RA = 7.7n LA = H (!l see)

Sistem Pengaturan Otomatis

55

sirkuler dan tulislah persamaan gerak linear nyata (1.3-82) untuk satelit ini. 1.5-16 Suatu motor yang diatur dengan armatur harus digunakansebagai aktuator untuk pendulum terbalik.Pabriknyatelah memberikan kepada kita dengan data berikut ini: RA

= 7.7n

LA

= 0.011

H (!l see).

Namun demikian, mereka tidak memasukkan konstan motor K B. Desainlah dua eksperimen laboratorium yang akan menentukan secara independen parameter-parameter ini. \

Dab

2

Sistem Dinamik Linear 2.1 PENYAJIAN SISTEMLINEAR Dalam aplikasi sistem pengaturan, sebuah model untuk sistem dinamik dapat digambarkan dalam berbagai jalan. Karena teori pengaturan "klasik" dikembangkan terlebih dahulu daripad komputer digital dan konsep sistem dinamik "keadaan", metodenya memfokuskan pada sistem dinamik yang dipandang sebagai sistem input - output. Pendekatan ini mengkonsentrasikan pada single input, single output, persamaan diferensial tingkat ke-n skalar yang mendeskripsikan bagaimana output ini berubah dikarenakan input. Berbagai teknik analisis telah dikembangkan untuk sistem linear single-input dan single output semacam itu. Kebanyakan teknik bersandar pada transformasi Lap1ace untuk mengkonversikan persamaan diferensial ke persamaan aljabar. Perumusan aljabar mendasarkan diri 'pada gambaran gratis sistem dinamik. Khususnya, diagram blok (dengan menggunakan "fungsi transfer" transformasi Laplace) memberikan deskripsi visual dari interaksi berbagai elemen yang membangun sistem pengaturan dinamik. Diagram ini juga sesuai dengan penggunaan dengan analogi komputer; pada berbagai contoh, pada dasamya mereka' adalah diagram arus listrik untuk simulasi komputer analog mengenai sistem dinamik. Teori pengaturan "modem" yang akhir-akhir ini dikembangkan memfokuskan pada metode matriks dan pada model ruang-keadaan untuk mendeskripsikan kelas sistem dinamik yang lebih umum daripada yang dianggap dalam metode pengaturan klasik, termasuk sistem yang mung kin mempunyai 56

Sistem Dinamik Linear

'57

banyak input dan output. Teknik analisis dari teori pengaturan modem lebih numerik daripada grafis, untuk menangani sistem besar dengan mungkin beratus-ratus variabelkeadaan, variabelpengaturan, dan variabeloutput. teknik analisisini didesain bebas dari dimensisistem, bilamemungkinkan,dan mereka biasanya lebih menggunakan metode eigenvalue-eigenvectordaripada metode transformasi Laplace. Untuk memberikan pengantar baik untuk teknik pengaturan modem maupun pengaturan klasikal, pertama kita menguji berbagai jenis model yang digunakan, termasuk model ruang keadaan, model input-output, dan diagram blok. namun demikian, kita akan memfokuskan pada gambaran ruang-keadaan, karena yang lainnya-semuanyakasus khusus dari gambaran ini. Sistem Ruang-Keadaan

Pada bab ini kita akan mempertimbangkan sistem dinamik koefisien konstan, linear yang dapat ditampilkan dalam bentuk ruang-keadaan dengan sistem persamaan diferensial tingkat pertama dan sistem persamaan output aljabar dari bentuk: x = Ax + Bu + Rv y

= Cx +

Du + Ev + Sw,

(2.1-1) (2.1-2)

dengan matrik konstan nilai nyata, di mana A adalah kuadrat matrik Nx x Nx, B adalah matrik Nx x Nw R adalah matrik Nxx NI)lC adalah matriks Nyx NXI D adalah matriks Ny x Nu, E adalah matriks Ny x Nv, dan S adalah matriks Ny x N(J)' Jika input tertentu tidak ada (v = ro = 0), dengan meninggalkan pengaturan u sebagai satu-satunya input, maka kita mempunyai sistem spacestate deterministic (ruang-keadaan deterministik),

x = Ax + Bu

(2.1-3)

y = Cx + Du.

(2.1-4)

58

Pengantar Sistem Pengaturan

Untuk kasus input skalar dan output skalar tertentu (Nu = Ny = 1) tanpa input tidak tentu (v ro - 0), kita mempunyai sistem ruang-keadaan single

-

output single input (5150) deterministik, x = Ax + Bu

(2.1-5)

y = Cx + Du,

(2.1-6)

di mana u dan y adalah skalar, B adalah satu kolom matriksNxxl (yaitu,vektor kolom), C adalah satu baris matriks 1 x Nx (yaitu, vektor baris), dan D adalah skalar. Pilihan variabel keadaun dalam sistem dinamik pada umumnya tidak unik. Pilihan aroal dapat dipandu dengan pertimbangan fisik, namun transformasi matematika seringkali digunakan untuk berbagai analisis. Dua bentuk persamaan keadaan kanonikal seringkali terjadi, tergantuna pada- pilihan sistem koordinat, yakni, pada pilihan variabel keadaan. Satu gambaran yang menguraikan persamaan keadaan dan yang lainnya dengan siap membawa ke gambaran keadaan dalam bentuk persamaan diferensial tingkat Nx tunggal. Gambaran yang paling sederhana dari sistem ruang posisi terjadi ketika persamaan keadaan tersebut diuraikan, yakni, ketika A ada dalam bentuk diagonal.

(2.1-7) .OAJ sehingga evolusi masing-masing variabel keadaan tergantung hanya pada dirinya sendiri dan input, namun bukan pada variabel keadaan lainnya. Kita seringkali dapat mencapai diagonalisasi ini dengan menggunakan transformasi koordinat yang disusun dari eigenvektor dari matriks A asH. Dengan transformasi ini elemen matrik yang didiagonalkan mung kin menjadi jumlah yang kompleks. Namun demikian, karena koordinat dari sistem asli adalah nilai real, bagaimanapun analisis yang digunakan, transformasi inversi kembaH ke sistem koordinat asli akan kembali menghasilkan sistem nilai nyata.


59

Untuk sistem ruang keadaan tertentu mungkin tidak mungkin untuk benarbenar mendiagonalkan matriks A sehingga masing-masing variabel keadaan diuraikan dari yang lain. Dalam hal ini, generalisasi struktur diagonal terjadi ketika matriks A ada pada bentuk diagonal blok

di mana Ai adalah matrik kuadrat pada diagonal A. Bentuk ini menguraikan sistem tersebut menjadi kumpulan subsistem noninteraksi. Selalu mungkin untuk mencapai bentuk diagonal blok. Keuntungan bentuk diagonal blok (dengan matriks diagonal penuh menjadi kasus khusus) menjadi jelas dalam aplikasi yang meliputi sistem skala besar, yang dapat mempunyai beberapa ratus variabelkeadaan dan variabelpengaturan. Untuk kasus khusus sistem ruang-keadaan SISO, gambaran yang ada yang dapat membawa ke deskripsi sistem ~ersebutdalam bentuk persamaan diferensial tingkat yang lebih tinggi. Suatu sistem SISO dikatakan dalam bentuk "companion" jika matrik A adalah matriks companion,

A

0 0

1 0

0 1

0

0

0

-01

-02

0 0

=I

I

-0)

(2.1-8)

-ONx

dan input pengaturan skalar u hanya memasuki pada persamaan XNx, dengan matriks kolom B dari bentuk

(2.1-9)

Sistem Output-Input Persamaan (2.1-5) dan (2.1-6) adalah gambaran variabel keadaan dari sistem SISO deterministik umum. Gambaran umum lainnya untuk kelas khusus dari

60


sistem SISO ditunjuk sebagai gambaran input-output (10). Dengan menggunakan notasi y(") ~ d"y / dt", kita dapat menyebut sistem SISO dan sistem 10

jika output tergantung pada input u, dan sistem tersebut dapat digambarkan dengan persamaan diferensialtingkat Nxdari bentuk: ylNSI

+

+

PNs_,ylNx-1J

= qo"

...

+ PlY + PoY

+ q.u + ...

+ qN x _.u'Nx-1J

+ qN x"INx'.

(2.1-10)

Perhatikan bahwa sisisebelah kiii (2.1-10) dinyatakandalam bentuk output y(t) dan sisi sebelah kanan dinyatakan dalam benWk input u(t). Agar outputnya tergantung pada input, tidak semua koefisien sebelah kanan qQ,..., qNXbisa menjadi nol. Di sini ada hubungan yang erat antara penyajian ruang keadaan dari sistem SISO dalam bentuk "companion" dan penyajian 10 dari sistem yang sarna, asalkan kondisi tertentu dipenuhi. Misalnya,jika outputnya hanya komponen keadaan pertama, yakni, vektor C adalah dari bentuk: c = [I 0... 0] dan D = 0, maka persamaan keadaan terakhir dari (2.1-8) dapat ditulissebagai berikut: (2.1-11)

Karena Xl

= y, ia mengikutidari persamaan keadaan lainnyadari (2.1-8) yaitu Xz = x. x)

=Y

= Xz = Y

Jadi, (2.1-11) meniadi:ylNxl + aNxY INx-1l + ... + QzY+ a.y = bu.

(2.1-12)


61

yang dalam format 10. Jika outputnya tidak hanya komponen keadaan pertama, maka mungkin tidak mungkin untuk mengkonversikan sistem SISO pada bentuk "companion" menjadi penyajian 10 ekuivalen. Kita akan membahas selanjutnya persyaratan umum yang, ketika dipenuhi, akan menjamin bahwa sistem SISO ruang keadaan (apakah dalam bentuk "companion" atau tidak) dapat dikonversikan menjadi penyajian 10 ekuivalen. Oalam (2.1-10) perhatikan bahwa Nx adalah tingkat sistem SISO ruang-keadaan dan bahwa y(N) harus muncul sebagai derivatif y tingkatan tertinggi. Juga, tingkatan derivatif u tertinggi harus kurang dari atau sarna dengan Nx. Beberapa teks memperlakukan persyaratan ini sebagai kondisi "sebab-akibat', , dengan meyakinkan bahwa y(t) adalah output (akibat)dan u(t) adalah input (penyebab). Interpretasi yang secara potensial menyesatkan ini berasal dari fakta bahwa formulasi 10 tidak menayangkan keadaan aktual dari sistem dinamik.

