Relativiteit en deeltjesversnellers. B. van Eijk. Nikhef Amsterdam. Universiteit Twente

12 februari 2013

Relativiteit en deeltjesversnellers

B. van Eijk Nikhef Amsterdam en Universiteit Twente


1.

Relativiteitstheorie

1.1 Van Galilei tot Lorentz De Italiaanse wetenschapper en filosoof Galileo Galilei [1] was een veelzijdig man en een belangrijke vertegenwoordiger van de Renaissance. Hij introduceerde het begrip ‘relativiteit’ op basis van de observatie dat de definitie van beweging overal geldig moet zijn. Voor relatieve snelheden veel kleiner dan de lichtsnelheid is de Galileitransformatie een correcte benadering. Voor hogere snelheden dient deze transformatie vervangen te worden door de Lorentz [2] transformatie. Beschouw de 2-dimensionele coördinaten systemen S en Galileo Galilei

S ' met assen x , y en x ' , y ' resp., waarbij het iner-

tiaal stelsel S ' met constante snelheid ( v º dr / dt ) langs de x resp. x ' -as beweegt ten opzichte van S . Op t = 0 nemen we x ' = x en y ' = y . Na een tijd t heeft S ' zich verplaatst over een afstand vt (Figuur 1.1),

Figuur 1.1: Stelsel S ' beweegt met snelheid v t.o.v. S over afstand vt langs de

x , x ' -as.

zodat de volgende relaties gelden

x ' = x - vt y' = y

(1.1)

t' = t

1

Van Galilei tot Lorentz

Beschouw vervolgens een lichtbundel met oorsprong in het punt P (zie Figuur 1.2). Het licht verplaatst zich met de lichtsnelheid c = 2.99792458 ´ 108 ms -1 in systeem S .

Figuur 1.2: Een lichtbron bevindt zich in punt P , stelsel S ' beweegt met snelheid v t.o.v. S over afstand vt langs de

x , x ' -as.

De Galilei transformatie geeft vervolgens de lichtsnelheid in stelsel S ' :

¶x ' ¶x = -v = c -v ¶t ¶t

(1.2)

Reeds door de Griekse filosoof Aristoteles [3] werd gesteld dat er een medium, ‘de ether’, voor nodig was om geluid te laten propageren. Ten tijde van Maxwell [4], en zijn mathematische analyse van elektromagnetische golven (- 1873), was er aan dit inzicht nog weinig veranderd. Sterker nog, diverse wetenschappers, o.a. Cauchy [5], Stokes [6], Thomson [7] en Planck [8], postuleerden een ether met verschillende eigenschappen. Voor licht, warmte, elektriciteit en magnetisme werden diverse ethers gedefinieerd. Interessant detail is dat Maxwell reeds in 1862 concludeerde dat elektromagnetische golven met ongeveer de lichtsnelheid propageren.

Maxwell vergelijkingen Een van de grootste doorbraken van de 19e eeuw in de theoretische fysica, is de ontdekking van elektromagnetische golven. Uitgaande van de observatie dat er twee vormen van elektrische kracht zijn, kunnen twee eenheden gedefinieerd worden. Allereerst is er de kracht welke tussen twee elektrische ladingen optreedt. Naast het toekennen van een teken aan de lading, kan een eenheid voor deze kracht (en dus lading) gedefinieerd worden. Wanneer vervolgens door twee parallelle elektrisch geleidende draden een stroom gestuurd wordt, treedt een kracht tussen de draden op. Voor deze tweede kracht kan eveneens een eenheid (en dus een eenheid voor stroom) gedefinieerd worden. Aangezien lading en stroom gerelateerd zijn, kan de stroom ook uitgedrukt worden in eenheden van

2


lading. De meest voor de hand liggende keuze is om de eenheid van stroom te definiëren als de eenheid van lading welke per seconde een bepaalde doorsnede (van de draad) passeert. De twee definities voor stroom lijken op het eerste gezicht totaal verschillend te zijn. Bij juiste keuze van eenheden (meter, seconde) blijkt de verhouding tussen de twee eenheden precies de lichtsnelheid op te leveren. De grootte van de lichtsnelheid werd al rond 1676 afgeleid door Olaus Rømer [9] (aan de hand van berekeningen aan de baan van Jupiter’s maan IO). Een van de hoofdrolspelers bij de ontdekking en beschrijving van

elektromagnetisme

was

Faraday

[ 10 ]

die

de

magnetische veldlijnen introduceerde als ‘krachtlijnen’. Hij liet zien dat in een draad, met de juiste oriëntatie gepositioneerd in een wisselend magnetisch veld opgewekt met behulp van een wisselstroom, opnieuw een stroom gegenereerd kon worden (magnetische inductie). Magnetische velden kunnen elektrische stromen induceren en vice-versa. De grote vraag was vervolgens of voor dit verschijnsel een golf gedefinieerd kon worden welke zich voortplantte in de ‘lege’ ruimte. Het was Maxwell [4] welke in 1861 met zijn beroemde James Clerk Maxwell

vergelijkingen liet zien dat dit inderdaad mogelijk is:

  r ⋅ E = e0    ¶B ´E = (1.3) ¶t   ⋅ B =0     ¶E  ´ B = m0J + e0m0 ¶t    met elektrisch veld E , magnetisch veld B , r de ladingsdichtheid en J de stroomdichtheid, e0 de elektrische- en m0 de magnetische permeabiliteit in de ‘vrije ruimte’. Beschouwen we wederom een draad met een constante ladingstroom I (-), dan kunnen we met behulp van (1.3) de kracht uitrekenen welke een ‘vrije’ ladingsdrager q (+) in een parallelle draad ondervindt. De magnetische veldsterkte rond de stroomvoerende draad vinden we eenvoudig met:







 

ò (  ´ B ) ⋅ dA = ò Bds S

  = m0 ò J ⋅ dA =m0I

C

(1.4)

S

zodat met I = rv ( v << c is de snelheid waarmee de ladingsdrager (+) zich verplaatst en is gelijk aan de snelheid waarmee de ladingsdragers (-) in de draad zich verplaatsen):

B =

m0rv 2pr

(1.5)

3








Nu kunnen we met F = qv ´ B eenvoudig de magnetische kracht op q afleiden:

q m0rv 2 F = 2pr

(1.6)

De lading wordt versneld, weg van de draad. In het geval van licht, was de hypothese dat de ether een absoluut referentie stelsel ten opzichte van de rest van het heelal vormt. Licht zou zich dus soms in dezelfde richting als de ether en soms in tegengestelde richting kunnen bewegen. Met andere woorden, de lichtsnelheid in diverse richtingen zou verschillend moeten zijn. Albert Michelson [11] en Edward Morley [12] definieerden in 1887 een cruciaal experiment waarmee de relatieve beweging van de aarde ten opzichte van de ether aangetoond zou kunnen worden. Het experiment maakte gebruik van een interferometer welke Michelson in 1881 ontwikkeld had geïnspireerd door Maxwell’s ideeën dat licht zelf een elektromagnetisch verschijnsel is (1878). De Michelson interferometer bestaat voornamelijk uit een lichtbron, een halfdoorlatende spiegel, twee zuivere spiegels (onder een hoek van 90° ten opzichte van elkaar), een detector (telescoop) en een lens (zie Figuur 1.3). De halfdoorlatende spiegel (‘bundeldeler’) is onder 45° geplaatst ten opzichte van de twee spiegels M 1 en M 2 . Het licht van de lichtbron dat de weg volgt via de bundeldeler en M 1 naar de lens, zal drie keer het materiaal van de bundeldeler doorkruizen. Het licht via de bundeldeler en

M 2 zal slechts eenmaal dit materiaal passeren. Om hiervoor te compenseren is in dit laatste pad een zelfde hoeveelheid materiaal opgenomen als in de halfdoorlatende spiegel, echter zonder spiegelfunctie. De lens zorgt ervoor dat al het licht op de detector gefocusseerd wordt. Door het kleine weglengteverschil (in lucht!) tussen het

Albert Michelson

virtuele beeld van M 2 in de halfdoorlatende spiegel M 2' en M 1 ontstaat er een ringvormig interferentiepatroon op

de detector. Het weglengteverschil wordt zo gekozen dat het interferentiepatroon geoptimaliseerd is. De hieraan gekoppelde faseverschuiving f wordt op haar beurt weer bepaald wordt de materiaaleigenschappen van de bundeldeler. Wanneer de afstand tussen M 1 en M 2' slechts enkele golflengten bedraagt, kan het interferentiepatroon met ‘wit’ licht worden verkregen. De gehele opstelling kon vrij geroteerd worden zonder de onderlinge oriëntatie van de diverse onderdelen en weglengten te veranderen. De achterliggende gedachte van het Michelson-Morley experiment was als volgt. Wanneer licht via de beide loodrechte armen van de interferometer, bij gelijke weglengte, de telescoop bereikt, zal een in-

4


Figuur 1.3: De Michelson interferometer. terferentiepatroon ontstaan indien de snelheid van het licht ten opzichte van de ether in beide armen verschillend is. Door de gehele opstelling roteerbaar op te stellen kan dit effect gemaximaliseerd worden. Een klein weglengte verschil ten gevolge van toleranties in de experimentele opstelling is acceptabel omdat een verschuiving ten gevolge van afwijkende lichtsnelheden in beide armen een verandering in intensiteit van het normale interferentiepatroon zal veroorzaken. Bovendien, kan door rotatie van de opstelling een systematische foutenanalyse plaatsvinden. Voor de verdere discussie gaan we uit van een gesimplificeerde beschrijving van de Michelson interferometer. Stel dat de interferometer zich met de rotatiesnelheid van de aarde ( v ) beweegt ten opzichte van de ‘ether’ (een andere optie is natuurlijk om de rotatie van de aarde om de zon te beschouwen). De bewegingsrichting is gedefinieerd langs de as welke de lichtbron en het centrum van spiegel M 2 verbindt (Figuur 1.4). Het licht vanuit O bereikt de spiegel M 2 op het moment dat deze zich naar positie M 2' heeft verplaatst. Vervolgens wordt het licht teruggekaatst en bereikt de halfdoorlatende spiegel welke zich dan op positie O ' bevindt. De tijd nodig voor het afleggen van pad OM 2' O ' is dan eenvoudig de afstand gedeeld door de snelheid van het licht

t1 =

d d 2cd + = 2 c +v c -v c - v2

(1.7)

met d de afstand tussen de bundeldeler en de beide spiegels. In Figuur 1.5, leiden we voor het pad

5


Figuur 1.4: Een lichtbron bevindt zich in punt P , stelsel S ' beweegt met snelheid v t.o.v. S over afstand vt langs de

x , x ' -as.

OM1O ' met behulp van Pythagoras [13] eenvoudig af

t2 =

d c2 - v 2

+

d c2 - v2

=

2d c2 - v2

(1.8)

c2 - v2

Figuur 1.5: Met behulp van Pythagoras leiden we de snelheid langs OM 1O ' af. Reeksontwikkeling van de uitdrukkingen in (1.7) en (1.8) levert:

ö÷ 2d æç v2 v 4 2d æç v 2 ö÷ ÷ t1 = = ç 1 + 2 + 4 + ... ÷ » ç 1 + 2 ÷÷ c çèç c çèç c2 - v 2 c c c ø÷ ø÷ 2 4 2 ö ö 2d æ 2d 2d æç v 3v çç 1 + v ÷÷ t2 = = çç 1 + 2 + 4 + ... ÷÷÷ » ÷ c çè c èçç 2c 4c 2c 2 ø÷ ø÷ c2 - v 2 2cd

(1.9)

Dus de beweging van de interferometer vergroot de weglengte van de beide paden, maar niet in gelijke mate. De lengteverandering van het pad in de bewegingsrichting is twee keer zo groot als lood-

6


recht op de bewegingsrichting. Het tijdsverschil wordt:

2d æç v2 v 2 ö÷ v2 ÷ t1 - t2 » ç1 + 2 - 1 - 2 ÷ = d 3 c ççè 2c ÷ø c c

(1.10)

en verdwijnt dus voor een interferometer in rust! Het afstandsverschil voor beide paden is dan

D = c ( t1 - t2 ) = d

v2

(1.11)

c2

wat, als we de rotatiesnelheid van de aarde om de zon beschouwen ( v

d ´ 10-8 m bedraagt. Zichtbaar licht met een golflengte van de orde 10-6

/ c ~ 10-4 ), ongeveer m impliceert dat d groot

moet zijn. Michelson en Morley introduceerden daartoe een groot aantal spiegels zodat het licht meerdere malen dezelfde afstand aflegde voordat de telescoop bereikt werd (zie Figuur 1.6).

Figuur 1.6: Het Michelson-Morley experiment maakte gebruik van meerdere spiegels om de padlengten te vergroten.

d = 11 m ofwel cm een verschuiving van ~ 0.2l in het inter-

Het oorspronkelijke experiment (Figuur 1.7) realiseerde op deze wijze -5

D ~ 1.1 ´ 10

-5

cm zodat licht met l = 6 ´ 10

ferentiepatroon veroorzaakt. Dit komt overeen met de verschuiving over 1/5 ring. Verschuivingen wer-

7


den echter niet waargenomen. Michelson vroeg zich nog af of de ether soms aan het aardoppervlak kon ‘kleven’. De consequentie van deze hypothese zou zijn dat licht van sterren bij de overgang van de ‘verre ether’ naar de ‘aardse ether’ afgebogen zouden worden. Het Michelson-Morley experiment werd vervolgens boven op een bergtop herhaald. De resultaten verschilden niet van de eerdere metingen. De conclusie luidt dat de lichtsnelheid onafhankelijk is van de snelheid van de waarnemer.

