SG. Miroslav Lávička

SYNTETICKÁ GEOMETRIE Pomocný učební text k předmětu KMA/SG Miroslav Lávička

Plzeň, leden 2007

Předmluva Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů matematiky a geometrie na Západočeské univerzitě v Plzni. Hlavním cílem bylo zpracování srozumitelného textu určeného nejen jako doplněk k úvodním přednáškám z geometrie, ale i jako pomůcka k samostudiu. Text by měl pomoci studentům lépe se zorientovat v předmětu a metodách geometrie a doplnit úroveň geometrických znalostí, které si studenti přinášejí z různých středních škol, a vytvořit tak dobré předpoklady pro úspěšné zvládnutí náročnějších geometrických partií. Svým obsahem skriptum zahrnuje základní poznatky z rovinné geometrie, jež jsou odrazovým můstkem pro studium dalších geometrických disciplín. Některé kapitoly jsou zaměřeny převážně na zopakování a upřesnění již osvojených geometrických znalostí, v dalších kapitolách je učivo střední školy doplněno, rozšířeno a systematizováno a zbývající partie přinášejí učivo nové. Schéma výkladu sleduje přísně logickou strukturu opírající se o řešení problémů vyvozováním z axiómů a platných vět. Definicím a větám je třeba učit se uvědoměle, pochopit jejich obsah a uplatnění při řešení úloh — pouhé učení nazpaměť bez zapojení správného logického myšlení nemá význam. Jsem si plně vědom, že jde stále jen o provizorní formu textu a že v materiálu možná najdete i nějaké chyby. Budu Vám proto velmi vděčný za případné připomínky a návrhy na úpravy či doplnění.

Plzeň, 27. ledna 2007 Miroslav Lávička ([email protected])

3

OBSAH

Obsah 1 Stručná historie geometrie

7

2 Axiómy a základní věty geometrie

11

2.1

Eukleides: Stoicheia (Základy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2

D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) . . 15

2.3

Axiómy incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Axiómy uspořádání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5

Axiómy shodnosti

2.6

Axiómy spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7

Absolutní geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8

Modely absolutní geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9

Axióm rovnoběžnosti. Eukleidovská geometrie . . . . . . . . . . 46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Několik poznámek k neeukleidovským geometriím . . . . . . . . 48 3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi 54 3.1

Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2

Kružnice, kruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3

Trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4

Čtyřúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5

Mnohoúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6

Souřadnicová soustava v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7

Množiny bodů dané vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8

Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed . . . . . . 90

3.9

Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina . . . . . . . . . . 95

4 Základní geometrická zobrazení v rovině

97

4.1

Úvodní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2

Identita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3

Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4

Středová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5

KMA/SG Syntetická geometrie

4.5

Posunutí (translace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.6

Otočení (rotace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.7

Stejnolehlost (homotetie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.8

Osová afinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.9

Středová kolineace (homologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.10 Kruhová inverze

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Konstrukční planimetrické úlohy

123

5.1

Řešení konstrukčních úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2

Eukleidovské konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3

Apolloniovy úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 Grupy geometrických transformací

151

6.1

Pojem grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2

Kleinův grupově-kinematický pohled na geometrii . . . . . . . . 152

6.3

Eukleidovská grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4

Ekviformní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5

Mongeova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.6

Afinní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.7

Grupa kruhových transformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.8

Hyperbolická grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.9

Grupy zobrazení reprodukujících daný útvar . . . . . . . . . . . 184

6.10 Projektivní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6

1. Stručná historie geometrie

1

Stručná historie geometrie

Geometrie1 vznikla jako věda o vlastnostech a vzájemných vztazích prostorových útvarů vytvořených abstrakcí z hmotných těles. První geometrické zkušenosti si lidé osvojovali při praktických činnostech, jakými jsou např. stavba obydlí, výroba nástrojů, zbraní či oděvů, při orientaci v terénu atp. Příroda poskytovala pravěkým lidem předměty, které nabývaly nejrůznějších tvarů a právě jejich napodobování a porovnávání se stalo zdrojem pro utváření základních geometrických znalostí a dovedností. Pro tvorbu ornamentů na hliněných nádobách byly používány pásy, lomené čáry, trojúhelníky, rovnoběžníky, šrafování, přibližné dělení kružnice na stejné díly, symetrie. Pozorováním pohybu Slunce lidé došli k představě o světových stranách, což patrně vedlo i k prvním úvahám týkajícím se pravého úhlu. Geometrické znalosti nejstarších civilizací, které vznikaly v 5., 4. a 3. tisíciletí p.n.l. kolem velkých řek (Mezopotámie, Egypt, Čína, Indie), dovolovaly realizovat náročné stavební práce (zavlažovací systémy a vodní nádrže, chrámy, hradby a opevnění, pyramidy), stavět lodě a vozy, vyměřovat pole, tesat z kamene nejen kvádry, ale i složitější tělesa a umělecké sochy. Existovaly návody (vzorce) – ať už přesné či přibližné – pro výpočet obsahu trojúhelníka, čtyřúhelníka a kruhu. Dávno před Pythagorem byla v Egyptě, Mezopotámii, Indii i Číně známa věta, kterou dnes nazýváme Pythagorova. Celá matematika tohoto období se však vyznačovala přísně dogmatickým rázem — nejstarší učebnice pouze ukazovaly, a to bez zdůvodnění, postupy řešení konkrétních úloh geometrie pro řemeslníky, stavitele, zeměměřiče, obchodníky a úředníky. Základní otázkou všech problémů bylo JAK? a ne PROČ? — to byla otázka až pro vyspělejší antickou civilizaci. Egyptská, mezopotámská, indická i čínská matematika přinesla řadu pozoruhodných výsledků, ale přesto v tomto období ještě nehovoříme o matematice jako o vědě. Tato změna nastala až v antickém Řecku cca v 6. století p.n.l., teprve Řekové udělali první krok od empiricky získaných, izolovaných, vzájemně nepropojených a nezdůvodňovaných poznatků směrem k deduktivně budovaným teoriím, v nichž je jedním z nejdůležitějších požadavků důkaz předkládaných tvrzení. Je nutné zdůraznit, že antická matematika se vyvíjela v období téměř jednoho tisíciletí (6. st. p.n.l. – 4. st. n.l.) a je spojena s celou řadou proslulých učenců. Jedná se o období, kdy se vedle praktické matematiky nově vytváří rovněž matematika teoretická; geometrie již není praktickou pomůckou pro řemeslníky a zeměměřiče, ale stává se vědou o tvarech, v níž se uplatňují slovní definice, poučky a různé metody důkazu. Kresby a schémata již nejsou prostředkem ověřování pouček, ale plní jen pomocnou úlohu. 1z

řeč. geo = týkající se země, metrein = měřit

7


Prvním významným matematikem byl Thalés z Milétu (≈ 624 – ≈ 543 p.n.l.), který uspořádal některé geometrické poznatky o kružnicích a trojúhelnících a ukázal možnost odvozovat nová tvrzení rozumovou úvahou. Vznik matematiky jako vědy je však spojen především se jménem mladšího Thaletova současníka Pythagora ze Samu (≈ 560 – ≈ 480 p.n.l.) a s jeho filozofickou školou, tzv. pythagorejskou školou. Paradoxem je, že ačkoliv je Pythagoras znám především díky geometrii (Pythagorova věta), pythagorejská koncepce matematiky byla čistě aritmetická. Čísla (tj. v pythagorejském pojetí jen přirozená čísla) a jejich poměry (tj. racionální čísla) se stala základem jejich filozofického pojetí světa. Toto pojetí se však záhy zhroutilo a přispěli k tomu sami pythagorejci, když objevili, že úhlopříčku jednotkového čtverce nelze vyjádřit jako poměr dvou čísel (rozuměj poměr dvou přirozených čísel). Krize pythagorejské filozofické koncepce se přenesla i do řecké matematiky (tzv. 1. krize matematiky), a tak po neúspěšné cestě aritmetizace se řecká matematika vydala cestou geometrizace — všechny úvahy týkající se veličin se začaly důsledně vyjadřovat geometricky: např. úsečka představovala reálné číslo chápané jako její délka, čtverec představoval druhou mocninu délky, krychle třetí mocninu délky, obdélník součin dvou různých délek atd. I přes zhroucení pythagorejské koncepce světa, zůstane jejich zásluhou zavedení důkazu do matematiky — trend, který vyvrcholil v díle filozofa Aristotela ze Stageiry (384–322 p.n.l.). Ve svých spisech Aristoteles přesně vymezil, jak má být správně budována deduktivní teorie, rozvinul nauku o definování a o dokazování a zdůvodnil nutnost existence počátků deduktivní vědy. Uvedený přístup uplatnil geniálním způsobem Eukleides z Alexandrie (≈ 340 – ≈ 280 p.n.l.), který ve své knize Základy (≈ 300 p.n.l.) shrnul tehdejší matematické poznatky do logicky provázané struktury a ovlivnil tak vývoj matematiky na další dvě tisíciletí. Z dalších vynikajících řeckých matematiků uveďme alespoň Archiméda ze Syrakus (≈ 287 – 212 p.n.l.), který se mimo jiné zabýval problémy výpočetní geometrie (kvadratury, kubatury), zkoumal spirály a kuželosečky, a Apollónia z Pergy (2. pol. 3. stol. – počátek 2. stol. p.n.l.), který se v díle Kóniká systematicky zabýval kuželosečkami. Ostatní autoři helenistickéko období dosáhli úspěchů v těch oblastech matematiky, které souvisely např. s astronomií a geodézií. Již babylónské hliněné tabulky obsahovaly údaje o velikosti tětiv v kružnicích, Řekové tuto problematiku rozvinuli a vznikla tak řada děl věnovaných rovinné a především pak sférické trigonometrii. V antickém Římě nedosáhla věda takového rozmachu jako v Řecku a po zániku antického světa upadají díla řeckých učenců pomalu v zapomnění. Období nového rozkvětu matematiky přichází až s nástupem mohutné islámské říše, která v 7.–10. století sahala od Španělska až po střední Asii a stala se centrem tehdejší vzdělanosti. Mnohá řecká díla, která se nedochovala, známe

8

1. Stručná historie geometrie

jen díky arabským překladům. Islámská geometrie zahrnovala např. studium problému rovnoběžek, konstrukce kružítkem a pravítkem apod. Z velkého počtu arabských vzdělanců připomeňme alespoň některé — jsou to Al-Fárábí (≈870–950), který je autorem komentářů k Eukleidovi, Ibn Síná (980–1037), známější pod latinským jménem Avicenna, který se pokoušel o důkaz 5. Eukleidova postulátu, a Omar Chajjám (1048–1131), který kromě svých geometrických prací proslul i jako básník. Evropská středověká matematika včetně geometrie klesla opět na úroveň praktické matematiky nutné k hospodářskému životu. Na nově zakládaných univerzitách pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických spisů především z arabštiny do latiny — v geometrii to samozřejmě byl překlad Eukleidových Základů. V době renesance se jako součást malířských praktik rozvinula nauka o perspektivě. Zásadní zlom ve vývoji matematiky přišel v 17. století. Francouzi René Descartes (1596–1650) a Pierre Fermat (1601–1665) aplikací algebry při řešení geometrických úloh položili základy analytické geometrie. Matematici dostali do rukou mohutný nástroj, který umožnil studovat geometrické objekty pomocí jejich analytického vyjádření; algebraické výrazy a jejich rovnice dostaly geometrickou náplň. Descartovi a Fermatovi se podařilo překonat ostrou hranici mezi „světem čarÿ a „světem číselÿ — dvěma světy, které byly studovány samostatně od dob 1. krize matematiky. A od analytické geometrie a s ní souvisejícího studia křivek byl již jen krok k nejvýznamnějšímu objevu 17. století — objevu diferenciálního a integrálního počtu. Geometrii bez souřadnic se pro rozlišení začalo říkat geometrie syntetická. Do analytické geometrie spadaly z počátku i problémy vyžadující infinitezimální úvahy, které dnes řadíme do diferenciální geometrie, a také problematika útvarů vyšších stupňů, která se dnes řadí do algebraické geometrie. V 17. století, ale hlavně pak ve století osmnáctém se objevuje ještě jedna geometrická disciplína — projektivní geometrie. V souvislosti s rozvojem inženýrských škol se projevovala rostoucí potřeba zobrazovacích metod a s tím souvisely i teoretické práce, které jednotlivé metody zdůvodňovaly. Pozoruhodné spisy publikoval již Gérard Desargues (1593–1661), projektivní (promítací) geometrií se rovněž zabýval Blais Pascal (1623–1662). Další studium zobrazovacích metod pak přineslo geometrii deskriptivní, které dal název spis Deskriptivní geometrie od Gasparda Mongeho (1746–1818). Dalším zásadním mezníkem ve vývoji matematiky se stává 19. století, v němž můžeme najít kořeny všech moderních matematických disciplín. Marné úsilí o důkaz 5. Eukleidova postulátu vedlo k objevu neeukleidovské geometrie, u jejíhož zrodu stáli Carl Friedrich Gauss (1777–1855), János Bolyai (1802– 1860) a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856). Z počátku tvrdě odmítaná disciplína byla přijata až po té, co výsledky zobecnil Bernhard Rie9


mann (1826–1866) a po té, kdy byly nalezeny názorné modely neeukleidovské geometrie — Kleinův model (1871) a Poincarého modely (1882). Významné podněty čerpala geometrie v druhé polovině 19. století a počátekem 20. století především z algebry. Moderní metody řešení soustav lineárních rovnic pomocí determinantů a matic pomohly mimo jiné sjednotit postupy pro analytické řešení úloh v rovině a v prostoru a ukázaly cestu i k vícerozměrným prostorům. Nejprve ve fyzice, ale posléze i v matematice (včetně geometrie) našel uplatnění pojem vektoru. A v neposlední řadě se v geometrii plně uplatila jedna ze stěžejních algebraických struktur grupa. Zavedení grupového přístupu ke geometrickým transformacím je spojováno hlavně se jménem Felixe Kleina (1849–1925). Teprve na přelomu 19. a 20. století, tj. po několika tisíciletích vývoje, je geometrie postavena na pevné základy. Zpřesňování počátků jednotlivých matematických disciplín se projevilo rovněž v geometrii a ačkoliv Eukleides podal popis základů geometrie již kolem roku 300 p.n.l. (anebo právě proto), přesné vymezení všech axiómů se objevilo až v díle Grundlagen der Geometrie (1899) Davida Hilberta (1862–1943). Matematika 20. století je ve znamení vysokého stupně abstrakce. Už to není jen eukleidovská rovina, kterou se zabýváme, ale vektorové a topologické prostory; již nás nezajímá jedna konkrétní grupa, ale celé třídy grup. Dalším významným rysem matematiky je hluboký důraz kladený na filozofii matematiky — otázky týkající se smyslu matematiky, jejích počátků, axiomatizace, bezespornosti, dokazatelnosti apod. Původní optimistické snahy týkající se formálního axiomatického vybudování celé matematiky a následného důkazu její bezespornosti se sice nenaplnily, neboť se ukázala zásadní omezení axiomatických metod. Přesto zůstává axiomatická výstavba, jejíž kořeny najdeme díky Eukleidovi v geometrii, nejčastějším nástrojem budování současné matematiky.

10

2. Axiómy a základní věty geometrie

2

Axiómy a základní věty geometrie

2.1

Eukleides: Stoicheia (Základy)

Život a dílo Eukleida z Alexandrie, jednoho z nejznámějších autorů matematických spisů, je neodmyslitelně spojeno s alexandrijskou vědeckou institucí, kterou byl proslulý Múseion — sdružení lidí věnujících se pod ochranou Múz vědám. Eukleides působil v Alexandrii patrně v letech 310–280 p.n.l. a zde také sepsal své nejproslulejší dílo Stoicheia (Základy, lat. Elementa). Ve 13 knihách Eukleidových Základů jsou vysvětleny základy planimetrie, geometrické algebry, aritmetiky a stereometrie. Rozložení do jednotlivých knih je asi následující: I.–IV. kniha jsou věnovány rovinné geometrii (planimetrii); v V. knize najdeme Eudoxovu teorii proporcí, jež představovala geometrickou podobu teorie reálných čísel a limitních procesů; VI. kniha pojednává o podobnosti trojúhelníků; VII.–IX. kniha jsou věnovány teorii čísel (zde mj. nalezneme známý Eukleidův algoritmus pro hledání největšího společného dělitele); X. kniha podává teorii p kvadratických iracionalit a jejich druhých od√ √ mocnin (čísla tvaru a + b a a + b), XI.–XIII. kniha popisuje geometrii v prostoru (stereometrii). Panují rozdílné názory na vlastní Eukleidův autorský podíl; zřejmě jde o dílo generací, které Eukleides završil, sjednotil a doplnil. O příspěvcích různých autorů svědčí i jistá nevyrovnanost jednotlivých knih — vedle excelentních důkazů se na některých místech objevují i logické chyby. Eukleides ve svých Základech sleduje Aristotelovo pojetí vědy — výklad spočívá na logické dedukci vět ze soustavy definic, postulátů a axiómů. Nedostatkem však je definování primitivních pojmů jako bod, přímka a rovina. Úvod k první knize je i úvodem k celému dílu. Nalezneme zde 9 axiómů (obecných počátků, zásad), 5 postulátů (úkolů prvotných) a 23 definic (vymezení pojmů). Definice: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Bod jest, co nemá dílu. Čára pak délka bez šířky. Hranicemi čáry jsou body. Přímá jest čára (přímka), která svými body táhne se rovně.2 Plocha jest, co jen délku a šířku má. Hranicemi plochy jsou čáry. Rovinná jest plocha (rovina), která přímkami na ní jsoucími prostírá se rovně.

2 Pro úsečku i přímku používal Eukleides téhož pojmenování eutheia a vzájemně je nerozlišoval. V Eukleidově pojetí je přímka úsečkou, kterou lze neomezeně a opakovaně prodlužovat na obě strany.

11


8. Rovinný pak úhel je vzájemný sklon dvou čar, v rovině se stýkajících a .. ležících k sobě v přímce. . 15. Kruh jest útvar rovinný, objímaný jednou čarou (jež se nazývá obvodem), k níž od jednoho bodu vnitř útvaru vedené přímky všecky sobě .. rovny jsou. . 23. Rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a prodlouženy jsouce na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. Postuláty3 1. 2. 3. 4. 5.

Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. A že všechny pravé úhly sobě rovny jsou. A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. (obr. 2.1.1) p α+β<2R α

a

β

b

Obr. 2.1.1 4

Axiómy 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny. A odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části rovny jsou. A když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny. A dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou. A polovičky téhož vespolek rovny jsou. A co se navzájem kryje, navzájem rovno jest. A celek větší než díl. A dvě přímky místa neomezují.

3 Postuláty 1–3 vymezují možné rýsovací pomůcky: ideální neomezeně dlouhé pravítko a ideální kružítko s neomezeným rozevřením. 4 Na rozdíl od postulátů, které jsou ryze geometrické, představují axiómy obecně platné věty společné i pro více nauk — výjimku tvoří snad jen A-9, který byl zřejmě přidán později.

12


Následuje 48 číslovaných odstavců, jejichž obsahem je text věty a její důkaz (v počtu 34) nebo text konstrukční úlohy a její řešení (v počtu 14). Ve všech číslovaných odstavcích je možné vysledovat následující schéma: 1. Formulace věty (zadání úlohy) 2. Popis nakreslených a písmeny označených objektů včetně vysvětlení, co se má o těchto objektech dokázat, popř. co se má z těchto objektů sestrojit. 3. Vlastní důkaz (konstrukce) s konkrétními výše popsanými objekty. Tato část bývá zakončena slovy „což bylo dokázati (vykonati)ÿ.5 4. Závěr, který je uveden slovem „Tedy . . . ÿ a následně je zopakováno znění věty či zadání úlohy. Předcházející úvahy můžeme dokumentovat na 1. úloze I. knihy: I.1. Na dané přímce omezené postav trojúhelník rovnostranný.6

C

D

B

A

E

Obr. 2.1.2 (obr. 2.1.2) Danou přímkou omezenou buď AB. Má se tedy na přímce AB

postavit trojúhelník rovnostranný. Ze středu A poloměrem AB buď narýsován kruh BCD, a opět ze středu B buď narýsován kruh ACE, a od bodu C, v němž kruhy se protínají, k bodům A, B buďte vedeny spojnice AC, CB. A ježto bod A je středem kruhu CDB, AC je stejné s AB; ježto dále bod B je středem kruhu CAE, jest BC stejné s BA. Bylo dokázáno, že i CA je stejné s AB; tedy jedna i druhá z CA, CB je stejná s AB. Veličiny však témuž rovné i navzájem rovny jsou; tedy též CA jest rovna CB; ty tři tedy, CA, AB, BC 5 lat. Quod erat demonstrandum ve zkratce Q.E.D. a Quod erat faciendum ve zkratce Q.E.F. 6 Dnes bychom řekli: Je možné sestrojit rovnostranný trojúhelník s danou úsečkou jako jednou stranou. Samozřejmě máme na mysli konstrukci s použitím jen dvou pomůcek, které jsou povoleny postuláty P-1 až P-3, tj. pravítko a kružítko.

13


jsou si rovny. Je tedy trojúhelník ABC rovnostranný a postaven jest na dané přímce omezené AB; což právě bylo vykonati. Eukleidovy Základy byly prvním příkladem použití axiomatického systému v matematice. A ačkoliv se díky použití čisté deduktivní metody stalo toto dílo na dlouhá staletí (či lépe řečeno dvě tisíciletí) váženým vzorem pro další matematická pojednání a je považováno za jeden z pilířů vzdělanosti západní civilizace, již od počátku se objevovaly mnohé pokusy o vylepšení Základů. Především se jednalo o snahy dokázat 5. postulát z prvních čtyř, popř. alespoň o snahy nahradit jej evidentnějším a jednodušeji formulovaným tvrzením. Již řečtí vykladači Základů si všimli, že 5. postulát se od ostatních liší svojí složitostí, a rovněž si všimli, že řada vět se dokazuje bez použití tohoto postulátu — odtud pramenily úvahy týkající se závislosti tohoto postulátu na ostatních. Mnohokrát se zdálo, že důkaz byl objeven, ale nakonec se vždy ukázalo, že důkaz se opíral o něco, co měl ve skutečnosti dokázat. A tak jedinou změnou oproti Eukleidovi bylo nahrazení 5. postulátu jiným postulátem — např. v rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínající přímku nebo součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180◦ . Na otázku, jak je to s důkazem 5. postulátu neposkytl odpověď ani starověk, ani středověk, i když se o nalezení důkazu pokoušeli starověcí Řekové, středověcí Arabové i novodobí Italové, Angličané, Francouzi, Němci i matematici ostatních národů. Vlna neúspěšných pokusů o podání důkazu 5. postulátu trvala až do 19. století a vyvrcholila díly Saccheriho, Legendra a Lamberta. Tito matematici se snažili pomocí důkazu sporem dokázat, že pátý postulát je důsledkem postulátů předcházejících. Za předpokladu platnosti negace 5. Eukleidova postulátu deduktivní cestou postupně odvozovali řadu tvrzení a očekávali (ovšem neúspěšně), že dojdou k logickému sporu. Teprve Gauss, Bolyai a Lobačevský si prvně připustili myšlenku nezávislosti 5. postulátu a poté začali uvažovat dokonce o „nové geometriiÿ, v níž místo 5. postulátu platí jeho negace. Tyto úvahy vedly k objevům tzv. neeukleidovských geometrií. Zařazení tvrzení o rovnoběžkách mezi postuláty ukázalo velkou Eukleidovu prozíravost. Přesto obsahují Základy některé nedostatky na jiných místech — jedním z nich je fakt, že Eukleidův výčet axiómů a postulátů pro popis obvyklé intuitivně vnímané geometrie není zdaleka úplný. Můžeme např. přidat následující „šestý postulátÿ: Existují alespoň tři body neležící na téže přímce. Tento postulát není ve sporu s ostatními pěti Eukleidovými postuláty, neboť najdeme geometrický model, ve kterém všech šest axiómů platí — např. právě výše zmiňovaná standardní intuitivně chápaná eukleidovská rovina. A

14


není na nich ani závislý, neboť žádný z Eukleidových pěti postulátů nezmiňuje podmínky existence bodů (i když P1 a P3 s body pracují), tudíž nelze tento „6. postulátÿ odvodit z P1 až P5. Existence šestého postulátu ukazuje, že Eukleides nepodal úplný axiomatický popis geometrie — toto je hlavní nedostatek jeho díla. Nalezneme celou řadu dalších příkladů, kdy Eukleides intuitivně používal předpoklady, které ani nedokázal ani nepoložil do axiomatických základů teorie. Například při zdůvodnění konstrukce rovnostranného trojúhelníka v 1. odstavci I. knihy, kterou jsme v této kapitole uvedli v plném znění, použil Eukleides předpoklad, že dvě kružnice se středy A, B a poloměrem AB se protínají. Může se však stát, že ne všechny body roviny jsou body geometrie, kterou popisuje pět Eukleidových postulátů. Příklad 2.1.1. Uvažujme například množinu všech racionálních bodů v rovině (tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionální čísla — budeme ji značit Q × Q. Zvolme úsečku AB, kde A[0, 0] a B[1, 0]. Ačkoliv je v rovině Q × Q splněna platnost všech pěti Eukleidových postulátů, přesto nelze provést konstrukci rovnostranného trojúhelníka, jak je uvedena v 1. odstavci I. knihy √Základů. Vrchol hledaného trojúhelníka by totiž musel mít souřadnice [ 21 , ± 23 ], ovšem toto není bod roviny Q × Q, a proto na dané přímce omezené nelze postavit trojúhelník rovnostranný. Závěrem dodejme, že existují ještě XIV a XV. díl Základů, které však jsou z pozdější doby. Navíc už od dob prvních opisů se jednotlivé verze Základů poněkud liší, což se týká i počtu axiómů — některé názory hovoří jen o pěti původních axiómech, jiné o osmi.

2.2

D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie)

19. století je pro matematiku obdobím velkého zpřesňování. Po matematické analýze a aritmetice se podařilo sjednat nápravu i v jedné z nejstarších matematických disciplín — v geometrii. Je sice pravda, že právě geometrie začala být axiomatizována z celé matematiky nejdříve (Eukleidovy Základy, 3. stol. p.n.l.), ale přesného stanovení všech výchozích axiómů se dočkala až po více než dvou tisíciletích. Roku 1899 vyšla kniha německého matematika Davida Hilberta Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) pojednávající o logických základech eukleidovské geometrie způsobem, jakým to provádíme dodnes. Na rozdíl od Eukleida začal Hilbert ve svém spisu vymezením primitivních pojmů, které nedefinoval a jejichž význam byl dán jen jejich vlastnostmi v rámci následně uvedených axiómů. Byly to nedefinované pojmy: bod, přímka, rovina, náležeti, 15


býti mezi, shodnost, spojitost a rovnoběžnost. V původní Hilbertově knize byly axiómy rozděleny do pěti skupin v tomto pořadí — axiómy svázanosti7 , axiómy uspořádání, axióm rovnoběžnosti (Eukleidův axióm), axiómy shodnosti a axióm souvislosti8 (Archimédův axióm).9 V následujících úvahách se budeme opírat o Hilbertovo pojetí, které aplikujeme na rovinnou geometrii. Předpokládejme, že máme dánu množinu, jejíž prvky se dělí do dvou skupin. Prvky jedné označujeme jako body, prvky druhé jako přímky. Předpokládejme dále, že prvky základní množiny, resp. její určité podmnožiny jsou v následujících vzájemných vztazích: incidentní, mezi a shodný. Pojmy bod, přímka, incidentní, mezi a shodný jsou zatím bez obsahu — ten jim dají až axiómy. Axiómy popisující eukleidovskou geometrii rozdělíme v souladu s Hilbertem do pěti skupin. Dnes se však skupiny axiómů uvádějí v jiném pořadí a rovněž najdeme nejrůznější upravená znění jednotlivých axiómů. Skupiny budeme nazývat

2.3

axiómy incidence (symbolicky I) axiómy uspořádání (symbolicky U) axiómy shodnosti (symbolicky S) axiómy spojitosti (symbolicky D, popř. AC) axióm rovnoběžnosti (symbolicky R)

Axiómy incidence

Podívejme se nyní podrobněji na znění jednotlivých Hilbertových axiómů — resp. na jejich dnešní moderní formulace. Začneme axiómy incidence. I-1: Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímka. I-2: Na každé přímce existují alespoň dva různé body. I-3: Existují alespoň 3 body, které neleží v přímce. Po axiómech následují definice (slovní vymezení pojmů uvedením jejich typických znaků) a věty (platné poučky odvozené ze základních předpokladů). Zdůrazněme, že axiomatický systém je logicky uspořádaný, tj. nová věta může být přiřazena pouze a výhradně vyvozením z axiómů a z vět již dokázaných: (((I-1, I-2, I-3 =⇒ V 1) =⇒ V 2) =⇒ · · ·) =⇒ Vn , 7 dnes

používáme termín axiómy incidence používáme název axióm(y) spojitosti 9 K Archimédovu axiómu Hilbert posléze doplnil ještě tzv. axióm úplnosti. 8 dnes

16


D EFINICE 2.3.1: Tři body, které leží na téže přímce se nazývají kolineární; tři body nenáležející téže přímce budeme nazývat nekolineární. D EFINICE 2.3.2: Dvě různé přímky, jejichž průnikem je jediný bod se nazývají různoběžné a jejich společný bod nazýváme průsečík. Tři axiómy, které máme k dispozici, není mnoho, přesto můžeme dokázat několik jednoduchých tvrzení, které platí v každé geometrii vyhovující axiómům I-1 až I-3. Věta 2.3.1: Dvě různé přímky mohou mít společný nejvýše jeden bod. Důkaz: Předpokládejme, že dvě různé přímky p a q mají společné alespoň dva různé body — řekněme P a Q. Axiom I-1 říká, že dva různé body určují jedinou přímku, a proto musí platit p = q, což je spor! Proto dvě různé přímky mají společný nejvýše jeden bod. Q.E.D. Věta 2.3.2: Mimo každou přímku leží alespoň jeden bod. Důkaz: Jestliže tato věta neplatí, potom existuje taková přímka, na níž leží všechny body. Toto je však spor s axiómem I-3. Q.E.D. Věta 2.3.3: Ke každému bodu lze určit přímku, která jím neprochází. Důkaz: Nechť P je daný bod. Podle axiómu I-3 existují alespoň dva další body – jeden z nich nechť je Q. Podle axiómu I-1 existuje jediná přímka a procházející body P a Q. Použijeme-li větu 2.3.2 (str. 17), potom existuje bod R mimo přímku a. Nechť přímka b prochází body Q a R (podle I-1). Jelikož a a b jsou různé přímky (R ∈ b, ale R 6∈ a), které se protínají v bodě Q, víme, že podle věty 2.3.1 (str. 17) bod P určitě neleží na přímce b. Tj. našli jsme přímku, která neprochází daným bodem. Q.E.D. Obdobně bychom dokázali i následující věty: Věta 2.3.4: Ke každému bodu existují alespoň dvě přímky, které jím procházejí. Věta 2.3.5: Existují alespoň tři přímky, které neprocházejí jedním bodem. Podívejme se nyní na jednoduché příklady (modely) geometrií, které jsou popsány jen třemi axiómy incidence. Tyto modely obsahují jen konečný počet bodů a přímek a poněkud se vymykají naší běžné představě o geometrickém modelu. Příklad 2.3.1. Uvažujme tříprvkovou množinu {A, B, C}. Bodem rozumíme každý prvek dané množiny; tj. A, B, C jsou body. Přímku budeme interpretovat jako každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {A, B}, {B, C} a {C, A} jsou přímky. Bod inciduje s přímkou, právě když je prvkem příslušné dvouprvkové množiny; např. bod A inciduje s přímkami {A, B} a {C, A}, ale neinciduje s přímkou {B, C}. Snadno bychom ověřili, že jsou splněny všechny

17


tři axiómy I-1 až I-3. Příklad 2.3.2. Uvažujme opět tříprvkovou množinu {A, B, C}. Bodem tentokrát rozumíme každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {A, B}, {B, C} a {C, A} jsou body. Přímku budeme nyní interpretovat jako prvek dané tříprvkové množiny; tj. A, B, C jsou přímky. Bod inciduje s přímkou, právě když obsahuje příslušný prvek; např. bod {A, B} inciduje s přímkami A a B, ale neinciduje s přímkou C. Snadno bychom ověřili, že jsou opět splněny všechny tři axiómy I-1 až I-3. Tento model bývá označován jako duální k modelu uvedeném v předcházejícím příkladu. Jelikož pro každý z uvedených dvou modelů platí axiómy I-1 až I-3, platí v nich rovněž i všechny uvedené věty. Druhou skutečností, kterou bychom měli zdůraznit, je problematika rovnoběžek. Tento pojem jsme však zatím nedefinovali, a proto budeme hovořit jen o přímkách nerůznoběžných (nerůznoběžkách). Je vidět, že v obou výše uvedených modelech neexistují nerůznoběžky — tuto vlastnost budeme označovat jako eliptickou vlastnost modelu. Existují ale i další modely geometrie [I], které však eliptickou vlastnost nesplňují — např. standardní Eukleidova geometrie, resp. další dva níže uvedené modely. Existenci, ani jednoznačnost nerůznoběžek nelze v geometrii popsané jen axiómy incidence ani dokázat, ani vyvrátit. Příklad 2.3.3. Uvažujme čtyřprvkovou množinu {A, B, C, D}. Interpretace bodů a přímek je stejná jako v prvním příkladu. Snadno zjistíme, že ke každé přímce (např. {A, B}) existuje právě jedna nerůznoběžka ({C, D}) — říkáme, že model splňuje eukleidovskou vlastnost. Příklad 2.3.4. Uvažujme pětiprvkovou množinu {A, B, C, D, E}. Interpretace bodů a přímek je opět stejná jako v prvním příkladu. Tentokrát ke každé přímce (např. {A, B}) existují alespoň dvě nerůznoběžky ({C, D}, {C, E} a {D, E}) — říkáme, že model splňuje hyperbolickou vlastnost.

2.4

Axiómy uspořádání

Pro zjednodušení budeme používat zápis A ∗ B ∗ C, který čteme bod B leží mezi body A a C. U-1: Jestliže A ∗ B ∗ C, pak A, B, C jsou tři různé body na přímce. Platí též C ∗ B ∗ A. U-2: Ze tří různých bodů přímky leží právě jeden mezi ostatními dvěma. U-3: Jsou-li A 6= B, pak vždy existuje aspoň jeden bod C takový, že A∗B ∗C. 18


U-4: Každá přímka p rozdělí body, které na ní neleží do dvou tříd s následujícími vlastnostmi: (i) mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod přímky p; (ii) mezi dvěma body z různých tříd leží právě jeden bod přímky p. Oproti geometrii [I] (popsána jen axiómy incidence) již v geometrii [I, U ] neobstojí žádné finitní modely (konečný počet bodů, přímek), což vyplývá z následujících vět: Věta 2.4.1: Na každé přímce leží nekonečně mnoho navzájem různých bodů. Důkaz: (obr. 2.4.1) Uvažujme přímku AB. Podle axiómu U-3 existuje vždy bod C1 takový, že A ∗ B ∗ C1 , dále existuje bod C2 takový, že A ∗ C1 ∗ C2 , bod C3 takový, že A ∗ C2 ∗ C3 ,. . . Q.E.D.

P A

B C1 C2

C3 C4 A a

Obr. 2.4.1

B C1 C2 b

p1

C3 p2 p3

Obr. 2.4.2 Věta 2.4.2: Každým bodem prochází nekonečně mnoho přímek. Důkaz: (obr. 2.4.2) Podle věty 2.3.3 (str. 17) existuje k bodu P přímka AB, která jím neprochází. Podle věty předcházející najdeme na přímce AB nekonečně mnoho různých bodů C1 , C2 , . . . , Cn , . . . , které určují nekonečně mnoho přímek a = P A, b = P B, p1 = P C1 , p2 = P C2 , . . . , pn = P Cn , . . . procházejících bodem P . Q.E.D. Místo axiómu U-4, bývá někdy zařazen tzv. Paschův axióm. Použijeme-li námi zavedené axiómy, pak se tento „axiómÿ stává větou. Věta 2.4.3: (Paschova věta) Buďte A, B, C tři body neležící na přímce p, která obsahuje jistý bod ležící mezi body A, B. Pak nastane právě jedna z možností: přímka p obsahuje bod ležící mezi A, C a neobsahuje bod ležící mezi B, C; přímka p obsahuje bod ležící mezi B, C a neobsahuje bod ležící mezi A, C. 19


Důkaz: (obr. 2.4.3) Podle předpokladů věty obsahuje přímka p bod D takový, že A ∗ D ∗ B, tj. body A, B náležejí různým třídám ve smyslu axiómu U-4.

B D

p

C

A

Obr. 2.4.3 Nyní mohou nastat právě dvě možnosti — buďto bod C náleží téže třídě jako bod B, tj. podle U-4 přímka p obsahuje bod ležící mezi A, C a neobsahuje bod ležící mezi B, C; anebo bod C náleží téže třídě jako bod A, tj. podle stejného axiómu přímka p obsahuje bod ležící mezi B, C a neobsahuje bod ležící mezi A, C. Q.E.D. Primitivní pojem „býti meziÿ umožňuje definovat řadu dalších užitečných pojmů — úsečka, polopřímka, polorovina, úhel, trojúhelník. D EFINICE 2.4.1: Vnitřkem úsečky AB rozumíme množinu všech bodů X přímky AB takových, že A ∗ X ∗ B. Úsečkou AB rozumíme vnitřek spolu s krajními body A, B; neboli AB = {X ∈↔ AB; A ∗ X ∗ B} ∪ {A, B}. D EFINICE 2.4.2: Třídu bodů z axiómu U-4 nazveme vnitřek poloroviny, přímku p nazveme hraniční přímka. Dále, polorovinou pA rozumíme vnitřek, jemuž patří bod A s hraniční přímkou p (obr. 2.4.4).

p

A

O B q

Obr. 2.4.4 20


D EFINICE 2.4.3: Poloroviny 7→ pA a 7→ pB se nazývají opačné poloroviny, jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu axiómu U-4. Je zřejmé, že pomocí axiómu U-4 lze rovněž body libovolné přímky rozdělit do dvou disjunktních tříd. Věta 2.4.4: (obr. 2.4.4) Je dána přímka q a na ní bod O. Všechny body X 6= O přímky q jsou rozděleny bodem O do dvou tříd s vlastnostmi: 1. mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod O, 2. mezi dvěma body z různých tříd leží bod O. D EFINICE 2.4.4: Třídu bodů z předchozí věty nazveme vnitřek polopřímky, bod O nazveme počátek polopřímky. Dále, polopřímkou OA rozumíme vnitřek, jemuž patří bod A s počátečním bodem O. D EFINICE 2.4.5: Polopřímky 7→ OA ⊂ q a 7→ OB ⊂ q se nazývají opačné polopřímky, jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu věty 2.4.4 (str. 21). Věta 2.4.5: (i) 7→ AB ∪ 7→ BA =↔ AB; (ii) 7→ AB ∩ 7→ BA = AB. D EFINICE 2.4.6: Průnik polorovin 7→ AV B a 7→ BV A nazýváme úhel (značíme ∠AV B). Polopřímky V A a V B nazýváme ramena úhlu, bod V se nazývá vrchol úhlu. Body úhlu neležící na ramenech náleží tzv. vnitřku úhlu (obr. 2.4.5).

B

V A

Obr. 2.4.5 D EFINICE 2.4.7: Je dán úhel ∠AV B. Polopřímku 7→ V C nazveme vnitřní polopřímkou úhlu ∠AV B, jestliže každý bod vnitřku polopřímky 7→ V C je vniřním bodem úhlu ∠AV B. Pomocí úvah o příslušnosti k téže třídě ve smyslu axiómu U-4 bychom mohli dokázat větu: 21


Věta 2.4.6: V C je vnitřní polopřímkou úhlu ∠AV B, právě když 7→ V C ∩ AB 6= ∅. D EFINICE 2.4.8: Dva úhly ∠AV B a ∠AV C, jejichž ramena V B a V C jsou opačnými polopřímkami, se nazývají vedlejší úhly (obr. 2.4.6). D EFINICE 2.4.9: Jsou-li V A0 , resp. V B 0 opačné polopřímky k polopřímkám V A, resp. V B, nazýváme úhly ∠AV B a ∠A0 V B 0 vrcholové úhly (obr. 2.4.7).

B V

B A’

A

V A

C B’

Obr. 2.4.6

Obr. 2.4.7

D EFINICE 2.4.10: Nechť A, B, C jsou tři nekolineární body Průnik polorovin ABC, BCA a CAB nazýváme trojúhelník. Body A, B, C se nazývají vrcholy, úsečky AB, BC a CA se nazývají strany (obr. 2.4.8).

C

γ’2 α’2

A

A

B

Obr. 2.4.8

α α’1

C γ

γ’1

β β’1

β’2 B

Obr. 2.4.9

D EFINICE 2.4.11: Je dán trojúhelník ABC, úhly ∠CAB, ∠ABC a ∠BCA se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Vedlejší úhly k úhlům vnitřním označujeme jako vnější úhly trojúhelníka (obr. 2.4.9). 22


Definice trojúhelníka umožňuje vyslovit jiné znění Paschovy věty: Jestliže ABC je trojúhelník a p přímka neprocházející žádným z vrcholů, která protíná stranu AB. Potom p protíná rovněž buďto stranu BC, anebo stranu AC. D EFINICE 2.4.12: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body takové, že úsečky AC a BD mají společný právě jeden vnitřní bod. Sjednocení trojúhelníků 4ACB a 4ACD nazýváme (konvexní) čtyřúhelník (obr. 2.4.10). Body A, B, C, D se nazývají vrcholy, úsečky AB, BC, CD a DA se nazývají strany, úhly ∠CAB, ∠ABC, ∠BCD a ∠CDA se nazývají vnitřní úhly čtyřúhelníka. D C A B Obr. 2.4.10

2.5

Axiómy shodnosti

Kolik z „naší geometrieÿ nezávisí na axiómu rovnoběžnosti ? Které věty můžeme vyslovit, aniž bychom použili 5. Eukleidův postulát? Jak se ukáže jedná se o poměrně velkou část našich geometrických znalostí, jež se opírají jen o skupiny axiómů incidence, uspořádání a shodnosti. S-1: Jestliže AB ∼ = CD a CD ∼ = EF , potom AB ∼ = EF . Navíc každá úsečka je shodná sama se sebou. S-2: Nechť je AB úsečka a CD polopřímka. Potom na CD leží jediný bod E takový, že AB ∼ = CE. S-3: Jestliže A ∗ C ∗ B a A0 ∗ C 0 ∗ B 0 , přičemž AC ∼ = A0 C 0 a BC ∼ = B0C 0, 0 0 ∼ potom platí AB = A B . S-4: Jestliže ∠A ∼ = ∠B a ∠B ∼ = ∠C, potom ∠A ∼ = ∠C. Navíc každý úhel je shodný sám se sebou. S-5: Je dán úhel ABC a trojice nekolineárních bodů A0 , B 0 , M Potom v polorovině A0 B 0 M existuje jediná polopřímka B 0 C 0 taková, že ∠ABC ∼ = ∠A0 B 0 C 0 . S-6: Budiž dány dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 . Jestliže platí AB ∼ = A0 B 0 , 0 0 0 0 0 ∼ ∼ ∼ AC = A C a ∠BAC = ∠B A C , potom platí také BC = B 0 C 0 , ∠ABC ∼ = ∠A0 B 0 C 0 a ∠ACB ∼ = ∠A0 C 0 B 0 . 23


Na základě axiómů shodnosti můžeme pracovat s úsečkami — porovnávat je, sčítat a rovněž odčítat je. D EFINICE 2.5.1: Bod S přímky AB se nazývá středem úsečky AB, jestliže platí AS ∼ = BS. Věta 2.5.1: Každá úsečka má právě jeden střed. D EFINICE 2.5.2: AB < CD (popř. CD > AB), jestliže existuje takový bod E mezi body CD, že AB ∼ = CE (obr. 2.5.1). Věta 2.5.2: (Uspořádání úseček ) Pro úsečky AB a CD nastává právě jedna z možností AB < CD,

AB ∼ = CD,

B A

AB > CD.

B C

A

D

E D

C

X

Obr. 2.5.1

Z

Y

Obr. 2.5.2

D EFINICE 2.5.3: Součtem úseček AB a CD rozumíme jakoukoliv úsečku XY mající vlastnost, že existuje vnitřní bod Z úsečky XY takový, že AB ∼ = XZ a že CD ∼ = ZY (obr. 2.5.2). Píšeme symbolicky AB + CD = XY. D EFINICE 2.5.4: Je-li AB > CD, pak rozdílem úseček AB a CD rozumíme jakoukoliv úsečku M N takovou, že AB = CD + M N . Píšeme symbolicky AB − CD = M N. Obdobně lze pracovat i s úhly. D EFINICE 2.5.5: Vnitřní polopřímku V O úhlu AV B nazveme osou úhlu ∠AV B, jestliže platí ∠AV O ∼ = ∠BV O. Věta 2.5.3: Každý úhel má právě jednu osu úhlu. D EFINICE 2.5.6: ∠ABC < ∠DEF , jestliže existuje vnitřní polopřímka EG úhlu DEF taková, že ∠ABC ∼ = ∠DEG (obr. 2.5.3). Věta 2.5.4: (Uspořádání úhlů ) Pro úhly α a β nastává právě jedna z možností α < β, α ∼ = β, α > β. 24


C β

α A

B F

Z G

E

U D

Y

Obr. 2.5.3

X

Obr. 2.5.4

D EFINICE 2.5.7: Součtem úhlů α a β rozumíme jakýkoliv úhel γ = ∠XY Z mající vlastnost, že existuje vnitřní polopřímka Y U úhlu XY Z taková, že ∠XY U ∼ = α a že ∠U Y Z ∼ = β (obr. 2.5.4). Píšeme symbolicky α + β = γ.

