ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON-CENTRAL MENGGUNAKAN SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM

P-ISSN: 2303-1832 E-ISSN: 2503-023X 10 2015

Jurnal Ilmiah Pendidikan Fisika ‘Al-BiRuNi’ 04 (2) (2015) 193-203

193

https://ejournal.radenintan.ac.id/index.php/al-biruni/index

ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON-CENTRAL MENGGUNAKAN SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM Antomi Saregar Pendidikan Fisika IAIN Raden Intan Lampung, E-mail: [email protected]

Abstrak: Tujuan Penelitian ini adalah (1) mendeskripsikan hasil fungsi gelombang dan energi dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller yang dianalisis menggunakan metode Supersymmetry mekanika kuantum (SUSY QM); (2) mengetahui visualisasidari fungsi gelombangdan tingkat energy pada poin 1. Penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan mulai bulan Juli 2013 s.d. Desember 2015. Potensial non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller merupakan potensial yang mempunyai sifat shape invariance.Perkembangan terakhir, metode SUSY telah berhasil digunakan untuk membuat analisis matematis secara lengkap dan tepat penyelesaian beberapa potensial non sentral dalam sistem tertutup. Dengan mengaplikasikan operator penurun pada fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, sedangkan fungsi gelombang tingkat atas satu diperoleh dengan menggunakan operator penaik yang dioperasikan pada fungsi gelombang tingkat dasar dan seterusnya. Sedangkan nilai energinya dalam sistem tertutup diperoleh dengan menggunakan sifat shape invariant. Kata Kunci: coulomb, metode supersymmetry, OH 3D, poschl-teller trigonometri, potensial non-sentral.

PENDAHULUAN Salah satu tugas penting dari mekanika kuantum adalah menemukan solusi yang tepat dan akurat dari persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu (Ballentine, 1999) (Gonul dan Kocak, 2005). Hal ini jelas bahwa mencari solusi yang tepat dari persamaan Schrödinger dengan metode biasa dan tradisional adalah mustahil untuk sistem fisika yang real, kecuali kasus-kasus tertentu seperti sistem atom hidrogen dan osilator harmonik (Gonul.B and Zorba, 2000 at all.). Dengan demikian, tidak dapat dihindari penggunaan metode baru untuk membantu kita memecahkan sistem fisika yang real. Di antara kasus-kasus di mana kita harus menolak metode biasa dan mencari metode baru, yakni dalam penyelesaian persamaan Schrödinger

dengan potensial non sentral. Adapun, metode yang berbeda yang digunakan untuk memecahkan persamaan Schrödinger dengan potensial non sentral antara lain, metode faktorisasi, metode NU (Salehi, 2011), supersimetri (SUSY QM) (Ikhdair and Sever, 2007), dan Romanovsky Polinomials (Suparmi at all, 2012). Supersymmetri, definisinya (Ranabir Dutt, 1988), adalah simetri antara fermion dan boson. Secara teori, supersimetri terdiri dari satu set bidang kuantum dan lagrangian, yang menunjukkan sifat simetri. Lagrangian ditentukan, melalui prinsip aksi persamaan gerak dan perilaku dinamis dari partikel. Teori supersimetri menggambarkan model partikel, dibuat dari medanvakum, dan interaksi antar partikel. Supersimetri memanifestasikan dirinya dalam spektrum partikel dan

194


dalam hubungan antara proses interaksi yang berbeda bahkan jika ini melibatkan partikel spin yang berbeda dan statistik yang berbeda. Akhir-akhir ini, beberapa penulis telah menyelidiki pemecahan persamaan Schrödinger dengan beberapa potensial, diantaranya potensial PoschlTeller (Chen, 2001), potensial Noncentral(Yasuk at all, 2005; Saregar at all, 2013) (Cari at all, 2014; Saregar, 2015), Potensial Hulthén plus Manning-Rosen (Meyur dan Debnath, 2009), potensial Rosen-Morse trigonometri plus Scarf (Meyur dan Debnath, 2010), potensial Eckart menggunakan metode NU (Gaudarzi, Vahidi, 2011) dan potensial Poschl-Teller trigonometri plus Rosen Morse dengan menggunakan polinomial Romanovsky (Gangopadhyaya, and Sukhatme, 1996). Dalam makalah ini, kami menyelidiki nilai eigen energi dan fungsi gelombang dari sistem potensial Non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, dan Coloumb, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus Pochl-Teller yang dianalisis menggunakan metode Supersimetri mekanika kuantum (SUSY). PoschlTellertrigonometri digunakan untuk menggambarkan getaran molekul, sedangkan Rosen-Morse trigonometri potensial digunakan untuk menggambarkan esensi dari QCD quarkgluon dinamis, dalamderajat kebebasan asymptot dari quark (Salehi, 2011). Fungsi gelombang sudut yang divisualisasikan menggunakan Maple 12. METODE PENELITIAN Tinjauan persamaan metode supersimetri mekanika kuantum Witten telah mendefiniskan SUSY mekanika kuantum sebagai suatu operator supermuatan 𝑄𝑖 yang komut dengan SUSY Hamiltonian (𝐻𝑠𝑠 ) dan operator

