Statistik & Probabilitas PENDAHULUAN

Statistik & Probabilitas

2012

PENDAHULUAN

1. Statistik Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, statistik tidak hanya kumpulan angka-angka dalam tabel atau grafik seperti dulu. Statistik telah berkembang sesuai dengan tuntutan ilmu pengetahuan sekarang ini. Statistik dapat digunakan dalam segala bidang ilmu pengetahuan. Sehingga pengertian statistik pun berkembang menjadi: Statistik merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari cara (metode) pengumpulan, penyajian, analisa, interpretasi dan penarikan kesimpulan dari sekelompok data yang disusun, dalam bentuk angka. (Hifni, 1990) Bidang statistik berkaitan dengan pengumpulan, penyajian, analisis, dan penggunaan data untuk membuat keputusan dan memecahkan masalah. Karena banyak aspek praktek rekayasa melibatkan pekerjaan yang berhubungan dengan data, pengetahuan tentang statistik penting bagi insinyur dari bidang apapun. Secara khusus, teknik statistik dapat mempermudah kerja dalam merancang produk dan sistem baru, meningkatkan kualitas desain yang sudah ada, dan merancang, mengembangkan, dan meningkatkan proses produksi. Metode statistik digunakan untuk membantu kita menggambarkan dan memahami variabilitas. Variabilitas berarti, bahwa pada setiap pengamatan dari suatu sistem atau fenomena, tidak akan menghasilkan hasil yang sama persis. Kita semua menghadapi variabilitas dalam kehidupan kita sehari-hari, dan statistik dapat memberikan kita cara yang tepat untuk memasukkan variabilitas tersebut ke dalam proses pengambilan keputusan. Misal, jarak yang dapat ditempuh suatu mobil untuk tiap liter bensin. Apakah selalu sama? Tentu saja tidak, faktanya jarak tersebut bervariasi. Variabilitas ini bergantung pada banyak faktor seperti kondisi jalan, cuaca, kondisi mobil, dll. Faktor-faktor inilah yang menggambarkan sumber dari variabilitas sistem tersebut. Statistik memberi kita kerangka untuk menjelaskan variabilitas ini dan untuk mempelajari tentang sumber variabilitas mana yang paling penting atau yang memiliki dampak terbesar pada sistem tersebut.

2. Probabilitas Probabilitas biasa digunakan untuk menggambarkan pemikiran terhadap beberapa masalah atau dalil yang kebenarannya tidak menentu. Masalah tersebut biasanya dalam bentuk “Apakah peristiwa tertentu akan terjadi?” Sedangkan pemikiran dalam bentuk ”Seberapa yakinkah kita bahwa peristiwa tersebut akan terjadi?” Keyakinan (kepastian) yang kita adopsi

FARID MUHAMMAD - 1010620058

1


2012 tersebut dapat digambarkan dalam bentuk ukuran numerik, antara 0 dan 1, yang kita sebut probabilitas. Semakin tinggi nilai probabilitas dari suatu peristiwa, semakin yakin kita bahwa peristiwa tersebut akan terjadi. Jadi, probabilitas dalam pengertiannya adalah ukuran atau nilai dari kemungkinan suatu peristiwa acak akan terjadi. (Wikipedia) Teori matematika tentang probabilitas memberi kita alat dasar untuk membangun dan menganalisa model matematika untuk fenomena acak. Dalam mempelajari fenomena acak, kita berhadapan dengan percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya. Dalam sains dan teknologi, fenomena acak menggambarkan berbagai macam situasi. Pada umumnya, mereka dapat dikelompokkan menjadi dua kelas yang besar. Kelas yang pertama berhubungan dengan fenomena fisik atau alam yang melibatkan ketidakpastian. Ketidakpastian masuk ke dalam rumusan masalah melalui kompleksitas, kurangnya pemahaman kita tentang semua sebab dan akibat masalah tersebut, dan kurangnya informasi. Misalnya, prakiraan cuaca. Informasi yang diperoleh dari satelit cuaca dan informasi meteorologi lainnya tidak cukup untuk membuat prediksi cuaca tersebut bisa diandalkan 100 persen. Oleh karena itu, laporan cuaca di radio dan televisi dibuat berdasarkan probabilitas. Kelas kedua mempelajari model probabilistik yang menyangkut variabilitas. Misalnya, masalah dalam kepadatan lalu lintas dimana seseorang ingin mengetahui jumlah kendaraan melintasi titik tertentu di jalan dalam interval waktu tertentu. Jumlah ini bervariasi tak terduga untuk interval satu dan interval lain, dan variabilitas ini mencerminkan variabel perilaku pengemudi yang melekat dalam masalah ini. Sifat ini memaksa kita untuk mengadopsi sudut pandang probabilistik, dan teori probabilitas menyediakan alat yang tepat untuk menganalisis masalah jenis ini. Dapat dikatakan bahwa variabilitas dan ketidakpastian ada dalam setiap pemodelan untuk semua fenomena nyata, dan wajar bila melihat pemodelan dan analisis probabilitas menempati posisi sentral dalam perkembangan berbagai topik ilmu dalam sains dan teknologi.


