Reken-wiskundeonderwijs: prachtig en prikkelend

Reken-wiskundeonderwijs: prachtig en prikkelend

Reken-wiskundeonderwijs: prachtig en prikkelend Ingrid Nagtzaam & Jimke Nicolai Pabo De Eekhorst, Assen De auteurs vragen onze aandacht voor rekenonderwijs waarbij de rekenmethode wordt losgelaten. Beiden zijn zich daarbij terdege bewust van de moeilijkheden en gevaren die deze aanpak met zich meebrengt. In hun artikel wordt een fasering geboden die een leerkracht houvast biedt bij zijn lessen levend rekenen.

inleiding Reken- en wiskundeonderwijs kan alle dagen een boeiend feest zijn. Voor kinderen en ook voor leraren. We hebben het dan vooral over levend rekenen en rekenen wiskundeonderwijs geïntegreerd of gecombineerd met andere vakken. Rekenen waarbij de methode wordt losgelaten. We weten, ook uit eigen ervaring, hoe moeilijk en ‘gevaarlijk’ het kan zijn om buiten het rekenboekje te werken. Maar we weten ook dat het aanzet tot geïnspireerd leren. De benadering vertrekt vanuit aanleidingen die zich voordoen in de klas. ‘Freek aan de alcohol’ kan dat goed illustreren. Freek, een leerling van groep 7/8, is tijdens het feestje van opa en oma ‘aan de alcohol’. Hij leest zijn verhaal, dat we op onze scholen een vrije tekst noemen, voor aan de klas. Het gaat over opa en oma die een gouden jubileum vierden. Het gaat over de kerk en het cadeau ... en het feest! Freek leest (fig.1).

figuur 1

Freek telt de percentages keurig op en komt tot de slotsom dat hij meer alcohol dronk dan zijn neefje. En daar sta je dan als leraar. Wat moet ik? Ik moet wat!

87

Ingrid Nagtzaam & Jimke Nicolai

Het meest voor de hand liggend zou zijn om direct uitgebreid op deze rekenkundige misstap in te gaan. Die verleiding is groot, maar ook riskant, want je kunt je niet goed voorbereiden op wat er allemaal kan. Voer maar een gedachtenexperiment uit waarin je met de klas dit probleem helder wilt krijgen… geen simpel (uitleg)lesje!

het onderwijsconcept Deze aanpak past in een onderwijsconcept waarbij de leraar niet schroomt om eigen deskundigheid te presenteren aan kinderen. Maar hij doet dit op een natuurlijke manier. Samen met de kinderen kennis (re)construeren en interactief leren in een coöperatieve klas, is het motto. De meester schroomt niet om tussen de kinderen plaats te nemen, ook letterlijk door de knieën te gaan. Maar hij is ook de meester die deskundig is, die ordening en samenhang (leerlijnen) kent en van daaruit kan plannen en sturen. Hij staat in de klas en voor de klas. Een aantal technieken passen in dit concept. Het werken met vrije teksten – kinderen kiezen zelf wanneer, waarover en in welke vorm ze schrijven – is daar een van. Een andere techniek is levend rekenen, een vorm van rekenen, die begint waar de rekenmethode eindigt. Vaak geïntegreerd met andere vakken.

een voorbeeld uit de groep van juf Nynke Thomas heeft een knuffel meegebracht voor de laten-zien-kring, die elke ochtend plaatsvindt. Het is een geweldig lange, gebreide slang. Juf Nynke bespeurt betrokkenheid en enthousiasme bij de kinderen van deze 3/ 4 stamgroep van een Jenaplan/Freinetschool. Thomas past wel drie keer in zijn knuffel!

figuur 2

Ze reageert direct met het voorstel een tentoonstelling rond knuffels in te richten,

88


en ze bedenkt als leraar dat ze zeker iets wil doen met lengte: het meten van je eigen lengte, de lengte van de knuffel, het verbeelden van die lengte, maar ook getallen positioneren op de getallenlijn en misschien ook iets met verschil; veel ideeën die ook gerealiseerd worden en uiteindelijk in een album (voor de correspondentieklas) komen. De kinderen meten hun eigen lengte, de lengte van hun knuffel. Die lengtes worden op een lijn gezet: van 0 t/m 160. Van vilt knipt ieder kind eigen lichaam en knuffel en plakt die op het speciaal gemaakte werkblad (fig.2). Wat een werk! En rekendeskundigen merken op: wat een didactisch waagstuk! En tegelijkertijd: wat een uitdaging om prachtig rekenen wiskundeonderwijs te realiseren!