D EFINICE 2.5.8: Je-li α > β, pak rozdílem úhlů α a β rozumíme jakýkoliv úhel δ takový, že α = β + δ. Píšeme symbolicky α − β = δ. Pojem shodnosti byl zaveden pro dvě úsečky, resp. dva úhly. V dalších úvahách nás bude zajímat především shodnost dvou trojúhelníků, přičemž vyslovíme několik vět, které platí pro strany a úhly v trojúhelníku — včetně vět o shodnosti trojúhelníků. D EFINICE 2.5.9: Dva trojúhelníky nazveme shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídající si úhly jsou shodné (obr. 2.5.5).

Obr. 2.5.5 25


Věta 2.5.5: (sus) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 platí AB ∼ = A0 B 0 , AC ∼ = A0 C 0 a ∠A ∼ = ∠A0 , pak jsou shodné. Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem axiómu S-6 a předcházející definice shodných trojúhelníků. Q.E.D. Věta 2.5.6: Jestliže v 4ABC platí AB ∼ = AC, potom platí ∠B ∼ = ∠C. Důkaz: Uvažujme korespondenci vrcholů: A → A, B → C, C → B. V této korespondenci jsou dvě strany (AB, AC) a úhel jimi sevřený (∠A) shodné se dvěma odpovídajícími stranami (AC, AB) a úhlem jimi sevřeným (∠A). Podle věty (sus) jsou trojúhelníky shodné, a proto odpovídající si úhly jsou rovněž shodné, ∠B ∼ = ∠C. Q.E.D. D EFINICE 2.5.10: Trojúhelník, který má dvě shodné strany, se nazývá rovnoramenný. Shodné strany nazýváme ramena, třetí stranu nazýváme základna. Věta 2.5.7: Vedlejší úhly dvou shodných úhlů jsou shodné.

A1

C’1

B1

A2

C’2

C1

B2

C2

Obr. 2.5.6 Důkaz: (obr. 2.5.6) Nechť jsou dány dvě trojice nekolineárních bodů A1 , B1 , C1 a A2 , B2 , C2 takové, že platí ∠A1 B1 C1 ∼ = ∠A2 B2 C2 , B1 A1 ∼ = B2 A2 a B1 C1 ∼ = B2 C2 . Na polopřímce opačné k polopřímce B1 C1 , resp. B2 C2 zvolme bod C10 , resp. C20 tak, že platí B1 C10 ∼ = C2 C20 . = B2 C20 . Podle S-3 můžeme psát C1 C10 ∼ ∼ ∼ Podle věty sus platí 4B1 A1 C1 = 4B2 A2 C2 , a proto C1 A1 = C2 A2 a ∠C1 ∼ = ∠C2 . Podle věty sus platí 4C1 C10 A1 ∼ = 4C2 C20 A2 , a proto C10 A1 ∼ = C20 A2 a ∠C1 C10 A1 ∼ = 4C20 B2 A2 , a = ∠C2 C20 A2 . A opět podle věty sus 4C10 B1 A1 ∼ 0 0 ∼ proto ∠C1 B1 A1 = ∠C2 B2 A2 . Q.E.D. Věta 2.5.8: Vrcholové úhly jsou navzájem shodné. Důkaz: Jedná se o bezprostřední důsledek předcházející věty, neboť oba vrcholové úhly lze považovat za vedlejší úhly téhož úhlu. Q.E.D. Věta 2.5.9: (sss) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 platí AB ∼ = A0 B 0 , BC ∼ = A0 C 0 , pak jsou shodné. = B 0 C 0 a AC ∼ Důkaz: (obr. 2.5.7) Stačí dokázat ∠A ∼ = ∠A0 , potom podle věty sus budou trojúhelníky shodné. Předpokládejme ∠A ∼ 6 ∠A0 , potom existuje podle S-5 = 0 0 0 polopřímka AD v polorovině A C B , pro kterou je ∠A ∼ = ∠C 0 A0 D, přičemž 26


7→ A0 D 6=7→ A0 B 0 . Podle S-2 leží na polopřímce A0 D jediný bod B1 takový, že AB ∼ = A0 B1 . Podle věty sus platí 4ABC ∼ = 4A0 B1 C 0 , a proto BC ∼ = B1 C 0 . Shodnost úseček je vztah tranzitivní (S-1), a proto rovněž trojúhelníky 4A0 B 0 C 0 , 4A0 B1 C 0 mají shodné strany. Stejným způsobem sestrojíme trojúhelník 4A0 B2 C 0 s vrcholem v B2 v opačné polorovině s hraniční přímkou A0 C 0 než je bod B1 — tj. rovněž platí 4ABC ∼ = 4A0 B2 C 0 . Jelikož A0 B 0 ∼ = A0 B2 0 0 ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 ∼ ∼ a C B = C B2 , platí ∠A B B2 = ∠A B2 B a ∠C B B2 = ∠C B2 B 0 (rovnoramenné trojúhelníky). Odtud dostáváme ∠A0 B 0 C 0 ∼ = ∠A0 B2 C 0 (součet 0 0 0 0 0 úhlů). Trojúhelníky 4A B C , 4A B2 C jsou tudíž shodné (sus) a speciálně ∠C 0 A0 B 0 ∼ = ∠C 0 A0 B2 . Analogicky bychom dokázali ∠C 0 A0 B1 ∼ = ∠C 0 A0 B2 . 0 0 0 Ovšem vzhledem k tomu, že 7→ A B1 6=7→ A B dostáváme spor a axiómem S-5 . Q.E.D. C

B2 C’

A A’

B

B’ B1 D

Obr. 2.5.7 Věta 2.5.10: (usu) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 platí AB ∼ = A0 B 0 , ∠A ∼ = ∠A0 a ∠B ∼ = ∠B 0 , pak jsou shodné. C D C’ A B A’ B’

Obr. 2.5.8 27


Důkaz: (obr. 2.5.8) Stačí dokázat AC ∼ = A0 C 0 , potom podle věty sus budou trojúhelníky shodné. Předpokládejme AC ∼ 6 A0 C 0 , takže pro bod D = 0 0 0 ∼ polopřímky A C , pro který je AC = A D, platí C 0 6= D. Ze vztahu 4ABC ∼ = 4A0 B 0 D plyne ∠A0 B 0 D ∼ = ∠B. Protože ale podle předpokladu je rovněž ∠B ∼ = ∠A0 B 0 C 0 a protože body C 0 a D leží v téže polorovině, jsou podle S-5 polopřímky B 0 C 0 a B 0 D totožné. Toto je však spor, neboť bod B 0 neleží na přímce A0 C 0 = C 0 D0 . Q.E.D. Věta 2.5.11: (O vnějším úhlu trojúhelníka) Vnější úhel trojúhelníka je větší než kterýkoliv vnitřní, který s ním není vedlejší.

C E D

A B A’

Obr. 2.5.9 Důkaz: (obr. 2.5.9) Uvažujme trojúhelník 4ABC a na polopřímce opačné k polopřímce BA zvolme bod A0 . Chceme dokázat ∠A0 BC > ∠ACB. Označme D střed úsečky BC a na polopřímce opačné k polopřímce DA určeme bod E tak, že AD ∼ = DE. Navíc platí ∠ADC ∼ = ∠EDB (vrcholové úhly), a proto 4ADC ∼ = 4EDB. Odtud dostáváme ∠ACD ∼ = ∠DBE. Dále víme, že bod E náleží polorovině ABC a současně opačné polorovině k polorovině CBA, tj. 7→ CBA0 . Polopřímka BE je tudíž vnitřní polopřímkou úhlu ∠CBA0 , a proto ∠CBE < ∠CBA0 . Jelikož ∠ACD = ∠ACB ∼ = ∠DBE = ∠CBE, dostáváme ∠ACB < ∠CBA0 . Věta 2.5.12: V trojúhelníku leží proti větší straně větší úhel a proti většímu úhlu větší strana. Důkaz: (obr. 2.5.10) Uvažujme trojúhelník ABC. Máme dokázat, že z předpokladu AC < CB plyne ∠ABC < ∠CAB. Jestliže AC < CB, potom mezi body C a B existuje bod E takový, že AC ∼ = CE. Polopřímka AE je vnitřní polopřímkou úhlu CAB, a proto ∠CAB > ∠CAE. Trojúhelník AEC je rovnoramenný, a proto ∠CAE ∼ = ∠AEC. Navíc podle věty o vnějším úhlu je 28


∠AEC > ∠ABC. Proto ∠CAB > ∠CAE ∼ = ∠AEC > ∠ABC a dostáváme ∠CAB > ∠ABC. Sporem bychom dokázali i druhou část věty. Q.E.D. C

E

A

B

Obr. 2.5.10 Věta 2.5.13: (Trojúhelníková nerovnost) Součet dvou stran trojúhelníka je větší než strana třetí. Rozdíl dvou stran trojúhelníka je menší než strana třetí.

C

A

C’’

B

C’

Obr. 2.5.11 Důkaz: (obr. 2.5.11) Mějme dán trojúhelník ABC a nechť bod C 0 leží na polopřímce opačné k 7→ BA, přičemž BC ∼ = BC 0 . Je zřejmé, že ∠ACC 0 > 0 ∼ 0 ∠BCC = ∠AC C, a jelikož proti většímu úhlu leží větší strana, platí AC 0 > AC. Ovšem AC 0 = AB + BC. Druhou část věty dokážeme obdobně — za předpokladu AB > BC, existuje vnitřní bod C 00 úsečky AB takový, že BC ∼ = BC 00 . Dále ∠ACC 00 < ∠AC 00 C (Zdůvodněte!), a proto AC < AC 00 = AB − CB. Q.E.D. D EFINICE 2.5.11: Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý. 29


Věta 2.5.14: Existuje pravý úhel.

B O

M

A

B’

Obr. 2.5.12 Důkaz: (obr. 2.5.12) Vezměme libovolný úhel ∠AOB. Podle S-5 existuje polopřímka OB 0 taková, že ∠AOB ∼ = ∠AOB 0 , přičemž body B a B 0 leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou AO. Volme B 0 tak, aby OB ∼ = OB 0 — axióm S-2 zajišťuje jednoznačnost takové volby. Průsečík přímek OA a BB 0 označme písmenem M . Podle S-6 je 4BM O ∼ = 4B 0 M O, a proto vedlejší úhly 0 ∠BM O a ∠B M O jsou shodné, a proto pravé. Q.E.D. Na tomto místě můžeme zmínit větu, kterou Eukleides zařadil mezi postuláty: Věta 2.5.15: (Eukleidův 4. postulát) Všechny pravé úhly jsou navzájem shodné. D EFINICE 2.5.12: Říkáme, že přímky jsou k sobě kolmé (anebo že jsou to kolmice), jestliže jeden z úhlů jimi sevřených je pravý.

q6

q4

q5

p q1 q2

q3

q7

Obr. 2.5.13 30


D EFINICE 2.5.13: (obr. 2.5.13) Nechť L je množina přímek v rovině. Přímka p se nazývá transverzála (příčka) systému přímek L, jestliže (i) p 6∈ L, (ii) p ∩ q 6= ∅ pro všechny přímky q ∈ L. D EFINICE 2.5.14: (obr. 2.5.14) Nechť p je příčka dvou přímek a, b. Dvojici úhlů, z nichž jeden svírají přímky p, a (úhel s rameny p¯ ⊂ p, a ¯ ⊂ a) a druhý přímky p, b (úhel s rameny p˜ ⊂ p, ˜b ⊂ b), nazýváme souhlasné úhly, jestliže (i) oba leží v téže polorovině s hraniční přímkou p, (ii) buďto p˜ ⊂ p¯ nebo p¯ ⊂ p˜. Věta 2.5.16: (O souhlasných úhlech) Jestliže dané dvě přímky spolu s jistou svojí příčkou vytvářejí dvojici shodných souhlasných úhlů, potom dané přímky nemají žádný společný bod. Důkaz: Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o vnějším úhlu trojúhelníka. Kdybychom připustili společný bod, potom bychom dostali trojúhelník, jehož jeden vnější úhel je shodný s jistým vnitřním úhlem, se kterým není vedlejší. A to je spor. Q.E.D. p A

spor!

a b

p

Obr. 2.5.15

Obr. 2.5.14

Věta 2.5.17: Daným bodem A lze vést k přímce p jedinou kolmici. Důkaz: (obr. 2.5.15) Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o souhlasných úhlech. Q.E.D. Věta 2.5.18: Nechť je dána přímka p a bod A mimo ni. Je-li P průsečík přímky p s kolmicí vedenou bodem A k přímce p, pak pro každý bod X 6= P přímky p platí AX > AP . Důkaz: (obr. 2.5.16) Nechť X 0 je bod polopřímky opačné k polopřímce P X. Potom podle věty o vnějším úhlu trojúhelníka a vzhledem k definici pravého úhlu můžeme psát ∠XP A ∼ = ∠X 0 P A > ∠P XA. A vzhledem k tomu, že v trojúhelníku leží proti většímu úhlu větší strana, dostáváme v AX > AP . Q.E.D.

31


A

P

X’

X

p

Obr. 2.5.16

2.6

Axiómy spojitosti

Axiómy spojitosti umožňují vytvořit vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi geometrickou přímkou a „přímkou reálných číselÿ, tj. reálnou osou. Z dosavadních axiómů zatím nevyplývá skutečnost, že na přímce nechybí některé body (tj. zjednodušeně řečeno nevíme, zda přímka není „děraváÿ). Zařazení dalších axiómů je nezbytně nutné k tomu, abychom mohli tvrdit (vzhledem k našim zkušenostem), že každá přímka je spojitá — proto název axiómy spojitosti. O důležitosti této problematiky nás může přesvědčit následující rozbor algoritmu konstrukce kolmice v daném bodě přímky. a l

m

k A

P

B

p

Obr. 2.6.1 Zvolíme zadaný bod za střed kružnice a sestrojíme kružnici o libovolném poloměru. Tato kružnice protíná zadanou přímku ve dvou bodech. Dále sestrojíme 32


dvě kružnice se středy v těchto průsečících a s týmž poloměrem větším než poloměr první kružnice. Tyto dvě kružnice se protínají ve dvou bodech. Přímka procházející získanými průsečíky dvou kružnic je hledanou kolmicí. Mlčky jsme však přešli dva problémy: (*) Protíná vždy daná přímka zvolenou kružnici? (**) Protínají se vždy uvedené dvě kružnice? K zodpovězení obou otázek je nutné mít k dispozici aparát související s problematikou spojitosti. Nejdůležitějšími důsledky axiómů spojitosti jsou zavedení míry úsečky a míry úhlu. V principu máme dvě možnosti pro zavedení spojitosti do geometrie. Buďto zařadíme axiómy odpovídající původnímu Hilbertovu přístupu, a to Archimédův axióm a Cantorův axióm (u Hilberta tzv. axióm úplnosti). Anebo použijeme jen axióm jediný, a to tzv. Dedekindův axióm. Obě cesty se ukazují jako rovnocenné. • Archimédův axióm + Cantorův axióm (A) Ke každým dvěma úsečkám AB, CD existuje taková konečná posloupnost bodů P1 , P2 , . . . Pn , že AP1 ∼ = P1 P2 ∼ = P2 P3 ∼ = ... ∼ = CD, kde P = 6 P , taková, že bod P neleží mezi Pn−1 Pn ∼ = k−1 k+1 n body A, B (obr. 2.6.2). Použití Archimédova axiómu pro měření úseček je zřejmé. Zvolíme si nějakou úsečku e jako jednotkovou a postupně ji nanášíme na měřenou úsečku x (obr. 2.6.2). Podle tvrzení axiómu (A) se tak nemůže dít donekonečna, tj. každá úsečka má konečnou délku. Pro přesnější určení délky e e e pak volíme zlomky jednotkové úsečky — 10 , 100 , 1000 , . . . , 10ek , . . . , tj. e e e a · e + a1 · + a2 · 2 + . . . + ak · k 5 |x| < 10 10 10 e e e < a · e + a1 · + a2 · 2 + . . . + (ak + 1) · k 10 10 10 kde (∀i) 0 5 ai 5 9. Píšeme |x| = a, a1 a2 . . . ak . . . e C

D P1

P2

Pn-1

P3

Pn B

A

Obr. 2.6.2 33


Ovšem pouze tohle pro účely geometrie nestačí — i množina všech racionálních čísel Q má uvedenou vlastnost měření. Problémy se však objeví na jiném místě. Uvažujme množinu všech racionálních bodů v rovině (tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionálními čísly) — označme ji Q × Q. Vezměme polopřímku, √ která vychází z počátku O a jde bodem A[1, 1]. Délka úsečky OA je 2. Budeme-li nyní chtít na polopřímce OB, kde B[1, 0] (kladná racionální poloosa x), najít bod vyhovující axiómu shodnosti S-2, bohužel se nám to nepodaří. Pouhé zařazení Archimédova axiómu neumožňuje vyslovit větu míra úsečky nabývá všech reálných hodnot při dané jednotkové úsečce. K tomu je nutné požadovat splnění silnějších podmínek, a proto musíme zařadit axióm úplnosti — Cantorův axióm. (C) Průnik posloupnosti do sebe vřazených úseček je neprázdný. A1

A2

A3 A4

B4

B3 B2

B1

Obr. 2.6.3 Jak lze dokázat, z Cantorova axiómu již vyplývá skutečnost, že každé kladné reálné číslo je velikostí některé úsečky. • Dedekindův axióm (D) Body úsečky AB rozdělíme do dvou tříd s následujícími vlastnostmi: 1. Každý bod patří právě jedné třídě. 2. Bod A patří první třídě, bod B patří druhé třídě. 3. Náleží-li bod X první třídě, pak této třídě patří i každý bod ležící mezi AX. Potom existuje tzv. hraniční bod H, který patří buď první, nebo druhé třídě a má následující vlastnosti: a) je-li H = 6 A, pak každý bod X mezi A, H patří první třídě, b) je-li H = 6 B, pak každý bod Y mezi B, H patří druhé třídě. Věta 2.6.1: Platnost Dedekindova axiómu je ekvivalentní se současnou platností Archimédova a Cantorova axiómu. Důsledek 2.6.1. Geometrie [I, U, S, A, C] a [I, U, S, D] jsou ekvivalentní. Jestliže vyjdeme z axiomatiky [I, U, S, D], potom (A) a (C) jsou věty — z tradičních důvodů jim však stále budeme říkat axiómy, i když jim již toto označení nenáleží. Dedekindův axióm umožňuje jednak měřit úsečky (tj. každé 34


úsečce lze přiřadit jednoznačně kladné reálné číslo), ale současně zaručuje, že √ √ existuje úsečka délky 2, ale i např. π, e (Eulerova konstanta) nebo 3 2, popř. jiné eukleidovsky nekonstruovatelné délky (tj. každému kladnému reálnému číslu lze přiřadit jednoznačně třídu navzájem shodných úseček). Zdůrazněme, že teprve Dedekindův axióm, resp. dvojice axiómů Archimédův + Cantorův umožňuje zavést souřadný systém a tím pracovat v geometrii analytickou metodou R. Descarta a P. Fermata. Současně můžeme odpovědět ANO na obě otázky (*), (**) z úvodu této kapitoly. Z Dedekindova axiómu totiž vyplývají následující dvě věty: Věta 2.6.2: Jestliže jeden krajní bod úsečky leží uvnitř kružnice a druhý vně, potom daná úsečka protíná danou kružnici. Věta 2.6.3: Jestliže jeden bod kružnice k leží uvnitř kružnice l a druhý bod kružnice k leží vně kružnice l, potom se kružnice k, l protínají ve dvou bodech. Obdobným způsobem, jakým měříme úsečky, můžeme pracovat i s úhly. V geometrii [I, U, S, D] lze dokázat větu: Věta 2.6.4: Archimédův i Cantorův axióm zůstanou v platnosti, když v nich nahradíme úsečku, resp. bod, resp. přímku úhlem, resp. polopřímkou, resp. množinou všech polopřímek s týmž počátkem. Shrňme některé vlastnosti, které splňuje míra úseček (úhlů): Věta 2.6.5: Nechť je dána úsečka OI nazývaná jednotková úsečka. Potom existuje jediné zobrazení AB → |AB| (úsečka → délka úsečky) mající následující vlastnosti: 1. |AB| je kladné reálné číslo a |OI| = 1. 2. |AB| = |CD| právě tehdy, když AB ∼ = CD. 3. |AB| + |BC| = |AC| právě tehdy, když A ∗ B ∗ C. 4. |AB| < |CD| právě tehdy, když AB < CD. 5. Pro každé kladné reálné číslo x existuje úsečka AB taková, že |AB| = x. Věta 2.6.6: Existuje jediné zobrazení ∠A → |∠A| (úhel → velikost úhlu) mající následující vlastnosti: 1. |∠A| = 90◦ právě tehdy, když ∠A je pravý úhel. 35


2. |∠A| je kladné reálné číslo takové, že 0◦ < |∠A| < 180◦ . 3. |∠A| = |∠B| právě tehdy, když ∠A ∼ = ∠B. 4. |∠ABC| + |∠CBD| = |∠ABD| právě tehdy, když 7→ AC je vnitřní polopřímka úhlu ∠ABD. 5. |∠A| < |∠B| právě tehdy, když ∠A < ∠B. 6. Pro každé kladné reálné číslo x ∈ (0, 180) existuje úhel ∠A takový, že |∠A| = x◦ . 7. Jestliže úhly ∠A a ∠B jsou vedlejší, potom |∠A| + |∠B| = |∠180◦ |. Je důležité zdůraznit základní rozdíl mezi mírou úsečky a mírou úhlu. Zatímco pro měření úseček je nutné stanovit (tj. vybrat si !) jednotkovou úsečku (např. 1 metr, 1 loket, 1 yard apod.), pro měření úhlů nic takového zapotřebí není — pravý úhel existuje a priori a tudíž je vhodné od něj odvozovat i velikosti úhlů ostatních. Jednotlivé systémy pro měření úhlů se liší pouze tím, jakou velikost pravému úhlu přiřadíme: • ve stupňové míře pravému úhlu přiřazujeme velikost 90◦ — úhlová jednotka 1 úhlový stupeň (viz předcházející přístup); • v obloukové (radiánové) míře pravému úhlu přiřazujeme velikost — úhlová jednotka 1 radián;

π 2

rad

• v setinné míře pravému úhlu přiřazujeme velikost velikost 100g — úhlová jednotka 1 setinný stupeň (grad). π rad), Samozřejmě existují i další úhlové míry, např. dílec (1 dílec = 3000 π dělostřelecký dílec (1 dělostřelecký dílec = 3200 rad), matematický dílec π rad) atd. (1 dc = 1000

2.7

Absolutní geometrie

Geometrie popsaná axiómy incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti, tj. geometrie [I, U, S, D] se nazývá absolutní geometrie a je nezávislá na axiómu rovnoběžnosti. Všechny věty geometrie [I] jsou samozřejmě i větami absolutní geometrie, rovněž tak věty geometrie [I, U ] a [I, U, S]. Vyslovíme a dokážeme ještě některá další tvrzení, které se nedotýkají otázky rovnoběžek. Věta 2.7.1: V trojúhelníku je součet kterýchkoliv dvou vnitřních úhlů menší než dva pravé. 36


Důkaz: Nechť je dán trojúhelník 4ABC. Máme dokázat ∠A + ∠B < 2R, tj. pro velikosti platí |∠A| + |∠B| < 180◦ . Podle věty o vnějším úhlu trojúhelníka ¯ kde ∠B ¯ je vnější úhel při vrcholu B. Dále platí |∠B|+|∠B| ¯ = platí ∠A < ∠B, ◦ ◦ 180 , a proto |∠A| < 180 − |∠B|. Q.E.D. Věta 2.7.2: (Saccheriho-Legendreova věta) Součet vnitřních úhlů trojúhelníka není větší než dva úhly pravé. Důkaz: Nechť je dán trojúhelník 4ABC. Máme dokázat ∠A+∠B +∠C 5 2R, tj. pro velikosti musí platit |∠A| + |∠B| + |∠C| 5 180◦ . E C

D

B A

Obr. 2.7.1 Provedeme důkaz sporem. Předpokládejme, že platí negace |∠A| + |∠B| + |∠C| > 180◦ , tj. existuje kladné reálné číslo x takové, že |∠A| + |∠B| + |∠C| = 180◦ + x◦ . Označme D střed strany BC. Potom existuje na polopřímce opačné k polopřímce DA bod E takový, že DE ∼ = AD. Podle věty sus platí 4BAD ∼ = CED. Proto ∠B ∼ ∠E ∼ = ∠DCE = ∠BAD. Dále 4ABC

}| { z |∠A| + |∠B| + |∠C| = (|∠BAD| + |∠EAC|) + |∠B| + |∠ACB| = = |∠E| + |∠EAC| + (|∠DCE| + |∠ACB|) = |∠E| + |∠A| + |∠C|, | {z } 4ACE

37


tj. 4ABC a 4ACE mají stejný součet velikostí vnitřních úhlů, ačkoliv nemusejí být shodné. Vzhledem ke vztahům ∠BAE + ∠EAC = ∠BAC a ∠AEC ∼ = ∠BAE je |∠CEA| + |∠CAE| = |∠BAC|. Není možné, aby oba úhly ∠CEA, ∠CAE měly současně velikost větší než 12 |∠BAC|, a proto alespoň jeden z nich má velikost menší nebo rovnu 1 2 |∠BAC|. Můžeme provést rekapitulaci prvního kroku — existuje trojúhelník 4ACE se součtem velikostí vnitřních úhlů 180◦ + x◦ a s jedním vnitřním úhlem, jehož velikost je menší nebo rovna 12 |∠A|. Opakujeme předcházející konstrukci a dostaneme trojúhelník se součtem velikostí vnitřních úhlů opět 180◦ + x◦ a s jedním vnitřním úhlem, jehož velikost je tentokrát menší nebo rovna 14 |∠A|. Uvažujme nyní klesající posloupnost 1 1 1 1 m, m, 3 m, 4 m, . . . , 2 4 2 2 jejíž limita je 0, a proto ke každému kladnému existuje takové přirozené n, že 1 m < . 2n Po konečném počtu kroků (výše uvedených konstrukcí) a pro m = |∠A| a = x◦ dostaneme 1 |∠A| < x◦ . 2n Tj. po konečném počtu kroků dostaneme trojúhelník, jehož součet vnitřních úhlů je 180◦ + x◦ a jeden z vnitřních úhlů má velikost menší nebo rovnu 1 ◦ 2n |∠A| < x . Součet velikostí zbývajících dvou úhlů musí být tudíž větší než ◦ 180 , což je spor s předcházející větou. Q.E.D. D EFINICE 2.7.1: Defekt trojúhelníka ABC je číslo δ dané vztahem δ(4ABC) = 180◦ − (|∠A| + |∠B| + |∠C|). Věta 2.7.3: (O součtu defektů) Nechť je dán trojúhelník 4ABC a nechť D je bod mezi vrcholy A a B. Potom δ(4ADC) + δ(4DBC) = δ(4ABC). Důsledek 2.7.1. δ(4ABC) = 0 právě tehdy, když δ(4ADC) = δ(4DBC) = 0. 38


V eukleidovské geometrii jsme zvyklí pracovat s trojúhelníky, jejichž defekt je vesměs nulový. Ale platí to vždy? Saccheriho-Legendreova věta ukazuje, že tomu tak být nemusí. Ptejme se proto dále: Může nastat situace, že v dané geometrii existuje současně trojúhelník s nenulovým defektem i trojúhelník s nulovým defektem? D EFINICE 2.7.2: Trojúhelník s nulovým defektem (tj. pro nějž platí P3 ◦ i=1 αi = 180 , kde αi jsou velikosti vnitřních úhlů) se nazývá eukleidovský. P4 D EFINICE 2.7.3: Čtyřúhelník, pro nějž platí i=1 αi = 360◦ , kde αi jsou velikosti vnitřních úhlů), se nazývá eukleidovský. D EFINICE 2.7.4: Čtyřúhelník, jehož všechny vnitřní úhly jsou pravé nazýváme pravoúhelník. Věta 2.7.4: Pravoúhelník je eukleidovský čtyřúhelník. Existenci pravoúhelníků v absolutní geometrii nelze dokázat. Platí však následující věta: Věta 2.7.5: Jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, potom existuje pravoúhelník.

C

C

E

C δ1=0

δ=0 A

δ1=0

δ1=0 B A

D

B

A

D

B

Obr. 2.7.2 Důkaz: Eukleidovský trojúhelník 4ABC rozdělíme kolmicí, např. z vrcholu C na stranu AB na dva pravoúhlé trojúhelníky 4ADC a 4DBC, které mají rovněž nulový defekt. Odtud vyplývá, že např. čtyřúhelník ADCE, který vznikne složením ze dvou shodných pravoúhlých trojúhelníků 4ADC, 4CEA je pravoúhelník. Q.E.D. Věta 2.7.6: Jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, potom jsou všechny trojúhelníky eukleidovské. 39


Důkaz: Jak víme, jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, pak existuje pravoúhelník. Dá se dokázat, že potom lze sestrojit libovolně velký pravoúhelník, z čehož plyne skutečnost, že každý pravoúhlý trojúhelník je eukleidovský. Libovolný trojúhelník (s neznámým defektem δ) rozdělíme na dva pravoúhlé s nulovými defekty, a proto i δ = 0. Q.E.D. Důsledek 2.7.2. Jestliže existuje trojúhelník s kladným defektem, potom všechny trojúhelníky mají kladný defekt. Na závěr vyslovme ještě jednu důležitou větu absolutní geometrie, která zajištuje existenci nerůznoběžné přímky vedené daným bodem k dané přímce. Věta 2.7.7: V rovině lze každým bodem mimo přímku vést alespoň jednu s ní se neprotínající přímku. k A

q

p

B

Obr. 2.7.3 Důkaz: Daným bodem A vedeme k dané přímce p kolmici k (ta existuje vždy!), průsečík označíme B. V bodě A sestrojíme kolmici q tentokrát k přímce k. Jelikož úhly ∠A a ∠B jsou souhlasné a shodné (neboť pravé), potom přímky p a q nemají žádný společný bod. Q.E.D. Nyní se nabízí otázka, zda lze daným bodem mimo přímku vést jedinou nerůznoběžku, anebo více. O tom však na základě uvedených axiómů incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti nelze rozhodnout. Absolutní geometrie připouští interpretaci jak pomocí modelů, v nichž existuje právě jedna nerůznoběžka, tak pomocí modelů s nekonečně mnoha nerůznoběžkami. O tom pohovoříme dále.

2.8

Modely absolutní geometrie

Model M1 Pojmy bod, přímka, incidence chápeme v obvyklém smyslu názorné geometrie. 40


Pojem mezi má rovněž obvyklý názorný význam. Dvě úsečky (dva úhly) jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že splynou. Každým bodem mimo danou přímku lze vést jedinou nerůznoběžku, tj. model M1 má eukleidovskou vlastnost Model M2 Bodem rozumíme jakoukoliv uspořádanou dvojici reálných čísel [m, n]. Přímkou rozumíme jakoukoliv rovnici ax + by + c = 0,

a, b, c ∈ R, [a, b] 6= [0, 0],

přičemž budeme předpokládat, že rovnice ax + by + c = 0 a (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 představují tutéž přímku, jestliže k je libovolné nenulové číslo. Bod [m, n] je incidentní s přímkou ax + by + c = 0, jestliže platí am + bn + c = 0. Bod [b1 , b2 ] leží mezi body [a1 , a2 ], [c1 , c2 ] jestliže všechny tři leží na téže přímce a jestliže současně platí buďto ai 5 bi 5 ci , nebo ai = bi = ci , přičemž alespoň pro jedno i platí ostrá nerovnost. Dvě úsečky AB a CD (kde A[a1 , a2 ], B[b1 , b2 ], C[c1 , c2 ], D[d1 , d2 ] ) jsou shodné, jestliže platí (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 = (c1 − d1 )2 + (c2 − d2 )2 . Dva úhly ∠ABC a ∠DEF jsou shodné, jestliže jsou shodné úsečky AB ∼ = DE, BC ∼ = EF a AC ∼ = DF . Každým bodem P [m, n] mimo danou přímku p : ax + by + c = 0 (am + bn + c 6= 0) lze vést jedinou nerůznoběžku a : (ka)x + (kb)y + C = 0 (k 6= 0, (ka)m + (kb)n + C = 0), tj. model M2 má eukleidovskou vlastnost Model M3 — tzv. Beltrami-Kleinův model Tento model je často uváděn také jen jako Kleinův model. Uvažujme obyčejnou eukleidovskou rovinu v běžném slova smyslu a v ní zvolme kruh Γ (kružnici γ) se středem O a poloměrem r. Vnitřkem kruhu Γ v E2 rozumíme množinu int Γ = {X ∈ E2 ; |OX| < r}. Rovinou H2 rozumějme nadále pouze vnitřek kruhu int Γ. K-body (tj. body Kleinova modelu) jsou všechny body vnitřku kruhu int Γ. K-přímkami (tj. 41


přímkami Kleinova modelu) rozumíme každou tětivu kruhu Γ bez krajních bodů. Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejné rovině.

Q

γ

a X

γ

R

P

C

P q A

A B

B

C

p

Q

Obr. 2.8.1

Obr. 2.8.2

Shodnost úseček zavedeme tak, že K-úsečky AB a CD jsou K-shodné, jestliže mají stejnou K-délku, kterou definujeme vztahem |AP | |BQ| · , d(AB)K = ln |AQ| |BP | kde P , Q jsou krajní body tětivy, na níž leží úsečka AB (↔ AB ∩ γ = {P, Q} a P ∗ A ∗ B ∗ Q), a kde |AP |, |AQ|, |BQ|, |BP | jsou standardní eukleidovské vzdálenosti (obr. 2.8.2). Poznamenejme ještě, že lim d(AB)K = ∞

A→P

a

lim d(AB)K = ∞,

B→Q

a proto ačkoliv má K-přímka AB eukleidovskou délku nejvýše 2r, K-délky nabývají všech kladných reálných hodnot. Shodnost úhlů bychom opět mohli zavést pomocí shodnosti úseček: jestliže BA ∼ =K ∠DEF . =K ED, BC ∼ =K DF , AC ∼ =K DF , potom ∠ABC ∼ V Beltrami-Kleinově modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie. Navíc se ukazuje, že Beltrami-Kleinův model vykazuje hyperbolickou vlastnost týkající se nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodem P 6∈ p (obr. 2.8.3). 42


γ P

p

Obr. 2.8.3 Model M4 — tzv. Poincarého polorovinový model Rovinou H2 rozumíme nadále otevřenou eukleidovskou polorovinu H2 = {[x, y] ∈ E2 ; y > 0}. P-body (tj. body Poincarého modelu) jsou všechny body otevřené poloroviny H2 . P-přímkami (tj. přímkami Poincarého modelu) rozumíme: • jednak otevřené polopřímky, které vzniknou jako průniky eukleidovských přímek x = konst. s polorovinou H2 ; • jednak otevřené polokružnice, které vzniknou jako průniky eukleidovských kružnic, jejichž středy leží na ose x, s polorovinou H2 . Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejné rovině. Shodnost úseček zavedeme tak, že P-úsečky AB a CD jsou P-shodné, jestliže mají stejnou P-délku, kterou definujeme vztahem tg ϕ21 , d(AB)P = ln tg ϕ22 kde ϕ1 je úhel, který svírá polopřímka OA (O střed kružnice procházející body A, B ležící na ose x) s osou x a ϕ2 je úhel, který svírá polopřímka OB s osou x (obr. 2.8.5). Opět platí, že lim d(AB)P = ∞

A→P

a 43

lim d(AB)P = ∞,

B→Q


a proto P-délky nabývají všech kladných reálných hodnot.

a R

P Q B q

X

A

B C

C

ϕ2

p O

Obr. 2.8.4

A ϕ1

Obr. 2.8.5

Shodnost úhlů koresponduje s běžnou shodností v eukleidovské rovině. Měřit P-úhly mezi dvěma P-přímkami znamená měřit eukleidovské úhly mezi dvěma tečnami k daným dvěma P-přímkám v jejich průsečíku. V Poincarého polorovinovém modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie. Opět se ukazuje, že i Poincarého polorovinový model vykazuje hyperbolickou vlastnost týkající se nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodem P 6∈ p (obr. 2.8.6).

P

p

Obr. 2.8.6 Model M5 — tzv. Poincarého kruhový model Uvažujme opět obyčejnou eukleidovskou rovinu v běžném slova smyslu a v ní zvolme kruh Γ (kružnici γ). 44


Rovinou H2 rozumíme stejně jako v Beltrami-Kleinově modelu int Γ. P-body jsou všechny body vnitřku kruhu H2 . P-přímkami rozumíme: • jednak všechny průměry kruhu Γ bez krajních bodů; • jednak otevřené kruhové oblouky, které vzniknou jako průniky H2 a eukleidovských kružnic, jež ortogonálně protínají hraniční kružnici kruhu Γ. Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejné rovině. γ q

P

γ R

Q P X

A

b B a

C

C p

B

A Q

Obr. 2.8.7

Obr. 2.8.8

Shodnost úseček zavedeme tak, že P-úsečky AB a CD jsou P-shodné, jestliže mají stejnou P-délku, kterou definujeme vztahem |AP | |BQ| · d(AB)P = ln , |AQ| |BP | kde P , Q jsou krajní body oblouku (ev. průměru), na němž leží P-úsečka AB (P ∗ A ∗ B ∗ Q), a kde |AP |, |AQ|, |BQ|, |BP | jsou standardní eukleidovské vzdálenosti (obr. 2.8.8). Opět platí, že lim d(AB)P = ∞ a

A→P

lim d(AB)P = ∞,

B→Q

a proto P-délky nabývají všech kladných reálných hodnot. 45


Shodnost úhlů koresponduje stejně jako v předcházejícím Poincarého modelu s běžnou shodností v eukleidovské rovině, a proto měřit P-úhly mezi dvěma P-přímkami znamená opět měřit eukleidovské úhly mezi dvěma tečnami k daným dvěma P-přímkám v jejich průsečíku. V Poincarého kruhovém modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie. Rovněž Poincarého kruhový model vykazuje hyperbolickou vlastnost týkající se nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodem P 6∈ p (obr. 2.8.9). γ

P

p

Obr. 2.8.9

2.9

Axióm rovnoběžnosti. Eukleidovská geometrie

Skutečnost, že absolutní geometrii [I, U, S, D] lze znázornit pomocí modelů s jedinou nerůznoběžkou (M1, M2) i modelů s více nerůznoběžkami (M3, M4, M5), je nejlepším důkazem nezávislosti 5. Eukleidova postulátu na předcházejících čtyřech postulátech. V Hilbertově axiomatické soustavě je 5. Eukleidův postulát nahrazen tzv. axiómem rovnoběžnosti, který, jak ukážeme, je s ním ovšem ekvivalentní. Takovýchto vět ekvivalentních s 5. Eukleidovým postulátem je celá řada. Mnohé z nich byly kdysi nevědomky brány za samozřejmé a byl pomocí nich proveden „důkazÿ 5. postulátu — nebyl to však skutečný důkaz, neboť se opíral o to, co měl ve skutečnosti dokázat. Tyto domnělé „důkazyÿ však měly svoji cenu, neboť objevovaly nové věty ekvivalentní s postulátem o rovnoběžkách. Axióm rovnoběžnosti (R) V rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínající přímku. 46


D EFINICE 2.9.1: Geometrie [I, U, S, D, R] se nazývá eukleidovská geometrie. Spojením již dokázané věty absolutní geometrie 2.7.7 (str. 40) a axiómu (R) dostáváme větu: Věta 2.9.1: V rovině lze každým bodem mimo přímku vést právě jednu s ní se neprotínající přímku. D EFINICE 2.9.2: Jestliže lze vést daným bodem mimo přímku jednu nerůznoběžku, potom ji nazýváme rovnoběžka. Věta 2.9.2: (Věty ekvivalentní s axiómem rovnoběžnosti) Následující věty jsou ekvivalentní: • 5. Eukleidův postulát • Existuje eukleidovský trojúhelník. (Součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180◦ .) • Existuje eukleidovský čtyřúhelník. (Součet velikostí vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360◦ .) • Existuje alespoň jeden pár trojúhelníků s odpovídajícími shodnými úhly a neshodnými stranami. • Pythagorova věta. • Každým vnitřním bodem úhlu lze vést alespoň jednu přímku protínající obě ramena mimo vrchol. • Existují alespoň tři body, které jsou stejně vzdáleny od přímky, leží v téže polorovině a jsou kolineární. • Existuje bod stejně vzdálený od tří nekolineárních bodů. (Každému trojúhelníku lze opsat kružnici.) • Existuje alespoň jeden pár různých přímek té vlastnosti, že body jedné z nich mají od druhé vzdálenosti shora omezené. Důkaz: Za všechny provedeme alespoň důkaz ekvivalence 5. Eukleidova postulátu a axiómu rovnoběžnosti. (R): V rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínající přímku. (P-5): A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. 47


p P B

D

F b E A B

A D

a

C

C

Obr. 2.9.1

Obr. 2.9.2

(=⇒) (obr. 2.9.1) Platí (R). Na příčce p dvou přímek a, b zvolme bod C tak, že C ∗ A ∗ B, kde A ∈ a a B ∈ b. Dále na přímce a zvolíme bod D a v polorovině ABD bod E takový, že ∠DAB + ∠EBA < 2R. Buď F bod v polorovině ABD takový, že ∠DAC ∼ = ∠F BA. Přímky BF a BE jsou různé, přičemž BF je přímka jdoucí bodem B, která je s AD nerůznoběžná (věta o souhlasných úhlech). Podle (R) je navíc jediná (!), a proto se AD a BE protínají. (⇐=) (obr. 2.9.2) Platí (P-5). Budiž dána přímka AB a mimo ni bod P . Uvažujme dále bod C takový, že C ∗ A ∗ P . V téže polorovině s hraniční přímkou AP zvolme body B, D tak, aby ∠CAB ∼ = ∠AP D. Potom přímky AB a P D jsou nerůznoběžné (věta o souhlasných úhlech) a současně platí ∠P AB + ∠AP D = 2R. Každá další přímka procházející bodem P různá od P D s příčkou AP tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, a proto podle (P-5) přímku AB protíná. Takže P D je jediná nerůznoběžka vedená bodem P . Q.E.D.

2.10

Několik poznámek k neeukleidovským geometriím

Přestože je neeukleidovská geometrie produktem 19. století, svými kořeny sahá o dvě tisíciletí zpátky. K jejímu objevu totiž došlo při řešení tzv. problému rovnoběžek, který se táhl historií matematiky od Eukleidových dob. A tak snaha dokázat 5. Eukleidův postulát vedla nejen k objevu jeho nezávislosti, ale rovněž i k objevu neeukleidovských geometrií. Prvními knihami o neeukleidovské geometrii publikovanými tiskem byla jednak kniha N. I. Lobačevského O načalach geometrii (1829), jednak spis J. Bolyaie Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (1832). Ačkoliv šlo o převratný objev, obě díla zůstala bohužel delší dobu bez povšimnutí. Si48


tuace se změnila, když několik let po smrti velkého matematika C. F. Gausse (v té době však již i po smrti Lobačevského) vyšel druhý svazek Gaussovy korespondence (1860), v němž byly mimo jiné uveřejněny i jeho dopisy, ve kterých vysoko hodnotil práce Lobačevského a Bolyaie. Z uveřejněných dopisů bylo vidět, že Gauss sám nezávisle dospěl k podobným výsledkům jako oni. Neeukleidovská geometrie se hned stala předmětem zájmu. Vraťme se zpátky k absolutní geometrii. Jakmile jsme axiomaticky popsali absolutní geometrii, chyběl nám již jen krůček k tomu, abychom popsali geometrii eukleidovskou — stačilo přidat axióm rovnoběžnosti. Přidáme-li k axiómům [I, U, S, D] naopak negaci axiómu rovnoběžnosti, začneme vytvářet novou geometrii, která se dnes nazývá Lobačevského neeukleidovská geometrie, popř. hyperbolická geometrie. Axióm Lobačevského geometrie (non R) (L): V rovině prochází bodem mimo přímku alepoň dvě různé s ní se neprotínající přímky.

P

Obr. 2.10.1

p

Ovšem je takto budovaný geometrický systém, který na první pohled odporuje naší každodenní zkušenosti, bezesporný? Nedostaneme se v určité fázi do situace, kdy dokážeme dvě věty, které budou tvrdit opak? Toto je otázka metamatematiky, tj. otázka o celém matematickém systému mimo systém samotný. Platí však následující věta, která říká, že „důvěryhodnostÿ Lobačevského geometrie je právě taková jako geometrie Eukleidovy: Věta 2.10.1: Jestliže je eukleidovská geometrie bezesporná, potom je bezesporná i hyperbolická geometrie. Některé věty hyperbolické geometrie lze odvodit velice jednoduše pouhou negací vět ekvivalentních a axiómem rovnoběžnosti: Věta 2.10.2: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je menší než 2R. Věta 2.10.3: Součet vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je menší než 4R. 49


Věta 2.10.4: Neexistují trojúhelníky se shodnými odpovídajícími úhly, které by měly odpovídající strany neshodné. (Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže mají shodné odpovídající úhly.) Věta 2.10.5: Existuje kolmice na rameno ostrého úhlu, která neprotne druhé rameno. Věta 2.10.6: Všechny body ležící v téže polorovině s danou hraniční přímkou ve stejné vzdálenosti od ní neleží na přímce. (Ekvidistanta přímky není přímka.) Věta 2.10.7: Existují tři nekolineární body, jež neleží na žádné kružnici (Existuje trojúhelník, jemuž nelze opsat kružnici.) Proveďme si klasifikaci dvojic přímek v hyperbolické rovině H2 . Podle jejich incidenčních vlastností budeme rozeznávat tři typy: přímky různoběžné a nerůznoběžné, které se dále dělí na souběžné a rozběžné. Již víme, že daným bodem lze vždy sestrojit alespoň dvě nerůznoběžky. Platí však silnější tvrzení: Věta 2.10.8: V rovině prochází bodem mimo danou přímku nekonečně mnoho přímek, které danou přímku neprotínají. Mezi nekonečně mnoha přímkami, kterých se týká předcházející věta, jsou dvě, jež hrají v Lobačevského geometrii významnou úlohu. Můžeme k nim přijít pomocí následujícího rozboru: nechť je dána přímka p a bod P mimo ni. Všechny přímky procházející bodem P rozdělíme do dvou tříd tak, že v jedné jsou různoběžky a v druhé nerůznoběžky. Hranici mezi oběma třídami tvoří dvě přímky, které neprotínají p — jedná se o dvojici přímek, které se vůči p chovají jako asymptoty. Budeme je nazývat souběžky. Všechny ostatní nerůznoběžky budeme označovat jako rozběžky.

