Reálné opce v investičním rozhodování

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta Elektrotechnická Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd

Reálné opce v investičním rozhodování Diplomová práce

Studijní program: elektrotechnika a informatika Studijní obor: ekonomika a řízení elektrotechniky a energetiky

Vedoucí práce: Prof. Ing.Oldřich Starý, Csc.

Jiří Lahoda

Praha 2010

Poděkování Poděkování Prof. Ing. Oldřichu Starému, Csc. Za odborné vedení diplomové práce, zejména za cenné rady praktické aplikaci metod a všem ostatním, kteří svými užitečnými připomínkami přispěli k jejímu vzniku. 2

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracoval samostatně a použil jsem pouze podklady uvedené v přiloženém seznamu literatury. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu zákona §60 Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon).

…………………………………

V Praze dne 12.5. 2010 3

Abstract The dokument is a short introduction into real option evaluation. I tis dividend into free main chapters. First part describes simple financial options and methods for their valuation. Second part describes different types of real options in more detail. Last chapter is about implementation of program for evalutation of simple type sof real options.

Abstrakt Tato práce je úvodem do problematiky reálných obcí. Je rozdělena do několika částí. První část se zabývá finančními opcemi a stanovováním jejich hodnot. Druhá část detailně popisuje některé typy reálných opcí spolu s jejich užitím a výpočtem hodnoty. Třetí část je popis implementace programu pro výpočet hodnot jednoduchých opcí.

4

Obsah 1.

Úvod..................................................................................................................................... 7

2.

Opce .................................................................................................................................... 9 2.1.

Historie opcí .................................................................................................................. 9

2.2.

Typy opcí a jejich hodnota v čase ................................................................................ 10

2.2.1.

Kupní opce (CALL) ............................................................................................... 11

2.2.2.

Prodejní opce (PUT)............................................................................................. 13

2.2.3.

Americká opce ..................................................................................................... 15

2.2.4.

Evropská opce ..................................................................................................... 15

2.2.5.

Asijské opce ......................................................................................................... 15

2.3.

2.3.1.

Black-Scholesův model ........................................................................................ 16

2.3.2.

Modely s použitím diskrétního času - Binomické a trinomické stromy ................... 18

2.3.3.

Analytické modely pro americké opce s výplatou dividend ................................... 20

2.3.4.

Simulační modely – Monte Carlo .......................................................................... 25

2.4. 3.

Metoda čisté současné hodnoty .................................................................................. 27

Reálné opce ....................................................................................................................... 30 3.1.

Opce jednoduché ........................................................................................................ 32

3.1.1.

Opce na odložení projektu.................................................................................... 32

3.1.2.

Opce na rozšíření projektu ................................................................................... 34

3.1.3.

Opce na ukončení ................................................................................................ 36

3.1.4.

Opce na zúžení .................................................................................................... 37

3.1.5.

Opce volby v projektu ........................................................................................... 39

3.1.6.

Opce s hranicí (barierou)...................................................................................... 41

3.2.

4.

Hodnota opcí ............................................................................................................... 16

Opce složené .............................................................................................................. 43

3.2.1.

Opce sekvenční ................................................................................................... 43

3.2.2.

Opce paralelní ...................................................................................................... 47

3.3.

Rainbow opce ............................................................................................................. 50

3.4.

Opce s proměnou volatilitou ........................................................................................ 52

3.5.

Ostatní opce ................................................................................................................ 54

Implementace a dokumentace............................................................................................ 56 4.1.

O programu Efekt ........................................................................................................ 56

4.2.

Rozšíření programu o podporu reálný opcí.................................................................. 56 5

4.3.

Ovládání a funkčnost................................................................................................... 56

4.3.1.

List „Reálné opce – vstupy“ .................................................................................. 57

4.3.2.

List „Reálné opce – výstupy“ ................................................................................ 59

4.4.

Implementace.............................................................................................................. 60

Příklady užití programu Efekt.............................................................................................. 63

5.

5.1.

Parkoviště s.r.o. .......................................................................................................... 63

5.2.

Parkoviště s.r.o. – další vývoj ...................................................................................... 64

6.

Závěr .................................................................................................................................. 67

7.

Citovaná literatura .............................................................................................................. 69

8.

Seznam použitých zkratek.................................................................................................. 71

9.

Přílohy ................................................................................................................................ 72 9.1.

Příloha – Zdrojový kód obsluhy formuláře „FormOpceUkonceni“ ................................. 72

9.2. Příloha – Zdrojový kód subrutiny „PrepocetOpceNaUkonceni“ z modulu „ModVstupyOpce“ .................................................................................................................. 73 9.3.

Příloha – Parkoviště s.r.o. ........................................................................................... 75

9.4.

Příloha – Parkoviště s.r.o. – další vývoj ....................................................................... 78

10.

Obsah CD ....................................................................................................................... 80

6

1. Úvod Hlavní cíle diplomové práce se dají shrnout do následujících: 





Zjistit co jsou to reálné opce o

Historie a rozdělení finančních opcí

o

Výpočet hodnoty opcí matematické modely a simulace

Popsat jednotlivé typy reálných opcí a rozdělit je do jednotlivých kategorií o

Jednoduché a složené opce

o

Další typy opcí

o

U každého typu uvést reálný příklad použití při hodnocení projektu

Rozšířit program Efekt o podporu hodnocení projektů pomocí reálných opcí o

Naprogramovat další funkce a upravit ovládání programu Efekt pro podporu výpočtů hodnoty projektu pomocí reálných opcí

o 

Využít takto upravený program pro výpočet reálných příkladů

Zhodnotit splnění výše zmíněných cílu

Tyto cíle jsem rozebíral v jednotlivých kapitolách v podobném pořadí. Kapitola 2 se zabývá úvodem do problematiky finančních opcí, prochází historický vývoj jejich užívání až do současnosti. Popisuje jednotlivé základní typy finančních opcí a uvádí základní techniky výpočtu jejich hodnoty. V závěru potom popisuje metodu NPV jako předchůdce oceňování pomocí reálných opcí. Kapitola 3 se detailněji zabývá rozdělením reálných opcí spolu s popisem jejich podstaty a výpočtu jejich hodnoty. Ke každému typu opce je pak uveden krátký příklad pro ilustraci jejího využití. Kapitola 4 popisuje samotnou úpravu programu Efekt. Úpravy zobrazovacích a ovládacích části stejně jako i samotné programové obsluhy. 7

Předposlední kapitola 5 rozebírá použití upraveného programu Efekt na reálných příkladech. Závěrečná kapitola 5.2 se pak věnuje zhodnocení dosažených cílů a rozvádí možnosti rozšíření problematiky.

8

2. Opce Následující kapitola rozebírá historický vznik a vývoj obchodu s opcemi. Věnuje se rozdělení jednotlivých typů finančních opcí a na závěr probírá jednotlivé metody výpočtu jejich hodnoty. Na úplném konci nalezneme popis metody NPV pro stanovování hodnoty projektu.

2.1.Historie opcí Kontrakty typu opce jsou požívány, už několik století. Jako příklad by se dala použít středověká Anglie. V této době byl vydán zákaz podle, kterého nesměli Křesťané pobírat a ani platit úroky z půjček. Půjčování peněz se tímto zásahem výrazně ztížilo. Jedna z variant jak tuto překážku obejít zahrnovala operaci s pozemky. Často si majitel pozemku potřeboval půjčit peníze a jako zástavu využit jeden z pozemků. Majitel pozemku přesunul vlastnictví pozemku na toho, kdo mu půjčoval peníze. Ten mu výměnou předal předem stanovenou částku a držel pozemek ve svém vlastnictví i s případnými výnosy. Ke konci předem stanovené doby měl původní vlastník právo odkoupit pozemek zpět a to za předem stanovenou cenu. Celý tento postup je podobný půjčce, ale kontrakt je jiný. Pozemek je prodán půjčujícímu, ale původnímu majiteli zůstala možnost (opce) koupit pozemek zpět. Význam opcí stoupal s tím jak se obchod a i samotné opce dařilo standardizovat. První legitimní forma opcí se objevila během tulipánové bubliny v Holandsku začátkem 17. století. Během této doby se používali opce na nákup, nebo prodej tulipánových cibulek. Ty dávaly kupcům právo nakoupit nebo prodat určitý typ cibulky v určitém čase v budoucnosti. Ceny tulipánů a odvozených opcí neudržitelně stoupaly. Po prasknutí této tulipánové bubliny, v lednu roku 16371 mnoho obchodníků s opcemi zkrachovalo. Opce se poté staly nepopulárními na mnoho let. Opce se znovu objevili v 90. letech 16 století v Anglii. Docházelo však k častým podvodům a neetickému chování obchodníků. Brzy byl vydán tzv. Barnardův zákon podle Johna Barnarda, který ho 1

(Thomson, 2007)

9

uvedl v roce 1733 v platnost2. Ten byl nakonec roku 1860 zrušen. Obchod s opcemi se příštích sto let nadále zvyšoval. Na území USA kde je spojen hlavně se vznikem CBOT (Chicago Board of Trade) se jednalo hlavně o opce spojené s komoditami. V Evropě bylo centrum obchodu především na území Anglie. V posledních desetiletích došlo k prudkému rozvoji obchodu. Pravděpodobně ze dvou důvodů. Objev uskutečněný Myronem Scholesem a Fisherem Blackem, první ekonomický model, který umožňuje oceňovat opce na základě náhodně se vyvíjející ceny podkladového aktiva. Druhým důvodem bude zřízení dobře organizovaných, automatizovaných a zabezpečených obchodních systémů.

2.2.Typy opcí a jejich hodnota v čase Opce lze dělit podle mnoha kritérií. Je možné je vystavit na ohromné množství podkladových aktiv mezi nejpoužívanější patří: kurz měn, cena komodit (zlato, stříbro, ropa, obilí), cena akcií. Nejčastěji používaným kritériem dělení je typ opce (ve smyslu směru pohybu podkladového aktiva) a doba kdy lze opční právo využít. Podle prvního kritéria můžeme opce dělit na opce typu kupní (CALL) a prodejní (PUT). U obou typů opcí se vypisovatel opce zavazuje splnit předem stanovené podmínky, pokud se jí držitel opce rozhodne uplatnit. Za nákup opce musí kupující zaplatit vypisovateli určitý bonus, který se nazývá opční prémie. V praxi se kupující nachází v dlouhé pozici označované jako Long a vypisovatel v krátké pozici označované Short. Dlouhá pozice umožňuje se rozhodnout, zda opci využije či nikoliv, naproti tomu krátká pozice je vždy závislá na tomto rozhodnutí. Z hlediska času se opce dělí na opce amerického a evropského typu. Podle toho jestli lze opčního práva využít po celou dobu trvání opce, nebo jen v přesně stanoveném termínu. Speciálním typem opce je opce asijská. Ta se liší v odvození její ceny, která je odvozená od průměrné hodnoty podkladového aktiva.

2

(Poitras, 2002)

10

2.2.1. Kupní opce (CALL) Kupující (neboli držitel) kupní opce (CALL) má právo, nikoliv povinnost koupit předem stanovené množství komodity, nebo finančního instrumentu od prodávajícího (nebo také vypisovatel) za předem stanovenou cenu (strike price). Prodávající neboli vypisovatel je povinen kupujícímu toto podkladové aktivum prodat. Kupující si v tomto případě přeje, aby cena podkladového aktiva v budoucnosti stoupala, prodávající naopak doufám, že cena podkladového aktiva bude klesat. V takovém případě by kupující opci nevyužil a prodávající (nebo vypisovatel) by obdržel výše zmíněnou opční prémii (P). V opačném případě pokud by cena podkladového aktiva (ST) stoupala, kupující by opci využil a koupil by podkladové aktivum za nižší cenu než je jeho tržní hodnota. Jeho zisk by tedy byl rozdíl tržní (ST) a realizační ceny (E) mínus opční prémie (P), kterou musel zaplatit. Můžeme si všimnout, že výše ztrát není pro prodávajícího nijak ohraničena a může být v konečném důsledku teoreticky neomezená. CALL opce přináší kupujícímu největší přínos, když se cena pokladového aktiva zvyšuje. Jakmile přesáhne předem dohodnutou cenu (realizační), opce se nalézá tzv. „v penězích“. To znamená, že od této ceny výše má pro kupujícího smysl této opce využít. Zisky kupujícího (Z) z kupní opce pro množství akcií n jsou charakterizovány následující rovnicí3. Z = −P + max 0; ST − E ∗ n

(1.1)

Pro přehlednost si uveďme jednoduchý příklad. Mějme na straně kupujícího pana Optimistu a na straně prodávajícího pana Pesimistu. Jako podkladové aktivum určíme akcie společnosti Nahodilost a.s., které se v roce 2008 prodávají za 1000 Kč/ks. Pan Optimista se domnívá, že ceny akcií této společnosti porostou a pan Pesimista předpokládá opak. Z tohoto důvodu p. Pesimista prodá opci na nákup deseti akcií této společnosti p. Optimistovi za 100kč v roce 2008. Opce je poskytnuta na dobu jednoho roku a

3

(Starý, 2003)

11

jedná se o opci evropského typu (nelze ji využít dříve než v roce vypršení 2009). Jak je vidět (Obrázek 1)4 zisky i ztráty obou zúčastněných stran se pohybují protichůdně. Pro p. Optimistu je důležité, aby se cena podkladového aktiva dostala přes bod E+P (bod, za kterým bude v zisku, ocpe bude „v penězích“). Pro p. Pesimistu bude výhodné, pokud se cena bude držet pod hodnotou E+P. Bod E+P je bod rovnovážný tzn. cena akcie kdy ani jedna ze stran nic nevydělá. V tomto případě bude mít hodnotu 1010 Kč. Kdykoliv bude cena akcií firmy Nahodilost a.s. vyšší, bude výhodnější pro p. Optimistu. Když bude cena níže, opce bude výhodnější pro p. Pesimistu. V našem případě bude v roce 2009 hodnota akcií 1200 Kč/ks. Panu Optimistovi se naplnilo očekávání a využije jeho kupní opci. Jeho zisk v tomto případě bude činit 1900 Kč, vypočteme jako počet akcií krát rozdíl tržní ceny a realizační ceny mínus opční prémie. 𝑥 = 10 ∗ 1200 − 1000 − 100 = 1900 𝐾č

Kupní opce - pozice zisků a ztrát

Z [Kč]

P

džitel opce

0 E

E+P

-P

ST

vypisovatel opce

ST [Kč/kus]

Obrázek 1

4

Převzato (Starý, 2003) v tomto případě se o kupujícím mluví jako o držiteli, vypisovatel je prodejce opce.

12

2.2.2. Prodejní opce (PUT) Prodejní opce též nazývaná jako PUT, je podobně jako CALL opce kontraktem uzavíraným mezi dvěma stranami. V tomto případě, ale kupující uzavírá krátkou pozici (předpokládá, že hodnota podkladového aktiva půjde dolů). Opce prodejní (PUT) poskytuje právo prodat podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu (strike price). Pokud kupující opce využije své právo na prodej podkladového aktiva prodávající opce je povinen toto aktivum koupit. Jako v případě CALL opcí, prodejce opce získává protihodnotou opční prémii. Kupující PUT opce věří, že podkladové aktivum bude s rostoucím časem klesat pod úroveň předem stanovené ceny. Na rozdíl od CALL opce je výše ztrát prodávajícího ohraničena rozdílem ceny podkladového aktiva a opční prémie.

