Primitieven en Riemann-integralen van reëelwaardige functies Het begrip primitieve van een ℝ – ℝ functie Stel: f(x) reëelwaardige functie, met definitie gebied = interval I Def: F(x) is primitieve functie van f(x) over I <=> F(x) is afleidbaar (en continu) over I.
DFx= OPM:
dFx =f x, ∀ x∈I dx
1) (uitbreiding) ... over I \ P <=> verzameling van x-waarden waarover bv f(x) niet gedef. is. 2) Niet elke functie f(x) bezit een primitieve functie Voldoende voorwaarde: Elke continue functie f(x) bezit een primitieve functie (zonder bewijs) => Bezit de functie f(x) een primitieve functie over I dan is f(x) integreerbaar over I OPM:
Een integreerbare functie bezit oneindig veel primitieve functies.
Bewijs: Stel F1(x) & F2(x) zijn primitieve functies van f(x) over I. => F1(x) & F2(x) zijn afleidbaar (=> ook continu) => DF1(x) = DF2(x) = f(x), ∀ x ∈ I => DF1(x) – DF2(x) = 0 afleidbaar => D(F1(x) – F2(x)) = 0 => F2(x) – F1(x) = C, ∀ C ∈ ℝ => F2(x) = F1(x) + C Stel Verzameling van alle primitieve functies van f(x) over I. = onbepaalde integraal van f(x) Notatie
∫ f x.dx=FxC
OPM
f x=Df x=
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
dFx d FxC = dx dx d = ∫ f x.dx=f x dx
(1/31)
Basisintegralen x n1 C n1
–
∫ x n .dx=
–
=ln∣x∣C ∫ dx x
– – – –
(n ∈ ℝ, n ≠ -1)
ax ∫ a .dx= ln a C ∫ sin x.dx=−cos xC x
– – –
∣
∣ 2x∣C
ln tg
∫ cotg x . dx=ln∣sin x∣C ∫ tg x .dx=−ln∣cos x∣C=ln∣sec x∣C 1 ∫ sec² x . dx=∫ cos²x .dx=tg xC 1 . dx=−cotg xC ∫ csc² x . dx=∫ sin²x
–
dx 1 x = Arctg C ∫ x²a² a a
–
dx 1 x−a = ln C ∫ x²−a² 2a xa
–
∫
– – – – –
∣
x Pi ln tg C 2 4
dx =ln∣csc x−cotg x∣C ∫ csc x.dx=∫ sin x =
–
∫ ex .dx=ex C
∫ cos x.dx=sin xC dx =ln∣sec xtg x∣C ∫ sec x.dx=∫ cos x =
–
->
∣ ∣
dx x =arcsin C a a²−x² dx ∫ x²±a² =ln x x²±a²C ∫ sinh x .dx=cosh xC ∫ cosh x .dx=sinh xC 1 ∫ cosh²x . dx=tgh xC 1 . dx=−coth xC ∫ sinh²x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(2/31)
Eigenschappen van primitieven
∫ c1 . f xc2 .g x.dx=c1 .∫ f x.dxc2 .∫ g x. dx Integratietechnieken 1) Substitutie
∫ f xDx. dx=∫ f x
d x .dx=∫ f t. dt dx x=t
substitutie Er geldt:
d ∫ f t. dt dt d dx = ∫ f x.Dx.dx. dt dt dx = f x. D x. dx . dt 1 f x. Dx.dx . = dt dx 1 f x. Dx.dx . = dt dx 1 =f x=f t = f x. D x. D x met t=x
f t=
=> de beide leden hebben dezelfde afgeleide Gebruik:
a)
∫
Dx dt .dx=∫ =ln∣t∣C=ln∣x∣C x t met t=x
Dx= vb.
d x dx
sin x Dcos x . dx=−∫ . dx ∫ tg x .dx=∫ cos x cos x dcos x . dx cos x dt = −∫ =−ln∣t∣C t = −ln∣cos x∣C = Stel
cosx=t
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
−∫
(3/31)
b) kies zelf
∣cos1 x∣C
=
ln
=
ln∣sec x∣C
t=x =>
dt=x'.dx
1
vb.