supermuatan tersebut merupakan penyusun dari Hamiltonian (Mustafa dan Kais, 2009), yaitu: [𝑄𝑖 , 𝐻𝑠𝑠 ] = 0, dimana i = 1, 2,3… (1) dan hubungan anti komut memenuhi {𝑄𝑖 , 𝑄𝑗 } = 𝛿𝑖𝑗 𝐻𝑠𝑠 , dimana 𝐻𝑠𝑠 adalah SUSY Hamiltonian, dan N adalah bilangan pembangkit. Operator super muatan 𝑄1dan𝑄2 dapat dihubungkan dengan spin = ½ partikel yang bergerak pada satu garis (Suparmi, 2011). Terutama pada sistem ini, 𝑄𝑖 dapat didefinisikan sebagai, 𝑄1 = 𝑄2 =

1 √2 1 √2

𝑝

(𝜎1 (𝜎2

√2𝑚 𝑝 √2𝑚

+ 𝜎2 ϕ(𝑥)) dan − 𝜎1 𝜙(𝑥))

(2)

Dengan 𝜎𝑖 merupakan matrik spin Pauli, 𝜕 dan 𝑝 = −𝑖ħ 𝜕𝑥 merupakan operator momentum linear. Sebagai contoh komponen 𝐻𝑠𝑠 ditulis sebagai 𝐻± . Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2) diperoleh:  2 d 2   2m dx 2 H ss     0  H     H    0

 2m

d ( x)   2 ( x) dx 

0

     d ( x) 2   ( x)  2m dx  0

2

2

 d  2m dx 2

......(3) dengan,

ℏ2 𝑑 2

𝐻− = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− (𝑥), dengan ћ

𝑉− (𝑥) = 𝜙 2 (𝑥) − 𝜙 ′ (𝑥) √2𝑚 dan,

(4a)

ℏ2 𝑑 2

𝐻+ = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉+ (𝑥), dengan 𝑉+ (𝑥) = 𝜙 2 (𝑥) +

ћ

√2𝑚

𝜙 ′ (𝑥)

(4b)

Dengan 𝐻− dan 𝐻+ didefinisikan sebagai pasangan Hamiltonian Penurun dan Hamiltonian Penaik, sedangkan 𝑉− (𝑥) dan 𝑉+ (𝑥) merupakan pasangan potensial supersimetri. Berdasarkan pers.(4a) dan (4b) persamaan Hamiltonian dapat difaktorkan menjadi, 𝐻− = 𝐴+ 𝐴 , dan 𝐻+ = 𝐴𝐴+ (5) ћ 𝑑 + dengan, 𝐴 = − + 𝜙(𝑥)dan 𝑑𝑥 √2𝑚

195


𝐴=

ћ

𝑑

√2𝑚 𝑑𝑥

+ 𝜙(𝑥)

(6)

Dengan, 𝐴+ disebut operator penaik (raising operator), dan 𝐴 sebagai operator penurun (lowering operator).

Potensial Shape Invariance Sepasang potensial supersimetri (SUSY), yaitu 𝑉− (𝑥) dan 𝑉+ (𝑥) dapat Dari model teori potensial yang diusulkan Witten bahwa Hamiltonian didefinisikan sebagai kuadrat dari operator supermuatan yang kemudian dikembangkan sebagai hasil kali operator penaik dan penurun sehingga diperoleh Hamiltonian supersimetrik yang merupakan sepasang Hamiltonian H+ dan H-. Sebagai akibatnya, masing-masing Hamiltonian terkait dengan potensial V+ dan V- dan ditunjukkan bahwa grafik dari kedua potensial tersebut mempunyai bentuk yang sama walaupun tidak berimpit. Karena kedua potensial mempunyai bentuk yang sama maka sistem kuantum yang terkait dikatakan sebagai shape invariant potential system (Suparmi,2011; Ballentine, 1999). Pada bagian berikut ini akan kita lihat bagaimana eigenspectra dan eigenstate (eigenfunction) dari sekelompok Hamiltonian satu dimensi (atau sistem kuantum yang mempunyai dimensi lebih tinggi yang dapat di reduksi ke sistem satu dimensi) dapat dijabarkan secara aljabar dengan menggunakan ide shapeinvariance dan terkait dengan metode faktorisasi. Hamiltonian dari suatu sistem dengan spectrum diskrit dinyatakan sebagai 𝑉+ (𝑥; 𝑎𝑗 ) = 𝑉− (𝑥; 𝑎𝑗+1 ) + 𝑅(𝑎𝑗+1 ) (7) dengan,𝑉+ (𝑥; 𝑎𝑗 ) = 𝜙 2 (𝑥, 𝑎𝑗 ) + ħ

√2𝑚

𝜙 ′ (𝑥, 𝑎𝑗 )

(8a) 𝑉− (𝑥; 𝑎𝑗 ) = 𝜙 2 (𝑥, 𝑎𝑗 ) −

ħ √2𝑚

𝜙 ′ (𝑥, 𝑎𝑗 )

