Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan Metode Hipergeometri 1)
Suparmi1), Nurhayati1,2), Viska Inda Variani1), dan Cari1) Program Studi Ilmu Fisika, Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta 2) Program Studi Pendidikan Fisika STKIP PGRI Pontianak e-mail:
[email protected] Diterima 2 Maret 2012 disetujui untuk dipublikasikan 29 Mei 2012
Abstrak Perilaku partikel atomik dapat dipahami dengan jelas bila energi dan fungi gelombang dari partikel tersebut diketahui. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse dianalisis menggunakan metode hipergeometri. Persamaan Schrödinger untuk potensial Rosen Morse diubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan substitusi variabel dan parameter secara tepat. Spektrum energi diperoleh secara eksak dan fungsi gelombang dinyatakan dalam bentuk polinomial hipergeometri. Grafik potensial efektif dengan spektrum energi, fungsi gelombang tingkat dasar, tingkat pertama dan kedua serta rapat probabilitasnya divisualisasikan dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0. Kata kunci: Hipergeometri, Potensial Rosen Morse, Spektrum energi, Fungsi gelombang. Abstract Behavior of atomic particles can be clearly understood if the energy and wave functions of the particle are known. Energy spectrum and wave functions for particles governed by the Rosen Morse potential are analyzed using hypergeometric method. Schrödinger equation of Rosen Morse potential is reduced into a second order differential equation of hypergeometric function by appropriate variable and parameters substitution. Energy spectrum is exactly obtained in the closed form and the wave functions are expressed in the form of hypergeometric polynomials /series. The graphs of the effective potential with the energy levels, groundstate, first and second excited wave functions and its density probabilities are visualized using Delphi 7.0. Keywords: Hypergeometry, Rosen Morse potential, Energy spectrum, Wave function. 1. Pendahuluan
metode faktorisasi (Amani dkk., 2011), persamaan diferensial tipe hipergeometri (Greiner, 1989; Taskin dan Kocak, 2010), metode NU (Nikiforov dan Uvarov, 1988; Ikot dan Akpabio, 2010). Persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu yang dapat diselesaikan secara eksak mempunyai peran yang sangat penting dalam mekanika kuantum karena spektrum energi dan fungsi gelombang yang diperolehnya memberikan informasi yang akurat tentang perilaku dari partikel. Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk osilator harmonik satu dimensi (OH 1D) dan untuk atom H juga dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dan hipergeometri confluent (Greiner, 1989). Metode penyelesaian persamaan Schrödinger yang banyak digunakan dalam dasa warsa terakhir adalah metode NU dan SUSY Mekanika Kuantum plus ide shape invariance. Metode NU, dikembangkan oleh A. F. Nikiforov dan V. B. Uvarov (Nikiforov dan Uvarov, 1988), adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger dengan potensial tertentu melalui substitusi variabel dan parameter sehingga persamaan Schrödinger tereduksi menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri (persamaan tipe hipergeometri) dan dalam makalah ini disebut sebagai metode hipergeometri. Karena persamaan
