝐸 ℏ2

−𝑙 𝑙+1 =

𝑅 𝑟 𝑟2

maka persamaan (4.60) dapat ditulis menjadi, 1 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 − 𝑎 𝑎 + 1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 −

Jika dimisalkan

2𝑚 ℏ2

𝐸 = −𝜖 2 dan 𝑅 𝑟 =

Χ 𝑟 𝑟

2𝑚𝐸 ℏ2

+

𝑙 𝑙+1 𝑟2

𝑅 𝑟 = 0 (4.61)

, serta diselesaikan sesuai operasi

differensial yang ada, maka persamaan (4.61) menjadi, 𝜕2X 𝑟 𝜕𝑟 2

− 𝑎 𝑎 + 1 csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 + 𝜖 2 +

𝑙 𝑙+1 𝑟2

X 𝑟 =0

(4.62)

Untuk sudut kecil, berlaku hubungan, sin 𝑟 ≅ 𝑟

atau

1 𝑟2

1

≅ sin 2 𝑟

(4.63)

Sehingga dengan mensubstitusi persamaan (4.63) ke persamaan (4.62), diperoleh, 𝜕2X 𝑟 𝜕𝑟 2

−

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

csc 2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 + 𝜖 2 X 𝑟 = 0

(4.64)

Persamaan (4.64) dapat direduksi menjadi persamaan differensial orde dua yang dinyatakan seperti pada persamaan (2.74) dengan melakukan substritusi variabel yang sesuai, yaitu, commit to user


digilib.uns.ac.id

99

cot 𝑟 = 𝑥,

cot 2 𝑟 = 𝑥 2 ,

(4.65a)

maka dapat ditentukan nilai-nilai dari, 𝑑𝑥 𝑑𝑟

= − csc2 𝑟

cos2 𝑟 + sin2 𝑟 = 1 cot 2 𝑟 + 1 = csch2

∶ sin2 𝑟 𝑟 2𝑎

csc 2 𝑟 = 1 + 𝑥2

(4.65b)

Sehingga, 𝑑𝑥 = − 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 𝑑 𝑑 = − 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 = − 1 + 𝑥2 − 1 + 𝑥2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑2 𝑑𝑟 2

= − 1 + 𝑥2

− 2𝑥

𝑑 𝑑𝑥

+ 1 + 𝑥2

𝑑2 𝑑𝑥 2

= 1 + 𝑥2

2 2 𝑑 𝑑𝑥 2

+ 2𝑥 1 + 𝑥 2

𝑑 𝑑𝑥

Substitusi variabel yang dipilih secara matematis dengan mempertimbangkan bentuk potensial pada persamaan (4.62) khususnya pada faktor trigonometri dengan orde yang lebih tinggi haruslah memiliki penyelesaian commit to user

1 + 𝑥 2 , karena


digilib.uns.ac.id

100

akan disesuaikan dengan koefisien suku pertama persamaan (2.74) yang merupakan persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski. Kemudian, persamaan (4.65) disubstitusikan ke persamaan (4.64), 1 + 𝑥2

2 2 𝑑 𝑑𝑥 2

+ 2𝑥 1 + 𝑥 2

𝑑 𝑑𝑥

𝑋 𝑟 −

csc2 𝑟 − 2𝑏 cot 𝑟 +

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

𝜖2 𝑋 𝑟 = 0

1 + 𝑥2

2 𝑑2 𝑋 𝑟 𝑑𝑥2

+ 2𝑥 1 + 𝑥2

𝑑𝑋 𝑟 𝑑𝑥

1 + 𝑥2 − 2𝑏𝑥 +

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

𝜖2 𝑋 𝑟 = 0

: 1 + 𝑥2

1 + 𝑥2

1 + 𝑥2

𝑑2𝑋 𝑟 𝑑𝑥 2

𝑑2𝑋 𝑥 𝑑𝑥 2

+ 2𝑥

𝑑𝑋 𝑟

+ 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑋 𝑥 𝑑𝑥

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

2𝑏𝑥

+

1+𝑥 2

2𝑏𝑥−𝜖2

1+𝑥 2

𝜖2

1+𝑥 2

𝑋 𝑟 =0

𝑋 𝑥 = 0 (4.66)

Persamaan (4.66) merupakan persamaan hypergeometry perantara dengan 𝑋 𝑥 merupakan fungsi gelombang radial sehingga 𝑋 𝑥 memiliki sifat yang sama dengan

𝑋𝑛 𝑥

pada

persamaan

(2.77).

Maka

penyelesaiannya

adalah

mensubstitusi persamaan (2.77) ke persamaan (4.66), dengan terlebih dahulu menghitung,

commit to user


digilib.uns.ac.id

101

𝜕𝑋 𝑥 𝜕𝑥

=

𝛽𝑥 1 + 𝑥 2 𝛽

1 + 𝑥2 2 𝑒

𝜕𝑋 𝑥 𝜕𝑥

𝛽

𝜕𝑥

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛼

𝛽 −1 2

𝛼 2

𝛽 2

𝛼

−𝛼 2

𝛽𝑥 − 2 𝛽𝑥 −

𝑝 ,𝑞

𝛽

𝛼

𝛼 2

1 + 𝑥2

1+𝑥 2

−1 𝑥

𝛽

−𝛼 tan −1 𝑥 2


𝑥

𝜕𝑥

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝛼

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2 (1 + 𝑥 2 ) 2 −1 𝑒


𝑥

𝜕𝑥

1 + 𝑥2

𝛽 −1 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽

−𝛼

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥

−1 𝑥

𝑝 ,𝑞

𝜕𝐷𝑛

𝜕𝑥


− 1 2𝑥 1 + 𝑥 2 1 + 𝑥2

1 + 𝑥2 𝛽 −1 2

𝑒

𝛽 −2 2

𝛽 −1 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽 −2 2

−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞


−𝛼

𝑒 2 tan

−1 𝑥




+

𝛽 2 𝛽

1 + 𝑥2 −𝛼

+ 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

𝛽 −1 2

−1 𝑥

2𝑥𝑒

1 + 𝑥2 𝛼 2

𝛽 1 + 𝑥2 𝛽 2

𝛽 −1 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

− 1 2𝑥 1 + 𝑥 2

𝛽 −2 2


𝑒 2 tan

−1 𝑥


commit to user

𝑝,𝑞

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

Dan kemudian disubstitusi ke persamaan (4.66), yaitu,

𝛽𝑥 −

−𝛼

1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

=

𝛽 1 + 𝑥2 𝛽𝑥 −

𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 2

𝜕𝐷𝑛

𝛽 −1 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

= 𝛽𝑥 − 2

𝜕2𝑋 𝑥 𝜕𝑥 2

𝛼 2

𝑒

= 𝛽𝑥 1 + 𝑥 2

1 + 𝑥2 2 𝑒

𝜕𝑋 𝑥

𝛽 −1 2

𝑝,𝑞


−

𝑥


digilib.uns.ac.id

102

𝛽𝑥 −

𝛼 2

𝛽𝑥 −

𝛼 2

𝛼 2

−𝛼 2

1 + 𝑥2 𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝛼 2

𝑙 𝑙+1 −

𝛽 −1 2

𝑒

𝑒

𝛼 𝛽 2 2

−1

𝛽 2

𝑒

𝑝,𝑞


+

𝑝,𝑞

𝛽

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑥 + 𝛽𝑥 − + 2𝑥

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

𝑥 −2

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝑥𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝑝,𝑞