Obrázek 2

13

Speciálním typem PUT opce je tzv. Nahá opce (Naked put). Toto označení se používá v případě, že prodávající PUT opce není v pozici u daného podkladového aktiva5. Tato možnost je převážně používána investory, kteří jsou ochotni investovat, pouze pokud cena podkladového aktiva klesne pod určitou hodnotu. Vztah zisků a ztrát se u PUT opce liší od CALL opce (viz Obrázek 2). Vidíme, že pro kupujícího je výhodné pokud se cena akcie snižuje pod úroveň předem dohodnuté ceny (E) podkladového aktiva. Vypisovatel doufá, že se cena akcií bude pohybovat nad úrovní dohodnuté ceny, protože získá celou opční prémii (P). Z obrázku je rovněž patrné, že PUT opce je výhodná pro jednu ze zúčastněných stran pouze pokud se cena odchýlí od bodu E-P (realizační cena mínus tržní cena). Zisky nebo ztráty kupujícího (Z) prodejní opce z množství akcií n, lze charakterizovat následující rovnicí6. 𝑍 = −𝑃 + max 0; 𝐸 − 𝑆𝑇 ∗ 𝑛

(1.2)

Pro zjednodušení použijeme podobný příklad jako v příkladu CALL opce. Tentokrát p. Optimista (doufá v mírný pokles hodnoty akcií) bude prodávat PUT opci na akcie společnosti Nahodilost a.s. panu Pesimistovi (doufá v drastický pokles hodnoty akcií). V roce 2008 se akcie této společnosti prodávají za 1000 Kč/ks a p. Optimista věří, že v roce 2009 budou mít minimálně hodnotu 900 Kč/ks. Vypíše proto PUT opci evropského typu na 10 kusů akcií společnosti Nahodilost a.s. s realizační cenou 900 Kč/ks v roce 2009 v hodnotě 100 Kč. Vlivem světové ekonomické krize se cena akcií drasticky propadla a v roce 2009 v době vypršení PUT opce měla akcie hodnotu pouhých 500 Kč/ks. Pokud by p. Pesimista nakoupil za současnou cenu deset akcií firmy Nahodilost a.s. a využil prodeje pomocí opce, tak po odečtení opční prémie, kterou byl nucen zaplatit si přišel na 3900 Kč. 𝑥 = 10 ∗ 900 − 500 − 100 = 3900 𝐾č

5 6

(Butler) (Starý, 2003)

14

2.2.3. Americká opce Americké opce dávají majiteli právo využít opčního práva kdykoliv během jejich platnosti, až do doby vypršení. A právě tato možnost poněkud komplikuje metody ohodnocení toho typu opce. Tento typ opce je možné ohodnotit různými modifikacemi modelu Black-Scholese, ale pouze v případech bez výplaty dividend, jinak je nutné použít složitější aproximační modely (viz dále v textu). V současnosti je tento typ opce nejobchodovanějším na trhu. 2.2.4. Evropská opce Je opakem amerického typu opce. Tato opce poskytuje majiteli právo na nákup/prodej podkladového aktiva pouze ve stanovený termín. Tudíž je mnohem snadnější vypočítat její hodnotu např. za použití Black-Scholesova modelu. 2.2.5. Asijské opce Asijská opce z anglického „Asian option“, není odvozena od pouhé hodnoty podkladového aktiva, ale je vypočítána z jeho průměru během životnosti opce. Rozlišujeme dva základní typy asijské opce: 

Asijská opce z ceny (Average price Asian option) – odvozená od průměru ceny podkladového aktiva



Asijská opce ze předem dohodnuté/dodací ceny (Average strike price Asian option) – odvozená od průměru ceny ve vztahu k dodací ceně (strike price)

Rozdíl oproti klasické opci spočívá v nižší volatilitě, důsledkem čehož bude i její cena nižší než u podobné klasické opce. Využívat této opce budou především podniky, které si snaží zajistit konstantní/pomalu měnící se velikost provozních nákladů. Podniky, které denně nakupují palivo/suroviny/komodity budou raději využívat tohoto typu opce a platit průměrnou (v mnoha případech nižší) cenu raději než cenu v době splatnosti opce.

15

Cenu takovéto opce je možné vypočítat za použití Black-Scholes modelu, ve kterém použijeme vypočtený průměr místo podkladového aktiva.

2.3.Hodnota opcí V dnešní době je hodnota opcí v zásadě počítána třemi metodami. Jsou to metody založené na různém vnímání času. Pro vypočet hodnoty opcí, v čase vnímaném jako diskrétní veličinu, slouží binomické stromy (trinomické). Pro faktor času vnímaný jako spojitou veličinu a následný výpočet hodnoty opce vznikl Black-Scholesův model a z něho dále odvozené modely pro různé typy opcí. Třetí metodou, jsou metody simulační, jako je například metoda Monte Carlo. 2.3.1. Black-Scholesův model Fisher Black a Myron Scholes jsou ekonomové, kteří v roce 1973 publikovali článek s názvem „The Pricing of Options & Corporate Liabilities“7. Článek se týkal oceňování různých derivátů, včetně opcí a komodit. Ačkoliv aparát v něm použitý existoval již dříve, tento článek se stal pravděpodobně jedním z nejdůležitějších, co se týče finanční teorie a ohodnocování opcí. S malým přispěním práce Jamese Bonesse odvodili analytický model, který dnes známe jako Black-Scholesův model. Použitelný k ohodnocení klasické evropské opce a v různých úpravách k ohodnocení různých dalších typů opcí. Model je hlavně zajímavý tím, že k jeho použití není potřebné dosazovat parametry získané na základě pozorování nebo odhadu. Black-Scholesův model je založen na sedmi základních předpokladech8: 

Jsou známé krátkodobé úrokové míry, které jsou konstantní.



Ceny akcií jsou naprosto náhodné, mění se spojitě v čase s rozptylem výnosů, který je úměrný druhé mocnině ceny. Potom je distribuční funkce očekávaných cen akcie pro každý konečný časový interval lognormální s konstantní hustotou pravděpodobnosti.

7 8

(Black, a další, 1973) (Starý, 2003) str. 41

16



Z akcie nejsou vypláceny žádné dividendy ani jiné výnosy.



Opce je evropského typu.



Transakční náklady jsou nulové.



Je možné si vypůjčit jakoukoliv částku pro koupi cenného papíru či jeho zlomku za krátkodobou úrokovou míru.



Krátkodobé prodeje nejsou nijak omezeny. Prodávající, který nevlastní příslušný cenný papír, obdrží od kupujícího částku ve výši aktuální ceny cenného papíru a v určeném časovém budoucím okamžiku zaplatí kupujícímu částku rovnou aktuální ceně cenného papíru v tomto budoucím okamžiku.

Při splnění těchto předpokladů budeme schopni odvodit vzorec pro hodnotu evropské call opce9: 𝑉𝑐 = 𝑆 × 𝑁 𝑑1 − 𝑋 × 𝑒 −𝑛 × 𝑁 𝑑2

(1.3)

A pro hodnotu evropské put opce: 𝑉𝑐 = − 𝑆 × 𝑁 −𝑑1 + 𝑋 × 𝑒 −𝑛 × 𝑁 −𝑑2

(1.4)

Kde 𝑑1 =

ln 𝑆/𝑋 + 𝑟 + 𝜎 2 /2 ∗ 𝑡 𝜎 ×

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 × 𝑡 =

𝑡

ln 𝑆/𝑋 + 𝑟 − 𝜎 2 /2 ∗ 𝑡 𝜎 ×

𝑡

(1.5)

(1.6)

A parametr N (x) je dán distribuční funkcí normálního rozdělení, které má obecný tvar:

𝑁

𝑥

=

𝑥

1 2𝜋

𝑡2

𝑒 − 2 𝑑𝑡 −∞

A vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou veličina nabude hodnot v intervalu −∞, 𝑥 .

9

Viz (Scholleová, 2005)

17

(1.7)

2.3.2. Modely s použitím diskrétního času - Binomické a trinomické stromy Binomické stromy jsou hojně využívány pro ohodnocování amerického typu opcí a jsou relativně přesné. Binomická metoda dovoluje vytvořit strom, v kterém jednotlivé větve reprezentují pohyb podkladového aktiva a hodnotu opce. Nejprve je nutné rozdělit expirační dobu na určitý počet období n. Pro binomické stromy se uvažuje, že cena podkladového aktiva se během této doby může vyvíjet jen dvěma směry, buď bude stoupat u nebo klesat d. U trinomických stromů by to byly tři směry. Cena aktiva se pohne jedním nebo druhým směrem jen s určitou pravděpodobností. Pro vzestup u určeme tuto pravděpodobnost jako p a pro pokles d pak (1-p). Pokud budeme výpočet uvažovat jen pro jedno období pak se hodnota pokladového aktiva při poklesu bude rovnat S*d a nastane s pravděpodobností (1-p). Analogicky pro vzestup hodnoty podkladového aktiva S*u, který nastane s pravděpodobností p. Výše zmíněné parametry je možné vypočítat z hodnoty rizika respektive směrodatné odchylky σ (volatilita), která nám určuje volatilitu podkladového aktiva. Přičemž pro T jako expirační dobu opce platí: 𝑢=𝑒 𝑑=𝑒

𝑇 𝑛

𝜎∗

−𝜎∗

𝑑=

𝑇 𝑛

1 𝑢

(1.8) (1.9) (1.10)

A pravděpodobnost lze dopočítat ze vztahu: 𝑇

(1 + 𝑟)𝑛 − 𝑑 𝑝= 𝑢−𝑑

(1.11)

Vnitřní hodnota po dosazení do vztahu (1.1) bude stanovena vztahem10: 𝑉𝑐 = 𝑝 ∗ max 𝑢 ∗ 𝑆 − 𝑋, 0 + 1 − 𝑝 ∗ max⁡ (𝑑 ∗ 𝑆 − 𝑋, 0)

10

(Scholleová, 2005)

18

(1.12)

Tato hodnota je, ale pouze hodnotou budoucí, pokud chceme získat hodnotu na začátku období, musíme vztah (1.12) ještě diskontovat. [𝑝 ∗ max 𝑢 ∗ 𝑆 − 𝑋, 0 + 1 − 𝑝 ∗ max 𝑑 ∗ 𝑆 − 𝑋, 0 ] 1+𝑟

𝑉𝑐 =

(1.13)

Parametr r zde zastupuje bezrizikovou úrokovou míru. Pokud budeme chtít, využít takto upravené rovnice pro více období je nutné uvažovat více možností získaných dělením binomického stromu. Takto dostaneme rovnici pro call opci evropského typu11: 𝑉

𝑐=

1 𝑛! ∗ 𝑛 ∗𝑝 𝑖 ∗ 1−𝑝 𝑛 −𝑖 ∗max 𝑆∗𝑢 𝑖 ∗𝑑 𝑛 −𝑖 −𝑋,0 1+𝑟 𝑛 𝑖=0 𝑖!∗ 𝑛−𝑖 !

(1.14)

V případě výpočtu hodnoty americké call opce není možné použít přímého výpočtu. Je nutné procházet strom rekurentně zpět. Pro určitou hodnotu opce v i-tém uzlu v čase (n-1) získáme rovnici: 𝑉𝑐 𝑖

𝑛=1

=

1 ∗ [𝑝 ∗ max 𝑆 ∗ 𝑢𝑖 ∗ 𝑑𝑛−𝑖 − 𝑋, 𝑆 − 𝑋 1+𝑟

(1.15)

+ 1 − 𝑝 ∗ max⁡ (𝑆 ∗ 𝑢𝑖−1 ∗ 𝑑 𝑛−𝑖+1 − 𝑋, 𝑆 − 𝑋)]

Pro put opce evropského typu je možné rovnice odvodit analogicky: 𝑉

𝑐=

1 𝑛! ∗ 𝑛 ∗𝑝 𝑖 ∗ 1−𝑝 𝑛 −𝑖 ∗max 𝑋−𝑆∗𝑢 𝑖 ∗𝑑 𝑛 −𝑖 ,0 1+𝑟 𝑛 𝑖=0 𝑖!∗ 𝑛−𝑖 !

(1.16)

Podobně jako v případě odvození rovnice (1.15) je pro výpočet rovnice hodnoty americké put opce nutné postupovat odzadu a rekurentně. V takovém případě hodnota i-tého uzlu v čase (n-1) rovna: 𝑉𝑐 𝑖

𝑛=1

=

1 ∗ [𝑝 ∗ max 𝑋 − 𝑆 ∗ 𝑢𝑖 ∗ 𝑑𝑛−𝑖 , 𝑋 − 𝑆 1+𝑟

+ 1 − 𝑝 ∗ max⁡ (𝑋 − 𝑆 ∗ 𝑢𝑖−1 ∗ 𝑑𝑛−𝑖+1 , 𝑋 − 𝑆)]

11

Detailněji odvozeno v (Cox, a další, 1979) str. 11 - 12

19

(1.17)

2.3.3. Analytické modely pro americké opce s výplatou dividend Všechny tyto modely vycházejí z Black-Scholesova modelu. Na rozdíl od tohoto modelu při výpočtech předpokládají použití podkladového aktiva (např. akcie) s výplatou dividend. Americké opce jsou pro výpočty složitější než ty evropské. Problém spočívá v možnosti využít opce dříve, než je stanoveno datum vypršení. Dále uváděné vzorce jsou pouze aproximací, jediným případem kdy je možné vzorce použít přesně je případ kupní americké opce s jedinou předem známou dividendou. Tento případ jako první vyřešili Roll, Geske a Whaley. Po nich byl tento model také pojmenován12.

 t   C  S  Deit N b1   S  Deit M  a1 ,b1 ;  T  









 t       X  D  e it N  b2   Xe iT M  a2,  b2 ;  T   

Kde:

a1 



  



ln S  Deit / X  i   2 / 2 T  T a2  a1   T

b1 



  

b2  b1   t Kde:  12



ln S  Deit / I  i   2 / 2 t  t

N(x) je distribuční funkce normálního rozdělení,

Podrobně (Whaley, 1981)

20



M(a,b;T) je distribuční funkce normálního rozdělení, která udává pravděpodobnost, že

korelační koeficient mezi těmito náhodnými veličinami, 

S jehodnota akcie po výplatě dividend, která splňuje podmínku:



Pc(S, X, T-t) = S + D - X



kde Pc(S, X, T-t) je hodnota evropské kupní opce na akcii s cenou S, realizační cenou X a s dobou do realizace T-t,



D jsou vyplacené dividendy.

