VYBRANÉ EXOTICKÉ OPCE TVORBA, OCEŇOVÁNÍ A VYUŽITÍ

Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta

Studijní obor: Finanční podnikání

VYBRANÉ EXOTICKÉ OPCE – TVORBA, OCEŇOVÁNÍ A VYUŽITÍ Chosen Exotic Options - Formation, Appreciation And Use Diplomová práce

Vedoucí diplomové práce: Ing. Boris Šturc, Csc

Autor: Mgr. Hynek NAVRÁTIL

Brno, červen 2007

2

Jméno a příjmení autora:

Mgr. Hynek NAVRÁTIL

Název diplomové práce:

Vybrané exotické opce- tvorba, oceňování a využití

Název v angličtině:

Chosen Exotic Options- Formation, Appreciation And Use

Katedra:

Financí

Vedoucí diplomové práce:

Ing. Boris Šturc, CSc.

Rok obhajoby:

2007

Anotace:

Předmětem diplomové práce „Vybrané exotické opce- tvorba, oceňování a využití“ je rozbor několika konkrétních exotických opcí, které jsou v hojnější míře používány v současné době na světových finančních trzích. První část práce představuje obecný úvod do problematiky opcí a také v podstatě přináší jistou definici opcí exotických, jejichž rozbor byl cílem této práce. Druhá část práce se zabývá již konkrétními vybranými exotickými opcemi a to jak jejich teoretickým pozadím, tak i jejich praktickým použitím. Annotation The goal of the submitted thesis: “Chosen Exotic Options- Formation, Appreciation and Use” is to analyze particular exotic options, which are rather frequently used on the world's financial markets in the present. The first part serves as a general introduction into the topic of options; it also provides a certain definition of exotic options, whose analysis is the aim of the thesis. The second part deals with selected exotic options, both from a theoretical and practical point of view. Klíčová slova Opce, vanilla opce, exotické opce, bariérové opce, binární opce, asijské opce, oceňování opcí, Black-Scholesův model Keywords Options, vanilla options, exotic options, barrier options, binar options, Asian options, option pricing, Black-Scholes model

3

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Vybrané exotické opce- tvorba, oceňování a využití vypracoval samostatně pod vedením Ing. Borise Šturce a uvedl v seznamu literatury všechny použité literární a odborné zdroje.

V Brně dne 1.6.2007

______________________________ vlastnoruční podpis autora 4

Poděkování Rád bych zde poděkoval Ing. Borisovi Šturcovi, Csc, za věnovaný čas, odborné rady a připomínky, kterými významně přispěl k vypracování této diplomové práce. 5

OBSAH

SEZNAM GRAFŮ, TABULEK a schémat ...............................................................................................7

......................................................................................8 Úvod .............................................................................................................................................9 FINANČNÍ OPCE ...........................................................................................................................12 1.1 Pojem opce ..................................................................................................................12 1.2 Opce a jejich hodnota ...................................................................................................13 1.2.1 Vnitřní hodnota ....................................................................................................13 1.2.2 Časová hodnota....................................................................................................13 1.2.3 Faktory ovlivňující cenu opce .................................................................................13 1.3 Typy opcí .....................................................................................................................15 1.3.1 Kupní opce ...........................................................................................................15 1.3.2 Prodejní opce .......................................................................................................15 1.3.3 Put-call parita.......................................................................................................16 1.3.4 Evropská opce ......................................................................................................17 1.3.5 Americká opce......................................................................................................17 1.4 Zahajování a ukončování opčních transakcí .....................................................................17 Dlouhá a krátká pozice ..................................................................................................17 1.5 1.6 Oceňování opcí .............................................................................................................18 1.7 Black-Scholesův model..................................................................................................22 1.8 Binomický oceňovací model (lattice) model .....................................................................25 1.9 Příklady opčních strategií ...............................................................................................27 EXOTICKÉ OPCE ...........................................................................................................................32 1.10 Jak se odlišují exotické opce od jednoduchých tzv. vanilla opcí ..........................................32 1.11 Přehled frekventovaných exotických opcí ........................................................................33 1.12 Vybrané exotické opce ..................................................................................................34 1.12.1 Bariérové opce na dvě podkladová aktiva ................................................................34 Binární opce .........................................................................................................45 1.12.2 1.12.3 Opce s průměrnou cenou - Asijské opce ..................................................................50 2 závěr ...................................................................................................................................58 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ......................................................................................................60 Další zdroje: ................................................................................................................................61 SEZNAM POUŽÍTÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK

6

SEZNAM GRAFŮ, TABULEK A SCHÉMAT

Graf 1.

Payoff diagram pro call opci s realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T ..........................................................................................................................................20

Graf 2.

Payoff diagram pro put opci s realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T ..........................................................................................................................................20

Graf 3.

Zisk call opce s cenou z a realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

.............................................................................................................................................................21 Graf 4.

Zisk put opce s cenou z a realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

.............................................................................................................................................................21 Graf 5.

Ukázka použití strategie s limitovaným rizikem i ziskem .................................................................28

Graf 6.

Strategie typu Straddle ........................................................................................................................29

Graf 7.

Strategie typu Strangle ........................................................................................................................30

Graf 8. Příklad jednoduché bariérové opce ......................................................................................................36 Graf 9. Schéma vyjadřující srovnání hodnot bariérových opcí typu call a put .............................................46 Graf 10. Cena cash-or-nothing call opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva ...................................................................................................................................................47 Graf 11. Cena cash-or-nothing put opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva ...................................................................................................................................................47 Graf 12.

Cena asset-or-nothing call opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva ...................................................................................................................................................48

Graf 13.

Cena asset-or-nothing put opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva ...................................................................................................................................................48

Graf 14. Příklad opce typu fixed strike asian ...................................................................................................52 Graf 15. Příklad opce typu floating strike asian ...............................................................................................53 Graf 16. Vývoj kurzu USD/CZK v průběhu roku 2005. Zdroj: ČNB ...............................................................55 Tabulka 1. Oceňování a payoff bariérových opcí na dvě podkladová aktiva.................................................41

Schéma 1.

Schéma fungování binomického modelu ......................................................................................26

7

SEZNAM POUŽÍTÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK c........... call opce cdi .........down-and –in call opce cdo.........down-and-out call opce cui .........up-and-in call opce cuo .........up-and-out call opce E...........expirační (realizační) cena e............Eulerovo číslo (e = 2,78) p............put opce pdi..........down-and –in put opce pdo .........down-and-out put opce pui .........up-and-in put opce puo .........up-and-out put opce R...........kompenzace v případě nemožnosti realizace barierové opce r.............bezriziková úroková míra S............cena akcie (podkladového aktiva) t.............čas T............čas exspirace opce W...........hodnota derivátu σ.............volatilita

8

ÚVOD

S opcemi jako nástrojem přispívajícím k rozvoji a hladkému chodu obchodu se setkáváme již od dob starověkého Řecka. I ve středověku bylo jejich používání v obchodních kruzích běžnou praxí. Byly používány zejména ve státech se vzkvétajícím obchodem, mezi které patřila například Itálie nebo Holandsko. Zárodek rozmachu používání opcí v moderních dějinách nalezneme v USA 19. století.

Burzovní opční obchody se začaly prudce rozvíjet po roce 1973. Jedná se o rok, ve kterém byly publikovány práce věnované oceňování opcí trojicí autorů Black, Scholes a Merton. Zjištění správné hodnoty opce je pro investory zásadní otázkou, proto byly práce výše zmíněných autorů, které se oceňováním opcí podrobně zabývaly, pro budoucí velký rozmach opčních obchodů zcela zásadní. Jména prvních dvou autorů jsou známa nejen odborné veřejnosti, jedná se o totiž o tvůrce tzv. Black- Scholesova modelu oceňování opcí. Druzí dva autoři, tedy Merton a Scholes byli dokonce za svůj příspěvek zabývající se problematikou opčních obchodů oceněni Nobelovou cenou za ekonomii v roce 1997 (Black se Nobelovy ceny bohužel nedožil, zemřel v roce 1995).

Ve stejném roce, kdy byly publikovány práce výše zmíněných autorů, bylo zahájeno obchodování s opcemi na Chicago Board Options Exchange. Od tohoto roku pokračoval prudký nárůst objemu opčních obchodů. Nejdříve, tedy od roku 1973 se obchodovalo s call opcemi, od roku 1977 se začalo obchodovat i s put opcemi. Do roku1980 se jednalo o opce, jejichž podkladovým aktivem byly zejména akcie, od roku 1980 se již začínáme setkávat s opcemi, jejichž podkladové aktivum je tvořeno cizími měnami, úrokovými mírami, futures, dluhopisy nebo akciovými a dluhopisovými indexy.

Opce tak prošly opravdu dlouhým vývojem od původně čistě zajišťujícího institutu až po nástroj spekulativních obchodů na vyspělých kapitálových burzách. Z instrumentu umožňujícího snadnější obchodování na komoditních trzích se nakonec vyvinul vyspělý finanční nástroj, který v posledních desetiletích zažívá nebývalý rozmach a to zejména jako projev postupující sekuritizace, která je založena zejména právě na obchodování s deriváty, 9

mezi kterými finanční opce zaujímají čestné místo. Přes fakt, že opce neměly po dlouhá desetiletí přístup na burzy cenných papírů, patří dnes opce mezi nejvyhledávanější instrumenty (ať již jako nástroje zajištění nebo spekulace) a lze si bez nich fungování dnešního kapitálového trhu jen stěží představit.

Pojem „finanční opce“ je velmi široký, přesto můžeme nalézt určité definiční znaky, které opce vystihují, a odlišují je od ostatních pojmů používaných na finančních trzích.

Tato diplomová práce si dává za úkol čtenáře v krátkosti seznámit s pojmem opce, jejími druhy, jejím místě na finančních trzích a následně čtenáři přiblížit problematiku tzv. exotických opcí, která bude tvořit samotné jádro diplomové práce. Exotických opcí se na finančních trzích vyskytují desítky různých druhů, některé opce se odlišují již podstatou svého fungování, jiné se liší pouze v detailech. Už samotný výčet všech exotických opcí doplněný pouze stručným komentářem by značně překročil rozsah této práce, proto si tato práce klade za cíl čtenáři poskytnou jen krátký obecný nástin opční tématiky a dále se věnuje pouze několika konkrétním zástupcům exotických opcí.

Jak již bylo uvedeno výše, exotické opce jsou velmi širokým pojmem, na základě určitých společných pojmových znaků, však tyto můžeme rozdělit do několika skupin. K bližšímu rozboru jsem si vybral tři konkrétní opce. První z nich je zástupce velmi početné a poměrně dobře známe skupiny opcí bariérových. Konkrétně se jedná o opce na dvě podkladová aktiva. Jako o druhé bude v této práci podrobněji pojednáno o tzv. binární neboli digitální opci. Jako poslední jsem si jako předmět svého rozboru vybral tzv. asijskou opci.