CONTOH 2.1-1

Sistem Derivatif Semu

Pertimbangkan sistem ruang keadaan tingkat pertama:

x = - ax + au dengan output y yang sarna dengan kecepatan ie, sehiogga: y = - ax + aII. Sistem tersebut berada dalam bentuk "companion" dan dapat dikonversikan menjadi format 10 dengan mendeferensiasikan persamaan output dan kemudian mengganti ie dengan y untuk. mendapatkan: y + ay

= mi.

(2.1-13)

Buatlah E = 1/a dan kalikan kedua sisi dari (2.1-13) dengan Euntuk mendapatkap.

Ej.+ Y = Ii.

62


Jika E< < 1, maka output y rata-rata sarna dengan derivatif dari input u. Untuk alasan inilah, ketika E kedl, y disebut derivatif semu dari input tersebut. Perkiraan ini akan memainkan peran penting dalam desain sistem pengaturan dalam 8ab 6.

Contoh 2.1-1 juga menggambarkan beberapa perbedaan matematik antara dua penyajian. Dengan penyajian ruang-keadaan, inputnya tidak dideferensiasikan. Hal ini mengikuti solusi yang ada untuk x(t) dan y(t) sepanjang input u(t) dibatasi dan sedikit demi sedikit berlangsung dengan waktu. Pada titik diskontinuitas dalam pengaturan terse but, keadaan ini akan terus namun outputnya akan menjadi diskontinyu jika D "*0 pada (2.1-6). Dengan penyajian 10, derivatif pengaturan terse but mungkin muncul dalam formulasi 10 (2.1-10). Karena input pengaturan diskontinyu akan menghasilkan derivatif tidak tentu dalam pengaturan pada titik diskontinuitas, kesulitankesulitan tert~ntu dimasukkan dengan rumus ini. Namun demikian, metode transformasi Laplace terutama dapat diaplikasikan untuk menangani situasi ini. Secara jelasnya, dengan kondisi awal yang sarna dan input yang sarna pada formulasi variabel keadaan dan formulasi 10 ekuivalen pada permasalahan yang sarna akan menghasilkan solusi yang samauntuk output. Penyajian Sistem Pentransformasian Teknik analisis tertentu dipermudah dengan memilih penyajian tertentu untuk model sistem pengaturan. Pertama kita akan mendiskusikan transformasi ruang keadaan umum dan kemudian transformasi sistem SISO. Secara umum, pilihan variabel keadaan dalam penyajian ruang-keadaan tidak unik dan setiap transformasi koordinat nonsingular (2.1-14)

diaplikasikan ke suatu sistem ruang keadaan akan menghasilkan sistem ruang keadaan lainnya. Matriks M-l harus non-singular (mempunyai inversi M) sehingga korespondensi satu-satu ada antara x dan z, di mana x = Mz awal dapat diperoleh kembali.


63

Dengan mengaplikasikan transfonnasi semacam itu pada (2.1-3) dan (2.1-4) menghasilkan: z = Az + Bu

(2.1-15)

y = Cz + Du,

(2.1-16)

di mana

(2.1-17) (2.1-18)

C = CM.

(2.1-19)

Ingat bahwa untuk matriks M = [mij]inversi M1 dapat dihitung dari M-f.

= [adjM]T .

IMI

'

di mana adj M = [~ij]dan ~jj adalah ko-faktor (ditandai minor) dari mjj.

Bentuk

Ruang-Keadaan

Terurai

Kita dapat mengkonversikan sistem ruang kedaaan menjadi bentuk terurai (decoupled) dengi;1n memilih kolom-kolom matrik M menjadi eigenvektor A. Karena i = 1,..., Nx, buatlah Ai menunjukkan eigenvalues dari A, dengan eigenvektor ~ i= 0 korespondensi. Secara definisi, sebuah eigenvektor ~.' adalah setiap vektor selain nol sehingga pengkalian dengan A menghasilkan vektor awal dikalikan dengan konstan skalar. Yakni, A~ = A~.Dengan kata lain kita dapat menulis:

64


Agar supaya persamaan ini mempunyai solusi selain nol untuk eigenvektor ~i> eigenvalues A i harus merupakan akar dari persamaan ciri polinomial tingkat Nx, i = I,...

,Nr

(2.1-20)

dengan menunjukkan determinan. Karena (2.1-21) adalah persamaan polinomial tingkat Nx, maka akan mempunyai tepat akar Nx (eigenvalues). Karena elemen A adalah nyata, maka demikian pula koefisien pada persamaan karakteristik. Jadi, setiap akar yang kompleks akan terjadi dalam pasangan konjugatit karena (2.1-21) adalah nilai nyata. Demikian pula, eigenvektor Nx bisa jadi nilai kompleks. Dengan elemen nyata pada A, setiap eigenvektor kompleks juga akan terjadi pada pasangan konjugatit. Untuk masing-masing eigenvaliIe Aj,i = 1, ... , Nx, ada Nx - tingkatp..j I-A] ~ 1 yang secara linear.solusi eigenvektor independen dari (2.1-20). Jika solusi independen eigenvektor diulangi, dengan mengkalikan m, (2.1-20) mungkin tidak menghasilkan so!usi independen linier m. Rangkaian lengkap eigenvektor Nx mungkin tidak ind~penden secara linier jika setiap eigenvalues diulangi. Di pihak lain, seseorang dapat menunjukkan hal tersebut untuk eigenvalues yang berbeda (Aj:;:.A j karena i :;:.j), eigenvektor korespondensi secara linier independen. Jadi, kondisi yang memenuhi untuk rangkaian lengkap dari Nx dari eigenvektor yang secara linier independen adalah bahwa semua eigenvalues adalah berbeda. Misalkan bahwa serangkaian eigenvector yang dihasilkan dari (2.1-20) adalah independen secara linier. Kemudian matriks eigenvektor Guga disebut matriks modal) (2.1-22)

yang kolom-kolomnya adalah eigenvektor dari A, mempunyai inversi. Penskalaan eigenvektor adalah arbri.ter, karena setiap pengkalian selain nol dari eigenvector adalah juga eigenvector. gan transformasi matriks modal z = M-Ix, matriks yang dihasilkan A = M-I akan menjadi diagonal, dengan eigenvalues A sepanjang diagonal pad tingkat yang sarna dengan eigenvektor pada M. Untuk membuktikan hal

tE


65

ini, kita perhatikan bahwa persamaan eigenvector Nx (2.1-20) dapat ditulis bersama sebagai berikut:

[A'~I" . . . ANJ",J= A[~", . . . ~",J. yang ekuivalen dengan: AI

M

[

0

. o

A",x]

= AM

dan hasilnya mengikuti langsung setelah dikalikan sebelumnya dengan MI. Dalam bentuk diagonal persamaan keadaan yang ditransformasikan (2.115) diberikan dalam bentuk komponen dengan persamaan yang diUlaikan,

. = A;z; + b;. Tu.

i

z;

=I

,

Nx.

(2.1-23)

dan persamaan output (2.1-16) dapat ditulis sebagai: Y = z,c1 + . . . + ZN..c'N,+ Du.

~

(2.1-24)

~

di mana ~T adalah baris i dari matrik input pengaturan = M1B dan kolom ke i dari matriks output pengukuran baru = CM. Sebelum mendiskusikan hasil-hasH ini lebih lanjut, kita berikan contoh prosedur ini.

t

CONTOH 2.1-2

Sistem Suspensi Magnetik

Perhatikan pendiagonalisasian sistem suspendi magnetik linier yang dibahas pada Bagian 1.3. Persamaan ruang kedaaan (1.3-10) - (1.3-12) dapat ditulis kembali sebagai

66


y

di mana

= [I

O{;J,

konstan positif 131dan I3zdidefinisikandengan (1.3-8) dan (1.3-9).

untuk lebih mudahnya buatlah (jJ2 = 131:Dari (2.1-20) setiap eigenvector

; = [rh, TJ2]T memenuhi:

di mana A.eigenvalues memenuhi persamaan ciri

Jadi, eigenvaluesnya

adalah 1..1= rodan A.z.Eigenvector yang sesuai adalah unik

pada arahnya namun bukan pada besamya. Untuk memudahkan, setiap komponen selain nol dapat diberi skala untuk disatukan. Dengan memilih 111= 1 kita dapatkan ;2 = [1 ro]Tdan ;2 = [1 - ro f Dengan mengaplikasikan transformasi koordinat:

dan dengan menggunakan (2.1-5) menghasilkan sistem yang didiagonalkan:

D:J dengan persamaan output,

~

[~

_Ow][~:J +

[~~}


67

Bentuk "Companion" SISO Sistem SISO ruang posisi dapat dikonversikanmenjadi bentuk "companion" yang unik jika dan hanya jika matriks Kemampuan kontrol: (2.1-25) adalah tingkatan maksimum (yakni, IP I ;I;0 untuk sistem input tunggal). Jika kondisi kontrolabUitas ini memuaskan, maka 'sistem tersebut dikatakan dapat terkontrol. Penggunakan terminologi ini akan lebih diperjelas selanjutnya pada bab ini ketika kita membahas kontrolabilitas lengkap. Mulai sekarang, kita menguji peran di mana matriks kontrolabilitas berperan dalam proses pengkonversian sistem SISO umum ke bentuk "companion". Kita mencari transformasi koordinat non-singular z = MIx, denganmenghasilkan sistem yang ditransformasikan

z = Az +

Bu

y = Cz + Du,

Elimana 1\ adalah matriks "companion" dan

~ = [0 0...

lIT, di mana

A= M-'AM B = M-'B C = CM. Perhatikan bahwa dalam kasus ini M adalah matriks transformasi yang harus ditentukan dan bukan merupakan matriks modal yang digunakan untuk mendiagonalkan sistem tersebut. Oalam bentuk "companion", variabel keadaan semua mengikuti dari Zl pada suatu jeram. Jadi, kita dapat menyususn matriks transformasi dengan mencari vektor p dimensional Nx sehingga, dengan memilih Zl = pTX, diferensiasi ulangan dimulai dari kondisi Zl = pTX=pT(Ax+ Bu) menghasilkan sistem dalam bentuk "companion". Secara khusus, kita pilih,

68


with

<-N..