2


2012

POPULASI, SAMPEL DAN DATA

1. Populasi Populasi adalah keseluruhan objek yang akan/ingin diteliti. Populasi ini sering juga disebut Universe. Anggota populasi dapat berupa benda hidup maupun benda mati, dimana sifat-sifat yang ada padanya dapat diukur atau diamati. Populasi yang tidak pernah diketahui dengan pasti jumlahnya disebut "Populasi Infinit" atau tak terbatas, dan populasi yang jumlahnya diketahui dengan pasti (populasi yang dapat diberi nomor identifikasi), misalnya murid sekolah, jumlah karyawan tetap pabrik, dll disebut "Populasi Finit".

2. Sampel Sampel adalah bagian dari populasi yang menjadi objek penelitian (sampel sendiri secara harfiah berarti contoh). Hasil pengukuran atau karakteristik dari sampel disebut "statistik" yaitu X untuk harga rata-rata hitung dan S atau SD untuk simpangan baku. Alasan perlunya pengambilan sampel adalah sebagai berikut : 

Keterbatasan waktu, tenaga dan biaya.



Lebih cepat dan lebih mudah.



Memberi informasi yang lebih banyak dan dalam.



Dapat ditangani lebih teliti.

Pengambilan sampel kadang-kadang merupakan satu-satunya jalan yang harus dipilih, (tidak mungkin untuk mempelajari seluruh populasi) misalnya: 

Meneliti air laut di Indonesia



Mencicipi rasa makanan di dapur



Mencicipi durian yang hendak dibeli

Dalam prakteknya, berikut jenis (teknik) pemilihan sampel yang paling banyak digunakan oleh peneliti: a) Sampel Random (Random Sampling) Cara ini dapat digunakan apabila dari populasi dianggap semua unsur yang terdapat dalam populasi tersebut memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih. Contohnya pengambilan adukan campuran baja untuk dibuat sampel kubus. b) Sampel Sistematis (Systematic Sampling) Sebuah sampel dianggap sistematis, apabila proses pengambilannya dilakukan secara sistematis dari populasinya. Contohnya apabila kita ingin menyelidiki lapisan tanah,


3


2012 dimana sampel-sampel yang kita ambil pada kedalaman-kedalaman tertentu, maka secara teoritis apabila pengambilan dilakukan beberapa tempat maka pada kedalaman yang mempunyai lapisan yang sama, dapat kita hubungkan dengan garis, dan ini merupakan proyeksi perkiraan lapisan tanah berdasarkan hasil dari data yang kita peroleh. c) Sampel Luas / Kelompok (Cluster Sampling) Pengambilan sampel dilakukan terhadap sampling unit, dimana sampling unitnya terdiri dari satu kelompok (cluster). Tiap item (individu) di dalam kelompok yang terpilih akan diambil sebagai sampel. Cara ini dipakai bila populasi dapat dibagi dalam kelompokkelompok dan setiap karakteristik yang dipelajari ada dalam setiap kelompok. Misalnya ingin meneliti gambaran karakteristik (umur, suku, pendidikan dan pekerjaan) orang tua mahasiswa FT Universitas Brawijaya. Mahasiswa FT-UB dibagi dalam 6 kelompok (I s/d VI). Pilih secara random salah satu tingkat (misal kelompok II). Maka orang tua semua mahasiswa yang berada pada tingkat II diambil sebagai sampel (Cluster). d)

Sampel Bertingkat (Multi Stage Sampling) Pengambilan sampel bertingkat dapat dilakukan, apabila populasi dapat terbagi dalam tingkatan-tingkatan, sehingga pengambilan sampel disesuaikan dengan jumlah tiap tingkatan. Contohnya bila kita mengajukan pendapat umum, maka sampel dibagi atas beberapa tingkatan umum, atau kita ingin menyelidiki pengeluaran rata-rata dari penduduk kita dapat menggolongkan pada tingkat penghasilan dan sebagainya.