P

p

Obr. 2.10.2 50


Modely M3 (Beltrami-Kleinův), M4 (Poincarého polorovinový) a M5 (Poincarého kruhový) jsou modely hyperbolické geometrie, jak jsme již uvedli, a platí v nich všechny výše uvedené věty. Následující obrázky ukazují znázornění souběžek a rozběžek v jednotlivých modelech: γ P

P

p

p

Obr. 2.10.4 Obr. 2.10.3

γ

P p

Obr. 2.10.5 Každým dvěma asymptoticky se chovajícím přímkám (soubežkám) přiřadil Lobačevský tzv. úhel souběžnosti. D EFINICE 2.10.1: Buďte p, q dvě souběžky. Zvolme na přímce q bod Q a nechť P je průsečík kolmice k vedené na přímku p z bodu Q. Ostrý nebo pravý úhel mezi přímkami q, k nazveme úhel souběžnosti bodu Q vzhledem k přímce p. Označujeme jej π(d), kde d je vzdálenost bodu Q od přímky p. 51


q

Q d

π(d)

p

P

Obr. 2.10.6 Pro úhel souběžnosti objevil Lobačevský funkci tg

π(x) = a−x , 2

kde a > 0 je libovolná konstanta.

Všimněme si závislosti úhlu souběžnosti π(x) na délce x lim π(x) =

x→0

π ; 2

lim π(x) = 0;

x→∞

neboli slovy — úhel souběžnosti konverguje k nule, jestliže příslušná vzdálenost roste nade všechny meze, a úhel souběžnosti konverguje k R, jestliže příslušná vzdálenost konverguje k nule. Zdůrazněme ještě, že v eukleidovské geometrii je úhel souběžnosti pro všechny vzdálenosti R, a proto se neeukleidovská geometrie tím více podobá eukleidovské, čím menší je část neeukleidovského prostoru, na níž tuto geometrii omezíme. Platí-li např. ve vesmíru hyperbolická geometrie, potom se geometrie v oblasti nám dostupné (ve srovnání s vesmírem mající zanedbatelné vzdálenosti) prakticky neliší od geometrie eukleidovské. Z Lobačevského formule však plyne ještě jeden neméně důležitý závěr — délky úseček mají absolutní míru! Úhly mají absolutní míru jak v hyperbolické, tak v eukleidovské geometrii, neboť lze udat konstrukci úhlu určité velikosti (např. pravého úhlu) takovou, že všechny sestrojené úhly budou vždy navzájem shodné. V Eukleidově geometrii však nelze udat konstrukci úsečky určité délky, která by se opírala jen o axiómy geometrie. Vždy musí být dána 52


ještě určitá úsečka braná jako měřítko (etalon). Oproti tomu v Lobačevského geometrii existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi velikostmi úhlů −x a délkami úseček tg π(x) , a proto lze udat univerzální, obecně platnou 2 =a konstrukci úsečky určité délky pomocí konstrukce určitého úhlu — např. vezmeme úhel R/2 a na jedno jeho rameno vedeme kolmici, která bude souběžná s druhým ramenem; pata této kolmice spolu s vrcholem úhlu určuje hledanou úsečku (absolutní jednotku délky). Na závěr poznamenejme, že v druhé polovině 19. století se objevila ještě jedna neeukleidovská geometrie, a to geometrie Riemannova. V roce 1854 (Über die hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) přišel B. Riemann pomocí diferenciálně-geometrických úvah na obecnou metrickou geometrii, která zahrnovala vedle geometrie Lobačevského a Eukleidovy ještě jednu geometrii, která se dnes nazývá jeho jménem. Riemannova geometrie nevychází z absolutní geometrie [I, U, S, D], a proto s ní má eukleidovská geometrie ještě méně společných vět než s geometrií hyperbolickou. V Riemannově geometrii např. se vždy protínají dvě kolmice na společnou přímku, což má za následek, že zde neexistují nerůznoběžky a že součet úhlů v trojúhelníku je větší než 2R. Další zvlášností je, že přímky se chovají jako uzavřené křivky a mají konečnou délku. Modelem riemannovské roviny může být např. kulová plocha, jestliže za R-přímky vezmeme hlavní kružnice (kružnice na ploše, jejichž střed splývá se středem kulové plochy), které se však vždy protínají ve dvou bodech kulové plochy, a proto R-bodem rozumíme dvojici bodů souměrných podle středu kulové plochy. Jinou klasifikaci geometrií na základě grupově-kinematickém provedl F. Klein (tzv. Erlangenský program, 1872). Základem jeho úvah byla snaha charakterizovat každou geometrii pomocí grupy geometrických transformací, které zachovávají typické vlastnosti dané geometrie. Např. eukleidovskou rovinu asocioval p s grupou shodností (zobrazení zachovávající eukleidovskou vzdálenost (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 dvou bodů [x1 , y1 ], [x2 , y2 ]); Lobačevského geometrii asocioval s grupou transformací, které zobrazují jednotkovou kružnici na sebe samu; obdobným postupem získal i geometrii Riemannovu. Podle Kleina se také pro Lobačevského geometrii používá název hyperbolická a pro Riemannovu eliptická.

53


3 3.1

Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi Základní pojmy

Část geometrie, která se zabývá geometrickými útvary v rovině se označuje jako planimetrie. Systematickému budování rovinné geometrie na logickém podkladě jsme se věnovali již v kapitole věnované axiomatické metodě v geometrii, kde jsme zavedli pojem eukleidovská geometrie pro geometrii popsanou axiómy incidence, uspořádání, shodnosti, spojitosti a rovnoběžnosti; rovinu, ve které se pohybujeme označujeme potom eukleidovská rovina a značíme ji E (resp. E2 ). V úvodní kapitole jsme se již setkali s některými elementárními geometrickými objekty. Jak víme, základními útvary rovinné geometrie jsou bod a přímka. Bod, ani přímku nedefinujeme. Primitivním pojmem je rovněž pojem incidence (Bod inciduje s přímkou, popř. přímka inciduje s bodem; ve významu: Bod leží na přímce, popř. přímka prochází bodem — značíme A ∈ p, popř. p 3 A). Dalším primitivním pojmem je pojem uspořádání bodů na přímce (Bod B leží mezi body A, C; popř. bod B odděluje body A, C — značíme A ∗ B ∗ C). Množinu bodů na přímce nebo v rovině nazýváme geometrický útvar. Uzavřenou oblast v rovině nazýváme obrazec.

Bod Bod označujeme obvykle písmenem velké latinské abecedy (A, P , X, . . . ). Dva body A, B jsou navzájem různé (A 6= B), nebo totožné (A = B). Tři různé body buďto neleží v přímce (jsou nekolinární); anebo leží v přímce (jsou kolinární).

Přímka Přímku označujeme obvykle písmenem malé latinské abecedy (a, p, x, . . . ) nebo dvojicí různých bodů na přímce (přímka AB, přímka P Q, přímka M N , . . . ; popř. symbolicky ↔ AB, ↔ P Q, ↔ M N , . . . ). Dvě přímky a, b v rovině jsou navzájem a) různoběžné (a 6k b), mají-li jediný společný bod — průsečík; b) rovnoběžné různé (a k b), nemají-li žádný společný bod; c) splývající (totožné) (a = b) mají-li všechny body společné. 54

3. Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi

Svazek přímek, značíme S(a, b, c, . . .), je množina všech přímek v rovině, které mají společný bod S — tzv. střed svazku (obr. 3.1.1). s

S

Obr. 3.1.1

Obr. 3.1.2

Směr s je množina všech navzájem rovnoběžných přímek; vztah přímka a náleží směru s značíme a ∈ s (obr. 3.1.2).

Polopřímka Bod O dělí přímku p na dvě navzájem opačné polopřímky se společným počátkem O. Je-li bod A vnitřní bod polopřímky (tj. A 6= O), potom tuto polopřímku značíme polopřímka OA, popř. stručně 7→ OA. Opačná polopřímka k polopřímce OA se značí ← OA. Jestliže pro dvě polopřímky na téže přímce platí 7→ OA ⊂7→ OB, anebo 7→ OB ⊂7→ OA, potom říkáme, že mají stejný smysl. Dvě polopřímky 7→ AB ⊂ p a 7→ CD ⊂ q na dvou různých rovnoběžkách p, q mohou být a) souhlasně rovnoběžné — vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnou s přímkou AC, potom protne polopřímku CD (obr. 3.1.3); b) nesouhlasně rovnoběžné — vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnou s přímkou AC, potom protne polopřímku opačnou k polopřímce CD (obr. 3.1.4).

p

q

A

p

B

D

C

q

Obr. 3.1.3

B

A

D

C

Obr. 3.1.4 55


Úsečka Úsečkou AB nazýváme průnik dvou polopřímek 7→ AB, 7→ BA (obr. 3.1.5) — značíme úsečka AB, popř. pouze AB. Body A, B nazýváme krajní body úsečky AB; ostatní body se nazývají vnitřní body úsečky AB. Otázka shodnosti úseček (značíme AB ∼ = CD) a grafického součtu (popř. rozdílu) úseček byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti. Problematikou míry úsečky jsme se zabývali v kapitole věnované axiómům spojitosti (délku, popř. velikost úsečky značíme |AB|). o BA AB

S B

A

B

A

Obr. 3.1.5 Obr. 3.1.6 Středem úsečky AB nazýváme bod S úsečky AB, pro který platí AS ∼ = BS. Osou úsečky AB nazýváme přímku o, která prochází středem úsečky AB a je k ní kolmá (obr. 3.1.6).

Polorovina Přímka p =↔ AB dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny se společnou hraniční přímkou AB. Je-li bod X vnitřní bod poloroviny (tj. X 6∈ p), potom tuto polorovinu značíme polorovina ABX, popř. stručně 7→ ABX nebo 7→ pX. Opačná polorovina k polorovině ABX se značí ← ABX.

Pás Pásem určeným přímkami p, q rozumíme průnik dvou polorovin pB a qA, jejichž hraniční přímky p, q jsou rovnoběžné a A ∈ p, B ∈ q. q B

o

A Obr. 3.1.7

56

p


Konvexní a nekonvexní množiny bodů Množinu bodů nazveme konvexní, jestliže pro každé dva její body X, Y platí, že úsečka XY je její podmnožinou (obr. 3.1.8). Prázdnou množinu a jednobodové množiny řadíme mezi konvexní množiny. Množina bodů, která není konvexní, se nazývá nekonvexní (obr. 3.1.9).

Obr. 3.1.8

Obr. 3.1.9

Příklady konvexních množin, kterými jsme se již zabývali, jsou přímka, úsečka, polopřímka, polorovina a pás. Průnik konečného počtu konvexních množin bodů je konvexní množina bodů.

Úhel V kapitole věnované axiómům uspořádání jsme zavedli pojem úhlu následovně: průnik polorovin AV B a BV A nazýváme úhel. Uvedená definice se však týká jen jednoho speciálního typu úhlu. Na tomto místě je vhodné zavést pojem úhlu obecněji. Konvexním úhlem AV B rozumíme: 1. průnik polorovin AV B a BV A v případě, že body A, V , B jsou tři nekolineární body; tento úhel se rovněž označuje jako tzv. dutý úhel (obr. 3.1.10); 2. každou z polorovin s hraniční přímkou AB v případě, že body A, V , B jsou tři různé kolineární body a bod V leží mezi body A, B (tj. A∗V ∗B); tento úhel se rovněž označuje jako tzv. přímý úhel (obr. 3.1.11); B B V

V A

A

Obr. 3.1.11

Obr. 3.1.10 57


3. v případě, že body A, V , B jsou tři různé kolineární body a bod V neleží mezi body A, B, (a) každou rovinu obsahující přímku AB; tento úhel se rovněž označuje jako tzv. plný úhel (obr. 3.1.12); (b) polopřímku V A (resp. V B); tento úhel se rovněž označuje jako tzv. nulový úhel (obr. 3.1.13).

V

A

V

B

A

B

Obr. 3.1.13 Obr. 3.1.12 Jestliže jsou A, V , B tři nekolineární body, potom se sjednocení polorovin opačných k polorovinám AV B a BV A nazývá nekonvexní úhel AV B (obr. 3.1.14).

B V

A

Obr. 3.1.14 Ve všech případech se polopřímky V A a V B nazývají ramena úhlu, bod V vrchol úhlu, body úhlu neležící na ramenech označujeme jako body vnitřku úhlu a body roviny, které nepatří do úhlu AV B, jako body vnějšku úhlu. Pro konvexní úhel AV B používáme označení ∠AV B, pro nekonvexní úhel AV B označení ∠AV B. Je zřejmé, že konvexní (resp. nekonvexní) úhly jsou konvexními (resp. nekonvexními) množinami bodů. Není-li uvedeno jinak, pak vždy pod pojmem úhel budeme rozumět úhel konvexní (resp. ještě přesněji úhel dutý). Otázka shodnosti úhlů (značíme ∠AV B ∼ = ∠CU D) a grafického součtu (popř. rozdílu) úhlů byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti. 58


Problematikou míry úhlu jsme se zabývali v kapitole věnované axiómům spojitosti (velikost úhlu značíme |∠AV B|). Osou úhlu AV B nazýváme polopřímku V C, která vychází z vrcholu V úhlu AV B a tento úhel půlí tak, že platí ∠AV C ∼ = ∠CV B. B

o

C

V

A

Obr. 3.1.15 Dvojice úhlů Dva úhly v rovině se nazývají styčné, jestliže mají jedno rameno společné a zbývající dvě ramena leží v opačných polorovinách vymezených hraniční přímkou, v níž leží společné rameno (obr. 3.1.16). Dva úhly v rovině se nazývají vedlejší, jestliže mají jedno rameno společné a zbývající dvě ramena jsou polopřímky navzájem opačné (obr. 3.1.17). Dva úhly v rovině se nazývají vrcholové, jestliže mají společný vrchol a jsou-li ramena jednoho úhlu opačnými polopřímkami k ramenům druhého úhlu (obr. 3.1.18). Vrcholové úhly jsou shodné. C

B A A

V

A’ V

C

V

B

B

Obr. 3.1.16

Obr. 3.1.17

A

B’

Obr. 3.1.18 b

P

Obr. 3.1.19

Obr. 3.1.20 59

a


Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý (obr. 3.1.19). Značíme jej obloučkem s tečkou, popř. písmenem R. Dvě různoběžné přímky a, b tvořící shodné vedlejší (tj. pravé) úhly jsou k sobě kolmé, což zapisujeme a ⊥ b. Průsečík P kolmých přímek a, b nazýváme pata kolmice (obr. 3.1.20). Jsou dány různé přímky a, b proťaté přímkou p zvanou příčka v bodech A, B. Přímky vytvářejí čtyři úhly s vrcholem A (α1 , α2 , α10 , α20 ) a čtyři úhly s vrcholem B (β1 , β2 , β10 , β20 ) (obr. 3.1.21) Souhlasné úhly (dvojice α1 , β1 , resp. α10 , β10 , resp. α2 , β2 , resp. α20 , β20 ) leží na téže straně příčky p i přímek a, b. Střídavé úhly (dvojice α1 , β20 , resp. α10 , β2 , resp. α2 , β10 , resp. α20 , β1 ) leží na opačných stranách příčky p i přímek a, b. Přilehlé úhly (dvojice α1 , β2 , resp. α2 , β1 , resp. α10 , β20 , resp. α20 , β10 ) leží na téže straně příčky p a opačných stranách přímek a, b.

b

β’2 β’1 α’2 α’1

a

A α1

B β1

p

β2

b

α2

a

p

Obr. 3.1.22 Obr. 3.1.21

Každé dva souhlasné úhly i každé dva střídavé úhly jsou shodné, právě když jsou přímky a, b rovnoběžné (obr. 3.1.22). Klasifikace úhlů Klasifikace úhlů podle jejich velikostí ve stupňové (resp. obloukové míře) míře: – nulový úhel (α = 0◦ ; resp. α = 0) – ostrý úhel (0◦ < α < 90◦ ; resp. 0 < α < – pravý úhel (α = 90◦ ; resp. α = ◦

– tupý úhel (90 < α <

π 2 ); ◦ 180 ; resp. π2

π 2)

značíme jej R < α < π)

◦

– přímý úhel (α = 180 ; resp. α = π); značíme jej 2R – nekonvexní úhel (180◦ < α < 360◦ ; resp. π < α < 2π) – plný úhel (α = 360◦ ; resp. α = 2π); značíme jej 4R 60


Orientovaný úhel Orientovaný úhel v rovině je uspořádaná dvojice polopřímek V A, V B se společným počátkem V , přičemž polopřímka V A, resp. V B se nazývá počáteční, resp. koncové rameno a bod V se nazývá vrchol orientovaného úhlu. Jestliže → V A 6=→ V B, potom ∠AV B 6= ∠BV A. Z definice je patrné, že na rozdíl od neorientovaného úhlu není orientovaný úhel částí roviny, ale skládá se jen ze dvou polopřímek. B

AVB

α+2kπ V

BVA

B

α A Obr. 3.1.23

A

Velikostí orientovaného úhlu rozumíme velikost neorientovaného úhlu (v míře stupňové, obloukové, . . . ), jehož všemi body proběhne počáteční rameno V A při otočení do polohy koncového ramena V B. Děje-li se otáčení v kladném smyslu (proti směru hodinových ručiček), je velikost orientovaného úhlu kladná, v opačném případě je záporná. Je vidět, že za velikost orientovaného úhlu je možné vzít kterékoliv z čísel α + k · 360◦ ,

resp. α + 2kπ,

kde k je celé číslo a pro úhel α platí 0◦ 5 α < 360◦ , resp. 0 5 α < 2π — velikost α se nazývá základní velikost orientovaného úhlu.

Vzdálenost Vzdáleností dvou bodů A, B rozumíme velikost úsečky AB. Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme vzdálenost bodu A od paty kolmice vedené z bodu A k přímce p (budeme značit |A, p|). Vzdáleností dvou rovnoběžných přímek a, b nazýváme vzdálenost libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky (budeme značit |a, b|). Vzdálenost dvou splývajících a různoběžných přímek je nulová.

Odchylka Odchylkou dvou přímek a, b nazýváme velikost nulového, ostrého nebo pravého úhlu, který má libovolně zvolený vrchol V a ramena na přímkách procházejících bodem V rovnoběžně s přímkami a, b (budeme značit |∠a, b|). Z uvedené definice je patrné, že odchylka dvou rovnoběžek je 0◦ . 61


Dělicí poměr uspořádané trojice bodů Dělicím poměrem bodu C na přímce vzhledem k základním bodům A, B (B 6= C) rozumíme číslo λ = (ABC) = ε

|AC| , |BC|

kde ε = −1, resp. ε = 1, jestliže bod C leží, resp. neleží mezi body A, B. λ<0

0<λ<1

λ>1 B

A λ=0

λ neexistuje

Obr. 3.1.24 Hledejme body s dělicími poměry 0 a ±1 vzhledem k základním bodům A, B: • Jestliže A = C, potom |AC| = 0, a proto i (ABC) = 0. • Střed úsečky S leží mezi body A, B, tj. ε = −1, a současně |AS| = |BS|, a proto (ABS) = −1. • Obdobně se ptáme, zda lze najít bod X takový, že (ABX) = 1. Jelikož (ABX) > 0, bod X neleží mezi body A, B. Označíme-li |AB| = d (d 6= 0) a v případě A ∗ B ∗ X (resp. X ∗ A ∗ B) |BX| = x (resp. |XA| = x), potom x d+x , (resp. (ABX) = ). x d+x Ovšem vzhledem k tomu, že pro všechna x ∈ R+ je d+x 6= 1 (resp. x x = 6 1), v eukleidovské rovině neexistuje bod, který by měl k základním d+x bodům dělicí poměr roven 1. (ABX) =

Každému číslu λ 6= 1 odpovídá jediný(!) bod C na přímce ↔ AB takový, že (ABC) = λ. Označme (ABC) = λ, potom platí: (BAC) = 1 λ−1 λ 1−λ ; (BCA) = λ ; (CBA) = λ−1 .

1 λ;

(ACB) = 1 − λ; (CAB) =

Dvojpoměr uspořádané čtveřice bodů Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na přímce rozumíme číslo (ABC) (ABCD) = , kde (ABD) 6= 0. (ABD) Jestliže (ABCD) = −1, potom body A, B, C, D názýváme harmonická čtveřice bodů přímky — body A, B označujeme jako základní body; bod C (resp. D) jako vnitřní (resp. vnější) dělicí bod. 62


Promítání Mějme dány dvě různé přímky p a p0 . Na přímce p zvolme různé body A, B, C,. . . a na přímce p0 zvolme různé body A0 , B 0 , C 0 ,. . . Jestliže je poloha těchto bodů taková, že přímky AA0 , BB 0 , CC 0 ,. . . jsou navzájem rovnoběžné, potom říkáme, že body A0 , B 0 , C 0 ,. . . jsou rovnoběžné průměty bodů A, B, C,. . . na přímku p0 . Směr přímek AA0 , BB 0 , CC 0 ,. . . nazýváme směr promítání (obr. 3.1.25). Je-li poloha těchto bodů taková, že přímky AA0 , BB 0 , CC 0 ,. . . procházejí týmž bodem S , potom říkáme, že body A0 , B 0 , C 0 ,. . . jsou středové průměty bodů A, B, C,. . . na přímku p0 . Bod S nazýváme střed promítání (obr. 3.1.26). S

A A’

C

B

B’

p

A’ C’

p’

Obr. 3.1.25

p

C

A B B’

C’

p’

Obr. 3.1.26

Dělicí poměr se rovnoběžným promítáním nemění. Snadno bychom se přesvědčili, že dělicí poměr není invariantní (tj. neměnný) vůči středovému promítání. Promítáme-li body A, B, C, D ∈ p na přímku p k p, potom se sice dělicí poměr zachovává, ale při promítání na různoběžnou přímku p0 již invariantní není. Invariantem jak středového, tak rovnoběžného promítání je dvojpoměr čtyř bodů. Pappova věta: Jsou-li A0 , B 0 , C 0 , D0 rovnoběžné nebo středové průměty čtyř navzájem různých bodů A, B, C, D přímky p na přímku p0 6= p, potom (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D0 ). S

B A

p’

D’

C’ A’=A B’ C

B

D C

Obr. 3.1.27 63

p D

p


3.2

Kružnice, kruh

Každý bod kružnice má od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0 . Bod S se nazývá střed kružnice, kladné reálné číslo r (popř. úsečku o délce r, jejímž jedním krajním bodem je střed kružnice a druhým krajním bodem je libovolný bod kružnice) nazýváme poloměr kružnice.10 Zapisujeme k(S; r). Číslo 2r (popř. úsečka o délce 2r procházející středem kružnice s oběma krajními body na kružnici) se nazývá průměr kružnice a označuje se d.11 Úsečka, jejíž oba krajní body leží na kružnici se nazývá tětiva kružnice; průměr je nejdelší tětivou kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, náležejí tzv. vnitřku kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kružnice. K

k

S

S

r

r

d

d

Obr. 3.2.1

Obr. 3.2.2

Všechny body, jejichž vzdálenost od středu je menší než poloměr nebo rovna poloměru, náležejí kruhu K(S; r) s hraniční kružnicí k(S, r). O středu, poloměru a průměru kruhu hovoříme ve stejném významu jako u kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, vytvářejí tzv. vnitřek kruhu. Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kruhu. Části kružnice, popř. kruhu B

A

B

A r

S

B

r S

k

Obr. 3.2.3

A S

k

Obr. 3.2.4

k

Obr. 3.2.5

Obloukem kružnice nazýváme souvislou část kružnice ohraničenou jejími dvěma různými body. Každé dva různé body kružnice dělí kružnici na dva oblouky (obr. 3.2.3). 10 r 11 d

— z latinského radius — z latinského diameter

64


Kruhovou výsečí rozumíme část kruhu omezenou dvěma poloměry a obloukem kružnice (obr. 3.2.4). Kruhovou úsečí rozumíme část kruhu omezenou tětivou a obloukem kružnice (obr. 3.2.5). Kružnice a přímka Označme v vzdálenost středu kružnice k(S; r) od přímky p. Přímka p má vzhledem ke kružnici k právě jednu z těchto poloh: • Je-li v > r, potom přímka p nemá s kružnicí k žádný společný bod a je vnější přímkou kružnice (obr. 3.2.6). p

T r

r k

k

S

S

p

Obr. 3.2.6

Obr. 3.2.7

• Je-li v = r, potom má přímka p s kružnici k jediný společný bod T a je tečnou kružnice. Bod T se nazývá bod dotyku. Tečna kružnice je kolmá na poloměr ST . V každém bodě kružnice existuje jediná tečna; z vnějšího bodu lze setrojit ke kružnici dvě tečny (obr. 3.2.7). • Je-li v < r, potom má přímka p s kružnici k společné právě dva body (tzv. průsečíky) a je sečnou kružnice. Úhel sečny a kružnice je ostrý nebo pravý úhel, který svírá sečna s tečnou v jednom z průsečíků (pro oba průsečíky dostáváme shodné úhly) (obr. 3.2.8). Jestliže svírá přímka p s tečnou v jednom z průsečíků (a tím i s kružnicí k) pravý úhel, říkáme, že přímka a kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom přímka p prochází středem kružnice k (obr. 3.2.9). tA A r B p

p

tA A

ϕ

r

r S

S k

B

Obr. 3.2.8

k

Obr. 3.2.9 65


Dvě kružnice Dvě kružnice o společném středu se nazývají soustředné. Část roviny omezená dvěma soustřednými kružnicemi se nazývá mezikruží. Dvě kružnice o různých středech se nazývají nesoustředné. Úsečka spojující středy nesoustředných kružnic se nazývá středná. Označme s velikost středné kružnic k1 (S1 ; r1 ) a k2 (S2 ; r2 ) (předpokládejme r1 6= r2 ). Kružnice k1 , k2 mají právě jednu z těchto vzájemných poloh: • Je-li s > r1 + r2 , potom kružnice nemají žádný společný bod a leží vně sebe (obr. 3.2.10). k1

k1

k2 S2

S1

k2 S1

Obr. 3.2.10

T

S2

Obr. 3.2.11

• Je-li s = r1 + r2 , potom kružnice mají jediný společný bod (bod dotyku) a dotýkají se vně (obr. 3.2.11). • Je-li |r1 − r2 | < s < r1 + r2 , potom kružnice mají společné právě dva body (tzv. průsečíky) a protínají se. Úhel dvou protínajících se kružnic je ostrý nebo pravý úhel, který svírají tečny v jednom z průsečíků (pro oba průsečíky dostaneme shodné úhly) (obr. 3.2.12). Jestliže svírají tečny v jednom z průsečíků (a tím i obě kružnice) pravý úhel, říkáme, že kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom střed S1 kružnice k1 leží na tečně kružnice k2 sestrojené v jejich průsečíku a rovněž střed S2 kružnice k2 leží na tečně kružnice k1 sestrojené v jejich průsečíku (obr. 3.2.13). 1 1

tA

2

A

k1

ϕ

tA

2

tA

A

k1

k2

k2 S1

S2

S1

tA

B

S2 B

Obr. 3.2.12

Obr. 3.2.13

• Je-li s = |r1 − r2 |, potom kružnice mají jediný společný bod (bod dotyku) a dotýkají se uvnitř(obr. 3.2.14). 66


k1

k1

k2 S1

S2

Obr. 3.2.14

T

k2 S1 S2

Obr. 3.2.15

k1

k2 S1=S2

Obr. 3.2.16

• Je-li s < |r1 − r2 |, potom kružnice nemají žádný společný bod a jedna leží uvnitř druhé (obr. 3.2.15). Sem by se daly zařadit i soustředné kružnice (obr. 3.2.16). Dvě kružnice mohou mít následující počet společných tečen. • V případě, že kružnice leží vně sebe, potom mají čtyři společné tečny. Dvě tečny protínající střednou se nazývají vnitřní tečny, dvě tečny neprotínající střednou se nazývají vnější tečny. • V případě, že kružnice mají vnější dotyk, potom existují tři společné tečny — dvě vnější a jedna ve společném bodě dotyku. • V případě, že se kružnice protínají, potom existují dvě společné tečny — vnější tečny. • V případě, že kružnice mají vnitřní dotyk, potom existuje jedna společná tečna — tečna ve společném bodě dotyku. • V případě, že jedna kružnice leží uvnitř druhé, potom neexistuje žádná společná tečna.

Obr. 3.2.17 O konstrukci společných tečen dvou kružnic se zmíníme v kapitole 4.7. 67


Úhel středový, obvodový a úsekový Zvolme na kružnici k(S; r) tři různé body A, B, M . Úhel ∠AM B se nazývá obvodový úhel a úhel ∠ASB středový úhel oba příslušné k témuž oblouku kružnice s krajními body A, B, jestliže každý bod tohoto oblouku náleží jak úhlu ∠AM B tak i úhlu ∠ASB. Pro pevně zvolený oblouk najdeme jediný středový úhel ∠ASB, ale nekonečně mnoho úhlů obvodových ∠AM B. M ϕ

k S ω ϕ A ϕ

B Y

Obr. 3.2.18 Úhel ∠BAX (resp. ∠ABY ) tvořený tečnou kružnice v bodě A (resp. B) a sečnou AB se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice s krajními body A, B, jestliže každý bod zvoleného oblouku náleží úhlu ∠BAX (resp. ∠ABY ). Pro pevně zvolený oblouk najdeme dvojici úsekových úhlů. Věta 3.2.1: (Základní věta o obvodových úhlech) Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné mezi sebou i úsekovým úhlem příslušným k témuž oblouku. Každý obvodový úhel je roven polovině příslušného středového úhlu. M k A

ϕ1

M

k

ϕ2

ϕ1 S ω1 ϕ2 ω2

ϕ S ω

B

A

k

β

ϕ B

A

S ω

β

ϕ

M

α B

Obr. 3.2.19 Důkaz: Důkaz tvrzení ω = 2ϕ (ω — středový úhel ASB, ϕ — obvodový úhel AM B) je nutné provést ve třech částech, a to pro případ, že střed kružnice 68


a) náleží vnitřku obvodového úhlu; b) leží na rameni obvodového úhlu; c) leží vně obvodového úhlu. Poznamenejme jen, že když obvodový úhel AM B přísluší polokružnici, anebo většímu oblouku s krajními body A a B, potom střed kružnice S náleží vždy vnitřku obvodového úhlu. Provedeme pouze důkaz části a), zbytek si můžete vyzkoušet jako cvičení. Přímka M S rozdělí obvodový úhel ϕ na dva úhly ϕ1 +ϕ2 = ϕ a středový úhel ω na dva úhly ω1 +ω2 = ω. Trojúhelník AM S (a také BM S) je rovnoramenný12 — |SA| = |SM | = |SB| = r — a proto ∠M AS ∼ = ∠AM S (a také ∠M BS ∼ = ∠BM S). Jelikož součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímu vnějšímu úhlu a úhel ω1 (resp. ω2 ) je vnějším úhlem 4AM S (resp. 4BM S), platí ω1 = 2ϕ1 (resp. ω2 = 2ϕ2 ). Sečtením dostaneme ω = ω1 + ω2 = 2ϕ1 + 2ϕ2 = 2(ϕ1 + ϕ2 ) = 2ϕ. Část věty týkající se vztahu obvodového a úsekového úhlu ihned plyne ze skutečnosti, že se jedná o úhly s rameny na sebe kolmými. Q.E.D. Důsledek 3.2.1. (Thaletova věta) Všechny obvodové úhly sestrojené v kružnici nad průměrem jsou pravé (obr. 3.2.20). k k S

S

Obr. 3.2.20

A

Obr. 3.2.21

Thaletovu větu používáme při konstrukci tečen kružnice z vnějšího bodu (obr. 3.2.21).

3.3

Trojúhelník

Jsou-li dány v rovině tři nekolineární body A, B, C, potom společná část polorovin ABC, BCA a CAB se nazývá trojúhelník ABC, což symbolicky zapisujeme 4ABC. Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečky c = AB, a = BC, b = CA se nazývají strany trojúhelníka. Vnitřní úhly trojúhelníka ABC jsou úhly ∠CAB = α, ∠ABC = β, ∠BCA = γ. Vedlejší 12 Zde trochu předbíháme, neboť kapitola týkající se trojúhelníka následuje až za kapitolou o kružnici, nicméně již v kapitole 2.5 jsme se o rovnoramenném trojúhelníku zmiňovali.

69


úhly k vnitřním úhlům (je jich šest, vždy dva shodné u jednoho vrcholu) se nazývají vnější úhly trojúhelníka — značíme je α10 , α20 ; β10 , β20 ; γ10 , γ20 .13 Sjednocení stran tvoří tzv. obvod trojúhelníka.14 Body trojúhelníka nenáležející obvodu jsou body vnitřku trojúhelníka, body nenáležející trojúhelníku jsou body vnějšku trojúhelníka. S trojúhelníky jsme se setkali již v kapitolách týkajících se Hilbertovy axiomatické soustavy. Do této kapitoly tak automaticky patří všechny věty eukleidovské geometrie, které již byly uvedeny — např. α + β + γ = 180◦ (obr. 3.3.1). α

C β γ

A,a,α

C,c,γ

B,b,β

β

α A

B

Obr. 3.3.2

Obr. 3.3.1 Abychom nemuseli vyslovovat některé definice a věty trojmo, budeme v dalším textu využívat tzv. cyklickou záměnu — nahradíme-li v definici (popř. větě) týkající se trojúhelníka 4ABC trojice písmen (A, a, α), (B, b, β), (C, c, γ) po řadě trojicemi (B, b, β), (C, c, γ), (A, a, α) a dále (C, c, γ), (A, a, α), (B, b, β) (obr. 3.3.2), dostaneme další tvary definic (popř. vět). Trojúhelníky dělíme podle velikostí stran na: různostranné (a 6= b 6= c 6= a); C γ b a α A

rovnoramenné (a = b 6= c); C

Obr. 3.3.3

B

C

γ a

β c

rovnostranné (a = b = c).

a

α

α A

α

a

c

Obr. 3.3.4

α

α B

13 V

a

A

a

B

Obr. 3.3.5

případě značení úseček (zde stran) se v geometrii objevuje nejednoznačnost. Malé písmeno latinské abecedy tak někdy označuje úsečku a někdy délku této úsečky. Totéž platí i pro označování úhlů, popř. jejich velikostí malými písmeny řecké abecedy. 14 Někdy se pod pojmem obvod rozumí součet velikostí stran (tj. číslo).

70


ostroúhlé (α, β, γ < 90◦ ); C γ b a β

α

c

A

Podle úhlů dělíme trojúhelníky na: pravoúhlé tupoúhlé (α, β < 90◦ , γ = 90◦ ); (α, β < 90◦ , γ > 90◦ ). C b a C A α γ b β a B c β c α

B

B

A

Obr. 3.3.6

Obr. 3.3.7

Obr. 3.3.8

Příčka trojúhelníka je úsečka spojující dva body na obvodu trojúhelníka, které neleží na jedné jeho straně. Střední příčka trojúhelníka je spojnice středů dvou stran (obr. 3.3.9). C

B1

A

A1

B

C1

Obr. 3.3.9 Věta 3.3.1: Střední příčka je rovnoběžná se stranou, jejímž středem neprochází a má délku rovnou polovině délky této strany. Výška trojúhelníka je kolmice sestrojená vrcholem trojúhelníka na přímku, v níž leží protější strana. Výšku z bodu A na stranu a budeme značit va ; patu této výšky budeme označovat A0 (obr. 3.3.10). Věta 3.3.2: Výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném ortocentrum trojúhelníka (obr. 3.3.10). C

C

vb

tc

B0 V A

C0

vc

B1

va

ta

A0 B

A

Obr. 3.3.10

A1

T tb C1

Obr. 3.3.11 71

B


Težnice trojúhelníka je úsečka spojující vrchol trojúhelníka se středem protější strany. Těžnici spojující vrchol A se středem A1 strany BC budeme značit ta (obr. 3.3.11). Věta 3.3.3: Těžnice trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném těžiště trojúhelníka (obr. 3.3.11). Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníka je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice (tj. (AA1 T ) = −2). Osou strany trojúhelníka nazýváme osu úsečky, která je stranou trojúhelníka. Osu strany a budeme značit oa (obr. 3.3.12). Věta 3.3.4: Osy stran trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice opsané trojúhelníku (obr. 3.3.12), tj. kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníka (poloměr kružnice opsané zpravidla označujeme r). C

oc

C

r B1

S

oa

ρ

A1

C1

S’ ρ

r

r A

uβ

B ob

ρ

uα

B

A uγ

Obr. 3.3.12

Obr. 3.3.13

Osou vnitřního úhlu trojúhelníka rozumíme osu úhlu, který je vnitřním úhlem trojúhelníka. Osu vnitřního úhlu α budeme značit uα (obr. 3.3.13). Věta 3.3.5: Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice vepsané trojúhelníku (obr. 3.3.13), tj. kružnice dotýkající se všech stran trojúhelníka (poloměr kružnice vepsané zpravidla označujeme %). Můžeme vyslovit několik zajímavých vět: Věta 3.3.6: Těžiště a střed kružnice vepsané náleží vždy vnitřku trojúhelníka. Ortocentrum a střed kružnice opsané náleží jeho vnitřku v trojúhelníku ostroúhlém, jeho obvodu v trojúhelníku pravoúhlém a jeho vnějšku v trojúhelníku tupoúhlém. Věta 3.3.7: V trojúhelníku ABC označme T těžiště, V průsečík výšek a S střed kružnice opsané. Potom platí, že buďto T = S = V (je-li 4ABC rovnostranný), anebo každé dva z těchto bodů jsou různé a leží na jedné přímce (tzv. Eulerova přímka), přičemž (SV T ) = − 12 (obr. 3.3.14). 72


C

vb

va

tc V

ob

oa

T S

tb

ta

B

A

oc v c

Obr. 3.3.14 Věta 3.3.8: V trojúhelníku ABC označme V průsečík výšek; S střed kružnice opsané; A1 , B1 , C1 středy stran a, b, c; A0 , B0 , C0 paty výšek va , vb , vc a A0 , B 0 , C 0 středy úseček AV , BV , CV . Potom platí: • Na kružnici k0 procházející body A1 , B1 , C1 leží také body A0 , B0 , C0 a A0 , B 0 , C 0 . • Střed S0 kružnice k0 je středem úsečky SV , když S 6= V ; je-li S = V , potom i S0 = S. Poloměr kružnice k0 se rovná polovině poloměru kružnice k opsané trojúhelníku ABC. Kružnice k0 se nazývá kružnice devíti bodů anebo Feuerbachova kružnice trojúhelníka ABC (obr. 3.3.15). C

vb

ta A

A0

V

ob B1 A’

va

tc C’

B0

oa A1

T S0 S

k0

C1 C0 oc vc

Obr. 3.3.15 73

B’ tb B k


Věty o shodnosti trojúhelníků Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídající si úhly jsou shodné. Věta 3.3.9: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se a) ve všech třech stranách (věta sss); b) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus); c) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu); d) v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých (věta usu). Věty o podobnosti trojúhelníků Pojem shodnosti trojúhelníků v sobě zahrnuje stejný tvar a stejnou velikost trojúhelníků. Vypustíme-li požadavek stejné velikosti a ponecháme jen stejný tvar, hovoříme o podobných trojúhelnících. Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si úhly jsou shodné. Věta 3.3.10: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se a) v poměrech délek všech tří odpovídajících si stran (věta sss); b) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu jimi sevřeném (věta sus); c) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu); d) ve dvou úhlech (věta uu). Věty o určenosti trojúhelníka S větami o shodnosti trojúhelníků úzce souvisí tzv. věty o určenosti trojúhelníka: Věta 3.3.11: Trojúhelník je jednoznačně určen, jsou-li dány jeho určovací prvky: a) délky tří stran, pro něž platí |a − b| < c < a + b (věta sss); b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (věta sus); c) délky dvou různých stran a velikost úhlu protilehlého k delší straně (věta Ssu); d) délka strany a velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet velikostí je menší než 180◦ (věta usu).

Obecný trojúhelník Je jednoznačně charakterizován šesti základními proměnnými prvky: tři strany (a, b, c) a tři úhly (α, β, γ). Z nich jsou tři nezávisle proměnné (např. 74


sss, sus atd. — viz věty o určenosti trojúhelníka), a proto je uvedených šest základních prvků svázáno třemi nezávislými rovnicemi. Volíme např. tyto jednoduché vztahy: α + β + γ = 2R, a : b = sin α : sin β, a : c = sin α : sin γ. První rovnice je zřejmá a již jsme se o ní zmiňovali (zachycuje jednu z vět ekvivalentních s axiómem rovnoběžnosti). Zbývající dvě rovnice vyjadřují větu sinovou, tj. b c a = = = 2r, sin α sin β sin γ kde r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané. Důkaz sinové věty snadno provedeme s využitím Základní věty o obvodových úhlech — 3.2.1 (str. 68) (proveďte!). Z výše uvedených tří rovnic již můžeme odvodit všechny ostatní rovnice platící pro základní prvky trojúhelníka — jednou z nejdůležitějších je tzv. kosinová věta a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.

Pravoúhlý trojúhelník V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem γ nazýváme strany a, b odvěsny a stranu c přepona. Pata C0 výšky vc rozděluje stranu c na dvě úsečky AC0 , resp. C0 B, které nazýváme úsek přilehlý k odvěsně b, resp. a a značíme cb , resp. ca . C b

β α

a

vc β

α A

B

C0

Obr. 3.3.16 Pravoúhlý trojúhelník je jednoznačně charakterizován pěti základními proměnnými prvky: tři strany (a, b, c) a dva ostré úhly (α, β). Z nich jsou dva nezávisle proměnné, a proto lze uvedených pět základních prvků popsat třemi nezávislými rovnicemi. Dvě z nich jsou např. α + β = R, a = c · sin α. 75


Třetí rovnici si nyní odvodíme. Platí AC ⊥ BC a AB ⊥ CC0 , a proto ∠CAB = ∠BCC0 = α a ∠ACC0 = ∠ABC = β. Podle věty (uu) o podobnosti trojúhelníků platí 4ABC ∼ 4ACC0 ∼ 4CBC0 . Z poměru odpovídajících si stran (např. z podobnost trojúhelníků 4ABC a 4CBC0 plyne caa = ac apod.) odvodíme snadno tzv. Eukleidovy věty. Věta 3.3.12: (Eukleidova věta o odvěsně) (obr. 3.3.17) Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je přepona a druhá strana je shodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně (a2 = c · ca , resp. b2 = c · cb ). Věta 3.3.13: (Eukleidova věta o výšce) (obr. 3.3.18) Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou (v 2 = ca · cb ).

C C

b

b

a

cb

b a

ca

A

B

cb

v a

v ca

A ca

B

c

Obr. 3.3.18 c

Obr. 3.3.17 Z Eukleidových vět ihned vyplývá platnost tzv. Pythagorovy věty: Věta 3.3.14: (Pythagorova věta) (obr. 3.3.17) Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami. (c2 = a2 + b2 ). 76


Právě rovnici a2 + b2 = c2 lze zařadit jako třetí do systému nezávislých rovnic popisujících pravoúhlý trojúhelník. Na tomto místě je nutné zdůraznit, že při rozhodování o tom, zdali je či není daný trojúhelník pravoúhlý, nepoužíváme Pythagorovu větu, ale obrácenou Pythagorovu větu: Věta 3.3.15: (Obrácená věta k Pythagorově větě) Jestliže je obsah čtverce sestrojeného nad jednou stranou trojúhelníka roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad zbývajícími dvěma stranami (tj. platíli c2 = a2 + b2 ), potom je daný trojúhelník pravoúhlý (s přeponou c). ***** V mnoha matematických příručkách a učebnicích bychom mohli vyhledat desítky dalších vět týkajících se nejrůznějších zajímavých vztahů platících v trojúhelnících. Za všechny uveďme závěrem alespoň dvě věty, které jsou do určité míry pokračováním a upřesněním již zmíněné Paschovy věty. Jsou to věty platící v obecnější geometrii než je geometrie eukleidovská, a to v tzv. geometrii afinní, o které se ještě zmíníme. Věta 3.3.16: (Menelaova věta) Je dán trojúhelník ABC a přímka p, která neprochází žádným z bodů A, B, C a protíná přímky AB, BC, CA po řadě v bodech C 0 , A0 , B 0 (obr. 3.3.19). Potom je (ABC 0 ) · (BCA0 ) · (CAB 0 ) = 1.

C

C p

A’

B’

B’

A’

M

C’ B

C’

A

A

Obr. 3.3.19

B

Obr. 3.3.20

Věta 3.3.17: (Cevova věta) Je dán trojúhelník ABC a bod M neležící na obvodě trojúhelníka ABC. Průsečíky přímek AM , BM , CM s přímkami BC, CA, AB označme po řadě A0 , B 0 , C 0 (obr. 3.3.20). Potom je (ABC 0 ) · (BCA0 ) · (CAB 0 ) = −1.