= ZN..-I = pTAN..-1X ZN" = pTAN"x

+

Dari sisi sebelah kiridari (2.1-26) dan z

M-I

II

with

pTAN.'-~B = 0

with

pTAN..-1B = I.

= MIX

=I

(2.1-26)

kita dapatkan,

pT pTA p7A ~

(2.1-27)

Dari sisi sebelah kanan dari (2.1-26), p adalah solusi terhadap: pT[B. AB,...,

AN,-IB] = [0 0...1].

Untuk sistem SISO, matriks kontrolabilitas P adalah kuadrat dan kondisi kontrolabilitasmenjamin keberadaan p-l. Jadi, pT = [0 0...

I]P - 1.

(2.1-28)

Oleh karenanya, pT adalah baris terakhir dari p-l, dan kita menyusun M1 dari p sebagaimana terlihat di atas. Matriks M~ mempunyai inversi, karena sisi sebelah kanan dari (2.1-26) menyiratkan bahwa baris pada (2.1-27) tersebut independen secara linier (Luenberger, 1979, hal. 292). Dengan mensubstitusikan hasil untuk p pada persamaan (1,h.57) dalam (2.1-26) menghasilkan persamaan keadaan untuk sistem SISO yang diinginkan dalam bentuk "companion", dengan output korespondensi


y

CONTOH 2.1-3

= Cz + Du.

69

(2.1-29)

DuaKerda

Untuk mengilustrasikanproses pengkonversian sistem ruang-keadaan menjadi bentuk "companion", pertimbangkan dua kereta pada roda tanpa jari-jari, seperti terlihat pada Gambar 2.1-1. Kereta tersebut dihubungkandengan Ioalat pengatur api kompor" dan gaya F diaplikasikan pada salah satu dari kereta tersebut. Dalam bentuk kecepatan VI dan V2 dari dua kereta tersebut, hukum, Newton kedua menghasilkan tn, V,

= j3eV2 -

tn2V2

=F-

VI)

j3(V2- VI).

Kita ingin mengatur sistem tersebut sehingga kereta tersebut bergerak pada kecepatan (yang tidak ditentukan) yang sarna, sehingga IOtamemilih pengukuran output sebagai perbedaan kecepatan.

F

_.,';

;"'--'-.;..~-.- - '.1

.,.

Gambar 2.1-1 Sistem kereta untuk contoh 2.1-3.

70


Untuk nHainumerik, misalkan ml = 1 kg, m2 = 0.5 kg, dan J3= 1Ns/m. Dengan memilih variabel keadaan seperti VI dan V2 dan input pengaturan sebagai u = F, menghasilkan,

[tJ=[-~ -n[~J+[~]II' )' = [- I I][ ~J . Untuk mengkonversikan ke bentuk "companion", pertama kita harus menghitung matriks kontrolabHitas, P = [B,AB]= [~ -~J. Karena P

* 0, sebuah inversiyang ada untuk P diberikan o\eh: p_1=

IO.5

[ 0.5

0

].

Dengan menggunakan p-I dan (2.1-28), kita menghitung matriks baris,

pT = [0 1]p-I = [0.5 0]. Yang hanyalah merupakan baris terakhir dari p-I, dan kemudian dari (2.1-27) kita dapatkan matriks transfonnasi, M-

I

=

[ ] [ pT

pTA

=

0.5 -0.5

0 0.5

]

~ M =

2 0 2 2 .

[ ]

Jadi, kita dapat mentransfonnasikan sistem ruang V

v = AV + BII menjadi sistem ruang x dalam bentuk "companion dengan menggunakan transfonnasi,


71

Pacla khususnya,

cli mana

M-'AM = M-1B=

0.5 o -0.5 0.5 ] [

[

0.5 -0.5

0~5 ]

- 1

[

1

2 -2

2 0

] [2

2]

0

1

= [ 0 -3 ]

[~] = [ ~]

clan CM

= [-I

1/[;

~] = [0 2).

yang menghasilkan:

Bentuk

Output

Input

Kita clapat mentransfonnasikan sistem SISO ruang keaclaan menjacli bentuk 10 tingkat Nx ekuivalen yang unik, jika clan hanya jika matriks observabilitas C CA Q

=I

CA 2 CA"'.,-I

(2.1-30)

72


merupakan tingkat maksimum (Q "# 0 untuk sistem output tunggal). Jika kondisi observabilitas ini memenuhi, maka sistem tersebut dikatakan observable. Seperti halnya kondisikontrolabilitasyang dibahas di muka, kondisi observabilitasjuga harus dipenuhi pada setiap sistem pengaturan yang didesain secara tepat sebab , sebagaimana kita lihat pada 8ab 8, ia menentukan apakah keadaan x(t) dapat atau tidak dapat direkonstruksidari catatan output y(t) dan input pengaturan u(t) setelah beberapa intervalwaktu tertentu. Untuk melakukan transformasi dari bentuk SISO menjadi bentuk 10; kita membedakan output y(t) Nx kali. Dengan menggunakan persamaan keadaan (2.1-5) untuk mensubstitusikan ic pada setiap lan~kah menghasilkan sistem persamaan berikut ini: y

= Cx

.

+ Dll

y = CAx + Dil + y = CA2x y131

CBu

+ Dii + C{B/i + ABu}

= CA3x +

(2.1-31)

Dunl + C{Bu + AB/i + A2Bu}

...

ylNx-1l = CAN<-IX + DdN..-11 + C{Bul,V,-21+ ABu' ,-31 + + AN, -2Bu} yIN,. = CAN<x + Di/N,I + C{Bu'N,-1I + ABu'N,--21 +...

+ AN.-1Bu}.

Nx dari persamaan ini harus diselesaikan untuk x dalam bentuk y, u dan derivasi mereka. Untuk sistem SISO matriks observabilitas Q adalah kuadrat dan kondisi observabilitas meyakinkan adanya inversi. Jadi, x akan menjadi fungsi unik dari y, u dan derivatif mereka. Dengan mensubstitusikan hasil ini ke dalam persamaan y(Nx)pada (2.1-31) dan dengan mengumpulkan istilah menghasilkan sistem 10 dari bentuk (2.1-10).

CONTOH 2.1-4

Permasalahan Dua Kereta Tidak Dapat Diobservasi

Perhatikan sistem SISO yang telah didiskusikan terdahulu pada Contoh 2.1-3. Bentuk "companion" dari siS1emini adalah


73

la mengikuti bahwa

Karena Q = 0, Q tidak mempunyai inversi dan kondisi observabilitasnya tidak nampak. Marilah kita lihat apa yang terjadi jika kita berusaha untuk mengkonversikan sistem ini menjadi sistem 10. Persamaan output diberikan dengan:

Pembedaan output dengan menggunakan persamaan keadaan kedua untuk menghilangkan X2menghasilkan: .v = - 6x~ + 2u Dengan mengulangi proses ini menghasilkan: .v = 18x~- 6u + 2il. Dengan menghilangkan X2 di antara persamaan pertama dan yang terakr: menghasilkan apa yang nampak sebagai sistem 10 yang tepat, );

-

9v

=

-6/1

+ 21i.

Namun demikian, kita dapat juga menghilangkan X2 di antara persamaan pertama dan kedua untuk mendapatkan: y + 3y = 2u.

.

74


Jadi, kita lihat bahwa output untuk sistem awal (perbedaan kecepatan) sebanmy a ekuivalen dengan sistem 10 tingkat pertama. Tidak ada jalan clari catatan output tersebut dari sistem tingkat pertama ini yang dapat merekonstruksikan keadaan (kecepatan individual) untuk sistem tingkat kedua. Perhatikan jika kita membedakan persamaan in selanjutnya, kita dapatkan: ji + 35'= 2u. Dengan mensubstitusikan untuk ji

-

y dari persamaan 9y

= - 6u

di atas menghasilkan:

+ 2/i,

yang sama dengan hasH sebelumnya. jadi, meskipun Contoh 2.1-3 dapat dikontrol, ia tidak nampak. la tidak mempunyai ekuivalen bentuk 10 tingkat kedua tersendiri.

Sistem Matriks Umum Pertimbangkan kelas tertentu dari sistem SISO di mana matriks A adalah matrik "companion", namun matriks B adalah bentuk umum dari B = [bI b2 ...bNxIT, sehingga sistem tersebut tidak perlu dalam bentuk "companion". Buatlah output yang diberikan dengan y = Xl + duo Penyajian ruang keadaan sedemikian sehingga sistem SISO diberikan oleh:

(2.1-32)

dengan output: Y

= XI

+ du.

(2.1-33)


75

Sistem semacam itu seringkali terjadi pada aplikasi pengaturan dan ia akan selalu memenuhi kondisi observabilitas karena Q = I. namun demikian, ia mungkin bisa atua tidak memenuhi kondisi kontrolabilitas. Untuk mentransformasikan ke penyajian 10, kita membedakan y Nx kali, dengan menghasilkan: y = X2 + b,u + dli y = x) + b2u + bl/i + dii YCNx'= - a Ix I - a2x~_ ::. . . . - aN xx N., + hN x II + b, + b."cNx-1I

x - IIi

+ ...

+ dtlN".

Persamaan terakhif.-dapat dinyatakan dalam oentuk y, U dan derivas~ mereka dengan menggunakaI'l persamaan sebelumnya untuk menghilangkan x, menghasilkan;

-

a ~ {yCN..-II

-

b~-I

II

- ... -

b ItlNx-2'

- d"cN.,-II }

(2.1-34)

Dengan menentukan Po = al

q()

= bN, + da, + hla2 + b2a) + b)a4 +

ql = bN,_1 ..