Figuur 1.7: Het oorspronkelijke Michelson-Morley experiment uit 1887. In 1889 schreef Georg FitzGerald [14] een kort artikel waarin gesuggereerd wordt dat het resultaat van het Michelson–Morley experiment verklaard kan worden wanneer de afmetingen van de diverse onderdelen veranderen proportioneel met het kwadraat van de verhouding van hun snelheid tot de lichtsnelheid. Kort daarop kwam Lorentz [2] onafhankelijk van FitzGerald tot dezelfde conclusie. Deze Lorentz–FitzGerald contractie is de consequentie van transformaties welke later bekend zijn geworden als de Lorentz transformaties. Larmor [15] formuleerde in 1898 onafhankelijk van Lorentz deze transformaties. Poincaré [16] vroeg zich rond 1900 af of de ether werkelijk bestond. De discussie met betrekking tot inertiaal stelsels en ether kreeg omstreeks 1905 een geheel andere wending toen Einstein [17] zijn speciale relativiteitstheorie presenteerde.

8


1.2 Einstein’s speciale relativiteitstheorie In juni 1905 presenteerde Einstein [17] een geheel andere benadering voor het begrip relativiteit. In tegenstelling tot de discussies in voorgaande jaren probeerde hij de experimentele resultaten niet te verklaren. Sterker nog, hij stelde dat het begrip ether geen noodzakelijk element was voor het definiëren van een consistente theorie. Allereerst introduceerde hij inertiaal stelsels Albert Einstein

welke per definitie een eenparige snelheid

t.o.v. elkaar hebben. Vervolgens ontwikkelde hij zijn theorie gebaseerd op twee postulaten: -

De snelheid van het licht is constant in de vrije ruimte en is onafhankelijk van de (eenparige) beweging van de lichtbron òf waarnemer,

-

In ieder inertiaal stelsel gelden dezelfde natuurwetten.

Uitgaande van deze twee hypothesen, leidde Einstein de Lorentz transformaties af waaruit op natuurlijke wijze de Lorentz-FitzGerald contractie volgt. In september van datzelfde jaar, 1905, publiceert

E = mc 2 bewijst. Beschouw wederom een lichtsignaal uitgezonden in de inertiaal stelsels S en S ' welke een eenparige relatieve beweging ( v ) ten opzichte van elkaar hebben (zie Figuur 1.2). De verplaatsing van het licht langs de x -as is systeem S is gegeven door

Einstein een kort artikel waarin hij zijn beroemde formule

x = ct

(of

: x - ct = 0 )

(1.12)

en in stelsel S ' door:

x ' = ct '

(of

: x '- ct ' = 0 )

(1.13)

zodat voor een bepaalde gebeurtenis zowel tijdstip als positie in beide systemen verschillend zijn. Dit in tegenstelling tot Newton’s [18] bewering: t = t ' . Neem vervolgens aan dat er een ‘lineair’ verband bestaat tussen positie en tijdstip in stelsel S en de positie in S ' ; d.w.z.

Newton :

x ' = x - vt

wordt :

x ' = g ( x - vt )

(1.14)

waarbij g afhangt van de relatieve snelheid v van S ' ten opzichte van S . Andersom geldt dan voor de verplaatsing x in systeem S ( -v !):

Newton :

x = x '+ vt

wordt :

x = g ( x '+ vt ' )

(1.15)

9

Einstein’s speciale relativiteitstheorie

Voor de beide relaties

x ' = ct ' = g ( ct - vt )

(1.16)

x = ct = g ( ct '+ vt ' )

kunnen we vervolgens t en t ' elimineren en g bepalen

ct ' vg = (ct - vt ) = g (ct '+ vt ' ) - (ct '+ vt ' ) g c 2 æ æ c v ö v2 ö = g çççc + v - v - ÷÷÷ = g c ççç 1 - ÷÷÷ çè c ø÷ g c 2 ø÷ èç



g =

1 1-

v2

;

x' =

x - vt 1-

c2

v2

(1.17)

c2

Met behulp van dit formalisme kunnen we de Lorentz-FitzGerald contractie nauwkeuriger analyseren. Beschouw een stok met lengte L0 geplaatst langs de x ' -as in systeem S ' dat wederom met een constante snelheid v beweegt in de x -richting ten opzichte van stelsel S de lengte van de stok en de positie van de uiteinden wordt gegeven volgens:

L0 = x '2 - x '1 op t = 0 : x '2 = g x 2 ; x '1 = gx 1

(1.18)

De lengte ( L ) van de stok in systeem S wordt dan gegeven door:

L = x 2 - x1 =

x '2 - x '1 v2 = L0 1 g c2

(1.19)

De lengte van de stok is veranderd; de stok is gekrompen! Ga na dat dit resultaat symmetrisch is onder verwisseling van S en S ' .

Maxwell cont. In (1.6) werd de magnetische kracht afgeleid die de ladingen versnelt. Beschouw nu het coördinaten stelsel waarin we aannemen dat de ladingsdragers in rust zijn. Het lijkt er nu op dat er geen magnetisch veld is omdat dit lineair afhangt van v . Maar de versnelling van q gemeten in het ene inertiaal systeem moet ook in het andere inertiaalstelsel aanwezig zijn. Terwijl de ladingen nu in rust zijn, beweegt de draad met snelheid v zodat de lengte van de draad ten gevolge van de Lorentz-FitzGerald contractie verandert en dus het aantal ladingsdragers (-) in de draad verandert met:

r 1-

10

v2 c2

»

r v2 2 c2

(1.20)


Maar ook het aantal elektrisch positieve ladingsdragers zal met een zelfde hoeveelheid veranderen zodat het ladingsoverschot aanleiding geeft tot een resulterend elektrisch veld. Met:

ò

   ⋅ EdV =

V

  1 EdA = ò e0 S

(1.21)

levert dit:

r v2 1 E = e0 c 2 2pr

(1.22)

De kracht die het elektrische veld op de lading q uitoefent is dan:

F =

q rv 2 1 2pr e0 c 2

(1.23)

1 e0m0

(1.24)

Aangezien

c2 º

vinden we dat de elektrostatische kracht gelijk is aan de kracht ten gevolge van het magneetveld. Hoe de kracht benoemd wordt hangt dus af vanuit welk inertiaal systeem de kracht beschouwd wordt. Volgens de Maxwell vergelijkingen, propageert de elektromagnetische golf met de lichtsnelheid. Maxwell poneerde dat de elektromagnetische golf identiek aan ‘licht’ zou moeten zijn. In de loop der jaren werden verschillende (al dan niet zichtbare) elektromagnetische golven ontdekt. Zowel Hertz [19] in 1886 als Marconi [20] in 1903 ontwikkelden op basis van Maxwell’s theorie hun radio antennes. Beschouw nogmaals Maxwell’s vergelijkingen voor een eenvoudige elektromagnetische golf; een monochromatische golf in de ‘vrije’ ruimte. De vergelijkingen in (1.3) reduceren dan tot:

  ⋅ E   ´E   ⋅ B   ´B

=0

 ¶B =¶t =0

(1.25)

 ¶E = e0m0 ¶t

Om een golfvergelijking te krijgen combineren we de tweede en vierde uitdrukking als volgt

      ¶  ¶2E 1 ¶2E  ´ (  ´ E ) = -  ´ B = -e0m0 =¶t ¶t 2 c 2 ¶t 2

(1.26)

Met behulp van de vector operator identiteit

       ´ (  ´ E ) =  (  ⋅ E ) - 2E

(1.27)

11


vinden we

  1 ¶2E E=0 c 2 ¶t 2 2

(1.28)

Voor een vlakke golf in de x -richting reduceert dit tot

 ¶2E ¶x 2

-

 1 ¶2E c 2 ¶t 2

=0

(1.29)

met de monochromatische oplossing voor deze golfvergelijking:

  i kx -wt ) E ( x , t ) = E 0e (

(1.30)

Aangezien we hier gekozen hebben voor de oplossing in complexe notatie, wordt de fysische oplossing verkregen door het reële deel te nemen. Uit (1.29) volgt tevens direct de oplossing

cos ( kx - wt ) . De complexe notatie wordt echter geprefereerd zoals we later bij de behandeling van de verstrooiing van vlakke golven aan een stationaire potentiaal zullen zien. Substitutie van (1.30) in (1.29) geeft:

æ ¶2 1 ¶2 ÷ö  i ( kx -wt ) çæ 2 w 2 ö÷  i ( kx -wt ) çç ÷ ÷÷ E 0e = çç k =0 çèç ¶x 2 - c 2 ¶t 2 ÷÷ø E 0e çè c 2 ÷ø

(1.31)

Dit moet voor iedere waarde van x en t gelden zodat w = ck ; de vlakke golf verplaatst zich met de lichtsnelheid… Op dezelfde wijze als de relatie tussen x ' en x verkregen is, kan met behulp van (1.16) het verband tussen t en t ' afgeleid worden door x ' te elimineren:

gvt ' = x - g x ' = x - g 

2

(ct - vt ) = x -

c2

( x - vt ) = c2 - v2 æ c 2t - xv vx ö = g 2 çç t - ÷÷÷ g t' = çè c2 - v 2 c2 ø æ vx ö  t ' = g çç t - ÷÷÷ çè c2 ø

x ( -v 2 ) + vtc 2 c2 - v2

(1.32)

Ga zelf na dat de inverse transformatie geschreven kan worden als

x = g ( x '+ vt ' ) æ vx ' ö÷ t = g çç t '+ ÷÷ çè c2 ø

(1.33)

De relatie tussen t en t ' impliceert dat een klok met snelheid v langzamer loopt dan dezelfde klok wanneer deze zich in rust bevindt. Tijddilatatie is eenvoudig te illustreren aan de hand van volgend voorbeeld waarin een klok op positie x ' in S ' in rust wordt beschouwd (met de keuze x ' = 0 ):

12


æ vx ' ÷ö t = g çç t '+ ÷÷ = g t ' çè c2 ø

(1.34)

Stel dat de tijd welke verstrijkt in S ' is gegeven volgens t '2 - t '1 = 1 seconde zodat

t2 = g t '2 t1 = g t '1

(1.35)

1

t2 - t1 = g ( t '2 - t '1 ) =

1-

v2 c2

Dit resultaat is experimenteel nauwkeurig geverifieerd met behulp van het geladen p -meson (pion) verval in muon ( m ) en muonneutrino ( u m ):

p+  m+um , p-  m-um

(1.36)

De gemiddelde levensduur van een geladen pion is t 0p ~ 2.5 ´ 10-8 seconden (zie ook [21]). Met een bundel van geladen pionen, welke versneld zijn met behulp van een elektrisch veld, kan de gemiddelde afstand gemeten worden voordat de pionen desintegreren. De gemiddelde weglengte vóór het verval van het pion, zonder tijddilatatie, wordt dan

ct p0 ~ 750 cm Stel dat de pionen versneld zijn tot

(1.37)

v / c ~ 1 - 5 ´ 10-5 = 0.99995 , zodat g ~ 100 . Met tijddi-

latatie levert dit, gemeten in het laboratorium:

c gt p0 ~ 750 m

(1.38)

De set vergelijkingen (1.16), (1.17) en (1.32) met y ' = y en z ' = z , staan bekend als de Lorentz transformatie. Tijddilatatie en lengtecontractie geven aanleiding tot volgende nadere beschouwing van hoe snelheden zich ten opzichte van elkaar verhouden en optellen in verschillende inertiaal systemen. In Figuur 1.8 beweegt stelsel S zich met constante snelheid v langs de x , resp. x ' -as, ten opzichte van S . Een object, P , beweegt zich met snelheid u 'x ' in de x ' richting in S ' . Volgens Galilei en Newton is de snelheid in stelsel S eenvoudigweg

ux = u 'x ' + v

(1.39)

Stel nu dat ux ' = c , dan volgt ux = c + v > c ! Met behulp van de Einstein vergelijkingen uit (1.33) kan na differentiatie geschreven worden:

dx = g (dx '+ vdt ' ) æ vdx ' ö÷ dt = g ççdt '+ ÷÷ çè c2 ø

(1.40)

13


Figuur 1.8: Object P beweegt zich langs de x ' -as met snelheid u 'x ' in stelsel S ' . S ' op zijn beurt beweegt met constante snelheid v ten opzichte van S in de aangegeven richting. met

dx = ux ; dt

dx ' = u 'x ' dt '

(1.41)

zodat

ux =

g (dx '+ vdt ' ) ( u 'x ' + v ) dx = = æ dt vdx ' ö æ v ö g çççdt '+ 2 ÷÷÷ ççç 1 + u 'x ' 2 ÷÷÷ è c ø è c ø

(1.42)

Beschouwen we wederom u 'x ' = c (bijvoorbeeld een lichtbron in S ' ) en v = 1 c , dan wordt vol2 gens Newton de lichtsnelheid in S : 3 c , terwijl volgens Einstein’s analyse (1.42) de lichtsnelheid in2

variant is onder ‘bewegingstransformaties’:

ux =

c 2 =c c2

c+ 1+

(1.43)