77


3.4

Čtyřúhelník

Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení dvou trojúhelníků ACB, ACD ležících v opačných polorovinách s hraniční přímkou AC, jestliže žádné tři body A, B, C, D nejsou kolineární. Uvedená definice čtyřúhelníka připouští, že daný útvar může být i nekonvexní. Nekonvexními čtyřúhelníky se zabývat nebudeme, a proto pod názvem čtyřúhelník budeme nadále rozumět vždy jen čtyřúhelník konvexní — v opačném případě bychom nekonvexnost čtyřúhelníka zdůraznili! D

D C

C

A

A B

B Obr. 3.4.1

Obr. 3.4.2

Body A, B, C, D se nazývají vrcholy čtyřúhelníka, úsečky a = AB, b = BC, c = CD, d = DA se nazývají strany čtyřúhelníka a úsečky e = AC, f = BD nazýváme úhlopříčky. Vnitřní úhly čtyřúhelníka ABCD jsou úhly ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BCD = γ, ∠CDA = δ. Sjednocení stran tvoří tzv. obvod čtyřúhelníka, body čtyřúhelníka nenáležející obvodu jsou body vnitřku čtyřúhelníka, body nenáležející čtyřúhelníku jsou body vnějšku čtyřúhelníka. Se čtyřúhelníky (konvexními!) jsme se setkali již v kapitolách týkajících se Hilbertovy axiomatické soustavy, a proto do této kapitoly patří rovněž všechny věty eukleidovské geometrie, které již byly uvedeny (např. α+β+γ+δ = 360◦ ). Čtyřúhelníky dělíme na • rovnoběžníky (a k c ∧ b k d): – pravoúhelníky (α, β, γ, δ = R) — čtverec (a = b = c = d) (obr. 3.4.3) a obdélník (a = c 6= b = d)(obr. 3.4.4) a a

a b

a

b a

a

Obr. 3.4.3

Obr. 3.4.4 78


– kosoúhelníky (α, β, γ, δ 6= R) — kosočtverec (a = b = c = d) (obr. 3.4.5) a kosodélník (a = c 6= b = d) (obr. 3.4.6) a a a

b

a

b a

a

Obr. 3.4.5

Obr. 3.4.6

• lichoběžníky (a k c ∧ b 6k d) (obr. 3.4.7) — a, c jsou tzv. základny a b, d tzv. ramena speciálními případy jsou lichoběžník rovnoramenný (b = d) (obr. 3.4.8) a pravoúhlý (α = R) (obr. 3.4.9) c

c b

d

c b

b

b

d a

a

a

Obr. 3.4.7

Obr. 3.4.8

Obr. 3.4.9

• různoběžníky (a 6k c ∧ b 6k d) mezi ně patří např. tzv. deltoid (d = a 6= b = c) (obr. 3.4.10) b a b a

Obr. 3.4.10 Věta 3.4.1: Protější strany rovnoběžníka jsou stejně dlouhé, protější úhly shodné, součet sousedních úhlů dává úhel přímý a úhlopříčky rovnoběžníka se navzájem půlí. Věta 3.4.2: Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé. Věta 3.4.3: Úhlopříčky kosočtverce jsou navzájem kolmé. Věta 3.4.4: Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé a navzájem kolmé. 79


Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici, u čtyřúhelníků však tomu obecně tak být nemusí. Některým lze opsat kružnici (tzv. tětivové čtyřúhelníky — obdélník, rovnoramenný lichoběžník, čtverec), jiným vepsat (tzv. tečnové čtyřúhelníky — např. kosočtverec, deltoid, čtverec), většinou však nelze kružnici ani opsat ani vepsat. Čtyřúhelník, jemuž můžeme opsat i vepsat kružnici (středy mohou, ale nemusejí splývat) se nazývá dvojstředový čtyřúhelník — např. čtverec. Věta 3.4.5: Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníka je úhel přímý (α + γ = β + δ = 2R). Důkaz: (obr. 3.4.11) Podle věty o středovém a obvodovém úhlu snadno nahlédneme, že platí 2α + 2γ = 4R (viz obr.) a odtud α + γ = 2R. Dále α + β + γ + δ = 4R, a proto β + δ = 2R. Q.E.D. C γ

C z

u

2γ α A

z

D

2α

D

Tc

u

Tb y

S

Td B

x x

Ta

y

B

A

Obr. 3.4.11

Obr. 3.4.12

Věta 3.4.6: Součty velikostí obou dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníka jsou si rovny (a + c = b + d). Důkaz: (obr. 3.4.12) Snadno bychom dokázali, že délky tečen z bodu A (tj. velikosti úseček měřených od bodu A k dotykovým bodům Ta , Td ) jsou stejné ( 4ATd S ∼ = 4ATa S (Ssu) ⇒ |ATd | = |ATa |) ; obdobně i pro délky tečen z bodů B, C a D. Jestliže |ATa | = x, |BTb | = y, |CTc | = z a |DTd | = u, potom a = x + y, b = y + z, c = z + u, d = u + x a odtud a + c = x + y + z + u = b + d. Q.E.D.

3.5

Mnohoúhelník

Trojúhelník a čtyřúhelník patří mezi tzv. mnohoúhelníky nebo jiným názvem n-úhelníky. Nechť je v rovině dáno n různých bodů A1 , A2 ,. . . ,An (n ≥ 3) takových, že všechny vždy leží pouze v jedné polorovině určené hraniční přímkou spojující dva po sobě jdoucí body Ai a Ai+1 (i = 1, . . . , n a An+1 = A1 ), přičemž 80


žádné tři body nejsou kolineární. Mnohoúhelníkem (nebo n-úhelníkem) A1 A2 . . . An nazýváme průnik všech takto určených polorovin.15 Pro n = 3, resp. n = 4 obdržíme trojúhelník, resp. čtyřúhelník. Body A1 , A2 ,. . . , An se nazývají vrcholy mnohoúhelníka, úsečky A1 A2 , A2 A3 , . . . , Ai Ai+1 , . . . An−1 An , An A1 se nazývají strany mnohoúhelníka a úsečky spojující nesousední vrcholy nazýváme úhlopříčky mnohoúhelníka. Vnitřní úhly mnohoúhelníka A1 A2 . . . An jsou úhly ∠An A1 A2 , ∠A1 A2 A3 ,. . . , ∠An−1 An A1 . An-1

An

A3 A1

A2

Obr. 3.5.1 Sjednocení stran tvoří tzv. obvod mnohoúhelníka, body mnohoúhelníka nenáležející obvodu jsou body vnitřku mnohoúhelníka, body nenáležející mnohoúhelníku jsou body vnějšku mnohoúhelníka. Věta 3.5.1: Počet úhlopříček n-úhelníka je dán vztahem un =

n(n−3) . 2

Věta 3.5.2: Součet vnitřních úhlů n-úhelníka je (n − 2) · 2R. Jsou-li všechny strany i vnitřní úhly navzájem shodné, potom se daný mnohoúhelník nazývá pravidelný. Pro n = 3 dostáváme rovnostranný trojúhelník, pro n = 4 čtverec. O pravidelných mnohoúhelnících se ještě zmíníme v kapitole 5.2 věnované eukleidovským konstrukcím.

3.6

Souřadnicová soustava v rovině

K určení polohy bodu v rovině užíváme tzv. souřadnicových soustav, z nichž nejdůležitější jsou pravoúhlé souřadnicové soustavy. Při zavádění souřadnicových soustav jde o určení vzájemně jednoznačného zobrazení množiny všech bodů roviny E2 na množinu R2 = R × R (obě množiny pak často ztotožňujeme a píšeme E2 = R2 ). 15 Uvedená definice nepřipouští, že by daný útvar mohl být nekonvexní. Nekonvexní mnohoúhelník by bylo nutné definovat jiným způsobem.

81


V rovině zvolíme dvě různoběžky x, y s průsečíkem O, který nazýváme počátek souřadnicové soustavy. Přímku x (resp. y) nazveme první (resp. druhou) souřadnicovou osou. Dále zvolme dva body X ∈ x a Y ∈ y (X, Y 6= O). Počátek O dělí každou z os na dvě polopřímky. Polopřímku OX (resp. OY ) nazveme první (resp. druhou) kladnou souřadnicovou poloosou — značíme x+ (resp. y + ). Polopřímku opačnou k polopřímce OX (resp. OY ) nazveme první (resp. druhou) zápornou souřadnicovou poloosou — značíme x− (resp. y − ). Úsečku OX (resp. OY ) považujeme za jednotkovou úsečku na ose x (resp. y) a vztahujeme k ní všechny délky na dané ose. y

P2

P [x,y]

Y 0

X

P1

x

Obr. 3.6.1 Polohu libovolného bodu P roviny určíme následovně: Bodem P vedeme rovnoběžky s osami x a y a jejich průsečíky s osami x a y označíme po řadě P1 a P2 . První (neboli x-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme číslo x0 = ξ|OP1 |, přičemž ξ = 1, resp. ξ = −1, právě když bod P1 náleží první kladné, resp. záporné poloose. Druhou (neboli y-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme číslo y0 = ν|OP2 |, přičemž ν = 1, resp. ν = −1, právě když bod P2 náleží druhé kladné, resp. záporné poloose. Počátek O má souřadnice x0 = 0, y0 = 0. Bod P se souřadnicemi x0 , y0 značíme P [x0 , y0 ], popř. P = [x0 , y0 ]. y

Y

y

y

Y

Y

θ 0

X

Obr. 3.6.2

x

0

X

Obr. 3.6.3

x

0

X

x

Obr. 3.6.4

V závislosti na úhlu θ, který svírají osy x a y, a na délkách jednotkových 82


úseček OX, OY rozlišujeme následující typy souřadnicových soustav: • jestliže θ = |∠x, y| = 6 {O; x, y} (obr. 3.6.2);

π 2,

hovoříme o kosoúhlé souřadnicové soustavě

• jestliže θ = |∠x, y| = π2 , hovoříme o pravoúhlé (ortogonální) souřadnicové soustavě {O; x, y} (obr. 3.6.3); • jestliže θ = |∠x, y| = π2 a navíc |OX| = |OY |, hovoříme o kartézské (ortonormální) souřadnicové soustavě {O; x, y} (obr. 3.6.4). Je-li orientovaný úhel vymezený kladnou poloosou x+ a zápornou poloosou y + (v tomto pořadí!) kladně orientovaný, hovoříme o kladně orientované souřadnicové soustavě {O; x, y} (viz předcházející obrázky); v opačném případě hovoříme o záporně orientované souřadnicové soustavě {O; x, y}. Vzorec pro eukleidovskou vzdálenost bodů P1 [x1 , y1 ] a P2 [x2 , y2 ] v kartézské soustavě souřadnic(!) má tvar p |P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Každou přímku v rovině lze popsat pomocí tzv. obecné rovnice přímky ax + by + c = 0,

kde a, b, c ∈ R ∧ [a, b] 6= [0, 0].

Rovnice kružnice s středem S[m, n] a poloměrem r v kartézských souřadnicích(!) je (x − m)2 + (y − n)2 = r2 . Závěrem se zmíníme o souvislosti bodů eukleidovské roviny E2 s komplexními čísly. Každé komplexní číslo z ∈ C lze zapsat ve tvaru z = x + iy,

kde i2 = −1 ∧ x, y ∈ R;

Re(z) = x (resp. Im(z) = y) je tzv. reálná (resp. imaginární) složka komplexního čísla. Uvedený zápis nazýváme kartézský tvar komplexního čísla. Číslo z ∗ = x−iy je tzv. číslo komplexně sdružené s číslem z = x+iy. Dále definujeme absolutní hodnotu komplexního čísla předpisem p √ |z| = x2 + y 2 = z · z ∗ . Protože každému komplexnímu číslu z přísluší právě jedna uspořádaná dvojice [x, y] reálných čísel, lze je znázornit jako bod [x, y] v kartézské souřadnicové soustavě. Jde tedy o vzájemně jednoznačné zobrazení množiny C = R2 = R×R na množinu všech bodů eukleidovské roviny E2 s kartézskou soustavou souřadnic {O; x, y}. Při této interpretaci pak přímo ztotožňujeme komplexní čísla s 83


body roviny, které jim odpovídají. Dostáváme tak tzv. rovinu komplexních čísel (neboli komplexní rovinu, popř. Gaussovu rovinu). První souřadnicovou osu pak označujeme jako reálná osa a druhou souřadnicovou osu jako imaginární osa.

z = x+yi = |z |(cos α+ i sin α ) = |z |eiα

y |z| α

x

reálná osa

Obr. 3.6.5 Od geometrické interpretace komplexních čísel je již pouhý krok k tzv. goniometrickému tvaru. Platí x = |z| · cos α a y = |z| · sin α, kde |z| je absolutní hodnota komplexního čísla (neboli tzv. modul) a α je velikost orientovaného úhlu s počátečním ramenem Re+ (kladná reálná poloosa) a koncovým ramenem 0z (polopřímka vycházející z počátku a jdoucí obrazem komplexního čísla z) — tzv. argument komplexního čísla. Proto můžeme psát z = |z| · (cos α + i sin α). Komplexní čísla je někdy vhodné psát v tzv. exponenciálním tvaru, který je dán vztahem z = |z|eiα = |z|(cos α + i sin α).

3.7

Množiny bodů dané vlastnosti

D EFINICE 3.7.1: Množina všech bodů dané vlastnosti V je množina M všech bodů základní množiny, které splňují tyto požadavky: (i) každý bod množiny M má danou vlastnost V, (ii) každý bod základní množiny, který má danou vlastnost V, patří do množiny M . Uveďme příklady některých jednoduchých množin bodů dané vlastnosti v rovině (tj. rovina E2 je základní množinou), které se často objevují při řešení planimetrických konstrukčních úloh. 84


1. Množinou všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost r ∈ <+ , je kružnice se středem S a poloměrem r. M = {X ∈ E2 ; |SX| = r},

tj. M = k(S, r)

2. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané přímky p vzdálenost a ∈ <+ , je dvojice rovnoběžek s přímkou p, jejichž vzdálenost od přímky p je a.16 q2

a

p

a

M = {X ∈ E2 ; |X, p| = a}, tj. M = q1 ∪ q2 , kde q1 k q2 k p ∧ |q1 , p| = |q2 , p| = a

q1 Obr. 3.7.1 3. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané kružnice k(S, r) vzdálenost a ∈ <+ (0 < a < r), je dvojice kružnic soustředných s kružnicí k o poloměrech r − a a r + a.17 a

l2 l1

a S

M = {X ∈ E2 ; |X, k| = a}, tj. M = l1 ∪ l2 , kde l1 (S, r − a) ∧ l2 (S, r + a)

k

Obr. 3.7.2 4. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou různých bodů A, B stejnou vzdálenost, je osa úsečky AB. o

A

S

B

M = {X ∈ E2 ; |AX| = |BX|}, tj. M = o, kde o ⊥ AB ∧ S ∈ o (S – střed úsečky AB)

Obr. 3.7.3 5. Množinou všech bodů konvexního úhlu ∠AV B, které mají stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu AV B, je osa úhlu AV B. B V

R

o

A Obr. 3.7.4 16 tzv. 17 tzv.

M = {X ∈ ∠AV B; |X, 7→ V A| = |X, 7→ V B|}, tj. M = 7→ V R, kde R ∈ ∠AV B ∧ ∠AV R ∼ = ∠BV R

ekvidistanta přímky. ekvidistanta kružnice.

85


6. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných rovnoběžek p, q stejnou vzdálenost, je osa rovinného pásu určeného těmito rovnoběžkami. p

d d

o

M = {X ∈ E2 ; |X, p| = |X, q|}, tj. M = o, kde o k p k q ∧ |o, p| = |o, q|

q

Obr. 3.7.5

7. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných různoběžek p, q stejnou vzdálenost, je sjednocení os všech úhlů určených těmito různoběžkami. o2 p o1 q

M = {X ∈ E2 ; |X, p| = |X, q|}, tj. M = o1 ∪o2 , kde o1 ∪o2 je sjednocení os všech čtyř konvexních úhlů určených různoběžkami p, q

Obr. 3.7.6 8. Množinou vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejí dvěma různými body A, B, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB, tj. kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A a B. popř. Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod pravým úhlem, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB, tj. kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A a B.

A

S

B

M = {X ∈ E2 ; |∠AXB| = 90o }, tj. M = k(S, |AB| 2 )\{A, B}, kde S je střed úsečky AB

Obr. 3.7.7 9. Jsou dány dva různé body A, B a konvexní úhel o velikosti ϕ, který není nulový, přímý, ani plný. Množinou vrcholů X všech úhlů v rovině, jejichž ramena procházejí body A, B a pro jejichž velikost platí |∠AXB| = ϕ, je sjednocení dvou shodných oblouků kb1 , kb2 s krajními body A, B s výjimkou bodů A, B. popř. Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod úhlem o velikosti ϕ (0 < ϕ < π), je . . . 86


ϕ

k1

M = {X ∈ E2 ; |∠AXB| = ϕ}, tj. M = kb1 ∪ kb2 \ {A, B}

B

A ϕ

k2

Obr. 3.7.8 Při důkazu tvrzení Útvar U je množinou M všech bodů dané vlastnosti V je třeba ověřit rovnost dvou množin U = M . Musíme tedy dokázat: a) U ⊂ M , tzn. (∀X ∈ E2 )(X ∈ U ⇒ X ∈ M ) — každý bod patřící útvaru U má vlastnost V b) M ⊂ U , tzn. (∀X ∈ E2 )(X ∈ M ⇒ X ∈ U ) — každý bod s vlastností V patří útvaru U Implikaci b) často nahrazujeme obměněnou implikací b)∗ (∀X ∈ E2 )(X 6∈ U ⇒ X 6∈ M ) — žádný bod nepatřící útvaru U nemá vlastnost V Ukažme si provedení důkazu pro případ, kdy útvar U je osa úsečky AB a M je množina všech bodů v rovině, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost: | {z } vlastnost V

a) Dokazujeme: každý bod patřící útvaru U má vlastnost V Střed S, který náleží ose o, má samozřejmě vlastnost V. (obr. 3.7.9) Libovolný bod X ∈ o, X 6= S, spolu s body A, S a B, S určuje trojúhelníky ASX a BSX, které jsou shodné podle věty sus (AS ∼ = BS, ∠ASX = R a ∠BSX = R, SX je společná strana), a proto AX ∼ = BX, tj. |AX| = |BX|. X

Y X

A

S

B A

o

S o

Obr. 3.7.9

Obr. 3.7.10 87

B


b) Dokazujeme: žádný bod nepatřící útvaru U nemá vlastnost V Na přímce AB leží jediný bod mající od bodů A, B stejnou vzdálenost a tím je střed S, který však náleží ose. (obr. 3.7.10) Zvolme mimo přímku AB bod Y , který nenáleží ose úsečky AB. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že mezi body A, Y leží bod X ∈ o, tj. |AY | = |AX| + |XY |. Pro bod X navíc podle části a) platí |AX| = |BX|. Závěrem aplikujeme trojúhelníkovou nerovnost na trojúhelník BY X, tj. |BX| +|XY | > |BY |, | {z }

=|AX|

|

{z

=|AY |

}

a proto |AY | = 6 |BY |. Q.E.D. Množinami bodů dané vlastnosti mohou být přímky, kružnice, podmnožiny přímek a kružnic, může se dokonce jednat i množinu izolovaných bodů, resp. i o množinu prázdnou. Množin všech bodů dané vlastnosti lze užít přímo i k definování — například kružnice k(S, r) je množinou všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0. V geometrických úlohách se množiny všech bodů dané vlastnosti objevují velmi často. Jedná se především o úlohy typu: a) Určete množinu všech bodů dané vlastnosti. b) Sestrojte množinu všech bodů dané vlastnosti. V kapitole 5 se zmíníme o konstrukčních úlohách řešených metodou množin bodů dané vlastnosti. Jak uvidíme, při řešení touto metodou hledáme dvě množiny, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadované v zadání úlohy. Každý společný bod obou množin pak vede k řešení úlohy. Často je např. požadována konstrukce kružnice splňující dané podmínky. Z tohoto důvodu je vhodné zmínit se o některých množinách středů všech kružnic splňujících určitou vlastnost (s řadou těchto množin jsme se již setkali). Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěma různými body A, B je osa o úsečky AB. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou rovnoběžných přímek a, b, je osa pásu určeného těmito rovnoběžkami; poloměr % všech takovýchto kružnic je |a, b|/2. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek a, b, jsou obě osy o1 , o2 různoběžek a, b (sjednocení os všech úhlů určených těmito rovnoběžkami) s výjimkou jejich průsečíku. Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkají se dané přímky p, jsou dvě přímky q1 , q2 rovnoběžné s p, které mají od p vzdálenost %. 88


Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkají se dané kružnice k(S, r), jsou za předpokladu % 6= r dvě kružnice k 0 (S, r + %) (vnější dotyk), k 00 (S, |r − %|) (vnitřní dotyk) a za předpokladu % = r jediná kružnice k 0 . Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané přímky a v bodě A, je přímka p kolmá k přímce a, která prochází bodem A, s výjimkou bodu A. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané kružnice k(S, r) v bodě T , je přímka p =↔ ST , s výjimkou bodů S a T . Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou soustředných kružnic 2 k1 (S, r1 ), k2 (S, r2 ) (předpokládejme r1 < r2 ), jsou dvě kružnice l(S, r1 +r 2 ) (vnější dotyk s k1 a vnitřní dotyk s k2 ; poloměr % všech dotýkajících se kružnic r2 −r1 0 1 je potom r2 −r 2 ) (obr. 3.7.11) a l (S, 2 ) (vnitřní dotyk s k1 i k2 ; poloměr 0 2 % všech dotýkajících se kružnic je v tomto případě r1 +r 2 ) (obr. 3.7.12). k2

k2 k1

k1 r2 S

r1

ρ

l’

ρ

r2

r1 S

ρ’

ρ’ l

Obr. 3.7.11

Obr. 3.7.12

Příklad 3.7.1. Sestrojte kružnici, která se dotýká daných dvou soustředných kružnic k1 (S, r1 ), k2 (S, r2 ) (r1 < r2 ) a třetí kružnice k3 (S3 , r3 ). ♦ Množina středů všech kružnic, které se dotýkají soustředných kružnic k1 (S, r1 ) r2 −r1 0 2 a k2 (S, r2 ) je dvojice kružnic l(S, r1 +r 2 ) a l (S, 2 ). Zároveň víme, že kružr2 −r1 nice, jejichž středy leží na l, mají poloměr % = 2 a kružnice, jejichž středy 2 leží na l0 , mají poloměr %0 = r1 +r 2 . Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice k3 (S3 , r3 ) a mají daný poloměr % (resp. %0 ) jsou za předpokladu % 6= r3 (resp. %0 6= r3 ) dvě kružnice m1 (S3 , r3 +%), m2 (S3 , |r3 −%|) (resp. dvě kružnice m01 (S3 , r3 + %0 ), m02 (S3 , |r3 − %0 |)) a za předpokladu % = r3 (resp. %0 = r3 ) jediná kružnice m1 (resp. m01 ). Každá z kružnic m1 , m2 (existuje-li) protne kružnici l nejvýše ve dvou bodech a rovněž každá z kružnic m01 , m02 (existuje-li) protne kružnici l0 ve dvou bodech. Úloha může mít tudíž až osm řešení. 89


3.8

Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed

Mocnost bodu ke kružnici Věta 3.8.1: Nechť je dána kružnice k(S, r) a bod M , který na ní neleží. Nechť p a p0 jsou dvě libovolné sečny kružnice k, které procházejí bodem M a protínají kružnici v bodech A, B a A0 , B 0 . Potom platí |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). A’

p’

B’

p’

A’ B

M k

S

M

B

S

k

A

B’

A

p

p

Obr. 3.8.1

Obr. 3.8.2

Důkaz: (i) Uvažujme nejprve vnější bod M kružnice k(S, r) (obr. 3.8.1). Trojúhelníky M AB 0 a M A0 B jsou podobné podle věty uu (∠AM B 0 = ∠BM A0 ; ∠M AB 0 ∼ = ∠M A0 B, neboť se jedná o obvodové úhly nad týmž obloukem s krajními body B a B 0 ), a proto můžeme psát |M B 0 | |M A| = . 0 |M A | |M B| Odtud již plyne dokazovaný závěr. (ii) Nechť je nyní M vnitřní bod kružnice k(S, r) (obr. 3.8.2). Trojúhelníky M AB 0 a M A0 B jsou rovněž podobné podle věty uu (∠AM B 0 ∼ = ∠A0 M B, ne0 boť se jedná o úhly vrcholové; ∠M AB 0 ∼ ∠M A B, neboť se jedná o obvodové = úhly nad týmž obloukem s krajními body B a B 0 ), a proto můžeme psát |M A| |M B 0 | = . |M A0 | |M B| Odtud již opět vyplývá dokazovaný závěr. Q.E.D. 90


Věta 3.8.2: Nechť je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod M . Nechť p je libovolná sečna kružnice k, která prochází bodem M a protíná kružnici v bodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T . Potom platí |M A| · |M B| = |M T |2 = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). Důkaz: (obr. 3.8.3) Trojúhelníky M AT a M T B jsou podobné podle věty uu (∠AM T = ∠BM T ; ∠M AT ∼ = ∠M T B, neboť se jedná o obvodový a úsekový úhel příslušné k témuž oblouku s krajními body B a T ), a proto můžeme psát |M T | |M A| = . |M T | |M B| Odtud již plyne dokazovaný závěr. Q.E.D. t

T k

r

d

M

S

k

B

d

B

M r-d

r+d

S A p

p

A

Obr. 3.8.3

Obr. 3.8.4

Věta 3.8.3: Jestliže označíme |M S| = d, potom pro vnější bod M kružnice k(S, r) platí |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = . . . = |M T |2 = d2 − r2 a pro vnitřní bod M kružnice k(S, r) platí |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = . . . = r2 − d2 .

Důkaz: Je-li bod M vnější (obr. 3.8.3), potom platí |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 |= . . . = |M T |2 . Vzhledem k tomu, že 4M ST je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu T , potom podle Pythagorovy věty můžeme psát |M T |2 = |M S|2 − |ST |2 = d2 − r2 . Je-li bod M vnitřní (obr. 3.8.4), potom vedeme sečnu p středem S. Potom |M A| = r + d, |M B| = r − d a odtud |M A| · |M B| = |M A0 | · |M B 0 | = . . . = (r + d) · (r − d) = r2 − d2 . Q.E.D. 91


D EFINICE 3.8.1: Nechť je dán bod M a kružnice k(S, r). Označme vzdálenost |M S| = d. Mocností bodu M ke kružnici k(S, r) (značíme µM k ) rozumíme číslo 2 2 µM k =d −r . Důsledek 3.8.1. M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µM k = 2 2 d2 −r2 > 0. M je vnitřní bod kružnice k (tj. d < r), potom µM = d −r < 0. k 2 2 M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom µM = d − r = 0. k Chordála dvou nesoustředných kružnic Příklad 3.8.1. Určete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma zadaným nesoustředným kružnicím k1 , k2 . ♦ Jsou dány kružnice k1 (S1 , r1 ) k2 (S2 , r2 ) (S1 6= S2 ). Chceme určit množinu X M = {X ∈ E2 ; µX k1 = µk2 }.

y

X [x0,y0] k2

k1 S1

S2

x

Obr. 3.8.5 Pro určení uvedené množiny použijeme analytickou metodu souřadnic. Za kladnou poloosu x+ zvolíme polopřímku S1 S2 . Potom je S1 [0, 0], S2 [s, 0] (s 6= 0) a libovolný bod X množiny M nechť má souřadnice [x0 , y0 ]. Pro tento bod platí X µX k1 = µk2 , tj. podle definice mocnosti (d2 − r2 ) |XS1 |2 − r12 = |XS2 |2 − r22 . Použitím vzorce pro eukleidovskou vzdálenost můžeme psát x20 + y02 − r12 = (x0 − s)2 + y02 − r22 92


a po úpravě dostáváme x0 =

s2 + r12 − r22 . 2s

Bod X[x0 , y0 ] tudíž leží na přímce rovnoběžné s osou y o rovnici x =

s2 +r12 −r22 . 2s

Pouhým obrácením postupu bychom snadno ověřili (Proveďte!), že pro každý s2 +r12 −r22 X platí µX bod X přímky o rovnici x = k1 = µk2 . 2s Závěr: Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicím k1 (S1 , r1 ) a k2 (S2 , r2 ) (|S1 S2 | = s 6= 0) je přímka c kolmá na přímku ↔ S1 S2 , s2 +r12 −r22 jejíž patou je bod P ∈7→ S1 S2 , pro který platí |S1 P | = . 2s D EFINICE 3.8.2: Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majících stejnou mocnost k nesoustředným kružnicím k1 a k2 , se nazývá chordála kružnic k1 , k2 . Příklad 3.8.2. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1 , k2 . ♦ a) k1 , k2 se protínají v bodech A, B. Platí A ∈ k1 ⇒ µA k1 = 0 a A ∈ k2 ⇒ A µk2 = 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B ∈ c, tj. c =↔ AB (obr. 3.8.6). b) k1 , k2 se dotýkají v bodě T . Platí T ∈ k1 ⇒ µTk1 = 0 a T ∈ k2 ⇒ µTk2 = 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c ⊥↔ S1 S2 (obr. 3.8.7). c) k1 ∩ k2 = ∅ — viz dále (potenční střed) c

c

A

k1 S1

k1

k2

S2

k2

S1

T

S2

B

Obr. 3.8.6

Obr. 3.8.7

Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic Příklad 3.8.3. Jsou dány kružnice k1 (S1 , r1 ), k2 (S2 , r2 ), k3 (S3 , r3 ) (S1 6= S2 6= S3 6= S1 ). Vyšetřete, zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnost ke všem kružnicím. ♦

93


a) S1 , S2 , S3 — kolineární. Potom chordály ch12 , ch23 , ch31 jsou navzájem rovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou (nekonečně mnoho hledaných bodů) (obr. 3.8.9), anebo žádné dvě spolu nesplynou (ani jeden bod vyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.8). ch12=ch13=ch23

ch23

ch13

ch12 k2

k1 k3

k1

k2

S2 S3

S1

k3

Obr. 3.8.8

S3

T

S1 S2

Obr. 3.8.9

b) S1 , S2 , S3 — nekolineární. Potom se chordály ch12 , ch23 , ch31 protínají v jednom bodě (jediný bod vyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.10). ch12

ch12

k2 k1

S2

k2

k1 S1 S1

P

ch23

P

S2 ch23

S3 ch13 Obr. 3.8.10

k3

ch13

k3

Obr. 3.8.11

D EFINICE 3.8.3: Bod P , který má stejnou mocnost ke kružnicím k1 , k2 , k3 se nazývá potenční střed kružnic k1 , k2 , k3 . Příklad 3.8.4. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1 , k2 bez společného bodu. ♦ (obr. 3.8.11) Sestrojíme libovolnou pomocnou kružnici k3 (S3 , r3 ) tak, že její

střed S3 neleží na středné S1 S2 , přičemž k3 protíná k1 i k2 . Chordála ch13 kružnic k1 , k3 protíná chordálu ch23 kružnic k2 , k3 ve společném potenčním středu P kružnic k1 , k2 , k3 . Kolmice z bodu P na přímku S1 S2 je hledaná chordála kružnic k1 , k2 . 94


3.9

Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina

Vlastnost býti incidentní v Eukleidově rovině E vykazuje nedostatek symetrie — zatímco každé dva body incidují s jednou přímkou, neplatí, že každé dvě přímky (speciálně dvě různé rovnoběžky) incidují s jedním bodem! Naše další úvahy jsou tudíž vedeny snahou odstranit tuto nejednotnost, a to přidáním speciálních „bodů v nekonečnuÿ. D EFINICE 3.9.1: Nevlastní přímkou nazýváme množinu p∞ = {s; s je směr v rovině E}; ostatní přímky roviny E označujeme jako vlastní. Prvky množiny p∞ (tj. směry) nazýváme nevlastní body (značíme A∞ , B∞ , P∞ apod.); ostatní body roviny E označujeme jako vlastní. Rozšířená eukleidovská rovina E se skládá z roviny E a všech nevlastních bodů. E2 b2 a1 a2 a3 b1 c1 C c2

p B

A

Obr. 3.9.1 V rozšířené rovině platí pro vlastní útvary (vlastní body a vlastní přímky) všechny dříve uvedené axiómy a věty. Ovšem pro nevlastní útvary předpokládáme platnost následující jednoduché věty. Vlastní přímka prochází svým nevlastním bodem, který je asociován s jejím směrem. Všimněme si nyní podrobněji incidence v rovině E: Věta 3.9.1: Každé dva různé body určují jedinou přímku. Důkaz: Mohou nastat tři případy: • A, B – oba vlastní. Potom tyto body podle axiómu [I-1] určují jedinou vlastní přímku p v rovině E, tj. i v E; • A – vlastní, B∞ – nevlastní. Potom podle axiómu [R] existuje jediná vlastní přímka p v rovině E, tj. i v E procházející bodem A a náležející směru b určeném bodem B∞ ; • A∞ , B∞ – oba nevlastní. Potom tyto body určují jedinou nevlastní přímku p∞ v rovině E. Q.E.D. 95


Věta 3.9.2: Každé dvě různé přímky určují jediný bod. Důkaz: Opět mohou nastat tři případy: • p, q – obě vlastní a současně p 6k q. Potom se tyto přímky protínají v jediném vlastním bodě P v rovině E, tj. i v E; • p, q – obě vlastní a současně p k q. Potom tyto přímky náležejí témuž směru v rovině E a protínají se v jediném nevlastním bodě P∞ v rovině E; • p – vlastní, q∞ – nevlastní. Potom přímka p má v rovině E jediný nevlastní bod P∞ , který současně náleží q∞ . Q.E.D. Přirozená představa nevlastních bodů jako „bodů v nekonečnuÿ umožňuje rozšířit pojem dělicího poměru: d+x = 1, x→∞ x

(ABC∞ ) = lim

x = 1). x→∞ d + x

(resp. lim

Dělicí poměr nevlastního bodu přímky p vzhledem k libovolným dvěma základním bodům A 6= B této přímky je roven 1 (tj. (ABC∞ ) = 1). Předcházející přístup k dělicímu poměru samozřejmě umožňuje i obecnější chápání dvojpoměru čtyř bodů, např. (ABCD∞ ) =

(ABC) = (ABC). (ABD∞ ) | {z } =1

Neboť dělicí poměr středu úsečky vzhledem k jejím krajním bodům je roven −1, snadno nahlédneme, že střed úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlastním bodem přímky určené body A, B vzhledem k bodům A, B.18 V kapitole 4.10 věnované kruhové inverzi se seznámíme s jiným rozšířením eukleidovské roviny, kde na rozdíl od roviny E (přímka nevlastních bodů) vystačíme jen s jedním(!) nevlastním bodem.

18 Tvrzení, že střed S úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlastním bodem P ∞ přímky AB vzhledem k bodům A, B, můžeme jinak formulovat ve tvaru: body A, B, S, P∞ tvoří harmonickou čtveřici.

96

4. Základní geometrická zobrazení v rovině

4 4.1

Základní geometrická zobrazení v rovině Úvodní pojmy

Je-li dán předpis, který každému bodu roviny (tzv. vzoru) přiřazuje jediný bod téže roviny (tzv. obraz), potom říkáme, že v rovině je dáno geometrické zobrazení (popř. geometrická transformace, korespondence, příbuznost). Pro označení geometrických zobrazení budeme používat velká písmena latinské abecedy (Z, S, P, A apod.), popř. velká písmena opatřená indexy (Z1 , Z2 , S1 apod.) Skutečnost, že v zobrazení Z je bodu A přiřazen bod A0 můžeme popsat několika způsoby Z : A → A0 ,

Z(A) = A0 ,

popř. [A, A0 ] ∈ Z.

Mezi zobrazeními sehrávají významnou roli ta zobrazení, v nichž jsou každým dvěma různým vzorům přiřazeny dva různé obrazy. Taková zobrazení se nazývají prostá zobrazení. Obrazem útvaru U (jako množiny bodů) rozumíme množinu U 0 obrazů všech bodů útvaru U. Navzájem přiřazeným útvarům (ale i bodům) říkáme odpovídajíci si (sdružené, korespondující) útvary (body). Bod A nazýváme samodružný bod zobrazení Z, jestliže platí Z(A) = A. Zobrazení, v němž jsou všechny body samodružné, se nazývá identita, značíme I. Útvar U nazýváme samodružný útvar v zobrazení Z, právě když Z : U → U 0 = U. Rovněž říkáme, že útvar U se v zobrazení Z reprodukuje. Zdůrazněme jen, že samodružný útvar nemusí být útvarem samodružných bodů. Vztahy, které se při daném zobrazení nemění (např. velikosti úseček, velikosti úhlů, smysl obíhání vrcholů trojúhelníka apod.) se nazývají invariantní (tj. neměnné); zkráceně invarianty. Složením zobrazení Z1 a Z2 (značíme Z1 ◦ Z2 ) rozumíme zobrazení Z dané předpisem Z(A) = A00 ⇐⇒ (∃A0 )[ Z1 (A) = A0 ∧ Z2 (A0 ) = A00 ]. Danou operaci nazýváme skládání zobrazení (obr. 4.1.1). Všimněte si pořadí, ve kterém se skládání zobrazení provádí: Z(A) = (Z1 ◦ Z2 )(A) = Z2 [Z1 (A)] 97


A’

Z1

Z1oZ2

Z2

A

A’’

Z3

Z2

Z1 A’

A’’’

A’’

A Z1oZ2

Z 2o Z 3

Obr. 4.1.1

Obr. 4.1.2

Věta 4.1.1: Skládání geometrických zobrazení je asociativní (obr. 4.1.2), tj. (∀Z1 , Z2 , Z3 )[ (Z1 ◦ Z2 ) ◦ Z3 = Z1 ◦ (Z2 ◦ Z3 ) ].

Věta 4.1.2: Skládání geometrických zobrazení není obecně komutativní. Ke každému prostému zobrazení Z můžeme sestrojit tzv. inverzní zobrazení, značíme Z −1 , které je dáno vztahem Z ◦ Z −1 = Z −1 ◦ Z = I. Je zřejmé, že Z −1 (B) = A, právě když Z(A) = B. Bod, který je v zobrazení Z vzorem, se stává v zobrazení Z −1 obrazem a naopak. Z

B

A Z -1

Obr. 4.1.3 Zobrazení Z, které není identitou, nazýváme involutorní zobrazení (involuce), právě když platí Z 2 = Z ◦ Z = I, tj. involutorní zobrazení je inverzní samo k sobě ; Z −1 = Z.

4.2

Identita

D EFINICE 4.2.1: Identitou v rovině nazýváme zobrazení, které každému bodu X přiřazuje týž bod X. Všechny body a obecně všechny útvary v rovině jsou pak samodružné. Každý vztah je invariantem. 98


4.3

Osová souměrnost

D EFINICE 4.3.1: Geometrické zobrazení v rovině, které každému bodu A ∈ o, kde o je pevně zvolená přímka, přiřazuje týž bod A a každému bodu X 6∈ o přiřazuje bod X 0 tak, že přímka o je osou úsečky XX 0 , se nazývá osová souměrnost (souměrnost podle osy). Přímka o se nazývá osa souměrnosti. Značíme O(o) (popř. Oo ). Osová souměrnost je určena osou nebo jednou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů. k’=k m’ X’ Y’ p’ Z’ A’=A o Z

m

Y

X

p

Obr. 4.3.1

Základní vlastnosti osové souměrnosti jsou: • Odpovídající si body X, X 0 leží na kolmici k ose souměrnosti. • Přímce odpovídá přímka. Jestliže je přímka různoběžná s osou, má s odpovídající přímkou společný bod na ose; jestliže je rovnoběžná s osou, potom rovněž odpovídající přímka je rovnoběžná s osou. • Každý bod osy je samodružný; jiné samodružné body neexistují. • Všechny samodružné přímky jsou osa souměrnosti (přímka samodružných bodů) a přímky kolmé k ose. Věta 4.3.1: Osová souměrnost je involutorní zobrazení. Věta 4.3.2: Invarianty v osové souměrnosti jsou velikost úsečky a velikost úhlu.19 Věta 4.3.3: Osová souměrnost převádí každý orientovaný úhel v úhel nesouhlasně orientovaný. D EFINICE 4.3.2: Útvar U je souměrný podle osy o, právě když je samodružný v osové souměrnosti podle osy o; tj. když platí O(o) : U → U 0 = U. 19 Takovéto

transformace nazýváme shodná zobrazení — podrobněji viz kap. 6.3.

99


4.4

Středová souměrnost

D EFINICE 4.4.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu S přiřazuje týž bod S a každému bodu X 6= S bod X 0 tak, že bod S je středem úsečky XX 0 , se nazývá středová souměrnost (souměrnost podle středu). Bod S se nazývá střed souměrnosti. Značíme S(S) (popř. SS ). Středová souměrnost je určena středem nebo jednou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů. X’

Z

m=m’

Y’

Y S X

Z’ p’

p

Obr. 4.4.1 Základní vlastnosti středové souměrnosti jsou: • Odpovídající si body X, X 0 leží na přímce procházející středem souměrnosti. • Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná. • Existuje jediný samodružný bod — střed souměrnosti. • Každá přímka procházející středem souměrnosti je samodružná; jiné samodružné přímky neexistují. Věta 4.4.1: Středová souměrnost je involutorní zobrazení. Věta 4.4.2: Invarianty ve středové souměrnosti jsou velikost úsečky a velikost úhlu. Věta 4.4.3: Středová souměrnost převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně orientovaný. Věta 4.4.4: Složením dvou osových souměrností s osami na sebe kolmými je středová souměrnost, jejímž středem je průsečík obou kolmých os. Důkaz: Buďte O1 , O2 osové souměrnosti s kolmými osami o1 , o2 . Je zřejmé, že průsečík S přímek o1 , o2 je jediným samodružným bodem složeného zobrazení 100


Z. Libovolný bod X 6= S přejde v osové souměrnosti O1 do bodu X ∗ a bod X ∗ přejde v osové souměrnosti O2 do bodu X 0 (tj. Z = O1 ◦O2 : X → X 0 ). Je zřejmě |SX| = |SX ∗ | = |SX 0 |. Dále |∠SX, o1 | = |∠o1 , SX ∗ | a |∠SX ∗ , o2 | = |∠o2 , SX 0 |, tj. |∠XSX 0 | = (|∠SX, o1 | + |∠o1 , SX ∗ |) + (|∠SX ∗ , o2 | + |∠o2 , SX 0 |) = = 2|∠o1 , SX ∗ | + 2|∠SX ∗ , o2 | = 2|∠o1 , o2 | = 2 · 90◦ = 180◦ . Body X, X 0 , S jsou tedy kolineární a navíc S je středem úsečky XX 0 , tj. Z = S(S). Q.E.D. o2

X*

X’

o1

S X

Obr. 4.4.2 K výše uvedené větě platí i věta obrácená. Věta 4.4.5: Každou středovou souměrnost lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osy jsou kolmé různoběžky procházející středem souměrnosti. Za jednu osu lze volit libovolnou přímku procházející středem souměrnosti, druhá osa je pak určena jednoznačně. Důkaz: Nechť S je střed souměrnosti S, A je libovolný bod různý od S a A0 je jeho obraz. Zvolíme o1 = AA0 ; potom O1 : A → A. Dále zvolíme o2 – osa úsečky AA0 ; potom O2 : A → A0 . V zobrazení O1 ◦ O2 (o1 ⊥ o2 ), které je podle předcházející věty středovou souměrností, přechází bod A do bodu A0 . Dvojice A, A0 byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně. Osa o2 je již evidentně volena jednoznačně. Q.E.D. D EFINICE 4.4.2: Útvar U je souměrný podle středu S, právě když je samodružný ve středové souměrnosti podle středu S; tj. S(S) : U → U 0 = U. Věta 4.4.6: Má-li útvar dvě osy souměrnosti, které jsou k době kolmé, pak je středově souměrný podle jejich průsečíku. Neplatí však věta obrácená! Připomeňme např. kosodélník, který je středově souměrný, nikoliv ale osově souměrný. 101


4.5

Posunutí (translace)

D EFINICE 4.5.1: Geometrické zobrazení v rovině, které každému bodu X přiřazuje bod X 0 6= X tak, že pro každou další dvojici odpovídajících si bodů Y , Y 0 platí, že úsečky XY 0 a Y X 0 mají společný střed, se nazývá posunutí (translace). Směr, který je určen odpovídajícími body XX 0 se nazývá směr posunutí, velikost úsečky XX 0 velikost posunutí a pořadí bodů X, X 0 smysl posunutí. Značíme T (XX 0 ) (popř. T (X → X 0 ) nebo TXX 0 ). Posunutí je určeno směrem, velikostí a smyslem nebo jednou uspořádanou dvojicí odpovídajících si bodů. Z’ Z Y’ m=m’

Y

X’ X

p’

p

Obr. 4.5.1 Základní vlastnosti posunutí jsou: • Všechny přímky XX 0 , Y Y 0 , ZZ 0 ,. . . jsou navzájem rovnoběžné, všechny úsečky XX 0 , Y Y 0 , ZZ 0 ,. . . jsou navzájem shodné. • Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná. • Neexistuje žádný samodružný bod. • Všechny samodružné přímky jsou právě přímky náležející směru posunutí. Věta 4.5.1: Inverzním zobrazením k translaci T (X → X 0 ) je translace T (X 0 → X), tj. translace o stejném směru, stejné velikosti, ale opačném smyslu. Věta 4.5.2: Invarianty v translaci jsou velikost úsečky a velikost úhlu. Věta 4.5.3: Translace převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně orientovaný. Věta 4.5.4: Složením dvou osových souměrností s rovnoběžnými osami vzniká translace. Velikost translace je rovna dvojnásobku vzdálenosti os a směr 102


translace je kolmý na osy obou souměrností. Smysl translace je jednoznačně určen pořadím os. Důkaz: Buďte O1 , O2 osové souměrnosti s rovnoběžnými osami o1 , o2 . Libovolný bod X přejde v osové souměrnosti O1 do bodu X ∗ a bod X ∗ přejde v osové souměrnosti O2 do bodu X 0 (tj. Z = O1 ◦ O2 : X → X 0 ). Z vlastností osové souměrnosti plyne, že přímka XX 0 je kolmá na osy souměrnosti o1 , o2 . Dále |X, o1 | = |o1 , X ∗ | a |X ∗ , o2 | = |o2 , X 0 |, tj. |XX 0 | = (|X, o1 | + |o1 , X ∗ |) + (|X ∗ , o2 | + |o2 , X 0 |) = = 2|o1 , X ∗ | + 2|X ∗ , o2 | = 2|o1 , o2 |. Všechny přímky XX 0 jsou navzájem rovnoběžné (neboť všechny jsou kolmé na o1 k o2 ) a navíc všechny úsečky XX 0 jsou navzájem shodné, tj. Z = T (XX 0 ) (při postupu záleží na pořadí os, který udává smysl translace). Q.E.D. X’

d

2d

o2

X* o1 X

Obr. 4.5.2 K výše uvedené větě platí i věta obrácená. Věta 4.5.5: Každou translaci lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osy jsou rovnoběžné. Za jednu osu lze volit libovolnou přímku kolmou k přímkám směru translace, druhá osa je pak určena jednoznačně. Důkaz: Translace T je určena jednou uspořádanou dvojicí odpovídajících si bodů A, A0 . Zvolíme o1 ⊥ AA0 ∧ A ∈ o1 ; potom O1 : A → A. Dále zvolíme o2 – osa úsečky AA0 (tj. o2 k o1 ); potom O2 : A → A0 . V zobrazení O1 ◦ O2 , které je podle předcházející věty translací, přechází bod A do bodu A0 . Dvojice A, A0 byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně. Osa o2 je již evidentně volena jednoznačně. Q.E.D.