(8b)

denganj = 0, 1, 2,.., sedangkan parameter a ditentukan secara rekursif (berturutan), 𝑎𝑗+1 = 𝑓(𝑎𝑗 ) dan 𝑅(𝑎𝑗 ) adalah konstanta yang tidak bergantung dengan x. Hubungan antara Hamiltonian Standar dan Hamiltonian SUSY dinyatakan sebagai, ħ2 𝑑2

𝐻 = 𝐻− + 𝐸0 = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− (𝑥; 𝑎0 ) + 𝐸0 (9) Berdasarkan pers. (9) diperoleh hubungan antara 𝑉(𝑥) dan 𝑉− (𝑥) sebagai berikut, 𝑉(𝑥) = 𝑉− (𝑥; 𝑎0 ) + 𝐸0 = ħ 𝜙 2 (𝑥, 𝑎0 ) − 𝜙 ′ (𝑥, 𝑎0 ) + 𝐸0 (10) √2𝑚

dimana𝑉(𝑥) sering dinyatakan sebagai Potensial Efektif (𝑉𝑒𝑓𝑓 ). Sedangkan 𝜙(𝑥) ditentukan dengan dugaan secara intelektual berdasarkan bentuk potensial efektif sistem terkait. Dengan mengulang prosedur sifat shape invariance, diperoleh generalisasi persamaan Hamiltonian sebagai berikut, ħ2 𝑑2

𝐻𝑘 = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− (𝑥; 𝑎𝑘 ) + ∑𝑘𝑖=1 𝑅(𝑎𝑖 ) , dengan k = 0, 1, 2,… (11) Dengan membandingkan pers. (8) dan (−) (9), diketahui bahwa 𝐸0 = ∑𝑘𝑖=1 𝑅(𝑎𝑖 ). Sehingga spektrum energi eigen nilai dari 𝐻− dapat digeneralisasi menjadi, (−) 𝐸𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑅(𝑎𝑘 ) (12) Maka berdasarkan persamaan eigen nilai diperoleh, (−) 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛 + 𝐸0 (13) dengan𝐸0 merupakan energi tingkat dasar pada pasangan hamiltonian penurun. Berdasarkan sifat operator penurun, maka persamaan fungsi gelombang tingkat dasar dapat diperoleh dari persamaan, (−) 𝐴𝜓0 = 0 (14) Sedangkan untuk fungsi gelombang tingkat atasnya satu dan seterusnya (𝜓𝑛− (𝑥; 𝑎0 )) dapat ditentukankan dengan menggunakan operasi berantai operator

196


penaik terhadap fungsi gelombang keadaan dasar 𝜓0− (𝑥; 𝑎0 ). Secara umum persamaan fungsi gelombang ini dapat dituliskan, − (𝑥; 𝜓𝑛− (𝑥; 𝑎0 ) ~𝐴† (𝑥; 𝑎0 )𝜓𝑛−1 𝑎1 ) (15) Potensial yang kami gunakan dalam penelitian ini adalah potensial non sentral hasil kombinasi potensial Poschl-Teller trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coloumb, dan OH 3D, serta potensial Rosen Morse trigonometri plus PochlTeller. Bentuk potensial non-sentral tersebut secara berurutan, ditunjukkan oleh persamaan, ћ2

𝑉(𝑟,𝜃) = 2𝑚𝛼2 (

𝜈(𝜈+1) 𝑟 𝛼

sin2 ( )

𝑟

ħ2

𝛼

2𝑚𝑟 2

2𝜇 cot( )) +

𝑉(𝑟,𝜃) = 𝑉(𝑟,𝜃) = 𝑏(𝑏−1) ) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

ћ2 2𝑚𝑟 2

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

+

𝑏(𝑏−1)

1

𝜕

𝑐𝑜𝑠2 𝜃

𝑟 2 sin 𝜃

)

ћ2

...(16)

...(18) 𝑎(𝑎−1)

𝜈(𝜈+1)

𝑟 𝑠𝑖𝑛2 ( ) 𝛼

+

𝑏(𝑏−1) 𝑟 𝛼

)+

𝑐𝑜𝑠2 ( )

𝜕𝜓

[

𝜕𝜓

𝜈(𝜈+1) 𝑟 𝛼

2𝑚𝛼2 sin2 ( ) ћ2 2𝑚𝑟 2

𝜕2 𝜓

1

(sin 𝜃 𝜕𝜃 ) + 𝑟 2 sin2𝜃 𝜕𝜑2 ] + 𝜕𝜃 𝑟

− 2𝜇 cot(𝛼)] 𝜓 +

𝑎(𝑎−1)

[ 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 +

Dari

𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

pers.(20)

] 𝜓 = 𝐸𝜓

diperoleh

..(20) persamaan

Schrodinger bagian fungsi bagian radial dan sudut dan adzimut, secara berurutan dalam bentuk, 1 𝜕 𝜕 𝜒 1 𝜈(𝜈+1) (𝑟 2 𝜕𝑟 ( 𝑟 ) ) − 𝑟𝛼2 [ 2 𝑟 − 𝑟 3 𝜕𝑟 sin ( )

( sin2𝜃 −

2𝜇 cot 𝜃) )

Bentuk persamaan Schrodinger untuk Potensial Rosen-Morse plus Poschl-Teller trigonometri dinyatakan, 1 𝜕

