PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE - INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM (SUSYQM)

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM (SUSYQM)

TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister

Program Studi Ilmu Fisika

Oleh HETI MARINI S911008004

PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 commit to user

i


digilib.uns.ac.id

PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKAKUANTUM (SUSYQM) TESIS

Oleh Heti Marini S911008004

Komisi

Nama

TandaTangan

Tanggal

Pembimbing I

Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP. 19520915 197603 2 001

.........................

30 Juli 2012

Pembimbing II

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D ......................... 30 Juli 2012 NIP : 19610306 198503 1 002

Pembimbing

Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 30 Juli 2012

Ketua Program Studi IlmuFisika Program Pascasarjana UNS

Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id

PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKAKUANTUM (SUSYQM) TESIS

Oleh Heti Marini S911008004

Tim Penguji Jabatan

Nama

TandaTangan

Tanggal

Ketua

Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si NIP.19690826 199903 1 001

.........................

Agustus 2012

Sekretaris Dr. Eng. Risa Suryana, S.Si.,M.Si NIP. 19710831 200003 1 005

.........................

Agustus 2012

Anggota Penguji

Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP. 19520915 197603 2 001

.........................

Agustus 2012

Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP . 19610306 198503 1 002

.........................

Agustus 2012

Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 15 Agustus 2012

Program Pascasarjana UNS

Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S NIP. 19610717198601 1 001

Ketua Program Studi IlmuFisika

Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002 commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS

Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa: 1.

Tesis yang berjudul “Penyelesaian Persamaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor Sentrifugal Menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (susyqm)”. ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010)

2.

Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seizin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku.

Surakarta, 13 Agustus 2012 Mahasiswa

Heti Marini S911008004 commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul, “Penyelesaian Persaaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor Sentrifugal Menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)” ini. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1.

Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.

2.

Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini.

3.

Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan semangat kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tesis ini.

4.

Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas to user Sebelas Maret Surakarta yangcommit telah memberikan banyak ilmu tentang fisika.

v


5.

digilib.uns.ac.id

Bapak Drs. Sunarno, selaku Kepala Sekolah SMP Muhammadiyah 04 Sambi, yang telah memberikan izin kepada penulis untuk melanjutkan studi ini.

6.

Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana

(HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2012 dengan nomer kontrak 2345/UN27.16/PN/2012.

Surakarta, 2012 Penulis

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK

Heti Marini. S911008004. “Penyelesaian Persamaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor SentrifugalMenggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum(susyqm)”. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D Penelitian ini bertujuan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang beberapa potensial shape invariance dengan faktor sentrifugal, yaitu potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Penelitian ini merupakan studi literatur untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal secara analitik. Spektrum energi dan fungsi gelombang diperoleh melalui penyelesaian persamaan Schrödinger menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM), dimana spektrum energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri dan metode Kuantisasi Supersimetri-WKB (SWKB), sedangkan Fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri. Penentuan spektrum energi dengan metode operator supersimetri dilakukan dengan menggunakan sifat shape invariance, dan penentuan spektrum energi dengan metode kuantisasi SWKB dilakukan dengan menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ditentukan menggunakan sifat dari operator penurun, dan untuk fungsi gelombang tingkat ke-n ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik terhadap gelombang dasar. Spektrum energi dari potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal yang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi dari potensial-potensial tersebut yang ditentukan dengan menggunakan metode SWKB. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial Kratzer dapat ditentukan secara eksak untuk setiap bilangan kuantum orbital l, sedangkan untuk potensial Morse dan potensial Manning Rosen hanya dapat ditentukan secara eksak pada bilangan kuantum orbital l=0, sedangkan untuk bilangan kuantum 𝑙 ≠ 0 baik spektrum energi maupun fungsi gelombangnya hanya dapat ditentukan dengan cara pendekatan. Kata Kunci: Persamaan Schrodinger, Potential Shape invariance, Faktor Sentrifugal, Supersimetri Mekanika Kuantum

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT

Heti Marini. S911008004. “Solution of Schrödinger Equation For Some Shape Invariance Potentials with The Centrifugal Term Using Supersymetry of Quantum Mechanics (susyqm)”. Thesis: Physics Department of Postgraduate Study Sebelas Maret University Surakarta. Advisor: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, (2). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D The purposes of the research were to determine the energy spectrum and wave function of someshape invariance potentials with centrifugal term, Kratzer Potential, Morse Potential, and Manning Rosen Potential using supersymetry of quantum mechanics (SUSYQM). The research was a literature study to solve Schrödinger equation for Kratzer Potential, Morse Potential, and Manning Rosen Potentialwith centrifugal term analytically. the energy spectrum and wave functionwere obtained by solving Schrödinger equation usingSupersymetry of Quantum Mechanics method, the energy spectrum was obtained using Supersymetry Operator and Supersymetry – WKB (SWKB) quantization method, while the wave function was obtained using Supersymetry Operator Method.Using Operator Supersymetry, the spectrum energy was obtained by applying concept of shape invariance, while using SWKB quantization method, the spectrum energy was obtainedby SWKB quantizationformula for unbroken symetry. By applying the lowering operator on ground state wave function we get the ground state wave function, and the first excited wave function was obtained by applying raising operator on the ground state wave function, and so on. The energy spectrum obtained using SWKB quantization formula was equal to the result obtained using Supersymetry Operator. For Kratzer Potential, both the energy spectrum and the wave function can be solvedexactly for all values of orbital quantum numberl. But for both Morse and Manning potential only exactly solvable for orbital quantum number𝑙=0, while for 𝑙≠0, both energy spectrum and the wave function obtained was only treated by approximation methods. Key words: Schrödinger Equation,Shape invariance Potential, Centrifugal Term, Supersymetryof Quantum Mechanics

commit to user

viii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL

...............................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………….

iii

HALAMAN PERNYATAAN ..................................................................

iv

KATA PENGANTAR ..............................................................................

v

ABSTRAK .................................................................................................

vii

ABSTRACT ..............................................................................................

viii

DAFTAR ISI .............................................................................................

ix

DAFTAR GAMBAR .................................................................................

xii

DAFTAR TABEL .....................................................................................

xiii

DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................

xiv

BAB I. PENDAHULUAN .........................................................................

1

A. Latar belakang ...........................................................................

1

B. Rumusan Masalah .....................................................................

7

C. Tujuan Penelitian .......................................................................

8

D. Batasan Masalah ........................................................................

8

E. Manfaat Penelitian ....................................................................

9

BAB II. DASAR TEORI ...........................................................................

10

A. Persamaan Schrödinger .............................................................

10

B. Persamaan Schrödinger dalam ruang Tiga Dimensi .................

12

C. Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) ......................... commit to user D. Potensial Shape Invariance .......................................................

18

ix

21


digilib.uns.ac.id

E. Formula Kuantisasi Supersimetri – WKB (SWKB) .................

23

F. Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal ............................

25

G. Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal ..............................

26

H. Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal ...............

28

BAB III. METODE PENELITIAN .........................................................

30

A. Waktu Dan Tempat Penelitian ..................................................

30

B. Objek Penelitian ........................................................................

30

C. Instrumen Penelitian ..................................................................

31

D. Prosedur Penelitian ....................................................................

32

E. Diagram Penelitian ....................................................................

33

BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ........................

34

A. Hasil Penelitian .........................................................................

34

1.

Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal .....................

2.

Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal .......................

3.

34

48

Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal ........

58

B. Pembahasan ...............................................................................

70

BAB V. KESIMPULAN, IMPLIKASI, DAN SARAN ..........................

76

A. Kesimpulan ...............................................................................

76

B. Implikasi ................................................................................... commit to user

77

x


digilib.uns.ac.id

C. Saran ......................................................................................... DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................

commit to user

xi

78 79


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.Koordinat Bola ............................................................................ 13 Gambar 3.1. Diagram Penelitian ..................................................................... 33 Gambar 4.1: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Kratzer ............................. 47 Gambar 4.2: Gelombang Tingkat Dasar untuk Potensial Morse ..................... 57 Gambar 4.3: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Manning Rosen ................ 69

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1: Spektrum Energi Potensial Kratzer Molekul HCl..................... 46 Tabel 4.2: Spektrum Energi Potensial Morse Molekul HCl ....................... 56 Tabel 4.3: Spektrum Energi Potensial Manning Rosen Molekul HCl ........ 68

commit to user

xiii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Kratzer ....................................................................

81

Lampiran 2. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Morse .....................................................................

95

Lampiran 3. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Manning Rosen ......................................................

commit to user

xiv

107


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

A.

Latar Belakang Persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum adalah persamaan yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu. Persamaan ini merupakan hal pokok dalam mekanika kuantum, sebagaimana hukum Newton dalam mekanika klasik. Dalam mekanika kuantum, keadaan suatu sistem fisika (partikel) diinterpretasikan melalui sebuah fungsi gelombang dan spektrum energi (Griffiths, 1994). Berdasarkan kedua hal ini dapat diprediksikan perilaku suatu sistem partikel dalam alam semesta. Persamaan Schrödinger merupakan pilar penting dalam sistem mekanika kuantum.Oleh karenanya teknik penyelesaian pada persamaan ini perlu mendapatkan perhatian yang cukup serius, mengingat – meskipun rumusan matematis dari persamaan ini relatif sederhana yang hanya berupa persamaaan diferensial, namun pemecahan persamaan ini tetap membutuhkan pengetahuan matematika lanjut yang rumit. Terdapat beberapa jenis potensial dalam teori kuantum. Persamaan dari potensial – potensial ini biasanya disajikan atau dinyatakan dalam bentuk umum, artinya potensial terkait dalam keadaan normal, atau tanpa dipengaruhi faktor lain, misalnya faktor gaya sentrifugal. Dalam keadaan kuantum tertentu, misalnya pada keadaan stasioner atau untuk momentum angular 𝑙=0, faktor commit to user


digilib.uns.ac.id

gaya sentrifugal ini tidak berpengaruh. Namun pada keadaan kuantum dengan momentum angular 𝑙≠0, faktor ini tidak dapat diabaikan. Permasalahan yang muncul adalah bahwa penyelesaian eksak dari pesamaan Schrödinger untuk beberapa jenis potensial dengan faktor sentrifugal hanya mungkin untuk momentum angular 𝑙=0. Akan tetapi untuk𝑙≠0,

penyelesaian hanya dapat

dilakukan melalui sebuah metode pendekatan yang sesuai (Sameer, 2011). Beberapa metode yang dapat digunakan diantaranya adalah metode klasik WKB(Gallas, 1983), AIM (asymptotic iteration method) (Al-Dossary, 2007; Aygun,et al., 2007); Bayrak, 2006; Bayrak, 2007), Nikivorov-Uvarov (NU)(Sameer, 2011; Antia,et al, 2010),

Ekspansi 1/N (Hammed, 2011),

Faktorisasi (Dong, 2007; Sadeghi, 2007), Supersimetri (SUSY) Mekanika Kuantum (Cooper, et al, 2001) dan lain-lain. Di antara metode-metode tersebut, metode SUSY Mekanika Kuantum merupakan salah satu metode “layak” menjadi pilihan, karena selain – dengan menggunakan metode ini penyelesaian persamaan Schrödinger menjadi lebih sederhana karena persamaan Schrödinger yang merupakan persamaan differensial orde dua dapat difaktorkan menjadi persamaan differesial orde satu – melalui sifat degenerasinya, dengan metode ini dapat diketahui spektrum energi terendah dan tertinggi dari suatu partikel dengan lebih akurat, yang tidak semua metode dapat melakukannya, misalnya metode kuantisasi semiklasik WKB.

Sebagaimana

diungkapkan

oleh

Anjana

Sinha

dan

Rajumar

Roychoudhurydalam artikel mereka yaitu bahwa metode ini dapat memberikan penyelesaian yang akurat pada bilangan kuantum yang besar, akan tetapi tidak commit to user


digilib.uns.ac.id

cukup baik pada bilangan kuantum kecil. (Sinha, A and Roychoudhury, R,2000). Metode SUSY mekanika kuantum merupakan sebuah metode yang dikembangkan seiring diperkenalkannya konsep simetri “baru” dalam fisika yaitu Supersimetri.Konsep ini telah mulai dikembangkan oleh para fisika teoritis baru dalam rangka mendukung perkembangan riset di bidang fisika pada saat ini yaitu mencari teori terpadu yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interaksinya di alam semesta. Supersimetri merupakan sebuah simetri yang dapat mempertukarkan antara boson dengan fermion atau sebaliknya. Dimana boson adalah partikel yang dideskripsikan dengan sebuah fungsi gelombang yang memiliki sifat simetri, sedangkan fermion merupakan partikel yang dideskripsikan oleh sebuah fungsi gelombang yang memiliki sifat antisimetri. Secara fisik, kedua jenis partikel ini sangat berbeda, dimana boson memiki spin berupa kelipatan bilangan bulat, sedangkan fermion memiliki spin berupa kelipatan setengah dari bilangan bulat. (Greiner, 1989) SUSY merupakan simetri tingkat tinggi yang tak lazim mengingat boson dan fermion memiliki perbedaan sifat yang mendasar. Misalnya, ketika fermion mengikuti prinsip larangan pauli, yang menyatakan bahwa dua buah atau lebih fermion identik tidak dapat menempati satu keadaan yang sama, sebaliknya dua buah atau lebih boson identik dapat menempati keadaan yang sama. Sehingga kecil kemungkinan untuk mempertukarkan keduanya. (Greiner, 1994). commit to user


digilib.uns.ac.id

Pada awalnya, diyakini bahwa jika memang (partikel) supersimetri ini terbukti ada di alam, maka simetri ini pasti sudah rusak secara spontan. Dalam papernya, Edward Witten memaparkan secara khusus mekanisme perusakan supersimetri (supersymetry breaking) ini. (Witten, 1981). Namun seiring dengan perkembangan penelitian-penelitian yang telah dilakukan terusmenerus oleh para ilmuwan fisika, akhirnya pada hari Rabu, 4 Juli 2012, Ilmuwan CERN secara resmi melaporkan hasil sementara dari data tahun 2011 tentang keberadaan Higgs boson alias Partikel Tuhan, dalam sebuah konferensi pers di Jenewa. Partikel baru dengan massa sekitar 125-126 gigaelectronvolts (GeV) ini ditemukan lewat eksperimen ATLAS dan CMS menggunakan akselerator partikel terbesar, Large Hadron Collider, di Jenewa, Swiss.( tempo.co, 2012). Higgs boson adalah istilah untuk suatu subatomik (Boson/partikel) yang mengisi massa melalui interaksinya dengan kehadiran “medan lain” yang tersebar di jagat raya ini. Semakin berinteraksi, maka boson itu akan semakin masif dan menjadi berisi dan berat. Oleh karena perannya sebagai pembentuk materi, maka partikel dianggap sebagai perantara yang memungkinkan terbentuknya bintang, planet dan juga kehidupan. Caranya adalah dengan memberi massa untuk sejumlah partikel dasar. Pada mekanisme Higgs, massa merupakan konsekuensi perusakan simetri di alam semesta yang dipicu keberadaan partikel Higgs. Hal ini lalu berperan menimbulkan fenomena ketidakseimbangan materi dan antimateri. (kompas.com, 2012) commit to user


digilib.uns.ac.id

Konfirmasi eksistensi Higgs boson juga akan membantu menjelaskan bagaimana

menyatunya

dua

interaksi

dasar

semesta,

yaitu

gaya

elektromagnetik yang menguasai interaksi antara partikel bermuatan dan gaya nuklir

lemah

yang

bertanggung

jawab

dalam

penguraian

radioaktif.Sebagaimana diketahui bahwa setiap gaya di alam semesta berhubungan dengan sebuah partikel. Partikel yang terikat dengan gaya elektromagnetik adalah photon. Sementara gaya nuklir lemah diasosiasikan dengan partikel boson W dan Z. Mekanisme Higgs diperkirakan sebagai alasan bisa terjadinya hal tersebut. (tempo.co, 2012) Dampak lain dari penemuan Partikel Tuhan ini adalah supersimetri. Dalam supersimetri, setiap partikel memiliki partikel “superpartner” dengan sedikit perbedaan karakterstik. Supersimetri ini menarik karena dapat membantu menyatukan beberapa gaya lain di alam semesta. Bahkan, menawarkan kandidat partikel yang membentuk materi gelap (dark matter). Sementara itu, partikel yang diumumkan para ilmuwan di CERN memiliki rentang massa rendah pada 125.3 Gev. Ini merupakan tanda menuju supersimetri. Jika partikel Higgs boson ditemukan pada massa rendah, ini akan membuat supersimetri menjadi sebuah teori yang layak. Meskipun temuan ini masih bersifat sementara, namun layaklah kiranya jika konsep supersimetri menjadi mendapat perhatian “kembali” dari para fisikawan untuk terus mengembangkan teori fisika yang terkait dengan SUSY, termasuk juga dalam teori mekanika kuantum. Berbagai masalah dalam sistem mekanika kuantum dapat diselesaikan dengan konsep supersimetri. commit to user


digilib.uns.ac.id

Sebagaimana dipaparkan oleh Cooper, et al., dalam bukunya (Cooper, et al, 2001) bahwa beberapa aplikasi konsep supersimetri dalam mekanika kuantum, salah satunya adalah pemecahan masalah potensial shape invariance. Secara spesifik Metin Aktas dalam tesisnya (Aktas, 2005) memaparkan aplikasi supersimetri dalam mekanika kuantum yaitu dalam penyelelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa potensial. Dalam sistem SUSY mekanika kuantum terdapat beberapa metode menentukan spektrum energi diantaranya adalah metode operator supersimetri (operator tangga), metode pendekatan variasi, 𝛿-ekspansi, teknik 1/N ekspansi, serta metode pengembangan dari WKB yaitu Supersimetri WKB atau SWKB, dan lain-lain (Aktas, 2005). Metode-metode ini memiliki tingkat kerumitan masing-masing. Sampai saat ini sudah ada beberapa artikel atau makalah yang membahas mengenai penerapan masing-masing metode supersimetri tersebut di atas, namun lebih sering digunakan secara terpisah. Umumnya, para peneliti sebelumnya menggunakan satu metode untuk menyelesaikan beberapa potensial, seperti – Anjana Sinha dan Rajumar Roychoudhury, mereka menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial Potensial PoschlTeller dan potensial Dua Trigonometri dengan menggunakan metode SWKB saja (Sinha, Aand Roychoudhury, R, 2000). Atau, Metin Aktas, menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial Woods-Saxon, Morse, Hulthen, dan lain-lain dengan menggunakan metode Operator Supesimetri (Aktas, 2005). Sehingga cukup sulit membuktikan, apakah metode-metode tersebut commit to user


digilib.uns.ac.id

memberikan hasil yang sama, ataukah berbeda. Selain itu, belum banyak juga artikel yang membahas secara khusus mengenai cara menyelesaikan masingmasing jenis potensial – mengingat terdapat beberapa bentuk persamaan potensial dalam mekanika kuantum, misalnya bentuk radial biasa, bentuk eksponensial, trigonometri, hiperbolik, dan lain-lain, maka perlu adanya contoh khusus langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk masing-masing jenis potensial tersebut.