Mekanika kuantum adalah suatu teori untuk mendeskripsikan perilaku partikel-partikel kecil seperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan molekul (Fitts, 2002). Sejak abad kedua puluh, para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum. Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang dipelopori oleh Bohr, Heisenberg, Schrödinger dan teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada tahun 1926, Edwin Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang (Flugge, 1977). Persamaan diferensial tersebut kemudian dikenal dengan persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger sekarang menjadi tulang punggung dalam memahami fenomena kuantum secara konsepsional dan matematika. Dalam dua puluh tahun terakhir, para ilmuwan dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape invariant”. Potensial-potensial ini dapat diselesaikan secara eksak dengan SUSY Mekanika Kuantum plus ide shape invariance (Cooper, Khaer, dan Sukhatme, 1994; Goudarzi dan Vahidi, 2011; Sheng dkk., 2001)
71
72
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
tipe hipergeometri mendasari penyelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa cara yang lain dan juga sudah diaplikasikan pada dua potensial yang sangat familiar dalam kuantum, OH 1D dan atom H, dalam buku-buku kuantum untuk mahasiswa tingkat sarjana jurusan fisika, maka perlu dikaji aplikasinya untuk potensial shape invariance dan non-shape invariance. Potensial-potensial shape invariance tersebut diantaranya potensial Kratzer (Sadeghi dan Pourhassan, 2008), potensial Eckart (Goudarzi dan Vahidi, 2011) potensial Poschl Teller (Flugge, 1977; Inomata dan Kayed, 1985), potensial Poschl-Teller termodifikasi (Flugge, 1977), potensial Hulthen, (Ikhdair, 2012) potensial Manning Rosen (Meyur dan Dednath, 2009), potensial Rosen Morse (Ikot dan Akpabio, 2010; Amani dkk., 2011). Pada makalah ini disajikan penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse hiperbolik (RMH). Spektrum energi dan fungsi gelombang dari potensial RMH dianalisis menggunakan persamaan diferensial fungsi hipergeometri. Potensial RMH ini mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan gaya-gaya antar atom atau molekul (Ikot dan Akpabio, 2010) dan juga sebagai kandidat yang akan digunakan untuk mendiskripsikan quark dalam quantum chromo-dynamics (Castillo, 2009) disamping potensial Rosen Morse trigonometrik. Dengan diketahuinya variabel yang disubstitusikan pada persamaan Schrödinger untuk potensial RMH sehingga berubah menjadi persamaan tipe hipergeometri, maka diharapkan dapat memberi inspirasi untuk substitusi variabel pada sistem potensial yang lain sehingga ditemukan spektrum energi dan fungsi gelombangnya. Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu dapat ditemukan dengan cara mengubahnya menjadi persamaan diferensial tipe hipergeometri dengan melalui substitusi variabel, parameter dan fungsi gelombang yang langkahlangkahnya mirip dengan langkah-langkah pada penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial untuk atom H yang pemecahannya menggunakan penyelesaian pendekatan di sekitar titik-titik istemewa, yang mencakup titik-titik ordinary atau regular singular, dengan menggunakan persamaan diferensial Frobenius (Arfken, 2005). Persamaan diferensial hipergeometri yang diusulkan oleh Gaub (Greiner, 1989) dinyatakan sebagai z (1 - z )
d 2f dz 2
+ (c - (a + b + 1)z )
df - abf = 0 dz
(1)
Persamaan (1) mempunyai dua buah titik reguler singular yaitu di titik z = 0 dan z = 1. Persamaan (1) dapat diselesaikan dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0 yaitu, F = zs
å an z n
(2)
Penyelesaian umum bentuk persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri (Greiner, 1989) (PDO-H) pada persamaan (1) yang diperoleh dengan cara memasukkan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) adalah 2 F1
(a, b; c; z ) = F(z ) = å k = 0
= 1+
(a )k (b)k k !(c )k
zk
abz a(a + 1)b(b + 1)z 2 + c 1! c(c + 1)2!
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2)z 3 + + ... c(c + 1)(c + 2)3!