4.6

Otočení (rotace)

D EFINICE 4.6.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu S přiřazuje týž bod S a každému bodu X 6= S bod X 0 tak, že XS ∼ = X 0S a 103


∠X 0 SX = ϕ, kde ϕ je daný orientovaný úhel, se nazývá otočení (rotace) kolem bodu S o orientovaný úhel ϕ. Bod S se nazývá střed otočení, úhel ϕ se nazývá úhel otočení a orientace úhlu ϕ udává smysl otočení. Značíme R(S, ϕ) (popř. RS,ϕ ). Otočení je určeno středem otočení S a orientovaným úhlem otočení ϕ nebo (nikoliv však jednoznačně — jen modulo 2kπ) středem S a jednou uspořádanou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů X, X 0 , které leží na téže kružnici se středem S. Otočení o úhel ϕ = (2k+1)π (k celé číslo), tj. o lichý násobek 180◦ , je středová souměrnost; otočení o úhel ϕ = 2kπ (k celé číslo), tj. o sudý násobek 180◦ , je identita.

p’

Z’

p

m’ Y’

ϕ Z

X’ ϕ S

X m

ϕ

Y

Obr. 4.6.1 Základní vlastnosti otočení jsou: • Odpovídající si body X 6= S, X 0 leží na kružnici se středem S a poloměrem SX, přičemž orientovaný úhel XSX 0 je konstatní a rovná se úhlu otočení. • Přímce odpovídá přímka; obě jsou stejně vzdáleny od středu otočení a svírají úhel rovný úhlu otočení. • Neidentické otočení (ϕ 6= 2kπ) má jediný samodružný bod, a to střed otočení. • Samodružné přímky existují pouze v případě ϕ = kπ. Pro k sudé (identita!) jsou všechny přímky samodružné; pro k liché (středová souměrnost!) jsou samodružné právě všechny přímky procházející středem otočení. 104


Věta 4.6.1: Inverzním zobrazením k rotaci R(S, ϕ) je rotace R(S, −ϕ), tj. rotace se stejným středem, úhlem, ale opačným smyslem. Věta 4.6.2: Invarianty v rotaci jsou velikost úsečky a velikost úhlu. Věta 4.6.3: Rotace převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně orientovaný. Věta 4.6.4: Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami je rotace, jejímž středem je průsečík obou různoběžných os. Velikost úhlu otočení je rovna dvojnásobku velikosti ostrého nebo pravého úhlu, který svírají osy obou osových souměrností, smysl otáčení je dán pořadím os. Důkaz: Buďte O1 , O2 osové souměrnosti s různoběžnými osami o1 , o2 . Je zřejmé, že průsečík S přímek o1 , o2 je jediným samodružným bodem složeného zobrazení Z. Libovolný bod X 6= S přejde v osové souměrnosti O1 do bodu X ∗ a bod X ∗ přejde v osové souměrnosti O2 do bodu X 0 (tj. Z = O1 ◦ O2 : X → X 0 ). Je zřejmě |SX| = |SX ∗ | = |SX 0 |. Dále |∠SX, o1 | = |∠o1 , SX ∗ | a |∠SX ∗ , o2 | = |∠o2 , SX 0 |, tj. |∠XSX 0 | = (|∠SX, o1 | + |∠o1 , SX ∗ |) + (|∠SX ∗ , o2 | + |∠o2 , SX 0 |) = = 2|∠o1 , SX ∗ | + 2|∠SX ∗ , o2 | = 2|∠o1 , o2 |. Odpovídající si body X 6= S, X 0 leží na kružnici se středem S a poloměrem SX, přičemž orientovaný úhel XSX 0 je konstatní a rovná se dvojnásobku orientovaného úhlu ϕ určeného přímkami o1 , o2 , tj. Z = R(S, 2ϕ) (při postupu záleží na pořadí os, který udává smysl rotace). Q.E.D. o2

X’ X* 2ϕ ϕ

o1

S X

Obr. 4.6.2 K výše uvedené větě platí i věta obrácená. Věta 4.6.5: Každou rotaci lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osy jsou různoběžky procházející středem souměrnosti. Za jednu osu lze volit libovolnou přímku procházející středem souměrnosti, druhá osa je pak určena jednoznačně. 105


Důkaz: Rotace R je určena středem S a jednou uspořádanou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů A, A0 , které leží na téže kružnici se středem S. Zvolíme o1 = SA; potom O1 : S → S, A → A. Dále zvolíme o2 – osa úhlu ASA0 ; potom O2 : S → S, A → A0 . V zobrazení O1 ◦ O2 , které je podle předcházející věty rotací, přechází bod A do bodu A0 . Dvojice A, A0 byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně. Osa o2 je již evidentně volena jednoznačně. Q.E.D.

4.7

Stejnolehlost (homotetie)

D EFINICE 4.7.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu S přiřazuje týž bod S a každému bodu X 6= S bod X 0 tak, že platí (X 0 XS) = κ, kde κ 6= 0, 1 je pevně zvolené reálné číslo, se nazývá stejnolehlost (homotetie). Bod S se nazývá střed stejnolehlosti, číslo κ koeficient stejnolehlosti. Značíme H(S, κ) (popř. HS,κ ). Stejnolehlost je určena středem S a koeficientem κ nebo středem S a jednou uspořádanou dvojicí odpovídajících si bodů X, X 0 (X, X 0 6= S), které leží na přímce procházející bodem S. Stejnolehlost s koeficientem κ = −1 je středová souměrnost. Z’

κ>0

p

κ<0

X’

Z

m=m’

p’

Z Y’

Y S m=m’

Y’

Y S

X X p

X’

Obr. 4.7.2

Obr. 4.7.1

Z’ p’

Základní vlastnosti stejnolehlosti jsou: • Odpovídající si body X, X 0 leží na přímce procházející středem stejnolehlosti. pro jejich vzdálenosti od středu stejnolehlosti S platí |SX 0 | = |κ| · |SX|. Je-li κ > 0, potom body X, X 0 leží na téže polopřímce 7→ SX; je-li κ < 0, potom body X, X 0 leží na opačných polopřímkách s počátečním bodem S. 106


• Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná. • Existuje jediný samodružný bod — střed stejnolehlosti. • Každá přímka procházející středem stejnolehlosti je samodružná; jiné samodružné přímky neexistují. Věta 4.7.1: Inverzním zobrazením ke stejnolehlosti H(S, κ) je stejnolehlost H(S, κ1 ), tj. stejnolehlost se stejným středem, ale převráceným koeficientem. Věta 4.7.2: Úsečce odpovídá úsečka, jejíž délka je rovna délce dané úsečky násobené číslem |κ|. Velikost úhlu je invariantem stejnolehlosti.20 Věta 4.7.3: Stejnolehlost převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně orientovaný. Stejnolehlost dvou kružnic Věta 4.7.4: Obrazem kružnice k(O, r) ve stejnolehlosti H(S, κ) je kružnice k 0 (O0 , |κ|r). Důkaz: Popišme kružnici k(O, r) množinově, tj. k = {X ∈ E2 ; |OX| = r}. Ve stejnolehlosti H(S, κ) přejde množina k na množinu k 0 danou předpisem k 0 = {X 0 ∈ E2 ; |O0 X 0 | = |κ| · |OX| = |κ|r = r0 }. Jak vidíme, k 0 je množina všech bodů v rovině, které mají od pevného bodu O0 stejnou vzdálenost r0 = |κ|r — jde o kružnici. Q.E.D. Příklad 4.7.1. Jsou dány dvě kružnice k1 (O1 , r1 ), k2 (O2 , r2 ) (r1 6= r2 ), které leží vně sebe. Zjistěte, zdali existuje stejnolehlost, která převádí kružnici k1 do kružnice k2 . ♦ Označme střed hledané stejnolehlosti S a koeficient κ. Podle předcházející věty musí platit r2 = |κ| · r1 ,

tj. |κ| =

r2 . r1

Jestliže tedy existuje hledaná stejnolehlost H(S, κ), potom zřejmě platí κ=

r2 , r1

anebo

κ=−

r2 . r1

Nyní hledejme podmínky pro střed S. S ∈↔ O1 O2 ; přičemž z definice stejnolehlosti (resp. z definice dělicího poměru) 20 Takovéto

transformace nazýváme podobná zobrazení — podrobněji viz kap. 6.4.

107


plyne, že pro κ = rr21 > 0 bod S neleží mezi body O1 , O2 ; kdežto pro κ = r2 r1 < 0 bod S leží mezi body O1 , O2 . První střed stejnolehlosti označme E, druhý I. Existují tudíž dvě stejnolehlosti H(E,

r2 ) r1

a H(I, −

r2 ). r1

Bod E nazýváme vnější střed stejnolehlosti kružnic k1 , k2 ; bod I vnitřní střed stejnolehlosti kružnic k1 , k2 .

p k1 E

k2

X2

p’

X1

O1

O2

I

X’2

Obr. 4.7.3 Zbývá jen určit, jak vnější střed E, resp. vnitřní střed I sestrojíme. Na kružnici k1 zvolme bod X1 . Ve stejnolehlosti H, která převádí k1 na k2 , je obrazem přímky p = O1 X1 rovnoběžka p0 procházející středem O2 . Obraz X2 bodu X1 leží jednak na kružnici k2 , jednak na přímce p0 . Průsečíky p0 ∩ k2 jsou dva — označme je X2 , X20 (volíme tak, že X1 , X2 leží v téže polorovině s hraniční přímkou ↔ O1 O2 ). Průsečík přímky ↔ O1 O2 s přímkou ↔ X1 X2 (resp. ↔ X1 X20 ) je bod E (resp. I). Věta 4.7.5: Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Důkaz: V předcházejícím příkladu jsme ukázali, že věta platí pro dvě kružnice s různými poloměry ležící vně sebe. Dokonce jsme nalezli dvě stejnolehlosti! Jak uvidíme dvě stejnolehlosti nemusejí existovat vždy. Uvažujme kružnice k1 (O1 , r1 ), k2 (O2 , r2 ). Pro každý z následujících případů se podaří najít alespoň jednu stejnolehlost (jestliže r1 6= r2 nalezneme vždy právě dvě stejnolehlosti H(E, rr12 ) a H(I, − rr21 ); jestliže r1 = r2 nalezneme pouze jednu, a to H(I, − rr21 ) = H(I, −1), tj. středovou souměrnost S(I)). 108


1. O1 6= O2 (a) r1 6= r2 — vně sebe (viz obrázek u předcházejícího příkladu), vnější dotyk, protínající se, vnitřní dotyk, jedna uvnitř druhé (obr. 4.7.4)

k2

k1 O1 T=I

E

O2

k1 T=E

O1 I

E

k1

k2

O2

k2

E I O1 O2

I O1

k2

k1

O2

(b) r1 = r2 — vně sebe, vnější dotyk, protínající se (obr. 4.7.5)

k2

k1 k1 O1

k1

k2

I

O2

I

k2

O2

O1

O1

O2

T=I

2. O1 = O2 (obr. 4.7.6) (a) r1 6= r2 — soustředné kružnice k2

k1

(b) r1 = r2 — totožné kružnice k1=k2

X2

X1

X1 O1=O2=I

O1=O2= =I=E X’2

X’2

109


Z předcházejících obrázků ihned nahlédneme, že platí: Věta 4.7.6: Dotýkají-li se dvě kružnice, potom bod dotyku je jedním ze středů stejnolehlosti (v případě vnějšího dotyku vnitřním středem, v případě vnitřního dotyku vnějším středem). Středy stejnolehlosti lze úspěšně využít při konstrukci společných tečen dvou kružnic, neboť platí věty Věta 4.7.7: Jsou-li dány 2 nesoustředné kružnice k, k (O 6= O0 ) a přímka t, která je tečnou kružnice k a současně prochází jedním ze středů stejnolehlosti, potom je přímka t i tečnou kružnice k 0 . Věta 4.7.8: Společná tečna 2 nesoustředných kružnic k(O, r), k(O0 , r0 ) prochází některým ze středů stejnolehlosti kružnic k, k 0 nebo je rovnoběžná s přímkou OO0 . T’1 t1 t3 T’4

T1

k’

T3

k O

E

I

O’

T4 T’3 t4

T’2

t2

Obr. 4.7.7 Leží-li vnější (popř. vnitřní) střed stejnolehlosti vně, resp. na, resp. uvnitř kružnice k (a tím i k 0 ) lze jím vést dvě tečny, resp. jednu tečnu, resp. žádnou tečnu. Celkový počet tečen tak může být 4, 3, 2, 1 nebo 0 — specifikujte na základě obrázků u důkazu předcházející věty.

4.8

Osová afinita

D EFINICE 4.8.1: Geometrické zobrazení v rovině, pro něž platí, že zobrazuje přímku na přímku, bod a jeho obraz leží na přímce daného směru s a body odpovídající samy sobě leží na dané přímce o, se nazývá osová afinita. Směr v rovině s se nazývá směr afinity, přímka o se nazývá osa afinity. Osová afinita je určena osou a jednou uspořádanou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů. Přímka procházející danými dvěma body A, A0 určuje směr afinity. 110


q

n=n’

p

s

A

C

D m B

C0

B0=D0

A0

M=M’ o B’

p’

D’

A’

C’

m’

q’

Obr. 4.8.1 Základní vlastnosti osové afinity jsou: • Každé dva odpovídající si body leží na přímce náležející směru afinity. • Jestliže je přímka různoběžná s osou, má s odpovídající přímkou společný bod na ose; jestliže je rovnoběžná s osou, potom rovněž odpovídající přímka je rovnoběžná s osou. • Každý bod osy je samodružný; jiné samodružné body neexistují. • Všechny samodružné přímky jsou osa afinity (přímka samodružných bodů) a přímky náležející směru afinity. • V osové afinitě v rovině odpovídají dvěma rovnoběžným přímkám opět dvě rovnoběžné přímky. Podle polohy směru afinity k ose afinity rozlišujeme tři typy osových afinit v rovině. Jestliže je směr afinity kolmý k její ose, afinita se nazývá pravoúhlá, jestliže je směr kosý k ose, afinita se nazývá kosoúhlá a jestliže je směr rovnoběžný s osou, potom se nazývá elace. p s

A

s

A

A’

p’

p

o p’

A

A0

A0 A’

p

p’ A’

Obr. 4.8.2 111

o

o s


Věta 4.8.1: Jsou-li X 6= X 0 libovolné dva odpovídající si body v osové afinitě, která není elací, a X0 je průsečík přímky XX 0 s osou afinity, potom dělicí poměr k = (X 0 XX0 ) je konstantní a nezávisí na volbě odpovídajících si bodů. X

s

X s

Y X0

Y0

M

Y X0

Y’

o

o

Y’ X’

Y’

X’

Z

Y

Y0

o X’

X

s

Z’

Obr. 4.8.3 Důkaz: Pro dvě různé dvojice X, X 0 a Y , Y 0 různých odpovídajících si bodů mohou nastat jen tyto tři případy — přímka XY není samodružná a je s osou afinity různoběžná; resp. přímka XY není samodružná a je s osou afinity rovnoběžná; resp. přímka XY je samodružná, tj. náleží směru afinity. Snadno bychom dokázali, že ve všech třech případech platí |X 0 X0 | : |XX0 | = |Y 0 Y0 | : |Y Y0 | (např. v prvním případě bychom použili podobnost trojúhelníků: 4XX0 M ∼ 4Y Y0 M ⇒ |XX0 | : |Y Y0 | = |X0 M | : |Y0 M | a 4X 0 X0 M ∼ 4Y 0 Y0 M ⇒ |X 0 X0 | : |Y 0 Y0 | = |X0 M | : |Y0 M |). Navíc bod X0 leží mezi body X a X 0 , právě když bod Y0 leží mezi body Y , Y 0 . Odtud již vyplývá (X 0 XX0 ) = (Y 0 Y Y0 ) = konst. Q.E.D. Číslo k z předcházející věty se nazývá charakteristika afinity. Je zřejmé, že je-li charakteristika kladná, potom sobě odpovídající body leží v téže polorovině určené osou afinity a navíc se zachovává smysl obíhání vrcholů trojúhelníka; je-li charakteristika záporná, potom sobě odpovídající body leží v opačných polorovinách a navíc se smysl obíhání vrcholů trojúhelníka obrací. k>0

k<0

Z

Z

s

s

X

X

Y

Y X’

Z’

o

Y’

Y’ o

X’ Z’

Obr. 4.8.4

Obr. 4.8.5 112


Osovou afinitu různou od elace lze určit osou o, směrem s a charakteristikou k — A(o, s, k). Navíc zřejmě platí: Věta 4.8.2: Inverzním zobrazením k osové afinitě je opět osová afinita a, nejde-li o elaci, potom 1 A−1 (o, s, k) = A(o, s, ). k

Pro involutorní zobrazení platí X → X 0 ∧ X 0 → X. Z toho pro osovou afinitu plyne, že bod X0 musí být středem úsečky XX 0 , tj. je evidentní platnost věty: Věta 4.8.3: Osová afinita je involucí, právě když není elací a její charakteristika je −1. Snadno nahlédneme, že pravoúhlá afinita s charakteristikou −1 je osová souměrnost. O důležitém invariantu osové afinity hovoří následující věta: Věta 4.8.4: Nechť jsou dány tři různé kolineární body A, B, C, které se v osové afinitě zobrazují na body A0 , B 0 , C 0 . Potom platí (A0 B 0 C 0 ) = (ABC). Důkaz: Jestliže body A, B, C leží na ose afinity nebo na přímce rovnoběžné s osou, potom je tvrzení věty evidentní. Dále mohou nastat tyto případy: a) přímka AB je s osou afinity různoběžná a není samodružná; b) přímka AB je s osou afinity různoběžná a je samodružná, tj. náleží směru afinity. Ukažme si důkaz části a) (důkaz části b) by probíhal obdobně).

A B C M o C’ A’

B’

Obr. 4.8.6 Nechť přímka AB protíná osu o v bodě M a bez újmy na obecnosti přepokládejme pořadí A ∗ B ∗ C ∗ M . Osová afinita zachovává pořadí bodů na přímce, a proto i jejich obrazy leží v pořadí A0 ∗ B 0 ∗ C 0 ∗ M . Jelikož 113


4M CC 0 ∼ 4M BB 0 ∼ M AA0 , potom |CM | |BM | |AM | = 0 = 0 . 0 |C M | |B M | |A M | Dále platí |BM | = |CM | + |BC|, |B 0 M | = |C 0 M | + |B 0 C 0 | a také |AM | = |CM | + |AC|, |A0 M | = |C 0 M | + |A0 C 0 |, tj. můžeme psát |CM | + |BC| |CM | |CM | + |AC| = 0 = 0 . |C 0 M | + |B 0 C 0 | |C M | |C M | + |A0 C 0 | Po úpravě dostaneme |CM | |BC| = 0 0 |C 0 M | |B C | a odtud již plyne

4.9

|CM | |AC| = 0 0 |C 0 M | |A C |

∧

|AC| |A0 C 0 | = 0 0 |BC| |B C |

Q.E.D.

Středová kolineace (homologie)

Na rozdíl od předcházejících kapitol má tento odstavec pouze informativní charakter, a proto nebudeme psát definice a věty, ale jednotlivé pojmy a tvrzení uvedeme jen jako součást běžného textu. Hlavním cílem této kapitoly je především snaha ukázat, že tak odlišná zobrazení jako translace, stejnolehlost a osová afinita lze získat jako speciální případy jediné geometrické příbuznosti. S

p

A

p

A

B

B A0

B0

S

M=M’

M=M’

o p’

o

B’

A’

A’

B’ p’

Obr. 4.9.1

Obr. 4.9.2

Předpokládáme rozšířenou eukleidovskou rovinu E skládající se z eukleidovské roviny E a všech nevlastních bodů. Dva rovinné útvary U, U 0 nazveme homologické (resp. středově kolineární, resp. osově kolineární, resp. perspektivně kolineární) podle určitého bodu S (tzv. středu homologie) a podle určité přímky o (tzv. osy homologie), jestliže přímky spojující 114


dvojice sobě odpovídajících bodů náleží témuž svazku se středem S a dvojice sobě odpovídajích přímek se protínají na téže ose o (obr. 4.9.1). Dané zobrazení nazýváme homologie (resp. středová kolineace, resp. osová kolineace, resp. perspektivní kolineace). Jestliže střed inciduje s osou, potom hovoříme o tzv. elaci (obr. 4.9.2). Středová kolineace je určena středem, osou a jedním párem odpovídajících si bodů (resp. přímek), jež nejsou incidentní ani se středem, ani s osou. Každá dvojice odpovídajících si bodů A a A0 , B a B 0 , C a C 0 , . . . tvoří se středem S a průsečíkem A0 , B0 , C0 , . . . přímky AA0 , BB 0 , CC 0 , . . . s osou o čtveřici téhož dvojpoměru k; platí tedy k = (A0 AA0 S) = (B 0 BB0 S) = (C 0 CC0 S) = . . . Tato konstanta se nazývá charakteristika kolineace. Involutorní středová kolineace má charakteristiku −1. Invariantem homologie je dvojpoměr čtyř bodů na přímce. Zvláštními případy homologie jsou: • osová afinita — je-li střed S v nekonečnu (tj. nevlastní) a osa o je vlastní (jestliže navíc S∞ ∈ o neboli směr afinity je rovnoběžný s osou, potom je osová afinita elací); • posunutí — je-li střed S nevlastní a osa o je nevlastní (obr. 4.9.3); • stejnolehlost — je-li střed S vlastní a osa o je nevlastní. B

A S A’

B’ C C’

S

o

Obr. 4.9.3 Poznamenejme ještě, že název středová kolineace se často používá pouze pro homologii s vlastním středem a vlastní osou. Vzhledem k tomu, že se pohybujeme v rozšířené eukleidovské rovině E, má smysl se ptát na obraz (resp. vzor) nevlastního (tzv. úběžného) bodu přímky a (resp. a0 ) ve středové kolineaci. Obrazem nevlastního bodu U∞ přímky a je tzv. úběžník U 0 ležící na přímce a0 ; nevlastní přímce u∞ roviny odpovídá tzv. úběžnice u0 , na níž leží úběž115


níky všech přímek počítaných do množiny obrazů. Obdobně vzorem nevlast0 0 ního bodu V∞ přímky a0 je úběžník V ležící na přímce a; nevlastní přímce v∞ počítané do množiny obrazů odpovídá druhá úběžnice v. Nevlastní přímka roviny a jí odpovídající přímka u0 , popř. v mají v obou případech společný bod v nevlastním bodě osy kolineace, tj. osa kolineace a obě úběžnice procházejí týmž nevlastním bodem; jinými slovy obě úběžnice jsou rovnoběžné s osou. S a v

V U’

V’

u’ U o

M=M’

a’

U

V’

Obr. 4.9.4

4.10

Kruhová inverze

D EFINICE 4.10.1: K eukleidovské rovině E2 přidáme jeden prvek – tzv. nevlastní bod (značíme P∞ , popř. jen ∞), který je prvkem každé přímky a leží vně každé kružnice v rovině E2 . Množina M2 = E2 ∪ {P∞ } se nazývá Möbiova rovina. Bodům roviny E2 říkáme body vlastní. Přímky roviny doplněné o bod nevlastní se nazývají rozšířené přímky. Na následujících obrázcích je symbolicky naznačen základní rozdíl (srovnejte!) mezi rozšířenou eukleidovskou rovinou E2 a Möbiovou rovinou M2 .

E2

b2 b1

a1

a2

a3

M2

c1

b2

a1

a2

a3

b1

C c1

c2

c2 p

A

P

B

Obr. 4.10.1

Obr. 4.10.2 116


D EFINICE 4.10.2: Přímky a kružnice označujeme společným názvem kruhové křivky. Můžeme shrnout některá základní fakta platící o kruhových křivkách v rovině M2 . Nechť p, q jsou kruhové křivky, potom • p je rozšířená přímka, právě když P∞ ∈ p, v opačném případě jde o kružnici; • jsou-li p, q rozšířené přímky, potom se vždy protínají alespoň v jednom bodě; • p, q se vždy protínají nejvýše ve dvou bodech; • libovolné tři body jednoznačně určují kruhovou křivku. Zastavme se jen u poslední poznámky. Je-li jeden z bodů A, B, C nevlastní, potom je danou kruhovou křivkou rozšířená přímka; v opačném případě musíme ještě rozlišovat, zdali jsou body A, B, C kolineární — potom je kruhovou křivkou opět rozšířená přímka, anebo nekolineární — potom je daná kruhová křivka kružnicí opsanou trojúhelníku 4ABC. D EFINICE 4.10.3: Nechť je dána kružnice ω se středem S a poloměrem r. Uvažujme zobrazení IN V(ω) v Möbiově rovině M2 = E2 ∪ {P∞ }, které je určeno následujícím předpisem: (i) Obrazem bodu S je nevlastní bod P∞ . (ii) Obrazem nevlastního bodu P∞ je bod S. (iii) Obrazem bodu X 6= S, P∞ je bod X 0 takový, že X 0 ∈7→ SX a současně |SX 0 | · |SX| = r2 Zobrazení IN V(ω) se nazývá kruhová inverze (inverze podle kružnice), kružnice ω se nazývá základní kružnice inverze, bod S nazýváme střed kruhové inverze a kladné reálné číslo r2 je koeficient kruhové inverze. Příklad 4.10.1. Sestrojte obraz a) bodu na kružnici ω(S, r); b) vnějšího bodu kružnice ω; c) vnitřního bodu kružnice ω v kruhové inverzi IN V(ω). ♦ ω

T’

T r Y’

r S

Z’

Z X=X’

Y

Obr. 4.10.3 117


a) Je zřejmé, že bod základní kružnice je samodružný, neboť |SX| · |SX| = r · r = r2 . b) Z vnějšího bodu Y vedeme tečnu Y T ke kružnici ω s bodem dotyku T . Pata Y 0 kolmice z bodu T na přímku SY je hledaným obrazem bodu Y . c) Ve vnitřním bodě Z vztyčíme kolmici na přímku SZ, která protne kružnici ω v bodě T 0 . Tečna kružnice ω v bodě T 0 protne přímku SZ v hledaném bodě Z 0 – obrazu bodu Z. Zdůvodnění části b) i c) plyne ihned z Eukleidovy věty o odvěsně, neboť platí |SY | · |SY 0 | = |SZ| · |SZ 0 | = r2 . Základní vlastnosti kruhové inverze plynoucí přímo z definice jsou: • X = X 0 , právě když X ∈ ω, tj. základní kružnice je množinou samodružných bodů; • X 0 náleží vnějšku kružnice, právě když X náleží vnitřku — a naopak; • kruhová inverze je involutorní zobrazení, tj. (X 0 )0 = X. Věta 4.10.1: Nechť je dána kružnice ω(S, r) a dva různé body P, Q 6= S, P∞ , které v inverzi IN V(ω) přecházejí na body P 0 a Q0 . Potom platí ∠SP Q ∼ = ∠SQ0 P 0 . (Všimněte si pořadí bodů!) Q’ ω

Q S

P

P’

Obr. 4.10.4 Důkaz: Jelikož P a P 0 (resp. Q a Q0 ) jsou body sdružené v inverzi podle kružnice ω, potom platí |SP | · |SP 0 | = r2 , |SQ| · |SQ0 | = r2 , odkud dostáváme

|SP | |SQ| = . |SQ0 | |SP 0 |

Vzhledem k tomu, že ∠P SQ = ∠P 0 SQ0 , potom 4SP Q ∼ 4SQ0 P 0 (sus). Odtud již plyne dokazovaný závěr. Q.E.D. 118


Věta 4.10.2: Nechť je dána kružnice ω se středem S a dva různé body P, Q 6= S, P∞ , které v inverzi IN V(ω) přecházejí na body P 0 a Q0 . Dále na přímce SQ uvažujme bod R 6= S, Q, P∞ , který v téže inverzi přechází na bod R0 . (i) Jestliže R leží na polopřímce SQ, potom |∠Q0 P 0 R0 | = |∠QP R|. (ii) Jestliže R leží na polopřímce opačné k polopřímnce SQ, potom |∠Q0 P 0 R0 | = 180◦ − |∠QP R|. R Q

ω R’

ω

Q’

R R’

S

Q P’

S

P’

Q’

P

P

Obr. 4.10.6

Obr. 4.10.5

Důkaz: Tato věta je přímým důsledkem věty předcházející. Jestliže např. S ∗ Q ∗ R (obr. 4.10.5), potom |∠QP R| = |∠SP R| − |∠SP Q| = |∠SR0 P 0 | − |∠SQ0 P 0 | = |∠Q0 P 0 R0 |.21 Jestliže R ∗ S ∗ Q (obr. 4.10.6), potom |∠QP R| = |∠SP R| + |∠SP Q| = |∠SR0 P 0 | + |∠SQ0 P 0 | = 180◦ − |∠Q0 P 0 R0 |. Q.E.D. Věta 4.10.3: Nechť je dána kružnice ω se středem S. Uvažujme kruhovou inverzi IN V(ω). Potom platí (i) Obrazem přímky p procházející středem kruhové inverze S je přímka p0 = p (samodružná přímka). (ii) Obrazem přímky p neprocházející středem kruhové inverze S je kružnice p0 procházející středem kruhové inverze. (iii) Obrazem kružnice k procházející středem kruhové inverze S je přímka k 0 neprocházející středem kruhové inverze. (iv) Obrazem kružnice k neprocházející středem kruhové inverze S je kružnice k 0 neprocházející středem kruhové inverze. Důkaz: (i) Předpokládejme, že X ∈ p je libovolný bod různý od S a P∞ . Podle definice kruhové inverze platí X 0 ∈ 7→ SX ⊂ p. A vzhledem k tomu, že kruhová inverze 21 Velikost vnějšího úhlu trojúhelníka je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů u zbývajících dvou vrcholů.

119


zobrazuje střed inverze S na bod nevlastní P∞ (a naopak), je tato část věty dokázána. (ii) (obr. 4.10.7) Nechť L je pata kolmice vedené ze středu inverze S na přímku p. Předpokládejme dále , že X ∈ p je libovolný bod různý od L; ∠SLX = R. Podle dokázané věty ∠SLX ∼ = ∠SX 0 L0 , tj. ∠SX 0 ← −L0 = R, a proto bod X 0 0 leží na Thaletově kružnici nad průměrem SL . Nevlastní bod P∞ se zobrazí na střed S. Rovněž tato část věty je dokázána. (iii) Jelikož je kruhová inverze involucí, plyne tato část věty bezprostředně z části (ii). X

ω

S

L’

k

ω

p’ X’

k’ X’ a

L

S B’

X

A’ A

O

B

p

Obr. 4.10.7

Obr. 4.10.8

(iv) (obr. 4.10.8) Nechť a je přímka spojující střed inverze S a střed O kružnice k, která neprochází středem inverze S. Přímka a protne kružnici k v bodech A, B. Předpokládejme dále , že X ∈ k je libovolný bod různý od bodů A, B; ∠AXB = R. Podle dokázané věty je v závislosti na uspořádání bodů A, B, S na přímce a buďto |∠A0 X 0 B 0 | = |∠AXB|, anebo |∠A0 X 0 B 0 | = 180◦ − |∠AXB|. Ovšem vzhledem k tomu, že ∠AXB = R, je v obou případech rovněž ∠A0 X 0 B 0 = R. Bod X 0 tudíž leží na Thaletově kružnici nad průměrem A0 B 0 . Zdůrazněme ještě, že obraz středu kružnice k, tj. bod O0 , není středem kružnice k 0 ! Q.E.D. Důsledek 4.10.1. V kruhové inverzi je obrazem kruhové křivky opět kruhová křivka. Věta 4.10.4: Jestliže dvě kruhové křivky určují úhel velikosti ϕ, potom jejich obrazy v kruhové inverzi určují úhel téže velikosti, avšak opačného smyslu. Důkaz: Určování úhlu dvou protínajících se kružnic převádíme na určování úhlu jejich tečen v jednom z průsečíků, rovněž v případě úhlu přímky a kružnice nahradíme kružnici tečnou. Proto je možné úvahy zjednodušit a pracovat jen s úhlem dvou přímek. Nechť a, b jsou dvě přímky protínající se ve vlastním bodě M , různém od středu inverze. Jestliže ani a, ani b neprochází středem inverze S, potom se zobrazí na kružnice a0 , b0 , které obě procházející jednak 120


středem inverze S a jednak obrazem M 0 průsečíku M přímek a, b. Zajímá nás úhel kružnic a0 , b0 . Úhel jejich tečen v M 0 je samozřejmě stejný jako úhel jejich tečen v bodě S. Tečny v bodě S jsou však rovnoběžné s přímkami a, b, a proto určují úhel téže velikosti jako přímky a, b. Opačný smysl obou úhlů je zřejmý. Kdyby některá z přímek a, b procházela středem inverze S, byla by samodružná a důkaz by se zjednodušil. Q.E.D.

B S

t

b’

B’ M

b’ ω

M’ A’

S

A

a’ ϕ

ϕ b

ϕ

M

t

tMb’

a’

S

t

a

a’

Obr. 4.10.9 Věta 4.10.5: Kružnice k 6= ω je samodružná v kruhové inverzi IN V(ω) právě tehdy, když k ⊥ ω. Důkaz: (i) Předpokládáme, že k(O, r0 ) ⊥ ω(S, r); chceme dokázat, že k je samodružná v IN V(ω), tj. obraz každého bodu kružnice k leží opět na kružnici k. Průsečíky A, B kružnice k s kružnicí ω jsou samodružné. Z ortogonality kružnic k, ω plyne SA ⊥ S0 A (samozřejmě rovněž SB ⊥ S0 B). Uvažujme libovolný bod X 6= A, B kružnice k a označme X 0 průsečík přímky SX s kružnicí k. Mocnost bodu S vzhledem ke kružnici k je |SX| · |SX 0 | = |SA|2 = r2 . Podle definice kruhové inverze je potom bod X 0 obrazem bodu X v kruhové inverzi IN V(ω). (ii) Předpokládáme naopak, že k 0 = k(O, r0 ) 6= ω; chceme dokázat, že k ⊥ ω. Jelikož samodružná kružnice k není kružnicí samodružných bodů, musí obsahovat jak vnitřní, tak vnější body základní kružnice ω(S, r). Odtud plyne, že 121


kružnice k protíná kružnici ω ve dvou bodech — označme je A, B. V kruhové inverzi IN V(ω) se libovolný bod X 6= A, B kružnice k zobrazí na bod X 0 ležící rovněž na kružnici k (samodružná kružnice!) a platí |SX| · |SX 0 | = r2 . Bod A leží na základní kružnici ω, a proto se jedná o samodružný bod (A0 = A). Odtud plyne |SX| · |SX 0 | = |SA| · |SA| = r2 . Přímka SA má tudíž s kružnicí ω jediný společný bod, tj. bod A — jedná se o tečnu kružnice ω. Přímky SA a S0 A jsou tedy kolmé, z čehož plyne k ⊥ ω. Q.E.D. Závěrem této kapitoly se pokusíme sjednotit úvahy týkající se inverzí podle kruhových křivek. Zbývá tedy doplnit, co myslíme inverzí podle přímky. Nabízí se využít již zavedené souměrnosti podle přímky, neboť splňuje obdobné podmínky jako kruhová inverze (např. X = X 0 , právě když X ∈ p, tj. osa souměrnosti je množinou samodružných bodů — obdoba základní kružnice inverze; X náleží jedné polorovině s hraniční přímkou p, právě když X 0 leží v polorovině opačné — analogicky jako u kruhové inverze vztah mezi vnitřkem a vnějškem základní kružnice; osová souměrnost je stejně jako kruhová inverze involutorní zobrazení, tj. (X 0 )0 = X.) Ve skutečnosti je osová souměrnost limitním případem kruhové inverze, když mocnost inverze roste nade všechny meze a střed se blíží nevlastnímu bodu. ω

X

X’

p

X X’

Obr. 4.10.10

Obr. 4.10.11

Rovněž konstrukce bodů je u obou zobrazení stejná — na výše uvedených obrázcích je znázorněna základní kružnice inverze ω a osa souměrnosti p; obraz X 0 bodu X je sestrojen v obou případech pomocí samodružné přímky a samodružné kružnice (obě kolmé na ω, resp p): D EFINICE 4.10.4: Nechť je dána rozšířená přímka p. Předpis pro osovou souměrnost podle přímky p, který byl v rovině E2 dán pro vlastní body, doplníme v rovině M2 o podmínku O(p) : P∞ → P∞ . Rozšířenou osovou souměrnost budeme nazývat inverze podle přímky. Obecně pak můžeme hovořit o inverzi podle kruhové křivky IN V(k) — je-li k kružnice, jde o kruhovou inverzi; je-li k přímka, jde o osovou souměrnost.

122

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5

Konstrukční planimetrické úlohy

5.1

Řešení konstrukčních úloh

Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň jednoho, resp. všech) splňujícího dané podmínky. Je třeba zdůraznit, že narýsování hledaného útvaru není podstatou řešení konstrukční úlohy — vlastní řešení konstrukční úlohy je deduktivní úvaha, která má za cíl vyhledat geometrický útvar. Jádrem řešení je nalezení posloupnosti elementárních konstrukcí K1 , K2 , K3 , . . . (viz str. 131), které vedou na hledaný objekt. Útvar přitom považujeme za sestrojený, je-li určen každý jeho bod; např. přímku považujeme za sestrojenou, jsou-li sestrojeny dva její různé body – dvěma body je přímka určena, tudíž jsou určeny i všechny její body (samozřejmě nelze sestrojit všechny(!) body přímky). Klasické řešení konstrukční úlohy se zpravidla člení na následující fáze: 1. rozbor — cílem rozboru je nalezení takových souvislostí mezi danými a hledanými prvky, které umožní objevit posloupnost základních konstrukcí K1 , K2 , K3 , . . .; vždy předpokládáme, že útvar je sestrojitelný, načrtneme ilustrační obrázek s alespoň jedním útvarem požadovaných vlastností a ukážeme, že jej lze sestrojit jistou konstrukcí (K1 , K2 , K3 , . . .); 2. konstrukce — konstrukce spočívá ve stanovení konstrukčního předpisu, který je výsledkem rozboru a formulujeme jednotlivé kroky konstrukce (K1 , K2 , K3 , . . .); tato fáze zpravidla zahrnuje též grafické provedení úlohy; 3. zkouška (důkaz, zdůvodnění konstrukce) — konstrukční předpis nám dává všechna možná řešení úlohy, může se však stát, že některé sestrojené útvary nevyhovují všem podmínkám úlohy, tj. ukážeme, že každý útvar sestrojený konstrukcí (K1 , K2 , K3 , . . .) má všechny požadované vlastnosti; 4. diskuse — tato fáze je součástí řešení v případě, že řešíme množinu úloh, tj. objevují-li se v úloze proměnné prvky (parametry); úkolem diskuse je určení podmínek řešitelnosti úlohy a roztřídění množiny úloh na úlohy neřešitelné, úlohy s jedním výsledkem, se dvěma výsledky atd., a to v závislosti na hodnotách zadaných či skrytých (avšak volitelných) číselných parametrů (vzdálenosti bodů a velikosti úseček, velikosti úhlů a odchylky včetně jejich goniometrických funkcí,. . . ) (Pokud se v úloze nevyskytují proměnné prvky, pouze konstatujeme počet vyhovujících výsledků úlohy.) 123


Již podle zadání úlohy poznáme, zdali budeme řešit jen jednu konkrétní úlohu, anebo celou množinu úloh. Vyskytují-li se v úloze proměnné prvky (parametry), hovoříme o úlohách s jedním parametrem, o úlohách se dvěma a více parametry, v opačném případě pak o úlohách bez parametrů. Řešení konstrukční úlohy spočívá v nalezení neznámého bodu nebo bodů, které určují hledaný geometrický útvar. Podle počtu těchto bodů rozeznáváme úlohy s jedním neznámým bodem, se dvěma neznámými body, se třemi neznámými body, atd. Další způsob třídění konstrukčních úloh je dělení na úlohy polohové a nepolohové. U polohových úloh je dána poloha některých zadaných prvků, u nepolohových úloh neznáme polohu žádného ze zadaných prvků. Postup řešení nepolohové konstrukční úlohy je následující: 1. umístění (lokalizace) nepolohové úlohy — volba polohy některého bodu, úsečky, úhlu atd., čímž získáme polohovou úlohu; lokalizaci je možné zpravidla provést vícero způsoby, přičemž příslušné úlohy mohou mít i rozdílný počet neznámých bodů; 2. řešení polohové úlohy; 3. určení počtu řešení nepolohové úlohy — úvahou o shodnosti výsledných útvarů polohové konstrukční úlohy stanovíme počet tříd navzájem shodných útvarů, jež mají nepolohové vlastnosti. Při řešení konstrukčních úloh užíváme nejčastěji tyto metody: • Konstrukce metodou množin bodů dané vlastnosti Při této metodě určujeme neznámé body jako prvky průniku dvou množin všech bodů dané vlastnosti. První z množin vytvoříme tak, že vyloučíme jednu z podmínek zadání a to takovou, aby body vyhovující zbývajícím podmínkám tvořily jistou dobře popsatelnou (resp. známou) množinu všech bodů dané vlastnosti. Obdobně určíme i druhou množinu všech bodů dané vlastnosti. Body náležející průniku splňují všechny podmínky ze zadání. • Konstrukce metodou geometrického zobrazení Řadu konstrukčních úloh se podaří vyřešit, jestliže nejprve útvar daný nebo hledaný transformujeme pomocí jistého vhodně zvoleného geometrického zobrazení. Máme-li např. sestrojit lichoběžník z jeho stran a, b, c, d, použijeme posunutí T (D → C) a tím úlohu převedeme na konstrukci trojúhelníka se stranami a − c, b, d. Často se používá transformace v útvar stejnolehlý nebo podobný: nejprve sestrojíme útvar, jenž vyhovuje všem podmínkám až na jednu tak, 124


že je stejnolehlý (podobný) s útvarem hledaným; potom již k sestrojenému útvaru snadno nalezneme stejnolehlý (podobný) útvar, který vyhovuje i podmínce poslední. Např. při řešení úlohy sestrojit trojúhelník, známe-li jeho dva úhly (nebo úhel a poměr dvou stran) a dále výšku (resp. težnici, resp. poloměr vepsané či opsané kružnice, resp. obvod atd.), sestrojíme nejprve trojúhelník s danými úhly a poté trojúhelník jemu podobný, který splňuje i podmínku konkrétní délky výšky (resp. težnice, resp. poloměru vepsané či opsané kružnice, resp. obvodu atd.) • Konstrukce algebraicko-geometrickou metodou. Při této metodě vhodně kombinujeme konstrukce a výpočty některých prvků. Samozřejmě se snažíme, je-li to možné, používat konstrukce algebraických výrazů (viz následující kapitolu). Příklad 5.1.1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána velikost strany c, výšky vc a úhlu γ. ♦ Jedná se o nepolohovou úlohu se třemi parametry c, vc a γ. UmísC p tíme stranu AB a tím převedeme úlohu na polohovou s jedním neγ k známým bodem C. Řešení provedeme užitím metody množin všech bodů dané vlastnosti Velikost výšky vc udává vzdálenost bodu C od přímky AB. Bod C tudíž musí náležet množině M1 = {X ∈ c E2 ; |X, ↔ AB| = vc }, což je sjednoB A cení dvou rovnoběžek p1 , p2 s přímObr. 5.1.1 kou AB ve vzdálenosti vc . Jelikož známe velikost úhlu γ, musí bod C náležet množině M2 = {X ∈ E2 ; |∠AXB| = γ}, což je sjednocení dvou kruhových oblouků k1 , k2 s krajními body A, B s výjimkou bodů A, B.

