SISTEM LINIER
Oleh : Kholistianingsih, S.T., M.Eng.
lts
1
2 Isyarat Waktu Diskrit di kawasan waktu. 2.1 Representasi Isyarat Waktu Diskrit 2.2 Klasifikasi Runtun 2.3 Runtun runtun Dasar 2.4 Operasi di kawasan waktu
lts
2
10
0
-10 0 10
t (ms)
20
40
60
80
100
10
20
30
40
50 n (samples)
0
-10 0
lts
3
I.2 Representasi Isyarat di Kawasan Waktu Isyarat waktu diskrit (digital maupun non-digital), dapat dipandang sebagai runtun angka, dengan notasi { x[n] } = { . . . x[-3] , x[-2] , x[-1] , x[0] , x[1] , x[2] , . . . } Runtun { x[n] } hanya terdefinisikan pada harga harga n = . . . -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , . . . x[n] adalah harga cuplikan ke n. { x[n] } Contoh :
3
3
2 1
0.5
0
n -3
-2
-1
0
1
2
3
-1
{ x[n] } = { . . . , 2 , 3 , 0 , 1 , -1 , 3 , 0.5 , . . . } lts
4
Periode (interval) Pencuplikan Jarak antara dua cuplikan disebut periode pencuplikan T. Frekuensi pencuplikan
fs =
1 T
lts
5
Klasifikasi runtun Berdasarkan durasinya (panjang runtun atau jumlah cuplikannya), N1 < n < N2 , 8
8
-
n N1
durasi
N2
Runtun panjang tak-berhingga :
N2 - N 1
=
8
, N2 < 8
N1 > -
8
Runtun panjang berhingga :
Berdasarkan nilai cuplikannya, Runtun kompleks bila nilai cuplikannya berupa bilangan kompleks Runtun real bila nilai cuplikannya berupa bilangan real lts
6
Berdasarkan rentang cuplikannya Runtun sisi-kanan : x[n] = 0 untuk n < N1 Bila N1 > 0 maka runtun disebut runtun kausal
n
N1
Runtun sisi-kiri : x[n] = 0 untuk n > N2. Bila N2 < 0 maka runtun disebut runtun non-kausal
N2
lts
n 7
Runtun runtun dasar 1. Runtun Unit Step
u[n]
1, untuk n > 0
u[n] = 0, untuk n < 0 0 u[n - 2]
2. Runtun Unit Step tertunda k k=2 1, untuk n > k
u[n - k] =
n
0 1 2
0, untuk n < k
u[n +1] k=-1 n lts
-2 -1 0 1 2
8
d[n]
3. Runtun Unit Impuls d[n] =
1, untuk n = 0 0, untuk n =/= 0
4. Runtun Unit Impuls Tertunda k d[n-k] =
n
0
d[n-k]
1, untuk n = k
0, untuk n =/= k
n
k
0
d[n +2] k=-2 n -2 -1 0 1 2 lts
9
d[?]
u[?]
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
d[?]
u[?]
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
lts
10
Relasi antar runtun unit-impuls dan runtun unit-step
u[n] d[n] = u[n] – u[n-1]
u[n-1]
u[n]
d[n]
u[n - 1] lts
11
Runtun sembarang
Runtun sembarang dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan runtun unit-impuls tergeser dan terskala.
x[n] = x[-3] .d[n+3] + x[1] . d[n-1] + x[4] . d[n-4] 8
x[n] =
S
8
k=-
x[k] . d[n-k] lts
12
x[1]
x[-3]
x[n]
=
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
x[4]
x[-3].d[n+3]
+ -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
x[1].d[n-1]
+
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
n
x[4].d[n-4] -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 lts
6
n 13
4. Runtun Sinusoida x[n] = A cos(w0n + f)
A : amplitudo x[n]
f : fase x[n] w0 : frekuensi sudut x[n]
x[n] = 2 cos(0,1 n + 0) 2
1 0
n
-1 -2 0
10
20
30 lts
40 14
5. Runtun eksponensial
8
-
8
x[n] = A an ,
(a) Bila A dan a adalah bilangan real , maka runtun eksponensialnya real.
x(n)
x(n) A>0, a>1
A A>0, 0
A n
n 0
1
2
3
4
5
...