−

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

+ 2𝑥

𝛽𝑥 −

𝑝,𝑞

−1 𝑥


− 𝑎 𝑎+1 +


𝛽 2

𝛼 2

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

−1

𝑝,𝑞

1 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛽𝑥 −

𝛼 2

1 1+𝑥 2

𝑥 +

𝑝,𝑞

+

𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥


−

𝑝,𝑞


−


𝛽 1+𝑥 2



+ 2𝑥

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

𝛽 −1 2

−1 𝑥

−𝛼

𝛼

1 + 𝑥2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

−𝛼


𝑝,𝑞

+

1 + 𝑥2

𝛽

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛽 2

+ 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

𝑝,𝑞

+

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 1 + 𝑥 2 2 𝑒 2 tan

𝛽 1+𝑥 2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

−1 𝑥


−𝛼 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 2 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−𝛼

𝑒 2 tan

−𝛼 tan −1 𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

1 + 𝑥2

𝛼 2

𝛽 −2 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽𝑥 −

𝑒

𝛽 −1 2

1 + 𝑥2

𝑒

1 + 𝑥2

𝛽𝑥 1+𝑥 2

𝑥 +4

𝛽 2

−1

2𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛 𝛼

𝑝,𝑞

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥



commit to user

𝑥 −

𝑝,𝑞


−

−


digilib.uns.ac.id

103

1 + 𝑥2

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

𝑝,𝑞

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

−

𝛽 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼 𝜕𝐷 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝜕2𝐷

1 + 𝑥2

𝛽 2

𝑒

−𝛼 tan −1 𝑥 2


𝑥 +

𝑝,𝑞

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

1 + 𝑥2

𝛽 1+𝑥 2

𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

2𝑥

𝛽𝑥 1+𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

+ 2𝑥

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

𝛽


𝑥 +

𝑥 +

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 − 𝑥 +

𝛼


𝛽

𝛽𝑥 1+𝑥 2

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛


−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝛽 2


𝑥 +4

−1

𝑥 −

𝑝,𝑞

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝛼


− 𝑝,𝑞


−


𝛽 2

𝛼2 𝐷 𝑝,𝑞 4 1+𝑥 2 2 𝑛 𝛼

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

𝛽 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

+

𝛽𝑥 1+𝑥 2

+ 𝜕𝑥 2 + 2𝑥

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

𝛽 2

𝛽𝛼𝑥 𝐷 𝑝,𝑞 2 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 −

𝑝,𝑞


𝛽


−1

4𝑥 2 𝐷 𝑝,𝑞 1+𝑥 2 2 𝑛

𝑥 −

𝑝,𝑞

𝑥 +

2𝛽𝑥 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥


𝛽𝛼𝑥 −𝛽,−𝛼 ℛ 1+𝑥 2 2 𝑛 𝑝,𝑞

−

𝛼 𝜕 𝐷𝑛 𝑥 1+𝑥 2 𝜕𝑥

𝑥 + 𝑝,𝑞

+

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞



commit to user

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

+


digilib.uns.ac.id

104

𝛽𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 𝛼2 4 1+𝑥 2 𝛼𝑥 1+𝑥 2


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝛽𝑥 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 + 2𝑥

1 + 𝑥2 𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2


2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2


𝛼𝑥 1+𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

𝛼2 1+𝑥 2

−

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 −

2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2

+

𝛼𝑥 1+𝑥 2

−

1+𝑥 2


𝛼𝑥 1+𝑥 2

+


2𝛽𝑥 2 1+𝑥 2



+ 𝛽𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 +


𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 − 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 −


− −𝛽 −

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

+

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

+


−

+ 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0


− −𝛽 −

𝛽 2𝑥 2 1+𝑥 2

+


−

𝛼2 4 1+𝑥 2

𝑥 =0

𝛽 2 +𝛽 2 𝑥 2 −𝛽 2 1+𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2


𝑝,𝑞

=−

𝛼𝑥 1+𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞

+ 2𝑥


𝛼𝑥 1+𝑥 2

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 2𝑥 𝑝,𝑞

𝛽 2𝑥2


𝑝,𝑞

+ 2𝛽𝑥 − 𝛼 + 2𝑥

+ 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛

Dengan, −


+ 1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

−𝛼

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2



− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

𝑝,𝑞

−4

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞

−𝛼

𝑝,𝑞


𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2


𝑝,𝑞


+ 2𝛽𝑥

𝛼2 4 1+𝑥 2

1 + 𝑥2

𝑝,𝑞


𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

2𝛽 𝑥 2 1+𝑥 2

= − 𝛽2 −

commit to user

𝛽2 1+𝑥 2

=

𝛽2 1+𝑥 2

− 𝛽2

−


digilib.uns.ac.id

105

𝑝 ,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛

1 + 𝑥2 𝛼2 4 1+𝑥 2

−

1 + 𝑥2

𝑥

𝜕𝑥 2 2𝑏𝑥 −𝜖 2

𝑝 ,𝑞

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝜕𝑥 2

𝑝,𝑞

𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝑥2 𝜕𝑥 2

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼 𝑝,𝑞

𝛽+

1 2 2

−

1 4


−

− −𝛽 +

𝛽2

− 𝛽2 +

1+𝑥 2


𝛽2 1+𝑥 2

+


−

𝛼2 4 1+𝑥 2

−

2𝑏𝑥 −𝜖 2 1+𝑥 2


−

𝛼2 −2𝑏𝑥 +𝜖 2 4 1+𝑥 2

𝛽 2 +𝛽𝛼𝑥 −

𝑥 =0

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼


𝛼2

−

𝛽 2 +𝛽𝛼𝑥 − 4 −2𝑏𝑥 +𝜖 2


𝛽𝛼𝑥 − 2𝑏𝑥 = 0 𝛼2 4

+

+𝑎 𝑎+1 +

1+𝑥 2

+𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

(4.67)

dari persamaan (4.67), berlaku,

−

−

𝑥 =0

𝑝,𝑞

𝑙 𝑙 + 1 − 𝛽 2 + 𝛽 𝐷𝑛

1+

𝜕𝑥

𝑝,𝑞

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼 𝑝,𝑞

𝑝,𝑞 𝜕 2 𝐷𝑛 𝑥 𝑥2 𝜕𝑥 2

𝑥

+ 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝐷𝑛𝑝,𝑞 𝑥 = 0

1+𝑥 2

𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝛽 2 − 𝛽 𝐷𝑛

1+

𝜕𝐷𝑛

𝛽𝛼 − 2𝑏 = 0

+ 𝛽 2 + 𝜖2 = 0

(4.68a)