− xdx 1 dt 1 = ∫ = ∫ t 2 dt ∫ x²4 2 t 2 1
1 t2 . C = 2 1 2 = tC = x²4C 1)
x²4=t 2 xdx=dt 1 => xdx= . dt 2 =>
2)
x²4=t² 2 xdx=2 tdt xdx=tdt
=> =>
(*) =
=∫ dt=tC= x²4C ∫ tdt t
OPM: Goniometrische substitutie
1)
∫ f x , k²−x²dx
domein: x = k.sin t of x = cos t Gebaseerd op sin²t + cos²t = 1
2)
∫ f x , x²−k²dx dan:
vb.
x = k . tg t of x = k sinh t
∫ a²−x² dx=?= a²−a²sin²t . a.cos t .dt
x=a sin t = a²∫ 1−sin²t cos t dt a² = a²∫ cos²t dt= ∫ cos 2 t1. dt 2 met
=>
dx=a cos t dt
Nu is:
cos 2 t=2cos²t−1 1 => cos²t= cos 2 t1 2
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(4/31)
= Stel
a² [∫ cos 2 t dt∫ dt ] 2
2 t=u 1 dt= du 2 = = =
= =
[ [
]
a² 1 ∫ cos u dut 2 2 a² 1 sin 2 tt C 2 2 a² a²t 2sin t cos t C 4 2 cos t= 1−sin²t met a sin t=x x of t=arcsin a a² x² a² x x 1− . arcsin C 2 a² 2 a x a² x a²−x² . arcsin C 2 2 a
]
2) Partiële integratie (PI)
∫ ux. v 'x.dx=ux. v x−∫ v x. u 'x.dx of
∫ u . dv=u.v−∫ v .d u & v: constant en afleidbaar
Beschouw:
D[u.v ]=Du. vu.D v u.D v =Du.v −v.Du dv d u.v du => u . = −v . dx dx dx => ∫ u .dv=∫ d u.v−∫ v .du => ∫ u . dv=u.v−∫ v . du =>
Toepassingsvoorbeeld: Interatieformule:
∫ cosn x dx=∫ cosn−1 x .cos x . dx = ∫ cosn−1 x .d sin x = cosn−1 x .sin x−∫ sin x .d cos n−1 x = cosn−1 x . sin x−∫ sin x .n−1. cosn−2 x . sin x . dx
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(5/31)
= =
cosn−1 x .sin xn−1.∫ 1−cos² x.cosn−2 x .dx cos
Termen
n−1
x .sin xn−1.∫ cos
n−2
x .dx−n−1.∫ cos x .dx n
∫ cosn x in zelfde lid. ∫ cosn x dxn−1.∫ cosn x dx
cosn−1 x . sin xn−1.∫ cosn−2 x .dx
=
n .∫ cosn x dx n−1 cos x . sin x n−1 = .∫ cosn−2 x . dx n n =>
∫ cosn x dx=cosn−1 x . sin xn−1.∫ cosn−2 x . dx ∫ eax . V n x.dx=eax . V n 'xC
OPM: vb.
∫ eax .x²−2.dx=ex .ax²bxcC
=>
eax .x²−2=ex .ax²bxcex .2 axb x²−2=ax²bxc2 axb = ax²2 ab. xbc a=1 2 ab=0 => bc=−2 =>
b=−2 c=0
ex .x²−2 xC
= 3) Splitsen in partieel breuken Stel
t x r x =q x nx nx met gr r(x) < gr n(x) (gr t(x) ≥ gr n(x))
Beschouw 1
i
1
j
nx=x−a1 .... .x−ai .x²p1 xq1 .... .x²p j xq j OPM:
i = multipliciteit van x – ai i = multipliciteit van x² + pjx + qj i
x−ai
Met een factor
correspondeert met een som van
partieel breuken:
A1 1
x−a1
A2 2
x−a2
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
...