(3)
di mana
(a )k = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)...(a + k - 1) (a )0 = 1
(4.a) (4.b)
dengan harga s yang di pilih sama dengan nol, s = 0. Persamaan (3) mempunyai harga bila semua penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka c ≠ -n, di mana n = 0, 1, 2,...... Jika a = -n atau b = -n, maka penyelesaian yang berupa deret pada persamaan(3) menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian bentuk deret yang berhingga yaitu polynomial pangkat n dan diperoleh tingkat energi ke n. Karena dari persamaan (1) dapat diperoleh fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem yang dipengaruhi oleh potensial tertentu, maka persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu harus diubah menjadi persamaan (1) dengan melalui substitusi variabel dan/atau parameter. Dalam makalah ini energi potensial sistem merupakan fungsi hiperbolik yang merupakan fungsi posisi sudut dengan satuan radian yang diperoleh dari fungsi eksponensial sederhana yaitu tanh x = cosh x =
e x - e- x e x + e- x
dan
e x + e- x x merupakan variabel posisi sudut 2
dengan satuan radian dengan rentang -¥ < x < ¥ . Dalam makalah ini hanya dibahas potensial Rosen Morse hiperbolik (RMH) bentuk khusus (sederhana) di mana harga q sama dengan satu. Bila q ¹ 1 maka fungsi sinhq x merupakan fungsi sinh x yang umum atau juga disebut fungsi sinh x yang terdeformasi. Fungsi gelombang dan spektrum energi yang akan dianalisis dengan menggunakan metode Hipergeometri adalah potensial RMH dengan energi potensial dinyatakan sebagai Veff = -
h 2 æ v(v + 1) ö - 2q tanh x ÷ ç 2m è cosh 2 x ø
(5)
Persamaan Schrödinger untuk potensial RMH dinyatakan sebagai -
h 2 d 2 Y h 2 æ v (v + 1) ö - 2q tanh x ÷Y = EY (6) ç 2m dx 2 2m è cosh 2 x ø
dengan 0 £ q < v (v + 1) .
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2 Persamaan (6) akan dianalisis dengan metode Hipergeometri maka persamaan (6) harus diubah menjadi persamaan yang bentuknya sama dengan persamaan (1) dengan cara mensubstitusikan variabel yang sesuai. Substitusi varabel ini terinspirasi dari pengubahan variabel pada formula SUSY WKB (Inomata dkk., 1991) dan pengubahan persamaan Schrödinger untuk potensial Poschl-Teller I yang diselesaikan dengan persamaan diferensial hipergeometri (Flugge, 1977). Dengan mensubstitusikan variabel tanh x = 1 – 2z (7) di mana untuk x = -¥ , z = 1 dan x = ¥, z = 1 ke dalam persamaan (6) maka diperoleh z (1 - z )
d 2Y dz 2
+ (1 - 2 z )
dY dz
dengan k 2 =
2m 2
c¢ = 2a + 1 dan penyelesaian persamaan (11) adalah f1 ( z ) = 2 F1 (a¢, b¢; c¢; z ) =
2
a 2 (1 - z )
z a (1 - z )b {
h Persamaan (8) merupakan persamaan diferensial orde dua yang mempunyai dua buah titik regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Seperti pada penyelesaian persamaan diferensial bagian radial atom hidrogen (Greiner, 1998), maka penyelesaian pendekatan persamaan (8) di sekitar titik z = 0 adalah
(9b)
Dari kedua penyelesaian pendekatan diperoleh penyelesaian umum yang merupakan hasil kali antara penyelesaian pendekatan dengan suatu fungsi yang dituliskan sebagai Y = z (1 - z ) f ( z )
(9)
Dengan memasukkan persamaan (9) ke dalam persamaan (8) dan dengan melakukan substitusi parameter yang juga terinspirasi oleh substitusi parameter pada potensial Poschl-Teller (Flugge, 1977) 2q - k = 4a 2
2
(10a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(10b)
maka persamaan (8) berubah menjadi z (1 - z ) f ¢¢( z ) + {(2a + 1) - (2a + 2b + 2 )z} f ' ( z ) +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(11)
Bentuk persamaan (11) sama dengan bentuk persamaan (1) maka persamaan (11) mempunyai penyelesaian yang sama bentuknya dengan persamaan (3). Dengan membandingkan persamaan (11) dengan persamaan (1) diperoleh a ¢ = a + b - v, b ¢ = a + b + v + 1 (12a) dan
b 2z 1- z
f+
(15)
Setelah disederhanakan persamaan (15) menjadi z(1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ + {
a2 z
-a2 - b 2 +
b2 1- z
+ v(v + 1) -
2q - k 2 4z
- 2q - k - (2ab + a + b )} f = 0 4(1 - z ) 2
(9a)
b
z
f - (2ab + a + b ) f +
ìï 4a 2 4 b 2 üï a b ív(v + 1) ý z (1 - z ) f = 0 4 z 4(1 - z ) ïþ ïî
dan di sekitar titik z = 1 adalah
a
(13)
[(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z] f ¢ + z(1 - z ) f ¢¢} +
E
Y ~ (1 - z )b
(a¢) n (b¢)n z n (c¢) n n!
