Finanční management Cena opce, parita kupní a prodejní opce, BlackScholesův vzorec, reálné opce
• Máme-li dvě finanční aktiva - akcie a opci na tyto akcie můžeme dosáhnout bezrizikové zabezpečené pozice. Změna ceny jednoho aktiva je doprovázena opačnou změnou ceny druhého. Mějme evropskou opci na koupi akcie, které nevyplácejí žádné dividendy, dohodnutý termín je 6 měsíců. Nejsou žádné transakční náklady na koupi či prodej opce a akcií. Předpokládejme bezrizikový výnos r (např. státní obligace).
Zabezpečená pozice
• Předpokládejme, že na konci šestiměsíčního období jsou dva možné stavy okolí. V jednom stavu je cena akcie vyšší než současná, označíme uS, ve druhém je cena nižší a to dS. S představuje současnou cenu akcie, u =1 + % zvýšení ceny akcie od počátku do konce období a d = 1 - % snížení ceny akcie od počátku do konce období. Pravděpodobnost, že se cena akcie zvýší o 20 % je q např. 2/3, pravděpodobnost, že se sníží o 10 % je 1 - q. Dále předpokládejme, že úrok ze státních obligací na 6 měsíců je 5 % a dohodnutá cena z opce je 50 Kč ≡ Vs.
• Potom je očekávaná hodnota akcie : 2 / 3 * 1,2 * 50 + 1 / 3 * 0,9 * 50 = 55 Kč. • A očekávaná hodnota opce : 2 / 3 * 10 + 1 / 3 * 0 = 6,67 Kč. • Zabezpečenou pozicí můžeme v tomto případě dosáhnout tím, že koupíme akcie a vypíšeme opce. Cílem je dosáhnout bezrizikovou pozici. Příslušný poměr mezi počtem akcií a opcí je X * uS – Y * uV0 = X * dS – Y * dV0 odtud X / Y = (uV0 – dV0) / (uS – dS) • Hedge ratio = (uV0 – dV0) / (uS – dS) = (10 – 0) / (60 – 45) = 2 / 3, kde X je počet akcii a Y je počet opcí. Pozn : Procentní snížení a zvýšení ceny akcie u a d musí být větší než
1
• Za předpokladu nulových transakčních nákladů bude naše pozice na konci období vypadat takto (máme např. dvě akcie a tři opce): Cena akcie na konci období Cena volné pozice v akciích 90 Cena těsné pozice v opcích *0=0 Hodnota kombinovaného držení 90
60 45 2*60 = 120 2*45 = -3 * 10 = - 30
-3
90
• Skutečně nezávisle na ceně akcií je naše hodnota kombinovaného držení stejná.
Určení ceny opce • Výnos výše uvedené dokonale zabezpečené pozice je závislý na prémii, kterou za opci zaplatíme eventuelně obdržíme. Protože uvedené držení je bezrizikové, na dokonale fungujícím kapitálovém trhu nemůže mít výnos jiný, než je tzv. bezrizikový výnos. V našem případě by výnos měl být roven 5 %, tj. úroku státních obligací. Víme, že konečná hodnota zabezpečené pozice je 90 Kč (za 6 měsíců! ) a dále, že vydáme 100 Kč na nákup dvou akcií. Ovšem také na počátku období obdržíme prémie za tři vypsané opce. Jaký je čistý výnos této transakce? Použijeme srovnání pomocí NPV, máme totiž různodobé peněžní toky. Označíme si prémii za opce VoB. Jako diskontní míru musíme použít 5 %!
• 100 – 3 * P – 90 / 1,05 = 0 • P = (105 – 90) / 3,15 = 4,762 • Tak je počáteční investice 100 – 3 * 4,762 = 85,714 Kč a výnos je 90 / 85,714, což je 5 %. Samozřejmě, že dvě různé investice se stejným rizikem by měly mít stejný výnos. Pozn.: Očekávaný výnos akcie je (55 – 50) / 50 = 10 %
• Protože očekávaná hodnota akcie je 55 Kč na konci období a očekávaný výnos opce je (6,667 - 4.762) / 4,762 = 40 %, kde 6,667 je očekávaná hodnota opce. Očekávaný výnos opce je tedy vyšší než u akcie, na kterou je tato opce vypsána, ale to odpovídá vyššímu riziku spojenému s opcí. Důležité je, že když je prémie za opci stanovena korektně, je výnos zabezpečené pozice roven bezrizikovému výnosu.
