SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá graficko-analytické metody pro plánování, řízení a kontrolu složitých návazných procesů. Tyto procesy se dají rozložit na dílčí a organizačně spolu související činnosti. Tyto procesy se nazývají v síťové analýze projekty (výstavba budov, silnic; výzkumné úkoly; plánování zavádění informačního systému do podniku). Matematický základ síťové analýzy je teorie grafů. Základní pojmy síťové analýzy Graf: Je dána konečná množina prvků u1 , u 2 ,..., u n a množina některých dvojic u i , u j .
{
Sjednocením množin {u1 , u 2 ,..., u n } ∪ u i , u j
} nazýváme grafem G.
Uzly grafu: prvky ui, i = 1,2,…, n a zobrazujeme je kroužky, pro zjednodušení ui, uj označujeme i, j. (Čísla i, j se vepisují do kroužků.) Hrany grafu: dvojice u i , u j a zobrazujeme je přímými nebo různě lomenými čarami, pro zjednodušení u i , u j označujeme (i, j). Konečný graf má konečný počet uzlů a hran. Orientovaný graf je tvořen orientovanými hranami, kterým je přiřazen určitý směr. Hranově (uzlově) ohodnocený graf je graf, jehož každé hraně (uzlu) je přiřazeno alespoň jedno číslo (mapa trasy dálkového podchodu, každé spojnici mezi jednotlivými stanovišti je přiřazena její délka). Cesta je posloupnost hran v orientovaném grafu, ve kterém každá hrana vychází z uzlu, v němž končí předcházející. Pokud cesta začíná a končí ve stejném uzlu, potom se jedná o cyklus. Acyklický graf neobsahuje žádný cyklus. Souvislý graf je takový graf, pro který platí, že pro všechny dvojice jeho uzlů existuje alespoň jedna cesta, která je spojuje. Multigraf je graf, ve kterém mezi některou dvojicí uzlů existuje více souhlasně orientovaných hran. 1
2
Síť je konečný souvislý, orientovaný, acyklický, hranově nebo uzlově ohodnocený graf, v němž existuje jeden počáteční uzel (nevstupuje do něj žádná hrana) a jeden uzel koncový (žádná hrana z něj nevystupuje). Příkladem sítě je telefonní síť, rozvod plynu, kanalizace, atd. 2 4 1 3
5
Síťový diagram je síťový graf, jehož hrany jsou ohodnoceny časovými údaji.
Délka cesty v síťovém diagramu představuje součet časových údajů přiřazených hranám, které tvoří uvažovanou cestu. Grafické modely projektů Projekty lze znázornit síťovým diagramem. Hrany představují jednotlivé činnosti a uzly představují začátky a konce jednotlivých činností. Podmínky pro modelování a řízení projektu síťovým diagramem: 1) pro každou činnost je známá doba trvání 2) pro každou činnost je definována činnost předcházející a činnost následující 3) pokud je přihlíženo i k jiným kritériím optimality, každá činnost musí být ohodnocena příslušnými ukazateli 4) cíl projektu je splněn, pokud jsou ve správném časovém sledu provedeny všechny činnosti Síťový graf musí být zakreslen co nejpřehledněji. Délka hran nemusí odpovídat době trvání na rozdíl od harmonogramu. Při sestavování grafu lze začít od počátečního uzlu (zvláště u známých projektů) nebo od konečného uzlu (především u doposud nerealizovaných projektů) nebo lze kombinovat oba způsoby. Uzly jsou číslovány přirozenými čísly, počáteční uzel má nižší číslo než koncový. Hrany mají buď kladné ohodnocení (u skutečných činností) nebo nulové ohodnocení (u fiktivních činností). Fiktivní činnost slouží k vyjádření návaznosti skutečných činností nebo k zamezení vzniku multigrafu. Příklad 1: V závodě se má provést rekonstrukce výrobní linky, spojená s výměnou výrobního zařízení, stavebními úpravami, generální opravou elektroinstalace a zlepšením pracovního prostředí. Projekt byl rozložen na dílčí činnosti, které jsou spolu s předpokládanou dobou jejich trvání (v týdnech) uvedeny v tabulce. Činnost a b c d e f g h i