+ dil2 + h,a)

+ b2a4 +

. . . + hNx-laNx

... +

bN..-2aNx

(2.1-35) PNx-2 = aN,_1 qNx-2 = b2 + daN._, + hlaN, PN,-I = aNx

qNx-1 = hi + dilNx qNx = d

dan dengan memindahkan semua term y ke sebelah kiri dari persamaan (2.1-34), kita dapatkan sistem 10 dari bentuk (2.1-10), asalkan koefisien

76


qQ,... ,qNx tidak semuanya no!. Jika semua koefisien qi pada (2.1-35) adalah nol, maka sisi sebelah kanan dari persamaan ini menyiratkan bahwa bi = 0, i = 1, ..., Nx, sehingga matriks kontrolabilitas (2.1-25) adalah matriks nol dan P tidak mempunyai tingkatan maksimum. Persamaan (2.1-35) juga dapat digunakan untuk mengkonversikan dari formulasi 10 menjadi formulasi SISO yang ditentukan dengan (2.1-32) - (2.133). Konversi ini dilakukan dengan memecahkan terlebih dahulu untuk b], kemudian bz, dan seterusnya, mengerjakan serangkaian persamaan dalam (2.1-35) dalam urutan terbalik. Hal ini akan menghasilkan sistem SISO yang dapat diobservasi, dengan matriks A pada bentuk "companion", matriks B Nx x 1 selain nol, dan output y = Xl + au. Jika tidak ada derivasi dari u pada sistem 10 (2.1-10), maka asalkan qo = 1, sistem SISO yang dihasilkan tidak hanya akan dapat diobservasi namun juga dapat dikontrol karena ia dalam bentuk "companion". Prosedur yang lebih umum untuk mentransformasikan dari bentuk 10 menjadi bentuk ruang keadaan akan ditampilkan setelah kita mengembangkan konsep transformasi Laplace. "fungsi transfer".

CONTOH 2.1-5

Pengkonversian dari Bentuk 10 menjadi Bentuk Ruang Keadaan

Persamaan (2.1-35) dapat digunakanuntuk mengkonversikan banyak penyajian 10 menjadi penyajian ruang keadaan ekuivalen. Misalnya, pertimbangkan sistem: yOl

-

6ji + lIy

-

5y

= -4u + U.

Dari (2.1-35) kita dapatkan d = q3 = 0 dan: OJ

= -5

- 4 = b) + IIbJ - 6b2

°2 = II

I = b2 - 6bl

0) = -6

0= bl.

Jadi, b1 = 0, b2 = 1, b3 = 2, dan penyajian variabel keadaan diberikan oleh:


77

x, = X2 X2= x) + u x) = 5x, Y = XI.

-

IIx2 + 6x) + 2u

Pengecekan akan menunjukkan hahwa sistem ini yang dapat dikontrol ( IP I :;;0) dan dan dapat diobservasi(I Q I :;;0).

CONTOH 2.1-6

Permaalahan

Dua Kereta yang Salah Dllallkan

Pada contoh 2.1-4 kita dapatkan bahwa, karena kondisi observabilitastidak memenuhi, kita tidak dapat memperoleh penyajian 10 tingkat kedua ekuivalen pada permasalahan ini. Marilahkita pertimbangkan apa yang akan terjadi jika kita mentransformasikan kembali persamaan tingkat kedua yang telah kita dapatkan sebelumnya: y

-

9y

=

- 6u + 2it

untuk menyatakan bentuk variabel dengan menggunakan Kondisi ini menghasilkan

koefisien d

kondisi (2.1-35).

= 0 dan

berkorespondensi dengan sistem ruang keadaan yang dapat dilihat XI = X2 + 2u X2 = 9x I - 6" Y = XI'

78


Dapatkah kita mentransformasikan sistem ini menjadi bentuk "companion" dan menemukan kembali penyajian variabel keadaan awal? Jawabannya adalah tidak! Sistem variabel keadaan baru ini tidak dapat dikontrol karena:

Kita simpulkan dari contoh ini bahwa gambaran ruang keadaan untuk sistem 10 tidak dapat dikontrol.

Kontrolabilitas Sistem ruang-keadaan awal (2.1-3) dan (2.1-3) terutama pasangan matriks (A,B) dikatakan dapat dikontrol jika ada pengaturan u yang tidak dibatasi sehingga dapat mentransfer setiap keadaan x awal ke lokasi lain yang diinginkan. Seperti yang akan kita lihat nanti pada Bab 8, kondisi kontrolabilitas (2.1-25) harus dipenuhi bagi satu sistem untuk memenuhi ciri-ciriini. Bentuk diagonal untuk sistem ruang keadaan memberikan kita cara lain menguji kontrolabilitas. Khususnya, jika baris kei dari ~ nol (G: = OT), maka u t.idak mempengaruhi Zidan oleh karenanya, beberapa kombinasi linear dari variabel keadaan tidak akan dipengaruhi oleh pengaturan u. Dalam hal ini, sistem (2.1-3) tidak dapat dikontrol. Sebaliknya, jika ~ tidak mempunyai baris nol, maka (2.1-3) dapat dikontrol. Satu konsekwensi dari kontrolabilitas ini ialah bahwa penggunaan pengaturan "feedback" variabel keadaan, memungkinkan secara arbriter menentukan eigenvalues dari sistem terkontrol. Jika sistem SISO dalam bentuk "companion", maka ia juga dapat dikontrol. Penempatan eigenvalue untuk sistem semacam itu dapat didemonstrasikan dengan terlebih dahulu memperhatikan persamaan ciri-yang sesuai dengan matriks "companion" (2.1-8) yaitu,


79

Karena pengaturan tersebut hanya memasuki pada persamaan keadaan terakhir,

yang juga berisi semua konstan dalam persamaan ciri, ia mengikuti seandainya kita buat:

di mana kT= [k} ... kNx]adalah vektor konstan,maka melalui pilihan yang tepat unutk k semua konstan pada persamaan karakteristik dapat secara arbriter diselesaikan. Dengan kata lain, untuk sistem SISO dalam bentuk "compaJlion", suatu sistem pengaturan yang berisi "feedback" variabel keadaan dari bentuk u = -kTx akan menghasilkan sistem matriks A baru,

di mana eigenvalues dapat dibuat secara arbriter. Sebagaimana kita akan lihat nanti, jika semua eigenyalues pada matriksA mempunyai bagian nyata negatif, maka sistem terse but akan stabil secara asimtot ke bentuk awal atau ia dapat ditrahsformasikan ke bentuk "companion", ini benar-benar merupakan sistem yang dapat dikontrol.

CONTOH 2.1-7

Kontrolabilitas Tidak Lengkap

Sebuah contoh dari suatu sistem yang tidak dapat dikontrol seluruhnya, perhatikan sistern terse but dengan persarnaan keadaan,

Input pengaturan u(t) secara jelas tidak rnernpunyai efek sarna sekali pada evolusi variabel keadaan xdt). Jika tujuan kita adalah untuk rnentransfer x(t) ke

80


0, kita masih dapat mendesain pengaturan untuk melakukannya, karena Xt(t) mendekati nol secara otomatis (sekalipun pada langkahnya sendiri). Jadi, kontrolabilitas lengkap mungkin tidak diperlukan untuk semua situasi pengaturan.

Kita biasanya akan memerlukan bahwa suatu sistem dapat dikontrol sebelum mendesain pengaturan untuknya. Hal ini mungkin memerlukan beberapa perubahan sistem dasamya, seperti input pengaturan tambahan atau pasangan tambahan antara variabel keadaan, sehingga pengaturan tersebut tidak mempengaruhi semua variabel keadaan. Konsep kontrolabilitas memainkan peran kunci dalam teori pengaturan modem. Selanjutnya kita akan mengilustrasikan penggunaan tes lainnya (2.1-25) untuk kontrolabilitas, yang tidak memerlukan terlebih dahulu eigenvalues dan eigenvector dari sistem tersebut. Sebagaimana dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, suatu sistem pada bentuk "companion" adalah khusus, kasus sistem ruang keadaan single output single input yang dibatasi, dan sistem 10 bahkan merupakan penyajian yang lebih dibatasi. Suatu sistem ruang keadaan umum mungkin mempunyai input ganda, output ganda, dan mungkin atau tidak mungkin dapat dikontrol atau tidak dapat diobservasi.

1.1 FUNGSITRANSFER DANDIAGRAMBLOK TransformasiLaplace Dalam bentuk diagram blok, formulasi 10 dari sistem linear, diberikan oleh (2.1-10), dapat dibatasi dan dianalisis secara ringkas dengan menggunakan transformasi Laplace untuk mengkonversikan persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar. Kita biasanya akan mendesain variabel transformasi Laplace seperti y(t) dengan fungsiY(s)yang dikapitalisasikan.Pada notasi ini, t mewakili domain waktu yang dikaitkan dengan persamaan diferensial (2.1-10) dan 5 (variabel kompleks) domain 5 dikaitkan dengan transformasi Laplace. Dengan definisi: (2.2-1)


81

di mana ,$'{.}mewakili operator transformasi Laplace. Kita akan menentukan transformasi Laplace inversi dengan: ~-I{y(S)}

= y(l).

(2.2-2)

Perhatikan bahwa meskipun y(t) adalah fungsi nilai nyata, transformasi Laplace Y(s) merupakan fungsi kompleks dari variabel kompleks s. Hal ini akan memerlukan jumlah aritmatika kompleks tertentu, namun tidak banyak, karena kita tidak akan berhubungan dengan penghitungan solusi ke persamaan diferensial dengan menghitung transformasi Laplace inversi. Melainkan, secara sederhana kita akan menggunakan beberapa hasil yang didasarkan pada transformasi Laplace untuk menurunkan persamaan diferensial untuk sistem dinamik yang disajikan dalam bentuk diagram blok. Transformasi Laplace adalah operator linear:

Jadi, ia sesuai untuk digunakan dengan sistem dinamik linear. Transformasi derivatif Laplace diberikan oleh: ~{y(t)} = s Yes) ~{y(t)}

= S2 Yes)

-

y(O) sy(O)

-

.Y
(2.2-3)

di mana y(I)(O)adalah kondisi awal pada derivatif ke i. Transformasi integral Laplace diberikan dengan

~{f y(t)dt} = ~

Yes)

~{ff yet) dt dt } = ~ Yes)

(2.2-4)

82


;t{f. ~. fy(t)dt...

dt} = :n Y(s).