B.

Rumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang masalah di atas, maka dapat dituliskan rumusan masalahnya sebagai berikut: 1.

Bagaimana persamaan spektrum energi dari beberapa jenis potensial shape invariance yang ditentukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)

2.

Bagaimana persamaan fungsi gelombang dari beberapa jenis potensial shape invariance yang ditentukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)

C.

Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah: commit to user


1.

digilib.uns.ac.id

Menentukan persamaan spektrum energi dari beberapa jenis potensial shape invariance dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)

2.

Menentukan persamaan fungsi gelombang dari beberapa jenis potensial shape invariance dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)

D.

Batasan Masalah Pembahasan pada penelitian ini dibatasi pada: 1.

Persamaan spektrum energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri (operator tangga) dan Metode Kuantisasi Supersimetri – WKB (SWKB). Sedangkan fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri (operator tangga).

2.

Jenis potensial shape invariance yang dibahas adalah Potensial Kratzer untuk tipe radial biasa, Potensial Morse untuk tipe eksponensial, dan Potensial Manning Rosen untuk tipe Hiperbolik.

3.

Semua fungsi gelombang yang ditentukan dalam penelitian ini belum ternormalisasi (N=1).

E.

Manfaat Penelitian 1.

Manfaat Teoritis commit to user


digilib.uns.ac.id

Langkah-langkah penyelesaian persamaan Schrödingerdengan menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM), khususnya metode Operator Supersimetri dan Metode kuantisasi SWKB untuk jenis potensial dengan bentuk persamaan radial biasa (Potensial Kratzer), bentuk persamaan eksponensial (Potensial Morse), dan bentuk persamaan hiperbolik (Potensial Manning Rosen) dapat digunakan sebagai alternatif contoh untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial yang lain yang bertipe sama. 2.

Manfaat Praktis Solusi dari persamaan Schrödinger untuk jenis potensial terkait yang berupa spektrum energi dan fungsi gelombang dapat digunakan untuk meramalkan perilaku sistem dan interaksinya dengan sistem lain sehinggadapat memberikan struktur sistem fisika yang utuh yang selanjutnya dapat dimanfaatkan untuk pengembangan bidang lain.

commit to user

10 digilib.uns.ac.id


BAB II DASAR TEORI

A. Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum adalah persamaan yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu. Dalam mekanika kuantum, keadaan suatu sistem fisika (partikel) diinterpretasikan melalui sebuah fungsi gelombang dan spektrum energi (Griffiths, 1994). Pada prinsipnya, energi partikel dalam mekanika kuantum adalah sama dengan energi mekanik atau energi total dalam mekanika klasik, hanya saja variabel-variabel dalam mekanika klasik berperan sebagai operator (Suparmi, 2011). Apabila sebuah partikel yang memiliki massa m yang bergerak sepanjang sumbu x dan mengalami gaya konservatif F (x,t), dimana F (x,t) dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V (x,t). Secara klasik, energi total yang dimiliki partikel tersebut dapat dituliskan sebagai, (Griffiths, 1994) 𝑝2

𝐸 = 2𝑚 + 𝑉 𝑥, 𝑡 dimana

𝑝2 2𝑚

(2.1)

merupakan energi kinetik partikel, dan p adalah momentum

partikel. Dalam pendekatan mekanika kuantum, variabel-variabel pada 𝜕

pers.(2.1) diubah menjadi operator dimana, 𝐸 = 𝑖ћ 𝜕𝑡 dan 𝑝 = −𝑖ћ commit to user

𝜕 𝜕𝑥

.



Selanjutnya operator-operator ini dioperasikan terhadap fungsi gelombang 𝜓(𝑥, 𝑡), sehingga pers. (2.1) dapat ditulis, (Suparmi, 2011) 𝑖ћ

∂𝜓 𝑥,𝑡

ћ

𝜕2

= − 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜓 𝑥, 𝑡 + 𝑉 𝑥, 𝑡 𝜓 𝑥, 𝑡

∂𝑡

(2.2)

Pers.(2.2) merupakan persamaan Schrödinger satu dimensi fungsi posisi dan waktu. Persamaan ini dapat diuraikan menjadi fungsi posisi saja atau fungsi waktu saja dengan cara menyelesaikan persamaan differensial orde dua tersebut dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Dengan memisalkan 𝜓 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 𝑇 𝑡 , maka pers.(2.2) dapat ditulis, ∂

𝜕2

ћ

𝜓(𝑥)𝑖ћ ∂𝑡 𝑇 𝑡

= − 2𝑚 𝑇 𝑡

𝜕𝑥 2

𝜓(𝑥) + 𝑉 𝑥, 𝑡 𝜓(𝑥)𝑇 𝑡

(2.3)

jika masing-masing ruas dibagi dengan 𝜓 𝑥 𝑇 𝑡 , maka 1 𝑇 𝑡

∂

𝑖ћ ∂𝑡 𝑇 𝑡

ћ

= − 2𝑚 𝜓

1

𝜕2

𝑥 𝜕𝑥 2

𝜓 𝑥 +𝑉 𝑥 =𝐸

(2.4)

Berdasarkan pers.(2.4) dapat diperoleh, 𝑖

𝑇 𝑡 = 𝑁𝑒 ћ𝐸𝑡

(2.5a)

dengan N adalah konstanta normalisasi. Dan, ћ

𝜕2

− 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜓 𝑥 + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥

(2.5b)

Pers.(2.5b) merupakan persamaan Schrödinger stasioner satu dimensi bebas waktu. Persamaan ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk, 𝐻𝜓 𝑥 = 𝐸𝜓 𝑥

(2.6)

dengan H adalah operator Hamiltonian[Griffiths, 1994]. Pers.(2.6) ini sering disebut sebagai persamaan nilai eigen (eigenvalue), dimana E disebut eigen nilai (eigen value) dan 𝜓 merupakan commit to user eigen fungsi (eigen function) (Greiner, 1989). Persamaan ini dapat diartikan



bahwa jika operator hamiltonian dioperasikan/ bekerja pada suatu fungsi gelombang tertentu maka akan menghasilkan kembali fungsi gelombang tersebut yang dikalikan suatu konstanta E. Berdasarkan pers. (2.5b) dan (2.6) Operator Hamiltonian (H) yang merupakan energi total partikel untuk sistem satu dimensi dapat dituliskan sebagai, ћ

𝜕2

𝐻 = − 2𝑚 𝜕𝑥 2 + 𝑉 𝑥

(2.7)

Dengan membandingkan pers.(2.1) dan pers.(2.7) dapat dilihat bahwa persamaan energi total (E) diubah menjadi Operator Hamiltonian (H) dalam mekanika kuantum. Prinsip ini sering disebut prinsip korespondensi. (Suparmi, 2011)

B. Persamaan Schrödinger dalam Ruang Tiga Dimensi Persamaan Schrödinger untuk sistem satu dimensi yang dinyatakan dalam pers.(2.5b) dapat diperluas ke dalam sistem tiga dimensi yang dapat dituliskan sebagai berikut,(Griffiths, 1994). −

ћ2 2𝑚

2 𝜓 + 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓

(2.8)

Dimana  adalah Laplasian dalam koordinat kartesian. Ruang tiga dimensi umumnya digambarkan sebagai ruang pada permukaan bola. Dalam koordinat bola (𝑟, 𝜃, 𝜑), Laplasian () dinyatakan sebagai, 1 𝜕

𝜕

1

𝜕

𝜕

1

𝜕2

2 = 𝑟 2 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝑟 + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑟 2 sin2 𝜃 𝜕𝜑 2 commit to user

(2.9)



Sehingga pers.(2.8) dapat ditulis kembali menjadi, ћ2

− 2𝑚

1 𝜕 𝑟 2 𝜕𝑟

𝑟2

𝜕𝜓 𝜕𝑟

1

𝜕

𝜕𝜓

1

+ 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑟 2 sin 2 𝜃

𝜕2𝜓 2

𝜕

+ 𝑉𝜓 = 𝐸𝜓 (2.10)

Pers. (2.10) ini merupakan persamaan Schrödinger sistem tiga dimensi bebas waktu. Umumnya energi potensial adalah fungsi yang hanya tergantung pada jarak partikel terhadap titik pusat (r) saja, sedangkan bagian sudut biasanya sama (tidak berubah) untuk semua potensial yang bersimetri bola. Oleh sebab itu, untuk menyederhanakan penyelesaian, maka terlebih dahulu persamaan dipisahkan menjadi dua, yaitu bagian radial dan bagian sudut dengan metode pemisahan variabel. Apabila 𝜓 𝑟, 𝜃,  = 𝑅 𝑟 𝑌 𝜃,  , maka pers.(2.10) dapat ditulis, −

ћ2 𝑌 𝑑 2𝑚 𝑟 2 𝑑𝑟

𝑟2

𝑑𝑅 𝑑𝑟

+

𝑅 𝜕 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕𝑌 𝜕𝜃

+

𝑅 𝜕2𝑌 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕 2

+ 𝑉 𝑅𝑌 = 𝐸 𝑅𝑌

(2.11)

z

p θ

r

y



x Gambar 2.1. Koordinat Bola: Jari-jari r, Sudut Polar θ, dan Sudut Azimut φ

commit to user



Jika masing-masing ruas dibagi dengan YR, dan mengalikannya 2𝑚 𝑟 2

dengan − 1 𝑑 𝑅 𝑑𝑟

𝑟2

ћ2

𝑑𝑅 𝑑𝑟

maka diperoleh,

2𝑚 𝑟 2 ћ2

−

𝑉 𝑟 −𝐸 +

1 1 𝜕 𝑌 sin 𝜃 𝜕𝜃

sin 𝜃

𝜕𝑌 𝜕𝜃

+

1 𝜕2𝑌 sin 2 𝜃 𝜕 2

=0

(2.12)

Dapat dilihat pada pers.(2.12) bahwa suku pertama hanya bergantung pada r, dan suku kedua hanya bergantung pada sudut 𝜃 dan . Dapat terlihat juga bahwa kedua suku identik, sehingga keduanya harus sama dengan konstanta. Dalam kasus ini konstanta pemisahan variabel ini definisikan sebagai faktor momentum anguler, yaitu 𝑙 𝑙 + 1 , Sehingga apabila kedua suku pada pers. (2.12)

dipisahkan, maka diperoleh dua persamaan

differensial orde dua, yaitu fungsi radial dan fungsi sudut. Dimana fungsi radial dituliskan sebagai, 1 𝑑

𝑑𝑅

𝑟 2 𝑑𝑟 −

𝑅 𝑑𝑟

2𝑚 𝑟 2 ћ2

𝑉 𝑟 −𝐸 =𝑙 𝑙+1

(2.13)

Dan fungsi sudut dituliskan sebagai, 1

1

𝜕

𝑌 sin 𝜃 𝜕𝜃

a.

𝜕𝑌

1

𝜕2𝑌

sin 𝜃 𝜕𝜃 + sin2 𝜃 𝜕 2 = −𝑙 𝑙 + 1

(2.14)

Persamaan Schrödinger Pada Bagian Radial Pers.(2.13), yaitu persamaan Schrödinger untuk sistem tiga dimensi

pada bagian radial dapat disederhanakan dengan memisalkan fungsi gelombang baru,(Suparmi, 2011) 𝑅=

𝜓

(2.15)

𝑟

Sehingga diperoleh, 𝑑𝑅 𝑑𝑟

=

1 𝑑𝜓 𝑟 𝑑𝑟

−

𝜓 𝑟2

dan

1 𝑑 𝑅 𝑑𝑟

1 𝑑𝜓 𝜓 commit to − user 𝑟2 2 𝑟 𝑑𝑟

𝑟

=

𝑟 𝑑2𝜓 𝑅 𝑑𝑟 2

.

(2.16)



Jika pers.(2.16) disubtitusikan ke pers.(2.13) dan dengan penjabaran sederhana maka persamaan Scrhödinger bagian radial dapat ditulis kembali menjadi 𝑟 𝑑2𝜓 𝑅

𝑑𝑟 2

−

2𝑚 𝑟 2

𝑉 𝑟 −𝐸 =𝑙 𝑙+1

ћ2

(2.17)

Atau, 𝑟 𝑑2𝜓 𝑅

𝑑𝑟 2

+

2𝑚 𝑟 2 ћ

2

𝐸−

2𝑚 𝑟 2 ћ2

𝑉 𝑟 =𝑙 𝑙+1

(2.18)

Jika masing-masing ruas pada pers.(2.18) dikalikan dengan 𝑅=

𝜓 𝑟

ћ2 𝑅

2𝑚 𝑟 2

, dengan

maka persamaan menjadi, ћ2 𝑑 2 𝜓

2𝑚𝑟 𝑑𝑟 2

𝜓

ћ2

𝜓

𝜓

+ 𝑟 𝐸 − 𝑟 𝑉 𝑟 = 2𝑚 𝑟 2 𝑟 𝑙 𝑙 + 1

(2.19)

Sehingga diperoleh, ћ2 𝑑 2 𝜓

2𝑚 𝑑𝑟 2

+ 𝐸𝜓 − 𝑉 𝑟 𝜓 = 𝑙 𝑙 + 1

ћ2

2𝑚 𝑟 2

𝜓

(2.20)

Atau dapat ditulis, ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

ћ2 𝑙 𝑙+1

+ 𝑉 𝑟 + 2𝑚

𝑟2

𝜓 = 𝐸𝜓

(2.21)

Dimana, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉 𝑟 +

ћ2 𝑙 𝑙+1 2𝑚

(2.22)

𝑟2 ћ2 𝑙 𝑙+1

𝑉𝑒𝑓𝑓 didefinisikan sebagai potensial efektif, dan 2𝑚 ℎ

𝑟2

sebagai faktor gaya

sentrifugal. Dengan ћ = 2𝜋 = 1,054573 × 10−34 𝐽𝑠, dan

𝑙

merupakan

bilangan kuantum orbital (𝑙 = 0, 1, 2, … ), sedangkan m adalah massa atom tereduksi. (Griffiths, 1994). commit to user



Dapat dilihat bahwa pers.(2.21) ini identik dengan persamaan Scrhödinger untuk sistem satu dimensi (2.5b). b. Persamaan Schrödinger Pada Bagian Sudut Pers.(2.14)

merupakan

persamaan

Schrödinger

bagian

sudut

(angular). Pada bagian ini fungsi gelombang 𝜓 hanya tergantung pada sudut 𝜃 dan  saja. Jika masing-masing ruas dikalikan dengan 𝑌 sin2 𝜃 diperoleh, 𝜕

𝜕𝑌

sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 +

𝜕2𝑌 𝜕 2

= −𝑙 𝑙 + 1 𝑌sin2 𝜃

(2.23)

Dapat dilihat pada pers.(2.23) persamaan masih tergantung pada dua variabel yaitu 𝜃 dan . Sebagaimana sebelumnya, maka dilakukan pemisahan variabel, 𝑌 𝜃,  =  𝜃  

(2.24)

Jika persamaan ini dimasukkan ke pers.(2.23) dan dengan membagi masing-masing ruas dengan  diperoleh, 1 

𝜕

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

1 𝜕2

+ 𝑙 𝑙 + 1 sin2 𝜃 +  𝜕 2 = 0

(2.25)

Dapat dilihat pada pers.(2.25) persamaan terbagi menjadi dua, fungsi yang pertama hanya bergantung pada variabel 𝜃, dan fungsi yang kedua hanya tergantung pada  saja. Sehingga keduanya harus sama dengan konstanta. Konstanta pemisahan ini didefinisikan sebagai bilangan kuantum magnetik, 𝑚2 ; sehingga diperoleh, 1 

𝜕

𝜕

sin 𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃

+ 𝑙 𝑙 + 1 sin2 𝜃 = 𝑚2

commit to user

(2.26)



Atau, sin 𝜃 𝑑

𝑑

 𝑑𝜃

sin 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑙 𝑙 + 1 sin2 𝜃 − 𝑚2 = 0

(2.27)

Dan 1 𝜕2

1 𝜕2

= −𝑚2 atau

2

 𝜕

+ 𝑚2 = 0

 𝜕 2

(2.28)

Pers.(2.27) merupakan persamaan polar, dan pers.(2.28) merupakan persamaan azimut. (Griffiths, 1994). 