Popis činnosti Demontáž starého zařízení Oprava střechy výrobní haly Oprava podlahy Vnitřní stavební úpravy Generální oprava elektroinstalace Montáž nového výrobního zařízení Montáž klimatizačního zařízení Zkušební provoz Dokončení vnitřních stavebních úprav
Doba trvání 8 6 2 4 10 12 5 4 3
Rozborem souvislostí mezi dílčími činnostmi bylo zjištěno, že demontáž starého zařízení a oprava střechy mohou probíhat nezávisle vedle sebe. Vnitřní stavební úpravy lze provádět po skončení opravy střechy a podlahy, přičemž opravu podlahy lze provést až po demontáži. Generální oprava elektroinstalace může být provedena po dokončení vnitřních stavebních úprav. Montáž nového výrobního a klimatizačního zařízení lze provádět současně, ale musí být skončena generální oprava elektroinstalace. Zkušební provoz může být zahájen po skončení montáže výrobního zařízení a dokončovací úpravy mohou probíhat nezávisle na zkušebním provozu, jakmile byla provedena montáž klimatizačního zařízení. Řešení:
Činnost a b c d e f g h i Předchozí činnost - - a b,c d e e f g 2 a 1
6
c
h
f b 3
d
4
e
5
8 g
i 7
U tohoto příkladu není fiktivní činnost nutná, avšak jejím zavedením se doba trvání projektu nijak neovlivní. Časová analýza deterministických projektů V deterministických projektech je doba trvání každé činnosti jednoznačně určena. Cílem časové analýzy projektů je stanovení kritické cesty, jejíž délka určuje dobu trvání celého projektu. Činnosti, které tvoří kritickou cestu, jsou činnosti kritické (na jejich průběhu závisí termín dokončení projektu) V síťovém diagramu z našeho příkladu existují mezi počátečním uzlem 1 a koncovým uzlem 9 celkem čtyři cesty. Cesta 1→2→3→4→5→6→8 1→2→3→4→5→7→8 1→3→4→5→6→8 1→3→4→5→7→8
Délka (týdny) 40 32 36 28
Z tabulky vyplývá, že rekonstrukci lze nejdříve stihnout za 40 týdnů, přičemž pro dodržení této doby jsou rozhodující průběhy činností „a“, „c“, „d“, „e“, „f“, „h“. Kritická cesta je vyznačena tlustou červenou čarou a její součástí je i fiktivní činnost. Pro rozsáhlé projekty není tento postup vhodný. Nejrozšířenější metodou pro stanovení kritické cesty u deterministických projektů je metoda CPM. Metoda CPM Symboly používané tij …doba trvání činnosti (i, j) t i(0 ) …nejdříve možný začátek činnosti (i, j)
při
metodě
CPM:
t (j0) = t i( 0) + t ij …nejdříve možný konec činnosti (i, j) t (j1) …nejpozději přípustný konec činnosti (i, j) t i(1) = t (j1) − t ij …nejpozději přípustný začátek činností (i, j) Ti ( 0 ) …nejdříve možný čas uzlu i; nejdříve možný začátek činností vystupujících z tohoto uzlu
T j(1) …nejpozději přípustný čas uzlu j; nejpozději přípustný konec činností vstupujících do tohoto uzlu Ri = Ti (1) − Ti ( 0 ) …časová rezerva uzlu i Kritickou cestu metodou CPM lze provést v síťovém grafu, pomocí incidenční matice nebo v lineárním diagramu. Výpočet v síťovém grafu Pro usnadnění výpočtu si jednotlivé uzly graficky upravíme a zavedeme symboliku následujícím způsobem.