Ada satu ciri-ciri lain dari transformasi Laplace yang seringkali berguna ketika diaplikasikandengan tepat. Ciri-ciritersebut diberikan dengan teorema nilai akhir, lim y(t) = lim s Y(s), I_X

(2.2.5)

.1-0

asalkan kedua limit ada.

CONTOH 2.2-1

Teorema Mllal Akhlr

Salah satu penggunaan teorema nilai akhir (final value theorem) adalah untuk menentukan nilai tertinggi dari solusi persamaan diferensial tanpa memecahkan persamaan diferensial. Untuk mengilustrasikan hal ini, pertimbangkan sistem tingkat pertama ini:

x

- ax = It,

di mana a < 0 dan inputnya adalah konstan u(t) transformasi Laplace pada kedua sisi, kita dapatkan: sX(s)

di mana U(s) silkan:

= k/s

-

x(O)

-

aXes)

=

==

k. Dengan mengambil

VIs).

untuk input konstan. Dengan memecahkan X(s) menghak x(O) + s Xes) = s - a

Sekarang, karena x(t) mendekati batas seperti t ~ akhir memberikan hasil:

ex) untuk

a < 0, teorema nilai


lim x(1) = Ii 1_7:.

m .,-11

SX(O)

[

S

-

k

+ k {l

83

]

(l

yang setuju dengan hasil penyeimbangan yang diperoleh secara langsung dari persamaan diferensialdengan menetapkan = 0 dengan u = k.

x

Pada penetapan yang lebih umum, teorema nilai akhir mengijinkan kita menentukan nilai akhir dari suatu fungsi (yt), diberikan oleh transformasi Laplace Y(s), tanpa mengevaluasi transformasi Laplace inversi pari Y(s). Karena teorema nilai akhir tidak memerlukan bahwa kita sebenamya menentukan transformasi Laplace inversi, bisa jadi suatu kesalahan untuk mengasumsikan terlalu banyak mengenai kondisi puncak dari beberapa fungsi waktu ketika fungsi itu sendiri tidak diketahui. Peringatan Jainnya mengenai teorema ini adalah kata "limit" (batas) mempunyai makna matematik tertentu. Pertimbangkan fungsiwaktu y(t) = sin t yang ditransformasikanLaplace adalah: I Yes)

=~.

Oari teorema nilai akhir kita dapatkan: lim s Y(s)

= 0,

$-0

yang akan membawa seseorang untuk mempercayai bahwa y(t) = sin t ~ 0

ketika t ~

00;

jelas, ini adalah kesimpulan yang salah. Pada kenyataannya,

"limit'; sebagai t ~ 00 tidak ada untuk sin t, karena ia terns berkisar tanpa bertemu ke nilai tertentu. Pada prakteknya, teorema nilai akhir tersebut harus diaplikasikan hanya pada sistem stabil asimtot, di mana asumsi beberapa limit puncak biasanya dilakukan.

84


Fungsi Transfer Pertimbangkan hasil derivatif dan integral pada (2.2-3) dan (2.2-4). Kita melihat bahwa kecuali untuk term kondisi awal, kita dapat berpikir mengenai s dan l/s sebagai operator derivatif dan integral secara berurutan. Pada kenyataannya, ini ciri-ciri utama dari transformasi Laplace yang akan kita gunakan. Khususnya, meskipun metode transformasi Laplace menyajikan suatu cara yang berguna untuk memecahkan persamaan diferensiallinear koefisien konstan (asalkan transformasi inversi dapat dite~tukan), kita tidak akan menggunakan mereka dengan cara ini,namun melainkan menggunakan transformasi Laplace sebagai alat membuat model sistem dinamik. Dengan mengambil transformasi Laplace llari sistem input dan output (2.1-10) menghasilkan: (SNx + PNx_ISNx-1 +

... +

PIS

= (qo +

... +

qNx_ISNx-1

qls +

+ Po)Y(s) + Iy(s)

+

qNxSNx)U(S)

+ lu(s),

(2.2-6)

di mana Iy(s)dan Iu(s)adalah term kondisi awal yang didapatkan dari (2.2-3). Perhatikan bahwa output yang ditransformasikan Y(s) digandakan dengan polinominal tingkat Nx, (2.2-7)

dan transformasi input U(s) digandakan dengan polinomial tingkat Nx (atau lebih rendah) (2.2-8) Tingkatan Q(5) akan tergantung pada, jika ada, koefisien nol. Jika kita menetapkan semua kondisi awal ke nol pada (2.2-6), maka rasio transformasi Laplace dari output ini dibagi dengan transformasi Laplace dari input yang diberikan dengan rasio dua polinomial Q(5)dan P(s) Y(s)

= Q{s)

U(s)

P(s)


85

Dengan definisi rasio ini disebut fungsi transfer G(s), G(s) ~ Q(s) Pes)

(2.2-9)

dan outputnya dihubungan dengan input oleh Yes)

= G(s)U(s)..

(2.2-10)

Fungsi transfer ini rnerupakan penyajian padat rnengenai persarnaan diferensial yang digarnbarkan sistern dan harus ditulis sebagai rasio dari dua polinorniaI. Jika polinornial ini berisi faktor-faktor urnurn, rnisalnya, jika Q(s) dan pes) sarna-sarna berisi faktor (s-a), rnaka faktor ini tidak dapat dihapus. Untuk rnelakukannya akan rnengurangi tingkatan sistern tersebut.

CONTOH 2.2-2

Penghapusan

Pertirnbangkan sistern tersebut (lihat Contoh 2.1-6) yang diberikan dengan: - 6 + 2s G(s)

=

S2

2(s - 3) _ 9 = (05 + 3)(.s - 3)

dengan persarnaan diferensial berkorespondensi y - 9y = -6u + 2u. Solusi untuk persarnaan diferensial tingkat kedua ini, katakanlah untuk u(t) == 0, rnelibatkan dua konstan integrasi, rnenghasilkan

Jika kita harus rnenunda term (s - 3) pada G(s), kita harus rnengurangi tingkatan sistern tersebut, dengan rnenghasilkan:

86


y

+ 3y

= 2u,

dengan suatu solusi, kernbali untuk u(t):; 0, yang rneliputi hanya satu konstan integrasi

Jelasnya, kedua sistern tersebut tidak ekuivalen.Dengan rnenunda term seperti (s - a) dengan a > 0, khususnya, sangat jelek karena ia rnenyernbunyikanterm tidak stabil pada solusitersebut.

Sebagai aturan urnurn, setiap operasi aljabar pada fungsi transfer, rnisalnya, pengkalian, penghapusan, dan sebagainya, yang rnungkin terjadi pada reduksi diagram blok adalah valid sepanjang hasil akhimya tidak rnengubah susunan sistern awal. Dengan notasi fungsi transfer, jika kita rnengganti sn dengan operator derivatif Dn ~n( ) / d f, rnaka fungsi transfer rnenyiratkan persarnaan diferensial sistern (dalarn bentuk operator) P(D)y

= Q(D)u.

Penetapan kondisi awal sarna dengan nol dalarn rnenentukan fungsi transfer rnerupakan alat yang rnengijinkan kita rnendapatkan kernbali persarnaan diferensial dari dua polinornial yang rnernbentuk fungsi transfer. Orang harus rnenggunakan kondisi awal aktual jika transformasi Laplace harus digunakan untuk rnendapatkan solusi pada persarnaan diferensial tersebut. Yakni, solusi y(t) pada persarnaan diferensial tidak diberikan dengan transformasi Laplace inversi, y(1) = .'£- I{G(S)U(s)}

jika tidak sernua kondisi awal pada y(t) dan u(t), pada kenyataannya, sarna dengan not.


87

Kepedulian kita terhadap sistem yang pada puncaknya dapat dibuat stabil secara asimtot. Karakteristik sistem semacam itu merupakan fenomena transien yang disebabkan oleh kondisi awal pada y(t) atau. u(t) yang akan hilang pada waktunya. Jadi, dalam jangka panjang, fungsi transfer juga memberikan deskripsi yang tepat mengenai kondisi dinamik puncak dari sistem stabil secara asimtot. Penggunaan transformasi Laplace mengurangi deskripsi 10 mengenai sistem tersebut menjadi pemyataan aljabar. Kita sekarang mempunyai tiga jalan untuk mendeskripsikan sistem SISO linear. Suatu penyajian ruang keadaan, suatu penyajian 10, dan penyajian fungsi transfer semua dapat digunakan untuk mendeskripsikan sistem yang sarna.

1.3 ALJABARDIAGRAMBLOK Untuk suatu sistem 10 sebagaimana diilustrasikanpada Gambar 2.3-1, outputnya adalah hasil dari input dan fungsitransfer, y(s) = (j(s)U(s).

Konsep fungsi transfer mengijinkan kita untuk menguji suatu sistem dinamik rumit dalam bentuk fungsi transfer untuk berbagai elemen pada sistem tersebut. Kita menghubungkan. elemen ini dalam diagram blok untuk menunjukkan interaksi elemen dalam sistem. Jika kita menggunakan ciri-ciri fungsi transfer aljabar, diagram blok akan selalu dapat direduksi menjadi blok tunggal dari bentuk tersebut sebagaimana terlihat pada Gambar 2.3-1. Dari hal ini kita dapatkan fungsi transfer secara keseluruhan dari sistem tersebut, yang kemudian menghasilkan persamaan diferensial yang mengatur sistem tersebut.

primary system Control input VIs)

J 1

~

Output

ye,)

Gambar 2.3-1 Diagram blok untuk sistem output-input.

