Rangkaian Listrik Arus dan Tegangan AC Sinusoidal dan Phasor

Rangkaian Listrik Arus dan Tegangan AC Sinusoidal dan Phasor ©Alexander Sadiku edited by Agus Virgono Ir. MT. & Randy E. Saputra Prodi S1-Sistem Komputer Fakultas Teknik Elektro Universitas Telkom - 2016

Sinusoidal dan Phasor 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Latar Belakang Fitur Sinusoidal Phasor Hubungan Phasor untuk elemen rangkaian Impedansi dan admittansi Hukum Kirchhoff di domain frequensi Impedansi kombinasi

2

Latar Belakang Sine wave..? Why?

3

Latar Belakang

Bagaimana cara menyatakan v(t) dan i(t)?

vs(t) = 10V ???

4

Sinusoidal • Sinyal sinusoidal mempunyai bentuk fungsi sinus atau cosinus. • Persamaan umum dari sinusoidal,

v(t )  Vm sin(t   )

dengan Vm = amplituda dari sinusoidal ω = frekuensi angular dalam rad/s Ф = phasa 5

Sinusoidal Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.

T

2 

f 

1 Hz T

  2f

• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya. • Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa. 6

Sinusoidal Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.

• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya. • Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa. 7

Sinusoidal Contoh 1

Diketahui sebuah sinusoid 5 sin(4t – 60). Hitung amplituda, phasa, frekuensi angular, perioda, dan frekuensinya. Jawab:

Amplituda = 5 Phasa = –60o Frekuensi angular = 4 rad/s Perioda = 0.5 s Frekuensi = 2 Hz 8

Sinusoidal Sinus vs Cosinus

2 rad = 360 1 rad = 360  57.3 2

sin ωt = cos(ωt – 90o) cos ωt = sin(ωt + 90o) 9

Sinusoidal Contoh 2

Cari sudut phasa antara i1 = –4 sin(377t + 25) dan i2 = 5 cos(377t – 40), apakah i1 leading atau lag i2? Jawab:

Leading = mendahului (phasa lebih besar) Lag = tertinggal (phasa lebih kecil)

cos ωt = sin(ωt + 90o) i2  5 sin(377t  40o  90o )  5 sin(377t  50o ) i1  4 sin(377t  25o )  4 sin(377t  180o  25o )  4 sin(377t  205o )

Maka i1 leading i2 155o 10

Phasor • Sebuah phasor adalah bilangan kompleks yang menyatakan amplitudo dan phasa dari sinusoidal. • Bisa dinyatakan dalam 3 bentuk dasar :

j  1

a. Rectangular z  x  jy  r (cos   j sin  ) b. Polar c. Exponential

z  r 

z  re

j

dengan

r  x2  y2

  tan 1

y x

11

Phasor Operasi Matematika dari bilangan kompleks: 1.

Penjumlahan

z1  z 2  ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )

2.

Pengurangan

z1  z2  ( x1  x2 )  j ( y1  y2 )

3.

Perkalian

z1 z2  r1r2 1  2

Rectangular

Pembagian

z1 r1  1  2 z 2 r2

5.

Reciprocal

1 1    z r

6.

Akar

7.

Konjugasi kompleks

z   x  jy  r     re j

8.

Identitas Euler

e  j  cos   j sin 

4.

Polar

z  r  2

12

Phasor Contoh 3

• Hitunglah bilangan kompleks berikut: a. [(5  j2)( 1  j4)  5 60o ] b.

10  j5  340  10 30o  3  j4 o

j 2 = –1

Jawaban :

a. –15.5 + j13.67 b. 8.293 + j2.2

13

Phasor • Mentransformasikan sinusoidal dari domain waktu ke domain phasor dan sebaliknya :

v(t )  Vm cos(t   ) (domain waktu)

V  Vm  (domain phasor)

• Amplituda dan perbedaan phasa adalah dua hal yang paling diperhatikan dalam menyatakan sinusoidal tegangan dan arus • Phasor akan didefinisikan sebagai fungsi cosinus dalam mata kuliah ini. Jika sebuah pernyataan arus atau tegangan dinyatakan dalam bentuk sinus, maka akan diubah jadi cosinus dengan mengurangi phasanya 90 14

Contoh 4

Ubah sinusoidal ini ke phasor: i(t) = 6 cos(50t – 40) A v(t) = –4 sin(30t + 50) V Jawaban :

–sin ωt = sin(ωt + 180o) –cos ωt = cos(ωt + 180o)

a. I = 6–40 A b. Ubah menjadi bentuk positif :