(4.68b) commit to user


digilib.uns.ac.id

106

Sehingga persamaan (4.66) dapat ditulis kembali menjadi, −𝛽 ,−𝛼

𝜕 2 ℛ𝑛 𝑟

1 + 𝑥2

𝜕𝑥 2

𝑥

−𝛽 ,−𝛼

+ 2 𝛽+1 𝑥−𝛼

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

𝛽+

1 2 2

−

1 4

𝜕ℛ𝑛 𝑟

𝜕𝑥 −𝛽 ,−𝛼

ℛ𝑛 𝑟

𝑥

−

𝑥 =0

(4.69)

Persamaan (4.69) merupakan bentuk persamaan differensial orde 2 polinomial Romanovski bagian radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, oleh karena itu, persamaan (4.69) dapat dibandingkan dengan persamaan (2.74), sehingga diperoleh hubungan, 𝑞 = −𝛼

(4.70a)

𝑝 = −𝛽

(4.70b)

𝑙 𝑙+1 −

1 2

𝛽+2

1

− 4 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 1 − 𝑝

(4.70c)

Kemudian dilakukan penentuan nilai-nilai 𝛼 dan 𝛽 dengan menggunakan persamaan (4.68), yaitu, 𝛽=

2𝑏

(4.71a)

𝛼

dan, 𝛽2 =

𝛼2 4

− 𝜖2

(4.71b)

Kombinasi antara persamaan (4.71a) dan (4.71b), diperoleh, commit to user


digilib.uns.ac.id

107

𝛼2 4

− 𝜖2 =

4𝑏 2

(4.72)

𝛼2

Jika kedua ruas dari persamaan persamaan (4.72) dikalikan 𝑎2 , dan dikondisikan sesuai bentuk persamaan kuadrat, maka diperoleh, 1 4

𝛼 4 − 𝜖 2 𝛼 2 − 4𝑏 2 = 0

(4.73)

Persamaan (4.73) memiliki penyelesaian: 𝛼 2 = 2𝜖 2 + 2 𝜖 4 + 4𝑏 2

(4.74a)

dan, 𝛼 2 = 2𝜖2 − 2 𝜖4 + 4𝑏2

(4.74b)

Dari persamaan (4.74a) dan (4.74b) dapat diperoleh nilai 𝛽 2 dengan terlebih dahulu mengkuadratkan persamaan (4.70a), yaitu, 𝛽2 =

4𝑏 2

(4.75)

𝛼2

Kemudian dengan mensubstitusi persamaan (4.74a) dan (4.74b) ke persamaan (4.75), diperoleh, 𝛽2 =

2𝑏 2

(4.76a)

𝜖 2 + 𝜖 4 +4𝑏 2

dan,

commit to user


digilib.uns.ac.id

108

𝛽2 =

2𝑏2

(4.76b)

𝜖2 − 𝜖4 +4𝑏2

Persamaan (4.69b) dan (4.69c) dapat diuraikan menjadi bentuk, 1 2

1

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

𝛽+2

− 4 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 1 − 𝑝 , dengan −𝑝 = 𝛽

𝛽+

1 2

2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

𝛽+

1 2

2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 −

−

1 = 𝑛𝑟 𝑛𝑟 − 1 + 2𝑛𝑟 𝛽 + 1 4

−

1 = 𝑛𝑟 2 + 𝑛𝑟 + 2𝛽𝑛𝑟 4

𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 = 𝑛𝑟 2 + 2𝑛𝑟 𝛽 +

1 1 + 𝛽+ 2 2

2

−

1 1 1 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + = 𝑛𝑟 2 + 2𝑛𝑟 𝛽 + + 𝛽+ 4 2 2 𝑛𝑟 + 𝛽 +

𝑛𝑟 + 𝛽 +

𝑙+

1 2 2

1 2

2

= 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +

1 4 2

1 4

1 1 = ± 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + 2 4

1

= 𝑛𝑟 + 𝛽 + 2

2

(4.77)

Sehingga, dari persamaan (4.77) diperoleh penyelesaian 𝛽, yaitu,

𝛽=

1

1

4

2

𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + − 𝑛𝑟 −

dan, commit to user

(4.78a)


digilib.uns.ac.id

109

1

1

𝛽 = − 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + 4 − 𝑛𝑟 − 2

(4.78b)

Persamaan (4.78a) dan (4.78b) merupakan solusi nilai 𝛽 untuk persamaan (2.74), tetapi dengan memperhatikan parameter Romanovski, bahwa −𝛽 > 𝑛𝑟 , maka dipilih penyelesaian 𝛽 dari persamaan (4.78b). Kemudian persamaan (4.78b) tersebut disubstitusikan ke persamaan (4.70a) sehingga diperoleh, 2𝑏

𝛼=−

1 4

(4.79)

1 2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛 𝑟 +

Untuk memperoleh persamaan energi, persamaan (4.78b) disubstitusi ke persamaan (4.76a) dan (4.76b), yaitu: 2 1

1

− 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + 4 − 𝑛𝑟 − 2

=

2𝑏 2

(4.80)

𝜖 2 ± 𝜖 4 +4𝑏 2

2𝑏 2

𝜖 2 ± 𝜖 4 + 4𝑏 2 =

1 1 − 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + 4 − 𝑛𝑟 − 2

2

2

± 𝜖 4 + 4𝑏 2

2

2𝑏 2

=

1 1 − 𝑎 𝑎 + 1 + 𝑙 𝑙 + 1 + 4 − 𝑛𝑟 − 2 𝜖 4 + 4𝑏 2 =

4𝑏 4 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

1 1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

4

2

− 𝜖2

4𝑏 2 𝜖 2

−

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

commit to user

1 1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

2

+ 𝜖4


digilib.uns.ac.id

110

4𝑏4

4𝑏2 =

1

4

1

4𝑏2 𝜖2

−

1

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

4𝑏 2 𝜖 2 1

1

2

4𝑏 4

=

1

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4−𝑛𝑟 −2

−

2

𝜖 =

1

4

− 4𝑏 2

4

−1

𝑏2

=

1 1 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛𝑟 − 4 2

−

𝑏2

2

1

1

− − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

2

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4−𝑛𝑟 −2

2𝑚 − ℏ2

𝑏2

𝐸=

2

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4−𝑛𝑟 −2

𝜖2 1 1 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛𝑟 − 4 2

1

− 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

1 4

1 2

2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

−

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛𝑟 +

1 + 4 − 𝑛𝑟

1 −2

1 + 4 + 𝑛𝑟

1 +2

2

2

Sehingga didapatkan penyelesaian:

𝐸𝑛 𝑟 ;𝑙 =

ℏ2 − 2𝑚 𝑒

2

𝑏2 1

1

2

−

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

1 + 4

− 𝑛𝑟 −

1 2

(4.81) 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 = 𝑛

(4.82)