e) Sampel Kuota (Quota Sampling) Pengambilan sampel hanya berdasarkan pertimbangan peneliti saja, hanya disini besar dan kriteria sampel telah ditentukan lebih dahulu. Misalnya Sampel yang akan di ambil berjumlah 100 orang dengan perincian 50 laki dan 50 perempuan yang berumur 15-40 tahun. Cara ini dipergunakan kalau peneliti mengenal betul daerah dan situasi daerah dimana penelitian akan dilakukan.

3. Data Dalam statistika dikenal beberapa jenis data. Data dapat berupa angka dapat pula bukan berupa angka. Data berupa angka disebut data kuantitatif dan data yang bukan angka disebut data kualitatif. Berdasarkan nilainya dikenal dua jenis data kuantitatif yaitu data diskrit yang diperoleh dari hasil perhitungan dan data continue yang diperoleh dari hasil pengukuran. Menurut sumbernya data dibedakan menjadi dua jenis yaitu data interen adalah data yang bersumber


4


2012 dari dalam suatu instansi atau lembaga pemilik data dan data eksteren yaitu data yang diperoleh dari luar. Data eksteren dibagi menjadi dua jenis yaitu data primer dan data sekunder. Data primer adalah data yang langsung dikumpulkan oleh orang yang berkepentingan dengan data tersebut dan data sekunder adalah data yang tidak secara langsung dikumpulkan oleh orang yang berkepentingan dengan data tersebut. Data bisa disajikan dalam bentuk tabel atau grafik. a) Tabel Statistika Ada beberapa macam tabel yang kita kenal dalam tabel statistika, yang fungsinya bukan hanya mempermudah pada pengolah data saja, tetapi tabel dapat berfungsi sebagai alat bantu komunikasi dan sumber informasi bagi pembacanya. Tabel-tabel tersebut secara umum dapat dibagi dalam 

Tabel Referensi Tabel referensi ini biasanya disusun secara khusus dan terinci guna kepentingan referensi. Contohnya tabel dibawah ini yang merupakan tabel referensi kekuatan pipa baja



Tabel Iktisar Merupakan bentuk penyajian beberapa data, hasil dari pengumpulan atau pengukuran sebelumnya dari kelompok jenis data tertentu sehingga seseorang secara langsung dapat membandingkan antara data yang satu dengan data lainnya.



Tabel Umum Bentuk penyajian data yang dikumpulkan dari bermacam-macam jenis data, yang dituliskan dalam suatu monogram. Biasanya informasi ini dikumpulkan berdasarkan sensus, sehingga setiap saat data itu akan berubah sesuai dengan perkembangan. Contoh:


5


2012



Tabel Distribusi Bentuk penataan data, yang dibuat oleh pengolahan data berdasarkan hasil-hasil data yang diperoleh oleh peneliti tersebut, yang bertujuan untuk memperoleh gambaran karakteristik dari data yang akan diolahnya. Contoh:

b) Grafik Grafik adalah cara penyampaian informasi bagi pembacanya. Penyajian data dengan grafik dianggap lebih komunikatif karena dalam waktu singkat dapat diketahui karakteristik dari data yang disajikan. 

Grafik Garis Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda. Contoh grafik garis tunggal dan ganda:


6


2012



Grafik Batang Grafik batang pada dasarnya sama fugsinya dengan grafik garis yaitu untuk menggambarkan data berkala. Grafik batang juga terdiri dari grafik batang tunggal dan grafik batang ganda. Contoh grafik batang tunggal dan ganda:



Grafik Lingkaran Grafik lingkaran menunjukkan hubungan bagian informasi yang satu dengan yang lain terhadap total seluruh informasi. Biasanya bagian-bagian informasi digambarkan dalam


7


2012 bentuk proporsi atau presentase dimana lingkaran menggambarkan seluruh total kejadian. Contoh grafik lingkaran:



Histogram Penyajian data dengan histogram diperlukan suatu batas tepi kelas, sehingga masingmasing kelas dapat berhimpit menjadi satu batas. Contoh histogram:



Poligon Jika pada penggambaran histogram diperlukan batas tepi, maka untuk menggambarkan poligon data yang diperlukan hanya titik tengah dan frekuensi saja. Hanya saja tambahan dua batas lagi, yaitu pada awal dan akhir dari garis poligon, dilanjutkan setebal interval dari masing-masing kelas yang ada. Contoh poligon:


8


2012

TENDENSI SENTRAL

Ukuran rata-rata dalam statistik banyak ragamnya. Dalam penelitian pendidikan hanya tiga macam ukuran rata-rata yang sering digunakan yaitu, mean atau rata-rata hitung, median dan mode. 1. Mean Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut: Sampel: Populasi: Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data N = banyaknya data populasi = nilai rata-rata sampel μ = nilai rata-rata populasi

Mean dilambangkan dengan

(dibaca “x-bar”) jika kumpulan data ini merupakan

contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari opulasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu). Sampel statistik biasanya dilambangkan dengan huruf Inggris,

, sementara parameter-

parameter populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ a) Rata-rata hitung (Mean) untuk data tunggal Contoh 1: Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9 Jawab: Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:


9


2012

Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i n = banyaknya sampel data = nilai rata-rata sampel Contoh 2: Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut: xi

fi

70

5

69

6

45

3

80

1

56

1

Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu. Jawab: xi

fi

fixi

70

5

350

69

6

414

45

3

135

80

1

80

56

1

56

Jumlah

16

1035


10


2012 b) Mean dari data distribusi Frekuensi atau dari gabungan: Distribusi Frekuensi Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu:

Keterangan: ∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i = nilai rata-rata sampel Contoh 3: Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2, pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10). Kelas ke-

Nilai Ujian

fi

1

31 – 40

2

2

41 – 50

3

3

51 – 60

5

4

61 – 70

13

5

71 – 80

24

6

81 – 90

21

7

91 – 100

12

Jumlah

80

Jawab: Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi. Kelas ke-

Nilai Ujian

fi

xi

fixi

1

31 – 40

2

35.5

71.0

2

41 – 50

3

45.5

136.5


11


2012 3

51 – 60

5

55.5

277.5

4

61 – 70

13

65.5

851.5

5

71 – 80

24

75.5

1812.0

6

81 – 90

21

85.5

1795.5

7

91 – 100

12

95.5

1146.0

Jumlah

80

6090.0

Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai rata-rata hitung dari sumber data aslinya.

Rata-rata Gabungan atau rata-rata terboboti (Weighted Mean) Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

2. Median Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan berasal dari sampel

(dibaca “x-tilde”) apabila sumber datanya

(dibaca “μ-tilde”) untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh

nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka.


12


2012 Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:  Banyak data ganjil → mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data  Banyak data genap → mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di

tengah gugus data

a) Median data tunggal: Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut:

dimana n= banyaknya data pengamatan.

Median apabila n ganjil Contoh 4: Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10 Jawab: 

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10



setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10



banyaknya data (n) = 11



posisi Me = ½ (11+1) = 6



jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Nilai Ujian

2

4

5

6

6

7

7

7

8

9

10

Urutan data ke-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

↑

Median apabila n genap: Contoh 6: Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9


13


2012 Jawab:  data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9  setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9  banyaknya data (n) = 10  posisi Me = ½ (10+1) = 5.5  Data tengahnya: 6 dan 7  jadi Median = ½ (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan

ke-6) Nilai Ujian

2

4

5

6

6

7

7

7

8

9

Urutan data ke-

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

↑

b) Median dalam distribusi frekuensi Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut:

b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median p = panjang kelas median n = ukuran sampel/banyak data f = frekuensi kelas median F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (∑fi)

Contoh 6: Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab: Kelas ke-

Nilai Ujian

fi

fkum

1

31 – 40

2

2

2

41 – 50

3

5

3

51 – 60

5

10


14


2012 4

61 – 70

13

23

5

71 – 80

24

47

6

81 – 90

21

68

7

91 – 100

12

80

8

Jumlah

80



←letak kelas median

Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40, terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)



b = 70.5, p = 10



n = 80, f = 24



f = 24 (frekuensi kelas median)



F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

3. Mode Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:  Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan

bimodal.  Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut

dikatakan multimodal.  Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut

dikatakan tidak mempunyai modus. Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.  Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya

sama.  Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus  untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu

mean > median > modus.


