Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus
RELASI
Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan x ∈ A dan , y ∈ B ditulis
A × B = {( x, y ) x ∈ A dan y ∈ B} Produk Cartesius
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {1,2} maka:
A × B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)} B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Pengertian Relasi
Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 } Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10 Sedangkan 3 ∈ A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.
Diagram panah B
A
•1 •2
•4
•3
•7
•5
•10 •14
Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka : R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }
Jelaslah bahwa R ⊆ A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ). Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R⊆AxB A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),
Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri. R refleksif pada A bhb. (∀ x∈A). (x,x)∈R R non-refleksif pada A bhb. ( ∃x∈A).( x,x)∉R R irrefleksif pada A bhb. (∀ x∈A).( x,x)∉R
RELASI KHUSUS
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. R simetris pada A bhb (∀x,y∈A).(x,y)∈R⇒(y,x)∈R R non- simetris pada A bhb (∃x,y∈A).(x,y)∈R∧(y,x)∉ R R asimetris pada A bhb (∀x,y∈A).(x,y)∈R ⇒(y,x) ∉ R R antisimetris pada A bhb (∀x,y∈A).(x,y)∈R ∧ (y,x)∈R ⇒x=y
RELASI KHUSUS
relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z∈A, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb. (∀x,y,z∈A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∈ R R non-transitif pada A bhb : ( ∃x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R R intransitif pada A bhb : ( ∀x,y,z A).(x,y)∈R ∧ ( y,z )∈R ⇒ (x,z)∉R
RELASI KHUSUS
Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.
RELASI KHUSUS
Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut P a r t i s i dari A bhb. 1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu adalah himpunan A sendiri. 2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama merupakan dua himpunan yang saling lepas. Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari himpunan A, misalnya {A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila 1. A1∪ A2 ∪ A3 ∪ ….. ∪ An = A 2. (∀Ai , Aj ). Ai ≠ Aj ⇒ Ai ∩ Aj = ∅
FUNGSI
Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. f : A → B bhb. (∀ x ∈A).( ∃!y B) . y = f (x)
1.
2.
Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu: Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B. (Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asal dihabiskan “) Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis: ( ∀xi, xi ∈ A). x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2)
FUNGSI
Diagram panah B
A •1 •2 •3 •5
•4 •7 •10 •14
FUNGSI
Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat fungsi f : A→B a. f : {(1,a), (2,b), (3,c)} → bukan fungsi hanya relasi biasa b. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} → bukan fungsi hanya relasi biasa c. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} → fungsi
FUNGSI
FUNGSI Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu: 1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya. Contoh : f: R→ R dimana f(x) = x R = himpunan semua bilangan nyata.
2. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian (khusus) dari A x B. Maka fungsi f : R →R dimana f ( x ) = x dapat juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari RxR: F = { (x,y)|x ∈ R, y∈ R, y = x2 }
FUNGSI
Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A → B dan g : A → B dikatakan sama bila kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah kawannya. f=g bhb ( ∀ x ∈A).f(x) = g(x) Contoh : f : R→ R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2) g : R→ R dimana g(x) = 2x2-2x-4 Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2) = 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x) Maka f = g
FUNGSI
1. 2. 3. 4. 5.
FUNGSI FUNGSI FUNGSI FUNGSI FUNGSI
SURJEKTIF INJEKTIF BIJEKTIF KONSTAN IDENTITAS
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS
Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). f : A → B adalah fungsi surjektif bhb ( ∀y∈B) ( ∃x∈A). y = f (x) bhb Rf = B bhb ( ∀y∈B) f-1 (y) = ∅
FUNGSI SURJEKTIF/ONTO
Contoh Diagram panah B
A
•2 •3
•7
•10
•5
FUNGSI SURJEKTIF
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. f : A → B adalah fungsi injektif bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) bhb ( ∀ x1,x2 ∈ A ). f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU
contoh Diagram panah B
A •1 •2 •3 •5
•4 •7 •10 •14
FUNGSI INJEKTIF
Suatu fungsi f : A→B merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif. Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu.
FUNGSI BIJEKTIF
Contoh Diagram panah B
A
•2 •3
•7
•10
•5 •14
FUNGSI BIJEKTIF
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B. f : A → B adalah fungsi konstan bhb.( ∃!c ∈ B)(∀x∈A).f(x) = c Contoh: 2. Diagram panah B A 1. f(x) = 2
•2 •3
FUNGSI KONSTAN
•5
•7 •10 •14
Suatu fungsi f : A → B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama. f : A → A adalah fungsi indentitas bhb.( ∀x∈A). f(x) = x
FUNGSI IDENTITAS
CONTOH Diagram panah A
A
•2
•2
•3
•3
•5
•5
FUNGSI IDENTITAS
Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2,3} C: {x, y, z, w} D: {4,5,6} f: A→B g: B→C h: C→D i: B→D Tentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif atau bijektif? a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)} b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)} c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)} d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}
LATIHAN
Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi). Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi f : A → B dan g : C → D di mana Rg ⊆ A, C→A→B
f
g
fog
maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi fungsi baru, yang disajikan dengan lambang fog:C→B Dengan aturan (fog)(x)=f[g(x)] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ )
FUNGSI TERSUSUN
CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: A→B, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: C→D, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f! 2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!
FUNGSI TERSUSUN
Sifat-sifat Komposisi Fungsi. 1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h) 2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f. 3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka fof=f of =i dimana i adalah fungsi identitas.
FUNGSI TERSUSUN
Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata.
Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi
