PROBABILITAS &STATISTIK ke-2
Oleh: Kholistianingsih, S.T., M.Eng.
NILAI TENGAH, MEDIAN, MODUS, dan, UKURAN PEMUSATAN LAINNYA PENULISAN INDEKS, ATAU TIKALAS • Tetapkan lambang Xj ( dibaca X sub j) yang menunjukkan sebarang N nilai X1, X2, …., Xn yang dapat diterima oleh sebuah peubah X. Huruf j dalam Xj , yang dapat menggantikan salah satu nilai 1,2,3 , N disebut Tikalas atau indeks. J dapat diganti dengan huruf lain.
PENULISAN PENJUMLAHAN • Lambang digunakan untuk menunjukkan N jumlah semua Xj dari j =1 sampai J 1 X j j=N, yaitu menurut definisi N
Xj
J 1
X 1 X 2 ..... X N
RATA-RATA atau UKURAN PEMUSATAN • Rata-rata (Average) adalah sebuah nilai yang khas atau yang mewakili suatu himpunan data. Karena nilai khas yang demikian cenderung terletak secara terpusat dalam suatu himpunan data yang tersusun menurut besarnya, rata-rata juga disebut ukuran pemusatan. • • Disebut juga nilai tengah hitung (arithmetic mean) atau nsecara singkat nilai tengah (mean), median, modus, nilai tengah geometri, dan nilai tengah harmonik.
NILAI TENGAH HITUNG 1.
N
X
Xj
J 1
N
X 1 X 2 ..... X N X N N
Jika bilangan-bilangan X1, X2, …., Xn masingmasing terjadi f1, f2, …., fn maka mean : N 2. f X X
J 1
j
j
f1 f2 ... fN
f1 X 1 f2 X 2 ..... fN X N K
fj
J 1
fX fX N f
NILAI TENGAH HITUNG BERBOBOT Jika terdapat faktor bobot maka nilai tengah hitung berbobot: 3. X 1 X 1 2 X 2 ..... N X K X 1 2 ... k
SIFAT NILAI TENGAH HITUNG • Jumlah aljabar simpangan-simpangan (deviasi) suatu himpunan bilangan dari nilai tengah hitungnya adalah nol • Jumlah kuadrat simpangan-simpangan suatu himpunan bilangan Xj dari sebarang bilangan a adalah minimum jika dan hanya jika aX
SIFAT NILAI TENGAH HITUNG • Jika f1 buah bilangan mempunyai nilai tengah m1, f2 buah bilangan mempunyai nilai tengah m2,…, fk buah bilangan mempunyai nilai tengah mk, maka nilai tengah semua bilangan itu adalah (4) f1m1 f 2 m2 ..... f N m K X
f1 f 2 ... f N
yang merupakan nilai tengah hitung berbobot dari semua nilai tengah
SIFAT NILAI TENGAH HITUNG • Jika A sebarang terkaan atau anggapan nilai tengah hitung ( yang bisa berupa sebarang bilangan) dan jika dj = Xj – A adalah simpangan-simpangan dari Xj dari A maka persamaan (1) dan (2) menjadi • 5&6 d N
X
A
j 1
j
N
A
d N
K
X
A
fd j 1 K
j
f j 1
j
j
A
fd N
NILAI TENGAH HITUNG YANG DIKOMPUTASI DARI DATA BERKELOMPOK Jika selang kelas seragam = c maka persamaan (6) menjadi 7. K f ju j fu j 1 X A A c N N
MEDIAN • Data diurutkan menurut besarnya, nilai tengahnya adalah median • Untuk data berkelompok N f 1 c Median L1 2 fmedian • L1 = batas kelas bawah dari kelas median • N = banyak butir data (frekuensi total) • (f)1 = jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas median • fmedian = frekuensi kelas median • c = ukuran selang kelas median
MODUS • Nilai yang paling sering muncul atau nilai dengan frekuensi terbesar • Jika hanya ada 1 modus disebut distribusi unimodal
Dari suatu distribusi frekuensi atau histogram, modus = 1 c modus L1 1 2
• L1 = batas kelas bawah dari kelas modal • 1 = Kelebihan frekuensi modal terhadap frekuensi kelas yang lebih rendah berikutnya • 2 = Kelebihan frekuensi modal terhadap frekuensi kelas yang lebih tinggi berikutnya • c = ukuran selang kelas modal
HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI TENGAH, MEDIAN DAN MODUS • Untuk kurva frekuensi unimodal yang agak menceng
• Nilai tengah – modus = 3(nilai tengah – median)
NILAI TENGAH GEOMETRIK G • Nilai tengah geometric G dari suatu himpunan bilangan X1, X2, …., Xn adalah akar pangkat N dari hasil kali bilangan-bilangan itu
G
N
X 1 X 2 ... X N
NILAI TENGAH HARMONIK H Nilai tengah harmonic H dari suatu himpunan bilangan X1, X2, …., Xn adalah kebalikan nilai tengah hitung dari kebalikan bilangan-bilangan: 1
N H N 1 1 1 X N j 1 X j
atau
1 1 1 1 X H N N X
HUBUNGAN ANTARA NILAI TENGAH HITUNG, GEOMETRI, DAN HARMONIK Nilai tengah geometric suatu himpunan bilangan positif X1, X2, …., Xn lebih kecil atau sama dengan nilai tengah hitungnya tetapi lebih besar atau sama dengan nilai tengah harmoniknya
H
G
X
tanda kesamaan hanya berlaku jika X1, X2, …., Xn identik.
NILAI TENGAH AKAR KUADRAT • Nilai tengah Root Mean Square (RMS) atau nilai tengah kuadrat (quadratic mean) suatu himpunan bilangan X1, X2, …., Xn kadangkadang dinyatakan oleh X 2 dan didefinisikan oleh • N 2 Xj 2 X j 1 RMS X N N
KUARTIL, DESIL dan PERSENTIL • Jika suatu himpunan data disusun menurut besarnya, nilai tengah ( nilai tengah hitung dari dua nilai tengah) yang membagi himpunan atas dua bagian yang sama adalah median. Dengan memperluas pemikiran ini kita dapat membayangkan nilai-nilai yang membagi himpunan atas empat bagian yang sama. Nilainilai ini yang dinyatakan oleh Q1, Q2, Q3 masingmasing disebut kuarti pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga. Nilai Q3 adalah median
• Dengan cara yang sama jika membagi data dalam 10 bagian yang sama disebut Desil dan dinyatakan dalam D1,….,D9 • Dengan cara yang sama jika membagi data dalam 100 bagian yang sama disebut Persentil dan dinyatakan dalam P1,….,P99 - D5 dan P50 = Median - kuartil pertama - P75 = kuartil ketiga
• Secara kolektif jika membagi data atas bagian-bagian yang sama baik kuartil, desil, dan persentil disebut kuantil