15


2012

Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris berikut: Mean – Mode = 3 (Mean – Median)

a) Modus Data Tunggal Contoh:

8:

Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:  2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9  2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9  2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9  2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Jawab:  2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak =

3), sehingga Modus (M) = 7  2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing

muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.  2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing

muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak berurutan.  2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-

masing muncul 2 kali), sehingga Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal karena modusnya lebih dari dua.


16


2012 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali, sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya

b) Mode dalam Distribusi Frekuensi:

dimana: Mo = modal = kelas yang memuat modus b = batas bawah kelas modal p = panjang kelas modal bmo = frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi) b1= bmo – bmo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya b2 = bmo – bmo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya Contoh: Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas! Jawab: Kelas ke-

Nilai Ujian

fi

1

31 – 40

2

2

41 – 50

3

3

51 – 60

5

4

61 – 70

13 → b1 = (24 – 13) = 11

5

71 – 80

24

← kelas modal (frekuensinya paling besar) → b2 =(24 – 21) =3

6

81 – 90

21

7

91 – 100

12

8

Jumlah

80



Kelas modul =kelas ke-5



b = 71-0.5 = 70.5; b1 = 24 -13 = 11; b2 = 24 – 21 = 3



p = 10


17


2012 4. Varian dan Standar Deviasi Salah satu ukuran variabilitas (measure of dispersion) yang paling sering digunakan jika data yang diukur berskala interval adalah varians. Varians didefinisikan sebagai rata-rata dari skor penyimpangan kuadrat. Untuk mencari varians, dibedakan antara varians populasi yang dilambangkan dengan (σ2) dengan varians sample yang dilambangkan dengan (s2). Untuk varians populasi, dapat dicari dengan rumus:

Dimana: µ = rata-rata populasi N = total jumlah populasi

Adapun varians untuk sample dapat dicari dengan rumus yang sama namun mengurangkan N dengan 1 sebagai berikut:

Dimana : s = rata-rata sample n = jumlah sampel yang digunakan

Untuk lebih memperjelas, baiklah kita coba dengan menghitung varians untuk populasi jika kita memiliki data pengukuran tentang nilai 5 siswa pada mata pelajaran matematika sebagai berikut: 7; 7; 9; 8; 6 Untuk menghitung varians dari data di atas maka kita harus mencari dahulu berapa mean (rata-rata) dari. Dengan rata-rata 6,9 maka kita tinggal memasukkan data di atas sebagai berikut:

Dengan varian sebesar 1,3 maka untuk mencari standar deviasi kita tinggal mengakar kuadratkan 1,3 yang akan menghasilkan 1,14. Karena varian adalah ukuran keberagaman data, FARID MUHAMMAD - 1010620058

18


2012 maka semakin besar angkat varians maka semakin beragamlah data yang kita miliki dan semakin kecil nilai varians maka semakin homogenlah data yang kita miliki. Nah, jika seandainya nilai varians yang kita miliki ternyata adalah 0, maka dapat disimpulkan bahwa dalam populasi atau sampel yang kita miliki tidak terdapat variabilitas. Keadaan demikian dapat terjadi jika sekor untuk setiap sampel/populasi adalah sama. Selain rumus di atas, kita juga dapat menggunakan rumus-rumus lain untuk mencari varians. Pada dasarnya, pemilihan rumus yang digunakan tergantung pengguna yang merasakan rumus manakah yang paling mudah digunakan. Rumus-rumus yang lain tersebut diantaranya adalah: Untuk varians sampel:


19


2012

UKURAN POSISI

1. Quartil (Q) Suatu nilai yang membagi data dalam kelompok maisng-masing 25%, sehingga kelompok data akan terbagi menjadi 4 bagian. Kelompok data terbagi menjadi 3 bagian yaitu: Q1 : Quartil bawah Q2: Quartil tengah Q3: Quartil atas Perhitungan Quartil:

Dimana: LQi = batas tepi bawah nilai kelas Quartil ke i Qi = Quartil ke i (i = 1;2;3) n = jumlah data i

= nomor quartil ke i

∑fQi = jumlah frekuensi sebelum kelas quartil fQi = frekuensi kelas kuartil c = interval kelas

2. Quentil (q) Quentil membagi data menjadi 5 bagian masing-masing 20% dari tabel data. Maka jumlah sekelompok data mempunyai 4 Quentil yaitu q1, q2, q3, dan q4. Perhitungan Quensil:

Dimana: Lqi = batas tepi bawah nilai kelas Quensil ke i qi = Qensil ke i (i = 1;2;3;4) n = jumlah data i