Cara lain untuk mengubah persamaan Schrödinger menjadi persamaan tipe hipergeometri. Persamaan (9) dimasukkan ke persamaan (8) diperoleh
üï ýY = 0 ïþ
Y ~ za
¥
ån = 0
(12b)
Fungsi gelombang pada persamaan (13) ada hanya bila c¢ = 2a + 1 ¹ 0 dan spektrum energi untuk potensial RMH diperoleh dari kondisi bahwa harga, a ¢ = - n sehingga dari persamaan (12a) diperoleh (14) a + b - v = -n
(8)
ìï 2q - k - 2q - k + ív(v + 1) 4z 4(1 - z ) ïî 2
73
(16)
Dengan menolkan pembilang pada suku yang berpenyebut z dan (1-z) pada grup suku terakhir persamaan (16) diperoleh 2q - k 2 = 4a 2
(17a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(17b)
dan persamaan (16) menjadi z (1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(18)
yang merupakan persamaan diferensial fungsi hipergeometri. Penyelesaian dengan cara ini mengarahkan kita bahwa persamaan Schrödinger untuk sembarang potensial yang shape invariance dan non-shape invariance selalu dapat diubah menjadi persamaan tipe hipergeometri selama fungsi gelombangnya dimisalkan seperti pada persamaan (8). 2. Metode Penjabaran fungsi gelombang dan spektrum energi untuk potensial RMH menggunakan metode hipergeometri dilakukan dengan beberapa langkah. Langkah pertama yaitu menentukan persamaan Schrödinger untuk potensial Rosen Morse yang dinyatakan pada persamaan (6). Selanjutnya mencari substitusi variabel yang sesuai yaitu yang dinyatakan
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
74
pada persamaan (7) agar persamaan Schrödinger berubah menjadi persamaan diferensial orde dua perantara pada persamaan (8). Langkah ketiga melakukan substitusi parameter yang dinyatakan pada persamaan (10a) dan (10b) dan fungsi gelombang yang diperoleh dari penyelesaian pendekatan di sekitar titik regular singular z = 0, persamaan (9a) dan z = 1, persamaan (9b) pada persamaan (8) sehingga berubah menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri persamaan (11). Dengan membandingkan persamaan (11) dan (1) dan menggunakan persamaan (14) diperoleh fungsi gelombang seperti pada persamaan (13) sebagai
(a¢, b¢; c¢, z ) = 2 F1 (- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z ) 2 F1
(- n )k (n + 2a + 2b + 1)k z k (2a + 1)n k! (- n )(n + 2a + 2 b + 1) z k = [1 +
= åk =0 n
+ 2a + 1 k! (- n )(- n + 1)(n + 2a + 2b + 1)(n + 2a + 2 b + 2) z 2 + ...] (2a + 1)(2a + 2) 2! (19) Persamaan gelombang secara lengkap diperoleh dengan memasukkan persamaan (10a), (10b), (14) dan (19) ke dalam persamaan (9). Fungsi gelombang dasar diperoleh dari kondisi bahwa n = 0, sedangkan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, kedua, ketiga,… diperoleh dari kondisi n = 1, 2, 3, … pada persamaan (9) dan (19). Dengan menggunakan persamaan (8a), (10a), (10b) dan (14) diperoleh spektrum energi potensial RMH. Dengan menentukan nilai-nilai dari variabel q dan v maka spektrum energi dari potensial Rosen Morse dapat dihitung secara analitik. Fungsi gelombang tingkat dasar, tingkat tereksitasi dan rapat probabilitasnya divisualisasikan dengan excel atau pemrograman Delphi 7.0.