ħ2 𝑎(𝑎−1) 𝑏(𝑏−1) + 2𝑚𝑟2 ( 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 )...(17) ħ2 𝑎(𝑎−1) 1/2𝑚𝜔2 𝑟 2 + 2𝑚𝑟2 ( 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 +

ћ2

a. Penyelesaian Persamaan Schrodinger Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Rosen Morse Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri

− 2𝑚 [𝑟 2 𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕𝑟 ) +

𝑒2 −𝑟

𝑉(𝑟,𝜃) = 2𝑚𝛼2 (

HASIL DAN PEMBAHASAN

ћ2

−

𝑎(𝑎−1)

(

gelombang polar dan azimuth disatukan, menjadi fungsi gelombang sudut.

𝛼

....(19

Dalam penelitian ini fungsi gelombang, dan spektrum energi potensialNon-Sentral diselesaikan dengan metode SUSY. Potensial non central dimodifikasi menjadi PS menggunakan koordinat bola.Setelah PS terbentuk, dengan menggunakan pemisahan variabel diperoleh persamaan radial, polar dan azimuth.Persamaan radial dan polar yang diperoleh diselesaikan dengan metode SUSY, sedangkan persamaan azimuth diselesaikan dengan persamaan diferensial orde dua.Dari fungsi radial yang diselesaikan dengan metode SUSY, diperoleh fungsi gelombang radial dan tingkat energi, dari fungsi polar diperoleh fungsi gelombang polar.Fungsi

𝑟 2𝜇 cot(𝛼)] 𝜒

−

ћ2 𝑑 2 𝐻 2𝑚 𝑑𝜃2

ћ2 (𝑙(𝑙 2𝑚

+

−

𝑙(𝑙+1) 𝜒 𝑟3

ћ2 ( 2𝑚

+

2𝑚 𝐸𝜒 𝑟ћ2

1 𝑎(𝑎−1)+𝑚2 − 4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃

+

=0

.(21)

𝑏(𝑏−1) )𝐻 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

=

1

+ 1) + 4)……(22) 1

 = √2π eimφ

......(23)

Kemudian kita selesaikan persamaan bagian radial terlebih dahulu. Dari pers.(21) diperoleh potensial efektif dalam bentuk, 𝑉𝑒𝑓𝑓 =

ћ2 𝜈′(𝑣′+1) [ 𝑟 − 2𝑚𝛼 2 sin2 ( )

ћ2 𝑙(𝑙 2𝑚𝛼 2

𝛼

+ 1)𝑑0

𝑟 𝛼

2𝜇 cot( )] + ....(24) 1

dengan𝜈 ′ = √𝜈(𝜈 + 1) + 𝑙(𝑙 + 1) + 14 − 2 Dengan memasukkan potensial efektif pada pers (24) kedalam pers (2.14) diperoleh,

197


𝑟 ћ2 2𝜇 cot(𝛼)] + 2𝑚𝛼2 𝑙(𝑙

𝜈′(𝜈′+1) 𝑟 𝛼

sin2 ( )

+ 1)𝑑0 − 𝐸0

−

..(25)

dengan menggunakan dugaan yang tajam (yang telah terlatih), maka dimisalkan superpotensial dari pers (24) adalah, 𝑟 𝐵 𝜙(𝑥) = 𝐴 cot (𝛼) − 𝐴 (26)

Dari pers.(30), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral PoschlTeller trigonometri plus Rosen Morse, dalam bentuk,

En(eV)

ћ2

ħ

𝜙02 (𝑥) − (2𝑚)1/2 𝜙0′ (𝑥) = 2𝑚𝛼2 [

Dengan menggunakan pers. (2.9) dan (25) diperoleh

𝐴† = − −

ℏ 𝑑 √2𝑚 𝑑𝑟

ℏ 𝑑 2𝑚 𝑑𝑟 √

+ 𝜙(𝑟) =

ħ

−

+ 𝜙(𝑟) =

...(27a) ℏ 𝑑 √2𝑚 𝑑𝑟

−

𝑟

𝜇

𝐶 (sin (𝛼))

6

Gambar 1 menunjukan bahwa harga

...(27b) Sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasarnya ditulis, (−) 𝜓0 = (𝑣 ′ +1)

4

Gambar 1.Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Poschl Teller Trigonometri plus Rosen Morse , dengan m =1, 𝑛𝑙 = 1, μ =1, 𝑣 =2, dan 𝑛𝑟 = 0,1,2,3,4, 5.

