Goniometrische functies

Goniometrische functies


gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat

Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het oorspronkelijk om het meten van hoeken (in het platte vlak) ging. Tegenwoordig gaat het bij goniometrie om functies van R naar R. Maar bij het werken met die functies moet regelmatig worden teruggegrepen op hun meetkundige afkomst. In dit document behandelen we het onderwerp goniometrie. Het betreft hier de begrippen sinus, cosinus en tangens, meestal afgekort tot sin, cos en tan. De volgorde van bespreken is als volgt. Eerst behandelen we de basisbegrippen hoek (in het platte vlak) en hoekgrootte in graden en radialen. Daarna komt de sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en 2π radialen aan de orde. We beschikken dan over voldoende gereedschap om ons doel te kunnen bereiken: de functies sin, cos en tan van R naar R. 1

Gestrekte hoek

Rechte hoek

Hoek en hoekgrootte

De basis van de goniometrie is de hoek in het platte vlak. Om het begrip hoekgrootte in graden te definiëren, bekijken we eerst een bijzondere hoek: de gestrekte hoek, waarbij de twee halve rechte lijnen in elkaars verlengde liggen. De grootte hiervan is per definitie vastgesteld op 180 graden. Door deze hoek in even grote delen op te delen, ontstaan andere hoeken. Zo geeft opdelen in twee even grote delen twee rechte hoeken, elk van 90 graden. Het opdelen kan bijvoorbeeld gedaan worden met behulp van een gradenboog. Zie figuur 1. 90° 120°

M FIGUUR 1

Hoekgrootte in graden

M

180°

45°

M

De gestrekte hoek met een grootte van 180 graden, twee rechte hoeken elk met een grootte van 90 graden en de gradenboog

Op de gradenboog kan de gestrekte hoek opgedeeld worden in 180 hoekjes van 1 graad. De grootte van een hoek in graden wordt nu bepaald door het aantal malen dat er een hoek van 1 graad inpast. In het vervolg zullen we niet de graad, maar de radiaal als eenheid voor de hoekgrootte gebruiken. We gebruiken die in de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R.

1


Om tot de radiaal als maat voor de hoekgrootte te komen, gaan we als volgt te werk. Er wordt een cirkel met straal 1 getekend, de eenheidscirkel, waarbij het middelpunt met het hoekpunt samenvalt. De lengte van de door de hoek uitgesneden cirkelboog is een maat voor de grootte van de hoek. Preciezer gezegd: het reële getal dat de lengte van die eenheidscirkelboog tussen de benen van de hoek aangeeft, is de grootte van de hoek. De eenheid is de radiaal, afgekort tot rad, maar wordt vaak weggelaten. Om de grootte van een hoek in radialen te vinden, gebruiken we dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr en van de eenheidscirkel dus 2π ≈ 6,28 (het symbool ≈ staat voor ‘ongeveer gelijk aan’). Zo heeft een gestrekte hoek een grootte van π ≈ 3,14 rad en een rechte hoek een grootte van 12 π ≈ 1,57 rad.

Eenheidscirkel

Radiaal Omtrek van een cirkel

Om een indruk te krijgen van een hoek met een grootte van 1 rad, kunnen we het volgende doen. We nemen een cirkel en een touwtje met een lengte gelijk aan de straal van die cirkel. We krijgen dan een hoek van 1 rad als we dit touwtje langs de cirkelomtrek tussen de benen van de hoek leggen. Trekken we vervolgens het touwtje strak, terwijl we de uiteinden ervan op de cirkelomtrek houden, dan ontstaat een gelijkzijdige driehoek (zie figuur 2). We zien dus dat een hoek van 1 rad net iets kleiner dan een hoek van 60 graden is. In feite is een hoek van 1 rad ongeveer 57,2958 graden.

1

1 1

M 1

Een hoek van 1 rad en een gelijkzijdige driehoek

FIGUUR 2

We kunnen dus, naar analogie met de gradenboog, een ‘radialenboog’ maken: een halve cirkel met straal 1 en langs de cirkelboog een verdeling van 0 t/m π ≈ 3,14. Zie figuur 3. π/2

1,57 2

1 0,5

3

π M FIGUUR 3 Omrekenen van graden en radialen

2

Een hoek van π rad,

M

3,14

M

1 π 2

rad en een ‘radialenboog’

0

Om een hoekgrootte van graden naar radialen om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 graad even groot is als een hoek van π/180 radialen ≈ 0,01745 radialen. Om een hoekgrootte van radialen naar graden om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 radiaal even groot is als een hoek van 180/π graden ≈ 57,2958 graden.