i T0i
t1 i
j
t0j
tij
T1i
T0j
T1j
Síťový diagram projektu „rekonstrukce výrobní linky“. 2 8 8
8 0
2
1 0
0
6 36 36
8
8
4
36
10 6
6
3 10 4 10 10
24 14
4 14 14
14 10
24
36 4
12
40
5 24 24
8 40 40 32
32 5
3 29
37 7 29 37
Výpočet kritické cesty pomocí incidenční matice Termíny potřebné pro stanovení kritické cesty metodou CPM lze výhodně počítat v tabulce, jejíž hlavní obsah tvoří prvky incidenční matice. Prvky incidenční matice představují dobu trvání jednotlivých činností, přičemž doba trvání (i, j) je umístěna v průsečíku i-tého řádku a
j-tého sloupce. Nad tabulku a před tabulku se nadepíší čísla všech uzlů, před tabulku ještě připojíme sloupec nadepsaný Ti ( 0 ) (nejdříve možný čas uzlu i). Pod tabulku přidáme ještě dva řádky nadepsané T j(1) a Ti (1) − T j( 0) pro i = j . Ti ( 0 ) i \ j 1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
3 8
4
5
6
7
12
5
8
6 2 4 10 4 3
T j(1) Ti (1) − Ti ( 0 ) Postup při metodě CPM 1) stanovení termínů Ti ( 0 ) Postupujeme směrem od počátku projektu k jeho konci, přičemž nejdříve možný počátek projektu volíme rovný nule ( T1( 0 ) = 0 ). V prvním řádku tabulky, kde i = 1, sčítáme Ti ( 0 ) nejprve s délkou trvání činnosti (1,2) a výsledek zapíšeme do průsečíku prvního řádku a druhého sloupce (do pravého horního rohu tohoto políčka). Získáme tak nejdříve možný konec činnosti (1,2). Konkrétně 0 + 8 = 8, nejdříve možný konec činnosti (1,2) t 2( 0 ) je 8 týdnů. Stejně postupujeme pro činnost (1,3). Z uzlu 1 už jiné činnosti nevychází. Nyní musíme určit nejdříve možný čas uzlu 2 ( T2( 0) ). Podíváme se do sloupečku pod uzel 2. V našem příkladu je v tomto sloupci jediné vyplněné políčko s nejdříve možným koncem 8, toto číslo v pravém horním rohu dáme do rámečku a zapíšeme do tabulky, že T2( 0 ) = 8 . Pokud by ve sloupečku bylo více vyplněných políček, vybrala by se činnost s pozdějším nejdříve možným koncem a tento nejdříve možný konec by se označil rámečkem(viz sloupeček pod uzlem 3). Takto se pokračuje až do vypočítání nejdříve možného času posledního uzlu (v našem příkladu T8( 0 ) ). 2) stanovení termínů T j(1) Postupujeme od konce projektu k jeho začátku. Pokud není dána doba trvání celého projektu, jeho nejpozději přípustný konec ztotožníme s jeho nejdříve možným koncem ( T8(1) = T8(0 ) ; T8(0 ) = 40 ).Ve sloupečku pod uzlem 8 jsou dvě vyplněná pole, v obou počítáme rozdíl T8(1) a doby trvání činnosti.Tím získáme nejpozději přípustné začátky ( t i(1) ) konkrétní činnosti. Např. pro činnost (7,8) je nejpozději přípustný začátek t 7(1) = 37 ( T8(1) − t 78 ; 40 - 3 = 37). Číslo zapíšeme vždy do levého dolního rohu příslušného políčka (v případě činnosti (7,8) do průsečíku 7. řádku a 8. sloupce).Nyní je třeba určit nejpozději přípustný čas uzlu 7 ( T7(1) ). V řádku pro uzel 7 se podíváme na vyplněná pole. Pokud je zde jenom jedno vyplněné pole, číslo představující nejpozději přípustný začátek (zde 37) dáme opět do rámečku a hodnotu napíšeme do předposledního řádku tabulky pod
sloupec 7. Je-li v příslušném řádku více vyplněných políček, vybíráme políčko s nižší hodnotou nejpozději přípustného začátku, tu označíme rámečkem a zapíšeme do příslušného políčka (viz řádek náležící k uzlu 5). Tímto způsobem se pokračuje až do vypočítání T1(1) 3) stanovení rozdílů T j(1) − Ti ( 0) pro i = j (časová rezerva příslušného uzlu) Pro každý uzel spočítáme jeho časovou rezervu. Uzly, u kterých je tato rezerva nulová, leží na kritické cestě. (V našem příkladu kromě uzlu 7 všechny.) Kritická cesta se pozná i z tabulky podle zarámovaných čísel. Políčka (činnosti), kde jsou zarámovaná čísla v pravém horním rohu i v levém dolním rohu, leží na kritické cestě. Ti ( 0 ) 0 8 10 14 24 36 29 40
i\j 1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0
3 8
8
4
4
6
6
8
2
10 10
5
4
6
7
8
14 14
10
24 24
12
36
32
5
29 36 37
0
8
10
14
24
36
37
40
T j(1) − Ti ( 0) 0
0
0
0
0
0
8
0
T j(1)
4 3
40 32
Výpočet kritické cesty v lineárním diagramu (cinnost)
(7,8) (6,8) (5,7) (5,6) (4,5) (3,4) (2,3) (1,3) (1,2)
(doba trvani)
Časové rezervy činností Pomocí termínů Ti (0 ) , Ti (1) , T j(0 ) , T j(1) , t ij můžeme pro každou činnost (i, j) určit čtyři časové rezervy.
