Logika Fuzzy (3)
1
Cartesian Product Terdapat dua himpunan A = {0, 1} dan B = {a, b, c}. Maka beberapa variasi hasil-kali kartesian (cartesian product) dapat dituliskan sebagai berikut:
2
Relasi Tegas (Crips Relation) Relasi A1 x A2 x A3 x … x Ar disebut r-ary relation antara A1 hingga Ar.
Biasanya r =2 sehingga relasi tereduksi menjadi A1 x A2 dan relasi yang seperti ini disebut relasi biner (binary relation) dari A1 ke A2 . Jika himpunan yang terlibat lebih banyak: 3 himpunan ternary relation 4 himpunan quartenary relation 5 himpunan quinary relation dst
Jika tdk disebut secara eksplisit, maka relasi tegas mengacu ke relasi
biner yang hanya melibatkan dua himpunan saja 3
Hasil-kali kartesian antara dua himpunan X dan Y didefinisikan sebagai:
Yang akan membentuk pasangan terurut untuk setiap elemen x X
dan y Y. Setiap elemen dalam X secara keseluruhan direlasikan dengan setiap
elemen dalam Y. Kekuatan relasi antara pasangan-pasangan tersebut diukur dengan
fungsi karakteristik (dinotasikan ) dimana nilai 1 berarti relasi penuh (complete relationship) dan nilai nol berarti tidak ada relasi (no relationship) atau dinyatakan: 4
Contoh berikut ini menunjukkan relasi antara himpunan X = {1, 2, 3} dan
Y = {a, b, c} yang dinyatakan dalam bentuk matriks relasi:
Atau dalam bentuk diagram Sagittal digambarkan sbb:
5
Relasi tegas secara umum juga dapat dinyatakan sbg:
Contoh: Misalkan dalam bidang biologi, spesies tertentu hanya dapat disilangkan dengan species tertentu saja. Maka nilai relasi = 1 berarti dua species tsb bisa disilangkan, dan nilai relasi = 0 berarti dua species tsb tidak mungkin disilangkan. Misalkan himpunan species X = {1, 2} dan himpunan species Y = {a, b} dan relasinya dinyatakan dengan matriks relasi berikut:
6
Relasi Identitas dan Universal Untuk relasi biner (r = 2) terdapat dua jenis relasi yang khusus yaitu: Relasi identitas
Jika A = {0, 1, 2} maka relasi identitas dinotasikan sebagai IA dan hasilnya adalah:
Relasi universal
Jika A = {0, 1, 2} maka relasi universal dinotasikan sebagai UA dan hasilnya adalah:
7
Relasi juga dapat didefinisikan untuk semesta pembicaraan yang kontinyu. Misalnya pernyataan berikut:
dan fungsi karakteristiknya dinyatakan dalam bentuk:
8
Misalkan ada n elemen dalam himpunan X yang direlasikan ke m elemen dalam himpunan Y. Jika jumlah elemen X dinotasikan sbg nx dan jumlah elemen Y dinotasikan sbg ny , maka jumlah relasi R antara
X dan Y dinyatakan dengan: n X x Y = nx ny dan jumlah himpunan bagian dalam relasi R dinyatakan dengan:
nP ( X Y ) 2 Definisi: Relasi nol
( nx n y )
Relasi penuh
9
Operasi pada Relasi Tegas Misalkan himpunan tegas R dan S, maka operasi antara R dan S: Union
Irisan
Komplemen
Containment
10
Sifat-sifat Relasi Tegas Sifat-sifat yang berlaku untuk operasi pada relasi tegas adalah: Komutatif Asosiatif Distributif Involusi Idempontensi Prinsip De Morgan Law of excluded middle
Keterangan: Relasi nol ekivalen dgn himpunan kosong 11
Komposisi Relasi Misalkan R adl relasi yang memetakan elemen dalam semesta X ke
semesta Y, dan S adl relasi yang memetakan elemen dalam semesta Y ke semesta Z. Pertanyaannya, adakah satu relasi yang memetakan elemen dalam
semesta X ke semesta Z?