2c 2

x, x ' -as gekozen. Beschouw wederom de inertiaal stelsels S en S ' waarbij S ' met snelheid v ten opzichte van S langs de x, x ' as beweegt. Het object P beweegt nu zowel in de x ' -richting als de y ' -richting in S ' (Figuur 1.9). De snelheid van object P in de y -richting gemeten in systeem S wordt ( y = y ', dy = dy ' en Voor de beweging van P hebben we als voorkeursrichting de

(1.40)):

14


Figuur 1.9: Object P beweegt zich zowel langs de x ' - als y ' -as met snelheid

u 'x ' , u 'y ' in stelsel S ' . S ' op zijn beurt beweegt met constante snelheid v ten opzichte van S in de aangegeven richting.

uy =

=

dy = dt

u 'y ' dy ' = æ æ vdx ' ö v ö g ççdt '+ 2 ÷÷ g çç 1 + u 'x ' 2 ÷÷ çè çè c ÷ø c ÷ø

u 'y ' 1 -

(1.44)

v2

c2 æ ö çç 1 + u ' v ÷÷ x' 2 ÷ çè c ø

Indien u 'x ' = 0 dan reduceert (1.44) tot een simpele uitdrukking:

uy = u 'y ' 1 -

v2 c2

(1.45)

Ga zelf na dat (1.45) eveneens met behulp van tijddilatatie afgeleid kan worden. Rond 1909 analyseren Tolman [22] en Lewis [23] het botsingsproces van twee ballen welke zich ieder in een ander inertiaal stelsel bevinden. Stel S ' beweegt zich wederom met snelheid v ten opzichte

x, x ' -as. Bal A heeft een ‘rustmassa’ m 0 en beweegt met snelheid u (gemeten in S ) langs de y-as. Een tweede bal, B , met een zelfde rustmassa m 0 beweegt met snelheid -u (gemeten in S ' ) langs de y ' -as. Stel bovendien dat u << v en dat op het moment dat de beide ballen A en B elastisch botsen, de assen y en y ' samenvallen. Een en ander is geïllustreerd in van S langs de

Figuur 1.10 waarin de situatie voor en na de botsing geschetst is. Een waarnemer in S ziet bal A met snelheid u botsen en vervolgens met snelheid -u terugkaatsen ( D = -2u ). Deze waarnemer in S ' ziet bal B met snelheid -u botsen en met snelheid +u terugkaatsen ( D

= +2u ). De botsing verloopt volledig symmetrisch onder verwisseling van S en S ' . De snelheid van bal B gemeten in systeem S is voor de botsing volgens (1.45): 15


-u 1 -

v2

(1.46)

c2

en na de botsing

+u 1 -

v2

(1.47)

c2

Figuur 1.10: S ' beweegt met constante snelheid v ten opzichte van S . De ballen A en B hebben identieke rustmassa en tegengestelde snelheid en bewegen langs de y , resp. y ' -as. De situatie voor en na elastische botsing van de ballen is weergegeven. We gaan er vervolgens van uit dat de botsing gemeten wordt in S waarbij we voor de massa van bal

A de rustmassa m 0 nemen (dus u << v ) terwijl de massa van bal B in S als m gedefinieerd wordt. Wanneer nu A en B voor en na de elastische botsing een ‘gesloten’ systeem vormen, moet de impuls behouden blijven (Tabel 1.1).

Impuls bal A : Impuls bal B : Tabel 1.1:

Na botsing:

D

+m 0u

-m 0u

-2m0u

-mu 1 -

v2 c2

+mu 1 -

v2 c2

+2mu 1 -

v2 c2

Impulsbalans van de ballen A en B voor en na de botsing.

Dus impuls behoud leidt tot:

16

Voor botsing:


-2m 0u + 2mu 1 -

v2 c2

=0



m0 = m 1 -

v2

(1.48)

c2

Ofwel de massa van bal B , gemeten in S , is toegenomen ten opzichte van zijn rustmassa:

m0

m =

1-

v2

,

px º mvx =

m 0vx 1-

c2

(1.49)

v2 c2

Figuur 1.11 illustreert hoe de (geschaalde) massa toeneemt met de (geschaalde) snelheid.

5

4

m m0

m = m0

3

1 1-

2

v2 c2

1

0 0

0,2

0,4

0,6 v / c 0,8

1

Figuur 1.11: Totale (geschaalde) massa als functie van de (geschaalde) snelheid. Vervolgens beschouwen we eerst impuls- en energiebehoud in het klassieke beeld. Newton’s tweede hoofdwet: De impulsverandering van een lichaam is evenredig met de resulterende kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend:

  d dp  F µ ( mv ) = dt dt

(1.50)

levert met de juiste keuze van eenheden:

  d dv   dm F = ( mv ) = m +v dt dt dt

(1.51)

De derde hoofdwet van Newton luidt: Voor iedere kracht werkend op een lichaam is er een reactiekracht (gelijk en tegengesteld) werkend op een ander lichaam:

  F12 = -F21 d d   ( m1v1 ) = - ( m2v2 ) dt dt

(1.52)

17


zodat automatisch impulsbehoud volgt:

d ( m1v1 + m2v2 ) = 0 dt

(1.53)

De uitdrukking voor de ‘relativistische’ impuls in vergelijking (1.49) kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor het geval voor de snelheid geen voorkeursrichting gekozen wordt:

 m 0v

  p º mv =

1-

v

2

 = gm 0v

(1.54)

c2

Gedurende de periode 1830 – 1850 werd met behulp van diverse experimenten macroscopisch energiebehoud aangetoond. Rond 1850 voerde Joule [24] experimenten uit met betrekking tot warmte en wrijvingskrachten waarin de eenheid van Joule zijn oorsprong vindt; 4.187 Joules is nodig om de temperatuur van 1 gram water met 1°C te verhogen (4.187 J wrijvingsenergie komt overeen met 1 calorie). Met behulp van de tweede bewegingswet van Newton en Einstein’s constatering dat de massa van een versneld object niet overeenkomt met zijn rustmassa kunnen we de klassieke uitdrukking (1.50) omschrijven tot (beweging wederom gekozen langs de x -as):

F =

d mdv vdm + ( mv ) = dt dt dt

(1.55)

Een uitdrukking voor de kinetische energie vinden we vervolgens door integratie van:

dEkin º Fdx = m

dv dm dx + v dx = mvdv + v 2dm dt dt

(1.56)

wat met

m0

m =

1-

(1.57)

v2 c2

uit (1.49) en na differentiatie van deze relatie naar v

dm =

m0 c

2

vdv 3 2 ö2 v

æ çç 1 - ÷÷ ÷ ççè c 2 ÷ø

mvdv

=

(c 2 - v 2 )

de volgende uitdrukking voor (1.56) oplevert:

dEkin = mvdv + v 2dm

= (c 2 - v 2 )dm + v 2dm

18

(1.58)


m 0vdv

= c 2dm =

(1.59)

3 2 ö2 v

æ çç 1 - ÷÷ ÷ ççè c 2 ø÷

Na integratie verkrijgen we de uitdrukking voor de kinetische energie: v Ekin

Ekin =

ò

v

dEkin =

0

ò 0

m0vdv 3 2 ö2 v

=

æ çç 1 - ÷÷ ÷ ççè c 2 ø÷

m0c 2 1-

v

2

c

2

=

m0c 2 1-

0

v

2

- m0c 2 = mc 2 - m0c 2

(1.60)

c2

We vinden dus weer dat de totale energie gelijk is aan de som van de kinetische energie en rustmassa:

Etot º mc 2 = E kin + m 0c 2

(1.61)

Indien de snelheid klein is ten opzichte van de lichtsnelheid, kunnen we (1.60) in een Taylor [25] (Maclaurin [26]) reeks ontwikkelen en vinden we de klassieke limiet:

æ ö 1 v2 Etot = m0c 2 ççç 1 + +  - 1 ÷÷÷ ÷ø çè 2 c2



1 m v2 2 0

(1.62)

2

1,5

 p é MeV / c ù ë û

Ekin

1

é MeV ù ë û Impuls

0,5

Kinetische energie

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b = vb c Figuur 1.12: Kinetische energie en impuls van een versneld elektron als functie van zijn (geschaalde) snelheid. In Figuur 1.12 wordt het verloop van de kinetische energie en impuls van een versneld elektron als

19


functie van zijn (geschaalde) snelheid getoond. Samenvattend kunnen we stellen dat voor een ‘gesloten systeem’ geldt: 

Impuls behoud



Energiebehoud

Aangezien energie en impuls nauw verbonden zijn, kunnen we met (1.54) en (1.61) schrijven:

Etot

 pc 2 º mc = gm0c =  v 2 m 0c  Etot =  2 ( pc ) 1- 2 Etot   Etot 2 - p 2c 2 = m 02c 4 2

2

(1.63)

zodat hiermee in compacte vorm, de directe relatie tussen energie, impuls en rustmassa is vastgelegd.

1.3 Het Doppler effect Wanneer een bron, die golven genereert, beweegt ten opzichte van een waarnemer, dan observeert de waarnemer de golf met een andere frequentie dan die welke oorspronkelijk door de bron uitgezonden is. Dit effect wordt op eenvoudige wijze waargenomen met geluidsgolven. Is er een relatieve beweging tussen de waarnemer en de bron, dan ontstaat een toonhoogte verandering. Wanneer de afstand tussen de bron en de waarnemer toeneemt, resulteert dit in een frequentieverlaging, terwijl afname van de afstand leidt tot frequentieverhoging. Dit effect, uitvoerig bestudeerd gedurende het eerste deel van de 19e eeuw, is vernoemd naar de Oostenrijker Christiaan Doppler [27]. Aan de hand van atoomspectroscopie definieerde hij het formalisme Christiaan Doppler

voor de frequentieverandering in de straling van bewegende ato-

men. Beschouw een bron welke geluidsgolven met frequentie fb uitzendt. Voor de eenvoud nemen we aan dat de bron langs een rechte lijn naar een stationaire waarnemer toe beweegt en dat de golven in pulsen worden afgegeven. Het tijdsinterval tussen de pulsen kiezen we precies gelijk aan 1 / fb . De snelheid van het geluid in het medium (lucht) is v . De afstand welke de bron tussen twee pulsen aflegt is dan vb / fb terwijl het golfpakket inmiddels een afstand van v / fb heeft afgelegd. De waarne-

20


Figuur 1.13: Een bron genereert pulsen (met periode 1 / fb ) van geluidsgolven met frequentie fb en beweegt met snelheid vb in de richting van een stationaire waarnemer. Deze detecteert de golven met frequentie fw . mer observeert dus een ‘weglengteverschil’ tussen golfpakket en bron van (zie Figuur 1.13):

v v v = - b fw fb fb

(1.64)

v v - vb

(1.65)

zodat:

fw = fb

Ga zelf na dat op dezelfde wijze een relatie tussen de uitgezonden frequentie en waargenomen frequentie afgeleid kan worden indien de waarnemer een stationaire bron nadert waarvoor geldt:

fw = fb

v + vw v

(1.66)

Bewegen zowel de bron als de waarnemer, dan kunnen (1.65) en (1.66) gecombineerd worden zodat:

fw = fb

v  vw v  vb

(1.67)

De bovenste combinatie van tekens (+, -) geldt voor elkaar naderende bron en waarnemer, en de (-, +) combinatie voor de situatie waarin bron en waarnemer zich van elkaar verwijderen. Beschouwen we vervolgens de situatie waarbij we de geluidsbron vervangen door een lichtbron, dan hebben de uitgezonden fotonen een snelheid gelijk aan c . De energie van de individuele fotonen is echter afhankelijk van de relatieve snelheid van de bron ten opzichte van de waarnemer. Door de waarnemer in de oorsprong van een stationair coördinaten stelsel S en de bron in een inertiaal stelsel S ' met snelheid vb te plaatsen, kunnen we de Doppler verschuiving met behulp van de speciale relativiteitstheorie analyseren. We gaan ervan uit dat de bron zich van de waarnemer verwijdert. Voor de eenvoud veronderstellen we wederom dat het licht in pulsen afgegeven wordt. De afstand tussen

21

Het Doppler effect

de pulsen kiezen we weer precies de golflengte van de bron 1 / fb . In S ' gelden de volgende relaties:

x '1 = ct '1 = x '0 + vbt '1 æ 1ö x '2 = c çç t '2 - ÷÷÷ = x '0 + vbt '2 çè f ÷ø

(1.68)

b

Door het verschil tussen beide vergelijkingen te nemen vinden we:

c = vb ( t '2 - t '1 ) fb c (c - vb )( t '2 - t '1 ) = fb c t '2 - t '1 = fb ( c - vb )

ct '2 - ct '1 -

(1.69)

en vervolgens

x '2 - x '1 = vb ( t '2 - t '1 ) =

cvb fb (c - vb )

(1.70)

De relatie tussen de ruimtelijke coördinaten en tijd, gemeten in S ' en S , kunnen we afleiden met behulp van de Lorentz transformaties in (1.33) (echter hier met v = -vb !):