Ai i
x−ai
(6/31)
Met een factor
j
x²p j xq j
correspondeert met een som
van partieel breuken:
(met pj² – 4qj < 0)
P xQ P1 xQ1 P2 xQ2 ... x²−p j xq j x²−p j xq j x²−p j xq j j
j
2
j
Via splitsen in partieel breuken bekomt men bij integratie 4 types integralen, nl: 1)
dx ∫ x−a
3)
∫
axb.dx x²pxq
2)
dx ∫ x−a n
4)
∫ x²pxqn
axb.dx
(n>1)
Type 1
dx =∫ ∫ x−a
dx−a dt =∫ x−a t = ln∣t∣C = ln∣x−a∣C
Type 2
dx−a
dx dt = =∫ n ∫ x−a n ∫ n x−a t x-a = t
t−n1 ∫ t .dt= −n1 C 1 C = − n−1. t n−1 1 C = − n−1.x−an−1 =
−n
Type 3
∫
axb.dx dx²pxq dx =k .∫ l .∫ x²pxq x²pxq x²pxq
Stel
axbdx=k.dx²pxql.dx axbdx=k.2 xpdxl.dx axb=2 kxkpl of
2 k=a
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
k=
a 2 (7/31)
l=b−
kpl=b
=
k . ln x²pxql .∫
ap 2
dx =...=...l .∫ x²pxq
p d x 2
2
x
p s2 2
p² p² q− 4 4 2 2 p p x q− 2 4
x²pxq=x²px
Stel
=
2
=
x
p s² 2 met
=
...l .∫
s= q−
p² 4
dt 1 =k . lnx²pxql . . Arctg t²s² s
x s
p 2
C
Type 4 - EX
axb.dx
∫ x²pxqn
n1, p²−4q0
axb=k .Dx²pxql
Stel
d x²pxq dx l .∫ n x²pxq x²pxqn dz k ... = k . ∫ n ...=− n−1 z n−1. z k dx l .∫ = − n−1 n−1.x²pxq x²pxqn =
k .∫
2
Stel
=
p x²pxq=...= x s2 2
...l .∫
p d x 2
2
[ x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
p s2 ] 2
n
=
...l .
met
s= q−
p² 4
dt t²s²n
(8/31)
Er geldt:
dt
t²s²
∫ t²s²n−1 =∫ t²s²n
t² dt .dts².∫ ∫ t²s² n t²s²n
=
I=∫
Nu is:
t.t.dt =? t²s²n u=t
Stel
dv=
du=dt t.dt n t²s²
v=∫
t.dt n t²s²
d t²s² 1 1 dz .∫ = .∫ n n 2 2 t²s² z 1 1 = − . 2 n−1. zn−1 1 1 = − . 2 n−1.t²s²n−1 =
... PI =
−
t 1 dt ∫ n−1 2.n−1 t²s²n−1 2.n−1.t²s²
Substitutie van I in (*) =>
dt 1 =− ∫ t²s² n−1 2n−1t²s²n−1 +
=>
s² .∫
1 dt dt .∫ s².∫ n−1 2n−1 t²s² t²s²n
dt t 1 dt = 1− .∫ n n−1 2 n−2 t²s² s².2.n−1.t²s² t²s²n−1 1−
=>
1 2 n−3 = 2 n−2 s².2 n−2
dt t 1 2 n−3 dt = . .∫ ∫ t²s² n n−1 s² 2 n−2 2.s²3n−1.t²s² t²s²n−1
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(9/31)
Riemann integraal y
(begrensd in [a,b])
x
Stel
a < b Verdeel [a,b] in n deelintervallen m.b.v. a = x0, x1, ..., xi-1,xi, ..., b = xn n
Stel
n
Sn =∑ f i . x i =∑ opp i=1
i=1
-> Riemann-som
n >> => rij van Riemann-sommen -> eventueel convergeren eindige waarde => f(x) is (Riemann-integererbaar over [a,b]) Notatie:
b
a∫
f x.dx= lim Sn =S -> Eindige waarde n ∞
-> bepaalde integraal OPM:
1) Is a > b => 2) Is a = b =>
b
a∫
b
a∫
3) Is c ∈ [a,b] =>
a
f xdx=−b∫ f xdx
f xdx=0 b
a∫
c
b
f xdx=a∫ f xdxc∫ f xdx
Meetkundige interpretatie Stel f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b] =>
b
a∫
f xdx = opp. Begrensd door y = f(x), x-as
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
& de verticalen x = a & x = b.