de fasering Om greep te krijgen op lessen levend rekenen is het belangrijk de fasering te kennen, die in het ontwerpen van dit reken-wiskundeonderwijs vaak te onderkennen is. We doen dat aan de hand van het tasje van Janneke. Een les levend rekenen vertrekt vanuit een aanleiding. De AANLEIDING (1) in dit geval is het handtasje van Janneke’s moeder. In de klas was weer eens een rage ontstaan. Na de vlechtjes in het haar, knikkers, flippo’s, waren er nu plotseling punnikklosjes. Het ging erom wie de langste draad kon maken. Rekenkundig zat daar geen uitdaging in … voor de bovenbouw tenminste niet. We hadden er in de kring al eens over gesproken: kleurcombinaties, de naaihoek waaruit breigaren verdween als sneeuw voor de zon, het verschil tussen vingerhaken en punniken. Tijdens deze periode kwam Janneke met een tasje in de kring … was van haar moeder geweest, gemaakt van een hele lange punnikdraad die in een vierkante spiraal was vastgezet. Het zag er prachtig uit: herkenbare-kleurrijke-alternatievecircuit-jaren-zeventig-stijl (fig.3).

figuur 3

89


Het vormde de aanleiding voor een interessant gesprek over de lengte van de totale draad. (Meer en minder beredeneerde) schattingen werden op het bord vastgelegd. Janneke ging met Heleen de uitdaging aan tijdens ‘de werkhoeken’ te meten hoe lang de draad op de tas zou zijn. De tweede stap is AAN DE SLAG (2). De leraar geeft zichzelf bedenktijd en ontwerpt vanuit de aanleiding een rekenactiviteit voor de kinderen. Lessen levend rekenen worden gegeven aan de hele groep. Niveauverschillen worden als kans en uitdaging beschouwd. De dagen erop hebben we bij levend rekenen langdurig stilgestaan bij de bepaling van de lengte van deze meetkundige vorm. Ik deelde aan de kinderen een werkblad uit met een spiraal getekend op een ruitjespatroon (1 x 1 cm) en vroeg te berekenen hoe lang de spiraal was. Het was gauw klaar. De opdracht was soortgelijke spiralen te tekenen en te meten hoe lang ze waren. Ik hoopte dat ze een patroon in de antwoorden zouden ontdekken. De derde stap in het proces is DE UITWISSELING (3a). Dat hoeft niet per se op dezelfde dag; soms neemt het uitwerken van het probleem veel meer tijd in beslag. Het is een uitdaging om de verschillende oplossingen en aanpakken te bespreken en te vergelijken. Kinderen en leraren die hiermee ervaring hebben bereiken vaak onverwacht een hoog niveau. De uitwisseling leverde een aantal prachtige ontdekkingen op. Sommige kinderen waren tellend te werk gegaan. Anderen hadden linialen gebruikt (‘dan hoef je niet al die hokjes te tellen’). Een paar kinderen waren op zoek gegaan naar structuur. Aan mij de schone taak tijdens de uitwisseling zover mogelijk te komen met de hele groep. Dat is redelijk gelukt, alhoewel ik later ontdekte dat er nog meer mogelijk was geweest. De metende en tellende kinderen hadden hard gewerkt. Maar we zaten met open mond te kijken naar het rijtje van Martijn en Maarten (fig.4). Spiraal nr

Enkel

Dubbel

Antwoord

Het rijtje

1

1

2

2

+4

2

3

6

6

+6

3

6

12

12

+8

4

10

20

20

+10

5

15

30

30

+??

enz.

nr 1

nr 2

nr 3

figuur 4

90

nr 4

nr 5


De jongens hadden van binnenuit de lengte geteld, en omdat er telkens twee stukken waren van dezelfde lengte, hadden ze elk stuk vermenigvuldigd met factor 2. Ze telden telkens de lengte van een enkel lijnstuk bij elkaar op (4 bestaat uit 1 + 2 + 3 + 4 = 10). Tijdens het gesprek ontdekten we (ik denk dat het vooral door mijn vragen kwam) een merkwaardig rijtje: er komt telkens het volgende getal uit de rij van de even getallen bij. (Zie de getallen in de tweede kolom.) Maar er was protest: de oorspronkelijke tekening was anders dan Maarten en Martijn voorstelden. Hun antwoorden waren ook niet juist. De buitenste lijn was niet tweemaal, maar driemaal getekend. En dan zou het rijtje echt anders worden. Op het bord kwam (fig.5). Spiraal nr

Buitenste

Binnenste totaal

Antwoord

Het rijtje

1

3×1

3

+5

2

3×2

2 (1+1)

8

+7

3

3×3

6 (1 + 1 + 2 + 2)

15

+9

4

3×4

12 (1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3)