= nomor quensil ke i

∑fqi = jumlah frekuensi sebelum kelas quensil


20


2012 fqi = frekuensi kelas quensil c = interval kelas

3. Desil (d) Desil membagi sekelompok data menjadi 10 bagian, sehingga masing-masing bagian 10%. Berarti sekelompok data mempunyai 9 desil d1, d2,d3,......d9. Perhitungan Desil:

Dimana: Ldi = batas tepi bawah nilai kelas desil ke i di = desil ke i (i = 1;2;3;4;5;6;7;8;9) n = jumlah data i

= nomor desil ke i

∑fdi = jumlah frekuensi sebelum kelas desil fdi = frekuensi kelas desil c = interval kelas

4. Persentil (p) Persentil membagi sederetan data menjadi 100 bagian yang masing-masing bagian 1%. Berarti sekelompok data mempunyai 99 persentil, yaitu p1, p2, p3.......p99. Perhitungan Persentil:

Dimana: Lpi = batas tepi bawah nilai kelas persentil ke i pi = desil ke i (i = 1;2;3;4;......99) n = jumlah data i

= nomor desil ke i

∑fpi = jumlah frekuensi sebelum kelas desil fpi = frekuensi kelas desil c = interval kelas


21


2012

PROBABILITAS

Konsep probabilitas (peluang) mulanya berkembang dari judi, namun demikian dalam perkembangannya mempunyai peranan penting dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari. Menurut BJ Randel: Probabilitas diartikan sebagai suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat peluang terjadinya kejadian yang random Suatu proses disebut random, bila hasil proses tersebut tidak dapat ditentukan sebelumnya dengan pasti, dan terjadinyapun tidak dapat ditentukan dengan pasti. Sehingga nilai peluang tersebut hanya dapat dipakai sebagai ukuran untuk memprediksi peluang yang akan terjadi dalam suatu kejadian. (Hifni, 1990)

1. Nilai Peluang Apabila suatu event (E) dapat terjadi sebanyak h kali sejumlah n cara peluang yang sama, maka peluang event tersebut dapat terjadi atau tidak dapat ditulis:

Jika Pr(E) ditulis dengan simbol p (dapat terjadi/succeed) dan Pr(bukan E) disimbolkan q (gagal/failure) maka p+q=1 Contoh: bila sebuah dadu dilempar, berapa peluang muncul mata dadu 5? Jawab : Dadu memiliki 6 sisi, dan masing-masing sisi tertulis nilai 1-6. Maka tiap pelemparan tiap sisi menpunyai nilai peluang yang sama. Berarti ada 6 cara untuk muncul. Harapan munculnya mata dadu 5 adalah 1 dari 6 kejadian tersebut maka peluangnya adalah p=1/6 dan peluang tidak munculnya angka 5 adalah q=1-1/6=5/6.

2. Analisa Kombinatorial a) Permutasi Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan ialah penempatan r unsur tersebut dalam suatu urutan (r>n). b) Kombinasi Jika permutasi unsur-unsur tersebut disusun tidak mempermasalahkan urutan maka pada kombinasi, urutan pasangan dipermasalahkan.


22


2012 Persamaan permutasi dan kombinasi:

3. Distribusi Kemungkinan Apabila nilai kemungkinan menggambarkan nilai dari suatu kejadian, maka seluruh nilai kejadian dapat digambarkan dengan distribusi tersebut. Dalam berbagai peristiwa probabilitas yang bersifat independen dan dependen akan mengalamai kesulitan dalam penghitungan jika frekuensi percobaannya cukup banyak (bekalikali). Apalagi untuk peristiwa yang bersifat independen dengan frekuensi percobaan yang tidak terhingga (tidak terbatas). Untuk menjawab permasalahan tersebut, maka digunakan Distribusi Kemungkinan untuk penyelesaian secara sederhana. Untuk membahas distribusi kemungkinan, terlebih dahulu harus dapat membedakan antara Variabel Diskrit dengan Variabel Kontinyu. Variabel Diskrit merupakan variabel yang mempunyai angka-angka bulat. Misalnya jumlah mahasiswa sebanyak 60 orang, dia pergi ke Jakarta sebanyak 4 kali dan lain-lain. Dalam variabel diskrit berlaku ketentuan X > 5 tidak sama X >= 5. Sedangkan yang dimaksud dengan Variabel Kontinyu adalah suatu variabel yang mempunyai nilai berkesinambungan (antara variabel satu dengan variabel selanjutnya tidak mempunyai jarak). Misalnya panjang jalan itu 25,73 km, perusahaan itu sudah berusia 5 tahun, 8 bulan, 25 hari. Dalam variabel kontinyu berlaku ketentuan X > 5 sama dengan X >= 5. Dengan demikian variabel kontinyu dapat dikatakan mempunyai nilai yang kecilnya tidak terhingga dan besarnya juga tidak terhingga.Dalam bab ini pembahasan distribusi kemungkinan lebih difokuskan pada : a) Variabel Diskrit : Peristiwa Dependen : Distribusi Hipergeometris. Peristiwa Independen : Distribusi Binomial, Distribusi Multinomial dan Distribusi Poisson. b) Variabel Kontinyu : Peristiwa Independen : Distribusi Normal