(10/31)
y
x
Middelwaarde stelling Stel
f(x) continu over [a,b]: ∃ c ∈ [a,b] b
a∫
=>
f xdx=b−a. f c
opp ///
opp \\\
Verband tussen bepaalde & onbepaalde integralen Stelling
Dan:
f(x) is continu over [a,b] & stel k ∈ [a,b] met k wilekeurige, vast x
H : x k∫ f tdt=Hx is een primitieve van f(x) over [a,b]
Te bewijzen:
Bewijs:
DHx= DHx=
dHx =f x dx
Hx x−Hx dHx = lim dx x x 0 x x
=
lim
∫
k
x
x 0 k
=
lim
∫
x
x x
f tdt k∫
x x
lim x 0
=
∀ c∈[ x , x x ] :
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
f tdt
x
met k ∈ [x,x+x]
x x−xf c = lim f c x x 0 x 0
x x
∫
x
∫
x
f tdt
x
x 0
=
x
f tdt−k∫ f tdt
lim
f tdt=x x−x. f c=f x
(11/31)
Gevolg:
=> Bewijs:
Is f(x) continu over [a,b] & is F(x) een primitieve functie van f(x) over [a,b] b
a∫
f xdx=Fb−Fa
Er geldt F(x) is primitieve functie van f(x) over [a,b] x
Hx= k∫ f tdt is primitieve functie van f(x)
over [a,b]
Hx=FxC
=>
H(x) & F(x) beide primitieven zijn op een constante na gelijk. =>
b
a∫
b
= = vb.
k
b
f xdx=a∫ f tdt=a∫ f tdtk∫ f tdt
2
∫
0
b
a
k∫
f tdt− k∫ f tdt=Hb−Ha FbC−FaC=Fb−Fa
[
]
2
x4 24 04 x 1dx=?= x = 2− 0 4 4 4 0 3
Er geldt:
2
Fx=0∫
4
x x 1dx= x 4 3
Oneigelijke integraal Bepaalde integraal:
∫ f xdx
met a & b: reële getallen f(x): begrensd is over [a,b] als f(x) continu is over [a,b]
b
a∫
c1
c2
c3
cb
f xdx=a∫ f tdtc ∫ f tdtc ∫ f tdtc ∫ f tdt 1
2
3
=> oneigenlijke integralen van de 1ste soort. (a ∨ b ∨ beiden: oneigenlijk ±∞ vb.
∞
1∫
dx x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(12/31)
=> oneigenlijke integralen van de 2de soort. (f(x) niet begrensd in [a,b]) vb.
2
0∫
dx x
=> oneigenlijke integralen van de 3de soort (combinatie van de 1ste en de 3de soort) vb.
∞
∫
0
dx x
Bewerking oneigenlijke integraal 1ste soort ∞
∫
a
f xdx= lim
s ∞
b
∫
−∞
s
f xdx f xdx
c
∞
f xdx=−∞∫ f xdxc∫ c
s∫ s −∞
lim
= OPM:
b
∫ s −∞
f xdx= lim
∞
∫
−∞
s
∫
a
f xdx t
f xdx c∫ t ∞
f xdx lim
-> op voorwaarde dat limiet bestaat! vb.
∞
1∫
s dx dx = lim ∫ n n x s ∞ 1 x
−n =∫ x . dx ∫ dx n x
Er geldt:
als n > 1
x−n1 1 = =− −n1 n−1. x n−1 als n = 1 = ln∣x∣ 1) n > 1 = = =
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
[ [
]
s
1 s∞ n−1. x n−1 1 1 1 lim − n−1 n−1 s ∞ n−1.s 1 convergent n−1 lim −
] (13/31)
2) n = 1 s
lim [ ln∣x∣]1
=
s ∞
lim [ ln∣s∣−ln∣1∣] = lim ln∣s∣=∞
=
s ∞
s ∞
divergent, integraal bestaat niet, het is geen eindig getal. Bewerking oneigenlijke integraal 2de soort Stel
f(x) is niet begrensd in a, wel in ]a,b] b
b
a∫
Stel
f x. dx=lim a∫ f x.dx 0
f(x) is niet begrensd in b, wel in [a,b[ b
b−
a∫
Stel
f x.dx=lim a∫ 0
f x.dx
f(x) is niet begrensd in [a,b], niet in c ∈ ]a,b[ b
c
a∫
b
f x.dx=a∫ f x.dxc∫ f x.dx c−
=
lim a∫ 0
0
vb.