Co se týče výběru tří výše uvedených opcí, vybral jsem si právě tyto, protože se jedná o velmi frekventované reprezentanty exotických opcí, jsou tedy na finančních trzích poměrně často používány a bližší informace právě o těchto opcích mohou čtenáři přinést praktický užitek. Aby se však práce nezabývala pouze poměrně známými pojmy, vybral jsem si vždy takové zástupce dané skupiny, kteří se vyznačují určitými zvláštnostmi.

U všech zde rozebraných opcí je uvedeno nejen jejich konkrétní použití, ale také matematický aparát sloužící k práci s těmito opcemi, tj. zejména k jejich oceňování. Na vybrané opce je nahlíženo jako na zajišťovací instituty i jako na nástroje spekulace a je zde pojednáno o praktickém použití vybraných opcí v obou těchto polohách. 10

Cílovým čtenářem této práce je člověk, který si chce utvořit základní přehled o fungování vybraných exotických opcí na kapitálových trzích. Práce je zaměřena na čtenáře, kteří se na opce dívají spíše z ekonomického hlediska a to jako na instrument používaný na kapitálových trzích. Posláním této práce je tedy seznámit čtenáře se spíše praktickým použitím takovýchto opcí a nedělá si ambice matematické studie poskytující čtenáři absolutní přehled o matematickém aparátu stojícím v pozadí těchto finančních derivátů. Matematický aparát je pro studium a práci s tímto tématem samozřejmě absolutně nezbytný, čistě matematický pohled však autor nechává studentům jiných oborů. To je jeden z důvodů, proč není v práci obsaženo nepřeberné množství matematických vzorců a výpočtů. U cílového čtenáře se spíše očekává používání moderních počítačových prostředků, počínaje lehce dostupnými internetovými opčními kalkulátory a speciálním softwarem sloužícím pro oceňování opcí konče, než vlastnoruční odvozování dílčích vzorců a práce přímo s nimi.

11

FINANČNÍ OPCE

1.1 Pojem opce Jak již bylo nastíněno v úvodu práce, opce je institut s dlouholetou tradicí. Existence opce je založena na klasickém právním vztahu právo - povinnost. Ve všech oblastech života je s právem někoho na něco pevně spojena povinnost jiné osoby mu výkon tohoto práva umožnit. Hovoříme-li tedy o opci, hovoříme o právu vyžadovat od protistrany určitou povinnost.

Jako příklad pro snadnou demonstraci fungování opčních vztahů si můžeme zvolit třeba opci na cenný papír. Opce na cenný papír je tedy (jak bylo uvedeno výše) právo, a to právo koupit (kupní opce, call option) nebo prodat (prodejní opce, put option) podkladové aktivum (underlying asset) (např. dohodnutý počet kusů cenných papírů určité emise) za sjednanou, pevně stanovenou cenu. Toto právo lze uplatnit v pevně stanovené době (doba realizace opce), tedy až do data, které bylo stanoveno jako datum vypršení opce (expiration date). V této souvislosti je důležité zmínit, že pokud je možno uplatnit právo opce kdykoli za dobu života opce, hovoříme o tzv. opci americké. Druhou skupinu tvoří tzv. opce evropské, tyto opce je možno uplatnit pouze v době jejich exspirace.

Vlastnictví opce tedy nezakládá vlastnická práva k tzv. podkladovému aktivu (aktivu, na jehož nákup či prodej byla opce vystavena), zakládá pouze právo vlastníka opce tato práva za určitých konkrétně specifikovaných podmínek a v předem stanovené době nabýt, nebo se těchto práv zbavit, a to opět za určitých konkrétních podmínek a v předem stanovené době.

V této práci se budeme dívat na opci pouze jako na finanční derivát. Hovoříme-li o finančním derivátu, máme na mysli tzv. odvozený cenný papír. To, že se jedná o odvozený cenný papír znamená, že je neoddělitelně spjat s cenným papírem, od kterého je odvozen. Tento cenný papír, od něhož je opce odvozena, nazýváme základním, neboli podkladovým aktivem.

12

1.2 Opce a jejich hodnota Opce je aktivum, jehož cena se v průběhu času vyvíjí. Cena opce, tak zvaná prémie (premium), sestává ze dvou složek. Jsou jimi tzv. vnitřní a časová hodnota.

1.2.1

Vnitřní hodnota

Vnitřní hodnota se u kupní opce rovná rozdílu ceny podkladového aktiva a tzv. realizační ceny opce; u prodejní opce se její vnitřní hodnota rovná realizační ceně po odečtení ceny podkladového aktiva. Pokud uvedeným výpočtem získáme záporný výsledek (např. máme kupní opci, jejíž realizační cena je vyšší než cena podkladového aktiva), znamená to, že vnitřní hodnota opce je nulová.

Vnitřní hodnota opce je tedy přímo závislá na ceně

podkladového aktiva.

1.2.2

Časová hodnota

Časovou hodnotou se myslí složka ceny opce, která v průběhu trvání opce postupně klesá. V okamžiku vypršení opce je časová hodnota rovna nule.

V souvislosti s hodnotou opce se můžeme setkat s několika poměrně frekventovanými pojmy. Pokud opce nemá vnitřní hodnotu, jde o opci pod paritou, hovoříme o opci tzv. bez peněz (out of money). Pokud opce naopak vnitřní hodnotu má, jedná se o opci nad paritou a nazýváme ji opce v penězích (in the money). Pokud je cena podkladového aktiva rovna realizační ceně opce, říkáme, že je opce na penězích (at the money).

1.2.3 Faktory ovlivňující cenu opce Cena opce, tedy její výše zmíněné složky, jsou ovlivňovány širokou škálou faktorů. Mezi ty zásadní patří již zmíněná realizační cena, cena podkladového aktiva, čas zbývající do exspirace, bezriziková úroková míra (obvykle je za ni považována úroková míra státních dluhopisů) a rizikovost (volatilita) akcie.

13

1.2.3.1

Realizační cena

Při určování vnitřní hodnoty opce se setkáváme s pojmem realizační cena opce. Jedná se o cenu, za kterou můžeme při uplatnění (realizaci) opce podkladové aktivum nabýt (v případě kupní opce) nebo podkladové aktivum prodat (v případě opce prodejní).

1.2.3.2

Cena podkladového aktiva

Jak již jsem uvedl, opce je finančním derivátem, je tedy odvozeným cenným papírem. Její cena je tedy přímo spjata s cenou podkladového aktiva od kterého je daná opce odvozena. Zjednodušeně je možno říci, že při růstu ceny podkladového aktiva roste také cena call opce, naopak při jeho poklesu klesá i cena příslušné call opce. U put opcí je tomu právě opačně. Při růstu ceny podkladového aktiva je vytvářen tlak na pokles ceny put opce a při jeho poklesu se naopak cena put opce zvyšuje.

1.2.3.3

Čas zbývající do exspirace

Od času zbývajícího do exspirace opce se odvíjí tzn. časová hodnota opce (viz výše).Čím více času do exspirace zbývá, tím větší je pravděpodobnost, že v průběhu její platnosti dojde k významné změně ceny podkladového aktiva. S ubíhajícím časem se tato pravděpodobnost snižuje a snižuje se tedy s blížícím datem exspirace i cena opce. To je důvodem, proč jsou někdy opce označovány jako rozplývající se aktiva (wasting assets). Toto pravidlo platí zejména pro call opce, put opce s delší platností nemusí být nutně dražší.

1.2.3.4

Bezriziková úroková míra

Bezriziková úroková míra představuje úrokový výnos takového aktiva, které pro investora nepředstavuje žádné, či velmi zanedbatelné riziko (v případě investice do dlužných cenných papírů riziko úvěrové). Většina modelů používaných k oceňování aktiv5 nahrazuje bezrizikovou úrokovou míru úrokovou míru představující výnos z držby státních cenných papírů. Často je ale účelnější použít diskontní sazbu centrální banky (v našich podmínkách České národní banky), která představuje základní „cenu peněz“ v české ekonomice.

14

1.2.3.5

Rizikovost

Mezi další faktory ovlivňující hodnotu opce můžeme uvést například tržní podmínky (zejména pokud jde o transakční náklady – systém marží, poplatků apod.), daňové zákony, vztah investora k riziku a regulační podmínky (tyto jsou obvykle stanoveny dohledovými orgány jako je ministerstvo financí apod.).

1.3 Typy opcí Rozeznáváme v podstatě dva typy opcí. Jedná se o opce kupní nebo prodejní. Všechny opce stejného typu mající stejné podkladové aktivum tvoří třídu opcí. Opce stejné třídy mající i stejnou dobu exspirace a realizační cenu nazýváme série opcí.

1.3.1 Kupní opce Kupní opcí (call option) nazýváme právo koupit podkladové aktivum za realizační cenu (striking price), a to v pevně stanovené době. Call opce je právo koupit a tomuto právu odpovídá povinnost poskytovatele této opce podkladové aktivum prodat. Vlastník call opce má tedy právo požadované aktivum koupit, ale může se rozhodnou této opce nevyužít a požadované aktivum nekoupit. Naproti tomu poskytovatel opce musí čekat na rozhodnutí vlastníka opce a v případě, že se tento rozhodne opci uplatnit, je mu poskytovatel povinen stanovený objem podkladového aktiva prodat za realizační cenu.

1.3.2 Prodejní opce

Prodejní opcí (put option) je právo podkladové aktivum za pevně stanovenou cenu v pevně stanovené době prodat. Vlastník opce se může rozhodnout, jestli opci uplatní a využije právo podkladové aktivum za stanovených podmínek prodat či nikoli. Na druhé straně má poskytovatel opce povinnost toto podkladové aktivum od vlastníka put opce za stanovených podmínek a ve stanoveném objemu odkoupit, pokud se vlastník opce rozhodne ji využít.