OPGAVE 1

Hoe groot is een hoek van 30 graden in radialen? Hoeveel graden komt overeen met 0,1π rad? En met 2 12 rad? In de volgende tabel staat van een aantal veelvoorkomende hoeken de grootte in graden en radialen. TABEL 1

Een aantal hoeken in graden en radialen

hoekgrootte in graden

hoekgrootte in radialen

0 30 45 60 90

0 π/6 π/4 π/3 π/2

In de praktijk worden de begrippen hoek en hoekgroote niet steeds onderscheiden, maar slordig door elkaar gebruikt. Uit de definitie dat een gestrekte hoek 180 graden of π radialen is, volgt dat de som van de drie hoeken van elke driehoek ook 180 graden of π radialen is, zie figuur 4. C 1

2

A 1

2

FIGUUR 4

2

B

De som van de drie hoeken van een driehoek is 180 graden of π radialen: ∠A = ∠C1, ∠B = ∠C2, ∠A + ∠B + ∠C = ∠C1 + ∠C2 + ∠C = π.

Sinus

In deze paragraaf laten we eerste zien hoe de sinus van een hoek tussen 0 en 2π wordt gedefinieerd. (U hebt misschien geleerd dat de sinus van een hoek gelijk is aan de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde; die definitie is alleen bruikbaar voor hoeken tussen 0 en π/2.) De gang van zaken is als volgt. We kiezen een coördinatenstelsel waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en het eerste been van de hoek met de positieve x-as. We tekenen een cirkel met straal 1, waarvan het middelpunt samenvalt met het hoekpunt van de gegeven hoek. De sinus van de hoek is nu de y-coördinaat van het snijpunt van het andere been met de cirkel. Zie figuur 5 (met ∠(MA, MB) bedoelen we de hoek tussen de lijnstukken MA en MB).

3


y B(xB, yB)

M x

A C(xC, yC)

FIGUUR 5

De definitie van de sinus van een hoek tussen 0 en 2π radialen: sin∠(MA, MB) = yB, sin∠(MA, MC) = yC

Met behulp van deze definitie en wat eenvoudige meetkunde is nu voor een aantal eenvoudige hoeken de sinus te bepalen: TABEL 2

Enige veelvoorkomende hoeken en hun sinus

graden

radialen

sinuswaarde

0 30 45 60 90

0 π/6 π/4 π/3 π/2

0 1/2 √2 / 2 √3 / 2 1

Een gevolg van de gegeven definitie is dat de sinus van een hoek tussen 0 en π positief is, en van een hoek tussen π en 2π negatief. OPGAVE 2

Bepaal met behulp van de definitie en de gegeven sinuswaarden de sinus van 2π/3, 3π/2 en 7π/4. 3

Sinus van een hoek

4

Cosinus en tangens

In de vorige paragraaf is de definitie van de sinus gegeven met behulp van een cirkel met straal 1. Diezelfde methode passen we nu toe om ook de cosinus en tangens te definiëren. We brengen weer een coördinatenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en de positieve x-as met het eerste been. Ook nu tekenen we weer een eenheidscirkel, waarvan het middelpunt met het hoekpunt (en de oorsprong) samenvalt. Het hoekpunt heet weer M, het snijpunt van het tweede been met de cirkel heet B. Verder noemen we weer ∠(MA, MB) = α. Zie figuur 6.


y B(x, y)

α M

FIGUUR 6

A

x

De definities van sin, cos en tan van een hoek met behulp van de eenheidscirkel

In de figuur zijn de coördinaten van B gelijk aan (x, y). Voor de volledigheid is de definitie van de sinus weer herhaald. sinα = y cosα = x tanα = y/x = sinα/cosα

Sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en 2π radialen

met de gebruikelijke uitzonderingen als de noemer 0 wordt. De benaderde waarden van sinus, cosinus en tangens kunt u bijvoorbeeld met behulp van een rekenmachine vinden. Uit deze definities volgen een aantal verbanden die voor alle hoeken gelden. sin2α + cos2α = 1 cosα = sin(π/2 – α) De tweede verklaart de naam co-sinus: de sinus van het complement. Het complement van een scherpe hoek is de hoek waarvan de grootte gelijk is aan de aanvulling (complement) tot een rechte hoek. Zo is de aanvulling van een hoek met een grootte van α gelijk aan π/2 – α. OPGAVE 3

Verklaar de genoemde twee verbanden. Denk bij de eerste aan de stelling van Pythagoras. De tweede is rechtstreeks met de definitie te doen. Vergeet daarbij niet, een tekening te maken. OPGAVE 4

Hoe groot zijn de cosinus en tangens van hoeken van 0, π/6, π/4, π/3 en π/2?