1
−1∫
0 dx 1 dx dx =−1∫ 0∫ x² x² x² dx 1 dx lim ∫ = lim −1∫ x² 0 x² 0
Nu is
b
f x.dxlim c∫ f x.dx
dx
1
∫ x² =− x
[ ] [ ] [ ] [ 1
=
lim − 0
1 1 lim − x 0 x
1
1
1 1 1 = lim − lim −1 −1 0 0
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
]
1
(14/31)
Integratie over een vlak gebied: dubbelintegraal Def: z = f(x,y) z
A ⊆ def(f) ⊆ ℝ² y
x y
n
Beschouw
m
∑ ∑ f i , j . A ij i=1 j=1
met f i , j =0, ∀ A ij : A ij∩A=∅ -> Riemann-som Stel
n >> m >>
=> Rij van Riemann-sommen -> eventueel convergeren -> eindige waarde => f(x,y) is integreerbaar over A. n
Notatie
OPM
=>
m
∬ f x , y.dA= nlim ∑ ∑ f i , j . A ij ∞ A
m ∞
i=1 j=1
Voldoende voorwaarde voor integreerbaarheid over A: f(x,y) is continu & begrensd over A.
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(15/31)
Dubbelinteralen in carthesiaanse coördinaten
∬ f x , y.dA A
Stel
-> berekening: 2 opeenvolgende enkelvoudige integralen.
A = enkelvoudig gebied t.o.v. x-as of A = {(x,y) a≤x≤b & f1(x)≤y≤f2(x)} y
of
A = enkelvoudig gebied t.o.v. y-as of A = {(x,y) g1(y)≤x≤g1(y) & c≤y≤d} y
n
Nu is
m
∬ f x , y.dA= nlim ∑ ∑ f i , j . A ij ∞ A
m ∞
i=1 j=1 n
m
∑ ∑ f i , j . x i . y j n ∞
= lim
m ∞
Stel
i=1 j=1
A enkelvoudig gebied t.o.v. x-as y
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(16/31)
Houdt nu x constant & beschouw n
lim
∑
m
lim
∑ f i , j . y j
n ∞ i=1 m ∞ j=1
Stel
. x i =a∫
f 2 x
∫
f x , ydy dx
f 1 x
A enkelvoudig gebied t.o.v. Y-as d
g 2 y
∬ f x , ydA=c∫ ∫ A
OPM
b
f x , ydxdy
g 1 y
1) Is A enkelvoudig gebied t.o.v. x-as & t.o.v. y-as y
=> A is rechthoekig d
b
d
b
∬ f x , ydA=a∫ ∫ f x , ydy dx=c∫ ∫ f x , y dx dy
=>
A
c
a
Bijzonder geval Is
f x , y=x. y
=>
∬ f x , ydA=a∫
b
A
d
xdx . c∫ ydy
2) dA = dxdy 3)
∬ r.f x , ys.g x , ydA=r .∬ f x , ydAs.∬ g x , ydA A
4)
A
A=A 1∪A 2
met
A
A 1∩A 2=∅
∬ f x , ydA=∬ f x , ydA∬ f x , ydA
=>
A
Gevolg: y
A1
A2
Integratie over willekeurig gebied A
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(17/31)
=>
∬ f x , y dA=∬ f x , ydA∬ f x , ydA∬ f x , ydA A
A1
=>
A2
A=A 1∪A 2 ∪A 3
met
A3
A i ∩A j =∅ ∀ i≠ j
vb. Geg. z = f(x,y) = xy Gevr. (Dubbel)integraal over A, berensd door x-as (y=0) & x=2 & y = 2x y
Opl.
2
2x
0
0
∬ xydA=∫ ∫ xy.dydx A
-> enkelvoudig gebied t.o.v. x-as. = =
2
2x
0 2
0
∫ x ∫ y.dydx ∫ x 0 2
=
[ ] y² 2
2x
dx
0 2
∫ x 2 x²dx=2∫ x 3 dx 0
0
[ ]
4 0
=
x 2 4
0
4
=2.