15

Vlastník opce má tedy možnost dosáhnout v podstatě neomezeného zisku a jeho ztráty jsou omezeny pouze opční prémií. Situace vypisovatele opce je v podstatě opačná, může maximálně dosáhnout zisku ve výši opční prémie, ale jeho ztráta může být mnohem vyšší. Koupě put opce může být výhodným zabezpečovacím nástrojem pro vlastníka aktiv, který se obává poklesu jejich ceny. Put opci naopak prodávají lidé, kteří očekávají vzestup ceny daného aktiva. Call opci tedy vystavovatelé obvykle prodávají, když očekávají pokles ceny aktiva, a je kupována druhou stranou s opačným očekáváním. 1.3.3 Put-call parita

Put-call parita je vztah mezi put a call opcí vypsaných na stejné podkladové aktivum, shodná je i cena a čas exspirace. Jedná se o portfolio složené z evropských opcí, obě mají stejný čas exspirace i exspirační cenu. Rozdíl je pouze v tom, že ohledně put opce je subjekt v krátké pozici (short), co se týče call opce, zde se naopak nachází v pozici dlouhé (long). Hodnota portfolia v čase exspirace je potom: P (S, T) = max(E-S, 0) - max(S - E ,0)

Hodnota tohoto portfolia je tedy vždy rovna hodnotě (S-E), kde

pro S ≤ E platí: P (S, T) = E - S

a pro S > E platí: P (S, T) = -(E - S)

Finanční derivát s výplatou rovnou (S-E), který nám vzniká je v podstatě srovnatelný s forwardovým termínovaným kontraktem s exspirační cenou E. Jeho hodnota je stejná ceně akcie (diskontované o její dividendu) a exspirační ceny (diskontované o úrokovou míru). Jeho hodnotu můžeme určit jako: F (S ,t)=Se – D (T - t) – Ee – r (T - t)

Výsledný upravený vztah pro call a put opci, tedy vztah put-call parita zní: p =c – Se – D (T - t) + Ee – r (T - t)

16

1.3.4 Evropská opce O evropské opci hovoříme v situaci, kdy je daná opce splatná pouze v přesně určené době splatnosti.

1.3.5 Americká opce Americká opce je na rozdíl od opce evropské splatná kdykoliv do doby splatnosti.

1.4 Zahajování a ukončování opčních transakcí První transakci s opcí (koupě a tomu odpovídající prodej opce) nazýváme otevřením pozice. K otevření pozice tedy může dojít dvěma způsoby. Prodejem opce, pokud je tento prodej výchozí transakcí po jejím upsání (tzv. vypsání opce), a koupí opce. Pokud začínáme obchodovat s opcemi jejich nákupem, jedná se o otevírací kupní transakci, pokud začínáme prodejem, hovoříme o výchozí prodejní transakci.

K uzavření pozice může dojít jednak jejím vypršením (opce není v době její platnosti uplatněna), uplatněním opce či zrušením opce kompenzační transakcí. V těchto případech se jedná o závěrečné transakce.

1.5 Dlouhá a krátká pozice Pokud prodávající prodávanou opci nekoupil, ale vytváří fakticky novou opci, jedná se o upsaní opce. Tento prodávající se jakožto pisatel opce nachází v tzv. krátké pozici (short positron), po prodání opce je jeho postavení závislé na kupujícím opce, tedy na rozhodnutí kupujícího opce využít či nevyužít. Samozřejmě prodávající se může pokusit koupit prodanou opci zpět a zbavit se takto povinnosti odpovídající prodané opci. V tomto případě říkáme, že prodávající uzavře svou pozici, přičemž vypsání opce bylo z jeho strany otevřením pozice, kterou zpětným odkupem uzavřel.

17

Pokud prodávající prodává opci v situaci, kdy podkladové aktivum vlastní, jedná se o krytou kupní opci. Pokud naopak prodávající podkladové aktivum v okamžiku prodeje opce nevlastní, jedná se o nekrytou kupní opci.

Na druhé straně, ten kdo opci koupil a v současné době ji vlastní, se nachází v tzv. long pozici. Nemá v podstatě povinnost ke kupujícímu, ale má právo opce využít či nevyužít.

1.6 Oceňování opcí

V pasáži věnované pojmům call a put opce bylo řečeno, že opční kontrakt zavazuje pouze jednu stranu, tedy vypisovatele opce. Druhá strana si naopak kupuje určité právo, které může, ale nemusí uplatnit. Tato skutečnost by se dala považovat za jeden z nevýraznějších faktorů odlišujících opční kontrakty od ostatních termínovaných kontraktů jako jsou například kontrakty typu forward nebo futures.

Nejobsáhlejší část teorie věnované opcím se zabývá právě oceňováním opcí, tedy určováním hodnot tzv. opčních prémií. Opční prémie je vlastně obsažena ve vnitřní hodnotě opce. Pokud tedy opce přinese svému majiteli v čase t zisk, hovoříme o tom, že je opce v penězích (in-themoney), tedy že má určitou kladnou vnitřní hodnotu (viz pasáž věnovaná hodnotě opce).

Zde se liší situace, pokud se jedná o kupní (call) nebo prodejní (put) opci. Obecně pro call opci platí, že je v penězích v situaci, že je cena podkladového aktiva vyšší než realizační cena. Pro put opci obecně platí opak, tedy že je v danou chvíli cena podkladového aktiva nižší než realizační cena opce. V opačných případech jsou obě tyto opce bezcenné, jsou tedy, řečeno opční terminologií, mimo peníze (out-of-money). Poslední možnou situací je opce tzv. na penězích (at-the-money). Jedná se o situaci, když je cena podkladového aktiva rovna realizační ceně. Výplatní situace a hodnotu opce si můžeme vyjádřit prostřednictvím tzv. payoff diagramu (tedy jakéhosi diagramu výplaty).

18

Payoff call opce (z pozice vlastníka opce) v long pozici si můžeme vyjádřit jako: max ( ST - E, 0) z pozice vystavitele to potom bude - max (ST - E, 0) = min (E - ST, 0)

kde

S.........cena podkladového aktiva ST.......cena podkladového aktiva v čase exspirace jako ST E........ exspirační cena

Opce bude uplatněna a přinese svému vlastníkovi zisk, když ST > E, tedy když bude okamžitá cena opce vyšší než cena podkladového aktiva. V ostatních případech (kdy ST ≤ E) uplatněna nebude.

U put opce bude situace v podstatě opačná.. Payoff put opce si z pozice vystavovatel můžeme vyjádřit jako: max ( E - ST , 0) z pozice vystavitele to potom bude - max ( E - ST , 0) = min (ST - E, 0)

Vlastník opce využije opce a prodá aktivum, na které byla opce vypsána za realizační cenu E, ale pouze v případě, že bude vyšší než tržní cena, tedy pokud E > ST. Pro ostatní případy (kdy E ≤ ST) vlastník tuto opci neuplatní.

19

Graf 1.

Payoff diagram pro call opci s realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

Graf 2.

Payoff diagram pro put opci s realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

Pokud vezmeme v úvahu i cenu opce, kterou musel vlastník za opci zaplatit (tedy opční prémii), bude zisk vlastníka opce při jejím uplatnění (long pozice) určen vzorcem -z + max ( ST - E, 0)

a situace vystavitele (short pozice) potom: z + min (ST – E, 0)

Pro put opci to potom bude, z pozice vlastníka:

20

- p + max(E - ST ,0)

a situace vystavitele (short pozice) potom:

p + min (ST – E, 0)

Graf 3.

Zisk call opce s cenou z a realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

Graf 4.

Zisk put opce s cenou z a realizační cenou E na podkladové aktivum ceny ST v čase exspirace T

21

1.7 Black-Scholesův model Pojmem Black–Scholesův model označujeme matematický model určený k oceňování aktiv, a to nejčastěji opcí. Jeho důležitost potvrzuje skutečnost, že za jeho zkonstruování byla udělena Nobelova cena v oblasti ekonomie. O jeho existenci a historických souvislostech jeho vzniku jsme se zmínili již v úvodu práce. Jak již bylo výše řečeno, jedná se o model z hlediska naší problematiky velmi důležitý, dalo by se říci, že začátek jeho používání v podstatě znamenal určitý přelom v praktickém i teoretickém používání opčních instrumentů. Cítím proto jako nutnost se zde o tomto modelu zmínit a podat alespoň základní informace o jeho fungování.

Model je založen na myšlence, že základ ceny opce je ve své podstatě dán vývojem ceny podkladového aktiva. Cena opce a její změny jsou tedy odvozovány z ceny podkladového aktiva. Tento model ekonomů Blacka Fischera a Myrona Scholese je šířeji používán od roku 1973, kdy byl publikován, s čímž souvisí také velký rozvoj burzovních obchodů trvající od tohoto roku prakticky až dodnes. Práce výše zmíněných ekonomů byla částečně založena na dřívějších výzkumech dalších odborníků jako Robert C. Merton, Edward O. Thorp, Louis Bachelier, A. James Boness nebo známý Paul Samuelson.

Tento oceňovací model je založen na předpokladu nezávisle se vyvíjející ceny aktiva (u opcí se jedná o podkladové aktivum). Ta se vyvíjí jako podle geometrického brownova pohybu, tedy jako stochastický proces. Cena se tedy vyvíjí náhodně, v anglické terminologii se můžeme často setkat s výstižným pojmem označujícím způsob vývoje ceny aktiva za tzv. náhodnou chůzi (random walk).

Jako u každého matematického modelu je pro jeho správné fungování nutné, aby byly naplněny určité předpoklady. Jedním z nich je předpoklad, že je obchodování s podkladovým aktivem kontinuální, že je tedy cenu podkladového aktiva možno stanovit v každém okamžiku.

Dalším předpokladem je zejména konstantní volatilita aktiv, ta se totiž běžně na finančních trzích mění. Na trzích jsou aktiva také různou měrou korelována a tato korelace se někdy velmi prudce mění.

22

Tento model také předpokládá, že je možné zapůjčení hotovosti za konstantní bezrizikovou úrokovou míru, že neexistují transakční náklady a daně, všechna aktiva jsou perfektně dělitelná a dále neexistují příležitosti pro arbitráž a je povolen tzv. prodej „na krátko“ (short sell), tedy prodej aktiva se záměrem pozdější koupě. Matematicky je Black-Scholesův model představován rovnicí

kde

C (S, T) nám říká, že se jedná o rovnici ocenění evropské kupní (call) opce (opce splatná pouze v čase T), K je cena dodání akcie v současnosti oceněné jako S. Jinými slovy, rovnice oceňuje právo koupit akcii za cenu K v čase T. R je konstantní úroková míra a písmeno σ (delta) je volatilita, ta je v tomto případě konstantní.

Výpočtem hodnot d1 a d2 se dostaneme k parametrům rovnice. Písmeno Φ (phi) představuje kumulativní distribuční funkci standardního normálního rozdělení. Kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení je tabularizovaná hodnota, zjednodušeně řečeno, parametru d odpovídá jakási hodnota Φ, která je vyjádřením kumulativní pravděpodobnosti v normálním rozdělení.

Cena put opce (právo prodat akcii za cenu K v čase T) se vypočte převodem přes put-call paritu, a to jako:

Již na první pohled jsou patrny zásadní výhody i nevýhody Black-Scholesova modelu.

23

Z výhod to je především zřejmá výpočtová nenáročnost. Otázkou je samotná praktická hodnota výsledku, tedy ceny opce. Pro výpočet se totiž používají nejen statisticky zjistitelné hodnoty, ale také vstupních hodnoty odhadnuté. Jedním z největších úskalí jsou nejen odhadnuté hodnoty, ale velmi často dochází k použití celkově nesprávných vstupních dat.

Velkou nevýhodou modelu je také existence poměrně široké škály předpokladů platnosti modelu. Většina z nich je v reálném světě v podstatě nedosažitelná.

Když se například podíváme na volatilitu, ta je proměnná nejen v čase, závisí na době splatnosti, ale odvíjí se i od použitého podkladového aktiva.