((𝑣 ′ + 1) cot (𝛼) − (𝑣 ′ +1))

𝑟

2 nr

𝜇 ) +1)

ℏ 𝑑 √2𝑚 𝑑𝑟

1 𝛼(2𝑚)2

En'

𝛼(2𝑚)2

𝑟 𝛼

ħ

En

0

′ 1 ((𝑣 +

1) cot ( ) − (𝑣 ′ Dan 𝐴=

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

𝜇𝑟

bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m, 𝑛𝑙 , μ dan 𝑣 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas

exp (− 𝛼(𝑣′ +1))…..(28)

gangguan dari potensial Poschl Teller,

dengan menggunakan persamaan (2.19) kita peroleh fungsi gelombang sistem yang tereksitasi tingkat pertama yaitu

dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙,

𝜓1 (−) (𝑥; 𝑎0 )~𝐴† (𝑥; 𝑎0 )𝜓0− (𝑥; 𝑎1 )(29) dapat ditulis kembali solusi energi persamaan Schrodinger untuk potensial non sentral Rosen Morse plus PoschlTeller sebagai

potensial Rosen Morse akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller. Upaya mempermudah penyelesaian persamaan Schrodinger bagian sudut, dimisalkan,

ћ2

𝐸𝑛𝑟 = 2𝑚𝛼2 [(√𝜈(𝜈 + 1) + 𝑙(𝑙 + 1) + 14 + 𝑛𝑟 +

2 1 ) 2

ћ2

1

(𝑙(𝑙 + 1) + 4) 𝐻 = 𝐸𝐻 2𝑚

(31)

Potensial effektif dari potensial Resen + 𝑙(𝑙 + 1)𝑑0 −

Morse

plus

Potensial

Poschl-Teller

bagian sudut dituliskan sebagai

𝜇2 1

2]

(√𝜈(𝜈+1)+𝑙(𝑙+1)+14+𝑛𝑟 +2)

(30)

198


𝑎(𝑎−1)+𝑚2 −

ћ2

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 ((

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

Berdasarkan potensial

efektif

1 4

+

𝑏(𝑏−1) ) (32) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

bentuk

persamaan

tersebut,

maka

Sedangkan tereksitasi

…(33)

dicari

gelombang

menggunakan

Tabel 1. Hasil perhitungan fungsi gelombang polar potensial non sentral Poschl Teller plus Rosen Morse

Rosen morse plus Potensial Poschl-Teller 𝜙(𝜃) = 𝐴 tan 𝜃 + 𝐵 cot 𝜃

bisa

fungsi

operator penaik.

persamaan superpotensial untuk Potensial

bagian sudut dapat dimisalkan sebagai,

untuk

No

𝑃𝑛𝑙,𝑚,𝑎,𝑏n m a B a’ l

1 𝑃1000 1 0 0 0 0,5

Sehingga diperoleh spektrum energi untuk

P

 n (  ) ( ; a n ) sin 

(sin  )

2

 2(cos  ) 2



sistem Poschl-Teller yaitu, ℏ2

𝐸𝑛 = 2𝑚 (𝑏 + 𝑎′+2𝑛)2

…(34) 1

dengan 𝑎′ = √𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚2 + 2 Dengan menggunakan parameter berorde energi yang sama dengan eigen nilai dari kuadrat momentum sudut seperti yang dinyatakan pada pers. (34) maka diperoleh bilangan kuantum sudut yang dinyatakan

2 𝑃1024 1 0 2 4 1,91

9.(sin )

2

 (4,83)(cos )2

(cos ) (sin  ) 4

sebagai, 1

1, 41

1

(𝑙(𝑙 + 1) + 4) = (√𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚2 + 2 + 𝑏+2𝑛)2

Maka 𝑙 = √𝑎(𝑎 − 1) + 𝑚2 + 𝑏 + 2𝑛 (35) Selanjutnya, dengan menggunakan operator

penurun

ditentukan

fungsi

gelombang tingkat dasar untuk potensial non-sentral Rosen Morse plus PoschlTeller bagian sudut, yang bentuknya 𝜓0 (−) = 𝐶(cosθ)𝑏 (𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑎′ = (cosθ)𝑏 (𝑠𝑖𝑛𝜃)√𝑎(𝑎−1)+𝑚

2 +1 2

…..(36)

Tabel 1. menunjukkan bentuk fungsi gelombang polar berkaitan dengan arah momentum sudut spin elektron serta melukiskan ketergantungan rapat probabilitas pada sudut. Secara umum definisi fungsi gelombang polar sama dengan fungsi gelombang radial yaitu



199


b. Penyelesaian Persamaan Schrodinger Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Coulomb Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, ћ2 𝜕2 𝜒

ћ2 𝑙(𝑙+1)

− 2𝑚 𝜕𝑟 2 + 2𝑚 ћ2 𝑑2 𝐻

ћ2

𝜒 = 𝐸𝜒 (37)

𝑟2 𝑟 1 𝑎(𝑎−1)+𝑚2 −

− 2𝑚 𝑑𝜃2 + 2𝑚 (

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

4

ћ2

𝑏(𝑏−1) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

𝜒−

𝑒2

+

1

) 𝐻 = 2𝑚 (𝑙(𝑙 + 1) + 4) 𝐻 1

 = √2π eimφ

(39)

𝑒2

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 𝑟 2 − 𝑟 (40) Dengan permisalan superpotensialnya, 𝐵 𝜙(𝑥) = 𝐴 + 𝑟 (41) sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk, 𝑚𝑟 𝜓0 (−) = 𝐶𝑟 (𝑙+1) 𝑒𝑥𝑝 (− ћ2 (𝑙+1) 𝑒 2 ) (42) dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk, 𝜓1 (−) (𝑥; 𝑎0 ) = (𝑙+2) ℏ 𝑚 𝑚 − 2𝑚 {( 𝑟 ) − ћ2 (𝑙+2) 𝑒 2 − ћ2 (𝑙+1) 𝑒 2 + √ (𝑙+1) 𝑟

2 𝑟 +1)

𝑒4

(44)

dari pers.(44), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral PoschlTeller trigonometri plus Coulomb, dalam bentuk, 0 -1

0

2

4

6

-2 -3 En -4

En'

-5 -6 -7

nr

Gambar 2. Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Poschl Teller Trigonometri plus Coulomb, dengan m =1,𝑛𝑙 = 1,dan 𝑛𝑟 = 0,1,2,3,4, 5.