2 =8 4
Dubbelinteralen in poolcoördinaten Er geldt:
x=r.cos y=r.sin
∬ f x , ydA A
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(18/31)
Gevr: dA = ?
∬ f x , y dA=r ∬ f r.cos , r.sin dr.d A
A
vb.
1)
∬ e−x²y² dxdy A
A = '1ste kwadrant' Stel
x=r.cos y=r.sin
=> x²+y² = r²
dxdy = rdrd y
A: x: 0 -> +∞ y: 0 -> +∞ A': r: 0 -> +∞ : 0 -> /2
x
∬ e−x²y² dxdy=∬ e−r² rdrd A
A
= =
2
∞
0∫
d . 0∫
∫ 0
d.
2
2 0
e−r² . r.dr
∞ 1 . 0∫ e−r² .dr² 2
∞ 1 . [−e−r² ]0 2 1 = . .1= 2 2 4
=
vb.
2)
∬ A
[]
.
1 dA x²y²
A gebied:
C1 : x² y−1²=1 C1 M1 0,1,R =1 C2 : x² y−2²=4 C2 M2 0,2,R =2 R 1 : y=x , R 2 : y=2 x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(19/31)
y
x
Overgang naar Poolcoördinaten
c1 : r².cos² r.sin −1²=1 r².cos² r².sin² −2 r.sin 1=1 r²=2 r.sin => r=2sin c2 : r².cos² r.sin −2²=4 r².cos² r².sin² −4 r.sin 4=4 r²=4 r.sin => r=4sin R 1 : = =Arctg 1 4 R 2 : =Arctg 2
∬ A
1 1 dA=∬ . r . drd x²y² A' r
Arctg 2 r=4 sin
= =
4
∫
dr d
Arctg 2
∫
4
4sin −2sin d
Arctg 2
=
∫
r=2 sin
2 4
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
∫
Arctg 2
sin d =2 [−cos ] 4
(20/31)
Integratie over een ruimtelijk gebied: drievoudige integraal Def: f(x,y,z) & V ⊆ def(f) ⊆ ℝ³ z
y
x
met Volume Vijk = xiyizi n
Stel
m
p
∑ ∑ ∑ f i ,i ,I . V ijk i=1 j=1 k=1
-> Riemann-som met
f i ,i ,I =0 ,
n >> m >> p >>
∀ V ijk : V ijk ∩V=∅
-> laten groter worden -> rij van Riemann-sommen -> eventueel convergeren -> naar eindige waarde => als dit geldig is => f(x,y,z) is integreerbaar over V
Notatie:
∭ f x , y , zdV= lim
n
m
p
∑ ∑ ∑ f i ,i ,I . V ijk
n ∞ i=1 j=1 k=1 m ∞ p ∞
V
-> integrandum of integrant -> dV: elementair volume element -> integratiegebied (-volume) OPM:
Voldoende voorwaarde voor integreerbaarheid van f over V: f is continu & begrensd over V.
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(21/31)
Drievoudige integraal in carthesische coördinaten -> Berekening: opeenvolging van een enkelvoudige integraal & dubbel integraal Stel
V = enkelvoudig gebied t.o.v. xy-vlak = {(x,y,z)|(x,y) ∈ Vxy & f1(x,y) ≤ z ≤ f2(x,y)} -> projectie van V op xy-vlak z
y
x
* Houdt x & y constant en sommeer over de balkjes // z-as en k >> (resp
lim k ∞
)
* Laat x & y variëren zodat grondvlak van balkje het volledige oppervlakte Vxy doorloopt. z=f 2 x , y
=>
∭ f x , y , zdV=∬ ∫ V
OPM:
V xy
f x , y , zdzdV xy
z=f 1 x , y
Analoog voor enkelvoudige gebieden t.o.v.
Eigenschappen:
xz-vlak yz-vlak
1) Is V enkelvoudig t.o.v. de 3 coördinaat vlakken
∭ ... V
OPM:
is op 3 manieren te berekenen.
Is het gebied V bolvormig & is f(x,y,z) = (x).(y).(z) =>
∭ ... V
= te herleiden tot product
van 3 enkelvoudige integralen.