Rozbor:

Bod C je tedy prvkem průniku množin M1 , M2 . Konstrukce: 1. AB; |AB| = c 2. M1 ; M1 = {X ∈ E2 ; |X, ↔ AB| = vc } 3. M2 ; M2 = {X ∈ E2 ; |∠AXB| = γ} 4. C; C ∈ M1 ∩ M2 5. 4ABC Důkaz konstrukce: Pokud M1 ∩M2 6= ∅, potom každý bod průniku splňuje podmínky pro vrchol C hledaného trojúhelníka ABC. 125


Diskuse: Úloha má alespoň jedno řešení, právě když je M1 ∩M2 6= ∅. Z bodu 4 plyne, že přímka T p1 (resp. p2 ) může mít s obloukem k1 (resp. p k2 ) dva společné body, popř. jeden společný γ/2 k bod, anebo s ním nemá žádný společný bod. Zabývejme se řešením jen v jedné polorovině, tj. zajímá nás průnik přímky p1 a kruhového oblouku k1 . Přímka p1 může být vnější přímkou, tečnou a sečnou kružnice B A c/2 S k1 . Podívejme se na mezní případ tečny — bod dotyku označme T . Tento případ naObr. 5.1.2 stává právě tehdy, když |T S| = vc (S – střed úsečky AB). Trojúhelník AST je pravoúhlý s úhlem o velikosti γ2 u vrcholu T , protější stranou o velikosti |AS| = 2c , a proto |T S| =

c 2tg

γ 2

.

Odtud — jestliže a) vc > |T S|, potom úloha nemá řešení; b) vc = |T S|, potom úloha má v jedné polorovině jedno řešení; c) vc < |T S|, potom úloha má v jedné polorovině dvě řešení. Příklad 5.1.2. Jsou dány dvě různoběžky a, b a kružnice k 0 (S 0 , r0 ), která se nedotýká žádné z obou různoběžek. Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkala přímek a, b a kružnice k 0 . ♦ Rozbor:

b

b’

Řešení provedeme užitím metody geometrických zobrazení, konkrétně využijeme stejnoleho k’ S’ losti. Víme, že každé dvě kružnice jsou T stejnolehlé, a proto i hledaná k kružnice k a zadaná kružnice k 0 ; S navíc střed stejnolehlosti je u dvou dotýkajících se kružnic v a V bodě jejich dotyku — označme Obr. 5.1.3 jej T . V této stejnolehlosti H odpovídá tečně a kružnice k tečna a0 k a kružnice k 0 , tečně b kružnice k tečna b0 k b kružnice k 0 a průsečíku V přímek a, b průsečík V 0 přímek a0 , b0 . Vzhledem k definici stejnolehlosti jsou V’

a’

126


vzor, obraz a střed stejnolehlosti kolineární, a proto přímka V V 0 protíná kružnici k 0 v bodě T , který je bodem dotyku obou kružnic. Střed S kružnice k pak musí ležet na přímce S 0 T a na ose úhlu vymezeného přímkami a a b, ve kterém leží bod T . Konstrukce: 1. a, b, a ∩ b = {V }; k 0 (S 0 , r0 ) nedotýkající se a, b 2. a0 ; a0 k a ∧ a0 je tečna kružnice k 0 3. b0 ; b0 k b ∧ b0 je tečna kružnice k 0 4. V 0 ; V 0 ∈ a0 ∩ b0 5. T ; T ∈↔ V V 0 ∩ k 0 6. o — osa úhlu vymezeného přímkami a, b, ve kterém leží bod T 7. S; S ∈ o ∩ ↔ S 0 T 8. k(S, |ST |) Důkaz konstrukce: Z konstrukce plyne, že a0 k a a b0 k b jsou tečnami kružnice k 0 . Ve stejnolehlosti určené středem T a párem odpovídajících si bodů [V 0 , V ] odpovídá tečně a0 přímka a a tečně b0 přímka b, a proto se kružnice k dotýká přímek a, b. Střed stejnolehlosti leží na kružnici k 0 , a proto mají v tomto bodě obě kružnice dotyk. Kružnice k vyhovuje podmínkám úlohy. Diskuse: Jelikož lze ke kružnici k 0 vždy sestrojit dvě tečny rovnoběžné s přímkou a (bod konstrukčního předpisu 2) a dvě tečny rovnoběžné s přímkou b (bod 3), existují čtyři průsečíky V 0 6= V (1 a0 ∩ 1 b0 = {1 V 0 }, 1 0 a ∩ 2 b0 = {2 V 0 }, 2 a0 ∩ 1 b0 = {3 V 0 }, 2 a0 ∩ 2 b0 = {4 V 0 }), které jsou vrcholy rovnoběžníka opsaného kružnici k 0 — bod 4. Každá z přímek V V 0 buď protne kružnici k 0 ve dvou bodech T , anebo nemá s kružnicí žádný společný bod — bod 5. Může tedy vzniknou až osm bodů T . Úloha může mít za daných podmínek nejvýše 8 řešení. Doposud jsme předpokládali, že nákresna, na které provádíme konstrukce je neomezená. Je-li však nákresna omezená — což samozřejmě ve skutečnosti je (papír, tabule, . . . ) — musíme v některých případech určité konstrukce přizpůsobit konkrétní situaci. Tak vznikají např. úlohy typu: sestrojte přímku procházející daným bodem a nepřístupným průsečíkem daných dvou přímek ; nebo v daném bodě sestrojte tečnu kružnice, která je dána svým obloukem a jejíž střed je nepřístupný. V úlohách na omezené nákresně využíváme stejnolehlost, podobnost, mocnost bodu ke kružnici, kruhovou inverzi apod. Příklad 5.1.3. Sestrojte přímku p procházející daným bodem C a nepřístupným průsečíkem daných dvou různoběžek a, b. ♦ (obr. 5.1.4) Sestrojíme libovolný trojúhelník ABC (A ∈ a, B ∈ b) a pomocí

rovnoběžek s ním stejnolehlý trojúhelník A0 B 0 C 0 (A0 ∈ a, B 0 ∈ b). Trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 jsou stejnolehlé ve stejnolehlosti, jejímž středem je 127


nepřístupný průsečík přímek a, b. Vzhledem k tomu, že u stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed kolineární, prochází přímka CC 0 nepřístupným průsečíkem přímek a, b. b ω B B’

C

C’

p T

A’ t’=t

A k

a

Obr. 5.1.4

k’

Obr. 5.1.5

Příklad 5.1.4. Je dána kružnice k, jejíž střed je nepřístupný. V daném přístupném bodě T sestrojte tečnu kružnice k. ♦ (obr. 5.1.5) V kruhové inverzi se středem T přejde zadaná kružnice k na přímku k 0 , bod T na nevlastní bod ∞ a tečna t procházející středem inverze T je samodružná, tj. t0 = t. Kruhové křivky k a t se dotýkají v bodě T , a proto přímky k 0 a t0 jsou rovnoběžné. Přímka t = t0 tedy prochází bodem T a je rovnoběžná s přímkou t0 .

Jiný druh omezení konstrukční úlohy spočívá v zúžení výběru rýsovacích pomůcek. Zatím jsme připouštěli možnost použití libovolné rýsovací pomůcky (pravítko, trojúhelníkové pravítko s ryskou, kružítko, úhloměr apod.), omezíme-li však tento výběr, dostáváme řadu zajímavých úloh i výsledků. Mezi uvedený typ úloh patří úlohy řešené jen s využitím pravítka a kružítka — tzv. eukleidovské konstrukce. Jedná se o konstrukce, které měly velký vliv na vývoj geometrie, a proto jim věnujeme celou následující kapitolu. Pouhým pravítkem nesvedeme mnoho konstrukcí; je-li však dán v rovině určitý útvar, který lze při konstrukci použít, je počet „pravítkových konstrukcíÿ větší. Příklad 5.1.5. V rovině jsou dány dvě rovnoběžky a, b a bod P mimo ně. Pouhým pravítkem sestrojte rovnoběžku daným bodem k daným přímkách. ♦ (obr. 5.1.6) Úlohu řešíme s využitím vlastností lichoběžníka — platí: Přímka spojující průsečík prodloužených ramen lichoběžníka s průsečíkem jeho úh-

128


lopříček prochází středy obou základen. Postup konstrukce sledujte na obrázku.

C Q

1.

P

P

8.

p 2.

7.

B

A

4.

b 3.

6.

5.

a

D

Obr. 5.1.6

Obr. 5.1.7

Je zajímavé, že na rozdíl od „pravítkových konstrukcíÿ lze pouhým kružítkem řešit všechny(!) úlohy proveditelné pravítkem a kružítkem — tyto úlohy nazýváme Mascheroniovy konstrukce podle Lorenza Mascheroniho (1750– 1800), který se uvedenými konstrukcemi zabýval ve své knize Geometria del Compasso (1797). O 125 let dříve popsal konstrukce jen pomocí kružítka ve své knize Euclides Danicus Georg Mohr (1640–1697), avšak jeho kniha byla omylem považována za pouhý komentář Eukleidových Základů, a tak se nedostala do podvědomí matematického světa — uvedené konstrukce se někdy nazývají také Mohr-Mascheroniovy konstrukce . Věta 5.1.1: (Mohr-Mascheroniova věta) Každá eukleidovská konstrukce je proveditelná jen kružítkem. Příklad 5.1.6. Jsou dány přímka AB (určena body A, B – ne sestrojena!) a mimo ni bod P . Jen pomocí kružítka sestrojte rovnoběžku daným bodem k dané přímce, tj. určete bod Q takový, že P Q k AB. ♦ (obr. 5.1.7) Nechť C, D jsou průsečíky kružnic k1 (A, |AB|) a k2 (B, |AB|). Potom CD je osa úsečky AB, tj. CD ⊥ AB. Dále sestrojíme kružnice l1 (C, |CP |) a l2 (D, |DP |) — druhý průsečík označíme Q. Trojúhelníky CDP a CDQ jsou osově souměrné (dokažte!), tj. P Q ⊥ CD. Odtud již plyne P Q k AB.

Dalšími typy úloh jsou např. konstrukce kružítkem, jehož rozevření se nemění, konstrukce pravoúhlým pravítkem, konstrukce pravítkem se dvěma rovnoběžnými hranami atd. 129


5.2

Eukleidovské konstrukce

Sestrojení hledaných útvarů provádíme pomocí rýsovacích pomůcek, nejčastěji užitím pravítka a kružítka. Často však používáme i doplňkové pomůcky jako např. trojúhelníkové pravítko s ryskou pro sestrojení kolmice, úhloměr pro konstrukci úhlu dané velikosti apod. Konstrukce proveditelné výhradně pomocí pravítka a kružítka označujeme jako eukleidovské konstrukce. Tyto konstrukce mají úzký vztah k prvním třem Eukleidovým postulátům: P-1: Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. P-2: A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. P-3: A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. Je nutné zdůraznit, že pod názvy pravítko a kružítko v eukleidovském smyslu si nelze představit pomůcky, které běžně používáme. Eukleidovské pravítko lze použít výhradně ke konstrukci přímek (tj. ke spojení dvou bodů, za to libovolně vzdálených, úsečkou; resp. k prodloužení, a to i opakovanému, dané úsečky), nikoliv však k měření či nanášení délky, ani ke konstrukci kolmic nebo rovnoběžek. Co se týče eukleidovského kružítka, pak to lze použít jen k sestrojení kružnice o daném středu a procházející daným, libovolně vzdáleným bodem, nikoliv však k přenášení délky — oproti tomu pomocí moderního kružítka můžeme sestrojit kružnici, jestliže je dán její střed a poloměr má délku rovnou délce dané úsečky. Následující věta ukazuje, že mezi oběma „modelyÿ kružítek není nutné rozlišovat, neboť i eukleidovské kružítko má vlastnost přenášení délky.

n C l

m P

E

r

r

k B

A

D

Obr. 5.2.1 130


Věta 5.2.1: Eukleidovsky (tj. jen pomocí eukleidovského pravítka a eukleidovského kružítka) lze sestrojit shodný obraz k 0 kružnice k(B, r) tak, že zadaný bod A je středem kružnice k 0 . Důkaz: (obr. 5.2.1) Uvažujme kružnici k(B, r). Úkolem je sestrojit kružnici k 0 se středem v bodě A a poloměrem r. Nejprve sestrojíme kružnice l(A, |AB|) a m(B, |AB|). Tyto kružnice se protínají ve dvou bodech — označme je C a D. Zadaná kružnice k(B, r) a sestrojená kružnice l(A, |AB|) se protínají v bodě E. Uvažujme dále kružnici n(C, |CE|), která protne kružnici m(B, |AB|) v bodě P . Tvrdíme, že |AP | = r — tuto skutečnost bychom snadno dokázali pomocí vět o shodnosti trojúhelníků. Q.E.D. Uveďme příklady některých jednoduchých eukleidovských konstrukcí: Konstrukce 1: Sestrojte osu dané úsečky. ♦ Konstrukce 2: Sestrojte střed dané úsečky. ♦ Konstrukce 3: Sestrojte osu daného úhlu. ♦ Konstrukce 4: Daným bodem mimo danou přímku veďte kolmici k dané přímce. ♦ Konstrukce 5: V daném bodě dané přímky vztyčte kolmici. ♦ Konstrukce 6: Daným bodem mimo danou přímku veďte rovnoběžku s danou přímkou. ♦ Konstrukce 7: Jsou dány úsečky s délkami a, b. Sestrojte úsečku, jejíž délka je a + b. ♦ Konstrukce 8: Jsou dány úsečky s délkami a, b (a > b). Sestrojte úsečku, jejíž délka je a − b. ♦ Konstrukce 9: Danou úsečku rozdělte na n shodných částí. ♦ C Dn Dn-1

D3 D2 D1

B1

B2

B3

Bn-1

Obr. 5.2.2 131

B


Nechť je dána úsečka AB. Zvolíme bod C 6∈↔ AB. Na polopřímce AC vyznačíme libovolný bod D1 . Sestrojíme konečnou posloupnost bodů D1 , D2 , . . . , Dn tak, že AD1 ∼ = D1 D2 ∼ = D2 D3 ∼ = ... ∼ = Dn−1 Dn , kde Dk−1 6= Dk+1 . Konečně sestrojíme přímku BDn . Každým z bodů D1 , D2 , . . . , Dn−1 vedeme rovnoběžku s přímkou BDn . Tyto rovnoběžky protnou úsečku AB postupně v bodech B1 , B2 , . . . , Bn−1 a platí AB1 ∼ = = ... ∼ = B2 B3 ∼ = B1 B2 ∼ Bn−1 B, jak bychom snadno dokázali. Konstrukce 10: Jsou dány úsečky s délkami a, b, c. Sestrojte úsečku, jejíž délka je ab c . ♦ Y C B

O

D

A

X

Obr. 5.2.3 Budeme postupovat obdobně jako v předcházející úloze. Zvolíme tři různé nekolineární body O, X, Y . Na polopřímce OX sestrojíme bod A tak, že |OA| = a. Na polopřímce OY sestrojíme postupně body B, C tak, že |OB| = b a |OC| = c. Sestrojíme přímku AC a bodem B vedeme rovnoběžku s přímkou AC. Tato rovnoběžka protne polopřímku OX v bodě D. Platí |OD| = ab c , neboť z podobnosti trojúhelníků 4OAC ∼ 4ODB (uu) plyne b

z }| { |OD| |OB| = . |OA| |OC| | {z } | {z } a

c

Je evidentní, že pro c = 1 (OC volíme jako jednotkovou úsečku) reprezentuje daná konstrukce součin ab a pro b = 1 (OB volíme jako jednotkovou úsečku) reprezentuje daná konstrukce podíl ac . Poznamenejme ještě, že úsečka s délkou x, pro kterou platí c : b = a : x, kde a, b, c jsou délky daných úseček, se nazývá čtvrtá geometrická úměrná. Konstrukce 11: Je dána úsečka o délce a. Sestrojte úsečku, jejíž délka je √ a. ♦ 132


q D

A

k

B

C

p

Obr. 5.2.4 Na přímce p zvolíme body A ∗ B ∗ C tak, že |AB| = 1 a |BC| = a. Dále sestrojíme kružnici k s průměrem AC. V bodě B vztyčíme kolmici q k přímce p. Přímka q protne kružnici k ve dvou bodech — označme jeden z nich D. Trojúhelník ACD je pravoúhlý s pravým úhlem ∠D (k je Thaletova kružnice), a proto podle Eukleidovy věty o výšce platí |AB| · |BC| = |BD|2 . | {z } | {z } 1

a

√ Uvedená konstrukce úsečky, jejíž √ délka je x = a, je speciálním případem konstrukce úsečky o délce x = ab pro b = 1. V obecném případě bychom postupovali naprosto stejně, pouze bychom nevolili |AB| = 1, ale |AB| = b. Úsečka s délkou x, pro kterou platí a : x = x : b (tj. x2 = ab neboli x = √ ab), kde a, b jsou délky daných úseček, se nazývá střední geometrická úměrná. V souvislosti s eukleidovskými konstrukcemi připomeňme jednu starořeckou legendu, která pojednává o tzv. Delském problému. Legenda praví, že jedinou možností, jak ukončit mor, který propukl na ostrově Délos, bylo podle rady delfské věštírny zdvojnásobení zlatého oltáře, který byl zasvěcen bohu Apolónovi a měl dokonalý krychlový tvar. Úkolem pro řecké matematiky se tak stalo sestrojení krychle s dvakrát větším objemem, než byl objem původní krychle. Není pravda, že starořečtí geometři neuměli sestrojit hranu krychle požadované délky, ale nepodařilo se jim to jen pomocí pravítka a kružítka. Duplikace krychle je jedním ze tří klasických problémů starověku. Zbylé dva jsou trisekce úhlu a kvadratura kruhu a ani u těchto problémů nebyli Řekové úspěšní. Teprve v 19. století se podařilo dokázat, že neúspěch Řeků, ale i jejich následovníků zapříčinila skutečnost, že tyto úlohy prostě eukleidovsky vyřešit nelze! Tento fakt dokážeme. 133


Oproti starověkým řeckým matematikům jsme dnes ve výhodě, neboť díky R. Descartovi máme k dispozici moderní nástroj pro zachycení bodů a dalších geometrických objektů — kartézský souřadný systém. V rovině opatřené kartézskou soustavou souřadnic začneme postupně vytvářet množinu všech eukleidovsky konstruovatelných bodů. Do této množiny nebudou mít „přístupÿ všechny body, ale jen ty z nich, které se podaří sestrojit podle výše uvedených pravidel. Na druhou stranu je jasné, že abychom mohli začít provádět eukleidovské konstrukce, potřebuje jistou výchozí množinu sestávající alespoň ze dvou bodů — bez újmy na obecnosti volíme body [0, 0] a [1, 0]. D EFINICE 5.2.1: Bod nazveme bodem sestrojitelným pravítkem a kružítkem (zkr. PK-bodem), jestliže je posledním bodem konečné posloupnosti bodů P1 , P2 , . . . Pn takové, že každý bod Pi je buďto prvkem množiny {[0, 0], [1, 0]} nebo je získán jednou z následujících tří konstrukcí: (i) jako průsečík dvou přímek, z nichž každá je určena dvěma body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve; (ii) jako průsečík přímky, jež je určena dvěma body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve, a kružnice, jež je určena středem a bodem na obvodu, což jsou rovněž body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve; (iii) jako průsečík dvou kružnic, jež jsou obě určeny středem a bodem na obvodu jakožto body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve. Přímka sestrojitelná pravítkem a kružítkem (zkr. PK-přímka) je přímka procházející dvěma PK-body. Kružnice sestrojitelná pravítkem a kružítkem (zkr. PK-kružnice) je kružnice, jejímž středem je PK-bod a která prochází dalším PK-bodem. Reálné číslo x nazveme číslem sestrojitelným pravítkem a kružítkem (zkr. PK-číslem), jestliže [x, 0] je PK-bod. Uveďme několik příkladů posloupností, které vyhovují podmínkám předcházející definice (Ověřte!) [1, 0]; [1, 0], [0, 0], [2, 0]; √ [0, 0], [1, 0], [−1, 0], [0, 3]; √ √ 1 3 1 3 1 [0, 0], [1, 0], [ , ], [ , − ], [ , 0]. 2 2 2 2 2 Jelikož je možné eukleidovsky sestrojit kolmici i rovnoběžku k dané přímce daným bodem, je evidentní platnost následující věty. Věta 5.2.2: Osy souřadnic jsou PK-přímkami. Každý z bodů [p, 0], [−p, 0], [0, p], [0, −p] je PK-bodem, je-li alespoň jeden z nich PK-bodem. Číslo x je PK-číslem, právě když −x je PK-číslem. Celá čísla jsou PK-čísly. Bod [p, q] je PK-bodem, právě když každé z čísel p, q je PK-číslem. 134


Zdůrazněme jeden důležitý fakt — ačkoliv osa x je PK-přímkou, neznamená to, že každý její bod je PK-bodem! Totéž platí i pro ostatní PK-přímky a samozřejmě i pro PK-kružnice. Pro další zpracování teorie eukleidovských konstrukcí je nutné zavést jeden pojem moderní algebry, a to pojem tělesa. Pro naše účely však není zapotřebí vyslovit obecnou definici tělesa, ale vystačíme jen se speciálními tělesy, jejichž prvky jsou reálná čísla. Připomeňme, že racionálním číslem rozumíme poměr (resp. přesněji celou třídu poměrů) m n , kde m a n 6= 0 jsou celá čísla. Reálné číslo, které není racionální se nazývá iracionální. D EFINICE 5.2.2: Tělesem T nazveme každou podmnožinu reálných čísel, která obsahuje 0 a 1 a současně pro všechna a, b, c ∈ T (c 6= 0) jsou rovněž čísla a a + b, a − b, ab, c prvky množiny T . Symbolem Q budeme značit těleso racionálních čísel a symbolem R těleso reálných čísel. Těleso √ T nazveme eukleidovské, jestliže pro všechna x ∈ T (x > 0) je rovněž x ∈ T . Věta 5.2.3: PK-čísla tvoří eukleidovské těleso. Důkaz: Platnost této věty je zřejmá vzhledem k dříve uvedeným eukleidovským konstrukcím reprezentujícím součet, rozdíl, součin, podíl a druhou odmocninu (konstrukce 7, 8, 10 a 11). Q.E.D. Věta 5.2.4: Nechť T je √ √ těleso a nechť d je takové kladné číslo, že d ∈ T , ale d 6∈ T . Potom {p + q d; p, q ∈ T } je těleso. Důkaz: Snadno√bychom dokázali, že součet, √ √ rozdíl, součin a podíl čísel p1 + q1 d a p2 + q2 d je číslo ve tvaru p3 + q3 d, kde všechna pi , qi ∈ T . Q.E.D. Konkrétním příkladem tělesa z předcházející věty může být např. množina √ 3, kde p, q jsou racionální čísla — takovéto těleso všech čísel ve tvaru p + q √ budeme značit T = Q( 3). Půjdeme-li v našich úvahách√dále, můžeme vytvořit další těleso jakožto množinu všech čísel ve tvaru a + b 5,√kde a, b √ jsou√ tentokráte prvky tělesa T — takovéto těleso budeme značit T ( 5) = Q( 3, 5). D EFINICE 5.2.3: Jestliže T je těleso √ √ a d je kladné reálné číslo takové, √ že d ∈ T , ale d 6∈ T , potom symbolem T ( d) označujeme těleso {p + q d; p, q ∈ T } a nazýváme kvadratické rozšíření tělesa T . Jestliže √ je (jednoduché) √ √ T1 √= T√ ( d1 ), T√ = T ( d ), . . . , T = T ( d ), potom píšeme Tn = 2 1 2 n n−1 n T ( d1 , d2 , . . . , dn ) a těleso Tn nazýváme vícenásobné kvadratické rozšíření tělesa T . D EFINICE 5.2.4: Symbolem E budeme značit sjednocení všech vícenásobných kvadratických rozšíření tělesa Q. Ptáme se, jaká čísla lze najít v množině E. Zřejmě se jedná o taková reálná 135


čísla, k jejichž zápisu použijeme jen závorky, celá čísla, symboly čtyř aritme√ tických operací +, −, · (resp. ×), : (resp. /, resp. ÷) a symbol pro druhou odmocninu. Příkladem může být „divoce vypadajícíÿ číslo s r q q p√ p√ √ 321 − 81 + 15 − 6 + 7 15 − 2 5 1023 3 + 2342 sr q p √ √ 24589 17 − 64 − 5 19 + 356871 3456

Věta 5.2.5: Jestliže všechna čísla√tělesa T jsou PK-čísly, potom také všechna čísla v kvadratickém rozšíření T ( d) jsou PK-čísly. Důkaz: Tato věta ihned plyne ze skutečnosti, že všechna PK-čísla vytvářejí eukleidovské těleso. Q.E.D. Věta 5.2.6: Jestliže x ∈ E, potom x je PK-číslo. Důkaz: Platnost této věty plyne z opakovaného použití věty předcházející a ze skutečnosti, že E je sjednocením všech vícenásobných kvadratických rozšíření tělesa Q. Q.E.D. Dá se dokázat i obrácená věta Věta 5.2.7: Jestliže je x PK-číslo, potom x ∈ E. Věta 5.2.8: Bod P je PK-bodem, právě když souřadnice bodu P jsou prvky E. Důkaz: Bod [p, q] je PK-bodem, právě když každé z čísel p, q je PK-číslem. A každé z čísel p, q je PK-číslem, právě když p, q ∈ E. Q.E.D. Příklad 5.2.1. Nejprve uvedeme známý předpis pro konstrukci pravidelného pětiúhelníka vepsaného do zadané kružnice. 1. k(S, r) 2. p; S ∈ p 3. A, K; k ∩ p = {A, K} 4. q; S ∈ q ∧ q ⊥ p 5. L, M ; k ∩ q = {L, M } 6. N ; N — střed úsečky SL 7. l; l(N, |AN |) 8. O; O ∈ l ∩ SM 9. |AO| = a5 (délka strany pravidelného pětiúhelníka) 10. pravidelný pětiúhelník ABCDE 136


P4

P5

P6

a5

P10 P9

P3

P13 P1

P8

P2

P12

P11

P7

Obr. 5.2.5 Na obrázku je znázorněna podrobná eukleidovská konstrukce pravidelného pětiúhelníka vepsaného do jednotkové kružnice. Jeho vrcholy jsou P5 , P10 , P11 , P12 a P13 . Oproti předcházejícímu předpisu jsou zde nyní zachyceny i eukleidovské konstrukce pomocných bodů — např. body P6 a P7 potřebujeme pro sestrojení středu P8 úsečky P1 P2 . Ukážeme si souvislost konstrukcí jednotlivých PK-bodů a příslušných kvadratických rozšíření tělesa Q. P1 = [0, 0] = S P2 = [1, 0] = L P3 = [−1, √0] = M P4 = [0, 3] P5 = [0, 1] =A √ 3 1 P6 = [ 2 , 2 √] P7 = [ 12 , − 23 ] P8 = h[ 12 , 0] = N i P9 =

√ 1− 5 ,0 2

P10 = −

√

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

=O

√ √ 10+2 5 −1+ 5 , 4 4

=B

137

=Q =Q =Q √ = Q(√3) = Q( 3) √ = Q( 3) √ = Q(√3) = Q( 3) √ √ T9 = Q( 3, 5) √ √ p √ T10 = Q 3, 5, 10 + 2 5


P11 P12 P13

√ √ √ 10−2 5 −1− 5 = − , 4 =C 4 √ √ √ 10−2 5 −1− 5 , =D = 4 4 √ √ √ 10+2 5 −1+ 5 = , =E 4 4

T11 = Q

√ √ p √ 3, 5, 10 + 2 5

T12 = Q

√ √ p √ 3, 5, 10 + 2 5

T13 = Q

√ √ p √ 3, 5, 10 + 2 5

Obecně bereme za Tk buďto Tk−1 , anebo kvadratické rozšíření Tk−1 . Tím je zaručeno, že souřadnice všech bodů Pj , kde j 5 k, jsou p prvky√tělesa T . Zastavme se jen u konstrukce tělesa T — jelikož 10 + 2 5 · k √ √ p11 p √ √ √ p √ 10 − 2 5 = 4 5, potom T11 = Q 3, 5, 10 + 2 5, 10 − 2 5 = √ √ p √ Q 3, 5, 10 + 2 5 = T10 . Nyní již můžeme přistoupit k důkazu neřešitelnosti klasických problémů starověku pravítkem a kružítkem.

Trisekce22 úhlu Pomocí pravítka a kružítka rozdělte daný úhel na tři shodné úhly. Jedná se o eukleidovsky neřešitelnou úlohu, jak jsme se již zmínili a jak za chvíli ukážeme. Hned zpočátku je však nutné zdůraznit, že samozřejmě existují úhly, jejichž trisekci lze provést, např. pravý úhel, přímý úhel, . . . Řekneme-li, že tato úloha je neřešitelná, máme na mysli, že je neřešitelná obecně. Abychom mohli avizovanou neřešitelnost dokázat, vyslovíme několik vět, které při důkazu využijeme. Věta 5.2.9: Jestliže má polynomická rovnice s celočíselnými koeficienty an xn + an−1 xn−1 + . . . a1 x + a0 = 0 (an 6= 0) racionální kořen pq , kde p, q jsou nesoudělná čísla, potom p dělí a0 a q dělí an . √ Věta 5.2.10: Nechť T 0 = T ( d) je kvadratické rozšíření tělesa T . Potom každý prvek tělesa T 0 je kořenem kvadratické rovnice s koeficienty z tělesa T. √ √ Důkaz: p+q d√ ∈ T 0 (p, q, d ∈ T , d 6∈ T ), potom samozřejmě i √ Jestliže p − q d ∈ T 0 . Číslo p + q d ∈ T 0 je potom kořenem např. rovnice √ √ [x − (p + q d)][x − (p − q d)] = x2 − 2px + p2 − q 2 d = 0, jejíž všechny koeficienty 1, −2p, p2 − q 2 d jsou prvky tělesa T . Q.E.D. Věta 5.2.11: Jestliže nemá kubická rovnice s racionálními koeficienty racionální kořen, potom žádný z jejích kořenů není PK-číslem. 22 trisekce

— z lat. rozdělení na tři stejné části

138


Důkaz: Provedeme důkaz sporem. Nechť a, b, c jsou racionální čísla a nechť kubická rovnice f (x) = x3 + ax2 + bx + c = 0 nemá racionální kořen, ale má kořen, který je PK-číslem (neboli leží v nějakém kvadratickém rozšíření √ tělesa Q). Označme T = Q a dále T = T ( d ) (k = 1, 2, . . .), tj. Tk = 0 k k−1 k √ √ √ Q( d1 , d2 , . . . , dk ). Předpokládejme dále, že v tělese Tk−1 neleží žádný kořen rovnice f (x) = 0, ale v tělese Tk leží kořen r ve tvaru p p p, q ∈ Tk−1 , dk 6∈ Tk−1 . r = p + q dk , √ Podle předcházející věty musí být číslo r = p+q dk kořenem jisté kvadratické rovnice g(x) = 0. Označme t třetí kořen kubické rovnice. Potom můžeme psát x3 + ax2 + bx + c = (x − t)(x2 − 2px + p2 − q 2 dk ). Porovnáním koeficientů u kvadratického členu x2 dostáváme a = −t − 2p

a odtud t = −a − 2p.

Jelikož a ∈ Q ⊂ Tk−1 a p ∈ Tk−1 , potom rovněž t ∈ Tk−1 , což je spor. Q.E.D. Věta 5.2.12: PK-body P , Q, R takové, že |∠P QR| = α, existují, právě když cos α je PK-číslo. y

R

1

A

B α

α 3

Q

cos

α

P

x

3

Obr. 5.2.6 Důkaz: Jinými slovy věta říká: máme-li zadán úhel ∠P QR, kde P , Q, R jsou eukleidovsky sestrojitelné body, potom lze eukleidovsky sestrojit úsečku, jejíž délka je rovna kosinu daného úhlu. A naopak. Důkaz je evidentní a plyne z eukleidovské sestrojitelnosti kolmice — stačí vhodně zvolit kartézskou soustavu souřadnic; cos α pak představuje x-ovou souřadnici bodu A, který je průsečíkem PK-přímky QR a PK-kružnice k(Q, 1). Q.E.D. 139


Sestrojit úhel α3 je tedy problém ekvivalentní s úlohou najít x-ovou souřadnici bodu B , tj. cos α3 . Obecnou eukleidovskou neřešitelnost trisekce úhlu stačí dokázat pro jeden úhel — zvolme např. α = 60◦ . Vyjdeme z goniometrického vztahu α α cos α = 4 cos3 − 3 cos 3 3 ◦ a dokážeme, že číslo x = cos 20 není PK-číslem. Dosazení cos 60◦ = 12 a cos 20◦ = x dává kubickou rovnici 8x3 − 6x − 1 = 0. Přesvědčíme se, že tato kubická rovnice nemá racionální kořen. Pro potenciální racionální kořen pq (p, q celá nesoudělná) by muselo platit, že p dělí −1 (tj. připadají v úvahu jen čísla 1, −1) a q dělí 8 (tj. připadají v úvahu čísla 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8). Racionální kořeny musíme tudíž hledat mezi prvky množiny {±1, ± 21 , ± 14 , ± 18 }. Pouhým dosazením snadno dokážeme, že ani jedno z nabízených racionálních čísel kořenem není, a proto kubická rovnice 8x3 − 6x − 1 = 0 nemá racionální kořen. Číslo cos 20◦ tudíž není PK-číslem, a proto úhel o velikosti 60◦ nelze euklediovsky rozdělit na tři shodné části. Trisekce úhlu je eukleidovsky neřešitelná úloha.

Duplikace23 krychle Pomocí pravítka a kružítka sestrojte hranu krychle, jejíž objem se rovná dvojnásobku objemu zadané krychle. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že daná krychle je jednotková. Jestliže délku hledané hrany označíme x, potom musí platit x3 = 2. Ovšem kubická rovnice x3 √ − 2 = 0 nemá racionální kořen, jak se snadno přesvědčíme, a proto číslo 3 2, které je délkou hrany hledané krychle, není PK-číslem. Duplikace krychle je eukleidovsky neřešitelná úloha.

Kvadratura24 kruhu Pomocí pravítka a kružítka sestrojte k danému kruhu čtverec o stejném obsahu. Eukleidovskou neřešitelnost prvních dvou klasických problémů dokázal poprvé v 19. století francouzský inženýr Pierre Laurent Wantzel (1814–1848); k důkazu eukleidovské neřešitelnosti třetího problému bylo nutné nejprve dokázat trancendentnost čísla π. Každé PK-číslo je tzv. algebraické, neboť je 23 duplikace

— z lat. zdvojení — z lat. přeměna na čtverec, popř. určení obsahu

24 kvadratura

140


řešením nějaké polynomické rovnice s celočíselnými koeficienty. (Pozor! - ale √ ne všechna algebraická čísla jsou PK-čísly; příkladem je výše uvedené číslo 3 2.) Reálná čísla, která nejsou algebraická se nazývají transcendentní. V roce 1882 dokázal německý matematik Ferdinand Lindemann (1852–1939), že číslo π je trancendentní. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že daný kruh je jednotkový. Jestliže délku strany čtverce označíme x, potom musí platit x2 = π. √ √ Kořen π kvadratické rovnice x2 − π = 0 je transcendentní, a proto číslo π, které je délkou strany hledaného čtverce, není PK-číslem. Kvadratura kruhu je eukleidovsky neřešitelná úloha. K uvedeným třem klasickým úlohách se často přidávají ještě dvě další — rektifikace kružnice a konstrukce pravidelného n-úhelníka. Rektifikace kružnice Pomocí pravítka a kružítka sestrojte k dané kružnici úsečku, jejíž délka je rovna délce kružnice. Úvahy jsou stejné jako u kvadratury kruhu. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že daná kružnice je jednotková. Jestliže délku úsečky označíme x, potom musí platit x = 2π. Kořen 2π rovnice x − 2π = 0 je transcendentní, a proto číslo 2π, které je délkou hledané úsečky, není PK-číslem. Rektifikace kružnice je eukleidovsky neřešitelná úloha. B |BD|=πr

r S o

30

A C

r

r

r

D

Obr. 5.2.7 V souvislosti s rektifikací kružnice se zmíníme o tzv. přibližných konstrukcích. Pod termínem přibližná konstrukce rozumíme konstrukci, pro kterou již teorie ukazuje jistou chybu, jíž jsme si vědomi — hovoříme o tzv. přesnosti 141


konstrukce. Příkladem může být Kocha´ nského rektifikace kružnice, jejíž přesnost je |πr − |BD|| < 6 · 10−5 r. Konstrukce pravidelných n-úhelníků Pomocí pravítka a kružítka sestrojte pravidelný n-úhelník. Každý si samozřejmě vybaví konstrukci pravidelného 3-úhelníku (rovnostranného trojúhelníku), pravidelného 4-úhelníku (čtverce) i pravidelného 6úhelníku. Konstrukci pravidelného 5-úhelníku jsme uvedli v této kapitole. Dalším v pořadí je pravidelný 7-úhelník. Je možné i pro něj najít algoritmus eukleidovské konstrukce? Pro zjednodušení se pokusíme vepsat pravidelný sedmiúhelník do jednotkové kružnice a jako výchozí vrchol zvolíme bod [1, 0]. Úkolem je eukleidovsky rozdělit úhel o velikosti 360◦ na 7 shodných úhlů. Obdobně jako v případě trisekce úhlu můžeme využít goniometrický vzorec, tentokrát cos 7α = 64 cos7 α − 112 cos5 α + 56 cos3 α − 7 cos α. Vynásobíme-li uvedený vztah 2 a upravíme jej, dostaneme (2 cos α)7 − 7(2 cos α)5 + 14(2 cos α)3 − 7(2 cos α) − 2 cos 7α = 0. Odtud už je pouhý krok k rovnici sedmého stupně (substituce x = 2 cos α a 7α = 360◦ ) x7 − 7x5 + 14x3 − 7x − 2 = 0. která má sedm kořenů xk = 2 cos

k · 360◦ , 7

k = 0, 1, . . . , 6.

Pro tyto kořeny platí x0 = 2, x1 = x6 , x2 = x5 , x3 = x4 a uvedenou rovnici lze navíc upravit na přijatelnější tvar (x − 2)(x3 + x2 − 2x − 1)2 = 0, jak se snadno přesvědčíme pouhým roznásobením. Kubická rovnice x3 + x2 − 2x − 1 = 0 však nemá racionální kořeny, a proto ◦ ◦ 2·360◦ a x3 = 2 cos 3·360 nejsou PK-čísla. čísla x1 = 2 cos 360 7 , x2 = 2 cos 7 7 Konstrukce pravidelného sedmiúhelníku je eukleidovsky neřešitelná úloha. Eukleidovské konstrukce pravidelných n-úhelníků začali hledat už starořečtí matematici a podařilo se jim najít postupy pro n = 3 · 2k , 4 · 2k , 5 · 2k , 15 · 2k , 142

k = 0, 1, 2, . . .


Nezdarem však skončily pokusy o eukleidovskou konstrukci např. pro n = 7, 9, 11, a tak vznikly pochybnosti zdali kromě výše uvedených n vůbec existují nějaké další eukleidovsky konstruovatelné pravidelné n-úhelníky. Tyto pochybnosti trvaly dvě tisíciletí, až roku 1796 dokázal K. F. Gauss, že lze eukleidovsky sestrojit pravidelný 17-úhelník. Posléze ještě dokázal, že pravidelný n-úhelník se dá sestrojit nejen pro n = 24 + 1 = 17, ale i pro n = 28 + 1 = 257 a n = 216 + 1 = 65 537 a obecně pro každé prvočíslo ve tvaru a

n = 22 + 1,

kde a = 0, 1, 2, . . .

Uvedená prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Pierre Fermat se domníval, že všechna tato čísla jsou prvočísly, ale již v roce 1732 Leonhard Euler (1701–1783) ukázal se, že pro a = 5 nedostaneme prvočíslo, ale složené číslo 232 + 1, které je součinem prvočísel 641 a 6 700 417. Dodnes známe jen pět Fermatových prvočísel a je možné, že ani žádná další neexistují. Všechny eukleidovsky konstruovatelné pravidelné n-úhelníky popisuje následující věta: Věta 5.2.13: (Gaussova-Wantzelova věta) Pravidelný n-úhelník je eukleidovsky sestrojitelný, právě když buďto n = 4 · 2k (k = 0, 1, . . ., anebo n = p1 ·· · · pm ·2k (k = 0, 1, . . .), kde p1 , p2 , . . . pm jsou Fermatova prvočísla.

5.3

Apolloniovy úlohy

Řecký matematik, fyzik a astronom Apollónios z Pergy proslul nejen studiem kuželoseček jako rovinných řezů kuželové plochy (mj. zavedl názvy elipsa, parabola, hyperbola), ale je dobře znám i díky své knize O dotycích, v níž se zabýval konstrukcemi kružnic, které se dotýkají zadaných tří útvarů (bodů, přímek, kružnic). Tyto úlohy dodnes nazýváme Apolloniovy úlohy. Dílo se sice nedochovalo, ale z citací známe jeho obsah — Apollónios požadoval konstrukce jen pravítkem a kružítkem, znal stejnolehlost i kruhovou inverzi. Apolloniova úloha: Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body). Sestrojte kružnici, která se dotýká zadaných kružnic nebo přímek a prochází zadanými body. ♦ Celkem můžeme najít 10 základních typů Apolloniových úloh, a to BBB (bodbod-bod ), BBp (bod-bod-přímka), BBk (bod-bod-kružnice), Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk, pkk a kkk. Platí, že obecná Apolloniova úloha má nejvýše osm řešení. Je samozřejmé, že každá z výše uvedených úloh zahrnuje opět zvláštní případy (podúlohy), které mohou mít specifické způsoby řešení. Například pro úlohu 143


Bpp musíme rozlišovat, zda jsou přímky rovnoběžné, anebo různoběžné; zda bod leží na jedné z přímek, na žádné z nich, resp. na obou. Speciálními případy Apolloniových úloh jsou tzv. Pappovy úlohy Pappova úloha: Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body), z nichž alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod leží na dané kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové křivky v daném bodě a dále se dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem. ♦ Rozlišujeme celkem 6 typů Pappových úloh, a to pT B (přímka s bodem dotyku a další bod ), pT p0 , pT k, kT B, kT p a kT k 0 . Uvědomíme-li si však, že jednoduchou konstrukcí tečny p v bodě dotyku T převedeme úlohy typu kT . . . na úlohy pT . . ., stačí řešit jen první tři typové úlohy. B T

S

p

k

Obr. 5.3.1 Jednotlivé zvláštní případy obecné Apolloniovy úlohy řešíme různými způsoby. Některé jsou jednoduché (např. BBB — konstrukce kružnice opsané trojúhelníku), jiné vyžadují složitější úvahy. Při řešení budeme většinou používat konstrukci metodou množin všech bodů dané vlastnosti a konstrukci metodou geometrických zobrazení; použití algebraicko-geometrické metody není tak časté. Příklad 5.3.1. Je dána přímka a s vyznačeným bodem T a další přímka b, která protíná přímku a v bodě V 6= T . Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímky a v bodě T a přímky b. ♦ Rozbor: Jedná se o Pappovu úlohu pT p0 (speciální případ úlohy Bpp). Řešení provedeme užitím metody množin všech bodů dané vlastnosti, tj. neznámé body určíme jako prvky průniku dvou takových množin. Pro sestrojení hledané kružnice k musíme určit její střed S a poloměr r — vzhledem k tomu, že kružnice k má procházet bodem T , je r = |ST |, a proto stačí určit jen střed S. 144


b l S

k

V T

a k’

S’

Obr. 5.3.2

Množinou M1 středů všech kružnic, které se dotýkají různoběžek a, b, jsou dvě navzájem kolmé přímky (sjednocení čtyř os úhlů vymezených přímkami a, b) bez bodu V . Množinou M2 středů všech kružnic, které se dotýkají přímky a v bodě T , je přímka l kolmá k přímce a procházející bodem T , s výjimkou bodu T . Pro bod S máme tedy dvě podmínky, tj. S ∈ M1 ∩ M2

Konstrukce: 1. a, b, a ∩ b = {V }; T (T ∈ a, T 6= V ) 2. M1 ; M1 = {X ∈ E; |X, a| = |X, b| ∧ X 6= V } 3. M2 ; M2 = l \ {T }, kde l ⊥ a ∧ T ∈ l 4. S; S ∈ M1 ∩ M2 5. k(S, |ST |) Důkaz konstrukce: Správnost konstrukce je zřejmá z rozboru. Diskuse: Z bodu 4 plyne, že přímka l protne množinu M2 ve dvou bodech. Úloha má dvě řešení. Poznámka Kdyby byly přímky a, b z předcházejícího příkladu rovnoběžné, řešili bychom Apolloniovu úlohu obdobně pouze s tím rozdílem, že množinou M1 středů všech kružnic, které se dotýkají rovnoběžek a, b, by byla osa pásu vymezeného přímkami a, b. Úloha by pak měla 1 řešení. Příklad 5.3.2. Jsou dány různoběžky p, q a bod B (B 6∈ p, B 6∈ q). Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímek p, q a prochází bodem B. ♦ Rozbor: Jedná se o Apolloniovu úlohu Bpp. Řešení provedeme užitím metody zobrazení. Střed každé kružnice, která se dotýká různoběžek p, q, musí ležet na jedné ze dvou navzájem kolmých přímek (sjednocení čtyř os úhlů). Pro řešení této úlohy vystačíme s osou o úhlu, jemuž náleží bod B. Sestrojíme libovolnou kružnici k 0 (S 0 , r0 ), která se dotýká přímek p, q (tj. je vepsána do téhož úhlu jako hledaná kružnice k; pouze nesplňuje podmínku incidence s bodem B). 145


Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, tj. speciálně v tomto B o případě jsou stejnolehlé hledaná0 kružnice k a zvolená kružnice k — a to ve stejnolehlosti se středem V ({V } = p ∩ q). Bod B S k leží na kružnici k, a proto s ním B’ stejnolehlý bod B 0 musí ležet na kružnici k 0 . Navíc vzhledem k deS’ k’ finici stejnolehlosti jsou vzor, obp T1 V T 1’ raz a střed stejnolehlosti kolineObr. 5.3.3 ární, a proto B 0 ∈↔ V B. Ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto jsou přímky SB a S 0 B 0 rovnoběžné. Bod S tak leží na ose o a současně na přímce vedené bodem B rovnoběžně s přímkou S 0 B 0 . q

Konstrukce: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

p, q, p ∩ q = {V }; B (B 6∈ p, B 6∈ q) o — osa úhlu vymezeného p, q, ve kterém leží B S 0 ; S 0 ∈ o, S 0 6= V T10 ; T10 ∈ p ∧ S 0 T10 ⊥ p k 0 (S 0 , |S 0 T10 |) B 0 ; B 0 ∈ 7→ V B ∩ k S; S ∈ o ∧ S 0 B 0 k SB T1 ; T1 ∈ p ∧ ST1 ⊥ p k(S, |ST1 |)

Důkaz konstrukce: Uvažujme stejnolehlost se středem V (p ∩ q = {V }), která převádí bod B 0 do bodu B. Protože body S i S 0 leží oba na o (samodružná přímka) a současně SB k S 0 B 0 , je obrazem bodu S 0 bod S. Obrazem kružnice ve stejnolehlosti je opět kružnice, a proto se k 0 (S 0 , |S 0 B 0 |) zobrazí na k(S, |SB|). Přímka p (resp. q) je tečnou kružnice k 0 procházející středem stejnolehlosti kružnic k 0 a k, a proto je společnou tečnou těchto kružnic. Kružnice k se dotýká přímek p, q a prochází bodem B — tj. jsou splněny podmínky ze zadání úlohy. Diskuse: Z bodu 6 plyne, že polopřímka V B protne kružnici k 0 ve dvou různých průsečících, tj. dostáváme dva body B10 , B20 . Dle bodu 7 k bodu B10 (resp. B20 ) sestrojíme jediným způsobem bod S1 (resp. S2 ). Úloha má dvě řešení. 146


Příkladem použití algebraicko-geometrické metody může být řešení následující Apolloniovy úlohy: Příklad 5.3.3. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané přímky t a prochází danými body A 6= B (A, B náleží vnitřku téže poloroviny s hraniční přímkou t. ♦ Jestliže AB k t, potom střed S kružnice k leží na ose úsečky AB. Protože je o ⊥ AB, je rovněž o ⊥ t, a proto bod T ∈ o ∩ t je bodem dotyku kružnice k a přímky t. Úloha má jedno řešení. Jestliže AB 6k t, označíme M jejich průsečík. Jelikož body A, B leží na kružnici k, je mocnost bodu M ke kružnici k µM k = |M A| · |M B|. Pro dotykový bod T na tečně t potom musí platit |M T |2 = |M A| · |M B|. Stačí tedy sestrojit střední geometrickou úměrnou |M T | — viz str. 133.

k’ A k

S T

S’ B M

T’

t

Obr. 5.3.4 0 Na p přímce t existují dva body T a T , jejichž vzdálenost od bodu M je |M A| · |M B|; úloha má dvě řešení.