æ v x' v x' ö t2 - t1 = g çç t '2 - b 2 - t '1 + b 1 ÷÷÷ çè c2 c 2 ø÷ é ù v = g ê ( t '2 - t '1 ) - b ( x '2 - x '1 ) ú ê ú c2 ë û 2 é ù vb c ú = g êê ú f c v f c c v êë b ( b) b ( b ) úû

(1.71)

zodat met b = vb / c de waarnemer de volgende frequentie observeert: 2ö æ gc 1 çç 1 - vb ÷÷ = t2 - t1 = ÷ fw fb (c - vb ) çèç c 2 ÷ø g g 1 - b2 ) = (1 + b ) = ( fb ( 1 - b ) fb

(1.72)

1/2 1 1+b 1 çæ 1 + b ÷ö = = ç ÷ fb 1 - b 2 fb çè 1 - b ÷ø

Ga na dat reeksontwikkeling in termen van vb / c in de klassieke limiet de uitdrukking voor het Doppler effect in (1.67) oplevert. Met behulp (1.72) verkrijgen op eenvoudige manier de golflengteverandering als gevolg van de zich verwijderende bron: 22


æ 1 + b ö÷1/2 c lw = = lb çç ÷ çè 1 - b ÷ø fw æ 1 + b ö÷1/2 lw - lb Dl º = çç ÷ -1 lb lb èç 1 - b ÷ø

(1.73)

De relativistische Dopplerverschuiving is een belangrijk hulpmiddel in de astrofysica om de relatieve beweging van nabije sterrenstelsels ten opzichte van ons eigen zonnestelsel te berekenen. Astrofysici maken hierbij gebruik van onder andere de H- en K-absorptielijnen van geïoniseerd calcium. Zij zijn in staat om deze (donkere!) lijnen in het verder vrijwel continue, zichtbare, deel van het spectrum te meten. Door de golflengte van deze lijnen vervolgens te vergelijken met de golflengte van dezelfde lijnen van een stationaire calcium bron, kan de golflengteverschuiving afgeleid en b berekend worden: 2

b

( l / lb ) - 1 = w 2 ( lw / lb ) + 1

(1.74)

Beweegt het sterrenstelsel zich van ons af, dan ontstaat een ‘roodverschuiving’ ( lw > lb ). Naderen de twee sterrenstelsels elkaar dan ontstaat een ‘blauwverschuiving’ van de golflengte ( lw < lb ). In Figuur 1.14 is de golflengteverhouding als functie van vb / c gegeven voor zowel rood- als blauwverschuiving.

10

lw 1 lb

lw = lb

1+b 1-b

0,1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

b = vb / c Figuur 1.14: De (geschaalde) golflengteverhouding als functie van de (geschaalde) relatieve snelheid van waarnemer en bron.

23

Relativistische kinematica

1.4 Relativistische kinematica In de speciale relativiteitstheorie vervangt de Lorentz transformatie de Galilei transformatie om transformaties van het ene coördinaten stelsel naar een ander coördinaten stelsel uit te voeren. Hierbij bewegen de systemen met een constante snelheid ( v ) ten opzichte van elkaar. Hoewel energie èn impuls

( E, p ) gemeten in

S en S ' over het algemeen verschillend zullen zijn, vinden we dat (1.63)

 E 2 - p 2c 2 = m 02c 4

(1.75

invariant is onder Lorentz transformaties. Dit geldt tevens voor de relatie:

c 2t 2 - x 2 - y 2 - z 2 = c 2t '2 - x '2 - y '2 - z '2

Hendrik Antoon Lorentz

(1.76)

We kunnen de ruimte-tijd vector als volgt definiëren:

x 0 º ct,

x 1 º x,

x 2 º y,

x3 º z

(1.77)

zodat de 3-dimensionale Euclidische ruimte [28] en de ‘vierde dimensie’, tijd, een Minkowski ruimte [29] definiëren met

x m ( m = 0,1,2, 3 ) gegeven door:

xm

Dus in termen van

æ x 0 ö÷ çç ÷ çç 1 ÷÷ çx ÷ = çç 2 ÷÷÷ , çç x ÷÷ çç ÷÷ çè x 3 ÷ø÷

( m = 0, 1, 2, 3 )

(1.78)

x m , neemt de Lorentz transformatie langs de ‘ x -as’ een meer symmetrische vorm

aan:

x '0 = g ( x 0 - b x 1 ) x '1 = g ( x 1 - bx 0 ) x '2 = x 2

(1.79)

x '3 = x 3 waarbij

b º g º

24

v c

1 1 - b2

(1.80)


Of in compacte notatie: m

3

x' =

å Lmu x u ( m = 0, 1, 2, 3 )

(1.81)

n =0

zodat de coëfficiënten L mu elementen zijn van de Lorentz matrix (tensor) L

æ 0 çç L0 ç 1 ççç L0 L=ç 2 ççç L0 ç çè L30

L10

L20

L11

L12

L12

L22

L13

L23

L30 ÷ö ÷÷ L13 ÷÷÷ ÷÷ L23 ÷÷ ÷÷ L33 ø÷÷

(1.82)

Wanneer de relatieve beweging nu met snelheid v langs de

x 1 -as wordt verondersteld, dan redu-

ceert de Lorentz tensor tot:

æ -gb çç g çç -gb g L = çç çç 0 0 çç 0 èç 0

0 0 1 0

0 ö÷ ÷ 0 ÷÷÷ ÷÷ 0 ÷÷ ÷÷ 1 ÷ø÷

(1.83)

De determinant van de 2 x 2 matrix, linksboven, is

D = ( g ) - ( -gb ) = g 2 ( 1 - b 2 ) = 2

2

Ga zelf na dat voor de inverse Lorentz transformatie,

g2

=1

g2

(1.84)

L-1 , van (1.83) alleen de elementen L10 en L10

van teken wisselen. De uitdrukking in (1.82) kan nog eenvoudiger geschreven worden met behulp van de zogenaamde Einstein sommatie conventie1)2):

x 'm =

3

å Lmu x u

u= 0

º Lumx u

(1.85)

Beschouw nogmaals de invariante grootheid geïntroduceerd in (1.76):

I = ct 2 - x 2 - y 2 - z 2

2

2

2

2

= (x 0 ) - (x1 ) - (x 2 ) - (x 3 ) = (x '

0

2

2

2

(1.86)

2

) - (x ' ) - (x ' ) - (x ' ) 1

(vergelijk met bijvoorbeeld de rotatie-invariante uitdrukking:

2

3

R2 = x 2 + y 2 + z 2 ). Wanneer nu de

metriek waarin de ruimte-tijd viervectoren worden gedefinieerd handig gekozen wordt 1)

M.b.v. deze uitdrukking generaliseren we de Lorentz-transformatie zodat de behoeven te zijn.

2)

We zijn altijd vrij om parallelle assen te kiezen (!) zodat de

x-

en

x ' -assen

niet parallel

 x -as in dezelfde richting wijst als v . 25


g mu

æ çç çç º çç çç çç çè

1 0 0 0 ö÷ ÷ 0 -1 0 0 ÷÷÷ ÷÷ 0 0 -1 0 ÷÷ ÷÷ 0 0 0 -1 ÷÷ø

(1.87)

dan kan de invariant I geschreven worden als dubbele sommatie: 3

I =

3

å å gmux mx u

m =0 u =0

= g mux mx u

(1.88)

We definiëren de covariante viervector x m , welke geschreven kan worden als:

x m = g mux u (ofwel:

(1.89)

x 0 = x 0, x1 = -x 1, x 2 = -x 2, x 3 = -x 3 ). x m wordt de contravariante viervector ge-

noemd. Dus (1.88) kan geschreven worden als

I = g mux mx u = x mx m Ga na dat met

x m = g mux u (1.75) geldt dat:



Aangezien

g = g -1  g mu = g mu zodat



x m = g mu x u



Voor ieder paar viervectoren

(1.90)

a m en b m is a mbm = a mb m = a 0b 0 - a 1b1 - a 2b 2 - a 3b 3 in-

variant! De laatste uitdrukking heet het scalair product van de viervectoren

a m en b m :

a ⋅ b = a mb m

  a ⋅ b = a 0b 0 - a ⋅ b

(1.91)

2  a 2 = a ⋅ a = (a 0 ) - a 2

Wanneer

a 2 > 0  a m is ' tijdachtig ' (time like) a 2 < 0  a m is ' ruimteachtig ' (space like)

(1.92)

a 2 = 0  a m is ' lichtachtig ' (at the light cone) Deze ‘naamgeving’ wordt duidelijk als we de lichtkegel in Figuur 1.15 beschouwen. Op t = 0 bevindt de waarnemer zich op het punt waar de assen van (2-dimensionale) ruimte en tijd elkaar snijden. Wanneer de waarnemer met de lichtsnelheid beweegt zal zijn pad op de kegel (naar boven) vallen. Bij lagere (hogere) snelheid ligt het pad binnen (buiten) de kegel.

26


Figuur 1.15: De lichtkegel geeft het directe verband tussen tijd (verticale as) en (hier: 2-dimensionale) ruimte. Het traject voor objecten die met de lichtsnelheid bewegen valt op de kegel (licht-achtig), voor objecten die langzamer dan de lichtsnelheid bewegen, valt het pad binnen de kegel. Met behulp van de Lorentz transformatie en de wetten voor energie- en impulsbehoud hebben we afgeleid dat E 2 - p 2c 2 = m 02c 4 (1.75) zodat analoog aan de ruimte-tijd viervector een energie-impuls viervector geconstrueerd kan worden volgens de definitie:

æE ö æE p m = çç , px , py , pz ÷÷÷ = çç , èç c ø èç c (Ga na dat

ö p ÷÷÷ ø

(1.93)

 pm p m = E 2 / c 2 - p 2 = m02c 2 ). Voor de Lorentz transformatie krijgen we nu: æ E ' ö÷ æ çç ÷ ç g çç c ÷÷ çç çç p ÷÷÷ çç -gb çç x ' ÷÷ = çç çç p ÷÷ çç 0 çç y ' ÷÷ çç çè pz ' ÷÷ø ççè 0

öæE ö -gb 0 0 ÷÷ çç ÷÷÷ ÷÷ çç c ÷ ÷ g 0 0 ÷÷÷ çç px ÷÷ ÷ çç ÷÷ 0 1 0 ÷÷÷ çç py ÷÷ ÷÷ ç ÷÷ 0 0 1 ø÷ ççè pz ÷÷ø

(1.94)

Het kost nu niet veel moeite om af te leiden dat massaloze deeltjes ( m 0 = 0 ), zoals fotonen, met de lichtsnelheid bewegen:

 E 2 - p 2c2 = m02c 4 = 0



 E= pc

(1.95)

De rustmassa van een deeltje wordt gegeven door:

 E 2 - p 2c 2 = m 02c 4



m0 =

E2 c4

-

 p2 c2

(1.96)

27


De ‘rustmassa’ van een veel deeltjes systeem kan op een zelfde wijze geïntroduceerd worden. Beschouw daartoe in Figuur 1.16: 

Twee botsende deeltjes a en b ,



Vierimpuls deeltjes a en b : pa en pb ,



Rustmassa deeltjes a en b : ma en mb .

Figuur 1.16: Deeltje a (met rustmassa ma en vierimpuls pa ) wordt in botsing

gebracht

met

deeltje b

(rustmassa mb

en

vierimpuls pb ). Met (1.96):

pa2 = ma2c 2 pb2 = mb2c 2

(1.97)

definiëren we de ‘invariante massa’ mab van het stelsel van deeltjes a en b :

( pa

2

2 2 + pb ) = mab c

(1.98)

Veel van de formules in de hoge energie fysica worden eenvoudiger indien een systeem van eenheden gekozen wordt zodat:

c = 2.99792458 ´ 108 ms -1 º 1  =

h = 1.0545716 ´ 10-34 Js = 6.582119 ´ 10-22 MeVs º 1 2p

(1.99)

Door aan het eindresultaat op eenduidige wijze  's en c ' s toe te voegen, wordt de juiste eenheid weer verkregen. De keuze c = 1 volgt ook uit het kiezen van de Heaviside-Lorentz eenheden [30] in elektromagnetisme.