Persamaan (4.81) merupakan solusi energi persamaan Schrödinger untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, dengan, ℏ

: konstanta planck,

𝑚𝑒

: massa partikel elementer, commit to user


digilib.uns.ac.id

111

𝑎 dan 𝑏

: konstanta,

𝑛


𝑛 = 1,2,3 …

𝑛𝑟


𝑛𝑟 = 0,1,2 …

𝑙


gelombang polar) 𝑙 = 0,1,2 … 𝑛 − 1 Dari persamaan (4.81), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse, yaitu, -37

4

x 10

l=2 l = 2,72 l = 3,62

3.5 3

E(n) (eV)

2.5 2 1.5 1 0.5

2

3

4

5 n

6

7

8

Gambar (4.7). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse dengan 𝑎 = 0,25 ; 𝑏 = 1

Potensial Rosen Morse merupakan dinamika interaksi yang dapat ditemukan pada interaksi antar quark. Interaksi quark ini erat kaitannya dengan pembentukan nukleon yang merupakan partikel penyusun inti atom, yaitu proton commit to user


digilib.uns.ac.id

112

maupun neutron. Sehingga, tingkat energi yang ditunjukan oleh Gambar (4.7) bernilai positif. Namun secara umum, potensial Rosen Morse juga mampu menjelaskan tentang posisi suatu elektron apabila berada dalam pengaruh potensial Rosen Morse melalui fungsi gelombang dan rapat probabilitasnya. Dari Gambar (4.7) yang merupakan gambar grafik tingkat energi, terlihat bahwa saat potensial Rosen Morse yang mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse akan mengalami peningkatan tingkat energi. Grafik hitam menunjukan tingkat energi dari harga 𝜈 dan 𝜇 yang bernilai nol yang mengindikasikan bahwa potensial Rosen Morse tidak mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse. Kemudian untuk grafik merah dan biru berturut-turut menunjukan tingkat energi dari harga 𝜈 dan 𝜇 tidak nol. Tampak bahwa grafik biru terhadap merah semakin positif, begitu pula merah terhadap hitam. Hal ini mengindikasikan bahwa potensial Rosen Morse semakin mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse. Sehingga, dari perbandingan ketiga grafik tingkat energi tersebut, maka dapat disimpulkan bahwa jika potensial Rosen Morse mendapat gangguan yang semakin besar dari potensial non sentral Rosen Morse, maka tingkat energi akan semakin bernilai positif dan membutuhkan energi yang lebih tinggi untuk berada pada kulit tersebut. Kemudian dengan nilai α dan β yang diperoleh dari persamaan (4.78a) dan (4.79) maka diperoleh solusi fungsi gelombang radial untuk potensial Rosen

commit to user


digilib.uns.ac.id

113

Morse radial plus Rosen Morse dengan menggunakan persamaan (2.77), (2.78) dan (2.80), yaitu 2𝑏 1

𝑤 𝑥 = 1+𝑥

1

2 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4 −𝑛 𝑟 −2


−𝛽,−𝛼

𝑒

1 1 𝑎 𝑎 +1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛 𝑟 + 4 2

𝑑𝑛 𝑟 2𝑏

1 1 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2 1+𝑥 2

𝑒

1 1 𝑎 𝑎 +1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛 𝑟 + 4 2

1 1 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2

𝑒

𝑑𝑥 𝑛 𝑟


2𝑏

𝑥

(4.83)

= 1

2 −


1 1 𝑎 𝑎 +1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛 𝑟 + 4 2

1 + 𝑥2

𝑛𝑟

1+


(4.84)

Maka diperoleh, 2𝑏


1+

1 1 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + −𝑛 𝑟 − 4 2 𝑥2

𝑒

𝑛

1 2𝑏 1 1 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4−𝑛𝑟 −2 1+𝑥2

1 1 𝑥2 − 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +4−𝑛𝑟−2

𝑒

𝑒

1 1 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 + +𝑛 𝑟 + 4 2

𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +1+𝑛𝑟 +1 4 2

𝑑 𝑟 𝑛 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 𝑑𝑥 𝑟

2𝑏 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎 𝑎+1 +𝑙 𝑙+1 +1+𝑛𝑟 +1 4 2

1 + 𝑥2


𝑛𝑟

1+

𝑥

(4.85)

Beberapa penyelesaian khusus dari persamaan (4.84) dan (4.85) adalah, −𝛽,−𝛼

ℛ0

=

1 1 + 𝑥2 𝛽

𝑒

−𝛼 𝑡𝑎𝑛−1

𝑥

𝑑0 1 + 𝑥2 𝑑𝑥0

commit to user

𝛽

−1


𝑥

=1


digilib.uns.ac.id

114

1 + 𝑥2


−𝛽,−𝛼

=

ℛ1


1 𝛽 −1 1+𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

2 1+𝑥2

1 1+𝑥2

𝛽

𝛽+1


−1

𝑥

𝑑 𝑑𝑥

1 + 𝑥2

∙1=

1 + 𝑥2

𝛽+1

−1 𝑥


𝛽


−1


−

1+𝑥2

𝑥

−1

𝑥

=

𝛽+1


−1 𝑥

= 2𝑥 𝛽 + 1 −

𝛼 1 + 𝑥2


−𝛽,−𝛼

=

ℛ2


𝛽+2

𝑑2 𝑑𝑥2

4 1+𝑥2

𝛽+2



1+𝑥2

2

−

∙ 2𝑥 𝛽 + 1 − 𝛼

1 + 𝑥2

𝛽+2

−1 𝛽+2 2 𝑥2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝑥

1+𝑥2

2 1+𝑥2

1+𝑥2

𝑥

1


4 1+𝑥2

−1


1 1+𝑥2

𝛽

2

4 1+𝑥2

𝛽+2

−1


+

2 1+𝑥2

−1 𝑥

𝛽+2 𝛼𝑥𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 2 1+𝑥2

𝑥

𝛽+2

+

= 𝛽+2 𝑒−𝛼 𝑡𝑎𝑛 1+𝑥2 2 1+𝑥2

𝛽+2

−1 𝑥

−


−1 𝑥

2 1+𝑥2

+

= 4 𝛽 + 2 2 𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 − 4 𝛽 + 2 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼2 𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙 =

1 + 𝑥2

𝛽


−1

𝑥

∙ 4 𝛽 + 2 2𝑥2 + 2 𝛽 + 2 1 + 𝑥2 −

4 𝛽 + 2 𝑥 2 − 4 𝛽 + 2 𝛼𝑥 + 2𝛼 + 𝛼 2

Dari beberapa penyelesaian khusus fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse diatas, dengan memberi variasi commit to user


digilib.uns.ac.id

115

masukan nilai konstanta 𝜈, 𝜇 , 𝑚, 𝑛𝑟 serta 𝑛𝑙 , maka dihasilkan penyelesaianpenyelesaian fungsi gelombang radial seperti yang ditampilkan pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3. polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse 𝑎 = 0,25 ; 𝑏 = 1

No. 𝑛𝑟 1.