Významnou roli při řešení Apolloniových úloh sehrává použití kruhové inverze. V některých případech (zvláště je-li mezi zadanými prvky bod) je vhodné pomocí kruhové inverze (zadaný bod pak volíme za střed inverze) převést danou úlohu na úlohu jednodušší — tzv. vnitřní úloha — tu vyřešíme (metodou množin všech bodů dané vlastnosti nebo metodou geometrických zobrazení) a výsledek vnitřní úlohy převedeme pomocí téže kruhové inverze (involuce!) na výsledek původní úlohy. Zdůrazněme jen, že v tomto případě kruhová inverze úlohu neřeší, ale pouze ji převádí na jednodušší! Příklad 5.3.4. Jsou dány kružnice l, m a bod A, který neleží na žádné z nich. Sestrojte kružnici k, která prochází bodem A a dotýká se kružnic l, m. ♦ Jedná se o Apolloniovu úlohu Bkk. Provedeme jen stručný rozbor konstrukční úlohy, zbytek ponecháme čtenáři. Použijeme transformaci úlohy na jednodušší úlohu pomocí kruhové inverze. Mezi zadanými prvky je bod, který zvolíme za střed inverze. Základní kružnici 147


inverze ω můžeme volit libovolně, ovšem z praktických důvodů se nabízejí některá usnadnění. Na kružnici ω leží samodružné body, a proto je možné volit ω tak, aby protla kružnici l, resp. m, resp. obě (samozřejmě je-li to možné). Jinou možností je volit ω tak, aby l (resp. m) a ω byly ortogonální — kružnice kolmá na základní kružnici inverze je totiž samodružná. Nezávisle na volbě poloměru základní kružnice obecně platí: • bod A (střed inverze) přechází na nevlastní bod ∞; • daná kružnice l neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnici l0 neprocházející středem inverze; • daná kružnice m neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnici m0 neprocházející středem inverze; • hledaná kružnice k procházející středem inverze se zobrazí na přímku k 0 ; Nyní zformulujeme zadání vnitřní úlohy. O přímce k 0 víme, že prochází nevlastním bodem ∞ (tak jako všechny přímky v Möbiově rovině M2 ), a vzhledem k tomu, že k se dotýká l a m, musí se i k 0 dotýkat l0 a m0 . Hledáme tedy přímku, která se dotýká dvou kružnic. Vnitřní úloha: Sestrojte společnou tečnu dvou kružnic. Řešení vnitřní úlohy je snadné (použití středů stejnolehlosti). Jakmile máme sestrojenou společnou tečnu k 0 kružnic l0 a m0 , je možné sestrojit i kružnici k, neboť IN V(ω) : k 0 → k. Řešitelnost a počet řešení dané úlohy závisí samozřejmě na počtu společných tečen kružnic l0 a m0 ; úloha má nejvýše čtyři řešení. Otázkou je, jak a zdali vůbec můžeme použít kruhovou inverzi v případech, kdy mezi zadanými prvky nefiguruje žádný bod. Potom záleží na vzájemné poloze zadaných kruhových křivek. Jestliže se protínají, resp. dotýkají, volíme za střed inverze průsečík, resp. bod dotyku — viz následující příklad. Příklad 5.3.5. Jsou dány kružnice k1 , k2 , k3 , které se po dvou navzájem protínají a všechny tři procházejí bodem O. Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří zadaných kružnic. ♦ V inverzi se středem O přejdou kružnice k1 , k2 , k3 na po dvou různoběžné přímky k10 , k20 , k30 . Obrazem hledané kružnice k je kružnice k 0 , která se dotýká přímek k10 , k20 , k30 . Vnitřní úlohou je tak opět Apolloniova úloha, a to úloha ppp, která má obecně až 4 řešení — kružnice vepsaná trojúhelníku a 3 kružnice připsané trojúhelníku (středy kružnic připsaných nalezneme jako průsečíky os vnějších úhlů trojúhelníka). 148


Nefiguruje-li mezi zadanými prvky bod a navíc neexistuje žádný společný bod zadaných kruhových křivek, můžeme použít algoritmus z následujícího příkladu: Příklad 5.3.6. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1 (O1 , r1 ), k2 (O2 , r2 ), které nemají žádný společný bod. Ukažte, že potom existuje kruhová inverze, která převede zadané dvě kružnice na kružnice soustředné. ♦ Nejprve sestrojíme kružnici k se středem R na středné ↔ O1 O2 takovou, že ortogonálně protíná obě zadané kružnice k1 , k2 (víme, že R je průsečík chordály ch kružnic k1 , k2 se střednou a poloměr kružnice k je roven úseku na tečně vedené z bodu R ke kružnici k1 , resp. k2 ). Průsečíky kružnice k s přímkou ↔ O1 O2 označme A a B. Zvolíme základní kružnici inverze ω(A, |AB|). Platí, že v takto zadané inverzi IN V(ω) přejdou kružnice k1 , k2 na soustředné(!) kružnice k10 , k20 . k’ ch k’1 ω

k2

k1 k’2 k O1 A

R

B

O2

Obr. 5.3.5 Zdůvodnění předcházejícího závěru je následující. O kružnici k víme, že prochází středem inverze A a dotýká se základní kružnice ω v samodružném bodě B. Proto přejde na přímku k 0 , která prochází bodem B a dotýká se základní kružnice ω, neboli jedná se o kolmici na přímku O1 O2 v bodě B. Jelikož platí k1 ⊥ k a k2 ⊥ k, musí rovněž platit k10 ⊥ k 0 a k20 ⊥ k 0 (kruhová inverze zachovává úhel kruhových křivek). Ovšem přímka je kolmá na kružnici v případě, že prochází jejím středem, a proto střed kružnice k10 resp. k20 leží na přímce k 0 . Dále je zřejmé, že střed kružnice k10 resp. k20 musí ležet na přímce AO1 , 149


resp. AO2 , tj. v obou případech na přímce O1 O2 . Vidíme, že střed kružnice k10 leží na přímce k 0 a na přímce O1 O2 , tj. jedná se o bod B. Totéž platí i pro kružnici k20 , a proto jsou obrazy daných kružnic soustředné kružnice se středem v bodě B. Příklad 5.3.7. Jsou dány kružnice k1 , k2 , k3 vždy po dvou ležící vně sebe. Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří zadaných kružnic. ♦ Pomocí algoritmu z předcházejícího příkladu zobrazíme dvě kružnice, např. k1 , k2 , na dvě soustředné kružnice. V závislosti na tom, zda střed inverze leží či neleží na třetí kružnici k3 se tato zobrazí buďto na kružnici, anebo na přímku. Dostáváme tak vnitřní úlohu: Jsou dány dvě soustředné kružnice k10 , k20 a další kružnice (popř. přímka) k30 . Sestrojte kružnici k 0 , která se dotýká všech tří uvedených křivek. Tato Apolloniova úloha má až 8 řešení — viz příklad 3.7.1. Označíme-li E, resp. I vnější, resp. vnitřní dotyk kružnice k a ki , je zřejmé, že pro počet řešení 8 nastávají tyto možnosti: EEE, EEI, EIE, IEE, EII, IEI, IIE, III.

k2

k1

O2

O1

k3 O3

Obr. 5.3.6 150

6. Grupy geometrických transformací

6 6.1

Grupy geometrických transformací Pojem grupy

Množinu G, na které je definována alespoň jedna binární operace, nazýváme algebraická struktura — např. množina přirozených čísel s operací sčítání (N, +), množina reálných čísel s operacemi sčítání a násobení (R, +, ·) apod. Podle počtu definovaných binárních operací pak hovoříme o algebraické struktuře s jednou binární operací, se dvěma binárními operacemi, se třemi apod. D EFINICE 6.1.1: Říkáme, že algebraická struktura (G, ~) je grupa a binární operace ~ je grupovou operací, právě když platí: (g1) operace ~ je uzavřená — tj. (∀a, b ∈ G)(a ~ b ∈ G); (g2) operace ~ je asociativní — tj. (∀a, b, c ∈ G)[(a ~ b) ~ c = a ~ (b ~ c)]; (g3) existuje neutrální prvek — tj. (∃e ∈ G)(∀a ∈ G)(a ~ e = e ~ a = a); (g4) ke každému prvku existuje prvek inverzní — tj. (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G)(a~ a−1 = a−1 ~ a = e). Jestliže navíc platí, že (g5) operace ~ je komutativní — tj. (∀a, b ∈ G)(a ~ b = b ~ a), potom hovoříme o tzv. komutativní (neboli Abelově či abelovské) grupě. Každá grupa má právě jeden neutrální prvek a ke každému prvku grupy existuje právě jeden prvek inverzní. Je-li počet prvků grupy G konečný, nazýváme jej řádem grupy G a říkáme, že grupa G je konečná, v opačném případě hovoříme o nekonečné grupě G. Příkladem grupy může být aditivní grupa celých čísel (Z, +) nebo multiplikativní grupa nenulových racionálních čísel (Q \ {0}, ·) atd. D EFINICE 6.1.2: Říkáme, že algebraická struktura (H, ~) je podgrupou grupy (G, ~), jestliže platí 1. H ⊂ G, 2. (H, ~) je grupa. Podgrupy (G, ~) a ({e}, ~) nazýváme triviálními podgrupami grupy (G, ~). A tak např. aditivní grupa celých čísel (Z, +) je netriviální podgrupou aditivní grupy racionálních čísel (Q, +) apod. Uvažujme dále množinu G geometrických zobrazení a binární operaci ◦ skládání geometrických zobrazení. Potom operace ◦ na množině G je asociativní, není obecně komutativní a každá podmnožina množiny G obsahující identitu má neutrální prvek. 151


6.2

Kleinův grupově-kinematický pohled na geometrii

V roce 1872 se Felix Klein stal profesorem na univerzitě v Erlangen. Ve své nástupní přednášce Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen objasnil nový sjednocující pohled na geometrii využívající grupy geometrických zobrazení. Tato přednáška se stala známou pod názvem Erlangenský program. Geometrický prostor v Kleinově smyslu je dvojice (S, G), kde S je nějaká neprázdná množina základních objektů, které nazýváme body, a G je jistá grupa geometrických transformací, která operuje na množině S. Za charakteristické vlastnosti každé geometrie (eukleidovská geometrie, hyperbolická geometrie, projektivní geometrie apod.) vzal Klein ty vlastnosti, které jsou invariantní vůči určité grupě geometrických zobrazení (eukleidovská grupa (grupa shodností), hyperbolická grupa, projektivní grupa apod.). Pomocí grupové terminologie pak provedl klasifikaci jednotlivých geometrií a ukázal jejich vzájemné vztahy a souvislosti. Kleinova geometrie zahrnovala v době svého vzniku všechny tehdy známé geometrie, tj. jak uvidíme i geometrii eukleidovskou či hyperbolickou. Z tohoto důvodu se v této kapitole objeví nové definice těchto geometrií v souladu s Kleinovým přístupem, ačkoliv jsme již jejich definice uvedli v kapitole věnované Eukleidově-Hilbertově axiomatickému systému. Rozdílnost obou přístupů výstižně charakterizuje např. zpracování shodnosti: v Kleinově pojetí budeme pracovat se shodností dynamicky, nikoliv staticky; oproti tomu Hilbert místo toho, aby uvažoval pohyb objektů (zobrazení jednoho na druhý), pouze předpokládal možnost konstrukce objektu se stejnými geometrickými vlastnostmi, jaké má zadaný objekt (možnost vytvoření „přesné kopieÿ). Klein charakterizuje každou geometrii pomocí • množiny S objektů — bodů geometrie; a • grupy G transformací na množině S. D EFINICE 6.2.1: Geometrický útvar je množina bodů, tj. každá podmnožina množiny S. G-vlastnost je geometrická vlastnost invariantní vůči prvkům grupy G. Geometrické útvary P a Q jsou G-kongruentní, jestliže existuje takový prvek grupy G, který zobrazuje P na Q. Poznamenejme, že jestliže útvary P a Q jsou G-kongruentní, potom mají stejné G-vlastnosti, neboť všechny G-vlastnosti jsou invariantní vzhledem ke grupě G. 152


Z vlastností grupy navíc plyne, že vztah „býti G-kongruentníÿ je reflexivní, symetrický a tranzitivní a je tedy relací ekvivalence. Všechny útvary stejného typu lze tudíž pomocí grupy G rozdělit na třídy navzájem G-kongruentních útvarů. Studium geometrie, která je asociována s grupou G, se skládá z: • určování G-vlastností; • popisu tříd G-kongruentních útvarů; • formulací a důkazů vět týkajících se G-kongruencí a G-vlastností. Jak uvidíme v další kapitole, např. eukleidovskou geometrii lze popsat pomocí • množiny R2 uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y] (souřadnic bodů v rovině) • a grupy E(2) generované translacemi, rotacemi a osovými souměrnostmi na R2 . Jelikož každá z uvedených transformací zachovává vzdálenost dvou bodů, je vzdálenost E(2)-vlastností eukleidovské geometrie neboli eukleidovskou vlastností. Výhodou Kleinova přístupu je fakt, že přirozeným způsobem umožňuje nacházet vztahy mezi jednotlivými geometriemi a zavést tak klasifikaci geometrií. Předpokládejme, že G je grupa transformací na množině S a H je podgrupa grupy G. Potom H je rovněž grupa transformací na množině S a definuje tím pádem jinou geometrii na téže množině S. Věta 6.2.1: Nechť G je grupa transformací na množině S a H je podgrupa grupy G. Jestliže jsou dva útvary H-kongruentní, potom jsou i Gkongruentní. Důkaz: Nechť P a Q jsou H-kongruentní, potom existuje taková transformace h ∈ H, že h(P ) = Q. Ovšem H je podgrupou grupy G, a proto rovněž h ∈ G, tj. P a Q jsou také G-kongruentní. Q.E.D. Odtud vyplývá, že každá třída G-kongruentních útvarů je sjednocením tříd H-kongruentních útvarů, tj. v geometrii definované grupou G je méně, avšak větších tříd navzájem kongruentních útvarů než v geometrii definované podgrupou H. Ukažme si tuto skutečnost na konkrétním příkladu: Příklad 6.2.1. Od grupy shodností E(2) můžeme přejít ke grupě podobností P (2) (o grupách E(2) a P (2) podrobněji v kapitolách 6.3 a 6.4) pouhým přidáním transformace, která násobí délky všech úseček konstantou k ∈ R+ (stejnolehlost!). Uvažujme třídu E(2)-kongruentních útvarů, která obsahuje kružnici k: x2 + y 2 = 1 (střed [0, 0], poloměr 1). Nechť T ∈ E(2) je translace. Jelikož T zachovává délku úsečky, je obrazem kružnice k kružnice k 0 = T (k) se středem T ([0, 0]) a poloměrem 1. Naopak — jestliže kružnice k 0 má střed P 153


a poloměr 1, potom translace, která zobrazuje počátek O do bodu P , zobrazí kružnici k do kružnice k 0 . A proto třída obsahující kružnici k obsahuje všechny kružnice s poloměrem 1. Obdobně bychom postupovali pro libovolný poloměr r > 0. V eukleidovské geometrii tak existuje nekonečně mnoho disjunktních tříd E(2)-kongruentních kružnic. Nyní nechť H ∈ P (2) je stejnolehlost se středem [0, 0] a koeficientem κ > 0. Jelikož homotetie zobrazuje kružnici na kružnici, je k 0 = H(k) kružnice se středem [0, 0] a poloměrem κ. Jestliže naopak k 0 má střed P a poloměr r, potom zobrazíme k na k 0 nejprve pomocí translace, která zobrazuje počátek O do bodu P , a poté pomocí stejnolehlosti se středem P a koeficientem r. Třída obsahující kružnici k obsahuje nyní všechny kružnice s jakýmkoliv poloměrem! Vidíme, že třída P (2)-kongruentních útvarů, jejímž reprezentantem je kružnice k, obsahuje třídu E(2)-kongruentních útvarů s týmž reprezentantem k a je sjednocením všech eukleidovských tříd E(2)-kongruentních kružnic. Věta 6.2.2: Nechť G je grupa transformací na množině S a H je podgrupa grupy G. Jestliže V je G-vlastnost, potom je rovněž i H-vlastností. Důkaz: Nechť V je G-vlastnost, tj. je invariantní vzhledem ke všem prvkům g z grupy G. Speciálně h ∈ H j G, a proto vzhledem ke všem transformacím h je V rovněž invariantem a jedná se o H-vlastnost. Q.E.D. Odtud vyplývá, že geometrie definovaná na množině S grupou G má méně vlastností než geometrie definovaná pogrupou H. Oproti tomu geometrie určená podgrupou H je bohatší co do invariantů, pojmů a vět. Příklad 6.2.2. Uvažujme opět grupy E(2) a P (2) na množině R × R. Jelikož všechny osové souměrnosti, rotace a translace zachovávají délku úsečky i velikost úhlu, každý prvek grupy shodností, která je uvedenými transformacemi generována, musí také zachovávat délku úsečky i velikost úhlu. Délka úsečky a velikost úhlu jsou E(2)-vlastnostmi (eukleidovskými vlastnostmi). Každá stejnolehlost zobrazuje úhel na úhel shodný, a proto každý prvek ekviformní grupy (grupy podobností) zachovává velikost úhlu, avšak pro |κ| = 6 1 dochází ke změně délek úseček. Velikost úhlu je vlastností obou geometrií, avšak délka úsečky je vlastností výhradně eukleidovskou.

6.3

Eukleidovská grupa

Symbol E (resp. E2 ) značí eukleidovskou rovinu se souřadným systémem, v němž je každému bodu X přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [x, y]. Označení „bod Xÿ a „bod [x, y]ÿ budeme považovat za ekvivalentní. Označení X[x, y] budeme číst bod X se souřadnicemi [x, y]; označení X = [x, y] čteme bod X je totožný s bodem [x, y]. Připomeňme ještě vzorec pro eukleidovskou 154


vzdálenost dvou bodů [x1 , y1 ], [x2 , y2 ] v kartézské soustavě souřadnic p d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . D EFINICE 6.3.1: Shodné zobrazení (shodnost, izometrie) je zobrazení na množině E, které zachovává vzdálenost dvou bodů. Typickými příklady shodných zobrazení, se kterými jsme se již setkali, jsou • identita I; • osová souměrnost O(o) podle přímky o; • rotace R(S, ϕ) kolem středu S o úhel ϕ — včetně speciálních případů R(S, (2k + 1)π), což je středová souměrnost S(S), a R(S, 2kπ), což je identita I; • translace T (AA0 ) zobrazující bod A do bodu A0 . y

+90o

[-y,x]

[x,y] [x+1,y-1] 1

x

-1 [-x,-y]

[x,-y]

Obr. 6.3.1 Příklad 6.3.1. Nechť v zobrazení Z přejde bod X[x, y] do bodu X 0 [x0 , y 0 ], potom snadno nahlédneme, že: • je-li Z identita, lze ji v kartézské soustavě souřadnic popsat rovnicemi x0 = x y0 = y • je-li Z osová souměrnost podle osy x, lze ji popsat rovnicemi x0 y0

= x = −y 155


• je-li Z středová souměrnost podle počátku, lze ji popsat rovnicemi x0 y0

= −x = −y

• je-li Z rotace podle počátku o + π2 , lze ji popsat rovnicemi x0 y0

= −y = x

• je-li Z translace zobrazující počátek do bodu [1, −1], lze ji popsat rovnicemi x0 y0

= x+1 = y−1

Věta 6.3.1: Všechny izometrie v rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. Důkaz: Platí, že skládání geometrických zobrazení je obecně asociativní a platí to samozřejmě speciálně i pro shodnosti, identita jako neutrální prvek patří mezi shodnosti, a proto zbývá ověřit jen uzavřenost operace skládání shodností a existenci inverzní shodnosti ke každé shodnosti. Nechť ve shodnosti S1 přejde bod X na bod X 0 a bod Y na bod Y 0 , tj. platí |X 0 Y 0 | = |XY | a ve shodnosti S2 bod X 0 na bod X 00 a bod Y 0 na bod Y 00 , tj. |X 00 Y 00 | = |X 0 Y 0 |. Potom ve složeném zobrazení S1 ◦ S2 přejde bod X na bod X 00 a bod Y na bod Y 00 , pro něž platí |X 00 Y 00 | = |X 0 Y 0 | = |XY |, a proto se jedná opět o shodnost. Skládání shodností je uzavřená operace. Shodnost je prosté zobrazení. (V opačném případě by existovaly různé body X, Y , které by v jisté shodnosti přešly na dva totožné body X 0 = Y 0 . Ale potom by evidentně neplatila rovnost |X 0 Y 0 | = |XY |, neboť první číslo by bylo nulové a druhé nenulové). Ke shodnému zobrazení můžeme tedy vytvořit zobrazení inverzní a vzhledem k symetrii rovnosti |X 0 Y 0 | = |XY | ⇒ |XY | = |X 0 Y 0 | je zřejmé, že inverzní zobrazení ke shodnosti je opět shodností. Q.E.D. D EFINICE 6.3.2: Grupu všech izometrií nazýváme eukleidovská (izometrická) grupa. Eukleidovskou grupu budeme značit E(2). D EFINICE 6.3.3: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou E(2) se nazývá eukleidovská geometrie. Věta 6.3.2: Shodná zobrazení zachovávají velikosti úhlů Důkaz: Podle kosinové věty závisí velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka na velikosti jeho stran, a proto shodná zobrazení zachovávají kromě velikosti úseček i velikosti úhlů. Q.E.D. 156


D EFINICE 6.3.4: Izometrie, která zachovává orientaci úhlů se nazývá přímá. Izometrie, která obrací orientaci úhlů se nazývá nepřímá. Translace a rotace (tj. i středová souměrnost a identita) jsou přímými shodnostmi, zatímco osová souměrnost je nepřímá shodnost. Je zřejmé, že každá shodnost je buďto přímá, nebo nepřímá. Navíc je zřejmá platnost následující věty: Věta 6.3.3: Všechny přímé izometrie v rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu, která je podgrupou eukleidovské grupy E(2). Grupu přímých shodností značíme E + (2). Příklad 6.3.2. Snadno bychom dokázali, že množina všech translací doplněná identitou tvoří grupu, která je podgrupou grupy přímých shodností, a tím i podgrupou eukleidovské grupy. Lemma 6.3.1. Nechť Z je izometrie a nechť body O[0, 0] a X[1, 0] jsou samodružné. Potom • buďto Z je identita; • nebo Z je osová souměrnost podle x. y

P [x,y] Y [0,1]

O [0,0]

x

X [1,0]

Obr. 6.3.2 Důkaz: (obr. 6.3.2) Nechť P = [x, y] a nechť Z(P ) = Q, kde Q = [x0 , y 0 ]. Jelikož počátek O je samodružný bod a Z je izometrie (tj. zachovává délky), potom musí platit |OP | = |OQ| a po drobné úpravě můžeme psát 2

2

x2 + y 2 = x0 + y 0 . Rovněž X je samodružný bod, a proto |XP | = |XQ|, tj. (x − 1)2 + y 2 = (x0 − 1)2 + y 0 Odečtením první rovnice od druhé dostaneme −2x + 1 = −2x0 + 1, 157

2


a proto x0 = x. Nechť Y [0, 1] a nechť Z(Y ) = Y 0 . Jelikož Z je izometrie, potom |OY 0 | = 1. Neboť přímka OY (osa y) je kolmá na přímku OX (osa x) a body O, X jsou samodružné, potom rovněž přímka OY 0 musí být kolmá na přímku OX (izometrie zachovává úhly) a tudíž bod Y 0 leží na ose y. A vzhledem k faktu |OY 0 | = 1, je zřejmé, že buďto Y 0 = Y , nebo Y 0 = [0, −1]. V prvém případě z |P Y | = |QY 0 | plyne 2

x2 + (y − 1)2 = x0 + (y 0 − 1)2 a po úpravě dostáváme y 0 = y, neboli jedná se o identitu. V druhém případě z |P Y | = |QY 0 | plyne 2

x2 + (y − 1)2 = x0 + (y 0 + 1)2 a po úpravě dostáváme y 0 = −y, neboli jedná se o osovou souměrnost podle osy x. Q.E.D. Zvolíme-li dva různé body A, B za body O, X kartézské soustavy, potom je možné předcházející větu zobecnit: Věta 6.3.4: Shodnost v rovině, která má alespoň dva různé samodružné body, je buďto identita, nebo osová souměrnost. Důsledek 6.3.1. Přímka spojující dva různé samodružné body obsahuje pouze samodružné body. Nyní nás bude zajímat shodné zobrazení, které má přímku samodružných bodů a mimo ni další samodružný bod. Takové zobrazení existuje a je to identita. Věta 6.3.5: Shodnost v rovině, která má alespoň tři nekolineární samodružné body, je identita. Důkaz: (obr. 6.3.3) Uvažujme nekolineární samodružné body A, B, C. Jelikož jsou body A, B samodružné, potom je každý bod přímky AB samodružný vzhledem k dané shodnosti. Nechť bod X probíhá přímku AB. Stejnou úvahu zopakujeme ještě jednou: jelikož jsou body C, X samodružné, potom je rovněž každý bod přímky CX samodružný. Dostáváme svazek přímek se středem v bodě C, přičemž všechny body všech přímek svazku jsou samodružné. Každý bod roviny je tedy samodružný a daná shodnost je identitou. Q.E.D. 158


C

X1 A X2

B X3 x2

x1

x3

Obr. 6.3.3 Věta 6.3.6: (O určenosti shodného zobrazení:) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 takové že platí |A0 B 0 | = |AB|,

|B 0 C 0 | = |BC|,

|C 0 A0 | = |CA|.

Potom existuje jediné shodné zobrazení, které převádí bod A do bodu A0 , bod B do bodu B 0 a bod C do bodu C 0 . Důkaz: Nejprve dokážeme existenci takového zobrazení. C C1 B

C2

B1

A B’

A’

C’

Obr. 6.3.4 Jestliže A 6= A0 , potom translace T (A → A0 ) převádí bod A do bodu A1 = A0 , bod B do bodu B1 a bod C do bodu C1 , přičemž platí |A0 B1 | = |AB|, |B1 C1 | = |BC| a |C1 A0 | = |CA|. Jestliže B1 6= B 0 , potom rotace R0 (A, B1 → B 0 ) převede bod A0 do bodu A0 , bod B1 do bodu B 0 a bod C1 do bodu C2 , přičemž platí |A0 B 0 | = |A0 B1 | = |AB|, |B 0 C2 | = |B1 C1 | = |BC| a |C2 A0 | = |C1 A0 | = |CA|. 159


Jestliže C2 6= C 0 , potom osová souměrnost O(↔ A0 B 0 ) převede bod A0 do bodu A0 , bod B 0 do bodu B 0 a bod C2 do bodu C 0 , přičemž platí |A0 B 0 | = |A0 B1 | = |AB|, |B 0 C 0 | = |B 0 C2 | = |B1 C1 | = |BC| a |C 0 A0 | = |C2 A0 | = |C1 A0 | = |CA|. Hledané zobrazení Z složené z translace T , rotace R a osové souměrnosti O25 převádí bod A do bodu A0 , bod B do bodu B 0 a bod C do bodu C 0 . Nyní dokážeme unicitu, tj. dokážeme, že existuje jediná shodnost dané vlastnosti. Předpokládejme, že kromě výše sestrojeného zobrazení Z existuje další shodnost Z1 6= Z. Jelikož Z : [A, B, C] → [A0 , B 0 , C 0 ] a rovněž Z1 : [A, B, C] → [A0 , B 0 , C 0 ], vidíme, že shodnost Z ◦ Z1−1 zobrazuje body A, B, C samy na sebe. Ovšem shodnost se třemi nekolineárními samodružnými body je identita, tj. Z ◦ Z −1 = I, a proto Z = Z1 . To je však spor! Q.E.D. Věta 6.3.7: Každou shodnost v rovině lze vytvořit skládáním konečného počtu (přesněji nejvýše tří) osových souměrností. (Grupa E(2) je generována osovými souměrnostmi.) Důkaz: Jelikož každá osová souměrnost je involucí, platí O ◦ O = I, a proto identitu lze nagenerovat pomocí osových souměrností. Nechť Z je izometrie, která není identitou, a nechť Z(O) = A a Z(X) = B (kde O[0, 0] a X[1, 0] jsou nesamodružné body dané izometrie). Platí |OX| = 1 a jelikož Z je izometrie, potom je rovněž |AB| = 1. Označme o1 osu úsečky OA; potom O(o1 ) zobrazuje bod A do bodu O a naopak. Nechť dále O(o1 ) zobrazuje bod B do jistého bodu C. O(o1 ) je izometrie, a proto |OC| = |AB| (= |OX| vzhledem k výše uvedenému). Označme o2 osu úhlu ∠XOC 26 ; potom O(o2 ) zobrazuje bod C do bodu X (neboť |OC| = |OX|). Z

O

O

Z

O

Uvažujme složené zobrazení Z◦O1 ◦O2 . Potom O → A →1 O →2 O a X → B →1 O C →2 X, neboli body O a X jsou v tomto složeném zobrazení samodružné. Podle předcházejícího lemmatu je Z ◦ O1 ◦ O2 buďto identita, anebo O(x) — osová souměrnost podle osy x. A vzhledem k tomu, že každá osová souměrnost je involucí (tj. pro inverzní zobrazení platí O−1 = O), dostáváme buďto Z = O2 ◦ O1 , nebo Z = Ox ◦ O2 ◦ O1 . Jak je vidět, každá shodnost vznikne složením nejvýše tří osových souměrností. Q.E.D. 25 Ne nutně ze všech tří — jestliže např. A 6= A0 , B = B 0 , C 6= C 0 , potom Z = T ◦ O 1 2 apod. 26 V případě B = C bereme za osu o přímku OB, tj. osu x. 2

160


Příklad 6.3.3. Vyšetřete všechny možné případy skládání nejvýše tří osových souměrností. ♦ • 2 souměrnosti O1 , O2 , jejichž osy o1 , o2 jsou 1. splývající (o1 = o2 ) — O1 ◦ O2 = O1 ◦ O1 = I 2. rovnoběžné (o1 k o2 ) — O1 ◦ O2 = T 3. různoběžné (o1 6k o2 ) — O1 ◦ O2 = R (speciálně pro o1 ⊥ o2 je O1 ◦ O2 = S) • 3 souměrnosti O1 , O2 , O3 , pro jejichž osy o1 , o2 , o3 platí 1. všechny tři osy splývají (o1 = o2 = o3 ) O1 ◦ O2 ◦ O3 = O1 ◦ O1 ◦ O1 = I ◦ O1 = O1 2. všechny tři osy jsou různoběžné a procházejí jedním bodem (o1 ∩ o2 ∩ o3 = {S}) O1 ◦ O 2 ◦ O 3 = O1 ◦ (O2 ◦ O3 ) = O1 ◦ R(S, 2ϕ) = | {z } | {z } o2 ∩ o3 = {S} R = O1 ◦ O30 ∠o2 o3 = ϕ o1 ∩ o03 = {S} O2 ◦ O3 = R(S, 2ϕ) ∠o1 o03 = ϕ = (O1 ◦ O1 ) ◦ O30 = I ◦ O30 = O30 3. všechny tři osy jsou rovnoběžné (o1 k o2 k o3 ) O1 ◦ O2 ◦ O3 = O1 ◦ (O2 ◦ O3 ) = {z } | o2 k o3 O2 ◦ O 3 = T

= O1 ◦ T | {z } T = O1 ◦ O30 o1 k o03 |o1 , o03 | = |o2 , o3 |

= (O1 ◦ O1 ) ◦ O30 = I ◦ O30 = O30 4. alespoň dvě osy jsou různoběžné a současně třetí neprochází jejich průsečíkem (např. o2 ∩ o3 = {M } ∧ M 6∈ o1 ) O1 ◦ O2 ◦ O3 =

O1 ◦ (O2 ◦ O3 ) = O1 ◦ R(M, 2ϕ) = | {z } | {z } o2 ∩ o3 = {M } R = O20 ◦ O30 0 o2 ⊥ o1 , o02 ∩ o1 = {S} ∠o2 o3 = ϕ O2 ◦ O3 = R(M, 2ϕ) ∠o02 o03 = ϕ

= (O1 ◦ O20 ) ◦ O30 = {z } | O1 ◦O20 =S(S)

S(S) ◦ O30 = O10 ◦ (O200 ◦ O30 ) = | {z } | {z } O200 ◦O30 =T S(S) = O10 ◦ O200 o01 ⊥ o002 , o01 ∩ o002 = {S} o002 k o03 161


= O10 ◦ T , kde směr posunutí T je rovnoběžný s osou o01 .

o’2

o2

o’1

X’

M

M ϕ o3

ϕ

o’3 o1

o1

o’3

X0 S

S

o’’2 X

X

Obr. 6.3.5 Jak je z výše uvedeného příkladu vidět, při skládání nejvýše tří osových souměrností se objeví pouze jedna dosud neznámá shodnost. Tato shodnost bez samodružných bodů se dá vždy složit z osové souměrnosti a z posunutí ve směru osy této souměrnosti. A

B

Y

Y’

X’

X

Z’

Z

o

Z

X Y

Obr. 6.3.6 D EFINICE 6.3.5: Shodné zobrazení, které lze složit z osové souměrnosti O a −→

translace T (AB) ve směru osy souměrnosti, se nazývá posunutá souměr−→

nost nebo posunuté zrcadlení. Značíme PS(o, AB) (popř. PS

−→

o, AB

).

Každá osová souměrnost je nepřímá, a proto je zřejmá platnost následující věty: 162


Věta 6.3.8: Shodnost, která vznikne složením sudého počtu osových souměrností (identita, rotace včetně středové souměrnosti a translace) je přímá; shodnost, která vznikne složením lichého počtu osových souměrností (osová souměrnost, posunutá souměrnost) je nepřímá. Grupu E(2) lze tedy rozložit na 5 tříd. Jedna třída obsahuje jediný prvek (identitu), zbylé třídy obsahují nekonečně mnoho prvků — např. třída obsahující všechny osové souměrnosti má stejnou mohutnost jako množina všech přímek v rovině (obr. 6.3.7). Z obrázku je rovněž dobře patrná i struktura podgrupy E + (2) — identita, všechny translace, všechny rotace.

E(2)

Obr. 6.3.7 Pokusíme se podat algebraický popis grupy E(2). Zde je vhodné uvažovat eukleidovskou rovinu E jako Gaussovu rovinu komplexních čísel C — tj. každý bod X se dvěma reálnými souřadnicemi [x, y] je reprezentován komplexním číslem z = x + iy.

z = x+yi = |z |(cos α+ i sin α ) = |z |eiα

y |z| α

x

reálná osa

Obr. 6.3.8 163


Eukleidovská vzdálenost bodů z = x + yi a w = u + vi je pak vyjádřena absolutní hodnotou |z − w|, neboť p |z − w| = (x − v)2 + (y − v)2 , jak vyplývá z elementární teorie komplexních čísel. Popsat např. posunutí, rotaci kolem počátku nebo osovou souměrnost podle osy x je nyní velmi jednoduché. • TOA (z) = z + a, kde a je komplexní číslo reprezentující bod A[a1 , a2 ] (obr. 6.3.9); • RS,ϕ (z) = eiϕ z, kde eiϕ je komplexní jednotka cos ϕ+i sin ϕ (obr. 6.3.10); • Ox (z) = z ∗ , kde z ∗ je číslo komplexně sdružené k číslu z = x + yi, tj. z ∗ = x − yi (obr. 6.3.11). e iϕ·z= | z|[cos (α +ϕ)+i sin (α+ϕ)]

z+a a2

a

e iϕ·z y

z α+ϕ

z

y

x

a1

iϕ α e ϕ

x

Re

Obr. 6.3.9

Obr. 6.3.10

z

y

x

-y

z*

Obr. 6.3.11 164

Re

Re


Věta 6.3.9: Jestliže je Z přímá shodnost, potom Z(z) = az + b, kde a, b ∈ C a |a| = 1; jestliže je Z nepřímá shodnost, potom Z(z) = az ∗ + b, kde a, b ∈ C a |a| = 1.

Důkaz: Nechť Z je libovolná izometrie, přičemž Z(0) = b a Z(1) = c. Určíme předpis pro takové zobrazení Z1 , které bude mít na body O[0, 0] (0 + 0i = 0) a X[1, 0] (1 + 0i = 1) stejný efekt jako daná shodnost Z . Předpokládejme, že Z1 zobrazuje bod z na bod az + b. Potom Z1 (0) = b a Z1 (1) = a + b. Volme a = c − b, potom Z1 (1) = a + b = c. Jelikož Z je izometrie, potom |c − b| = |1 − 0| = 1, a proto |a| = 1. Nyní dokážeme, že rovněž Z1 je izometrie. Neboť platí |Z1 (z) − Z1 (w)| = |(az + b) − (aw + b)| = |a(z − w)| = |a| ·|z − w| = |z − w|, |{z} =1

potom vzdálenost obrazů i vzorů je stejná, a proto Z1 je shodné zobrazení. Pokusme se popsat tuto shodnost podrobněji: • z → az, kde a ∈ C (|a| = 1) – jelikož a · z = |a| eiϕ · z = eiϕ · z, a proto se jedná o rotaci kolem počátku |{z} =1

o úhel ϕ • az → az + b, kde b ∈ C – jedná se o posunutí bodu az do bodu (az) + b Jak rotace, tak posunutí jsou shodnosti přímé, a proto i zobrazení Z1 : z → az + b, které lze chápat jako složení rotace a translace, je přímou shodností. Dále jelikož Z(0) = b, Z(1) = c a Z1 (0) = b, Z1 (1) = c, potom pro složené zobrazení Z2 = Z ◦ Z1−1 platí Z2 (0) = 0 a Z2 (1) = 1, tj. body O[0, 0] a X[1, 0] jsou samodružné body zobrazení Z2 . Podle výše uvedeného lemmatu je Z2 buďto identita, anebo osová souměrnost podle osy x. Odtud buďto Z = Z1 , anebo Z = Z2 ◦ Z1 . V prvém případě dostáváme vyjádření Z(z) = az + b 165


a zobrazení Z je stejně jako Z1 přímá shodnost. V druhém případě (neboť osová souměrnost podle osy x převádí z na z ∗ ) obdržíme vyjádření Z(z) = az ∗ + b a vzhledem k tomu, že složením přímé shodnosti Z1 a osové souměrnosti vzniká nepřímá shodnost, je Z nepřímá shodnost. Q.E.D. Ačkoliv má předchozí věta využívající komplexní čísla jednoduché znění i důkaz, přesto budeme chtít zachytit shodnosti v rovině i pomocí reálných souřadnic. Nechť jsou dány a, b ∈ C, kde |a| = 1. Potom a = a1 + a2 i = cos α + i sin α. Nechť dále b = b1 + b2 i. Předpokládejme, že Z je přímá izometrie s vyjádřením z 0 = az+b. Porovnámeli reálnou a imaginární složku komplexního čísla z 0 = x0 + iy 0 a komplexního čísla az+b = (cos α+i sin α)(x+iy)+(b1 +b2 i), potom zjistíme, že izometrie Z zobrazuje bod [x, y] na bod [x0 , y 0 ] = [x cos α−y sin α+b1 , x sin α−y cos α+b2 ], tj. platí x0 = x cos α − y sin α + b1 y 0 = x sin α + y cos α + b2 . Zobrazení Z lze rovněž popsat maticově 0 x cos α − sin α x b1 = + y0 sin α cos α y b2 neboli

kde

X0 =

x0 y0

, X=

X 0 = AX + B, x cos α , A= y sin α

− sin α cos α

, B=

b1 b2

.

Všimněme si navíc, že pro matici A platí AT · A = A · AT = I

a det(A) = 1.

Nyní předpokládejme, že Z je nepřímá izometrie s vyjádřením z 0 = az ∗ + b. Obdobným postupem jako v případě přímé shodnosti dospějeme k rovnicím x0 y0 popř. maticově

x0 y0

=

= x cos α + y sin α + b1 = x sin α − y cos α + b2 ,

cos α sin α

sin α − cos α 166

x y

+

b1 b2


neboli

kde

X0 =

x0 y0

, X=

X 0 = AX + B, x cos α , A= y sin α

sin α − cos α

, B=

b1 b2

.

Pro matici A tentokrát platí AT · A = A · AT = I Výše uvedené matice A cos α − sin α sin α cos α

a det(A) = −1.

a

cos α sin α

sin α − cos α

jsou prvky grupy ortonormálních matic.27 Naopak můžeme dokázat, že každá ortonormální matice 2 × 2 nabývá jednoho z těchto dvou tvarů. Dospěli jsme k maticovému popisu grupy E(2). Věta 6.3.10: E(2) = {X 0 = AX + B; kde A je reálná ortonormální matice 2 × 2 a B je reálná matice 2 × 1 }. Pro přímé shodnosti platí det(A) = 1, pro nepřímé det(A) = −1. Závěrem této kapitoly se podívejme na několik příkladů E(2)-kongruentních útvarů, pro které zavedeme tradiční pojem shodné útvary. D EFINICE 6.3.6: Útvar U se nazývá shodným s útvarem U 0 , jestliže existuje shodnost, která převádí útvar U na útvar U 0 . Značíme U ∼ = U 0. Ptáme se, které trojúhelníky jsou E(2)-kongruentní, tj. shodné. Jelikož délka úsečky je E(2)-vlastností, jedná se samozřejmě o trojúhelníky, které se shodují ve všech stranách (a tím i ve všech vnitřních úhlech). Každou třídu shodných trojúhelníků tak lze popsat jednou neuspořádanou trojicí kladných reálných čísel (a, b, c). Speciálně pro rovnostranné trojúhelníky dostáváme korespondenci mezi kladnými reálnými čísly (délky stran) a třídami navzájem shodných rovnostranných trojúhelníků. Obdobná korespondence platí i mezi množinou kladných reálných čísel (délky poloměrů) a množinou tříd navzájem shodných kružnic.

6.4

Ekviformní grupa

D EFINICE 6.4.1: Podobné zobrazení (podobnost, ekviformita) je zobrazení na množině E, v němž každé úsečce odpovídá úsečka, jejíž délka se 27 Regulární matici C nazveme ortonormální, jestliže C T · C = C · C T = I, kde I je jednotková matice.

167


rovná délce dané úsečky násobené reálným číslem k > 0, které se nazývá poměr podobnosti. V případě k 6= 1 hovoříme o vlastní podobnosti, v případě k = 1 hovoříme o nevlastní podobnosti. Mezi podobnosti patří rovněž shodná zobrazení — potom je samozřejmě poměr podobnosti k = 1 a tudíž každá shodnost je nevlastní podobností. Existují však i podobnosti, které nejsou shodnostmi (tj. vlastní podobnosti). Typickým příkladem je stejnolehlost H(S, κ), jejíž koeficient je různý od −1; pro κ = −1 bychom dostali středovou souměrnost, tj. opět shodnost a tím nevlastní podobnost. Věta 6.4.1: Stejnolehlost s koeficientem κ je podobnost s poměrem podobnosti |κ|.

κz

κy y

z

κx

x

Re

Obr. 6.4.1 Příklad 6.4.1. Jde-li o stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem κ, potom pro souřadnice bodu X 0 [x0 , y 0 ], který je obrazem bodu X[x, y] platí x0 y0

= κx = κy

popř. pomocí zápisu v komplexních souřadnicích z 0 = κz,

κ ∈ R.