Z předchozího příkladu vidíme, že použití vzorce není možné obecně. Roku 1987 přichází BaroneAdesi a Whaley (BAW) s kvadratickou aproximační metodou na stanovení hodnoty americké kupní opce, která má míru udržovacích nákladů b. Tato metoda je založena na původní metodě výpočtu prezentované roku 1986 W. MacMillanem13. Pokud je tato míra nákladů vyšší než bezrizikový výnos, lze pro stanovení hodnoty této opce použít běžný Black-Scholesův vzorec14. A původní stanovení hodnoty je odvozeno z evropské opce upravené o možnost předčasného ukončení (získání prémie). Americká kupní opce: CGBS S, X, T + A2 S S∗ C S, X, T = S − X,

q2

,

když S < S ∗∗ když S ≤ S∗∗

kde cGBS (S,X,T) je hodnota kupní opce podle Black-Scholesova vzorce pro příslušné parametry. Přesněji je zde užito Black-Scholes-Mertonova vzorce pro výpočet hodnoty evropské opce. Pro další parametry platí:

S A2  1  eb  i T N d1 S  q2



13 14

  

(MacMillan, 1986) (Starý, 2003)

21

d1 S  

q2 





ln S / X   b   2 / 2 T

 T

 N  1 

N  12  4M / K 2

M  2i /  2 , N  2b /  2 , K  1  eiT Americká prodejní opce: C S, X, T =

CGBS S, X, T + A2 S S∗∗ X − S,

q1

,

když S < S ∗∗ když S ≤ S∗∗

kde pGBS(S,X,T) je hodnota prodejní opce podle Black-Scholesova vzorce pro příslušné parametry. Pro další parametry platí:

A1  

q1  kde S**

  

S  1  eb i T N  d1 S  q1



 N  1 

N  12  4M / K 2

je hraniční hodnota podkladového aktiva, která splňuje následující rovnici:



  

 

S   X  c S  , X , T  1  eb  i T N d1 S  S 

1 q2

LHSSi   Si  X



 



RHS Si   c S  , X , T  1  eb i T N d1 Si  Si

1 q2

Tato rovnice může být řešena užitím Newton-Raphsonova algoritmu. Parciální derivace RHS podle Si je:

 e b i T nd 1 S i  1 RHS  bi  e b i T N d 1 S i  1  1 / q 2   1   S i  T   q2 22

Pro počáteční hodnotu Si je podle tohoto algoritmu nejlepším odhadem Si+1:

Si 1 

X  RHS Si   bi Si  1  bi 

Iterační proces pokračuje do té doby, pokud absolutní hodnota relativní odchylky není nižší než přijatelná chyba, například:

LHSSi   RHS Si  / X  0.00001 a S**

je hraniční hodnota podkladového aktiva, která splňuje následující rovnici:



  S

 

X  S   p S  , X , T  1  e b i T N  d 1 S 



1 q1

VS S j   X  S j







HS S j   pS j , X , T   1  e b i T N  d 1 S j  S j

1 q1





b i T  n  d 1 S j   HS  e  1 b i T  b j  e N  d 1 S j  1  1 / q1   1   S j  T     q1



S j 1 



X  HS S   b S  1  b  j

j

j

j

Pro použití Newton-Raphsonovy metody potřebujeme dobrý odhad první hodnoty. Barone-Adesi a Whaley doporučují použít:















  X S1  X  S    X 1  eh2 , h2   bT  2 T     S    X    X S1  S   X  S  eh1 , h1  bT  2 T     X  S  



kde S()



je hraniční hodnota podkladového aktiva při nekonečné době realizace.

23

S    

X 1  2 N  1  

S    

N  12  4M 

1

 (1.18)

X 1  2 N  1  

N  12  4M 

1



V roce 1999 přichází Ju a Zhong s modifikací modelu MacMillana, Barone-Adesiho a Whaleyho. A ve své studii15 uvádějí, že dosáhli lepších výsledků pro stanovení ceny a to hlavně pro opce s velmi krátkým nebo velmi dlouhým časem maturity. Aproximovali hodnotu americké opce následujícím způsobem: 𝑃 𝑆, 𝑇 = 𝑃𝐸 𝑆, 𝑇 +

𝐾 𝑇 𝐴 𝐾 (𝑆 𝑆 ∗ )𝜆(𝐾) , 𝑝𝑟𝑜 𝑆 > 𝑆 ∗ 1−𝜒 𝑋 − 𝑆, 𝑝𝑟𝑜 𝑆 < 𝑆 ∗

Kde 𝐾 𝑇 𝐴 𝐾 = 𝑋 − 𝑆 ∗ − 𝑃𝐸 (𝑆, 𝑇) a S* řeší rovnici: 𝑋 − 𝑆 ∗ = 𝑃𝐸 𝑆 ∗ , 𝑇 − 1 − 𝑒 −𝛿𝑇 𝑁 −𝑑1 (𝑆 ∗ ) 𝑆 ∗ /𝜆 A 𝑆 𝜒 = 𝑏 log( ∗ ) 𝑆

2

𝑆 + 𝑐 log( ∗ ) 𝑆

Kde 𝑏=

𝑐=

1 − 𝐾 ∗ 𝑀1 𝜆´ (𝐾) 2(2𝜆 + 𝑀2 − 1)

1 − 𝐾 ∗ 𝑀1 1 𝜕𝑃𝐸 (𝑆 ∗ , 𝑇) 1 𝜆´ (𝐾) + + 2𝜆 + 𝑀2 − 1 𝐾𝐴(𝐾) 𝜕𝐾 𝐾 2𝜆 + 𝑀2 − 1 𝑀1

𝜆´ 𝐾 =

𝐾 2 (1 − 𝑀2 )2 +

15

(Ju, a další, 1999)

24

4𝑀1 𝐾

∗

𝜕𝑃𝐸 (𝑆 ∗ , 𝑇) 𝑆 ∗ 𝑒 −𝑑 1 (𝑆 )/2 𝜎𝑒 (𝑟−𝛿)𝑇 𝛿𝑆 ∗ 𝑁 −𝑑1 (𝑆 ∗ ) 𝑒 = + 𝜕𝐾 𝑟 2𝑟 2𝜋𝑇

𝑟−𝛿 𝑇

− 𝑋𝑁 −𝑑2 (𝑆 ∗ )

Tento model měl dosahovat lepší úsporu výpočetního času než BAW a vracet lepší výsledky pro stanovení hodnoty opce s velmi krátkou nebo velmi dlouhou dobou exspirace. Model demonstrovali pouze na datech získaných simulací. Ve studii16 byl tento model porovnán s BAW modelem na ohodnocení opcí farmaceutických společností, kde byly ceny opcí získány z reálných dat. Závěr této studie zněl, že BAW model ohodnocuje opce přesněji ve všech případech, kromě případu opce „v penězích“ exspirující dříve než do jednoho roku. 2.3.4. Simulační modely – Monte Carlo Simulace těží z velkého množství uskutečnitelných scénářů. Každý scénář, který je simulován přispívá k zpřesnění výsledku. Obvykle simulace provádíme v počtu několika tisíc. Každá jedna simulace charakterizuje vývoj hodnoty podkladového aktiva v mezích nejistoty (rizika definovaného na základě volatility podkladového aktiva), které jsme určili a po dobu trvání opce. Pro každou simulaci je nutné definovat vstupní parametry17:

16 17



Současná hodnota podkladového aktiva (𝑆0 )



Volatilita podkladového aktiva (σ)



Strike price (X)



Životnost opce (T)



Bezriziková úroková míra (r)



Časový krok simulace v rámci životnosti opce (ϭt)

(Kim, a další, 2008) (Kodukula, a další, 2006)

25

V simulaci bude životnost opce rozdělena na menší úseky (kroky) o délce (ϭt) a tisíce simulací jsou navrženy tak, aby identifikovaly hodnotu podkladového aktiva po každém takovémto kroku. V čase rovném nule začínáme každou simulaci s hodnotou podkladového aktiva (𝑆0 ). V dalším kroku je hodnota podkladového aktiva vypočítána rovnicí18: 𝑆𝑡 = 𝑆𝑡−1 + 𝑆𝑡−1 (𝑟 ∗ 𝛿𝑡 + 𝜎𝜀 𝛿𝑡

Kde 𝑆𝑡 a 𝑆𝑡−1 je hodnota podkladového aktiva v čase t a t-1, podobně je 𝜎 volatilita podkladového aktiva a 𝜀 je simulovaná hodnota ze standardního normálního rozdělení pro střední hodnotu 0 a směrodatnou odchylku 119. V následujících krocích, až do konce životnosti opce spočítáme hodnotu podkladového aktiva obdobně. Samotné vyhodnocení pak probíhá jako porovnání konečné hodnoty podkladového aktiva v posledním kroku a strike price (dohodnutá cena). V reálné aplikaci by to mohla být v případě kupní opce investice do projektu, pro prodejní opci cena odstoupení od projektu. V případě kupní opce pokud je předem dohodnutá cena nižší, než cena na konci simulace, opci na investici (zahájení) projektu využijeme. Hodnota projektu by byla stanovena, jako rozdíl mezi hodnotou získanou simulací a předem dohodnutou cenou. Na druhou stranu, pokud by byla hodnota předem stanovené ceny vyšší, byla by hodnota projektu 0. Protože by opce nebyla využita. Pro prodejní opci by byl postup přesně obrácený. Každá výsledná hodnota projektu je diskontována do současnosti (okamžik od kdy je opce platná) pomocí bezrizikové úrokové míry r. Průměr ze všech hodnot ze všech simulací bude cena opce. Pro evropské opce se cena opce stanovuje relativně snadno, protože předem známe datum využití opce. Dobu životnosti opce rozdělíme na menší části, pro které je proveden výpočet uvedený výše. Čím více bude kroků výpočtu a větší počet simulací tím přesnější bude výsledná cena opce.

18 19

(Mun, 2002) V Excelu je tato funkce nazvána NORMSINV. Blíže praktické využití 5. kapitola (Mun, 2002)

26

U americké opce neznáme datum využití opce, a proto bychom měli stanovit jeden den jako krok výpočtu. To by i za použití výpočetní techniky byl velmi zdlouhavý proces. Zvláště pak u složených nebo sekvenčních opcí, protože jakékoliv rozhodnutí vede na úplně jinou opci a pro každou odbočku by bylo nutné provést simulaci. Pokud bychom měli například krok, ve kterém můžeme učinit rozhodnutí, které povede na tři další, bude každý krok znamenat nárůst počtu simulací exponenciálně (po prvním rozhodnutí dostáváme tři větve, v dalším rozhodnutí devět větví atd.). Z toho plyne, že metoda Monte Carlo je velice dobře využitelná pro výpočet hodnot jak amerického tak evropského typu opce, pokud je správně volen krok simulace. Ten by měl být volen jako kompromis mezi snahou o co největší přesnost a výpočetní náročností. Obecně by tento krok neměl být kratší než měsíc čí týden. U projektů trvajících několik let by i větší počet simulací s délkou kroku jeden rok mohl být výpočetně velmi náročný.

2.4.Metoda čisté současné hodnoty Výpočet čisté současné hodnoty neboli NPV (z anglického „Net Present Value“) je jedním z nejčastěji používaných způsobů hodnocení investic. Hlavní myšlenka této metody spočívá ve faktu, že peníze mění v čase svou hodnotu. Veličina diskontu je v rúzných úlohách nezbytná k přepočtu ekonomických veličin mezi různými časovými obdobími na ekvivalentní, sčitatelné hodnoty ke společnému datu20. Diskont vyjadřuje cenu ušlé příležitosti (opportunity costs), jinak rečeno výnos, který by investor mohl získat použitím peněžních prostředků na jiné, alternativní investice. Vyjadřuje tedy výnos, cenu vlastního kapitálu investora. Proto když se snažíme určit budoucí hodnotu objemu peněz (FV – future value), určujeme jí na základě současné hodnoty (PV – present value), očekávaného výnosu r (diskont) a délky období (n – počet let během, kterých je částka investována).

20

Upraveno z nápovědy programu Efekt.

27

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ∗ (1 + 𝑟)𝑛

(1.19)

Z tohoto vztahu můžeme odvodit vztah pro současnou hodnotu peněžního toku (PV). 𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 ∗

Výraz

1 (1+𝑟)𝑛

1 (1 + 𝑟)𝑛

(1.20)

se nazývá odúročitel, nebo také diskontní sazba. Dále můžeme odvodit vzorec pro

výpočet NPV jako součet diskontovaných čistých toků hotovosti v průběhu doby investice. 𝑛

𝑁𝑃𝑉 = 𝑖=1

𝑁𝑃𝑉𝑖 − 𝐾 (1 + 𝑟)𝑖

(1.21)

kde 

NPV je čistá současná hodnota investice,



NPV je čistý tok hotovosti v i-tém roce investice (lze psát i jako CF21),



r je diskont (diskontní sazba)



K je kapitálový výdaj.

Pokud je nutné na počátku projektu učinit investici, bude kapitálový výdaj ze vzorce (1.21) roven této investici. Z rovnice vidíme, že pokud nám čistá současná hodnota investice nebo projektu vyjde kladná, logika nám říká, že bychom měli projekt nebo investici realizovat. V opačném případě, bychom investici nebo projekt realizovat neměli. Tato metoda je tak hojně využívána z několika důvodů. Prvním z nich je diskontování peněžních toků, čímž bere v úvahu časovou hodnotu peněz. Bere do úvahy pouze očekávané peněžní toky a alternativní náklady kapitálu (čili zisk, který bychom mohli získat, pokud bychom investovali prostředky do jiného projektu se stejným rizikem – očekávaný výnos). Výpočet je tím pádem relativně jednoduchý. 21

(Kislingerová, 2004)

28

Dalším důvodem je aditivita čisté současné hodnoty v rámci portfolia tzn., že můžeme sčítat čisté současné hodnoty všech investic v portfoliu a jako součet stanovit celkovou hodnotu portfolia22. Hlavním důvodem budou absolutní čísla, která nám tato metoda udává. Metoda čisté současné hodnoty se vyznačuje i několika chybami. Velká závislost na diskontu (námi očekávaném výnosu), který je obtížné predikovat, ovlivňuje naši schopnost nějakým přesným způsobem stanovit hodnotu projektu. Poslední nevýhodou je předpoklad, že projekt se po celou dobu bude vyvíjet podle naší předpovědi. Jednak metoda NPV nepočítá s možností změn na trhu a za druhé úplně zanedbává úlohu managementu. V jednoduchém případě kdyby management zvažoval investici do ropného pole, by výnosnost této investice nutně závisela na ceně ropy. Cena ropy se prudce mění. Pokud by management uvažoval v roce nula o této investici, musel by počítat s výnosem podle ceny ropy v tomto roce nebo nějakým předpokladem. Naproti tomu pokud by cena ropy klesla, mohla by se investice ukázat jako ztrátová. Tento problém, ale lze řešit lépe a přesněji za pomoci reálných opcí.