2) dV = dxdydz 3) Lineariteitseigenschap 4) Willekeurig integratiegebied => opsplitsing in som van enkelvoudige integratie gebieden. Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(22/31)
Drievoudige integraal in cilindercoördinaten z
∭ f x , y , zdV V
dV = ?
y
x=r cos y=r sin z=z =>
dV=r.dr.d .dz
x
∭ f r.cos , r.sin , z. r.dr.d .dz V'
vb.
Zie nota's
OPM:
Volume van een omwentelingslichaam z
y
x
V=∭ dV=∭ r.dr.d . dx -> cilinder coördinaten V
V
=2 x=b r=f x
∫ ∫ ∫
=
=0 x=a =2 x=b
∫ ∫
=
=0
x=a b
rdr dxd
r=0
[ ] 1 r² 2
r=f x
dxd
r=0
1 ∫ [ f x ] ²dx 2a
=
2
=
∫ y²dx
b a
b
Volume:
V=∫ y² dx a
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(23/31)
Drievoudige integraal in bolcoördinaten z
∭ f x , y , zdV V
dV = ?
x=r cos sin y=r sin sin z=r cos
y
x
=>
dV=r.d . r .sin . d .dr dV=r².sin .dr .d .d
∭ f x , y , zdV V
∭ f r.cos , sin , r.sin .sin , r.cos . r².sin .dr .d .d
=
V
zie nota's
vb.
Algemene coördinatentransformaties in 3-voudige integralen x=1 u , v , w y=2 u , v , w z=3 u , v , w
Stel
∭ f x , y , zdV V
dV=dxdydz =
∣
∭ f 1 ,2 , 3 V
met
vb.
∣
∣
1 ,2 ,3 u , v , w
= absolute waarde van de Jacobiaan
∣ ∣
1 u 1 ,2 ,3 2 = u , v , w u 3 u
zie nota's
∣
1 ,2 ,3 dudvdw u , v , w
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
1 v 2 v 3 v
1 w 2 w 3 w
(24/31)
Integratie over een kromme: Lijnintegraal K: ruimte kromme -> begrensd door P&Q z
y
x
f(x,y,z): gedefinieerd in elk punt van K n
Beschouw:
∑ f i , i , i . si i=1
-> Riemann-som voor f over K (tss P&Q) n >> -> rij R-sommen -> eventueel convergeren -> eindige waarde -> Ja f is integreerbaar over K Lijn-integraal van f over K (tussen P&Q) n
∫ f x , y , zds=lim ∑ f i ,i ,i . si K
i=1
ds -> elementair boogelement Berekening van lijnintegraal
si ≈∣P i−1 P i∣ = x i −x i−1 ² y i −y i−1 ²z i −z i−1 ² = x i ² y i ² zi ² ↓
lim n ∞
ds= dx²dy²dz²
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(*)
(25/31)
Stel
K gegeven in parameter gedaante
x=x t y=y t z=zt
met tQ ≤ t ≤ tP
dx .dt=x 't.dt dt dy dy= . dt=y 't. dt dt dz dz= .dt=z 't.dt dt dx=
Nu is
-> in (*)
ds= x 't² y 't²z 't².dt tQ
=>
∫ f x , y , zds=∫ f x t, y t, zt ... dt K
OPM:
tP
1) K is lijnstuk op x-as tussen P(a,0,0) & Q(b,0,0) => K:
x = t y = 0 z = 0
=> x'(t)=1, y'(t)=0, z'(t)=0 =>
b
b
a
a
∫ f x , y , zds=∫ f t ,0,0dt=∫ f tdt K
∮ f x , y , zds
2) K is gelsoten kromme
K
3) K is vlakke kromme (vb. in xy-vlak) z
(i)
in carthesische vergelijking
K
y
y = y(x) z = 0
=
x
(ii)
2
dy ds= dx ²dy²= 1 dx dx 1y 'x2 dx
pool vergelijking
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(26/31)
K
r = r() z = 0
s≈ r ² r ² lim ↓ n ∞
ds= r.d ²dr ²
[
]
dr ds= r² d = vb.
