Reduksi Persamaan Dirac ke Persamaan Cauchy Nondegenerate

Jurnal Sains & Matematika (JSM) Volume 15, Nomor 1, Januari 2007

ISSN 0854-0675 Artikel Penelitian Artikel Penelitian: 39-43

Reduksi Persamaan Dirac ke Persamaan Cauchy Nondegenerate Susilo Hariyanto1 1

Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

ABSTRAK---Persamaan Dirac abstrak adalah suatu sistem persamaan diferensial parsial yang memiliki struktur abstrak sebagai berikut

d ψ(t)  -i(cD  mc 2(τ  1 )  V) (t ) dt dengan massa m>0, kecepatan cahaya c>0. Dalam artikel ini dikaji suatu cara mereduksi persamaan dirac abstrak yang dapat dipandang sebagai masalah Cauchy degenerate, ke masalah Cauchy abstrak nondegenerate. Reduksi ini dapat dilakukan dengan memformulasikan masalah yang dibicarakan dalam ruang Hilbert H dan tranformasi T: H  H yang didefinisikan sebagai fungsi berkut:  (t )  D(D)  H  T  (t )   s(t )  P  cP  (t ) Kata kunci: Cauchy Degenerate, Nondegenerate, Persamaan Dirac, Ruang Hilbert

PENDAHULUAN Perhatikan masalah Cauchy abstrak,

d Mz (t )  Az (t ), dt

z (0)  z0

A

dengan

operator M tidak harus mempunyai invers.Masalah Cauchy abstrak disebut masalah Cauchy abstrak degenerate jika M tidak mempunyai invers. Masalah Cauchy abstrak (disebut masalah Cauchy abstrak nondegenerate jika M mempunyai invers. Adapun dalam pembahasan ini akan dibicarakan kemungkinan mereduksi persamaan dirac abstrak

d ψ(t)  -i(cD  mc 2(τ  1 )  V) (t ) dt

operator A,M tertutup dan terdefinisi dense. Hal ini berakibat operator A |D tertutup.

yang

dapat dipandang sebagai masalah Cauchy abstrak degenerate ke permasalahan menyelesaikan masalah Cauchy abstrak nondegenerate. KONSEP DASAR Setiap penyelesaian strict masalah Cauchy abstrak degenerate pasti memenuhi z(t)  DA untuk semua t  0 , dengan DA = { z(t)  D(A)| Az(t)  ( Ran M ) } Dalam menyelesaikan masalah Cauchy abstrak degenerate diawali dengan asusmsi bahwa

Karena M operator tertutup, maka Ker M merupakan ruang bagian tertutup dari H. Misalkan P proyeksi ortogonal pada Ker M, akibatnya P T  1  P juga merupakan proyeksi ortogonal pada (Ker M)  . Karena M tertutup dan terdefinisi dense dalam H, maka M* tertutup dan terdefinisi dense dalam K. Untuk selanjutnya misalkan pula Q proyeksi ortogonal pada Ker M* , akibatnya Q T = 1 - Q juga merupakan proyeksi ortogonal pada (Ker M*)  . Dengan demikian dapat dituliskan : PH= Ker M, P T H= ( Ran M * ) , QK= Ker M* dan Q T K= (Ran M ) . Operator M injektif jika dan hanya jika Ker M={0}. Oleh karena itu agar dimungkinkan mereduksi operator M yang belum tentu mempunyai invers ke operator yang mempunyai invers terlebih dahulu didefinisikan operator pembatasan dari M pada (Ker M)   D(M) sebagai berikut: Mr = M |D ( M r ) , dengan D(Mr)= (ker M)   D(M). Operator M |D ( M r ) =Mr mempunyai invers .

Susilo Hariyanto: Reduksi Persamaan Dirac 39

Artikel Penelitian

bayangan terhadap

P 

T 1

P 

{x(t)}

merupakan

dari

x(t) 

( Ker M ) 

T 1

Misalkan invers

PT

proyeksi

setiap z(t)  DA diperoleh A0x(t )= Az(t) dengan x(t )  P T z (t ). Operator A tertutup dan mempunyai invers terbatas ekuivalen dengan operator A injektif dengan Ran A = K. Hal ini berakibat A | DA mempunyai invers terbatas yaitu :

yaitu

{x(t)}={ x(t)  y(t) | y(t)  Ker M},

x(t )  ( Ker M )  .

 

Apabila

diperhatikan

A | DA : DA  Q T K

T 1

himpunan {x(t)} belum tentu P merupakan singelton. Selanjutnya akan didefinisikan operator A0 yang merupakan operator pembatas dari operator A pada ( Ker M )  sebagai berikut: A0{x(t)} =



( A | DA )-1 : Q T K  DA

Dengan demikian operator A0-1 = (A ZA)-1 = P T A 1 |Q T K terbatas dan terdefinisi pada

QTK.