88


CONTOH 2.3-1

Blok pad a Jeram (Blocks In Cascande)

Sebagai suatu contoh, perhatikan rudal Line-of-Sight(LOS)pada Bagian 1.3, di mana kita dapatkan persamaan keadaan ii + {3lx + {3,a

= {335

= {3~a Z = Vy.

y

dengan 8 sebagai input dan z sebagai output. Masing-masing persamaan diferensial ini dapat dipandang sebagai alat 10, dengan fungsi transfer:

Gambar 2.3-2a menunjukkan diagram blok untuk keseluruhan sistem tersebut, yang mempunyai struktur "jeram" di mana output dari masing-masing blok adalah merupakan input ke blok selanjutnya. Untuk blok pada jeram, sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 2.3-2b, fungsi transfer ekuivalen diberikan dengan: (2.3-1) Untuk membuktikan hasil pada (2.3-1), perhatikan bahwa

Oleh kacenanya, rudal LOS mempunyai fungsi transfer:


6 Is)

89

ZIs)

(0) Blocks in cascade

6 Is)

ZIs!

Ib) Equivalent

system

Gambar 2.3-2 Reduksidiagram blokuntuk blok-blokpada "jeram".

(2.3-2)

Hasil ini juga dapat diperoleh secara langsung dari persamaan keadaan dengan

mengkonversikan formulasi10 dalam bentuk output y = z

y= t =

Vy

Y = Vi' = {J2Va yO' = {J2Va y'41= {J2Vii= {J2V(-{J2a - (Jla + (J)8).

Oleh karenanya,

yang menghasilkan keseluruhan fungsitransfer seperti pada (2.3-2).

CONTOH 2.3-2

Loop Feedback

Keeepatan rotasi dari motor de dengan pengatur armatur diatur dengan persaman tingkat pertama dari bentuk [lihat(1.3-48)dengan Po = kBkr/RAJ,qo = kr/RAJ, Y = 0), rex = 0]

90


,

+ PaY = qoU,

yang mempunyai penyajian diagram blok yang diberikan oleh Gambar 2.3-1 dengan . G(s) = ~. s + Po Namun demikian, jika transformasi Lapplace dart masing-masingterm dianggap secara terpisah, maka sistem ini mempunyai penyajian diagram blok dengan loop "feedback", sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 2.3-3, dengan:

dan dengan feedback ditambahkan secara negatif (> feedback negatif) pada garis perpotongan penjumlahan. Untuk setiap Gt dan Gz pada loop feedback SISO daTibentuk yang terlihat pada Gambar .2.3-3, keseluruhan fungsitransfer diberikan oleh: yes)' G(s)

UIs)

+

= V(s) = I

G,(s) + G,(s)G2(s)

rls)

Gambar 2.3-3 Diagram blokdari ikatan feedback.


91

Untuk membuat hasil ini, buatlah E(s) menunjukkanoutput dart persimpangan penjumlahan pada Gambar 2.3-3. Maka Yes) = G,(s)E(s)

= G.(s)[U(s) -

G2(s)Y(s»).

Dengan memecahkan Y(s) dan membagi dengan U(s) menghasilkan fungsi transfer (2.3-3). Untuk contoh kita mengenai sistem tingkat pertama, aplikasikan (2.3-3) menghasilkan: qo G(s)

-~.

-:;

=---;;. - s + Po 1+-

(2.3-4)

s

yang merupakan hasil yang telah lebih dahulu diperoleh. Perhatikan bahwa agar fungsi transfer pada (2.3-4) diinterpretasikan dengan tepat, ia harus diturunkan menjadi rasio dua polinomial.Hal ini juga mempunyai keuntungan tambahan dengan penyederhanaan setiap diagram blok aljabar selanjutnya.

CONTOR

2.3-3

ReduksiDiagramI.ok

Sebagai eontoh yang lebih rumit, perhatikan pendulum terbalik pada Bagian 1.3. Jika e(t) kecil, maka demikian pula sin a :::: a, kemudian persamaan (1.3-49) untuk balok tersebut menjadi: Jij

=r

+ nrg(O..

(2.3-5)

Dinamik dart motor de dengan pengatur armatur dibertkan oleh (1.3-42) dan (1.3-44), yang dapat ditulissebagai:

(2.3-6)

92


(2.3-7)

Untuk mendapatkan diagram blok yang akan menayangkan semua interaksi, kita tentukan

(2.3-8) II'

=r

+ 11Igeo

(2.3-9) (2.3-10)

Definisi ini mengijinkan (2.3-5) dan (2.3-7) ditulis sebagai berikut: (2.3-11) (2.3-12)

Dengan mengambil transformasi Laplace dari (2.3-6) dan (2.3-8) - (2.3-12), kita dapatkan setelah beberapa penyusunan kembali O(s)

= I/1(s)

(2.3-13)

I/1(s)

= Ir(s)

(2.3-14)

Ir(s) r(s)

s

Js

= r(s)

+ mgeo(s)

= kr/~(s)

(2.3-15) (2.3-16) (2.3-17)


Gambar 2.3-4

93

Diagram blokpendulumterbalikbatang dan motor. (2.3-18)

Dati persamaar,persamaan ini kita dapatkan diagram blok sebagaimana terlihat pada Gambar 2.3-4, di mana 1 G (s) = I

S

(2.3-19)

(2.3-20)

(2.3-21)

Penggambaran ini dengan jelas menggambarkan hubungan antara "berbagai komponen motor dan sistem balok. Diagram blok ini juga menggabungkan dinamik sebagaimana diberikan oleh persamaan diferensial. Seperti persamaan diferensial dapat dikombinasikan dan direduksi menjadi" bentuk yang lebih padat, demikian pula penyajian diagram blok. Prosedur aljabar berikut ini, misalnya, dapat digunakan untuk mendapatkan suatu fungsi transfer secara keseluruhan untuk sistem tersebut. Dati hubuhgan diagram blok 10 kita dapatkan:

94


(2.3-22)

c/J(s) = G2(s)[f(s) + mgl'O(s)]

O(s)

= G.(s)c/J(s).

(2.3-23)

(2.3-24)

Dari persamaan ini kita dapatkan: (2.3-25)

Dalam bentuk transfer fungsi G}(s), Gz(s), dan G3(s),(2.2-35) menjadi:

yang merupakan hubungan fungsi transfer yang diperoleh jika seseorang harus mengambiltransformasiLaplacedari(1.3-50)dengansin e ~ e dancose ~ 1.

Sensivilas Pengalur dan Penolakan Ciangguan Gambar 2.3-5 menggambarkan satu sistem pengaturan feedback khusus, dengan input perintah dan input tidak tertentu, yang didesain untuk mengatur output y(t) dari suatu sistem dinamik (disebut "sistem primer" untuk membedakannya dengan sistem keseluruhan). Perhatikan terlebih dahulu kasus input tidak tentu dan buatlah Yl(t) untuk menunjukkan respon output yang sesuai ke input perintah r(t) dengan semua kondisi awal sarna dengan no!. Fungsi transfer pada kasus ini adalah


Uncertain input VIs)

Command input R (s)

95

Output +

yes)

Feedback

Gambar 2.3-5

Diagramblok sistem pengaturan feedback

sebagaimana dapat dibuktikandengan menggunakan metode reduksidiagram blok yang digambarkan pada Gambar 2.3-6. Demikian pula, buatIah y:!t) menjadi respon kondisi awal untuk kasus input tidak tentu A(s) tanpa input perintah. Fungsi transfer sebagaimana didapatkan pada Gambar 2.3-7 diberikan oleh:

Karena sistem ini linear, respon sistem yang dikombinasikan baik pada input perintah maupun pada input tidak tentu, dengan semua kondisi awal adalah nol, dapat ditentukan dengan superposisi (superposition)

untuk menghasilkan: y(s)

= Gc(s)Gp(s)R(s)

+ Gp(s)V(s).

1 + Gc(s)Gp(s)H(s)

96


Rb)

Y(s)

+

Y(s)

Gambar 2.3-6 Tanpa input tidak tentu.

Untuk melihat efek pengaturan feedback, perhatikan masing-masing fungsi transfer blok Gds), Gp(s) dan H(s) sebagai mempunyai faktor besar, yang disebut gainjdapatan atau penguatan elemen. Secara khusus, karena input ke pengatur biasanya dalam jumlah kedl, seperti voltase, perpindahan, dan sebagainya, fungsi transfer Gds) hampir selalu berisi beberapa alat penguat daya. Misalnya, anggaplah blok tertentu yang berhubungan dengan sistem tingkat pertama dari bentuk: €y + Y

= KII(/),

u dengan

> 0 mempunyai solusi keadaan tetap y(t) ~ Ku. Pada keadaan tetap (y =0), kita dapat mengatakan di mana untuk langkah input u(t)

VIs)

==

+

Gambar 2.3-7 Tanpa input perintah.

E

Y!I)


97

bahwa sistern tersebut rnernpunyai dapatan K. Kita rnendapatkan hasil yang sarna dari fungsi transfer y(s) =

-

ES

K + J

U(s)

dengan rnengaplikasikan teorerna nilai akhir (2.2-5) dengan U(s)= u/s untuk satu langkah input. Misalkan bahwa Gds) dan H(s), yang bebas untuk diseleksi oleh desainer sistern pengaturan, telah dipilih sehingga, dapatlah dikatakan bahwa sistern tersebut rnernpunyai tambahan loop tinggi (high loop gain) IGc(s)G,,(s)H(s)1

»

I.

Kernudian 'R(s)

+-

y(,\.)=-

H(s)

V(,\.)

GcC\")H(s)

dan kita lihat bahwa respon ini secara esensial akan bebas dari sistern tersebut untuk dikontrol! Yakni, bahwa ia lebih tergantung kepada H(s) dan Gds) daripada Gp(s). Selanjutnya, jika sistern tersebut juga rnernpunyai pengatur tambahan tinggi (high gain controller) IGe(s)1 > > 1,

kernudian R(s) Yes)

= H(s)

dan responnya akan secara esensial bebas dari gangguan. Akhimya, sebagai tarnbahan, sistern tersebut rnernpunyai kesatuan feedback (unity feedback) . IH(s)1= 1,

98


kemudian Y(s) ,.. R(s)

dan responsnya akan cenderung untuk mencari jejak input yang terkena gangguan. Untuk memeriksa sensivitas sistem tersebut untuk mengubah parametemya, buatlah dGc, dGp dan dH menunjukkan sedikit penyimpangan pada elemen fungsi transfer Gds), Gp(s), dan H(s) secara berurutan. Hal ini mungkin akan menyajikan ketidakpastian dalam fungsi transfer atau perubahan aktual disebabkan pemakaian proses lainnya. Untuk fungsi transfer G(s) tertentu, sensivitas SKfG) dari G(s) dengan mempertimbangkan perubahan beberapa jumlah K ditentukan sebagai perubahan fraksional pada G(s) dibagi dengan perubahan fraksional pada K S (G) ~ dG/G K dK/K

= KGdK dG.