(38)

Penyelesaian bagian radial pada poin b, sehingga diperoleh potensial effektif, ћ2 𝑙(𝑙+1)

𝑚

𝐸𝑛𝑟 = − 2ћ2 (𝑙+𝑛

En (eV)

menyatakan probabilitas ditemukan elektron, namun keduanya memiliki perbedaannya pada pergerakannya jika fungsi gelombang radial berkaitan dengan menjauh atau mendekatnya elektron dari inti, maka fungsi gelombang polar berkaitan dengan putaran elektron terhadap inti.

𝑚𝑟

} {𝐶𝑟 (𝑙+2) 𝑒𝑥𝑝 (− ћ2 (𝑙+2) 𝑒 2 )}

(43) dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb,

Gambar 2, menunjukkan bahwa harga bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m dan 𝑛𝑙 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Poschl Teller, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial Coulomb akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller. Sedangkan penyelesaian persamaan schrodinger potensial Coulomb plus Poschl-Teller trigonometri bagian sudut hasilnya sama dengan penyelesaian bagian sudut potensial Poschl Teller trigonometri pada poin a, sehingga tidak perlu dijabarkan kembali pada bahasan ini. c. Penyelesaian Persamaan Schrodinger Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial OH 3D Plus Potensial Poschl-Teller trigonometri dengan Menggunakan Metode Supersimetri

200


Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, ћ2 𝑙(𝑙+1) 𝜒 𝑟2

1

= 𝐸𝜒

(45) −

ћ2 𝑑 2 𝐻 2𝑚 𝑑𝜃2

ћ2 (𝑙(𝑙 2𝑚

2 ћ2 𝑎(𝑎−1)+𝑚 −4 𝑏(𝑏−1) + ( )𝐻 2𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

+ 1) + 1 2π

1 )𝐻 4

=

5

(46)

0

ћ2 𝑙(𝑙+1) 𝑟2

(48)

Dengan permisalan superpotensialnya, 𝐵

𝜙(𝑥) = 𝐴𝑟 + 𝑟

(49)

Sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk, 𝜓0 (−) = 𝐶𝑟 (𝑙+1) 𝑒𝑥𝑝 (−

1 𝑚𝜔𝑟 2 ) 2 ħ

(50)

Dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk,

2

En'

2

(47)

1

(𝑥; 𝑎0 ) =

En

0

eimφ

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2 𝑚𝜔2 𝑟 2 + 2𝑚

3

15 10

Penyelesaian bagian radial pada poin c, sehingga diperoleh potensial effektif,

𝜓1

20

1

+

=√

(−)

25

En (eV)

ћ2 𝜕 2 𝜒

− 2𝑚 𝜕𝑟2 + 2 𝑚𝜔2 𝑟 2 𝜒 + 2𝑚

30

2ℏ √2𝑚

)} {𝐶𝑟 (𝑙+1) 𝑒𝑥𝑝 (−

𝑚𝜔𝑟 2

{

ħ 1 𝑚𝜔𝑟 2 2

ħ

− (𝑙 + )}

(51)

dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb yaitu, 3 2

𝐸𝑛𝑟 = ħ𝜔 (2𝑛𝑟 + 𝑙 + )

(52)

dari pers.(52), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral PoschlTeller trigonometri plus OH 3D, dalam bentuk

4

6

nr Gambar 3. Grafik Tingkat Energi Potensial Non Sentral Poschl Teller Trigonometri plus OH 3D, dengan m =1, 𝑛𝑙 = 1, dan 𝑛𝑟 = 0,1,2,3,4, 5.

Gambar 3, menunjukkan bahwa harga bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan m dan 𝑛𝑙 konstan. Basarnya nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Poschl Teller, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial OH 3D akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Poschl Teller. d. Penyelesaian Persamaan Schrodinger Potensial Non-Sentral Kombinasi Potensial Rosen Morse trigonometri Plus Potensial Poschl-Teller dengan Menggunakan Metode Supersimetri Mengikuti prosedur pada poin a, diperoleh persamaan Schrodinger bagian radial, sudut, dan adzimut, secara berurutan ditulis, ћ2 𝜕 2 𝜒

ћ2

𝑎(𝑎−1)

− 2𝑚 𝜕𝑟 2 + 2𝑚𝛼2 (

𝑟 𝛼

𝑠𝑖𝑛2 ( )

𝑏(𝑏−1)