Výše uvedená rovnice je pouze základní, v praxi je použití Black-Scholesovy rovnice složitější. Většinou se používá rozšířená verze Black-Scholesova modelu. Již výše bylo řečeno, že základní verze například předpokládá vypsání evropské opce, tedy opce splatné pouze v době splatnosti (T). Pokud bychom chtěli tento model použít pro výpočet americké opce (tj. opce splatné kdykoliv do doby splatnosti), byla by naše situace značně složitější.

Přes tyto a mnoho dalších nedostatků se tento model opravdu v celosvětové finanční praxi často používá.

24

1.8 Binomický oceňovací model (lattice) model

Mezi velmi frekventované numerické oceňovací modely patří tzv. binomický (lattice) neboli svazový model. O četnosti jeho používání svědčí také množství názvů, pod kterými se s ním můžeme setkat (je známy také jako krokový, fázový či stupňový model)

Jedná se o nástroj, opět sloužící k nalezení vnitřní hodnoty opce nebo akcie. Podstatou tohoto modelu je rozdělení časového úseku mezi současností (t) a datem expirace opce nebo prodejem akcie (například čas t + x) na N samostatných úseků. V libovolném čase (t) má tedy model konečný počet výsledků období (t + 1) přičemž každá možná změna je zachycena ve své větvi rozhodovacího stromu.

Pokud je známa statisticky pravděpodobná cenu v čase (t + 1), můžeme vypočítat vnitřní hodnotu v čase (t). Vnitřní hodnota se počítá v každém bodě rozhodovacího stromu směrem od času (t + x) k počátku rozhodovacího stromu v (t) až se dospěje k jedné vnitřní hodnotě aktiva.

V podstatě nejjednodušším svazovým modelem je model, kde může mít daná situace vždy, tedy v každém kroku rozhodovacího stromu pouze dvě hodnoty. Na základě tohoto předpokladu právě pracuje binomický oceňovací model.

Níže je zobrazen binomický model pro dvě období. Hodnota aktiva v každém období může buď vzrůst nebo klesnout. Pokud hodnota akcie vzroste, bude to o 50%. Pokud hodnota akcie klesne, bude to o 30%. Počáteční hodnota akcie v bodě B0 nechť je 1000 Kč.

V bodu B2NN cena akcie dvakrát po sobě vzrostla, je tedy 1000 * 1,5 * 1,5 = 2250. V bodu B2ND cena akcie jednou vzrostla a pak klesla, bude tedy 1000 * 1,5 * 0,7 = 1050.

Pokud víme pravděpodobnosti s jakými cena vzroste nebo klesne, můžeme vypočítat vnitřní hodnotu aktiva v bodě B0. Dejme tomu, že pokud akcie vzroste, bude to s pravděpodobností 55% a pokud klesne bude to s pravděpodobností 45%. Jaká je tedy vnitřní hodnota akcie v bodě B1N? Výsledek v bodě B2NN ve výši 2250 dosáhneme s pravděpodobností 55%

25

vzhledem ke stavu v bodu B1N. Výsledek v bodě B2ND ve výši 1050 dosáhneme s pravděpodobností 45% vzhledem ke stavu v bodu B1N. Hodnota v bodu B1N je tedy 2250 * 0,55 + 1050 * 0,45 = 1710 .

Takto

pokračujeme

dále

až

se

stejným

způsobem

dopracujeme

k hodnotě aktiva v bodě B0. Vnitřní hodnota tohoto aktiva je nakonec 1299,6. Z tohoto čísla můžeme vyvodit doporučení ke koupi tohoto aktiva, protože jeho hodnota je podstatně vyšší než jeho počáteční hodnota bez uvážení výší jejího možného vzestupu či poklesu a odpovídající pravděpodobnosti.

Stejným způsobem je možno oceňovat i opce. Reálný postup však obvykle bývá značně komplikovanější, Je nutno dodat, že pravděpodobnosti daného vývoje jsou většinou dány pouhým odhadem a jsou často úskalím celého ocenění.

Schéma 1. Schéma fungování binomického modelu

Kromě těchto oceňovacích modelů existují spousty dalších, jako příklad těch používanějších si můžeme uvést:




Geometric Closed Form




Arithmetic Rate Approximation




Arithmetic Rate Approximation




Arithmetic Rate Approximation




Finite Differences Method

26

1.9 Příklady opčních strategií Jak bylo vidět předcházející kapitole nazvané call-put parita, lze call a put opce v dlouhých i krátkých pozicích volně kombinovat a to jednak ze spekulačních motivů, ale především za účelem zabezpečení držených portfolií. V souvislostí s touto činností se pravděpodobně nejčastěji setkáváme s pojmem spread.

Jedná se o situaci, kdy investor koupí dvě call opce na stejnou akcii, ale s různými realizačními cenami. Podle vývoje na finančním trhu přizpůsobuje investor svá očekávání dalších změn v ceně podkladového aktiva a následně pak kupuje nebo prodává call opci na akcii s nižší exspirační cenou a u opcí s vyšší exspirační cenou si potom počíná obráceně.

Investor například může zvolit některou ze strategií s předem známou maximální hodnotou dosažitelného zisku, jejíž nespornou výhodou je ale limitace ztráty a také skutečnost, že je její maximální výše předem známa. Tomuto uvažování investora odpovídají následující dvě strategie, jedná se v podstatě o strategie založené na stejném principu, které se liší pouze očekáváním investora ve vztahu k budoucímu vývoji na finančních trzích.

Býčí (bull) a medvědí (bear) strategie Pokud si nazveme realizační ceny opcí jako E1 a E2, potom za situace kdy je E2> E1 , prodá call opci na E2 a naopak koupí call opci na E1. V tomto případě hovoříme o tzv. bullish spread (vázanou na vzestupnou tendenci) strategii a payoff za této situace si můžeme vyjádřit jako:

W (S, T)= max(S - E1, 0) - max(S - E2, 0) V opačném případě, tedy když investor očekává pokles ceny podkladového aktiva, prodá put opci na nižší realizační cenu a koupí put opci na vyšší realizační cenu. Bude se jednat o tzv. medvědí strategii (Bearish strategy, bear spread) a jeho payoff bude odpovídat rovnici:

27

W (S, T)= - max(S - E1, 0) + max(S - E2, 0)

Graf 5. Ukázka použití strategie s limitovaným rizikem i ziskem

Strategie sell straddle a strategie buy straddle Další strategie, kterou se zde budeme zabývat je opět založena na principu koupě nebo prodeje call a put opce na stejné podkladové aktivum, opět se shodnými exspiračními dobami obou opcí. Tato a následující strategie může bát vykonávána v pozici long (jako kupujícího opce, pak se jedná o long straddle (long strangle) nebo v pozici short, pak se jedná o short straddle (strangle).

Koupě kupní a prodejní opce (investor se tedy nachází v long pozici, jedná se tedy o alternativu buying a straddle) a limituje ztrátu investora pro případ, že se v době exspirace bude cena podkladového aktiva pohybovat v blízkosti exspirační ceny. V Ostatních případech je zisk investora prakticky neohraničen. Je tedy jasné, že investor investuje do této strategie ve chvíli, kdy čeká velké pohyby ceny podkladového aktiva a to ať už směrem nahoru či dolů. Jedná se tedy o případ přesně stanovené a limitované možné ztráty a možného prakticky neomezeného zisku.

28

Pokud naopak investor očekává stabilní vývoj ceny podkladového aktiva, může postupovat podle strategie sold straddle. Co se možného zisku a ztráty týče, je zde situace naprosto opačná oproti předchozímu případu. Maximální zisk je limitován (je v podstatě tvořen opčními prémiemi), v případě pohybu ceny aktiva je však investor vystaven riziku neomezené ztráty.

Payoff je opět vyjádřitelný jako:

W(S, T)= max(S - E, 0) + max(E - S ,0) /pro nákupní- long/

W (S, T)= - max(S - E, 0) + max( E - S, 0) /pro prodejní- short/

Graf 6. Strategie typu Straddle

29

Strategie typu buy strangle a sell strangle Velmi podobnou strategií jako je strategie typu Straddle je strategie Strangle. Liší se v podstatě pouze tím, že u strategie Strangle se pořizují opce na podkladové aktivum s různými realizačními cenami. Opět se zde investor může nacházet jak v long, tak short pozici, tedy opět může figurovat jako kupující i jako prodejce opce.

Pozice long strangle je obvykle tvořena nákupem call opce s větší realizační hodnotou a put opce s realizační cenou nižší, než je promptní (aktuální) cena podkladového aktiva. Nákup put opce je tedy opět strategií na pokles ceny podkladového aktiva, nákup call opce je tedy spekulací na růst této ceny. Ztráta z investování je limitována a je jí v podstatě celková opční prémie použitých opcí, možný zisk je opět neohraničen.

V pozici long je situace právě opačná, zisk je limitován součtem opčních prémií a dochází k němu v situaci, že v čase exspirace opcí je cena podkladového aktiva v intervalu mezi realizačními cenami dotčených opcí. V ostatních případech dochází ke ztrátě, která naopak opět ohraničena není. W (S, T)= max(S - E1, 0) + max(E2 - S, 0) /pro nákupní- long/ W (S, T)= -max(S - E1, 0) + max(E2 - S, 0) /pro prodejní- short/

Graf 7. Strategie typu Strangle

30

Strategie typu strip a strap Strategie Strip a strap je opět variací na strategii straddle. Investor nakupuje nebo prodává opce se stejnými realizačními cenami, počet nakoupených put opcí se však liší od počtu nakoupených put opcí.

Rozlišujeme několik dílčích strategií: Long strip: nákup více put opcí Long strap: nákup více call opcí Short strip: nákup více put opcí Short strap: nákup více call opcí

Opčních strategií je opravdu velká řáda, ze známějších je dobré ještě uvést strategii typu butterfly, popřípadě strategii typu Condor. U strategie butterfly je limitován maximální zisk i ztráta. Co se týče strategie condor, ta spočívá v očekávání investora, že se kurs podkladového aktiva bude pohybovat v určitém pásmu a pomocí strategie condor bude tento pohyb investorovi přinášet profit.

31

EXOTICKÉ OPCE

1.10 Jak se odlišují exotické opce od jednoduchých tzv. vanilla opcí Na finančních trzích se pojmem exotická opce myslí finanční derivát, který má rysy, které ho dělají jaksi komplexnějším, než jsou běžně obchodované opce, tedy opce typu vanilla. Jedná se opět o deriváty běžně obchodované na tzv. over-the-counter (OTC) trzích. Exotické opce se od vanilla opcí obvykle odlišují naplněním jednoho nebo více následujících rysů:


Výplata v době dospělosti opce nezávisí pouze na hodnotě podkladového aktiva v době splatnosti, ale na jeho hodnotě v určitých okamžicích v průběhu života opce (může se jednat například o asijskou opci, ta závisí na určitém průměru hodnoty, dále také o tzv. lookback opce, která je závislá na maximu nebo minimu dosaženém v průběhu života opce, bariérovou opci, která přestává existovat, pokud je podkladovým aktivem dosažena určitá cenová hladina nebo naopak, pokud určitá cenová hladina podkladovým aktivem dosažena není, binární opci atd.).