Apabila pers.(2.27) dikalikan dengan sin 2 𝜃 maka diperoleh, 1

𝑑

sin 𝜃 𝑑𝜃

Jika dimisalkan  = 1

𝑚2

𝑑

sin 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑙 𝑙 + 1 − sin 2 𝜃  = 0

𝜕

𝑄 sin 𝜃

𝑑

, dan

𝑑

1

𝑑𝜃

𝜕

=

𝑑𝑄

1 𝑐𝑜𝑠𝜃

−2

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑄

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 = sin 𝜃 𝜕𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃

1

=

𝑑2𝑄

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑑𝜃 2

1

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑄, maka,

𝑄

1 𝑐𝑜 𝑠 2 𝜃

𝑄

+2

sin 3 𝜃

1 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 − 2

1

(2.29)

+4

𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 5

𝑄

(2.30)

Jika pers. (2.30) ini disubtitusikan ke pers.(2.29) maka diperoleh, 𝑑2𝑄 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 2 1

+

𝑄

1 2

𝑠𝑖𝑛𝜃

+

1 𝑐𝑜 𝑠 2 𝜃 𝑄 4 𝑠𝑖𝑛𝜃 5

+𝑙 𝑙+1

𝑄 𝑠𝑖𝑛𝜃

−

𝑚2 𝑄 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃

=0

(2.31)

Atau, 𝑑2𝑄 𝑑𝜃 2

1 𝑐𝑜 𝑠 2 𝜃

𝑄

𝑚2

+ 2 + 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑄 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑄 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑄 = 0

(2.32)

Karena 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 , maka melaui penjabaran sederhana diperoleh, 𝑑2𝑄 𝑑𝜃 2

1 2

𝑚2

1

+ 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑄 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 𝑄 + 𝑙 + 2

𝑄=0

(2.33)

ћ2

Jika masing-masing dikalikan − 2𝑚 maka, −

ћ2 𝑑 2 𝑄 2𝑚

𝑑𝜃 2

−

ћ2 2𝑚 4

1 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

1

2𝑚

2

2

𝑄 commit − 𝑙to+ user𝑄 +

ћ2

𝑚2

2𝑚 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑄=0

(2.34)



Atau dapat ditulis sebagai berikut, ћ2 𝑑 2 𝑄

ћ2

− 2𝑚 𝑑𝜃 2 + 2𝑚

𝑚2−

1 4

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

1

2

𝑄 = 2𝑚 𝑙 + 2

𝑄

(2.35)

Dimana 𝑄 merupakan fungsi gelombang bagian polar. Dengan demikian persamaan Schödinger untuk sistem tiga dimensi yang merupakan koordinat bola yang dinyatakan dalam pers.(2.10) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan diferensial orde dua yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. C. Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) Pemeran utama supersimetri mekanika kuantum adalah operatoroperator supermuatan. Witten mendefinisikan sistem supersimetri mekanika kuantum sebagai sistem yang terdiri dari operator supermuatan 𝑄𝑖 yang komut dengan Hamiltonian Supersimetri (𝐻𝑆𝑆 ),(Witten, 1981) 𝑄𝑖 , 𝐻𝑆𝑆 = 0 dan i = 1, 2, …,N

(2.36)

dimana N adalah banyaknya generator dan memenuhi hubungan anti komutasi, 𝑄𝑖, 𝑄𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝐻𝑠𝑠

(2.37)

Hamiltonian supersimetri (𝐻𝑠𝑠 ) didefinisikan sebagai jumlah kuadrat dari operator supermuatan (𝑄𝑖 ) 𝐻𝑠𝑠 = 2𝑄12 = 2 𝑄22

(2.38)

Untuk sistem SUSY yang paling sederhana, N=2, dengan operator super muatan 𝑄1 dan 𝑄2 yang mana dapat diasosiasikan dengan partikel commit to user



mempunyai spin

1

yang bergerak pada garis lurus. Dalam sistem yang

2

sederhana ini, 𝑄1 dan 𝑄2 didefinisikan sebagai 𝑄1 =

1

𝜎1

2

𝑝 2𝑚

+ 𝜎2 W 𝑥 dan, 𝑄2 =

1

𝜎2

2

𝑝 2𝑚

− 𝜎1 𝑊 𝑥

(2.39)

dimana σ1 dan σ2 adalah matriks dari Pauli.[Suparmi, 2011] Hss

adalah

supersimetri

Hamiltonian,

𝑑

𝑝 = −𝑖ℏ 𝑑𝑥 ,

adalah

momentum linear (momentum bosonik), x adalah koordinat bosonik, W(x) adalah superpotensial bosonik. Dengan menggunakan pers.(2.37) dapat ditunjukkan bahwa ℏ2 𝑑 2

𝐻𝑠𝑠 =

=

− 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑊 2 (𝑥) +

ℏ

𝑑𝑊 (𝑥)

2𝑚

𝑑𝑥

0

0 𝐻+ 0

−

ℏ2 𝑑 2 2𝑚 𝑑𝑥 2

+ 𝑊 2 (𝑥) −

ℏ

𝑑𝑊 (𝑥)

2𝑚

𝑑𝑥

0 𝐻−

(2.40) ℏ2 𝑑 2

dimana, 𝐻− = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑊 2 (𝑥) − ℏ2 𝑑 2

𝐻+ = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑊 2 (𝑥) +

ℏ

𝑑𝑊 (𝑥)

2𝑚

𝑑𝑥

ℏ

𝑑𝑊 (𝑥)

2𝑚

𝑑𝑥

, dan

(2.40a) (2.40b)

Sehingga dapat dikatakan Persamaan (2.36) menyebabkan timbulnya energi terdegenerasi 𝐻−dan 𝐻+, yang merupakan SUSY partner Hamiltonian Fermionik (penurun) dan Bosonik (penaik),dan keduanya juga dituliskan sebagai 𝐻𝑠𝑠 . Dengan demikian persamaan Schrodinger standard dapat dinyatakan dalam Hamiltonian SUSY sebagai berikut, ℏ2 𝑑 2

𝐻− = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉−(𝑥) Dan,

, dengan 𝑉− 𝑥 = 𝑊 2 𝑥 − commit to user

ћ 2𝑚

𝑊′ 𝑥

(2.41)



ℏ2 𝑑 2

𝐻+ = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉+(𝑥) ,dengan 𝑉+ (𝑥) = 𝑊 2 𝑥 +

ћ 2𝑚

𝑊′ 𝑥

(2.42)

Dimana 𝑉− 𝑥 dan𝑉+ 𝑥 disebutpasangan potensial supersimetri, dan 𝑊 𝑥 adalah Superpotensial. Sedangkan 𝑊 ′ 𝑥 merupakan turunan pertama dari 𝑊 𝑥 . Berdasarkan pers.(2.40a) dan (2.40b) masing-masing persamaan Hamiltonian SUSY dapat difaktorkan sebagai berikut, untuk Hamiltonian penurun dan Hamiltonian penaik berturut-turut dinyatakan sebagai berikut, 𝐻− = 𝐴+𝐴, dan

𝐻+ = 𝐴𝐴+

(2.43)

Dimana, ћ

𝐴+ = −

𝑑

+ 𝑊 𝑥 dan 𝐴 =

2𝑚 𝑑𝑥

ћ

𝑑

2𝑚 𝑑𝑥

+ 𝑊 𝑥

(2.44)

Dengan, 𝐴+ disebut operator penaik (raising operator) , dan 𝐴 sebagai operator penurun (lowering operator). (Witten, 1981; Rodrigues, 2002; Fabre and Odelin, 2010) Berdasarkan sifat dari operator penurun (A), yaitu apabila operator penurun (A) dioperasikan fungsi gelombang tingkat dasar 𝜓0− , maka akan sama dengan nol (karena sudah tidak ada lagi fungsi gelombang di bawah fungsi gelombang tingkat dasar) (Cooper,et al., 2001), 𝐴𝜓0− = 0

(2.45)

Atau, ћ

𝑑

2𝑚 𝑑𝑥

+ 𝑊 𝑥

𝜓0− = 0

(2.46)

Sehingga diperoleh, 2𝑚

x

𝜓0− 𝑥 = 𝑁 exp − ћ 𝑊 𝑥 𝑑𝑥 commit to user

(2.47)



dengan N adalah faktor normalisasi. Dan, 𝑊 𝑥 =−

−

𝑑𝜓 0

ћ 2𝑚

− 𝜓0

=−

ћ 2𝑚

𝑙𝑛𝜓0−

(2.48)

D. Potensial Shape Invariance Sepasang potensial supersimetri (SUSY), yaitu 𝑉− 𝑥 dan 𝑉+ 𝑥 dapat dikatakan shape invariance jika kedua potensial tersebut memiliki bentuk yang sama, hanya dibedakan oleh sebuah parameter yang ada pada mereka. Ditinjau pasangan potensial 𝑉± (𝑥; 𝑎𝑗 ) dimana 𝑎𝑗 adalah sebuah set dari parameter, sepasang potensial dikatakan shape invariance bila sepasang potensial ini memenuhi syarat berikut: (Cooper, et al., 2001) 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 +1 + 𝑅 𝑎𝑗 +1

(2.49)

Dengan, 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑊 2 𝑥, 𝑎𝑗 + 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑊 2 𝑥, 𝑎𝑗 −

ħ 2𝑚 ħ 2𝑚

𝑊 ′ 𝑥, 𝑎𝑗


(2.49a) (2.49b)

Dimana j = 0,1,2,…, sedangkan parameter a ditentukan secara rekursif (berturutan), 𝑎𝑗 +1 = 𝑓(𝑎𝑗 ) dan 𝑅(𝑎𝑗 ) adalah konstanta yang tidak bergantung dengan x. Hubungan antara Hamiltonian Standard (pers.2.7) dan Hamiltonian SUSY (2.41) dinyatakan sebagai, (Anjos, et. al., (2008), Suparmi, (2011) ħ2 𝑑 2

𝐻 = 𝐻− + 𝐸0 = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0

(2.50)

Maka berdasarkan persamaan eigen nilai (pers.2.6) diperoleh, (−)

𝐸𝑛 = 𝐸𝑛

+ 𝐸0

commit to user

(2.51)



Dimana 𝐸0 merupakan energi tingkat dasar pada pasangan Hamiltonian penurun. Dengan membandingkan pers.(2.7) dan(2.50) diperoleh hubungan antara 𝑉 𝑥 dan 𝑉− 𝑥 sebagai berikut, 𝑉 𝑥 = 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0 = 𝑊 2 𝑥, 𝑎0 −

ħ 2𝑚

𝑊 ′ 𝑥, 𝑎0 + 𝐸0

(2.52)

Dimana 𝑉 𝑥 sering dinyatakan sebagai Potensial Efektif (𝑉𝑒𝑓𝑓 ). Sedangkan 𝑊 𝑥 ditentukan dengan dugaan/ perkiraan secara intelektual berdasarkan bentuk potensial efektif sistem terkait. Berdasarkan sifat shape invariance, dapat ditentukan spektrum energi dari pasangan potensial. Untuk tujuan tersebut, berikut akan di konstruksi sederet Hamiltonian yaitu 𝐻𝑘 , dimana k = 0, 1, 2,… Dengan mengulang prosedur sifat shape invariance, diperoleh, ħ2 𝑑 2

𝐻𝑘 = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑘 +

𝑘 𝑖=1 𝑅(𝑎𝑖 )

(2.53)

Dimana 𝑎𝑘 = 𝑓 𝑘−1 𝑎1 , 𝑓 𝑘−1 berarti fungsi tersebut diaplikasikan 𝑘 − 1 kali. Jika diambil 𝑘  𝑘 + 1 pada pers. (2.53), maka diperoleh ħ2 𝑑 2

𝐻𝑘 = − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑘+1 + ħ2 𝑑 2

= − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑘 +

𝑘 𝑖=1 𝑅(𝑎𝑖 ) 𝑘−1 𝑖=1 𝑅(𝑎𝑖 )

(2.54)

Di sini 𝐻𝑘 dan 𝐻𝑘+1 merupakan pasangan Hamiltonian SUSY dimana keduanya memiliki spektrum energi yang sama kecuali untuk spektrum tingkat dasar, yang hanya dimiliki oleh Hamiltonian penurun saja. Berdasarkan pers.(2.50) dan (2.54), dapat diketahui bahwa spektrum commitsama to user energi (eigenvalues) dari 𝐻− adalah dengan



(−)

𝐸𝑛

𝑛 𝑘=1 𝑅(𝑎𝑘 )

=

(2.55)

Maka spektrum energi dari Hamiltonian dengan potensial 𝑉 𝑥 adalah (−)

𝐸𝑛 = 𝐸𝑛

+ 𝐸0 =

Fungsi

𝑛 𝑘=1 𝑅(𝑎𝑘 )

gelombang

+ 𝐸0

𝜓𝑛− 𝑥; 𝑎0

(2.56) dapat

dijabarkan dari

fungsi

gelombang keadaan dasar 𝜓0− 𝑥; 𝑎0 dengan metode operator yang diperoleh dari operasi berantai operator penaik 𝐴+terhadap gelombang tingkat dasar, 𝜓𝑛− 𝑥; 𝑎0 ~ 𝐴+ 𝑥; 𝑎0 𝐴+ 𝑥; 𝑎1 … 𝐴+ 𝑥; 𝑎𝑛−1 𝜓0− 𝑥; 𝑎𝑛

(2.57)

atau − 𝜓𝑛− 𝑥; 𝑎0 ~𝐴+ 𝑥; 𝑎0 𝜓𝑛−1 𝑥; 𝑎1

(2.58)

Dengan analog diperoleh 𝜓𝑛−+1 𝑥; 𝑎0 ~𝐴+ 𝑥; 𝑎0 𝜓𝑛− 𝑥; 𝑎1

(2.59)

E. Formula Kuantisasi Supersimetri – WKB (SWKB) Metode SWKB ini merupakan pengembangan dari metode semiklasik WKB. Nama WKB ini diambil dari singkatan nama para penemunya, yaitu Wentzel, Kramers, dan Brillouin. (Sinha, A and Roychoudhury, R., 2000). Seperti telah diketahui bahwa metode WKB memiliki kelemahan dalam hal pendekatan matematik yang digunakan, yaitu adanya koreksi Langer. Berikut adalah ulasan singkat mengenai konversi matematis metode semiklasik WKB menjadi SWKB. Kuantisasi pendekatan semiklasik WKB pada orde terendah untuk potensial satu dimensi 𝑉 𝑥 adalah, (Cooper et al., 2001) commit to user



𝑏 𝑎

1

𝐸−𝑉 𝑥

𝑑𝑥 = 𝑛 + 2 𝜋ћ

(2.60)

Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya bahwa fungsi energi E dapat dinyatakan dengan Hamiltonian (H). Dalam SUSY, Hamiltonian dipisahkan menjadi dua macam yaitu, Hamiltonian Penaik (𝐻+ ) dan Hamiltonian Penurun (𝐻− ). Demikian juga potensialnya, berturut-turut (𝑉+) dan (𝑉− ). Sehingga persamaan Hamiltonian Penurun (𝐻_) Supersimetri-WKB (SWKB) diperoleh, 𝑏 𝑎

1

𝐸𝑛− − 𝑉− (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑛 + 2 𝜋ћ

(2.61)

Dengan memasukkan nilai 𝑉− (𝑥) pada pers.(2.41) ke pers.(2.61) diperoleh 𝑏 𝑎

(−)

2𝑚 (𝐸𝑛

− (𝑊 2 𝑥 −

ћ

1

𝑊 ′ 𝑥 ) 𝑑𝑥 = (𝑛 + 2)𝜋ћ 2𝑚

(2.62)

Dimana n = 0, 1, 2, ....dan a, b adalah titik balik. Jika a dan b, dimasukkan ke persamaan diperoleh, 𝑊 2 𝑎 − ћ

ћ 2𝑚

𝑊′ 𝑎 = 𝑊2 𝑏 −

(−)

𝑊 ′ 𝑏 = 𝐸𝑛 . Dengan mengekspansikan ruas kiri pada pers.(2.62) pada

2𝑚

pangkat ћ diperoleh, 𝑏 𝑎

(−)

2𝑚 (𝐸𝑛

− 𝑊2 𝑥

𝑑𝑥 +

𝑏 2 𝑎 ћ

𝑊 ′ 𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝑛− −𝑊 2 𝑥

1

= (𝑛 + 2)𝜋ћ

(2.63)

(−)

Dimana, 𝑊 2 𝑎 = 𝑊 2 𝑏 = 𝐸𝑛 , sehingga 𝑏 2 𝑎 ћ

𝑊 ′ 𝑥 𝑑𝑥 (−)

𝐸𝑛 −𝑊 2 𝑥

=

ћ 2

sin−1

𝑊(𝑏) (−)

− sin−1

𝐸𝑛

commit to user

𝑊(𝑎) (−)

𝐸𝑛

1

= 2 𝜋ћ

(2.64)



Dengan mensubtitusikan hasil dari pers.(2.64) ke pers.(2.63) maka pers.(2.62) dapat dituliskan menjadi, 𝑏 𝑎

2𝑚 (𝐸𝑛− − 𝑊 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋ћ

(2.65)

Persamaan (2.65) merupakan persamaan umum tingkat energi SWKB untuk simetri baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan umum tingkat energi SWKB untuk kondisi simetri rusak (broken symetry) dituliskan sebagai, 𝑏 𝑎

1

2𝑚 (𝐸𝑛− − 𝑊 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛 + 2 𝜋ћ Faktor

1 2

𝜋ћ

(2.66)

pada pendekatan WKB standar dapat dipandang

sebagai energi tingkat nol pada boson, yang didalam teori SUSY untuk konsisi yang baik secara eksak dapat dihilangkan dengan bentuk fermion. F. Potensial Kratzer Dengan Faktor Sentrifugal Potensial Kratzer dinyatakan sebagai, (Flügge, 1971) 𝑉 𝑟 = −2𝐷

𝑎 𝑟

1 𝑎2

− 2 𝑟2

(2.67)

Dimana D merupakan Energi Disosiasi (peruraian), a adalah jarak keseimbangan/ kestabilan antar inti atom, dan r adalah jarak antar inti atom pada posisi tertentu. Jika 𝑎 <<< 𝑟, maka potensial ini dapat dipresentasikan dalam bentuk potensial Coulomb 𝑉 𝑟 = −

𝑍𝑒 ′ 𝑟2

2

, dengan 𝐷𝑎2 = −𝑍𝑒′2 .

Model potensial ini umumnya digunakan untuk menyelidiki spektrum rotasi-vibrasi dari molekul beratom dua, dimana salah satu atom commit userlebih masif ini diam dan dianggap jauh lebih masif dari yang lain. Atomtoyang



sebagai koordinat, sedangkan atom yang lain bergerak mengelilinginya dalam kulit bola. Dalam keadaan stabil, yaitu ketika 𝑟 = 𝑎, maka 𝑉 𝑎 = −𝐷 minimum. Berdasarkan pers.(2.22) dan pers.(2.67), maka persamaan potensial efektif dari Potensial Kratzer untuk 𝑙 ≠ 0dapat ditulis sebagai 𝑉𝑒𝑓𝑓 = −2𝐷

𝑎 𝑟

1 𝑎2

ћ2 𝑙 𝑙+1

− 2 𝑟 2 + 2𝑚

(2.68)

𝑟2

G. Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal Potensial Morse digunakan untuk mendeskripsikan interaksi antara dua atom di dalam molekul yang beratom duayang dinyatakan sebagai, (Flügge, 1971) 𝑉 𝑥 = 𝐷 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝑒 −𝛼𝑥 ; 𝑥 =

𝑟−𝑟0 𝑟0

(2.69)

dimana, D merupakan Energi Disosiasi (peruraian), r adalah jarak orbital elektron terhadap inti dari molekul beratom dua, dan 𝑟0 adalah jarak keseimbangan antar inti atom. Sedangkan dan 𝛼 adalah konstanta penyesuaian. Berdasarkan pers.(2.22) dan pers.(2.69) maka persamaan potensial efektif dari Potensial Morse untuk 𝑙 ≠ 0 dapat ditulis sebagai ћ2 𝑙 𝑙+1

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝐷 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝑒 −𝛼𝑥 + 2𝑚

𝑟2

(2.70)

Dengan 𝑙 merupakan bilangan kuantum dan m adalah massa atom tereduksi. Karena 𝑥 =

𝑟−𝑟0 𝑟0

, maka 𝑟 = 𝑟0 𝑥 + 1 . Sehingga pers.(2.71) dapat

ditulis sebagai, commit to user



ћ2 𝑙 𝑙+1

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝐷 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝑒 −𝛼𝑥 + 2𝑚 Dengan mengekspansikan faktor 𝑥 + 1 −2

𝑥+1

𝑟0 2

−2

𝑥+1

−2

(2.72)

diperoleh,

= 1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 + ⋯

(2.73)

Persamaan ini dirubah dalam bentuk eksponensial. Dengan asumsi bahwa suku ke-4 dan seterusnya sangat kecil, maka penyelesaian ini diambil sampai suku ke-3 saja. Dimisalkan suatu persamaan eksponensial sebagai berikut, 1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝛼𝑥

(2.74)

Dimana, e−αx = 1 − αx +

α 2 x2 2!