2
d 2
r² r ' d
zie nota's
Oppervlakte integralen z
Stel f(x,y,z): gedefinieerd in elk punt van ∑ Verdeel ∑ in n.m deeloppervlakjes ∑ij met oppervlakte Sij Kiespunt y n
m
∑ ∑ f i , i , i . Sij
Beschouw:
x
i , i ,i op ∑ij
i=1 j=1
-> Riemann-som n >> m >>
->
rij R-sommen -> eventueel convergeren -> eindige waarde Ja -> f(x,y,z) is integreerbaar over ∑
Notatie:
∬ f x , y , z.dS= lim ∑
n
m
∑ ∑ f i , i ,i . Sij
n ∞ i=1 j=1 m ∞
= oppervlakte integraal van f over ∑ Voldoende voorwaarde: f is continu & begrensd over ∑ Berekening van een oppervlakte integraal:
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(27/31)
∬ f x , y , z.dS
-> te herleiden tot berekening van een
∑
dubbele integraal over een VLAK gebied.
1) Stel: ∑ z = z(x,y)
-> met carthesiaanse vergelijking
z
∑: z = z(x,y)
y
x
Er geldt: Nu is:
Sij≈ ij cos ij =
a b
b=
=>
a cos ij
-> oppervlakte verhouden zich op dezelfde wijze =>
Verder is:
ij=
xi . yi cos ij
. 1z=±∣n ∣.∣1z∣.cos ij n = 1
=>
cos ij=
. 1z ±n ∣ ∣n
z z , ,−1 x y
met
n
=>
. 1z=1 n
=>
cos ij =
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
> 0
&
1z 0, 0, 1
1 ∣ ∣n
(28/31)
=>
Besluit:
cos ij =
Sij≈ ij =
1
2
2
z z 1 x y
2
2
z z 1. x i . y i x y
lim
n ∞ m ∞
dS=
=>
2
∬ f x , y , z. dS=∬ f x , y , zx , y. ∑
OPM:
2
z z 1.dx.dy x y
∑xy
2
2
z z 1 .dx.dy x y
1) Stel ∑ ⊂ xy-vlak => ∑: z=0 (=>
=>
z z =0 , =0 ) x y
∬ f x , y , z. dS=∬ f x , y , zx , y. dx.dy ∑
∑xy
-> dubbel integraal
2) ∑ gesloten oppervlakte:
∯ f x , y , z.dS ∑
vb.
-> zie nota's
2) Stel: z
∑ x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)
-> met parametervoorstelling
y
x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(29/31)
PQ= r = r u u , v v−r u , v -> als Q oneindig dicht naar P nadert
d r = r ud u , vd v−r u , v
-> gelegen in het raakvlak in P.
d r =
Nu is:
r r .du .dv u v
-> onbonden in 2 componenten -> component rakend aan een u-lijn (v=cte) -> component rakend aan een v-lijn (u=cte) Er geldt:
= n
r r .du x .dv u v
het oppervlak gevormd door de 2 componenten is:
∣
∣
r r . du x .dv u v r r = x .du .dv u v
opp=
∣
∣
= dS -> infinitesimaal klein oppervlakte element in P =>
∣
r
r
∣
∬ f x , y , z. dS=∬ f x u , v, y u , v, zu , v. u x v .du .dv ∑
Guv
Bijzondere gevallen: 1) Cilindrisch oppervlak: 2) Bol oppervlak
dS = Rddz dS = R2sindd
Toepassing: z
Geg:
vlakke kromme K: y = f(x) tss a x b
∑
x = x y = f(x).cos z = f(x).sin -> parameters x &
y
x
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(30/31)
Gevr:
Opl:
∬ dS= ∬ ∑
∑x ,
∣
∣
r r x . dxd x
r =1, f 'x.cos , f 'x.sin x r =0,−f x. sin , f x.cos
∣
∣
r r 2 x =f x. 1[f 'x] x 2 b
Dus:
∬ dS=∫ ∫ f x. 1[f 'x]2 .dxd ∑
0
a
b
∬ dS=2 ∫ f x. 1[f 'x]2 . dx ∑
a
b
S=2 ∫ f x. ds a
Wiskunde – Analyse – Hoofdstuk 3
(31/31)