22

(Kislingerová, 2004)

29

3. Reálné opce Tato kapitola se zabývá reálnými opcemi. Snaží se nadefinovat základní typy opcí a uvádět příklady jejich použití. Mnoho manažerů a akademiků si v současnosti plně uvědomuje, že hodnocení projektů pomocí NPV a dalších metod založených na diskontování CF je neadekvátní. Hlavní problém spočívá ve flexibilitě managementu (adaptaci a změně rozhodnutí založených na tržních podmínkách), kterou tyto výše zmíněné metody nezahrnují. Tradiční metoda NPV implicitně předpokládá průběh projektu podle předem stanoveného scénáře pro CF a předpokládá pasivní úlohu managementu ve vztahu k plnění jisté strategie. V aktuálním tržním prostředí, které je charakterizováno neustálými změnami a působením konkurence, se peněžní toky projektu budou téměř jistě lišit od předpokladů managementu na začátku projektu. Jakmile jsou známy nové informace o situaci na trhu, nebo dochází k částečným změnám v peněžních tocích projektu, management může v rámci projektu s jistou flexibilitou přesouvat finanční prostředky tak aby těchto nových informací využil, nebo uchránil podnik od dalších ztrát. Takové změny mohou být například zúžit výrobu, rozšířit výrobu, opustit/ukončit výrobu nebo jinak změnit výrobu v průběhu jednotlivých fází projektu. Flexibilita managementu při adaptaci na budoucí tržní podmínky, může mít veliký vliv na zvýšení výnosnosti projektu v případě úspěchu, při zachování velikosti ztrát v opačném případě. Z této asymetrie vychází úprava hodnoty projektu určenou pomocí (statických peněžních toků) NPV o opční (flexibilní) hodnotu budoucích rozhodnutí managementu. Tato opční hodnota se nazývá reálnou opcí. Její vliv na celkovou hodnotu projektu uvádí následující rovnice23: Hodnota projektu = tradiční NPV + opční hodnota

23

(Scholleová, 2005)

30

Ze vzorce odvodíme, že tradiční metoda NPV není zcela nahrazena, ale je použita jako nezbytná součást výpočtu. Jak vidíme (Obrázek 3) hodnota opce nám velice usnadňuje rozhodování o uskutečnění projektu hlavně v případech, kdy je NPV blízko nule a jde o velmi rizikový projekt. Pro NPV velmi vysoké není třeba znát hodnotu opce, protože hodnota NPV jendoznačně převažuje. V opačném případě, kdyby hodnota opce dosahovala kladných hodnot, ale NPV velmi záporných, management by nevěřil v

Obrázek 3 životaschopnost projektu. Reálné opce se dělí na dvě skupiny24:

24



Opce jednoduché



Opce složené

(Kodukula, a další, 2006)

31

Hlavní rozdíl obou skupin opcí je v původu jejich hodnoty. Hodnotu jednoduchých opcí určujeme z hodnoty podkladového aktiva. Hodnota opcí složených závisí na hodnotě jiné opce, spíše než na hodnotě podkladového aktiva.

3.1.Opce jednoduché Jsou používány hlavně pro hodnocení jednodušších projektů. Ve většině literatury jsou jednoduché reálné opce rozděleny do následujících pěti kategorií25: 

Opce na odložení projektu



Opce na rozšíření projektu



Opce na ukončení projektu



Opce na zúžení projektu



Opce volby v projektu

V některé literatuře26 je možné najít ještě další typy opcí, např. opce na dočasné přerušení. Tuto opci pomineme, protože vychází z opce na odložení projektu a má podobné parametry. V další literatuře27 se objevují i jiné typy opcí, které postupem času nedosáhli takové důležitosti, nebo byly zařazeny do složených opcí. My si mezi jednoduché opce zařadíme ještě jeden typ opce: 

Opce s hranicí

Tato opce nabývá na popularitě a dnes, už patří mezi běžně používané. 3.1.1. Opce na odložení projektu Tento typ se skrytě vyskytuje téměř ve všech projektech. Organizace může investici odložit na základě současné negativní hodnoty NPV, nebo na základě velké nejistoty trhu (cena pozemku, ropy atd.). Jakmile tato nejistota „zmizí“ (objeví se nové informace), NPV projektu je katapultováno do vysokých kladných hodnot. Vysoké hodnoty NPV projektu jsou výsledkem velkých zisků projektu a ty 25

(Schwartz, a další, 2004) (Scholleová, 2005) 27 (Starý, 2003) nebo (Schwartz, a další, 2004) 26

32

musí přesahovat investici do projektu, které jsou v opci zobrazeny jako strike price (předem dohodnutá cena). Pokud zisk projektu, v určitém okamžiku přesáhne strike price, investice do projektu je zrealizována, v opačném případě nikoliv. Na základě výše zmíněných faktů, lze opci na odložení projektu popsat opcí kupní amerického typu. Opce na odložení mají největší cenu pro majitele proprietárních technologii (softwaru), produkty s výhradním majitelem (patentem), nebo kde je bariera pro vstup na trh velice vysoká a majitel tak neztrácí zisky čekáním se vstupem na trh28. V případech kdy společnost nechce využít zavedení patentovaného výrobku okamžitě z ekonomických nebo jiných důvodů, přichází o zisk, který by takové zavedení mohlo přinést. Při neustále se zkracující době, po kterou patent platí, společnost odepisuje potenciální zisky. Tyto zisky jsou odečítány z celkové hodnoty projektu. Při hodnocení projektu pomocí opcí jsou tyto uniklé zisky, vnímány jako dividendy. V takovýchto případech se jedná o americké kupní opce s výplatou dividend. V konkrétním případě (bez výplaty dividend) by situace vypadala asi takto. Firma s názvem Energie a.s. by si pronajala pozemek (s úmyslem těžby ropy) na 3 roky. Firma bude nucena investovat 100 mil. Eur, aby na tomto pozemku mohla těžbu zahájit. Na základě předpokládaného objemu ropy v úložišti a současné ceny ropy, za pomoci analýzy diskontovaných volných peněžních toku (DCF) vychází NPV záporné. Ovšem ceny ropy jsou velice volatilní a v budoucnu mohou strmě stoupat. Protože hodnota opce je vysoká, rozhodne se společnost Energie k odložení výroby, do doby kdy bude cena ropy dostatečně vysoko. V takové případě by současná hodnota podkladového aktiva (cena pronájmu pozemku) byla S, doba životnosti opce (3 roky), by byla doba, dokud může management rozhodnutí oddalovat a volatilita by se dala určit jako volatilita budoucích CF projektu (nebo ceny ropy v našem případě 30 procent). Bezriziková úroková míra pro další roky je stanovena na 5 procent. 28

(Kodukula, a další, 2006)

33

Na následujícím obrázku (Obrázek 4) vidíme výpočet hodnoty opce na odložení z výše uvedených hodnot. Výsledek 28 mil. Euro je velmi vysoký v porovnání s investicí (100 mil. euro) a pravděpodobně by přispěl ke kladnému rozhodnutí o investici do projektu.

S0 100 28

S0u2 182 87

S0u1 135 50

S0u1d1 100 17

S0d1 74 8

Horní hodnoty označují hodnotu podkladového aktiva. Spodní hodnoty uvádí hodnotu opce na odložení. Nuly označují nevyužití opce na odložení.

S0d2 55 0

S0u3 246 146 S0u2d1 135 35 S0u1d2 74 0 S0d3 41 0

Obrázek 4 Opce na odložení projektu je možné najít ve velké množství projektů, napříč celým spektrem průmyslu. Nejčastěji se můžeme setkat s využitím v energetickém nebo těžebním průmyslu, zemědělství, nemovitostech, výrobě papíru, softwaru a dalších. 3.1.2. Opce na rozšíření projektu Tato opce je velice populární v odvětvích s rychlým růstem, zvlášť v období „boomu“. Pro některé projekty může být NPV nulové nebo negativní, ale pokud existuje možnost velmi velkého zisku s velkým rizikem (volatilitou), opce na rozšíření může mít velkou přidanou hodnotu. Můžeme předpokládat nízké nebo záporné NPV pro krátké časové období, právě pro velký potenciál v budoucnu. Bez započtení opce na rozšíření mohou být velmi ziskové projekty zamítnuty, právě kvůli krátkodobému výhledu. Investice do rozšíření bude realizační cena (strike price), která bude obdržena při využití opce.

34

Z předchozího logicky plyne, že opce bude využita v okamžiku, kdy zisky z investice budou větší než strike price. Jedná se tedy o kupní opci. Pro názornost použijme společnost Vize a.s.. Ta vynalezla novou službu video-on-demand a uvedla ji ve dvou městech na území České Republiky. Reakce na produkt nebyla úplně v souladu s očekáváním, ale trh také nebyl bez reakce. DCF projektu v období jeho trvání bude 200 milionů eur (parametr S). Volatilita peněžních toků bude 30 procent (σ). Společnost věří, že v této službě je veliký potenciál a prozkoumává rozšíření do dalších 7 měst (opce na rozšíření). Toto rozšíření bude mít za následek ztrojnásobení obratu a bude stát 240 milionů eur (X). Tuto službu je možné využít pro příští dva roky (T), než jí bude schopna využít konkurence. V tomto období bude bezriziková úroková míra pět procent (r).

S0 200 64

S0u1 270 123 S0d1 148 10

Nuly označují případy nevyužití opce. Horní čísla označují hodnotu podkladového aktiva. Dolní označují hodnotu opce na rozšíření.

S0u2 364 234 S0u1d1 200 20 S0d2 110 0

Obrázek 5 Jako první spočteme hodnoty podkladového aktiva (DCF projektu) pro všechny uzly stromu. U konečných uzlů porovnáme hodnotu DCF po rozšíření a odečtení nutné investice. Pokud bude hodnota podkladového aktiva (DCF po úpravě ve směru pohybu) nižší je hodnota rovna nule, jinak dosadíme hodnotu (po rozšíření a odečtení investice). Zpětně dopočteme hodnotu držené opce, až k prvnímu uzlu. Pod prvním uzlem poté dostáváme výslednou hodnotu opce. 35

Opce na rozšíření jsou široce využitelné v technologickém průmyslu, výzkumných a vývojových projektech, infrastruktuře, mezinárodní akvizice, farmaceutický průmysl, elektronika atd.29. 3.1.3. Opce na ukončení Tato opce je přítomná v téměř všech typech projektů. Tento typ opce má velkou přidanou hodnotu hlavně v případech kdy NPV hraničí s nulou a existuje velký potenciál ke ztrátám. Jakmile jsou nejistoty spojené s rizikem projektu vyjasněny, může management opustit projekt před utržením ještě větších ztrát. Ztráty z projektu je možné omezit prodejem majetku, nejlépe za předem dohodnutou cenu. Hlavním problémem v takové případě je prodej majetku pokud cena podkladového aktiva (budoucí výnosy z projektu) klesne pod předem stanovenou cenu (strike price). Z výše zmíněných charakteristik lze odvodit, že se bude jednat o put opci amerického typu. Za příklad vezměme společnost Viagros.com a.s., která se zabývá vývojem léků. Jeden z nových léků vykazuje potenciál velkého růstu. Celkové náklady na zavedení produktu na trh jsou odhadovány na 90 milionů euro. Na trhu těchto preparátů je velká konkurence a tak viceprezident této společnosti uvažuje o zajišťovací strategii pomocí opcí na ukončení projektu. Současná hodnota budoucích zisků z prodeje preparátu je odhadována na 100 milionu euro. V následujících dvou letech může společnost buď pokračovat ve vývoji, nebo prodat patent za 100 milionů euro konkurenci. Volatilita budoucích peněžních toků je stanovena na 30 procent a bezriziková úroková míra bude 5 procent. Pro výpočet použijeme metody binomických stromů. Nejdříve spočte parametry u a d (viz kapitola 2.3.2). Pomocí těchto parametrů vypočteme hodnotu podkladového aktiva v jednotlivých uzlech (letech) stromu. Začneme s hodnotou podkladového aktiva (S0) a roznásobíme jí pro uzel (S0u1) parametrem u a pro uzel (S0d1) parametrem d1. Podobně postupujeme z levé strany stromu napravo. Pro náš případ by takto sestavený strom vypadal jako na obrázku (Obrázek 6).

29

(Schwartz, a další, 2004)

36

Dalším krokem bude zpětný výpočet hodnoty opce z koncových uzlů. V posledních uzlech porovnáme hodnotu podkladového aktiva s předem dohodnutou prodejní hodnotou majetku. Pokud je nižší bude hodnota opce rovna dosadíme dohodnutou hodnotu, naopak pokud bude vyšší, dosadíme hodnotu podkladového aktiva.

S0 100 104

S0u1 135 135 S0d1 74 83

S0u2 182 182 S0u1d1 100 100 S0d2 55 75

Modře vyznačeno je využití opce na zúžení.

Obrázek 6 V dalším kroku porovnáme předem dohodnutou hodnotu majetku při ukončení projektu a hodnotu ponechání opce otevřené pro uzly o krok vlevo (S0d1 a S0u1). Stejně postupuje i u výpočtu pro počáteční uzel. Zde dostáváme hodnotu projektu na úrovni 104 milionů euro. Přístup pomocí reálné opce na ukončení vytvořil dodatečný výnos v hodnotě 4 milióny euro (104 mil. - 100 mil.). Tato přidaná hodnota může managementu usnadnit rozhodnutí, jestli do projektu investovat či nikoliv. 3.1.4. Opce na zúžení Opce na zúžení se stává velice užitečnou zvláště v době, kdy jsou společnosti nuceny rychle snižovat stavy zaměstnanců a outsourcingovat aktivity. Společnosti se vytvořením opce na zúžení mohou zabezpečit proti nepříznivému vývoji na trhu. Opce na zúžení má stejné vlastnosti jako prodejní opce, protože hodnota opce stoupá, s tím jak klesá hodnota podkladového aktiva.

37

V příkladu použijme společnost Auta a.s., která operuje na Evropském trhu s automobily. V nedávné době zavedla nový model automobilu a nechala postavit dvě montážní linky. V současnosti se ukazuje, že konkurenční korejská firma disponuje podobným modelem automobilu, který je schopná vyrábět s třiceti procentní úsporou nákladů. Společnost Auta a.s. zvažuje možnost zúžení výroby ze dvou montážních linek pouze na jednu, a dosáhnout zvýšení efektivity pomocí konsolidace aktivit a outsourcingu služeb v průběhu dalších dvou let (T). Společnost by zúžením svých aktivit na polovinu získala 140 milionů eur a to i vzhledem k celkovým nákladům na správu. Hodnota volných peněžních toků z obou montážních linek je odhadována na 200 milionů eur (S0). Volatilita peněžních toků z těchto montážních linek je na úrovni 35 procent (σ). Bezriziková úroková míra na příštích pět let je odhadována na 5 procent (r).

S0 200 240

S0u1 284 303 S0d1 141 211

S0u2 403 403 S0u1d1 200 240 S0d2 99 190

Modře vyznačeno je využití opce na zúžení.