Heaviside-Lorentz eenheden Voor de diëlektrische constante e0 en magnetische permeabiliteit m0 van het vacuüm geldt ( c = 1 ):

28


e0 = m0 = 1

æ çç d .w.z . çè

e0 m0 =

ö = 1 ÷÷ ø÷ c2

1

(1.100)

De M.K.S. eenheden (m, kg, sec) zijn niet erg zinvol bij de beschrijving van subatomaire systemen. Typische lengtes en massa’s zijn van de orde

10-15 m en 10-27 kg respectievelijk. Het rekenen met

energie en tijdschaal waarop interacties plaats vinden wordt ook eenvoudiger met de Heaviside-Lorentz eenheden. We zijn gewoon om te rekenen met de traditionele set

{ M , L,T } (massa, lengte, tijd). De dimensies

van de drie belangrijkste grootheden in de subatomaire fysica zijn:

[c ] = [snelheid ] = LT -1 [ ] = [lengte ´ impuls ] = ML2T -1

(1.101)

2

[E ] = [massa ´ ( snelheid ) ] = ML2T -2 zodat we de hele set van relaties kunnen inverteren:

L = [ ][c ][E ]-1 M = [E ][c ]-2

(1.102)

-1

T = [ ][E ]

Met de keuze van  = c = 1 vereenvoudigen deze uitdrukkingen tot:

L = [E ]-1 M = [E ]

(1.103)

-1

T = [E ]

Het proton met de massa m p = 0.938 GeV betekent dus eigenlijk

mp = 0.938 GeV c 2 . De

relatie E 2 - p 2c 2 = m 02c 4 met E de energie, p de vier-impuls en m 0 de rustmassa van een deeltje, reduceert tot E 2 - p 2 = m 02 . De impuls wordt dus in de eenheid GeV / c uitgedrukt. Om grote negatieve exponenten te elimineren, is femtometer (fermi) als eenheid van lengte ingevoerd ( 1

fm

= 10- 15 m ). Voor oppervlakte is de barn gedefinieerd:

1 barn = 10-28 m 2 1 mb = 10-31 m 2 1 mb = 10-34 m 2 1 nb = 10-37 m 2

(1.104)

1 pb = 10-40 m 2 1 fb = 10-43 m 2

1 eV is de energie ( 1 eV = 1.602 ´ 10-19J ) welke een deeltje met een eenheidslading vergaart

29


bij het doorlopen van een potentiaalverschil van

1Volt en is een relatief kleine maat. Voor grote

positieve exponenten zijn daarom eveneens benamingen ingevoerd:

1 keV = 103 eV 1 MeV = 106 eV 1 GeV = 109 eV

(1.105)

1 TeV = 1012 eV De massa die overeenkomt met een energie van

1 eV wordt dan:

1 eV / c2 = 1.602 ´ 10-19 / c2 = 1.782 ´ 10-36 kg

(1.106)

In het volgende beschouwen we een twee deeltjes botsing met een twee deeltjes eindtoestand (Figuur 1.17). Er zijn twee mogelijkheden. De eerste optie is dat de botsing elastisch verloopt, dat wil zeggen,

a + b  c + d is deeltje c identiek aan deeltje a en deeltje d is identiek aan deeltje b , of, c is identiek aan b en d identiek aan a (vergelijk met de elastische botsing van twee bil-

in de reactie

jartballen). De tweede mogelijkheid is een inelastische botsing; de twee deeltjes in de eindtoestand hebben bijvoorbeeld een onderling verschillende massa welke tevens ongelijk is aan de massa van beide inkomende deeltjes (later zullen we zien dat meerdere eigenschappen aan de deeltjes kunnen worden toegekend welke de deeltjes een specifieke identiteit verschaffen). De inelastische botsing beschrijft de meest algemene vorm van een twee deeltjes interactie naar een twee deeltjes eindtoestand:

Figuur 1.17: Deeltje a (met rustmassa ma en vierimpuls pa ) komt in botsing met deeltje b (rustmassa mb en vierimpuls pb ). Deeltjes c (met rustmassa mc en vierimpuls pc ) en d (met rustmassa md en vierimpuls pd ) zijn het resultaat van een inelastische botsing. 

twee botsende deeltjes a en b , twee uitgaande deeltjes c en d



energie-impuls van deeltjes a en b , pa en pb ; van deeltjes c en d , pc en pd resp.



rustmassa van deeltjes a en b , ma en mb ; van deeltjes c en d , mc en md resp.

30


De invariante massa (in het kwadraat) van a en b zoals gedefinieerd in (1.98), met c = 1 en

( pa

2

2 , wordt de energie (in het kwadraat) in het zwaartepuntsysteem van deeltjes a + pb ) = mab

en b genoemd. Behoud van energie en impuls impliceert dan

( pa

2

2

2 2 + pb ) = ( pc + pd ) = mab = mcd

Ea + Eb = Ec + Ed     pa + pb = pc + pd

(1.107)

Het kwadraat van de zwaartepuntenergie wordt s genoemd: 2

2

s º ( pa + pb ) = ( pc + pd )

(1.108)

M.b.v. pa + pb = pc + pd kunnen we de twee volgende behouden (Lorentz invariante) relaties definiëren: 2

2

2

2

t º ( pa - pc ) = ( pb - pd )

(1.109)

u º ( pa - pd ) = ( pb - pc )

s , t , en u zijn de Lorentz invariante Mandelstam [31] variabelen. Ga na dat geldt: s + t + u = ma2 + mb2 + mc2 + md2

(1.110)

De Mandelstam variabelen t en u beschrijven in feite de vierimpuls overdracht van a  c en

a  d resp. De uitdrukkingen voor de energie en impuls van de deeltjes c en d in het zwaartepunt systeem van a en b kunnen nu afgeleid worden. De uitdrukking 2   s = ( pc + pd ) = pc2 + pd2 + 2pc pd = mc2 + md2 + 2 ( Ec Ed - pc ⋅ pd )

(1.111)

kan met behulp van energie- en impulsbehoud:

s = Ec + Ed  Ed = s - Ec   pd = -pc

(1.112)



en de substitutie van pc2 = Ec2 - mc2 omgeschreven worden tot:

( (

s = mc2 + md2 + 2 Ec

 s - Ec + pc2

)

)

= mc2 + md2 + 2Ec s - 2Ec2 + 2Ec2 - 2mc2

(1.113)

zodat

Ec =

s + mc2 - md2

2 s   pc = pd = Ec2 - mc2 31


=

(s - ( m

c

2

+ md )

)(s - ( m

c

2

- md )

)

2 s

Ga zelf na wat de uitdrukking voor Ed wordt. Om de reactie

(1.114)

a + b  c + d kinematisch mogelijk te

maken moet dus gelden dat: 2

2

s = ( pa + pb ) = ( pc + pd )

2   = mc2 + md2 + 2 ( Ec Ed - pc ⋅ pd ) ³ ( mc + md )

De zwaartepuntenergie

(1.115)

s is een van de cruciale parameters van deeltjesversnellers en bepaalt ‘hoe

diep we in de materie kunnen indringen’. Beschouw de volgende typen versnellers: 

Een enkele deeltjes bundel waarmee op een ‘doel’ wordt geschoten



Twee deeltjes bundels van (soms identieke) deeltjes met in absolute waarde gelijke, maar tegengestelde impuls

Versnellers uit de eerste klasse worden toegepast om zogenaamde ‘fixed target’ experimenten te

E en massa m worden op een ‘target’ geschoten (Figuur

bedienen; bundeldeeltjes met energie 1.18).

Figuur 1.18: ‘Fixed target’ opstelling: deeltjes met massa m en vierimpuls p worden op een ‘target’ (in rust) met massa M geschoten. In deze configuratie is de massa van het target direct bepalend voor de totale zwaartepuntenergie. De massa van het ‘target’, M , speelt een cruciale rol in de bepaling van de maximaal haalbare zwaartepuntenergie (de energie van het target is immers gelijk aan zijn rustmassa!): 2

s = ( p + P ) = m 2 + M 2 + 2EM

(1.116)

De massa van de deeltjes in het geval van twee bundels van deeltjes die elkaar treffen, wordt minder relevant naarmate de energie van de bundels toeneemt. Dit type versneller bedient de zogenaamde ‘collider’ experimenten (Figuur 1.19). Stellen we voor het gemak E1 = E 2 º E , dan zien we dat voor m1 = m2 º m de zwaartepuntenergie niet direct meer van de massa van de botsende deel-

32


Figuur 1.19: ‘Collider’ opstelling: deeltjes met massa m1 en m 2 , en vierimpuls p1 en p2 resp. worden met elkaar in botsing gebracht. In deze configuratie is bij hogere energieën de massa van de deeltjes niet meer bepalend voor de totale zwaartepuntenergie. tjes afhangt. Uitwerken van (1.111) resulteert in (optellen van de twee vier-vectoren en kwadrateren leidt in dit speciale geval natuurlijk sneller naar het antwoord): 2  s = ( p1 + p2 ) = 2m 2 + 2 ( E 2 + p 2 )

= 2m + 2E + 2 ( E - m 2

2

2

2

) = 4E

(1.117)

2

De speciale relativiteitstheorie gaat ervan uit dat alle inertiaal stelsels equivalent zijn. De algemene relativiteitstheorie breidt deze hypothese uit naar versnelde systemen. Een versneld stelsel kan beschouwd worden als een stationair systeem met een uniforme gravitatie. Dit ‘equivalentie principe’ kan goed geïllustreerd worden aan de hand van een oorspronkelijk door Einstein beschreven ‘gedachten experiment’. Beschouw een waarnemer ver weg van massieve objecten in een eenparig bewegend ‘ruimte station’. Deze waarnemer zal geen gravitatie ondervinden en dus zweven in de ruimte binnen zijn station. Wordt vervolgens hard aan de bovenzijde van het station getrokken zodanig dat het station een versnelling ondervindt, dan zal de waarnemer precies in tegengestelde richting van de kracht bewegen en dus met beide voeten op de bodem van het vaartuig gedrukt worden. De waarnemer ervaart dit als gravitatie! Versnelling kan dus ook gebruikt worden om gravitatie te compenseren. Beschouw bijvoorbeeld een vrij vallende lift waarin de personen ‘gewichtloos’ zijn. Met behulp van de vrij vallende lift, kunnen we ook laten zien dat licht ten gevolge van gravitatie afgebogen wordt. Stel aan een wand van de lift is een laser gemonteerd. De lichtbundel wordt geprojecteerd op de tegenoverliggende wand. Wanneer het licht de afstand tussen de twee wanden overbrugt, wordt de bundel tevens met versnelling g loodrecht op zijn bewegingsrichting versneld. Als we ervan uitgaan dat het licht op het moment dat de lift begint te vallen verzonden is, dan heeft het licht voor een waarnemer buiten de lift, onder invloed van de uniforme gravitatie, een parabolische baan afgelegd. De waarnemer in de lift zal de lichtbundel echter als rechtlijnige baan zien. Aangezien de lichtsnelheid bijzonder groot is, zal de afbuiging slechts klein zijn. Het equivalentie principe voorspelt dus dat licht onder invloed van een gravitatie veld afgebogen wordt. In 1919 is dit inderdaad waargenomen door tijdens een totale zonsverduistering het licht van sterren te bestuderen in nabijheid van de zon. Er werd een afbuiging van 1.7 boogseconde geconstateerd! Ga zelf na dat, wanneer de laserbundel parallel aan de gravitatie kracht verloopt, een waarnemer

33


buiten de lift een Doppler verschuiving waarneemt. Is de richting van de laserbundel antiparallel aan richting van de versnelling, dan treedt roodverschuiving op. Dit is experimenteel geconstateerd door zichtbare spectraallijnen van bekende elementen aan het oppervlak van massieve sterren te analyseren. Tenslotte, aangezien atoomklokken gebruikmaken van atomaire overgangen, verloopt de tijd aan het aardoppervlak trager dan op grote hoogte…

34


2.

Versneller technieken

In de eerste versnellers werden deeltjes versneld door een groot potentiaalverschil over twee elektroden aan te leggen. De kathodestraalbuis, door Geiβler [32] rond 1850 ontwikkeld en verder geperfectioneerd door Crookes [33], is een voorbeeld van een elektronenversneller. Hiermee ontdekte Röntgen [34] in 1895 de ‘X-straling’, terwijl Thompson [7] de buis gebruikte om de massa van het elektron te bepalen. Omdat vlakke beeldschermen tegenwoordig de markt domineren, is dit type versnellers alleen nog te vinden in oudere televisie en computerbeeldbuizen. Elektronen worden hierin tot een energie van  3 ´ 104 eV versneld. De meeste experimenten in de deeltjesfysica maken gebruik van een deeltjesbundel van een specifiek type, bijvoorbeeld p, p , e -, e + , zware ionen etc. Deze deeltjes worden geproduceerd met behulp van een ‘hoog energetische’ versneller. In sectie 1.4 hebben we twee categorieën experimenten besproken. In de eerste categorie worden de interactieproducten gemeten nadat een bundel op een trefplaat (‘fixed target’) geschoten is. In de andere worden twee (a)symmetrische bundels met elkaar in botsing gebracht en wordt het interactiepunt omsloten door detectieapparatuur. De eigenschappen van de bundels (en het doel) zijn zowel een belangrijke factor voor het ontwerp van de experimenten als bepalend voor de fysica die in de botsingen bestudeerd kan worden. Bijvoorbeeld: 

de bundelenergie bepaalt in sterke mate het ‘massa-interval’ van de deeltjes (zwaartepuntenergie) die in de interactie geproduceerd kunnen worden en kan de werkzame doorsnede voor bepaalde processen (= kans dat een bepaald fysich proces in een botsing optreedt) sterk beïnvloeden



de deeltjesflux bepaalt naast de werkzame doorsnede voor een geselecteerd proces, hoe vaak dit proces uiteindelijk per tijdseenheid op zal treden



de ‘duty-cycle’ van een versneller geeft de fractie van de tijd dat de versneller deeltjes aan het experiment levert



de structuur van de bundel als functie van de tijd is belangrijk om te bepalen wanneer het experiment operationeel moet zijn. Het definieert de tijd tussen twee potentieel interessante botsingen. Een te snelle opeenvolging van botsingen kan leiden tot ‘dode tijd’; een periode waarin het experiment nog bezig is om gegevens van een voorgaande botsing te verwerken, terwijl een nieuwe botsing zich al aandient en dus verloren kan gaan.