+ ⋯ , dan

e−2αx = 1 − 2αx +

4α 2 x 2 2!

+⋯

(2.75)

Jika pers. (2.75) disubtitusikan ke dalam pers. (2.74) diperoleh, 1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 = 𝐶0 + 𝐶1 1 − αx +

α 2x2 2!

+ 𝐶2 1 − 2αx +

4α 2 x 2 2!

(2.76)

Atau, 1 − 2𝑥 + 3𝑥 2 = 𝐶0 + 𝐶1 + 𝐶2 − 𝐶1 + 2𝐶2 αx +

𝐶1 2

+

4𝐶2 2

α2 x 2

(2.77)

Dengan membandingkan komponen ruas kiridan ruas kanan dari pers.(2.77) dapat diperoleh, 𝐶0 + 𝐶1 + 𝐶2 = 1;

(2.78a)

2

𝐶1 + 2𝐶2 = 𝛼

(2.78b)

6

𝐶1 + 4𝐶2 = α 2

(2.78c)

Dengan metode subtitusi diperoleh, 3

3

4

6

1

3

𝐶0 = 1 − 𝛼 + α 2 ; 𝐶1 = 𝛼commit − α 2 ; todan user𝐶2 = − 𝛼 + α 2

(2.78d)



Dengan mensubtitusikan pers. (2.78d) ke dalam pers.(2.74), maka pers.(2.73) dapat dituliskan sebagai berikut, 𝑥+1

−2

3

3

4

= 1 − 𝛼 + α2 +

6

1

3

− α 2 𝑒 −𝛼𝑥 + − 𝛼 + α 2 𝑒 −2𝛼𝑥

𝛼

(2.79)

Sehingga secara lengkap persamaan potensial efektif untuk potensial Morse dapat dituliskan kembali sebagai, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝐷 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝑒 −𝛼𝑥 +

ћ2 𝑙 𝑙+1 2𝑚

𝑟0 2

3

3

𝛼

α2

1− +

+

4 𝛼

−

6 α2

1

3

𝛼

α2

𝑒 −𝛼𝑥 + − +

𝑒 −2𝛼𝑥

(2.80)

Atau, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝐴0 − 𝐴1 𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 ћ2 𝑙 𝑙+1

Dengan, 𝐴0 = 2𝑚

𝑟0 2

3

𝑟0 2

ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴2 = 𝐷 + 2𝑚

3

1 − 𝛼 + α2

ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴1 = 2𝐷 − 2𝑚

(2.81)

𝑟0 2

4 𝛼

(2.81a) 6

− α2

1

(2.81b)

3

− 𝛼 + α2

(2.81c)

H. Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal Potensial Manning Rosen merupakan salah satu potensial yang digunakan sebagai model matematika untuk mendeskripsikan vibrasi dari molekul beratom dua. Persamaan potensial ini dinyatakan sebagai, ћ2

𝜐 𝜐−1

𝑉 𝑟 = 2𝑚 𝛼 2 sinh 2

𝑟 𝛼

ћ2 𝑞

− 𝑚 𝛼 2 coth

𝑟 𝛼

(2.82)

Dimana 𝜐 dan 𝑞 merupakan dua parameter yang tak berdimensi, sedangkan 𝛼 merupakan dimensi dari panjang, dan 𝑟 adalah jarak antar inti dari kedua atom. (Sameer, 2011; Antia, AD,et al.,2010; Hammed, 2011). Untuk 𝜐 = 0 atau 𝜐 = 1, Potensial Manning Rosen potential berubah menjadi Potensial commit to user Hulthen Potential (Sameer, 2011; Antia, AD,et al.,2010).



Berdasarkan pers.(2.22) dan pers.(2.82) maka persamaan potensial efektif dari Potensial Manning Rosen untuk 𝑙 ≠ 0 dapat ditulis sebagai ћ2

𝑟 𝛼

Jika 𝑒 − 𝑒

–

𝑟 𝛼

ћ2 𝑞

𝜐 𝜐−1

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 𝛼 2 sinh 2

𝑟 𝛼

𝑟 𝛼

= 2 sinh


𝑟 𝛼

ћ2 𝑙 𝑙+1

+ 2𝑚

𝑟 𝛼

(2.83)

𝑟2 𝑟 2 𝛼

𝑟

, dimana, 𝑒 = 1 + 𝛼 +

2!

+⋯

(2.84)

Dengan mengambil dua suku pertama, maka diperoleh 𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑟

𝑒 𝛼 −𝑒 –𝛼 ≈ 1 + 𝛼 − 1 − 𝛼 = 2𝛼 𝑟

Sehingga, 2 𝛼 = 2 sinh sinh

𝑟 𝛼

𝑟

≈ 𝛼 dan sinh2

𝑟 𝛼

(2.85)

, dan sinh

𝑟 𝛼

𝑟

= 𝛼 . Jika

𝑟2

𝑟 𝛼

<<< 1, maka

= 𝛼 2 , maka diperoleh 𝑟 2 = 𝛼 2 sinh2

𝑟 𝛼

𝑟 𝛼

. Sehingga

persamaan potensial efektif dari potensial Manning Rosen (pers.(2.83)) secara lengkap dapat dituliskan kembali sebagai berikut, ћ2

𝜐 𝜐−1

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 𝛼 2

sinh 2 𝛼𝑟

ћ2

𝜐′ 𝜐′−1

Atau, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 𝛼 2 sinh 2

Dengan, 𝜐 ′ =

− 2𝑞 coth

1 2

𝜐−2

𝑟 𝛼

ћ2

𝑟 𝛼

ћ2 𝑞


+𝑙 𝑙+1

𝑙 𝑙+1

+ 2𝑚 𝛼 2 sinh 2 𝑟 𝛼

1

+2

commit to user

𝑟 𝛼

(2.86) (2.87)



BAB III METODOLOGI PENELITIAN

A. Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan September 2011 sampai bulan Juli 2012 di Fakultas Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. B. Objek Penelitian Objek dalam penelitian ini adalah persamaan potensial efektif dari beberapa jenis potensial shape invariance, diantaranya yaitu: 1. Potensial Kratzer 𝑎

𝑉𝑒𝑓𝑓 = −2𝐷

𝑟

1 𝑎2

ћ2

− 2 𝑟 2 + 2𝑚 𝑟 2 𝑙 𝑙 + 1

(3.1)

2. Potensial Morse 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝐴0 − 𝐴1 𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥

(3.2)

Dengan, ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴0 = 2𝑚

𝑟0

𝐴1 = 2𝐷 −

2

3

3

1 − 𝛼 + α2

ћ2 𝑙 𝑙+1 2𝑚

𝑟0 2

ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴2 = 𝐷 + 2𝑚

4 𝛼

−

(3.2a) 6

(3.2b)

α2

1

3

− 𝛼 + α2

𝑟0 2

(3.2c)

3. Potensial Manning Rosen ћ2

𝜐′ 𝜐′−1

𝑉𝑒𝑓𝑓 = 2𝑚 𝛼 2 sinh 2

Dengan, 𝜐 ′ =

𝑟 𝛼

ћ2 𝑞


1 2

𝑟 𝛼

(3.3)

1

𝜐 − 2 commit + 𝑙 𝑙 + to 1 user +2



C. Instrumen Penelitian Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini berupa persamaanpersamaan dalam metode Supersimetri Mekanika Kuantum, diantara yaitu: 1.

Persamaan umum hubungan antara potensial efektif (potensial standard) dan potensial supersimetri 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0

2.

(3.4)

Persamaan pasangan potensial supersimetri shape invariance 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 +1 + 𝑅 𝑎𝑗 +1

(3.5)

Dengan, 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑊 2 𝑥, 𝑎𝑗 − 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑗 = 𝑊 2 𝑥, 𝑎𝑗 + 3.

ħ 2𝑚


ħ 2𝑚


(3.5a) (3.5b)

Persamaan umum tingkat energi ke-n untuk Hamiltonian Penurun (−)

𝐸𝑛 dengan metode operator SUSY (−)

𝐸𝑛

𝑛 𝑘=1 𝑅(𝑎𝑘 ),

=

(3.6)

Dimana 𝑅 𝑎𝑘 = 𝑉+ 𝑥; 𝑎𝑘−1 − 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑘 4.

(3.7)

Persamaan umum tingkat energi ke-n SWKB untuk Hamiltonian Penurun (−)

𝐸𝑛

𝑏 𝑎

5.

2𝑚 (𝐸𝑛− − 𝑊 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋ћ

(3.8)

Persamaan umum spektrum energi tingkat ke-n dengan metode SUSY (−)

𝐸𝑛 = 𝐸𝑛

+ 𝐸0

(3.9) commit to user



6.

Persamaan fungsi gelombang tingkat dasar 𝜓0− 𝑥 = 𝑁 exp −

7.

ћ

x

𝑊 𝑥 𝑑𝑥

(3.10)

Persamaan Operator Penaik 𝐴+ = −

8.

2𝑚

ћ

𝑑

2𝑚 𝑑𝑥

+ 𝑊 𝑥

(3.11)

Persamaan fungsi gelombang tingkat ke-n − 𝜓𝑛− 𝑥; 𝑎0 ~𝐴+ 𝑥; 𝑎0 𝜓𝑛−1 𝑥; 𝑎1

(3.12)

D. Prosedur Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan persamaan spektrum energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum dengan langkah – langkah sebagai berikut: 1.

Menentukan persamaan superpotensial 𝑊(𝑥) berdasarkan potensial efektif terkait dan energi tingkat dasar (𝐸0 ) dengan menggunakan persamaan (3.5) dan persamaan potensial efektif dari potensial terkait (pers. (3.1), (3.2), atau (3.3))

2.

Menentukan persamaan pasangan potensial supersimetri 𝑉± 𝑥; 𝑎𝑗

dan

𝑅 𝑎𝑗 dengan menggunakan persamaan (3.4), (3.4a), dan (3.4b) 3.

Menentukan persamaan umum tingkat energi ke-n

dengan Metode

Operator Supersimetrimenggunakan persamaan (3.6), (3.7) dan (3.9) 4.

Menentukan persamaan umum tingkat energi ke-ndengan metode SWKByaitu dengan menggunakan persaman (3.8) dan (3.9)

5.

Menentukan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar 𝜓0− dengan menggunakan persamaancommit (3.10) to user



6.

Menentukan persamaan fungsi gelombang tingkat ke-n(𝜓𝑛−)dengan menggunakan persamaan (3.11) dan (3.12)

E. Diagram Penelitian (flow chart) Persamaan Potensial Efektif ( )

Menentukan Persamaan Superpotensial

Menentukan Persamaan Energi Tingkat Dasar

Metode Operator Supersimetri

Menentukan Persamaan Fungsi Gelombang Tingkat Dasar

Menentukan Persamaan Fungsi Gelombang Tingkat ke-1

Metode SWKB

Menentukan Persamaan Energi Tingkat ke-n untuk (−)

Hamiltonian Penurun 𝐸𝑛

Persamaan Energi Tingkat ke-n untuk Hamiltonian Penurun 𝐸𝑛

ANALISA

Gambar 3.1. Diagram Penelitian

commit to user



BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Penelitian 1. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal Berdasarkan pers.(2.17), persamaan Schrödinger untuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal dapat dituliskan sebagai berikut; ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

+ −2𝐷

𝑎 𝑟

1 𝑎2

ћ2 𝑙 𝑙+1

− 2 𝑟 2 + 2𝑚

𝑟2

𝜓 = 𝐸𝜓

(4.1)

Atau, −

ћ2 𝑑 2 𝜓 2𝑚

𝑑𝑟 2

𝐴

𝐵

𝑟

𝑟2

+ − +

𝜓 = 𝐸𝜓

(4.2)

ћ2

dengan 𝐴 = 2𝐷𝑎, dan 𝐵 = 𝐷𝑎2 + 2𝑚 𝑙 𝑙 + 1 . Penyelesaian persamaan Schrödinger yang berupa persamaan fungsi gelombang 𝜓 dan spektrum energi 𝐸untuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanikan Kuantum (SUSYQM) dengan langkah-langkah seperti pada prosedur penelitian. Berdasarkan bentuk persamaan potensial efektif potensial Kratzer pada pers.(4.2), dapat dimisalkan persamaan superpotensialnya sebagai berikut, 𝐺

𝑊 𝑟 =𝐹+𝑟

Dengan menggunakancommit persamaan (3.5) yaitu, to user

(4.3)



𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0 Atau, ћ

𝑉𝑒𝑓𝑓 − 𝐸0 = 𝑊 2 𝑟 −

2𝑚

𝑊′ 𝑟

(4.4)

maka diperoleh, 𝐴

𝐵

− 𝑟 + 𝑟 2 − 𝐸0 = 𝐹 2 + 2

𝐹𝐺 𝑟

𝐺2

+ 𝑟2 +

ћ 𝐺 2𝑚 𝑟 2

(4.5)

Dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, diperoleh ћ2

𝐺=−

𝐵 + 8𝑚 + 2

ћ

(4.6)

2𝑚

𝐴

𝐹=

(4.7)

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2

Dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai berikut, 𝐴2

𝐸0 = −

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

4

(4.8)

2

𝐵+

Dengan mensubtitusikan pers.(4.6) dan (4.7) ke pers.(4.3), maka persamaan superpotensial untuk potensial kratzer dapat ditulis kembali sebagai,

𝑊 𝑟 = 2

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

𝐴 ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

−

𝐵+

(4.9)

𝑟

Sehingga, 𝐴2

𝑊2 𝑟 = 4

ћ2 + 8𝑚 2

𝐵+

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

+ 𝑟2 ћ commit to user 2𝑚 2

2

𝐴

−𝑟

(4.10)



Dan,

𝑊 ′ (𝑟) =

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

(4.11)

𝑟2

Berdasarkan persamaan superpotensial ini dapat ditentukan pasangan potensial supersimetri 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 dan 𝑉+ 𝑟; 𝑎𝑗 . Dimana 𝑉− 𝑥; 𝑎𝑗 ditentukan dengan menggunakan pers.(3.4a), sedangkan 𝑉+ 𝑟; 𝑎𝑗

ditentukan dengan

menggunakan pers.(3.4b). Dengan mensubtitusikan pers.(4.10) dan (4.11) ke dalam pers.(3.4a) diperoleh,

𝑉− 𝑟; 𝑎0 =

𝐴 − 𝑟

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐵+

+

𝐴2

+

𝑟2

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

4

2

−

𝐵+

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

ћ 2𝑚

𝑟2

Atau,

𝑉− 𝑟; 𝑎0 =

𝐴 − 𝑟

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

ћ2 ћ ћ + − 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

𝐵+

+

𝐵+ 𝑟2

𝐴2

+ 4

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

(4.12)

𝐵+

Sedangkandengan mensubtitusikan pers.(4.10) dan (4.11) ke dalam pers.(3.4b) diperoleh,

𝑉+ 𝑟; 𝑎0 =

𝐴 −𝑟

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐵+

+

𝑟2

𝐴2

+

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

4

2

+

𝐵+

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

ћ 2𝑚

𝑟2

Atau,

𝑉+ 𝑟; 𝑎0 =

𝐴 − 𝑟

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

+

ћ2 ћ ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

𝐵+ 𝑟2

commit to user Dari kedua pers.(4.12) dan (4.13), diketahui

𝐴2

+ 4

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

2

(4.13)



ћ2

𝑎0 =

𝐵 + 8𝑚 + 2

𝑎1 =

𝐵 + 8𝑚 + 2

ћ2

ћ

(4.14a)

2𝑚

ћ 2𝑚

+

ћ

(4.14b)

2𝑚

Dengan mengoperasikan pers.(4.14a) dan (4.15b) ke pers.(3.4a) diperoleh

𝑉− 𝑟; 𝑎1 =

𝐴 − 𝑟

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

ћ2 ћ ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

𝐵+

+

𝐵+ 𝑟2

𝐴2

+ 4

ћ2 ћ ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

2

(4.15)

𝐵+

Berdasarkan pers.(3.7), maka 𝑅 𝑎1 = 𝑉+ 𝑥; 𝑎0 − 𝑉− 𝑥; 𝑎1

(4.16)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.13) dan (4.15) ke pers.(4.16) diperoleh, 𝐴2

𝑅 𝑎1 = 4

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐴2

−

ћ2 ћ ћ 𝐵+ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

4

(4.17)

2

Dengan cara yang sama dapat diperoleh, 𝑅 𝑎2 , 𝑅 𝑎3 ,...,𝑅 𝑎𝑘 . Sehingga dapat digeneralisasi sebagai berikut, 𝑛 𝑘=1 𝑅

𝐴2

𝑎𝑘 = 4

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐴2

− 4

ћ2 ћ 𝑛ћ 𝐵+ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

(4.18)

2

Berdasarkan pers.(3.6), maka diperoleh 𝐸𝑛− =

𝑛 𝑘=1 𝑅

𝐴2

𝑎𝑘 = 4

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐴2

− 4

ћ2 ћ 𝑛ћ 𝐵+ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

Dengan mensubtitusikan pers.(4.19) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0 Diperoleh, commit to user

2

(4.19)



𝐴2

𝐸𝑛 = − 4

ћ2 ћ 𝑛ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

(4.20a)

2

𝐵+

Atau, 𝐷2 𝑎 2

𝐸𝑛 = −

(4.20b)

2 ћ2 𝐷𝑎 2 + 2𝑚

1 2 ћ 𝑙+ + 2 2𝑚

1 𝑛+ 2

Pers.(4.20) merupakan persamaan tingkat energi ke-n untuk untuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal yang diperoleh dengan menggunakan metode operator supersimetri. Selain ditentukan dengan metode operator supersimetri, persamaan umum tingkat energi ke-nuntuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal ini juga ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB yaitu dengan menggunakan persamaan (3.8), yaitu 𝑟2 𝑟1

2𝑚 𝐸𝑛− − 𝑊 2 (𝑟; 𝑎0 ) 𝑑𝑟 = 𝑛𝜋ћ

Dengan mensubtitusikan pers.(4.10) ke dalam pers.(3.8) diperoleh,

𝑟2 𝑟1

𝐸𝑛− − 4

𝐵+

ћ2

8𝑚

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐵+

𝐴2 2

+

ћ 2 2𝑚

+

𝑟2

−

𝐴 𝑟

𝑑𝑟 =

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

(4.21)

Atau,

𝑟2 𝑟1

𝐴2

− 4

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2

−𝐸𝑛−

𝑟 2 + 𝐴𝑟 −

𝐵+

Jika dimisalkan, commit to user

ћ2 8𝑚

2

+

ћ

𝑑𝑟

2 2𝑚

𝑟

=

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

(4.22)