2
Tendence pro korektní cenu za opci • Co se stane, když cena za opci (prémie) bude na počátku období odlišná od námi spočítané ceny 4,762 Kč? Např. bude-li prémie za opci rovna 5 Kč? Jako racionální investor si okamžitě půjčíme peníze za bezrizikový úrok 5 % a investujeme do zabezpečené pozice. Náš výnos za 6 měsíců je [90 (100 - 3 * 5)] / (100 - 3*5) = 5,88 %. • A protože výnos bezrizikové pozice je vyšší než náklady na vypůjčení peněz, půjčíme si co nejvíce a budeme očekávat čistý zisk. Musíme však prodávat opce a tak zvýšíme jejich nabídku na trhu, jejich cena v důsledku toho bude klesat. Naopak, bude-li opce podhodnocena, řekněme za 4,50 Kč, koupíme opce, prodáme ihned nakrátko akcie a investujeme hotovost do státních obligací. Na počátku období máme:
tři opce dvě akcie státní obligace celkem
13,50 -100 100 13,50
Na konci období pro oba možné stavy okolí máme:
hodnot kombinovan a á pozice obligac í 60 30 -120 105 15 V obou případech máme jistý (Sic!) výnos (15-13,5)/13,5 = 11,11% 45 0 -90 105 15 cena hodnot akcie a opce
ztráta za akcie
Black – Scholesův vzorec • Jsou známé krátkodobé úrokové míry, které jsou konstantní. • Ceny akcií jsou naprosto náhodné, mění se spojitě v čase s rozptylem výnosů, který je úměrný druhé mocnině ceny. Potom je distribuční funkce očekávaných cen akcie pro každý konečný časový interval lognormální s konstantní hustotou pravděpodobnosti. • Z akcie nejsou vypláceny žádné dividendy ani jiné výnosy. • Opce je evropského typu. • Transakční náklady jsou nulové. • Je možné si vypůjčit jakoukoliv částku pro koupi cenného papíru či jeho zlomku za krátkodobou úrokovou míru. • Krátkodobé prodeje nejsou nijak omezeny. Prodávající, který nevlastní příslušný cenný papír, obdrží od kupujícího částku ve výši aktuální ceny cenného papíru a v určeném časovém budoucím okamžiku zaplatí kupujícímu částku rovnou aktuální ceně cenného papíru v tomto budoucím okamžiku.
3
Za těchto předpokladů závisí hodnota opce pouze na ceně akcie, čase a na proměnných, které jsou konstantní a známé. Poté je možné sestavit zabezpečenou pozici z akcií a opcí, jejíž hodnota není závislá na ceně akcie, ale pouze na čase a na hodnotě známých konstantních veličin. Počet opcí, které musíme prodat pro zajištění nákupu jedné akcie, je:
1 ∂Vo ( S t , t ) ∂S t Hodnota takto zabezpečené pozice je skutečně nezávislá na ceně akcie. Pokud se cena akcie nepatrně změní o ∆St, změní se hodnota opce přibližně o ∂V ( S , t ) o
∂S t
t
⋅ ∆S t
a hodnota všech opcí se změní o ∆St. Pak je změna hodnoty dlouhé pozice v akciích vyrovnána změnou hodnoty krátké pozice v opcích.