Deeltjes worden gecreëerd in een elektronen- of ionenbron. Elektronen bijvoorbeeld, worden met behulp van wisselspanning in een hoogspanningstriode vrijgemaakt (analoog aan het principe van een kathodestraalbuis). Pulslengten van

1 - 10 ms met een herhalingsfrequentie van 500 Hz kunnen

hiermee gecreëerd worden. De uitgaande elektronen hebben een relativistische snelheid met

b  0.5 . Protonen worden uit waterstof verkregen. Hiertoe wordt met behulp van de energie van elektromagnetische golven in het radiofrequentie domein (r.f.), het elektron van de waterstofkern gescheiden. In

35

Versneller technieken

de ruimte waarin het waterstof zich bevindt, oscilleren de elektronen en botsen zij op neutrale moleculen en atomen. Dit resulteert vervolgens in de creatie van ionen. Met behulp van een elektrisch veld worden deze dan uit de kamer getrokken. De verkregen ionenstroom is typisch van de orde van enkele mA terwijl de bundelenergie enkele keV bedraagt. De eerste ontwerpen voor deeltjesversnellers ontstaan rond 1930. Door middel van een potentiaalverschil tussen de ionenbron en een elektrode worden de ionen versneld. De aangelegde spanning kan continu of variabel zijn. Beide principes zijn in het verleden toegepast en worden tegenwoordig nog steeds gebruikt.

2.1

Continu potentiaalverschil Een bekende toepassing van het versnellen van deeltjes met behulp van een continu potentiaalverschil is de elektronenmicroscoop. Omstreeks 1920 werd de eerste hoogspanning ‘deeltjesversneller’ in Cambridge op basis van de kathodestraalbuis door Cockcroft [35] en Walton [36] ontwikkeld. Zij plaatsten twee elektroden in een vacuümvat en bereikten een potentiaalverschil van  105 V . Begin jaren dertig ontwikkelden Cockcroft en

John Douglas Cockcroft

Walton een experiment (Figuur 2.1) om pro

Ernest Th. S. Walton

‘Een plaatje lithium wordt met protonen gebombardeerd’

Figuur 2.1: De experimentele opstelling (links) van Cockcroft en Walton, waarmee zij proton absorptie in lithiumkernen bestudeerden.

36


tonen te versnellen en vervolgens te laten penetreren in lithiumkernen. Zij slaagden er in om een elektrisch systeem te construeren dat

 800 kVolt kon leveren. Dit potentiaalverschil werd verkregen

met behulp van een wisselspanning en een combinatie van gelijkrichters plus een cascadeschakeling van capaciteiten (om herhaalde spanningsverdubbeling te realiseren, zie Figuur 2.2).

Figuur 2.2: Transformator en gelijkrichtketen van ‘dioden’ en capaciteiten voor het opwekken van hoogspanning, links: Cockcroft en Walton, rechts: moderne uitvoering. Daar er vrijwel geen stroom aan deze schakeling onttrokken wordt, blijft de opgebouwde spanning gehandhaafd. Deze Cockroft-Walton generatoren zijn nog geruime tijd toegepast als eerste versnellertrap na de ionenbron. Met de combinatie van elektronenbron, een container met waterstofgas en generator (zoals weergegeven in Figuur 2.1), realiseerden Cockcroft en Walton in 1932 de eerste nucleaire transformatie: 1 1H

+ 37Li  24He + 24He

(2.1)

De detectie van de a -deeltjes leverde het eerste experimentele bewijs voor Einstein’s relatie

E = mc 2 ! Beiden ontvingen in 1951 de Nobelprijs voor de fysica.

Figuur 2.3: Van de Graaff met een van zijn vroege ‘tandem’ generatoren (links). De statische lading wordt via een band getransporteerd (midden). Ontlading van de elektrode (rechts).

37

Continu potentiaalverschil

In 1932, vrijwel gelijktijdig met het experiment van Cockcroft en Walton, construeerde Van de Graaff [37] in de Verenigde Staten een eerste versneller, waarvoor het potentiaalverschil werd opgebouwd door middel van ladingstransport naar een geïsoleerde elektrode (linker foto in Figuur 2.3). Een isolatieband verbindt twee roterende assen waarvan er een zich op het aardpotentiaal bevindt en de ander binnen de geïsoleerde elektrode (midden). Door middel van wrijving wordt de isolatieband met geïnduceerde lading ‘opgeladen’. Deze lading wordt vervolgens getransporteerd naar de elektrode alwaar via corona ontlading (rechts) een tweede elektrode opgeladen kan worden. Met deze techniek zijn spanningsverschillen tot

20 - 30 MVolt bereikt. De generatoren zijn veelvuldig bij diverse ver-

snellers (Figuur 2.4) toegepast.

Figuur 2.4: Van de Graaff generatoren bij (links) Notre Dame University (V.S.) en CERN (rechts) voor het opwekken van potentiaalverschillen van meer dan

2.2

1 MVolt .

Variabel potentiaalverschil Het versnellen van geladen deeltjes in een hoogfrequent elektrisch veld werd in 1928 door de Noor Wideröe [38] voor het eerst voorgesteld. In dat jaar bouwde hij aan de Technische Hochschule van Aken een eerste, op dit principe gebaseerde, versneller waarin hij tevens driftbuizen toepaste (Figuur 2.5). De impulsverandering dat een geladen deeltje in een elektrisch veld ondervindt is proportioneel met de Lorentz kracht op dit deeltje:

     dp = F = q (E + v ´ B ) dt Rolf Wideröe

(2.2)

De verandering in de kinetische energie is maximaal wanneer het elek-

trische veld parallel gericht is aan de beweging van het geladen deeltje:

dE kin     = v ⋅ F = qv ⋅ E dt

38

(2.3)


Figuur 2.5: Wideröe’s basisontwerp voor een lineaire versneller met driftbuizen en een hoogfrequente spanningsbron. De lengte van de driftbuizen neemt toe naarmate de geladen deeltjes een hogere snelheid bereiken. Bij de juiste polariteit van het spanningsverschil over de driftbuizen 1 en 2 in Figuur 2.5, wordt het geladen deeltje richting sectie 2 versneld. Door tijdig omschakelen van de polariteit, wordt het deeltje vervolgens naar de derde driftbuis gezogen. Vervolgens wordt de polariteit van de spanning tussen driftbuis 3 en 4 omgewisseld en het proces herhaalt zich. Omdat de snelheid van het deeltje bij iedere stap toeneemt en de frequentie van de spanningsbron constant is (immers, we willen continu nieuwe deeltjes versnellen!), moet de lengte van de driftbuizen langs de structuur toenemen om het proces correct te kunnen synchroniseren…

2.3

Lineaire versnellers Zowel de Cockroft-Walton cascade generator als de Van de Graaff generator zijn voorbeelden van lineaire versnellers. Moderne lineaire versnellers zijn echter gebaseerd op het principe van Wideröe. Voorbeeld van de toepassing van dit principe is de Alvarez [39] structuur. Dit is een lange cilindrische structuur die bestaat uit een opeenvolging van trilholtes (Figuur 2.6). Iedere trilholte wordt gevoed met een hoogfrequente elektrische bron ( 50 - 500

MHz ). De trilholte wordt in reso-

nantie gebracht zodat er staande of lopende elektromagnetische golven ontstaan. Op de as van de cilindrische structuur zijn tussen de trilholtes Luis Walter Alvarez

driftbuizen aangebracht om de deeltjes van het (dan vertragende!) veld

af te schermen. Een pakket ionen bevindt zich op t = 0 in de trilholte waar versnelling plaats vindt: de component van het elektrische veld in de bewegingsrichting is maximaal en loopt in fase met de deeltjes. Wanneer de deeltjes nu de volgende trilholte bereiken, moet de longitudinale component van het elektrische veld wederom maximaal zijn ( t = v d , zie Figuur 2.7). In de driftbuizen zijn kleine quadrupool magneten gemonteerd voor de focussering van de bundel. De meeste protonenversnellers die geba-

39

Lineaire versnellers

seerd zijn op het idee van Alvarez, worden toegepast als eerste voorversneller in de injectieketen van een synchrotron (zie secties 2.4 en 2.5).

Figuur 2.6: Principe van de Alvarez lineaire versneller. De deeltjes worden links geïnjecteerd in een driftbuis, dan versneld in de trilholte en vervolgens weer afgeschermd (voor het dan remmende veld) in de tweede driftbuis. Dit proces herhaalt zich zo een aantal malen.

d Figuur 2.7: In de trilholte van de Alvarez structuur worden geladen deeltjes op de voorflank van de lopende elektromagnetische golf meer versneld naarmate de amplitude groter is. De (hoogfrequente) versneller stations bestaan uit een r.f. bron die de elektromagnetische golf van de gewenste frequentie opwekt en de trilholte vult. Conventionele systemen opereren binnen een frequentie interval

 50 - 100 MHz en bij kamertemperatuur. De trilholtes zijn meestal gemaakt van

koper. Om zowel hogere frequenties te kunnen toepassen als om ook de Ohmse verliezen aan de wand van de trilholte tot een minimum te beperken, wordt tegenwoordig met supergeleidende systemen gewerkt. Werd voorheen door verliezen de versnellinggradiënt beperkt tot  1 MeV m , met behulp van niobium worden tegenwoordig supergeleidende trilholtes ontwikkeld waarmee gradiënten

> 30 MeV m bereikt worden bij frequenties in het GHz gebied. In Figuur 2.8 zijn twee verschillende ‘Alvarez structuren’ afgebeeld.

40


Figuur 2.8: Voorbeelden van lineaire versneller secties gebaseerd op het principe van Alvarez. Precieze afstemming van frequentie, afmetingen en materiaal zijn voorwaarde voor een efficiënte versneller.

2.4

Het klassieke cyclotron Door Wideröe geïnspireerd, bouwden Lawrence [40] en Livingston [41] in 1931 bij Berkeley Radiation Laboratory in de Verenigde Staten, een apparaat waarmee met behulp van een wisselend magnetisch veld deeltjes versneld konden worden. In de foto links staan beide heren begin jaren ’30 naast het door hen ontwikkelde 27 inch ‘cyclotron’. De eerste stap (zie Figuur 2.9) werd door Lawrence gezet met het ontwerp (links) en M.S. Livingston en E.O. Lawrence

de constructie van een 12.5 cm diameter proto

type (rechts). Een deeltje met lading q en snelheid v (  c ) ondervindt in een homogeen magnetisch veld met B loodrecht op het vlak waarin het deeltje zich beweegt, een Lorentz kracht. Vergelijking (2.2) reduceert zo tot:

F = qvB

(2.4)

Deze magnetische kracht is eveneens loodrecht op de bewegingsrichting van het deeltje zodat dit resulteert in een cirkelvormige baan met straal r (gyroradius):

F =

mv 2 = qvB r

r=

mv qB

(2.5)

en m de massa van het deeltje. De omlooptijd voor een volledige cirkel is:

41

Het klassieke cyclotron

Figuur 2.9: Schets en realisatie van het eerste werkende cyclotron ontworpen door Lawrence.

t =

2pr 2pm = v qB

(2.6)

en dus onafhankelijk van de snelheid. De omloopfrequentie of ‘cyclotronfrequentie’ is:

f =

qB 2pm

(2.7)

Een cyclotron bestaat uit een vacuümkamer, ingesloten tussen de polen van een cirkelvormige dipool magneet (Figuur 2.10). Binnen in de vacuümkamer worden twee halfcirkelvormige ‘dozen’ op korte af

Figuur 2.10:

Het klassieke cyclotron (links) bestaat uit twee in vacuüm geplaatste D-vormige kamers geklemd tussen de polen van een elektromagneet. Ionen worden in het centrum geïnjecteerd en beschrijven vervolgens in het magnetische veld een cirkelbaan (rechts). Door de potentiaal tussen de twee kamers te synchroniseren, wordt het deeltje in de ruimte tussen de kamers versneld.

42


stand van elkaar geplaatst (links) en verbonden met een wisselspanning bron. De ionen worden in het centrum geïnjecteerd en volgen een cirkelbaan in het magnetische veld (rechts). Bij het verlaten van de eerste kamer worden, bij de juiste polariteit van de spanningsbron, de ionen versneld en, ten gevolge van hun toegenomen energie (snelheid), zullen ze een baan beschrijven met een grotere straal. Vervolgens wordt de polariteit van de spanningsbron omgedraaid zodat de ionen bij het verlaten van de tweede doos opnieuw versneld worden. Dit proces herhaalt zich een aantal malen. Het ompolen van de spanningsbron moet dus volledig in fase zijn met de synchrotronfrequentie. Aangezien de dipool cirkelvormig is (met een eindige straal), zal de magnetische veldsterkte naar buiten toe iets afnemen. Op grond van de Maxwell vergelijkingen (sectie 1.1): bestaat er dan ook een radiele veldcomponent welke een zekere focussering van de bundel veroorzaakt. In de praktijk wordt dit ‘zwakke focussering’ genoemd.

2.5

Het synchrocyclotron

Voor de versnelling van deeltjes naar veel hogere energie ( v  c ) is de omlooptijd niet meer onafhankelijk van de snelheid. De kromtestraal neemt evenredig toe met de impuls, maar de omlooptijd wordt langer en de omloopfrequentie dus lager! Door de frequentie van de hoogspanningsbron te moduleren, blijven de versnelde deeltjes synchroon met de versnellingsbron bij contant magneetveld. Modulatie wordt verkregen door variatie van een capaciteit of een zelfinductie in het hoogfrequente elektronische circuit.