5


4

De goniometrische functies sin, cos en tan

Na deze voorbereidingen kunnen we de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R geven. x → sinx x → cosx x → tanx

Voor elke toegelaten x ∈R definiëren we sinx, cosx en tanx als volgt. Eerst reduceren we x tot x' ∈[0, 2π] door een geheel veelvoud van 2π bij x op te tellen of ervan af te trekken. Vervolgens definiëren we, lettend op het domein:

Definities

sinx = sinx' domein R cosx = cosx' domein R tanx = tanx' domein R, x ≠

1 π 2

+ kπ, k ∈Z

In deze definitie is x' dus zo gekozen dat het verschil van x en x' een geheel veelvoud van 2π is en x' ∈[0, 2π]. Van de functies x → sinx, x → cosx, beide met domein [0, 2π], en x → tanx met domein [0, 2π], x ≠ 12 π, x ≠ 1 12 π staan in figuur 7 de grafieken. Grafieken van sin, cos, tan

sinx 1 π

0

2π x

cosx 1 0

π

2π x

π

2π x

tanx

0

FIGUUR 7

De grafieken van sin, cos en tan beperkt tot originelen uit [0, 2π]

In tabel 3 staat een aantal veelvoorkomende functiewaarden.

6


Enige veelvoorkomende sinus-, cosinusen tangenswaarden

TABEL 3

Eigenschappen van de sinus-, cosinusen tangensfunctie

sin0 = 0

cos0 = 1

tan0 = 0

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) = √3/2

tan(π/6) = √3/3

sin(π/4) = √2/2

cos(π/4) = √2/2

tan(π/4) = 1

sin(π/3) = √3/2

cos(π/3) = 1/2

tan(π/3) = √3

sin(π/2) = 1

cos(π/2) = 0

tan(π/2) = -

Uit de hier gegeven definities volgt dat de grafieken van de functies x → sinx, x → cosx en x → tanx van R naar R periodieke herhalingen zijn van de in figuur 7 gegeven grafieken. We kunnen dit op de volgende manier wat preciezer formuleren. Voor elke x ∈R en elke k ∈Z geldt: sinx = sin(x + k · 2π) cosx = cos(x + k · 2π)

Sinus en cosinus zijn periodiek met periode 2π. Tangens is periodiek met periode π.

We zeggen wel: de sinus- en cosinusfuncties zijn periodiek met periode 2π. Voor de tangensfunctie geldt dat ze op het interval [π, 2π] een herhaling is van het deel op het interval [0, π]. Deze functie is dan ook periodiek met periode π: Voor elke x ≠

1 π 2

+ n · π (n ∈Z) en elke k ∈Z geldt:

tanx = tan(x + kπ) Meer eigenschappen

Met behulp van de gegeven definitie zijn allerlei verbanden tussen sin, cos en tan af te leiden. De belangrijkste zetten we hier onder elkaar. tanx = sinx/cosx sin2x + cos2x = 1

(sin2x staat voor (sinx)2)

sin(–x) = –sinx sin(π – x) = sinx cos(π – x) = –cosx cos(–x) = cosx tan(–x) = –tanx sinx = cos(π/2 – x) cosx = sin(π/2 – x) tanx = 1/tan(π/2 – x) sin(2x) = 2sinx · cosx cos(2x) = cos2x – sin2x = 1 – 2sin2x = 2cos2x – 1 sin(x + y) = sinx · cosy + cosx · siny sin(x – y) = sinx · cosy – cosx · siny cos(x + y) = cosx · cosy – sinx · siny cos(x – y) = cosx · cosy + sinx · siny

7


OPGAVE 5

Laat zien met behulp van sin2x + cos2x = 1: 1 + tan2x = 1/cos2x. OPGAVE 6

Laat zien, uitgaande van cos2x = cos2x – sin2x, met behulp van sin2x + cos2x = 1: cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen

Tot slot van deze paragraaf gaan we in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. We bespreken eerst een voorbeeld.