Obrázek 7 Pro výše zmíněný příklad si musíme uvědomit, že (při použití výpočtu pomocí binomických stromů) v každém uzlu stromu porovnáváme hodnotu otevřené opce a využití opce na zúžení aktivit o 50 procent se ziskem 140 milionů eur. Nejprve si však spočteme parametry u,d a p. Ty požijeme pro výpočet hodnot podkladového aktiva v jednotlivých uzlech (rovnice viz kapitola 2.3.2). Potom použijeme zpětného dopočtu jednotlivých hodnot projektu. Začneme koncovými uzly stromu a postupujeme 38

výpočtem dalších hodnot uzlů směrem k počátečnímu. V každém uzlu porovnáváme hodnotu ponechání opce nevyužité a využití opce na zúžení. Například pro uzel (S0u1) porovnáváme hodnotu podkladového aktiva (284 milionů eur) s hodnotou projekt s opcí (210 milionů eur) a dosadíme maximum z těchto hodnot. Výsledný strom pro všechny uzly s hodnotami DCF (horní hodnoty) a celkovými hodnotami projektu včetně opční (spodní hodnoty) je vidět na následujícím obrázku (Obrázek 7). Pokud hodnotu DCF a celkovou hodnotu projektu odečteme v prvním uzlu (S0) dostaneme hodnotu opce v našem případě 40 milionů eur. Tato hodnota, už činí téměř 40 procent budoucí DCF a může mít vliv na rozhodnutí managementu. V příkladu si také můžeme všimnout, že pro uzel S0d2 jsou sice hodnoty uvedeny, ale při využití opce na zúžení v uzlu S0d1 by k této možnosti vůbec nemohlo dojít. 3.1.5. Opce volby v projektu Opce volby se skládá z více opcí. Tyto opce jsou opce na opuštění, rozšíření a opce na zúžení projektu. Důvod proč je tato opce nazývána opcí volby, spočívá v možnosti pokračování v držení opce, nebo volbě jedné z možnosti (opce rozšíření, opce opuštění, opce zúžení). Hlavní výhodou této opce je možnost volby. Opce volby je v jistém smyslu unikátní, a to hlavně protože se můžeme na tuto opci dívat jako na kupní opci (opce na rozšíření) nebo také jako na prodejní (opce na zúžení, opce opuštění). Společnost Více možnosti a.s. stojí před složitým rozhodnutím (pokračovat ve stávajícím trendu, rozšířit výrobu, zúžit výrobu, anebo výrobu úplně ukončit). Současná hodnota budoucích peněžních toků pro tento projekt byla stanovena na 200 milionů eur (S0). Volatilita budoucích peněžních toků je odhadována na 25 procent (σ) a bezriziková úroková sazba byla stanovena na 5 procent (r). V jakémkoliv okamžiku během příštích tří let (T) může firma expandovat o 30 procent při investici 50 milionů eur, o čtvrtinu zúžit výrobu a tak ušetřit 40 milionu eur, nebo kompletně ukončit výrobu za zbytkovou cenu 120 milionů eur.

39

Pro výpočet hodnoty opce využijeme binomické stromy, je nutné si uvědomit, jak předchozí možnosti ovlivňují výpočet. Nejprve si podle rovnic (viz kapitola 2.3.2) spočteme u, d a p. Parametry u a d využijeme při výpočtu hodnot podkladového aktiva v každém uzlu. Dále pro každý uzel bude hodnota opce právě taková, jako maximum ze všech tří možností a hodnoty držení opce. Například pro uzel ve třetím roce po třech nárůstech hodnot (S0u3) by hodnota podkladového aktiva byla rovna 423 milionů eur. Hodnota nevyužité opce by byla 500 milionů eur. Opce pro ukončení má pořád hodnotu 120 milionů eur. Opce pro rozšíření nabývá hodnoty 500 milionů eur a opce na zúžení výroby bude mít hodnotu 357 milionů eur. Na následujícím obrázku (Obrázek 8) vidíme výsledné hodnoty projektu za celé období tří let. Každému uzlu jsou přiřazeny dvě hodnoty. Vrchní hodnota udává hodnotu podkladového aktiva a spodní hodnotu projektu. V poslední kroku jsou hodnoty opce odlišeny barevně, podle toho, kterou opci jsme využili (červeně – hodnota opce na opuštění projektu, modře – hodnota opce na zúžení projektu, zeleně – opce na rozšíření projektu). V prvním uzlu (S0) vidíme nejdůležitější hodnoty (NPV projektu – 200 a výslednou hodnotu projektu - 222), při jejich odečtení dostáváme hodnotu opce volby v projektu, která v našem případě činí 22 milionů eur. Tato „přidaná“ hodnota opce může přispět ke kladnému ohodnocení projektu managementem. Z výsledného stromu je také dobře vidět, že pravděpodobnost rozšíření projektu v posledním roce činí 50 procent. Není nutné, aby opce volby vždy obsahovala úplně stejnou kombinaci (obsahuje tři možnosti), opce totiž může obsahovat pouze dvě možnosti, ale výpočet bude proveden obdobně. Tohoto typu opce hojně využijeme při hodnocení projektů v těžařském průmyslu, oděvním průmyslu, stavitelství (velké projekty v cyklech).

40

S0 200 222

S0u2 330 381

S0u1 257 289

S0u1d1 200 214

S0d1 156 168

Zeleně označené jsou využití opce na rozšíření. Modře vyznačeno je využití opce na zúžení. Červeně označené je využití opce na opuštění.

S0d2 121 133

S0u3 423 500 S0u2d1 257 284 S0u1d2 156 157 S0d3 95 120

Obrázek 8 3.1.6. Opce s hranicí (barierou) Hlavní rozdíl opce tohoto typu a opce kupní nebo prodejní je fakt, že tato opce má předefinovanou hranici. Rozhodnutí (ponechat si opci, nebo jí využít) nejsou nutně učiněna jen na základě strike ceny, ale je určen práh nebo polštář, který je od této ceny vzdálen o libovolnou hodnotu. V reálném světě jsou investoři ochotni investovat do projektu, jen pokud získají určitou prémii (nebo naopak jsou k projektu nějak vázáni), ta bude zobrazena jak rozdíl mezi strike cenou a hodnotou bariéry. Jak z výše uvedeného vyplívá, opce s hranicí může být jak kupní opce tak prodejní. Typicky by pro kupní opci s hranicí byla tato hranice stanovena výše než je strike cena, a obráceně pro prodejní opci bude tato hranice určena níže než strike cena. Tímto mechanizmem posouváme práh, kdy je opce v penězích. Jako investor bychom takovéto kupní opce využili, pokud by cena podkladového aktiva stoupla nad předem stanovenou hranici nebo naopak klesla pod v případě prodejní opce. Tento typ opce lehce pozměňuje klasický problém s opcí na opuštění nebo opci na odložení. Pro přehlednost si uveďme příklad. Společnost na výrobu optických vláken Vlákna a.s. zvažuje expanzi (vstup) na Asijský trh. Spočítané peněžní toky z projektu pro příští období budou v hodnotě 130 41

milionů euro (S0). V průběhu příštích dvou let (T) může společnost Vlákna a.s. investovat částku 100 milionů euro pro získání menší konkurenční společnosti na Asijském trhu. Volatilita budoucích peněžních toků je odhadnuta na 35 procent (σ) a bezriziková úroková míra je na úrovni 5 procent (r). Kvůli souvisejícím měnovým rizikům si chtějí být akcionáři více než jistí, že projekt bude ziskový a proto stanovili hodnotu bariery (budoucí ceny podkladového aktiva) na 150 milionů eur (B).

S0 130 28

S0u1 184 61 S0d1 92 0

Modře vyznačeno je využití možnosti investice. Nuly označují nevyužití opce.

S0u2 262 132 S0u1d1 130 0 S0d2 65 0

Obrázek 9 Na obrázku (Obrázek 9) vidíme celý výpočet hodnoty opce. Jednotlivé hodnoty podkladového aktiva (u uzlů vrchní hodnota) jsou dopočteny pomocí parametru u a d (rovnice viz kapitola 2.3.2) roznásobením s počáteční hodnotou podkladového aktiva (investice do projektu). Spodní hodnota u každého uzlu reprezentuje hodnotu opce s hranicí. Za normálních podmínek (kdyby nebyla hranice stanovena) by byla opce využita, jakmile by cena podkladového aktiva stoupla nad 130 milionů eur. V našem případě k tomu dojde, až když cena stoupne nad hodnotou 150 milionů eur (uzel S0u3). Hodnota opce se počítá porovnání hodnoty držení opce (složené hodnoty opcí následujících období) a její aktuální hodnoty (podkladového aktiva mínus investice do projektu). Nakonec v uzlu S0 nám spodní hodnota reprezentuje hodnotu opce.

42

3.2.Opce složené Mnoho projektů (výzkum a vývoj, spuštění nové služby atd.) je rozděleno do více fází, ve kterých může management pokračovat v investicích, nebo je ukončit, rozšířit nebo držet stávající úroveň v závislosti na nových informacích. Například může být projekt rozdělen do čtyř fází. Fáze získání povolení, design, implementace daného řešení a zavedení. V každé fázi se management může rozhodnout, zda bude projekt pokračovat další fází nebo bude ukončen. Tento stav bude popisovat složenou opci. Kdy ukončení jedné fáze (využití opce) bude pokračovat další fází (generovat jinou opci), neboli hodnota jedné opce bude přímo závislá na hodnotě jiné opce. První investicí získáme právo nikoliv povinnost na druhou investici, která nám získá právo na třetí investici atd.. Složené opce mohou být jak sekvenční tak paralelní (nebo kombinace). Pokud musíte využít jedné opce, abyste získali právo na jinou opci, pak se jedná o opci sekvenční. Například nejdřív musíte dokončit fázi designu mostu, než ho můžete začít stavět. U paralelní opce jsou v jednom časovém období k dispozici dvě opce. Ale nezávislá opce má delší nebo stejnou životnost jako opce závislá. Například mobilní operátor chce postavit infrastrukturu pro novou generaci mobilních přístrojů a zároveň získat licenci na pásmo, ve kterém tyto zařízení operují. Ovšem nemůže dokončit testování nové infrastruktury bez získání licence. Získání licence (samostatná opce) podmiňuje získání další opce na dokončení infrastruktury a zahájení provozu nových zařízení. Výpočty pro jednotlivé typy složených opcí se vesměs neliší až na menší detaily, které budou patrné dále v textu. 3.2.1. Opce sekvenční Ačkoliv je možné jednotlivé opce uvnitř sekvenční složené opce různě kombinovat. My si ukážeme výpočet jen pro jeden nejtypičtější případ. Společnost Nápoje a.s., která zvažuje investovat do nového produktu, který vynalezlo jejich oddělení výzkumu, s názvem Top Nápoj. Podnik se rozhodl tuto příležitost ohodnotit pomocí reálných 43

opcí, protože výsledky předběžných prodejů nebyly nijak valné a pořád existují, některé nejistoty ve vývoji trhu. Projekt zavedení výrobku je rozdělen do tří na sebe navazujících fází. První fází je patentování a schválení výrobku, druhá fáze je návrh úpravy současné výrobní linky (fáze designu) a třetí je samotná úprava linky a zavedení produktu na trh (fáze zavedení). Každá z těchto fází musí být dokončena, než započne další fáze. Společnost chce tento produkt představit ne ve více jak čtyřech letech. Fáze zavedení bude trvat jeden rok, firma má na rozhodnutí o investici do zavedení tři roky. Fáze designu bude také trvat jeden rok, a jelikož firma musí nejdříve provést fázi návrhu, rozhodnutí musí být učiněnou dříve jak za dva roky. Poslední fáze patentování a schvalování bude podobně jako u předchozích fází trvat jeden rok. Protože tato fáze předchází všem ostatním a musí být ukončena, než bude možné spustit druhou fázi, management musí učinit rozhodnutí do jednoho roku od zahájení projektu. V jednotlivých fázích bude nutné investovat částky v objemu 35 milionu eur ve fázi patentování, 50 milionu eur ve fázi designu a ve fázi zavedení to už bude 140 milionů eur. Hodnota diskontovaných volných peněžních toků vychází na hodnotě 200 milionu eur, volatilita peněžních toků 30 procent a bezriziková úroková míra je odhadována na 6 procent. Jednotlivé opce budou mít životnost jeden, dva a tři roky. Nejprve z rovnic (viz kapitola 2.3.2) vypočteme parametry u, d a p30. Sestrojíme strom pro celou dobu životnosti poslední opce (fáze zahájení)31, kde v každém uzlu bude hodnota podkladového aktiva. Jednotlivé hodnoty získáme roznásobením hodnoty podkladového aktiva (S0) s parametrem u nebo d. Jako vidíme pro jednotlivá období na obrázku (Obrázek 10). Hodnoty opce dostaneme porovnáním a výběrem maxima z hodnoty držení opce a provedení investice (využití opce).

30

V našem případě platí: u = 1,350; d = 0,741; p = 0,527 Tato životnost opce bude v tomto případě celková životnost projektu mínus čas nutný k provedení fáze zavedení. Pro hodnoty požité v příkladu bude rovna třem rokům. 31

44

S0u2 365 233

S0u1 270 146

S0 200 87

S0u3 492 352 S0u2d1 270 130

S0u1d1 200 68

S0d1 148 34

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

S0u1d2 148 8

S0d2 110 0

S0d3 81 0

Obrázek 10 Jelikož na sebe jednotlivé fáze navazují (fáze zavedení navazuje na fázi designu a ta na fázi patentování) celý výpočet je proveden v posloupnosti (sekvenci). Z hodnot podkladového aktiva je vypočtena hodnota opce na fázi zahájení a ta se stává podkladovým aktivem pro další opci (fáze designu), která poté slouží jako hodnota podkladového aktiva pro poslední opci (fáze patentování). Hodnoty opce ve fázi zahájení vidíme na obrázku (Obrázek 10).

S0 87 53

S0u1 146 99 S0d1 34 9

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

Obrázek 11 45

S0u2 233 183 S0u1d1 68 18 S0d2 0 0

Z nich vytvoříme strom hodnot opce pro fázi designu (Obrázek 11)32. Strom jsme sestrojili analogicky jako pro fázi zahájení, jen jako hodnoty podkladového aktiva jsme použily hodnoty opce z fáze zahájení. Pro další fázi projektu (fáze patentování) je výpočet proveden v úplně stejném duchu. Společnost má možnost uplatnit opci v této fázi jen jeden rok, strom hodnot by vypadal jako na obrázku (Obrázek 12).

S0u1 99 64

S0 53 32

S0d1 34 0

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na opuštění.

Obrázek 12 Takovýmto postupem jsme byli schopni vytvořit strom pro celou dobu života opce s hodnotami (Obrázek 13). Nyní můžeme porovnat hodnotu NPV projektu, která bude rovna odhadovaným ziskům z projektu mínus současná hodnota investic do projektu. 𝑁𝑃𝑉 = 200 − 35 + 47 + 124,5 = −6,5 𝑚𝑖𝑙. Jak je vidět NPV projektu vychází záporné. Naproti tomu hodnota opce (ROV) vychází velmi kladná. Pokud by management založil rozhodnutí o investici do projektu pouze na metodě NPV, projekt by z největší pravděpodobností nebyl realizován naproti tomu při započítání opční hodnoty je tato investice velice lákavá a bude mít vliv na rozhodnutí managementu

32

Při výpočtu hodnot opce pro fázi designu došlo ke zkrácení doby o rok, protože tato opce může trvat jen dobu dvou let (celková délka projektu mínus trvání jednotlivých fází).

46

. Výše uvedený příklad je jen jedním z možných. Kombinací a použití tohoto přístupu může být mnoho. Naproti tomu je možné tento projekt i převést na jednoduchý příklad pouze s jednou jednoduchou opcí. Pokud bychom předpokládali, že jednotlivé fáze na sebe navzájem okamžitě navazují a nejdou přerušit. Výsledkem takového postupu by byla jednoduchá opce na odložení s dobou vypršení jeden rok.