𝐴2

𝑎=−

2

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

4

−𝐸𝑛−

𝑏=𝐴 2

ћ2

𝑐=−

𝐵 + 8𝑚 + 2

ћ 2𝑚

Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut: 𝑟2 𝑟1

𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐

𝑑𝑟

(4.23)

𝑟

Dimana solusinya adalah, 𝑟2 𝑟1

𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐

𝑑𝑟 𝑟

𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 +

=

𝑟2 2 𝑟1

𝑏

𝑑𝑟 𝑎𝑟 2 +𝑏𝑟 +𝑐

+𝑐

𝑟2 𝑟1 𝑟


(4.24a)

dengan, 𝑟2 𝑟1


1

=−

−𝑎

2𝑎𝑟 +𝑏

sin−1

(4.24b)

𝑏 2 −4𝑎𝑐

Dan, 𝑟2 𝑟1 𝑟

𝑑𝑟

Jika

1

sin−1 −𝑐

=

𝑎𝑟 2 +𝑏𝑟 +𝑐

𝑏𝑟 +2𝑐

(4.25c)

𝑏 2 −4𝑎𝑐

𝑟

𝑎𝑟 2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0, maka 𝑟1 dan 𝑟2 dapat di cari dengan

menggunakan rumus, 𝑟1,2 =

−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐

(4.26a)

2𝑎

Dan diperoleh,

𝐴2

−𝐴+ 𝐴2 −4 4

𝑟1 =

−

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

2 −𝐸𝑛

𝐴2

2 4

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐵+

(4.26b) − 2 −𝐸𝑛

commit to user



𝐴2

−𝐴− 𝐴2 −4 4

𝑟2 =

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

4

2

𝐵+

(4.27c)

𝐴2

2

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

−

2 −𝐸𝑛

− 2 −𝐸𝑛

Dengan penjabaran biasa diperoleh 2𝑎𝑟1 +𝑏 𝑏 2 −4𝑎𝑐

=1

2𝑎𝑟 +𝑏

dan

𝑏 2 −4𝑎𝑐

= −1

(4.28a)

=1

(4.28b)

Serta, 𝑏𝑟1 +2𝑐 𝑟1

𝑏 2 −4𝑎𝑐

= −1

𝑏𝑟2 +2𝑐

dan

𝑟2

𝑏 2 −4𝑎𝑐

Dengan mensubtitusikan pers.(4.28a) ke dalam pers.(4.24b) diperoleh, 𝑟2 𝑟1

𝑑𝑟

𝜋

=


(4.29a)

𝐴2 ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

4

− 2 −𝐸𝑛

Sedangkan dengan mensubtitusikan pers.(4.28b) ke dalam pers.(4.24c) diperoleh, 𝑟2 𝑟1 𝑟

𝑑𝑟

=


𝜋

(4.29b)

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

Jika pers.(4.29a) dan (4.29b) disubtitusikan ke pers.(4.22) diperoleh, 2 𝑟2

𝐴2

− 𝑟1

0+

4

𝐵+

𝐴

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝜋

−

2 𝐴2 4

ћ2 ћ 𝐵+8𝑚 + 2 2𝑚

2

−𝐸𝑛−

𝐵+

𝑟 2 + 𝐴𝑟 −

ћ2 8𝑚

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

𝑑𝑟 𝑛𝜋ћ = 𝑟 2𝑚

2

+

ћ 2 2𝑚

𝜋 ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

− 2 −𝐸𝑛

commit to user

2

=

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

(4.30)



Melalui penjabaran sederhana diperoleh, 𝐴2

𝐸𝑛− =

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

4

2

𝐴2

−

𝐵+

ћ2 ћ 𝑛ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

4

(4.31)

2

𝐵+

Dengan mensubtitusikan pers.(4.19) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0 Diperoleh, 𝐴2

𝐸𝑛 =

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

4

2

𝐴2

−

𝐵+

ћ2 ћ 𝑛ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

4

𝐵+

2

𝐴2

− 4

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

2

𝐵+

Atau, 𝐴2

𝐸𝑛 = − 4

ћ2 ћ 𝑛ћ + + 8𝑚 2 2𝑚 2𝑚

(4.32)

2

𝐵+

Atau dapat juga ditulis sebagai, 𝐷2 𝑎 2

𝐸𝑛 = −

2 ћ2 𝐷𝑎 2 + 2𝑚

1 2 ћ 𝑙+ + 2 2𝑚

(4.33)

1 𝑛+ 2

Pers.(4.32) atau (4.33) merupakan persamaan umum tingkat energi ken untuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal yang diperoleh dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Dari persamaan (4.20b) dan (4.33), dapat dilihat bahwa spektrum energi tingkat ke-n untuk potensial Kratzer yang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi yang ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Dimana nilai bilangan kuantum orbital (l) yang terkait dengan spektrum energi dan fungsi gelombang ditentukan berdasarkan nilai bilangan kuantum commit to user



radial (𝑛𝑟 ), yang besarnya adalah 𝑛𝑟 = 0, 1, 2,…, dan bilangan kuantum magnetik (m) yang besarnya 𝑚 = 0, ±1, ±2, …. Adapun hubungan antara l, m, dan 𝑛𝑟 ini ditentukan dengan penyelesaian persamaan polar pada persamaan Schrödinger koordinat bola (sistem tiga dimensi). Penyelesaian persamaan polar dapat dilakukan dengan metode Operator Supersimetri.Berdasarkan persamaan Schödinger untuk sistem tiga dimensi pada bagian polar pada pers. (2.35) yaitu ћ2 𝑑 2 𝑄

ћ2

− 2𝑚 𝑑𝜃 2 + 2𝑚

𝑚2−

1 4

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

1

ћ2

1

2

𝑄 = 2𝑚 𝑙 + 2

𝑄 2

Jika dimisalkan 𝐸 ′ = 2𝑚 𝑙 + 2 , maka pers.(4.34) dapat ditulis, ћ2 𝑑 2 𝑄

ћ2

− 2𝑚 𝑑𝜃 2 + 2𝑚

𝑚2−

1 4

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑄 = 𝐸′ 𝑄

(4.34)

Analog pada persamaan Schödinger bagian radial, maka diperoleh potensial efektif sebagai berikut, ′

ћ2

𝑉 (𝜃) = 2𝑚

𝑚2−

1 4

(4.35)

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

Berdasarkan persamaan potensial efektif ini dapat ditentukan persamaan superpotensialnya sebagai berikut, 𝑊 𝜃 = 𝐴 cot 𝜃

(4.36)

Dengan menggunakan persamaan (3.5) yaitu, 𝑉 ′ (𝜃) = 𝑉 ′ − 𝜃; 𝑎0 + 𝐸0 Atau, 𝑉 ′ (𝜃) − 𝐸0 = 𝑊 2 𝜃 − maka diperoleh,

ћ 2𝑚

𝑊′ 𝜃

commit to user

(4.37)



2

2

𝐵2

2

ћ

𝐴 csc 𝜃 − 𝐴 + 𝐴2 +

ћ2

2

2𝑚

𝐴 csc 𝜃 = 2𝑚

𝑚2−

1 4

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

− 𝐸0

(4.38)

Atau dapat ditulis, 𝐴2

𝐵2

ћ

− 𝐴2 + 𝐴2 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝐴

2𝑚 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

= 2𝑚

𝑚2−

1 4

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

− 𝐸0

(4.39)

Dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, diperoleh 𝐴=−

ћ

1

𝑚+2

2𝑚 𝛼

(4.40)

Dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai berikut, 1 2

ћ2

𝐸0 ′ = 2𝑚 𝑚 + 2

(4.41)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.40) ke pers.(4.36), maka persamaan superpotensial untuk potensial Kratzer dapat ditulis kembali sebagai, ћ

𝑊 𝜃 =−

1

2𝑚

𝑚 + 2 cot 𝜃

(4.42)

Sehingga, ћ2

2

𝑊 𝜃 = 2𝑚

1 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑚+

ћ2

1 2

− 2𝑚 𝑚 + 2

(4.43)

Dan, 𝑊′ 𝜃 =

ћ 2𝑚

1 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑚+

(4.44)

Berdasarkan persamaan superpotensial ini dapat ditentukan pasangan potensial supersimetri 𝑉−′ 𝜃; 𝑎𝑗 dan 𝑉+′ 𝜃; 𝑎𝑗 . Dimana 𝑉−′ 𝜃; 𝑎𝑗 ditentukan dengan menggunakan pers.(3.4a), sedangkan 𝑉+′ 𝜃; 𝑎𝑗

ditentukan dengan

menggunakan pers.(3.4b). Dengan mensubtitusikan pers.(4.41) dan (4.44) ke dalam pers.(3.4a) diperoleh, commit to user



′

ћ2

1 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

𝑚+

𝑉− 𝜃; 𝑎0 = 2𝑚

𝑚+

1 2

ћ2

− 2𝑚 𝑚 + 2

ћ2

− 2𝑚

1 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑚+

(4.45)

Atau, ′

𝑉− 𝜃; 𝑎0 = 2𝑚

1 2

1 2

𝑚−

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

1 2

ћ2

− 2𝑚 𝑚 + 2

(4.46)

Sedangkan Dengan mensubtitusikan pers.(4.41) dan (4.44) ke dalam pers.(3.4b) diperoleh, ′

ћ2

1 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

ћ2

𝑚+

𝑉+ 𝜃; 𝑎0 = 2𝑚

𝑚+

1 2

ћ2

− 2𝑚 𝑚 + 2

ћ2

− 2𝑚

1 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

𝑚+

(4.47)

Atau, 𝑉+′ 𝜃; 𝑎0 = 2𝑚

1 2

3 2

𝑚+

1 2

ћ2

− 2𝑚 𝑚 + 2

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

(4.48)

Dari kedua pers.(4.46)dan (4.48), diketahui 𝑎0 = 𝑚

(4.49a)

𝑎1 = 𝑚 + 1

(4.49b)

Dengan mengoperasikan pers.(4.49a) dan (4.49b) ke pers.(3.4a) diperoleh ћ2

𝑉−′ 𝜃; 𝑎1 = 2𝑚

1 2

3 2

𝑚+

𝑚+

𝑠𝑖𝑛 2 𝜃

3 2

ћ2

− 2𝑚 𝑚 + 2

(4.50)

Berdasarkan pers.(3.7), maka 𝑅 ′ 𝑎1 = 𝑉+′ 𝜃; 𝑎0 − 𝑉−′ 𝜃; 𝑎1

(4.51)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.48) dan (4.50) ke pers.(4.51) diperoleh, ћ2

1 2

𝑅 ′ 𝑎1 = − 2𝑚 𝑚 + 2

ћ2

3 2

+ 2𝑚 𝑚 + 2

commit to user

(4.52)



Dengan cara yang sama dapat diperoleh, 𝑅 𝑎2 , 𝑅 𝑎3 , ..., 𝑅 𝑎𝑘 . Sehingga dapat digeneralisasi sebagai berikut, 1 2

ћ2

𝑛 ′ 𝑘=1 𝑅

𝑎𝑘 = − 2𝑚 𝑚 + 2

1 2

ћ2

+ 2𝑚 𝑚 + 𝑛 + 2

(4.53)

Berdasarkan pers.(3.6), maka diperoleh ′ −

𝐸𝑛

𝑛 ′ 𝑘=1 𝑅

=

1 2

ћ2

𝑎𝑘 = − 2𝑚 𝑚 + 2

1 2

ћ2

+ 2𝑚 𝑚 + 𝑛 + 2

(4.54)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.79)dan (4.19) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 ′ = 𝐸𝑛′ − + 𝐸0 ′ Diperoleh, 1 2

ћ2

𝐸𝑛 ′ = − 2𝑚 𝑚 + 2

1 2

ћ2

+ 2𝑚 𝑚 + 𝑛 + 2

ћ2

1 2

+ 2𝑚 𝑚 + 2

(4.55)

Atau, 1 2

ћ2

𝐸𝑛 ′ = 2𝑚 𝑚 + 𝑛 + 2 ћ2

1

(4.56)

2

Karena 𝐸 ′ = 2𝑚 𝑙 + 2 , maka pers.(4.56) dapat ditulis, ћ2 2𝑚

1 2

𝑚+𝑛+2

ћ2

1

2

= 2𝑚 𝑙 + 2

(4.57)

Berdasarkan pers.(4.57) dapat diketahui hubungan antara 𝑙, 𝑚, dan 𝑛 sebagai berikut, 𝑙 =𝑚+𝑛

(4.56)

Dimana berturut-turut, l merupakan bilangan kuantum orbital, m adalah bilangan kuantum magnetik, dan n adalah bilangan kuantum radial. Untuk menghindari kekeliruan dengan simbol bilangan kuantum utama, maka untuk bilangan kuantum radial disimbulkan dengan 𝑛𝑟 . Sehingga pers.(4.56) ditulis,

commit to user



𝑙 = 𝑚 + 𝑛𝑟

(4.57)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.57) ini ke dalam per.(4.20) atau (4.32), maka dapat ditentukan spektrum energi berdasarkan nilai l untuk setiap harga 𝑛𝑟 . Tabel 4.1 berikut ini adalah hasil perhitungan spektrum energi dengan beberapa variasi 𝑛𝑟 dan ldari molekul HCl dalam medan potensial Kratzer dengan menggunakan persamaan (4.32). keadaan kuantum

𝑛𝑟

m

0

0 1 2

l 0 1 2

1

0 1 2 0 1 2

1 2 3 2 3 4

2

𝐸𝑛𝑙 (eV) -4,5415321 -4,5389734 -4,5338646 -4,3909686 -4,3861076 -4,3788364 -4,2454577 -4,2385332 -4,2293361

Tabel 4.1: Spektrum Energi Potensial Kratzer Molekul HCl (𝒎𝑯𝑪𝒍 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟎𝟏𝟎𝟒𝟓 amu, ћ = 𝟏, 𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱𝒔, 𝑫 = 𝟒, 𝟔𝟏𝟕𝟓 𝒆𝑽, dan 𝒂 = 𝟐, 𝟑𝟖 Å)

Persamaan fungsi gelombang untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugalditentukan

dengan

menggunakan

metode

operator

supersimetri.Dengan mensubtitusikan pers.(4.9) ke dalam pers.(3.10) yaitu, 𝜓0− 𝑟; 𝑎0 = 𝑁 exp −

2𝑚 ћ

r

𝑊 𝑟; 𝑎0 𝑑𝑟

Sehingga, − 𝜓0

𝑟; 𝑎0 = 𝑁 exp −

2𝑚 ћ

r

𝐴 2

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

Dan diperoleh commit to user

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

−

𝑟

𝑑𝑟

(4.58)



−

𝜓0−

2𝑚 ћ

𝑟; 𝑎0 = 𝑁𝑒

2

𝐴 ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

r

𝑟

2𝑚 ћ

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

(4.59)

Persamaan (4.59) merupakan persamaan umum fungsi gelombang tingkat dasar untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal. Gambar 4.1 berikut ini adalah bentuk fungsi gelombang tingkat dasar 𝑛𝑟 = 0 potensial Kratzer dengan beberapa variasi nilai l yang ditentukan berdasarkan

𝜓0− 𝑟; 𝑎0

pers.(4.57) dengan menggunakan pers.(4.59).

Gambar 4.1: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Kratzer (ћ = 𝒎 = 𝑫 = 𝒂 = 𝟏)

Sedangkan untuk fungsi gelombang tingkat satu ditentukan dengan mengoperasikan operator

penaik

(𝐴+) (pers.(3.11) ke dalam persamaan

gelombang tingkat dasar (pers.4.59) dengan menggunakan pers.(3.12), yaitu 𝜓1− 𝑟; 𝑎0 = 𝐴+ 𝑟; 𝑎0 𝜓0− 𝑟; 𝑎1 Maka, −

𝜓1

𝑟; 𝑎0 = −

ћ 𝑑 2𝑚 𝑑𝑟

commit to−user

+ 𝑊 𝑟; 𝑎0 𝜓0

𝑟; 𝑎1



− − 𝜓1


𝑟; 𝑎0 = −

2𝑚 ћ

𝑁𝑒

2

𝐴 ћ2 3ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐴

+ 𝑁 2

ћ2 ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

ћ2 ћ + 8𝑚 2 2𝑚

−

𝐵+

𝑒

𝑟

2𝑚 ћ

r

𝑟

2𝑚 ћ

ћ2 3ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

− 𝐴 2

ћ2 3ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

r

𝑟

2𝑚 ћ

ћ2 3ћ + 8𝑚 2 2𝑚

𝐵+

Dengan penjabaran sederhana diperoleh,

−

𝜓1 =

𝑟; 𝑎0𝑁

𝐴

= 2

−

ћ2 3ћ 𝐵 + 8𝑚 + 2 2𝑚 𝑁

ћ2 ћ 𝐵 + 8𝑚 + 2𝑚 𝑟

−

𝐴

+

ћ2 𝐵 + 8𝑚 +

2 2𝑚 ћ

𝑒

2

𝐴 r ћ2 3ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

𝑟

ћ 2 2𝑚

2𝑚 ћ

ћ2 3ћ 𝐵+ + 8𝑚 2 2𝑚

(4.60)

2. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal Berdasarkan pers.(2.17), persamaan Schrödinger untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal dapat dituliskan sebagai berikut; ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

ћ2 𝑙 𝑙+1

+ 𝐷 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝑒 −𝛼𝑥 + 2𝑚

𝑟2

𝜓 = 𝐸𝜓

(4.61)

Atau, ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

+ 𝐴0 − 𝐴1 𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 𝜓 = 𝐸𝜓

(4.62)

Dengan, ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴0 = 2𝑚

𝑟0 2

3

3

1 − 𝛼 + 𝛼2 commit to user

(4.63a)



ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴1 = 2𝐷 − 2𝑚

ћ2 𝑙 𝑙+1

𝐴2 = 𝐷 + 2𝑚

4

𝑟0 2

𝛼

6

− 𝛼2

1

3

− 𝛼 + 𝛼2

𝑟0 2

(4.63b) (4.63c)

Penyelesaian persamaan Schrödinger yang berupa persamaan fungsi gelombang 𝜓 dan spektrum energi 𝐸 untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanikan Kuantum (SUSYQM) dengan langkah-langkah seperti pada prosedur penelitian. Berdasarkan bentuk persamaan potensial efektif potensial Morse pada pers.(4.62), dapat dimisalkan persamaan superpotensialnya sebagai berikut, 𝑊 𝑥 = 𝐹 − 𝐺𝑒 −𝛼𝑥

(4.64)

Dengan menggunakan persamaan (3.5) yaitu, 𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0 Atau, 𝑉𝑒𝑓𝑓 − 𝐸0 = 𝑊 2 𝑥 −

ћ 2𝑚

𝑊′ 𝑥

(4.65)

maka diperoleh, 𝐹 2 + 𝐺 2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 2𝐹𝐺𝑒 −𝛼𝑥 −