VOORBEELD

Los op: sinx = –0,5 voor x ∈R. Uitwerking In tabel 3 staat dat sin(π/6) = 12 . Met behulp van een tekening (figuur 20) vinden we nu twee oplossingen: 7π/6 en 11π/6. Merk op dat dit in overeenstemming is met formules sinx = sin(π – x) en sinx = sin(x + k · 2π): π – 11π/6 = –5π/6 en dus sin(7π/6) = sin(–5π/6) = sin(–5π/6 + 2π) = sin(11π/6). Nu gebruiken we de periodiciteit (sinx = sin(x + k · 2π)) van de sinusfunctie om alle oplossingen op te schrijven: x = 7π/6 + k · 2π

of

x = 11π/6 + k · 2π

met k ∈Z

π 6

7π 6

FIGUUR 8

– 21

11π 6

De oplossingen van de vergelijking sinx = –0,5

De in het voorbeeld beschreven procedure is algemeen geldig. Voor vergelijkingen waarin de cosinus of de tangens voorkomt, gelden vergelijkbare formules. We presenteren hier alleen de resultaten, inclusief die voor vergelijkingen met de sinus.

Oplossen van goniometrische vergelijkingen

sinx = sinα

De oplossingen van de vergelijking sinx = sinα (α gegeven) zijn: x = α + k · 2π

cosx = cosα

x = π – α + k · 2π

of

x = –α + k · 2π

met k ∈Z

De oplossingen van de vergelijking tanx = tanα (α gegeven) zijn: x = α + k · π met k ∈Z

8

met k ∈Z

De oplossingen van de vergelijking cosx = cosα (α gegeven) zijn: x = α + k · 2π

tanx = tanα

of

«


OPGAVE 7

Los de volgende vergelijkingen op. a cosx = 0,5 b tanx = –1 c sin2x = – 12 √2 d 2cos2x = √3 OPGAVE 8

Los de volgende vergelijkingen op. a sin2x + 2cos2x = 2 b cos2x – sin2x = 12 √2 OPGAVE 9

Los de volgende vergelijkingen op. a cosx = sin(x + 18 π) b sin2x = cos(x – 14 π) OPGAVE 10

Toon aan cosx – 1 =

– sin 2 x cos x + 1

voor x ≠ –π + k · 2π met k ∈Z

OPGAVE 11

a Bepaal a, b en c zodat cos2x = a + bcoscx. b Bepaal m en n zodat sin2xcos3x = cosmx – cosnx. OPGAVE 12

Bepaal alle nulpunten van de functie f(x) = sin(1/x). OPGAVE 13

Herschrijf cos( 1 12 π − x) tot een uitdrukking waar alleen de sinus in voorkomt.

9


TERUGKOPPELING

Uitwerking van de opgaven 1

Omdat een hoek van π rad overeenkomt met een hoek van 180 graden, komt een hoek van π/6 rad overeen met een hoek van 30 graden. Een hoek van 0,1π rad komt dan overeen met 18 graden (namelijk 0,1 · 180) en een hoek van 2 12 rad met 450/π graden ≈ 143,2395 graden.

2

sin(2π/3) = sin(π/3) = 21 3 sin(3π/2) = –sin(π/2) = –1 sin(7π/4) = –sin(π/4) = – 21 2

3

In figuur 6 geldt sinα = y en cosα = x. Volgens de stelling van Pythagoras geldt in de driehoek met hoekpunten M, B en (x, 0) dat (–x)2 + y2 = 1, dus x2 + y2 = 1, zodat sin2α + cos2α = 1. Bij de keuze van een ander kwadrant voor de ligging van M komt er bij toepassing van de stelling van Pythagoras op een andere plaats een minteken, maar door het kwadrateren volgt steeds dat x2 + y2 = 1, zodat sin2α + cos2α = 1. In figuur 33 ziet u dat de hoek π/2 – α ontstaat uit de hoek α door spiegelen ten opzichte van de lijn y = x die een hoek π /4 maakt met de x-as. Dus is de x-coördinaat van punt B gelijk aan de y-coördinaat van het spiegelpunt B', zodat cosα = sin(π/2 – α). y

y=x

B

α M

π/2 – α

x

B'