Figuur 2.11:

CERN’s 600 MeV synchrocyclotron gebouwd in 1957.

De consequentie van deze techniek is wel dat na injectie alle deeltjes versneld worden tot een maxi-

43

Het synchrocyclotron

44

male energie bepaald door r , B etc. Injectie van nieuwe deeltjes heeft alleen dan zin wanneer de versnelde deeltjes geëxtraheerd zijn! Het synchrocyclotron (Figuur 2.11) produceert dus niet doorlopend versnelde deeltjes, maar groepen van deeltjes met de herhalingfrequentie van de modulatiecyclus.

2.6

Synchrotrons en botsingmachines Voor het bereiken van hogere energieën wordt een ring van magneten opgesteld met een gemiddelde straal, de straal van de cirkelvormige referentiebaan, rond welke de deeltjes voor elke waarde van de impuls in de versnellingscyclus gefocusseerd zijn. Nu worden zowel het magnetische veld als de versnellingsfrequentie synchroon gemoduleerd. De componenten van de magneetring bestonden oorspronkelijk uit homogene dipolen met geringe focussering in het vlak loodrecht (transversaal) op de referentiebaan. Deze zwak focusserende machines

E.D. Courant, M.S. Livingston en H.S. Snyder

hadden het nadeel dat zowel de vacuümkamers als

de magneten in transversale richting behoorlijke afmetingen vereisten om de deeltjes te kunnen versnellen (oppervlakte  1 m 2 )! Deze manier van versnellen is dus zeer oneconomisch! In 1952 werd in de Verenigde Staten het principe van ‘sterke focussering’ ontwikkeld door Courant [ 42 ], Livingston [41] en Snyder [ 43 ], en onafhankelijk, maar niet gepubliceerd, door de Griek Christofilos [44] in 1950. Met behulp van afwisselend sterke focusserende en de-focusserende magneetveld gradiënten worden de transversale oscillaties van de deeltjes rondom de referentiebaan effectief gedempt. Deze procedure kan worden vergeleken met het plaatsen van afwisselend focusse-

Figuur 2.12:

De veldconfiguratie in een quadrupool magneet (links). Rechts: een quadrupool magneet omsluit de bundelpijp in de antiprotonbron bij het Fermilab.

44


rende en de-focusserende optische lenzen op een niet al te grote onderlinge afstand. De lichtbundel concentreert zich dan rond de centrale as van de lenzen. Eerst werden dipool magneten met speciaal gevormde polen gemaakt, welke afwisselend de deeltjes in een van de twee onderling loodrechte richtingen transversaal op de bundel-as focusseren en de-focusseren: focussering in de ene richting leidt tot de-focussering in de andere richting. Dit waren de zogenaamde gecombineerde functie magneten, welke zowel het geleidingsveld loodrecht op de referentiebaan produceren als ook de focusserende en de-focusserende componenten. Tegenwoordig worden deze functies gescheiden. Het geleidingsveld wordt geproduceerd door homogene dipool magneten, focussering en de-focussering wordt verkregen met behulp van afwisselend focusserende en de-focusserende quadrupool magneten (Figuur 2.12). Tussen de magneetsecties in bevinden zich zogenaamde ‘rechte secties’, in sommige daarvan zijn hoogfrequente versneller stations opgenomen. In de andere rechte secties van de eerste machines,

Figuur 2.13:

Extractie van laag energetische antiprotonen ( 5.3

MeV ) voor diver-

se experimenten bij het CERN bij gebruik van een enkelvoudige bron. werden trefplaten geplaatst voor de productie van nieuwe deeltjes. Deze secundaire deeltjes ( p , K ,

p , p etc.), welke onder alle productiehoeken uittreden, worden in een deel van de ruimtehoek rond

45

Synchrotrons en botsingmachines

de trefplaat verder geleid met behulp van een magnetisch kanaal. Vervolgens kunnen hiermee deeltjes specifieke experimenten uitgevoerd worden. Later werd het principe van resonantie extractie toegepast waarmee de versnelde protonen gecontroleerd in aantal en tijd, uit de machine kunnen treden voor gebruik in een extern magnetisch kanaal (Figuur 2.13 geeft een voorbeeld van een opstelling voor bundelextracties). Het principe van sterke focussering is toegepast in het CERN-protonsynchrotron (PS, omtrek

800 m ,

28 GeV ) dat in 1959 in bedrijf werd genomen en het Alternating Gradient Synchrotron (AGS, omtrek 800 m , energie 33 GeV ) van Brookhaven National Laboratory (BNL), dat in 1960 gereed energie

kwam. Economische overwegingen beperken de energie van synchrotrons met ‘conventionele’, warme magneten, tot

 450 GeV in het geval van protonen ( Bmax  1.8 Tesla voordat verzadi-

ging van de ijzeren magneetpolen optreedt). Voorbeelden zijn het protonsynchrotron bij het Fermi

6.4 km , maximale protonenergie  450 GeV ), in bedrijf sinds 1972, en het Super proton synchrotron (SPS, omtrek 6.4 km , maximale protonenergie eveneens  450 GeV ), in bedrijf bij het CERN sinds 1976. In Figuur 2.14 wordt

National Accelerator Laboratory (FNAL, Chicago, omtrek

een ‘typische’ cyclus van een synchrotron gepresenteerd waarbij we vier fasen in de besturing kunnen onderscheiden:

3 Energie Intensiteit 2

4

1 tijd Figuur 2.14:

Schets van de cyclus voor het vullen, versnellen en extraheren van deeltjes in een synchrotron.

1

injectie van de deeltjes

2

versnellen van de deeltjes

3

bij continu veld (‘flat top’) extraheren van de deeltjes

4

het afremmen van de deeltjes voordat de volgende injectie plaats kan vinden

De buigingmagneten worden gedurende  1 seconde op maximale veldsterkte gehouden. Gedurende deze periode worden de deeltjes geleidelijk aan het synchrotron onttrokken voor bijvoorbeeld

46


fixed target experimenten. Voor het bereiken van hogere bundelenergieën worden supergeleidende magneten toegepast ( Bmax  9 Tesla ). Op basis van dezelfde principes kan een opslagring ontwikkeld worden. Hierbij vindt dus geen bundelextractie plaats, maar worden bijvoorbeeld twee bundels van protonen en antiprotonen in een goed gedefinieerde baan bij een precies ingestelde energie ‘opgeslagen’. Experimenten worden aan het synchrotron zelf uitgevoerd; op bepaalde posities langs de ring worden beide bundels zodanig afgebogen en gefocusseerd dat de kans op interacties maximaal wordt. Het aantal keren dat een bepaalde botsing optreedt (‘reaction rate’) wordt dan gegeven door:

R = L ´s

(2.8)

met s de werkzame doorsnede van de te beschouwen interactie en

L de luminositeit van de bun-

dels in de opslagring. Stel dat er twee pakketjes van ieder N deeltjes (protonen en antiprotonen etc.), met een frequentie f rondlopen in de machine. De luminositeit in een intersectiepunt is dan:

L =

N 2f A

(2.9)

met A het effectieve (transversale) oppervlak van de kruisende pakketjes (‘bunches’). Wanneer nu twee series van nb bunches (‘bunch-trains’) met ongelijke aantallen deeltjes per bundel in de machine opgeslagen zijn dan wordt de luminositeit:

L =

nb f N 1N 2

(2.10)

A

Uiteraard zullen de deeltjes niet altijd netjes homogeen over een bunch verdeeld zijn; de dichtheid zal zich gedragen als een bij benadering Gaussische verdeling in tijd en ruimte. Met sh en sv de r.m.s. van de horizontale en verticale bundeldimensies levert dit:

L =

waarin

nb f N 1N 2 2p

(

2 é ê ( h1 -h2 ) - ( v1 -v2 )2 êê ê 2 sh2 +sh2 2 sv2 +sv2 1 2 1 2 e ëê

(

) (

sh2 + sh2 1

2

)((

sv2 + sv2 1

2

)

ù ú ú ú ú ûú

))

(2.11)

( h1 - h2 ) en ( v1 - v2 ) de horizontale en verticale afstanden zijn tot het zwaartepunt van de

bundels. Als we voor het gemak aannemen dat beide bundels volledig symmetrisch zijn, dan kan het transversale vlak op een bepaald tijdstip met een enkele Gaussische distributie beschreven worden (met r.m.s. sr ).Tijdens het passeren van twee pakketjes zal de dichtheid eerst toenemen en vervolgens afnemen ten gevolge van de Gaussische verdeling van de deeltjes langs de bundel-as. Voor het effectieve oppervlak van de passerende bundels in het interactie punt geldt dan:

sh =

( sr2 + asb2 )

(2.12)

47

Synchrotrons en botsingmachines

met sr de radiele bunchafmeting, sb de r.m.s. van de bunchlengte in de tijd en a de hoek waaronder de beide bundels elkaar kruizen (een kleine hoek is onvermijdelijk en zal groter zijn voor een machine met gescheiden bundelpijpen!). Aangezien de deeltjes vele malen dezelfde versneller stations passeren ( 

106 - 1010 maal voordat

de opslagring opnieuw gevuld wordt), dienen specifieke eisen aan de bundelstabiliteit gesteld te worden. Langs de baan betekent dit een fase en longitudinale stabiliteit t.o.v. het versnellende elektromagnetische veld, terwijl de positie t.o.v. de referentiebaan een grote transversale stabiliteit vereist. De transversale (betatron) oscillaties en energie (synchrotron) oscillaties van deeltjes in de bundel nemen af bij toenemende energie. De bundel wordt wederom gefocusseerd m.b.v. quadrupool magneten. Wanneer geladen deeltjes een cirkelbaan met straal r doorlopen treedt energieverlies op ten gevolge van de centripetale versnelling die zij ondervinden in het magnetische veld; er worden fotonen geëmitteerd (vergelijk met de elektronen die in een radioantenne heen en weer bewegen en zo elektromagnetische straling uitzenden). Bij niet relativistische snelheden wordt gesproken van cyclotron straling terwijl synchrotron straling het relativistische regime kenmerkt. De hoeveelheid afgestraald vermogen kan berekend worden met behulp van de (niet relativistische) formule van Larmor voor elektrische dipool straling [45]:

DP =

2q 2a 2

(2.13)

3c 3

Hierin is q de elektrische lading en a de centripetale versnelling van het geladen deeltje, en c de lichtsnelheid. De relativistische uitdrukking volgt door het afgestraalde vermogen te beschouwen in het rustsysteem van het deeltje en vervolgens een Lorentz transformatie toe te passen. De versnelling volgt met (1.51) en (1.54) eenvoudig uit de centripetale versnelling v 2 r ( mq is de rustmassa van het versnelde deeltje):

a =

Fcentripetaal mq

=

1 dp 1 d ( mq v ' ) 1 d ( gmq v ) dv v2 = = g = g2 = g2 mq dt ' mq dt ' mq dt dt r

(2.14)

Substitutie van (2.14) in (2.13) geeft:

DP =

2q 2 g 4v 4 3c 3r 2

Per omloop raakt een enkel elektron met een energie van straal

48

(2.15)

100 GeV in een synchrotron met een

r = 4300 m (de voormalige LEP ring bij CERN in Genève) het volgende vermogen kwijt:


DP »

2e 2 g 4c 3r 2 2

=

2 ( 8.987 ´ 109 Nm 2 C 2 )( 1.6 ´ 10-19C ) ( 196000 ) 2

3 ´ ( 4300m )

4

( 3 ´ 108 m s )

(2.16)

» 3.7 ´ 10-6 Watt Aangezien g bijzonder groot is ( g  196000 ) en b  1 , kunnen we v in de teller vervangen door

c . Dit vermogensverlies lijkt in eerste instantie klein maar treedt op voor ieder elektron! Het energieverlies ten gevolge van synchrotron straling per omloop is dan:

DE =

2pr 4pq 2v 3 g 4 4pq 2 3 4 ⋅ DP = = b g v 3r 3c 3r

In de relativistische limiet met b » 1 en

E = mc 2 = gmqc 2 levert dit de volgende uitdrukking:

DE =

Het energieverlies is proportioneel met

(2.17)

4p q 2E 4 3r mq4c 4

(2.18)

 mq-4 en dus voor elektronen veel groter dan voor protonen

(bij dezelfde energie en straal van de baan):

æ m p ö÷4 DEelektron ÷÷ » 1013 = ççç çè me ÷ø DE proton

(2.19)

Om stabiele bundels te kunnen garanderen, moet dit energieverlies gecompenseerd worden met behulp van hoogfrequente elektromagnetische velden. Een hoogenergetische protonenbundel is dus eenvoudiger te realiseren dan een hoogenergetische elektronenbundel!