(2.3-27)

Untuk respon perintah fungsi transfer Gis) dengan dapatan loop tinggi,

dan

Jadi, untuk tambahan loop tinggi, respon perintah fungsi transfer secara relatif tidak sensitif terhadap perubahan pada fungsi transfer dari sistem untuk dikontrol (sebagaimana eitunjukkan sebelumnya), namun ia sangat sensitif terhadap perubahan pada elemen feedback. Ini berarti bahwa elemen feedback harus tepat dan biaya ketepatan ini adalah salah satu faktor yang membuat sistem pengatur lingkaran tertutup lebih mahal daripada sistem lingkaran terbuka. Pengembangan serupa dapat dilakukan untuk gangguan fungsi transfer, namun kita tinggalkan hal ini sebagai latihan bagi pembaca.


99

Pembahasan mengenai sensivitas dan penolakan gangguan hanyalah ratarata pada tahap ini, karena respon dinamik dibahas dalam arti longgar, dan hasilnya harus dilihat hanya sebagai kecenderungan umum. Secara khusus, tambahan pengatur tinggi tidak bisa selalu sebagaimana diinginkan seperti ketika diskusi ini dilakukan. Sebagaimana akan kita lihat nanti, pada jenis sistem tertentu, dapatan pengatur tinggi bisa benar-benar membuat sistem stabil menjadi tidak stabil. Jenis keadaan ini biasa. Salah satu contoh yang diberikan oleh tombol "tambahan" pada beberapa plotter analog x-y; menjadikannnya tinggi dan cabang plotter bisa menjadi tersebar.

2.1t MATRIKSTRANSFER Penggunaan transformasi Laplace untuk mengembangkan gambaran fungsi transfer dari sistem dinamik tidak dibatasi pada sistem 10. la dapat diaplikasikan ke setiap sistem ruang keadaan koefisien konstan linear. Sistem semacam itu biasanya mempunyai input dan output ganda, sehingga kita dapat mengakhiri dengan fungsi transfer matriks, dengan masing-masing elemen pada matriks menjadi fungsi matriks dari input ke output. Untuk sistem ruang keadaan input ganda output ganda dari bentuk:

x = Ax + Bu

(2.4-1)

y = Cx + Du.

(2.4-2)

dengan mengambil transformasi Laplace pada kedua persamaan clan menetapkan term kondisi awal adalah no! menghasilkan: Y(s) = G(s)U(s).

(2.4-3)

= C[sI

(2.4-4)

di mana G(s)

- A]-IB + D

100

Pengantar

Sistem Pengaturan

merupakan matriks transfer Ny x Nu. Oalam bentuk matriks, outputnya diperoleh dengan mengkalikan lebih dahulu input tersebut dengan matriks transfer. Dalam bentuk skalar hubungan antara input ujt), j = 1, ..., Nu, dan output tertentu y;(t), i = 1,...Ny, diberikan oleh:

N.

Y;(s)

= L Gis)Uj(s). j-I

(2.4-5)

Sekarang misalkan bahwa semua kondisi dan input awalnya adalah nol, kecuali bahwa ult) adalah impulse unit Vis) = 1. Maka Y;(s) = Gils). HasH ini memberikan cara eksperimental untuk menentukan fungsi transfer 10 untuk suatu alat; aplikasikan sebuah impulse unit ke salah satu input uj dan mencatat respon waktu dari output y;(t) i = 1,..., Ny. Kemudian menghitung secara numerik fungsi transfer Gils) dari definisi (2.2-1) sebagai transformasi Laplace dari output dan mengulangi proses masing-masing input. Beberapa pendekatan yang berkaitan akan dibahas pada Bab 5.

Pengembangan

Persamaan Keadaan dari Matriks Transfer

Jika fungsi transfer atau matriks transfer dikenaliuntuk suatu sistem, mungkin dengan ketentuan eksperimental, maka model ruang-keadaan untuk sistem tersebut dapat siap untuk dikembangkan. Sistem SISO Untuk sistem SISO matriks transfer diturunkan menjadi fungsi transfer skalar dan kita dapat mengkonversikan dari bentuk 10 ke bentuk ruang keadaan secara langsung dari (2.4-4), dengan menghasilkan sistemdalam bentuk "companion".

C:()~1r()1l

2.4-1

Bentuk "Companion"

Pertimbangkan sebuah sistem dengan fungsi transfer:


101

10 + 2s G(s) = S2 + 5s + 6.

Sistem ini akan dikonversikan ke ruang keadaan dalam Latihan 2.5-5(c) dengan menggunakan Persamaan (2.1-35). Iniakan menghasilkansebuah sistem di mana matriks A menjadi matriks "companion", namun sistem tersebut tidak dalam bentuk "companion" karena B"* [0 Untuk meletakkan sistem tersebut secara langsung menjadi bentuk "companion", kita dapat menggunakan (2.44)

r

10 + 2s

~+~+6

.~

= [c,

Dengan menyamakan kedua sisi dari ekspresi ini, ia mengikuti: 0. = 6,

Q2= 5.

c, = 10.

D = O.

Sistem ruang keadaan resultannya didapatkan dari:

X2 =

-6x, - 5X2+ U

Y = lOx, + 2x2.

yang mungkin diperiksa dengan mengkonversikan kembali ke bentuk 10.

Pendekatan lain yang didasarkan pada' diagram blok ditunjukkan pada Gambar .2.4-1. Output Y(s) dihubungkan pada input U(s) dengan Y(s) =

102


u(s)

y(s)

Gambar 2.4-1 Dengan menggunakan diagram blok untuk mendapatkan bentuk "companion" ruang keadaan.

G(s)U(s), di mana G(s) = Q(syP(s) dan P(s) serta Q(s) polinomial.Kita membedakan P(s) dan Q(s) dengan memasukkan langkah pertengahan, menghasilkan: Z(s) = U(s) P(s) Y(s) = Q(s)Z(s). Dengan pilihan variabel keadaan yang tepat, kita dapat menggunakan hubungan ini untuk dikonversikan secara langsung dari bentuk 10 menjadi bentuk "companion" ruang keadaan.

CONTOH 2.4-2

Bentuk "Companion""dari Diagram BLok

Pertimbangkan kembali Contoh 2.4-1, di mana P(s) = S2 + 5s + 6 Q(s) = 10 + 2s.

Jadi,

i. + 5t T 6z = II

Y = IOz + 2z.


103

Buatlah

kita segera mendapatkan, XI = X2 X2 = -6xl

- 5X2 + II

Y = lOxI + 2x2.

di mana hasil yang sarna diperoleh sebelumnya.

Sistem

Output Ganda

Input Ganda

Sekarang kita akan menampilkan prosedur umum untuk menyusun model ruang keadaan dari model matriks transfer. Misalkan bahwa sistem linear input §~mda output ganda digambarkan dalam bentuk matriks transfer 6(5) dengan Y(s)

= G(s)U(s),

di mana I G(s)

QII(S)

.

= P(s) [ QN~I(S)

(2.4-6)

dan masing-masing Q;/5) adalah tingkat polinomial sarna dengan atau kurang dari polinomial P{s). Dari penyajian ini kita berharap untuk mengembangkan model ruang keadaan dari bentuk (2.1-3) dan (2.1-4) yang sarna-sarna dapat dikontrol dan dapat diob~ervasi.

104


CONTOH 2.4-3

Sistem Dua Input Output Tunggal

Sistem 10 berikut ini:

mempunyai dua input dan satu output. Dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing sisi dengan rangkaian kondisi awal yang sarna dengan nol menghasilkan:

Ini menghasilkan fungsi transfer:

Y(s) =

I {U.(s) + [s + 3]U2(s)}.

~

yang ekuivalen dengan penyajian matriks transfer,

Y(s) =

I

[ S2

s + 3

+ 3s + 2 S2 + 3s + 2 ]

U.(S)

[ U2(s).]

Untuk mengembangkan prosedur umum dalam menentukan persamaan keadaan dari matriks transfer, kita terlebih dahulu mendapatkan model terurai (decoupled model) di mana matriks A adalah diagonal. Kemudian transformasi koordinat nonsingular yang cocok diaplikasikan untuk menghasilkan penyajian ruang keadaan yang mempunyai ciri khusus, seperti serangkaian eigenvektor yang diinginkan atau pada matriks A yakni dalam bentuk "companion". Kita hitung eigenvalues A1, ... A Nxdari persamaanciri: P(A)

= o.

(2.4-7)


105

di mana P{s)adalam denominator umum dalam matriks transfer (2.4-6) dan Nx tingkat polinomial P{s).Ini adalah persamaan ciri yang sarna dengan (2.1-21); ini adalah karakteristik sistem tersebut, independen dari jumlah input atau output atau penyajian yang digunakan untuk mendeskripsikan sistem tersebut. Kita asumsikan bahwa eigenvalues yang dihasilkan berbeda dan kita definisikan: (2.4-8) Langkah selanjutnyaadalah menentukan matriks B Nxx Nu, matriks C Nyx Nx, matriks 0 Nyx Nu. sehingga kondisiberikut ini memenuhi: i. Matrikstransfer yang sesuai dengan sistem ruang keadaan, yakni: G(s) = C[sI - A)-IB + D. ii.

B tidak mempunyai baris nol (memenuhi kontrolabilitas).

iii.

C tidak mempunyai kolom nol (memenuhiobservabilitas).

Biasanya sistem persamaan yang dihasilkandari persamaan seperti pangkat s pada kondisi i meliputi lebih sedikit persamaan daripada yang tidak diketahui pada B,C, dan 0, sehingga ada tingkat kebebasan dalam memilih elemen B,C dan o. Sistem ruang keadaan terurai yang dihasilkanadalah: i

= Az +

y

= Cz + Du.