1

A P T {x(t )}  DA  (Ran M ) , untuk setiap x(t)  D(A0) dengan, D(A0)=

 x( t )  ( Ker M )



 

| PT

1



{ x( t )}  DA  

Operator A0 bernilai tunggal jika

P 

T 1

{x(t )}  DA merupakan singelton. Untuk itu diperlukan asumsi PDA  DA dan

operator (QAP)|PDA mempunyai invers yang terbatas.Dengan asumsi tersebut , maka vektor z(t)  H merupakan anggota ruang bagian DA apabila z(t)  D(A), Pz (t )  (QAP) 1 QAP T z (t ) dan setiap x(t )  P T DA  (ker M )  menyatakan dengan tunggal z (t )  DA sehingga x(t) =

P T z(t) dan z(t) = (1-(QAP)-1QA) x(t). Selanjutnya dapat didefinisikan operator ZA yaitu sebagai berikut:

Z A  P T  (QAP) 1 QAP T Operator ZA terdefinisi pada D (ZA) T adalah 1  P DA. Pembatasan Z A | T P DA

-1

T

- (QAP) QA pada P DA yang merupakan invers dari proyeksi P T | DA dalam arti:

Z A P T  1 pada DA dan P T Z A  1, pada P T DA Jadi operator A0 dapat dinyatakan menjadi A0=A ZA ,pada D(A0)= P T DA dan untuk

J. Sains & Mat. Vol. 15, No.1 Januari 2007: 39-43

HASIL DAN PEMBAHASAN Diberikan  : H  H operator involusi uniter, terbatas dan operator D : D(D)  H  H self adjoint, terdefinisi dense dan anti komutatif dengan  , yaitu :  D(D)  D(D), D   D  0 pada D(D). (1) Diberikan pula V : D(V)  H  H operator simetri, terbatas relatif terhadap D dan komutatif dengan  ,yaitu :  D(V)  D(V), V  -  V = 0 pada D(V). (2) Persamaan Dirac abstrak adalah suatu sistem persamaan diferensial parsial yang memiliki struktur abstrak sebagai berikut

d ψ(t)  -i(cD  mc 2(τ  1 )  V) (t ) dt (3) dengan massa m>0, kecepatan cahaya c>0. Oleh karena  2  1 (  involusi) maka operator  mempunyai nilai eigen 1 dan atau –1. Untuk menghilangkan trivialitas dari operator  , misalkan  =1 diasumsikan bahwa 1 dan –1 merupakan nilai eigen operator  . Diberikan P 

1 1    merupakan proyeksi 2

ortogonal pada ruang Hilbert H dengan definisi P  H  H  . Sehingga ruang Hilbert H dapat dinyatakan sebagai jumlahan langsung kedua ruang eigen H+ dan Hyang saling ortogonal, yaitu H=H+  H-

40

Artikel Penelitian

1   DP (t ) = D    (t ) =  2   D  D   D  D     (t )    (t )  P D (t ).  2   2 

Selanjutnya dari definisi operator-operator V , D, P , P didapat sifat-sifat hubungan sebagaimana tertuang dalam Lemma berikut. Lemma 1 (i). VP+ = P+ V, pada D(V). (ii). VP- = P- V, pada D(V). (iii). DP+ = P- D , pada D(D). (iv). DP- = P+ D , pada D(D). Bukti : Hanya akan dibuktikan untuk (i) dan (iii) sedangkan bukti untuk (ii) analog dengan (i) dan (iv) analog dengan (iii). (i). Untuk setiap  (t ) D(V) berlaku,

■ Diperhatikan persamaan Diract (3), untuk mencari penyelesaian limit non relativistik ( c  ) terlebih dahulu didefinisikan tranformasi : T: H  H  (t )  D(D)  H  T  (t ) 

 s(t )  P  cP  (t ) .

1   VP (t ) =V    (t ) =  2   V  V   V  V     (t ) =    (t ) =  2   2  PV (t ) . (iii).Untuk setiap  (t ) D(D) berlaku,



Oleh karena itu ( t )   P 



P-   s( t ) . c

Lemma 2 Untuk setiap s(t ) D(D) berlaku :

P  VP  d   P    s(t )  i  D  VP  2mP  2  s(t ). dt  c  c   Bukti : Dengan tranformasi T persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai :





P  P d  2  P    s(t )  i cD  mc (  1)  V  P   dt  c  c 

  s(t ) 

Akibatnya









P  d  P  P  P     2  P     P    s(t )  i  P    cD  mc (  1)  V  P    s(t ) c  dt  c  c  c     atau