3. Hasil dan Pembahasan Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b) dan (14) diperoleh
k2 = -
q2 2 - (v - n) (v - n )2
(20)
h 2 ì q2 2ü + (l ¢ - n ) ý í 2 2m î (v - n ) þ
1æ 2è
q ö ÷ v-nø
(22a)
1æ 2è
q ö ÷ v-nø
(22b)
a = çv - n + b = çv - n -
Deret hipergeometri diperoleh dengan menggunakan persamaan (19), (22a), dan (22b) yaitu 2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(22c)
Persamaan fungsi gelombang untuk sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial RMH diperoleh dari persamaan (9), (19) dan (22) sebagai Y ( x) = Y ( z ) = Cn ( z )a (1 - z )b x 2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(23)
Fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh dari persamaan (23) untuk n = 0, sedangkan fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama, kedua,… diperoleh dari persamaan (23) dengan n = 1, n = 2,…. Dari persamaan (7) dan (23) diperoleh fungsi gelombang tingkat dasar sebagai v
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö Y0 ( x) = ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø è ø
-
q v
(24)
untuk n = 1
Bila persamaan (20) dimasukkan ke dalam persamaan (8a) maka diperoleh spektrum energi sistem yaitu
En = -
h2 = 1 dan harga n 2m yang bervariasi. Bila harga q = v = 10, maka menurut persamaan (21) harga tingkat energi untuk n = 0 sama dengan untuk n = 9 yaitu E = (102 – 12) satuan, (Tabel 1). Demikian juga untuk v = 8, q = 10, menurut persamaan (21) harga tingkat energi untuk n = 1 sama dengan untuk n = 6 yaitu E = -29,00 satuan. Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa ada beberapa harga tingkat energi yang sama untuk harga n yang berbeda, maka sistem kuantum dari potensial RMH dalam keadaan terdegenerasi. Dari persamaan (21) dapat ditunjukkan bahwa rentang energi untuk harga v + 1 < n £ 2v sama dengan rentang energi untuk 0 < n £ v - 1 untuk harga q yang sama, tetapi harga tingkat energi akan semakin negatif untuk n > 2v . Bila sistem potensial ini diaplikasikan untuk mendiskripsikan gaya antar molekul maka semakin negatif energi semakin kuat ikatannya. Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b) dan (16) diperoleh
untuk v = 8 dan v = 10 dengan
æ
2 F1 ç - 1, (2v ); v - 1 +
è
q 2vz ö + 1, z ÷ = 1 q v -1 ø v+ v -1
(25)
dan untuk n = 2 (21)
Dengan memvariasi harga q, v dan n pada persamaan (21) dan dengan kondisi v ¹ n diperoleh tingkat-tingkat energi dari partikel. Pada Tabel 1 disajikan tingkat-tingkat energi untuk q = 10 dan
æ è
2 F1 ç - 2,
= 1-
(2v - 1); v - 1 +
q ö , z÷ l-2 ø
2(2v - 1)z 2v(2v - 1)z 2 + q q öæ q ö æ v -1+ çv -1+ ÷ç v + ÷ v -2 è v - 2 øè v-2ø
(26)
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2 Fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama (n=1) dan tingkat ke dua (n=2) untuk v=10, q=10 yang diperoleh dari persamaan (23), (24) dan (25) adalah 9
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö Y1 ( x) = ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø è ø
-1,1
æ 10(1 - tanh x ) ö ç1 ÷ 11,1 è ø
(27) 8
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö Y2 ( x) = ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø è ø
-1, 25
75 Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi gelombang tingkat dasar tak ternormalisasi sebagai fungsi sudut ( dalam radian) untuk v = 10, q = 10 dan (b) v = 8, q = 10 yang divisualisasikan dengan excel. Gambar tersebut juga dapat direproduksi dengan pemrograman Delphi 7.0 dari persamaan (24). Fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh untuk n = 0 seperti ditunjukkan pada persamaan (24). (a)