Celková časová rezerva
CRij = T j(1) − Ti (0 ) − t ij Celková časová rezerva určuje počet časových jednotek, o který je možné dobu trvání činnosti prodloužit nebo její nejdříve možný začátek oddálit, aniž se tím ovlivní termín ukončení celého projektu. K čerpání CR může dojít tehdy, když všechny předchozí činnosti byly ukončeny v nejdříve možném konci a všechny následující činnosti budou zahájeny v nejpozději přípustném začátku. Po vyčerpání celkové rezervy se z nekritické činnosti stane kritická činnost. Příklad 2: viz tabulka pro výpočet kritické cesty. Rezervu určujeme např. pro činnost (1,3). CR13 = T3(1) − T1(0 ) − t13 CR13 = 10 − 0 − 6 = 4 T1(0 )
T1(1) R1
T3(0 )
t13
CR13
T3(1) R3
Volná časová rezerva – vzniká tehdy, když do uzlu j vstupuje ještě kromě činnosti (i, j) ještě další činnost s pozdějším nejdříve možným koncem (viz 1. přednáška činnost (1,3) a činnost (2,3)).
VRij = T j(0 ) − Ti (0 ) − t ij Volná časová rezerva udává počet časových jednotek, o který lze dobu trvání činnosti prodloužit nebo její nejdříve možný začátek oddálit, aniž se tím ovlivní nejdříve možné začátky následujících činností. K čerpání volných časových rezerv může dojít, pokud všechny předchozí činnosti byly ukončeny v nejdříve možných koncích. Pokud vyčerpáme tuto časovou rezervu u činnosti, jejíž koncový uzel leží na kritické cestě, stane se z této činnosti činnost kritická. VR13 = T3(0 ) − T1(0 ) − t13 = 10 − 0 − 6 = 4 T1(0 )
T1(1)
T3(0 )
t13
VR13
T3(1)
Závislá časová rezerva – vzniká tehdy, pokud z uzlu i vystupují kromě činnosti (i, j) ještě jiné činnosti, a to s dřívějšími nejpozději přípustnými začátky.
ZRij = T j(1) − Ti (1) − t ij ZR13 = 10 − 0 − 6 = 4 Závislá časová rezerva udává počet časových jednotek, o který můžeme dobu trvání dané činnosti prodloužit nebo její začátek oddálit oproti nejpozději přípustnému konci bezprostředně předcházející činnosti, aniž by se změnily nejpozději přípustné začátky následujících činností. Pokud vyčerpáme závislou rezervu u činnosti, jejíž počáteční uzel leží na kritické cestě, stane se z této činnosti kritická činnost. T1(0 )
T1(1)
T3(1)
T 3(0 )
t13 ZR13 Nezávislá časová rezerva – pokud uzel i je počátečním uzlem více činností a uzel j je koncový uzel více činností, přičemž termíny Ti (1) , T j(0 ) byly vypočítány nezávisle na činnosti (i, j) NRij = max(0; T j(0 ) − Ti (1) − t ij )
NR13 = max(0;10 − 0 − 6) = 4 Nezávislá rezerva udává počet časových jednotek, o který můžeme trvání dané činnosti prodloužit nebo její nejdříve možný začátek oddálit, když všechny předchozí činnosti byly zakončeny v nejpozději přípustných koncích a všechny následující činnosti budou zahájeny v nejdříve možných začátcích. Vyčerpáme-li NR u činnosti, jejíž počáteční i koncový uzel leží na kritické cestě, stane se z této činnosti činnost kritická.. T1(0 )
T1(1)
T3(0 ) t13
T3(1)
NR13
Grafické znázornění všech časových rezerv. Ri
Rj
tij
CRij VRij tij
NRij
ZRij
