Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies x , x 2 , x 3 , .. ,
x,
1 , g x , g log( x) , sin(x), cos(x) x
polynoomfuncties gebrokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie
Soort functies
Standaardvormen met kenmerken
Lineaire functies
In tabel: bij gelijke x stappen horen gelijke y stappen Grafiek is rechte lijn Formule is y = a.x + b Formule van lijn door punt (p,b) met helling a is: y = a.( x − p) + b
Exponentiele functies
In tabel: bij gelijke x stappen horen relatief gelijke y stappen (zelfde vermenigvuldiging) Formule is y = b.g x (ook e x ) Afgeleide is y ' = b.g x .ln( g )
Logaritmische functies
In tabel: bij relatief gelijke x stappen (zelfde vermenigvuldiging) horen gelijke y stappen Formule is y = g log( x) (ook ln( x) ) g log( x) en g x zijn elkaars inversen (oplossen van vergelijkingen) Domein ! en verticale asymptoot. 1 x.ln( g ) Speciale rekenregels: log(a ) + log(b) = log(a.b) Afgeleide is y ' =
n.log(a ) = log(a n ) g
log(a ) =
p p
log(a) log( g )
Grafiek Let op kenmerken en ‘oneindig gedrag’
Machtsfuncties
In tabel: bij relatief gelijke x stappen (zelfde vermenigvuldiging) horen relatief gelijke y stappen (zelfde vermenigvuldiging)
n even
Formule is y = a.x n Afgeleide is y ' = n.x n −1 In context: y is evenredig met xn Vaak gekeken naar gehele even/oneven machten i.v.m. vergelijkingen als
n oneven
x3 = 5 x 3 = −5 x4 = 5 x 4 = −5 Vergelijkingen als x −4 = 5 1 omzetten naar 4 = 5 x 1 n n x en x zijn elkaars inversen Speciale rekenregels: a p .a q = a p + q (a p ) q = a p + q Wortelfuncties
Formule y = a. x −1
Afgeleide is y ' = 12 .x 2 Grafiek x en x 2 zijn elkaars inversen Domein van belang 1
Goniometrische functies Polynoomfuncties 2e graads
x is ook een machtsfunctie (= x 2 ) 1 (ook zo met 3 x = x 3 ) Later apart Grafiek berg/dal parabool y = a.x 2 + b.x + c Of in de vorm: y = a.( x − p) 2 + q (top (p,q)) y = a.( x − r )( x − s ) (nulpunten r en s)
(1 top) 3e graads
4e graads
5e graads
Gebroken functies (quotientfuncties)
y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d Of in de vorm: y = a.( x − r ).( x − s ).( x − t ) (nulpunten r,s,t) (max. 2 toppen) y = a.x 4 + b.x 3 + c.x 2 + d .x + e Of in de vorm: y = a.( x − r ).( x − s ).( x − t ).( x − u ) (nulpunten r,s,t,u) (max. 3 toppen) y = a.x 5 + ....... (max. 4 toppen)
y=
a.x + b c.x + d
y=
......... .........