2

𝑛𝑙 𝑚 𝜈 𝜇

𝑙

1

2

1

0 0

−𝛽,−𝛼

ℛ 𝑛𝑙

𝜃

12,82𝑥 2 − 207,8𝑥 + 1113,01

2.

2

1

1

1 1 2,72

30,44𝑥 2 − 19,76𝑥 + 9,88

3.

2

1

1

2 2 3,62

31,76𝑥 2 − 19,2𝑥 + 9,62

𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙 12,82 cos2 𝑟 sin−2,06 𝑟 − 207,8 cos 𝑟 sin−1,06 𝑟 33,3 𝑡𝑎𝑛 −1 cot 𝑟 2

+ 1113,01 sin−0,06 𝑟 𝑒 −

30,44 cos2 𝑟 sin−3,02 𝑟 − 19,76 cos 𝑟 sin−2,02 𝑟 1,96 𝑡𝑎𝑛 −1 cot 𝑟 2

+ 9,88 sin−1,02 𝑟 𝑒 −

31,76 cos 2 𝑟 sin−3,08 𝑟 − 19,2 cos 𝑟 sin−2,08 𝑟 1,86 𝑡𝑎𝑛 −1 cot 𝑟 2

+ 9,62 sin−1,08 𝑟 𝑒 −

Fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse berupa fungsi trigonometri dan hanya dipengaruhi oleh fungsi 𝑟

yang

mendiskripsikan gerak menjauh atau mendekatnya elektron dari inti atom. Untuk keadaan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 , bilangan kuantum polar 𝑛𝑙 , dan bilangan kuantum magnetik 𝑚 konstan, dalam hal ini penelitian di fokuskan pada elektron yang sama, maka peningkatan gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse dari nilai 𝜈 dan 𝜇 yang semakin besar menunjukan fungsi gelombang menunjukan penurunan faktor sinus dan memperbesar faktor eksponensial, yang secara matematis, akan berdampak pada pergeseran fungsi gelombang. Pergeseran fungsi gelombang radial dan rapat probabilitas yang terjadi dapat dilihat pada commit to user


digilib.uns.ac.id

116

gambar visualisasi fungsi gelombang radial pada Gambar (4.8) dan Gambar (4.9), yaitu,

15 X(2;2) X(2;2,72) X(2;3,62)

10

X(nr;l)

5

0

-5

-10

0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Gambar (4.8). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse dengan 𝑎 = 0,25 ; 𝑏 = 1

Gambar (4.8) menunjukan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse tak ternormalisasi. Dari Gambar (4.8) tersebut, gangguan potensial non sentral Rosen Morse menghasilkan pergeseran fungsi gelombang terhadap arah radial 𝑟 sekaligus meningkatkan amplitudo gelombang. Pergeseran amplitudo yang terjadi mengindikasikan tingkat energi yang semakin commit to user


digilib.uns.ac.id

117

besar serta simpangan gerak elektron yang semakin jauh sehingga rapat probabilitas ditemukan didaerah amplitudo akan semakin besar saat potensial Rosen Morse mendapat gangguan yang semakin besar dari potensial non sentral Rosen Morse.

15 |X(2;2)| |X(2;2,72)| |X(2;3,62)|

|X(nr;l)|

10

5

0

0

0.5

1

1.5 r (fm)

2

2.5

3

Gambar (4.9). Grafik Probabilitas Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Rosen Morse dengan 𝑎 = 0,25 ; 𝑏 = 1

Gambar (4.9) menunjukan grafik rapat probabilitas. Dari Gambar (4.9) tersebut, grafik hitam merupakan grafik probabilitas untuk sistem yang tak terganggu potensial Rosen Morse dengan nilai 𝑎 = 0,25 ; 𝑏 = 1 (Compean 2008). Dari visualisasi tersebut, terlihat bahwa kebolehjadian ditemukannya commit to user


digilib.uns.ac.id

118

partikel adalah pada daerah 0,2 𝑓𝑚 < 𝑟 < 1,1 𝑓𝑚, 1,1 𝑓𝑚 < 𝑟 < 1,9 𝑓𝑚 dan 1,9 𝑓𝑚 < 𝑟 < 2,8 𝑓𝑚 serta tidak dapat ditemukan elektron pada 𝑟 = 0, 𝑟 = 1,1 𝑓𝑚, 𝑟 = 1,9 𝑓𝑚, dan 𝑟 > 3 𝑓𝑚. Grafik rapat probabilitas untuk potensial ini tidak menunjukan pergeseran 𝑟 secara signifikan, dan hanya menunjukan pergeseran amplitudo seiring membesarnya gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse. Hal ini mengindikasikan bahwa elektron sebagai objek yang diteliti sesuai Tabel 4.3 tidak mengalami pergeseran jarak terhadap inti atom, melainkan hanya berpengaruh terhadap kebolehjadian ditemukannya elektron itu pada posisi tertentu, yaitu rapat probabilitas semakin besar.

E. Penyelesaian Bagian Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb Dari kombinasi persamaan (2.112) dan (2.115), potensial efektif dari potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb adalah,

𝑉 𝑟, 𝜃 =

−𝑒 2 𝑟

+

ℏ2 𝜈 𝜈+1 2𝑚 𝑟 2 sin 2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃

(4.86)

dengan 𝑣 > 0, 𝜇 > 0 kemudian persamaan (4.86) dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger untuk koordinat bola, karena potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb merupakan bentuk potensial fungsi radial 𝑟 dan fungsi polar 𝜃 dimana masing-

commit to user


digilib.uns.ac.id

119

masing dimensi diwakili oleh satu fungsi gelombang, maka persamaan Schrödinger untuk persamaan (4.86) adalah,

−

ℏ2 1 𝜕 2𝑚 𝑟 2 𝜕𝑟

ℏ2 2𝑚 𝑟 2

𝑟2

𝜕 𝜕𝑟

+

1 𝜕 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕 𝜕𝜃

+

1 𝜕2 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 +

−𝑒 2 𝑟

𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑

+ (4.87)

persamaan (4.87) merupakan persamaan Schrödinger dengan fungsi gelombang umum. Untuk penyelesaiannya, fungsi gelombang persamaan Schrödinger 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 diuraikan dalam batasan fungsi gelombang tiap dimensi melalui proses sparasi variabel, dengan memisalkan 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜑 seperti pada persamaan (4.4) dimana permisalan yang muncul pada persamaan (4.4) mengandung fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap dimensi yaitu 𝑅 𝑟 merupakan fungsi gelombang radial, 𝑃 𝜃


merupakan fungsi

gelombang azimuthal. Untuk menguraikan persamaan (4.87), persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.87), yaitu, 1