Cena při dospělosti opce nezávisí pouze na ceně podkladového aktiva v době splatnosti a na jeho ceně v průběhu trvání opce, ale může záviset na více parametrech (např. himalájské opce, mountain range options, basket options a další).




Mohou být dále stanovena určitá další práva spojená s možnostmi nákupní a prodejní opce.




Dále může být v exotických opcích zahrnut prvek směnných kurzů (např. zahraničních měn) a to různými způsoby. S tímto se setkáváme například u quanto nebo kompozitních opcí.

32

1.11 Přehled frekventovaných exotických opcí

Opce na opce Opce na dvě různá podkladová aktiva Bariérové opce Binární opce Asijské opce

Bermudské opce Hovoříme-li o bermudské opci, (anglicky Bermudan option), máme na mysli taková opce, u které má držitel opce právo uplatnit ji v předem definované časové okamžiky. Dalo by se říci, že se nachází někde na půl cesty mezi evropskou a americkou opcí. Evropskou opci je možné uplatnit pouze v době splatnosti a americkou opci může její držitel uplatnit kdykoliv do doby splatnosti. Bermudská opce nabízí určité kompromisní řešení.

Tento rys bermudské opce v podstatě stojí i za jejím názvem jmenuje se podle ostrovů mezi Evropou a Amerikou, takže je na první pohled zřejmé, že se jedná o jakýsi mezistupeň mezi evropskou a americkou opcí.

Těžištěm

použití

bermudské

opce

jsou

úrokové

instrumenty

nebo

deriváty.

Můžeme se setkat s její kupní i prodejní podobou (call i put opce). Tento typ opcí je velmi často oceňován pomocí aproximace binomického oceňovacího modelu. V tomto případě se v binomickém modelu počítá vnitřní hodnota opce v potenciálních okamžicích uplatnění opce.

Ze zvláštností bermudské opce, kterými se odlišuje od opce klasické, je i existence tzv. data předčasného uplatnění (anglicky early exercise date). Před tímto datem se opce chová jako opce evropská (nemůže tedy být uplatněna), zatímco po tomto datu se opce chová jako opce americká (může být uplatněna kdykoliv do data expirace).

V literatuře se jako klasická ukázka bermudské opce často uvádí zaměstnanecká opce. U této 33

opce je obvykle stanovena povinnost zaměstnance tuto opci určitou dobu držet, než může s opcí volně nakládat. Pro tuto dobu se používá anglický termín vesting period.

1.12 Vybrané exotické opce

1.12.1

Bariérové opce na dvě podkladová aktiva

Jedním z nejčastěji používaným zástupcem exotických opcí jsou takzvané bariérové opce. Jak již plyne ze samotného názvu, bariérové opce (anglicky Barrier options), jsou takové opce, jejichž existence je závislá na konkrétní cenotvorné události (na překročení určité cenové hladiny- bariéry)1. Až na základě takovéto události se bariérová opce stává aktivní (platnou) nebo naopak neaktivní (neplatnou) v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva dosáhne stanovenou hranici. Často se u bariérových opcí setkáváme s tak koncipovanými opčními kontrakty, že pokud daná opce skončí jako neaktivní, a to ať už z prvního nebo druhého zmíněného důvodu, je jejímu držiteli vrácena část premia (opčního poplatku). Tato vrácená částka se nazývá cash rebate. Obvykle se jedná o zlomek premia, výplata cash rebate však není nutným pravidlem.

Bariérové opce patří do kategorie exotických opcí závislých na vývoji cen (patří do skupiny tzv. path-dependent opcí) a jsou velice podobné klasickým kupním a prodejním opcím. Také mohou existovat jak kupní (call), tak i prodejní (put) opce. Co se týče možností uplatnění těchto opcí v čase, setkáváme se u bariérových opcí jak s evropským typem opce (opce je uplatnitelná pouze v době splatnosti), tak i s americkým typem (opce je uplatnitelná kdykoliv do doby splatnosti). Základním rozdílem zůstává právě ona vázanost opce na překročení určité hranice.

U bariérových opcí existuje dělení podle toho, jestli překročení stanovené hranice (bariéry) přivádí opci k životu nebo naopak překročení této hranice dělá danou opci definitivně neplatnou. V prvním případě se jedná o tzv. In opce. Tyto jsou na začátku své existence bezcenné a teprve v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva prolomí hranici (tzv. knock-in 1

Existují i opce s dvojí bariérou, anglicky Double barrier options, ty mají jeden spodní a jeden horní limit.

34

bariéru), stávají se tyto opce aktivními. V druhém případě hovoříme o tzv. Out opcích. Tyto jsou aktivní už od počátku svojí existence a v situaci, kdy cena podkladového aktiva přesně stanovenou hranici (tzv. knock-out bariéru) prolomí, stávají se naopak definitivně neplatnými.

Dále se u těchto opcí rozlišuje, zda je limit prolomen shora (down opce) nebo zdola (up opce). Bariérové opce také mohou být vypsány ve stylu evropských nebo amerických opcí.

Kombinací výše uvedených alternativ můžeme v podstatě specifikovat čtyři základní druhy bariérových opcí:




Up-and-Out: opce začíná jako aktivní a stane se neaktivní (bezcenná) když cena podkladového aktiva zdola překročí stanovenou hranici.




Up-and-In: opce začíná jako neaktivní, spotová cena podkladového aktiva se na začátku nachází pod stanoveným limitem a opce je aktivována až následním prolomením tohoto limitu.




Down-and-Out: bariérová opce přestává existovat v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva prolomí stanovený limit shora




Down-and-In: opce se opět stává aktivní až ve chvíli, kdy cena podkladového aktiva shora prorazí předem stanovený limit.

Je logické, že pokud má například spotová cena podkladového aktiva prolomit stanovenou hranici shora, nachází se v okamžiku vypsání takovéto opce cena nad touto hranicí a naopak.

35

Graf 8. Příklad jednoduché bariérové opce

Přestože celý systém fungování bariérových opcí vypadá na první pohled přehledně a poměrně jednoduše, setkáváme se v praxi s celou řadou problémů a situací, které vyžadují přesnější definování podmínek a konkrétních situací. Jedním z takovýchto na první pohled jasných pojmů je bezesporu pojem cenotvorné události. Ta nastává v okamžiku, kdy cena podkladového aktiva dosáhne stanovený limit. V realitě je vždy ale třeba přesně definovat, co se okamžikem překročení limitu myslí. Potom je zcela jasné, zda ke splnění podmínky stačí, když jeden jediný obchod s podkladovým aktivem překročí limit nebo je nutné, aby limit překročil určitý minimální počet obchodů. Specificky je tato situace vyřešena u konkrétního případu bariérové opce, kterou je takzvaná pařížská opce. U této opce je podmínka překročení bariéry splněna ve chvíli, kdy se cena podkladové aktiva nachází pod/nad (tak zvaně „na druhé straně“- anglicky on the wrong side) danou bariérou po předem určenou dobu. Systematicky můžeme pařížskou opci vidět jako určitý přechod mezi bariérovou a asijskou opcí. O asijských opcích bude pojednáno v dalším textu.

36

Oceňování bariérových opcí:

Na první pohled je zřejmá typická vlastnost bariérových opcí a to je jejich nižší cena oproti opcím klasickým plnícím v podstatě stejnou funkci. Bariérové opce jsou velmi podobné klasickým vanilla opcím, a právě existence jedné nebo dvou bariér je jednou z jejich zásadních odlišností od běžných opcí odlišuje.

Co se týče obvykle nižší ceny bariérových opcí než mají klasické opce plnící srovnatelný účel, ta je způsobena nižší pravděpodobností toho, že k uplatnění opce skutečně dojde. Je zde totiž riziko, že opce vůbec nebude aktivována (knocked in) anebo, že bude deaktivována (knocked out) ještě před svou exspirací. Cenu opcí nezvýší ani vyšší volatilita u Down-andOut a Up-and-Out opcí, protože čím se cena podkladového aktiva dostává blíže k bariéře, tím větší je šance, že opce skončí bezcenná.

Opce s dvojitou bariérou opět bývají o něco levnější než opce s jednoduchou bariérou a to proto, že opce s dvojitou bariérou mají dvě spouštěcí bariéry, přičemž překročením kterékoli z nich může dojít k zaniknutí opce. Co se týče určení míry, o kolik bývají obvykle bariérové opce levnější než prosté vanilla opce, to záleží z velké části právě na pozici dané spouštěcí bariéry či bariér.

Nalezení hodnoty bariérových opcí a jejich ocenění je podstatně složitější než u prostých opcí, protože jejich výsledná hodnota závisí kromě vývoje ceny podkladového aktiva ještě na další proměnné, kterou je cenotvorná událost (jsou takzvaně path-dependent).

Z tohoto důvodu tedy na ocenění bariérových opcí nelze použít citovaný Black-Scholesův model. Jsme tedy nuceni použít složitější metody. Takovýmito metodami jsou třeba metoda Monte-Carlo nebo binomický oceňovací model. Jiným způsobem ocenění bariérových opcí je použití kopírovaného portfolia vanilla opcí (tyto mohou být oceněny Black-Scholesovým modelem), takto vybrané portfolio musí kopírovat hodnotu bariérových opcí v době jejich exspirace a ve vybraných izolovaných bodech v průběhu času podél bariéry.

37

Metoda Monte Carlo2:

V roce 1977 se poprvé v oblasti financí začal používat Boylův model „Monte Carlo“ (MC). Jedná se o simulační metodu, která v sobě zahrnuje generování velkého objemu numericky simulovaných realizací postavených na systému tzn. „náhodné procházky“ (ang. random walk, viz kapitola věnovaná Black-Scholesově modelu), kterou se přeneseně ubírá cena podkladového aktiva. Tyto simulované realizace jsou užívány právě k oceňování finančních derivátů. Výhodou MC simulace je její jednoduchost a flexibilita a to v tom smyslu, že může být jednoduše pozměněna, aby vyhovovala různým pohybům řízení pohybů podkladových instrumentů. Používání MC jako metody sloužící k oceňování tzv. path-dependent derivátů (tedy derivátů, u nichž záleží nejen na konečné hladině jejich ceny, ale na určitých faktorech, které se projevily za jejich předchozího „života“) se stává stále častějším, protože se tyto produkty stávají stále složitějšími. Další zřejmou výhodou tohoto modelu před jinými oceňovacími postupy je, že je tímto modelem možno oceňovat mnohem efektivněji deriváty založené na několika podkladových aktivech. Samozřejmě, že tato metoda má také svá úskalí. Potenciální nevýhodou je zde skutečnost, že standardní chybová odchylka odhadu roste se čtvercem (druhou mocninou) počtu pokusů. Mezi poměrně efektivní techniky, kterými je redukována standardní chyba, patří metoda control-variate a metoda antithetical variate. Běžně se těmto technikám říká techniky na redukci náhodných proměnných (variancereduction techniques).