24

+ 11

5

3×5

20 (...+4 +4)

35

+ ??

enz.

nr 1

nr 2

nr 3

nr 4

nr 5

figuur 5

Ook hier ontdekten we een interessant rijtje: een hele rij oneven getallen werd keurig in volgorde toegevoegd. Ik wilde graag nog een stap verder komen dan alleen maar deze rekenontdekking. ‘Kunnen we nu ook handig uitrekenen hoe lang de draad op onze tekening is?’, was mijn vraag. Het bleek een station te ver voor de meeste kinderen. Ze bleven op een concreet tellend niveau ‘hangen’. Maarten en Martijn hadden het door. Ze probeerden met hun schema de lengte van andere spiralen te bepalen. Elke uitwisseling sluiten we af door EEN SAMENVATTING (3b) met en voor alle kinderen te maken. We schrijven op en tekenen wat we hebben geleerd. Die samenvattingen kunnen worden gebruikt voor de correspondentieklas, voor ouders, voor presentaties. Maar ze hebben vooral ook de bedoeling ordening en samenhang aan te brengen in het denken en leren van de kinderen. Soms maakt een tweetal kinderen de samenvatting in concept voor de hele groep. Ook de klassiek aandoende bordles bewijst hier zijn diensten: de leraar schrijft de eerste zin op het bord en stelt in samenspraak met de kinderen de volgende zin vast.

91


Het rekenverhaal is nog niet af. Kinderen willen (of moeten) er vaak meer mee bij hun PERSOONLIJKE WERK (4). Tijdens het werken aan het ‘eigen werkplan’ hebben kinderen daar de mogelijkheid toe. De leraar kan hierin sturen. Ook de rest van de week zag ik kinderen nog regelmatig tekenen en rekenen aan de spiralen. Ze telden de lengte van de buitenste langste lijn en maakten dan gebruik van de tabel die we samen hadden bedacht. In hoeverre ze ook de rij oneven getallen hebben ingezet bij hun rekenwerk, kon ik niet meer nagaan. Daarmee zouden ze ten volle hebben geprofiteerd van onze rekenontdekking. Kinderen komen ondertussen met weer nieuwe ontdekkingen: ‘Hé mees, er zit een vierkante spiraal in de onderzetter!’ In een brochure over Pabo-stagiaires van De Freinetbeweging las ik een beschrijving van Jan Paul Smit over spiralen. De hoofdpersonen, twee pabo-studenten, gingen in hun denkwerk verder en kwamen ook tot een formule om de lengte van de totale draad in een spiraal te berekenen. Bianca en Nicole, uit groep 5, hadden met handwerken een lange sliert gehaakt en die wilden ze op een lapje naaien. Het lapje van Bianca was vierkant. Ze had het zo opgespeld. Na een tijdje vroeg Bianca aan Nicole: ‘Hoe vaak heb jij al afgehecht?’ Miekee dacht: het is misschien leuk een werkkaart te maken over hoeveel draden je nodig hebt om de hele spiraal vast te zetten. Je kunt dat door meten te weten komen. Miekee liet het aan Jan Paul zien en die zei dat je een soort formule zou kunnen maken om de lengte van de spiraal te weten zonder te meten. We deden net alsof de afstanden tussen de lijnen telkens één centimeter was. We zetten er cijfertjes bij. We begonnen vanaf de buitenkant. We ontdekten dat de eerste drie zijden even lang waren, de twee volgende 1 cm kleiner, de twee daarop volgende zijden weer 1 cm kleiner, enzovoort. Als je begint met een zijde van 7 cm krijg je dit: L = 3 × 7 + 2 × (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) L is de totale lengte van de spiraal, alles is in cm. L = 3 × 7 + 2 × (6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) L = 3 × 7 + 2 × (3 × 7) L=9×7 Als je begint met een even getal krijg je zoiets: L = 3 × 8 + 2 × (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) L = 3 × 8 + 2 × (3 × 8 + 4) L=3×8+6×8+1×8 L = 10 × 8 We deden het ook met andere getallen. We ontdekten: L = M × (M + 2) waarbij M de lengte van de eerste zijde is. Wat zou er gebeuren als de afstand tussen de lijnen niet 1, maar 2 cm was? Uit: Jan Paul wordt al een goede meester. Studenten in de Freinetbeweging. Jan Paul Smit.

figuur 6

Aan het eind van zo’n serie rekenactiviteiten maakt de leraar DE BALANS (5) op. Er wordt vastgesteld welke onderdelen voldoende aan de orde zijn geweest, zodat die niet meer of minder intensief uit de methode behandeld hoeven te worden. In het leerstofoverzicht van de methode wordt dit zichtbaar gemaakt. Bij de registratie kan de samenvatting die eerder voor de kinderen werd gemaakt, zijn diensten bewijzen. Scholen/leraren kunnen hierbij rekenlogboeken gebruiken: een korte beschrijving van de activiteit, toegevoegd kinderwerk, evaluatieve en reflec-

