Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel

Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel 1

Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel

5.1

Pendahuluan

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran disekitar benda di mana harga Re cukup tinggi, asumsi invisid dapat digunakan. Asumsi ini juga dapat digunakan untuk kasus– kasus di mana u sangat kecil sehingga    u  menjadi sangat kecil sehingga  dapat diabaikan. Untuk kasus–kasus seperti ini maka persamaan (I.3) (lihat sub bagian asumsi inkompresibel) menjadi lebih sederhana,

 p u2  u    u      t  2  Apabila aliran adalah aliran steady maka

(MI)

  0 sehingga, t

p

  u  





 u2    2 

Sekarang kita ambil “dot product“ persamaan di atas dengan, e l , unit vector di arah kecepatan (searah dengan streamline), maka

 p u2 0 (   ) l  2


atau

p





u2    konstan sepanjang streamline 2

Catatan:Persamaan terakhir juga dapat diturunkan dari persamaan Bernoulli untuk aliran kompresibel dengan e = konstan seperti telah dijelaskan di Bab 2.

Persamaan di atas memberikan hubungan antara p dan u. Jadi apabila solusi u telah ditemukan, maka p dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli. Solusi u dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan vortisitas yang untuk kasus ini adalah, d     u dt

Apabila selain asumsi inviscid, aliran juga adiabatik maka entropy (S) tidak berubah sepanjang pergerakan sebuah fluid elemen (

dS  0 ) dan aliran menjadi aliran isentropic dt

(lihat sub-bagian 2.6 tentang asumsi-asumsi yang biasa digunakan). Sehingga apabila asumsi-asumsi ini kita gunakan untuk mempelajari aliran inkompresibel disekitar benda yang diletakkan pada aliran dengan freestram yang seragam, harga S menjadi konstan diseluruh daerah fluida dimana asumsi-asumsi tersebut dapat digunakan. Sebagaimana telah kita pelajari sebelumnya, ini berarti ω = 0 sehingga asumsi irotasional dapat digunakan dan aliran ini disebut aliran potensial.

5.2

Teori potensial untuk aliran inkompresibel

Seperti telah dijelaskan di bab sebelumnya, aliran disekitar benda di mana Re tinggi pada umumnya adalah aliran irotasional kecuali di daerah di dekat permukaan (lapisan batas). Oleh karena itu masalah aliran di luar lapisan batas dapat diselesaikan dengan menggunakan teori potensial. Karena     u  0 dan kita ketahui dari kalkulus vektor bahwa     0 untuk setiap skalar  , maka u dapat dinyatakan sebagai,


u   dan persamaan kontinuitas menjadi,

  u   2  0

 2  0

(IP.1).

Persamaan di atas adalah persamaan Laplace. Persamaan ini dapat diselesaikan apabila kondisi batasnya diberikan. Untuk aliran inviscid, kondisi batasnya adalah,

u  nˆ  U solid  nˆ atau   nˆ  U solid  nˆ sehingga   U solid  nˆ n

(IP.2)

Kondisi batas lainnya adalah kondisi batas di freestream (daerah yang jauh dari benda). Kondisi batas ini menyatakan bahwa u   didaerah ini adalah kecepatan freestream atau,

u ( x  )      U 

(IP.2.b).

Permasalahan aliran irotasional inkompresibel menjadi permasalahan untuk mendapatkan solusi   dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2) dan (IP.2.b). Apabila  telah ditemukan maka u didapatkan dari definisi u   . Setelah u didapatkan maka tekanan p dapat ditemukan.

Untuk menemukan p, kita kembali ke persaman momentum untuk aliran inkompresibel (MI) (lihat 5.1) dengan ω = 0 dan u =  .  p u2          t  2    p u 2         0  t  2 


atau

 p u 2      f (t ) . t  2 f(t) yang didapatkan dari integrasi, dapat diikutsertakan kedalam  karena  tidak didefinisikan secara unik. Sehingga apabila

 '    f (t ) maka

u '   '    u . Dengan demikian maka persamaan di atas menjadi

 p u 2      kons tan t  2

(IP.3.a)

atau kasus steady,

p





u2    kons tan 2

(IP.3.b)

Persamaan (IP.3.b) dapat diturunkan dari persamaan u2 h    kons tan . 2

Dengan e = konstan untuk aliran inkompresibel, didapatkan persamaan Bernoulli (IP.3.b).

5.3

Sifat-sifat umum dari solusi persamaan Laplace

Kita telah lihat permasalahan aliran inviscid inkompresibel berubah menjadi permasalahan matematik, yaitu mendapatkan solusi persamaan Laplace, apabila asumsi irrotasional dapat digunakan. Dalam subbagian ini kita akan mempelajari sifat-sifat umum dari solusi persamaan Laplace.

Karena sifat-sifat ini adalah sifat-sifat matematis dari sebuah

persamaan, maka apa yang kita dapatkan dalam subbagian ini berlaku secara umum untuk segala macam fenomena fisis yang dijelaskan oleh persamaan Laplace, termasuk aliran potensial untuk kasus inkompressible.


Sebelum kita mulai mempelajari sifat dari solusi persamaan Laplace lebih dalam, diperlukan beberapa definisi dan teorema berikut ini. Definisi-definisi yang diperlukan untuk mempelajari sifat-sifat persamaan Laplace adalah: 1. Reducible circuit: adalah sebuah sirkuit yang dapat “dikontraksikan” menjadi sebuah titik tanpa melewati daerah yang dipelajari. 2. Reconciable circuit: adalah dua buah sirkuit yang dapat “dipertemukan” dengan cara yang kontinyu tanpa melewati daerah yang dipelajari. 3. Daerah simply connected: daerah di mana semua sirkuit adalah reducible dan reconcilable. 4. Daerah Doubly connected: daerah di mana didalamnya terdapat satu sirkuit yang tidak reducible.

Contoh: daerah exterior dari benda 3 dimensi, daerah ini adalah daerah simply connected karena semua sirkuit, C1 dan C2 misalnya, adalah sirkuit yang reducible dan reconciable.

Contoh : daerah exterior dari benda 2 dimensi.


Daerah exterior dari benda yang digambarkan di atas (a dan b) adalah daerah doubly connected karena sirkuit C1 misalnya, adalah sirkuit yang tidak reducible. (C1 hanya dapat dikontraksikan menjadi sebuah titik dengan cara “memotong” sayap dalam kedua gambar di atas. Dengan kata lain, harus melewati daerah yang dipelajari (fluida). Namun, pada kedua gambar di atas sirkuit C0 adalah reducible.

Berikut ini adalah teorema-teorema yang dibutuhkan untuk mempelajari sifat solusi persamaan Laplace lebih lanjut:

Teorema Stokes: Apabila l adalah sirkuit reducible maka,



 l

  dl  l

ˆ  d       ndS l

(Teorema Stokes)

A

di mana l adalah batas dari permukaan A (seperti terlihat dalam sketsa dibawah).


Teorema Green: ˆ       dV    ndS 2

R

…..(Teorema Green)

S

apabila  ,  adalah fungsi yang single valued.

Bukti untuk Teorema Green: Kita mulai dari Teorema Gauss (*) ˆ    AdV   A  ndS V

S

sekarang kita definisikan A    sehingga,   A        2   

sekarang kita subsitusikan kedalam teorema Gauss, ˆ       dV    ndS 2

V

Perlu diingat bahwa (*) berlaku untuk A yang kontinyu (ψ &  haruslah kontinyu). Jadi teorema ini berlaku apabila  &  adalah fungsi yang single valued.