0 lts
1
2
3
4
5 ... 15
(b) Bila A dan a bilangan kompleks ,
a=e
(s + j w ) 0
0
dan
A = |A| e j F , maka
x[n] = |A| e j f e (s0 + j w0) n = |A| e s0n. e j(w0n+f) = |A| es0 n cos (w0n + f) + j sin (w0n + f)
= xRe[n] + j xIm[n] xIm[n] = |A| es0 n sin (w0n + f) xRe[n] = |A| e s0 n cos (w0n + f) xRe[n] dan xIm[n] adalah runtun sinusoida real lts
16
xRe[n] dan xIm[n] adalah runtun sinusoida real dengan amplitudo tetap , bila
s0 = 0
amplitudo membesar , bila
s0 > 0
amplitudo mengecil , bila
s0 < 0
Contoh : x[n] = exp -
1 + j p 12 6
n
x[n] = |A| ejf e (s0 + j w0) n
A=1 ,f=0 , s0 = - 1/12 < 0 , w0 = p/6
= e - n/12 e j
pn/6
= e - n/12 cos pn/6 + j sin pn/6 lts
17
e - n/12 cos pn/6
e - n/12 sin pn/6
1
1
xRe[n]
0.5
xIm[n] 0.5
0
0
-0.5
-0.5
Bagian Real
Bagian Imaginer
-1 0
10
20
30
40
-1
10
0
lts
20
30
40
18
Sebuah runtun disebut bounded (berhingga) bila 8
x[n] < Bx <
untuk semua harga n Bx : harga berhingga
Sebuah runtun disebut dapat dijumlahkan secara absolut bila 8
x[n] <
8
S 8
n=-
Energi runtun adalah 8
E=
x[n]
8
S n=-
2
lts
19
Metriks untuk isyarat x[n]
Energi :
S n=-
Ex =
x[n]
2
N
S
1
Power :
Px = lim N
2N + 1 n = -N
x[n]
2
Untuk isyarat periodis dengan periode N cuplikan x[n] = x[n + N] , perhitugan energinya cukup satu periode saja. Untuk sembarang harga n0 , energi isyarat periodis
Ex =
1 N
n0 + N -1
S
x[n]
2
n = n0 lts
20
x[n]
Contoh :
1 0,707
periode N=8
0 2
Ex =
1 8 1
= 16
4
6
8
10
12
14
16
18
20
n
7
S
cos(pn/4)
2
n=0 7
S
n=0
1 + cos (pn/2) = ½ lts
21
Operasi operasi dasar terhadap runtun Perkalian
A
dengan konstante (penyekala)
x[n]
dengan runtun
x[n]
y[n] = A x[n]
x
y[n] = x[n] w[n]
(modulasi) w[n] Penjumlahan
x[n]
+
lts w[n]
y[n] = x[n] + w[n]
22
Penundaan (pergeseran waktu) unit tunda positif
x[n]
Z -1
x[n]
y[n] = x[n – 1] y[n]
Z -1 n
unit tunda negatif
n
x[n]
Z+1
x[n]
y[n] = x[n + 1] y[n]
Z +1 n
n lts
23
Transformasi runtun Transformasi Antar kawasan (domain)
Contoh : dari domain waktu ke domain frekuensi, menggunakan transformasi Fourier Dalam domain. Contoh : Dalam domain waktu.
lts
24
Transformasi dalam kawasan waktu Pembalikan waktu
x[n]
y[n] = x[-n] -2 -1 0
1
2
n
x[-n] diperoleh dengan memutar x[n] 180o , dengan garis
x[-n]
vertikal melalui n = 0 sebagai sumbu putar
-2 -1 0 lts
1
2
n
25
Penyekalaan waktu y[n] = x[m]
m = an
Batasan harga a : |a| > 1 , disebut speed-up atau sub-sampling , harga a harus integer.
|a| < 1 , disebut slow-down atau expanding , harga a = 1/k dengan k adalah integer
Contoh : sub-sampling runtun x[n] untuk m = 2n , y[n] = x[2n]
lts
26
x[n]
y[n] = x[2n]
runtun asli
-2 -1 0
1
n
2
y[n] = x[2n]
y[1] = x[2]
runtun hasil sub-sampling
m=2n -2 -1 0
1
2
y[n] = x[2n + 1] ???
lts
27
Contoh expanding : y[n] = x[n/2]
n
y[n]
x[n/2]
:
:
:
-4
y[-4]
x[-2]
-3
y[-3]
?
Harga harga y[n] untuk n ganjil = ?
-2
y[-2]
x[-1]
Karena x[-3/2] , x[-1/2] , x[1/2] dan
-1
y[-1]
?
x[3/2] tidak terdefinisikan dalam
0
y[0]
x[0]
1
y[1]
?
2
y[2]
x[1]
maka harga y[n] untuk n ganjil harus
3
y[3]
?
dihitung melalui interpolasi.
4
y[4]
x[2]
:
:
runtun x[n] ,
x[n/2]
, utk n genap
x[(n-1)/2] + x[(n+1)/2]
, untuk n ganjil
y[n] = 2
lts
28
y[n] = x[n/2]
x[n] runtun asli
n -2 -1 0
1
2
y[n] runtun hasil expanding
-2 -1 0
1
2
n
Contoh interpolasi : Untuk n =1 ,
y[1] =
x[0] – x[1] 2 lts
29
Pemampatan (kompresi) data sederhana
-2 -1 0
x[n] data asli
1
2
n
y[n]
Sub-sampling (kompresi)
data terkompresi n -2 -1 0
Expanding (dekompresi)
1
2
y[n] data terpulihkan
-2 -1 0 lts 1
2
n 30
Soal Latihan : 1. Untuk runtun x[n] = (6 – n) { u[n] – u[n-6] , gambarkan runtun (a) (b) (c) (d)
y[n] = x[4-n] y[n] = x[2n-3] y[n] = x[8-3n] y[n] = x[n2 – 2n +1]
2. Ekspresikan runtun
x[n] =
1 2 3 0
untuk untuk untuk untuk
n=0 n=1 n=2 n yang lain
sebagai penjumlahan unit impuls tergeser dan terskala
lts
31