P  P  P  P  d   2  P     P    s(t )  i  P    cD  mc (  1)  V  P    s(t ) dt  c  c  c  c    atau





P  P  P  d    2  P  2  s(t )   i  P    cD  mc (  1)  V  P    s(t ) dt  c  c  c   

(4)

Ruas kanan persamaan (4) dapat ditulis dengan :

P  P  P  P       i  P    cD  P    s(t )  i  P    mc 2 (  1)  P    s(t )  c  c  c  c     

Susilo Hariyanto: Reduksi Persamaan Dirac 41

Artikel Penelitian

P   P   i  P    V  P    s(t ). c   c  

(5)

Penghitungan selanjutnya dikerjakan untuk masing-masing suku persamaan (5) : Diperhatikan suku ke-1 persamaan (5)

P  P  P      P    cD  P    s( t )   cP DP  P DP  P DP  P D   s(t ) c  c  c     P P D    cP P D  P P D  P P D     s( t )  P D  P D  s( t )  Ds( t ). c  

(6)

Diperhatikan suku ke-2 persamaan (5) :

P  P     P   mc 2 (  1) P   s( t ) c  c    2  ( P mc (   1 ) P  P mc (  1) P  P mc (  1) P  P m (  1) P s( t )

   2mc P P P 2











 2mcP P P  2mcP P P  2mP s( t )  2mP s( t ).

(7 )

Diperhatikan suku ke-3 persamaan (5):

P   P  P P P P     P    V  P    s(t )   PVP   VP  PV    V   s(t ) c   c  c c c c    P PV P PV PV  VP      PV        2  s(t )   PV  2  s(t ). c c c  c   

Selanjut

(4.8)

nya Lemma dapat dibuktikan dengan persamaan 4,6,.7dan 8.■ Diperhatikan Lemma 2, jika c   maka didapat :

d P s(t) = -i(D + V P - 2m P- )s(t), dt

s(t ) D(D).

Persamaan ini merupakan masalah Cauchy abstrak (3.1), dengan A  iD  VP  2mP  dan M  P .

(9) (10)

Karena P merupakan operator proyeksi self adjoint maka M merupakan operator self adjoint dan terbatas. Perlu diingat bahwa PH= Ker M , dan P T H  ( Ker M ) 

QH  Ker M * , Q T H  ( Ker M )  . Karena M  P merupakan operator self adjoint, maka PH = QH = Ker M dan P T H  Q T H  ( Ker M )  . Disamping itu karena M  P juga merupakan proyeksi ortogonal maka H  P H  P H  ( Ker M )   Ker M . Dengan mengingat bahwa ruang Hilbert H dapat dinyatakan sebagai hasil jumlahan langsung dari Ker M dan ( Ker M )  , serta untuk setiap anggota H dapat dinyatakan secara tunggal dengan anggota Ker M dan ( Ker M )  , maka berakibat P  Q  P dan P T  Q T  P . KESIMPULAN Untuk menyelesaikan persamaan Dirac abstrak yang merupakan bentuk masalah Cauchy degenerate dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mereduksi ke masalah Cauchy nondegenerate. Hal ini dapt dilakukan dengan menggunakan beberapa asumsi-asumsi yang

J. Sains & Mat. Vol. 15, No.1 Januari 2007: 39-43

dibahas dalam ruang Hilbert dan suatu tranformasi tertentu, sehingga dapat direduksi ke bentuk berikut:

d P s(t) = -i(D + V P - 2m P- )s(t), dt

42

Artikel Penelitian

s(t ) D(D).

Persamaan ini meru-pakan masalah Cauchy abstrak, dengan A  iD  VP  2mP  dan M  P , dimana M merupakan operator yang invertibel. DAFTAR PUSTAKA 1. Kappel, F. & Schappacher, W., 2000, Strongly Continuous Semigroups, An Introduction. 2. Pazy, A., 1983, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York. 3. Thaller, B. & Thaller, S., 1996, Factorization of Degenerate Cauchy

Problems : The Linear Case, J. Operator Theory, 121-146. 4. Weidman, J., 1980, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York . 5. Hariyanto Susilo, 2005, Reduksi Masala Cauchy Abstrak Degenerate ke Masalah Cauchy Abstrak Non Degenerate, Jurnal Matematika Vol 8, No 1 April 2005; Hal: 33-36 6. Hariyanto Susilo, 2006, Penyelesaian Masalah Cauchy Degenerate dengan Mereduksi ke Bentuk Masalah Cauchy Nondegenerate, Jurnal Sains & Matematika Vol. 14, No. 4, Oktober 2006; Hal: 141-145

Susilo Hariyanto: Reduksi Persamaan Dirac 43