23


2012 4. Distribusi Hipergeometris Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yang bersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2, …, xi) = (n1Cx1.n2Cx2 … niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, … xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, …ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap peristiwa; n = n1 + n2 + … + ni; dan x = x1 + x2 + … + xi. Contoh : Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam. Jawab : X1 = kejadian bola warna merah X2 = kejadian bola warna hitam P(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3

5. Distribusi Binomial Distribusi Binomial digunakan untuk menghitung peristiwa-peristiwa yang bersifat independen dengan variabel yang bersifat diskrit. Rumus yang digunakan adalah :


24


2012

REGRESI

Regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk membentuk model hubungan antara variabel terikat (dependen; respon; Y) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen, prediktor, X). Apabila banyaknya variabel bebas hanya ada satu, disebut sebagai regresi linier sederhana, sedangkan apabila terdapat lebih dari 1 variabel bebas, disebut sebagai regresi linier berganda. Analisis regresi setidak-tidaknya memiliki 3 kegunaan, yaitu untuk tujuan deskripsi dari fenomena data atau kasus yang sedang diteliti, untuk tujuan kontrol, serta untuk tujuan prediksi. Regresi mampu mendeskripsikan fenomena data melalui terbentuknya suatu model hubungan yang bersifatnya numerik. Regresi juga dapat digunakan untuk melakukan pengendalian (kontrol) terhadap suatu kasus atau hal-hal yang sedang diamati melalui penggunaan model regresi yang diperoleh. Selain itu, model regresi juga dapat dimanfaatkan untuk melakukan prediksi untuk variabel terikat. Namun, yang perlu diingat, prediksi di dalam konsep regresi hanya boleh dilakukan di dalam rentang data dari variabel-variabel bebas yang digunakan untuk membentuk model regresi tersebut. Misal, suatu model regresi diperoleh dengan mempergunakan data variabel bebas yang memiliki rentang antara 5 s.d. 25, maka prediksi hanya boleh dilakukan bila suatu nilai yang digunakan sebagai input untuk variabel X berada di dalam rentang tersebut. Konsep ini disebut sebagai interpolasi.

1. Regresi Linear Regresi Linear digunakan untuk menentukan fungsi linier yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Untuk mendapatkan fungsi linier y=mx+c, dicari nilai m dan c

Contoh penyelesaian analisis regresi linear: Carilah persamaan kurva linier jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut:


25


2012

Sehingga persamaan kurva linearnya menjadi:

2. Regresi Polinomial Regresi Polinomial digunakan untuk menentukan fungsi polinomial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Fungsi pendekatan: Untuk mendapatkan persamaan polinomial ordo kedua didapatkan hubungan:


26


2012 Contoh penyelesaian regresi polinomial:

Menggunakan matriks dan metode Gauss/Gauss-Jordan untuk mencari persamaan polinomialnya,

Sehingga persamaan eksponensialnya menjadi:

3. Regresi Eksponensial Regresi Eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan kumpulan titik data (xn,yn) yang diketahui. Regresi Eksponensial merupakan pengembangan dari regresi linier dengan memanfaatkan fungsi logaritmik. Untuk fungsi dapat dilograritmakan menjadi maka

atau jika

.