Bentuk lain dari Teorema Green adalah sebagai berikut, definisikan

A         A    2      2 Apabila kita subsitusikan kedalam teorema Gauss,


 

V

     2    2 dV      dS ˆ ˆ  n  n   S

  .nˆ  nˆ



,

  .nˆ  nˆ

(Teorema Green Kedua)

5.3.1 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Simply Connected Untuk kasus ini teorema Stokes dapat digunakan sehingga,

Γ

 d   ω  nˆ ds  0 . Α 0

l

Jadi untuk kasus ini Γ = 0 untuk setiap sirkuit. Karena Γ = 0 maka, B

B

A lewat C1

A lewat C2

 d   d   d  0 sehingga,

(B)  (A)

lewat C 1

  (B)   (A)lewat C . 2

Oleh karenanya dapat disimpulkan bahwa   B  &   A  hanya mempunyai satu nilai (“single valued”). Dengan kata lain hanya ada satu harga  di setiap titik di daerah simply connected yang merupakan daerah exterior dari benda B (daerah R).


Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari persamaan (IP.1) dengan kondisi batas (IP.2) (Problem ini disebut juga “Neumann exterior problem”) di daerah simply connected adalah solusi yang unik. Misalkan ada dua  , 1 & 2 , yang memenuhi persamaan (IP.1) dan kondisi batas (IP.2) sehingga,

 2  φ1  φ2   0 di R dan

  φ1  φ2   0 n

di S

di mana S adalah permukaan benda. Selain itu “turunan dari (1 – 2)” di infinity adalah nol karena φ1  x     U   φ2  x    . Sekarang kita gunakan Teorema Green dengan ψ = 1 – 2 &  = 1 – 2 (teorema ini dapat digunakan karena daerah di luar benda adalah simply connected sehingga  adalah single valued). 2   ˆ   1   2   dV   1   2    1   2   ndS   1  2     1   2  dS     n Σ

R

S

Apabila kita ambil Σ yang berada di infinity maka

   dS

 0 , karena

Σ

di S sehingga,

   1   2  dV  0    1   2   0 2

R

Jadi,  1   2  k di mana k adalah konstan atau fungsi waktu.

  1   2   0 n


Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi dari

 2 φ  0 di R (daerah exterior

dari S) dengan φ  nˆ  U wall  nˆ di S adalah unik sampai dengan sebuah additive k apabila R adalah daerah simply connected.

5.3.2 Keunikan solusi persamaan Laplace dalam daerah Doubly Connected

Untuk kasus ini Teorema Stokes hanya dapat digunakan untuk daerah-daerah seperti yang dibatasi dengan sirkuit seperti yang dibatasi oleh C0. Untuk daerah-daerah yang dibatasi dengan sirkuit seperti C2, C1, Teorema Stokes tidak berlaku. Oleh karena itu, walaupun kita tahu bahwa ω = 0 di daerah di luar S, kita tidak tahu apakah ΓC 2  0 atau tidak (karena Teorema Stokes tidak dapat digunakan). Sehingga dapat disimpulkan bahwa, “Di daerah doubly connected, Γ dari sirkuit yang tidak reducible tidak harus sama dengan nol dan harga Γ tidak dapat ditentukan dengan menggunakan apa yang telah kita pelajari selama ini.” Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ yang dibatasi oleh sirkuit C1 dan C2.


 u  d l   u  d l   ω  nˆ dS  0 C1

σ

C2

, sehingga ΓC 1  ΓC 2 . Oleh karena itu dapat disimpulkan, “Γ di sepanjang sirkuit yang tidak reducible mempunyai harga yang sama.” Sekarang kita akan lihat sifat dari  di dalam daerah doubly connected.

 A u  dl  A l  dl  A d B

B

B

Karena Teorema Stokes dapat digunakan di daerah σ12 maka, B

 Alewat C 1

B



d 

d 

 ω  nˆ dS  0

σ 12

Alewat C 2

(B)  (A)lewat C  (B)   (A)lewat C 1

2

Sehingga dapat disimpulkan bahwa “sepanjang reducible circuit  adalah single valued”.

Hal yang berbeda terjadi untuk sirkuit yang tidak reductible seperti C1 + C3. Untuk sirkuitsirkuit seperti ini Teorema Stokes tidak dapat digunakan sehingga, B

 Alewat C 3

atau

d 

B

 Alewat C 1

d  Γ


(B)  (A)lewat C  (B)  (A)lewat C 2

1

Γ

Jadi dapat disimpulkan bahwa ‘’Sepanjang sirkuit yang tidak reducible,  multivalued kecuali untuk kasus  = 0.’’

Daerah doubly connected dapat diubah menjadi simply connected dengan memasukkan “barrier” (lihat gambar!).

Daerah di dalam barrier tidak diikutsertakan di dalam daerah yang dipelajari. Sekarang kita hitung sirkulasi untuk sirkuit dalam sketsa diatas, 

lim p1

p1

d   p p p

lim

1

  p1     p    p

Maka dapat disimpulkan bahwa “Apabila kita melompati pembatas (barrier) maka akan ada lompatan  sebesar ”  Sekarang kita akan lihat apakah solusi dari (IP.1) dengan (IP.2) adalah unik sampai dengan sebuah “additive” k, sebagaimana kasus di daerah simply connected. Kemudian, seperti sebelumnya, kita anggap ada dua  (1 dan 2), yang memenuhi (IP.1) dan (IP.2) sehingga,

2 1  2   0 di R dan

 1  2   0 di S n

Definisikan  ≡ 1 – 2 sehingga,  2   0 di R (daerah doubly connected) dan

  0 di S n


Sama seperti kasus simply connected, kita akan gunakan Teorema Green untuk melihat apakah  adalah unik. Namun, untuk kasus ini R adalah daerah doubly connected sehingga

1, 2, dan  adalah multivalued. Oleh karena itu, Teorema Green tidak dapat digunakan. Untuk itu kita perlu menambahkan “barrier” membuat domain yang baru Rb menjadi simply connected dan Teorema Green dapat digunakan.









    dS    n dl    n dl   n dl    n dl  2

1

AB

C

CD

Apabila kita ambil C yang berada di infinity maka

1

C0

0

  dl  0 dan C









    dS    n dl    n dl    n dl    n dl  2

AB

Walaupun  multivalued,

1

CD

1

b

1

b

1

 adalah single valued karena kecepatan di sebuah titik n1

haruslah single valued. Jadi,            n1 b   n1 b 

Dengan demikian,

    dS    2

barrier

 

1 b

    1 b    2 b   2 b    dl  n1 




Karena

lim   D     A    maka D  A

    dS     2

1

 2 

 dl n barrier



atau

      dS    2

1

2

1

 2 

 1  2 dl .  n barrier



Jadi apabila 1 = 2 maka 2 = 1 + k tetapi apabila 1 ≠ 2 maka 1 ≠ 2. Dengan kata lain, solusi unik untuk kecepatan hanya akan didapatkan apabila kedua solusi (1 dan 2) mempunyai sirkulasi  yang sama. Ini berarti untuk kasus ini selain kondisi batas, sirkulasi  juga harus dispesifikasikankan. Jadi dapat disimpulkan bahwa

Solusi dari 2  0 di R (daerah doubly connected) dengan   nˆ  U s  nˆ di S adalah unik (sampai dengan sebuah konstanta k) apabila  diberikan. Untuk kondisi batas di S dan ∞ yang sama, harga  yang berbeda akan memberikan solusi yang berbeda.