Věta 6.4.2: Každá vlastní podobnost má nejvýše jeden samodružný bod. Důkaz: Kdyby vlastní podobnost P s poměrem podobnosti k 6= 1 měla alespoň dva různé samodružné body R 6= S, potom by platilo |RS| = |R0 S 0 | = k · |RS|. Odtud dostáváme k = 1, což je spor s předpokladem vlastní podobnosti. Q.E.D.

168


Obdobně jako v případě shodných zobrazení bychom snadno dokázali větu: Věta 6.4.3: Všechny podobnosti v rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. Zdůrazněme jen, že při důkazu předcházející věty bychom mj. odvodili, že složením podobnosti P1 s poměrem podobnosti k1 a podobnosti P2 s poměrem podobnosti k2 vznikne podobnost P s poměrem podobnosti k1 k2 . Rovněž bychom odvodili, že inverzním zobrazením k podobnosti P s poměrem podobnosti k je podobnost s poměrem podobnosti k1 . D EFINICE 6.4.2: Grupu všech podobností nazýváme ekviformní grupa (grupa podobností). Ekviformní grupu budeme značit P (2). D EFINICE 6.4.3: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou P (2) se nazývá ekviformní (popř. elementární) geometrie. Jelikož každá shodnost je současně podobností, je zřejmá platnost následující věty: Věta 6.4.4: Eukleidovská grupa E(2) je podgrupou ekviformní grupy P (2). Věta 6.4.5: Každou vlastní podobnost lze vyjádřit jako složení jisté shodnosti a stejnolehlosti s kladným koeficientem. Důkaz. Nechť Pk je vlastní podobnost s kladným poměrem podobnosti k 6= 1. Podle definice Pk zobrazuje všechny úsečky XY o délce d na úsečky X 0 Y 0 o délce k · d. Určíme inverzní zobrazení ke stejnolehlosti HO,k (koeficient stejnolehlosti je roven poměru podobnosti), tj. −1 HO,k = HO, k1 .

Složené zobrazení Z = HO, k1 ◦ Pk musí být shodnost (neboť Pk = HO,k ◦ Z.

1 k

· k = 1), a proto

Q.E.D.

Věta 6.4.6: Podobná zobrazení zachovávají velikosti úhlů. Důkaz: Jelikož všechny izometrie zachovávají velikosti úhlů a rovněž tak i každá stejnolehlost, je tato věta bezprostředním důsledkem předcházející věty. Q.E.D.

D EFINICE 6.4.4: Podobnost, která zachovává orientaci úhlů se nazývá přímá. Podobnost, která obrací orientaci úhlů se nazývá nepřímá. Jelikož každá stejnolehlost zachovává orientaci úhlů, je evidentní, že o tom, zda je daná podobnost přímá či nepřímá rozhoduje shodné zobrazení, z něhož a ze stejnolehlosti podobnost vznikne. 169


Věta 6.4.7: Všechny přímé podobnosti v rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu, která je podgrupou ekviformní grupy P (2). Grupu přímých podobností značíme P + (2). Řetězec inkluzí zachycující vztahy mezi doposud studovanými grupami je možné zapsat ve tvaru:

{I}

E(2) ⊂ P (2) ∪ ∪ ⊂ E + (2) ⊂ P + (2)

Obdobou věty 6.3.6 (str. 159) je věta: Věta 6.4.8: (O určenosti podobného zobrazení:) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 takové že platí |A0 B 0 | = k · |AB|,

|B 0 C 0 | = k · |BC|,

|C 0 A0 | = k · |CA|,

kde k je kladné reálné číslo. Potom existuje jediné podobné zobrazení, které převádí bod A do bodu A0 , bod B do bodu B 0 a bod C do bodu C 0 . Důkaz: Důkaz by probíhal obdobně jako v případě zmiňované věty 6.3.6 (str. 159). Pouze pro případ vlastní podobnosti (k 6= 1) bychom museli nejprve provést nultý krok, kterým by bylo zobrazení trojúhelníka ABC ve stejnolehlosti H(A, k)na trojúhelník AB0 C0 . Trojúhelníky AB0 C0 a A0 B 0 C 0 již splňují předpoklady věty O určenosti shodného zobrazení. Q.E.D. Stejně jako v případě grupy E(2) podáme algebraický popis grupy S(2). Věta 6.4.9: Jestliže je P přímá podobnost, potom P(z) = az + b, kde a, b ∈ C a |a| 6= 0; jestliže je Z nepřímá shodnost, potom P(z) = a¯ z + b, kde a, b ∈ C a |a| = 6 0.

Důkaz: Pro nevlastní podobnosti (tj. shodnosti) věta evidentně platí – viz 6.3.9 (str. 165). Víme, že každou vlastní podobnost lze složit z jisté shodnosti a stejnolehlosti, tj. Pk = HO,k ◦ Z, 170


kde Z je shodnost a HO,k je stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] a koeficientem k. Dále víme, že stejnolehlost se středem v počátku popisuje vztah z → kz, kde k ∈ R a přímou (nepřímou) shodnost vztah z → αz + β (z → α¯ z + β), kde α, β ∈ C a |α| = 1. A proto můžeme psát z → kz → α(kz) + β = (kα)z + β, popř. z → kz → α(kz) + β = (kα)¯ z + β. Odtud vidíme, že a = kα (|a| = k|α| = k 6= 0), b = β a každá vlastní podobnost P je tudíž popsána výše uvedenou rovnicí. Q.E.D. Rovněž můžeme vyslovit větu, která je obdobou věty 6.3.10 (str. 167). Matice A však již nemusí být nutně ortonormální, ale bude tentokrát prvkem grupy ortogonálních matic.28 Věta 6.4.10: P (2) = {X 0 = AX + B; kde A je reálná ortogonální matice 2 × 2 a B je reálná matice 2 × 1 }. Pro přímé podobnosti platí det(A) > 0, pro nepřímé det(A) < 0. Závěrem se opět podívejme na příklady některých P (2)-kongruentní útvarů, pro které zavedeme tradiční pojem podobné útvary. D EFINICE 6.4.5: Útvar U se nazývá podobným s útvarem U 0 , jestliže existuje podobnost, která převádí útvar U na útvar U 0 . Značíme U simU 0 . Opět se můžeme ptát, které trojúhelníky jsou P (2)-kongruentní, tj. podobné. Jelikož velikost úhlu je P (2)-vlastností, jedná se samozřejmě o trojúhelníky, které se shodují ve všech vnitřních úhlech (a tím i v poměrech odpovídajících si stran). Oproti třídám shodných trojúhelníků tak lze každou třídu podobných trojúhelníků popsat nekonečně mnoha neuspořádanými trojicemi kladných reálných čísel (ka, kb, kc) (k libovolné kladné). Speciálně pro rovnostranné trojúhelníky dostáváme jedinou třídu P (2)-kongruentních útvarů. A rovněž všechny kružnice se nacházejí v jediné třídě P (2)-kongruentních útvarů. 28 Regulární matici C nazveme ortogonální, jestliže C T · C = C · C T = k 2 I, kde k 2 I je diagonální matice s prvky k2 na diagonále.

171


6.5

Mongeova grupa

Nejprve se budeme zabývat otázkou, jaké zobrazení vznikne složením dvou libovolných stejnolehlostí H1 (S, κ1 ) a H2 (R, κ2 ), poté se zmíníme o některých podgrupách ekviformní grupy P (2). Příklad 6.5.1. Jde-li o stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem κ, potom pro souřadnice bodu X 0 [x0 , y 0 ], který je obrazem bodu X[x, y] platí x0 y0

= κx = κy,

popř. pomocí zápisu v komplexních souřadnicích z 0 = κz,

κ ∈ R.

Neleží-li střed S[s1 , s2 ] v počátku, potom stejnolehlost H(S, κ) popisuje rovnice z 0 − s = κ(z − s), κ ∈ R, s = s1 + s2 i ∈ C. Stejnolehlost H1 (S, κ1 ) tedy popíšeme rovnicí H1 : z 0 − s = κ1 (z − s) a stejnolehlost H2 (R, κ2 ) rovnicí H2 : z 0 − r = κ2 (z − r). Pro složené zobrazení Z = H1 ◦ H2 můžeme tedy psát H1 ◦ H2 : z −→ z 0 −→ z 00 , kde H1 : z 0 = κ1 (z − s) + s H2 : z 00 = κ2 (z 0 − r) + r. Po dosazení za z 0 dostáváme rovnici složeného zobrazení H1 ◦ H2 : z 00 = κ2 (z 0 − r) + r = κ2 [κ1 (z − s) + s − r] + r = = κ1 κ2 z + κ2 (s − r) − κ1 κ2 s + r. Proveďme diskusi výše uvedené rovnice v závislosti na hodnotách koeficientů κ1 , κ2 a na vzájemné poloze středů S[s1 , s2 ], R[r1 , r2 ]: 1. κ1 κ2 = 1, potom lze rovnici upravit z 00 = κ1 κ2 z + κ2 (s − r) − κ1 κ2 s + r = z + (κ2 − 1)(s − r) | {z } | {z } =1

=1

172


(a) s = r, tj. z 00 = z a složené zobrazení Z je identita (b) s 6= r, tj. z 00 = z + (κ2 − 1)(s − r) = z + a {z } | =a6=0

a složené zobrazení Z je translace 2. κ1 κ2 6= 1 z 00 = κ1 κ2 z + κ2 (s − r) − κ1 κ2 s + r (a) s = r, tj. z 00 = κ1 κ2 z − κ1 κ2 s + s = κ1 κ2 (z − s) + s a složené zobrazení Z je stejnolehlost se středem S = R a koeficientem κ = κ1 κ2 (b) s 6= r, tj. z 00 = κ1 κ2 z+ κ2 (s − r) − κ1 κ2 s+ r a po jednoduché úpravě 1 κ2 s+r 1 κ2 s+r + κ2 (s−r)−κ z 00 = κ1 κ2 z − κ2 (s−r)−κ 1−κ1 κ2 1−κ1 κ2 a složené zobrazení Z je stejnolehlost se středem T [t1 , t2 ] (kde t = 1 κ2 s+r t1 + t2 i = κ2 (s−r)−κ ) a koeficientem κ = κ1 κ2 1−κ1 κ2 Odvodili jsme větu: Věta 6.5.1: (Mongeova věta) Nechť jsou dány stejnolehlosti H1 (S, κ1 ) a H2 (R, κ2 ). Složením H1 ◦ H2 vznikne 1. identita I ⇔ S = R ∧ κ1 κ2 = 1; 2. translace T ⇔ S 6= R ∧ κ1 κ2 = 1; 3. stejnolehlost H(T, κ1 κ2 ) ⇔ κ1 κ2 6= 1. Věta 6.5.2: Množina S obsahující identitu, všechny stejnolehlosti a všechny translace tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. Důkaz: Ověříme jen uzavřenost operace, zbývající grupové vlastnosti jsou zřejmé. Z Mongeovy věty plyne, že složené zobrazení H1 ◦ H2 je vždy prvkem množiny S. Složením dvou translací vznikne buďto translace, anebo identita — v obou případech opět prvek množiny S. Zbývá ověřit jen složení H ◦ T a T ◦ H. Nechť H : z 0 = κ(z − s) + s a T : z 0 = z + a, 173


potom

a + s − κs H ◦ T : z = z + a = κ(z − s) + s + a = κ z − 1−κ 00

0

+

a + s − κs 1−κ

a složené zobrazení je stejnolehlost s koeficientem κ, tj. opět prvek množiny S. Obdobně κa − κs + s κa − κs + s T ◦H : z = κ(z −s)+s = κ(z+a−s)+s = κ z − + 1−κ 1−κ 00

0

a složené zobrazení je opět stejnolehlost, tj. prvek množiny S. Q.E.D. D EFINICE 6.5.1: Grupa z předcházející věty se nazývá Mongeova grupa. Mongeovu grupu budeme značit S(2). Věta 6.5.3: Mongeova grupa S(2) je podgrupou ekviformní grupy P (2) i grupy přímých podobností P + (2) Poznamenejme ještě, že průnikem Mongeovy grupy S(2) a eukleidovské grupy E(2) je grupa tvořená středovými souměrnostmi, translacemi a identitou (značíme C(2)). Další podgrupou Mongeovy grupy je např. translační grupa tvořená všemi translacemi a identitou (značíme T (2)).

E(2)

S(2)

/

Obr. 6.5.1 Řetězec inkluzí ze strany 170 můžeme lehce doplnit o Mongeovu grupu S(2) včetně podgrup C(2) a T (2). 174


{I}

E(2) ⊂ P (2) ∪ ∪ E + (2) ⊂ P + (2) ∪ ∪ ⊂ T (2) ⊂ C(2) ⊂ S(2)

Opět se můžeme ptát, které útvary jsou S(2)-kongruentní. Víme, že jak každá translace, tak i každá stejnolehlost zobrazí přímku na přímku rovnoběžnou, tj. všechna zobrazení z grupy S(2) zachovávají směr. Směr je S(2)-vlastností. A proto třídu S(2)-kongruentních trojúhelníků tvoří ty trojúhelníky, jejichž odpovídající strany jsou rovnoběžné. Dále víme, že každé dvě kružnice jsou stejnolehlé, tj. existuje jediná třída S(2)-kongruentních kružnic.

6.6

Afinní grupa

Ukázali jsme, že každý prvek eukleidovské grupy E(2) lze popsat maticovou rovnicí X 0 = AX + B, kde A je reálná ortonormální matice 2 × 2; dále jsme ukázali, že každý prvek ekviformní grupy P (2) lze popsat maticovou rovnicí X 0 = AX + B, kde A je reálná ortogonální matice 2 × 2. Obě grupy E(2), P (2) jsou podgrupami grupy, jejíž prvky lze popsat maticovou rovnicí X 0 = AX + B, kde na matici A typu 2 × 2 klademe jediný požadavek — její regularitu. D EFINICE 6.6.1: Afinní grupa A(2) obsahuje všechny transformace na množině R × R, které lze popsat maticovou rovnicí X 0 = AX + B, kde A je je reálná regulární matice 2 × 2 a B je reálná matice 2 × 1. Prvky matice A(2) se nazývají afinní zobrazení (afinity). Jestliže det(A) > 0, potom řekneme, že afinita je přímou afinitou; jestliže det(A) < 0, potom řekneme, že afinita je nepřímou afinitou. D EFINICE 6.6.2: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou A(2) se nazývá afinní geometrie. 175


Jelikož grupa E(2) je podgrupou grupy A(2), je eukleidovská geometrie součástí afinní geometrie. Mnoho klasických vět (např. Menelaova, Cevova) jsou větami afinní geometrie. Přímá afinita zachovává smysly obíhání vrcholů trojúhelníka ABC a jeho obrazu A0 B 0 C 0 ; nepřímá afinita smysly obíhání vrcholů trojúhelníka ABC a jeho obrazu A0 B 0 C 0 obrací. Y’

Y

X’ X

Z Z

Z’

X Y

Obr. 6.6.1 Věta 6.6.1: Všechny přímé afinity v rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu, která je podgrupou afinní grupy A(2). Grupu přímých afinit značíme A+ (2). Lemma 6.6.1. Nechť je dána trojice nekolineárních bodů bodů [P, Q, R]. Potom existuje jediná afinita A z grupy A(2), která zobrazí trojici bodů [O, X, Y ] (kde O[0, 0], X[1, 0], Y [0, 1]) na zadanou trojici. Důkaz: Nechť A je afinní transformace popsaná rovnicí X 0 = AX + B, resp. a11 a12 (x0 , y 0 )T = · (x, y)T + (b1 , b2 )T . a21 a22 Jestliže A : O → P , potom (p1 , p2 )T = A · (0, 0) + B, a proto b1 = p 1 ,

b 2 = p2 .

Dále A : X → Q, potom (q1 , q2 )T = A · (1, 0)T + B, a proto q1 = a11 + b1 ,

q2 = a21 + b2 .

A konečně A : Y → R, potom (r1 , r2 )T = A · (0, 1)T + B, a proto r1 = a12 + b1 ,

r2 = a22 + b2 .

176


Prvky reálné matice A i vektoru B jsou určeny jednoznačně, a proto existuje jediná afinita požadovaných vlastností. Q.E.D. Věta 6.6.2: (O určenosti afinního zobrazení:) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A0 B 0 C 0 . Potom existuje jediná afinita, která převádí bod A do bodu A0 , bod B do bodu B 0 a bod C do bodu C 0 . Důkaz: Podle předcházejícího lemmatu, existuje jediná afinita A1 , která převádí (O, X, Y ) na (A, B, C) a jediná afinita A2 , která převádí (O, X, Y ) na (A0 , B 0 , C 0 ). Odtud vidíme, že afinita A = A−1 1 ◦ A2 zobrazuje (A, B, C) na (A0 , B 0 , C 0 ). Ukážeme, že tato afinita je jediná! Nechť rovněž afinita Z (6= A) zobrazuje (A, B, C) na (A0 , B 0 , C 0 ). Potom afinita A1 ◦ Z převádí (O, X, Y ) na (A0 , B 0 , C 0 ), a vzhledem k podmínce jednoznačnosti (viz předcházející lemma) musí být A1 ◦ Z = A2 . Odtud dostáváme Z = A1−1 ◦ A2 , a proto Z = A, což je spor. Q.E.D. V teorii afinit sehrávají významnou roli osové afinity, jak ukazuje následující věta: Věta 6.6.3: Každou afinitu v rovině lze vytvořit skládáním konečného počtu (přesněji nejvýše tří) osových afinit. (Grupa A(2) je generována osovými afinitami.) Důkaz: Nechť jsou dány dvě trojice nekolineárních bodů (A, B, C), (A0 , B 0 , C 0 ). Potom podle již dokázané věty existuje právě jedna afinita A, která převádí (A, B, C) na (A0 , B 0 , C 0 ). Zvolme přímku o1 tak, aby neprocházela body A, A0 . Potom je osová afinita A1 jednoznačně určena osou o1 a párem sobě odpovídajících bodů [A, A0 ]. Platí A1 (o1 , [A, A0 ]) : A → A0 , B → B1 , C → C1 . Dále zvolme přímku o2 tak, aby neprocházela body B, B 0 a současně procházela bodem A0 . Potom je osová afinita A2 jednoznačně určena osou o2 a párem sobě odpovídajících bodů [B, B 0 ]. Platí A2 (A0 ∈ o2 , [B, B 0 ]) : A0 → A0 , B1 → B 0 , C1 → C2 . A konečně vezměme přímku o3 , která prochází body A0 , B 0 . Potom je osová afinita A3 jednoznačně určena osou o3 a párem sobě odpovídajících bodů [C, C 0 ]. Platí A3 (o3 =↔ A0 B 0 , [C, C 0 ]) : A0 → A0 , B 0 → B 0 , C2 → C 0 . 177


Obě afinity A a A1 ◦ A2 ◦ A3 zobrazují trojici bodů (A, B, C) na (A0 , B 0 , C 0 ), a proto se podle věty o určenosti afinního zobrazení musí jednat o totéž zobrazení, a proto A = A1 ◦ A2 ◦ A3 . Poznamenejme ještě, že některý krok můžeme v některých případech vynechat. Je-li např. B1 = B 0 vynecháme osovou afinitu A2 . Afinita A je pak složena ze dvou afinit. V případě, že navíc C1 = C 0 , potom je afinita A = A1 přímo osovou afinitou. Q.E.D. Zdůrazněme jen, že každá osová afinita je afinní transformací, ale ne každá afinita musí být osovou afinitou. Jak shodná, tak podobná zobrazení zachovávají velikosti úhlů, osová afinita však velikost úhlu obecně nezachovává, a proto velikost úhlu není A(2)vlastností. A(2)-vlastnostmi jsou ale např. kolinearita a rovnoběžnost přímek. Další důležitou A(2)-vlastností je dělicí poměr tří bodů. Věta 6.6.4: Afinní zobrazení zachovává dělicí poměr tří bodů. Důkaz: Uvedená věta bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že každou afinitu lze rozložit na osové afinity a osová afinita zachovává dělicí poměr tří kolineárních bodů. Q.E.D. Důsledek 6.6.1. Afinní transformace zobrazuje střed úsečky AB na střed úsečky A0 B 0 , těžnice trojúhelníka ABC na těžnice trojúhelníka A0 B 0 C 0 a těžiště trojúhelníka ABC na těžiště trojúhelníka A0 B 0 C 0 .

A(2) A+(2)

P(2)

P+(2)

E(2)

E+(2)

Obr. 6.6.2 Řetězec inkluzí zachycující vztahy mezi doposud uvedenými grupami rozšíříme 178


o grupu afinit a grupu přímých afinit, čímž dostáváme

{I}

E(2) ⊂ P (2) ⊂ A(2) ∪ ∪ ∪ E + (2) ⊂ P + (2) ⊂ A+ (2) ∪ ∪ ⊂ T (2) ⊂ C(2) ⊂ S(2)

Podívejme se opět na příklad A(2)-kongruentních útvarů. Obdobně jako u grupy E(2) a P (2) se ptáme, které trojúhelníky jsou A(2)-kongruentní. Vzhledem k větě O určenosti afinního zobrazení je vždy možné zobrazit libovolný trojúhelník ABC na libovolný trojúhelník A0 B 0 C 0 , proto každé dva trojúhelníky jsou A(2)-kongruentní, tj. v afinní geometrii nalezneme jedinou třídu sestávající ze všech trojúhelníků. Dalším příkladem by mohla být A(2)-třída obsahující všechny rovnoběžníky.

6.7

Grupa kruhových transformací

V kapitole věnované kruhové inverzi a obecně inverzi podle kruhové křivky byla zavedena tzv. Möbiova rovina M2 . Připomeňme jen, že inverze IN V(k) je • kruhová inverze, jestliže k je kružnice; • osová souměrnost, jestliže k je přímka. K popisu jak osové souměrnosti, tak i kruhové inverze lze opět s úspěchem využít znalostí komplexních čísel. Pro vlastní body je popis pomocí komplexních čísel stejný jako v E2 ; nevlastnímu bodu P∞ přiřadíme „nekonečnéÿ komplexní číslo ∞. Množinu C = C ∪ {∞} nazýváme rozšířenou Gaussovou rovinou. Samozřejmě je nutné definovat vhodné algebraické operace s komplexním číslem ∞ (pro všechna z ∈ C: ∞ ± z = z ± ∞ = ∞; pro všechna z z ∈ C, z 6= 0: ∞ · z = z · ∞ = ∞; pro všechna z ∈ C: ∞ = 0; pro všechna z ∞ z ∈ C, z 6= 0: 0 = ∞; pro všechna z ∈ C: z = ∞). z → z ∗ pro z 6= ∞ ∞→∞  2  z → zr∗ , pro z 6= 0, ∞ ; k je kružnice o rovnici |z| = r.29 • IN V(k) : 0→∞  ∞→0

• Ox :

29 |z|

= r = konst ∈ R můžeme rozepsat jako kružnice x2 + y 2 = r 2 .

179

p x2 + y 2 = r, tj. dostáváme rovnici


D EFINICE 6.7.1: Grupa obsahující všechny transformace v Möbiově rovině M2 , které lze vytvořit skládáním inverzí podle kruhových křivek, se nazývá grupa kruhových transformací. Budeme ji značit I(2). Prvky grupy I(2) nazýváme kruhové transformace. Z vlastností osové souměrnosti a kruhové inverze ihned plyne Věta 6.7.1: Každá kruhová transformace zobrazí kruhovou křivku na kruhovou křivku. Věta 6.7.2: Každá kruhová transformace zachovává velikost úhlu kruhových křivek. Dále víme, že inverze (tj. jak kruhová inverze, tak osová souměrnost) zachovává velikost, ale otáčí orientaci úhlu kruhových křivek. Jestliže složíme dvě inverze dostaneme kruhovou transformaci, která orientaci úhlu nemění. D EFINICE 6.7.2: Kruhová transformace, která zachovává orientaci úhlů kruhových křivek se nazývá přímá. Kruhová transformace, která orientaci obrací se nazývá nepřímá. Kruhová inverze i osová souměrnost podle rozšířené přímky jsou nepřímými kruhovými transformacemi. Věta 6.7.3: Všechny přímé kruhové transformace v Möbiově rovině tvoří vzhledem k operaci skládání grupu, která je podgrupou grupy I(2). Grupu přímých kruhových transformací budeme značit I + (2). Jak jsme dokázali v kapitole o eukleidovské grupě, každou izometrii v rovině E2 lze nagenerovat pomocí osových souměrností. Stejný závěr platí i v rovině M2 , pracujeme-li ovšem s osovými souměrnostmi podle rozšířených přímek — příslušnou grupu v Möbiově rovině označíme E(2). Věta 6.7.4: Grupa E(2) je podgrupou grupy I(2). Grupa I(2) tak obsahuje „rozšířené verzeÿ např. translací nebo rotací, které jsou konkrétními příklady přímých kruhových transformací. Rovněž je možné získat ekvivalent ekviformní grupy P (2). Stačí doplnit definici stejnolehlosti o podmínku H(O, κ) : P∞ → P∞ . Příslušnou grupu v Möbiově rovině označíme P (2). Věta 6.7.5: Grupa P (2) je podgrupou grupy I(2) a obsahuje všechny transformace grupy I(2), vůči nimž je nevlastní bod P∞ samodružný. Důkaz: V kapitole týkající se ekviformní grupy jsme dokázali, že každý prvek Pk grupy P (2) je buďto izometrie, anebo jej lze nagenerovat pomocí jisté izometrie z grupy E(2) a stejnolehlosti HO,k . Obdobně každý prvek grupy P (2) lze vytvořit pomocí určité izometrie z grupy E(2) a rozšířené stejnolehlosti HO,k . Již jsme ukázali, že E(2) je podgrupou I(2) a zbývá jen dokázat, že i 180


stejnolehlost patří do grupy I(2). Označme k = r2 . Jestliže l(O, 1) a j(O, r) (kde O[0, 0]), potom snadno nahlédneme, že platí

IN V(j) ◦ IN V(l) : z →

1 → z∗

r2 1

= r2 z,

(z ∗ )∗

Odtud plyne IN V(j) ◦ IN V(l) = H(O, k), a proto H(O, k) je prvkem grupy I(2) a tudíž i každý prvek grupy P (2) je prvkem grupy I(2). A vzhledem k rozšířeným definicím osové souměrnosti a stejnolehlosti je nevlastní bod P∞ samodružným bodem každé izometrie, stejnolehlosti i podobnosti. Předpokládejme nyní naopak že nevlastní bod P∞ je samodružným bodem jisté transformace Z ∈ I(2). Kruhová transformace Z zobrazuje kruhové křivky na kruhové křivky — navíc leží-li nevlastní bod P∞ na kruhové křivce p (tj. jde o rozšířenou přímku), potom bod P∞ leží i na kruhové křivce p0 (opět rozšířená přímka). Z tudíž zobrazuje přímky na přímky a navíc zachovává velikost úhlu — jde o podobnost. Q.E.D. Samozřejmě ne všechny kruhové transformace patří do grupy P (2). Např. inverzi IN V(k), kde k je kružnice o rovnici |z| = r, lze popsat  2  z → zr∗ , kde z 6= 0, ∞, IN V(k) : 0 → ∞,  ∞ → 0, tj. bod P∞ není samodružným bodem. D EFINICE 6.7.3: Kruhové transformace, vůči nimž je nevlastní bod P∞ samodružný nazýváme nevlastní; ostatní nazýváme vlastní. Tak, jako jsme rozšířili každou podobnost, lze v M2 rozšířit i každou afinitu; položíme-li prostě P∞ → P∞ . Příslušnou grupu afinit v Möbiově rovině označíme A(2). Průnikem afinní grupy a grupy kruhových zobrazení je ekviformní grupa (obr. 6.7.1). Příkladem afinity, která není kruhovým zobrazením je např. každá osová afinita, která není osovou souměrností — tato afinita sice zobrazuje dvojici přímek na dvojici přímek, ale nezachovává jejich úhel, tj. neplatí pro ni věta 6.7.2 (str. 180). 181


A(2)

P(2)

I(2) Obr. 6.7.1 Víme, že grupa I + (2) obsahuje „rozšířené verzeÿ přímých izometrií např. translací, popř. ta kruhová zobrazení, která vzniknou složením sudého počtu (např. dvou) inverzí. Konkrétně

z → z + c pro z 6= ∞ ∞→∞  2  z → z ∗ → rz , kde z 6= 0, ∞ • Z = Ox ◦ IN V(k) : , 0→0→∞  ∞→∞→0 nice o rovnici |z| = r. • T :

kde k je kruž-

Z předcházejícího je patrné, že obě uvedené přímé kruhové transformace jsou speciálním případem tzv. Möbiovy transformace o rovnici  αz+β jestliže z 6= ∞ a z 6= − γδ  γz+δ ,     α jestliže γ 6= 0 a z = ∞ γ, m(z) =    δ   ∞, jestliže γ = 0 a z = ∞, nebo γ 6= 0 a z = − γ kde α, β, γ, δ ∈ C a αδ − βγ 6= 0. Dá se dokázat, že všechny Möbiovy transformace tvoří grupu (tzv. Möbiova grupa — značíme M (2)) a dokonce platí následující věta: Věta 6.7.6: I + (2) = M (2). Odtud ihned dostáváme tvrzení pro celou grupu I(2) 182


Věta 6.7.7: Nechť Z je kruhová transformace. Jestliže je Z přímá transformace, potom Z : z → m(z), pro jisté m ∈ M (2); Jestliže je Z nepřímá transformace, potom Z : z → m(z ∗ ), pro jisté m ∈ M (2). Důkaz: Jestliže je Z přímá kruhová transformace, potom tvrzení z → m(z) plyne z předcházející věty. Jestliže je Z nepřímá kruhová transformace, potom Ox ◦ Z je přímá transformace, a proto podle předcházející věty existuje m ∈ M (2) takové, že Ox ◦ Z = m. Odtud Z = Ox−1 ◦ m = Ox ◦ m, tj. z → z ∗ → m(z ∗ ).

6.8

Q.E.D.

Hyperbolická grupa

Pro zachycení situace v hyperbolické rovině použijeme Poincarého kruhový model, kde H2 = {X ∈ E2 ; |OX| < 1}. Body hraniční kružnice γ kruhu Γ = {X ∈ E2 ; |OX| < 1} nepatří do hyperbolické roviny H2 a sehrávají obdobnou roli jako nevlastní body („body v nekonečnuÿ) v eukleidovské geometrii. e Označme H(2) podgrupu grupy I(2) obsahující ty transformace, které zobe razují int Γ na int Γ a γ na γ. Samozřejmě prvky grupy H(2) zobrazují kromě bodů náležejících kruhu Γ všechny ostatní body, a proto je v případě hyperbolické grupy nutné hovořit o restrikci. D EFINICE 6.8.1: Hyperbolická grupa H(2) je grupa obsahující restrikce e (zúžení) všech prvků grupy H(2) na vnitřek kruhu Γ(tj. na int Γ). Prvky grupy H(2) nazýváme hyperbolické transformace. D EFINICE 6.8.2: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou H(2) se nazývá hyperbolická geometrie. Zřejmě všechny osové souměrnosti, jejichž osy procházejí středem kruhu Γ e splňují požadovanou podmínku, a proto patří do grupy H(2). Jejich restrikce na int Γ pak patří do grupy H(2). Dále víme, že jsou-li kružnice k a γ ortogonální, potom v kruhové inverzi IN V(k) je kružnice γ samodružná a navíc int Γ se zobrazuje na int Γ. Všechny e kruhové inverze IN V(k) takové, že k ⊥ γ, patří do grupy H(2) a tím pádem jejich restrikce na int Γ patří do hyperbolické grupy H(2). 183


Předcházející zobrazení (uvedené restrikce osových souměrností a kruhových inverzí) označujeme jako h-inverze a platí věta: Věta 6.8.1: Každou hyperbolickou transformaci lze vytvořit skládáním konečného počtu (přesněji nejvýše tří) h-inverzí. (Grupa H(2) je generována h-inverzemi.) H-inverze plní v hyperbolické geometrii stejnou roli jako osové souměrnosti v geometrii eukleidovské. V Poincarého modelu je tudíž můžeme označovat jako P -osové souměrnosti. Podívejme se na další paralely. Každou P -shodnost lze vytvořit skládáním nějvýše tří P -osových souměrností. Na následujících obrázcích jsou uvedeny dvě P -shodnosti — první vzniká složením dvou P osových souměrností podle dvou souběžných P -přímek (P -translace); druhá vzniká složením dvou P -osových souměrností podle dvou kolmých P -přímek (P -středová souměrnost). Zdůrazněme ještě, že v obou případech jsou zobrazeny P -shodné P -trojúhelníky 4ABC ∼ =P 4A00 B 00 C 00 . =P 4A0 B 0 C 0 ∼

o1

o1

B

B

C

B’

C

B’ C’

A A’ A’’

A

C’ C’’

A’ A’’

S

o2

C’’

o2 B’’ B’’

Obr. 6.8.1

6.9

Obr. 6.8.2

Grupy zobrazení reprodukujících daný útvar

Motivací pro zavedení grup bývá často studium zobrazení, která reprodukují daný útvar, nejčastěji studium souměrností. Příklad 6.9.1. Obdélník je osově souměrný podle přímek spojujících středy protějších stran. Protože jsou tyto přímky k sobě kolmé, je středově souměrný i podle jejich průsečíku. U čtverce najdeme navíc další dvě osy spojující nesousední vrcholy. Kružnice a kruh jsou osově souměrné podle každé přímky procházející středem a středově souměrné podle svého středu. Pravidelný n184


úhelník má n os souměrnosti, které všechny procházejí středem S. Pro n liché je osa určena vrcholem Ak , k = 1, 2, . . . , n, n-úhelníka a středem. Pro n sudé jsou dva druhy os — jednak přímky Ak S a jednak kolmice spuštěné z bodu S na strany n-úhelníka. Středově souměrné jsou pouze n-úhelníky se sudým n. Nechť G je grupa geometrických transformací na množině S — tj. grupa G popisuje na množině S určitou geometrii. V této geometrii je dán útvar P jakožto bodová podmnožina základní množiny S. Budeme se zabývat těmi prvky grupy G, které reprodukují útvar P . D EFINICE 6.9.1: Nechť je dána grupa geometrických transformací G na množině S a geometrický útvar P ⊂ S. Prvek g grupy G nazveme G-symetrie útvaru P , jestliže g(P ) = P . Množinu G-symetrií útvaru P budeme značit Sym(P, G). Množina Sym(P, G) poskytuje řadu informací o útvaru P . Příklad 6.9.2. Vrátíme-li se k úvodnímu příkladu, kde jsme uvedli některé shodnosti reprodukující čtverec, potom uvedené 4 osové souměrnosti a jedna středová souměrnost jsou příklady E(2)-symetrií čtverce. Těchto pět souměrností však nevyčerpává všechny prvky množiny Sym(čtverec, E(2)) — patří sem dále samozřejmě identita, ale např. i rotace kolem průsečíku úhlopříček o ±90◦ . Věta 6.9.1: Jestliže je G grupa transformací na množině S a P ⊂ S je geometrický útvar, potom Sym(P, G) je podgrupou grupy G. Důkaz: (i) Jestliže g1 (P ) = P a g2 (P ) = P , potom (g1 ◦ g2 ) (P ) = g2 [g1 (P )] = g2 (P ) = P , tj. operace je uzavřená; (ii) skládání geometrických transformací je obecně asociativní; (iii) identita I evidentně patří do Sym(P, G), neboť I(P ) = P ; (iv) pro g ∈ Sym(P, G) je g(P ) = P , a proto g −1 (P ) = P , tj. i inverzní zobrazení g −1 ∈ Sym(P, G). Q.E.D. Jak víme, jestliže H je určitá podgrupa grupy G, potom stejně jako grupa G i podgrupa H určuje na množině S jistou geometrii. A tak mužeme rovněž hovořit o grupě H-symetrií útvaru P Věta 6.9.2: Jestliže je G grupa transformací na množině S, H je určitá podgrupa grupy G a P ⊂ S je geometrický útvar, potom grupa Sym(P, H) je podgrupou grupy Sym(P, G). Důkaz: Jelikož je Sym(P, H) grupa, stačí dokázat, že Sym(P, H) ⊂ Sym(P, G). Nechť h ∈ Sym(P, H), potom h(P ) = P . Vzhledem k tomu, že H je podgrupa grupy G, je zřejmě h ∈ G. Odtud h ∈ Sym(P, G). Q.E.D. Příklad 6.9.3. Nechť útvar P je polopřímka {[x, 0] ∈ R2 ; x = 0} (tj. kladná poloosa x). Snadno nahlédneme, že Sym(P, E(2)) (tj. grupa všech shodností

185


reprodukujících kladnou poloosu x) obsahuje pouze identitu a osovou souměrnost podle osy x. Oproti tomu Sym(P, P (2)) (tj. grupa všech podobností reprodukujících kladnou poloosu x) obsahuje navíc všechny stejnolehlosti se středem v počátku a koeficientem κ > 0. Příklad 6.9.4. Určete všechny shodnosti reprodukující daný čtverec ABCD a popište grupu těchto shodností. ♦ C1

D

C

o4

S D1

B1

A o1

o3

B

A1

o2

Obr. 6.9.1 Útvar P je čtverec ABCD, grupa G je eukleidovská grupa — chceme popsat prvky grupy Sym(P, E(2)). Označme o1 =↔ AC, o2 =↔ BD, o3 =↔ A1 C1 , o4 =↔ B1 D1 , kde A1 , B1 , C1 , D1 jsou středy stran a, b, c, d, a S průsečík úhlopříček. Potom shodnosti reprodukující čtverec ABCD jsou identita, čtyři osové souměrnosti, středová souměrnost a dvě rotace: A B C D A B C D I= , 30 O1 (o1 ) = , A B C D A D C B O2 (o2 ) = O4 (o4 ) = R1 (S, +90◦ ) =

A C

B B

C A

D D

O3 (o3 ) =

,

A D

B C

C B

D A

A B

B C

C D

D A

A B A C

B A B D

,

S(S) =

,

R2 (S, +270◦ ) =

C D

D C

C A

D B

A D

B A

, , C B

D C

30 V prvním řádku matice najdeme vzory, v druhém obrazy; tj. A → A, B → B, C → C a D → D.

186

.


Vyplníme tzv. Cayleyovu tabulku, která zachycuje binární operaci skládání shodností reprodukujících čtvrec ABCD:31 ◦ I O1 O2 O3 O4 S R1 R2

I I O1 O2 O3 O4 S R1 R2

O1 O1 I S R2 R1 O2 O4 O3

O2 O2 S I R1 R2 O1 O3 O4

O3 O3 R1 R2 I S O4 O1 O2

O4 O4 R2 R1 S I O3 O2 O1

S S O2 O1 O4 O3 I R2 R1

R1 R1 O3 O4 O2 O1 R2 S I

R2 R2 O4 O3 O1 O2 R1 I S

Z Cayleyovy tabulky snadno vyčteme inverzní zobrazení ke každé shodnosti. Dále mj. vidíme, že grupa shodností reprodukujících čtverec ABC je nekomutativní, např. O1 ◦ O3 = R1 , ale O3 ◦ O1 = R2 . Příkladem netriviální podgrupy grupy Sym(ABCD, E(2)) může být H = {I, O1 , O2 , S} nebo H 0 = {I, R1 , R2 , S} atd.

6.10

Projektivní grupa

V kapitole 4.9 jsme se zabývali homologií jakožto zobrazením, jehož speciálními typy jsou osová afinita, stejnolehlost nebo translace. Podívejme se nyní na homologické transformace z hlediska grupového. p A

p’

S1 A B

B

C

C

D D o1

o2

D’ C’ B’ A’ p’’ S

2

Obr. 6.10.1 31 Vybereme

zobrazení z prvního sloupce (např. O3 ) a zobrazení z prvního řádku (např. O2 ) — v tomto pořadí, neboť skládání zobrazení není komutativní! Do políčka, které odpovídá vybranému řádku a sloupci, vepíšeme složené zobrazení (O3 ◦ O2 = R1 ).

187


Zobrazíme-li útvar U1 na homologický útvar U2 podle daného středu a osy homologie a poté útvar U2 na homologický útvar U3 podle jiného středu a osy homologie, potom útvary U1 a U3 již nejsou obecně homologické!32 Homologické transformace v rovině netvoří grupu. V útvarech U1 a U3 (jenž vznikl z útvaru U1 opakováním homologické transformace) se zobrazí bod na bod, přímka na přímku a bod na přímce na bod na přímce, jež odpovídá dané přímce. O takových útvarech řekneme, že jsou projektivní33 a dané zobrazení nazýváme projektivnost (projektivita), resp. kolineace (ne však již nutně středová kolineace). Projektivní transformace v rovině tvoří grupu. Invariantem homologií, a proto i projektivností, je dvojpoměr čtyř bodů na přímce; tj. platí (A0 B 0 C 0 D0 ) = (ABCD). F. Klein použil v Erlangenském programu pro studium vztahů mezi jednotlivými geometriemi následující řetězec inkluzí grup: grupa shodností ⊂ grupa podobností ⊂ grupa projektivit .34 Již jsme se zmínili o eukleidovské geometrii zabývající se studiem invariantů grupy shodností, o elementární geometrii studující invarianty grupy podobností, o afinní geometrii studující invarianty grupy afinit. Geometrie projektivní vyšetřuje ty vlastnosti geometrických útvarů, jež se nemění vzhledem ke grupě projektivních transformací. V projektivní geometrii nelze tedy mluvit o velikosti úseček, o vzdálenostech, o velikostech úhlů, o přímkách kolmých, o přímkách rovnoběžných, . . . Můžeme mluvit jen o incidenci bodů a přímek a o dvojpoměru čtyř prvků. Grupa transformací projektivních je mnohem širší než grupa transformací afinních (a tím i podobných a shodných), proto obsah geometrie projektivní je menší než obsah geometrie afinní. Za to ovšem jsou věty geometrie projektivní obecnější. Závěrem uveďme zajímavý vztah platící mezi větami projektivní geometrie: Princip duality: Každá věta projektivní geometrie v rovině přechází v rovněž platnou větu projektivní geometrie v rovině, nahradíme-li v ní slovo bod slovem přímka a naopak se současným zachováním incidence. 32 Na

obrázku (obr. 6.10.1) je znázorněno zobrazení bodů A, B, C, D ∈ p v kolineaci se středem S1 a osou o1 na body A, B, C, D ∈ p a následně zobrazení bodů A, B, C, D ∈ p v kolineaci se středem S2 a osou o2 na body A0 , B 0 , C 0 , D0 ∈ p0 . 33 Projektivní útvary lze vytvořit tzv. promítáním (projekcí) — odtud plyne jejich název. 34 Nezařadil grupu afinit, jejichž studium zažilo rozmach až ve století dvacátém.

188


Paralelu mezi větami rovinné projektivní geometrie si můžeme dokumentovat na dvou jednoduchých větách: Dva různé body určují právě jednu přímku (spojnici). Dvě různé přímky určují právě jeden bod (průsečík). Uvedené věty nazýváme duální věty. Obdobně hovoříme i o útvarech duálních — např. průsečík dvou přímek (tj. bod incidentní se dvěma přímkami) a spojnice dvou bodů (tj. přímka incidentní se dvěma body) jsou duálními útvary. Samozřejmě některé pojmy dualizovat nelze. Není možno např. dualizovat pojem vzdálenosti bodů nebo pojem odchylky dvou přímek — obojí se totiž promítáním může měnit. Dále kdybychom se např. snažili dualizovat střed úsečky jako osu souměrnosti dvou přímek, narazili bychom mj. na problém, že každá úsečka má právě jeden střed, kdežto dvojice přímek má dvě osy souměrnosti. Princip duality nebyl dlouho znám — poprvé se o něm zmiňuje až francouzský matematik J. V. Poncelet (1788–1867) ve svém spise Traité des propriétés projectives des figures (1822). Velký přínos principu duality je ovšem evidentní — stačí dokazovat jen polovinu všech vět; z každé věty totiž plyne dualizací věta další. Zdůrazněme ještě, že princip duality používáme jen v geometrii projektivní roviny, kde nečiníme rozdíl mezi útvary vlastními a nevlastními a pokládáme je za rovnocenné. V afinní (tj. ani v eukleidovské) rovině princip duality nezavádíme!

189


Literatura [1] Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktive Geometrie. Stuttgart, Teubner 1996. [2] Boček, L. – Šedivý, J.: Grupy geometrických transformací. Praha, MFF UK 1982. [3] Bohne, E. – Klix, W. D.: Geometrie — Grundlagen für Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. [4] Coxeter, H. S. M.: The Real Projective Plain. New York, Springer-Verlag 1993. [5] Martin, G. E.: Geometric Constructions. New York, Springer-Verlag 1998. [6] Menšík, M. – Setzer, O. – Špaček, K.: Deskriptivní geometrie. Praha, SNTL 1966. [7] Nečas, J. a kol.: Aplikovaná matematika I. a II. Praha, SNTL 1977. [8] Pavlíček, J. B.: Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Praha, Přírodovědecké vydavatelství 1953. [9] Sekanina, M. – Boček, L. – Kočandrle, M. – Šedivý, J.: Geometrie II. Praha, SPN 1988. [10] Stillwell, J.: Mathematics and Its History. New York, Springer-Verlag 1991. [11] Struik, D. J.: Dějiny matematiky. Praha, Orbis 1963. [12] Šedivý, J. – Folta, J.: Světonázorové problémy matematiky I. Praha, MFF UK 1983. [13] Šulista, M.: Základy analýzy v komplexním oboru. Praha, SNTL 1981. [14] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1977. [15] Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I. Praha, SPN 1965. [16] Vyšín, J. a kol.: Geometria pre pedagogické fakulty II. Bratislava, SPN 1970. [17] http://www.maths.gla.ac.uk/∼wws/cabripages/cabri0.html [18] http://www.math.uncc.edu/∼droyster/courses/spring99/math3181/

190

SG. Miroslav Lávička

Recommend Documents