𝜕

𝑅 𝑟 𝜕𝑟 2𝑚 𝑒 2 𝑟 ℏ2

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 + 𝑃

1

1

𝜕


𝜕


− 𝜈 𝜈 + 1 csc 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃 +

2𝑚 𝑟 2 ℏ2

1

1

𝜕2


𝐸=0

𝜙 𝜑 + (4.88)

persamaan (4.88) telah memiliki bentuk yang tiap sukunya mewakili satu fungsi gelombang. Sebelum menyelesaikannya, suku-suku yang mengandung fungsi gelombang yang sama dikelompokkan dalam satu ruas, yaitu, commit to user


digilib.uns.ac.id

120

1

𝜕

𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝜈 𝜈 +1 sin 2 𝜃

𝑟2

𝜕

𝑅 𝑟 +

𝜕𝑟

2𝑚 𝑒 2 𝑟 ℏ2

+

2𝑚 𝑟 2 𝐸 ℏ2

=−

1

1

𝜕

sin 𝜃

𝑃 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

𝜕 𝜕𝜃

𝑃 𝜃 −

1

1

𝜕2

𝜙 𝜑 sin 2 𝜃 𝜕𝜑 2

𝜙 𝜑 +

(4.89)

− 2𝜇 cot 𝜃

dari persamaan (4.89), ruas kiri merupakan persamaan Schrödinger bagian radial, dan ruas kanan merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (polar dan azimuthal). Sesuai dengan persamaan (2.23), kedua ruas dari persamaan (4.89) memiliki variabel-variabel yang berbeda namun keduanya dapat disebandingkan hanya jika keduanya memiliki nilai konstanta sebesar 𝜆, sehingga penyelesaian persamaan (4.89) yang dilakukan bertahap dengan menyelesaikan tiap bagian fungsi gelombang, masing-masing ruas disebandingkan dengan nilai konstanta 𝜆. Bagian fungsi gelombang polar pada persamaan (4.89) memiliki penyelesaian yang sama dengan penyelesaian fungsi gelombang polar untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, dan potensial non sentral Rosen Morse plus Rosen Morse. Yang berbeda hanya penyelesaian fungsi gelombang radialnya saja, yaitu: 1 𝜕 𝑅 𝑟 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 +

dengan

2𝑚𝑒 2 𝑟 ℏ

2

+

mensubstitusai


=𝜆

(4.90)

persamaan

(2.29)


𝑅 𝑟 𝑟2

ke

persamaan

(4.90)

, maka persamaan (4.90) dapat

ditulis menjadi, 1 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟

𝜕

𝑟 2 𝜕𝑟 𝑅 𝑟 − −

2𝑚𝑒 2 𝑟 ℏ

2

−


+

𝑙 𝑙+1 𝑟2

𝑅 𝑟 =0

commit to user

dan

(4.91)


digilib.uns.ac.id

121

dengan memisalkan

2𝑚 ℏ2

𝐸 = −𝜖 2 ,

2𝑚 𝑒 2 ℏ2

= 𝛽 2 , dan 𝑅 𝑟 =

Χ 𝑟 𝑟

, serta diselesaikan

sesuai operasi differensial yang ada, maka persamaan (4.91) menjadi, 𝜕2𝑅 𝑟 2 𝜕𝑅 𝑟 𝛽2 𝑙(𝑙 + 1) 2 + + − 𝜖 − 𝑅 𝑟 =0 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑟2 𝜕2𝑅 𝑟 𝜕𝑟 2

2 𝜕𝑅 𝑟

+𝑟

𝜕𝑟

+

𝛽 2 𝑟−𝜖 2 𝑟 2 −𝑙(𝑙+1) 𝑟2

𝑅 𝑟 =0

(4.92)

persamaan (4.92) merupakan bentuk persamaan differensial orde 2 NikiforovUvarov bagian radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, oleh karena itu, persamaan (4.92) dapat dibandingkan dengan persamaan (2.81), sehingga diperoleh hubungan, 𝜍=𝑟

(4.93a)

𝜍′ = 1

(4.93b)

𝜏=2

(4.93c)

𝜍 = 𝛽 2 𝑟 − 𝜖 2 𝑟 2 − 𝑙(𝑙 + 1)

(4.93d)

kemudian persamaan (4.93a), (4.93b), (4.93c), dan (4.93d) disubstitusi ke persamaan (2.93), yaitu,

𝜋 𝑟 =

1−2 2

± (

1−2 2 ) 2

− 𝛽 2 𝑟 − 𝜖 2 𝑟 2 − 𝑙(𝑙 + 1) + 𝑘𝑟

commit to user


digilib.uns.ac.id

122

1

𝜋 𝑟 = −2 ±

1 4

+ 𝑙(𝑙 + 1) − 𝛽 2 𝑟 + 𝜖 2 𝑟 2 + 𝑘𝑟

(4.94a)

1 1 𝜋 𝑟 = − ± 𝜖 2 𝑟 2 + 𝑘𝑟 − 𝛽 2 𝑟 + 𝑙 2 + 𝑙 + 2 4

1 𝜋 𝑟 =− ± 2

1

𝜋 𝑟 = −2 ±

𝜖𝑟

2

𝜖𝑟

2

+ 𝑘𝑟 −

𝛽2 𝑟

+ 𝑘𝑟 −

𝛽2 𝑟

1 + 𝑙+ 2

+

2

1 4 𝜖 2 𝑙+

2

2

(4.94b)

4𝜖 2

dengan memisalkan,

4 𝜖2

1 2

𝑙+2

= (𝑘 − 𝛽 2 )2

(4.94c)

maka persamaan (4.94b) dapat dituliskan kembali menjadi,

1 𝜋 𝑟 =− ± 2

𝜖𝑟

2

+ 𝑘𝑟 − 𝛽 2 𝑟 +

1 𝜋 𝑟 =− ± 2

𝜖𝑟

2

+ 𝑘−

𝛽2

1 𝜋 𝑟 =− ± 2

𝑘 − 𝛽2 𝜖𝑟 + 2𝜖

2

(𝑘 − 𝛽 2 )2 4𝜖 2

𝑘 − 𝛽2 𝑟+ 2𝜖

commit to user

2


digilib.uns.ac.id

123

𝑘−𝛽 2

1

𝜋 𝑟 = − 2 ± 𝜖𝑟 +

(4.94d)

2𝜖

kemudian dari persamaan (4.94c), diperoleh hubungan, 1 2

(𝑘 − 𝛽 2 )2 − 4 𝜖 2

𝑙+2

=0

(4.95)

penyelesaian persamaan (4.95) adalah,

𝑘 − 𝛽 2 ± 2𝜖 𝑙 +

1 =0 2 1

𝑘 − 𝛽 2 = ∓2𝜖 𝑙 + 2

(4.96a)

1

𝑘 = 𝛽 2 ∓ 2𝜖 𝑙 + 2

(4.96b)

Untuk penyelesaian keadaan terikat, dipilih persamaan (4.94d), 1 𝑘 − 𝛽2 𝜋 𝑟 = − − 𝜖𝑟 + 2 2𝜖