ћ 2𝑚

𝛼𝐺𝑒 −𝛼𝑥 = 𝐴0 − 𝐴1 𝑒 −𝛼𝑥 + 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐸0

(4.66)

Dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, diperoleh 𝐺= 𝐹=2

𝐴2 𝐴1 𝐴2

(4.67) −2

ћ 2𝑚

𝛼

(4.68)

Dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai berikut,

commit to user



𝐸0 = 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼

2

(4.69)

2𝑚

Dengan mensubtitusikan pers.(4.67) dan (4.68) ke pers.(4.64), maka persamaan superpotensial untuk potensial Morse dapat ditulis kembali sebagai, 𝑊 𝑥 =

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ 2𝑚

𝛼 − 𝐴2 𝑒 −𝛼𝑥

(4.70)

Sehingga, 𝑊 2 𝑥 = 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 −

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚

𝑒 −𝛼𝑥 +

𝐴1 2 𝐴2

−

ћ𝛼 2 2𝑚

2

(4.71)

Dan, 𝑊′ 𝑥 =

𝐴2 𝛼𝑒 −𝛼𝑥

(4.72)


ditentukan dengan

menggunakan pers.(3.4b). Dengan mensubtitusikan pers.(4.71) dan (4.72) ke dalam pers.(3.4a) diperoleh, 𝑉− 𝑥; 𝑎0 = 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 −

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚

𝑒 −𝛼𝑥 +

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼 2𝑚

2

−

ћ 2𝑚


Atau, 𝑉− 𝑥; 𝑎0 = 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 𝑒 −𝛼𝑥 +

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ

2

𝛼 2𝑚

(4.73)

Sedangkan dengan mensubtitusikan pers.(4.71) dan (4.72) ke dalam pers.(3.4b) diperoleh, ћ𝛼 𝐴

2 𝑉+ 𝑥; 𝑎0 = 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 − commit 𝑒 −𝛼𝑥 + to user 2𝑚

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼 2𝑚

2

+

ћ 2𝑚




Atau, 𝑉+ 𝑥; 𝑎0 = 𝐴2 𝑒

−2𝛼𝑥

2ћ𝛼 𝐴2

− 𝐴1 −

2𝑚

𝑒

−𝛼𝑥

+

𝐴1

−2

2 𝐴2

ћ𝛼

2

(4.74)

2𝑚

Dari kedua pers.(4.73) dan (4.74), diketahui 𝑎0 = 𝐴1

(4.75a)

𝑎1 = 𝐴1 −

2ћ𝛼 𝐴2

(4.75b)

2𝑚

Dengan mengoperasikan pers.(4.75a) dan (4.75b) ke pers.(3.4a) diperoleh 2ћ𝛼 𝐴2

𝑉− 𝑟; 𝑎1 = 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 −

𝑒 −𝛼𝑥 +

2𝑚

𝐴1

3ћ𝛼

2 𝐴2

−2

2

(4.76)

2𝑚


(4.77)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.75a) dan (4.75b) ke pers.(4.77) diperoleh, 𝑅 𝑎1 =

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼

2

𝐴1

−

2𝑚

2 𝐴2

2

3ћ𝛼

−2

(4.78)

2𝑚

Dengan cara yang sama dapat diperoleh, 𝑅 𝑎2 , 𝑅 𝑎3 , ..., 𝑅 𝑎𝑘 . Sehingga dapat digeneralisasi sebagai berikut, 𝑛 𝑘=1 𝑅

𝑎𝑘 =

𝐴1 2 𝐴2

−2

2

2

ћ𝛼

−

2𝑚

𝐴1 2 𝐴2

−

ћ𝛼

1

2𝑚

𝑛+2

(4.79)

Berdasarkan pers.(3.6), maka diperoleh 𝐸𝑛−

=

𝑛 𝑘=1 𝑅

𝑎𝑘 =

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼 2𝑚

2

2

−

𝐴1 2 𝐴2

−

ћ𝛼 2𝑚

1

𝑛+2

(4.80)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.80) dan pers.(4.69) ke dalam pers.(3.9) yaitu,

commit to user



𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0 Diperoleh, 𝐴1

𝐸𝑛 =

2 𝐴2

−2

2

2

ћ𝛼

𝐴1

−

2𝑚

2 𝐴2

ћ𝛼

−

1

𝑛+2

2𝑚

+ 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼

2

2𝑚

Atau, 2

𝐸𝑛 = 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−

ћ𝛼 2𝑚

1

𝑛+2

(4.81)

Pers.(4.81) merupakan persamaan tingkat energi ke-n untuk untuk potensial

Morse dengan faktor sentrifugal

yang diperoleh dengan

menggunakan metode operator supersimetri. Selain ditentukan dengan metode operator supersimetri, persamaan umum tingkat energi ke-n untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal ini juga ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB yaitu dengan menggunakan persamaan (3.8), yaitu 𝑥2 𝑥1

2𝑚 𝐸𝑛− − 𝑊 2 (𝑥; 𝑎0 ) 𝑑𝑥 = 𝑛𝜋ћ Dengan mensubtitusikan pers.(4.71) ke dalam pers.(3.8) diperoleh,

𝑥2 𝑥1

𝐸𝑛− − 𝐴2 𝑒 −2𝛼𝑥 − 𝐴1 −

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚

𝑒 −𝛼𝑥 +

𝐴1

−

2 𝐴2

ћ𝛼

2

2 2𝑚

𝑑𝑥 =

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

(4.82)

Atau dapat ditulis,

𝑥2 𝑥1

−

𝐴2 𝑒 2𝛼𝑥

Jika 𝑑𝑥 =

𝑑𝑦 𝛼𝑦

+

ћ𝛼 𝐴 2 2𝑚 𝑒 2𝛼𝑥

𝐴1 −

𝑒 𝛼𝑥

−

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚 𝑒 2𝛼𝑥

dimisalkan,

2

−

−𝐸𝑛

𝑒 2𝛼𝑥 𝑑𝑥 =

𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥

commit to user , sehingga pers.(4.83) dapat ditulis kembali,

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

(4.83)

maka,



𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴2 2 2𝑚

ћ𝛼 𝐴2 𝐴1 − 𝐴2 2𝑚 − 2+ 𝑦− 𝑦 𝑦2

𝑦2 𝑦1

2

− 𝐸𝑛− 𝑦2

𝑦2

𝑑𝑦 𝑛𝜋ћ = 𝛼𝑦 2𝑚

Atau 𝑦2 𝑦1

𝐴1

−

−

2 𝐴2

2

ћ𝛼 2 2𝑚

−

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚

𝑦 2 + 𝐴1 −

− 𝐸𝑛

𝑦 − 𝐴2

𝑑𝑦 𝑦2

=

𝑛𝜋 ћ𝛼 2𝑚

(4.84)

Jika dimisalkan, 𝑎=−

𝐴1 2 𝐴2

𝑏 = 𝐴1 −

−2

ћ𝛼

2

2𝑚

− 𝐸𝑛−

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚

𝑐 = −𝐴2 Maka persamaan (4.84) ini dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut: 𝑦2 𝑦1

𝑑𝑦

𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐

(4.85)

𝑦2

dimana solusinya adalah, 𝑦2 𝑦1

𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐

𝑑𝑦 𝑦2

=

𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐 𝑦

+𝑎

𝑦2 𝑦1

𝑑𝑦 𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

+

𝑦2 2 𝑦1 𝑦

𝑏

𝑑𝑦 𝑎 𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

(4.86a)

dengan, 𝑦2 𝑦1

𝑑𝑟 𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

1

2𝑎𝑦 +𝑏

sin−1 −𝑎

=−

𝑏 2 −4𝑎𝑐

(4.86b)

Dan, 𝑦2 𝑦1 𝑦

𝑑𝑟 𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

Jika

=

1 −𝑐

sin−1

𝑏𝑦 +2𝑐 𝑦

𝑏 2 −4𝑎𝑐

(4.86c)

𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, maka 𝑟1 dan𝑟2 dapat di cari dengan

menggunakan rumus,

commit to user



𝑦1,2 =

−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐

(4.87)

2𝑎

Dan diperoleh, ћ𝛼 𝐴

𝑦1 =

𝐴1 −

ћ𝛼 𝐴

−4𝐴2

𝐴1 −

2

−

−𝐸𝑛

(4.88a)

−

−4𝐴2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

−𝐸𝑛

2

ћ𝛼 𝐴 2 2𝑚

2 − 𝐴1 − − 2𝑚

2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

2

𝑦2 =

2

ћ𝛼 𝐴 2 2𝑚

2 − 𝐴1 − + 2𝑚

2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

2

−

−𝐸𝑛

(4.88b)

−

−𝐸𝑛

Dengan penjabaran biasa diperoleh 2𝑎𝑦 1 +𝑏

=1

𝑏 2 −4𝑎𝑐

2𝑎𝑦 2 +𝑏

dan

= −1

𝑏 2 −4𝑎𝑐

(4.89a)

Serta 𝑏𝑦 1 +2𝑐 𝑦1

𝑏𝑦 2 +2𝑐

= −1 dan

𝑏 2 −4𝑎𝑐

𝑏 2 −4𝑎𝑐

𝑦2

=1

(4.89b)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.89a) ke dalam pers.(4.86b) diperoleh, 𝑦2 𝑦1

𝑑𝑟

𝜋

=

𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

(4.90a) − −𝐸𝑛

Sedangkan dengan mensubtitusikan pers.(4.89b) ke dalam pers.(4.86c) diperoleh, 𝑦2 𝑦1 𝑦

𝑑𝑟

𝜋

=

𝑎𝑦 2 +𝑏𝑦 +𝑐

(4.90b)

𝐴2

Jika pers.(4.90a) dan (4.90b) disubtitusikan ke pers.(4.84) diperoleh, 𝑦2 𝑦1

0−

−

𝐴1 2 𝐴2

−2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

2

𝐴1 ћ𝛼 − 2 𝐴 2 2 2𝑚

ћ𝛼 2𝑚

−

−𝐸𝑛 2

− −𝐸𝑛

2

−

𝑦 2 + 𝐴1 −

− 𝐸𝑛

𝜋

+

ћ𝛼 𝐴 2 2𝑚

𝜋

2

𝐴2

𝐴1 −

= commit to user

ћ𝛼 𝐴2 2𝑚


𝑦 − 𝐴2

𝑑𝑦 𝑦2

=


(4.91)



Melalui penjabaran sederhana diperoleh, 𝐸𝑛−

=

𝐴1 2 𝐴2

−2

2

2

ћ𝛼

𝐴1

−

2𝑚

−2

2 𝐴2

ћ𝛼 2𝑚

−

𝑛ћ𝛼

(4.92)

2𝑚

Dengan mensubtitusikan pers.(4.92) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0 Diperoleh, 𝐸𝑛 =

𝐴1 2 𝐴2

−2

2

2

ћ𝛼 2𝑚

𝐴1

−

2 𝐴2

−2

ћ𝛼 2𝑚

−

𝑛ћ𝛼 2𝑚

+ 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼

2

2𝑚

Sehingga, 2

𝐸𝑛 = 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ𝛼 2𝑚

−

𝑛ћ𝛼

(4.93)

2𝑚

Atau dapat juga ditulis sebagai berikut, 2

𝐸𝑛 = 𝐴0 −

𝐴1 2 𝐴2

−

ћ𝛼 2𝑚

1

𝑛+2

(4.94)

Pers.(4.93) atau (4.94) merupakan persamaan umum tingkat energi ken untuk potensial Morse dengan faktor sentrifugal yang diperoleh dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Dari persamaan (4.81) dan (4.94), dapat dilihat bahwa spektrum energi

tingkat

ke-nuntuk

potensial

Morse.yang

ditentukan

dengan

menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi yang ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Sebagaimana pada potensial Kratzer, nilai l dalam pers.(4.81) atau (4.94) dapat ditentukan dengan menggunakan pers.(4.57). Berikut ini adalah hasil perhitungan spektrum commit energi dengan to user beberapa variasi 𝑛𝑟 dan l dari



molekul HCl dalam medan potensial Morse dengan menggunakan pers.(4.94). keadaan kuantum

𝑛𝑟

m

0

0 1 2

l 0 1 2

1

0 1 2 0 1 2

1 2 3 2 3 4

2

𝐸𝑛𝑙 (eV) -4,61874999999 -4,61612567915 -4,61088595370 -4,61612567913 -4,61088595368 -4,60304850506 -4,61088595366 -4,60304850504 -4,59263948257

Tabel 4.2: Spektrum Energi Potensial Morse Molekul HCl (𝒎𝑯𝑪𝒍 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟎𝟏𝟎𝟒𝟓 amu, ћ = 𝟏, 𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱𝒔, 𝑫 = 𝟒, 𝟔𝟏𝟕𝟓 𝒆𝑽, dan 𝒓𝟎 = 𝟐, 𝟑𝟖 Å)

Persamaan fungsi gelombang untuk Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri. Dengan mensubtitusikan pers.(4.70) ke dalam pers.(3.10) yaitu, 𝜓0− 𝑥; 𝑎0 = 𝑁 exp −

2𝑚 ћ

x

𝑊 𝑥; 𝑎0 𝑑𝑥

Sehingga, 𝜓0− 𝑥; 𝑎0 = 𝑁 exp −

2𝑚 ћ

x

𝐴1 2 𝐴2

−2

ћ 2𝑚

𝛼 − 𝐴2 𝑒 −𝛼𝑥

𝑑𝑥 (4.95)

Dan diperoleh 𝜓0−

𝑥; 𝑎0 = 𝑁𝑒

−

2𝑚 𝐴 1 ћ − 𝛼 ћ 2 𝐴 2 2 2𝑚

𝑥 − 2𝑚 𝐴 2 𝑒 −𝛼𝑥

𝑒

ћ

𝛼

(4.96)

Persamaan (4.96) merupakan persamaan umum fungsi gelombang tingkat dasar untuk Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal. Berikut ini adalah bentuk fungsi gelombang tingkat dasar 𝑛𝑟 = 0 potensial Morse commit to user



dengan beberapa variasi nilai l yang ditentukan berdasarkan pers.(4.57)

𝜓0− 𝑥; 𝑎0

dengan menggunakan pers.(4.96).

Gambar 4.2: Gelombang Tingkat Dasar untuk Potensial Morse (ћ = 𝒎 = 𝑫 = 𝒓𝟎 = 𝟏, dan 𝜶 = 𝟎. 𝟓)

Sedangkan untuk fungsi gelombang tingkat satu ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik (𝐴+) pada pers.(3.11) ke dalam persamaan gelombang tingkat dasar (pers.(4.96)) dengan menggunakan pers.(3.12), yaitu 𝜓1− 𝑥; 𝑎0 = 𝐴+ 𝑥; 𝑎0 𝜓0− 𝑥; 𝑎1 Maka, 𝜓1− 𝑥; 𝑎0 = − −

𝜓1

𝑥; 𝑎0 = −

ћ

𝑑

2𝑚 𝑑𝑟 ћ 𝑑 2𝑚 𝑑𝑥

𝐴1 2 𝐴2

𝐴2 𝑒

+ 𝑊 𝑥; 𝑎0 𝑁𝑒

−

−𝛼𝑥

−

ћ 2 2𝑚

𝑁𝑒

−

𝜓0− 𝑥; 𝑎1

2𝑚 𝐴 1 3ћ𝛼 − ћ 2 𝐴 2 2 2𝑚

𝑥 − 2𝑚 𝐴 2 𝑒 −𝛼𝑥

𝑒

ћ

𝛼

𝛼 − 2𝑚 𝐴 1 3ћ𝛼 − ћ 2 𝐴 2 2 2𝑚

commit to user

𝑥 − 2𝑚 𝐴 2 𝑒 −𝛼𝑥

𝑒

ћ

𝛼

+



Dengan penjabaran sederhana diperoleh, 𝐴1

𝜓1− 𝑥; 𝑎0 = 𝑁

𝐴2

−

2ћ𝛼 2𝑚

− 2 𝐴2 𝑒 −𝛼𝑥 𝑒

−

2𝑚 𝐴1 3ћ𝛼 − 𝑥 ћ 2 𝐴 2 2 2𝑚

𝑒−

2𝑚 𝐴 2 −𝛼𝑥 𝑒 ћ 𝛼

(4.97)

3. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal Berdasarkan pers.(2.17), persamaan Schrödinger untuk potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal dapat dituliskan sebagai berikut; ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

+

ћ2

𝜐 𝜐−1

2𝑚 𝛼 2

sinh 2 𝛼𝑟

ћ2

𝜐′ 𝜐′ −1

2𝑚 𝛼 2

sinh 2 𝛼𝑟

ћ2 𝑞


𝑟 𝛼

ћ2 𝑙 𝑙+1

+ 2𝑚

𝑟2

𝜓 = 𝐸𝜓

(4.98)

Atau, ћ2 𝑑 2 𝜓

− 2𝑚

𝑑𝑟 2

+

dengan 𝜐 ′ =

𝜐−

1 2 2

ћ2 𝑞


+𝑙 𝑙+1

+

𝑟 𝛼

𝜓 = 𝐸𝜓

(4.99)

1 2

Penyelesaian persamaan Schrödinger yang berupa persamaan fungsi gelombang 𝜓 dan spektrum energi 𝐸 untuk potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanikan Kuantum (SUSYQM) dengan langkah-langkah seperti pada prosedur penelitian. Berdasarkan bentuk persamaan potensial efektif potensial Manning Rosen pada pers.(4.99), dapat dimisalkan persamaan superpotensialnya sebagai berikut, 𝑊 𝑟 = 𝐴 coth

𝑟 𝛼

𝐵

−𝐴

Dengan menggunakan persamaan (3.5) yaitu, commit to user

(4.100)



𝑉𝑒𝑓𝑓 = 𝑉− 𝑥; 𝑎0 + 𝐸0 Atau, ћ

𝑉𝑒𝑓𝑓 − 𝐸0 = 𝑊 2 𝑟 −

2𝑚

𝑊′ 𝑟

(4.101)

maka diperoleh, ћ2 𝜐′ 𝜐′−1 2𝑚 𝛼 2 sinh 2 𝛼𝑟

−

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

coth

𝑟 𝛼

− 𝐸0 = 𝐴2 csch2

𝑟 𝛼

− 2𝐵 coth

𝑟 𝛼

+ 𝐴2 +

ћ 𝐴 𝑟 csch2 𝛼 2𝑚 𝛼

𝐵2 𝐴2

+

(4.102)

Dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, diperoleh 𝐴=

ћ 2𝑚 𝛼

𝜐′ − 1

(4.103)

ћ2 𝑞

𝐵 = 2𝑚 𝛼 2

(4.104)

Dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai berikut, ћ2

𝐸0 = − 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2

(4.105)