FIGUUR 9

4

5 6

10

De hoeken α en π/2 – α

Als α = 0, dan is B het punt (1, 0), dus cos0 = 1; cos(π/6) = sin(π/2 – π/6) = sin(π/3) = 12 √3 (zie tabel 3); cos(π/4) = sin(π/2 – π/4) = sin(π/4) = 12 √2 (zie tabel 3); cos(π/3) = sin(π/2 – π/3) = sin(π/6) = 12 (zie tabel 3); als α = π/2, dan is B het punt (0, 1), dus cos(π/2) = 0. tan0 = sin0/cos0 = 0; tan(π/6) = sin(π/6)/cos(π/6) = 12 / 12 √3 = 1/√3 = 1 √3; tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = 1; tan(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = 3 1 √3/ 12 = √3; tan(π/2) is niet gedefinieerd, want delen door 0 is niet 2 toegestaan.

sin 2 x + cos2 x sin 2 x 1 = =1 + = 1 + tan 2 x 2 2 cos x cos x cos2 x Gegeven is dat cos2x = cos2x – sin2x. Uit sin2x + cos2x = 1 volgt sin2x = 1 – cos2x. We vullen dit laatste in de gegeven formule in: cos2x = cos2x – (1 – cos2x) = cos2x – 1 + cos2x = 2cos2x – 1. Op overeenkomstige wijze vinden we, gebruikend dat cos2x = 1 – sin2x: cos2x = 1 – sin2x – sin2x = 1 – 2sin2x.


7

a Van een hoek π/3 is de cosinus 0,5. Dus x = π/3 + k · 2π of x = –π/3 + k · 2π. b Er geldt: tan(π/4) = 1, dus tan(–π/4) = –1. De oplossingen zijn dus x = –π/4 + k · π. c sin2x = – 12 √2 ⇔ 2x = –π/4 + 2kπ of 2x = 5π/4 + 2kπ, dus x = –π/8 + kπ of x = 5π/8 + kπ (let op dat ook de periode gehalveerd wordt). d 2cos2x = √3 ⇔ cos2x = √3/2 ⇔ 2x = π/3 + 2kπ of 2x = –π/3 + 2kπ, dus x = π/6 + kπ of x = –π/6 + kπ.

8

a Omdat sin2x + cos2x = 1, volgt uit sin2x + 2cos2x = 2 dat cos2x = 1, dus cosx = 1 of cosx = –1, zodat x = 2kπ of x = π + kπ, wat we samen kunnen nemen tot x = kπ. b Gebruik de formule voor cos2x: cos2x – sin2x = cos2x = 12 √2. Dus 2x = π/4 + 2kπ of 2x = –π/4 + 2kπ. Delen door 2 geeft x = π/8 + kπ of x = –π/8 + kπ.

9

a Met behulp van de formule cosx = sin(π/2 – x) kunnen we de vergelijking herschrijven tot een waarbij links en rechts alleen sinussen staan: cosx = sin(x + 18 π) ⇔ sin(π/2 – x) = sin(x + 18 π) ⇔ π/2 – x = x + 18 π + k · 2π of π/2 – x = π – (x + ⇔ x = 163 π + k · π b sin2x = cos(x – 14 π) ⇔ cos(π/2 – 2x) = cos(x – 14 π) ⇔ π/2 – 2x = x – 14 π + k · 2π of π/2 – 2x = –x – ⇔ x = 14 π + k · 23 π of x = 14 π + k · 2π ⇔ x = 14 π + k · 23 π

10

+ k · 2π

π + k · 2π

Uit sin2x + cos2x = 1 volgt cos2x – 1 = –sin2x, dus (ontbindt het linkerdeel) volgt (cosx – 1)( cosx + 1) = sin2x; deel tenslotte links en rechts door cosx + 1, wat mag omdat x ≠ –π + k · 2π, waarna de te bewijzen formule volgt: cosx – 1 =

11

1 4

1 π) 8

− sin 2 x cos x + 1

a Gebruik cos(2x) = 2cos2x – 1, dus cos2x = Dus a = 12 , b = 12 en c = 2.

1 + 12 cos(2x). 2

b Gebruik sin2x + cos2x = 1, dus sin2xcos3x = (1 – cos2x)cos3x = cos3x – cos5x.

11

12

sin(1/x) = 0 ⇔ 1/x = kπ met k ∈Z ⇔ x = 1/kπ met k ∈Z

13

cos( 1 12 π− x) = sin(π/2 – ( 1 12 π− x)) = sin(–π + x) = sinx

Goniometrische functies

Recommend Documents