𝜋 𝑟 = −𝜖𝑟 −

𝑘−𝛽 2 2𝜖

1

−2

(4.97)

dengan menghubungkan persamaan (4.96a) dan (4.96b) ke persamaan (4.97), maka diperoleh penyelesaian, untuk:

1

𝑘 = 𝛽 2 + 2𝜖 𝑙 + 2

𝜋 𝑟 = −𝜖𝑟 − 𝑙 − 1

(4.98a)

kemudian dengan persamaan (2.86), (4.94c), dan (4.98a), diperoleh, commit to user


digilib.uns.ac.id

124

𝜏 𝑟 = 2 + 2 −𝜖𝑟 − 𝑙 − 1 𝜏 𝑟 = −2𝜖𝑟 − 2𝑙

(4.98b)

dan dengan persamaan (2.94), dan turunan pertama persamaan (4.98a), diperoleh,

𝜆 = 𝛽 2 + 2𝜖 𝑙 +

1 −𝜖 2

𝜆 = 𝛽 2 + 2𝜖𝑙

(4.98c)

dan penyelesaian, untuk:

1

𝑘 = 𝛽 2 − 2𝜖 𝑙 + 2

𝜋 𝑟 = −𝜖𝑟 + 𝑙

(4.99a)

kemudian dengan persamaan (2.86), (4.94c), dan (4.99a), diperoleh, 𝜏 𝑟 = 2 − 2 −𝜖𝑟 + 𝑙 𝜏 𝑟 = 2 + 2𝜖𝑟 − 2𝑙

(4.99b)

dan dengan persamaan (2.92), dan turunan pertama persamaan (4.98a), diperoleh,

𝜆 = 𝛽 2 − 2𝜖 𝑙 +

1 −𝜖 2

𝜆 = 𝛽 2 − 2𝜖 𝑙 + 1

(4.99c)

dengan menggunakan persamaan (2.101), maka diperoleh,

commit to user


digilib.uns.ac.id

125

𝜆𝑛 𝑟 = −𝑛𝑟 −2𝜖 − 𝜆𝑛 𝑟 = 2𝜖 𝑛𝑟 ,

𝑛 𝑛−1 2

0

𝑛𝑟 = 0,1,2, …

(4.100)

maka dengan membandingkan persamaan (4.94c), (4.98c) dan (4.100) dengan hubungan 𝜆 = 𝜆𝑛 𝑟 , yaitu, 𝛽 2 + 2𝜖𝑙 = 2𝜖 𝑛𝑟 𝛽 2 = 2𝜖 𝑛𝑟 − 𝑙 𝜖=2

𝛽2

(4.101a)

𝑛𝑟 −𝑙

dan, 𝛽 2 − 2𝜖 𝑙 + 1 = 2𝜖 𝑛𝑟 𝛽 2 = 2𝜖 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝜖=2

𝛽2

(4.101b)

𝑛𝑟 +𝑙+1

Untuk menentukan persamaan tingkat energi, maka dipergunakan persamaan (4.101b) dengan mempertimbangkan nilai bilangan kuantum utama n yang memiliki hubungan 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 Dengan

2𝑚 ℏ2

𝐸 = −𝜖 2 dan

2𝑚 𝑒 2 ℏ2

= 𝛽 2 , maka dari persamaan (4.101b) diperoleh,

commit to user


digilib.uns.ac.id

126

𝐸𝑛 = −

𝑚𝑒𝑒4 2 𝑟 +𝑙+1)

(4.102)

2ℏ2 (𝑛

Persamaan (4.102) tersebut merupakan persamaan energi eigen untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, dengan, ℏ

: konstanta planck,

𝑚𝑒

: massa partikel elementer,

𝑛


𝑛 = 1,2,3, ….

𝑛𝑟


𝑛𝑟 = 0,1,2,3, ….

𝑒

: muatan elektron,

𝑙


gelombang polar), 𝑙 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1

Kemudian untuk menentukan fungsi eigen (fungsi gelombang) digunakan hubungan persamaan (2.82), dengan persamaan (4.94a), dan (4.99a), yaitu, 𝜙′ 𝑟 −𝜖𝑟 + 𝑙 𝑙 = = −𝜖 + 𝜙 𝑟 𝑟 𝑟 dengan mengintegralkan kedua ruas, maka diperoleh, 𝑙𝑛𝜙 𝑟 = − 𝜖𝑟 + 𝑙𝑛𝑟 𝑙 𝜙 𝑟 = 𝑟 𝑙 𝑒 −𝜖𝑟



digilib.uns.ac.id

127

Dari hubungan persamaan (2.103) dengan persamaan (4.93a), (4.94b), dan (4.99b), diperoleh, 𝜍 ′ 𝑟 𝜌 𝑟 + 𝜍 𝑟 𝜌′ 𝑟 = −2𝜖𝑟 + 2(𝑙 + 1) 𝜌 𝑟 𝜌′ 𝑟 −2𝜖𝑟 + 2𝑙 + 1 2𝑙 + 1 = = −2𝜖 + 𝜌 𝑟 𝑟 𝑟 dengan mengintegralkan kedua ruas, maka diperoleh, 𝑙𝑛𝜌 𝑟 = − 2𝜖𝑟 + 𝑙𝑛𝑟

2𝑙+1

𝜌 𝑟 = 𝑟 (2𝑙+1) 𝑒 −2𝜖𝑟

(4.104)

kemudian persamaan (4.91a) dan (4.104) disubstitusi ke persamaan (2.102), yaitu,

𝑦𝑛 𝑟

𝐵𝑛 𝑟 𝑑 𝑛 𝑟 𝑛 (2𝑙+1) −2𝜖𝑟 𝑟 = (2𝑙+1) −2𝜖𝑟 𝑛 𝑟 𝑟 𝑟 𝑒 𝑑𝑟 𝑟 𝑟 𝑒 𝐵

𝑦𝑛 𝑟 𝑟 = 𝑟 (2𝑙+1)𝑛 𝑒𝑟 −2𝜖𝑟

𝑑𝑛𝑟 𝑑𝑟 𝑛 𝑟

𝑟

2𝑙+1 +𝑛 𝑟 −2𝜖𝑟 𝑒

(4.105)

Sehingga, fungsi gelombang berdasarkan persamaan (2.104) dapat dinyatakan sebagai, 𝑋 𝑟 = 𝑟 𝑙 𝑒 −𝜖𝑟 𝑦𝑛 𝑟 𝑟

(4.106)

Dari persamaan (4.102), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, yaitu,

commit to user


digilib.uns.ac.id

128

-39

0

x 10

l=2 l = 2,72 l = 3,62

-0.5 -1

E(n) (eV)

-1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 2

3

4

5 n

6

7

8

Gambar (4.10). Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb

Jika meninjau Gambar (4.10), grafik hitam menunjukan tingkat energi pada sistem potensial Coulomb yang tidak mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse. Kemudian untuk grafik merah dan biru berturut-turut menunjukan tingkat energi sistem yang mendapat gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse. Dengan membandingkan ketiga grafik tersebut, jika potensial Coulomb mendapat gangguan semakin besar dari potensial non sentral Rosen Morse, maka tingkat energi akan semakin bernilai positif dan suatu partikel membutuhkan energi yang lebih tinggi untuk berada pada kulit tersebut. Sehingga, jika pada kulit atom yang terganggu terdapat suatu elektron, maka commit to user


digilib.uns.ac.id

129

elektron dapat semakin mudah terlepas dari ikatannya hanya dengan energi luar yang kecil. Kemudian dengan persamaan (4.103) dan (4.106) maka diperoleh beberapa solusi khusus fungsi gelombang radial untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, yaitu: Tabel 4.4. Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulomb

No. 𝑛𝑟 1.