První z výše uvedených metod je používána v případě, že k řešenému problému existují analogické, podobné problémy, jejichž řešením lze dojít k podobnému výsledku jako by byl výsledek, ke kterému bychom dospěli řešením samotného primárního problému, ale s tím rozdílem, že řešení podobného problému je značně jednodušší, než řešení přímo problému primárního. Podmínkou použití této metody je samozřejmě fakt, že k primárnímu problému existují analogické problémy, které jsou snáze řešitelné, než problém primární.

Právě pro situace, že takový analogický problém není možno lehce nalézt (tedy zejména v situacích, kdy zkoumáme nový produkt, o kterém zatím nemáme mnoho informací), je používána druhá metoda, tedy metoda antithetical variate. Tato metoda je obecnější než 2

Zpracováno na základě: ZHANG, G. PETER: Exotic options. 2. vyd. 1998, 692 stran. ISBN 978-981-02-34829, strana 47.

38

metoda zmíněná výše. Metoda spočívá v principu, kdy počítáme vždy se dvěma hodnotami fin. derivátu, jednou normální hodnotou a pak s hodnotou s opačným znaménkem. (používáme například vzorky y a vzorky –y). Průměr těchto dvou hodnot je považován za cenu daného derivátu vzorku y. Celkový odhad hodnoty derivátu je potom průměr všech průměrů jednotlivých párů. Tímto dochází ke značnému snížení standardní chyby touto metodou.

Existuje spousta dalších postupů redukujících standardní chybu, ale výše zmíněné postupy jsou jedny z nejpoužívanějších.

Bariérové opce sice vycházejí z prostých opcí, ale jejich specifické vlastnosti výrazně ovlivňují jejich další vlastnosti. Bariérové opce se tedy od běžných opcí liší také citlivostními parametry. Například parametr citlivosti opce na volatilitu podkladového aktiva (vega), je u klasické prosté opce vždy pozitivní, zatímco u opce není vyloučena ani negativní hodnota tohoto parametru.

Jako příklad srovnání vanilla a bariérových opcí můžeme uvést třeba evropskou call opci na podkladové aktivum se spotovou cenou 150 USD a vyřazovací (knock-out) bariérou ve výši 200 USD. Tato opce se bude chovat velmi podobně jako prostá evropská call opce až do okamžiku, kdy se spotová cena přehoupne přes oněch 200 USD. Bariérová opce je v tuto chvíli vyřazena (knocked out) a opční kontrakt se tímto stává nulitním. To znamená, že opce se už nestává aktivní ani pokud se cena podkladového aktiva vrátí zpět pod danou bariéru (200 USD). V angličtině se toto výstižně vyjadřuje větou: „Once it is out, it's out for good.”

1.12.1.1 Charakteristika

Bariérové opce na dvě podkladová aktiva jsou velmi často používána jako vhodná a levnější náhrada měnových opcí kombinovaných s jinými běžnými opcemi.

Jedná se o opce, jejichž podkladem jsou (jak již sám název říká) dvě podkladová aktiva. V následujícím textu jsou tato aktiva označena jako aktivum S1 a aktivum S2. Systematicky fungují tak, že cena aktiva S1 určuje, zda je opce tzv. v penězích (in-the-money) nebo mimo peníze (out-of-the-money).

39

Cena odvozená od aktiva S2 zase určuje, zda byl nebo nebyl dosažen požadovaný limit (bariéra). K oceňování bariérových opcí na dvě podkladová aktiva se používá vzorec vytvořený pány Katem a Heynenem3:

Kde

3

Převzato z: ESPEN GAARDER HAUG: The complete guide to option pricing formulas. 1997, strana 80

40

Oceňování a payoff bariérových opcí na dvě podkladová aktiva Typ opce knock-in opce

payoff

ocenění

downa-and-in call

max (S1-E,O), když S2 (t)>H, pro t H pro t
cdi = call - cdo

up-and-in call down-and-in put up-and-in put

cui = call – cuo pdi = put - pdo pui = put – puo

knock-out opce down-and-out call

max (S1-E,0), když S2 (t)>H pro t
up-and-out call

max (E-S1,0), když S2 (t) < H pro t T

η = 1, φ = −1 η = 1, φ =

1

jinak 0 při dosažení bariéry down-and-out put

max (E-S1,0), když S2 (t) > H pro t
η = - 1, φ = −1

jinak 0 při dosažení bariéry up-and-out put

max (E-S1,0), když S2 (t) > H pro t
η = -1, φ = 1

jinak 0 při dosažení bariéry

Tabulka 1. Oceňování a payoff bariérových opcí na dvě podkladová aktiva

1.12.1.2 Příklady použití 1.12.1.2.1

Zajištění

V literatuře bývá jako příklad použití bariérové opce na dvě podkladová aktiva často citován příklad pocházející pravděpodobně od Espena Gaardnera Hauga4. Použití bariérových opcí na dvě podkladová aktiva zde bývá prezentováno jako lacinější alternativa klasické měnové opce a je ukazováno na příkladu norského producenta ropy, který prodává vytěženou ropu klasicky za americké dolary (USD). Producentův příjem je v norských korunách (NOK) a závisí tedy nejen na cenách ropy na světových trzích, ale také na kurzu NOK/USD. Producent je tedy nucen se zajistit měnovou opcí proti měnovému riziku. Použije se zde tedy opce na dvě podkladová aktiva, kde jedním bude cena ropy a druhým bude cena amerického dolaru, respektive kurs NOK/USD. Ideální opce proto tedy bude měnová opce, která zanikne (bude takzvaně knocked out) ve chvíli, kdy cena ropy vzroste na určitou hranici a producent ropy již nebude nucen svou měnovou pozici zajišťovat. Z toho hlediska bude přirozeně bariérová opce

4

ESPEN GAARDER HAUG: The complete guide to option pricing formulas. 1997, strana 81

41

na dvě podkladová aktiva levnější než standardní měnová opce, přičemž bariérová opce bude danému subjektu poskytovat srovnatelné zajištění. Pokud chceme být zároveň pojištěni proti nečekané korekci a zároveň neočekáváme pád trhu, můžeme použít bariérovou Down-and-In put opci, která bude plnit za nižší cenu zhruba stejný účel jako klasická prodejní opce. Pokud naopak věříme, že trh poroste, ale nedosáhne určité úrovně, můžeme zhodnotit investici, pokud zakoupíme Up-and-Out kupní opci.

Nespornou výhodou bariérových opcí je jejich nižší cena než u srovnatelných klasických opcí. Nižší cena je zde možná proto, že je zde vyšší pravděpodobnost, že k uplatnění takovéto opce nedojde než u klasických evropských nebo amerických opcí; bariérová opce totiž nakonec vůbec nemusí vstoupit v platnost nebo z platnosti může předčasně vystoupit.

Většina bariérových opcí na dvě podkladová aktiva slouží k zajišťování obchodů, kde dochází ke směňování dvou různých měn. Zejména jsou důležité pro mezinárodní obchod s různými komoditami, jako je například ropa (viz výše uvedený příklad). Jejich použití je jednodušší a levnější,

než alternativní používání kombinací různých vanilla opcí. Vhodnou volbou

takovéto opce si vlastně přesně vymezujeme oblast zajištěnou touto opcí, tedy případy, ve kterých existuje určitá hrozba. K tomuto nastavení nám slouží stanovení konkrétních bariér. 1.12.1.2.2

Spekulace

Jako příklad jsem si zvolil jednoduchou bariérovou, konkrétně měnovou opci, která může být v případě potřeby vázána na určité další aktivum a může se tak poměrně jednoduchým způsobem změnit v opci na dvě podkladová aktiva.

Můžeme si představit například situaci, kdy je opce ve vztahu k realizační ceně tzv. out-ofthe-money. Pokud budeme uvažovat příklad klasické vanilla call opce s realizační cenou 1.55 USD/ kanadský dolar call, která dává držiteli právo koupit USD za kanadské dolary při kurzu 1.55 se lhůtou jednoho měsíce do dospělosti. Daná měna se v současné době obchoduje za 1.54. Pokud uvažujeme o stejné opci typu put, tedy opci vázanou na kurz

1.55 USD/

kanadský dolar, která mí knock-out bariéru 1.50, bude tato opce levnější než klasická opce typu vanilla a přitom splní stejnou funkci. Levnější bude právě pro existenci knock-out bariéry, tedy proto, že existuje určitá možnost, že opce v podstatě přestane existovat ještě před

42

datem dospělosti. Rozdíl v ceně opce nebude v tomto případě tak vysoký, ale můžeme ho zvýšit třeba posunutím bariéry nahoru, například na 1.53. Pak se stane daná exotická opce podstatně levnější než je srovnatelná vanilla opce, protože pravděpodobnost, že tato nová hranice bude do dospělosti dosažena, je podstatné vyšší.

Stanovení bariéry samozřejmě závisí výraznou měrou na volatilitě podkladového aktiva. U aktiv s vyšší volatilitou je vyšší pravděpodobnost dosažení bariéry než u aktiv s volatilitou nízkou. U aktiv s vyšší volatilitou je tedy i vyšší pravděpodobnost zániku knock-out opcí na ně vypsaných, protož zde existuje větší pravděpodobnost dosažení bariéry

Pro opce typu knock-in platí obrácená logika. Pokud máme knock-in call opci na kurz 1.55 USD s bariérou stanovenou na 1.53, bude tato opce samozřejmě dražší než stejná opce s bariérou ve výši 1.50. Je to opět způsobeno tím že pravděpodobnost dosažení bariéry ve výši 1.53 je mnohem vyšší. Pokud vlastníme jednoměsíční put opci na 1.55 USD/ kanadský dolar, která má stanovenu knock-out bariéru na1.53 a přitom zároveň vlastníme jednoměsíční 1.55 USD/ kanadský dolar put s knock-in bariérou na kurzu 1.53, nacházíme se jejich kombinací v pozici, která je ekvivalentní držení jednoměsíční vanilla opce na kurz 1.55 USD.

Pokud budeme uvažovat případy, kdy je opce v pozici in-the-money, můžeme navázat na předchozí příklad. Aktuální kurz bude pro naši potřebu 1.54. Pokud budeme uvažovat put opci znějící na kurz 1.50 USD, má tato opce už určitou vnitřní hodnotu. Cena jednoměsíční put opce na kurz 1.50, která má stanovenu knock-out bariéru na 1.56 je opět mnohem levnější než klasické vanilla jednoměsíční opce na stejný kurz (1.50).