Zoek evt. verticale en horizontale asymptoten. Afgeleide met quotientregel n.t '− t.n ' y'= n2
Vermenigvuldigings functies (productregels)
y = (a.x + b).(c.x + d ) y = (.....).(.....) Zoek nulpunten. Afgeleide met productregel y ' = f .g '+ g . f '
Kettingfuncties
Zoals y = e − x , y = ( x 2 − 1)4 Pijlenketting Afgeleide met kettingregel y = f ( g ( x)) dan y ' = f '( g ( x)).g '( x) 2
Acties met deze basisvormen: 1) transformaties: kijk naar relatie formule - grafiek Verschuiving horizontaal met p: f ( x − p) Verschuiving verticaal met p: f ( x) + p Verticale vermenigvuldiging met p: p. f ( x) Horizontale vermenigvuldiging met p: f ( 1p x) Voorbeeld: a) y = e x −3 herkennen als grafiek y = e x die 3 naar rechts verschoven is. 1 4 b) y = ( x ) herkennen als grafiek van y = x 4 die horizontaal vermenigvuldigd t.o.v. y-as is 2 met 2 Ook schetsen van grafieken van
1 en f 2 als de grafiek van f gegeven is. f
2) redeneren a.d.h.v. formule: a) als x groter wordt dan y ……. b) als x ﾮ ﾥ dan y …… (oneindig gedrag van een functie) c) symmetrie in x-as of y-as 3) inverteren van functies (inverse berekenen)
4) reduceren Voorbeelden: a) y = ( x − 4) 2 − 3( x − 4) − 10 herkennen als verschoven grafiek van y = x 2 − 3x − 10 b) y = e x − 4 x 2 herkennen als y = e p − 4 p met p = x 2 (schets y = e p − 4 p en gebruik symmetrie in y-as) 2
Opdrachten 1) Schrijf in de vorm: y = a.x b 1
a) y = (2.x 3 ) 4 1
b) c) d) e)
12.x 3 y= 6.x 2 2.x 3 y= 6.x 5 y = 3x.2 x . 3 x 10 y= x. x
2) Schrijf in de vorm: y = a. .... 1
a) y = (2 x 2 )5 b) y = x 2 4 − x c) y = 2 x 4.x 3) Schrijf in de vorm: y = a.x 2 + b.x + c a) y = 2( x − 3).( x + 3) b) y = 2( x − 3) 2 + 9 c) y = −( x − 4) 2 d) y = −2 x( x − 4) + 9 4) Schrijf in de vorm: y = a.( x − p) 2 + q a) y = x 2 + 6 x b) y = x 2 − 8 x + 3 c) y = 2 x 2 − 12 x + 8 2 d) y = − 12 x − 10 x + 8 5) Schrijf in de vorm: y =
...... (als een breuk) ......
2 +3 x 2 3 y= + x x−2 2 3 y= . x x−2 2 3 y= . 2x x 5 3x y = 5. . 2x x − 2 3 4x y = 5. − 2x x + 2
a) y = b) c) d) e) f)
2 x 2
g) y = 5. h) y = 5. i) y = 5. j) y =
x
2 x x2 x −1 2x x +1 x2 x +1
2x x +1 x2 x+ 2
6) Schrijf in de vorm: y = a.(......).(......) (of y = a.(......).(......).(......) ) a) y = x 2 − 8 x + 12 b) y = 2 x 2 − 18 x c) y = 2 x 2 − 20 x + 42 2 d) y = − 12 x − x + 4 2 e) y = − 12 x − x
f) y = 4 x 2 − 25 g) y = 4 x 4 − 12 x 2 h) y = 4 x 4 − 12 x 2 + 9 i) y = 2 x 3 − 12 x 2 + 8 x 7) Schrijf in de vorm: y = e a. x +b a) y = 10.0,8 x b) y = 14.1,5 x c) y = 20.1, 52,4 x d) y = 102 x + 4 e) y = e .e3 x .e 2 8) Schrijf in de vorm: y = g log(....) a) y = 2 log( x) + 2 log(3x + 3)
b) c) d) e) f)
y = 2 log(2 x) − 2 log(3x − 6) y = 2 log(2 x) + 3 y = 4 − 2 log(2 x) y = 4. 2 log(2 x ) − 3 y = 2.ln(2 x ) − 3
9) a) b) c) d) e)
Schrijf in de vorm: y = a.x n + b.x n −1 + .... + ... y = 2.( x + 2) 3 y = 3 + 2.( x − 2) 2 y = ( x − 3) 2 − ( x − 2) 2 y = 2( x − 3)( x − 4)( x − 5) y = 3.x.(2 x) 2 ( x − 5)