Jadi untuk mendapatkan solusi yang unik untuk masalah aliran potensial (inkompresibel) di daerah doubly connected  harus diberikan. Spesifikasi  didapatkan dari pengertian fisis dari aliran yang dipelajari.

Dalam permasalahan aliran di sekitar airfoil, 

dispesifikasikan oleh apa yang disebut dengan “Kutta condition”.

Kondisi Kutta

menyatakan bahwa: aliran di permukaan airfoil harus meninggalkan airfoil tepat di trailing edge.

 Sifat-sifat lain dari 


Sifat-sifat umum dari  akan dibahas di sini. Sifat-sifat ini berlaku baik untuk R yang simply connected walaupun R yang doubly connected.

Sifat-sifat ini adalah: 1.  tidak mungkin mempunyai harga maksimum atau minimum di interior dari fluida. Harga maksimum atau minimum hanya dapat dicapai di batas-batas fluida. Bukti: Misalkan sebuah titik P berada di interior fluida. V adalah sebuah volume element kecil yang mengelilingi P dengan permukaan S. 

ˆ       V  dS     ndS  n S



S



  2  V  0

Ini artinya di sekitar P,

 tidak mungkin seluruhnya negatif atau positif. n

Jadi  tidak mungkin mempunyai harga minimum atau maksimum di titik P 2. Turunan “spatial” dari  memenuhi persamaan Laplace. Bukti: Turunan “spatial” dari  adalah 

u   ,   u  2  0 ,   u     0   karena      u       u    2 u maka,    0 

2 u  0 atau 2     0 atau turunan spatial  menuruti persamaan Laplace. Oleh karenanya, maka  mempunyai sifat 3 dan 4 di bawah 3. Turunan spatial dari  tidak bisa mencapai minimum atau maksimum di interior dari fluida. 4. Komponen kecepatan tidak dapat mencapai minimum atau maximum di interior fluida. 5. Besar kecepatan tidak dapat mencapai harga maksimum di interior fluida


Bukti: Kita gunakan Teorema Green dengan    1



ˆ    ndS

S



1

 2 

2

s

Karena

 2 2          dV 0  V 



ˆ      dV  0  ndS v 0 2

   mematuhi persamaan Laplace (sifat 2) maka : , , x y z 2

   1 2       ˆ  0 di mana u 2           2 u  nds  x   z   y  2

Jadi di sekitar titik P,

2

 2 u tidak mungkin negatif sehingga u2 tidak mungkin n

mencapai maksimum di dalam interior fluida. 6. Tekanan mencapai minimum di batas dari fluida   u 2  p       f t   t 2 

p





ˆ       ndS ˆ   u  dS   p  ndS t  2  n S

S

 

S

2

ˆ  ndS

S

 2   u 2    V  dS   t  0  2 S n 0



p

 dS  0  n S

Jadi disekitar titik P,

p tidak mungkin positif sehingga p tidak mungkin mencapai n

minimum di dalam interior fluida.

5.3.4 Prinsip Superposisi


Persamaan Laplace (IP.1) adalah persamaan diferensial parsial yang linier. Oleh karena itu, Prinsip Superposisi berlaku apabila kondisi batasnya dijelaskankan oleh persamaan yang juga linier. Prinsip ini menyatakan bahwa : Apabila 1 ,  2 ,  3 ,

,  n adalah solusi dari persamaan-persamaan :

21  0 , 22  0 ,  2n  0 dengan   1  a1 , 2  a2 , n  an yang linier. n n n

maka   1  2  ...  n juga memenuhi persamaan Laplace

2  0 dengan kondisi batas

  a1  a2  ...  an n

Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mudah dengan menggunakan kenyataan bahwa (IP.1) dan (IP.2) adalah persamaan-persamaan yang linier.

Jadi apabila kita mengetahui beberapa solusi dari persamaan Laplace, maka solusi-solusi dapat digabungkan untuk mendapatkan solusi yang baru. Metode untuk mendapatkan solusi dari (IP.1) (dengan(IP.2)) dengan cara menggabungkan beberapa solusi adalah salah satu metode yang banyak digunakan.

Metode lainnya adalah dengan menggunakan

“Methods of separation of variable’’.

5.4

Permasalahan aliran potensial ditinjau dari rangka acuan yang berbeda


Dalam praktik, sering sekali kita harus menyelesaikan permasalahan aliran potensial di sekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t) relatif terhadap fluida yang diam. Untuk kasus ini permasalahan matematis yang harus diselesaikan adalah persamaan (IP.1), (IP.2), (IP.2.b) yang untuk kasus ini menjadi,

 2  0

   nˆ S

b

 U (t )  nˆ dim ana Sb  Sb (t )

u ( x   )       0 Sementara itu tekanan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Bernoulli untuk kasus unsteady yaitu,

 p u 2    kons tan t  2

Hubungan matematis diatas adalah hubungan yang dituliskan dengan menggunakan rangka acuan yang diam (relatif terhadap ruang (K) dalam sketsa diatas). Dari hubungan tersebut dapat dilihat bahwa kita harus menjelaskan permukaan benda yang bergerak tersebut (Sb) dengan menggunakan sebuah fungsi waktu walaupun benda tersebut adalah benda rigid. Namun, apabila kita gunakan rangka acuan yang bergerak dengan benda (K1), fungsi yang menjelaskan permukaan benda menjadi “time independent’.

Ini disebabkan karena

permukaan benda Sb tidak berubah terhadap waktu apabila kita jelaskan permukaan tersebut dengan menggunakan K1. Jadi permasalahan akan menjadi lebih sederhana apabila kita guanakan rangka acuan K1 yang bergerak bersama dengan benda.


Untuk melihat ini, kita transformasikan hubungan diatas yang dituliskan dengan menggunakan dari K ke K1. Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa posisi sebuah titik P dijelaskan oleh x1 apabila diamati dari K1 dan x apabila diamati dari K. Hubungan antara vektor x1 dan x adalah

: t

x1  x, t   x   U  d 0

Dari persamaan ini maka terlihat bawa kecepatan potensial dan tekanan relatif terhadap K1 (   x1 , t  , p  x1 , t  ) adalah,

  x1 , t     x1  x, t  , t     x, t  p  x1 , t   p  x1  x, t  , t   p  x, t 

Ini tentunya sesuai dengan prinsip bahwa harga sebuah skalar tidak tergantung dari rangka acuan yang digunakan. Selain itu hubungan-hubungan berikut juga berlaku:

 2  1   , 1   2 (karena  U   d  f  x  )  x1 0 t

  x1 , t  t



  x1       U 1 t t  x1 t

(3)

Jadi dengan menggunakan sistem koordinat yang bergerak bersama rangka acuan K1, permasalahan aliran potensial disekitar benda yang bergerak dengan kecepatan U(t) selesaikan dengan mencari solusi dari permasalahan,

1   0 2

 1  nˆ S

b

 U (t )  nˆ dim ana Sb  Sb (t ) di mana sekarang     x1 , t 

u ( x  )   1   0 Hubungan ini menunjukkan bahwa ketergantungan  terhadap waktu didapatkan hanya melalui U (t ) dan apabila benda bergerak dengan kecepatan konstan maka permasalahan ini dilihat dari K1 adalah permasalahan yang steady. Perlu ditekankan disini, bahwa Sb dalam rangka acuan K1 bukan merupakan fungsi waktu karena Sb dijelaskan dengan


menggunakan x1 yang tidak berubah terhadap waktu apabila vektor ini berada didalam benda. Dengan menggunakan rangka acuan K1, persamaan Bernoulli menjadi, 1 2   p  x1 , t      U 1   1    kons tan 2  t 

Terakhir, permasalahan aliran disekitar benda yang bergerak didalam fluida yang diam dapat pula dianggap sebagai permasalahan aliran disekitar benda yang diam. Ini dapat dilihat dengan mendefinisikan, 1ˆ  1  U (t ) .