Jak se dá vydělávat na spekulacích, které spočívají na zmíněných pozicích? Funguje to takto. Koupíme levnější měsíční call opci na kurs 1.50 US, která má knock-out bariéru stanovenu na 1.56, v situaci, že očekáváme, že se cena podkladového aktiva bude pohybovat uvnitř úzkého intervalu kolem ceny současné. Ideální bude situace, kdy se cena podkladového aktiva bude pomalu posouvat nahoru a zastaví se v okamžiku exspirace těsně pod cenou 1.56. Využijeme své opční právo a nakoupíme USD ve výhodném kurzu určeném opcí na 1.50 a plynule je prodáme na trhu za vyšší cenu. Čím vyšší je volatilita aktiva ve chvíli, kdy je opce oceňována, tím levnější bývají knock-out bariérové opce než srovnatelné opce vanilla.

43

Vyšší volatilita způsobuje vyšší pravděpodobnost, že bude dosažena knock-out bariéra a opce tedy nebude v konečném důsledku uplatněna. Opačně je to potom u knock-in opcí, což bylo vidět i z předchozích příkladů. Tyto jsou pořád ještě levnější než běžné vanilla opce, ale rozdíl již není tak markantní. Se vztahem volatility podkladového aktiva a cenou těchto opcí je to také právě obráceně. Čím vyšší vykazuje podkladové aktivum volatilitu v době oceňování opce, tím nižší cenový rozdíl bude mezi reversní knock-in opcí a příslušnou běžnou vanilla opcí. Pokud vlastníme reversní knock-out opci a reversní knock-in opci se stejnou dobou exspirace, realizační cenou i bariérou, je tato pozice srovnatelná se situací kdy bychom drželi příslušnou opci typu vanilla.

44

1.12.2

Binární opce

1.12.2.1 Charakteristika

Binární opce (binary option), přeloženo do češtiny tedy dvojstavová opce, často nazývaná také jako digitální opce (digital options) nebo opce „všechno nebo nic“ (all or nothing options) je charakteristická nespojitým výplatním profilem, protože vyplácí pouze fixní částku v době splatnosti opce. Kdy je tato částka vyplácena se záleží na tom, zda se jedná o kupní nebo prodejní opci.

Pro call opce platí, že je tato dohodnutá fixní částka vyplacena v situaci, pokud je cena podkladového aktiva v době splatnosti opce vyšší než cena dodací (strike price).

K vyplácení dohodnuté fixní částky u put opcí dochází naopak pouze v případě, že je v odbě splatnosti opce cena podkladového aktiva nižší než cena dodací.

Nejlépe dle mého názoru popisuje danou funkci výraz „všechno nebo nic“ (all or nothing), protože výplatou je tedy buď všechno, tedy fixní, dopředu předem dohodnutá částka, nebo nic.

Binární opce můžeme rozdělit do dvou základních skupin, jsou jimi (cash-or-nothing) a (asset-or-nothing). Rozdíl těchto dvou typů spočívá v tom, že v případě cash-or-nothing opce je vyplacena určitá předem dohodnutá částka v penězích, samozřejmě za situace, kdy je v době exspirace daná opce při penězích (in-the-money), zatímco ve stejné situaci je u assetor-nothing vyplacena hodnota podkladového aktiva.

Výplatní profil binární opce se ve srovnání s klasickou kupní opcí nemění kontinuálně v souladu s pohybem ceny podkladového aktiva. Přestože se výplatní profil binární opce tedy v čase nemění a nabývá, jak již bylo uvedeno výše, pouze dva stavy (všechno nebo nic), cena binární opce se ve skutečnosti samozřejmě s vývojem podkladového aktiva mění. Zatímco opce, u které je téměř jisté, že nedojde k její výplatě, je cena téměř nulová, u opcí, kde se pravděpodobnost výplaty blíží jistotě, je hodnota velmi vysoká. Při stanovování ceny je samozřejmě také důležitý čas, který zbývá do dospělosti opce, jak již bylo vyloženo na začátku práce v části zabývající se obecnými pojmy opční problematiky.

45

Graf 9. Schéma vyjadřující srovnání hodnot bariérových opcí typu call a put Cena binární opce se často počítá přes Black-Scholessův model podle následujících rovnic. Ten slouží právě k určování kumulativní distribuční funkce.

Skladba vzorců pro asset-or-nothing call i put a cash-or-nothing call i put je podobná, liší se v podstatě pouze tím, že hotovostní peněžní výplata a bezriziková sazba je u druhých dvou nahrazena cenou podkladového aktiva a dividendovým výnosem.

46

Cash-or-nothing kupní (call) opce

Graf 10. Cena cash-or-nothing call opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva

Cash-or-nothing prodejní (put) opce

Graf 11. Cena cash-or-nothing put opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva 47

Asset-or-nothing kupní (call) opce

Graf 12.

Cena asset-or-nothing call opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva

Asset-or-nothing prodejní (put) opce

Graf 13.

Cena asset-or-nothing put opce a její hodnota v čase exspirace pro různé ceny podkladového aktiva

48

Kde (viz pasáž věnovaná Black-Scholesovu modelu)

Q ...........hotovostní peněžní výplata S ............cena podkladového aktiva (stock price) T ............čas do dospělosti (splatnosti) opce q ............dividendový výnos v..............volatilita r ............. bezriziková sazba N.............symbolizuje kumulativní distribuční funkci normálního rozdělení (určeno pomocí Black-Schollesova modelu) K.............symbolizuje dodací (strike) cenu

1.12.2.2 Příklady použití

1.12.2.2.1

Zajištění

Pokud budeme u tohoto typu opcí hovořit o jejich potenciálu zajišťovacího nástroje, je nutné si je rozdělit na opce typu asset a opce typu cash. Jako zajišťovací instrument lze v podstatě použít obojí, častěji jsou jako zajišťovací instituty pravděpodobně používány opce typu asset, zatímco druhé slouží častěji ke spekulativním cílům.

Tuto opci je možno si představit jako zajišťovací institut například v situaci, že vlastníme v portfoliu určité aktivum a známe jiná aktiva, která jsou k tomuto aktivu (ve vztahu k jejich ceně) opačně korelována. Pokud tedy koupíme call opci tohoto typu na takováto „opačná“ aktiva, potom nám v případě poklesu hodnoty námi drženého portfolia naše ztráty mohou být kompenzovány ziskem aktiva, na které zní daná opce.

49

1.12.2.2.2

Spekulace

Binární opce často slouží ke spekulačním účelům, což si můžeme demonstrovat na příkladu binární cash-or-nothing kupní opce. V našem případě se bude jednat o koupi opci, jejímž podkladovým aktivem budou například akcie určité společnosti. Opční kontrakt bude spočívat v dohodě, že pokud opce skončí v penězích (in the money), jejímu držiteli bude vyplacena dohodnutá fixní částka Y (např. 5000 Kč). Dodací cena (strike price) bude dohodnuta např. na 200 Kč za akcii.

Pokud tedy v době splatnosti nebo exspirace opce bude tržní cena akcií dané společnosti 200 Kč, obdrží její držitel dohodnutých 5000 Kč. Tato částka je fixní a je vázána na podmínku, že cena akcií bude v uvedený okamžik vyšší než dohodnutých 200 Kč za kus. Nezáleží tedy na tom, o kolik bude skutečná cena akcií vyšší nebo nižší než je uvedených 200 Kč. Vlastník opce tedy dostane stejnou částku v situaci, že cena akcie bude v určený okamžik 206 Kč nebo třeba 499 Kč a naopak nedostane nic pokud cena akcií bude pod dohodnutou hranicí, v našem případě tedy pokud bude cena nižší než 200 Kč za akcii, tedy třeba 190 Kč.

Tento příklad jasně ilustruje princip fungování binárních funkcí. Z příkladu je patrné, jak je pro tyto opce výstižný název binární, tedy volně přeloženo dvojstavové opce. Jejich podstata prakticky otevírá neomezené pole spekulacím s těmito opcemi. Uzavírat opční kontrakty postavené na základě binárních opcí lze prakticky na jakákoli podkladová aktiva. Postavení vypisovatele a držitele opce je zde velmi často podobné, jejich možný zisk i ztráta jsou předem limitovány.

Binární opce je dnes už možné obchodovat i v eletronické podobě na standardizovaném trhu například přes HedgeStreet.

1.12.3

Opce s průměrnou cenou - Asijské opce

1.12.3.1 Charakteristika

Dalšími velmi hojně používanými exotickými opcemi jsou opce asijské (Asian option). Název asijská opce je odvozen od místa původu těchto opcí. Poprvé byly použity v roce 1987

50

tokijskou pobočkou firmy Banker's Trust. Tato firma poprvé použila opce sledující průměrnou cenu podkladového aktiva při ocenění ropných kontraktů. Nejzákladnější odlišností asijských opcí od opcí klasických je skutečnost, že jejich hodnota není dána prostým pohybem ceny podkladového aktiva jako tomu bývá u opcí klasických, ale vypočítává přes průměrné hodnoty podkladového aktiva za určité, předem dané časové období.

Cena těchto opcí je ve srovnání s obdobnými opcemi klasickými opět nižší. Tyto opce se velmi často využívají na trhu s komoditami, často slouží jako zajišťovací institut například pěstitelům, kterí se jejich prostřednictvím mohou zajistit například proti klesajícím cenám pěstovaných komodit. Samozřejmě se také honě využívají i na měnovém trhu.

Rozeznáváme v podstatě dva základní druhy asijských opcí s odlišným způsobem stanovení jejich hodnoty. První skupinou jsou asijské opce typu fixed strike Asian nebo average price Asian. Výplata první z nich je založena na průměru cen podkladového aktiva za určitou konkrétní sledovanou časovou periodu (AT). V případě call opce tohoto druhu dochází k výplatě ve výši AT -Y, kde Y je dodací cenou. K výplatě dochází pouze v situaci, kdy je AT >Y. V ostatních případech k výplatě nedochází. V případě put opcí se v podstatě situace obrací, k výplatě put opce dochází naopak pouze tehdy, kdy Y> AT. Pokud je Y menší než AT, výplata je opět nulová. Výše výplaty je zde určena jako rozdíl Y- AT.

51

Graf 14. Příklad opce typu fixed strike asian (zdroj: www.sitmo.com) Výplata opcí patřící do této skupiny bývá určována podle následujících vzorců:

Call opce: CT = max (AT -Y, 0) Put opce: PT = max (Y - AT, 0) kde

AT ..................průměrná cena podkladového aktiva Y ...................fixní dodací cena

Obecně hodnotu těchto obcí vyjádřit jako V = max (k (ST - Y), 0), kde k je binární proměnná nabývající hodnoty 1 pro kupní opci a hodnoty -1 pro prodejní opci. Druhou skupinou jsou asijské opce typu floating strike Asian nebo average strike Asian Výplata tohoto druhu opcí je určena jako rozdíl mezi cenou podkladového aktiva v okamžiku exspirace (ST) a průměrnou hodnotou podkladového aktiva před okamžikem exspirace (AT). Co se call opce týče, výše její výplaty je určena jako rozdíl ST - AT, v případě, že je ST > AT (jinak je výplata nulová), u put opce je výplata opět určena jako rozdíl a to jako rozdíl AT - ST. Logicky tedy opět dochází k výplatě pouze za předpokladu, že je AT > ST. Pro ostatní případy je hodnota výplaty rovna nule.