æ 19(1 - tanh x ) 95(1 - tanh x )2 ö ç1 ÷ + ç (10,25)(11,25) ÷ø 10,25 è
(28)
Tabel 1. Tingkat energi potensial Rosen Morse N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
v = 10, q = 10 En -101,00 -82,23 -65,56 -51,04 -38,78 -29,00 -22,25 -20,11 -29,00 -101,00
v = 8, q=10 En -65,56 -51,04 -38,78 -29,00 -22,25 -20,11 -29,00 -101,00
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa harga energi terbesar untuk q yang sama dan v yang berbeda adalah sama besar yaitu -20,11 tetapi pada tingkat energi (n) yang berbeda. (a)
(b)
Gambar 2. Grafik probabilitas Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan v = 8, q = 14, n = 1 (b). Gambar 2 menunjukkan visualisasi rapat kebolehjadian untuk keadaan tingkat dasar dengan (a) v = 10, q = 10 dan (b) v = 8, q = 10. Puncak grafik menunjukkan peluang terbesar untuk ditemukan partikel dalam kondisi keadaan dasar. Rapat probabilitas partikel dalam keadaan tingkat dasar yang diperoleh dari persamaan (20) adalah (v )
Y0
(b)
2
-
q (v )
2
(25)
Grafik dari deret hipergeometri untuk n = 1 dan n = 2 untuk v = q = 10 yang dinyatakan pada persamaan (21) dan (22) ditunjukkan pada Gambar 3(a) dan Gambar 3(b), sedangkan grafik fungsi gelombang tereksitasi pertama dan kedua serta rapat probabilitasnya untuk v = q = 10 dicantumkan pada Gambar 5 dan Gambar 6. Pada fungsi gelombang yang orthogonal berlaku ¥
Gambar 1. Grafik fungsi gelombang tingkat dasar Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 0 (a) dan v = 8, q = 10, n = 0 (b).
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö =ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø è ø
ò- ¥ Ym ( x)Yn ( x)dx =
*
1 1 * dz Ym ( z )Yn ( z ) = d mn 2 0 z (1 - z )
ò
(26)
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
76
di mana dx = - 2dz . z (1 - z )
(a)
Persamaan (19) dapat dituliskan sebagai Y( z ) = C n ( z )a (1 - z )b
åk =0 n
(- n)k (n + 2a + 2b + 1)k (2a + 1)n
zk k!
(27)
Dari persamaan (26) dan (27) diperoleh kondisi normalisasi fungsi gelombang sebagai ¥
ò-¥ Yn ( x)Yn ( x)dx = 1 *
(Cn )2 ånj=0 ånk=0 (- n)k (n + 2a + 2b + 1)k (2a + 1)k
(- n) j (n + 2a + 2b + 1) j (2a + 1) j
(b)
1 1 2a -1+ k + j ´ ( z) (1 - z )2 b -1 dz = 1 2 0
ò
(Cn )2 å å (- n )k (n + 2a + 2b + 1)k 2(2a + 1)k j=0 k =0 m
n
B(2a + k + j ,2b ) = 1
di mana dengan
(- n ) j (n + 2a + 2 b + 1) (2a + 1) j
(28) B(2a + k + j,2 b ) = 1 adalah fungsi Beta
B(2a + k + j , 2 b ) =
G(2a + k + j )G(2b ) G(2a + k + j + 2 b )
(29)
Dari persamaan (28) dan (29) dapat diperoleh faktor normalisasi Cn. Pada Gambar 3 ditunjukkan grafik deret hipergeometri untuk n=1 dan n=2 yang merupakan grafik dari persamaan (22c) (a)
Gambar 4. Grafik fungsi gelombang Rosen Morse dengan v = 8 dan q = 10, n = 1 (a) (persamaan 27) dan n = 2 (b) (persamaan 28). Pada Gambar 5 ditunjukkan grafik rapat probabilitas untuk potensial Rosen Morse dengan v = 8, q = 10 (a) n = 1 dan (b) n = 2. (a)
(b) (b)