Dengan kata lain, sekarang persoalan ini diamati oleh pengamat yang diam relatif terhadap K1 dan 1ˆ adalah kecepatan relatif. Dengan menggunakan definisi ini maka hubungan persamaan Laplace dan kondisi batasnya menjadi, 2 1 ˆ  0

 ˆ  nˆ      U (t )   nˆ  0  ˆ      U (t )   U (t ) 1

1

1

Sb



1

Sb



Ini menunjukkan bahwa permasalahan aliran benda yang bergerak dengan kecepatan U relatif terhadap fluida yang diam ekuivalen dengan permasalah aliran disekitar benda diam yang diletakkan didalam aliran dengan kecepatan freestream –U(t). Dengan kata lain, permasalahan aliran potensial yang dihasilkan oleh benda yang bergerak relatif terhadap fluida yang diam dapat diselesaikan dengan menyelesaikan permasalahan relatif terhadap benda (mencari 1ˆ ) kemudian menambahkan kecepatan relatif ini dengan kecepatan benda atau, 1  U (t )  1ˆ

Dalam literatur ˆ dikenal dengan sebutan pertubation potential atau potensial gangguan.


Namun, dalam menggunakan ekuivalensi diatas kita perlu berhati-hati. Sebelumnya kita perlu melihat apakah aliran ini tetap merupakan aliran potensial apabila kita amati dari rangka acuan K1. Secara umum, benda rigid dapat bergerak secara translasi dan rotasi ( U  U tran   r ) sehingga kecepatan disebuah titik didalam aliran dapat dinyatakan sebagai,

u  U tran   r  u rel dimana u adalah kecepatan fluida dititik tersebut relatif terhadap K dan u rel kecepatan fluida dititik tersebut dilihat oleh pengamat yang bergerak bersama K1. Untuk melihat apakah aliran tetap merupakan aliran potensial di K1, kita hitung vortisitas di titik tersebut.

    u    U tran   r  u rel   (  r )  ( )r   rel  3     rel  2   rel dimana  rel   u rel adalah vortisitas relatif terhadap K1. Dari hasil ini terlihat bahwa aliran yang irotasional relatif terhadap K, belum tentu juga aliran yang irotasional apabila dilihat dari K1. Aliran hanya akan irotasional relatif terhadap kedua rangka acuan apabila benda tersebut tidak berputar atau   0 .

5.5

Gaya-gaya yang beraksi di permukaan benda yang bergerak dalam aliran potensial tak terbatas


Misalkan B bergerak dengan kecepatan U(t) dalam fluida. Apabila S adalah permukaan dari B maka gaya yang bekerja pada B (gaya-gaya fluida) adalah: ˆ F    p  x, t  ndS

(1)

S

p  x, t  dapat dituliskan dengan menggunakan potensial kecepatan  dan hubungan antara p dan  didapatkan dari persamaan Bernoulli



  2      p  x, t   f  t   p t 2

Seperti telah dibahas disub-bagian sebelum ini permasalahan yang harus diselesaikan akan menjadi lebih sederhana, secara matematis, apabila kita gunakan rangka acuan K1. Persamaan Bernoulli yang dituliskan dengan menggunakan rangka acuan ini adalah,

1 2   p  x1 , t   p     U 1   1    p  x, t  2  t  Apabila persamaan ini kita substitusikan ke persamaan (1) maka,

F  S

 q2   ˆ      U  q  ndS ˆ  ndS t 2  S

 q2   ˆ ˆ    ndS      U  q  ndS t S 2   S I

di mana q  1 .




 



Karena U  nˆ  q  U  q nˆ  U  nˆ  q maka  q2     nˆ  U  nˆ  q dS  U   nˆ  q dS .  S 2  S



I



 II

Karena 1  nˆ  q  nˆ  U  nˆ di S(x) maka

 q2  II    nˆ  q  nˆ q dS 2  S 





Di daerah di antara S dan  (daerah R0)  q2  ˆ ˆ n  ( q  n ) q    dS    q (  q )  q (  q )   dV  0 . S  2  R0 0

Karena S0 adalah permukaan  dan S maka,

 q2   q2  II    nˆ  (q  nˆ )q   dS    nˆ  (q  nˆ )q   dS 2 2   S   Jadi, apabila kita pilih  di infinity, maka II = 0 karena u ( x  )   1   q  0 apabila aliran adalah aliran tak terbatas yang tak mempunyai efek di infinity.

Dengan mensubtitusikan hasil-hasil ini ke persamaan untuk F didapatkan,

F

 ˆ   U   (nˆ  q)dS   ndS t S S

(4)

Sekarang kita akan lihat arti dari  (nˆ  q )dS dan untuk itu kita akan lihat permasalahan ini S

menggunakan sudut pandang alternatif yang diperkenalkan di akhir sub-bagian 5.3.5. Seperti telah dijelaskan disub-bagian 5.3.5, permasalahan ini ekuivalen dengan permasalahan aliran disekitar benda diam yang diletakkan didalam aliran dengan kecepatan freestream –U(t). Apabila u adalah kecepatan absolut dari fluida dalam sudut pandang ini, maka u  U  q


 nˆ U  dS  U   nˆ  dS  0

Karena

S

maka,

S

 (nˆ  q)dS   (nˆ  u )dS  eˆ udS S

S

S

di mana eˆ  dengan nˆ & u . Apabila kita tuliskan dS  dl  S , di mana S adalah span dan dl adalah elemen sepanjang kontur benda maka,

 (nˆ  q)dS  eˆ udS  eˆS  udl  eˆS  u  dl  S eˆ . S

S

l

Dengan demikian maka suku  (nˆ  q )dS menjelaskan sirkulasi Γ dari benda. S

Akhirnya formula untuk gaya F dapat tuliskan seperti,

F

 ˆ  ( U  eˆ)S  ndS t S

(F)

di mana S adalah span dan eˆ adalah unit vektor yang tegak lurus dengan U dan nˆ .

Apabila kita ingat bahwa  ( x, t )   ( x;U (t )) maka konstan,

  dU   . Jadi, apabila U t U dt

  0 , sehingga t

 ˆ  0 (untuk U = konstan).  ndS t S

Dari hasil-hasil di atas, maka dapat disimpulkan bahwa ; 1) Apabila benda rigid 3-D bergerak dengan kecepatan yang konstan di dalam aliran potensial yang tak terbatas (infinite), maka gaya fluida yang beraksi pada benda tersebut adalah nol karena ini (3-D),   0 . 2) Apabila benda rigid 2–D bergerak dengan kecepatan konstan di dalam aliran potensial yang tak terbatas, maka pada benda tersebut tidak terdapat Drag (karena


benda adalah benda 2-D dan  tidak harus sama dengan nol. Namun, gaya

( U  eˆ)S adalah tegak lurus dengan U sedangkan drag sejajar dengan U ). 3) Aliran steady di sekitar benda 2-D yang mempunyai  menghasilkan gaya sebesar

F  U  eˆ . Oleh karena gaya ini tegak lurus dengan U dan eˆ , maka gaya ini S adalah lift per unit span (l) sehingga, l  U 

(Kutta-Joukowski Theorem)

Teorema ini sangatlah penting dalam Aerodinamik. Kesimpulan 1) dan 2) dikenal sebagai D’Alembert’s Paradox. Sekali lagi diingatkan bahwa hasil-hasil di atas didapatkan untuk aliran yang tak terbatas. Jadi, untuk aliran yang terbatas (aliran di sekitar benda) dapat menghasilkan drag dan tidak terdapat D’Alembert’s Paradox.