𝜐′−1 2

Dengan mensubtitusikan pers.(4.103) dan (4.104) ke pers.(4.100), maka persamaan superpotensial untuk potensial kratzer dapat ditulis kembali sebagai, 𝑊 𝑟 =

ћ 2𝑚 𝛼

𝜐′ − 1 coth

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1 2 coth2

𝑟 𝛼

−

𝑞 𝜐′ −1

(4.106)

Sehingga, 𝑊2 𝑟 =

𝑟 𝛼

+

ћ2 𝑞2 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

−

ћ2 𝑞 coth 𝛼𝑟 𝑚𝛼2

(4.107)

Dan, 𝑊′ 𝑟 = −

ћ 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1 csch2

𝑟 𝛼

commit to user

(4.108)




ditentukan dengan

menggunakan pers.(3.4b). Dengan mensubtitusikan pers.(4.107) dan (4.108) ke dalam pers.(3.4a) diperoleh, 𝑉− 𝑟; 𝑎0 =

ћ2 𝜐′ −1 2 𝑥 csch2 𝛼 2𝑚 𝛼 2 ћ2 𝜐′−1 2𝑚 𝛼 2

ћ2 𝑞


ћ2

𝑥 𝛼

𝑏2 𝜐′ −1 2

𝜐′ − 1

2

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

+ 2𝑚 𝛼 2

+

−

𝑥 𝛼

csch2

Atau, 𝑉− 𝑟; 𝑎0 =

ћ2 𝜐′ 2𝑚 𝛼 2

𝜐 ′ − 1 csch2

𝑥 𝛼

−

ћ2 𝑞 𝑥 coth 𝑚𝛼2 𝛼

+

2

+

𝑞2 𝜐 ′ −1 2

(4.109) Sedangkan Dengan mensubtitusikan pers.(4.107) dan (4.108) ke dalam pers.(3.4b) diperoleh,

𝑉+ 𝑟; 𝑎0 =

ћ2 𝜐′ −1 2 𝑥 csch2 𝛼 2𝑚 𝛼 2 ћ2 𝜐′ −1 2𝑚 𝛼 2

csch2

ћ2 𝑞

+ 𝑚 𝛼 2 coth

𝑥 𝛼

ћ2

+ 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝑏2 𝜐′ −1 2

+

𝑥 𝛼

Atau, ћ2

𝑉+ 𝑟; 𝑎0 = 2𝑚 𝛼 2 𝜐 ′ − 1 𝜐 ′ − 2 csch2

𝑥 𝛼

ћ2 𝑞

+ 𝑚 𝛼 2 coth

𝑞2 𝜐 ′ −1 2

𝑥 𝛼

ћ2

+ 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

(4.110)

Dari kedua pers.(4.109)dan (4.110), diketahui 𝑎0 = 𝜐′

(4.111a)

𝑎1 = 𝜐 ′ − 1

(4.111b) commit to user



Dengan mengoperasikan pers.(4.111a) dan (4.111b) ke pers.(3.4a) diperoleh ћ2

ћ2 𝑞

𝑥 𝛼

𝑉− 𝑟; 𝑎1 = 2𝑚 𝛼 2 𝜐 ′ − 1 𝜐 ′ − 2 csch2

ћ2

𝑥 𝛼

+ 𝑚 𝛼 2 coth

+ 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 2

𝑞2 𝜐 ′ −2 2

2

+

(4.112)


(4.113)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.110) dan (4.112) ke pers.(4.113) diperoleh, ћ2

𝑅 𝑎1 = 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2

ћ2

𝜐 ′ −1 2

𝜐′ − 2

− 2𝑚 𝛼 2

2

+

𝑞2

(4.114)

𝜐 ′ −2 2

Dengan cara yang sama dapat diperoleh, 𝑅 𝑎2 , 𝑅 𝑎3 , ..., 𝑅 𝑎𝑘 . Sehingga dapat digeneralisasi sebagai berikut, 𝑛 𝑘=1 𝑅

𝑎𝑘 =

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2 𝜐 ′ −1 2

−

ћ2

𝜐′ − 1 − 𝑛

2𝑚 𝛼 2

2

+

𝑞2

(4.115)

2 𝜐 ′ −1 −𝑛

Berdasarkan pers.(3.6), maka diperoleh 𝐸𝑛− =

𝑛 𝑘=1 𝑅

𝑎𝑘 =

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2 𝜐 ′ −1 2

−

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

+

𝑞2 2 𝜐 ′ −1 −𝑛

(4.116) Dengan mensubtitusikan pers.(4.116)dan (4.105) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0 Diperoleh, ћ2

𝐸𝑛 = 2𝑚 𝛼 2 ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

𝜐′ − 1

2

+ +

𝑞2

ћ2

𝜐′ −1

2

− 2𝑚 𝛼 2

𝑞2 𝜐′−1 −𝑛

𝑞2 𝜐′−1 2

commit to user

2

+

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

−

(4.117)



Atau, ћ2

𝑞2

𝐸𝑛 = − 2𝑚 𝛼 2

𝜐′−1 −𝑛

+

2

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

(4.118)

Pers.(4.108) merupakan persamaan tingkat energi ke-n untuk untuk potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal yang diperoleh dengan menggunakan metode operator supersimetri. Selain ditentukan dengan metode operator supersimetri, persamaan umum tingkat energi ke-n untuk potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal ini juga ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB yaitu dengan menggunakan persamaan (3.8), yaitu 𝑟2 𝑟1

2𝑚 𝐸𝑛− − 𝑊 2 (𝑟; 𝑎0 ) 𝑑𝑟 = 𝑛𝜋ћ Dengan mensubtitusikan pers.(4.107)ke dalam pers.(3.8) diperoleh,

𝑟2 𝑟1

ћ2

𝐸𝑛− −

2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1 2 coth2

𝑟 𝛼

−

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

coth

𝑟 𝛼

+

ћ2

𝑞2

𝑑𝑟 =

2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

𝑛𝜋 ћ

(4.119)

2𝑚

Atau, 𝑟2 𝑟1

−

ћ2

𝜐′ − 1 2 coth2

2𝑚 𝛼 2

𝑟 𝛼

+

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

coth

Jika dimisalkan, 𝑦 = tanh 1

𝑑𝑟 =

1+𝑦

𝑦2 𝑦1

−

1

+ 1−𝑦

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝛼 𝑑𝑦 2

𝑟 𝛼

− 𝑟 𝛼

ћ2 𝑞2 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

𝑑𝑟 =

1

maka, 𝑑𝑦 = 𝛼 csch2

𝑛𝜋 ћ 2𝑚

𝑟 𝛼

(4.120)

𝑑𝑟 atau

sehingga pers.(4.120) dapat ditulis,

𝜐′ − 1 2 𝑦 2 +

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

𝑦−

ћ2

𝑞2

2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

1 1+𝑦

+

1

𝑑𝑦 =

1−𝑦

2𝑛𝜋 ћ 2𝑚 𝛼

(4.121)

Atau, 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑦1

−

−

ћ2 2𝑚 𝛼 2

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1 2 𝑦 2 + 𝜐′ − 1 2 𝑦 2 +

ћ2 𝑞 𝑦 𝑚𝛼2

−

ћ2 𝑞2 2 2𝑚 𝛼 𝜐′ −1 2

2 user ћ2 𝑞commit ћto 𝑞2 𝑦− 2 2 𝑚𝛼 2𝑚 𝛼 𝜐′ −1 2

−

− 𝐸𝑛

− 𝐸𝑛−

𝑑𝑦 1+𝑦 𝑑𝑦 1−𝑦

+

=


(4.122)



Untuk memudahkan penyelesaian maka penyelesaian dibagi menjadi dua, yaitu untuk penyelesaian I, 𝑦2 𝑦1

−

ћ2

𝜐′ − 1 2 𝑦 2 +

2𝑚 𝛼 2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

𝑦−

ћ2 𝑞2 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

1+𝑦

𝑦−

ћ2 𝑞2 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

1−𝑦

1

𝑑𝑦 =

2𝑛𝜋 ћ

(4.123)

2𝑚 𝛼

Dan penyelesaian ke II, 𝑦2 𝑦1

−

ћ2

𝜐′ − 1 2 𝑦 2 +

2𝑚 𝛼 2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

1

𝑑𝑦 =

2𝑛𝜋 ћ

(4.124)

2𝑚 𝛼

Penyelesaian I Jika dimisalkan, 1 + 𝑦 = 𝑧, maka𝑑𝑦 = 𝑑𝑧, sehingga pers.(4.123) dapat ditulis, 𝑧2 𝑧1

−

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

𝑧−1

2

+

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

𝑧−1 −

ћ2 𝑞2 2 2𝑚 𝛼 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

𝑑𝑧 𝑧

Atau, 𝑧2

− 𝑧1

ћ2 𝜐′ − 1 2𝑚𝛼 2

2

𝑧2 +

ћ2 𝑚𝛼 2

𝜐′ − 1

2

ћ2 2𝑚𝛼 2

+𝑞 𝑧 −

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2 𝜐′ − 1

−

2

− 𝐸𝑛

+

ћ2 𝑞 𝑚𝛼 2

𝑑𝑧 𝑧

(4.125) Jika dimisalkan, ћ2

𝐴 = − 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ − 1 ћ2

𝐵 = 𝑚 𝛼2 𝐶=−

𝜐′ − 1 ћ2

2𝑚 𝛼 2

2

+𝑞

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2 𝜐′−1

ћ2 𝑞

2

− 𝐸𝑛− + 𝑚 𝛼 2

Maka Pers.(4.125) dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut: 𝑧2 𝑧1

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶

𝑑𝑧 𝑧

commit user Sebagaimana pers.(4.23), maka solusitodari persamaan ini adalah,

(4.126)



𝑧2 𝑧1

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶

𝑑𝑧 𝑧

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶 +

=

𝑧2 2 𝑧1

𝐵

𝑑𝑧 𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧 +𝐶

+𝑐

𝑧2 𝑧1 𝑧

𝑑𝑧 𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧 +𝐶

(4.127a)

Dimana, 𝑧2 𝑧1

𝑑𝑧

1

=−

𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧+𝐶

−𝑎

2𝐴𝑧+𝐵

sin−1

(4.127b)

𝐵 2 −4𝐴𝐶

Dan, 𝑧2 𝑧1 𝑧

𝑑𝑧 𝐴

𝑧 2 +𝐵𝑧+𝐶

=

1 −𝑐

𝐵𝑧+2𝐶

sin−1

(4.127c)

𝐵 2 −4𝐴𝐶

𝑧

𝐴𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶 = 0, maka 𝑧1 dan 𝑧2 dapat di cari dengan

Jika

menggunakan rumus,

𝑧1,2 =

−𝐵± 𝐵 2 −4𝐴𝐶

(4.128)

2𝐴

Dan diperoleh, ћ2 𝑚 𝛼2

𝜐′ −1 2 +𝑞 +

−

𝑧1 =

𝜐′ −1 2 +𝑞

ћ2 𝑚 𝛼2

𝜐′ −1 2 +𝑞 −

ћ2 𝜐 ′ −1 2 2𝑚 𝛼 2

−4 2

−

𝑧2 =

2

ћ2 𝑚 𝛼2

𝜐′ −1 2 +𝑞

−4 2

𝜐′ −1 2 +

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ −1 2 +

𝑞2 ћ2 𝑞 − −𝐸𝑛 + 2 𝜐 ′ −1 2 𝑚𝛼

ћ2 𝑎 2 2𝑚 𝛼 2

2

ћ2 𝑚 𝛼2

ћ2 2𝑚 𝛼 2

ћ2 𝜐 ′ −1 2 2𝑚 𝛼 2

ћ2 𝜐 ′ −1 2 2𝑚 𝛼 2

𝑞2 ћ2 𝑞 − −𝐸𝑛 + 2 𝜐 ′ −1 2 𝑚𝛼

(4.129a)

(4.129b)

Dengan penjabaran biasa diperoleh, 2𝐴𝑧1 +𝐵

=1

𝐵 2 −4𝐴𝐶

dan

2𝐴𝑧2 +𝐵 𝐵 2 −4𝐴𝐶

= −1

(4.130a)

Sedangkan, 𝐵𝑧1 +2𝐶 𝑧1

𝐵 2 −4𝐴𝐶

= −1 dan

𝐵𝑧2 +2𝐶 𝑧2

𝐵 2 −4𝐴𝐶

=1

(4.130b)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.130a) ke dalam pers.(4.127b) diperoleh, 𝑧2 𝑧1

𝑑𝑧 𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧+𝐶

2𝑚 𝛼

= ћ 𝜐 ′ −1 𝜋

(4.131a) commit to user



Dan dengan mensubtitusikan pers.(4.130b) ke dalam pers.(4.127c) diperoleh 𝑧2 𝑧1 𝑧

𝑑𝑧 𝐴

𝜋

=

𝑧 2 +𝐵𝑧+𝐶

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ −1 2 +

𝑏2 𝜐 ′ −1 2

(4.132b)

ћ2 𝑞 𝑚 𝛼2

−

−𝐸𝑛 +

Hasil pers. (4.132a) dan(4.132b) ini dimasukkan ke persamaan (4.125)diperoleh, 𝑧2

− 𝑧1

ћ2 𝜐′ − 1 2𝑚𝛼 2

=0+

2

𝑧2 +

ћ2 𝑚𝛼 2

ћ2 𝑚𝛼 2

𝜐′ − 1

𝜐′ − 1

2

2

+𝑞 𝑧 −

+𝑞

ћ2 2𝑚𝛼 2

𝜐′ − 1

ћ2

𝜐′ − 1

2𝑚𝛼 2 ћ

=

2𝑚 𝛼

𝜐′ −1 2 +𝑞

ћ2

𝜋−

𝜐′ −1

2

𝜐′ − 1

𝑞2 𝜐′ − 1

+

−

− 𝐸𝑛

2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼 2

+

𝑑𝑧 𝑧

2𝑚𝛼 𝜋 ћ 𝜐′ − 1

2

−

ћ2 2𝑚𝛼 2

2

2

𝜐′ − 1

2𝑚 𝛼 2

𝑞2 𝜐′ − 1

+ +

2

2

𝑞2 𝜐′ − 1

+

𝑞2 𝜐′ −1 2

2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼 2

− 𝐸𝑛− +

− 𝐸𝑛− +

− 𝐸𝑛− +

ћ2 𝑞

2

𝜋 2

𝑚𝛼 2 2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

(4.133)

𝜋

Penyelesaian II Jika dimisalkan, 1 − 𝑦 = 𝑧, maka𝑑𝑦 = −𝑑𝑧, maka pers.(4.124) 𝑧2 𝑧1

−

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

1−𝑧

2

+

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

1−𝑧 −

ћ2 𝑞2 2𝑚 𝛼 2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛−

ћ2

2

𝑑𝑧

(4.134)

𝑧

Atau, 𝑧2 𝑧1

−

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

𝑧2 +

ћ2 𝑚𝛼2

𝜐′ − 1

2

−𝑞 𝑧 −

2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

+

𝑞2 𝜐′ −1

−

2

− 𝐸𝑛

−

ћ2 𝑞

𝑑𝑧

𝑚𝛼2

𝑧

4.135) Jika dimisalkan, 𝐴=−

ћ2 𝜐′−1 2 2𝑚 𝛼 2

commit to user

(



ћ2

𝐵 = 𝑚 𝛼2

𝜐′ − 1 ћ2

𝐶=−

2

−𝑞

𝜐′ − 1

2𝑚 𝛼 2

2

+

𝑞2

ћ2 𝑞

− 𝐸𝑛− − 𝑚 𝛼 2

𝜐′−1 2

Maka pers. (4.135)ini dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut: 𝑧2 𝑧1

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶

𝑑𝑧

(4.136)

𝑧

Dimana solusinya adalah sebagai berikut, 𝑧2 𝑧1

𝑑𝑧

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶

𝑧

𝐴 𝑧 2 + 𝐵𝑧 + 𝐶 +

=

𝑧2 2 𝑧1

𝐵

𝑑𝑧

+𝑐

𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧 +𝐶

𝑧2 𝑧1 𝑧

𝑑𝑧

(4.137)

𝐴 𝑧 2 +𝐵𝑧 +𝐶

Dapat dilihat bahwa penyelesaian II ini identik dengan penyelesaian I, hanya berbeda tanda, sehingga dengan cara yang sama diperoleh solusi pada penyelesaian II adalah sebagai berikut, 𝑧2

− 𝑧1

ћ2 𝜐′ − 1 2𝑚𝛼 2

2

=0+

𝑧2 +

ћ2 𝑚𝛼 2

ћ2 𝑚𝛼 2

𝜐′ − 1

𝜐′ − 1

2

2

−𝑞

ћ2 2𝑚𝛼 2

𝜐′ − 1

ћ2 2𝑚𝛼 2

=

ћ

𝜐′ −1 2 −𝑞

2𝑚 𝛼

𝜐′ −1

𝜋−

2

𝜐′ − 1

+

𝑞2 𝜐′ − 1

−

2

− 𝐸𝑛

−

ћ2 𝑞 𝑚𝛼 2

𝑑𝑧 𝑧

2𝑚𝛼 𝜋 ћ 𝜐′ − 1

2

−

ћ2 2𝑚𝛼 2

+𝑞 𝑧 −

2

+

𝑞2 𝜐′ − 1

𝑞2 𝜐′ − 1 2 + 𝜐′ − 1

ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

2

2

𝑞2 𝜐′ −1 2

− 𝐸𝑛− − −

𝐸𝑛−

2

ћ2 𝑞 𝑚𝛼 2

𝜋 2

ћ2 𝑞 − 𝑚𝛼 2

− 𝐸𝑛− −

ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

2

𝜋

(4.138)

Jika pers.(4.133) dan (4.138) disubtitusikan ke pers. (4.22) diperoleh penyelesaian akhir sebagai berikut, ћ 2𝑚 𝛼

ћ 2𝑚 𝛼

𝜐′ −1 2 +𝑞 𝜐′ −1 𝜐′ −1 2 −𝑞 𝜐′ −1

𝜋−

𝜋−

ћ2 2𝑚 𝛼 2 ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

+

𝜐′ − 1

2

+

𝑞2 𝜐′ −1 2 𝑞2 𝜐′ −1 2

Dengan penjabaran biasa diperoleh, commit to user

− 𝐸𝑛− + − 𝐸𝑛− −

ћ2 𝑞

2

𝑚𝛼2 ћ2 𝑞 𝑚𝛼2

2

𝜋+

𝜋=


(4.139)



−

𝐸𝑛

ћ2

= 2𝑚 𝛼 2

2

𝜐′ − 1

𝑞2 𝜐′ −1 2

+

ћ2

𝑞2

− 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ −1 −𝑛

2

+

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

(4.140)