Časová analýza stochastických projektů Doba trvání jednotlivých činností není určena jednoznačně. Pro řešení stochastických projektů je nejrozšířenější metoda PERT. PERT Je to modifikace metody CPM, kdy jednoznačně určené termíny jsou nahrazeny středními hodnotami náhodných veličin. Pro každou činnost se předpokládá znalost tří odhadů doby jejího trvání, a to : 1)optimistický odhad aij – představuje nejkratší dobu, za kterou je možno danou činnost provést za nejlepších podmínek 2)pesimistický odhad bij – představuje nejdelší dobu trvání činnosti za nejnepříznivějších podmínek 3)nejpravděpodobnější odhad mij – představuje dobu trvání činnosti za normálních podmínek Pokud zvolíme v intervalu a ij , bij diskrétní doby trvání dané činnosti a zkoumáme-li pravděpodobnost, s jakou těchto hodnot nabývá, získáme určité rozdělení pravděpodobnosti. Z teoretických rozdělení toto rozdělení nejlépe vystihuje tzv. β rozdělení (jednovrcholové, spojité, má konečné rozpětí a může být libovolně asymetrické). Jestliže předpokládáme, že doba trvání činností ve stochastických projektech má β rozdělení a že jsou dány tři odhadnuté doby trvání, střední hodnota a rozptyl doby trvání činnosti (i,j) se vypočte podle následujících vzorců: aij + 4mij + bij t ij = 6
⎛ bij − aij σ (t ij ) = ⎜⎜ ⎝ 6 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
Výpočet provedeme na příkladu 1. V tabulce jsou uvedeny tři odhady doby trvání každé činnosti. 2 a 1
6
c
h
f b 3
d
4
e
5
8 g
i 7
Činnost a b c d e f g h i
Popis činnosti Demontáž starého zařízení Oprava střechy výrobní haly Oprava podlahy Vnitřní stavební úpravy Generální oprava elektroinstalace Montáž nového výrobního zařízení Montáž klimatizačního zařízení Zkušební provoz Dokončení vnitřních stavebních úprav
Doba trvání 5, 8, 10 4, 6, 7 1, 2, 5 2, 4, 6 7, 10, 14 10, 12, 13 4, 5, 8 3, 4, 6 1, 3, 5
(i, j)
aij
mij
bij
t ij
σ ij2
a(1,2) b(1,3) c(2,3) d(3,4) e(4,5) f(5,6) g(5,7) h(6,8) i(7,8)
5 4 1 2 7 10 4 3 1
8 6 2 4 10 12 5 4 3
10 7 5 6 14 13 8 6 5
7,83 5,83 2,33 4,00 10,17 11,83 5,33 4,17 3,00
0,69 0,25 0,44 0,44 1,36 0,25 0,44 0,25 0,44
Pomocí střední hodnoty trvání všech činností stanovíme při metodě PERT kritickou cestu podobně jako u metody CPM. Lze to provést v tabulce obsahující incidenční matici daného síťového diagramu. Každý časový údaj je zde zdvojen. První údaj vyjadřuje střední hodnotu a druhý údaj rozptyl. Část tabulky s výpočtem kritické cesty při metodě PERT je na následujícím obrázku. Ti(0) σ 2 (Ti ( 0 ) )
i/j 1 0 0
2
3 7,83 0,69
1
7,83 0,69 10,16 1,13 14,16 1,57 24,3 2,93 36,16 3,18
5
6
7
8
5,83 0,25
7,83 0,69 0 3,43
4
5,83 0,25 4,3 2,55
2 3 4 5 40,33 3,43
6 4,17 0,25 36,16 0,25
29,66 3,37
32,66 3,81
7 3,00 0,44
37,33 0,44 40,33 3,43
8
Tj(1) σ 2 (T j(1) )
0
7,83
10,16
3,43
2,74
2,3
Tj(1)- Ti(0) σ 2 (Ti ( 0 ) ) + σ 2 (T j(1) )
0 3,43
14,16 24,33 36,16
37,33
40,33
1,86
0,25
0,44
0
0,5
0
0
0
0
0
7,67
0
3,43
3,43
3,43
3,43
3,43
3,81
3,43