5.6

Solusi Elementer dari Persamaan Laplace 2D

Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer dari persamaan  2  0 untuk kasus 2-D. Seperti telah dijelaskan sebelumnya, untuk aliran 2-D, persamaan kontinuitas   u  0 dipenuhi juga oleh

u1 

  , u2   x2 x1

di mana  adalah streamfunction yang juga mengikuti persamaan Laplace (untuk kasus aliran potensial). Dalam subbagian ini, akan diberikan solusi-solusi elementer untuk  maupun untuk .


5.6.1 Source 2D

Untuk kasus dua dimensi, source flow adalah aliran yang didefinisikan oleh :

u  u r eˆr  (rur )  0 r B rur  B  ur  r

 u  0 

kecepatan ini berlaku di mana pun kecuali di titik r = 0. Di titik ini u r menjadi infinite. Sekarang kita akan mencari harga untuk B. Pertama-tama kita definisikan m   u  eˆr dl   ur dl

di mana dl adalah segmen kecil sepanjang lingkaran. m disebut juga source strength. Dari definisinya, dapat dilihat bahwa q adalah volume fluida yang keluar dari sebuah kurva yang menutupi source tersebut. Apabila kita substitusikan u r , ( dl  rd ) 1 m  B  dl  2 B r

Jadi, u 

m reˆr  u r eˆr 2

Untuk mendapatkan  dan  , kita tuliskan u r sebagai berikut. ur 



1    1    0 , u   r  r r r 

m m   konstan ,   log r  konstan 2 2


di mana r  x1  x2 2

2

x  dan   tan 1  2  .  x1 

5.6.2 Doublet 2D Kita telah lihat bahwa, untuk kasus 3-D hubungan antara doublet dengan “kekuatan”

 dan source dengan “kekuatan” M adalah doublet 

  M l

source

di mana l adalah vektor yang menghubungkan posisi “sink” dan “source”. Untuk kasus doublet 2-D dengan “kekuatan”  maka,

doublet 

  m    log r   eˆl  log r  eˆl  eˆr  m l  2 2 r  2 r

sehingga,

doublet 

  x1 cos   2 r 2 r 2

di mana  adalah sudut antara eˆl dan eˆr . Karena ur 

1   1   dan u    r  r r  r

maka,

 doublet  

 sin   x2  2 r 2 r 2


Streamline dari sebuah doublet didapatkan dengan menyatakan  = konstan. Bentuk dari streamline untuk doublet dapat dilihat dalam sketsa di atas.

5.6.3 Point Vortex Kita dapat menggunakan vortex untuk mendapatkan solusi persamaan Laplace 2-D.

Point Vortex

Streamline yang dihasilkan oleh point vortex mempunyai bentuk seperti sketsa di atas. Dari sketsa ini kita ketahui bahwa u haruslah seperti,

u  u  r  eˆ Dengan  = 0 maka, 0  u 

sehingga, u 

1 d  ru   0 r dr

k . r

Untuk mencari konstanta k, kita hitung  sepanjang salah satu garis r = konstan.    u  dl 

k

 r rd  2 k


sehingga, u

 eˆ . 2 r

Untuk mendapatkan  dan  kita gunakan, ur 

1    1       0 dan u   r  r r r  2 r

Hasilnya adalah

  =

 log r  konstan 2

  konstan 2

6.1.1 Potensial untuk aliran seragam

U∞

V∞ Kasus aliran seragam adalah kasus yang paling sederhana. Untuk kasus ini komponen kecepatan baik di x1 maupun di x2 tidak berubah terhadap posisi. Dari definisi fungsi arus dan potensial kecepatan,

U 

      , V  x1 x2 x2 x1

Oleh karenanya, potensial kecepatandan fungsi arus adalah,


  V x1  U  x2   U  x1  V x2

6.2

Contoh penerapan: Kasus Aliran Disekitar Silinder 2-D

Disubbagian ini kita akan melihat contoh penerapan prinsip superposisi dari solusi-solusi elementer 2-D. Sebagai contoh, kita akan pelajari aliran di sekitar silinder. Contoh ini sangatlah penting karena, walaupun relatif cukup sederhana namun contoh ini memberikan petunjuk bagaimana menyelesaikan permasalahan yang lebih rumit.

6.2.1 Superposisi dari aliran seragam + sebuah source Misalkan kita mempunyai aliran seragam diarah x1. Fungsi arus untuk kasus ini adalah,

 u  U  x2 Kemudian kepada aliran ini kita tambahkan sebuah source yang fungsi arusnya adalah,

 so 

m 2

Apabila kita gunakan koordinat sistem (r,) seperti digambarkan di atas maka,

x2  r sin  , x1  r cos  Dalam koordinat sistem ini  u menjadi,

 u  U  r sin  Aliran yang dihasilkan oleh superposisi dari aliran uniform dan sebuah source mempunyai

,

   u   so  U  r sin  

m 2


Streamline dari aliran ini didapatkan dengan menuliskan

  konstan  U  r sin  

m 2

Berikutnya kita lihat kecepatan, ur 

1  m  U  cos  r  2 .r

u  

  U  sin  r

Titik-titik stagnasi atau titik-titik di permukaan benda di mana u = 0 untuk kasus ini adalah titik di mana U  cos  

m  0 & U  sin   0 2 r

Apabila kita selesaikan persamaan di atas untuk r & θ maka hasilnya adalah,  m  (rs , s )   ,    2U  

, dengan rs = r stagnasi; dan θs = θ stagnasi.

Dengan demikian maka titik stagnasi berjarak

m di depan source. Apabila koordinat 2U 

titik stagnasi kita substitusikan kedalam persamaan   konstan maka didapatkan,



U m m m sin     konstan 2 U  2 2

Dengan demikian maka permukaan benda dijelaskan oleh persamaan, (streamline dijelaskan oleh persamaan   konstan ) m m  U  r sin   2 2

atau

x  m m  U  x2  tan 1  2  2 2  x1 

Apabila kita gambarkan fungsi ini maka didapatkan,


Jadi dari contoh ini dapat dilihat bahwa superposisi dari aliran seragam dengan sebuah source merepresentasikan aliran disekitar benda tumpul yang panjangnya tak berhingga.

6.2.2 Aliran di sekitar silinder bundar Sekarang ktia akan lihat bahwa superposisi dari aliran uniform dengan sebuah doublet menghasilkan aliran yang merupakan representasi dari aliran potensial (inkompresibel) di sekitar sebuah silinder bundar.