(b) Gambar 3. Grafik deret hipergeometri untuk v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan n = 2 (b). Pada Gambar 4 ditunjukkan grafik fungsi gelombang tereksitasi kesatu dan kedua untuk v = 8 dan q = 10 dan rapat probabilitasnya ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar 5. Grafik rapat probabilitas untuk potensial Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan n = 2 (b). 4. Kesimpulan Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk sistem yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse hiperbolik dapat dianalisis dengan menyelesaikan
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2 persamaan Schrödinger menggunakan metode hipergeometri. Potensial efektif RMH beserta spektrum energinya, fungsi gelombang tingkat dasar, tereksitasi pertama dan kedua dan rapat probabilitasnya untuk sistem yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse divisualisasikan dengan tepat dan mudah menggunakan excel atau program Delphi 7.0. Ucapan Terima Kasih Makalah ini dibiayai oleh Hibah Pasca Sarjana 2012 dengan nomor kontrak 2345/UN27.16/ PN/2012. Daftar Pustaka Amani,
A. R., M. A. Moghrimoazzen, H. Ghorbanpour, and S. Barzegaran, 2011, The Ladder Operator of Rosen Morse Potential with Centrifugal Term by Factorization Method, Afri. J. Math. Phys., 10, 31-37. Arfken, G. B., 2005, Mathematical Methods For Physics, 6th, Elsevier Academic Press, USA. Castillo, D. E. A., 2009, Exactly Solvable Potentials and Romanovski Polynomials in Quantum Mechanics, arXiv: 0808.164802v2 (mathph). Cooper, F., A. Khare, and U. Sukhatme, 1994, Supersymmetry and Quantum Mechanics, arXiv. hep-th/9405029v2, 1-154. Fitts, D. D., 2002, Principles of Quantum Mechanics, Cambridge University Press, ISBN: 0-51100763-9 Virtual. Flugge, S., 1977, Practical Quantum Mechanics I, Spinger-Verlaag, New York. Goudarzi, H. and V. Vahidi, 2011, Supersymmetric Approach for Eckart Potential Using the NU Method, Adv. Studies Theor. Phys., 5, 10, 469-476. Greiner, 1989, Quantum Mechanics, An Introduction, Physics Departement, Frankfurt University.
77 Ikhdair, S. M., 2012, Quantization Rule Solution to the Hulthen Potential in Arbitrary Dimension by a New Approximate Scheme for the Centrifugal Term, arXiv. 1104.030v2 [quant-ph], 1-15. Ikot, A. N. and L. E. Akpabio, 2010, Approximate Solution of the Schrödinger Equation with Rosen Morse Potential Including the Centrifugal Term, Appl. Phys. Res., 2:2, 202-208. Inomata, A., and M. A. Kayed, 1985, Path-Integral Quantization of The Symmetric PoschlTeller Potential, Phys. Lett., 108A, 1, 9-13. Inomata A., A. Suparmi, and S. Kurth, 1991, Proceeding of 18th International Colloqium on Group Theoretical Methods in Physics, eds. V. V. Dodonov and V. I. Man’ko, (Springer, Berlin), 399. Meyur, S. and D. Dednath, 2009, Solution of Schrödinger equation with Hulthen plus Manning Rosen potential, Lat. Am. J. Phys. Educ., 3, 2, 300-306. Meyur, S. and D. Dednath, 2010, Eigen Spectra for Woods Saxon plus Rosen Morse, Lat. Am. J. Phys. Educ., 4, 3, 587-597. Nikiforov, A. F. and U. B. Uvarov, 1988, Special Function in Mathematical Physics, Birkhausa, Basel. Sadeghi, J. and B. Pourhassan, 2008, Exact Solution of The Non-Central Potential Modified Kratzer Potential, EJTP 5, 17, 197-206 . Sheng, J. C., Z. Ying, Z. X. Lin, and S. L. Tian, 2001, Identity for the Exponential-Type Molecule Potentials and the Supersymmetry Shape Invariance, Comm. Theor. Phys.(China), 36, 641-646. Taskin, F. and G. Kocak, 2010, Approximate Solution of Schrödinger Equation for Eckart potential with Centrifugal Term, Chin. Phys. B, 19:9, 1-6.