Kritickou cestu lze u jednodušších projektů určit i procházením síťového diagramu všemi způsoby. V našem případě existují čtyři způsoby. Přesné časové údaje jednotlivých nahrazujeme středními hodnotami. Pro každou možnou cestu určíme dobu trvání celého projektu, a to součtem středních hodnot jednotlivých činností ležících na dané cestě. Kromě středních hodnot sčítáme i příslušné rozptyly. Náš projekt má střední hodnotu doby trvání 40,33 týdnů a rozptyl 3,43. Pravděpodobnostní výpočty
Pravděpodobnostní výpočty provádíme za předpokladu, že zkoumané termíny jsou nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením. Tento předpoklad je splněn zpravidla u projektů s velkým počtem činností. Zdůvodnitelný je zejména u doby trvání celého projektu. Podle centrální limitní věty platí, že rozdělení náhodné veličiny T , která je součtem velkého počtu nezávislých shodně rozdělených náhodných veličin tij, se blíží normálnímu rozdělení N T ; σ 2 (T ) . Výpočet pravděpodobnosti dodržení plánovaného termínu Tato pravděpodobnost se určí pomocí hodnot distribuční funkce Φ( x ) normovaného normálního rozdělení N(0;1). Nejprve se musí náhodná veličina Tn(0 ) transformovat na normovanou proměnnou
(
)
U =
(0)
(0)
− Tn σ (T n ( 0 ) )
Tn
.
Potom P(Tn
(0)
⎛ T pl ( 0 ) − Tn ( 0) ≤ T pl ) = Φ⎜ ⎜ σ (T ( 0 ) ) n ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(1) (0 )
Pokud je plánovaný konec dřívější než střední hodnota doby trvání projektu ( T pl < T n ),
argument funkce Φ( x ) ve vzorci (1) je záporný. Hodnotu distribuční funkce normovaného normálního rozdělení počítáme podle vztahu Φ(− u ) = 1 − Φ(u ), u > 0 . Pravděpodobnost dodržení tohoto termínu bude menší než 50%. (0 )
Pokud je plánovaný konec shodný se střední hodnotou doby trvání projektu ( T pl = T n ), pravděpodobnost dodržení termínu bude 50%. (0 )
Pokud je plánovaný konec pozdější než střední hodnota doby trvání projektu ( T pl > T n ), pravděpodobnost dodržení termínu je větší než 50%.
Příklad 3: Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. S jakou pravděpodobností bude projekt ukončen nejpozději v čase 42 týdnů? ⎛ 42 − 40,33 ⎞ ⎟ = Φ (0,90 )´= 0,8159 P (T9(0 ) ≤ 42 ) = Φ⎜ ⎜ ⎟ 3 , 43 ⎝ ⎠ V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení k příslušnému argumentu najdeme pravděpodobnost. Projekt bude ukončen nejpozději ve 42 týdnu s pravděpodobností 81,59%. Příklad 4: Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. S jakou pravděpodobností bude projekt ukončen nejpozději v čase 39 týdnů? ⎛ 39 − 40,33 ⎞ ⎟ = Φ (− 0,72 )´= 1 − Φ (0,72) = 1 − 0,7642 = 0,2358 P (T9(0 ) ≤ 39 ) = Φ⎜⎜ ⎟ 3 , 43 ⎝ ⎠
Projekt bude ukončen nejpozději ve 39 týdnu s pravděpodobností 23,58%. Určení doby trvání projektu při zvolené míře rizika
Tuto dobu lze stanovit rovněž s využitím tabulek funkce Φ( x ) . Je-li velikost rizika r v procentech, v tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení najdeme argument t, pro který funkce Φ(t ) nabývá hodnoty 1 − 0,1r . Odpovídající dobu trvání projektu T zjistíme ze vztahu : T −T , t= σ (T ) ze kterého vyjádříme dobu trvání projektu T: T = T + tσ (T ).
(2)
Příklad 5: Střední hodnota doby trvání projektu je 40,33 týdnů s rozptylem 3,43. Určete dobu realizace projektu, která bude dodržena s rizikem 20%.
