Relasi Tolerans & Relasi Ekivalen Logika Fuzzy
1
Sifat-sifat Relasi Misalkan terdapat sebuah semesta dengan 3 elemen
dinyatakan X = {1, 2, 3}, maka berikut adalah sifat-sifat relasi yang mungkin: • Refleksivitas
2
• Simetri
• Transitivitas
3
Relasi Ekivalen Tegas Relasi R merupakan relasi ekivalen jika mempunyai sifat
refleksivitas, simetri, dan transitivitas. Misalkan untuk relasi matriks, maka sifat-sifat berikut akan terpenuhi.
4
Relasi Tolerans Tegas • Relasi R pd semesta X dpt dipandang sbg relasi dari X ke X. • Relasi tolerans (relasi proximity) R pada semesta X adalah relasi yang hanya mempunyai sifat refleksivitas dan simetri. • Relasi tolerans dapat diubah menjadi relasi ekivalen dengan sebanyak (n – 1)komposisi dengan dirinya sendiri. n adalah jumlah elemen dalam himpunan yang mendefinisikan relasi R yaitu himpunan X, shg
5
Example Misalkan pd sebuah sistem transportasi udara
melayani 5 kota. Perusahaan ingin mempelajari lokasi potensial utk menentukan lokasi hubs dengan mempertimbangkan jarak antar kota dan peraturan
takeoff-landing. X = {x1, x2, x3, x4, x5} = {Jakarta, Jogja, Changi, KL, Surabaya}
Misalkan kekuatan relasi dinyatakan dlm matriks berikut: 6
Tampak bahwa relasi R bersifat refleksif dan simetrik. Jika digambarkan dlm btk grafik, maka R akan mpy 5 sudut spt gambar di samping: – Sifat simetri mewakili kedekatan; Jakarta – Jogja dan Jogja – Surabaya – Relasi tdk mpy sifat transitivitas
7
Relasi R1 dapat diubah menjadi relasi ekivalen R dengan komposisi n (dengan n ≤ 5). Misalkan utk n = 1, Relasi ekivalen
Maka jika digambarkan sebagai grafik, relasi R menjadi sbb:
8
Maka terlihat bahwa relasi R mpy sifat transiivitas, yaitu bahwa dalam relasi R memuat (x1, x5) atau (x1, x5) R dan dgn dmk maka R mrpk relasi ekivalen. Relasi ekivalen mjd penting dlm klasifikasi, misalnya pd contoh ini terlihat bhw matriks R mpy kolom pertama, kedua, dan kelima yg identik (berada dlm kelas yg sama); kolom ketiga dan keempat adl unik (mewakili 2 kelas yg berbeda). Adanya 3 kelas ini dpt digunakan utk membedakan negara. 9
Relasi Ekivalen & Tolerans Fuzzy • Relasi fuzzy R pd semesta tunggal X jg mrpk relasi dari X
ke X. • Relasi tsb disbt relasi ekivalen jk semua sifat berikut ini terpenuhi:
10
• Perhatikan definisi transitivitas; makna dari definisi tsb adl bahwa utk rantai yg lbh pendek maka relasinya semakin kuat.
• Relasi fuzzy disebut relasi tolerans jika hanya mempunyai dua sifat saja, yaitu sifat simetri dan sifat refleksitivitas. • Relasi fuzzy tolerans dapat diubah menjadi relasi fuzzy ekivalen dengan cara mengkomposisikan dengan dirinya sendiri (hingga diperoleh relasi ekivalen).
11
Example Dlm eksperimen bioteknologi, terdeteksi 5 jenis bakteri
baru di dlm bahan pembuat tangki bahan bakar pesawat. Utk mencari metode dlm rangka mengatasi biokorosi akibat bakteri tsb, 5 jenis bakteri tsb hrs
dikategorikan lbh dulu. Salah satu caranya adl dgn membandingkannya satu sama lain. Dlm setiap pasangan, dibuat relasi
“kemiripan” R1 berikut.
12
• Bakteri 1 mpy kemiripan 0.8 dgn bakteri 2 • Bakteri 1 mpy kemiripan 0 (tak ada relasi) dgn bakteri 3 • ….. dst • Krn relasinya berdasar kemiripan scr berpasangan, maka relasi tsb akan bersifat reflektif dan simetrik, namun tdk bersifat transitif karena
13
tetapi Supaya relasi R dpt mjd relasi ekivalen, maka akan dicoba dengan komposisi sbb:
namun ternyata transitivitas jg blm ada, karena
dan 14
Setelah satu atau dua kali komposisi lagi, maka:
Maka terlihat bahwa:
Dan telah diperoleh relasi ekivalen.