Dengan mensubtitusikan pers.(4.140) ke pers.(3.9) yaitu, 𝐸𝑛 = 𝐸𝑛− + 𝐸0

Diperoleh, ћ2

𝐸𝑛 = 2𝑚 𝛼 2 ћ2 2𝑚 𝛼 2

𝜐′ − 1

2

𝜐′ − 1

2

+ +

𝑞2 𝜐′ −1

ћ2

2

𝑞2

− 2𝑚 𝛼 2

𝜐′−1 −𝑛

2

+

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

−

𝑞2 𝜐′−1 2

atau, ћ2

𝐸𝑛 = − 2𝑚 𝛼 2

𝑞2 𝜐′−1 −𝑛

2

+

𝜐′ − 1 − 𝑛

2

(4.141)

Pers.(4.141) merupakan persamaan umum tingkat energi ke-n untuk potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal yang diperoleh dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Dari persamaan (4.81) dan (4.141), dapat dilihat bahwa spektrum energi tingkat ke-n untuk potensial Manning Rosen yang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi yang ditentukan dengan menggunakan metode kuantisasi SWKB. Sebagaimana pada potensial Kratzer dan Morse, nilai l dalam pers.(4.118)

atau

(4.141)

dapat

ditentukan

dengan

menggunakan

pers.(4.57).Tabel 4.3 berikut ini adalah perhitungan spektrum energi dengan beberapa variasi 𝑛𝑟 dan l dari molekul HCl dalam medan potensial Manning Rosen dengan menggunakan pers.(4.141) commit to user



keadaan kuantum

𝑛𝑟

m

0

0 1 2

L 0 1 2

1

0 1 2 0 1 2

1 2 3 2 3 4

2

𝐸𝑛𝑙 (eV) -0,035998963 -0,019058274 -0,017937625 -0,108111186 -0,021979550 -0,017505845 -0,244759531 -0,024286722 -0,017301433

Tabel 4.3: Spektrum Energi Potensial Manning Rosen Molekul HCl (𝒎𝑯𝑪𝒍 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟎𝟏𝟎𝟒𝟓 amu, ћ = 𝟏, 𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱𝒔, dan 𝜶 = 𝟏 Å, 𝝂 = 𝟐, 𝒒 = 𝟐𝝂)

Persamaan fungsi gelombang untuk Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri. Dengan mensubtitusikan pers.(4.106) ke dalam pers.(3.10) yaitu, 𝜓0− 𝑟; 𝑎0 = 𝑁 exp −

r

2𝑚 ћ

𝑊 𝑟; 𝑎0 𝑑𝑟

Sehingga, 𝜓0− 𝑟; 𝑎0 = 𝑁 exp −

2𝑚 ћ

r

ћ 2𝑚 𝛼

𝜐′ − 1 coth

𝑟 𝛼

−

𝑞 𝜐′−1

𝑑𝑟 (4.142)

Dan diperoleh 𝜓0−

𝑟; 𝑎0 = 𝑁 sinh

𝑟 𝛼

− 𝜐 ′ −1

𝑒

𝑞 𝜐 ′ −1 𝛼

𝑟

commit to user

(4.143)



Persamaan (4.143) merupakan persamaan umum fungsi gelombang tingkat dasar untuk Potensial Manning Rosendengan Faktor Sentrifugal. Bambar 4.3 berikut ini adalah bentuk fungsi gelombang tingkat dasar 𝑛𝑟 = 0 potensial Manning Rosen dengan beberapa variasi nilai l yang

𝜓0− 𝑟; 𝑎0

ditentukan berdasarkan pers.(4.57) dengan menggunakan pers.(4.143).

Gambar 4.3: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Manning Rosen (ћ = 𝒎 = 𝟏,  = 0.5, dan υ = 2q)

Sedangkan untuk fungsi gelombang tingkat satu ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik (𝐴+) (pers.(3.11)) ke dalam persamaan gelombang tingkat dasar (pers.(4.143)) dengan menggunakan pers.(3.12), yaitu 𝜓1− 𝑟; 𝑎0 = 𝐴+ 𝑟; 𝑎0 𝜓0− 𝑟; 𝑎1 Maka, 𝜓1− 𝑟; 𝑎0 = − 𝜓1− 𝑟; 𝑎0 = −


ћ

𝑑

2𝑚 𝑑𝑟

+ 𝑊 𝑟; 𝑎0 𝜓0− 𝑟; 𝑎1 − 𝜐 ′ −2

𝑞

𝑟 𝑁 sinh 𝑒 𝜐 ′ −2 𝛼 commit to user 𝛼

𝑟



+

ћ 2𝑚 𝛼

𝜐′ − 1 coth

𝑟 𝛼

−

𝑞 𝜐′ −1

𝑁 sinh

𝑟 𝛼

− 𝜐 ′ −2

𝑒

𝑞 𝑟 𝜐 ′ −2 𝛼

(4.144) Dengan penjabaran sederhana diperoleh, −

𝜓1

𝑟 =𝑁

ћ 2𝑚 𝛼

2𝜐 ′ − 3 coth

𝑟 𝛼

−

2𝑞 𝜐 ′ −2

sinh

𝑟 𝛼

− 𝜐 ′ −2

𝑒

𝑞 𝑟 𝜐 ′ −2 𝛼

(4.145)

B. PEMBAHASAN Persamaan Schrödinger merupakan persamaan gerak atau keadaan partikel dalam mekanika kuantum. Dalam persamaan Schrödinger, keadaan atau perilaku partikel diinterpretasikan dengan sebuah fungsi gelombang dan spektrum energi. Melalui fungsi gelombang ini dapat diketahui peluang suatu partikel ditemukan dalam suatu interval daerah tertentu. Sedangkan spektrum energi digunakan untuk mengetahui syarat kemantapan posisi partikel untuk tetap berada pada lintasan atau posisinya. Solusi dari persamaan Schrödingeradalah berupa persamaan fungsi gelombang dan spektrum energi. Sebagaimana pada mekanika klasik, energi total partikel merupakan jumlah dari energi kinetik partikel dan energi potensialnya. Hanya saja, energi total (mekanik) ini diubah menjadi operator, yang disebut operator energi (E) atau operator Hamiltonian (H). Dimana besarnya energi ini berbeda untuk setiap lintasan atau kulit atom tertentu (terkuantisasi). Kulit atom ini biasa disebut bilangan kuantum utama (n). Operator energi total (E) ini bergantung pada energi potensial partikel (V). Dalam mekanika kuantum, terdapat beberapa jenis potensial, diantaranya adalah potensial Kratzer, commit to userPotensial Morse, dan Potensial



Manning Rosen. Ketiga jenis potensial ini mendeskripsikan perilaku molekul beratom dua yang mengalami vibrasi dan rotasi. Dimana energi vibrasi diberikan energi potensial medan partikel, sedangkan energi rotasi diberikan oleh faktor-faktor yang muncul akibat gerakan(rotasi) elektron sendiri di dalam atom, misalnya faktor sentrifugal. Gaya sentrifugal merupakan efek semu yang ditimbulkan ketika sebuah benda melakukan gerak melingkar. Gaya ini merupakan lawan dari gaya sentripetal yaitu gaya total yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran. Gaya sentrifugal ini berfungsi sebagai penyeimbang agar benda (elektron) tetap berada pada lintasanya. Dalam keadaan stasioner (mantap)atau l=0, efek dari faktor sentrifugal ini hampir tak berpengaruh, namun pada keadaan 𝑙≠0 tentunya faktor ini berpengaruh, meskipun kontribusinya relatif kecil dibandingkan energi vibrasinya. Namun demikian, demi mendapatkan hasil penyelesaian yang tepat, yang selanjutnya dapat memberikan informasi yang akurat, maka faktor ini tidak dapat diabaikan. Dalam penelitian ini, dilakukan penyelesaian Schrödinger untuk potensial Kratzer, Potensial Morse, dan Potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum. Berdasarkan identifikasi (dapat dilihat pada hasil penyelesaian), diketahui bahwa ketiga bentuk potensial ini termasuk potensial jenis potensial shape invariance, karena bentuk dari persamaan pasangan potensial supersimetrinya sama, hanya dibedakan oleh parameter saja. commit to user



Pada penelitian ini, persamaan spektrum energi dari masing-masing potensial ditentukan dengan menggunakan dua metode dari Supersimetri Mekanika Kuantum, yaituMetode Operator Supersimetri dan Metode Kuantisasi SWKB. Dimana dengan metode operator supersimetri, spektrum energi ditentukan berdasarkan sifat shape invariance. Sedangan dengan metode SWKB, spektrum energi ditentukan dengan menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik (unbroken symetry). Berdasarkan hasil penelitian, kedua metode ini memberikan hasil yang sama untuk ketiga potensial. Sedangkan untuk persamaan umum fungsi gelombang dari ketiga potensial ditentukan dengan metode operator supersimetri. Dimana fungsi gelombang dasar ditentukan dengan menggunakan sifat dari operator penurun (A), yaitu apabila operator penurun (A) dioperasikan fungsi gelombang tingkat dasar 𝜓0− , maka akan sama dengan nol karena sudah tidak ada lagi gelombang di bawah gelombang tingkat dasar. Sedangkan untuk persamaan fungsi gelombang tingkat ke-n ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik (𝐴+) pada fungsi gelombang tingkat dasar (𝜓0− ). Dalam mekanika kuantum, lintasan gerak elektron dalam atom tidak dapat ditentukan secara pasti, sehingga yang dapat dilakukan hanyalah menentukan kebolehjadian elektron menempati ruang-ruang tertentu dalam atom. Ruang-ruang ini disebut dengan Orbital. Tiap-tiap orbital dapat menampung sejumlah elektron tertentu. Elektron dalam suatu orbital mempunyai energi tertentu commit yang khas, yang disebut Tingkat (spektrum) to user



Energi. Orbital-orbital yang memiliki tingkat energi yang sama atau hampir sama membentuk kulit atom. Kulit – kulit atom ini disebut bilangan kuantum utama , yang dilambangkan dengan 𝑛, dimana 𝑛 = 1, 2, 3, … . Semakin besar nilai 𝑛 menunjukkan bahwa letak kulit semakin jauh dari inti. Semakin jauh dari inti maka tingkat energi elektron yang menempati kulit tersebut semakin tinggi pula. Besarnya bilangan kuantum utama (𝑛) bergantung pada besarnya bilangan kuantum orbital (l) dan bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 ), dimana 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1. Persamaan ini disebut Prinsip Bilangan Kuantum. (Flügge, 1971). Sedangkan bilangan kuantum orbital (l) ini ditentukan berdasarkan hubungan antara bilangan kuantum magnetik (m) dan bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 ). Hubungan antara l, m, dan 𝑛𝑟 ini ditentukan dengan penyelesaian persamaan polar pada persamaan Schrödinger koordinat bola (sistem tiga dimensi). Berdasarkan hasil penjabaran yaitu pada pers.(4.57), untuk potensial yang tidak terganggu besarnya l merupakan jumlah dari bilangan kuantum magnetik (m) dan bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 ), atau 𝑙 = 𝑚 + 𝑛𝑟 . Dimana nilai bilangan kuantum orbital (l) merupakan kelipatan bilangan bulat (𝑙 = 0, 1, 2, 3, … ), sedangkan nilai bilangan kuantum magnetik, 𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3, … , dan bilangan kuantum radial, 𝑛𝑟 = 0, 1, 2, 3, …. Berdasarkan grafik fungsi gelombang tingkat dasar untuk potensial Kratzer (Gambar 4.1), dapat ditunjukkan bahwa puncak tertinggi gelombang terjadi pada bilangan kuantum orbital l = 2. Hal ini berarti bahwa kebolehjadian terbesar elektron menempati commit to userruang pada tingkat dasar (𝑛𝑟 = 0)



adalah pada bilangan kuantum orbital l = 2 dengan bilangan kuantum magnetik m = 2. Sedangkan untuk potensial Morse, berdasarkan gambar (4.2) dapat ditunjukkan bahwa puncak tertinggi gelombang terjadi pada bilangan kuantum orbital l = 0. Hal ini berarti bahwa kebolehjadian terbesar elektron menempati ruang pada tingkat dasar (𝑛𝑟 = 0) adalah pada bilangan kuantum orbital l = 0 dengan bilangan kuantum magnetik m = 0. Dan untuk potensial Manning Rosen berdasarkan gambar (4.3) menunjukkan hasil yang sama dengan potensial Kratzer, yaitu bahwa puncak tertinggi gelombang terjadi pada bilangan kuantum orbital l = 2. Maka kebolehjadian terbesar elektron menempati ruang pada tingkat dasar (𝑛𝑟 = 0) juga pada bilangan kuantum orbital l = 2 dengan bilangan kuantum magnetik m = 2. Besarnya spektrum energi dari suatu molekul yang berada pada medan potensial Kratzer, Morse dan Manning Rosen pada penelitian ini diberikan contoh perhitungan spektrum energi dari molekul HCl dengan beberapa variasi l, m dan 𝑛𝑟 . Berdasarkan tabel 4.1, 4.2, dan 4.3, terlihat bahwa besarnya spektrum energi molekul HCl untuk masing-masing potensial, yaitu potensial Kratzer, Potensial Morse, dan Potensial Manning Rosen besarnya bergantung pada bilangan kuantum bilangan kuantum orbital l. Dimana Semakin besar nilai l maka akan bertambah besar pula energinya. Sedangkan untuk faktor 𝑛𝑟 , pada ketiga jenis potensial memberikan pengaruh yang berbeda. Untuk potensial Kratzer, semakin besar nilai 𝑛𝑟 , nilai energinya juga semakin besar. Sedangkan pada potensial Morse, besarnya commit to user



energi pada setiap nilai 𝑛𝑟 relatif sama untuk nilai l yang sama. Dan untuk potensial Manning Rosen, terjadi ketidak teraturan peningkatan energi. Berdasarkan hasil penelitian menunjukkan bahwa dari ketiga jenis potensial memberikan penyelesaian yang berbeda, baik untuk persamaan spektrum energi maupun gelombangnya, yaitu untuk Potensial Kratzer memberikan penyelesaian yang eksak untuk semua harga l, sedangkan untuk potensial Morse dan Potensial Manning Rosen hasil penyelesaian hanya memberikan hasil yang eksak untuk keadaan kauntum dengan bilangan kuantum orbital l=0 , sedangkan untuk 𝑙≠0 hasil penyelesaian hanya bersifat pendekatan. Hal ini dipengaruhi bentuk simetri dari masing-masing potensial. Dimana, potensial Kratzer memiliki bentuk simetri bola biasa, sedangkan potensial Morse dan Potensial Manning Rosen masing-masing bersifat eksponensial dan hiperbolik. Karena ketiga potensial ini dipengaruhi faktor sentrifugal, maka faktor ini selalu dinyatakan dalam bentuk fungsi radial (r). Sehingga untuk potensial Kratzer, kontribusi faktor sentrifugal ini bisa langsung diberikan pada potensial utama. Sedangkan untuk potensial Morse dan potensial Manning Rosen, fungsi dari faktor sentrifugal ini harus dirubah terlebih dahulu ke dalam bentuk potensial aslinya, yaitu untuk potensial Morse dirubah ke dalam fungsi eksponensial, sedangkan untuk potensial Manning Rosen dirubah dalam fungsi hiperbolik. Sedangkan perubahan fungsi radial ke dalam kedua fungsi ini, baik eksponensial maupun hiperbolik hanya dapat dilakukan dengan pendekatan. Sehingga penyelesaian yang dihasilkan juga hanya bersifat pendekatan. commit to user



BAB V KESIMPULAN, IMPLIKASI, DAN SARAN

A. Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut; 1.

Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial shape invariancedengan faktor sentrifugal, khususnya pada Potensial Kratzer, Potensial Morse, dan Potensial Manning Rosen. Dimana spektrum (tingkat) energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri

dan

metode

kuantisasi

SWKB,

sedangkan

fungsigelombangnya ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri. 2.

Penentuan spektrum energi dengan metode operator supersimetri dilakukan dengan menggunakan sifat shape invariance, dan penentuan spektrum energi dengan metode kuantisasi SWKB dilakukan dengan menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ditentukan menggunakan sifat dari operator penurun, dan untuk fungsi gelombang tingkat ke-n ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik terhadap gelombang dasar. commit to user


3.


Spektrum energi dari masing-masing potensial, yaitu Potensial Kratzer, Potensial Morse, dan Potensial Manning Rosen yang ditentukan dengan metode Operator Supersimetri memberikan hasil yang sama dengan yang ditentukan dengan menggunakan metode SWKB.

4.

Spektrum energi dari masing-masing potensial pada kulit atom atau bilangan kuantum utama (n) tertentu besarnya bergantung pada bilangan kuantum orbital (l), bilangan kuantum radial (𝑛𝑟 ), dan bilangan kuantum magnetik (m). Semakin besar nilai l, m, dan 𝑛𝑟 maka akan bertambah besar pula energinya.

5.

Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial Kratzer dapat ditentukan secara eksak untuk setiap bilangan kuantum orbital l, sedangkan untuk potensial Morse dan potensial Manning Rosen hanya dapat ditentukan secara eksak pada bilangan kuantum orbital l=0, sedangkan untuk bilangan kuantum 𝑙 ≠ 0 baik spektrum energi maupun fungsi gelombangnya hanya dapat ditentukan dengan cara pendekatan.

B. Implikasi 1. Implikasi Teoritis Dalam menyelesaikan persamaan menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial shape invariancedengan faktor sentrifugal menggunakan metode supersimetri mekanika kuantum, terutama dengan metode operator dan metode kuantisasi SWKB ini dibutuhkan kejelian, ketelitian serta penguasaan operasi matematis, baik commit to user



tingkat dasar maupun lanjut, antara lain aljabar, differensial, dan integral. Sehingga dengan penelitian ini akan meningkatkan kemampuan dan penguasaan teknik matematis, baik bagi peneliti pribadi mapun bagi para pembaca. 2. Implikasi Praktis Kedua metode supesimetri mekanika kuantum, yaitu metode operator supersimetri dan metode kuantisasi SWKB ini dapat dijadikan sebagai alternatif bagi para pembaca untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada potensial – potensial yang lain.

C. Saran Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk tiga jenis potensial ini, yaitu: Potensial Kratzer, Potensial Morse, dan Potensial Manning Rosen, hanya terfokus pada bagian radial saja, sedangkan pada bagian sudut (angular) tidak dibahas. Selain itu, fungsi gelombang yang ditentukan belum ternormalisasi. Untuk itu, diharapkan ada penelitian selanjutnya yang membahas mengenai Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk tiga jenis potensial ini secara lengkap, yaitu meliputi bagian radial, dan bagian sudut (polar dan azimut), sekaligus ditentukan fungsi gelombang lengkap dengan faktor normalisasinya.

commit to user

PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE - INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM (SUSYQM)

Recommend Documents