Fungsi arus untuk aliran yang merupakan superposisi dari aliran seragam dan sebuah doublet adalah

   u  doublet  U  r sin  

 sin  2 r

    U  r sin  1  2   2 U  r 

Karena

 mempunyai unit m2 maka kita dapat definisikan 2U  R2 

 2U 

sehingga



  U  r sin  1  

R2  . r 2 


Berikutnya, kita lihat komponen-komponen dari kecepatan (ur dan uθ).

ur 

1   R 2   1  2 U  cos  r   r 

 R2   u    1  2 U  sin  r r   Untuk menentukan bentuk dari benda yang direpresentasikan oleh superposisi ini, kita cari titik-titik stagnasi karena titik-titik ini berada di permukaan benda.  R2  u r  0  1  2 U  cos   0 r    R2  u  0  1  2 U  sin   0 r  

Solusi dari kedua persamaan terakhir di atas adalah

rS , S   R,0 dan rS , S   R,   Apabila ktia substitusikan rS , S  ini ke r ,  dalam persamaan untuk  maka untuk kedua-duanya R,0 dan R,   ,   0 . Dengan demikian, maka permukaan benda dijelaskan oleh persamaan  = 0 atau

 R2  0  U  r sin  1  2  r   Persamaan ini akan selalu terpenuhi untuk setiap harga  apabila r2 = R2 = konstan. Dengan demikian maka benda yang aliran di sekitarnya direpresentasikan adalah sebuah silinder bundar dengan radius

rR

 2U 

Apabila kita lihat streamline-streamline lainnya maka aliran di sekitar benda ini terlihat seperti digambarkan di bawah.


Karena aliran di sekitar silinder bundar ini adalah aliran yang simetris, maka distribusi tekanannya juga simetris. Dengan kata lain silinder bundar ini tidak akan mempunyai “lift”. Drag sudah pasti sama dengan nol karena aliran ini adalah aliran potensial. Jadi aliran di sekitar silinder ini tidak menghasilkan gaya apa pun.

Observasi ini tentunya dapat dibuktikan dengan mengintegrasikan distribusi tekanan di sekitar silinder tersebut. Untuk itu pertama-tama kita cari Cp.





U  u2  p  p u2  Cp    1   2 2  1 2 U U     U  2 2

di mana telah digunakan persamaan Bernoulli, p 

1 1 U  2  p   u 2 . 2 2

Di permukaan benda r = R,

u r  0 dan u  2U  sin  sehingga, u 2  4U  sin 2  2

Oleh karena itu, maka Cp di permukaan benda,

Cp  1 4 sin 2  Apabila Cp tersebut diintegrasikan di permukaan maka akan didapatkan Cℓ = 0 dan Cd = 0.

Dari contoh ini kita dapat observasikan sesuatu yang penting yaitu, “Distribusi dari source dan sink yang diletakkan pada garis yang sejajar dengan freestream memrepresentasikan aliran di sekitar benda yang simetris terhadap garis


tersebut. Oleh karena aliran yang dihasilkan adalah aliran yang simetris, maka aliran di sekitar benda ini tidak menghasilkan ‘lift’.”

6.2.3 Aliran di sekitar silinder bundar yang dengan sirkulasi  Telah kita lihat di iii) bahwa aliran di sekitar silinder bundar tidak menghasilkan gaya angkat/ lift. Sekarang kita akan lihat apabila silinder yang sama berputar (“spinning”), apakah aliran di sekitar benda tersebut menghasilkan lift.

Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana merepresentasikan aliran ini. Kita akan coba merepresentasikan aliran ini dengan menambahkan sebuah vortex ke dalam aliran di sekitar silinder bundar. Apabila kita lakukan ini maka fungsi arus untuk aliran ini adalah



   u   doub   vortex  u r sin  1  

R2    log r r 2  2

Di mana vortex yang ditambahkan sedemikian rupa sehingga alirannya berputar searah jarum jam.

Seperti sebelumnya, langkah berikutnya adalah mendapatkan ur dan uθ. ur 

1   R 2   1  2  U  cos  r   r 

u  

 R2      1  2  U  sin   r r  2 r 

Dengan u r & u maka kita dapat temukan titik-titik stagnasi dipermukaan benda.

 R2  1  2  U  cos   0 r  

(cc.1)

 R2   0 1  2  U  sin   r  2 r 

(cc.2)


Dari persamaan yang pertama kita dapatkan solusi r = R.

Apabila solusi ini kita

substitusikan ke persamaan yang kedua maka didapatkan, 

    4 U  R 

  sin 1  

(cc.3)

Karena   0 maka θ haruslah berada di kuadran ketiga dan keempat. Jadi dari hasil ini dapat dilihat bahwa titik-titik stagnasi tergantung dari harga  . Dengan kata lain, aliran di sekitar benda ini hanya akan menjadi aliran yang unik apabila harga  ditentukan. Ini sesuai dengan hasil yang telah kita dapatkan sebelumnya bahwa solusi dari persamaan Laplace untuk aliran disekitar benda 2-D yang mempunyai   0 adalah solusi yang unik hanya untuk kasus-kasus di mana  dispesifikasikan. Dari ekspresi untuk θ, dapat disimpulkan bahwa titik-titik stagnasi berada di permukaan benda apabila   4 U  R . Apabila   4 U  R maka sin θ>1 dan persamaan tersebut tidak mempunyai arti.

Untuk kasus   4 U  R , kita kembali ke persamaan (cc.1). terpenuhi untuk r = R, persamaan ini juga terpenuhi untuk   kita substitusikan   

 2

ke dalam (cc.2) maka didapatkan 2

    2 r    R 4 U   4 U  

 2

Selain persamaan ini atau   

 2

. Apabila


Jadi untuk kasus ini terdapat 2 titik stagnasi yang salah satunya berada di dalam silinder.

Berikutnya kita lihat apakah aliran ini menghasilkan lift. Untuk itu kita perlukan distribusi tekanan di permukaan. Seperti sebelumnya (lihat (iii)), c p adalah cp  1 

u2 2 U

Untuk kasus ini distribusi kecepatan di permukaan adalah

ur  0 dan u  2U  sin   u 2  ur  u  u 2

2

 2 r

2

Dengan didapatkannya c p di permukaan maka Cd dan Cl dapat dihitung dan hasilnya adalah,

Cd 

0 2  1 c (cos  ) d   c p ,l (cos )d    p ,u  2   

2 0  1 C l    c p.l (sin  )d   c p ,u (sin  )d  2   

.

di mana c p ,l : c p di permukaan bawah c p ,u : c p di permukaan atas

Apabila kita integrasikan maka akan didapatkan,

Cd  0 dan Cl 

 RU 

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa aliran ini menghasilkan lift. Dari contoh ini kita dapat observasikan sesuatu yang penting yaitu : “Apabila kita tambahkan distribusi vortex kepada aliran yang awalnya simetris maka aliran yang dihasilkan menjadi tidak simetris relatif terhadap garis yang sejajar dengan freestream dan gaya angkat/lift akan dihasilkan.”


6.3

Superposisi dari Solusi Elementer dan potensial untuk aliran seragam

Dari hasil yang telah kita dapatkan, kita ketahui bahwa solusi dari persamaan Laplace, baik 3D maupun 2-D, dapat dinyatakan sebagai superposisi dari source, doublet, dan vortex. Sebelum kita gunakan kesimpulan ini untuk menyelesaikan permasalahan praktis, kita perlu mempelajari lebih dalam sifat-sifat dari setiap solusi elementer tersebut.

Untuk

menyederhanakan permasalahan, kita akan memfokuskan pada kasus 2-D dan melihat apa yang dihasilkan oleh distribusi dari setiap solusi elementer sepanjang sebuah axis (lihat sketsa).