10) Schets de (globale) grafiek van (let op domein, asymptoten en oneindig gedrag) a) y = 0,3.x 3 − 4 x 2 x+5 b) y = 2x c) y = −3.( x − 4)( x − 5)( x − 6) d) y = −2.( x + 3) 4 + 10 e) y = 3 + 2 log( x − 4) f) y = 3.(2 x − 5).(3x − 9) 3x − 3 2x − 4 3.( x 2 − 5) h) y = 2x i) y = ( x − 4) 2 + 2 g) y =
2
j) y = e − x k) y = e 2 x − e x x2 − 4 m) y = 2 x +1 n) y = x.e x 11) Gegeven is de grafiek van de functie F
Schets de grafiek van F (2 x) + 2 ; F(2x) + 2;
1 en ( F ( x)) 2 F ( x)
12) Bereken een formule voor de inverse van a) y = 2.e3 x b) y = 2 + ln( x − 3) c) y = 2 x 3 − 4 1 d) y = 2 x +1 1− x e) y = x +1 1− x f) y = x +1 ex ex + 1 h) y = x 2 + 4 x i) y = x 2 + 2 x − 2 g) y =
Oefeningen 1) Schrijf naar een van de basisvormen: 1 2x ..... + a) y = naar y = x−2 x+2 ..... 3 4 6 b) y = . . 2 naar y = a.x b x x x x c) y = 3 naar y = a.x b 4 x d) y = x − 2 en z = 4 y 2 naar z = a.x 2 + b.x + c e) y = (2 x − 1)3 naar y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d f) y = 3( x − 2) 2 + 6( x − 2)( x + 3) naar y = ....( x....)( x....) ( x − 1)(2 x + 3) − (2 x + 6)( x − 1) ..... g) y = naar y = 2 (2 x − 1) ..... h) y = 2 log( x) + 3 naar y = 2 log(...) i) y = 100.0,9 x naar y = e...... j) y = 16 x 4 + 24 x 2 + 9 naar y = (......)(......) k) ln( y ) − 2 = 2 x naar y = ...... ..... l) y = ( x 2 + 4) −0,5 + 2 x2 + 4 naar y = ..... 1 2 m) y = x − 4 x + 6 naar y = ...( x....) 2 ..... 2 log( y ) = 0, 2.log( x ) + 2 naar y = a.x b n) o) y = x 6 − 3x3 − 18 naar y = (......)(......)
p) y =
4 x
−4
2 x
naar y =
..... .....
3 x naar y = a.x b 2 2x 4 2 ..... r) y = .( x − 4) naar y = x ..... x x y = (4.2 ).(8.3 ) y s) naar = e...... 1 −1 ..... −1 t) y = 2(4 − x) 2 + x 2 naar y = 2 ..... 2 x.(4 x ) u) y = naar y = a.x b 2 6x 4 v) y = 4 x + 12 x 2 + 9 naar y = (......)(......) w) y = x 3 − 4 x 2 − 12 x naar y = ....(......)(......) x) y = 2 x 4 − 18 x 2 naar y = ....(......)(......) 2 4 ..... y) y = 3 − naar y = x x ..... 2 4 ..... z) y = 3 . naar y = x x ..... q) y =
2) Schets de globale grafiek van: a) y = 6 x 6 − 4 x3 b) y = 4( x − 2)3 + 2 c) y = ln( x − 3) + 2 1
d) y = e 2 x − 4 4x −1 e) y = x−2 ( x − 1)( x − 3) f) y = x−2 2 g) y = ( log( x) − 4)(e x − 4) h) y = −2( x − 2)( x − 3)( x − 5) i) y = −2( x − 2) 2 ( x + 5) x −1 j) y = ( x − 2) 2 ex −1 h) y = x e +4 i) y = x 5 − x 6 3a) Welke formules kunnen bij onderstaande grafiek horen? x a. y = e x −2 b. y = ( 12 ) c. y = 2 x d. y = x 3 + 1
3b) Welke formules kunnen bij onderstaande grafiek horen? 1 a. y = 2 log( x + 3) b. y = x − 3 c. y = 2 log( x − 3) d. y = 2 log( x) − 3
3c) Welke formules kunnen bij onderstaande grafiek horen? a. y = x 2 − 2 b. y = x3 + 2 c. y = x 4 + 2 d. y = e x + e − x
3d) Welke formules kunnen bij onderstaande grafiek horen? a. y = x( x − 3)( x − 6) b. y = −2 x( x − 2)( x − 4) c. y = x( x + 2)( x + 4) d. y = −2 x( x + 3)( x + 6)
3e) Welke formules kunnen bij onderstaande grafiek horen? a. y = 2( x − 3)( x − 6) b. y = −2( x − 2)( x − 4) c. y = −2 x 2 + 18 x − 36 d. y = −2( x + 3)( x + 6)
3f) Welke grafiek hoort bij y = − x 2 + 4 x
a
b
c
d
3g) Welke grafiek hoort bij y = − x.( x − 2)( x − 4)
a
b
c
d