92


tieve opmerkingen van de leraar. Ook latere aanvullingen en ontdekkingen (van kinderen, ouders, correspondenten, de leraar) kunnen worden toegevoegd, zoals bijvoorbeeld in figuur 6.

vragen De werkwijze levend rekenen roept in het begin veel vragen op bij leraren. We noemen er een aantal: – In mijn groep doen zich geen aanleidingen voor. – Ik heb geen ideeën wat ik kan doen. – Ik heb te grote niveauverschillen in mijn groep. – Ik kan mijn methode niet loslaten. – Ik ben bang dat ik verdwaal (het overzicht kwijtraak). – Ik ben bang didactische fouten te maken. – Ik kan zelf niet goed rekenen. – Ik kan niet vaststellen of kinderen vorderingen maken. Het zijn allemaal vragen naar professionalisering op rekengebied. De twintig voorbeelden, de beschrijving van de achtergronden en de aanwijzingen hoe te beginnen in klas en school uit het boek ‘Levend rekenen, da’s pas realistisch’ (te bestellen via www.freinet.nl) vormen een goede inspiratiebron. De beste en ook mooiste mogelijkheid tot professionalisering moet je verwachten van jezelf en collega’s die dit rekenen interessant (gaan) vinden. Samen werken aan mooie voorbeelden, nadenken over oplossingen en ontwerpen, reflecteren op eigen en andermans praktijk. Maar hoe doe je dat?

www.rekenhoek.nl We geven een voorbeeld van een werkvorm om deze collegiale consultatie te realiseren. We bedachten met NetwerkSOVO1 een digitale rekenhoek (www.rekenhoek.nl), waar ieder die deelneemt interessante rekenontdekkingen, voorbeelden, artikelen en tips in kan plaatsen. Het werkstuk over knuffels, een beschrijving van het tasjesproject, maar ook een werkblad over klokkijken of een mooie powerpoint-presentatie over een toversom. Er zijn inmiddels al veel werkstukken en activiteiten geplaatst door deelnemers aan dit project. Kleine groepjes rekenhoekwerkers (vaak werkend binnen een bepaalde regio) bekijken deze rekenactiviteiten en hechten er kenmerken aan. Voor welke groep is deze activiteit geschikt? Welk soort materiaal is het? Waar past het op de leerlijn? Wat is de wiskundige inhoud? Telkens kan er gekozen worden uit een serie voorbeelden, soms moeten vakjes zelf ingevuld worden. Bijvoorbeeld: welke trefwoorden (uit de wereldoriëntatie) passen bij deze activiteit (fig.7). Het resultaat: 1 Plaats voor je eigen goede voorbeelden. 2 Nadenken over voorbeelden, achtergronden en dat verrijkt de eigen expertise. 3 Netwerk van deskundigen waar je op terug kunt vallen, in elke groep participeert in elk geval een expert (pabo-docent).

93


4

Er ontstaat een digitaal reken-bronnenboek dat www.rekenhoek.nl heet, en dat geraadpleegd kan worden door elke leraar of student. Vooral om zich door de ideeën en voorbeelden te laten inspireren.

figuur 7: leraren uit de werkgroepen bekijken labels van elkaar, geven elkaar commentaar, via de site, maar ze ontmoeten elkaar ook echt op werkgroepbijeenkomsten

Verschillende zoekmachines helpen om bij de juiste informatie te komen. De leraren kunnen niet alleen als consument, maar ook als actieve producent participeren en leren. De rekenhoek is altijd op zoek naar serieuze belangstellenden. Ze kunnen zich melden via [email protected]. Deelname aan dit NetwerkSOVOproject kost niets … (als subsidies het toelaten, levert het misschien nog meer op dan alleen expertise).

Nog meer vragen ... We hebben hoge verwachtingen van ontwikkelingen, die landelijk in het rekenwiskundeonderwijs zichtbaar worden. De aandacht voor leerlijnen, de TAL-brochures, de cursussen rekencoördinator, reken(net)werkgroepen ... ze bieden leraren mogelijkheden tot professionalisering, die noodzakelijk is wanneer je verantwoord buiten het methodeboekje wilt werken. noten 1

94

NetwerkSOVO is de organisatie voor de traditionele vernieuwingscholen (zie www.netwerksovo.nl)

Reken-wiskundeonderwijs: prachtig en prikkelend

Recommend Documents