6.3.1 Distribusi Source Apabila kita letakkan beberapa source dengan kekuatan (per unit panjang diarah x1), m, yang berbeda pada garis x1 , maka didapatkan,



1 1 2 2 2  m t ln x  t  x    1  2  dt 2 

(i)

u1 

 x1  t  dt  1  m t  2  x1 2  x1  t   x22

(ii)

u2 

 1 x2  m t  dt 2  x2 2  x1  t   x22

(iii)


Apabila kita perhatikan (iii), maka jelaslah bahwa u2 = 0 pada x2 = 0 kecuali pada titik di mana x1 = t. Dengan demikian maka harga dari integral tersebut hanya ditentukan oleh titik tersebut. Oleh karenanya, m(t) dapat kita ganti dengan m(x1) dan dikeluarkan dari integral. Selain itu, limit dari integrasi dapat kita ubah menjadi ∞ karena ini tidak akan mengubah harga dari integral. Sehingga apabila kita mendekati garis x2 = 0 (axis x1 di mana sama-sama diletakkan), dari arah atas (+) maka,



u2 x1 , 0

Perkenalkan  



m  x1  

  lim

x2

 x t

2

x2 0



1

2

 x22

dt

x1  t dt , d   x2 x2

sehingga,



u2 x1 , 0





 m  x1   d  m  x1  1  lim  tan     1   2 2 x2 0  2  

m  x1  2

 u2

Dengan cara yang sama maka dapat ditunjukkan bahwa apabila kita mendekati garis x2 = 0 dari arah bawah (-) didapatkan





u2 x1 , 0  

m  x1  2

 u2

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa distribusi source menghasilkan diskontinuitas kecepatan di arah normal sebesar,

u2  u2  m  x1  Sedangkan kecepatan di arah tangensial adalah kontinyu sehingga,

u1  u1 sebagaimana terlihat pada (ii).


6.3.2 Distribusi Doublet

( x 1 , x2 )

x2 Source ( + )

θ (x1-t)

Sink

(-)

Apabila kita letakkan doublet-doublet kekuatan κ (per unit panjang diarah x1), m, yang berbeda pada axis x1 dengan arah vektor l (vektor yang menghubungkan source dan sink) sejajar dengan sumbu x2 maka, cos  

x2

x1  t 2  x22

karena θ adalah sudut antara l dan r (vektor yang menghubungkan doublet dengan titik (x1, x2)). Dengan demikian maka,

  u1 

1 x2  t  dt 2  2  x1  t   x22

1

 x1  t  x2 dt 2 2 x1  t   x22    

 t   

x1  t   x22  1 u2   t  dt 2   x1  t 2  x22    Dari hasil ini terlihat bahwa bentuk integral dari  serupa dengan u2 untuk source (iii). Dengan demikian maka distribusi doublet menghasilkan diskontinuitas  sebesar,


        x1  Karena u1 

 maka distribusi doublet menghasilkan diskontinuitas kecepatan tangensial x1

(u1).

u1  u1  

d dx1

Sedangkan kecepatan di arah normal (u2) tidak berubah atau,

u2  u2 .

6.3.3 Distribusi Vortex Apabila yang diletakkan di garis x1 adalah vortex dengan kekuatan   x1  yang merupakan sirkulasi per unit panjang (definisi ini diperkenalkan untuk memastikan agar unit dari potensial kecepatan tetap m2/sec) maka,



 x  1   t  tan 1  2 dt  2  x1  t 

u1 

1 x2  t  dt 2  2  x1  t   x22

u2  

1 x1  t  t  dt 2  2  x1  t   x22

Dari hasil ini terlihat bahwa u1 serupa dengan u2 untuk source (iii). Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa distribusi vortex menghasilkan diskontinuitas kecepatan di arah tangensial (x1) sebesar,

u1  u1    x  Sedangkan kecepatan di arah normal tidak berubah (kontinyu),

u2  u2


Catatan: Untuk kasus 2-D seperti yang dibahas di sini, terlihat bahwa distribusi doublet dan distribusi vortex menghasilkan aliran yang serupa. Dengan kata lain, aliran yang dihasilkan oleh distribusi doublet dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi vortex yang mempunyai kekuatan

  x1  

d . dx1

Kesimpulan bahwa distribusi doublet dapat digantikan oleh distribusi vortex ini serupa dengan apa yang kita telah lihat pada kasus 3-D.

5.7

Solusi Umum Persamaan Laplace 3-D dan 2-D

Di dalam subbagian ini, kita akan memempelajari solusi umum dari persamaan Laplace 3-D. Secara umum persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut,

2 = m di mana m = 0. Apabila m  0 maka persamaan diferensial itu disebut persamaan Poisson. Solusi umum ini didapatkan dengan menggunakan apa yang disebut dengan “teorema Green”. Teorema ini didapatkan sebagai berikut.


Kita mulai dari teorema Gauss yaitu,

 A

dV   A  nˆ dS

V

S

Apabila kita pilih A   maka,

  A          2 Sehingga, ˆ       dV    ndS 2

V

( L3D.1)

S

Apabila kita tukar variabel  dan  (

) dalam (L3D.1),

ˆ        dV     ndS 2

V

( L3D.2)

S

Berikutnya kita kurangi (L3D.1) dengan ( L3D.2) didapatkan, ˆ        dV        ndS 2

2

V

(Teorema Green)

S

Untuk mendapatkan solusi persamaan Poisson, kita pilih  =

1 dimana r  x1  x (lihat sketsa r

diatas). Dari definisi r terlihat bahwa, 2 = 0 di V kecuali di titik p di mana r = 0. Apabila kita tidak sertakan titik p, dengan membuat bola Sp dengan jari-jari R1 (lihat sketsa dibawah) maka

2 = 0 di volume yang baru ini (permukaan yang baru adalah , Sb, Sp). Dengan demikian maka teorema di atas menjadi, 1



  r    dV 2

V



1 1 ˆ .       ndS r r   Sb  Sp 



Apabila kita definisikan permukaan St yang merupakan gabungan permukaan  dan Sb (dan permukaan lain yang merupakan batas-batas fluida) maka,

1

 r   dV

V

2



1

1

1

1

ˆ         ndS ˆ   r    r   ndS r r

St

Sp


Sp R1

Sp R1

P

P St Sekarang kita ambil limit R1  0 sehingga,  1  1   1  1 2 ˆ  lim  lim        ndS  p    4 R1  R1 0 R1 0 R R r r  R R  1  1  Sp   1 1     lim  R1   p  4  4 p R1 0  R1 

(p berada di dalam V).

Perlu diingat bahwa hasil terakhir didapatkan untuk titik p yang berada didalam domain (fluida). Apabila titik p berada di permukaan St, tentunya kita tidak bisa membuat sebuah bola. Yang bisa kita lakukan untuk kasus dimana titik p berada di permukaan St adalah membuat setengah bola (lihat sketsa dibawah sebelah kiri) dan untuk kasus ini, 1 1  1    1  1 2 ˆ  lim  lim        ndS  p    4 R1  R1 0 R1 0 2 R R r r  R R  1  1  Sp   1 1     lim  R1   p  2  2 p R1 0  R1 

(p berada di permukaan St).

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa,

 p ( x)   ( x1 , x2 , x3 )  n



4 2

1 n

  1 2 1 1 ˆ       dV   (   )  ndS r r V ( x1 ) r  St ( x1 )

(L3D.a)

p didalam V p dipermukaan St

Hasil di atas adalah solusi dari persamaan Poisson 3-D.