20tiprocentnímu riziku odpovídá 80tiprocentní pravděpodobnost. Pro tuto pravděpodobnost zjistíme argument distribuční funkce t = 0,84. Po dosazení do vzorce (2) zjistíme požadovanou dobu T = 40,33 + 0,84 3,43 = 41,88 . S 80ti procentní pravděpodobností můžeme očekávat, že projekt skončí dříve než v čase 41,88 týdne. Simulace Simulace je proces, během něhož počítač napodobuje reálné situace. Neznámý parametr se nevypočte žádnými vzorci, nýbrž napodobováním běhu reálného systému na počítači. Simulace se věnuje systémům pravděpodobnostním a dynamickým, neboť právě ty jsou pro analytické řešení složité. S modelem se provádí experiment, nastavují se různé parametry modelu a zjišťuje se jeho chování. V simulačním modelu jde o statistický experiment. Výsledek matematického modelu je přesný, výsledkem simulačního modelu je odhad. Bez výpočetní techniky by nebylo možné rozsáhlé výpočty realizovat.
Časově - nákladová analýza projektu
Metoda CPM a PERT přihlíží pouze k časovým vztahům v projektech, přičemž optimální časový rozvrh činností nemusí být vždy hospodárný. Základním kritériem efektivnosti projektu jsou zpravidla náklady spojené s jeho realizací a ty úzce souvisejí s dobou trvání. Náklady
Náklady nepřímé – souvisí s realizací projekt jako celku (režijní náklady, ztráty vzniklé pozdním dokončením projektu). Jsou rostoucí funkcí doby trvání projektu (my budeme předpokládat lineární závislost). Náklady přímé – souvisejí s jednotlivými činnostmi (materiál, mzdy). Součtem přímých nákladů na jednotlivé činnosti získáme přímé náklady na celý projekt. Přímé náklady na realizaci činnosti (i, j) v čase tij označíme cij . Budeme předpokládat opět lineární závislost na době trvání (v tomto případě funkce nerostoucí – se zkrácením doby trvání rostou náklady). Tvar nákladové funkce odvodíme podle těchto pojmů: Dij … normální doba trvání činnosti (i, j), které odpovídají minimální náklady cij(D) dij … krajní doba trvání činnosti (i, j) při maximálně intenzivním režimu s vysokými náklady cij(d). cij cij(d)
K
N cij(D)
dij
Dij
tij
Přímka KN aproximuje graf závislosti přímých nákladů na době trvání příslušné činnosti. Rovnice této přímky je : cij = bij − aij t ij , kde bij = aij d ij + cij (d ), aij =
cij (d ) − cij ( D) Dij − d ij
Pro projekt lze úhrnné náklady vyjádřit takto: C P = ∑ (bij − aij t ij ) ( i , j )∈P
Koeficient aij představuje nákladový spád mezi dvojicí bodů odpovídajících normálnímu a maximálně intenzivnímu režimu (v opačném směru jde o nákladový růst).
Minimalizace přímých nákladů při dané době trvání projektu
Pro přímé náklady spojené s realizací celého projektu v čase T platí: ∑ cij ( D) ≤ C P ≤ ∑ cij (d ) ( i , j )∈P
( i , j )∈P
Při zachování doby trvání projektu T lze tyto náklady snížit prodloužením doby trvání nekritických činností až do dosažení jejich normální doby trvání a až do vyčerpání jejich časových rezerv (zpravidla volných). Příklad 6:
2
5
3
4
1
(i,j) (1,2) (1,3) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)
tij 3 4 3 3 7 1
dij 3 3 2 2 5 1
Dij cij(d) cij(D) 4 23 20 5 17 15 5 16 10 4 26 22 7 38 30 1 10 10 ∑130 ∑107
aij VRij 3 0 1 2 5 2 0 4 - 3
cij 23 16 14 24 30 10 ∑117
S realizací daného projektu jsou spojeny přímé náklady ve výši 117 nákladových jednotek (NJ). Tyto náklady lze snížit u nekritické činnosti (2,5) o dvě časové jednotky. Náklady klesnou o 4 NJ, tedy 117 – 4 = 113. Prodlužujeme dobu trvání nekritických činností maximálně o dobu Δt ij = min(VRij ; Dij − t ij ) a přednostně prodlužujeme činnosti s velkým aij. (Na konci této přednášky je spočítaná kritická cesta metodou CPM a všechny rezervy pro nekritické činnosti.) Stanovení optimální doby trvání projektu
Z hlediska efektivnosti je optimální doba trvání charakterizovaná minimálními celkovými náklady, které jsou součtem přímých a nepřímých nákladů. Jak již bylo uvedeno, přímé náklady se při zkracování doby trvání činnosti zvyšují a nepřímé náklady se snižují. Při optimální době trvání projektu jsou celkové náklady nejnižší.