2.7

Beknopt overzicht deeltjesversnellers in HEF

De trend in Figuur 2.15 laat zien dat de bundelenergie van elektronenmachines in de regel achter blijft bij die van protonen en/of zware ionenversnellers. Het binnen de perken houden van de synchrotronstraling lukt alleen wanneer bij toenemende energie de straal van de opslagring toeneemt. Hier wordt de beperking gesteld door economische overwegingen. Een lineaire (elektronen)versneller kan uitkomst bieden als het continue versnellingproces gevoed kan worden met voldoende aantallen deeltjes. In de regel blijft de luminositeit van lineaire machines echter (ver) achter bij die van opslagringen (met vergelijkbare zwaartepuntenergie). Bij Frascati in Italië (Rome) werd 1961 de eerste opslagring voor elektronen en positronen ontwikkeld door Bruno Touschek [46]. De eerste protonenbotser, gevoed door twee opslagringen, werd in 1971 bij het CERN in gebruik genomen: de ‘Intersecting Storage Ring’ (ISR, zie Figuur 2.16). Protonen

49


Figuur 2.15:

De globale ontwikkeling van de zwaartepunt energie (

s)

in protonen en elektronenversnellers sinds 1930. werden met behulp van het proton synchrotron (PS) versneld alvorens geïnjecteerd te worden in de ISR. Diverse experimenten werden uitgevoerd met bundelenergieën tot

Figuur 2.16:

32 GeV ( s = 64 GeV ).

Met de Intersecting Storage Ring bij het CERN, werden in de jaren ’70 diverse experimenten uitgevoerd. De twee proton bundels beschikten ieder over een eigen opslagring.

50


In 1979 werd bij de Universiteit van Cornell in Ithaka (nabij New York) een elektronenversneller geïnstalleerd (CESR [47]). Deze botsingmachine (Figuur 2.17) is nog volop in gebruik en levert elektronen en positronen. Het bezit naast een opslagring een synchrotron waaraan parallel onderzoek uitgevoerd

5.3 GeV (maximaal 6 GeV ) wordt een bereikt. De omtrek van de ring bedraagt 768 m .

wordt met synchrotron straling. Bij bundelenergieën van luminositeit van  1.28 ´ 1033 cm -2s -1

Figuur 2.17:

De CESR machine (links) bij Cornell (Ithaka) versnelt elektronen en posi-

6 GeV . De opslagring en synchrotronfaciliteit zijn ondergebracht in dezelfde tunnel (rechts, omtrek 768 m ). tronen tot een energie van maximaal

De Universiteit van Stanford, nabij San Francisco, heeft vanaf 1962 een groot nationaal versnellercomplex onder haar hoede gehad: Stanford Linear Accelerator Center (SLAC [48]). Aan de hoge luminositeit opslagring met asymmetrische bundels (PEP-II: energie elektronen/positronenbundel is

9 GeV en 3.1 GeV respectievelijk [49]), doet het BaBar experiment [50] gedetailleerd onderzoek.

Figuur 2.18:

Het SLAC versneller complex met zijn

3.2 km lange lineaire elektronen en

positronen versneller. De bundels worden aan het einde van de lineaire sectie afgebogen en met elkaar in botsing gebracht in het SLD experiment [51]). SLAC heeft een reputatie op het gebied van het bouwen van lineaire versnellers. Rond 1989 werd een

51


3.2 km lange lineaire machine ingericht met het doel Z 0 deeltjes te produceren (Figuur 2.18). Hoewel men er vrijwel onmiddellijk na de start in slaagde om zowel elektronen als positronen voldoende energie mee te geven, bleef de luminositeit achter bij de verwachtingen. Vooral de focussering in het interactiepunt bleek bij deze machine bijzonder gecompliceerd. Succesvoller verliep de ingebruikname (1989) van de ‘Large Electron-Positron’ (LEP) versneller bij het CERN (Figuur 2.19). Deze machine

 27 km en startte vrijwel direct met bundelenergieën van  45 GeV en met voldoende luminositeit om in detail de eigenschappen van het Z 0 deeltje te bepalen. Na enkele miljoenen Z 0 deeltjes verzameld te hebben, werd in 1996 vervolgens de energie van beide bundels verhoogt naar  80 GeV ; de drempel waarboven twee reële W was ondergebracht in een tunnel met een omtrek van

deeltjes geproduceerd kunnen worden. In 2000 werd door LEP de record energie van

s = 209.2 GeV bereikt.

Figuur 2.19:

Op het CERN versneller complex bevindt zich de grootste circulaire machine ter wereld:

 27 km .

Begin deze eeuw zijn experimenten aan de LEP-ring ontmanteld en is de volledige elektronen/positronenversneller uit de tunnel verwijderd en vervangen door de Large Hadron Collider (LHC [52]). In de LHC worden sinds 2009 twee protonenbundels versneld tot een energie van (het uiteindelijke doel is om

3500 GeV

7000 GeV per bundel te bereiken). Om deze hoogenergetische proto-

nen in hun baan te houden, is de volledige ring uitgerust met supergeleidende magneten. In tegenstelling tot de situatie bij LEP, bezitten de deeltjes nu in beide bundels dezelfde lading!

52


Figuur 2.20: Ontwerp van de

10 Tesla supergeleidende LHC dipool magneet met dubbele boring.

Figuur 2.20 toont hoe het magnetische veld in de 15 m lange supergeleidende LHC dipoolmagneet (‘dubbele boring’, prototype

 10 Tesla ) beide bundels in hun baan kan houden. Medio 2006 werd

de industriële productie van deze supergeleidende magneten afgerond. In Figuur 2.21 worden de magneten neergelaten (links, gewicht 35 ton!) en is een volledige tunnelsectie geïnstrumenteerd (najaar 2005, rechts).

Figuur 2.21:

Op 7 maart 2005, wordt de eerste 15 meter lange dipool naar beneden getakeld om geïnstalleerd te worden in de LHC tunnel (links). Najaar 2005 zijn grote delen van de versneller bijna operationeel (rechts).

Om de bundel in een opslagring zo lang mogelijk in stand te houden, is het noodzakelijk om de bundelpijp waarbinnen de deeltjes zich bevinden, zo goed mogelijk te evacueren. Aangezien de deeltjes soms langer dan een dag in de machine rondlopen, leiden botsingen met residuen in de bundelpijp tot bundeldestabilisatie en ongecorreleerde interacties. Vergeleken met lineaire versnellers en synchrotrons dient een hoogvacuüm gehandhaafd te worden ( 10-10 Torr sec tegen 10-6 Torr sec ). Het ontwikkelen van hoogvacuüm systemen voor deeltjesversnellers heeft tot veel innovaties in de vacuümtechnologie geleid. De LHC heeft vier interactiepunten waar experimenten geplaatst zijn. Nederland levert een bijdrage aan 3 experimenten: ATLAS [53] (Figuur 2.22 en Figuur 2.23), LHC-B [54] en ALICE [55].

53


Figuur 2.22:

Figuur 2.23:

Opengewerkt ontwerp van de ATLAS detector aan de LHC bij het CERN.

Installatie (augustus 2005) van de laatste van 8 supergeleidende 25 m lange toroïdes ligt op schema zodat ATLAS in 2009 de eerste proton-proton botsingen kan registreren.

Het vierde interactie punt vormt de locatie voor twee experimenten te weten CMS [56] en TOTEM [57]. Dit laatste experiment concentreert zich op fysica processen waarbij detectie van deeltjes onder kleine hoek met de bundel-as een belangrijke rol speelt en werkt (gedeeltelijk) in coïncidentie met CMS. Het

54


ALICE experiment zal zich vooral concentreren op botsingen tussen zware ionen; de LHC is zo ontworpen dat ook volledig geïoniseerde zware elementen (o.a. lood) versneld kunnen worden. Tot slot is in [21] een gedetailleerd overzicht te vinden van de parameters van huidige generatie machines. Echter, geen van deze machines komt met zijn bundelenergie ook maar enigszins in de buurt van de energie die sommige kosmische deeltjes (tot  1020 eV !) bezitten en die onze aarde doorlopend bombarderen (Figuur 2.24).

Figuur 2.24:

Het hoogenergetische deel van het energiespectrum van kosmische deeltjes met verticaal de flux en horizontaal de energie in eV. De totale energie in de botsing van twee protonen in de LHC is omgerekend naar naar de situatie dat een van beide protonen in rust is (fixed target).

55


Referenties [1]

Galileo Galilei, 1564 - 1642, Italiaanse fysicus.

[2]

Hendrik Antoon Lorentz, 1853 - 1928, Nederlandse fysicus, Nobelprijs 1902 (fysica).

[3]

Aristoteles, 384 - 322 B.C., Griekse filosoof.

[4]

James Clerk Maxwell, 1831 - 1879, Britse fysicus.

[5]

Augustin Louis Cauchy, 1789 - 1857, Franse wiskundige.

[6]

George Gabriel Stokes, 1819 - 1903, Ierse wiskundige.

[7]

Joseph John Thomson, 1856 - 1940, Britse fysicus, Nobelprijs 1906 (fysica).

[8]

Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858 - 1947, Duitse fysicus, Nobelprijs 1918 (fysica).

[9]

Olaus Rømer, 1644 - 1710, Deense astronoom.

[10]

Michael Faraday, 1791 - 1867, Britse fysicus/chemicus.

[11]

Albert Abraham Michelson, 1852 - 1931, Duitse/Amerikaanse fysicus, Nobelprijs 1907 (fysica).

[12]

Edward Williams Morley, 1838 - 1923, Amerikaanse chemicus.

[13]

Pythagoras, ~569 - ~475 B.C., Griekse wiskundige.

[14]

George Francis FitzGerald, 1851 - 1901, Ierse fysicus.

[15]

Joseph Larmor, 1857 - 1942, Ierse wiskundige.

[16]

Jules Henri Poincaré, 1854 - 1912, Franse fysicus.

[17]

Albert Einstein, 1879 - 1955, Duitse fysicus, Nobelprijs 1922 (fysica).

[18]

Isaac Newton, 1643 - 1727, Britse fysicus.

[19]

Heinrich Rudolf Hertz, 1857 - 1894, Duitse fysicus.

[20]

Guglielmo Marconi, 1874 - 1937, Italiaanse fysicus, Nobelprijs 1909 (fysica).

[21]

K. Nakamura et al. (Particle Data Group), J. Phys. G 37, 075021 (2010) en 2011 gedeeltelijke update voor de 2012 editie, voor de meest recente compilaties zie: http://pdg.lbl.gov/

[22]

Richard Chase Tolman, 1881 - 1948, Amerikaanse chemicus/fysicus.

[23]

Gilbert Newton Lewis, 1876 - 1946, Amerikaanse chemicus/fysicus.

[24]

James Joule, 1818 - 1889, Britse fysicus.

[25]

Brook Taylor, 1685 - 1731, Britse wiskundige.

[26]

Colin Maclaurin, 1698 - 1746, Britse wiskundige.

[27]

Christiaan Doppler, 1803 - 1853, Oostenrijkse astronoom.

[28]

Euclid, ~325 - ~265 B.C., Griekse filosoof/wiskundige.

[29]

Hermann Minkowski, 1864 - 1909, Duitse (Russische) wiskundige.

[30]

Oliver Heaviside, 1850 - 1925, Britse wiskundige.

[31]

Leonid Isaakovich Mandelstam, 1879 - 1944, Russische fysicus.

[32]

Heinrich Geiβler, 1815 - 1879, Duitse fysicus.

[33]

William Crookes, 1832 - 1919, Britse chemicus/fysicus.

[34]

Wilhelm Conrad Röntgen, 1845 - 1923, Duitse fysicus, Nobelprijs 1901 (fysica).

57

Referenties

[35]

J.D. Cockcroft, 1897 - 1967, Britse fysicus, Nobelprijs 1951 (fysica).

[36]

E.T.S. Walton, 1915 - 1995, Ierse fysicus, Nobelprijs 1951 (fysica).

[37]

Robert Jemison Van de Graaff, 1901 – 1967, Amerikaanse fysicus.

[38]

Wideröe, 1901 – 1967, Noorse fysicus.

[39]

Luis Walter Alvarez, 1911 – 1988, Amerikaanse fysicus, Nobelprijs 1968 (fysica).

[40]

Ernest Orlando Lawrence, 1901 - 1958, Amerikaanse fysicus, Nobelprijs 1939 (fysica).

[41]

Milton Stanley Livingston, 1905 – 1986, Amerikaanse fysicus.

[42]

Ernest David Courant, 1920 – , Duitse/Amerikaanse fysicus.

[43]

Hartland Sweet Snyder, 1913 – 1962, Amerikaanse fysicus.

[44]

Nicholas Constantine Christofilos, 1916 – 1972, Amerikaanse/Griekse fysicus.

[45]

Voor een afleiding zie bijvoorbeeld: http://scienceworld.wolfram.com/physics/LarmorPower.html.

[46]

Bruno Touschek, 1921 – 1987, Oostenrijkse fysicus.

[47]

http://www.lns.cornell.edu/.

[48]

http://www.slac.stanford.edu/.

[49]

http://www.slac.stanford.edu/accel/pepii/home.html.

[50]

http://www.slac.stanford.edu/BFROOT/.

[51]

http://www-sld.slac.stanford.edu/sldwww/sld.html.

[52]

http://lhc.web.cern.ch/lhc/.

[53]

http://atlas.ch/, http://atlas.web.cern.ch/Atlas/index.html.

[54]

http://lhcb.web.cern.ch/lhcb/.

[55]

http://aliceinfo.cern.ch/.

[56]

http://cmsinfo.cern.ch/Welcome.html/.

[57]

http://totem.web.cern.ch/Totem/.

58

Relativiteit en deeltjesversnellers. B. van Eijk. Nikhef Amsterdam. Universiteit Twente

Recommend Documents