ћ2

) 𝜒 + 2𝑚𝛼2 𝑙(𝑙 + 1)𝑑0 𝜒 =

𝑟 𝑐𝑜𝑠2 ( ) 𝛼 ћ2

− 2𝑚 𝜖 2 𝜒 −

2

ћ

𝑑2𝐻

2𝑚 𝑑𝜃 2

ћ2 2𝑚

+

+

(53) 2

ћ

2𝑚

1

(

𝜈(𝜈+1)+𝑚2 −4

1

(𝑙(𝑙 + 1) + ) 𝐻 4

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

− 2𝜇 cot 𝜃) 𝐻 =

(54)

201


1

 = √2π eimφ

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2

ћ

2𝑚𝛼 2

𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1)

2𝑚𝛼 2

(

𝑟 𝛼

𝑠𝑖𝑛2 ( )

+

𝑏(𝑏−1) 𝑟 𝛼

)+

𝑐𝑜𝑠 2 ( )

𝑙(𝑙 + 1)𝑑0

(56)

dengan permisalan superpotensialnya, 𝑟 𝑟 𝜙(𝑥) = 𝐴 tan (𝛼) + 𝐵 cot(𝛼) (57) Sehingga diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar, dengan bentuk, 𝜓0 (−) = 𝑏

𝑟

1 2

√𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1)+1 4+

𝑟

𝐶 (cos ( )) (𝑠𝑖𝑛 ( )) 𝛼

dan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, dengan bentuk, ℏ

𝑟

2

𝑟

𝛼√2𝑚

{[(2𝑏 + 1) (𝑠𝑖𝑛 ( )) − 𝛼

2

(2𝑎′ + 1) (cos ( )) ]} 𝛼

𝑏

𝑟

𝑟

√𝑎(𝑎−1)+𝑙(𝑙+1)+1 + 4

{𝐶 (cos ( )) (𝑠𝑖𝑛 ( )) 𝛼

𝛼

1 2

} (59)

Dan dengan proses yang sama pada poin a, maka diperoleh spektrum energi untuk sistem Coulomb yaitu, ћ2

𝐸𝑛𝑟 = 2𝑚𝛼2 (√𝑎(𝑎 − 1) + 𝑙(𝑙 + 1) + 14 + 1

2

ћ2

𝑏 + 2𝑛𝑟 + 2) + 2𝑚𝛼2 𝑙(𝑙 + 1)𝑑0

6000 4000

En

2000

En'

0 0

2

4

6

nr Gambar 4.Grafik tingkat energi potensial non sentral Rosen Morse trigonometri plus Poschl Teller, dengan 𝑣 = 0, 1,2,3, … m =0, 𝑛𝑙 = 0,1,2,3 …, dan 𝑛𝑟 = 0,1,2,3,4, 5.

(58)

𝛼

𝜓1 (−) (𝑥; 𝑎0 ) =

8000

En (eV)

Penyelesaian bagian radial pada poin d, sehingga diperoleh potensial effektif, ћ2

10000

(55)

(60)

dari pers.(60), diperoleh grafik tingkat energi untuk potensial non-sentral PoschlTeller plus Rosen morse trigonometri, dalam bentuk

Gambar 4, menunjukkan bahwa harga bilangan kuantum orbital dipengaruhi oleh nilai 𝑙, dengan En adalah energi tidak terganggu dan En’ adalah energi terganggu. Nilai 𝑙 menentukan kapasitas gangguan dari potensial Rosen Morse, dalam hal ini, semakin besar harga 𝑙, potensial Poschl Teller akan mengalami gangguan yang semakin besar dari potensial Rosen Morse. SIMPULAN DAN REKOMENDASI Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa: 1. Potensial non sentral kombinasi dari potensial Poschl Teller Trigonometri plus potensial Rosen Morse, Coulomb, dan Osilator Harmonik 3D, serta kombinasi potensial Rosen Morse plus Poschl Teller untuk kelompok potensial shape invariance dapat diselesaikan dengan metode SUSY. 2. Hasil penyelesaian secara analitik dari Potensial non-sentral pada poin 1, dapat divisualisasikan dengan simulasi komputasi menggunakan software Maple 12. Berdasarkan kesimpulan implikasi sebelumnya,

dan dapat

202


dikemukakan beberapa saran sebagai berikut: 1. mengkaji bentuk potensial lain dan menyimpulkan potensial mana yang menghasilkan tingkatan energi yang lebih tinggi. 2. Pengkajian lebih mendalam hasil teori terhadap Fisika terapan, misalnya material.