celkové náklady nepřímé náklady
přímé náklady
Topt. Tato doba se nalezne tak, že se zkracují doby trvání činností ležících na kritické cestě (nejprve u činnosti s nejnižším koeficientem nákladového růstu). Kritické činnosti se zkracují vždy do dosažení krajní doby trvání. Při takovémto zkracování může dojít ke vzniku další kritické cesty, kterou je nutné potom také sledovat. Výpočet si budeme ilustrovat na příkladu 6. Předpokládáme, že všechny činnosti mají normální dobu trvání. T (i,j) tij ∆cij NN PN CN=PN+NN 12 - 60 107 167 11 (1,3) 4 1 55 108 163 10 (1,3) 3 1 50 109 159 9 (3,5) 6 4 45 113 158 8 (3,5) 5 4 40 119 159 (2,5) 4 2 Vznikne další kritická cesta 1-2-5, kterou je nutné brát rovněž v úvahu. Časově zdrojová analýza projektu
S realizací projektu je vždy spojeno čerpání zdrojů (práce, materiál, finance, atd.). V řízeném projektu je snaha čerpání zdrojů rovnoměrně rozložit na celou dobu trvání projektu. V některých případech při vzniku kapacitních špiček vznikne nedostatek zdroje (jeho potřeba převyšuje jeho disponibilní množství). Součtová čára (diagram potřeby zdrojů) – graficky vyjadřuje úhrnné nároky na zdroje v každém okamžiku trvání projektu za předpokladu, že každá činnost začne ve svém nejdříve možném začátku. Součtová čára mění svůj průběh v okamžiku, kdy začíná nebo končí nějaká činnost.
činnost (1,2) (1,3)
2 3
(2,5)
5
(3,4)
2
(3,5)
1
(4,5)
4 čas 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
11
Čas.interval 0-3 3-4 4-6 6-7 7-8 8-11 Potřeba zdroje 5 8 8 3 5 1 Součtová čára
úhrnné zdroje 8 7 6 5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
7
11
8 7 6 5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
V časovém intervalu 3,6 lze zvýšený nárok na zdroje odstranit tak, že využijeme její volnou časovou rezervu a zahájíme tuto činnost až v čase 8 (místo původního začátku v čase 3), který je jejím nejpozději přípustným začátkem. Při posouvání začátků činností se nejprve čerpají nezávislé rezervy, pak volné a nakonec celkové.V některých případech prodlužujeme dobu trvání nekritických činností, čímž se také sníží potřeba zdroje na tuto činnost v průběhu času. Minimalizace doby trvání projektu při omezených zdrojích
Pomocí součtové čáry lze zjistit časový interval, ve kterém je nárok na zdroj větší než jeho disponibilní množství. Pokud se nepodaří toto snížit s využitím časových rezerv nekritických činností, úpravy časového průběhu se projeví prodloužením doby trvání. Metody pro zjištění minimální doby trvání projektu jsou jednak exaktní (úloha LP), jednak heuristické. Výhodná je kombinace obou způsobů. Je možné rozdělit zdroje mezi více projektů (pracovník je zařazen do více projektů) a tím je usnadněno rovnoměrné rozložení zdrojů. Tímto se zabývá multiprojektové plánování. Poznámka: Výpočet kritické cesty a rezerv k příkladu, na kterém byla ukázána a) minimalizace přímých nákladů při dané době trvání projektu b) stanovení optimální doby trvání projektu 3 4 5 činnost CR VR ZR NR Ti ( 0 ) i\j 1 2 3 4 (1,2) 5 0 5 0 0 1 5 3 0 4 6 (2,5) 5 5 0 0 3 2 8 3 7 11 (3,4) 3 0 3 0 4 3 7 3 4 7 8 (4,5) 3 3 0 0 7 4 10 1 11 5 (1) 0 8 4 10 11 Tj T j(1) − Ti ( 0 ) 0 5
0
3
0