Kita lihat bahwa apabila  dan

    nˆ diketahui di St maka  di setiap titik dalam aliran dapat dihitung. n


Untuk persamaan Laplace,  2  0 sehingga,

 ( x)  n



4 2

1 n

  1   1 1  1 1  ˆ   )dS         ndS   ( r r  St ( x1 )  n  St ( x1 ) n r r n 

(L3D.b)

p didalam V p dipermukaan St

Jadi untuk aliran irrotasional 3-D, solusi didapatkan dengan menggunakan (L3D.b) di mana Sb dan

 adalah batas-batas fluida (total kedua permukaan adalah St) dalam permasalahan tersebut. Perlu diingat, bahwa integrasi dilakukan relatif terhadap variabel x1 dan r  x1  x . Untuk kasus 2-D, solusi umum untuk persamaan Laplace didapatkan dengan memilih   ln r untuk di dalam teorema Green. Untuk kasus 2D, domain dari persamaan Laplace bukanlah volume melainkan area. Dengan demikian maka kita perlu mengganti integral volume dan area dalam kasus 3D menjadi integral area dan integral sepanjang kurva. Sama seperti kasus 3-D,

2  0 di dalam domain (area) kecuali di titik P di mana r = 0. Dengan membuat lingkaran Sp dengan jari-jari R1 maka 2  0 di dalam area yang dibatasi oleh kurva-kurva , Sb, Sp. Di dalam domain ini, teorema Green menjadi,

ˆ  ln r dS    ln r   ln r   ndl 2

 Sb  S p

S

Seperti sebelumnya kita definisikan kurva St yang merupakan gabungan antara kurve  dan Sb (dan kurva lain yang merupakan batas-batas fluida) sehingga,

ˆ    ln r   ln r   ndl ˆ  ln r dS    ln r   ln r   ndl 2

S

St

Sp

Apabila kita ambil limit R1→0 lim

R1 0



ˆ  lim  ln R   ln r   ln r   ndl 

Sp

R1 0

1

    p ln R1  2 R1 R1 R1 

    lim 2  R1 ln R1   p   2 p R1 0 R1  

Seperti dalam kasus 3D, apabila p terdapat di kurva St maka,

( p berada di dalam S).


lim

R1 0

1



ˆ  lim  ln R   ln r   ln r   ndl 2 R R1 0

Sp

1

 p

1

  ln R1  2 R1 R1 

    lim   R1 ln R1   p    p R1 0 R1  

(p berada di permukaan St).

Dengan demikian maka,

p  x   n



1 1 ln r 2dS   n S n

ˆ   ln r    ln r    ndl St

2 p didalam S 1 p dikurva St

Apabila 2  0 maka

p  x  n



1 n

  ln r     ln r dl  n  n   St ( x1 )



(L2D)

2 p didalam S 1 p dikurva St

Sekali lagi diingatkan bahwa integrasi dilakukan terhadap variabel x1 dan r  x1  x .

5.7.1 Solusi umum sebagai superposisi dari source dan doublet Dalam sub-bagian ini, akan diperlihatkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace, baik 3D maupun 2D, adalah superposisi dari source dan doublet yang terdapat di permukaan banda atau batas-batas fluida. Bentuk solusi umum yang akan kita dapatkan ini adalah bentuk yang dapat digunakan untuk mendapatkan solusi secara numerik.

Solusi umum untuk persamaan Laplace, baik 3-D maupun 2D, dapat dituliskan seperti (untuk kasus 2D integral area tentunya diubah menjadi integral sepanjang kurva),

  x 

    s  s  n    n dS    St ( x1 ) 



di mana φs adalah,

(MP.1)


s 



1 ( kasus 3 D ) n r ln r  ( kasus 2  D ) n



.

dan harga n tergantung dari letak titik x didalam domain atau dibatas domain (lihat persamaan (L3D.b) dan (L2D)). Jadi harga  di setiap titik di dalam aliran dapat dihitung apabila kita mengetahui harga  dan

  di permukaan St. tentunya diketahui dari kondisi batas tetapi n n

bagaimana dengan harga  di St? Untuk itu, pertama-tama kita perluas “domain perhitungan” dengan mengikutsertakan daerah di luar aliran seperti daerah di dalam St dan kita nyatakan harga  yang dihasilkan oleh aliran didaerah ini dengan simbol  .

Untuk melihat kontribusi dari “aliran imajiner” ini, di sebuah titik P di dalam aliran, kita kembali ke teorema Green dan gunakan teorema ini di “daerah baru” (volume daerah ini adalah Vt) 

      dV    2

Vt

2

St

    dS n n 

Karena aliran di daerah baru ini adalah aliran (imajiner) potensial maka  2  0 . Selain itu, karena kita pilih titik P yang berada di luar Vt maka apabila  

1 kita tidak akan menemui r

kesulitan dengan kasus r = 0 (r tidak akan sama dengan nol karena P di luar Vb, lihat sketsa) sehingga 2  0 di Vb dan     0   s   s dS n n  St 

(MP.2)


Karena n  nˆ maka apabila kita jumlahkan (MP.1) dan (MP.2) didapatkan

        s   x        s    dS n  n n   St  A   B



Karena untuk kasus 3D, misalnya, source 



M  1  dan doublet      maka jelaslah bahwa 4 r l  4 r 





suku A pada integral di atas menjelaskan sebuah doublet dengan kekuatan       . Sedangkan suku B menjelaskan sebuah source dengan kekuatan M 

   . Oleh karena itu, n n

maka solusi umum persamaan Laplace 3-D dapat dituliskan seperti

 ( x)  s 



   M     s s  dS   n  St ( x1 )  1 ( kasus 3 D ), n  4 ( untuk x yang berada di V ) atau n  2 ( untuk x yang berada di St ) n r ln r  ( kasus 2  D ), n  2 ( untuk x yang berada di S ) atau n 1 ( untuk x yang berada di St ) n



(MP.3)

Dengan demikian maka dapat disimpulkan bahwa solusi umum dari persamaan Laplace 3-D adalah superposisi dari source dan doublet pada permukaan benda. Berbeda dengan (MP. 1) dimana solusi ditentukan oleh harga potensial  dan turunannya di St, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan persamaan (MP.3) kita mendapatkan kebebasan untuk memilih bentuk dari potensial  .

Ini disebabkan karena baik 

maupun turunannya diarah normal belum

dispesifikasikan. Dengan kata lain, distribusi dari source dan doublet di permukaan St bukan merupakan distribusi yang unik sehingga kita dapat memilih suatu distribusi source dan doublet yang mempermudah perhitungan.


Solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk (M.P.3) memberikan kita kebebasan untuk memilih bentuk dari potensial  maupun turunannya diarah normal. Misalnya, kita dapat memilih

   di permukaan St sehingga harga  di St adalah nol dan (M.P.3) menjadi,

  M  dS .

 ( x) 

s

St ( x1 )

Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan distribusi source.

Apabila kita dapat memilih

   di permukaan St, harga  di St menjadi nol dan (M.P.3) n n

menjadi,

 ( x) 

   s dS .  n  St ( x1 ) 



Dengan pilihan ini, persamaan solusi Laplace didapatkan dengan menggunakan distribusi doublet. Persamaan (MP.3) menunjukkan bahwa solusi persamaan Laplace didapatkan apabila harga  dan M di permukaan diketahui. Sekarang yang menjadi pertanyaan bagaimana mendapatkan harga  dan M di permukaan?

Secara umum, harga  dan M di permukaan didapatkan dengan

mengevaluasi  ( x) di permukaan St dan biasanya ini dilakukan secara numerik dengan menggunakan metoda yang dikenal dengan sebutan Metoda Panel. Metoda ini akan kita pelajari lebih lanjut di BAB 7.

Teori Potensial Untuk Aliran Inkompresibel

Recommend Documents