S0u3 352 S0u2 183 S0u1 64

S0u2d1 130

S0 32

S0u1d1 18 S0d1 0

S0u1d2 8 S0d2 0

Dolní hodnoty jsou hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

S0d3 0

Obrázek 13 Rozdělení projektu je výhodné právě tehdy pokud si společnost může dovolit čekat s uvedením, například pokud na trhu existují vstupní bariery pro konkurenty (vysoká cena technologie, nedostatek distribučních kanálu atd.). Toto čekání, může mít nepříznivý vliv ztráty podílu na trhu. Tento přístup je zvláště vhodný při hodnocení etapových projektů. 3.2.2. Opce paralelní Použijme opět příklad s mobilním operátorem. Společnost Mobilní a.s. by ráda nabídla svým zákazníkům služby třetí generace (3G). Upgrade infrastruktury tak, aby splňovala požadavky použití třetí generace, vyžaduje investici o hodnotě 600 milionů eur. Licence potřebná pro provoz 3G bude stát 100 milionů eur. 47

Diskontovaná hodnota budoucích peněžních toků je stanovena na hodnotu 600 milionů eur. Volatilitu těchto peněžních toků odhadujeme na 30 procent. Bezriziková úroková míra je odhadována na 6 procent ročně. V závislosti na konkurenci společnost odhaduje, že do dvou let bude nucena učinit rozhodnutí o investici do projektu. Společnost může začít s upgradem infrastruktury kdykoliv, ale licence na pásmo 3G musí získat předtím, než bude moci tento upgrade testovat a spustit provoz služby. Takto vytvoříme paralelní opci, kterou může využít společnost při hodnocení projektu a získat tak výhodu plynoucí ze započítání rizika investice. Protože jsou obě opce (opce na pořízení licence a opce na upgrade infrastruktury) „živé“ ve stejném období a opce na pořízení licence musí být využita před opcí na upgrade, vzniká složená paralelní opce. Hodnotu této paralelní opce vypočteme podobně jako v případě opce sekvenční. Nejprve z DCF a parametrů u a d (viz kapitola 2.3.2) vytvoříme strom hodnot podkladového aktiva, jako vidíme na obrázku (Obrázek 14).

S0 600 190

S0u1 810 339 S0d1 445 50

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

S0u2 1094 594 S0u1d1 600 100 S0d2 329 0

Obrázek 14 Vypočteme parametr p. V případě sekvenční opce, se hodnoty jedné opce, staly hodnotami podkladového aktiva pro výpočet hodnot další opce. Tento přístup použijeme i v tomto případě. Nejprve spočteme hodnoty opce závislé (opce na upgrade infrastruktury). Výpočet je jednoduchý, je to pouze 48

analogie s opcí na opuštění projektu. Potom z výsledných hodnot opce (opce na upgrade), vytvoříme strom pro výpočet hodnot opce nezávislé (opce na pořízení licence). Hodnoty dopočteme podobným způsobem jako v případě opce na opuštění projektu (hodnoty podkladového aktiva budou hodnoty opce na upgrade). Výsledný strom hodnot opce vidíme dále (Obrázek 15).

S0u1 339 292

S0 190 156

S0d1 50 25

S0u2 594 544 S0u1d1 100 50

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

S0d2 0 0

Obrázek 15 Pokud budeme uvažovat pouze hodnotu NPV pro daný projekt. Výsledkem bude nulová hodnota. 𝑁𝑃𝑉 = 600 − 500 + 100 = 0 𝑚𝑖𝑙. Při započítání hodnoty opce se dostáváme výrazně do kladných čísel (156 mil. eur). Tento kladný výsledek pravděpodobně ovlivní rozhodnutí managementu pro realizaci projektu. Ačkoliv výše uvedený přístup je velice podobný výpočtu sekvenční opce, lze nalézt rozdíl. Nezávislá opce musí být využita, aby bylo možné využít opce závislé (následná). Ale v případě paralelní opce, obě opce (opce na upgrade a opce na pořízení licence) existují po stejné časové období. Takto vytvořená paralelní opce může přispět k lepšímu vyhodnocení investičních příležitostí a umožňuje managementu těžit z rizikovosti investice.

49

3.3.Rainbow opce Klíčovým parametrem jakéhokoliv problému řešeného pomocí reálných opcí je volatilita, která reprezentuje nejistotu spojenou s podkladovým aktivem. Většinou se uvádí jako agregovaný faktor sestavený z mnoha rizik, které přispívají k volatilitě podkladového aktiva. Například takto sestavená volatilita pro projekt zahrnující vývoj produktu by zahrnovala cenu jednotky produktu, počet prodaných produktů, variabilní náklady, atd. Pokud by některá z těchto veličin měla velký vliv na volatilitu peněžních toků projektu, nebo jsou rozhodnutí management svázána s některou konkrétní veličinou, je nutné tyto veličiny oddělit. Například pokud bychom měli nájemní smlouvu na půdu pro těžbu uhlí, volatilita by závisela jednak na ceně uhlí a jednak na množství uhlí v nalezišti. Je pravděpodobné, že takto významné vlivy budeme chtít zanést do výpočtu separátně. Pokud zvažujeme více rizik pro zahrnutí ve výpočtu hodnoty opce je tato opce nazývána Rainbow opcí (duhová opce). Postup výpočtu hodnoty opce je analogický s výpočtem hodnoty jednoduché opce s jednou výjimkou. U metody výpočtu pomocí binomických stromů dochází při započtení další veličiny rizika k nárůstu složitosti výpočtu. Pro dvě veličiny bude nutné použít kvadrinomický strom (každý uzel se rozšiřuje na čtyři další). K tomu dochází, protože podkladové aktivum se může vyvíjet z jednoho uzlu čtyřmi směry (do čtyř uzlů). Na následujícím obrázku je takovéto větvení znázorněno (Obrázek 16) pro období dvou let. Jak vidíme, počet uzlů narůstá kvadraticky. Pro příklad použijme společnost Delta a.s., která zvažuje investici do továrny na výrobu odlitků z oceli. Tato továrna bude stát 200 milionů eur (podkladové aktivum), zisky z prodeje plechu v budoucích obdobích jsou odhadovány na 160 milionů eur. Byly identifikovány dva faktory ovlivňující budoucí hodnotu zisků. Jednak cena surového železa, ze kterého jsou tyto plechy vyráběny. Druhým faktorem je poptávka po plechu, která ovlivňuje jeho cenu. Cena železa kolísá o 20 procent ročně (volatilita) a poptávka po plechu kolísá o 25 procent ročně (volatilita). Očekávaná bezriziková úroková míra pro příští období je odhadnut na 6 procent ročně (r).

50

S0u1u2 264 101

S0u1d2 160 21

S0 160 41

S0d1u2 145 13

S0d1d2 88 0 Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde bylo využito opce na ukončení.

Obrázek 16 51

S0u1u2u1u2 435 235 S0u1u2u1d2 264 64 S0u1u2d1u2 239 39 S0u1u2d1d2 145 0 S0u1d2u1u2 264 64 S0u1d2u1d2 160 0 S0u1d2d1u2 145 0 S0u1d2d1d2 88 0 S0u1u2u1u2 239 39 S0u1u2u1d2 145 0 S0u1u2d1u2 131 0 S0u1u2d1d2 79 0 S0u1d2u1u2 145 0 S0u1d2u1d2 88 0 S0u1d2d1u2 79 0 S0u1d2d1d2 48 0

Strom hodnot sestrojíme podobně jako v ostatních případech. Jedinou změnou bude, že musíme vypočítat parametry u a d (kapitola 2.3.2) pro obě volatility (rizikové faktory). Takto získáme čtyři koeficienty u1, u2, d1, d2 jejichž kombinacemi (u1u2, u1d2, d1u2, d1d2) roznásobíme hodnotu podkladového aktiva (S0). Složitější výpočet nás bude čekat jednak při výpočtu hodnot podkladového aktiva a jednak při zpětném výpočtu hodnoty opce. Parametr p je také nutné dopočítat pro oba faktory. Bude nutné upravit výpočet jednotlivých hodnot opce v uzlech. Pro uzel (S0u1u2) bude hodnota opce stanovena rovnicí: 𝐻𝑜𝑑𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑒 = 𝑝1 𝑝2 𝑆0𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑢2 + 𝑝1 (1 − 𝑝2 ) 𝑆0𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑑2 + (1 − 𝑝1 )𝑝2 𝑆0𝑢1 𝑢2 𝑑1 𝑢2 + (1 − 𝑝1 )(1 − 𝑝2 ) 𝑆0𝑢1 𝑢2 𝑑1 𝑑2

∗ exp⁡ (−𝑟)

Kvadrinomický strom byl použit z důvodu použití více volatilit (faktorů ovlivňujících hodnotu podkladového aktiva). Už při výpočtu v období dvou let je vidět narůstající složitost výpočtu, která by se razantně projevila s narůstající životností opce. Výpočet se stává značně složitějším v porovnání s užitím binomického stromu, ačkoliv je zachován velmi podobný postup. Standardní metody například BlackScholesův model není použitelný pro výpočet hodnot rainbow opce. Pro zjednodušení výpočtů se obvykle kombinují všechny faktory ovlivňující hodnotu podkladového aktiva do jediné. Například pomocí simulační metody Monte Carlo. Avšak jsou případy, kdy budeme chtít tyto faktory používat odděleně. Zvláště v případech kdy se budou tyto faktory nezávislé, vyvíjet různým způsobem, nebo ovlivňovat hodnotu podkladového aktiva opačným směrem. Toto separátní zachází, nám dovoluje si uvědomit, které faktory mají největší vliv na hodnotu opce.

3.4.Opce s proměnou volatilitou Ve většině případů kdy používáme výpočet hodnoty projektu pomocí reálných opcí, považujeme volatilitu za poměrně konstantní a bude jí reprezentovat jen jediná hodnota. V předchozí kapitole jsme viděli jak je to v případech, kdy volatilitu ovlivňuje více jak jeden faktor. Volatilita se může v průběhu života projektu měnit. Proto je nutné výpočet pomocí binomické metody upravit. Začneme s počáteční 52

hodnotou volatility, vypočteme parametry u a d (viz kapitola 2.3.2), a roznásobíme hodnoty podkladového aktiva, až do uzlu kde očekáváme změnu volatility. V tomto uzlu vypočteme nové hodnoty parametrů u a d. Pokračujeme do dalších uzlů jako v předchozím případě. Pro názornost uveďme příklad se společností Energie a.s., tato společnost se rozhodla, že bude investovat do nového produktu, který bude jako službu poskytovat jiným společnostem. Tato služba ušetří velké prostředky klientským společnostem v souvislosti se zavedením nových regulatorních omezení na trhu. Tyto omezení by měla být zavedena v příštím roce. Společnost odhaduje, že současné hodnota příjmů, v období příštích tří let, z poskytování této služby je 160 milionů eur to, ale vyžaduje investici o stejné velikosti. Předpokládaná volatilita těchto budoucích příjmů bude 30 procent do zavedení regulatorních opatření a poté klesne na 20 procent. Analogie tohoto příkladu s použitím opce na odložení projektu je zřejmá. Hlavním rozdílem bude zavedení změny volatility v roce přijetí nových regulačních opatření. Bezriziková úroková míra bude v tomto období 5 procent. Postup výpočtu je obdobný jako u opce na odložení projektu. Nejdříve vypočteme hodnoty parametrů u a d (viz kapitola 2.3.2) pro obě volatility (v období před a po zavedení regulatorních opatření). Následně vytvoříme strom hodnot pro následující tři roky (jeden rok do zavedení a dva roky od zavedení opatření). Při sestavování stromu nesmíme zapomenout, že použijeme jedny parametry u a d po dobu prvního roku a druhé parametry pro další dva roky. Takto vznikne strom hodnot, jako vidíme na dále (Obrázek 17). Opět zpětně dopočítáme hodnoty opce. Na obrázku je také vidět, že pro některé uzly nám vychází hodnota opce, protože se nám nevyplatí opci využít a raději ji necháme nevyužitou. Hodnota opce nám v tomto případě vyjde na úrovni 29 milionů eur. Hodnotu NPV udává následující rovnice: 𝑁𝑃𝑉 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑐𝑒 − 𝑠𝑜𝑢č𝑎𝑠𝑛á ℎ𝑜𝑑𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑏𝑢𝑑𝑜𝑢𝑐í𝑐ℎ 𝑧𝑖𝑠𝑘ů = 160 − 160 = 0 Jak vidíme přístup k ohodnocení projektu pomocí opce, nám přináší další informace, které může management využít, pokud by se měl rozhodnout, jestli uskuteční projekt.

53

S0u2 264 104

S0u1 216 56

S0 160 29

S0u3 322 162 S0u2d1 177 17

S0u1d1 145 8

S0d1 119 4

Horní číslice jsou hodnoty podkladového aktiva. Dolní hodnoty opce. Nuly označují kde nebylo využito opce na odložení projektu.

S0u1d2 119 0

S0d2 97 0

S0d3 79 0

Obrázek 17 Hodnota opce je závislá na volatilitě v jednotlivých letech. V příkladu používáme volatility 30 a 20 procent. V následující tabulce vidíme jak je hodnota opce závislá na změnách volatilit v jednotlivých obdobích. Volatilita rok 1 [%] Volatilita rok 2 [%] Hodnota opce [mil.] 30

20

29

30

10

27

20

10

19

Obecně by mělo platit, čím větší volatilita podkladového aktiva tím větší hodnota opce.

3.5.Ostatní opce Kromě výše zmíněných opcí existují ještě další typy opcí. Ty nebudeme rozebírat ve větším detailu, protože nejsou tak často používané jako předchozí typy. Často uváděnou je opce se změnou (switching option) ta se vztahuje k typu provozu. Např. při použití vytápění pomocí dvou druhů paliva (plyn, uhlí) může podnik měnit palivo podle toho, jak se mění 54

cena jednoho z nich. Při ocenění bude mít vytápění s volbou mezi dvěma palivy větší hodnotu než vytápění jen s jedním typem paliva, právě kvůli možnosti volby. Existují i komplexnější typy opcí, v předchozích kapitolách jsme zmiňovali opce sekvenční, kdy z jedné opce vznikala další opce (jednoduchá). V některých případech může z opce vznikat více než jedna další opce. Tento případ může vznikat, pokud podnik vytvoří novou IT infrastrukturu a tím získá možnost jednak vytvořit internetový obchod a zároveň vytvořit aukční portál pro nákup od dodavatelů. Tento výčet není konečný, existují různé kombinace opcí, které nelze nijak finálně kategorizovat. Vždy záleží na konkrétním reálném problému a ve většině případů je nutné stávající výpočet upravit tak aby co nejlépe odpovídal skutečnosti.

55

4. Implementace a dokumentace V následující kapitole budeme popisovat změny v programu Efekt, tak aby byl použitelný pro výpočet hodnoty reálné opce v projektu. Dozvíme se o změnách v ovládání a také o změnách v programové obsluze, nových funkcích a modulech.

4.1.O programu Efekt Program Efekt je aplikace, která slouží jako nástroj pro ekonomické hodnocení investic, jejichž doba realizace (výstavby) nepřesáhne 2 roky. Projekt je hodnocen metodou NPV a výpočtem IRR (vnitřní výnosové procento). Program byl vyvinut ve Visual Basicu for Aplication dodávaného s MS Excelem 8.0 na katedře ekonomiky, manažerství a humanitních věd FEL ČVUT v Praze na podzim roku 2000. Verze 2.0 byla distribuována od konce roku 200133.