52

Graf 15. Příklad opce typu floating strike asian (zdroj: www.sitmo.com)

Výpočet výplaty těchto opcí je obdobný jako u opcí patřících do první skupiny, tedy:

Výplata opcí patřící do této skupiny bývá určována podle následujících vzorců:

Call opce: CT = max (ST - AT, 0) Put opce: PT = max(AT - ST, 0) kde

AT ..................průměrná cena podkladového aktiva ST ................. je dodací cena vázaná na průměr Obecně hodnotu těchto obcí vyjádřit jako V = max (k (ST - AT), 0), kde k je binární proměnná nabývající hodnoty 1 pro kupní opci a hodnoty -1 pro prodejní opci.

53

Výrazným znakem asijské opce je nižší volatilita v porovnání s klasickou opcí. Je to způsobeno podstatou asijské opce, kterou je průměrná cena podkladového aktiva, od které je hodnota opce následně odvozována. Nižší volatilita těchto opcí stojí také za obvykle nižší cenou asijských opcí než bývá obvyklé u srovnatelných opcí klasických.

Otázkou zůstává způsob stanovení průměru sledovaného asijskou opcí. Pro tento účel lze použít buď průměr aritmetický (počítáme se střední hodnotou, prostým průměrem a podobně), průměr geometrický nebo vážený (ten umožňuje vázat cenu třeba jen vybraná aktiva v portfoliu nebo zohlednit časové okamžiky trvání opce). Volba průměru pro výpočet asijské opce je často problematická. Početně nejjednodušší je použití průměru aritmetického. Ten však pro svou nepřesnost nebývá dobrou volbou. Mnohem vhodnější bývá použití složitějšího geometrického průměru, také proto, že cena podkladového aktiva vyjádřená geometrickým průměrem cen v průběhu sledovaného období si zachovává na rozdíl od průměru aritmetického své lognormální rozdělení. Přes tyto skutečnosti bývají v praxi častěji využívány průměry aritmetické.

Ocenění je možno provést za použití Black-Scholesova oceňovacího modelu, je však samozřejmě nutné v tomto modelu nahradit vypočteným průměrem cenu podkladového aktiva v době splatnosti.

54

1.12.3.2 Příklady použití

1.12.3.2.1

Zajištění

Graf 16. Vývoj kurzu USD/CZK v průběhu roku 2005. Zdroj: ČNB

Jako příklad použití asijských opcí jako zajišťovacího institutu

můžeme použít příklad

investora, který dostává pravidelné měsíční příjmy ze zahraničí a to v zahraniční měně, tedy v USD. Vzhledem k poměrně dlouhodobému trendu posilování kurzu CZK (české koruny) vůči americkému dolaru, se každý racionální investor bude mít tendenci zajistit se vůči možným a hlavně velmi pravděpodobným ztrátám. Pokud investor očekává tyto pravidelné příjmy v průběhu celého příštího roku, pak by byla nejjednodušším řešením této situace koupě vanilla put opce s dobou exspirace za jeden rok na prodej USD ve výši očekávaných příjmů v USD za daný rok. Nevýhodou tohoto řešení by byla skutečnost, že by zabezpečila investora pouze proti ztrátám způsobeným celkovým trendem vývoje kurzu za celý daný rok. Toto řešení by nezohledňovalo výkyvy kurzu v průběhu daného roku, které by mohly být způsobeny celou škálou krátkodobých podnětů. (Pro ilustraci uvádím graf znázorňující vývoj kurzu USD vůči CZK v roce 2005- graf 16.)

55

O něco lepší možností by byl nákup dvanácti jednotlivých vanilla opcí, tedy na každý měsíc by byla koupena jedna put opce, tyto by se lišily časem exspirace, čímž by došlo ke zohlednění vývoje kurzu nejen na konci celého roku, ale na konci každé dílčí opce, tedy každého dílčího měsíce, byl by tedy do jisté míry zohledněn vývoj kurzu i v průběhu daného období.

Výhodou asijských opcí je, že kombinují výhody obou výše uvedených možností. Investor zakoupí asijskou opci s průměry měsíčního vývoje směnného kurzu na jeden rok. Jednak postačí nákup jedné opce a také bude zohledněn vývoj směnného kurzu v průběhu celého roku. Navíc je opět vysoce pravděpodobné, že taková asijské opce bude dokonce levnější než výše uvedené alternativy. Payoff takovéto call opce s průměrnou cenou je

max (A-E,0)

pro put alternativu potom

max (E-A,0)

Hodnota proměnné A zde symbolizuje vážený průměr. Je možno zde použít jak jednodušší aritmetický průměr, tak složitější průměr geometrický. Z hlediska vyšší spolehlivosti je vhodnější použít průměr geometrický. Stejné výhody asijských opcí plynou například i pro výše zmíněné pěstitele plodin, kteří často musí čelit poměrně drastickým cenovým poklesům. Tyto opce lze však s úspěchem využít i v průmyslu a to například jako ochranu před nepříznivým vývojem cen surovin nebo vlastních finálních produktů.

Asijské opce se často používají k zajištění provozních nákladů, protože lépe vystihují průběhovost podnikových operací. Představme si leteckou společnost, která každý den nakupuje letecké palivo a zároveň letecké palivo každý den spotřebovává. Letecká společnost během životnosti opce platí každodenně se měnící tržní cenu, a tak se jí bude více hodit opce, která je založena na průměru mnoha cen než na jedné ceně v době exspirace nebo splatnosti

56

opce.

1.12.3.2.2

Spekulace

Stejné důvody jako jsou důvody vedoucí investory k využívání opcí jako zajišťovacích nástrojů jsou i důvody vedoucí investory k používání těchto institutů jako spekulačních nástrojů.

Spekulace prostřednictvím těchto opcí se provádějí jak na ceny komodit, tak zejména na měnovém trhu. Mechanismus je zcela shodný s mechanismem zmíněným v kapitole zajištění. Pokud například investor očekává dlouhodobý pokles určité měny, může koupí asijské opce spekulovat na její pokles, stejně jako to bylo v případě investora s příjmy ze zahraničí v příkladu z předchozí kapitoly.

57

2 ZÁVĚR

Exotické opce hrají na finančních trzích stále důležitější roli. Na nestabilních finančních trzích je stálá poptávka po zajišťovacích institutech, mezi něž patří právě opce.

V dřívějších dobách byly primárním zajišťovacím institutem právě klasické (vanilla) opce. Dnešní finanční trh se ale stále a více specializuje, stejně jako se stále více konkretizují potřeby subjektů ne finančních trzích se střetávajících. Exotické opce jsou odrazem tohoto trendu. Na rozdíl od opcí klasických, od kterých jsou opce exotické odvozeny a které by bylo možno považovat za určité obecné, rámcové nástroje, poskytují exotické opce odpověď na někdy velmi specifické potřeby subjektů působících na finančních trzích.

Je možné říci, že současným trendem je právě posun od klasických opcí k opcím exotickým, které jsou díky své specifičnosti často schopny poskytnou subjektům finančních trhů lepší zajištění a pružněji se přizpůsobit komplikovaným posunům, které jsou na finančních trzích stále běžnější záležitostí. Z jejich speciálního postavení k opcím typu vanilla vyplývá často nejen lepší přiléhavost na konkrétní daný obchodní případ, ale také velmi často nižší cena těchto institutů vůči opcím klasickým.

V průběhu času rychle roste objem obchodů s exotickými opcemi a opčních obchodů vůbec. S tím roste také důležitost těchto institutů. Přestože se v případě exotických opcí jedná vesměs o mladé instituty, již dnes je jejich role velmi důležitá, a to nejen jako zajišťovacích institutů, ale také jako prostředků spekulace. Se stářím tohoto institutu souvisí také jeho stále malá známost, se kterou se často můžeme setkat i v ekonomických kruzích.

Cílem této práce je seznámit čtenáře s problematikou exotických opcí a s opční problematikou obecně a to prostřednictvím krátkého historického exkurzu a přiblížením základních pojmů a principů, jejichž znalost je nezbytná pro samotné pochopení základních souvislostí opčních obchodů. Dále si tato práce klade za cíl blíže čtenáře nenásilnou formou seznámit s pojmem exotické opce, ukázat některé rozdíly, které odlišují exotické opce od opcí klasických. Práce

58

také obsahuje přehled několika základních oceňovacích metod, které jsou běžně při oceňování opcí používány.

Protože již nyní existuje bezpočet druhů exotických opcí a jejich počet stále narůstá, bylo vybráno několik reprezentativních a poměrně frekventovaných zástupců odlišných exotických opcí. Pomocí několika jednoduchých příkladů bylo demonstrováno jejich použití a využití.

Posláním této práce je v situaci kritického nedostatku české literatury věnující se problematice exotických opcí, poskytnou případnému zájemci o tuto problematiku určitý úvodní přehled, který by mu umožnil lepší orientaci v problematice finančních trhů.

59

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

1. PAVLÁT, V.: Finanční opce. Praha: Magnet press, 1994, 179 stran. ISBN 80-8584719-1 2. AMBROŽ, L.: Oceňování opcí. Praha: C.H.Beck, 2002, 313 stran. ISBN 80-7179531-3 3. ŠTURC, B.: Finanční trhy - opční obchody. Brno: Masarykova universita, 1996. 110 stran. ISBN 80-210-1361-3 4. STARÝ, O.: Reálné opce. Praha: A plus, 2003, 126 stran. ISBN 80-902514-6-3 5. ESPEN GAARDER HAUG: The complete guide to option pricing formulas. 1997. 232 stran. ISBN 0-7863-1240-8 6. ZHANG, G. PETER: Exotic options. 2. vyd. 1998, 692 stran. ISBN 978-981-02-34829 7. HULL, J.: Options, futures, and other derivatives. 3rd edition. Prentice Hall, 1998. 491 stran. ISBN 0-13-264367-7 8. TALEB, N.: Dynamic hedging, managing vanilla and exotic options, Johne Wiley and Sons, Inc. 1996. 506 stran. ISBN 9780471152804

60

DALŠÍ ZDROJE:

1. http://www.finpipe.com/exoptions.htm 2. http://www.investopedia.com/terms/e/exoticoption.asp 3. http://www.maths.ox.ac.uk/~hambly/PDF/O10/lecture15.pdf 4. http://www.in-the-money.com/presentation/sld024.htm 5. http://www.sitmo.com/live/OptionVanilla.html 6. http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_option 7. http://www.sitmo.com/live/OptionAsianFloat.html 8. http://www.finance-management.cz/080vypisPojmu.php?IdPojPass=62 9. http://www.mindxpansion.com/options/buy-straddle.html 10. http://www.asx.com.au/investor/options/how/library/bear_spread.htm 11. http://www.numa.com/derivs/ref/os-guide/os-013.htm

61