Bu

Dari penyajian diagonal, yang mungkin mempunyai matriks nilai kompleks,

kita dapat mengubah ke rangkaian variabel keadaan akhir x

- Mz dengan

memilih serangkaian eigenvektor yang secara linear independen sebagai kolom dari matriks trasnformasi M = [S1, . . . , SN]. x Transformasi ini menghasilkan: i = Ax + Du y = ex + Du,

106


di mana A.= ~l, 8 = MB, dan C = CM1. MatriksA akan mempunyai eigenvalues Aidan eigenvektor konjugasiharus dipilihuntuk setiap eigenvalues konjugasiyang sesuai.

~()rv1r()ll

2.4-4

Eigenvektor tertentu

Misalkan kita ingin mengembangkan model ruang-keadaan, dengan eigenvektor tertentu, untuk sistem dari Contoh 2.4-3 yang mempunyai matriks transfer

G(s)

=

1

[ S2

s + 3

+ 3s + 2 S2 + 3s + 2 ]

.

Persamaan ciri: A2 + 3A + 2

menghasilkan

eigenvalues A 1 = -1,

=0

A-2= O.Jadi, persamaan keadaan diagonal

akan mempunyai matriks A yang diberikan oleh

-I

O

A = [ 0 -2 J . Kondisi6(s) = C[sI- Ar18 + D menghasilkan:

[I s + 3] S2 + 3s + 2

= [cl

S:

C2J

[

0

1

0

~

s + 2]

bll

[

Jadi, elemen dari 8, C, dan D harus memenuhi:

b21


s + 3

= d.s2

+ (c,b.. + C2b21+ 3d,)s + (2c,b.. + C2b21+ 2d.)

= d2s2

+

(clbl2

+

C2b22

107

+ 3d2)s + (2C,bl2 + C2b22 + 2d2).

Persamaan seperti pangkat s dan menyelesaikan hasil persamaan, menghasilkan:

Kondisi observabilitas Himensyaratkan c} "*0 dan Cz"*O. Oleh karenanya, hasil ini dapat diselesaikan untuk bij dalam bentuk c} dan Cz. bij yang dihasilkan semuanya selain no!. Sehingga kondisi kontrolabilitas juga dipenuhi. Pilihan c} dan Czadalah arbriter, sepanjang mereka selain no!. Untuk contoh ini kita akan memilih c}'dan Cz= 1, sehingga menghasilkan:

z = Az + Bu y = Cz.

A

=[

-

1

0

0 -2

].

C

= [I

1].

Sekarang, misalkan kita ingin mengubah dari bentuk diagonal ini menjadi sistem ruang keadaan yang mempunyai serangkaian eigenvektor tertentu, seperti ~} = [1 _1]Tdan ~z = [1 -2f Sebagai langkah terakhir, kita menggunakan sistem yang didiagonalkan dengan menggunakan transformasi koordinat x = Mz, di mana M = [ ~}, ~z I dan ~} serta ~z adalah eigenvektor yang diinginkan. Transformasi koordinat menghasilkan:

x = Ax + Su y = Cx. di mana

108


A =[-~ -~J.

B=[~ ~J.

t = [I

0).

Perhatikan bahwa pilihan kita mengenai eigenvectordilakukanuntuk menghasilkan matriks A dalam bentuk "companion" dengan eigenvalues yang sarna dengan A. Tentu saja, eigenvektor A dan A berbeda sebagaimana tujuan desain kita. Jika tujuan secara sederhana untuk menghasilkanmatriks A dalam bentuk "companion", kita dapat memilih ~l = [1 ex]Tdan ~2 = [1 J3]Tsebagai variabel, menghitung A = MAM-1, dan kemudianmenyelesaikanuntukparameter exdan J3untuk memenuhi dua kondisimatriks "companion" it! = it2 = 1.

2.5

LATIHAM 2.5-1

Dalarn beberapa aplikasi sebuah matriks menimbulkan banyak pemangkatan yang harus dievaluasi.Tunjukkan bagaimana diagonlisasi dapat digunakan untuk menyederhanakan proses ini. Khususnya, gunakan diagonalisasiuntuk mencari A 10, di mana

Jangan hitung AIO sebagai AA...A atau A2A2...A2, dan seterusnya; gunakan diagonalisasi. Petunjuk: Aplikasikan transformasi koordinat ke Xk+l = Axk. 2.5-2

Transformasikan sistem berikut ini ke bentuk terurai ruang keadaan:

(a) (b)

[~J = [~: - ~~][~J + [~]It, ~I = 0 2 XI + 0 I It I , [X2 ] [ - 8 0] [ X2 ] [ 1 2 ] [ 1t2 ] [~J = [~ ~] [~~]

y

=

[I

OJ[~J


2.5-3

109

Sistem SISO tingkat kedua berikut ini muncul sangat dekat menjadi dalam bentuk "companion": Sistem 1:

Sistem 2:

XI = X2 + II '\"2= - XI + II XI = X2

X2 =

- x.

+ 2u

(a) Tunjukkan dari definisi bentuk "companion" bahwa tak satupun dari sistem ini dalam bentuk "companion". (b) Tunjukkan bahwa masing-masing sistem ini memenuhi kondisi kontrolabilitas. (c) Konversikan masing-masing sistem ini menjadi bentuk "companion" dengan menggunqkan (2.1-26) - (2.1-28). 2.5-4

Dapatkan penyajian 10 ekuivalen dari sistem berikut ini, jika penyajian semacam itu adalah: (a) XI X2

= =

y = (c) XI = x2 = y = 2.5-5

+ 2u -3x. - 4X2+ 5u x. x. 2x1 + 3x2 + u x. X2

(b) XI

=

x2 = y = (d) XI = x2 = y =

-

XI

+ 2u

x. X2 x. 2x. + 3X2+ u X2

Nyafakan masing-masing sistem 10 berikut ini dalam bentuk ruang keadaan SISO dengan menggunakan (2.1-35). Yaitu, carilah A, B, dan d sehingga: x = Ax + Bu Y = XI+ du, di mana (a) j + 3y = 2u (b) j + 5j + 6y = 1011 (c) j + 5j + 6y = IOu + 2iJ (d) yC3I+ 2j + 3j + 2y = u + 3i1 + 2;i.

.._4

110

_________


- 1 untuksistemyangdiberikanoleh(2.1-32)-

2.5-6

Tunjukkan bahwa Q (2.1-33).

2.5-7

Untuk dua kereta pada Contoh 2.1-3, apakah bentuk "companion" sistem ruang keadaannya dapat dikontrol?Apakah ia dapat diobservasi? Jika tidak, diberikan sasaran pengatur keadaan y ~ 0, bagaimana penyajian ruang keadaan dapat diubah untuk mencapai sistem yang dapat dikontroldan dapat diobservasi?

2.5-8

Apakah kereta mainan yang dilinierkan dari Latihan 1.5-8 dapat dikontrol?

2.5-9

Perhatikan persoalan keseimbangan pendulum inversi ganda yang terlihat pada Gambar 2.5-1. Dengan menentukan.x = [8, e, cp),q>]T, u = rim!- dan ol = g/I, kita dapatkan persamaan keadaan linier di bawah ini. Tentukan apakah sistem tersebut dapat dikontrol atau tidak.

2.5-10 Tunjukkan bahwa Contoh 2.1-5 sarna-sarna dapat dikontrol dan diobservasi. 2.5-11

Dapatkan fungsi transfer untuk masing-masing sistem pada Latihan 2.5-5.

2.5-12 Suatu sistem 10 diberikan oleh: y + 25'+ 3y = 211 + Ii. (a) Carilah fungsitransfer Gp(s)untuk sistem ini. (b) Tentukan penyajian ruang keadaan untuk sistem 10 pada (a) dengan menggunakan (2.1-35). (c) Perhatikan sekarang. output umpan batik pada Gambar 2.3-3. Khususnya, G1 = Gp dan G2 = 1. Tentukankeseluruhanfungsi transfer untuk sistem yang dimodifikasiini. Apa perbedaan yang


111

III

,~ IIIf2(28 + i)

IIIf2cii +i)

-2m,f..

-lII,f..0

r

Gambar 2.5-1 5istem pendulumterbalikdengan dua jepitan untuk latihan 2.5-9.

ada antara fungsi transfer dari sistem 10 awal clan sistem yang telah dimodifikasi? 2.5-13

Untuk sistem pengaturan feedback dalam Gambar 2.3-5, diskusikan secara kualitatif sensitivitas fungsi transfer gangguan Gis) yang berkenaan dengan perubahan Gp(s), Gds), dan H(s), seperti yang dilakukanuntuk fungsitransfer perintah G1(s)pada akhir bagian 2.3.

2.5-14

Gunakan matriks transfer (2.4-4) untuk mengkonversikan sistem 10 tingkat pertama dari bentuk: , + PoY = qoU+ q.u

Untuk sistem ruang keadaan dari bentuk: x = -pox + qoU

Y= C -::ofl.) x + q.u.

112


2.5-15

Gunakan matriks transfer (2.4-4) untuk mengkonversikan sistem 10 pada Latihan 2.5-5 menjadi bentuk "companion" ruang keadaan. Ulangilah proses ini dengan menggunakan metode dari Contoh 2.42.

u. (s) +

yes)

Gambar 2.5-2 Diagramblok untuk Latihan 2.5-16.

2.5-16 Sebuah sistem mempunyai diagram blok sebagaimana terlihat pada Gambar 2.5-2. (a) Tentukan

fungsi transfer G1(s} = Yl (sYC.h (s).

(b) Tentukan fungsi transfer Gis} = YisYlJis}.

(c) Tentukan keseluruhan fungsi transfer matriks dari Gambar 2.5-2 dan prinsip-prinsip superposisi bahwa Y(s} = Yis} + Yis}. (d) Kembangkan penyajian sistem ruang keadaan diagonal untuk T = 0.1.

RA = 7.7n LA = H (!l see)

Recommend Documents