–4 sin(30t + 50) = 4 sin(30t + 50 + 180) = 4 sin(30t + 230) Ubah menjadi cos :

4 sin(30t + 50) = 4 cos(30t + 50 – 90) = 4 cos(30t + 140) Bentuk phasor  V = 4140 V 15

Phasor Contoh 5: Ubah phasor ini ke sinusoidal : a. V  1030 V b. I  j(5  j12) A

j 2 = –1

Jawab: a) v(t) = 10 cos(ωt + 210o) V b) Bentuk polar : I  12  j5  12 2  52  tan 1  5   1322.62  12 

i(t) = 13 cos(ωt + 22.62o) A

16

Phasor Perbedaan v(t) dan V: •

• •

v(t) adalah representasi domain-waktu V adalah representasi domain frekuensi atau domainphasor v(t) adalah waktu tak bebas, V bebas. v(t) selalu riil tidak dalam bentuk kompleks, V kompleks.

Catatan : analisa Phasor hanya bisa dilakukan ketika frekuensi konstan; untuk dua atau lebih sinyal sinusoidal hanya ketika mempunyai frekuensi yang sama saja

17

Phasor Hubungan antara operasi differential dan integral di phasor :

v(t )

V  V

dv dt

jV

 vdt

V j

18

Phasor Contoh 6 Gunakan pendekatan phasor untuk menentukan arus i(t) di sebuah rangkaian yang dinyatakan sebagai persamaan integral-differential :

Jawab :

di 4i  8 idt  3  50 cos(2t  75) dt

 8  di 4i  8 idt  3  4i   i  (3  2 j )i  4i  4 ji  6 ji  (4  10 j )i dt 2j (4  10 j )i  5075 (10.77  68.2)i  5075 5075 i  4.64143.2 10.77  68.2 19

Phasor • Turunkan persamaan differential untuk rangkaian berikut untuk mencari vo(t) di domain phasa Vo.

d 2vo 5 dv0 400 o   20 v   sin( 4 t  15 ) 0 2 dt 3 dt 3 •

Sepertinya cara ini cukup sulit .

Ada cara yang lebih mudah ?

20

Phasor

YA! Ada Daripada mengubah persamaan differential dan mengubahnya ke phasor untuk mencari Vo, bisa dilakukan transformasi semua komponen RLC ke phasor terlebih dahulu, baru menerapkan hukum KCL laws dan teorema lainnya untuk mendapatkan persamaan phasor Vo secara langsung. 21

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian Resistor:

Induktor:

Kapasitor:

22

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian

Hubungan arus-tegangan Elemen

Domain waktu

R

v  Ri

L

vL

C

dv iC dt

di dt

Domain Frequensi

V  RI

V  jLI I  jCV

23

Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian Contoh 7

Jika tegangan v(t) = 6 cos(100t – 30o) diterapkan ke kapasitor 50 μF, hitunglah arus i(t) yang melalui kapasitor. Jawab :

V  6  30 I  jCV  j (100  50μ  6  30)  j (30m  30)  190  30m  30  30m60  i(t) = 30 cos(100t + 60o) mA 24

Soal Latihan 1. Diketahui tegangan sinusoid v(t) = 50 cos(30t + 10) V. Hitung amplituda Vm, frekuensi f, perioda T, dan besar tegangan v(t) pada t = 10 ms. 2. Diketahui arus sinusoid i(t) = 8 cos(500t – 25) A. Hitung amplituda Im, frekuensi angular , frekuensi f, dan besar arus i(t) pada t = 2 ms.

3. Ubah sinusoidal berikut ke dalam bentuk cosinus : a) b) c) d)

4 sin(t – 30) –2 sin(6t) –10 sin(t + 20) –10 sin(3t – 85)

25

Soal Latihan 4. Untuk tiap pasangan sinusoid v(t) dan i(t) berikut, tentukan apakah i(t) leading atau lag terhadap v(t) dan berapa beda phasa-nya : a) b) c) d)

v(t) = 20 sin(t + 60) dan i(t) = 60 cos(t – 10) v(t) = 4 sin(4t + 50) dan i(t) = 10 cos(4t – 60) v(t) = 4 cos(377t + 10) dan i(t) = –20 cos(377t) v(t) = 15 cos(2t – 11) dan i(t) = 13 cos(2t) + 5 sin(2t)

5. Jika diketahui tiga phasor yaitu z1 = 6 – j8, z2 = 10–30, dan z3 = 8–120, hitunglah :

26

Soal Latihan 6. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya dalam bentuk rectangular :

7. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya dalam bentuk polar :

27