DAFTAR PUSTAKA Ballentine. (1999) Quantum mechanics, Simon Fraser University Cari, Suparmi, Saregar, A., Solution of the Schrödinger Equation for Trigonometric Scarf Plus PoschlTeller Non-Central Potential Using Supersymmetry Quantum Mechanics. Indonesian Journal of Applied Physics. ISSN:2089 – 0133 Vol. 04 No.1 (2014) PP 1-13. Chen. C.Y and Dong. S. H. (2005). Exactly complete solutions of the Coulomb potential plus a new ring-shaped potential, Phys. Lett. A 335 (2005) 374 Chen G. (2001). Acta Phys. Sinica, 50 (2001), 1651. Combescure M., Gieresand F., and Kibler M. (2004). Are n = 1 and n = 2 supersymmetric quantum mechanics equivalent? Journal of Physics A: Mathematical and General, 37(43):10385–10396. Dutt. R, Gangopadhyaya. A, and Sukhatme. UP. (1996). [arXiv: hep-th/9611087v1], Non Central Potentials and Spherical Harmonics Using Supersymmetry and Shape Invariance, Department of Physics, Visva-Bharati University, India El Kineni A.H., and M. Daoud. (2001) Coherent States a la KlaudePerelomov for the Poschl-Teller

potentials, Phys. Lett. A 283 (2001) 291-299 Gaudarzi H., Vahidi V. (2011) Supersymmetric Approach for Eckart Potential Using the NU Method.Adv. Studies Theor. Phys., Vol. 5, 2011, no. 10, 469 – 476, Urmia University, Iran Gonul.B and Zorba, I. (2000). Phys. Lett. A Vol 269 (2000) 83-88, Supersymmetric Solution of NonCentral Gonul.B and Kocak. M. (2005). [arXiv: quant-ph/0409085v3], Systemic Search of Exactly Solvable NonCentral Potentials, Department of Engineering Physics, Gaziantep University, Turkey Ikhdair. SM and Sever. R. (2007). [arXiv : quant-ph/0702186v1], Polynomial Solution of Non Central Potentials, Department of Physics, Near East University, Turkey Infield. L and Hull.TD, Rev. Mod Phys.23 (1951) 21 E. Schrödinger, Proc.R. Irish Acad. A46(1940) 9 Metin Aktas. (2007). Exact solutions to a new generalized non-central potential in three dimensions, arXiv: quant-ph /0701063v1. Meyur, S., Debnath, S. (2009). Solution of the Schrödinger equation with Hulthén plus Manning-Rosen potential, Lat. Am. J. Phys. Educ. 3, 300-306. Meyur. S., Debnath. S. (2010). Eigen spectra for Woods-Saxon plus Rosen-Morse potential, Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 4, No. 3, Sept. Mustafa.M and Kais. M. (2009). (arXiv : math-ph/4206v2), A Vann Diagram for Supersymmetric, Exactly Solvable, Shape Invariant, and Infield-Hull Factorizable Potentials, Department of Physics, Purdue University


Quan H.X., Guang L., Min W.Z., Bin N.L, and Yan. M. (2010). Solving Dirac Equation with New Ring-Shaped Non Spherical Harmonic Oscillator Potential, Com. Theor. Phys. (China) 53 (2010) 242 Ranabir Dutt, Avinash Khare, and Uday P. Sukhatme. (1988). Supersymmetry, shape invariance, and exactly solvable potentials. American Journal of Physics, 56(2):163–168. Salehi. (2011). Determine the eigen function of Schrodinger equation with non-central potential by using NU method, App. Math. 2 (2011) 999-1004 Salehi. H. (2011). Aplied Mathematics, Determine the Eigen Function of Schrödinger Equation with NonCentral Potential by Using NU Method, Department of Physics, Shahid ChamranUniversity, Iran Sadeghi. J and Pourhassan. B. (2008). Electronic Journal of Theoretical Physics, Exact Solution of the Non - Central Modified Kratzer Potential Plus a Ring - Shaped Like Potential by The Factorization Method, Sciences Faculty Department of Physics, Mazandaran University, Iran Saregar, A., Suparmi, Cari, Yuliani, H. (2013). Analysis of Energy Spectra and Wave Function of Trigonometric Poschl-Teller plus Rosen Morse Non-Central Potentials Using Supersymmetric

203

Quantum Mechanics Approach, Research Inventy International Journal Engineering and Science. ISSN:2278-4721, Vol.2 Issue 3 (2013), PP 14-26. Saregar, A. (2015) Solution of Schrödinger Equation for PoschlTeller Plus Scarf Non-Central Potential Using Supersymmetry Quantum Mechanics Aproach. Jurnal Ilmiah Pendidikan Fisika Al-‘BiRunNi’. ISSN: 2303-1832, Vol. 4, No. 1. pp 25-35 Sohnius M.F. (1985). Introducing Supersymmetry (Cambridge CB3 9EW, NHC: England. Suparmi, Cari, Handika. J., Yanuarif. C., Marini. H. (2012). IOSR Journal of Applied Physics.Approximate Solution of Schrodinger equation for Modified Poschl-Teller plusTrigonometric Rosen Morse Non-Central Potentials in Terms of Finite Romanovski Polinomials, Department of Physics, Sebelas Maret Universitas Indonesia. Suparmi. (1992). Dissertation, Semiclassical SUSY approace in Quantum Mechanics, (Unpublished Doctoral dissertation) Department of Physics, Suny at Albany. USA. Yasuk. F., Berkdemir C., Berkdemir A. (2005). Phys. A: Math. Gen, 38, pp 6579-6586. Potetials, Department of Engineering Physics, Gaziantep University, Turkey

ANALISIS SPEKTRUM ENERGI DAN FUNGSI GELOMBANG POTENSIAL NON-CENTRAL MENGGUNAKAN SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM

Recommend Documents