4.2.Rozšíření programu o podporu reálný opcí Rozšíření programu proběhlo na dvou úrovních. V první úrovni (frontend – to co vidí a používá uživatel) proběhlo přidání dodatečných listů s ovládacími prvky, přidání formulářů a vyobrazení výpočtu hodnot projektu metodou reálných opcí. V druhé úrovni (backend – samotné programové vybavení) byl přidán modul s funkcemi a subrutinami pro podporu výpočtů hodnot.

4.3.Ovládání a funkčnost Do programu byly přidány dva listy „Reálné opce - vstupy“ a „Reálné opce - výpočty“. První pro zobrazení a zadání vstupních hodnot a výsledků, druhý jako jejich grafická interpretace v průběhu dvou let v podobě binomického stromu.

33

Upraveno z nápovědy k programu Efekt

56

4.3.1. List „Reálné opce – vstupy“ Rozložení komponent a design prvního listu vidíme na obrázku (Obrázek 18). Zvolte typ opce

Vložit vstupní hodnoty

Opce na zúžení

Zadané parametry Hodnota DCF projektu Bezriziková úroková míra Volatilita peněžních toků Počáteční investice Kontrakční koeficient Opční hodnota

111,00 4,00 25,00 20,00

tis. Kč % % tis. Kč %

Úspora Koeficient rozšíření Investice do rozšíření Hranice vstup/výstup z projektu Zisk z ukočení projektu

30,00 -

tis. % tis. tis. tis.

Kč Kč Kč Kč

7,80 tis. Kč

Obrázek 18 V horní části je umístěna komponenta Comboxu, která dovoluje uživateli zvolit si typ opce, pro který chce provést výpočet hodnoty opce. Uživatel si může vybrat z následujících typů opcí: 

Opce na odložení projektu



Opce na zúžení projektu



Opce na ukončení projektu



Opce na rozšíření projektu



Opce s volbou v projektu



Opce s hranicí vstupu do projektu (call)



Opce s hranicí opuštění projektu (put)

Po zvolení typu opce uživatel stiskne tlačítko „Vložit vstupní hodnoty“, poté mu je zobrazen formulář pro vložení vstupních hodnot pro výpočet hodnoty opce/projektu. Formulář je upraven podle typu opce. Pro příklad uvádím formulář vstupních hodnot opce s volbou v projektu (Obrázek 19), která pokrývá většinu užívaných vstupních hodnot.

57

Obrázek 19 Do formulářů je automatický doplňována hodnota DCF (hodnota volných peněžních toků projektu) načtením z listu „Propočty“, kde lze nalézt NPV projektu a IRR (vnitřní výnosové procento). Ostatní vstupní hodnoty jsou: 

Bezriziková úroková míra [procenta]



Volatilita budoucích peněžních toků [procenta]



Rozšíření (projektu, výroby atd.) [procenta]



Investice nutná k rozšíření projektu *tis. Kč+



Zúžení (projektu) *procenta+



Úspora plynoucí ze zúžení projektu *tis. Kč+



Zisk z ukončení projektu *tis. Kč+

Po vyplnění vstupních hodnot uživatel stiskne tlačítko „Výpočet“, které provede výpočet hodnoty opce, zároveň vyplní hodnoty ve stromu hodnot opce na listu „Reálné opce - výpočty“. Pokud uživatel zapomene nebo uvede nesmyslnou hodnotu jako vstupní hodnotu bude mu zobrazeno upozornění (podobné jako Obrázek 20).

58

Obrázek 20 Po ukončení výpočtu je formulář automaticky uzavřen. Na listu „Reálné opce - vstupy“ jsou vyplněny zadané vstupní hodnoty a hodnota opce (Obrázek 21). Zde může uživatel okamžitě ověřit správnost zadaných hodnot a porovnat, jestli je hodnota opce v projektu (opční hodnota) dostatečná pro učinění závěru ohledně investice do projektu. Hodnota DCF projektu Bezriziková úroková míra Volatilita peněžních toků Počáteční investice Kontrakční koeficient Opční hodnota

120,00 5,00 30,00 30,00

tis. Kč % % tis. Kč %

Úspora Koeficient rozšíření Investice do rozšíření Hranice vstup/výstup z projektu Zisk z ukočení projektu

50,00 20,00 40,00 90,00

tis. % tis. tis. tis.

Kč Kč Kč Kč

14,92 tis. Kč

Obrázek 21 Řešení pomocí sedmi různých formulářů jsme volili, protože pokud bychom chtěli umístit všechny vstupní hodnoty na jeden formulář a pak je dynamicky měnit (skrývat, odkrývat apod.) podle volby uživatele, bylo by nutné daleko větší úsilí nehledě na to, že se s zobrazovacími prvky na formulářích špatně pracuje pokud se mají překrývat, měnit popisky atd.. 4.3.2. List „Reálné opce – výstupy“ Druhý list zobrazuje strom hodnot projektu a vývoj hodnot podkladového aktiva (DCF) v závislosti na nastavených vstupních hodnotách v průběhu dvou let. Následující obrázek nám zobrazuje strom pro opci s volbou v projektu. Na obrázku vidíme tři sloupce charakterizující roky 2011 – 2013 (automaticky načtené hodnoty z listu „Vstupy“ položka „Hodnocení k roku“).

59

Výpočet hodnoty projektu rok

rok

rok

2011

2012

2013

120 s0 135

162 s0u 170 89 s0d 112

219 s0u2 222 120 s0ud 134 66 s0d2 96

Obrázek 22 Každý uzel stromu zobrazuje dvě hodnoty. Horní hodnota udává hodnotu DCF projektu a spodní hodnotu projektu spočtenou využitím reálných opcí (ROV). Každý uzel vede na dva další, podle toho jestli hodnota DCF v daném roce stoupá nebo klesá. Poté je hodnota opce dopočtena zpětně pomocí metody binomických stromu (viz kapitola 2.3.2). Celková hodnota projektu je potom uvedena jako spodní hodnota u prvního uzlu stromu v prvním roce projektu.

4.4.Implementace Program bylo nutné, kvůli implementaci reálných opcí, rozšířit o několik formulářů a jeden modul. Snahou bylo oddělit ovládání formulářů od výpočtů. Proto jsou veškeré funkce spojené s ověření dat a ovládání formulářů naprogramovány jako jejich součást. Všechny funkce spojené se samotnými výpočty hodnot opcí a jejich zpětný výpis na listy vstupů a výstupů jsou umístěny v novém modulu s názvem „ModVstupyOpce“.

60

Z formulářů byly doplněny tyto34: 

FormOpceHraniceCall – pro zadání vstupních hodnot opce s hranící pro vstup do projektu



FormOpceHranicePut

–

pro

zadání

vstupních

hodnot

opce

s hranicí

na

ukončení/vystoupení z proejktu 

FormOpceOdlozeni – pro zadání vstupních hodnot opce na odložení projektu



FormOpceRozsireni – pro zadání vstupních hodnot opce na rozšíření projektu



FormOpceUkonceni – pro zadání vstupních hodnot opce na ukončení projektu



FormOpceVolby – pro zadání vstupní hodnot opce s volbou v projektu



FormOpceZuzeni – pro zadání vstupních hodnot opce na zúžení projektu/výroby.

Všechny formuláře jsou navrženy ve stejném duchu. Obsahují kombinaci dvou prvků label a jednoho inputbox pro každou vstupní hodnotu, dále pak dvě tlačítka „výpočet“ a „storno“. Tlačítko „Storno“ pouze skryje formulář pomocí metody „Hide“. Tlačítko „Výpočet“ spouští při události „Click“ podprogram, který nejprve zkontroluje platnost a úplnost vstupních hodnot. Pro příklad je v příloze (viz příloha 9.1) uveden celý zdrojový kód této obsluhy formuláře pro opci na ukončení projektu. Poté spustí subrutinu s názvem „PrepocetOpceNaUkonceni“ v modulu „ModVstupyOpce“, která vypočte a zapíše výsledné hodnoty (zdrojový kód subrutiny naleznete v příloze 9.2). V modulu „ModVstupyOpce“ jsou kromě subrutin nutných pro výpočet hodnot opcí naprogramovány další užitečné funkce: 

Max(a,b) – vrátí maximum ze dvou hodnot



ZapisVystupy(s, r, volatilita, x, cc, uspora, ec, inv, barrier, o, ukonceni) – zapíše vstupní hodnoty zpět do příslušného listu

34

Všechny zdrojové kódy je možné nalézt na přiloženém CD.

61



VyplnStrom (s, s1, s2, s3, s4 , s5, o, o1, o2, o3, o4, o5) – zapíše výsledné hodnoty do binomického stromu na listu „Reálné opce - výpočty“

Jakmile proběhne výpočet a zápis vstupních a výstupních hodnot je formulář skryt a uživateli jsou prezentovány vstupní hodnoty a výsledná hodnota opce. Uživatel si určitě všimne, že je možné opce počítat pouze pro období dvou let. Toto řešení bylo zvoleno, protože samotný program je navrhnut pro ohodnocování investic pouze v rámci dvou let. Řešení by se dalo rozšířit na neomezený časový úsek, to by zahrnovalo změnu kódu, hlavně co se týče současného sekvenčního fungování na rekurzivní pro všechny výpočty hodnot opcí. Spolu s tím by bylo nutné změnit list s vyobrazením stromu tak, aby dynamicky zachycoval celou délku stromu.

62

5. Příklady užití programu Efekt V této kapitole nalezneme příklady použití programu Efekt, tak aby co nejvíce vynikl přínos z rozšíření programu.

5.1.Parkoviště s.r.o. Firma Parkoviště s.r.o. získala nájemní smlouvu na plochu v centru Prahy na období dvou let, pokud tento pozemek začne využívat, jako parkoviště bude smlouva prodloužena na dvojnásobek. Nutné investice do projektu a výstavby parkoviště jsou stanoveny na 4,5 mil. Kč. Parkoviště je schopné produkovat přibližně 300 tisíc parkovacích hodin ročně. Každá hodina by měla přinést do příjmů firmy přibližně 21 Kč. S provozováním parkoviště jsou spojeny i výdaje za elektřinu, provoz, opravy a údržbu v hodnotě 2,44 milionu Kč ročně35. Při použiti metody NPV, nám program Efekt po zadání potřebných parametrů vypočte hodnotu NPV na úrovni -34,22 tis. Kč. Počítáme s okamžitým uskutečněním plánu výstavby. Všimněme si, že zde existuje možnost postavit parkoviště, až za dva roky. Je tedy možné čekat celé dva roky s rozhodnutím, jestli parkoviště postavit v závislosti na cenách parkovného ve městě Praha. Ceny parkovného se v Praze prudce mění v závislosti na množství parkovacích míst, množství aut a značení parkovacích zón. Průměrná změna ceny parkovného se pohybuje okolo 20 procent ročně, to bude mít stejný dopad na budoucí peněžní toky z projektu. Bezriziková úroková míra je na příští roky odhadnuta na 3 procenta. Z výše zmíněného vidíme, že reálná opce zde bude reprezentována opcí na odložení investice do projektu (+ž dva roky). Jednotlivé parametry opce budou:

35



S – hodnota DCF projektu 4,465 mil. Kč



r – bezriziková úroková míra 3 procenta

Všechny vstupy, grafy CF a DCF a výsledky naleznete v příloze 9.3

63



volatilita – změna cen parkovného v Praze čili 20 procent



X – investice do návrhu a stavby parkoviště to znamená 4,5 milionu Kč

Při zadání těchto parametrů dostáváme hodnotu opce na odložení projektu v hodnotě 562,64 tis. Kč. Tato hodnota není vůbec zanedbatelná a porovnání s metodou NPV dává daleko směrodatnější výsledek. Tímto výpočtem jsme získali přidanou hodnotu v hodnotě 596,86 tis. Kč (562,64 – (-34,22)). Tato hodnota by pravděpodobně ovlivnila management projektu, aby investici do projektu uskutečnil. Hodnota opce nám také napovídá, kolik by společnost měla maximálně za nájemní smlouvu jako je tato zaplatit. Uvedený příklad je zjednodušením reality. Ve většině případů by byl pronájem jednorázový na určitou dobu a tím pádem by firma musela odepisovat určitou hodnotu výdělku za každý rok odkládání rozhodnutí. Tento problém by bylo možné vyřešit započtením dividendy (opce s výplatou dividendy). Rozšíření programu Efekt, ale tento typ opce nepodporuje v rozšířené verzi. Do budoucna by takové rozšíření určitě napomohlo použitelnosti programu při řešení reálných problému v oceňování.

5.2.Parkoviště s.r.o. – další vývoj Poté co společnost Parkoviště s.r.o. dostavěla projekt v Praze, dostala od konkurenční společnosti nabídku na odkup 30 procent parkovacích míst za 1,5 mil. Kč, anebo prodej celého parkoviště za 4 miliony Kč obě možnosti je možné uplatnit v příštích dvou letech. Zároveň radnice získala informace o nestabilitě domu sousedícího s parkovištěm. Ten bude muset být okamžitě strhnut a tím vzniká možnost rozšířit parkoviště (podnik má jako ve smlouvě ukotvenou podmínku, že pokud dojde k podobné situaci vlastní předkupní právo na pozemek v těsné blízkosti parkoviště) o 40 procent jeho současné kapacity, při investici kolem 2 milionů Kč. Pojďme si nyní rozebrat jednotlivé možnosti dalšího postupu. První možností je prodat parkoviště za 4 mil. Kč ačkoliv je hodnota DCF rovna 4,465 mil. Kč tímto způsobem by nám vznikla ztráta z projektu (čili NPV by bylo – 465 tis. Kč). 64

Druhou možností je prodat pouze část parkoviště. Při současné hodnotě DCF by při jeho snížení o 30 procent a zisku 1,5 byl zisk s takovéto operace 160 tis. Kč (NPV = 4465,78 * (1 – 0,3) – 1500 = 160, 226). Poslední možností by bylo rozšíření projektu o 40 procent investicí v hodnotě 2 mil. Kč. V tomto případě by se investice nevyplatila, měla by hodnotu – 214 tis. Kč (NPV = 4465 * 1,4 – (2000 + 4465) = 214). Všechny možnosti zvlášť mají tedy nízkou až zápornou hodnotu a jako takové by je mělo jen malý smysl realizovat. Pokud do výpočtu zahrneme i hodnotu opce s volbou v projektu (ta se nám zde projevuje právě v možnosti volby tří strategií), můžeme obdržet úplně jiný výsledek. Při výpočtu použije stejné vstupní parametry jako v předchozím příkladě. DCF projektu je 4,465 mil Kč. Bezriziková úroková míra bude následující roky 3 procenta a roční změna cen parkovného 20 procent (volatilita). Dalšími parametry jsou kontrakční koeficient (0,3), zisk z prodeje části parkoviště (1,5 mil. Kč), koeficient rozšíření (0,4), investice nutná do rozšíření (2 mil. Kč) a zisk z prodeje celého parkoviště (4 mil. Kč). Po dosazení do programu Efekt dostáváme hodnotu opce36 na úrovni 461 tis. Kč (podrobně viz příloha 9.4). Tato hodnota mluví pro ponechání si všech tří možností na pozdější období, až bude trochu jasnější, jak budou ceny parkovného vysoko. Hodnota opce převažuje nad všemi třemi možnostmi. Možnosti na rozšíření parkoviště a okamžitého prodeje se v současných podmínkách nevyplácí a třetí možnost prodeje části parkovacích míst přináší téměř třikrát menší hodnotu, než je hodnota opce (tedy možnosti využít jednotlivých variant později). Na příkladu vidíme, jak hodnota opce může ovlivňovat rozhodnutí managementu, co se týče investic do projektů. Příklad ovšem nezobrazuje skutečnost úplně přesně. Jak v předchozím případě slabinou je nezapočtení uniklých zisků čekáním, to je možné řešit výpočtem za pomoci opcí s výplatou dividend. Dále pak je zjednodušena časová posloupnost, a to tak že v reálnějším příkladě by jednotlivé 36

Screenshoty z programu Efekt se zadanými a vypočtenými hodnotami naleznete v příloze 9.4

65

možnosti nebyly tak dobře synchronizovány a například možnost rozšíření parkoviště by vznikla, až po roce od strhnutí vedlejší budovy.