Hodnota takto sestrojené zabezpečené pozice je:
St −
Vo ( S t , t ) ∂Vo ( St , t ) ∂St
Změna hodnoty zabezpečené pozice za krátký časový interval ∆t je:
∆S t −
∆Vo ( S t , t ) ∂Vo ( S t , t ) ∂S t
Při znalosti pravděpodobnostního charakteru hodnoty opce můžeme za ∆Vc dosadit:
∆Vo =
∂Vo ( S t , t ) 1 ∂ 2Vo ( S t , t ) 2 2 ∂V ( S , t ) ⋅ ∆S t + ⋅ ⋅ v ⋅ S t ⋅ ∆t + o t ⋅ ∆t ∂S t 2 ∂S t ⋅ ∂t ∂t
Po dosazení za ∆Vc a po úpravách získáme diferenciální rovnici, která po vyřešení a po využití okrajových podmínek pro hodnotu opce v okamžiku realizace opčního kontraktu vede k výsledku:
4
Hodnota call option opce:
kupní
• hodnota opce = beta * cena akci - úvěr
Vc = N ( d1 ) ⋅ S 0 − N ( d 2 ) ⋅ E ⋅ e − i⋅T
d1 =
d2 =
ln(
ln(
S0 σ2 ) + (i + ) ⋅T 2 E σ ⋅ T S0 σ2 ) + (i − ) ⋅T 2 E = d1 − σ T σ ⋅ T
Hodnota prodejní opce = hodnota kupní opce + PV(E) - P • Máme akcii + opci prodat tuto akcii za 100 (put!)
• => 1 put opce + akcie = E + call opce ! • hodnota put opce + P = PV(E) + hodnota call • Protože zakoupení kupní opce a investice PV(E) do bezrizikové pozice má stejné platby jako zakoupení prodejní opce a jedné akcie.
Jiný způsob výpočtu ceny opce (pro 2 stavy)! • Nemůže existovat arbitráž (stroj na peníze) => je jedno, jaký postoj k riziku mají investoři => očekávaný výnos z akcie = i • p H * PH + p L * PL = i pH a pL jsou pravděpodobnosti vzrůstu a poklesu v bezrizikovém světě. • Očekávaná cena opce pH * POH + pL * POL a převést na současnou hodnotu.
Příklad (viz tabule)
5
Magna Charter jako opce a CF = 960 vk ptá po % 0 s =8 vy níz p ka CF = 150 ká táv p po p = pop ká 60% 20 távk so = % a vy n p ízk CF = 220 áp p = op a vk 40 távk CF = 930 poptá á % k a o vys 40% CF = 30 níz p = ká p = po 60 ptáv % ka CF = 140 á ok
tryskové letadlo - 550 tis. EUR
Tryskové letadlo můžete ve druhém roce prodat za 500.
Binomická mříž • Pokud zkrátíme interval změny, dostáváme více stavů • Kombinujeme stavy tak, že vzestup=1/pokles σ δt
u=e
d = e −σ
δt
Americká versus Evropská opce • Kupní na akcii bez dividend. • Rozdíl mezi vnitřní hodnotou opce a její cenou je tzv. časová hodnota, která je před vypršením vždy kladná => pokud opci uplatním, přijdu o její časovou hodnotu => je lepší nechat opci „živou“. • Příklad
6
Úprava na dividendy
• PS2 = po dividendě, PS1 = před dividendou. • Pokud Pcd > Pca (vnitřní hodnota uplatnění opce před dividendou > hodnota živé opce po dividendě), tak se vyplatí ji předčasně uplatnit!
Úprava Black-Scholesova vzorce:
S* = S −
D e it
• kde D je dividenda, • t je čas výplaty dividendy • S* je cena akcie upravená o současnou hodnotu dividend. • Z toho se pak spočítá Pca.
Hodnota opce s uplatněním: • místo P použiji PS*, • místo E stačí E -D (dividendy dostanu, stačí mi tak méně peněz) • a místo T použiji t (uplatním opci) • Vyšší z obou hodnot je hodnota opce ! Vc = N ( d 1 ) ⋅ S * − N ( d 2 ) ⋅
d1 =
ln(
E−D e i⋅t
S* σ2 ) + (i + )⋅t E−D 2 σ ⋅ t
d 2 = d1 − σ t
7
Pojištění portfolia • 1) Smlouva s pojišťovnou, že uhradí ztráty pod 100.
• 2) Zakoupení put opce na indexu akcií, který je podobný investorovým.
• 3) Vytvoření syntetické put opce, což je kombinace koupě a prodeje akcií a obligací. Cíle je dosaženo dynamickou strategií: Buď prodám obligace a koupím akcie nebo p odám akcie a ko pím obligace
Programové obchodování • Pomocí počítačů se automaticky: roste-li cena akcií, prodávají se obligace a nakupují se akcie a naopak. • Problémy: transakční náklady, krátké intervaly (nemožnost změn).
8