15
Relasi komposisi R1 ○ R1 jg dpt ditampilkan dlm btk kontur 2 dimensi sbb:
16
Relasi komposisi R1 ○ R1 ○ R1 ○ R1 dlm btk kontur 2 dimensi menjadi sbb:
R1 ○ R1 ○ R1 ○ R1 =
17
Menentukan Nilai Keanggotaan Pertanyaan: Bagaimana menentukan nilai-nilai
keanggotaan dlm suatu relasi? Ada bbrp cara utk menentukan nilai keanggotaan, yaitu: 1.
Hasil-kali kartesian
2.
Ekspresi closed-form
3.
Lookup table
4.
Linguistic rules of knowledge
5.
Klasifikasi
6.
Metode otomatis dari data input/ouput
7.
Metode kemiripan dlm manipulasi data
18
1. Hasil kali kartesian telah dibahas 2. Ekspresi closed-form Misal melalui observasi sederhana pada suatu proses fisika. Utk satu set input maka diobservasi outputnya. Jika tdk ada variasi maka dpt digunakan relasi closed-form dlm btk y = f(x).
3. Look-up Table Jika pada ekspresi closed-form ternyata ditemukan banyak variasi, maka dpt digunakan look-up table.
4. Linguistic rule of knowledge Misalnya menggunakan aturan if-then. Biasanya pengetahuan semacam ini diperoleh dari seorang ahli di bidangnya, dari polling atau dari sejenis konsensus.
5. Klasifikasi Misalnya menggunakan neural network.
6. Otomamatisasi input-output Melibatkan pembangunan fungsi keanggotaan dari prosedur yg digunakan pada input-ouput (bisa jadi mrpk proses yg rumit)
19
Metode Kemiripan 1. Metode Amplitude Cosinus
Menggunakan koleksi sampel data, sejumlah n. Misalkan sampel data yg ada membtk array X
dan setiap elemen xi dlm array X mrpk vektor dgn panjang m, yaitu:
Matriks relasi yg terbtk berukuran mxn, serta bersifat refleksif dan simetrik (relasi tolerans) 20
Kekuatan relasi antara xi dan xj ditentukan sbb:
Jika dua vektor semakin mirip maka nilainya mendekati 1, dan jika semakin tidak-mirip maka nilainya mendekati 0.
21
Example Lima wilayah di Jogja mengalami kerusakan akibat gempa 2006. Utk keperluan jaminan asuransi maka ke-5 wilayah tsb hrs diklasifikasikan menurut tingkat kerusakannya shg dengan demikian menyatakan kerusakan dlm btk relasi akan sangat membantu. Dilakukan survey kondisi bangunan pd setiap wilayah kabupaten dan dicatat dlm 3 jenis status kerusakannya yaitu tanpa kerusakan, kerusakan tingkat medium, dan kerusakan parah. Maka dlm hal ini n = 5 dan m = 3. Hasil survai dinyatakan dlm tabel berikut. 22
Wilayah
Sleman
G. Kidul
Bantul
Kodya Jogja Kulonprogo
Xi1 – Rasio tanpa kerusakan
0.3
0.2
0.1
0.7
0.4
Xi2 – Rasio dengan kerusakan medium Xi3 – Rasio dengan kerusakan parah
0.6
0.4
0.6
0.2
0.6
0.1
0.4
0.3
0.1
0.0
Maka data tsb dpt dinyatakan dlm relasi fuzzy menggunanakan amplitude cosinus sbb:
23
Misalkan untuk i=1 dan j=2 maka:
Hasil selengkapnya adl relasi fuzzy R1 yg mrpk relasi tolerans sbb:
PR : Buktikan dengan hasil perhitungan untuk semua elemen, Buktikan bahwa R1 adl relasi tolerans 24
Komposisi dari relasi fuzzy R1 yang diperoleh:
PR :Buktikan dengan hasil perhitungan untuk semua elemen, Buktikan bahwa R13 adl relasi ekivalen
2. Metode Maks – Min Metode ini lbh sederhana drpd metode amplitude cosinus. Ditentukan menggunakan operasi maks dan min pd pasangan data xij dengan formula sbb; 25
Utk data pd contoh di atas maka akan diperoleh:
PR: Temukan semua nilai relasi yang lain
26