27


2012 Contoh penyelesaian regresi eksponensial: Carilah persamaan kurva eksponensial jika diketahui data untuk x dan y sebagai berikut,

Cari nilai a dan b seperti mencari nilai m dan c pada regresi linear,

Sehingga persamaan eksponensialnya menjadi:


28


2012

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Hipotesis Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran (benar atau salahnya ) suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruh populasi? Apa mungkin?) Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkin memeriksa seluruh populasi untuk memastikan kebenaran suatu hipotesis? Kita dapat mengambil contoh acak, dan menggunakan informasi (atau bukti) dari contoh itu untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis tersebut dan bukan karena hipotesis itu benar. Sedangkan penolakan suatu hipotesis terjadi karena tidak cukup bukti untuk menerima hipotesis tersebut dan bukan karena hipotesis itu salah. Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini, yang menyebabkan para statistikawan atau peneliti mengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuat hipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikan bahwa pendapatnya dapat diterima. Hipotesis dibedakan menjadi dua macam yaitu Hipotesis Nol (H0) yang menyatakan hipotesis yang diuji dan Hipotesis Alternatif (H 1). H0 harus berupa satu nilai parameter dari suatu populasi (rata-rata atau varians). H1 bisa merupakan beberapa kemungkinan nilai parameter.

2. Kesalahan 

Kesalahan jenis 1: suatu kesalahan bila menolak H0 yang benar (seharusnyaditerima), tingkat kesalahan ini dinyatakan dalam α.



Kesalahan jenis2: suatu kesalahan bila menerima H0 yang salah (seharusnyaditolak), tingkat kesalahan ini dinyatakan dalamβ.

Biasanya tingkat kesalahan yang diambil dinamakan dengan tingkat signifikasi yaitu antara 1% sampai dengan 5%. Suatu hipotesa dikatakan terbukti dengan tingkat kesalahan 1%


29


2012 bila dilakukan pada 100 kali pengambilan sample dari populasi yang sama hanya mendapatkan satu kesimpulan yang salah.

3. Uji Hipotesis 

Uji Hipotesis Satu Arah  Uji Pihak Kiri

 Uji Pihak Kanan



Uji Hipotesis Dua Arah

 Menguji Rerata Simpangan baku diketahui.


Simpangan baku tidak diketahui

30


2012 4. Ilustrasi Kasus Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya memiliki masa pakai 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penyelidikan dengan menguji 50 lampu, ternyata reratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. a. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05, apakah kualitas lampu itu telah berubah atau belum. b. Bagaimana dengan taraf nyata 0,01? Jawab:


31


2012

5. Uji Hipotesis Nilai Tengah Populasi


32


2012

6. Uji Hipotesis Ragam Populasi

7. Uji Hipotesis Proporsi Populasi


33


2012


34


2012

DAFTAR PUSTAKA

Anonymous. 2011. “Ukuran Pemusatan Data: Mean, Median & Mode”. http://www.smartstat.info/ statistika/ statisika-deskriptif/ukuran-pemusatan-data-mean-median-mode.html (diakses pada tanggal 14 Maret 2012) Basuki, Achmad. 2006. “Statistik dan Probabilitas: Uji Hipotesa”. Surabaya: PENS-ITS Hifni. 1990. “Metode Statistika”. Malang: Kopma Unibraw Kurniawan, Deni. 2008. “Regresi Linier”. http://ineddeni.wordpress.com (diakses pada tanggal 20 April 2012) Manado, Djunaidi. 2010. “Varian dan Standar Deviasi” http://statistikpendidikanii.blogspot.com/ 2010/07/varian-dan-standar-deviasi.html (diakses pada tanggal 14 Maret 2012) Montgomery, Douglas & Runger, George. 2003. “Applied Statistics and Probability for Engineers”. New York: John Wiley & Sons Inc. Nasution, Rozaini. 2003. “Teknik Sampling”. Medan: USU Digital Library Nurtama, Budi; Suyatma, Nugraha Edhi. _____. “Uji Hipotesis”. Bogor: IPB Pramono, Supriyoko. ____. “Modul Kuliah Statistik & Probabilitas”. http://sangiang.files.wordpress. com /2008/11/stat_pro_modul_1.doc (diakses pada tanggal 6 Maret 2012) Santoso, Slamet. 2009. “Distribusi Kemungkinan”. http://ssantoso.blogspot.com/2009/03/materi-ivdistribusi-kemungkinan-1.html (diakses pada tanggal 28 Maret 2012) Soong, T.T. 2004. “Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers”. New York: John Wiley & Sons Inc. Wikipedia. 2012. “Probability”. http://en.wikipedia.org/wiki/Probability (diakses pada tanggal 26 Februari 2012)


35

Statistik & Probabilitas PENDAHULUAN

Recommend Documents