2

𝑋𝑛 𝑟 ;𝑙

𝑛𝑙 𝑚 𝜈 𝜇

𝑙

1

2

1

0 0

42𝑟 2 −

28 𝑚𝑒 2 3 4 𝑚𝑒 2 𝑟 + 5 ℏ2 25 ℏ2

62,79𝑟 2 −

2.

2

1

1

1

1

−

𝑚𝑒2 𝑟 5ℏ2

1 1 2,72

94,62𝑟 2 −

2

𝑟4 𝑒

33,76 𝑚𝑒 2 3 𝑟 5,72 ℏ2 4 𝑚𝑒 2 + 32,72 ℏ2

3.

2

2

𝑟

4

𝑒

−

𝑚𝑒2 𝑟 5,72ℏ2

−

𝑚𝑒2 𝑟 6,62ℏ2

40,96 𝑚𝑒 2 3 𝑟 6,62 ℏ2

2 2 3,62 +

4 𝑚𝑒 2 43,82 ℏ2

2

𝑟4 𝑒

Fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb berupa fungsi yang hanya dipengaruhi oleh fungsi 𝑟 yang mendiskripsikan gerak menjauh atau mendekatnya elektron dari inti atom. Untuk keadaan bilangan kuantum radial 𝑛𝑟 , bilangan kuantum polar 𝑛𝑙 , dan bilangan kuantum magnetik 𝑚 konstan, dalam hal ini penelitian di fokuskan pada elektron commit to user


digilib.uns.ac.id

130

yang sama, maka peningkatan gangguan dari potensial non sentral Rosen Morse dari nilai 𝜈 dan 𝜇 yang semakin besar menunjukan fungsi gelombang menunjukan kenaikan faktor eksponensial, yang secara matematis juga akan berdampak pada pergeseran fungsi gelombang. Pergeseran fungsi gelombang radial dan rapat probabilitas yang terjadi dapat dilihat pada gambar visualisasi fungsi gelombang radial pada Gambar (4.12) dan Gambar (4.13), yaitu,

250 X(2;2) X(2;2,72) X(2;3,62)

200

X(nr,l)

150

100

50

0

0

5

10

15

20 r (fm)

25

30

Gambar (4.11). Visualisasi Fungsi Gelombang Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulombic

commit to user

35

40


digilib.uns.ac.id

131

Gambar (4.11) menunjukan fungsi gelombang radial potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb tak ternormalisasi. Dari Gambar (4.11) tersebut, gangguan potensial non sentral Rosen Morse menghasilkan pergeseran fungsi gelombang terhadap arah radial 𝑟 sekaligus meningkatkan amplitudo gelombang. Pergeseran amplitudo yang terjadi mengindikasikan tingkat energi yang semakin besar serta simpangan gerak elektron yang semakin jauh sehingga rapat probabilitas ditemukan didaerah amplitudo akan semakin besar saat potensial Coulomb mendapat gangguan yang semakin besar dari potensial non sentral Rosen Morse.

250 |X(2;2)| |X(2;2,72)| |X(2;3,62)|

200

|X(nr,l)|

150

100

50

0

0

5

10

15

20 r (fm)

25

30

Gambar (4.12). Grafik Probabilitas Radial Potensial Non Sentral Rosen Morse plus Coulombic

commit to user

35

40


digilib.uns.ac.id

132

Gambar (4.12) merupakan grafik rapat probabilitas potensial non sentral Rosen Morse plus Coulomb, grafik hitam merupakan fungsi gelombang radial tak ternormalisasi untuk sistem potensial Coulomb yang tak terganggu oleh potensial Rosen Morse serta menunjukan bahwa tidak dapat ditemukan elektron pada daerah 𝑟 = 0 𝑟𝑎𝑑 dengan probabilitas ditemukannya elektron adalah pada interval 0 < 𝑟 < 5 𝑓𝑚, 5 𝑓𝑚 < 𝑟 < 11 𝑓𝑚 dan 11 𝑓𝑚 < 𝑟 < 22 𝑓𝑚. Jika ditinjau dari Gambar (4.11), saat sistem potensial Coulomb diberi gangguan oleh potensial Rosen Morse, maka semakin besar gangguan yang diberikan dengan bentuk gangguannya pergeseran fungsi gelombang, seperti yang ditunjukan oleh grafik merah dan biru yang berturut-turut menunjukan gangguan dari potensial Rosen Morse semakin besar. Hal tersebut memberikan arti bahwa probabilitas ditemukan elektron semakin menjauh dalam fungsi jarak 𝑟 dari keadaan semula (tak terganggu). Pergeseran tersebut juga berkaitan dengan tingkat energi dimana jika gangguan potensial Rosen Morse diperbesar terhadap sistem, maka suatu elektron membutuhkan energi yang lebih tinggi untuk berada didalam sistem yang terganggu tersebut, sehingga probabilitas ditemukan elektron bergeser semakin jauh.

commit to user


digilib.uns.ac.id

133

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian yang telah di lakukan dapat diambil kesimpulan bahwa : 1. Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb dapat dianalisis menyelesaikan persamaan Schrödinger menggunakan persamaan polinomial Romanovski, 2. Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb memiliki penyelesaian fungsi gelombang terpisah yaitu bagian radial dan bagian polar, tetapi dihubungkan oleh harga bilangan kuantum orbital 𝑙 dengan penyelesaian fungsi gelombang bagian polar yang sama, 3. Tingkat energi dan fungsi gelombang untuk potensial non sentral Rosen Morse plus Hulthen, Rosen Morse, dan Coulomb dapat divisualisasikan dengan tepat dan mudah menggunakan program Matlab 2010.

commit to user


digilib.uns.ac.id

134

B. SARAN Saran-saran yang dapat diberikan berkenaan dengan hasil penelitian adalah: 1. Perlu diadakannya penelitian lebih lanjut tentang penerapan metode polinomial Romanovski untuk berbagai variasi potensial dan potensial pengganggunya. 2. Penelitian menggunakan komputer dengan spesifikasi yang lebih tinggi sehingga hasil program dapat diperoleh lebih cepat (running time singkat).

commit to user

ANALISIS ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON SENTRAL ROSEN MORSE PLUS HULTHEN, ROSEN MORSE, DAN COULOMB MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI

Recommend Documents