66

6. Závěr V celé práci byly rozebírány reálné opce, od historických základů obchodu s opcemi, až po jejich odvození z finančních opcí. Byly rozebrány základní metody výpočtu hodnot reálných opcí, došlo na zmínění metody NPV spolu se shrnutím jejich výhod a nevýhod při hodnocení projektů. Těžištěm práce bylo rozdělení reálných opcí a implementace metody výpočtu jejich hodnoty v programu Efekt. Rozdělení reálných opcí není problematika v české ani světové literatuře příliš rozebíraná. V této práci jsme zmínili většinu nejčastěji používaných typů opcí. U každé jsme uvedli příklad, který měl demonstrovat její použitelnost na reálném příkladu. Ačkoliv jsme zmíněnými typy reálných opcí pokryly velmi velkou skupinu opcí, není to v žádném případě úplný výčet. Kromě opcí, které jsou kombinací námi uvedených typů, existují i další typy opcí. Jedná se ovšem o specializovanou skupinu opcí, které jsou používaný v daleko menším měřítku. Jelikož je většina projektů v reálném prostředí v jistém smyslu jedinečná, je velice složité vytvořit úplný výčet všech typů opcí, které lze použít pro hodnocení projektu. Pro každý projekt musíme vytvořit různou kombinaci reálných opcí tak aby co nejlépe postihovala podstatu projektu. Tento přístup také vede na použití různých výpočetních metod, ať už jde o binomické stromy nebo simulace. Matematický aparát hodnocení opcí se neustále vyvíjí a i nejposlednější poznatky ukazují, že hodnocení amerických opcí s výplatou dividend je prozatím možné pouze za použití aproximačních metod. Do programu Efekt (Excelovský program v Visual Basic pro výpočet hodnot NPV projektu) bylo naprogramováno rozšíření, umožňující vypočet hodnoty reálných opcí z DCF projektu. Toto rozšíření, ovšem umožňuje jen výpočet pro opce jednoduché. Jednoduché opce jsou z principu obsaženy ve většině projektů a tak i ovlivňují celkovou hodnotu projektu. Už je při jejich započtení se může hodnota projektu 67

výrazně měnit. Tento vliv na hodnotu projektu můžeme vidět i na příkladech. Možným rozšířením by bylo doplnit výpočty o opce s výplatou dividend, a potom také o opce složené či rainbow opce nebo opce s proměnou volatilitou. Z přípravy celé práce vyplynulo, že ačkoliv jsou reálné opce čím dál tím víc používány v praxi literatura v českém jazyce, věnující se reálné aplikaci téměř neexistuje. Práce podává ucelený pohled na problematiku reálných opcí, a může tak být přínosem pro někoho kdo o reálných opcích ještě neslyšel nebo mu chybí příklady z reálné aplikace. Tato práce spolu s rozšířeným programem Efekt může být dobrým začátkem pro získání představy, jak hodnota reálné opce ovlivňuje hodnotu projektu.

68

7. Citovaná literatura Black, Fisher a Scholes, Myron. 1973. The pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy. 1973. Butler, Chad. Naked Options Expose You To Risk. Investopedia. [Online] http://www.investopedia.com/articles/optioninvestor/08/naked-options.asp. Cox, John, Ross, Stephen a Rubinstein, Mark. 1979. Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics. 1979. Ju, Nengjiu a Zhong, Rui. 1999. An Approximate Formula for Pricing American Options. Journal of Derivatives. 1999, Sv. 2, 7. Kim, Yong H., Heo, Sangwoo a Cashel-Cordo, Peter. 2008. Accuracy Tests Of American Put Valuation Models For Pharmaceutical Equity Options. Journal of Business & Economics Research. 2008, Sv. 2, 6. Kislingerová, Eva. 2004. Manažerské finance. Praha : Beckova edice ekonomie, 2004. 807179-802-9. Kodukula, Prasad a Papudesu, Chandra. 2006. Project Valuation Using Real Options: A Practitioner’s Guide. Fort Lauderdale : J. Ross Publishing, 2006. 9781932159431. MacMillan, W. 1986. Analytic Approximation for the American Put Option. Advances in Futures and Options Research. 1986, Sv. 1, 1. Mun, Johnathan. 2002. Real Options Analysis - Tools & Technologies for valuating Strategic Investments and Decisions. New Jersey : John Wiley & Sons, 2002. 0-471-25696-X. Poitras, Geoffrey. 2002. Risk management, speculation, and derivative securities. místo neznámé : Elsevier Science, 2002. 0-12-558822-4. Scholleová, Hana. 2005. Reálné opce. Praha : Oeconomica, 2005. Schwartz, Eduardo S. a Trigeorgis, Lenos. 2004. Real Options and Investment under Uncertainty: Classical Readings and Recent Contributions. místo neznámé : MIT Press, 2004. 0262-69318-6. Starý, Oldřich. 2003. Reálné opce. Praha : autor neznámý, 2003. 80-902514-6-3. Thomson, Earl. 2007. The tulipmania: Fact or artifact? Public Choice. Leden 2007, stránky 99113. Whaley, Robert E. 1981. On the valuation of American call options on stocks with known dividends. Journal of Financial Economics. 1981, Sv. 9, 1. 69

70

8. Seznam použitých zkratek DCF – (discounted cash flow) hodnota budoucích peněžních toků z projektu NPV – (net present value) čistá současná hodnota MC – simulační metoda Monte Carlo ROV – real option value SP – (strike price) realizační cena

71

9. Přílohy 9.1.Příloha – Zdrojový kód obsluhy formuláře „FormOpceUkonceni“ Private Sub CBstornoOpce_Click() FormOpceUkonceni.Hide End Sub Private Sub CBvypocetOpce_Click() Set vst = Worksheets("Reálné opce - vstupy") ' nejprve test o zadani spolecnych potrebnych hodnot - všude stejný If Val(TBs.Value) <= 0 Then MsgBox ("Zadali jste projektu žádnou/nulovou hodnotu podkladového aktiva.") TBs.SetFocus Exit Sub End If If Val(TBr.Value) <= 0 Then MsgBox ("Zadali jste projektu žádný/nulový diskotní faktor.") TBr.SetFocus Exit Sub End If If Val(TBvolatilita.Value) <= 0 Then MsgBox ("Zadali jste projektu nulovou/žádnou volatilitu peněžních toků z projektu.") TBvolatilita.SetFocus Exit Sub End If 'kontrola zbylych If Val(TBx.Value) <= 0 Then MsgBox ("Zadali jste projektu nulovou/žádnou úsporu z ukončení projektu.") TBx.SetFocus Exit Sub End If 'vypocet hodnoty opce PrepocetOpceNaUkonceni TBs.Value, TBx.Value, TBr.Value, TBvolatilita.Value FormOpceUkonceni.Hide End Sub Private Sub UserForm_Activate() 72

TBs.Value = ThisWorkbook.Sheets("Výsledky").Range("c29").Value End Sub

9.2.Příloha – Zdrojový kód subrutiny „PrepocetOpceNaUkonceni“ z modulu „ModVstupyOpce“ Sub PrepocetOpceNaUkonceni(s As Variant, x As Variant, r As Variant, volatilita As Variant) Dim u, d, p As Double Dim o1, o2, o3, o4, o5, o6 As Double Dim s1, s2, s3, s4, s5 As Double Set inic = Worksheets("Konstanty") Set vyp = Worksheets("Reálné opce - výpočty") Randomize u = Exp(Val(volatilita) / 100) d=1/u p = (Exp(Val(r) / 100) - d) / (u - d) 'MsgBox (u & ", " & d & ", " & p) 'promeny ve strome s1 = s * u s2 = s * d s3 = s * u * u s4 = s * u * d s5 = s * d * d ' hodnoty opce If (s5 < Val(x)) Then o5 = Val(x) Else: o5 = s5 End If If (s4 < Val(x)) Then o4 = Val(x) Else: o4 = s4 End If If (s3 < Val(x)) Then o3 = Val(x) Else: o3 = s3 End If o2 = max((Val(x)), ((p * o4) + (1 - p) * o5) * Exp(-(r / 100))) o1 = max((Val(x)), ((p * o3) + (1 - p) * o4) * Exp(-(r / 100))) o = max(Val(x), ((p * o1) + (1 - p) * o2) * Exp(-(r / 100))) 73

'zapisem vysledky VyplnStrom s, s1, s2, s3, s4, s5, o, o1, o2, o3, o4, o5 ZapisVystupy s, r, volatilita, "-", "-", "-", "-", "-", "-", o - s, x End Sub

74

9.3.Příloha – Parkoviště s.r.o. Projekt V provozu od: Investice

Parkoviště s.r.o. leden Zahájení stavby:

2010 Životnost: leden

2 let

Vstupní hodnoty

2010 Spočti

Odepisování

Rok 2009 0,000 tis. Kč Rok 2010 4 500,000 tis. Kč Citlivostní analýza Investiční úrok 0,000 tis. Kč Investice celkem 4 500,000 tis. Kč Investiční dotace 0,000 tis. Kč 0 % z inv. č. Minimální cena Vlastní prostředky investora: 4 500,000 tis. Kč Zrychlené Skupina 1. (3roky) 2. (5let) 3. (10let) 4. (20let) 5 6 Neodepisované Vstupní cena 450,000 900,000 1 350,000 1 800,000 tis. Kč Doba obnovy 5 10 15 30 Neuvažujeme s prodejem za zůstatkovou hodnotu aktiv na konci životnosti. Daňově neodepisujeme.

Úvěr Částka Úrok Doba splácení Diskont Daň

0 % z inv. č. 0,000 tis. Kč % - úrok je počítán jako provozní

8% Hodnocení 2010 20 % k roku Zápornou daň neuvažujeme a ztrátu nerozpouštíme v dalších letech.

Daňově odpočitatelná položka z investované částky: 0% Neuvažujeme odpočitatelnou položku z investic. Provozní výdaje (náklady) 2010 2011 Změna v dalších letech palivo1 množství 0 0% jednotka tis. Kč/jednotka 0,00 +2,0% součin 0,00 0,00 palivo2 množství 0 40 0% jednotka tis. Kč/jednotka 0,00 50 +2,0% součin 0,00 2 000,00 osobní náklady 100 100 +2,0% opravy a údržba 2000 2 000 +2,0% ostatní náklady 200 200 +2,0% poplatky a daně 120 120 +2,0% emisní poplatky 20 20 +2,0% součet (tis. Kč) 2 440,00 2 440,00 Celkem (tis. Kč) 2 440,00 4 440,00 Příjmy (výnosy): produkce1 množství jednotka tis. Kč/jednotka součin produkce2 množství jednotka tis. Kč/jednotka součin ostatní výnosy Celkem (tis. Kč)

2010 300 000 0,02 6 300,00

0,00 6 300,00

2011 Změna v dalších letech 300 000 0% 0,02 0% 6 300,00 0% +2,0% 0,00 +2,0% 6 300,00

75

2 000

Průběh cash flow investora

1 500 1 000

tis. Kč

500 0 -500

-1 000 -1 500 -2 000

Rok Hotovostní tok běžného roku (CF)

Kumulovaný CF

Kumulovaný diskontovaný cash flow 0 -200

-400

tis. Kč

-600 -800

-1 000 -1 200 -1 400

-1 600

Rok Kumulovaný diskontovaný…

76

Rok

2010

Výnosy produkce1 produkce2 ostatní výnosy Celkem Náklady Provozní výdaje Z toho za palivo2 Odpisy daňové (celkem) Provozní úroky Celkem Zisk Základ daně Daň z příjmů Rozdíl Investice celkem Dotace Investiční úroky Čerpání úvěru Úmor úvěru Hotovostní tok běžného roku (CF) Kumulovaný CF Odúročitel Diskontovaný CF Kumulovaný diskontovaný CF

6 300,00 0,00 0,00 6 300,00 2 440,00 0,00 0,00 0,00 2 440,00 3 860,00 772,00 3 088,00 4 500,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1 412,00 -1 412,00 1,000 -1 412,00 -1 412,00

2011

6 300,00 0,00 0,00 6 300,00 4 440,00 2 000,00 0,00 0,00 4 440,00 1 860,00 372,00 1 488,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1 488,00 76,00 0,926 1 377,78 -34,22

Hodnotící kritéria Čistá současná hodnota Vnitřní výnosové procento Doba splacení (prostá) Doba splacení (diskontovaná) Rok hodnocení Doba životnosti (hodnocení) Diskont Zvolte typ opce

Hodnota opce

tis. Kč let let

NPV IRR Ts Tsd

let

Vložit vstupní hodnoty

Opce na odložení projektu

Zadané parametry Hodnota DCF projektu Bezriziková úroková míra Volatilita peněžních toků Počáteční investice Kontrakční koeficient

-34,22 5,38% 1 > Tž 2010 2 8,00 %

4465,00 3,00 20,00 4500,00 -

tis. Kč % % tis. Kč %

Úspora Koeficient rozšíření Investice do rozšíření Hranice vstup/výstup z projektu Zisk z ukočení projektu

562,64 tis. Kč

77

-

tis. % tis. tis. tis.

Kč Kč Kč Kč

Výpočet hodnoty projektu rok

rok

rok

2010

2011

2012 6661 s0u2 2161

5454 s0u 1103

4465 s0 563

4465 s0ud 0

3656 s0d 0

2993 s0d2 0

9.4.Příloha – Parkoviště s.r.o. – další vývoj Zvolte typ opce

Vložit vstupní hodnoty

Opce s volbou v projektu

Zadané parametry Hodnota DCF projektu Bezriziková úroková míra Volatilita peněžních toků Počáteční investice Kontrakční koeficient Hodnota opce

4465,00 3,00 20,00 30,00

tis. Kč % % tis. Kč %

Úspora Koeficient rozšíření Investice do rozšíření Hranice vstup/výstup z projektu Zisk z ukočení projektu

461,62 tis. Kč

78

1500,00 40,00 2000,00 4000,00

tis. % tis. tis. tis.

Kč Kč Kč Kč

Výpočet hodnoty projektu rok

rok

rok

2010

2011

2012

4465 s0 4927

5454 s0u 5866 3656 s0d 4201

79

6661 s0u2 7325 4465 s0ud 4626 2993 s0d2 4000

10. Obsah CD K práci je přiloženo CD s dvěma složkami: 

Diplomova prace – obsahuje všechny verze práce vytvořené během přípravy, finální verzi i verzi ve formátu pdf



Efekt – obsahuje všechny verze s úpravami programu Efekt se zdrojovými kódy

80