Ya, ada. Misalkan relasi T yang mrpk
komposisi relasi R dan relasi S. Contoh:
Diagram Sagittal
12
Ada 2 jenis komposisi relasi, yaitu: Komposisi maks – min (max – min composition)
Komposisi maks hasil-kali (max - product composition)
“” adl operator perkalian aritmatika biasa
13
Example Relasi R dan S yang telah ditampilkan sebelumnya yaitu:
dapat ditampilkan dlm btk matriks sbb:
dan
14
Maka relasi yang memetakan semesta X ke semesta Y dapat dibangun baik dengan komposisi maks – min atau komposisi maks hasil-kali. Jika menggunakan komposisi maks – min, maka
dan
carilah nilai-nilai yang lain dan nyatakan dalam bentuk matriks komposisi relasi T R S . 15
Dan hasil selengkapnya:
Dan jika menggunakan komposisi maks hasil-kali maka:
Carilah hasil selengkapnya, dan bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil operasi komposisi maks – min. 16
Relasi Fuzzy Relasi fuzzy juga memetakan satu semesta ke semesta yang lain
menggunakan hasil-kali kartesian antara kedua semesta tsb. notasi relasi fuzzy R: Kekuatan relasi diukur menggunakan fungsi keanggotaan yang
menyatakan berbagai derajat kekuatannya pada interval [0, 1] notasi fungsi keanggotaan fuzzy R:
Jika terdapat 2 relasi fuzzy R dan S, maka operasi-operasi yang dapat
terjadi diantara keduanya adalah union, irisan, komplemen, dan containment. 17
Definisi operasi-operasi ini sangat mirip pada himpunan klasik
18
Sifat-sifat Relasi Fuzzy Sifat-sifat yang berlaku untuk operasi pada relasi fuzzy adalah: Komutatif Asosiatif Distributif
Involusi Idempontensi Prinsip De Morgan Tetapi
19
Hasil-kali Kartesian Fuzzy Jika A adl himpunan fuzzy dalam semesta X dan B adl himpunan fuzzy dalam semesta Y, maka hasil-kali kartesian antara himpunan fuzzy A dan B akan menghasilkan relasi fuzzy R yang didefinisikan sbg:
Dan relasi fuzzy R akan mempunyai fungsi keanggotaan (membership function) yang didefinisikan sbb:
20
Example Misalkan ada dua himpunan fuzzy yaitu A dan B. Himpunan fuzzy A berada dlm semesta tiga suhu diskret , X = {x1, x2, x3} dan B berada dlm semesta dua nilai tekanan, Y = {y1, y2}. Misalkan himpunan fuzzy keduanya adl sbb:
Maka relasi fuzzy yg terjadi sbg hasil-kali kartesian himpunan fuzzy A dan B adl sbb:
21
Komposisi Relasi Fuzzy Misalkan R adl relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta X
ke semesta Y, dan S adl relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta Y ke semesta Z. Adakah satu relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta X ke
semesta Z? Ya, ada. Misalkan relasi fuzzy T. Komposisi yang bisa terbentuk adl: Komposisi fuzzy maks – min Komposisi fuzzy maks – hasil-kali
22
Komposisi fuzzy maks – min
Komposisi fuzzy maks – hasil-kali
Ingat bahwa:
23
Example Misalkan terdapat tiga semesta pembicaraan X, Y, dan Z sbb:
Relasi fuzzy R dari semesta X ke Y dinyatakan sbg:
Relasi fuzzy S dari semesta Y ke Z dinyatakan sbg:
Relasi fuzzy T dari semesta X ke Z dpt ditemukan menggunakan komposisi fuzzy maks – min atau maks – hasil-kali. 24
Menggunakan komposisi fuzzy maks – min :
Hasil selengkapnya:
Menggunakan komposisi fuzzy maks – hasil-kali:
Dan hasil selengkapnya:
25
Homework Terdapat dua relasi klasik sbb:
Temukan relasi R dan S menggunakan komposisi maks-min. Terdapat dua relasi fuzzy sbb:
Temukan relasi
menggunakan komposisi maks – hasil-kali. 26
